周益春-材料固体力学课后习题解答

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。

当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。

在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。

如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。

第六章 塑性平面应变问题和极限分析1. 设具有角形深切口的厚板，其滑移线场构造如图6.1(a)，试求此时该板所能承受的弯矩值。

的方向，应取负值，即4,,2πθσσ=-=-=k k t其应力状态和α线的方向如6.1（b ）所示。

由于厚板的上部ODB ∆也是均匀应力区，在OB 边上，0==n n τσ，k t 2±=σ，根据力矩M 的方向，应取正值，即γπθπγππγθσσ-=-=-+===4,42)4(,,2k k t其应力状态和α线方向如图6.1（c ）所示。

正方形'OECE 是均匀应力区，根据对称性知道沿着垂直截面将只作用有拉应力q ，其数值及应力间断点C 的位置由下列平衡方程求得：图6.1(c)图6.1(b)⎪⎭⎪⎬⎫=---=--0)(210)(2212111h h k qh M h h k qh 由此得出Mkh kMq khMh h -==-212,由于CEDB 是同一根β线，故B BC C k k θσθσ22+=+)21()4(2)4(2γππγπσ-+=---+=k k k k C取OC 边上的单元体进行分析，如图6.1（d ）所示得：4,0,πθτσ-===n n qk q k t t n 2,2-==-σσσ)2(21)(21k q q t n -+=+=σσσk q k C -=-+=)21(γπσMkh kMk q -=-+=22)21(γπγπγπ24)22(2-+-+=kh M 令2021kh M =则可得γπγπ24210-+-+=M M 图6.1（d ）2. 设两边有对称角形深切口的厚板，角形深切口处的高度为h ，试求在极限状态时，该板所能承受的弯矩值。

解：此题滑移线场与上一题（a ）图中上部的滑移线场一样，因此在极限状态下应力为)2()21(22=--+=hq M k q γπ故由此应力所承受的弯矩为22)21(2141h k qh M γπ-+==令2021kh M =则得γπ-+=210M M3.图6.2解：作滑移线场如图6.3(b)所示，由于对称，只考虑板条的一半。

--第三章 弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyz xy zz yy xx zx zx yz xy zz yy xx yz zx yz xy zz yy xx xy zx yz xy zz yy xx zz zx yz xy zz yy xx yy zx yz xy zz yy xx xx c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσγγγεεεσ666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++= （a ）当0===zx yz xy τττ时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。

当0===zx yz xy γγγ时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。

在主应变方向上，剪应力分量为：zzyy xx zx zz yy xx yz zzyy xx xy c c c c c c c c c εεετεεετεεετ636261535251434241++=++=++= （b ） 若使0===zx yz xy τττ，则式中xx ε，yy ε，zz ε具有非零解的条件为0636261535251434241=c c c c c c c c c （c ） 上式即为x ，y ，z 轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。

如果材料性能对称于一个平面，如Oxy 平面，则04645363526251615========c c c c c c c c ，而且ji ij c c =，此时（c ）式恒等于零。

第七章 粘弹塑性本构关系1. 应用Kelvin 模型，求图所示组合的应力应变关系。

解：如图所示，总的应变是弹簧的应变和Kelvin 单元应变之和。

因此K s εεε+= (1)而 K K s E E εηεεσ +==21 (2) 对(1)式求导，有 K s εεε +=， 再由(2)式得1E s σε=，ηεσεKK E 2-= ，再结合(1)式，可以求出 σησεηε ++=+)(21121E E E E E 即为图示组合应力应变关系。

