面积法在解中考数学试题中的运用--以山西省近三年中考试题为例

面积法在初中数学计算和证明中的应用等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法.它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷.先从三角形的面积说起：可以以三角形的任意一条边为底，那么对应不同的底边就有三条不同的高线，在计算三角形的面积时，需要注意底和高的对应关系。

根据上面的式子可知，若已知三角形的一组对应的底边和高的长度以及另一组底边的长度，可以算出另一组底边上的高线的长度，反之亦然，这种方法就是利用同一个三角形面积的不同表示方法来计算线段的长度，一般是求垂线段的长度，因此称为等面积法求垂线段的长度。

在初中几何中，经常会出现利用等面积法求垂线段长度的题目。

等面积法求垂线段长度直角三角形中，等面积法求斜边上的高因此，我们得到一个常用的公式：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边。

格点中，等面积法求垂线段长度等腰三角形中，等面积法求线段比例关系将一个三角形分成若干个小三角形，这些小三角形的面积之和等于这个三角形的面积，分别表示出各个三角形的面积，即可得到线段之间的关系，进而可以求出线段之和或线段之间的和差关系。

直角三角形中，等面积法求角平分线交点到三边的距离等腰三角形中，等面积法求两线段之和矩形中，等面积法求垂线段长度之和矩形中，等面积法证明线段和差关系等面积法证明垂线段之间的数量关系平方差公式、完全平方公式都可以用几何方法来证明，证明的过程就用到等面积法；勾股定理也常用等面积法来证明。

等面积法证明勾股定理等面积法与乘法公式等面积法在几何综合探究题中的应用留一道练习题：。

面积法在几何解题中的应用
面积法不但可探索各种图形面积的等量关系，而且还可求解某些线段的长度、证明两
角相等以及比例式等多种类型的题目．下面举例加以说明，
一、利用面积法求解垂线段的长度
例1 如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若BC＝2，则DE＋DF＝_______．
解连结AD，由等边三角形的面积公式，得
二、利用面积法证明两角相等
例2 如图2，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE．连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连结PC．
(1)求证：△ACE≌△DCB；
(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
1
(3)求证：∠APC＝∠BPC．
三、利用面积法得到线段成比例
例3 如图3，在△ABC中．CD是高，CE为∠ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于_______．
2
四、利用面积法证明两线平行
例4 如图4(1)，已知△ABC与△ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
∴四边形CGHD为平行四边形，
∴AB∥CD．
利用上述预备知识，我们来证明以下的性质．
例5 如图5，点M、N在反比例函数y＝k
x
（k>0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，
3。

中考数学专题----面积问题〔2〕面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些根本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规那么的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。

但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。

因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

中考数学面积问题的考点主要有：〔1〕面积的函数关系式问题；〔2〕面积的最值问题；〔3〕面积的倍分问题。

前二个考点在上次的专题中已经讲过，今天我们来探究面积的倍分问题。

一、典型例题： 1、〔2021江苏扬州〕如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米〔3a >〕．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．〔1〕假设4a =厘米，1t =秒，那么PM =______厘米；〔2〕假设5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比； 〔3〕假设在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；〔4〕是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？假设存在，求a 的值；假设不存在，请说明理由． 分析：问题〔1质也容易解决，问题〔3出t 和a 的关系式，利用t 要在问题〔3〕的根底上，让梯形积相等即可。

解．〔1〕34PM =， 〔2〕2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 〔3〕PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--==，，当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=N2)(2)(3)(3t t t a a t t a a t a t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-⎪⎭⎫⎝⎛+--=化简得66a t a =+，3t ≤，636aa∴+≤，那么636a a ∴<≤，≤， 〔4〕36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，那么CN PM =()3t a t t a ∴-=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a = 所以，存在a，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的 面积相等．温馨提示：此题考查与面积有关的问题，解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解，另外，在解决这一类问题时，要善于运用数形结合的思想，把几何条件转化，建立适宜的数学模型，此题就充分运用了方程的思想。

例谈面积法在解题中的妙用
例谈面积法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想就是通过构建几何图形之间的关系，来利用各种图形的面积来求解问题。

