江苏省建陵高级中学高中数学 2.3.2 事件的独立性导学

2.3 独立性1．条件概率一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )P (B ). 预习交流1 任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，设事件A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12，B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫14<x <1，你能求出P (B |A )吗？提示：P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12＝0.5. 2．事件的独立性一般地，若事件A ，B 满足P (A |B )＝P (A )，则称事件A ，B 独立．P (AB )＝P (A )P (B )． 预习交流2若事件A 与B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )与P (AB )＝P (A |B )·P (B )矛盾吗？提示：不矛盾，若事件A 与B 相互独立，则P (A |B )＝P(A )．一、条件概率盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．(1)取两次，求两次都取得一等品的概率；(2)取两次，求第二次取得一等品的概率；(3)取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的二等品的概率．思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．解：记A i 为第i 次取到一等品，其中i ＝1,2.(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2|A 1)＝35×24＝310. (2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品．则P (A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝25×34＋35×24＝35. (3)取两次，已知第二次取得一等品，那么第一次取得二等品．则P (A 1|A 2)＝P (A 1A 2)P (A 2)＝25×3435＝12.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则2张都是假钞的概率是__________．答案：217解析：设A 表示：“抽到2张都是假钞”，B 表示“抽到的2张中至少有1张为假钞”，则所求概率为P (A |B )，又P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220， 所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217. 条件概率的判断：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率，题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．二、事件的独立性一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A ，B 的独立性．(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．思路分析：(1)先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A ，B 所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P (A )，P (B )及P (AB )的概率，最后分析P (AB )是否等于P (A )P (B )，(2)同(1)．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件的概率都为14. ∵A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB ＝{(男，女)，(女，男)}，∴P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12， ∴P (A )P (B )＝38≠P (AB )，故事件A ，B 不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝P (A )P (B )成立． 从而知事件A 与B 是相互独立的．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C ，由题意知，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此A ，B ，C 是相互独立事件．由题意知P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05，P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1，P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125. 解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5，∴甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25,0.5.由定义知若P (AB )＝P (A )P (B )，则A ，B 相互独立，即如果A ，B 同时成立时的概率等于事件A 的概率与事件B 的概率的积，则可得出事件A 和事件B 相互独立，同时若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．1．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )＝__________.答案：12解析：P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12. 2．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是__________．答案：89解析：记事件A ，B 分别表示“第一次，第二次抽得正品”，则A B 表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”，∴P (B |A )＝P (B A )P (A )＝2×810×92×910×9＝89. 3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率为p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是__________．答案：p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)解析：甲解决问题乙没解决问题的概率为p 1(1－p 2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率为p 2(1－p 1)，故恰有1人解决问题的概率为p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．答案：512解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A ，则P (A )＝23×14＋13×34＝512. 5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次还取到不合格品的概率是多少？解：记A 为“第一次取到不合格品”，B 为“第二次取到不合格品”，则得P (A )＝5100＝120， P (AB )＝5100×499，要求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率，即求P (B |A )＝P (AB )P (A )＝499.教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学 2.3.2 等比数列的通项公式导学案 苏教版必修5 【学习目标】1. 理解等比数列的概念；体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型。

