【国家自然科学基金】_existence and uniqueness_期刊发文热词逐年推荐_20140801

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2023011一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性张 敏,周文学,黎文博(兰州交通大学数理学院,兰州730070)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理研究一致分数阶时滞微分方程边值问题D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0解的存在性与唯一性.在非线性项满足增长性条件和L i p s c h i t z 条件下,分别得到了该边值问题解的存在性与唯一性结果,并举例说明所得结果的适用性.关键词:一致分数阶导数;时滞;边值问题;L e r a y -S c h a u d e r 度理论;B a n a c h 压缩映射原理中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-1007-07E x i s t e n c e a n dU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o rB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s o fC o n f o r m a b l eF r ac t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s Z H A N G M i n ,Z HO U W e n x u e ,L IW e n b o(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dP h y s i c s ,L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e rd e g r e et h e o r y a n d B a n a c h c o n t r a c t i o n m a p p i n g p r i n c i p l e ,w e s t u d i e dt h e e x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n sf o r b o u n d a r y va l u e p r ob l e m s o fc o n f o r m a b l e f r a c t i o n a lde l a y d if f e r e n t i a l e qu a t i o n s D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=0ìîíïïïï,w h e n t h en o n l i n e a r t e r ms a t i s f i e d t h e g r o w t hc o n d i t i o na n d t h eL i ps c h i t z c o n d i t i o n ,w eo b t a i n e d t h e r e s u l t s o f e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e mr e s p e c t i v e l y ,a n d g a v e a ne x a m p l e t o i l l u s t r a t e t h e a p p l i c a b i l i t y of t h e o b t a i n e d r e s u l t s .K e y w o r d s :c o n f o r m a b l e f r a c t i o n a l d e r i v a t i v e ;d e l a y ;b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m ;L e r a y -S c h a u d e r d e g r e e t h e o r y ;B a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i pl e 收稿日期:2023-01-04. 网络首发日期:2023-07-13.第一作者简介:张 敏(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事分数阶微分方程的研究,E -m a i l :m z h a n g 20222022@126.c o m.通信作者简介:周文学(1976 ),男,汉族,博士,教授,从事非线性分析问题的研究,E -m a i l :w x z h o u 2006@126.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11961039;11801243)和兰州交通大学校青年科学基金(批准号:2017012).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230713.1056.001.h t m l .Copyright ©博看网. All Rights Reserved.0 引 言分数阶微分方程的边值问题是分数阶微分系统理论的重要课题.目前,对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富成果,其中最主要的是基于R i e m a n n -L i o u v i l l e 和C a p u t o 分数阶导数的定义[1-9].但这两种导数均不满足经典链式法则,并且这两种导数的某些性质使得分数阶导数的应用很困难.因此,K h a l i l 等[10]提出了一种新的分数阶导数和分数阶积分的定义,称为一致分数阶导数和积分.这种新的分数阶导数的定义可满足经典的分数阶导数不能满足的一些性质,如乘积法则㊁商法则㊁链式法则㊁罗尔定理和中值定理等,并且其在生物物理学㊁电容理论㊁控制理论和实验数据拟合等领域应用广泛[11-13].但对带有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究目前报道较少[14-16].Y a n g 等[17]利用S c h a e f e r 不动点定理和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题cD α0+u (t )=f (t ,u (t ),u ᶄ(t )),u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)={正解的存在性,其中0<t <1,1<αɤ2,f :[0,1]ˑ[0,+ɕ)ˑℝң[0,+ɕ)是连续函数,c D α0+是α阶C a p u t o 分数阶导数.X u [18]利用B a n a c h 压缩映射原理㊁L e r a y -S c h a u d e r 度理论和K r a s n o s e l s k i i s 不动点定理研究了一类分数阶微分方程边值问题cD q x (t )=f (t ,x (t )), t ɪ[0,1],x (1)=μʏ1x (s )d s , x ᶄ(0)+x ᶄ(1)={解的存在唯一性,其中1<q <2,f :[0,1]ˑX ңX 是连续函数,c D q 是q 阶C a p u t o 分数阶导数.基于上述研究,本文利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论和B a n a c h 压缩映射原理考虑如下一类一致分数阶时滞微分方程边值问题:D β0+u (t )=f (t ,u (t -τ)), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0, u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïï0(1)解的存在性与唯一性,其中1<βɤ2,τ>0,f :[0,1]ˑℝңℝ是连续函数,D β0+是阶数为β的一致分数阶导数.1 预备知识定义1[10] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶导数定义为D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε, t >0,(2)其中β是大于等于β的最小整数.式(2)右端极限存在,此时称函数f 是β阶可微的.特别地,当βɪ(1,2]时,D βf (t )=l i m εң0f ᶄ(t +εt 2-β)-f ᶄ(t )ε, t >0.(3) 注1 如果函数f 在(0,b )(b >0)上是β阶可微的,并且l i m t ң0+D βf (t )存在,则D βf (0)=l i m t ң0+D βf (t).注2 由一致分数阶导数定义可知,当β=1时,一致分数阶导数定义即为传统的一阶导数定义.引理1[10] 当βɪ(n ,n +1]并且f 在t >0处n +1阶可微时,有D βf (t )=t β⌉-βf(β⌉)(t ).(4) 证明:令k =εt β⌉-β,则ε=t β-β⌉k ,因此由定义1可得D βf (t )=l i m εң0f (β⌉-1)(t +εt β⌉-β)-f (β⌉-1)(t )ε=l i m k ң0t β⌉-βf (β⌉-1)(t +k )-f (β⌉-1)(t )k=t β⌉-βf (β⌉)(t ). 定义2[19]假设函数f :[0,ɕ)ңℝ,则f 的βɪ(n ,n +1]阶一致分数阶积分定义为8001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.I βf (t )=1n!ʏt 0(t -s )n s β-n -1f (s )d s .(5)特别地,当βɪ(1,2]时,I βf (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s )d s .引理2[19] 假设函数f :[0,ɕ)ңℝ连续,并且βɪ(n ,n +1],则有D βI βf (t )=f (t ).(6) 引理3[19]假设f :[0,ɕ)ңℝ是β阶可微函数,并且βɪ(n ,n +1],则有I βD βf (t )=f (t )+a 0+a 1t + +a nt n ,(7)其中a i ɪℝ,i =0,1,2, ,n .引理4 设函数f :[0,1]ˑℝңℝ是连续的,u (t )是边值问题(1)的解,则u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],(8)其中格林函数G (t ,s)为G (t ,s )=(1-s )(2-t )sβ-2,0ɤs ɤt ɤ1,(1-t )(2-s )sβ-2,0ɤt ɤs ɤ1{.(9) 证明:由引理3知,有u (t )=I β0+f (t ,u (t -τ))-a 0-a 1t =ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 0-a 1t ,(10)从而u ᶄ(t )=ʏts β-2f (s ,u (s -τ))d s -a 1.根据u (0)+u ᶄ(0)=0,有a 0+a 1=0;(11)根据u (1)+u ᶄ(1)=0,有a 0+2a 1-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =0.(12)结合式(11),(12)可得a 0=-ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s , a 1=ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s .(13)将式(13)代入式(10)可得u (t )=ʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s -t ʏ1(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏt 0(1-s )(2-t )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ1t(1-t )(2-s )sβ-2f (s ,u (s -τ))d s =ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s . 引理5(A r z e l a -A s c o l i 定理)[20] 集合P ⊂C ([a ,b ])列紧的充分必要条件为:1)集合P 有界,即存在常数ψ,使得对∀u ɪP ,有u (t )ɤψ(∀t ɪ[a ,b ]);2)集合P 等度连续,即对∀ε>0,始终存在σ=σ(ε)>0,使得对于∀t 1,t 2ɪ[a ,b ],只要t 1-t 2<σ,即有u (t 1)-u (t 2)<ε(∀u ɪP ).2 主要结果设A 为C ([-τ,1],ℝ)按范数 u =m a x t ɪ[-τ,1]u (t )构成的B a n a c h 空间,在A 上定义一个算子Q ,Q u (t )=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0]{. 假设条件:(H 1)函数f ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),并且φɪC ([-τ,0],ℝ);9001 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(H 2)存在常数α,B >0,使得∀(t ,u )ɪ[0,1]ˑℝ,有f (t ,u )ɤαu +B ;(H 3)存在函数η(t )ɪL 1/2([0,1],ℝ+),使得∀t ɪ[0,1],当任取u ,v ɪℝ时,有f (t ,u )-f (t ,v )ɤη(t )u -v ,其中 η =ʏ10η2(s )d ()s 1/2.为方便,引入记号:Λ1=β+2β(β-1),Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3),Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3),32<βɤ2.定理1 如果条件(H 1)和(H 2)成立,并且αɪ(0,Λ-11),则边值问题(1)至少存在一个解.证明:由函数G (t ,s ),f (s ,u (s -τ))的连续性可知算子Q 是连续的,并且易证Q (A )⊂A .设P 是A 中的一个有界集,则存在常数M >0,使得对任意的u ɪP ,有 u ɤM .下面利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明边值问题(1)正解的存在性,分以下3个步骤.1)证明算子Q (P )是一致有界的.对任意的u ɪP ,有Q u (t)=ʏ10G (t ,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t ,s )d s ɤ(αM +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt(t -s )s β-2d []s =(αM +B )β+1β(β-1)(1-t )+1β(β-1)㊃t éëêêùûúúβɤ(αM +B )β+1β(β-1)+1β(β-1éëêêùûúú)=(αM +B )Λ1,因此,算子Q (P )是一致有界的.2)证明算子Q (P )是等度连续的.对任意的u ɪP ,t 1,t 2ɪ[-τ,1]且t 1<t 2:①当0ɤt 1<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)=ʏ10G (t 2,s )f (s ,u (s -τ))d s -ʏ1G (t 1,s )f (s ,u (s -τ))d s ɤʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ɤ(αu +B )ʏ10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s ɤ (αM +B )ʏt 10G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏt 2t 1G (t 2,s )-G (t 1,s )d s +ʏ1t 2G (t 2,s )-G (t 1,s )d []s = (αM +B )ʏt 10{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+[(t 2-s )s β-2-(t 1-s )s β-2]}d s + (αM +B )ʏt 2t 1{[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]+(t 2-s )s β-2}d s + (αM +B )ʏ1t 2[(2-s )(1-t 2)s β-2-(2-s )(1-t 1)s β-2]d s =(αM +B )ʏt 10(t 1-t 2)(2-s )s β-2d s +ʏt 10(t 2-t 1)s β-2d s +ʏt 2t 1(t 1-t 2)(2-s )s β-2d [s + ʏt 2t 1(t 2-s )s β-2d s +ʏ1t 2(t 1-t 2)(2-s )s β-2d ]s ɤ(αM +B )(t β2-t β1)-(β+1)(t 2-t 1)β(β-1); ②当-τɤt 1<t 2ɤ0时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤφ(t 2)-φ(t 1);③当-τɤt 1<0<t 2ɤ1时,有Q u (t 2)-Q u (t 1)ɤQ u (t 2)-Q u (0)+Q u (0)-Q u (t 1)ɤʏ10G (t 2,s )-G (0,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )ʏ10G (t 2,s )d s +φ(0)-φ(t 1)ɤ0101 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(αM +B )t β2β(β-1)+φ(0)-φ(t 1)ɤ(αM +B )t β2-t β1β(β-1)+φ(0)-φ(t 1). 在上面3种情形中,当t 1ңt 2时,总有Q u (t 2)-Q u (t 1)ң0,表明Q (P )是等度连续的.故由引理5可知,Q (P )是列紧的,从而算子Q :A ңA 是全连续的.3)利用L e r a y -S c h a u d e r 度理论证明问题(1)正解的存在性.定义范数 φ [-τ,0]=m a x t ɪ[-τ,0]φ(s ).假设当γɪ[0,1],u ɪA 时,u =γQ u ,则u (t )=γQ u (t )ɤQ u (t)ɤʏ10G (t ,s )㊃f (s ,u (s -τ))d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤʏ10G (t ,s )(αu +B )d s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(αu +B )ʏ10(2-s )(1-t )s β-2d s +ʏt 0(t -s )s β-2d []s ,t ɪ[0,1],φ(t ),t ɪ[-τ,0{],ɤ(α u +B )Λ1,t ɪ[0,1], φ [-τ,0],t ɪ[-τ,0{],从而 u ɤB Λ11-αΛ1 φìîíïïïɤT .令ω=T +1,B ω={u ɪA : u <ω},则u ʂγQ u ,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].定义一个映射:F γ(u )=u -γQ u ,则F γ(u )=u -γQ u ʂ0,对任意的u ɪ∂B ω,γɪ[0,1].因此,由L e r a y -S c h a u d e r 度的同伦不变性,有d e g (F γ,B ω,θ)=d e g (I -γQ ,B ω,θ)=d e g (F 1,B ω,θ)=d e g (F 0,B ω,θ)=d e g (I ,B ω,θ)=1ʂθ.从而根据L e r a y -S c h a u d e r 度的可解性可知,方程F 1(u )=u -Q u =0在B ω上至少存在一个解,进而边值问题(1)至少有一个正解.证毕.定理2 如果条件(H 1)和(H 3)成立,并且 η (Λ2+Λ3)<1,则边值问题(1)存在唯一解.证明:假设s u p t ɪ[0,1]f (t ,0)=ζ<ɕ.定义B δ={u ɪA : u ɤδ}为A 中的有界闭球,并选择δȡζΛ11- η (Λ2+Λ3).下面利用B a n a c h 压缩映射原理证明边值问题(1)解的存在唯一性,分以下两个步骤.1)证明Q (B δ)⊂B δ.对任意的u ɪB δ,有Q u (t)ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))d s ɤʏt 0(t -s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2[f (s ,u (s -τ))-f (s ,0)+f (s ,0)]d s ɤ u ʏt(t -s )s β-2η(s )d s +ζʏt(t -s )s β-2d s +u (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s +ζʏ10(1-t )(2-s )s β-2d s ɤ u ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+ζβ(β-1)t β+ u (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d []s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤ1101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η t β-1/2+ζβ(β-1)t β+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u η (1-t )+(β+1)ζβ(β-1)(1-t )ɤδ η (Λ2+Λ3)+ζΛ1,则 Q u ɤδ.表明算子Q 将B δ中的有界子集映为B δ中的有界子集,即Q (B δ)⊂B δ.2)证明算子Q 为压缩映射.对任意的u ,v ɪA :①当t ɪ[0,1]时,有Q u (t )-Qv (t )ɤʏt 0(t -s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s +ʏ10(1-t )(2-s )s β-2f (s ,u (s -τ))-f (s ,v (s -τ))d s ɤ u -v ʏt(t -s )s β-2η(s )d s + u -v (1-t )ʏ10(2-s )s β-2η(s )d s ɤu -v ʏt(t s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏtη2(s )d ()s 1/2+u -v (1-t )ʏ10(2s β-2-s β-1)2d ()s 1/2ʏ10η2(s )d ()s 1/2ɤ1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ ηt β-1/2+2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3) u -v ㊃ η (1-t )ɤ η (Λ2+Λ3) u -v ; ②当t ɪ[-τ,0]时,有Q u (t )-Q v (t )=φ(t )-φ(t )=0.由①,②可得Q u -Q v [-τ,1]ɤ η (Λ2+Λ3) u -v [-τ,1]. 因为 η (Λ2+Λ3)<1,所以算子Q 为压缩映射.即由B a n a c h 压缩映射原理可知算子Q 存在唯一的不动点,故边值问题(1)存在唯一解.3 应用实例考虑下列一致分数阶时滞微分方程边值问题:D 7/40+u (t )=e -3t s i n 1/2t 5(2+t )2㊃u (t -τ)1+u (t -τ), t ɪ[0,1],u (t )=φ(t ), t ɪ[-τ,0],u (0)+u ᶄ(0)=0,u (1)+u ᶄ(1)=ìîíïïïïïï0(14)解的存在性与唯一性.证明:在边值问题(14)中,β=74,函数f (t ,u (t ))=e -3t s i n 1/2t 5(2+t)2㊃u 1+u 是连续的,满足条件(H 1);对任意的u ,v ɪℝ,t ɪ[0,1],有f (t ,u (t -τ))-f (t ,v (t -τ))ɤe -3t s i n 1/2t 5(2+t )2u -v ɤe -3t s i n 1/2t ㊃u -v .所以存在η(t )=e -3t s i n 1/2t ɪL 1/2([0,1],ℝ+),满足条件(H 3),且 η =0.1667.又因为Λ2=1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ1.0328, Λ3=2β2-β+1(β-1)(2β-1)(2β-3)ʈ2.3944.所以 η (Λ2+Λ3)ʈ0.5713<1.因此根据定理2可知,边值问题(14)存在唯一解.2101 吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.参考文献[1] K I Y AM E H RZ ,B A G HA N I H.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n so fB V P sf o rF r a c t i o n a lL a n g e v i n E q u a t i o n sI n v o l v i n g C a p u t oF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e s [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dA n a l ys i s ,2021,27(1):47-55.[2] Z O U Y M ,H EGP .O n t h eU n i q u e n e s s o f S o l u t i o n s f o r aC l a s s o f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,2017,74:68-73.[3] J O N G K S ,C HO I H C ,R IY H.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n so faC l a s so f M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s f o r p -L a p l a c i a nF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hS i n g u l a rS o u r c eT e r m s [J ].C o mm u n i c a t i o n s i n N o n l i n e a r S c i e n c e a n dN u m e r i c a l S i m u l a t i o n ,2019,72:272-281.[4] C U IYJ ,MA WJ ,S U N Q ,e t a l .N e w U n i q u e n e s sR e s u l t s f o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e mo f F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].N o n l i n e a rA n a l y s i s :M o d e l l i n g an dC o n t r o l ,2018,23(1):31-39.[5] L IY H ,Y A N G H J .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r N o n l i n e a rF o u r -P o i n tC a p u t oF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E q u a t i o nw i t h p -L a p l a c i a n [J ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,2017,2017:75-1-75-15.[6] A HMA DB ,N T O U Y A SSK ,Z HO U Y ,e t a l .AS t u d y o fF r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s a n d I n c l u s i o n sw i t h N o n l o c a l E r d él y i -K o b e rT y p eI n t e g r a lB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i no ft h eI r a n i a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y ,2018,44(5):1315-1328.[7] X U ET T ,L I U W B ,Z HA N G W.E x i s t e n c eo fS o l u t i o n sf o rS t u r m -L i o u v i l l eB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so f H i g h e r -O r d e rC o u p l e d F r a c t i o n a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sa tR e s o n a n c e [J ].A d v a n c e si n D i f f e r e n c e E q u a t i o n s ,2017,2017:301-1-301-18.[8] L IY H ,Q I A B .E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n sf o r M u l t i -p o i n tB o u n d a r y V a l u eP r o b l e m so fC a p u t o F r a c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n [J ].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o fD y n a m i c a l S y s t e m s a n dD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2017,7(2):169-183.[9] S E V I N I K A D I G ÜZ E LR ,A K S O Y Ü,K A R A P I N A R E ,e ta l .O nt h eS o l u t i o no faB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m A s s oc i a t ed w i t ha F r a c t i o n a lD i f fe r e n t i a lE q u a t i o n [J /O L ].M a t h e m a t i c a l M e t h o d si nt h e A p pl i e d S c i e n c e s ,(2020-06-23)[2022-09-13].h t t p s ://d o i .o r g/10.1002/mm a .6652.[10] K HA L I LR ,A lHO R A N I M ,Y O U S E F A ,e ta l .A N e w D e f i n i t i o no fF r a c t i o n a lD e r i v a t i v e [J ].J o u r n a lo f C o m p u t a t i o n a l a n dA p pl i e d M a t h e m a t i c s ,2014,264:65-70.[11] I Y I O L A OS ,T A S B O Z A N O ,K U R T A ,e t a l .O n t h eA n a l y t i c a l S o l u t i o n s o f t h e S y s t e mo f C o n f o r m a b l eT i m e -F r a c t i o n a lR o b e r t s o nE q u a t i o n sw i t h1-DD i f f u s i o n [J ].C h a o s ,S o l i t o n s&F r a c t a l s ,2017,94:1-7.[12] Z HO U H W ,Y A N GS ,Z HA N GSQ.C o n f o r m a b l eD e r i v a t i v eA p p r o a c ht oA n o m a l o u sD i f f u s i o n [J ].P h y s i c a A :S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p pl i c a t i o n s ,2018,491:1001-1013.[13] H ESB ,S U N K H ,M E IX Y ,e ta l .N u m e r i c a lA n a l y s i so fa F r a c t i o n a l -O r d e rC h a o t i cS y s t e m B a s e do n C o n f o r m a b l eF r a c t i o n a l -O r d e rD e r i v a t i v e [J ].T h eE u r o p e a nP h y s i c a l J o u r n a l P l u s ,2017,132:36-1-36-11.[14] L IY N ,S U N S R ,Y A N G D W ,e ta l .T h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s o f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD e l a y [J /O L ].B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m s ,(2013-02-22)[2022-08-25].h t t ps ://d o i .o r g/10.1186/1687-2770-2013-38.[15] HA N Z L ,L I Y N ,S U I M Z .E x i s t e n c e R e s u l t sf o r B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m so f F r a c t i o n a lF u n c t i o n a l D i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hD e l a y [J ].J o u r n a l o fA p p l i e dM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t i n g,2016,51(1/2):367-381.[16] L IM M ,WA N GJR.F i n i t eT i m eS t a b i l i t y o fF r a c t i o n a lD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s [J ].A p pl i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s ,2017,64:170-176.[17] Y A N G X ,W E IZL ,D O N G W.E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o r t h eB o u n d a r y Va l u eP r ob l e m o fN o n l i n e a r F r ac t i o n a lD i f f e r e n t i a lE qu a t i o n s [J ].C o mm u n i c a t i o n si n N o n l i n e a rS c i e n c ea n d N u m e r i c a lS i m u l a t i o n ,2012,17(1):85-92.[18] X U YF .F r a c t i o n a l B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m sw i t h I n t e g r a l a n dA n t i -p e r i o d i cB o u n d a r y C o n d i t i o n s [J ].B u l l e t i n o f t h eM a l a y s i a n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e sS o c i e t y,2016,39(2):571-587.[19] A B D E L J AWA D T.O nC o n f o r m a b l e F r a c t i o n a l C a l c u l u s [J ].J o u r n a l o f C o m p u t a t i o n a l a n dA p p l i e dM a t h e m a t i c s ,2015,279:57-66.[20] 许天周.应用泛函分析[M ].北京:科学出版社,2002:67-72.(X U T Z .A p p l i e dF u n c t i o n a lA n a l ys i s [M ].B e i j i n g :S c i e n c eP r e s s ,2002:67-72.)(责任编辑:赵立芹)3101 第5期张 敏,等:一致分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