它在解决数学题目中有很多妙用，下面就来介绍几种：
1. 首先，例谈面积法可以用来求解平行四边形、三角形、正方形、梯形等几何图形的面积，从而解决相关的空间问题。

2. 其次，例谈面积法也可以用来求解两个不同几何图形之间的关系，比如说，当我们知道了一个三角形的底边和高时，就可以利用例谈面积法来求出该三角形的面积。

3. 最后，例谈面积法还可以用来求解一定范围内的几何图形的总面积，比如说，当我们知道了一个多边形的顶点和边长时，就可以利用例谈面积法来求出该多边形的总面积。

总之，例谈面积法在解题中的妙用是非常多的，且其使用起来非常简单方便，能够有效提高解题效率，减少解题难度，是一种不可多得的解题方法。

浅谈初中数学面积法在解题中的应用[论文摘要]随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。

教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。

笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。

一、直接运用公式法和割补法：对于三角形或者特殊四边形的面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。

（一）规则图形面积有关的公式（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形二、运用转化法求解图形的面积：此法就是通过等积变换、平移、旋转等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。

（一）等积变换：同底等高，等底同高（二）通过平移变换求解面积（三）通过旋转变换求解面积随着新课程改革的不断深入，这几年我市初中数学教材也在不断更新与完善。

教材的变化带来的是中考题型的变化，但是这里解决数学问题的思想方法却是没有改变的。

笔者根据近几年的中考和日常的教学实际情况总结一下一种重要的数学方法—面积法。

所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或成比例的方法。

它在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。

许多数学问题，表面上看来似与面积无关，但灵活运用面积法，往往能使问题顺利获解。

下面列举几个例子说说面积法在解题中的应用。

一、直接运用公式法和割补法 ：对于三角形或者特殊四边形的 面积，可以直接运用面积公式求解；对于不规则的几何图形的面积，可以运用割补法求解。

（一）规则图形面积有关的公式1、三角形的面积公式：ah S 21=2、矩形的面积公式：S=长⨯宽3、平行四边形面积公式: S=底⨯高4、梯形面积公式: S=21⨯(上底+下底)⨯高 对于这些规则图形直接运用面积公式计算即可。

（二）不规则的图形可以通过割补法转化为规则图形1、 作对角线，化四边形为三角形例1. 如图1所示，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 和DA 的长分别是3、4、12和3，，求四边形ABCD 的面积。

