高中数学第二章函数41二次函数的图像课时作业.docx

§4 二次函数性质的再研究4．1 二次函数的图像知识点 二次函数的图像[填一填]1．二次函数函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫作二次函数．它的定义域是R .如果b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a >0时，抛物线开口向上，a <0时，抛物线开口向下．2．二次函数的图像变换(1)二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像可由y ＝x 2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a 倍得到；(2)二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可由y ＝ax 2的图像向左(h >0)(或向右(h <0))平移|h |个单位，再向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到；(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，可把它先配方，再由y ＝ax 2的图像平移得到；(4)函数y ＝f (x ＋a )的图像可由y ＝f (x )的图像向左(a >0)(或向右(a <0))平移|a |个单位得到；(5)函数y ＝f (x )＋k 的图像可由y ＝f (x )的图像向上(k >0)(或向下(k <0))平移|k |个单位得到．[答一答]1．函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像向左(h >0)或向右(h <0)平移|h |个单位，再向上(k >0)或向下(k <0)平移|k |个单位得到．h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图像与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图像形状相同，只是位置不同．2．函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图像如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b 2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点(－b 2a ，4ac －b 24a)的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c >0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c <0时，交点在y 轴的负半轴．作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．(2)平移变换法：任意抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)都可转化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并且都可由y ＝ax 2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．①a 决定抛物线开口方向：a >0，开口向上；a <0，开口向下．②c 是抛物线与y 轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c )，在画抛物线简图时常常用到．③对称轴：直线x ＝－b 2a.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反． ④顶点坐标：(－b 2a ，4ac －b 24a )．当a >0时，4ac －b 24a 是二次函数的最小值；当a <0时，4ac －b 24a 是二次函数的最大值．⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c )．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．类型一 二次函数的定义【例1】 当m 为何值时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．【思路探究】 根据定义y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9m ＋20＝2m －3≠0， 解得m ＝6或m ＝3且m ≠3，∴m ＝6，∴当m ＝6时，函数y ＝(m －3)xm 2－9m ＋20是二次函数．规律方法 不要忽略条件m －3≠0.已知函数y ＝(4a ＋3)x 4a 2－a －1＋x －1是一个二次函数，求满足条件的a 的值．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋3≠04a 2－a －1＝2， 即⎩⎨⎧ a ≠－34a ＝－34或a ＝1，∴a ＝1.即a 的值为1时，函数为二次函数．类型二 二次函数的平移变换【例2】 将抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．【思路探究】 方法1：依据抛物线y ＝ax 2与y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．【解】 方法1：抛物线y ＝－x 2＋2x ＋5＝－(x －1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛。

2.4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2. 已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。

4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。

2018版高中数学第二章函数2.4.1 二次函数的图像学案北师大版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.4.1 二次函数的图像学案北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.4。

1 二次函数的图像1．理解y＝x2与y＝ax2(a≠0），y＝ax2与y＝(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点）[基础·初探]教材整理 1 函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系阅读教材P41～P42第2自然段结束有关内容，完成下列问题．二次函数y＝ax2（a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．其中a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为________．①f(x）＝错误!x2；②f(x）＝错误!x2；③f（x）＝－错误!x2;④f（x)＝－3x2。

【解析】y＝ax2(a≠0）的图像在同一直角坐标系中｜a|越大，开口就越小．【答案】④②③①教材整理 2 函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)的图像阅读教材P42第3自然段~P44的有关内容，完成下列问题．1．y＝ax2错误!y＝a（x＋h）2错误!y＝a(x＋h）2＋k。