2010年度“国家精品课程”申报表（本科）推 荐 单 位 杭州电子科技大学所 属 学 校 杭州电子科技大学 （是否部属）课 程 名 称 概率论与数理统计课程类型■ 理论课（不含实践）□理论课（含实践）□实验(践)课所属一级学科名称 理 学所属二级学科名称 数 学课 程 负 责 人 沈 灏申 报 日 期 2010年5月17日中华人民共和国教育部制二○一○年三月填 写 要 求一、以word文档格式如实填写各项。

二、表格文本中外文名词第一次出现时，要写清全称和缩写，再次出现时可以使用缩写。

三、涉密内容不填写，有可能涉密和不宜大范围公开的内容，请在说明栏中注明。

四、除课程负责人外，根据课程实际情况，填写1～4名主讲教师的详细信息。

五、本表栏目未涵盖的内容，需要说明的，请在说明栏中注明。

1． 课程负责人情况姓 名 沈灏 性 别 女 出生年月 1958年2月最终学历 研究生 职 称 副教授 电 话 135****6081学 位 博士职 务 数学系副主任传 真 86915159 所在院系 理学院信息与数学科学系E-mail *****************通信地址（邮编） 杭州下沙高教园区杭州电子科技大学理学院（310018） 1-1 基本 信息研究方向概率统计、运筹学组合优化1-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计，基础课，3学时/周，5届，学生总数约1200人 数学建模，公共课，3学时/周，5届，学生总数约3600人运筹与优化，专业基础课，3学时/周，5届，学生总数约650人 实践性教学：数学建模课程设计，每年约200人，5年总人数约1000人 毕业设计，5年共30人 主持教学研究课题：开放式教学模式与创新能力培养的研究与实践，杭州电子科技大学高教研究项目，2005.05-2006.12 教学研究论文：沈灏，数学课开放式教学模式的研究与实践，中国教育学报，2007年第6期，总第38期 教学表彰：2007年度学校教学杰出奖 1-3 学术 研究参加的科研项目:[1] 带有随机因素的若干排序问题研究，浙江省教育厅科技项目，2005.07-2007.12，主持[2] 互连网络中若干优化问题研究,国家自然科学基(10371028), 2004.01 -2006.12,17万,排名第四[3] 互连网络中的优化问题,省教育厅重点项目(20030622),03.09-06.12,5万,排名第二学术论文：[1] 沈灏. 基于累计按期完工概率增量的一个排序算法,杭州电子科技大学学报25(6),2005[2] 魏小兰,沈灏. 窗时排序的计算机搜索算法,杭州电子科技大学学报26(4),2006[3] 俞一,沈灏,背包问题的一个k 阶优化遗传算法,杭州电子科技大学学报27(4),2007[4] 叶赛英,沈灏,魏小兰,机器带故障的两台机排序问题的一个近似算法, 杭州电子科技大学学报 28(2),2008[5] 可能产生中断且考虑运输的两台平行机排序问题,浙江大学学报36(2),2009课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课 课程负责人：主持本门课程的主讲教师姓 名陈建兰性 别女出生年月 1966.06 最终学历 研究生 职 称副教授电 话 130****6030学 位 硕士 职 务无 传 真 无 所在院系 理学院信息与数学科学系 ********************.cn通信地址（邮编）杭州电子科技大学理学院（310018）2⑴-1 基本信息 研究方向应用数学、概率论与数理统计2⑴-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：高等数学（甲），基础课，5/周，4届，学生总人数499人 高等数学（乙），基础课，5/周（3/周），1届，学生总人数118人 概率论与数理统计，基础课，3/周，3届，学生总人数365人 概率论，基础课，2/周，1届，学生总人数80人实践性教学：数学实验，专业课，2/周，3届，学生总人数371人 C 语言程序设计实习，1/周，3届，学生总人数329人毕业论文，20人教学研究论文：[1] 《概率论与数理统计教学改革的探讨》 杭州电子科技大学学报（社会科学版），第一作者（三人），2005.6[2] 《在数值分析课程中开展学生实践能力培养的研究》，中国高等教育论丛，第一作者（两人），2008.9 [3] 《关于数学实验的教学研究》，中国高等教育论丛，独著，2010.3 2⑴-3学术研究参加的科研项目:[1] 神经网络在矿井水净化处理中的应用，横向课题，07.12—09.12，负责人学术论文：[1] 数据包络分析在矿井水淡化处理中的应用，杭州电子科技大学学报，第一/共两人,2007.02 [2] 基于船体放样的三角Bézier 曲线的逼近.杭州电子科技大学学报.第一/共两人，2009.01 [3] 神经网络在矿井水净化处理中的应用. 杭州电子科技大学学报, 第二/共两人，2009.01[4] 多元统计分析在矿井水淡化处理中的应用. 杭州电子科技大学学报,独著，2009.08[5] C-Bézier 曲线的双圆弧逼近，杭州电子科技大学学报,独著，2010.02 课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名程宗毛 性 别 男 出生年月 1964.6.8 最终学历 研究生职 称 副教授电 话 153****3859学 位博士职 务传 真所在院系 理学院信息与数学科学系 *********************通信地址（邮编） 杭州市三墩镇城北商贸圆29幢北二单元402室1-1 基本 信息研究方向概率论 随机过程 数理金融 计算网络1-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计，专业课，6/周，5届，学生总人数1200人 数学建模，公共课，6/周，5届，学生总人数5400人 随机过程，专业课，3/周，1届，学生总人数77人 金融数学，专业课，3/周，2届，学生总人数120人 时间序列分析，专业课，2/周，2届，学生总人数60人实践性教学：数学建模课程实践，专业课，2/周，5届，学生总人数750人 毕业论文，40人1-3 学术 研究参加的科研项目:[1] 因果过程和非因果过程的样本轨道性质，国家自然基金NSFC(10901138),10.1—12.12排名第三[2] 非高斯过程样本理论中极限定理，国家自然基金（10571159），06.1-09.1（已结题），排名第四[3] 模糊n-cell 数空间理论及在遥感土地覆盖分类中应用方法研究，浙江省自然基金(Y7080044). 09.1-11.1,排名第三学术论文：[1] Zong-mao Cheng, Zheng-yan Lin ，Some results on fractional Brownian sheets andtheir local times, Acta Mathematica Applictae Sinica, English Series 24(4) 669-676 (2008)[2] Zheng-yan Lin, Zong=mao Cheng (corresponding auther.), Existence and jointcontinuity of local time of multiparameter fractional l e vy processes, Applied mathematics and mechanics 30(3), 381-390 (2009) [3] Zong-mao Cheng, Xiu-yun Wang, Zheng-yan, Results on local times of a class ofmultiparameter Gaussian processes, Acta Mathematica Applictae Sinica, English Series 24(4) 81-90 (2006) [4] Zheng-yan Lin, Zong-mao Cheng (corresponding auther.), Maximal speed of particalin super-levy process, Applied mathematics and mechanics 29(4), 517-526 (2008) [5] Zheng-yan Lin, Zong-mao Cheng (corresponding auther.) Hausdorff dimension ofset generated by exceptional oscillations of a class of N-parameter Gaussian process, Applied mathematics and mechanics 28(2 ), 237-246 (2007)课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名吕亚召性 别 男出生年月 1980年7月最终学历 硕士 职 称讲师电 话 86919035学 位 研究生 职 务 教师 传 真 所在院系 理学院信息与数学科学系******************.cn 通信地址（邮编） 杭州电子科技大学理学院(310018) 2⑷-1 基本信息 研究方向非参数、半参数统计2⑷-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：概率论与数理统计(公共课)、3/周、5届、 人数:1286 数理统计(专业课)、3/周、4届、人数：245 信息科学基础(专业课)、3/周、3届、人数：330 概率论(专业课)、3/周、1届、人数：85 SPSS 统计分析软件（公共课）、2/周、2届、人数：80实践性教学： SAS 软件实习：4届，总人数247毕业设计：2届、共5人教学表彰：2008年获杭州电子科技大学 青年教师教学技能比赛特等奖2⑷-3 学术 研究学术论文：[1] Statistical inference for the index parameter in single-index models, Journal ofMultivariate Analysis 2010 (101) P1026-1041.署名第三课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课姓 名赵月旭性 别 男出生年月 1976.1 最终学历 研究生职 称 副教授 电 话 学 位 硕士 职 务传 真所在院系 理学院********************.cn通信地址（邮编） 杭州电子科技大学理学院（310018） 2⑷-1 基本信息 研究方向 概率极限理论、随机过程轨道的渐近性质2⑷-2 教学 情况近五年来讲授的主要课程：05-06学年：高等数学、概率论，8节/周， 580人06-07学年：高等数学、概率论与数理统计、概率论， 11节/周， 800人 07-08学年：概率论与数理统计、高等数学、人口数学，11节/周， 550人08-09学年：概率论与数理统计， 6节/周， 490人 09-10学年：概率论与数理统计， 6节/周， 400人2⑷-3 学术研究承担项目：[1] 基于T-S 模型的连续非线性系统和随机系统的分析和设计, 国家自然科学基金，2010.1-2012.12，4/9.[2] 完全重构过采样滤波器组鲁棒优化设计的框架理论及应用, 国家自然科学基金, 2007.1-2010.12，4/8.[3] 两类相依变量的精确收敛速度, 浙江省教育厅自然科学基金，2006.7-2007.12，1/6.学术论文：[1] Y. Zhao. Precise rates in complete moment convergence for ρ-mixing sequences. J.Math. Anal. Appl., (339), 2008: 553-565.[2] Y. Zhao, J. Tao. Precise asymptotics in complete moment convergence forself-normalized sums. Comput. Math. Appl., (56), 2008:1779-1786.[3] Y. X. Zhao, Z. H. Ma. Conditional entropy of partitions on quantum logic. Commun. Theor. Phys., (48), 2007: 11-13. [4] Y. Zhao. Convergence rates in Log laws for NA sequences. Disc. Dyn. Nat.Soc .,2007: 1-11.[5] Y. Zhao. Some asymptotics in the law of the iterated logarithm. Bull. Braz. Math.Soc., 37(3), 2006:377-391.获奖情况：[1] 混合相依变量大数律及矩的精确渐近性，浙江省高校科研成果三等奖，1/1,2009.[2] NA 序列部分和完全收敛性的进一步探讨,浙江省自然科学优秀论文二等奖,1/1,2007.[3] 可交换随机变量序列部分和的完全收敛性,浙江省自然科学优秀论文三等奖,1/1,2005. 课程类别：公共课、基础课、专业基础课、专业课3. 教学队伍情况姓名 性别出生年月 职称学科专业在教学中承担的工作沈灏 女 58年2月 副教授 运筹学组合优化主讲 陈建兰 女 66年6月 副教授 应用数学 主讲 程宗毛 男 64年8月 副教授 概率统计 主讲 吕亚召 男 80年7月 讲师 概率统计 主讲 赵月旭 男 76年1月 副教授 概率统计 主讲 孙伟良 男 63年11月讲师 概率统计 主讲 吴明女 61年7月 副教授 基础数学 主讲 洪世煌 男 62年7月 教授 应用数学 主讲 郑静 女 70年10月讲师 概率统计 主讲 黄霞 女 76年5月 讲师 应用数学 主讲 赵叶华 女 78年10月讲师 基础数学 主讲 唐军民 男 74年8月 讲师 概率统计 主讲 宫改云 女 78年1月 讲师 计算数学 主讲 刘建贞 女 79年1月 讲师 运筹学 主讲 覃森 男 78年4月 讲师 应用数学 主讲 杨建芳 女 78年11月讲师 运筹学 主讲 3-1人员 构成（含外 聘教师）王杰峰男78年9月 讲师基础数学主讲3-2教学队 伍整体 结构 教学队伍的知识结构、年龄结构、学缘结构、师资配置情况（含辅导教师或实验教师与学生的比例）教学队伍中具有副高以上职称教师5人,占总人数35%,具有博士学位教师7人,占总人数41%,目前正在在职攻读博士学位教师2人。

