2017_2018版高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一学案(含答案)北师大版选修2_1

[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.知识点一 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量直线的法向量知识点二 空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R ). (2)线面平行设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝λv ⇔a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R ).题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)；(5)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0,2，－3). 解 (1)∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面.(3)∵u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)，∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.(5)∵a ＝(0，－8,12)，u ＝(0,2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.跟踪训练1 设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 ∵α∥β，∴(1,3，－2)＝λ(－2，－6，k )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4.题型二 求平面的法向量例2 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量.解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC →＝(12，1,0)，DS →＝(－12，0,1).易知向量AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1). 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2 已知A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量. 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB →＝(－1,1,0)，BC →＝(1,0，－1). ∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1). 题型三 利用空间向量证明平行关系例3 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点.证明：P A ∥平面EDB .证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .方法一 连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ， 依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2).因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(a 2，a2，0)，所以EG →＝(a2，0，－a 2).又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG 平面EDB ，且P A ⊈平面EDB ， 所以P A ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， DE →＝(0，a 2，a 2)，EB →＝(a ，a 2，－a 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧a2(y ＋z )＝0，a (x ＋y 2－z 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令y ＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1，－1,1)，又P A →＝(a,0，－a )，所以n ·P A →＝(1，－1,1)·(a,0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥P A →.所以P A ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ，μ使得P A →＝λDE →＋μEB →， 即(a,0，－a )＝λ(0，a 2，a 2)＋μ(a ，a 2，－a2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2(λ＋μ)，－a ＝λ·a 2－μ·a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以P A →＝－DE →＋EB →， 所以P A ∥平面BDE .反思与感悟 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定P A →＝λDE →＋μEB →中λ和μ是否存在的问题.跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解 ∵P A ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0). 不妨令P (0,0,t )，∴PF →＝(1,1,－t )，DF →＝(1,－1,0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t2，∴n ＝(t 2，t2，1).设点G 的坐标为(0,0，m )， 又E (12，0,0)，则EG →＝(－12，0，m ).要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0， 即(－12)×t 2＋0×t2＋m ×1＝0，即m －t4＝0，解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.利用向量法判断直线与平面平行例4 已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3,1,2)，a ＝(－2,2,2)，则l 与α的位置关系是________. 