2．将二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)通过配方化为y＝a（x＋h）2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0)的图像．3．在二次函数y＝a(x＋h）2＋k（a≠0）中,a决定了二次函数图像的开口大小及方向．判断（正确的打“√"，错误的打“×”)(1)二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．（）（2)要得到y＝－(x－2)2的图像，需要将y＝－x2向左平移1个单位．( ）(3）要得到y＝2(x＋1)2的图像,需将y＝2（x＋1)2－1的图像向上平移1个单位．( ）【答案】（1)×(2)×（3）√［小组合作型]二次函数图像间的变换（1）y＝x2；（2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像.【导学号：04100027】【精彩点拨】对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．【尝试解答】列表:x－3－2－10123y＝x29410149y＝x2－272－1－2－127y＝2x2－301660－2064x由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．法一:先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍,得到y＝2(x－1)2的图像,最后把y＝2(x－1）2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像．法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移1个单位长度得到y＝（x－1)2－1的图像,最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍,便可得到y＝2（x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．任意抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可转化为y＝a（x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．即上述平移规律“h值，正、负，左、右移”,亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．[再练一题］1．画二次函数y＝错误!x2－6x＋21的图像，并说明它是如何经过y＝错误!x2平移得到的．【解】∵y＝错误!x2－6x＋21＝错误!(x－6)2＋3，∴抛物线的顶点坐标为（6,3），对称轴为x＝6.令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为（0,21)，此交点距顶点太远,画图时利用不上．令y＝0,12x2－6x＋21＝0,∵Δ＜0,方程无实数解，∴抛物线与x轴没有交点．因此，画此函数图像,应利用函数的对称性列表,在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．(1）利用二次函数的对称性列表：x45678y5 3.533。

课时作业11二次函数的图像|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，其图像开口最小的是()A．f(x)＝3x2B．f(x)＝12x2＋x－1C．f(x)＝－12x2－x D．f(x)＝－4x2＋1【解析】在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．【答案】 D2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是()【解析】选项A，y＝ax＋b中，a>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；选项B，y＝ax＋b中，a>0，b>0，而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝－b2a>0，矛盾；选项D，y＝ax＋b中，a<0，b<0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．【答案】 C3．二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上，则t的值是()A．－4 B．4C．－2 D．2【解析】二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4.【答案】 A4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是( )A ．a >0，b <0，c >0B ．a <0，b <0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b >0，c >0【解析】 因为抛物线开口向下，所以a <0，因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，所以－b 2a >0，所以b >0，因为抛物线与y 轴交于正半轴，所以c >0.【答案】 D5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6C ．y ＝2x 2－6D ．y ＝2(x ＋2)2【解析】 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D.【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________.【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎨⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2，解得b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.【答案】 x 2＋4x ＋27．将二次函数y ＝－2x 2的顶点移到(－3,2)后，得到的函数的解析式为________．【解析】 因为二次函数y ＝－2x 2的顶点为(0,0)，所以要将其顶点移到(－3,2)，只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，所以平移后的函数解析式为y ＝－2(x ＋3)2＋2.【答案】 y ＝－2(x ＋3)2＋28．抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两交点为A ，B ，顶点为C ，则△ABC 的面积是________．【解析】 y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3)＝－(x ＋1)2＋4，由题意，令A (－3,0)，B (1,0)，C (－1,4)，所以S △ABC ＝12×4×4＝8.【答案】 8三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x 2－2x ＋1，求该二次函数的解析式．【解析】 将y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得解析式为y ＝(x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ＋3＝x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7.令x 2＋(b ＋4)x ＋2b ＋c ＋7＝x 2－2x ＋1，比较对应项系数可得⎩⎨⎧ b ＋4＝－2，2b ＋c ＋7＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－6，c ＝6. ∴所求函数解析式为y ＝x 2－6x ＋6.10．已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．【解析】 (1)配方得y ＝2(x －1)2－8.因为a ＝2>0，所以函数图像开口向上，对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是 (1，－8)．列表：x －1 0 1 2 3y 0 －6 －8 －6 0描点并画图，得函数y ＝2x 2－4x －6的图像．如图所示：(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A (－1,0)，B (3,0)，与y 轴的交点坐标为C (0，－6)．所以S △ABC ＝12|AB |·|OC |＝12×4×6＝12.|能力提升|(20分钟，40分)11．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总过的点是( )A ．(1,3)B ．(1,0)C ．(－1,3)D ．(－1,0)【解析】 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，所以⎩⎨⎧ x 2＋2x －y ＝0，1－x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，所以图像总过点(1,3)．【答案】 A12．已知y ＝1与函数f (x )＝x 2－|x |＋a 的图像有两个交点，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由函数f (x )＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋a －14，x ≤0的大致图像知f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝a －14，f (0)＝a ，若y ＝1与y ＝f (x )有两个交点，则有a <1或a －14＝1，即a <1或a ＝54.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <1或a ＝54 13．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的解析式．【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b 2a ＝－2，所以b ＝4a .因为图像在y 轴上的截距为1，所以c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac |a |＝22， 所以b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，所以f (x )＝12x 2＋2x ＋1.14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)，且x 21＋x 22＝269，试问：该抛物线是由y ＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位长度得到的？。