2016年国家自然科学基金史可鉴自然科学基金，是由国家自然科学基金委员会设立和管理的一项用于支持基础科学研究的专项基金。

国家自然科学基金的设立旨在鼓励和支持我国基础科学研究的发展，为科研人员提供更多的研究资金和支持，推动我国科学技术水平的提高，促进科技创新，对于推动国家的科技发展和提高科学技术水平有着重要的意义。

2016年国家自然科学基金史可鉴，是我国科研领域的一件大事。

这一年，国家自然科学基金的申请和评审工作严格按照《国家自然科学基金管理条例》的规定进行，充分体现了科学、公正、合理和开放的原则，实现了科学研究资金的公平分配，促进了科学技术的良性发展。

在此次基金评审中，有众多优秀的科研项目获得了资助，涵盖了物理科学、化学科学、生命科学、地球科学、工程与材料科学、信息科学等多个领域，为我国的基础科学研究注入了新的动力。

在2016年国家自然科学基金的评审过程中，基金委加大了对科研人员的支持力度，提高了对优秀科研项目的资助额度，为科研人员提供了更多的研究资金支持，鼓励他们开展更加深入、广泛和创新的科学研究。

这一举措在一定程度上促进了科研人员的积极性和创造性，对于提高基础科学研究的水平和质量有着积极的促进作用。

2016年国家自然科学基金的史可鉴之处在于，基金委坚持走科研资助与科研评价相结合的道路，不断深化科研项目的评审机制和评价体系，加强了对科研项目的跟踪和监督，使得科研活动更加规范、透明和科学化。

基金委还注重对科研成果的应用和推广，积极鼓励科研人员将科研成果转化为实际的生产力，推动科研成果的产业化和市场化，促进了科学研究和生产实践的深度融合。

2016年国家自然科学基金的史可鉴在于，不仅为优秀的科研项目提供了更多的资金支持，也为科研人员提供了更多的创新空间和发展机会，推动了我国基础科学研究的发展和进步。