【课前预习】1．下列哪些数列是等差数列，哪些数列是等比数列？（1）12lg 6lg 3lg ，，； （2）2122222-- ，，，；2．已知等比数列{}n a 的公比为52，第4项是25，求前3项．3．练习：求下列等比数列的公比q 、第5项5a 及第n 项n a ：①2，6，18，54，…=q ______，=5a ______， ②7，314，928，2756，… =q ______，=5a ______，③30．，090．-，0270．，00810．-，… =q ______，=5a ______，④5，15+c ，125+c ，135+c ，…=q ______，=5a ______，【课堂研讨】例1在等比数列{}n a 中，（1）已知31=a ，2-=q ，求6a ，n a .（2）已知203=a ，1606=a ，求n a ．例2 试在243和3中间插入3个数, 使这5个数成等比数列．例 3 等比数列的前3项依次是3322+ + a a a ，，，试问227-是否为这个数列中的项？如果是，是第几项？【学后反思】课题: 2.3.2等比数列的通项公式班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1．判断：（1）已知)02(1≠≥⋅=-q n q a a n n ，，则{}n a 成等比数列． （ ）（2）已知)0(≠⋅=cq q c a nn ，则{}n a 成等比数列．（ ）（3）已知c b a 222 ，，成等比数列，则c b a ，，成等差数列． （ ）（4）已知c b a lg lg lg ，，成等差数列，则c b a ，，成等比数列． （ ）【课后巩固】1．在等比数列{}n a 中，（1）若274=a ，公比3-=q ，求7a ；（2）已知81842= =a a ，，求1a 和q ；（3）已知6475= =a a ，，求9a ；（4）若1515=-a a ，624=-a a ，求3a ．2．在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a 和b 表示这个等比数列的公比．3．若三个不相等的数c b a ，，成等差数列，又b c a ，，成等比数列，求c b a ::．【学后反思】课题: 2.3.2等比数列的通项公式班级： 姓名： 学号： 第 学习小组【课堂检测】1．判断：（1）已知)02(1≠≥⋅=-q n q a a n n ，，则{}n a 成等比数列． （ ）（2）已知)0(≠⋅=cq q c a nn ，则{}n a 成等比数列．（ ）（3）已知c b a 222 ，，成等比数列，则c b a ，，成等差数列． （ ）（4）已知c b a lg lg lg ，，成等差数列，则c b a ，，成等比数列． （ ）【课后巩固】1．在等比数列{}n a 中，（1）若274=a ，公比3-=q ，求7a ；（2）已知81842= =a a ，，求1a 和q ；（4）已知6475= =a a ，，求9a ；（4）若1515=-a a ，624=-a a ，求3a ．2．在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a 和b 表示这个等比数列的公比．3．若三个不相等的数c b a ，，成等差数列，又b c a ，，成等比数列，求c b a ::．【学后反思】。