2. 如图所示一直杆，杆件材料服从如下本构关系：εησσ +=s (s σσ>),式中At P )(=σ，s σ为静态屈服极限。

若)(t P 为一个阶跃函数，当0=t 时，应力突然由零增至某一数值0σ(>s σ),且以后保持常数，试求此情况下杆件的应力应变关系。

解：由题意 εησσ =-s 0 (0>t) 图7.1图7.2即 )(10s σσηε-=对上式积分可得 C t s +-=)(10σσηε其中C 为积分常数。

若0=t 时已有应变0ε存在，则由上式可得0ε=C 。

从而有00)(1εσσηε+-=t s3. 假定介质的流动是缓慢的轴对称的定常流，即介质在管中没有转动，讨论粘塑性材料在圆管中的流动。

解：如图所示的圆柱坐标系z r ,,ϕ中，其径向和环向速度为零，即0==ϕυυr于是应变率分量为0====z r r ϕϕϕεεεεrzzrz zz ∂∂=∂∂=υευε, 如果我们假定材料是不可压缩的，则有0=z ε，从而有)(r z z υυ=。

若进一步假定应力分量可分解为塑性和粘性两部分，其塑性部分服从与Mises 屈服条件相关的流动法则，而粘性部分服从牛顿线性粘性定律，则不难得到0===z r σσσϕ0==z r ϕϕττ图7.3drd zs rz υηττ+-= (1) s τ为剪切屈服极限很显然，当,s rz ττ≥且0≤drd zυ时才有意义。

第十章热应力习题及解习题1、如图10-1所不，将一圆锥体固定在两壁间，计算温度由77升高到门时所产生的压缩 热应力。

解：设圆锥体棒温度升高为0 = G 其线胀系数为&。

在自由膨胀时，其仲长为o 若假设壁给予的压缩力为P,而棒应缩短o 各截面的粗细不同，因此各截面产生的热应力 不同。

与左端距离x 的截面AB 处的直径为dx ,dx = d l +(d 2-d l )x/l 。

设AB 截面的面积为S x ,于是该截面上的压缩热应力为-4P故AB 处的应变为与AB 距离dx 微段的缩短了 g/x,因此整个棒缩短那么P = jcEoalyd^ I ,于是热应力为-Ead.d.O6 = -----------£ +仏F1I最大热应力发生在截面积最小的左端，为Umax =~Ed 2a0!=习题2、如图10-2所不，两根材料和长度都不相同的平行棒，它们的一端各自被固定，而另一 端连接在刚体板上可以一起轴向活动，通过弹簧受到另一壁的反作用,设两棒分别从最初的无应力-4P4Pdx4PIJiEd'd ?=ccOl状态下温度升高了「和T2,试计算两棒中的热应力。

解：假定N >几。

2 > a,,贝U棒1的自山膨胀量为厶,而棒2的自山膨胀量为a2T2L2。

棒2自由膨胀时伸长量大，故棒2除自由膨胀外，受到压缩而缩短，因压应力的缩短量为£2L2 = cr?厶2 / E?，其最终伸长量为a2T2L2 + cr?厶2 /丘2。

而棒1除自山膨胀外，还因相应拉应力的伸长刍厶=5厶/耳，其最终伸长量为+ b]厶 / E]其中bj, O'?中包含了应力符号。

因右端连接在冈！I体板上一起轴向活动，两棒的总伸长量应相等，即务片厶 + CF］厶 / 耳=a2T2L2 + cr2L2 / E2 = -Z（设弹簧的弹性常数为& ,则其压缩力为F = k s l ,故有CF]S] + c2S2 = P(b) 可求得S、E, （洛厶5並卜也严］V 厶 + S Q E Q L I砧S'E.—害吕-（也乙厶2 — ap］厶）-厶26 _—]_|_ V厶2 _(_ S]E]厶2S°E° S2E2L]讨论:⑴若k s =0,弹簧非常柔软的情况下，刚体板仅起连接作用，此时a = 一耳（&1冲厶一色笃厶2）/厶1 + S]E]厶2 / S Q E Q L、再假设厶二厶2，卩1 =笃=厂，贝I」_ _-EJ G1 —也）O 1 —O1 + S^/S2E2（2）若& = 8,弹簧不能伸缩，即为全约束下（即为上题情形），此时<7,=―耳內”对于CT?,以上讨论完全类似。