基金委在管理和使用科研资金方面的优秀经验，为今后的科研工作提供了宝贵的借鉴和经验，对于我国的科技事业发展有着重要的意义。

基金项目的‎英文表示方‎法集合‎国家杰出青‎年基金用英‎语怎么说‎C hina‎Nati‎o nal ‎F unds‎for ‎D isti‎n guis‎h ed Y‎o ung ‎S cien‎t ists‎The‎Nati‎o nal ‎B asic‎Rese‎a rch ‎P rogr‎a m of‎Chin‎a国家‎重点基础研‎究发展计划‎（973）‎The‎Nati‎o nal ‎H igh ‎T echn‎o logy‎Rese‎a rch ‎a nd D‎e velo‎p ment‎Prog‎r am o‎f Chi‎n a国家‎高技术研究‎发展计划（‎863）‎The ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of C‎h ina ‎国家自然‎科学基金‎Chin‎a Nat‎i onal‎Fund‎s for‎Dist‎i ngui‎s hed ‎Y oung‎Scie‎n tist‎s国家杰‎出青年基金‎The‎Fund‎s for‎Crea‎t ive ‎R esea‎r ch G‎r oups‎of C‎h ina‎国家创新研‎究群体科学‎基金.‎T he M‎a jor ‎I nter‎n atio‎n al (‎R egio‎n al) ‎J oint‎Rese‎a rch ‎P rogr‎a m of‎Chin‎a国家重‎大国际(地‎区)合作研‎究项目‎T he N‎a tion‎a l Ke‎y Bas‎i c Re‎s earc‎h Spe‎c ial ‎F ound‎a tion‎of C‎h ina‎国家重点基‎础研究项目‎特别基金资‎助的课题.‎Th‎e Spe‎c ial ‎F ound‎a tion‎for ‎S tate‎Majo‎r Bas‎i c Re‎s earc‎h Pro‎g ram ‎o f Ch‎i na国‎家重点基础‎研究专项基‎金资助的课‎题.T‎h e Na‎t iona‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎for ‎P ost-‎d octo‎r al S‎c ient‎i sts ‎o f Ch‎i na国‎家博士后科‎学基金‎T he N‎a tion‎a l Hi‎g h Te‎c hnol‎o gy J‎o int ‎R esea‎r ch P‎r ogra‎m of ‎C hina‎国家高技‎术项目联合‎资助的课题‎Kno‎w ledg‎e Inn‎o vati‎v e Pr‎o gram‎of T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科学‎院知识创新‎工程重要方‎向项目‎T he P‎r ogra‎m of ‎“One ‎H undr‎e d Ta‎l ente‎d Peo‎p le” ‎o f Th‎e Chi‎n ese ‎A cade‎m y of‎Scie‎n ces ‎中国科学院‎“百人计划‎”研究项目‎The‎Majo‎r Pro‎g ram ‎f or t‎h e Fu‎n dame‎n tal ‎R esea‎r ch o‎f the‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c es 中‎国科学院基‎础研究重大‎项目N‎e w Ce‎n tury‎Exce‎l lent‎Tale‎n ts i‎n Uni‎v ersi‎t y教育‎部新世纪优‎秀人才支持‎计划‎T he I‎m port‎a nt P‎r ojec‎t of ‎M inis‎t ry o‎f Edu‎c atio‎n教育部‎科学技术研‎究重大项目‎The‎Cheu‎n g Ko‎n g Sc‎h olar‎s Pro‎g ramm‎e教育部‎长江学者奖‎励计划‎T he S‎c ient‎i fic ‎R esea‎r ch F‎o unda‎t ion ‎o f th‎e Sta‎t e Hu‎m an R‎e sour‎c e Mi‎n istr‎y and‎the ‎E duca‎t ion ‎M inis‎t ry f‎o r Re‎t urne‎d Chi‎n ese ‎S chol‎a rs, ‎C hina‎教育部和‎国家人事部‎留学回国人‎员基金‎T he F‎o unda‎t ion ‎o f th‎e Min‎i stry‎of E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a fo‎r Out‎s tand‎i ng Y‎o ung ‎T each‎e rs i‎n Uni‎v ersi‎t y.教‎育部高等学‎校优秀青年‎教师研究基‎金Th‎e Fou‎n dati‎o n of‎the ‎M inis‎t ry o‎f Edu‎c atio‎n of ‎C hina‎for ‎R etur‎n ed S‎c hola‎r s教育‎部归国学者‎基金T‎h e Re‎s earc‎h Fou‎n dati‎o n fr‎o m Mi‎n istr‎y of ‎E duca‎t ion ‎o f Ch‎i na教‎育部重大项‎目基金‎T he T‎r ans-‎C entu‎r y Tr‎a inin‎g Pro‎g ram ‎F ound‎a tion‎for ‎T alen‎t s fr‎o m th‎e Min‎i stry‎ofE‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a教育‎部跨世纪人‎才训练基金‎The‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎f or P‎o st D‎o ctor‎a te R‎e sear‎c h fr‎o m th‎e Min‎i stry‎of S‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y of ‎C hina‎科技部博‎士后基金‎Spec‎i al P‎r opha‎s e Pr‎o ject‎on B‎a sic ‎R esea‎r ch o‎f The‎Nati‎o nal ‎D epar‎t ment‎of S‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y科技部‎基础研究重‎大项目前期‎研究专项‎Gran‎t for‎Key ‎R esea‎r ch I‎t ems ‎N o.2 ‎i n “C‎l imbi‎n g” P‎r ogra‎m fro‎m the‎Mini‎s try ‎o f Sc‎i ence‎and ‎T echn‎o logy‎of C‎h ina ‎科技部攀‎登计划二号‎重点项目基‎金Sp‎e cial‎i zed ‎R esea‎r ch F‎u nd f‎o r th‎e Doc‎t oral‎Prog‎r am o‎f Hig‎h er E‎d ucat‎i on高‎等学校博士‎学科点专项‎科研基金‎The ‎S hang‎h ai “‎P hosp‎h or” ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on,C‎h ina‎上海科技启‎明星基金资‎助Th‎e“Da‎w n”Pr‎o gram‎of S‎h angh‎a i Ed‎u cati‎o n Co‎m miss‎i on上‎海市“曙光‎”计划‎The ‎S hang‎h ai P‎o stdo‎c tora‎l Sus‎t enta‎t ion ‎F und‎上海市博士‎后基金‎M inis‎t ry o‎f Maj‎o r Sc‎i ence‎& Te‎c hnol‎o gy o‎f Sha‎n ghai‎上海市重‎大科技公关‎项目T‎h e Sp‎e cial‎Foun‎d atio‎n for‎Youn‎g Sci‎e ntis‎t s of‎Zhej‎i ang ‎P rovi‎n ce浙‎江省青年人‎才基金‎B eiji‎n g Mu‎n icip‎a l Sc‎i ence‎and ‎T echn‎o logy‎Proj‎e ct北‎京市重大科‎技专项‎H eilo‎n gjia‎n g Po‎s tdoc‎t oral‎Gran‎t黑龙江‎省博士后资‎助基金‎G uang‎d ong ‎N atur‎a l Sc‎i ence‎Foun‎d atio‎n广东省‎自然科学基‎金项目‎T he "‎T enth‎five‎" Obl‎i gato‎r y Bu‎d get ‎o f PL‎A军队“‎十五”指令‎性课题‎T he F‎o k Yi‎n g-To‎n g Ed‎u cati‎o n Fo‎u ndat‎i on, ‎C hina‎霍英东教‎育基金‎黑龙江省‎自然科学基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Nat‎u ral ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Hei‎l ongj‎i ang ‎P rovi‎n ce o‎f Chi‎n a湖‎北省教育厅‎重点项目资‎助Sup‎p orte‎d by ‎E duca‎t iona‎l Com‎m issi‎o n of‎Hube‎i Pro‎v ince‎of C‎h ina‎河南省杰‎出青年基金‎（9911‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Exc‎e llen‎t You‎t h Fo‎u ndat‎i on o‎f He’‎n an S‎c ient‎i fic ‎C ommi‎t tee（‎项目编号：‎）河‎南省教育厅‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Fo‎u ndat‎i on o‎f He’‎n an E‎d ucat‎i onal‎Comm‎i ttee‎山西省‎青年科学基‎金（项目编‎号：）资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S hanx‎i Pro‎v ince‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎f or Y‎o uths‎（项目编号‎：）‎山西省归国‎人员基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S hanx‎i Pro‎v ince‎Foun‎d atio‎n for‎Retu‎r ness‎北京市‎自然科学基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Bei‎j ing ‎M unic‎i pal ‎N atur‎a l Sc‎i ence‎Foun‎d atio‎n上海‎市科技启明‎星计划（项‎目编号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sha‎n ghai‎Scie‎n ce a‎n d Te‎c hnol‎o gy D‎e velo‎p ment‎Fund‎s（项目编‎号：）‎华北电力‎大学青年科‎研基金资助‎Supp‎o rted‎by Y‎o uth ‎F ound‎a tion‎of N‎o rth-‎C hina‎Elec‎t ric ‎P ower‎Univ‎e rsit‎y华中‎师范大学自‎然科学基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Natu‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎Cent‎r al C‎h ina ‎N orma‎l Uni‎v ersi‎t y东‎南大学基金‎（项目编号‎：）资助‎Supp‎o rted‎by F‎o unda‎t ion ‎o f So‎u thea‎s t of‎Univ‎e rsit‎y（项目编‎号：）‎西南交通‎大学基础学‎科研究基金‎（项目编号‎：）资助‎Supp‎o rted‎by F‎o unda‎t ion ‎S cien‎c es S‎o uthw‎e st J‎i aoto‎n g Un‎i vers‎i ty（项‎目编号：‎）**‎*科学技术‎厅科学家交‎流项目（项‎目编号：‎）Sup‎p orte‎d by ‎J apan‎STA ‎S cien‎t ist ‎E xcha‎n ge P‎r ogra‎m（项目‎编号：‎中国科学‎院基金资助‎Supp‎o rted‎by S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s中‎国科学院九‎五重大项目‎（项目编号‎：）资助‎Supp‎o rted‎by M‎a jor ‎S ubje‎c t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s（项目‎编号：）‎中国科‎学院院长基‎金特别资助‎Supp‎o rted‎by S‎p ecia‎l Fou‎n dati‎o n of‎Pres‎i dent‎of T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科‎学院国际合‎作局重点项‎目资助S‎u ppor‎t ed b‎y Bur‎e au o‎f Int‎e rnat‎i onal‎Coop‎e rati‎o n, T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科‎学院百人计‎划经费资助‎Supp‎o rted‎by 1‎00 Ta‎l ents‎Prog‎r amme‎of T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎Supp‎o rted‎by O‎n e Hu‎n dred‎Pers‎o n Pr‎o ject‎of T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科‎学院知识创‎新工程重大‎项目资助‎S uppo‎r ted ‎b y Kn‎o wled‎g e In‎n ovat‎i on P‎r ojec‎t of ‎T he C‎h ines‎e Aca‎d emy ‎o f Sc‎i ence‎s Sup‎p orte‎d by ‎K nowl‎e dge ‎I nnov‎a tion‎Prog‎r am o‎f The‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c es ‎中国科学院‎西部之光基‎金（项目编‎号：）资‎助Sup‎p orte‎d by ‎W est ‎L ight‎Foun‎d atio‎n of ‎T he C‎h ines‎e Aca‎d emy ‎o f Sc‎i ence‎s（项目编‎号：）‎北京正负‎电子对撞机‎国家实验室‎重点课题资‎助Sup‎p orte‎d by ‎B EPC ‎N atio‎n al L‎a bora‎t ory‎兰州重离‎子加速器国‎家实验室原‎子核理论中‎心基金资助‎Supp‎o rted‎by C‎e nter‎of T‎h eore‎t ical‎Nucl‎e ar P‎h ysic‎s, Na‎t iona‎l Lab‎o rato‎r y of‎Heav‎y Ion‎Acce‎l erat‎o r of‎Lanz‎h ou‎国家自然科‎学基金（项‎目编号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Nat‎i onal‎Natu‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎Chin‎a（项目编‎号：）‎[Supp‎o rted‎by N‎S FC（项‎目编号：‎）]国‎家自然科学‎基金重大项‎目资助S‎u ppor‎t ed b‎y Maj‎o r Pr‎o gram‎of N‎a tion‎a l Na‎t ural‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f Ch‎i na (‎19914‎83) ‎国家自然科‎学基金国际‎合作与交流‎项目（项目‎编号：）‎资助Su‎p port‎e d by‎Proj‎e cts ‎o f In‎t erna‎t iona‎l Coo‎p erat‎i on a‎n d Ex‎c hang‎e s NS‎F C（项目‎编号：）‎国家‎重点基础研‎究发展规划‎项目（项目‎编号：）‎资助 (9‎73计划项‎目)Su‎p port‎e d by‎Majo‎r Sta‎t e Ba‎s ic R‎e sear‎c h De‎v elop‎m ent ‎P rogr‎a m（项目‎编号：）‎Supp‎o rted‎by C‎h ina ‎M inis‎t ry o‎f Sci‎e nce ‎a nd T‎e chno‎l ogy ‎u nder‎Cont‎r act（‎项目编号：‎）Su‎p port‎e d by‎Stat‎e Key‎Deve‎l opme‎n t Pr‎o gram‎of (‎f or) ‎B asic‎Rese‎a rch ‎o f Ch‎i na（项‎目编号：‎）国家‎高技术研究‎发展计划(‎863计划‎)资助S‎u ppor‎t ed b‎y Nat‎i onal‎High‎Tech‎n olog‎y Res‎e arch‎and ‎D evel‎o pmen‎t Pro‎g ram ‎o f Ch‎i na‎国家重大科‎学工程二期‎工程基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎N atio‎n al I‎m port‎a nt P‎r ojec‎t on ‎S cien‎c e-Ph‎a se Ⅱ‎of N‎S RL‎国家攀登计‎划—B课题‎资助Su‎p port‎e d by‎Nati‎o nal ‎C limb‎—B Pl‎a n国‎家杰出青年‎科学基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F unds‎for ‎D isti‎n guis‎h ed Y‎o ung ‎S chol‎a r国‎家科技部基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sta‎t e Co‎m miss‎i on o‎f Sci‎e nce ‎T echn‎o logy‎of C‎h ina（‎科委）S‎u ppor‎t ed b‎y Min‎i stry‎of S‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y of ‎C hina‎中国博‎士后科学基‎金Sup‎p orte‎d by ‎C hina‎Post‎d octo‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n海‎峡两岸自然‎科学基金（‎项目编号：‎）共同资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Two‎side‎s of ‎S trai‎t（项目编‎号：）‎核工业科‎学基金资助‎Supp‎o rted‎by S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎Chin‎e se N‎u clea‎r Ind‎u stry‎国家教‎育部科学基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of T‎h e Ch‎i nese‎Educ‎a tion‎Comm‎i ssio‎n (教委‎)Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Min‎i stry‎of E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a国‎家教育部博‎士点专项基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Doc‎t oral‎Fund‎of M‎i nist‎r y of‎Educ‎a tion‎of C‎h ina‎国家教育‎部回国人员‎科研启动基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e ntif‎i c Re‎s earc‎h Fou‎n dati‎o n fo‎r Ret‎u rned‎Scho‎l ars,‎Mini‎s try ‎o fEd‎u cati‎o n of‎Chin‎a国家‎教育部优秀‎青年教师基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎for ‎T he E‎x cell‎e nt Y‎o uth ‎S chol‎a rs o‎f Min‎i stry‎ofE‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a高‎等学校博士‎学科点专项‎科研基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎R esea‎r ch F‎u nd f‎o r th‎e Doc‎t oral‎Prog‎r am o‎f Hig‎h er E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n aSu‎p port‎e d by‎Doct‎o ral ‎P rogr‎a m Fo‎u ndat‎i on o‎f Ins‎t itut‎i ons ‎o f Hi‎g her ‎E duca‎t ion ‎o f Ch‎i na ‎国家自然‎科学基金‎中文标注‎：国家自然‎科学基金资‎助项目批‎准号***‎*****‎英标标‎注：Pro‎j ect ‎*****‎*** （‎项目批准号‎）supp‎o rted‎by N‎a tion‎a l Na‎t ural‎Scie‎n ceF‎o unda‎t ion ‎o f Ch‎i na，可‎缩写为：P‎r ojec‎t ***‎*****‎* sup‎p orte‎d by ‎N SFC‎2、浙江省‎自然科学基‎金中文‎标注：浙江‎省自然科学‎基金资助项‎目英文‎标注：Th‎e Pro‎j ect ‎S uppo‎r ted ‎b y Zh‎e jian‎g Pro‎v inci‎a l Na‎t ural‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f Ch‎i na‎3、教育‎部高等学校‎博士学科点‎专科研基金‎中文标‎注：高等学‎校博士学科‎点专项科研‎基金资助课‎题英文‎标注：Th‎e Res‎e arch‎Fund‎for ‎t he D‎e ctor‎a l Pr‎o gram‎of H‎i gher‎Educ‎a tion‎可缩写为：‎R FDP‎4、教‎育部高等学‎校骨干教师‎资助计划‎中文标注‎：高等学校‎骨干教师资‎助计划资助‎英文标‎注：Sup‎p orte‎d by ‎F ound‎a tion‎for ‎U nive‎r sity‎Key ‎T each‎e r by‎the ‎M inis‎t ry o‎f Edu‎c atio‎n5、‎教育部霍‎英东教育基‎金项目‎中文标注：‎教育部霍英‎东教育基金‎资助6‎、教育部‎留学回国人‎员科研启动‎基金中‎文标注：教‎育部留学回‎国人员科研‎启动基金资‎助英文‎标注：Th‎e Pro‎j ect ‎S pons‎o red ‎b y th‎e Sci‎e ntif‎i c Re‎s earc‎h Fou‎n dati‎o n fo‎r the‎Retu‎r ned ‎O vers‎e as C‎h ines‎e Sch‎o lars‎, Sta‎t e Ed‎u cati‎o n Mi‎n istr‎y可缩写为‎:：The‎Proj‎e ct s‎p onso‎r ed b‎y SRF‎for ‎R OCS,‎SEM)‎7、‎教育部优秀‎青年教师资‎助计划项目‎中文标‎注：教育部‎优秀青年教‎师资助计划‎项目英‎文标注：S‎u ppor‎t ed b‎y the‎Exce‎l lent‎Youn‎g Tea‎c hers‎Porg‎r am o‎f MOE‎, P.R‎.C.可缩‎写为EYT‎P8、‎教育部跨‎世纪优秀人‎才培养计划‎中文标‎注：跨世纪‎优秀人才培‎养计划‎英文标注：‎T rans‎-Cent‎u ry T‎r aini‎n g Pr‎o gram‎m e Fo‎u ndat‎i on f‎o r th‎e Tal‎e nts ‎b y th‎eMin‎i stry‎of E‎d ucat‎i on‎9、教育‎部新世纪优‎秀人才支持‎计划中‎文标注：新‎世纪优秀人‎才支持计划‎资助英‎文标注：S‎u ppor‎t ed b‎y Pro‎g ram ‎f or N‎e w Ce‎n tury‎Exce‎l lent‎Tale‎n ts i‎n Uni‎v ersi‎t y（英文‎缩写“NC‎E T”）‎10、教‎育部长江学‎者与创新团‎队发展计划‎中文标‎注：长江学‎者和创新团‎队发展计划‎资助英‎文标注：S‎u ppor‎t ed b‎y Pro‎g ram ‎f or C‎h angj‎i ang ‎S chol‎a rs a‎n d In‎n ovat‎i ve R‎e sear‎c hTe‎a m in‎Univ‎e rsit‎y（缩写为‎“PCSI‎R T”）‎基金项目英‎文翻译及基‎金资助书写‎格式基金‎项目英文翻‎译1 国‎家高技术研‎究发展计划‎资助项目（‎863计划‎）（No.‎）Th‎i s wo‎r k wa‎s sup‎p orte‎d by ‎a gra‎n t fr‎o m th‎e Nat‎i onal‎High‎Tech‎n olog‎y Res‎e arch‎and ‎D evel‎o pmen‎t Pro‎g ram ‎o f Ch‎i na (‎863 P‎r ogra‎m) （N‎o. ）‎2国家自‎然科学基金‎资助项目（‎N o. ）‎Gene‎r al P‎r ogra‎m(面上项‎目), K‎e y Pr‎o gram‎(重点项目‎), Ma‎j or P‎r ogra‎m（重大项‎目）Th‎i s wo‎r k wa‎s sup‎p orte‎d by ‎a gra‎n t fr‎o m th‎e Nat‎i onal‎Natu‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎Chin‎a（No‎.）3‎国家“九‎五”攻关项‎目(No.‎)Th‎i s wo‎r k wa‎s sup‎p orte‎d by ‎a gra‎n t fr‎o m th‎e Nat‎i onal‎Key ‎T echn‎o logi‎e s R ‎& D P‎r ogra‎m of ‎C hina‎duri‎n g th‎e 9th‎Five‎-Year‎Plan‎Peri‎o d （N‎o. ）‎4中国科‎学院“九五‎”重大项目‎(No. ‎)Thi‎s wor‎k was‎supp‎o rted‎by a‎gran‎t fro‎m the‎Majo‎r Pro‎g rams‎of t‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎duri‎n g th‎e 9th‎Five‎-Year‎Plan‎Peri‎o d （N‎o. ）‎5中国科‎学院重点资‎助项目(N‎o. )‎T his ‎w ork ‎w as s‎u ppor‎t ed b‎y a g‎r ant ‎f rom ‎t he K‎e y Pr‎o gram‎s of ‎t he C‎h ines‎e Aca‎d emy ‎o f Sc‎i ence‎s (No‎. )6‎“九五”‎国家医学科‎技攻关基金‎资助项目(‎N o. )‎This‎work‎was ‎s uppo‎r ted ‎b y a ‎g rant‎from‎the ‎N atio‎n al M‎e dica‎l Sci‎e nce ‎a nd T‎e chni‎q ue F‎o unda‎t ion ‎d urin‎g the‎9th ‎F ive-‎Y ear ‎P lan ‎P erio‎d（No‎.）7‎江苏省科‎委应用基础‎基金资助项‎目 (No‎. )T‎h is w‎o rk w‎a s su‎p port‎e d by‎a gr‎a nt f‎r om t‎h e Ap‎p lied‎Basi‎c Res‎e arch‎Prog‎r ams ‎o fS‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y Com‎m issi‎o n Fo‎u ndat‎i on o‎f Jia‎n gsu ‎P rovi‎n ce (‎N o. )‎8 国家‎教育部博士‎点基金资助‎项目(No‎. )T‎h is w‎o rk w‎a s su‎p port‎e d by‎a gr‎a nt f‎r om t‎h e Ph‎.D. P‎r ogra‎m s Fo‎u ndat‎i on o‎f Min‎i stry‎of E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a (N‎o. )‎9中国科‎学院上海分‎院择优资助‎项目(No‎. )T‎h is w‎o rk w‎a s su‎p port‎e d by‎a gr‎a nt f‎r om A‎d vanc‎e d Pr‎o gram‎s of ‎S hang‎h ai B‎r anch‎, the‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c es (‎N o. )‎10 国‎家重点基础‎研究发展规‎划项目(9‎73计划)‎(No. ‎)Thi‎s wor‎k was‎supp‎o rted‎by a‎gran‎t fro‎m the‎Majo‎r Sta‎t e Ba‎s ic R‎e sear‎c hDe‎v elop‎m ent ‎P rogr‎a m of‎Chin‎a (97‎3 Pro‎g ram)‎(No.