错解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l ∥α.错解分析 错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量u ⊥a 可得l α或l ∥α. 正解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ，所以l α或l ∥α. 答案 l α或l ∥α1.已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量.若l 1∥l 2，则( ) A.x ＝6，y ＝15 B.x ＝3，y ＝152C.x ＝3，y ＝15D.x ＝6，y ＝152答案 D解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2.已知线段AB 的两端点坐标为A (9,－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A.xOy 平行 B.xOz 平行 C.yOz 平行 D.yOz 相交 答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 3.若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1)D.(－3,0,1)答案 A解析 ∵A ，B 在直线l 上，∴AB →＝(1,1,3)，与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量.4.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A.l ∥α B.l α C.l ⊥α D.l α或l ∥α答案 D解析 ∵a ·b ＝0，∴l α或l ∥α.5.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是_____.(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→. 答案 ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量.1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.。

第4节用向量讨论平行与垂直【空间向量的应用之-----垂直】【教学目标】通过本节课的学习让学生体会到向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化之美。

激发学生学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力。

【课型】新授课【课时安排】1课时【教学难点】利用向量解决立体几何问题的本质即如何将空间中的线面关系转化为相关向量之间的关系【教学重点】1教会学生如何用向量解决空间中的垂直问题2掌握坐标法，知道基底法【设计思路】本节课的教学首先我将重点放在与直线和平面有关的向量问题上，只要学生意识到与直线和平面有关的向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，那么如何用向量去研究平行与垂直关系便显而易见！然后结合例题展示解题过程，强化知识点。

【教学方法】启发探讨式【教学过程】一：课前梳理1.空间向量基本定理的内容：已知321,,e e e 是三个_____________的向量，那么对于空间任意一个向量，存在唯一一组实数321,,λλλ使得_____________________.2.空间向量的坐标运算： 已知),,(111z y x =，),,(222z y x = 那么 =+b a =-b a=λ =∙>=<b a ,cos⇔≠)(// ⇔⊥3.与直线有关的向量是_________________4.与平面有关的向量是_________________二：课前预习思考空间中的平行关系包括哪些？如何用向量来体现？空间中的垂直关系包括哪些？如何用向量来体现？三：新知探索：1小组呈现预习思考研究结果（1）平行关系2．应用演练例2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥,AP=AB=2，BC=22,E,F PBAC PD ABCD ABCD PD ABCD P⊥=⊥-求证：，4的正方形，2是边长为底面,平面中，：在四棱锥1例分别是AD,PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF练习.在正方体1111A B C D A B C D -中,E F 、分别是1B B C D 、的中点, 求证:1D F ADE ⊥平面.例3：已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，,600=∠BCD E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=2求证：平面PBE ⊥平面PAB四：点拨与小结:利用向量解决空间的线面关系其本质是研究直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，所以熟练掌握直线的方向向量与平面的法向量的求解方法是解题的关键。

§4用向量讨论垂直与平行知识点一线线垂直、线面垂直[填一填]1．用向量运算证明两直线垂直如果我们知道两条直线的方向向量,我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直,如图所示,设直线l1,l2的方向向量分别为v1,v2,则有l1⊥l2⇔v1⊥v2.由上述条件,证明空间两条直线l1⊥l2,可转化为证明两条直线的方向向量垂直,即证明v1·v2＝0.2．线面垂直判定定理若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．3．面面平行判定定理若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．[答一答]求证：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直．提示：如图,b,c是平面π内的两条相交直线,直线a满足a⊥b,a⊥c,设p是平面π内任意一条直线,则只需证a⊥p.设直线a,b,c,p的方向向量分别是a,b,c,p,只需证a⊥p.因为直线b,c相交,所以b与c不共线．由于直线b,c,p在同一平面π内,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ,使得p＝λb＋μc.则a·p＝λ(a·b)＋μ(a·c)．因为a⊥b,a⊥c,所以a·b＝0,a·c＝0,从而a·p＝0,即a⊥p.所以直线a垂直于平面π.知识点二线面平行、面面垂直[填一填]1．用向量方法判断或证明直线与直线平行设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2(如图所示),则由向量共线的条件,可得l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.