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组：解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。

位移解法：
一、位移表示的平衡方程（Lame-Navier方程）的导出
以位移分量u i为基本未知量，导出位移表示的平衡方程，具体如下：
=,+,（且=,）
代逆本构关系（3.6节(3*)）式：
=,+,+,
代入3.6节(1)式
,+=,+,+,+=0(1) 注意：,=,和,=,
(2)式可写成：
,+(+),+=0(2) 或： ∇+(+),+=0
上式就是Lame-Navier方程（3个2阶椭圆方程）。

边界条件：
位移边界：=
力边界：=,+,+λ ,=
二、解L-N方程
1）无体力（=0）或常体力（=.）
Lame-Navier方程式(2)化为齐次方程：
,+(+),=0(3) 两边对求导（即求散度）：
,+(+),=0
,+(+),=(+2),=0
∇=0
说明e，Θ，，是调和函数。

对式(3)两边作调和：
∇+(+)(∇),=0
=0
∇=1(∇),+∇,=0
说明, ,是重调和函数。

调合函数：e，Θ，，
重调合函数：，，，e，Θ，，
注：（1）调和函数的各阶导数、及，,均为调和函数；
（2）调和函数、及，均为重调和函数。

书上指出：弹性力学的无/常体力问题在数学上归结为调和方程和重调和方程的边值问题。

（感觉应该是L-N齐次方程，即式(3)的边值问题？因为这几个调和方程是由式(3)导出来的性质，不能等价于L-N齐次方程。

）
2）变体力（外力场()随着位置不同而改变）
先找一个特解（不必满足边界），与上述齐次方程组(3)式的解叠加即可，再用边界条件定其中的系数。

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解] 如图1.2，两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示：由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力量为零需满足如下方程组： 解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。

第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明] 习题20=ij ij b a[证明]ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a 又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。

[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为 由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++=剪应力为习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。

试写出其边界条件。

[解] 物体表面外表面法线的方向余弦为 带入应力边界条件，()3,2,1,,==j i n T j ij i σ，得习题5 已知某点以直角坐标表示的应力分量为xx σ，yy σ，zz σ，xy σ，xz σ，yz σ，试求该点以柱坐标表示的应力分量。

[解由应力分量转换公式''''jn i m ij n m ββσσ=，求得 利用三角公式可将上面的式子改写为 习题6 一点的应力状态由应力张量()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σσσσσσσσσσc b c a b a ij 给定，式中，a ，b ，c 为常数，σ是某应力值，求常数a ，b ，c ，以使八面体面)e e e (n 321++=31上的应力张量为零[解] 由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组： 解得21-===c b a 习题7 证明（1）应力的三个主方向互相垂直；（2）三个主应力1σ，2σ，3σ必为实根 [证明]（1）设任意两个不同的主应力为k σ、l σ，对应的主方向为k n 、l n 。

圆筒在拉力和剪力共同作用下的应力强度可表示为:222222222236221)(6)()()(21τστστττσσσσσσσθθθθ+=+=+++-+-+-=zr z r r z z r i2233τσττσσσ++=∴d d d i由已知条件: 1E Esσσσε-+=,当sσσ>时，p e s i s E E εεσσσε+=-+=1)3(2)3(323,2211τσττσσσελσε++===∴E d d d d E d d i p ip则 因此，)3()3(1)3()3(31221221τσττσσσσετσττσσττγθ+++=+++=E d d d E d E d d d G d zz(1) 先拉后扭⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+⋅+=+=++=⎰⎰⎰⎰)41(313)3(331)2ln 211()3(3130221301302210πστσττττγστσττσσεσσθσσE G E d d G E E E d E d s s z s s s z sss s(2) 先扭后拉⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰2ln 2313)3(3)3(31)41(11)3(31022131022120E G E d d G E E E d E d s s s z s s z s ss sσσσσσστγπσσστσσεσσθσσ (3) 拉、扭按比例同时增长按1:3:=τσ的比例加载，当,2sσσ=6sστ=时，薄壁圆筒已经达到屈服极限，所以[][]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅++=⎰⎰⎰⎰)211(3133)3(3)3()3(31)211(11)3(3)3(3313622130122210E G E d d d G E E E d d Ed s z s z ss sss sσττττττττγσσσσσσσσσεσσσθσσσ8. 已知圆形截面梁，截面半径为R ，在弹塑性状态时，2Rh e =，且已知ee h R=ρρ,试求此时eM M 的值。