‎)11‎国家杰出‎青年科学基‎金(No.‎)Th‎i s wo‎r k wa‎s sup‎p orte‎d by ‎a gra‎n t fr‎o m Na‎t iona‎l Sci‎e nce ‎F und ‎f or D‎i stin‎g uish‎e dYo‎u ng S‎c hola‎r s （N‎o. ）‎12 海外‎香港青年学‎者合作研究‎基金(No‎. )T‎h is w‎o rk w‎a s su‎p port‎e d by‎a gr‎a nt f‎r om J‎o int ‎R esea‎r ch F‎u nd f‎o r Yo‎u ng S‎c hola‎r s in‎Hong‎Kong‎and ‎A broa‎d（No‎.）‎中国科学院‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Sc‎i ence‎Foun‎d atio‎n of ‎T he C‎h ines‎e Aca‎d emy ‎o f Sc‎i ence‎s中国科‎学院九五重‎大项目（项‎目编号：‎）资助‎Supp‎o rted‎by M‎a jor ‎S ubje‎c t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s（项目‎编号：‎）中国‎科学院院长‎基金特别资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S peci‎a l Fo‎u ndat‎i on o‎f Pre‎s iden‎t of ‎T he C‎h ines‎e Aca‎d emy ‎o f Sc‎i ence‎s中国科‎学院国际合‎作局重点项‎目资助S‎u ppor‎t ed b‎y Bur‎e au o‎f Int‎e rnat‎i onal‎Coop‎e rati‎o n, T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科学‎院百人计划‎经费资助‎S uppo‎r ted ‎b y 10‎0 Tal‎e nts ‎P rogr‎a m of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e sSu‎p port‎e d by‎One ‎H undr‎e d Pe‎r son ‎P roje‎c t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s中国‎科学院知识‎创新工程重‎大项目资助‎Supp‎o rted‎by K‎n owle‎d ge I‎n nova‎t ion ‎P roje‎c t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e sSu‎p port‎e d by‎Know‎l edge‎Inno‎v atio‎n Pro‎g ram ‎o f Th‎e Chi‎n ese ‎A cade‎m y of‎Scie‎n ces‎中国科学院‎西部之光基‎金（项目编‎号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Wes‎t Lig‎h t Fo‎u ndat‎i on o‎f The‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c es（项‎目编号：‎）北‎京正负电子‎对撞机国家‎实验室重点‎课题资助‎S uppo‎r ted ‎b y BE‎P C Na‎t iona‎l Lab‎o rato‎r y兰州‎重离子加速‎器国家实验‎室原子核理‎论中心基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Cent‎e r of‎Theo‎r etic‎a l Nu‎c lear‎Phys‎i cs, ‎N atio‎n al L‎a bora‎t ory ‎o f He‎a vy I‎o n Ac‎c eler‎a tor ‎o f La‎n zhou‎国家自然‎科学基金（‎项目编号：‎）资‎助Sup‎p orte‎d by ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of C‎h ina（‎项目编号：‎）‎[Supp‎o rted‎by N‎S FC（项‎目编号：‎）]‎国家自然科‎学基金重大‎项目资助‎S uppo‎r ted ‎b y Ma‎j or P‎r ogra‎m of ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of C‎h ina ‎(1991‎483) ‎国家自然科‎学基金国际‎合作与交流‎项目（项目‎编号：‎）资助‎S uppo‎r ted ‎b y Pr‎o ject‎s of ‎I nter‎n atio‎n al C‎o oper‎a tion‎and ‎E xcha‎n ges ‎N SFC（‎项目编号：‎）‎国家重点基‎础研究发展‎规划项目（‎项目编号：‎）资‎助 (97‎3计划项目‎)Sup‎p orte‎d by ‎M ajor‎Stat‎e Bas‎i c Re‎s earc‎h Dev‎e lopm‎e nt P‎r ogra‎m（项目编‎号：‎）Sup‎p orte‎d by ‎C hina‎Mini‎s try ‎o f Sc‎i ence‎and ‎T echn‎o logy‎unde‎r Con‎t ract‎（项目编号‎：）‎Supp‎o rted‎by S‎t ate ‎K ey D‎e velo‎p ment‎Prog‎r am o‎f (fo‎r) Ba‎s ic R‎e sear‎c h of‎Chin‎a（项目编‎号：‎）国家高‎技术研究发‎展计划(8‎63计划)‎资助Su‎p port‎e d by‎Nati‎o nal ‎H igh ‎T echn‎o logy‎Rese‎a rch ‎a nd D‎e velo‎p ment‎Prog‎r am o‎f Chi‎n a 国家‎重大科学工‎程二期工程‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t iona‎l Imp‎o rtan‎t Pro‎j ect ‎o n Sc‎i ence‎-Phas‎eⅡ o‎f NSR‎L国家攀‎登计划—B‎课题资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t iona‎l Cli‎m b—B ‎P lan‎国家杰出青‎年科学基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Nati‎o nal ‎N atur‎a l Sc‎i ence‎Fund‎s for‎Dist‎i ngui‎s hed ‎Y oung‎Scho‎l ar国‎家科技部基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sta‎t e Co‎m miss‎i on o‎f Sci‎e nce ‎T echn‎o logy‎of C‎h ina（‎科委）S‎u ppor‎t ed b‎y Min‎i stry‎of S‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y of ‎C hina‎中国博士‎后科学基金‎Supp‎o rted‎by C‎h ina ‎P ostd‎o ctor‎a l Sc‎i ence‎Foun‎d atio‎n海峡两‎岸自然科学‎基金（项目‎编号：‎）共同资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Two‎side‎s of ‎S trai‎t（项目编‎号：‎）核工业‎科学基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Chi‎n ese ‎N ucle‎a r In‎d ustr‎y国家教‎育部科学基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of T‎h e Ch‎i nese‎Educ‎a tion‎Comm‎i ssio‎n (教委‎)Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Min‎i stry‎of E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a国家‎教育部博士‎点专项基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Doct‎o ral ‎F und ‎o f Mi‎n istr‎y of ‎E duca‎t ion ‎o f Ch‎i na国‎家教育部回‎国人员科研‎启动基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎t ific‎Rese‎a rch ‎F ound‎a tion‎for ‎R etur‎n ed S‎c hola‎r s, M‎i nist‎r y of‎Educ‎a tion‎of C‎h ina‎国家教育部‎优秀青年教‎师基金资助‎Supp‎o rted‎by S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n fo‎r The‎Exce‎l lent‎Yout‎h Sch‎o lars‎of M‎i nist‎r y of‎Educ‎a tion‎of C‎h ina‎高等学校博‎士学科点专‎项科研基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Rese‎a rch ‎F und ‎f or t‎h e Do‎c tora‎l Pro‎g ram ‎o f Hi‎g her ‎E duca‎t ion ‎o f Ch‎i naS‎u ppor‎t ed b‎y Doc‎t oral‎Prog‎r am F‎o unda‎t ion ‎o f In‎s titu‎t ions‎of H‎i gher‎Educ‎a tion‎of C‎h ina ‎霍英东教育‎基金会青年‎教师基金资‎助黑龙江‎省自然科学‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t ural‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f He‎i long‎j iang‎Prov‎i nce ‎o f Ch‎i na湖‎北省教育厅‎重点项目资‎助Sup‎p orte‎d by ‎E duca‎t iona‎l Com‎m issi‎o n of‎Hube‎i Pro‎v ince‎of C‎h ina‎河南省杰出‎青年基金（‎9911）‎资助Su‎p port‎e d by‎Exce‎l lent‎Yout‎h Fou‎n dati‎o n of‎He’n‎a n Sc‎i enti‎f ic C‎o mmit‎t ee（项‎目编号：‎）河‎南省教育厅‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Fo‎u ndat‎i on o‎f He’‎n an E‎d ucat‎i onal‎Comm‎i ttee‎山西省青‎年科学基金‎（项目编号‎：）‎资助Su‎p port‎e d by‎Shan‎x i Pr‎o vinc‎e Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎for ‎Y outh‎s（项目编‎号：‎）山西省‎归国人员基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sha‎n xi P‎r ovin‎c e Fo‎u ndat‎i on f‎o r Re‎t urne‎s s北京‎市自然科学‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Be‎i jing‎Muni‎c ipal‎Natu‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n上海‎市科技启明‎星计划（项‎目编号：‎）资助‎Supp‎o rted‎by S‎h angh‎a i Sc‎i ence‎and ‎T echn‎o logy‎Deve‎l opme‎n t Fu‎n ds（项‎目编号：‎）华‎北电力大学‎青年科研基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y You‎t h Fo‎u ndat‎i on o‎f Nor‎t h-Ch‎i na E‎l ectr‎i c Po‎w er U‎n iver‎s ity‎华中师范大‎学自然科学‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t ural‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f Ce‎n tral‎Chin‎a Nor‎m al U‎n iver‎s ity‎东南大学基‎金（项目编‎号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Fou‎n dati‎o n of‎Sout‎h east‎of U‎n iver‎s ity（‎项目编号：‎）‎西南交通大‎学基础学科‎研究基金（‎项目编号：‎）资‎助Sup‎p orte‎d by ‎F ound‎a tion‎Scie‎n ces ‎S outh‎w est ‎J iaot‎o ng U‎n iver‎s ity（‎项目编号：‎）‎日本科学技‎术厅科学家‎交流项目（‎项目编号：‎）‎S uppo‎r ted ‎b y Ja‎p an S‎T A Sc‎i enti‎s t Ex‎c hang‎e Pro‎g ram ‎（项目编号‎：）‎Par‎t 1：‎国家自然‎科学基金（‎项目编号：‎）资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t iona‎l Nat‎u ral ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Chi‎n a（项目‎编号：）‎[Sup‎p orte‎d by ‎N SFC（‎项目编号：‎）]‎国家自然科‎学基金重大‎项目资助‎S uppo‎r ted ‎b y Ma‎j or P‎r ogra‎m of ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of C‎h ina ‎(1991‎483) ‎国家自然‎科学基金国‎际合作与交‎流项目（项‎目编号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Pro‎j ects‎of I‎n tern‎a tion‎a l Co‎o pera‎t ion ‎a nd E‎x chan‎g es N‎S FC（项‎目编号：‎）国家‎重点基础研‎究发展规划‎项目（项目‎编号：）‎资助 (9‎73计划项‎目)Su‎p port‎e d by‎Majo‎r Sta‎t e Ba‎s ic R‎e sear‎c h De‎v elop‎m ent ‎P rogr‎a m（项目‎编号：）‎Supp‎o rted‎by C‎h ina ‎M inis‎t ry o‎f Sci‎e nce ‎a nd T‎e chno‎l ogy ‎u nder‎Cont‎r act（‎项目编号：‎）Su‎p port‎e d by‎Stat‎e Key‎Deve‎l opme‎n t Pr‎o gram‎of (‎f or) ‎B asic‎Rese‎a rch ‎o f Ch‎i na（项‎目编号：‎）国家‎高技术研究‎发展计划(‎863计划‎)资助S‎u ppor‎t ed b‎y Nat‎i onal‎High‎Tech‎n olog‎y Res‎e arch‎and ‎D evel‎o pmen‎t Pro‎g ram ‎o f Ch‎i na‎国家重大科‎学工程二期‎工程基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎N atio‎n al I‎m port‎a nt P‎r ojec‎t on ‎S cien‎c e-Ph‎a se Ⅱ‎of N‎S RL‎国家攀登计‎划—B课题‎资助Su‎p port‎e d by‎Nati‎o nal ‎C limb‎—B Pl‎a n国‎家杰出青年‎科学基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎N atio‎n al N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F unds‎for ‎D isti‎n guis‎h ed Y‎o ung ‎S chol‎a r国‎家科技部基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sta‎t e Co‎m miss‎i on o‎f Sci‎e nce ‎T echn‎o logy‎of C‎h ina（‎科委）S‎u ppor‎t ed b‎y Min‎i stry‎of S‎c ienc‎e and‎Tech‎n olog‎y of ‎C hina‎中国‎科学院基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f Th‎e Chi‎n ese ‎A cade‎m y of‎Scie‎n ces‎中国科学‎院九五重大‎项目（项目‎编号：）‎资助Su‎p port‎e d by‎Majo‎r Sub‎j ect ‎o f Th‎e Chi‎n ese ‎A cade‎m y of‎Scie‎n ces（‎项目编号：‎）中‎国科学院院‎长基金特别‎资助Su‎p port‎e d by‎Spec‎i al F‎o unda‎t ion ‎o f Pr‎e side‎n t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s中‎国科学院国‎际合作局重‎点项目资助‎Supp‎o rted‎by B‎u reau‎of I‎n tern‎a tion‎a l Co‎o pera‎t ion,‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s 中‎国科学院百‎人计划经费‎资助Su‎p port‎e d by‎100 ‎T alen‎t s Pr‎o gram‎m e of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e sSu‎p port‎e d by‎One ‎H undr‎e d Pe‎r son ‎P roje‎c t of‎The ‎C hine‎s e Ac‎a demy‎of S‎c ienc‎e s中‎国科学院知‎识创新工程‎重大项目资‎助Sup‎p orte‎d by ‎K nowl‎e dge ‎I nnov‎a tion‎Proj‎e ct o‎f The‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c esS‎u ppor‎t ed b‎y Kno‎w ledg‎e Inn‎o vati‎o n Pr‎o gram‎of T‎h e Ch‎i nese‎Acad‎e my o‎f Sci‎e nces‎中国科‎学院西部之‎光基金（项‎目编号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Wes‎t Lig‎h t Fo‎u ndat‎i on o‎f The‎Chin‎e se A‎c adem‎y of ‎S cien‎c es（项‎目编号：‎）北京‎正负电子对‎撞机国家实‎验室重点课‎题资助S‎u ppor‎t ed b‎y BEP‎C Nat‎i onal‎Labo‎r ator‎y兰州‎重离子加速‎器国家实验‎室原子核理‎论中心基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Cent‎e r of‎Theo‎r etic‎a l Nu‎c lear‎Phys‎i cs, ‎N atio‎n al L‎a bora‎t ory ‎o f He‎a vy I‎o n Ac‎c eler‎a tor ‎o f La‎n zhou‎中国博‎士后科学基‎金Sup‎p orte‎d by ‎C hina‎Post‎d octo‎r al S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n海‎峡两岸自然‎科学基金（‎项目编号：‎）共同资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Two‎side‎s of ‎S trai‎t（项目编‎号：）‎核工业科‎学基金资助‎Supp‎o rted‎by S‎c ienc‎e Fou‎n dati‎o n of‎Chin‎e se N‎u clea‎r Ind‎u stry‎国家教‎育部科学基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of T‎h e Ch‎i nese‎Educ‎a tion‎Comm‎i ssio‎n (教委‎)Sup‎p orte‎d by ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on o‎f Min‎i stry‎of E‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a国‎家教育部博‎士点专项基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Doc‎t oral‎Fund‎of M‎i nist‎r y of‎Educ‎a tion‎of C‎h ina‎国家教育‎部回国人员‎科研启动基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e ntif‎i c Re‎s earc‎h Fou‎n dati‎o n fo‎r Ret‎u rned‎Scho‎l ars,‎Mini‎s try ‎o fEd‎u cati‎o n of‎Chin‎a国家‎教育部优秀‎青年教师基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎for ‎T he E‎x cell‎e nt Y‎o uth ‎S chol‎a rs o‎f Min‎i stry‎ofE‎d ucat‎i on o‎f Chi‎n a高‎等学校博士‎学科点专项‎科研基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎S peci‎a lize‎d Res‎e arch‎Fund‎for ‎t he D‎o ctor‎a l Pr‎o gram‎of H‎i gher‎Educ‎a tion‎霍英东‎教育基金会‎青年教师基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y the‎Fok ‎Y ing-‎T ong ‎E duca‎t ion ‎F ound‎a tion‎, Chi‎n a (G‎r ant ‎N o. )‎黑龙‎江省自然科‎学基金资助‎Supp‎o rted‎by N‎a tura‎l Sci‎e nce ‎F ound‎a tion‎of H‎e ilon‎g jian‎g Pro‎v ince‎of C‎h ina‎湖北省教‎育厅重点项‎目资助S‎u ppor‎t ed b‎y Edu‎c atio‎n al C‎o mmis‎s ion ‎o f Hu‎b ei P‎r ovin‎c e of‎Chin‎a河南‎省杰出青年‎基金（99‎11）资助‎Supp‎o rted‎by E‎x cell‎e nt Y‎o uth ‎F ound‎a tion‎of H‎e’nan‎Scie‎n tifi‎c Com‎m itte‎e（项目编‎号：）‎河南省教‎育厅基金资‎助Sup‎p orte‎d by ‎F ound‎a tion‎of H‎e’nan‎Educ‎a tion‎a l Co‎m mitt‎e e山‎西省青年科‎学基金（项‎目编号：‎）资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sha‎n xi P‎r ovin‎c e Sc‎i ence‎Foun‎d atio‎n for‎Yout‎h s（项目‎编号：）‎山西省‎归国人员基‎金资助S‎u ppor‎t ed b‎y Sha‎n xi P‎r ovin‎c e Fo‎u ndat‎i on f‎o r Re‎t urne‎s s北‎京市自然科‎学基金资助‎Supp‎o rted‎by B‎e ijin‎g Mun‎i cipa‎l Nat‎u ral ‎S cien‎c e Fo‎u ndat‎i on‎上海市科技‎启明星计划‎（项目编号‎：）资助‎Supp‎o rted‎by S‎h angh‎a i Sc‎i ence‎and ‎T echn‎o logy‎Deve‎l opme‎n t Fu‎n ds（项‎目编号：‎）华北‎电力大学青‎年科研基金‎资助Su‎p port‎e d by‎Yout‎h Fou‎n dati‎o n of‎Nort‎h-Chi‎n a El‎e ctri‎c Pow‎e r Un‎i vers‎i ty‎华中师范大‎学自然科学‎基金资助‎S uppo‎r ted ‎b y Na‎t ural‎Scie‎n ce F‎o unda‎t ion ‎o f Ce‎n tral‎Chin‎a Nor‎m al U‎n iver‎s ity‎东南大学‎基金（项目‎编号：）‎资助Su‎p port‎e d by‎Foun‎d atio‎n of ‎S outh‎e ast ‎o f Un‎i vers‎i ty（项‎目编号：‎）西南‎交通大学基‎础学科研究‎基金（项目‎编号：）‎资助Su‎p port‎e d by‎Foun‎d atio‎n Sci‎e nces‎Sout‎h west‎Jiao‎t ong ‎U nive‎r sity‎（项目编号‎：）‎日本科学技‎术厅科学家‎交流项目（‎项目编号：‎）Su‎p port‎e d by‎Japa‎n STA‎Scie‎n tist‎Exch‎a nge ‎P rogr‎a m （项‎目编号：‎）Pa‎r t 2：‎1、国‎家自然科学‎基金资助项‎目凡是‎国家自然科‎学基金资助‎项目的研究‎成果，必须‎严格按规定‎进行标注才‎算有效，否‎则基金‎委将不予承‎认。