师生园地２０２２年４月下半月㊀㊀㊀面积法在初中数学解题中的应用◉辽宁省大连市第五十一中学㊀穆永强１引言面积法解题的基本思想是以 面积 当作思维起点,将题目中的已知量与未知量通过面积公式联系起来,这样显得更为简洁与直观,有助于学生快速理清思路,使其充分体会到面积法的妙用与价值．２应用面积法证明线段相等问题证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁琐㊁步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影响他们的解题自信．对此,教师可以指导学生应用面积法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他们找到正确的证明流程与方法．图１例１㊀如图１,已知在等腰三角形A B C 中,A B 和A C 相等,点D 在B C 边上,其中D B 的长度与D C 相等,D E 垂直于A B ,垂点是E ,D F 垂直于A C ,垂点为F ,请尝试证明D E 与D F 相等．分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以至于陷入到困境当中．教师可提示学生应用面积法进行证明．具体证明方法如下:因为B D ＝C D ,所以әA B D 的面积同әA C D 的面积相等,得出１２A B D E ＝１２A C D E ,又因为AB ＝AC ,所以DE ＝DF ．虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优势,扩充认知范围．３应用面积法准确求出线段长度求线段长度是数学解题训练中的惯设题目,贯穿于小学㊁初中㊁高中整个教学阶段,虽然这类题目大多数难度都不是特别大,不过部分题目中给出的隐藏条件难以发现,影响解题的正常进行．此时,教师在教学中,应指引学生尝试应用面积法来处理此类题目,使其通过面积的拆分准确求出线段长度,帮助他们建立解题自信．图２例２㊀如图２所示,在三角形A B C 中,B C ＝９０c m ,A D 为高,A D ＝６０c m ,正方形P Q MN 的顶点Q ,M 在BC 边上,顶点P ,N 分别在边A B ,A C 上,其中AD 垂直于B C ,垂点是D ,同正方形的边P N 相交于点E ,那么正方形P Q MN 的边长是多少?分析:学生读完题目后,发现题目中给出的具体数据仅限于三角形,似乎与正方形的关系不大,所以他们很难找准切入点,极易遇到解题障碍,所以教师可引导学生应用面积法,并结合方程相关知识求解．设正方形的边长是x c m ,因为１２ˑB C ˑA D ＝１２ˑP N ˑA E ＋１２ˑB Q ˑP Q ＋１２ˑC M ˑMN ＋P Q ２,代入相关数据可得,１２ˑ９０ˑ６０＝x ２ˑ(６０－x )＋１２ˑP Q (B Q ＋C M )＋P Q ２,由此得１２ˑ９０ˑ６０＝x２ˑ(６０－x )＋x ２ˑ(９０－x )＋x ２,将这个方程化简,解得的x 值即为正方形的边长．在本例中,常规解法是用相似三角形的相似比等于对应高线的比列出比例式求得结果,这里用面积的拆分求解有异曲同工之妙,可以有效活化学生的解题思路．４应用面积法求得线段长度的和不少平面几何类问题都与线段有一定的联系,除０９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２２年４月下半月㊀师生园地㊀㊀㊀㊀求一条线段的长度以外,还会求几条线段的总长,这类题目难度通常较大,学生处理起来颇费周折．为此,教师在教学中,可以引导学生尝试应用面积法求几条线段长度的和,使其通过拆分面积及面积公式顺利求得正确答案．图３例３㊀如图３所示,已知梯形A B C D 中,A D ʊB C ,A B ＝D C ,对角线A C 与B D 相交于点O ,E 为B C 上的一个动点(E 不与B ,C 两点重合),在点E 运动过程中,如果点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,而B C ＝８,B D ＝６,梯形的高DF 的长度是３,求E P ＋E Q 的和．分析:本题涉及的元素较多,线段较为复杂,还存在一个动点,结果要求两条线段之和,对学生来说难度相对较大,不易找到突破口．应用面积法的解答方法如下:因为四边形A B C D 是一个等腰梯形,对角线A C 与B D 相交于点O ,据此能证明әO B C 是一个等腰三角形,又因为点E 是梯形下底上的一个动点,点E 到A C ,B D 的垂线段分别是E Q ,E P ,作辅助线延长B D 至H ,与C H 垂直,再根据等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高这一性质,得出E P ＋E Q ＝C H ．因为S әD B C ＝１２B C D F ＝１２B DC H ,由已知条件,求得C H ＝４,E P ＋E Q 的和是４．本案例,由于点E 是动点学生觉得无从下手,只要证明定理 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高 ,再结合同一个三角形面积的不同表示问题就轻松解决．５应用面积法求证线段比例等式求证线段比例也是初中数学解题教学中的一类常见题型,由于涉及到比例难度相对较大,对学生的解题能力与思维水平要求较高,通常要用到代数方面的知识,他们很难轻松证明．教师可引领学生巧妙采用面积法证明线段的比例等式,主要通过构建面积这一载体 ,证明几何图形的线段比例等式关系,显得清晰又直观．例４㊀已知在әA B C 中,D 是B C 上的一点,设点E 是A D 的中点,连接B E ,并延长与A C 交于点F ,假设B D ʒC D ＝２ʒ１,求证A F ʒF C ＝２ʒ３．分析:首先,根据题意画出图形,如图４,把点C 与点E 连接起来．设әC E D 的面积是x ,因为A E ＝D E ,所以әA E C 的面积也是x ．又因为B D ʒC D ＝２ʒ１,图４可得әB E D 的面积是２x ,又因A E ＝D E ,可得әA E B 的面积也是２x ．设әE F C 的面积为y ,则A F F C ＝S әA B F S әB F C ＝３x －y３x ＋y①A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －yy②由式①㊁②式联立,可得x ＝５３y ．所以A F F C ＝S әA E F S әE F C ＝x －y y ＝５３y －y y ＝２３yy＝２３,即A F ʒF C ＝２ʒ３成立．本题采用面积法证明线段的比例等式十分巧妙,借助面积这一纽带,清楚地证明几何图形中线段比例的等式关系,使学生的解题思路变得愈加开阔．６应用面积法有效解决函数问题在求解初中函数类试题时,除运用待定系数法之外,还经常用到数形结合法,而面积法就属于数形结合思想的一种．有时,借助面积法也可以有效解决函数问题．例５㊀如果一次函数y ＝４x ＋b 的图象与两个坐标轴之间围成一个面积为８的三角形,求该一次函数的解析式．图５分析:本题虽然是一道代数题,但其求解过程要利用三角形的面积．为此,利用函数式找出两直角边的长即可．如图５所示．列出算式１２ˑ|b |ˑ|b |４＝８,解之得b ＝８,或b ＝－８,所以该一次函数的解析式为y ＝４x ＋８,或y ＝４x －８．本例结合面积法处理代数中的一次函数类题目,其实是对数形结合思想的巧妙应用,以此增进数与形之间的关系,使其掌握更多解题方法,优化他们的解题思路．总的来说,在初中数学解题教学活动中,教师很有必要把面积法的思想融会贯通至解题实践中,引领学生学会转变解题思路,思维变得发散与开阔起来,使其通过面积法的有效应用,将一些比较抽象㊁难懂㊁复杂的数学试题变得直观㊁易懂与简单,这对培养学生的解题能力㊁数学思想等均有着相当积极的意义．Z １９Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