这样在证明l1∥l2时,结合空间图形,分别在两直线上适当地选取方向向量v1,v2,证明l1∥l2即可转化为证明v1∥v2,即证明v1＝x v2.2．线面平行的判定定理(1)定理内容：如果平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线,则平面外的这条直线平行于这个平面．(2)用向量法证明线面平行：证明线线平行、线面平行的关键是转化为证向量共线和共面问题,但要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点．已知两个非零向量v1,v2与平面α共面(如图所示),一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得l∥α或在α内⇔v∥v1(或v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.这样在证明直线l∥平面α时,转化成证明直线l的一个方向向量v与平面α共面的两个向量v1,v2之一平行,即v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x,y,使v＝x v1＋y v2.3．面面垂直的判定定理若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直．[答一答]求证：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行．提示：如图,已知a与b是平面π1内两条相交的直线,且a∥π2,b∥π2.平面π1,π2的法向量分别是n1,n2,要证π1∥π2,只需证n1∥n2.又由于a∥π2,b∥π2,故向量a∥π2,b∥π2,所以n2⊥a,n2⊥b.由于a与b相交,故向量n2也是π1的法向量,从而有n1∥n2.知识点三三垂线定理[填一填]若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直．[答一答]如何证明三垂线定理？提示：已知：如图,b是平面π外的一条直线,直线c是b在平面π上的投影,直线c与平面内一直线a垂直．求证：a⊥b.证明：过直线b上任意一点作平面π的垂线n.设直线a,b,c,n的方向向量分别是a,b,c,n,只需证a⊥b.由于b,c,n共面,根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得b＝λc＋μn.则a·b＝λ(a·c)＋μ(a·n)．又由于a⊥c,故a·c＝0；因为直线a在平面π内,n⊥π,故a⊥n,即a·n＝0.所以a·b＝0,即a⊥b.1．利用向量方法证明空间中的线线垂直和线面垂直总结如下：(1)线线垂直：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证明l 1⊥l 2,只要证a ⊥b ,即证明a ·b ＝0.(2)线面垂直：①设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量是u ,若要证l ⊥α,只需证a ∥u . ②根据线面垂直的判定定理,即要证一条直线垂直于一个平面,若用向量法,只需证明这条直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直,即其数量积分别为零即可．2．用向量法证明空间中的线线平行和线面平行总结如下：(1)线线平行：设直线l 1,l 2的方向向量分别是a ,b ,若要证l 1∥l 2,只需证a ∥b ,即a ＝λb (b ≠0)． (2)线面平行：①设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,若要证l ∥α,只需证a ⊥u ,即a ·u ＝0. ②根据线面平行的判定定理．③根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．3．(1)平面法向量的求法：若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下：①设出平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标,a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)．③根据法向量的定义,建立关于x ,y ,z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. ④解方程组,取其中的一个解,即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个,故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．如含x ＝±1或y ＝±1或z ＝±1等,便于求解．(2)平面法向量的作用：设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则 ①α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2； ②α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.由①,证明两个平面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．由②,证明两个平面垂直可转化为证明两个平面的法向量垂直,即证明两个平面的法向量的数量积为零．(3)证明面面平行和面面垂直除了利用平面的法向量外,还可以直接利用它们的判定定理证明．4．关于三垂线定理及其逆定理的几个注意点：(1)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l 是平面α的一条斜线,l ′是l 在α内的投影,直线mα,则m ⊥l ′⇔m ⊥l .(2)处于非常规位置上的三垂线定理的应用问题,要抓住“一个面”、“四条线”,“一个面”就是要确定一个垂面,三条线共处于这个垂面之上,“四条线”就是垂线、斜线、投影以及平面内与投影垂直的第四条直线,这四条线中垂线是关键的一条,应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻第四条线．题型一 线面平行问题【例1】 如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB ＝BC ,点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,且OA ＝OP ,OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面P AB .【思路探究】 证明OD ∥平面P AB ,一种方法是只需证明OD →与平面P AB 的法向量垂直即可,另一种方法是用几何法证明在平面P AB 内存在直线与OD 平行．