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2。

4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是（)A．y＝x2B．y＝2x2＋2C．y＝4x2D．y＝2x2－2【解析】将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.【答案】C2．将二次函数y＝－错误!x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( ) A．y＝－错误!（x－1)2－1 B．y＝－错误!（x－1)2＋1C．y＝－错误!(x＋1)2＋1 D．y＝－错误!（x＋1）2－1【解析】将二次函数y＝－错误!x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－错误!(x＋1)2－1。

【答案】D3. 若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是( )【解析】因为一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，所以知a＜0，b＜0,所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x＝－错误!＜0，只有选项C适合．【答案】C4. 二次函数y＝－x2＋4x＋t图像的顶点在x轴上,则t的值是（）A．－4 B．4C．－2 D．2【解析】二次函数的图像顶点在x轴上，故Δ＝0，可得t＝－4。

第二章§4 4．1 二次函数的图像课时跟踪检测一、选择题1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为()A．y＝x2＋2 B．y＝2x2C．y＝12x2D．y＝x2－2答案：B2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则点M(a，bc)在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：抛物线开口向上知a>0，由对称轴－b2a>0，得b<0，又ƒ(0)＝c<0，∴bc>0，∴M(a，bc)在第一象限．答案：A3．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于()A．ca B．－c aC．±ca D．以上都不对解析：设ax2＋bx＋c＝0两根分别为x1，x2，则|OA|·|OB|＝－x1x2＝－ca.答案：B4．设abc>0，二次函数ƒ(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是()解析：对于A ，a <0，ƒ(0)＝c <0，对称轴x ＝－b2a <0，∴b <0，此时abc <0，矛盾；对于B ，a <0，c >0，－b2a >0，∴b >0，此时abc <0，矛盾；对于C ，a >0，c <0，－b2a <0，∴b >0，此时abc <0，矛盾．故当abc >0时，其图像不可能是A 、B 、C ，故选D ．答案：D5．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定答案：A6．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图像只可能是( )解析：当a >0时，由A 、B 选项中二次函数图像可知－b2a >0，b <0；由一次函数图像知b >0，与b <0矛盾，∴A 、B 选项均不正确；当a <0时，y ＝ax 2＋bx 的图像与x 轴的交点坐标分别为(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0；y ＝ax ＋b 与x 轴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，∴C 不正确，D 正确．答案：D 二、填空题7．不论m 取何值，二次函数y ＝x 2＋(2－m )x ＋m 的图像总经过的点是________．解析：令x ＝1，则y ＝1＋2－m ＋m ＝3与m 无关． 答案：(1，3)8．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，则y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为________．解析：由题意，得y ＝－2(x ＋1)(x －3)＝－2x 2＋4x ＋6. 答案：y ＝－2x 2＋4x ＋69．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________． 解析：∵f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x )图像关于x ＝x 1＋x 22对称，又∵f (x )对称轴为x ＝－b 2a ，∴x 1＋x 22＝－b 2a ，∴x 1＋x 2＝－b a ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋c ＝c . 答案：c 三、解答题10.已知函数ƒ(x )＝x |x －2|. (1)画出函数y ＝ƒ(x )的图像；(2)写出ƒ(x )的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数；(不必证明)(3)已知ƒ(x )＝14，求x 的值．解：(1)ƒ(x )＝x |x －2|＝⎩⎨⎧x 2－2x （x ≥2），－x 2＋2x （x <2）作图如下：(2)单调递增区间(－∞，1]，[2，＋∞)，单调递减区间(1，2)．(3)∵ƒ(x )＝14，∴当x ≥2时，x 2－2x ＝14，∴x ＝1＋52或x ＝1－52(舍去)，当x <2时，－x 2＋2x ＝14，∴x ＝1±32，∴x 的值为1±32，1＋52.11．已知二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (2－x )且f (x )＝0的两实根平方和为10，其图像过点(0，3)．求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋2)＝f (2－x )知，该函数图像关于直线x ＝2对称，∴－b2a ＝2，即b ＝－4a . ① 又∵图像过点(0，3)，∴c ＝3. ②∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－b a 2－2ca ＝10， ∴b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③解得a ＝1，b ＝－4，c ＝3. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.12．某类产品按质量可分为10个档次，生产最低档次的产品，每件利润6元，如果产品每提高一个档次，则利润增加2元，用同样的工时，最低档次每天生产60件，提高一个档次将少生产4件产品，问生产第几档次的产品，所获利润最大？解：设生产第x 档次的产品利润为y ，由题意得 y ＝[6＋2(x －1)][60－4(x －1)]＝(2x ＋4)(64－4x ) ＝－8x 2＋112x ＋256＝－8(x －7)2＋648， x ∈[1，10]，x ∈N ＋.当x ＝7时，y max ＝648. 故生产第7档次的产品，所获利润最大．13．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ＜0，方程f (x )＋2x ＝0的两根是1和3，若f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式．解：设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，则f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. 由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，由Δ＝0，得5a2－4a－1＝0，解得a＝－15或a＝1(舍)，∴f(x)＝－15x2－65x－35.。

