圆锥曲线解答题的策略

高中数学圆锥曲线定点问题解题策略1. 确定焦点和直线方程圆锥曲线与定点有关的问题，通常涉及到焦点和直线的方程。

因此，首先需要根据题目所给出的条件，确定该圆锥曲线的焦点和一条经过该焦点的直线方程。

2. 找出几何意义在确定了焦点和直线方程之后，需要进一步分析该问题的几何意义。

通常，圆锥曲线上的点可以表示为动点，而该点所在的直线可以表示为参考直线。

通过分析动点与参考直线的关系，可以找出该点的几何意义。

例如，对于椭圆而言，焦点与直线的位置关系可以说明该椭圆的形状和大小。

如果焦点距离直线较远，那么椭圆的短轴较小、长轴较大；反之，如果焦点距离直线较近，那么椭圆的短轴较大、长轴较小。

因此，通过分析焦点和直线的位置关系，可以找出椭圆的形状和大小。

3. 建立坐标系为了方便计算，需要建立与问题相关的坐标系。

坐标系的选取应该尽量考虑问题的对称性和直观性。

例如，对于双曲线而言，坐标系应该选择在双曲线的对称轴上。

在坐标系中，焦点位于对称轴上的原点处，而双曲线的两个分支分别位于对称轴的两侧。

通过建立合适的坐标系，可以简化问题的分析和计算。

4. 利用焦点的性质圆锥曲线的焦点具有很多特殊的性质。

例如，对于椭圆而言，焦点到椭圆上任意一点的距离和为常数。

而对于双曲线而言，焦点到双曲线上任意一点的距离差为常数。

利用这些性质，可以建立方程式，求出圆锥曲线上的点的坐标。

例如，对于椭圆而言，根据焦点到椭圆上任意一点的距离和为常数，可以列出以下方程：(sqrt((x-a)^2+b^2)+sqrt((x+a)^2+b^2))^2 = c^2其中，a、b、c分别表示椭圆的焦点到对称轴的距离、短半轴长度和长半轴长度。

通过解方程，可以求出椭圆上任意一点的坐标。

5. 求解定点的坐标最后，根据所求的动点的几何意义，可以求出定点的坐标。

例如，对于抛物线而言，抛物线上到焦点距离的平方与到直线的距离的平方成正比，即：y = 2px(x-p)^2 + y^2 = 2py其中，p表示抛物线的焦点到对称轴的距离。

圆锥曲线问题中的改“斜”归正策略
在圆锥曲线问题中，当我们遇到斜的曲线时，我们常常需要将其转化为归正的形式，
以便于进行进一步的计算和分析。

这个过程被称为改“斜”归正策略。

改“斜”归正策略
是圆锥曲线问题中的重要方法之一，在解题过程中需要灵活运用。

改“斜”归正策略的基本思想是利用合适的坐标旋转或平移操作，将斜的曲线变为水
平或垂直的曲线，从而简化问题的求解。

在具体操作中，我们可以采用以下几种常见的改“斜”归正策略。

1. 坐标旋转法
坐标旋转法是将斜的曲线通过坐标系的旋转变换，使得曲线方程变为坐标轴方程。

具
体操作步骤如下：
1) 找到曲线方程中的旋转角度，设为α；
2) 将坐标系逆时针旋转α角度，使得曲线变为水平或垂直的曲线；
3) 利用新的坐标轴方程进行进一步的计算和分析。

改“斜”归正策略在圆锥曲线问题中具有广泛的应用。

通过将斜的曲线变为水平或垂
直的曲线，可以简化问题的求解过程，使得计算更加方便和准确。

需要注意的是，在应用
改“斜”归正策略时，需要遵循一定的变换规则和步骤，以确保转化后的曲线与原曲线相
对应，且变换过程中不引入新的误差。

改“斜”归正策略是圆锥曲线问题中的重要方法，具有很强的实用性和灵活性。

通过
合理运用改“斜”归正策略，我们可以将斜的曲线转化为水平或垂直的曲线，从而更好地
进行问题的求解和分析。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的改“斜”归正策略，并结合数学工具和方法进行求解，以获得正确的结果。

圆锥曲线定值问题及解题技巧一、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在平面几何中占有重要地位。