【证明】 证法一：因为AB ＝BC ,O 为AC 的中点,所以OB ⊥AC ,OA ＝OB ＝OC ,如图,建立空间直角坐标系,设OA ＝a ,则A (a,0,0),B (0,a,0),C (－a,0,0),P (0,0,a ),则D (－a 2,0,a2)．所以OD →＝(－a 2,0,a2)．设平面P AB 的法向量为n ＝(x ,y ,z )．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·AB →＝0.由于P A →＝(a,0,－a ),AB →＝(－a ,a,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1,得x ＝y ＝1,所以n ＝(1,1,1),所以OD →·n ＝－a 2＋a 2＝0,所以OD →⊥n ,因为OD 不在平面P AB 内,所以OD ∥平面P AB .证法二：因为O 、D 分别是AC 、PC 的中点,所以OD →＝CD →－CO →＝12CP →－12CA →＝12AP →,所以OD →∥AP →,即OD ∥AP ,又O D ⃘平面P AB ,P A 平面P AB ,所以OD ∥平面P AB .规律方法 解决线面平行问题一般有以上两种解法,但方法一须注意合理建系,正确求解法向量．如图所示,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1C ,B 1C 1的中点,求证：MN ∥平面A 1BD .证明：证法一：如图,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M (0,1,12),N (12,1,1),D (0,0,0),A 1(1,0,1),B (1,1,0),于是MN →＝(12,0,12),设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ,y ,z )．则n ·DA 1→＝0且n ·DB →＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0. 取x ＝1,得y ＝－1,z ＝－1. ∴n ＝(1,－1,－1)．又MN →·n ＝(12,0,12)·(1,－1,－1)＝0,∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .证法二：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→,∴MN →∥DA 1→,即MN ∥DA 1.又DA 1平面A 1BD ,M N ⃘平面A 1BD , ∴MN ∥平面A 1BD .证法三：∵MN →＝C 1N →－C 1M →＝12D 1A 1→－12D 1D →＝12(DB →＋BA →)－12(D 1A 1→＋A 1D →)＝12DB →＋12BA →－12D 1A 1→－12A 1D →＝12DB →＋12DA 1→＋12(BA →－DA →)＝12DB →＋12DA 1→＋12BD →＝12DA 1→＋0·DB →. 即MN →可用DA 1→与DB →线性表示, ∴MN →与DA 1→,DB →是共面向量．∴MN →∥平面A 1BD ,即MN ∥平面A 1BD . 题型二 线面垂直问题【例2】 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,求证：B 1O ⊥平面P AC .【思路探究】 欲证B 1O ⊥平面P AC ,只需证明B 1O →与平面P AC 内的两条相交直线都垂直,B 1O →与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．【证明】 如图,建立空间直角坐标系,不妨假设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),P (0,0,1),C (0,2,0),B 1(2,2,2),O (1,1,0)．于是OB 1→＝(1,1,2),AC →＝(－2,2,0),AP →＝(－2,0,1)．由于OB 1→·AC →＝－2＋2＝0,OB 1→·AP →＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ,OB 1⊥AP .又AC 平面P AC ,AP 平面P AC ,且AC ∩AP ＝A , 所以OB 1⊥平面P AC .规律方法 用向量法证明线面垂直时,可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明,也可利用基向量法进行处理．如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ,B 1C 1中点O 1,以O 为原点,OB →,OO 1→,OA →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (－1,1,0),A 1(0,2,3),A (0,0,3),B 1(1,2,0),∴AB 1→＝(1,2,－3),BD →＝(－2,1,0),BA 1→＝(－1,2,3)．∵AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0, AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0, ∴AB 1→⊥BD →,AB 1→⊥BA 1→. 即AB 1⊥BD ,AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ,∴AB 1⊥平面A 1BD . 题型三 面面平行问题【例3】 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的边长为4,M 、N 、E 、F 分别是棱A 1D 1、A 1B 1、D 1C 1、B 1C 1的中点,求证：平面AMN ∥平面EFBD .【思路探究】 思路分析一：通过建立空间直角坐标系,利用向量共线的条件先证线线平行,再证面面平行．思路分析二：先求这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行． 【证明】证法一：如图所示,建立空间直角坐标系,则A (4,0,0),M (2,0,4),N (4,2,4),D (0,0,0),B (4,4,0),E (0,2,4),F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ,BD 的中点Q ,则G (3,1,4),K (1,3,4),Q (2,2,0)．∵MN →＝(2,2,0),EF →＝(2,2,0), AG →＝(－1,1,4),QK →＝(－1,1,4)． 可见MN →＝EF →,AG →＝QK →, ∴MN ∥EF ,AG ∥QK .∴MN ∥平面EFBD ,AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G .∴平面AMN ∥平面EFBD .