江苏省建陵高级中学2013-2014学年高中数学2. 3.2方差与标准导学案（无答案）苏教版必修3班级：—姓名： _________________ 学号： _________ 第—学习小组 【学习目标】1、 理解样木数据的方差、标准差的意义和作用；2、 学会计算数据的方差、标准差；3、 掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想. •【课前预习】 1.有甲、乙两种钢筋，现从屮各抽取一个标木（如表）检查它们的抗拉强度（单位: kg!mm 2）,通过计算发现，两个样木的平均数均为125.问题：哪种钢筋的质量较好?110115120ion 105 “ 110115 由图可以看出，乙样本的最小值 _______________ ，低于甲样本的最小值 _____________ , 最大值 ________ 高于甲样本的嚴大值 ___________ ，这说明乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉 强度稳定.我们把_组数据的 _________________________________________________________ 称为极差 （range ）.由图可以看出，乙的极差较大，数据点较分散；甲的极羌小，数据点较集 屮，这说明甲比乙稳定.运用极差对两组数据进行比校，操作简单方便，但如果两组数 据的集屮程度差异不大时，就不容易得出结论.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是方差和标准斧.2.方差： 标准差：3. 方差和标准差的意义：描述样木和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波 动大.【课堂研讨】例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：〃/?加2）, 试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.~ 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年例2为了保护学，生的视力，教室内的口光灯在使用一段时间示必须更换.已知某校使用的100只【学示反思】课题：2.3.2方弄与标准寿检测案班级：—姓名：__________________ 学号：________ 第—学习小组【课堂检测】1. 数据90, 91, 92, 93的标准差是_____________________ .2. 一个样木屮，数据15和13各有4个，数据14有2个，求这个样本的平均数、方差和标准差（标准差保留两个有效数字）.3. 从两个班级各抽5名学生测量（身高单位：厘米）, 甲班的数据为：160, 162, 159, 160, 159；乙班的数据为：180, 160, 150, 150, 160. 试估计哪个班学生身高的波动小.【课后巩固】1.已知一个样本为8, 14, 12, 18,那么样木的方差是__________________ ；标准差是 ______ .2. 若心，忍,…，忍的方差是3,则2&—3）, 2伙2-3）,・・・，2伙g—3）的方差是______ .3. 甲乙两个学生参加夏令营的射击比赛，毎人射击5次，甲的环数分别是5, 9, 8, 10, 8；乙的环数是6,10, 5, 10, 9；问：(1)甲乙两人谁的命屮率高些？(2)谁的射击水平发挥得较稳定?(1) 哪台机床的次品数的平均数较小?(2) 哪台机床生产状况比较稳定？5.设一组数据的方差是SS将这组数据的每个数据都乘以10,所得的一组新数据的方差是■篠吊虧处M屯觉，宣雷採时道已依p 我们需要不断的学习，丰富我们的知识面，学到老，是我们良好的生活态度!。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.3.2 事件的独立性课时目标 理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．1．事件A 、B 独立：一般地，若事件A ，B 满足______________，则称事件A 、B 独立． 2．事件A 、B 独立的充要条件是____________．3．若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝________________.一、填空题1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人同时解出此题的概率为______．4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是______．6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．7．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．二、解答题9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率．10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．能力提升11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．12. 如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：开关A 1 A 2 A 3B 1 B 2 闭合的概率0.6 0.5 0.80.70.9求在这段时间内下列事件发生的概率： (1)由于B 1，B 2不闭合而线路不通； (2)由于A 1，A 2，A 3不闭合而线路不通； (3)线路正常工作．1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P (A )＝1－P (A )计算．2．3.2 事件的独立性答案知识梳理1．P (A |B )＝P (A ) 2．P (AB )＝P (A )P (B ) 3．P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 作业设计 1．0.56解析 设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，由题意知A 、B 相互独立， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.7＝0.56. 2.253．p (1－q ) 4.35解析 由题易知，全都是红球的概率为C 13C 15×C 12C 13＝25，故至少取到一个白球的概率是1－25＝35. 5.712解析 ∵P (A )＝12，P (B )＝16，∴P (A )＝12，P (B )＝56.又A 、B 为相互独立的事件，∴P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝12×56＝512.∴A 、B 中至少有一件发生的概率为1－P (A ·B )＝1－512＝712.6.13 23解析 设事件A ：“甲解决这道难题”，事件B ：“乙解决这道难题”， ∴A ，B 相互独立．∴两人都未能解决的概率为P (A B )＝(1－12)×(1－13)＝13.问题得到解决的概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB )＝1－P (A B )＝1－13＝23.7．1－(1－p )n解析 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p )n .应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .8.35192解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A ，在乙处不用停车为事件B ，在丙处不用停车为事件C ，则由已知得P (A )＝2560＝512，P (B )＝3560＝712，P (C )＝4560＝34，所以所求概率为P (ABC )＝P (A )P (B )·P (C )＝512×712×34＝35192.9．解 记P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.6.(1)事件“这名同学得300分”可表示为A B C ＋A BC ，所以P (A B C ＋A BC )＝P (A B C )＋P (A BC )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为A B C ＋A BC ＋ABC ，所以P (A B C ＋A BC ＋ABC )＝P (A B C ＋A BC )＋P (ABC )＝0.228＋P (A )P (B )P (C )＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.10．解 用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)没有人签约的概率为P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )·P (C )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝38. 11.370解析 加工出来的零件的正品率为(1－170)×(1－169)×(1－168)＝6770，所以次品率为1－6770＝370. 12．解 (1)记“开关B 1闭合”为事件B 1，“开关B 2闭合”为事件B 2，所以所求概率为 1－P (B 1B 2)＝1－P (B 1)·P (B 2)＝1－0.7×0.9＝0.37.(2)设“开关A i 闭合”为事件A i (i ＝1,2,3)，所求概率为 P (A1A2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.(3)所求概率为P (B 1B 2)[1－P (A 1A2A 3)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604 8.。