这些曲线具有丰富的几何性质，如对称性、焦点和准线等。

了解和掌握这些性质是解决定值问题的关键。

二、定值问题定义与类型定值问题是指在圆锥曲线问题中，某些量在运动或变化过程中始终保持不变。

定值问题通常涉及到一些特定的性质或条件，需要运用推理、证明和计算来确定这些量。

这类问题常出现在各类数学竞赛和自主招生考试中。

三、坐标系的选取与转换解决圆锥曲线定值问题时，选择合适的坐标系至关重要。

坐标系的选取应便于表达和计算，有时需要将复杂的几何关系转化为代数方程。

此外，坐标转换也是解题的重要技巧，通过坐标变换可将问题化简。

四、参数方程的应用参数方程是解决定值问题的有力工具。

通过引入参数，可以将复杂的几何关系转化为代数方程，从而简化计算过程。

参数的选择应满足题目的特定条件，如焦点位置、对称轴等。

五、代数表达式的简化技巧在解决圆锥曲线定值问题时，需要处理大量的代数表达式。

掌握一些简化技巧，如合并同类项、提取公因式、化简分式等，可以大大提高解题效率。

此外，利用代数恒等式也是简化表达式的有效方法。

六、几何角度与线段长度关系在解决圆锥曲线定值问题时，需要关注几何角度和线段长度之间的关系。

这些关系可以通过几何定理和三角函数进行推导，进而找出定值。

熟练掌握基本几何知识是解决这类问题的关键。

七、运用向量和导数的物理背景向量和导数作为数学中的重要概念，具有丰富的物理背景。

在解决圆锥曲线定值问题时，可以利用向量的数量积、向量积等性质以及导数的几何意义，来揭示某些量之间的内在联系，进而找出定值。

专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程 【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，且一个焦点到渐（1）求双曲线方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程．例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；（2）若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题． （1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．核心考点二：向量搭桥进行翻译 【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决． 【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =(),0A a 、()0,B b（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x b 的值；（2）当b =2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅，并求OM ON ⋅的取值范围．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点． （1）求C 的方程；（2）过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =． （1）求C 的方程；（2）设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅．例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C （1）求C 的方程；（2）若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积．例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C于A ，B 点．（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值； （2）若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积．核心考点四：斜率之和差商积问题 【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C 上的任意一点到点)F和直线x =． （1）求曲线C 的方程；（2）记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点． （1）求C 的方程．（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k ．证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上．核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OABSOM y y =⋅-（横截距已知的条件下使用） ③121||2OABS ON x x =⋅-（纵截距已知的条件下使用） 【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C ．（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； （2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围．例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =．设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q ．（1）求 OQ OP的值；（2）求 ABQ 面积的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围．核心考点六：定值问题 【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当直线l 垂直于x 轴时，6AB =．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点为()()2,0,0,1A B -．（1）求椭圆E 的方程及其焦距；（2）过点()2,1P -的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值．核心考点七：定点问题 【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明． 【典型例题】例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3-． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．核心考点八：三点共线问题 【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例24．（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的一条渐近线2F 的直线与E 相交于,A B 两点．当AB x ⊥轴时，||AB = （1）求E 的方程．（2）若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线．核心考点九：中点弦与对称问题 【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC 面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．（1）求C 的方程；（2）若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点．（1）若122x x p +=，求MF NF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．核心考点十：四点共圆问题 【规律方法】 证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180︒，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【典型例题】例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-． （1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由．例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线:l y m =与抛物线交于,D E 两点，过,D E 分别作抛物线的切线12,l l ，12,l l 交于点A ．过抛物线上一点M （在l 下方）作切线3l ，交12,l l 于点,B C ．（1）当=1m 时，求ABC 面积的最大值； （2）证明A B F C 、、、四点共圆．例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+，且1mn =．设动点P 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．核心考点十一：切线问题 【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b+=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=． 【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y +=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．（1）求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；（2）过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n +为定值例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点．（1）求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；（2）设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．核心考点十二：定比点差法 【典型例题】例36．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，求k例37．已知22194x y +=，过点(0,3)P 的直线交椭圆于A ，B （可以重合），求PA PB 取值范围．例38．已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=若2λ=，求μ的值．核心考点十三：齐次化 【典型例题】例39．已知抛物线2:4C y x =，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：90POQ ︒∠=．例40．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．例41．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．核心考点十四：极点极线问题 【典型例题】例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．例43．（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点．（1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>与y 轴的交点,A B （点A 位于点B的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 2． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4y kx =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【新题速递】1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR ∠=∠．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线1l ：x my a =+交轨迹E 于A ，B 两点，直线2l ：1x =与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线2l 两侧，直线1l 与2l 交于点N 且MA BN AN MB ⋅=⋅，求MAB △面积的最大值．2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆C 中心在原点O 为()0,1F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与直线2y =相交于,M N 两点，若MON ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围．3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()y f x =在点A 处的切线为1l ，函数()e e x xg x -=-的图象在点B 处的切线为2l ，12l l ∥，求直线AB 的方程．4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．（1）若12BF F △的面积为1C 的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k⋅-的最大值．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △（2F 为C 的右焦点）的面积分别为123,,S S S ．（1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=+，42λ-≤≤-，求m 的取值范围．6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，22a c=． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=l 的方程．7．（2023·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的左､右焦点，过2F 作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆D 的方程；（2）已知点()1,0M -，设E 是椭圆D 上的一点，过,E M 两点的直线l 交y 轴于点C ，若CE EM λ=，求λ的取值范围；（3）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点,P Q ，其中P 点的坐标为()2,0-，若点()0,N t 是线段PQ 垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ⋅=，求实数t 的值．8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，,A B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右顶点，焦距长为P 在椭圆E 上，直线,PA PB 的斜率之积为14-．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点()2,2C -，直线PC 交椭圆E 于点(,M M P 不重合），直线,BM OC 交于点G ．求证：直线,AP AG 的斜率之积为定值，并求出该定值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ． （1）求轨迹2C 的方程；（2）若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆22x a ＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1，0），离心率为F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆22:12+=x E y ，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=，若2λ=，求μ的值．13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x y l a b +=被椭圆1C ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点(P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且||AB =l 的方程；。

圆锥曲线的解题方法圆锥曲线是解析几何中的重要概念，它涵盖了圆、椭圆、双曲线和抛物线等形态。

在解题时，我们需要了解每种圆锥曲线的特点，并熟悉解析几何中的基本公式和性质。

本文将详细介绍圆锥曲线的解题方法，包括定义、方程形式、基本性质和解题技巧等内容，希望能对读者的学习和应用提供帮助。

一、圆锥曲线的概念和方程形式圆锥曲线是由一个平面与一个固定点(焦点)和一个固定直线(准线)相交所得到的曲线。

它根据平面与准线的位置关系可以分为四种形态：圆、椭圆、双曲线和抛物线。

1.圆：当平面与准线相交于准线上的一个点时，所得到的曲线为圆。

2.椭圆：当平面与准线相交于两个不同点时，所得到的曲线为椭圆。

椭圆的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离之和是一个常数，称为椭圆的半长轴；而焦点到准线的垂直距离之和是一个常数，称为椭圆的半短轴。

3.双曲线：当平面与准线相交于两个相异实点或两个虚点时，所得到的曲线为双曲线。

双曲线的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离之差是一个常数，称为双曲线的焦距；而焦点到准线的垂直距离之差是一个常数，称为双曲线的准线间距。

4.抛物线：当平面与准线相交于一个点且平行于焦准线时，所得到的曲线为抛物线。

抛物线的一个特点是焦点到准线上任意一点的距离等于焦点到焦准线的垂直距离。

根据圆锥曲线的定义和形态特点，我们可以得到其标准方程形式如下：1.圆的方程：(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径。

2.椭圆的方程：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，当椭圆的长轴平行于x轴时；(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1，当椭圆的长轴平行于y轴时。

3.双曲线的方程：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1，当双曲线的准线平行于x轴时；(y-k)²/b²-(x-h)²/a²=1，当双曲线的准线平行于y轴时。

圆锥曲线的解题方法圆锥曲线是由一个点（焦点）和一条直线（直接rixian）固定的比例关系确定的几何图形。

圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线。

解题方法通常包括以下几个步骤：1.通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式。

2.根据方程形式求曲线的基本性质。

3.分析曲线在平面内的位置。

4.求解特定问题或条件下的未知量。

下面将详细介绍每个步骤的具体方法。

第一步：通过已知条件确定圆锥曲线的方程形式在解题前，我们需要先了解圆锥曲线的方程形式。

椭圆的方程形式是(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，抛物线的方程是y=ax²+bx+c，双曲线的方程形式是(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1根据题目所给的已知条件，我们可以通过将已知点代入方程或通过几何性质推导来确定方程形式。