证法二：由证法一得AM →＝(－2,0,4),MN →＝(2,2,0),DE →＝(0,2,4),EF →＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM →＝0，n 1·MN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1,则n 1＝(1,－1,12)．设平面EFBD 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1,则n 2＝(1,－1,12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面EFBD .规律方法 利用向量证明面面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,G ,H ,M ,N 分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG ∥平面HMN .证明：证法一：如图,以点D 为坐标原点,分别以DA →,DC →,DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系D -xyz ,不妨设正方体的棱长为2,则E (1,1,0),F (1,0,1),G (2,1,1),H (1,2,1),M (1,1,2),N (0,1,1)．∴EF →＝(0,－1,1),FG →＝(1,1,0),HM →＝(0,－1,1),NH →＝(1,1,0)． ∴EF →∥HM →,FG →∥NH →. ∴EF ∥HM ,FG ∥NH .∵HM 平面HMN ,NH 平面HMN . E F ⃘平面HMN ,F G ⃘平面HMN . ∴EF ∥平面HMN ,FG ∥平面HMN .又∵EF 平面EFG ,FG 平面EFG ,EF ∩FG ＝F , ∴平面EFG ∥平面HMN .证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图,设平面EFG 的法向量m ＝(x 1,y 1,z 1),则m ·EF →＝(x 1,y 1,z 1)·(0,－1,1)＝－y 1＋z 1＝0,m ·FG →＝(x 1,y 1,z 1)·(1,1,0)＝x 1＋y 1＝0,从而,得x 1＝－y 1＝－z 1. 设x 1＝－1,则m ＝(－1,1,1)． 设平面HMN 的法向量n ＝(x 2,y 2,z 2),则n ·HM →＝(x 2,y 2,z 2)·(0,－1,1)＝－y 2＋z 2＝0,n ·NH →＝(x 2,y 2,z 2)·(1,1,0)＝x 2＋y 2＝0,从而,得x 2＝－y 2＝－z 2, 设x 2＝－1,则n ＝(－1,1,1)． ∴m ∥n .∴平面EFG ∥平面HMN . 题型四 面面垂直问题【例4】 如图,底面ABCD 是正方形,AS ⊥平面ABCD ,且AS ＝AB ,E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【思路探究】 已知AS ⊥平面ABCD ,可将证明平面BDE ⊥平面ABCD 转化为寻找平面BDE 内一条直线与AS 平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直．【证明】 方法一：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．连接AC ,设AC 与BD 相交于点O ,连接OE ,则点O 的坐标为(12,12,0)．因为AS →＝(0,0,1),OE →＝(0,0,12),所以OE →＝12AS →,所以OE ∥AS .又AS ⊥平面ABCD , 所以OE ⊥平面ABCD . 又OE 平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABCD .方法二：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (1,0,0),D (0,1,0),A (0,0,0),S (0,0,1),E (12,12,12)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ,y ,z ), 因为BD →＝(－1,1,0),BE →＝(－12,12,12),所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1,可得平面BDE 的一个法向量n 1＝(1,1,0)．因为AS ⊥平面ABCD ,所以平面ABCD 的一个法向量n 2＝AS →＝(0,0,1),因为n 1·n 2＝0,所以平面BDE ⊥平面ABCD .规律方法 若在一个平面内找另一个平面的垂线较为直观,则可采用方法一,否则采用方法二．也可利用一个平面的法向量平行于另一个平面进行求解．已知：在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2,则有D (0,0,0),D 1(0,0,2),A (2,0,0),A 1(2,0,2),F (0,1,0),E (2,2,1)．设n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)分别是平面DEA ,平面A 1FD 1的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥DE →.∴⎩⎪⎨⎪⎧(x 1，y 1，z 1)·(2，0，0)＝0，(x 1，y 1，z 1)·(2，2，1)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1,得n 1＝(0,－1,2)． 同理可得n 2＝(0,2,1)．∴n 1·n 2＝(0,－1,2)·(0,2,1)＝0,知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.——多维探究—— 利用向量知识解决立体几何中 的探索性问题、存在性问题对于存在性问题,就是探求平面上或直线上是否存在一点,使得该点与其他点构成的线段是否满足某种垂直或平行于平面的位置关系,常用的方法就是假定存在这样的点,然后在该条件下求该问题,若存在,则一定能求出结果；若不存在,则求解的过程就是要说明的理由．向量有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,实现了数与形的结合,在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性．【例5】 如图,在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中,∠ABC ＝60°,P A ＝AC ＝a ,PB ＝PD ＝2a ,点E 在PD 上,且PE ED ＝21.在棱PC 上是否存在一点F ,使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．【解】 存在．