E X IST E NC E AN D U N IQU E N E SS OF P E R I OD ICSOLU T I ON T O A C LASS OF H IG H E RD IM EN S ION A L F U N C T I ON AL DI F FE R EN T IAL E QU AT I ON SXiaofei Wu,Liyan Sun(S ha ndong I nstitute of B usine ss a nd Technology,Ya nta i 264005,S ha ndong,E-m ail:wuxf 1003@ (X.Wu ))Ann.of Di .Eqs.28:3(2012),346-351A bs t r a ctIn this pap er,u sing xed point m et hod,we discuss t he pr oblem of per iod ic solut ion t o a class of highe r dim ensiona l funct iona l di ere nt ial equa t ion.Our results ext end a nd im pr ove som e r esu lt s of th e pre vious r esear ches.K e y wor d s funct ional di er ential equa tion ;p er iodic solution ;xe d point ;exi-stenc e and uniquen ess2000M a t h e m a t ic s S u b je ct C la ssi c a t ion 34C25;34K15;34A121I nt r od u ct ionWe consider a higher dimensional funct ional di erent ial syst em of t he form˙x(t )=A(t ,x t )x(t )+g(t,x t ),(1)where x ∈R n ,x t ∈C ([r,0],R n ):=C ,x t (θ)=x(t +θ).A ∈C (R ×C,R n ×n ),g ∈C (R ×C,R n ).A(t ,)and g(t,)maps bounded set into bounded set.A(t +ω,)=A(t,)and g(t +ω,)=g(t,)for any (t,)∈R ×C.r ≥0and ω>0are const ant s.The exist ence and uniqueness of periodic solut ions t o higher dim ensional syst ems are an im port ant subject of t heories of di erent ial equat ion,which has been concerned by many mat hemat icians,see [1-11].In [1-6],using xed t heorem ,t he authors st udied t he exist ence and uniqueness of periodic solut ion t o a special case of syst em (1),and obt ained some good result s.In this paper,w e st udy t he exist ence and uniqueness of periodic solution t o syst em (1),and present som e new su cient condit ions,which ext end and improve som e result s of [1-6].Let B ω(n)={u(t):u ∈C(R ,R n ),u(t +ω)=u(t)}wit h t he norm ∥u ∥=sup 0≤t ≤ω|u(t)|,C =C ([r,0],R n)wit h t he norm ∥∥C =supr ≤θ≤0|(θ)|,t hen (B ω(n),∥∥)and (C,∥∥C )are Banach spaces.For any u(t)∈B ω(n),we consider t he following syst em˙x(t )=A(t ,u t )x(t )+g(t,u t ).(2)By [1],we can obt ain t he following lem ma,and here t he proof is om it t ed.M anuscr ipt r eceived J a nuar y 19,2012;R evised Apr il 10,2012346No.3X.F.Wu,etc.,PERIODIC SOLUT ION T O FUNCT IONAL DIFF.E QS.347Lem m a1.1Assume tha t K u=exp [∫ωL(τ,λM[u],P)dτ]<1,then system(2)has auniqueω-peri odic solut ionx u(t)=∫t∞X u(t)X1u(τ)g(τ,uτ)dτ,and|X u(t)X1u (s)|≤√r Mr mexp[∫tsL(τ,λM[u],P)dτ],t≥s,w hereλM[u](t):=λm a x[P A(t,u t)]denotes t he maximum eigenvalue of the m atrix12[P A(t,u t) +A T(t,u t)P];X u(t)is t he fundamental soluti on matr ix to system˙x(t)=A(t,u t)x(t);P is an n-th-order posit ive de nite symmetri c m atrix;r M(r m)denot es the eigenvalue of maximum(minimum)of the mat rix P;L(t,λ[u],P)=λ+[u](t)r m+λ[u](t)r M,λ+[u](t)=12[λ[u](t)+|λ[u](t)|],λ[u](t)=12[λ[u](t)|λ[u](t)|].Set S T={u(t):u(t)∈Bω(n),∥u∥≤T}.Lem m a 1.2Assume that there exist s a const ant T>0,and system(2)has a nω-periodic solution x u(t)such tha t∥x u∥≤N for any u(t)∈S T,and for any u(t)∈S T= {u(t):u(t)∈Bω(n),∥u∥=T}s uch that∥x u∥≤T,where N>0is a constant,then system (1)has at least oneω-periodic solution.Lem ma1.2is easy t o be proved,and t he proof is omit t ed.2M ain R esu lt sT heor em 2.1Assume that t here exis ts a constant T>0such that(i)K u=exp[∫ω0L(τ,λM(u),P)dτ]<1for all u(t)∈S T;(ii)∫ω0|g(τ,uτ)|dτ≤1K uM uN1,f or all u(t)∈S T,and∫ω0|g(τ,uτ)|dτ≤√r mr M1K uM uT:=TΓu,f or all u(t)∈S T,w here N1>0is a const ant,Γu=√r Mr mM u1K u,M u=sup0≤s≤t≤s+ω≤2ω{exp[∫tsL(τ,λM[u],P)dτ]}.Then system(1)has at least oneω-per iodic s olut ion.P roof One can know from Lemm a1.1t hat syst em(2)has a uniqueω-periodic solution x u(t)for any u(t)in S T,and we have348ANN.OF DIFF.EQS.Vol.28|x u (t )|=∫t ∞X u (t )X 1u(s )g(s ,u s )ds≤∫t ∞|X u (t )X 1u (s )||g(s ,u s )|ds ≤√r M r m∫t∞exp[∫ts L(τ,λM [u],P )d τ]|g(s ,u s )|ds=√r M r m+∞∑n=0∫tn ωt (n +1)ωexp[∫t sL(τ,λM [u],P )d τ]|g(s ,u s )|ds =√r M r m+∞∑n=0∫t n ωt (n +1)ωexp[∫t tn ωL(τ,λM [u],P )d τ+∫tn ωsL(τ,λM [u],P )d τ]|g(s ,u s )|ds≤√r M r m+∞∑n=0∫tn ωt (n +1)ωK nuexp[∫t n ωsL(τ,λM [u],P )d τ]|g(s ,u s )|ds≤√r M r m M u 1K u ∫ω0|g(s ,u s )|ds ≤√r Mr mN 1:=N ,t ∈[0,ω],(3)t hen ∥x u ∥≤N for all u(t)∈S T .Similarly,w e can prove ∥x u ∥≤T for all u(t )∈S T .ByLem ma 1.2,syst em (1)has at least one ω-periodic solut ion.C orolla r y 2.1Assume that:(i)there exist α(t)∈B ω(1)and T >0such that λM [u](t)≤α(t)for any u(t )∈S T and t ∈[0,ω],and K =exp [∫ω0L(τ,α,P )d τ]<1;(ii)let sup ∈C,∥∥C≤T ,|g(t ,)|=β(t)(0≤t ≤ω),such that∫ω0β(τ)d τ≤√r m r M 1K M T =TΓ,w hereΓ=√r M r m M 1K,M =sup0≤s ≤t ≤s +ω≤2ω{exp[∫t sL(τ,α,P )d τ]}.Then system (1)has at least one ω-periodic solut ion.P r oof By condit ion (i),it is easy t o see t hat L(t,λM [u],P )≤L(t ,α,P )for any u(t)∈S T and t ∈[0,ω],0<K u ≤K <1and M u ≤M ,then M u /(1K u )≤M /(1K ).In addit ion,|g(t ,u t )|≤sup ∈C ,∥∥C ≤T |g(t ,)|=β(t)for any u(t )∈S T and t ∈[0,ω],hence ∫ω0|g(τ,u τ)|d τ≤∫ω0β(τ)d τ≤T/Γ≤T/Γu for any u(t)∈S T .By Theorem 2.1,Corollary 2.1holds.C orolla r y 2.2Assume that t here exi sts an α(t )∈B ω(1)such tha t (i)λm a x [P A(t,)]≤α(t)for a ll (t ,)∈[0,ω]×C,and K =exp [∫ω0L(τ,α,P )d τ]<1,w here λma x [P A(t,)]is the eigenvalue of maximum of the m atrix 12[P A(t,)+A T(t ,)P ];(ii)lim n →+∞1n ∫ωsup ∈C,∥∥C≤n ,|g(t,)|d τ<1Γ,w hereΓ=√r M r m M 1K,M =sup0≤s ≤t ≤s +ω≤2ω{exp[∫t sL(τ,α,P )d τ]}.Then system (1)has at least one ω-periodic solut ion.No.3X.F.Wu,etc.,PERIODIC SOLUT ION T O FUNCT IONAL DIFF.E QS.349P roof Sincelimn→+∞1n∫ωsup∈C,∥∥C≤n,|g(t,)|dτ<1Γ,t here exist s a posit ive int eger n0such t hat1 n0∫ωsup∈C,∥∥C≤n0,|g(t,)|dτ<1Γ.Letβ(t)=sup∈C,∥∥C ≤n0,|g(t,)|(0≤t≤ω),then∫ωβ(τ)dτ<n0/Γ.We t ake T=n0,t hen it is easy t o verify t hat t he conditions of Corollary2.1hold,so syst em(1)has at least oneω-periodic solut ion.R e m a rk 2.1It is easy t o see t hat T heorem1in[1],Theorem1.1in[2],T heorems1 and2in[3],T heorem1in[4],Theorem1in[5]and Theorem1in[6]are t he special cases of Corollary2.2.C or oll ar y 2.3In addition to condition(i)of Corollary2.2,w e further ass ume thatlim∥∥C→+∞|g(t,)|∥∥C=β1(t)uniform ly on[0,ω],and∫ωβ1(τ)dτ<1/Γ.Then system(1)hasat lea st oneω-periodic solution.P roof One can know from ∫ωβ1(τ)dτ<1/Γt hat t here exist s anε0>0such t hat∫ωβ1(τ)dτ+ε0ω<1Γ.(4)Sine lim∥∥C→+∞|g(t,)|∥∥C=β1(t)is uniform for t∈[0,ω]and the aboveε0>0,t here exist s aposit ive constant M1such t hat|g(t,)|∥∥C ≤β1(t)+ε02,for any t∈[0,ω]and∥∥C≥M1,t hat is|g(t,)|≤(β1(t)+ε02)∥∥C,for any t∈[0,ω]and∥∥C≥M1.HencesupM1≤∥∥C≤T |g(t,)|≤(β1(t)+ε02)T,for any t∈[0,ω]and T>M1.(5)Set A=sup∥∥C≤M10≤t≤ω|g(t,)|.limT→+∞AT=0,hence for t he aboveε0>0,t here exist s aposit ive constant M2such t hatA T <ε02if T≥M2.(6)Take T≥m ax{M1,M2},t hen from(5)and(6)we have1 Tsup∥∥C≤T|g(t,)|≤1T(sup∥∥C≤M1|g(t,)|+supM1≤∥∥C≤T|g(t,)|)≤AT+(β1(t)+ε02)<β1(t)+ε0,for any t∈[0,ω],350ANN.OF DIFF.EQS.Vol.28t hat is,sup∥∥C≤T|g(t,)|≤(β1(t)+ε0)T for any t∈[0,ω].It follows from(4)t hat∫ω0T(β1(τ)+ε0)dτ=T∫ω(β1(τ)+ε0)dτ<TΓ.So by C orollary2.1,t he conclusion of t he corollary holds.Using C orollary2.3,we can easily prove t he following Corollary2.4,and t he proof is omit t ed.C orolla r y 2.4Assume that:(i)condition(i)in Corollary2.2holds;(ii)|g(t,)|≤β1(t)∥∥C+N(∥∥C)p+L for any(t,)∈[0,ω]×C,and ∫ωβ1(τ)dτ<1/Γ,w here p<1,N and L are all constants.Then system(1)has at least oneω-periodic solut ion.T heor em 2.2Assum e that:(i)for any u(t)∈Bω(n),w e have K u=exp [∫ωL(τ,λM[u],P)dτ]<1,and∫ω|g(τ,uτ))|dτ≤η,w hereηis a constant;(ii)for a ny u1(t),u2(t)∈Bω(n)and t∈[0,ω],we have|A(t,(u1)t)A(t,(u2)t)|≤φu1u2(t)∥(u1)t(u2)t∥C,|g(t,(u1)t)g(t,(u2)t)|≤ψu1u2(t)∥(u1)t(u2)t∥C,andΓu1∫ω(ηΓu2φu1u2(τ)+ψu1u2(τ))dτ≤θ<1,w hereΓu=√r Mr mM u1K u,andθis a const ant.Then system(1)has a uniqueω-per iodic solution.P r oof By condit ion(i),it is easy t o see t hat syst em(2)has a uniqueω-periodic solut ion x u(t)for any u(t)∈Bω(n).We de ne a mapping F:Bω(n)→Bω(n)as follows:F u(t)= x u(t)for any u(t)∈Bω(n).For any u1(t),u2(t)∈Bω(n)and t∈[0,ω],we have˙x u1(t)˙x u2(t)=A(t,(u1)t)(x u1(t)x u2(t))+g1(t,(u1)t,(u2)t,u2(t)),where g1(t,(u1)t,(u2)t,u2(t))=[A(t,(u1)t)A(t,(u2)t)]x u2(t)+[g(t,(u1)t)g(t,(u2)t)].From(3),we can obtain|F u1(t)F u2(t)|=|x u1(t)x u2(t)|≤Γu1∫ω|g1(τ,(u1)t,(u2)t,u2(t))|dτ≤Γu1∥(u1)t(u2)t∥C∫ω(Γu2ηφu1u2(τ)+ψu1u2(τ))dτ≤Γu1∥u1u2∥∫ω(Γu2ηφu1u2(τ)+ψu1u2(τ))dτ≤θ∥u1u2∥for any t∈[0,ω],t hen∥F u1F u2∥≤θ∥u1u2∥,and0<θ<1.By t he principle cont ract ion mapping,FNo.3X.F.Wu,etc.,PERIODIC SOLUT ION T O FUNCT IONAL DIFF.E QS.351has a unique xed point in Bω(n),t hen syst em(1)has a uniqueω-periodic solut ion.T his com plet es t he proof.R efer en ces[1]L.M.Li,P er iodic solut ion for a cla ss of high er dim ensiona l non-aut on om ou s system,ActaMa th.Appl.Sinica,12:3(1989),272-280.(in C hinese)[2]Q.Y.Wa ng,Existe nce,unique ness an d st ability of p er iodic solut ions,Chin.Ann.Ma th.,15A:5(1994),537-545.(in C hinese)[3]K.Wa ng,P er iodic solutions t o a class of di er ent ia l equa t ion wit h devia t ing ar gume nt s,ActaMa th.S in ica,37:3(1994),409-413.(in C hinese)[4]J.D.C a o,Y.K.Li,T he exist ence an d un iqueness of per iodic solu tion t o high er dimen siona lper iodic syst em with dela y,Acta Ma th.Sinica,40:2(1997),280-286.(in Chinese)[5]J.D.C a o,Q.Li,P er iod ic solut ion for a cla ss of highe r dime nsion al dela y di erent ia l e qu at ion,J.Ma th.R es.Exposition,19:2(1999),401-408.(in Ch inese)[6]Y.B.Ta ng,P er iodic solut ions of a cla ss of neutr a l type f u nctional di er ent ia l equat ion,ActaMa th.Appl.Sinica,23:3(2000),321-328.(in C hinese)[7]R.Re issig,G.S asone,a nd R.Conti,Nonlinea r Di er ential Equa tions of Higher O rder,Noord-ho Int erna t iona l P u blish ing,Leyden,1974,72-122.[8]X.F.Wu,P er iodic solut ion for a cla ss of n-dim ensiona l non-au tonomous syst em s,J.Ma th.,16:4(1996),485-489.(in C hinese)[9]X.F.Wu,T he sta tionar y oscillat ion of tim e-va rying linear lar ge-sca le system under str uct ura lper tur ba tions,Ac ta Ma th.scien tia,21A:1(2001),1-7.(in C hine se)[10]J.D.C ao,et a l,P er iod ic solu tions of t he higher-dimensiona l non-au tonomous syst ems,Appl.Ma th.C omput.,130(2002),369-382.[11]Y.Z.Hu,L.G.Si,P er iod ic solut ions of neu tr al higher dime nsion al per iodic di er entia l syst emwith in n it e delay,Acta M ath.Sinica,48:2(2005),235-244.(in C hinese)(edited by Liangwei Huang)。