2.3.2 事件的独立性双基达标 限时15分钟1．已知A 、B 是相互独立事件，且P (A )＝12，P (B )＝23，则P (A B )＝________；P (A B )＝________.解析 P (A )＝12，∴P (A )＝12， P (B )＝1－P (B )＝13.∵A 、B 相互独立，∴A 与B ，A 与B 也相互独立，∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16， ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝16. 答案 16 162．下列事件A 、B 是相互独立事件的是________．①一枚硬币掷两次，事件A 表示“第一次为正面”，事件B 表示“第二次为反面” ②袋中有2白，2黑的小球，不放回的摸两球，事件A 表示“第一次摸到白球”，事件B 表示“第二次摸到白球” ③掷一枚骰子，事件A 表示“出现的点数为奇数”，事件B 表示“出现的点数为偶数” ④事件A 表示“人能活到20岁”，事件B 表示“人能活到50岁”答案 ①3．将一枚硬币连续抛掷5次，5次都出现正面朝上的概率是________．解析 每一次出现正面朝上的概率为12，且它们相互独立，所以P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132. 答案 132 4．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．解析 设该队员每次罚球的命中率为p (其中0＜p ＜1)，则依题意有1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1，因此有p ＝35.55．有一道数学难题，在半小时内甲能解决的概率是12，乙能解决的概率为13，两人试图独立地在半小时解决，则两人都未解决的概率为________． 解析 都未解决的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13. 答案 136．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5.三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率．解 设A k 表示“第k 人命中目标”，k ＝1,2,3.这里，A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝0.7，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为1－P (A 1·A 2·A 3)＝1－P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94.恰有两人命中目标的概率为P (A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3＋A 1·A 2·A 3)＝P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＋P (A 1·A 2·A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.∴至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44.综合提高 限时30分钟7．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．解析 设事件A 表示“甲选做第14题”，事件B 表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB ＋A B ”，且事件A 、B 相互独立∴P (AB ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. ∴甲、乙两名学生选做同一道题的概率为12.28．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率为________，三人中至少有一人达标的概率为________．解析 每个人是否达标是相互独立的，“三人中至少有一人达标”的对立事件为“三人均未达标”，设三人都达标为事件A ，三人中至少有一人达标为事件B ，则P (A )＝0.8×0.6×0.5＝0.24，P (B )＝1－0.2×0.4×0.5＝0.96.答案 0.24 0.969．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案 0.12810．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)． 解析 两项都不合格的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝35， ∴至少有一项合格的概率是1－35＝25. 答案 2511．某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．解 记“甲理论考核合格”为事件A 1，“乙理论考核合格”为事件A 2，“丙理论考核合格”为事件A 3，记事件A i 为A i 的对立事件，i ＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记C为事件C的对立事件，P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3＋A1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.12．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解记A i表示事件：电流能通过T i，i＝1,2,3,4.A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流．B表示事件：电流能在M与N之间通过．(1)A＝A1·A2·A3，A1，A2，A3相互独立，P(A)＝P(A1·A2·A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，p＝0.9.(2)B＝A4＋(A4·A1·A3)∪(A4·A1·A2·A3)P(B)＝P(A4)＋P(A4·A1·A3＋A4·A1·A2·A3)，＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.13．(创新拓展)甲、乙两人破译一密码，它们能破译的概率分别为13和14，试求： (1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率；(4)至多有一人能破译的概率；(5)若要使破译的概率为99%，至少需要多少乙这样的人？解 设事件A 为“甲能译出”，事件B 为“乙能译出”，则A 、B 相互独立，从而A 与B 、A 与B 、A 与B 均相互独立．(1)“两人都能译出”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )P (B )＝13×14＝112.(2)“两人都不能译出”为事件A B ，则 P (A B )＝P (A )P (B )＝[1－P (A )][1－P (B )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝12. (3)“恰有一人能译出”为事件A B ＋A B ，又A B 与A B 互斥，则P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝512. (4)“至多一人能译出”为事件A B ＋A B ＋A B ，且A B 、A B 、A B 互斥，故 P (A B ＋A B ＋A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝1112. (5)设至少需n 个乙这样的人，而n 个乙这样的人译不出的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ，故n 个乙这样的人能译出的概率为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ≈99%. 解得n ＝16.故至少需16个乙这样的人，才能使译出的概率为99%.。