证明如下：以A 为坐标原点,直线AD ,AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(如图),则由题设条件知,相关各点的坐标分别为A (0,0,0),B (32a ,－12a,0),C (32a ,12a,0),D (0,a,0),P (0,0,a ),E (0,23a ,13a )． ∴AE →＝(0,23a ,13a ),AC →＝(32a ,12a,0), AP →＝(0,0,a ), PC →＝(32a ,12a ,－a ), BP →＝(－32a ,12a ,a )．设点F 是棱PC 上的点, PF →＝λPC →＝(32aλ,12aλ,－aλ), 其中0<λ<1, 则BF →＝BP →＋PF →＝(－32a ,12a ,a )＋(32aλ,12aλ,－aλ) ＝(32a (λ－1),12a (1＋λ),a (1－λ))． 令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →,得⎩⎪⎨⎪⎧32a (λ－1)＝32a λ1，12a (1＋λ)＝12a λ1＋23a λ2，a (1－λ)＝13a λ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12,λ1＝－12,λ2＝32.即当λ＝12时,BF →＝－12AC →＋32AE →.即F 是PC 的中点时,BF →,AC →,AE →共面, 又B F ⃘平面AEC ,∴当F 是棱PC 的中点时,BF ∥平面AEC .规律方法 是否存在一点或直线,满足某一限定条件,这样的问题,叫作存在性问题,解决方案一般是先假设存在,根据条件能求出具体的点或直线,就说明存在；若求不出,则说明不存在．用向量手段处理类似问题,要证明方向明确．设点的坐标时,一定要注意坐标的限制范围．如图,在棱长AB ＝AD ＝2,AA 1＝3的长方体AC 1中,点E 是平面BCC 1B 1上的一个动点,点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置,使D 1E ⊥平面AB 1F .解：以点A 为原点,AB →、AD →、AA 1→所在的射线分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),F (1,2,0),B 1(2,0,3),D 1(0,2,3),设E (2,y ,z ),则D 1E →＝(2,y －2,z －3),AF →＝(1,2,0),AB 1→＝(2,0,3),∵D 1E ⊥平面AB 1F ,∴⎩⎪⎨⎪⎧D 1E →·AF →＝0，D 1E →·AB 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝0，4＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.∴E (2,1,53)即为所求．1．直线l 1的方向向量为v 1＝(1,0,－1),直线l 2的方向向量为v 2＝(－2,0,2),则l 1与l 2的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定解析：直线l 1,l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0,－1),v 2＝(－2,0,2),则v 2＝－2v 1,∴v 1∥v 2,∴l 1∥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),则( A ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⃘αD ．l 与α斜交解析：∵直线l 的方向向量为a ＝(1,－5,7),平面α的法向量为u ＝(－2,1,1),∴a ·u ＝0,∴l ∥α.3．若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n ,使得l ∥α的是( D ) A ．a ＝(1,0,0),n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5),n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1),n ＝(－1,0,－1) D ．a ＝(1,－1,3),n ＝(0,3,1)解析：要使l ∥α,只需l 的方向向量与平面α的法向量n 满足a ·n ＝0,而选项D 满足． 4．向量a 在平面α内,则平面α平行于平面β是向量a 平行于平面β的充分不必要条件． 解析：若α∥β,∵a 在α内,∴a ∥β,而若a ∥β,不能保证α∥β,故为充分不必要条件． 5．如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB ＝3,BC ＝5.证明：在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值． 证明：易知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3,BC ＝5,AC ＝4, 所以AB ⊥AC .如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD →＝λBC 1→.所以(x ,y －3,z )＝λ(4,－3,4)． 解得x ＝4λ,y ＝3－3λ,z ＝4λ.所以AD →＝(4λ,3－3λ,4λ)． 由AD →·A 1B →＝0, 即9－25λ＝0, 解得λ＝925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B . 此时,BD BC 1＝λ＝925.。

D C y
满足的关系式。

如果(2,AB =-，
(4,2,0)AD =(1,AP =-（1）求证：AP 是平面（2）求平行四边形ABCD 例4．如图，在四棱锥是PC 的中点，作EF ⊥PB PA ∥平面
3．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个C．3个D．4个
4．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B．(1,3，3
2
) C．(1，－3，
3
2
) D．(－1,3，－
3
2
)
5．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y,4)，且l1⊥l2，则x＋y＝( )
A．－1 B．1 C．0 D．无法确定
6．若直线l的方向向量为a＝(1,1,1)，向量b＝(1，－1,0)和向量c＝ (0,1，－1)所在的直线都与平面α平行，则( )
A．l⊥αB．l∥αC．lαD．以上都不对
7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，求x，y，z
8．已知空间三点A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM ⊥AB，求点M的坐标．。