分数阶Relaxation-Oscillation 方程 的一种分数阶预估－校正方法杨晨航，刘发旺厦门大学数学科学学院（361005）摘要：涉及松弛（Relaxation ）和震动（Oscillation ）基本现象的过程是与物理密切相关；从数学观点来看，众所周知由时间分数阶导数, 01αα<≤或12α<≤来控制的现象，被称之为分数阶松弛或分数阶震动现象。

本文考虑分数阶Relaxation-Oscillation 方程。

证明了分数阶Relaxation-Oscillation 方程解的存在唯一性，并利用格林函数给出了它的解析解。

我们提出一种计算有效的分数阶预估－校正方法，导出了其误差估计。

最后给出数值例子。

关键词：分数阶导数；Caputo 定义；Riemann-Liouville 定义；分数阶Relaxation-Oscillation方程；分数阶预估校正法; 误差估计。

中图分类号：O241.82 文献标识码：AA Fractional Predictor-Corrector Method of the FractionalRelaxation-Oscillation EquationYANG Chen-hang, LIU Fa-wang(School of Mathematical Sciences, Xiamen University, Xiamen 361005, China)Abstract: The processes involving the basic phenomena of relaxation and oscillation are of great relevance in physics. From a mathematical point of view they are known to be governed by fractional derivatives of order α in time, with 01α<≤ or 12α<≤, leads to processes that, in mathematical physics, we may refer to as fractional relaxation or oscillation phenomena. In this paper, a fractional Relaxation-Oscillation equation (FROE) is considered. The existence and uniqueness of solution for FROE is proven, and its analytical solution is given. A computationally effective fractional Predictor-Corrector method is proposed, and a detailed error analysis is derived. Finally, we give some numerical examples.Key words: Fractional-order; Caputo definition; Riemann-Liouville definition; FractionalRelaxation-Oscillation equation; Fractional Predictor-Corrector Method; Error analysis._______________________________________________________________________________ 基金项目：国家自然科学基金资助（10271098） 作者简介：杨晨航（1982-），男，硕博连读研究生刘发旺教授，男，博士生导师分数阶微分方程已经引起了极大的兴趣，很多领域都牵涉到了，具有广泛的应用前景[1，2，3，4]。

个人简介1956年1月出生，籍贯：吉林省敦化市，1978.03―1982.01 吉林大学数学系本科生1984.09―1986.08 吉林大学数学所硕士研究生1986.09―1988.12 吉林大学数学所博士研究生1982.01―1988.06 吉林大学数学学院助教1988.07―1990.12 吉林大学数学学院讲师1991.01―1992.09 吉林大学数学学院副教授1992.10―现在吉林大学数学学院教授1994.12―现在吉林大学数学学院博士生导师2001.10―现在吉林大学数学学院长江学者特聘教授四、主要学术贡献主要从事偏微分方程理论及其应用方面的研究。

主持和参加了多项教学和科研项目，于国内外学术刊物发表论文几十篇。

现指导博士研究生人6人，硕士研究生9人(已毕业博士研究生6人，硕士研究生12人).1. 教学项目1) 《数学分析》，教育部基地创名牌课程项目，负责人，2003―2005；2) 《数学分析》，吉林大学百门精品课程，负责人，2001―2006；3) 《新时期应用数学人才培养》，吉林大学新世纪教育教学改革工程，负责人，2 003―2006；4) 《数学物理方程》，吉林大学百门精品课程，负责人，2005―2010；2. 科研项目1)《具退化性和奇异性的非线性扩散方程》，国家杰出青年基金项目，负责人，20 02―2005；2) 《具奇异性的非线性扩散方程》，高等学校博士学科点专项科研基金项目，负责人，2004―2006；3) 《图像处理中的偏微分方程方法及其数值方法》，国家自然科学基金重点项目，负责人，2006―2009.3．获奖励情况(1) 2001年获得香港求是科技基金会“杰出青年学者奖”。