第4节 二次函数与幂函数（课时作业）1．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5答案 B解析 函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，∴m ＝－8，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.2．幂函数24m m y x －＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ∵24m m y x －＝(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.3．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.4．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( ) A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞) D ．[32，3] 答案 D 解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32且f (32)＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈[32，3]． 5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点处取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关 答案 C解析 该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x ＝14， 又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0，则14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)．7．已知幂函数()12f x x－＝，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．答案 (3,5) 解析 ∵幂函数()12f x x －＝单调递减，定义域为(0，＋∞)，∴由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得3<a <5. 8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x－2的大小关系是________________．答案 h (x )>g (x )>f (x ) 解析 如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．9．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立，即m <－(x ＋4x)对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数． ∴4<y <5，∴－5<－(x ＋4x)<－4，∴m ≤－5. 方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m ≤－5. *10.若函数f (x )＝x 2－a |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)， x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2－ax ＋a ＝(x －a 2)2＋a －a 24， x ∈(－∞，1)时，f (x )＝x 2＋ax －a ＝(x ＋a 2)2－a －a 24. ①当a 2>1，即a >2时，f (x )在[1，a 2)上单调递减，在(a 2，＋∞)上单调递增，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a <0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]．∵f (x )的对称轴为x ＝1，∴当x ＝1时，f (x )取最小值1；当x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在[－5,5]上是单调函数，∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故实数a 的取值范围为a ≤－5或a ≥5.12．已知幂函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解： (1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数，所以函数()21()m m f x x －＋＝(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)，21()2m m －＋，即211()222m m －＋＝， 所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.又因为m ∈N *，所以m ＝1，12(),f x x =又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32， 故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．。