面积法在初中数学解题中的应用数学是中学阶段基础教育的主要学科之一，对启发学生思维、开发学生智力、培养逻辑能力等方面都有举足轻重的作用。

其中，平面几何又是中学数学学科中重要的内容。

学习平面几何相关知识有助于帮助学生形成良好的几何思维习惯，同时能有效培育和提升学生的数学演绎和推理能力。

平面几何在中国也拥有十分悠久的发展历史，同样，平面几何中的面积问题与平面几何一样历史悠久，从溯源的角度上看，面积还是几何学的起源之一。

面积及面积法在日常生活中的运用随处可见，与生活息息相关、紧密相连。

文章围绕面积法在初中数学解题中的应用展开研究，从面积简史、面积及面积法的基本概念入手，结合解题实例，详细分析面积法在初中数学解?}过程中的巧妙应用。

在中学数学中，关于面积和面积法相关知识的教学已达到一定深度。

通过对面积和面积法的学习，一方面能够使学生更好、更直观地学习、理解和掌握数学知识，另一方面通过面积法，构建“数形结合”几何模型，能够将中学数学中一些较为抽象和代数化知识进行更为直观、具象的几何解释。

这些都对培养学生的数学品质，理解数学思想，提升和强化学生具象思维和直觉思维等大有裨益。

对此，有必要更加深入地研究和探索面积及面积法的相关发展历程、概念，以及其在中学数学解题中的巧妙运用，来增强中学生数学思维的灵活性，提高学生的数学素养。

一、与面积相关内容的概述（一）中国古代数学的面积发展史面积的发展史最早可以追溯到古埃及时期，其在中国的发展也同样历史悠久、源远流长。

与其他古代文明相比，面积在中国数学史上的发展有着独特的风格和特色，其在中国古代的实际运用主要在于对田垄、土地的测量。

早在公元前2世纪，中国古代的数学家就著有《算术书》，该书是中国数学史上首次系统性地提出和阐释面积相关的算题，其中就包括对田地的测量以及土地税征收等，以及与实际生产生活密切联系的面积问题。

在之后的历史发展中，又相继有《九章算术》《九章算术注》《孙子算经》《缀术》等相关著作问世。

2019年山西中考重点专题讲解——阴影部分面积的计算问题一.专题解读：阴影部分面积计算是全国中考的高频考点，常在选择题和填空题中考查，要想中考不丢分，必须掌握以下方法！ （一）考查题型：选择题/填空题 （二）常考类型:①不涉及扇形问题（即多边形结合球阴影面积问题） ②涉及扇形问题考察形式：❶三角形扇形结合问题 ❷四边形与扇形结合问题（三）考查特点：①所求阴影面积大多为不规则图形的面积； ②常与旋转，翻折，对称等结合考查。