第二步：根据方程形式求曲线的基本性质求解圆锥曲线的基本性质包括确定焦点、准线、顶点、离心率等。

对于任意给定的方程，可以通过系数的比较或将方程化为标准形式来确定这些性质。

例如对于椭圆，我们可以通过比较方程的分子分母系数来找到焦点和准线的位置。

焦点的坐标为(h±ae, k)，准线的方程为x=h±a/e。

顶点的位置可以通过移项和配方得到。

离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。

类似地，对于抛物线，我们可以通过方程的系数来确定焦点、准线和顶点的位置。

焦点的坐标为(h,k+p/a)，准线的方程为y=k-p，顶点的坐标为(h,k)。

对于双曲线，我们可以通过方程中a、b的比值来确定焦点、准线和顶点的位置。

焦点的坐标为(h±ae，k)，准线的方程为y=k±a/e，顶点的位置可以通过移项和配方得到。

离心率可以通过方程中a、b的比值来确定。

第三步：分析曲线在平面内的位置确定了曲线的基本性质后，我们可以进一步分析曲线在平面内的位置关系。

认知、情感、技能等方面发生系统的变化，学科核心素 养和关键能力得到整体提升，就是深度学习.我们的 教学追求知识习得后学生的学科能力、学科思想、学 科经验以及核心素养得到改变，产生积极的学习方式 改变、价值观念改变、行为方式乃至整个生活方式的 改变.本题貌似很难，有人采取了放弃的态度,有人进 行了深度研究，结果是明显的，久而久之学生的差异 就出现了.我们倡导真实的深度学习.5.2关于一题多解再认识一题多解有利于激发学生的学习兴趣;有利于促进学生的学习积极性和主动性;可以充分提高学生学 习的参与度;有利于学生对知识本质的掌握;还有利 于开阔学生的思维，提高思维的品质，培养学生的高 阶思维•因此,我们在教学中，应当提倡一题多解，搭 建适当的研究平台，把握提升学生素养的机会.参考文献：[1 ]任志鸿.十年高考数学[M ].北京:知识出版社，2019. [2]蔡勇全.简单？不简单！一多视角解析一道市统测解三角形问题[J ].中学生理科应试,2019(02) :15 - 16.(收稿曰期：2021 -02 - 01)例柝圆锥曲绔中直蟆过走点阿题的鮮题茉略李宁吴良英贺航飞(海南中学海南571158)摘要：本文系统总结了解决圆锥曲线中直线过定点问题的常见策略:设出含参直线方程，寻找参数之间的关系得 到定点坐标；用参数将两动点坐标表示出来，算出直线方程得定点；由图形的对称性发现定点在坐标轴，验证定点或者 算出定点；基于等式对参数恒成立得定点.关键词：圆锥曲线；定点问题;设参消参；解题策略探究动直线过定点问题是圆锥曲线解答题的常 考题型.有两种常见形式，一种是题设给出的动直线 满足一些条件，然后探究此动直线所过定点;一种是 题设给出两个点，探究此两点所构成的动直线过定 点.很多时候，根据构图，这两种形式可以相互转化. 下面结合具体问题总结圆锥曲线动直线过定点问题 的解题策略.1设直线方程，找参数关系例题1已知点£(-2,0)，M ,/V 是曲线c :f +/=1上的动点，满足丄£/V ，证明：直线M /V 经过定 点，并求出此定点.证明当直线A//V 丄y 轴时，£见与£#显然不垂 直，不符合题意.设直线iWV 方程为a : = my + t ,代人x 2 +4/ =4,整理，得 (m * + 4) y 2 + 2mty + <2 - 4 = 0. 设财(W J ，州W2)，则T i +y 2 =-2mt m 2 +4^172 =t 2 -4m 2 +4由题意，有前• ^=o .即（my , + f + + 2,y 2) =0•整理，得(m 2 +l )yiy 2 ++2) (yl +72) + (t + 2)2 =0.BP (m 2 + 1 )—f + 2)2mt2)2 =0•整理，得(t +2)(5t +6) =0•解得t =-2或-y .又直线Myv 不经过点£(-2,0)，g h # -2,从而t基金项目：海南省教育科学“十三五”规划立项课题“基于学科核心素养的高中数学写作教学实践研究”（项目编号:QJY 20191034);海南省教育科学“十三五”规划立项课题“基于智慧课堂的理科资优生培养校本课程体系构建”（项目编号: QJY 20191035).作者简介：李宁（ 1989 -)，男，海南文昌人，硕士，中学一级教师，研究方向：高中数学教学研究；吴良英（1970 -),女，海南海口人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学研究；贺航飞（1982 -)，男，湖南衡南人，本科，中学高级教师，研究方向：高中数学教学研究.=-1故直线A/j V方程为A t= my-故直线MTV过定点(-|~，0).评注由于直线与y轴不垂直，故可以设其 方程为x = 下面只需要根据题设条件寻找参数的关系，即可判断直线所过定点.当然,也可以 设直线M/V方程为y = f e e + n，类似可整理得12P - \6kn-\-5n2 =0,§.\\(2k- n)(6k- 5n) =0.当2/c = n时，直线A//V过点E(-2,0)，不符合 题意；当6f c=5n时，直线ywv过定点(-|~，0).再验证当直线M/V斜率不存在的情形即可.2由两点坐标算直线方程得定点例题2已知椭圆+ f= 1,左、右顶点分别为4，R若？(％山）（7。

圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。

熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2231-=，P 为双曲线上一点。

求||||P A P F +12的最小值。

三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。

熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x y R,∈，且满足方程x y y 2230+=≥()，又m y x =++33，求m 范围。

四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()x y -+=3422和直线y m x=的交点为P 、Q ，则||||O P O Q ⋅的值为________。

五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：x y 2224161+=，直线l ：x y 1281+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||O Q O P O R ⋅=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。

所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例 6. 求经过两圆x y x 22640++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线x y --=40上的圆的方程。

专题3 圆锥曲线大题处理策略：非对称韦达定理在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似12212122212111,y x y x x x x x x x +++-，，等结构，这些形式通过合理的变形均可以用2121x x x x ⋅+，整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。

（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）。

但我们在做题中也经常会遇到类似于11212122121232,2x x x x x x x x x x x x λμ+-+-+，这种系数不对称的结构，称之为“非对称韦达定理”。