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4.1 二次函数的图像[学业水平训练］1。

(2014·潍坊高一检测）已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图，则此函数的解析式可能为( )A．y＝12x2－错误!x－3B．y＝错误!x2－错误!x＋3 C．y＝－错误!x2＋错误!x－3 D．y＝－错误!x2－错误!x＋3解析：选A。

由图像可知，抛物线开口向上，a＞0，顶点的横坐标为x＝－b2a＞0,故b＜0，图像与y轴交于负半轴，故c＜0.2．已知a＜0，b＜0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋2的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.抛物线开口向下，顶点的横坐标为x＝－错误!＜0，与y轴交于点（0,2）．故图像如图所示，顶点应在第二象限．3．用配方法将函数y＝错误!x2－2x＋1写成y＝a(x－h)2＋的形式是（)A．y＝错误!（x－2）2－1 B．y＝错误!(x－1）2－1C．y＝错误!(x－2）2－3 D．y＝错误!(x－1）2－3解析：选A.y＝错误!x2－2x＋1＝错误!（x2－4x＋4)－1＝错误!(x－2）2－1.4．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1，3）,则此函数的解析式为( )A．y＝2（x－1）2＋3 B．y＝2（x＋1）2＋3C．y＝－2（x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3解析：选D。

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课时提能演练(十) / 课后巩固作业(十)(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2018·上饶高一检测)f(x)=x 2+ax+b 满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值为( ) (A)5 (B)-5 (C)6 (D)-62.已知函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),如果a ＞b ＞c 且a+b+c=0,则它的图像大致为( )3.二次函数y=6x 2,y=-6x 2,y=21x 6,y=-21x 6的图像共有的性质是( ) (A)开口向上 (B)对称轴是y 轴 (C)都有最高点 (D)y 随x 的增大而增大4.（易错题）已知二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,则k 的取值范围是( )(A)k ＞-74 (B)k ≥-74且k ≠0 (C)k ≥-74 (D)k ＞-74且k ≠0二、填空题（每小题4分，共8分）5.若顶点坐标为(2,-2)的二次函数f(x)的图像与g(x)=-3(x+1)2的图像开口大小相同，方向相反，则二次函数f(x)的解析式为____________.6.(2018·北京高一检测）将二次函数y=-2x 2的顶点移到（-3，2）后，得到的函数的解析式为_____________. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知二次函数图像的顶点为(1,-3)，且其图像与x 轴的一个交点为(2,0)，求此函数的解析式. 8.已知二次函数y=2x 2-4x-6.(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像;(2)求此函数图像与x 轴、y 轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积. 【挑战能力】（10分）已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.（1）求证：不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图像与x 轴交于点A （x 1,0），B （x 2,0），且x 1、x 2的倒数和为23，求这个二次函数的解析式.答案解析【解析】选C.∵f （1）=f （2）=0，∴1a b 0,42a b 0++=⎧⎨++=⎩，解得a 3,b 2,=-⎧⎨=⎩∴f(x)=x 2-3x+2, ∴f(-1)=1+3+2=6.2.【解析】选A.由a ＞b ＞c,a+b+c=0知a ＞0,c ＜0,且x=1时,y=0,故选A.3.【解题指南】解答本题可从四个二次函数的图像与y=x 2的图像的关系入手.【解析】选B.因为四个二次函数的图像分别由函数y=x 2的图像横坐标不变,纵坐标分别变为原来的6倍,-6倍,16倍,-16倍得到,因此四个函数图像的共同特征是对称轴均是y 轴，故选B. 4.【解析】选B.因为二次函数y=kx 2-7x-7的图像和x 轴有交点,所以()2k 0747k 0,≠⎧⎪⎨∆=-+⨯⨯≥⎪⎩，所以k ≥-74且k ≠0,故选B.【误区警示】解答本题时易忽视k ≠0这一条件.因为当k=0时,函数y=kx 2-7x-7不是二次函数,故解答此类题时一定要审好题.5.【解析】由题意可知f(x)=3(x-2)2-2=3x 2-12x+10. 答案：f(x)=3x 2-12x+106.【解析】∵二次函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴要将其顶点移到（-3，2），只要把图像向左平移3个单位，向上平移2个单位即可，∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2. 答案：y=-2(x+3)2+2【变式训练】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数解析式是___________.【解析】函数y=3x 2-x+2的图像向左平移1个单位长度得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2的图像，再向下平移2个单位长度，得到函数y=3(x+1)2-(x+1)+2-2的图像，即所得图像对应的函数解析式是y=3x 2+5x+2. 