（四）解决办法：（1）公式法（所求面积的图形是规则图形）（2）和差法（所求图形面积是不规则图形，可通过添加辅助线转化为规则图形的和或差）①直接和差法②构造和差法（3）等积变换法（直接求面积无法计算或者较复杂，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件） ①全等法②对称法③平移法④旋转法二.例题讲解（1）多边形结合求阴影面积问题1.如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则阴影部分的面积为（ ）A ．33B ．332C ．3D ．31（2）三角形扇形结合求阴影面积问题2．如图，A 是半径为3的⊙O 外的一点，OA ＝6，AB是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连接AC ，则阴影部分的面积为（ ） A ．π25 B ．π2C ．π23D ．π反思：件弧，连半径，得扇形.练习1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=12,C 、D 为⊙O 上的点，且AC=CD=BD,则阴影部分的面积为 .练习2.如图，在△ABC 中，∠COB ＝90°,∠C BA ＝45°，以AB 为直径左半圆O ，AB=8，则阴影部分面积为（ ）A ．24-4πB ．16-4πC ．24-2πD ．16-2π （3）四边形与扇形结合求阴影面积问题3.如图，在扇形AOB 中∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4π﹣4B ．2π﹣2C ．4π﹣2D ．2π﹣44.如图，菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A ＝60°．是以点A为圆心、AB 长为半径的弧，是以点B 为圆心、BC 长为半径的弧．则阴影部分的面积为（ ）A ．23B ．32 C．3 D ．233（4）与折叠问题结合考查问题5.如图，半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．18﹣6π B ．4﹣πC ．9﹣πD ．2﹣π练习1.如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形(图中实线围成的部分)的面积是 ．练习2．(2017·太原二模)如图，AB 是半圆O 的直径，且AB ＝8，点C 为半圆上的一点．将此半圆沿BC 所在的直线折叠．若圆弧BC 恰好过圆心O ，则图中阴影部分的面积是 ．三.山西8年中考真题命题点1.弧长的计算1.（2019山西9题3分）如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则的长为（ ） A ．B ．C ．ΠD ．2π中考变式：如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，若AD=2，BA的延长线交⊙A 于点F ．则的长为（ ）A ．π22B ．π42C ．ΠD ．2π命题点2.阴影部分图形面积计算2.（2012山西12题2分）如图是某公园的一角，∠AOB ＝90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ） A.（10π﹣）米2B ．（π﹣）米2C ．（6π﹣）米2D ．（6π﹣）米23．（2017山西10题3分）如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD ．若AC ＝10cm ，∠BAC ＝36°，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．5πcm2B ．10πcm2C ．15πcm2D ．20πcm 24.（2018山西10题3分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的半径为2，以点A 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．4π﹣4B ．4π﹣8C ．8π﹣4D ．8π﹣8 5.（2013山西12题2分）如图，四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，AB ＝2，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）A.﹣B ．﹣C ．π﹣D ．π﹣6.（2011山西17题3分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝AC ，把△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到△AB ′C ′，若AB ＝2，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）．四. 课后练习1.将直角△ABC 绕顶点B 旋转至如图位置，其中∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点C 、B 、A ′在同一直线上，则阴影部分的面积是（ ）A ．2334+πB ．2334-πC ．32316+πD ．32316-π2．如图，等边三角形ABC 的边长为2，CD ⊥AB 于D ，若以点C 为圆心，CD 为半径画弧，则图形阴影部分的面积是（ ）A.﹣πB ．2﹣πC ．2D ．2﹣3.在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，以A 为圆心，AD为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）A.﹣B ．﹣C ．π﹣D ．π﹣4．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝，则图中阴影部分的面积是（ ）A.B．C ．D ．+5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，以点C 为圆心，CB 的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中阴影部分的面积为（ ）A.B ．C ．D ．6.如图，把半径为2的⊙O 沿弦AB ，AC 折叠，使和都经过圆心O ，则阴影部分的面积为（ ）A.B ．C ．2D ．47．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，斜边AB ＝4，O 是AB 的中点，以O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF ，经过点C ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2π﹣4B ．4﹣π C.π﹣2 D ．4π﹣8 8.【推荐山西、河南】如图,在菱形ABCD 中,AB=2，∠ABC=120°,以点B 为圆心,BA 长为半径画弧,恰好过顶点D,点E,F 分别是弧AC 上两点,若∠EBF=60°,则图中阴影部分的面积为 .9.如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且点C 是弧AB 的中点．若扇形的半径是2，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．2π﹣4B ．2π﹣2 C.π+4 D ．π﹣110.如图，在平行四边形ABCD 中，以AB 中点E 为圆心，EA为半径画弧交CD 于点F ，点F 恰好为CD 中点，若∠B ＝60°，BC ＝6，则图中阴影部分的面积为 ．11.如图，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连接AC ，则阴影部分的面积为 ．12．(2017·荆门)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，且半径OC ⊥AB ，点D 在半径OB 的延长线上，且∠A ＝∠BCD ＝30°，AC ＝2，则由劣弧BC ，线段CD 和线段BD 所围成图形(阴影部分)的面积为 ．13．(2017·天水)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝43，则S 阴影＝( )A ．2π B.83π C.43π D.38π14.如图，AB 为半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 上的三等分点．若⊙O 的半径为2，E 是直径AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积是 ．15.【推荐河南】如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，以BC 边的中点D 为圆心，CD 的长为半径作弧,交AB 于点E,以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交AB 于点F,则阴影部分的面积为 .（1）转化法（即将所求阴影面积问题转化为几个规则图形面积的和或差来解决）（2）常用的转化方法：①割补法 ②全等法 ③对称法求阴影部分面积的常用方法有以下三种：练习题二.例题讲解：例1.图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB ＝12 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′.如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则由BF ︵，O ′F ，O ′B 围成的阴影部分周长为 cm ，阴影部分面积为cm 2.图1 图2例2.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为 ．1.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB=5cm，小正六边形2，则该圆的半径为cm．【考点】MM：正多边形和圆【专题】55B：正多边形与圆【分析】设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG PM⊥，OH AB⊥，由正六边形的性质及邻补角性质得到三角形PMN为等边三角形，由小正六边形的面积求出边长，确定出PM的长，进而求出三角形PMN的面积，利用垂径定理求出PG的长，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的长，设OB xcm=，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG PM⊥，OH AB⊥，由题意得：60MNP NMP MPN∠=∠=∠=︒，小正六边形的面积为2，∴，即PM=，2MPNS∆∴=，OG PM⊥，且O为正六边形的中心，12PG PM∴=，72OG==，在Rt OPG∆中，根据勾股定理得：7OP cm=，设OB xcm=，OH AB⊥，且O为正六边形的中心，12BH x∴=，OH=，1(5)2PH x cm∴=-，在Rt PHO∆中，根据勾股定理得：2221)(5)492OP x=+-=，解得：8x=（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为：8【点评】此题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解本题的关键．。