2.3.2 事件的独立性学案（苏教版高中数学选修2-3）23.2事件的独立性事件的独立性学习目标1.了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题知识点一事件的独立性甲箱里装有3个白球.2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A“从甲箱里摸出白球”，事件B“从乙箱里摸出白球”思考1事件A发生会影响事件B发生的概率吗答案不影响思考2PA，PB，PAB的值为多少答案PA35，PB12，PAB3254310.思考3PAB与PA，PB有什么关系答案PABPAPB梳理事件独立的定义一般地，若事件A，B满足PA|BPA，则称事件A，B独立知识点二事件独立的性质思考1若A，B独立，PAB与PAPB相等吗答案相等因为PABPA|BPBPAPB思考2若A，B独立，那么A与B，A与B，A与B相互独立吗答案独立梳理事件独立的性质及PAB的计算公式性质1若A，B独立，且PA0，则B，A也独立，即A与B相互独立2约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是PABPAPB概率计算公式1若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即PABPAPB2推广若事件A1，A2，，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率PA1A2AnPA1PA2PAn结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A 与B，A与B也都相互独立1不可能事件与任何一个事件相互独立2必然事件与任何一个事件相互独立3如果事件A与事件B相互独立，则PB|APB4“PABPAPB”是“事件A，B相互独立”的充要条件类型一事件独立性的判断例1判断下列各对事件是不是相互独立事件1甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲.乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；2容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；3掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解1“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件2“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件3记A出现偶数点，B出现3点或6点，则A2,4,6，B3,6，AB6，所以PA3612，PB2613，PAB16，所以PABPAPB，所以事件A与B相互独立反思与感悟三种方法判断两事件是否具有独立性1定义法直接判定两个事件发生是否相互影响2公式法检验PABPAPB是否成立3条件概率法当PA0时，可用PB|APB判断跟踪训练1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下列两种情形，讨论A与B的独立性1家庭中有两个小孩；2家庭中有三个小孩考点相互独立事件的定义题点相互独立事件的判断解有两个小孩的家庭，男孩.女孩的可能情形为男，男，男，女，女，男，女，女，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A男，女，女，男，B男，男，男，女，女，男，AB 男，女，女，男，于是PA12，PB34，PAB12.由此可知PABPAPB，所以事件A，B不相互独立2有三个小孩的家庭，小孩为男孩.女孩的所有可能情形为男，男，男，男，男，女，男，女，男，男，女，女，女，男，男，女，男，女，女，女，男，女，女，女由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件于是PA6834，PB4812，PAB38，显然有PAB38PAPB成立，从而事件A与B是相互独立的类型二求相互独立事件的概率例2小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响求1这三列火车恰好有两列正点到达的概率；2这三列火车至少有一列正点到达的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率解用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件，则PA0.8，PB0.7，PC0.9，所以PA0.2，PB0.3，PC0.1.1由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.20.70.90.80.30.90.80.70.10.398.2三列火车至少有一列正点到达的概率为P21PABC1PAPBPC10.20.30.10.994.引申探究1在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率解恰有一列火车正点到达的概率为P3PABCPABCPABCPAPBPCPAPBPCPAPBPC0.80.30.10.20.70.10.20.30.90.092.2若一列火车正点到达计10分，用X表示三列火车的总得分，求PX20解事件“X20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以PX201PABC1PAPBPC10.80.70.90.496.反思与感悟明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为PA，PB，那么1A，B中至少有一个发生为事件AB.2A，B都发生为事件AB.3A，B都不发生为事件AB.4A，B恰有一个发生为事件ABAB.5A，B中至多有一个发生为事件ABABAB.跟踪训练2甲.乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14，求两人破译时，以下事件发生的概率1两人都能破译的概率；2恰有一人能破译的概率；3至多有一人能破译的概率考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率解记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”1两个人都破译出密码的概率为PABPAPB1314112.2恰有一人破译出密码分为两类甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即ABAB，PABABPABPABPAPBPAPB131********12.3至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，其概率为1PAB11121112.类型三相互独立事件的综合应用例3在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手1至5号登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手1求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；2X表示3号歌手得到观众甲.乙.丙的票数之和，求X的概率分布考点相互独立事件的性质及应用题点独立事件与概率分布解1设事件A表示“观众甲选中3号歌手”，事件B表示“观众乙选中3号歌手”，则PAC12C2323，PBC24C3535.因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为PABPAPBPA1PB2325415.或PABC12C34C23C354152设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则PCC24C3535，因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为PX0PABC132525475，PX1PABCPABCPABC2325251335251325352075415，PX2PABCPABCPABC2335252325351335351125，PX3PABC233535625.所以X的概率分布如下表X0123P4754151125625反思与感悟概率问题中的数学思想1正难则反灵活应用对立事件的概率关系PAPA1简化问题，是求解概率问题最常用的方法2化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系“所求事件”分几类考虑加法公式，转化为互斥事件还是分几步组成考虑乘法公式，转化为相互独立事件3方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程组，通过解方程组使问题获解跟踪训练3甲.乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格1分别求甲.乙两人考试合格的概率；2求甲.乙两人至少有一人考试合格的概率解1设甲.乙两人考试合格的事件分别为A，B，则PAC26C14C36C310602012023，PBC28C12C38C31056561202115.所以甲考试合格的概率为23，乙考试合格的概率为1415.2方法一因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人考试均不合格的概率为PABPAPB12311415145.则1PAB11454445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.方法二因为事件A，B相互独立，所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为PPABPABPABPAPBPAPBPAPB231151314152314154445.所以甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.1甲.乙两水文站同时做水文预报，若甲站.乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲.乙预报都准确的概率为________考点相互独立事件的定义题点独立事件与互斥事件的区别答案0.56解析PABPAPB0.80.70.56.2打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是_________________________________________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求两个独立事件同时发生的概率答案1425解析设事件A为“甲站预报准确”，事件B为“乙站预报准确”，P甲81045，P乙710，所以PP甲P乙1425.3甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________答案12解析设事件A为“从甲袋中任取一个球，取得白球”，事件B 为“从乙袋中任取一个球，取得白球”由题意得PA23，PA13，PB12，PB12，事件A与B相互独立，事件A与B相互独立从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为PABABPABPABPAPBPAPB2312131212.4在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________________考点相互独立事件同时发生的概率计算题点求多个独立事件同时发生的概率答案35192解析由题意知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34，则在这段道路上三处都不停车的概率P5127123435192.5甲.乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是________答案p11p2p21p1解析恰好有1人解决可分为甲解决乙没解决.甲没解决乙解决这两个事件显然是互斥的所以恰好有1人解决这个问题的概率为p11p2p21p11相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB概率公式A与B相互独立等价于PABPAPB若A与B互斥，则PABPAPB，反之不成立2.相互独立事件同时发生的概率PABPAPB，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.。