答案：y=3x 2+5x+27.【解题指南】已知图像的两个点，如果用一般式， 似乎差一个条件，但考虑到对称轴及顶点坐标公式，就可以列出三元一次方程组求解.【解析】方法一：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得a b c 3,a 3,4a 2b c 0,b 6,b c 0.1,2a⎧⎪++=-=⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪-=⎩解得所以函数的解析式为y=3x 2-6x. 方法二：设所求函数的解析式为 y=ax 2+bx+c(a ≠0).由题意得24a 2b c 0,b1,2a 4ac b 3,4a⎧⎪++= ⎪⎪-= ⎨⎪⎪-=- ⎪⎩①②③ 由②得b=-2a ， ④ 把④代入③得c-a=-3， ⑤把④代入①得c=0，把c=0代入⑤得a=3, 把a=3代入④得b=-6.[: 所以函数的解析式为y=3x 2-6x.方法三:设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a ≠0),则顶点坐标为(-h,k). ∵顶点为(1,-3)，∴h=-1,k=-3. 即所求的二次函数解析式为y=a(x-1)2-3. ∵图像经过点(2,0),∴0=a(2-1)2-3,∴a=3. ∴函数的解析式为y=3(x-1)2-3, 即y=3x 2-6x.方法四:设二次函数的解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0), 其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标.∵抛物线与x轴的一个交点是(2,0),对称轴是x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0),∴x1=0,x2=2.∴所求抛物线的解析式为y=a(x-0)(x-2)=ax(x-2).又∵抛物线的顶点为(1,-3)，∴-3=a×1×(1-2),∴a=3.∴函数的解析式为y=3x(x-2),即y=3x2-6x.【变式训练】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴相交于点(-3,0),对称轴为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式.【解析】方法一:因为二次函数图像的对称轴是x=-1,又顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为M(-1,2)或M′(-1,-2),故可设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2.∵图像过点A(-3,0),∴0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+1)2+2或y=12(x+1)2-2.即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.方法二:因为二次函数图像的对称轴为x=-1,又图像过点A(-3,0),所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图像上,所以可设二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1)(a≠0),由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2),分别代入上式.解得a=-12或a=12.故所求二次函数的解析式为y=-12(x+3)(x-1)或y=12(x+3)(x-1),即y=-12x2-x+32或y=12x2+x-32.8.【解题指南】（1）已知二次函数的解析式，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像;(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y=0、x=0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积.【解析】(1)配方得y=2(x-1)2-8.∵a=2＞0,∴函数图像开口向上,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,-8).列表:描点并画图，得函数y=2x 2-4x-6的图像, 如图所示:(2)由图像得，函数与x 轴的交点坐标为A(-1,0),B(3,0)，与y 轴的交点坐标为C(0,-6). 所以S △ABC =12|AB|·|OC|=12×4×6=12. 【挑战能力】【解题指南】（1）只需证明Δ>0即可；（2）利用根与系数的关系求得m ，从而确定函数的解析式. 【解析】（1）与这个二次函数对应的一元二次方程是 x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0.∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=4m 2-8m+4-4m 2+8m+12=16>0， ∴方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0必有两个不相等的实数根， ∴不论m 取何实数，这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点.（2）由题意可知，x 1、x 2是方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0的两个不同的实数根, ∴x 1+x 2=2(m-1),x 1·x 2=m 2-2m-3. ∵121212112x x 2,,x x 3x x 3++==即 ∴()22m 12m 2m 33-=--， ① 解得m=0或m=5，经检验m=0，m=5都是方程①的解. ∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3或y=x 2-8x+12.。