面积法在几何证明中的应用现在好多初中学生一学到平面几何的证明就感觉几何证明难。

难在哪里呢？难在我们的基本解题工具, 主要是全等三角形和相似三角形, 要用上这些工具, 就往往要添加辅助线。

怎样添辅助线, 这就在一定程度上要靠想象与创造, 在一次检测中有下面两道题:问题1: 边长为2的等腰三角形ABC内有一点O, 过O作OD⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC, 垂足分别为D.E、F, 那么O到三角形各边的距离之和为。

问题2: 向△ABC外作等腰△ABD和等腰△ACE, 且使它们的顶角∠DAB=∠EAC, 连接BE、CD相交于点P, AP的延长线交BC于F点。

试判断∠BPF与∠CPF的关系, 并加以证明。

这两道题不会的学生很多, 按正常的思维习惯、常规的解题方法不易完成。

通过研究发现, 如果借助三角形的面积公式, 这类问题的解决就简单了。

问题1解: 由OD⊥AB, OE⊥BC, OF⊥AC, 垂足分别为D.E、F, 考虑用三角形面积, 连接AO、BO、CO, 过A作AG⊥BC, 垂足为G, 则S△AOB+S△AOC+S △BOC=S△ABC ∵AB=BC=AC=2, ∴OD+OE+OF=AG, 而在直角△ABG中, 由勾股定理易得AG=■∴OD+OE+OF=■。

问题2解: ∠BPE=∠CPF, 证明: 过A点作AM⊥DC于M, 作AN⊥BE于N, ∵∠DAB=∠EAC ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC ∴∠DAC=∠BAE, 在△BAE和△DAC中, ∵AB=AD, ∠BAE=∠DAC, AE=AC ∴△BAE≌△DAC ∴BE=DC, S△BAE=S△DAC, 易推AM=AN, ∵AM⊥DC, AN⊥BF ∴PA平分∠DPE ∴∠DPA=∠APE, 又∵∠DPA=∠CPF, ∠EPA=∠BPF ∴∠BPE=∠CPF。