显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。

（1）求椭圆C 方程（2）B A ,分别为椭圆C 的上下顶点，过()40，P 点斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，求证：直线ANBM ,的交点在定直线上 韦达化处理由引例1可知，核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．韦达化处理主要有以下几种处理方法：代换（直线代换或曲线代换）、和积消元法、配凑、解方程组．韦达化处理一：代换——即消去x 或y 中的一个由于我们联立后的方程式关于x 或y 的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x 或y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换：方向一：直线代换：1122x ty m x ty m =+⎧⎨=+⎩）又1122x ty mx ty m =+⎧⎨=+⎩，即()()()2212121212x x ty m ty m t y y tm y y m =+⋅+=+++ 方向二：曲线代换：若两个点均在直线12y kx =-和曲线2219x y +=上，那么形如()()122111x y x y +-的式子，如果用直线替换显然麻烦，注意到()()2222211111111999119x y x y x y y +=⇒=-⇒=-+，替换掉原式中含有的()11y -，可以得到()()1212911y y x x ++。

数学圆锥曲线解题技巧数学圆锥曲线解题技巧现阶段大家都开始学习圆锥曲线，高考难题排名第二位。

以下是店铺收集整理了，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

数学圆锥曲线解题技巧（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

（5）线段长的几种简便计算方法①充分利用现成结果，减少运算过程。

②结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

③利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离。

圆锥曲线是数学中的难中之难，这已经成为几乎所有高三学生的心头痛。

其实，解析几何题目自有路径可循，方法可依。

只要经过认真的.准备和正确的点拨，完全可以让高考数学的圆锥曲线难题变成让同学们都很有信心的中等题目。

题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在两个选填（选择或填空）题，一个解答题上，分值约为25分，占总分值的近20%。

整体平衡，重点突出：解析几何部分19个知识点，一般会考查到其中的半数以上，其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既要注意全面，更要注意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。