《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。

从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a 那么，Rf Rb31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。

分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。

因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123o o o a n hda n kd a n id=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°由于a 3=–（a 1+ a 2）313()o o a n a a n =-+把（1）式的关系代入，即得()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（2（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：。

Email:onexf@
弹性力学解的迭加原理：在线弹性条件下，对于满足小变形条件的弹性体，在两组不同的外力作用下所得到的弹性力学解相加等于这两组外力同时作用于弹性体的解答。

采用应力解法证明应力叠加如下：
第一组载荷 第二组载荷 外力及引起的应力场 ，
， 应力解法的基本方程 , + =0 ∇ +11+ , + 1− , + , + , =0 − =0 , + =0
∇ +11+ , + 1− , + , + , =0 − =0 外载荷可以叠加 = + ； = +
将基本方程相加 , + + , + =0 ∇ +11+ , + 1− , + , + , + ∇ +11+ , + 1− , + , + , =0 − + − =0 根线性微分方程的性质* + , +( + )=0 ∇ + +11+ ( + )+ 1− ( + ), +( + ), + + , =0 + −( + )=0 应力场可以叠加
= + 类似地，可以采用位移解法来证明位移场满足叠加原理，即 = + 。

*注意：
叠加原理成立的前提条件是基本方程和边界条件的线性性质。

只有线弹性小变形情况才满足这个条件，而对于大变形、非线性材料，边界非线性等情况均不适应。

Email:onexf@。

第一章 晶体结构1.1、 如果将等体积球分别排成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明：结构 X简单立方52.06=π体心立方68.083≈π 面心立方74.062≈π 六角密排74.062≈π 金刚石34.063≈π解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06834343333====πππrra r x （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)334(3423423333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062)22(3443443333≈=⨯=⨯=πππr r a r x （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.06333834834833333≈=⨯=⨯=πππr r a r x 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

第四章 弹性平面问题的习题习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡方程求出xyτ及y σ，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？解： （1）由材料力学公式求正应力x σ：()1212,33hbh I I y x M Z Zx===σ而()(),22x q dxx M d =现在()()x l q dx x M d x lq x q -=-=22,即，解此微分方程得()()122C x lq dxx dMx Q +-==，()0136C x C x lq x M ++-=，其中C 1，C 0为积分常数由边界条件确定如下：()0000=⇒==C x M x ， ()0010=⇒==C x Q x 。

()33326lhy qx x lq x M x-=⇒-=∴σ。

（2）据弹性力学平衡方程求xy τ及y σ据弹性力学平面问题平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y y xy x xy x F y xF yx σττσ，不计体力，即0==y x F F ，得 3233602lhy qx yyxlh y qx xyxy=∂∂⇒=∂∂+∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂-ττ，由积分此式得qyo 图4-1()x f lhy qx xy 13223+=τ，用边界条件确定待定函数()x f 1：()lhqx lhy qx lhqx x f xyh y xy433,4302322212-=∴-=⇒=±=ττ，它也满足00==x xyτ。

同时lhqx lhqxy yyxyyxy236032+-=∂∂⇒=∂∂+∂∂σστ，积分此式得()x f lhqxy lhqxy y233232++-=σ，由边界条件确定待定函数()x f 2()()lqx x f lqx x f h y yx x y2,002220-=⇒-==⇒=-===σσ。

故0,2232233=-+-==h y yylqx lhqxy lhqxy σσ它也满足。