2．3.2 事件的独立性[对应学生用书P33]有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．问题2：试求P (A )，P (B )． 提示：P (A )＝35，P (B )＝12.问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？ 提示：相等．问题4：P (AB )为何值？ 提示：∵P (A |B )＝P (AB )P (B )＝P (A )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝310.事件的独立性1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率． 2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[对应学生用书P33][例1] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断．[精解详析] (1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立．(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}， 共有C 13·C 13＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝C 13C 13C 16C 16＝936＝14.∴P (AB )＝P (A )·P (B )， 即事件A 、事件B 相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．[例2] ，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析] 记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26. [一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：11124．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙)) ＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． 解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25·C 22C 25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.[例3] 900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X 的分布列．[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝111.∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －3)＝1011，(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝1－89×910×1011＝311.(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000. P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －3) ＝89×910×1011＝811， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝242990＝1145， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝27990＝3110. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为AB －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为AB －＋A －B ＋A －B －.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，25.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝910.答案：9107．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13，所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝23.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为ABC －，AB －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (ABC －＋AB －C ＋A －BC )＝P (ABC －)＋P (AB －C )＋P (A －BC )＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －)P (B )P (C )＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．。

事件的独立性教学目标：1知识目标：相互独立事件的定义，相互独立事件的概率的计算 2能力目标：会计算相互独立事件的概率3情感目标：培养学生的数学概率思维，团结互助的精神。

教学重点：相互独立事件的概率计算教学难点：理解辨别相互独立事件教学方法：分析引导教学过程：一：复习1、 随机事件，互斥事件有一个发生的概率的定义。

2、 随机事件，互斥事件有一个发生的概率的计算方法。

（学生回答，老师总结） 二：新课引入老师提问：小明和小强暑假准备出去旅游，小明去北京，小强去上海，小明能买到火车票的概率是0.7，小强能买到火车票的概率是0.8。

1、 小明能买到火车票与小强能买到火车票这两件事之间有没有相互影响？2、 如果要他们两个都买到火车票才能去旅游，问他们能去的概率是多少？在现实生活中这样的事件非常多，而我们需要去估计一些事件的发生可能性，才可以作出正确的判断，这对于我们来说非常重要，数学知识是用来解决实际问题的，我们一点要出生活中去发现问题，并总结出规律，反过来解决生活中的实际问题。

学生看教科书5分钟。

（老师提问）定义：1相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件交相互独立事件。

2相互独立事件的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的乘积，即P(A*B)=P(A)*P(B)。

3如果事件AB 相互独立，则事件A 与B 相互独立,事件A 与B 相互独立，B A 与事件相互独立。

学生说此题解题思路。

此题解析：设事件A 小明能买到火车票事件B 小强能买到火车票故事件A B 为相互独立事件而两个要同时买到火车票为相互独立事件同时发生即：P(A*B)=P(A)*P(B)=0.7*0.8=0.56 所以他们两个能去旅游的概率为0.56三：例题讲解例1、俗话说“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，这句话有没有道理呢？三个臭皮匠中的老大能独立解出一道数学题的概率是0.5，老二能独立解出一道数学题的概率是0.6，老三能独立解出一道数学题的概率是0.4，而诸葛亮能独立解出一道数学题的概率是0.8，问三个臭皮匠与诸葛亮能解出此题的概率那个大？【解析】设事件 A 老大独立解出一道数学题B 老二独立解出一道数学题C 老三独立解出一道数学题D 诸葛亮独立解出一道数学题故事件ABCD 是相互独立事件。