能力立意，渗透数学思想：一些常见的基本题型，如果借助于数形结合的思想，就能快速准确的得到答案，比死算要节省很多时间。

压轴题型11 圆锥曲线压轴解答题的处理策略命题预测解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开． 高频考法（1）直线交点的轨迹问题（2）向量搭桥进行翻译（3）弦长、面积范围与最值问题（4）斜率之和差商积问题（5）定点定值问题01 直线交点的轨迹问题交轨法解决.【典例1-1】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线22:13y C x −=的左､右顶点分别是12,A A ，直线l 与C 交于,M N 两点（不与2A 重合），设直线22,,A M A N l 的斜率分别为12,,k k k ，且()126k k k +=−.(1)判断直线l 是否过x 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.(2)若,M N 分别在第一和第四象限内，证明：直线1MA 与2NA 的交点P 在定直线上.【解析】（1）由题意可知12(1,0),(1,0),0A A k −≠，设直线l 的方程为1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+.2024届高考数学专项练习由2213y x y kx m ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，可得222(3)230k x kmx m −−−−=， 则23k ≠，2212(3)0m k ∆=+−>，即223k m <+，212122223,33km m x x x x k k ++==−−−. 因为()121212*********()()211()1kx m kx m kx x m k x x m k k k k k x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+++−+−+=+= ⎪⎢⎥−−−++⎝⎭⎣⎦222222322()2336632133m kmk m k m k k k km kmm k k k ⎡⎤⎛⎫+−+−−⎢⎥ ⎪−−⎝⎭⎢⎥===−⎢⎥++−−+⎢⎥−−⎣⎦， 所以2m k =−，故直线l 的方程为(2)y k x =−，恒过点(2,0). （2）由题可知，直线1MA 的方程为11(1)1y y x x =++，直线2NA 的方程为22(1)1yy x x =−−，因为2121121212121212(1)(2)(1)2211(1)(2)(1)22y x x x x x x x x x y x x x x x x x +−+−+−+===−−−−−−+ 1212112121()322()2x x x x x x x x x x ++−−=−+++21221269333233k x k k x k −−−−==−++− 所以12x =，故点P 在定直线12x =上.【典例1-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅，PA PC⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上． 【解析】（1）由题意可得(1,)PA x y =−−，(,1)PB x y =−−，(1,1)PC x y =−−， 则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=−⋅−+−⋅−=+−−+， 又2y 是PA PB ⋅，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+−−++−−+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =−+．（2）由（1）知2131:22C y x x =−+，又31,416a ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，∴平移公式为34116x x y y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=−'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫−=+−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2yx ．曲线2C 的方程为2yx ．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b −−=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b+=⎧⎨=−⎩， ()()21111,,OM x y x x ∴==，()()22222,,ON x y x x ==，又MON ∠为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅， 2212120x x x x ∴+>，又12x x b =−，2()0b b ∴−+−>，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x k x x b +=⎧⎨=−=−⎩，对2yx 求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x −=−，()2222:2N l y x x x x −=−， 由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧−=−⎪≠⎨−=−⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ． 满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，R ∴点在定直线=2y −上． 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点2,3P，且离2. (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程.【解析】（1）由椭圆过点2,3P，且离心率为22，所以2222223122a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩，故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=，由()22Δ25696120k k =−+>，即232k >，所以1221612kx x k −+=+，1222412x x k =+. 由求根公式可知，不妨设218246k k x −−−，228246k k x −+−= 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y xx −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++， 代入12,x x ，得222222241644628446112122324481246241246k k k y k k k k y k k k k k −−−−−−++===−+−+−−+−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上.【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点O ，C 的一个焦点坐标为()10,3F ，离3 (1)求C 的方程；(2)设C 的上、下顶点分别为1A ，2A ，若直线l 交C 于()11,M x y ，()22,N x y ，且点N 在第一象限，120y y >，直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，证明：直线MN 过定点． 【解析】（1）由题意得3c =，3ca3a =2226b c a =−=， 故C 的方程为22136y x −=；（2）证明：由已知条件得直线MN 的斜率存在，设直线MN ：y kx t =+，联立2226y kx t y x =+⎧⎨−=⎩，消去y 整理得，()222214260k x ktx t −++−=， 由题设条件得2210k −≠，()()2222Δ16421260k t k t =−−−>，则122412kt x x k +=−，21222621t x x k −=−．由（1）得(13A ，(20,3A −， 则直线1A M ：1133y y −，直线2A N ：2233y y x +=， 11223333y y y y −−=++ 因为直线1A M 与直线2A N 的交点P 在直线35y =上，所以112233353335y y −=++因为2222136y x−=2222222233312y y y x −+−==，即()2222323y y x +=−所以(11211212122233323333523335y y y y y x x y −−−===+．又((()(221212123333y y k x x k t x x t =+++，(((2222222326433212121t t ktk k t t k k k −−=⨯−+=−−−，所以33353335t t −=+，解得5t =，所以直线MN 过定点()0,5．02 向量搭桥进行翻译将向量转化为韦达定理形式求解.【典例2-1】（2024·上海普陀·二模）设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ2倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C 是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点. (1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB =，0CF AB ⋅=，求CBFS的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围. 【解析】（1）由Γ24倍，得212a −22(1)a a −=， 又1a >，则2a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ， 因为CO OB =，所以点B 、C 关于点O 对称， 又0CF AB ⋅=，则CF AB ⊥， 由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBFCF FSSCF CF ==⋅，又122211224CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得， 12CF CF ⋅=，则1CBFS=.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又 OA OB CO +=，则012()x x x =−+，012()y y y =−+， 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++−=， 222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=−+−=−+，由韦达定理得，122412mk x x k −+=+，21222212m x x k −=+，又121222()212my y k x x m k +=++=+，则02412mkx k =+，02212m y k −=+， 因为点C 在椭圆Γ上，所以222242()2()21212mk m k k −+=++， 化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(21)6(21)04k k m k k +∆=−+=+−=+>，则2222212121()()(1)()AB x x y y k x x =−+−=+−222224221()4()1212mk m k k k−−+−++ 226(21)1k k ++226612k k ++ 令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+， 则AB 的取值范围是3,6.【典例2-2】（2024·贵州安顺·一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线方程为3y x =，右焦点F 3 (1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点F 的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，()1,0A −．