教学设计4.1 二次函数的图像教学分析二次函数是作为全面介绍函数的第一个例子出现的。

而在初中，已经学习了二次函数的概念和二次函数的图像与性质，因此本课的教学是在学生学过二次函数的上，运用图像变换的观点把二次函数2y x =的图像经过伸缩变换和平移变换，而得到二次函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像。

并将这种平移变换迁移到一般的函数,由y=f(x)的图像得到y=f(x+a)+b 的图像。

教学目标知识与技能：理解二次函数的图像中a,b,c,h,k 的作用；能够熟练地对二次函数解析式配方，研究二次函数的平移运动，并将其迁移到其他的函数过程与方法：结合教材中“问题提出”“动手实践”等栏目，引导学生思考，探索，在解决问题中构建新知情感、态度与价值观：通过图像的变换和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操，通过探究问题培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质 重点：二次函数图像的变换难点：将二次函数图像的平移变换迁移到其他函数教学过程一． 引入新课在初中，我们已经学习过二次函数，知道它的图像为抛物线，并了解了图像的开口方向，对称轴，定点等性质。

本节课将进一步研究二次函数的图像与性质，而函数的图像特征是研究其性质的有利工具，为了进一步研究二次函数的性质，本节课我们先探究二次函数图像间的关系。

二． 新课探究提出问题：①请回顾二次函数的定义；②二次函数的解析式有几种形式？③二次函数的图像是什么形状？如何快速画出草图？讨论结果①一般地，函数2(a,,0)y ax bx c b c a =++≠为常数，叫作二次函数．其中自变量的最高次数是2，自变量取值范围即函数的定义域是全体实数．②有三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式：2()(0)y a x h k a =++≠,顶点（h,k ）;交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠,其中12,x x 是图像与x 轴交点的横坐标.注意：任意二次函数的解析式均有一般式和顶点式，但是不一定有交点式．当且仅当二次函数的图像与x 轴相交时，二次函数的解析式才有交点式．③二次函数的图像是抛物线．画抛物线的草图时，通常根据“三点一线一开口”来画． 探究问题1：函数2y x =与2(0)y ax a =≠的图像之间有什么关系？[师生共同活动]请同学们用列表法在同一直角坐标系下画出222y x y x ==与的图像2所示，就是把AB 伸长为原来的2倍，即AC 的长度，得到当x ＝1时y ＝2x 2对应的值；将y ＝x 2的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标都扩大为原来的2倍得到y ＝2x 2的图像．[学生活动]请同学们用类似的方法画出函数221--22y x y x ==与的图像，讨论下列问题 （1）上面二次函数的图像开口大小由谁来决定？（2）如何由22a (0)y x y x a ==≠的图像得到的图像？教师给出动画展示a 对2(0)y ax a =≠的图像的影响并给出总结：（1）a 决定了图像的开口方向，a>0开口向上，a<0开口向下；（2）a 决定了图像在同一直角坐标系下的开口大小，|a|越小开口越大；（3）2(0)y ax a =≠的图像可由2y x =的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a 倍而得到.探究问题2：函数2y ax =与2()(0)y a x h k a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]在同一坐标系中画出22y x =与22(1)+3y x =+的图像，回答下列问题：（1）抛物线22y x =与22(1)+3y x =+的顶点分别是多少？开口的大小由谁决定？（2）观察图像，如何由的图像22y x =得到22(1)+3y x =+的图像？ [讨论结果]把22y x =的图像向左平移1个单位长度得到22(1)y x =+的图像，再把22(1)y x =+的图像向上平移3个单位得到22(1)+3y x =+的图像．（如图）[动手实践]1.你能说出函数23y x =-的图像怎样得到函数23(2)1y x =---的图像吗？2.如果把函数23y x =向右平移2个单位，再向上平移5个单位，你得到的是哪个函数的图像？请你写出解析式.3. 