这两个问题, 虽然题目中没有直接涉及面积, 但由于面积是联系着几何图形的重要元素, 所以借助有关面积求解, 常常简捷明快。

面积法解题例说面积法是一种有效的解决几何问题的方法。

学习面积法可以帮助我们更好地解决几何问题，其中许多问题的答案都可以通过面积法来确定。

面积法是一种从几何图形的表面积计算其相关参数的方法。

通过面积法，我们可以从几何图形的表面积计算出它的周长、角度等重要参数。

有时，我们可以利用从表面积得到的重要参数来解决更复杂的几何问题。

面积法有许多应用，比如计算无边形的表面积、三角形的表面积和周长、圆形的表面积和周长等。

这些问题的答案可以通过面积法来推导或确定。

例如，求解三角形面积和周长。

首先，我们需要计算出三角形的底边长度。

然后，计算三角形的高，即两个相邻边的中线的距离。

最后，根据三角形的面积公式，可以计算出三角形的表面积。

在计算三角形的周长时，可以把它的三条边加起来，就能得到三角形的周长。

下面又一个类似的例子：求解圆形的表面积和周长。

这里，我们最先需要得到圆形的半径。

然后，根据圆形的面积公式，可以求出圆形的表面积，如πr2。

最后，用圆形的周长公式，2πr，可以计算出圆形的周长。

以上就是面积法的一些实际应用，可以帮助我们轻松解决几何问题。

除此之外，面积法还可以用于解决更复杂的几何问题，比如三角形、矩形等更为复杂的图形。

面积法也可以用于解决其他问题，比如求解图形所包含的物体的体积、求解图形的质心等。

面积法可以帮助我们更快地解决许多工程问题，比如绘制平面图形等。

总结而言，面积法是一种有效的解决几何问题的方法，可以有效地计算出几何图形的表面积、周长、角度等。

同时，面积法还可以用于求解更为复杂的几何图形及其他问题，比如求解图形所包含物体的体积、求解图形的质心等，从而为我们解决许多工程问题提供了便利。

山西数学中考23题解题技巧题目：某市上半年共售出9张新购房产证和11张二手房产证，其中将这些购房者按所购房面积分组：面积小于100平方米的有12人，面积在100平方米至120平方米之间的有7人，面积在120平方米至150平方米之间的有8人。

问：面积在150平方米以上的购房者有几人？解题技巧：1. 通过题目中提供的信息，我们可以知道总共售出的房产证张数为9 + 11 = 20张。

2. 题目中给出了面积小于100平方米的购房者人数12人、面积在100平方米至120平方米之间的购房者人数7人以及面积在120平方米至150平方米之间的购房者人数8人。

3. 面积在150平方米以上的购房者人数 = 总售出房产证张数 -面积小于100平方米的购房者人数 - 面积在100平方米至120平方米之间的购房者人数 - 面积在120平方米至150平方米之间的购房者人数。

4. 将上述步骤计算出来的结果代入公式，可以得出答案。

具体计算过程：面积在150平方米以上的购房者人数 = 20 - 12 - 7 - 8 = 20 - 27= -7答案：面积在150平方米以上的购房者人数为-7人。

解析：根据计算结果，面积在150平方米以上的购房者人数为负数，这显然是不符合实际情况的。

因此，可能出现以下情况：1. 题目中给出的数据有误，导致计算过程出错。

2. 题目中没有给出面积在150平方米以上的购房者人数，需要通过其他信息进行推导。

3. 题目存在其他隐藏的条件或者信息，需要综合考虑。

综上所述，解题技巧是根据已知信息计算未知信息，但在实际解题过程中需要注意细节、合理推断，避免出现不符合实际的结果。

“面积法”在数学解题中的应用作者：张敏勇来源：《读与写·下旬刊》2011年第09期摘要: 在初中平面几何中，有一类题目，可能有多种解法，如果适当运用图形之间的面积关系，将会使问题解决途径浅显易懂，暂且称这一解决问题的方法为“面积法”，本文举例说明这一方法在解题中的应用。