求AM AN ⋅的值．【解析】（1）由双曲线2222:1x y C a b −=的渐近线方程为3y =，可得3b a =又由焦点(c,0)F 32233(3)1c d ==+2c =，又因为222c a b =+，可得1,3a b =2213y x −=.（2）由（1）知2c =，可得(2,0)F ，当直线l 的斜率不存在时，即:2l x =，将2x =代入2213y x −=，可得13y =或23y =−，不妨设(2,3),(2,3)M N −，又由(1,0)A −，可得(3,3),(3,3)AM AN ==−， 所以333(3)0AM AN ⋅=⨯+⨯−=； 当直线l 的斜率存在时，即:(2)l y k x =−，联立方程组22(2)13y k x y x =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得2222(3)4430k x k x k −+−−=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2222(4)4(3)(43)0k k k ∆=+−+>，且22121222443,33k k x x x x k k ++==−−， 则222212121212(2)(2)2()4y y k x x k x x k x x k =−−=−++，且1122(1,),(1,)AM x y AN x y =+=+，则1212121212(1)(1)()1AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++ 22212121212()12()4x x x x k x x k x x k =++++−++2221212(12)(1)()41k x x k x x k =−+++++=2222222434(12)(1)4133k k k k k k k +=−⋅++⋅++−−242244222484343412303k k k k k k k k k −+++++−+−==−，综上可得：0AM AN ⋅=.【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）如图，已知抛物线()2:20E y px p =>，其焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，以FC 为直径的圆交抛物线于点B ，连接BF 并延长交抛物线于点A ，且4AF BF −=．(1)求E 的方程．(2)过点F 作x 轴的垂线与抛物线E 在第一象限交于点P ，若抛物线E 上存在点M ，N ，使得0MP NP ⋅=．求证：直线MN 过定点．【解析】（1）根据抛物线的性质可知CF p =．设直线AB 的倾斜角为θ，则在Rt CBF △中，cos BF p θ=． 由抛物线的定义知cos AF AF p θ=+，cos BF p BF θ=−， 所以1cos p AF θ=−，cos 1cos pBF p θθ==+，所以2sin cos θθ=． 所以222sin cos p p AB AF BF θθ=+==． 由24AF BF AB BF −=−=，得221cos 2cos 224cos cos p p p p θθθθ−−=⋅==，解得2p =． 所以E 的方程为24y x =．（2）由（1）知()1,2P ．设直线MN 的方程为x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ．联立抛物线方程，得2,4.x my n y x =+⎧⎨=⎩代入并整理，得2440y my n −−=．则124y y m +=，124y y n =−，且216160m n ∆=+>． 由0MP NP ⋅=，得()()11221,21,20x y x y −−⋅−−=，则()()()()()()()()12121212112211220x x y y my n my n y y ⎡⎤⎡⎤−−+−−=−+−++−−=⎣⎦⎣⎦，得()()()22121212250m y y mn m y y n n ++−−++−+=，所以()()()221424250m n mn m m n n +⨯−+−−⨯+−+=．整理得()()22341n m −=+．当()321n m −=−+，即21n m =−+时，直线MN 的方程为()21x m y =−+，则直线MN 恒过定点()1,2P ，不符合题意．当()321n m −=+，即25n m =+时，直线MN 的方程为()25x m y =++，则直线MN 恒过定点()5,2−．【变式2-2】（2024·山东聊城·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为26. (1)求C 的方程；(2)直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与C 交于,M N 两点，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，且,AM BM AN BN λμ==. （ⅰ）当12μλ==时，求k 的值；（ⅱ）当3λμ+=时，求点(0,3到l 的距离的最大值.【解析】（1）由题意得222226b c a b a a =⎧⎪⎨−==⎪⎩13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以C 的方程为2213x y +=．（2）（ⅰ）由题意得()0,,,0m A m B k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由12AM BM =，得2OM OA OB =−，即,2m M m k ⎛⎫⎪⎝⎭，由2AN BN =，得2ON OB OA =−，即2,m N m k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， 将,M N 的坐标分别代入C 的方程，得222413m m k +=和222413m m k+=，解得213k =，又0k >，所以3k =（ⅱ）由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222316330k x kmx m +++−=， 其中()()()222222Δ361231112310k m k m k m =−+−=−+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222633,3131km m x x x x k k −−+==++，由(),,0,,,0m AM BM AN BN A m B k λμ⎛⎫==− ⎪⎝⎭，得1122,m m x x x x k k λμ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以121212112x x m m m m m k x x x x k k k k λμ⎛⎫ ⎪+=+=−+ ⎪ ⎪++++⎝⎭， 由3λμ+=，得()221212230k x x mk x x m +++=，即222222223312303131m k k m k m k k −−++=++， 所以222222223312930m k k m k m k m −−++=， 因此22k m =，又0,0k m >>，所以k m =. 所以l 的方程为()1y k x =+，即l 过定点()1,0−，所以点(0,3−到l 的最大距离为点(0,3−与点()1,0−的距离21(3)2d =+=， 即点(0,3−到l 的距离的最大值为2.03 弦长、面积范围与最值问题1、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．2、建立目标函数，使用基本不等式求最值．【典例3-1】（2024·浙江台州·二模）已知椭圆C ：229881x y +=，直线l ：=1x −交椭圆于M ，N 两点，T 为椭圆的右顶点，TMN △的内切圆为圆Q . (1)求椭圆C 的焦点坐标； (2)求圆Q 的方程；(3)设点()1,3P ，过P 作圆Q 的两条切线分别交椭圆C 于点A ，B ，求PAB 的周长.【解析】（1）椭圆的标准方程为2218198x y +=，因为819988−=，所以焦点坐标为320,⎛ ⎝⎭. （2）将=1x −代入椭圆方程229881x y +=得3=±y ，由对称性不妨设()1,3M −，()1,3N −−， 直线MT 的方程为()3313y x =−−−，即3490x y +−=， 设圆Q 方程为()222x t y r −+=，由于内切圆Q 在TMN △的内部，所以1t >−， 则Q 到直线MN 和直线MT 的距离相等，即223409134t t r +⨯−+==+，解得12t =，32r =，所以圆Q 方程为221924x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭.（3）显然直线PA 和直线PB 的斜率均存在， 设过P 作圆Q 的切线方程为()13y k x =−+，其中k 有两个不同的取值1k 和2k 分别为直线PA 和PB 的斜率.由圆Q 21132321k k ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭=+，化简得：2812270k k +−=，则121232278k k k k ⎧+=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，由()122139881y k x x y ⎧=−+⎨+=⎩得()()222111119816384890k x k k x k k ++−+−−=， 可得21121848989A P A k k x x x k −−==+，所以()221111112211848924182713138989A A k k k k y k x k k k ⎛⎫−−−−+=−+=−+= ⎪++⎝⎭()()()111113271218271833271291232k k k k k −−−+−===−−+−.同理22222848989B k k x k −−=+，32B y =−，所以直线AB 的方程为32y =−， 所以AB 与圆Q 相切，将32y =−代入229881x y +=得7x =所以7AB =P 到直线AB 的距离为92，设PAB 的周长为m ，则PAB 的面积1319272222ABC S m =⨯=⨯△， 解得67m =.所以PAB 的周长为67.【典例3-2】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）设抛物线()2:20C y px p =>，直线=1x −是抛物线C 的准线，且与x 轴交于点B ，过点B 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，()1,A n 是不在直线l 上的一点，直线AM ，AN 分别与准线交于P ，Q 两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)证明：BP BQ =：(3)记AMN △，APQ △的面积分别为1S ，2S ，若122S S =，求直线l 的方程． 【解析】（1）因为=1x −为抛物线的准线，所以12p=，即24p =， 故抛物线C 的方程为24y x = （2）如图，设l ：1x ty =−，()()1122,,,M x y N x y ， 联立24y x =，消去x 得2440y ty −+=，则()2Δ1610t =−>，且121244y y t y y +=⎧⎨=⎩，又AM ：()1111y ny n x x −−=−−，令=1x −得()1121,1y n P n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭， 同理可得()2221,1y n Q n x ⎛⎫−−− ⎪−⎝⎭，所以()()()()12121212222221122P Q y n y n y n y n y y n n n x x ty ty ⎡⎤−−−−+=−+−=−+⎢⎥−−−−⎣⎦()()()()()()1221122222222y n ty y n ty n ty ty −−+−−=−−⋅−，()()()212122212124248882202444ty y nt y y nn nt n n t y y t y y t −−++−=−=−=−++−，故BP BQ =.（3）由（2）可得：()()1222122222221nt y n y n S PQ ty ty t −−−==−=−−−22212211141212221nt S MN d t t t nt t −==++=−−+，由122S S =，得：212t −=，解得3t = 所以直线l 的方程为310x +=．