由2y ax =怎样得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像？4.思考：对于二次函数2()(0)y a x h k a =++≠，a 的作用是什么？h 和k 又有什么作用.教师给出动画展示a,h,k 对2()(0)y a x h k a =++≠的图像的影响并给出总结：二次函数2()(0)y a x h k a =++≠中，a 决定了图像的开口大小及开口的方向；h 决定了图像的左右平移，h 正左移，h 负右移；k 决定了图像的上下平移，k 正上移，k 负下移.探究问题3：函数2y ax =与2(0)y ax bx c a =++≠的图像之间有什么关系？[学生活动]思考：函数22y x =与2241y x x =+-的图像之间有什么关系？讨论结果：将2241y x x =+-的解析式转化成它的等价形式顶点式22(1)3y x =+-，由此知可将22y x =向左移1个单位，再向下移3个单位.师生共同总结将一般式转化成顶点式的步骤：提取二次项系数；配方；整理；化简. 教师总结:一般地，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可得到它的恒等形式2()(0)y a x h k a =++≠，再由2y ax =的图像经过平移得到它的图像.[巩固训练]1.由23(2)4y x =++的图像经过怎样的平移变换，可以得到23y x =的图像？2.把函数22y x x =-的图像向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得到的图像对应的函数解析式为___________________[教师总结]上面我们经历了由2y x =的图像得到2y ax =的图像，由2(0)y ax a =≠的图像得到2()(0)y a x h k a =++≠的图像的变换过程，那么由二次函数的平移变换，我们能否将它迁移到一般的函数呢？探究问题4：能否由y=f(x)的图像得到函数y=f(x+a)+b 的图像？让学生讨论上述问题，教师加以引导得到下列结论：应用举例例1.画出1y x =的图像，怎样得到函数11y x =+和121y x =-+的图像？ 设计意图：反比例型函数是后面经常碰到的函数，并将上面得到的结论加以应用. 解析：将1y x=的图像先向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 例2.二次函数f(x)和g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)的解析式和f(x)图像上的点，求出函数f(x)的解析式：（1）函数2()g x x =,f(x)的顶点为（4，7）;（2）函数2()2(1)g x x =-+，f(x)的图像过点（0,2），（1，6）；设计意图：选择适当的解析式形式求二次函数的解析式.解析：（1）二次函数f(x)的图像与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，则设其解析式为f(x)＝(x ＋h )2＋k ，f (x )图像的顶点是(4，－7)，所以f (x )＝(x －4)2－7＝x 2－8x ＋9；（2）设2()2(0)f x x bx c a =-++≠，则(0)2(1)26f c f b c ==⎧⎨-=--+=-⎩所以26c b =⎧⎨=⎩ 则2()262f x x x =-++备选例题：画出2y x -=的图像，怎样得到351x y x -=-的图像？ 课堂小结：①a,h,k 对二次函数2()(0)y a x h k a =++≠图像的影响；②函数2y x =与函数2()(0)y a x h k a =++≠的图像变换规律；③函数y=f(x)与函数y=f(x+a)+b 的图像变换规律.布置作业：习题24 A 组47P 1,2,34.画出函数1y x -=的图像，怎样得到函数123y x -=-+的图像？ 板书设计： 一.二次函数的定义二.探究的四个问题： ①2y x =2(0)y ax a =≠②2y ax =2()(0)y a x h k a =++≠③2y ax =2(0)y ax bx c a =++≠④()y f x =()y f x a b =++三.例题的讲解 四.学生板书 五.课堂小结六.布置作业 本节课的教学设计中，主要涉及图像的移动，“形”十分突出，因此教师一定要注意用好“形”，但是，又不能仅仅满足于对“形”的认识，教材还设置了“抽象概括”，意在从形出发，然后升华为对一般的函数的平移变换认识．这在上课时由学生自己根据提供的资料悟出，然后根据将它加以应用。