2.3.2 事件的独立性（理科）教学目标：1．理解两个事件相互独立的概念；2．能进行一些与事件独立有关的概率的计算．教学重点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．教学难点：理解事件的独立性，会求一些简单问题的概率．教学过程：一、问题情境1．情境：抛掷一枚质地均匀的硬币两次． 在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？2．问题：第一次出现正面向上的条件，对第二次出现正面向上的概率是否产生影响．二、学生活动设B 表示事件“第一次正面向上”，A 表示事件“第二次正面向上”，由古典概型知 P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝14， 所以P (A │B )＝()()P AB P B ＝12． 即P (A )＝P (A │B )，这说明事件B 的发生不影响事件A 发生的概率． 三、建构数学1．两个事件的独立性．一般地，假若事件A ，B 满足P (A │B )＝P (A )，则称为事件A ，B 独立．当A ，B 独立时，若P (A )＞0，因为P (A │B )＝()()P AB P B ＝P (A )，所以P (AB )＝P (A )P (B )，反过来P (B │A )＝()()P AB P A ＝P (B )，即B ，A 也独立．这说明A 与B 独立是相互的，此时事件A 和B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即P (AB )＝P (A )P (B )．（*） 若我们认为任何事件与必然事件相独立，任何事件与不可能事件相独立，那么两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．今后我们将遵循此约定．事实上，若B＝∅，则P(B)＝0，同时就有P(AB)＝0，此时不论A是什么事件，都有（*）式成立，亦即任何事件都与∅独立．同理任何事件也与必然事件Ω独立.2．n个事件的独立性可以推广到n(n＞2)个事件的独立性，且若事件A1，A2，…，A n相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1) P(A2)…P(A n)．3．独立与互斥．回顾：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．事实上，当P(A)＞0，P(B)＞0时，若A，B互斥，则AB＝∅，从而P(AB)＝0，但P(A) P(B)＞0，因而等式P(AB)＝P(A)P(B)不成立，即互斥未必独立．若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＞0，从而A，B不互斥（否则，P(AB)＝0，导致矛盾）．4．讨论研究．四、数学应用例1 求证：若事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立．结论 若事件A 与B 独立,则A 与B ，B 与A ，A 与B 都独立．例2 如下图，用X ，Y ，Z 三类不同的元件连接成系统N ．当元件X ，Y ，Z 都正常工作时，系统N 正常工作．已知元件X ，Y ，Z 正常工作的概率依次为0.80，0.90，0.90，求系统N 正常工作的概率P ．例3 加工某一零件共需两道工序，若第一、二道工序的不合格品率分别为3%，5%，假定各道工序是互不影响的，问：加工出来的零件是不合格品的概率是多少？思考 如果A 和B 是两个相互独立的事件，那么1－P (A )P (B )表示什么？2．练习：第62页练习第1，2，3题．五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．当A ，B 独立时，B ，A 也是独立的，即A 与B 独立是相互的．2．当A ，B(A │B )＝P (A )；P (B │A )＝P (B )；或P (AB )＝P (A )P (B )或A 事件的发生不影响事件B 的发生概率.2.3.2 事件的独立性（理科）作业1、下面说法正确的是A 互斥事件是独立事件B 独立事件是互斥事件C 两个非不可能事件不能同时互斥与独立D 若事件A 、B 互斥则A 与B 独立2、甲盒中有200个螺杆，其中有160个A 型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A 型的，现从甲、乙两盒中任取一个，则能配成A 型的概率为3、从甲袋内摸出1个白球的概率为31，从乙袋内摸出1个白球的概率为21，从两袋内各摸1个球，那么概率为65的事件是 4、甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p ，乙不能解出的概率为q ，则两人都能够解出此题的概率为5、一个学生通过一种英语能力测试的概率为21，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是6、两人同时向一敌机射击，甲的命中率为51，乙的命中率为41，则敌机被击中的概率 为7、在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为54和43，在同一时间内，求（1）甲、乙同时预报天气准确的概率（2）至少有一个气象台预报天气准确的概率8、某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券，奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动，如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码（2）恰有一次抽到某一指定号码（3）至少有一次抽到某一指定号码。

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2 事件的独立性1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．（难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．（重点）3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．（易错点)［基础·初探]教材整理事件的独立性阅读教材P59~P60，完成下列问题．1．事件的独立性的概念（1）概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P（A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A｜B)＝P（A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么（1）两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P（A）P（B)．（2）若事件A1，A2，…，A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率P（A1A2…A n)＝P(A1）P(A）…P（A n）．23．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立,那么A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也相互独立．1．下列说法正确的有________．（填序号)①对事件A和B，若P（B|A）＝P(B),则事件A与B相互独立；②若事件A，B相互独立，则P（错误!错误!）＝P（错误!）×P(错误!）;③如果事件A与事件B相互独立,则P（B|A)＝P(B）;④若事件A与B相互独立，则B与错误!相互独立．【解析】若P（B｜A）＝P（B)，则P（AB）＝P(A）·P(B)，故A,B相互独立,所以①正确;若事件A，B相互独立，则错误!,错误!也相互独立，故②正确；若事件A，B相互独立，则A 发生与否不影响B的发生，故③正确；④B与错误!相互对立，不是相互独立，故④错误．【答案】①②③2．甲、乙两人投球命中率分别为12,错误!,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________。