【变式3-1】（2024·上海闵行·二模）如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OABS．(1)求p 的值； (2)求OM ON ⋅的值； (3)求OMNOABS S 的取值范围. 【解析】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意， 所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx −−=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =−，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=−+=−.（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得2141x k =+ 点A 在第三象限，则2141A x k =+点B 在第四象限，同理可得2241B x k =+，且121212121164y y x x k k x x ===− 121222124141OMN OAB B AOM ONx x x x S S OB OA x x k k ⋅⋅⋅===⋅⋅++()()2221212114141424k k k k ++++2121124224k k ≥⋅+， 当且仅当112k =时，等号成立. OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞. 【变式3-2】（2024·辽宁·二模）已知点P 为双曲线22:14x E y −=上任意一点，过点P 的切线交双曲线E 的渐近线于,A B 两点． (1)证明：P 恰为AB 的中点；(2)过点P 分别作渐近线的平行线，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，判断PMON 的面积是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；【解析】（1）由切线不可能平行于x 轴，即切线的斜率不可能为0， 设切线方程为:l x ty m =+，联立方程组2214x ty m x y =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，整理得222(4)240t y tmy m −−+=+， 所以()()222Δ24(4)40tm t m =−−−=，可得2240t m +−=，即224m t =−，所以22220m y tmy t −++=，即2()0my t −=，所以t y m =，则2t x m m=+，所以点2(,)t tP m m m+，又由双曲线22:14x E y −=的渐近线方程为12y x =±，联立方程组12y xx ty m⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t ==−−，即2(,)22m m A t t −−， 联立方程组12y xx ty m⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，可得2,22m m x y t t −==++，即2(,)22m m B t t −++，所以222222244422244m mm tm m tmm m t t t t m m+++−−+====−− 222224m mtm tm t t t t m m−+−+===−，所以AB 的中点坐标为4(,)t m m又因为2224t t m m m m m++==，所以4(,)t P m m ，所以点P 与AB 的中点重合.（2）由2(,)22m m A t t−−，2(,)22m mB t t −++， 可得2222225()()22(2)m m m OA t t t =+=−−−，2222225()()22(2)m m m OB t t t −=+=+++， 所以44422222425252525[(2)(2)](4)m m m OA OB t t t m ⋅====−+−，即5OA OB =， 又由22223322224m m m m m OA OB t t t t t−⋅=⨯+⨯==−+−+−，可得3cos 5OA OB AOB OA OB ⋅∠==， 所以24sin 1cos 5AOB AOB ∠=−∠=， 所以114sin 52225AOBSOA OB AOB =∠=⨯⨯=， 因为P 为AB 的中点，所以112122PMON AOBS S ==⨯=， 所以四边形PMON 的面积为定值1.04 斜率之和差商积问题1、已知00(,)P x y 是椭圆22221x y a b +=上的定点，直线l （不过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，则直线l 斜率为定值2020b x a y ．2、已知00(,)P x y 是双曲线22221x y a b−=上的定点，直线l （不过P 点）与双曲线交于A ，B 两点，且0PA PBk k +=，直线l 斜率为定值2020b x a y −．3、已知00(,)P x y 是抛物线22y px =上的定点，直线l （不过P 点）与抛物线交于M ，N 两点，若0PA PB k k +=，则直线l 斜率为定值0p y −． 4、00(,)P x y 为椭圆222:x y a bΓ2+=1)0,0(a b >>上一定点，过点P 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2000222(,)y b x x y aλλ−−−； （2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点2222002222(,)a b a b x y a b a b λλλλ++−−−．5、设00(,)P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线AB ，CD 交椭圆222:x y a b Γ2+=1)0,0(a b >>于A 、B 、C 、D ，直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，弦AB ，CD 的中点记为M ，N ．（1）若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点2002(,)y b x x aλλ−−；（2）若2122()b k k a λλ⋅=≠，则直线MN 过定点22002222(,)a x b y a b a b λλλ−−．6、过抛物线22(0)y px p =>上任一点00(,)P x y 引两条弦PA ，PB ，直线PA ，PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022(,)y px y λλ−−．【典例4-1】（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆22:143x y C +=，12A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点，12F F 、分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M N 、两点（l 不过点2A ）.(1)若Q 为椭圆C 上（除12A A 、外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积； (2)若112NF F M =，求直线l 的方程；(3)若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12k k 、，且1294k k =−，求证：直线l 过定点.【解析】（1）在椭圆 22:143x y C +=中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A −、，设点()000,(2)Q x y x ≠±，则12202000220000314322444QA QA x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−. （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0)F −，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y =−−−=，，由112NF F M =得2211(1,)2(+1,)−−−=x y x y ，化简得2121=322x x y y −−⎧⎨=−⎩代入2222143x y +=可得22114(32)(32)1−−−+=x y ，联立2211143x y +=解得117=435=x y ⎧−⎪⎪⎨⎪⎪⎩由112NF F M =得直线l 过点1(1,0)F −，73(,5)48−N ， 所以，所求直线方程为5=1)y x ±+.（3）设()()3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t =+（2t ≠），联立22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2223463120m y mty t +++−=，由2222364(34)(312)0m t m t ∆=−+−>，得2234t m <+.由韦达定理，得234342263123434，−+=−=++mt t y y y y m m .1294k k =−，34349224∴⋅=−−−y y x x . 可化为()()343449220y y my t my t ++−+−=， 整理即得()()223434499(2)9(2)0my ym t y y t ++−++−=，()222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m −⎛⎫∴+⨯+−−+−= ⎪++⎝⎭，由20t −≠，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m tt m m ++−+−=++，化简可得16160t −=，解得1t =， 直线MN 的方程为1x my =+，恒过定点(1,0).【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为()(),,2,2A B C a b D a b −，直线AC 的斜率为12，直线AC 与椭圆E 交于另一点G ，且点G 到x 轴的距离为43． (1)求椭圆E 的方程．(2)若点P 是E 上与点,A B 不重合的任意一点，直线,PC PD 与x 轴分别交于点,M N ． ①设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，求2112k k k k −的取值范围． ②判断22||AM BN +是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．【解析】（1）由题意知，(),0A a −．由直线AC 的斜率为12()2012b a −=，所以2a b =． 直线AC 的方程为()12y x a =+． 设(),G s t ，则0,0s t >>．由点G 到x 轴的距离为43，得43t =． 由点G 在直线AC 上，得()4132s a =+，所以83s a =−．由点G 在椭圆E 上，得2222843312a a a⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得2a =．所以2b =．所以椭圆E 的方程为22142x y+=．（2）①设()00,P x y （020y ≤<或002y < 由（1）知，()()2,2,2,2C D −， 则00120022,22PC PD y y k k k k x x −−====−+， 所以0021121200002211442222x x k k k k k k y y y y −+−−=−=−==−−−−． 由020y −<或002y <≤得02222y −<或02222y <−≤ 所以0442222y −<−或0424222y <≤+− 故2112k k k k −的取值范围是)(422,22,422⎡−⋃+⎣． ②由①知2200142x y +=，即2220004x y y +=−．设()()12,0,,0M x N x ． 因为,,P C M 三点共线， 所以00120222y x x −−=−−，得0001002422222x y x x y y −+−=+=−−．因为,,P D N 三点共线，所以00220222y x x −−=++， 得0002002422222x x y x y y −−−−=−=−−．