面积法在数学解题中的应用是很广泛的，灵活运用这一方法，对于培养学生的思维方式，拓展解决问题的思路都是有益的。

关键词: 数学；解题方法；面积法中图分类号：G633.6 文献标识码：E 文章编号：1672-1578（2011）09-0260-011.用面积法比较线段的大小如图1,在⊿ABC中，AB＞AC，BD、CE分别是AC、AB上的高，判断CE的大小。

解：∵⊿＝1 2 AB•CE＝1 2 AC•BD;AB＞∴CE＜图2.用面积法证明勾股定理如图2，直角三角形的两条直角边是a和b，斜边是c，求证：图证明：将所给三角形如图拼接，使C，A，D在同一直线上，连接BE。

易证BC∥ED，∠BAC+∠EAD＝∴∠BAE＝∴梯形＝ 1 2 （a+b）（a+b）＝整理得3.用面积求角度已知菱形ABCD的对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边的平方，求菱形的一个钝角的大小。

解：作AE⊥BC于∵菱形＝BC•AE＝又∵AC•BD＝；BC•AE＝；菱形中BC＝∴AE＝又∵AE⊥∴∠ABE＝30°；∴∠BAD＝150°图4.用面积法证角平线定理已知⊿ABC，AD平分∠BAC，求证： AB AC ＝证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AG⊥BC于G。

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥∴DE＝又∵⊿＝ 1 2 AB•DE＝⊿＝1 2 AC•DF＝∴ AB•DE AC•DF ＝AB AC ＝图4的问题，每隔多少时间发车.如果应用“设而不求”的方法.我们可设汽车的速度为，自行车的速度为，两地间每隔x分钟发一次车，则相邻两车的距离为由题意可得：20（-）①②∴20（-）∴代入①得：20（-）∴其实每一道应用题都有多种建立方程的等量关系的途径和疗法如果学生在教师的引导下，通过多种途径，应用多种方法去分析、思考。

面积法在初中数学解题中的应用探析发布时间：2021-06-18T16:53:28.383Z 来源：《中小学教育》2021年第2月第6期作者：郗芳草[导读] 在初中数学学科教学当中，面积以及面积法的教学属于重点内容郗芳草陕西省西安市新城区昆仑中学陕西西安 710043摘要：在初中数学学科教学当中，面积以及面积法的教学属于重点内容，其中存在很多的丰富数学思想和数学方式方法，可以对学生的逻辑思维能力实现有效的锻炼。

在本文当中首先对面积相关内容进行了概述，其次在面积法在中学数学解题中的各种应用做出了实际的分析。

关键词：面积法;初中数学；应用探析在中学阶段的基础教育教学当中，数学属于主要学科，可以实现对学生思维的启发，学生智力的有效提升，培养学生自主逻辑判断能力，因此在平面几何的教学当中，属于中学教学学科的重点教育的内容。

在学习平面几何的相关知识的过程当中，可以促进学生良好几何思维习惯的养成，对提升学生的数学演绎和逻辑推理能力可以起到一定程度的促进作用。

在我国平面几何的发展具有相当久远的发展历史，平面几何当中的面积问题属于几何学的起源质疑，和我们日常的生活息息相关。

在日常的教学当中，需要对面积法进行详细的教育教学，实现对初中数学几何教学的巧妙应用。

一、面积相关内容的概述我国的古代数学的面积，面积具有独特的风格特色，在古代实际应用主要是天地的测量方面。

面积的概念，在几何图形方面属于度量的最初原因，可以对社会生产和社会实践的需求进行充分解决。

在面积的概念表达当中，“面积是物体的表面或围城的平面图形的大小”“面积是某一平面上一个封闭图形所包围部分的大小”“面积是对平面或曲面区域大小的度量”，因此对面积概念的定义可以利用大小来进行数量的衡量，也可以认为是对封闭的平面图形所对应的特定的量进行计算和衡量。

二、面积法在中学数学解题中的各种应用在面积法在初中教学的过程当中，应用范围相对较广，在本文当中主要分为以下几个方面来进行分析：首先，在面积法对平方差公式进行验证方面，初中数学的教材当中进行了教学内容的解释，利用面积法可以帮助学生记忆的同时，还可以对抽象难懂的知识内容来做出直观的展示和解释，从而可以提升学生对知识内容的理解程度。