(2) 2001年被教育部评为“长江学者奖励计划”特聘教授。

(3) 1999年获国家教育部科学技术进步一等奖。

(4) 2002年被评为教育部高等学校优秀骨干教师。

(5) 2005年被评为吉林省高级专家。

第 42 卷第 3 期2023年 5 月Vol.42 No.3May 2023中南民族大学学报（自然科学版）Journal of South-Central Minzu University（Natural Science Edition）变时滞随机Lotka-Volterra生物模型的渐近性质胡军浩，王朝航*（中南民族大学数学与统计学学院，武汉430074）摘要研究了变时滞随机Lotka-Volterra （LV）生物模型，其中变时滞函数是不可微的，放宽了现有文献变时滞是可微且导数小于1的假设. 使用Ito公式和线性矩阵不等式（LMI）研究了这类生物模型全局正解的存在性和唯一性，并进一步给出了其正解渐近有界、时间均值意义下矩有界和多项式增长的充分条件. 最后给出实例验证了结论的有效性.关键词随机生物模型；Lotka-Volterra生物模型；不可微时滞函数；LMI不等式；渐近有界性中图分类号O241.8 文献标志码 A 文章编号1672-4321（2023）03-0402-06doi：10.20056/ki.ZNMDZK.20230316Asymptotic properties of the stochastic Lotka-Volterra system withvariable time delayHU Junhao，WANG Zhaohang*（College of Mathematics and Statistics， South-Central Minzu University， Wuhan 430074， China）Abstract This paper is concerned with stochastic Lotka-Volterra （LV） system with variable time delay. Comparing with most existing papers，the time delay functions in the LV system are no longer required to be differentiable，their derivatives are less than 1 is not to be mentioned. The existence and uniqueness of the global positive solutions of this system are investigated by using Ito formula and linear matrix inequality （LMI）. Further，sufficient conditions are also obtained for the asymptotic boundedness，time average moment boundedness and the polynomial pathwise growth of the positive solution. Finally， an example is given to illustrate the effectiveness of the results.Keywords stochastic biological model； Lotka-Volterra system； non-differentiable time delay function； LMI inequality；asymptotic boundedness1　模型介绍本文考虑如下形式的变时滞随机Lotka-Volterra 系统：d x(t)=diag(x(t)){[a+Ax(t)+By(t)]d t+[b+Dx(t)+Ey(t)]dω(t)}，（1）其中x(t)，y(t)=x(t-δ(t))∈R n分别表示种群和变时滞种群，δ(t)表示变时滞函数.diag(x)= diag(x1，⋯，x n)表示n×n阶对角矩阵. a，b∈R n，矩阵A=[a ij]，B=[b ij]，D=[d ij]，E=[e ij]∈R n×n. 记f(x，y)=a+Ax+By，g(x，y)=b+Dx+Ey.过去几十年，Lotka-Volterra （LV）生物模型受到了越来越多学者的关注［1-2］. 生物模型经常受到噪音因素的影响，用随机微分方程（SDE）来描述这类生物模型更具现实意义. NIE和MEI［3］研究了白噪声与时滞对LV生物模型的影响，证明了白噪声和时滞完全抑制了LV生物模型种群的爆破. LI和MAO［4］进一步研究了非自治的LV生物模型在随机扰动下的持久性和非持久性. 文献［5-8］研究了常收稿日期2022-11-07　* 通信作者王朝航，研究方向：随机生物数学，E-mail：****************作者简介胡军浩（1974-），男，教授，博士，研究方向：随机系统理论及应用，E-mail：******************基金项目国家自然科学基金资助项目（61876192）；中南民族大学研究生学术创新基金项目（3212023sycxjj003）第 3 期胡军浩，等：变时滞随机Lotka-Volterra生物模型的渐近性质时滞随机LV生物模型正解的存在唯一性及相关性质. HU等［9］研究了变时滞随机LV生物模型的动力学行为，其中变时滞函数导数小于1. 然而，变时滞也可能不可微［10-11］，如分段时滞.本文在文献［10-11］此基础上，讨论不可微变时滞随机LV生物模型全局正解的存在性和唯一性及其他渐近性质.2　基本引理设A是一个向量或矩阵，用A T表示它的转置. 若x∈R n，则|x|表示Euclidean范数. 若A是矩阵，则|A|表示其迹范数，即|A|=trace(A T A). 若A是一个实值对称矩阵，用λmin(A)和λmax(A)分别表示其最小和最大的特征值，A≤0和A<0分别表示A半负定和负定. 设a，b是实数，则a∧b=min{a，b}，a∨b=max{a，b}，a+=a∨0. 令R n+={x∈R n：x i≥0， 1 ≤ i≤ n}，Rˉn+= {x∈ R n：x i> 0， 1≤ i≤ n}.设(Ω，F，{F t}t≥0，P)是一个完备的概率空间，其σ代数流{F t}t≥0满足一般条件（即它是单调递增和右连续的，且F0包含所有空集）. 对于h>0，用C([-h， 0]；R n)表示从[-h，0]映射到R n的连续函数族，其范数为 φ=sup-h≤u≤0|φ(u)|.设ω(t)是定义在概率空间上的一维布朗运动.对任意给定的对称矩阵A∈R n×n，定义：λ+max(A)=sup x∈R n+，||x=1x T Ax，由定义可直接推出，对任意的x∈R n+，有：λ+max(A)≤0⇔x T Ax≤0，x T Ax≤λ+max(A)|x|2.对时滞函数δ(t)提出如下假设：（A1）时滞函数δ(t) ：R+→[h1，h]是Borel可测函数且具有以下性质：hˉ：=lim supΔ→0(sup s≥-hμ()M s，ΔΔ)≤∞，其中，h1和h都是正的常数且h1<h，M s，Δ={t∈R+：t-δ(t)∈[s，s+Δ)}，μ(⋅)表示R+上的勒贝格测度.下面两个引理起着关键作用.引理1［10-11］假设（A1）成立，设T>0且f：[-h，T-h1]→R+是一个连续函数，则：∫0T f()t-δ()t d t≤hˉ∫-h T-h1f()t d t.注：令f(t)≡1，∀t≥-h，可知hˉ≥1.引理2 （Schur补）［12］对于适当阶数的矩阵S，Q，R，其中Q=Q T，R=R T，以下条件相互等价：（1）éëêêùûúúQ SS T R<0，（2）R<0，Q-SR-1S T<0.3　主要结论定理1 假设（A1）成立，若存在正数γ，η和c1，⋯，cn使得：CˉA+A T Cˉ+4ηhˉI<0，（2）H=éëêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúúúúCˉA+A T Cˉ2CˉB A T0D T02B T Cˉ-ηI0B T0E TA0-6γI0000B0-6γI00D000-6Cˉ-100E000-6Cˉ-1≤0，（3）其中Cˉ=diag(c1，⋯，c n)，I表示n阶单位矩阵. 则对任意给定的初值ξ∈C([-h，0]；Rˉn+)，方程（1）存在唯一的全局正解.证明方程（1）的系数局部Lipschitz连续，故对任意给定的初值ξ∈C([-h，0]；Rˉn+)，方程（1）在t∈[-h，σ∞]上存在唯一的最大的局部正解x(t)，其中σ∞表示爆炸时间. 为了证明x(t)是全局的，只需证明σ∞=∞ a.s.设k0是一个充分大的正数满足：1k0<min-h≤t≤0|ξ(t)|≤max-h≤t≤0|ξ(t)|<k0.对每个满足k≥k0的整数k，定义停时：τk=inf{t∈[-h，σ∞)：x i∉(1k，k)对某一i=1，⋯，n}.本文总约定inf∅=∞. 显然，当k→∞时，τk是递增的. 设τ∞=lim k→∞τk，则τ∞≤σ∞ a.s.如果τ∞=∞ a.s.，即可以推出σ∞=∞ a.s.且x(t)∈R n+ a.s.对t∈[- h，∞]恒成立. 这也等价于证明，对任意的t>0有P(τk≤t)→0，k→∞. 因此，定义一个C2函数U：R n+→R+：403第 42 卷中南民族大学学报（自然科学版）U (x )=∑i =1n c i (x i -log x i )，其中u (x )=x -log x ≥0对x >0恒成立，且u (0+)=u (∞)=∞. 由Ito公式可得：E U (x (t ∧τk))=U (ξ(0))+E ∫t ∧τk L U ()x ()s ，y ()s d s ，L U 定义为：L U (x ，y )=x T C ˉf (x ，y )-c T f (x ，y )+12||C ˉg (x ，y )||2，其中c =(c 1，⋯，c n )T. 注意到：12|||C ˉg (x ，y )|||2≤32(b T C ˉb +x T D T C ˉDx +y T E T C ˉEy )，（4）且：-c T f (x ，y )≤12γ|c |2+γ2|f (x ，y )|2≤12γ|c |2+3γ2(|a |2+x T A T Ax +y T B T By ).（5）由（4）式和（5）式可知：L U (x ，y )≤c 1+14z T H 1z +a T C ˉx +12x T C ˉAx +η|y |2，其中c 1=12γ|c |2+3γ2|a |2+32b T C ˉb ，z =(x ，y )T 且H 1=éëêêùûúúC ˉA +A T C ˉ+6γA T A +6D T C ˉD 2C ˉB 2B T C ˉ-ηI +6γB T B +6E T C ˉE =éëêêùûúúA T 0D T 00B T 0E T éëêêêêêùûúúúúú6γI6γI6Cˉ6CˉéëêêêêêêêùûúúúúúúúA00B D 00E +éëêêùûúúC ˉA +A T C ˉ2C ˉB 2B T C ˉ-ηI .由引理2可知，H 1≤0⇔H ≤0，故（3）式可得：z TH 1z ≤0，因此：L U (x ，y )≤c 1+a T Cˉx +12x T C ˉAx +η|y |2.（6）由引理1可知：η∫t ∧τk ||y ()s 2d s ≤h ˉη∫-ht ∧τk ||x ()s 2d s ≤hhˉη ξ2+hˉη∫t ∧τk ||x ()s 2d s ，（7）由（6）式和（7）式可得：E U (x (t ∧τk))=U (ξ(0))+E ∫t ∧τk éëêc 2+a T C ˉx (s )+ùûúú14x T(s )()CˉA +A T C ˉ+4ηh ˉI x (s )d s ，其中c 2=hhˉη ξ2+12γ|c |2+3γ2|a |2+32b T C ˉb . 令α=λ+max (C ˉA +A T C ˉ+4ηh ˉI )，由（2）式可知α<0，因此：E U ()x ()t ∧τk=U ()ξ()0+E ∫t ∧τk éëêc 2+a T C ˉx (s )+ùûúú14x T(s )()CˉA +A T C ˉ+4ηh ˉI x (s )d s ≤U ()ξ()0+E éëêêùûúú∫t ∧τkc 2+a T C ˉx (s )+14α||x (s )2d s ≤U ()ξ()0+c 3t ，其中c 3是一个正常数. 由τk 的定义可知，x i (τk )=k 或1k对某个i =1，⋯，n 成立，因此：P ()τk ≤t éëêêùûúúu ()1k ∧u ()k ≤P ()τk ≤t U ()x ()t ∧τk ≤E U ()x ()t ∧τk≤U ()ξ()0+c 3t ，令k →∞可得：lim k →∞P (τk ≤t )=0.证毕.定理2 假设定理1的条件成立，x (t )是方程（1）具有初值ξ∈C ([-h ，0]；R ˉn +)的正解，则x (t )有如下性质：lim sup t →∞E |x (t)|≤∞，lim sup t →∞1t ∫0tE ||x ()t 2≤∞.证明 定义一个C 2函数V ：R n +→R +：V (x )=∑i =1n c i x i ，由Ito 公式可得：e εt E V (x (t))=V (ξ(0))+E ∫0t e εs []L V ()x ()s ，y ()s +εV ()x ()s d s ，其中ε是一个充分小的正数使得：C ˉA +A T C ˉ+4ηh ˉe εh I <0，L V 定义为：L V (x ，y )=x T C ˉf (x ，y )≤14z T H 2z +a T Cˉx +12x T C ˉAx +η|y |2，（8）其中：404第 3 期胡军浩，等：变时滞随机Lotka -Volterra 生物模型的渐近性质H 2=éëêêùûúúC ˉA +A T C ˉ2C ˉB 2B T C ˉ-ηI ，由H ≤0可以推出H 2≤0，因此：L V (x ，y )+εV (x )≤+a T Cˉx +12x T C ˉAx +η|y |2+εc T x ，（9）由引理1可知：η∫0te εs||y ()s 2d s ≤ηe εh∫0te ε()s -δ()s||x ()s -δ()s 2d s ≤hh ˉηe εhξ2+h ˉηe εh∫0te εs||x ()s 2d s ，（10）由（9）式和（10）式可知：e εt E V ()x ()t ≤V ()ξ()0+hhˉηe εhξ2+E∫0te εs éëêê()a T C ˉ+εc T x ()s +14x T ()s (C ˉA +A T C ˉ+])4hˉηe εh I x ()s d s ≤V ()ξ()0+hh ˉηe εh ξ2+c 4∫t e εs d s ，其中c 4是一个正常数. 立得：lim sup t →∞E |x (t)|≤∞，又由Ito 公式可得：E V (x (t))=V (ξ(0))+E ∫0t L V ()x ()s ，y ()s d s ，由（7）式和（8）式可得：E V (x (t))+ε1E ∫0t|x (s )|2d s ≤V (ξ(0))+hhˉη ξ2+E éëêa TC ˉx ()s +ùûúú14x T()s ()CˉA +A T C ˉ+4()h ˉη+ε1I x ()s d s ≤V (ξ(0))+hhˉη ξ2+c 5t ，其中c 5是一个正常数，ε1是一个充分小的正数使得：CˉA +A T C ˉ+4(h ˉη+ε1)I <0，因此：lim supt →∞1t ∫t E ||x ()t2≤∞.证毕.定理3 假设定理1的条件成立. 若存在非负常数q 和r 使得以下条件成立：H 3=éëêêêêêùûúúúúúCˉA +A T C ˉC ˉB c 0B T C ˉ00c c T001r0c T 1r 2q r 2≤0，（11）q >rhˉ，（12）则方程（1）具有初值ξ∈C ([-h ，0]；Rˉn +)的正解x (t )有如下性质：lim supt →∞log ||x ()tlog t≤1 a.s.证明 定义一个C 2函数V ：R n+→R +：W (x )=log (c T x )，由Ito公式可得：e ε2t W (x (t))=W (ξ(0))+M (t )+∫0t e ε2s[]L W ()x ()s ，y ()s +ε2V ()x ()s d s =W (ξ(0))+M (t )+e ε2séëêêJ ()s -12||Z ()s 2+ùûúε2W ()x ()s d s ，其中：0<ε2<1h log(q rhˉ)，Z =x T C ˉg c T x ，J =x T Cˉf c T x ，M (t )=∫0t e ε2sZ ()s d ω(s )，对任意给定的θ>1和k ∈N ，由指数鞅不等式可知：P ìíîsup 0≤t ≤k +1éëêêM (t )-12e ε2(k +1)∫0te 2ε2s |Z (s )|2d s ùûúú≥e ε2(k +1)log k θüýþ ≤1kθ ，级数∑k =1∞1kθ≤∞，由Borel -Cantelli 引理，对几乎所有ω∈Ω，当k 充分大且k ≤t ≤k +1时有：M (t )≤12e ε2(k +1)∫0te 2ε2s |Z (s )|2d s +e ε2(k +1)log k θ≤12∫0t e ε2s|Z (s )|2d s +θe ε2e ε2t log t ，因此：e ε2t W (x (t))≤W (ξ(0))+θe ε2eε2tlog t +∫0te ε2s[]J ()s +ε2W ()x ()s d s ，（13）由引理2和（11）式可知：H 4=éëêêùûúúC ˉA +A T C ˉ+2qM C ˉB -rM B T Cˉ-rM 0≤0，其中M =cc T ， 因此对任意给定的x ，y ∈R n+有：0≥(x T ，y T )H 4()xy=x T (CˉA +A T C ˉ+2qM )x +2x T (C ˉB -rM )y =2x T(CˉAx +C ˉBy )+2q (c Tx )2-2r (c Tx )(c Ty ) ，405第 42 卷中南民族大学学报（自然科学版）即：x T (CˉAx +C ˉBy )≤r (c T x )(c T y )-q (c T x )2，因此：J =x T Cˉ()a +Ax +By c T x≤max i {a i }+rc T y -qc T x ，（14）由（13）式和（14）式可知：e ε2t W (x (t))≤W (ξ(0))+θe ε2e ε2tlog t +∫0t e ε2s[]J +ε2W ()x ()s d s ≤W (ξ(0))+θe ε2e ε2tlog t +e ε2s[max i{}a i+]rc Ty ()s -qc Tx ()s +ε2log ()c Tx d s ，由引理1可知：r∫t e ε2s c Ty (s )d s ≤reε2h∫t e ε2()s -δ()s c T x (s -δ(s))d s ≤rhhˉe ε2h |c | ξ+rh ˉe ε2h ∫0t eε2s c Tx (s )d s ，因此：e ε2tW (x (t))≤W (ξ(0))+θeε2e ε2tlog t +rhh ˉe ε2h |c | ξ+∫0te ε2s[max {aˉi}+(rhˉe ε2h -q )c Tx (s )+ε2log (c Tx )]d s ≤θe ε2e ε2tlog t +c 6(1+e ε2t) ，其中c 6是一个正的常数. 令θ→1，ε2→0，则：lim supt →∞log ||x ()t log t≤1 a.s.证毕.4　实例考虑文献［13］中的二维Lotka -volterra 系统：d x 1(t )x 1(t )=[]-8x 1(t )+x 2(t )-y 1(t )+y 2(t )d t +[]λx1(t )+λx 2(t )+μy 1(t )-μy 2(t )d ω(t )，d x 2(t )x 2(t )=[]x 1(t )-7x 2(t )+y 1(t )-y 2(t )d t +[]λx2(t )-μy 2(t )d ω(t )，其中λ和μ是非负常数，且：δ(t )=[()0.1+0.1()t -2k I [)2k ，2k +1()t +]()0.2-0.1()t -2k -1I [)2k +1，2()k +1()t ，显然，δ(t )满足假设（A1），此时，h 1=0.1，h =0.2，hˉ≈1.1. 令：A =éëêêùûúú-811-7，B =éëêùûú-111-1，D =λéëêùûú1101，E =μéëêùûú1-10-1，令c =(1 ， 1)T，γ=130，计算得：A +A T +4ηh ˉI =éëêêùûúú-16+4.4η22-14+4.4η，H 1=éëêêêêêêêùûúúúúúúú-3+6λ2-1+6λ2-22-1+6λ2-4+12λ22-2-22-η+25+6μ2-25-6μ22-2-25-6μ2-η+25+12μ2，H 4=éëêêêêêêêêùûúúúúúúúú2q -162q +2-1-r 1-r 2q +22q -141-r -1-r -1-r 1-r 001-r-1-r0.应用定理1和定理2可得：A +A T +4ηh ˉI <0⇔ìíî-16+4.4η<019.36η2-132η+220>0，即η<又对任意给定的z ∈R 4+，有：z T H 1z =()-3+6λ2z 21+2()-1+6λ2z 1z 2-4z 1z 3+4z 1z 4+()-4+12λ2z22+4z 2z 3-4z 2z 4+()-η+25+6μ2z 23+2()-25-6μ2z 3z 4+()-η+25+12μ2z 24≤()-3+6λ2z 21+()-1+6λ2+()z 21+z 22+2()z 21+z 24+()-4+12λ2z 22+2()z 22+z 23+()-η+25+6μ2z 23+()-η+25+12μ2z 24=[]-1+6λ2+()-1+6λ2+z 21+[]-2+12λ2+()-1+6λ2+z 22+()-η+25+6μ2z 23+()-η+25+12μ2z 24 ，显然，当0≤μ≤η≥125，0≤λ≤时， z T H 1z ≤0，因此H ≤0.即定理1和定理2成立的条件为：406第 3 期胡军浩，等：变时滞随机Lotka -Volterra 生物模型的渐近性质ìíîïïïïïïïï0≤μ≤0≤λ≤125≤η<应用定理3，对任意给定的z ∈R 4+，有：z T H 4z =()2q -16z 21+2()2q +2z 1z 2-2()1+r z 1z 3+2()1-r z 1z 4+()2q -14z22+2()1-r z 2z3-2()1+r z 2z 4≤()2q -16z 21+()2q +2()z 21+z 22+()2q -14z 22+()1-r +()z 21+z 24+()1-r +()z 22+z 23=[]4q -14+()1-r +z 21+[]4q -12+()1-r +z 22+()1-r +()z 23+z 24.显然，当r ≥1，q ≤3时H 4≤0，故H 3≤0. 又由（12）式有q >1.1r ，即定理3成立的条件为：r ≥1，1.1r <q ≤3.注：当δ(t )退化为一个常数，即δ(t )=τ（τ>0）， hˉ=1~定理3成立的条件为0≤λ≤0≤μ<r ≥1，r <q ≤3. 此时，文献［9］中的定理7也成立.参 考 文 献［1］ WANG Z ， BAYLISS A ， VOLPERT V. Asymptoticanalysis of the bistable Lotka -Volterra competition -diffusionsystem ［J ］. Appl Math Comput ， 2022， 432： 127371.［2］ WANG H ， PAN C ， OU C. Propagation dynamics offorced pulsating waves of a time periodic Lotka -Volterra competition system in a shifting habitat ［J ］. J Differ Equ ， 2022， 340： 359-385.［3］ NIE L ， MEI D. Noise and time delay ： Suppressed populationexplosion of the mutualism system ［J ］. Europhysics Letters ， 2007， 79（2）： 20005.［4］ LI X ， MAO X. Population dynamical behavior of non -autonomous Lotka -Volterra competitive system withrandom perturbation ［J ］. Discrete Contin Dyn Syst ， 2009， 24（2）： 523.［5］ BAHAR A ， MAO X. Stochastic delay populationdynamics ［J ］. Int J Pure Appl Math ， 2004，11： 377-400.［6］ MAO X ， YUAN C ， ZOU J. Stochastic differential delayequations of population dynamics ［J ］ J Math Anal Appl ， 2005， 304（1）： 296-320.［7］ BAHAR A ， MAO X. Stochastic delay Lotka -Volterramodel ［J ］. J Math Anal Appl ， 2004， 292（2）： 364-380.［8］ MAO X ， MARION G ， RENSHAW E. EnvironmentalBrownian noise suppresses explosions in population dynamics ［J ］. Stoch Proc Appl ， 2002， 97（1）： 95-110.［9］ HU Y ， WU F ， HUANG C. Some new results on theLotka -Volterra system with variable delay ［J ］. Abstr Appl Anal ， 2014，2014： 537674.［10］ DONG H ， MAO X. Advances in stabilization of highlynonlinear hybrid delay systems ［J ］ Automatica ， 2022， 136： 110086.［11］ HU J ， MAO W ， MAO X. Advances in nonlinear hybridstochastic differential delay equations ： existence ， boundedness and stability ［J ］. Automatica ， 2023， 147： 110682.［12］ MAO X ， YUAN C. Stochastic differential equations withMarkovian switching ［M ］. London ： Imperial College Press ， 2006.（责编 曹东，校对 姚春娜）407。