所以()()222222000012002222222222y x x y AM BN x x y y ⎛⎫⎛⎫−−−+=++−=++−= ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭()220002008816822x y y y y +++=−−()()()()()2000220000848221616882222y y y yy y y y y −+−++=++=−−−−()0000821681622y y y y −+++=−−．故22||AM BN +为定值16．【变式4-1】（2024·高三·上海闵行·期中）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b −=>>2()3,1−在双曲线C 上．过C 的左焦点F 作直线l 交C 的左支于A 、B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)若()2,0M −，试问：是否存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上?请说明理由．(3)点()4,2P −，直线AP 交直线2x =−于点Q ．设直线QA 、QB 的斜率分别1k 、2k ，求证：12k k −为定值．【解析】（1）由双曲线2222y :1x C a b −=2，且()3,1M −在双曲线C 上，可得222229112a b c e a c a b ⎧−=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得228,8a b ==，∴双曲线的方程为22188x y −=．（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F −，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去； 当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =−，联立方程组2248x my x y =−⎧⎨−=⎩，消x 得()221880m y my −−+=，易得Δ0>， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122288,011m y y y y m m +==<−−，可得11m −<<， ∵()()11222,,2,MA x y MB x y =+=+，则()()()()211212122222MA MB x x y y my my y y ⋅=+++=−−+()()()22212122281161244411m mm y y m y y m m +=+−++=−+=−−−，即0MA MB ⋅≠，可得MA 与MB 不垂直，∴不存在直线l ，使得点M 在以AB 为直径的圆上． （3）由直线()1:24AP y k x −=+，得(12,22)Q k −+， ∴2121222222222y k y k k x my −−−−==+−，又11111224PAy y k k x my −−===+，∴()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my −−−−−−−−−=−=−− ()2111112224222my y my mk y my my −−+++=−，∵1112y k my −=，∴1112k my y =−，且1212y y my y +=， ∴()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y −−−===−−+−，即12k k −为定值．【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，从下面3个条件中选出2个作为已知条件，并回答下面的问题：①点()32,1P −在双曲线C 上；②点Q 在双曲线C 上，1290QF F ∠=︒，且113QF =；③双曲线C 的一条渐近线与直线33y x =−垂直. (1)求双曲线C 的方程；(2)设,A B 分别为双曲线C 的左、右顶点，过点()0,1−的直线l 与双曲线C 交于,M N 两点，若AMBNk a k =−，求直线l 的斜率.【解析】（1）选①②，因为点()32,1P −在双曲线C 上，所以221811a b −=， 由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，联立222181113a b b a ⎧−=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=；选①③， 由①，得221811a b −=，由③，得31ba−⨯=−， 联立22181131a b b a⎧−=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=，选②③，由题意可设()1(,0),,Q F c Q c y −−，因为点Q 在双曲线C 上，所以22221Q y ca b−=，所以2Q b y a =±，又113QF =，所以213b a =，又由③，得31ba−⨯=−，联立21331b a b a⎧=⎪⎪⎨⎪−⨯=−⎪⎩，解得3,1a b ==（负值舍去），故双曲线C 的方程为2219x y −=.（2）依题意可知()()3,0,3,0A B −，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =−，()()1122,,,M x y N x y ，联立22119y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 并整理，得()221918180k x kx −+−=， 由()()()222Δ(18)4191836290k k k =−−⨯−=−>，且2190k −≠，得229k <且219k ≠，所以1212221818,1919k x x x x k k +=−=−−−， 又221119x y −=，即221199x y −=，则1111339y x x y −=+， 所以()()11121122122233339933AMBNy x x x k x y y y k y y x x −−−+===−−()()()()()121212122121212393991191x x x x x x x x kx kx k x x k x x −++−++==−−⎡⎤−++⎣⎦2222222218183996119193911818911919kk k k k k k k k k −+⨯+−+−−===−−⎛⎫−++ ⎪−−⎝⎭， 整理得218310k k −−=，解得16k =−或13k =（舍去），故直线l 的斜率为16−.05 定点定值问题1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x −=−或截距式y kx b =+来证明． 一般解题步骤：①斜截式设直线方程：y kx m =+，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到k 和m 的关系：m =()f k ，等式带入消参，消掉m ． ③参数无关找定点：找到和k 没有关系的点．【典例5-1】（2024·全国·模拟预测）已知离心率为23的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，点P 为椭圆C 上的动点，且12A PA 面积的最大值为35():20l x my m =−≠与椭圆C 交于,A B 两点，点()1,0D −，直线,AD BD 分别交椭圆C 于,G H 两点，过点2A 作直线GH 的垂线，垂足为M ． (1)求椭圆C 的方程．(2)记直线GH 的斜率为k ，证明：km 为定值．(3)试问：是否存在定点N ，使MN 为定值？若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）由题意，得22235,2,3,ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2229,5,4.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22195x y +=． （2）证明：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y G x y H x y ． 又()1,0D −，所以可设直线AD 的方程为1111x x y y +=−． 联立椭圆方程与直线AD 的方程，得112211,1.95x x y y x y +⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x ，得()()222211111519101400x y y x y y y ⎡⎤++−+−=⎣⎦． 又2211195x y +=，所以22115945x y +=，可得()()2211115140x y x y y y +−+−=．由根与系数的关系，得2113145y y y x −=+，则13145y y x −=+，所以11131111459155x y x x y x x +−−−=⋅−=++，同理，得224422594,55x y x y x x −−−==++． 从而直线GH 的斜率()()()()()()2112214321214312212144454555595959559555y y y x y x y y x x k x x x x x x x x x x −−−+−+−++====−−−−−++−++−++()()()122112454516y x y x x x +−+−．又11222,2x my x my =−=−， 所以()()()()()1221121212434312316164y my y my y y k x x x x m +−+−===−−，即34km =，为定值． （3）由（2）可得直线GH 的方程为11114594355y x m x y x x ⎛⎫+=⋅+− ⎪++⎝⎭． 由椭圆的对称性可知，若直线GH 恒过定点，则此定点必在x 轴上， 所以令0y =，得()()()()()11111111116235916595135535353x x my x x x x x x x +−+++=−===++++．故直线GH 恒过定点T ，且点T 的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭．因为2A M GH ⊥，垂足为M ，且()23,0A ，所以点M 在以2A T 为直径的圆上运动．故存在点5,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，使21423MN A T ==．【典例5-2】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的焦距为25点3)D 在C 上. (1)求C 的方程;(2)直线:1l x my =+与C 的右支交于A ，B 两点，点E 与点A 关于x 轴对称，点D 在x 轴上的投影为点G . （ⅰ）求m 的取值范围； （ⅱ）求证：直线BE 过点G .【解析】（1）由已知得222251631a b a b ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得224,1a b ==，所以C 的方程为2214x y −=.（2）（i ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,E x y −，联立22144x my x y =+⎧⎨−=⎩， 消去x 得()224230m y my −+−=，则240m −≠，()()222Δ41241630m m m =+−=−>，解得||3m >||2m ≠.又l 与C 的右支交于A ，B 两点，C 的渐近线方程为12y x =±，则11||2m >，即0||2m <<， 所以|m 的取值范围为(3,2). （ii ）由（i ）得12224my y m +=−−，12234y y m −=−， 又点3)D 在x 轴上的投影为(4,0)G ，所以()224,GB x y =−，()114,GE x y =−−， 所以()()122144x y x y −+−()()122133my y my y =−+−()121223my y y y =−+，223223044mm m m −−=⋅−⋅=−−， 所以//GB GE ，又GB ，GE 有公共点G ，所以B ，G ，E 三点共线，所以直线BE 过点G .【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点23P ⎝⎭在椭圆E ，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B 和点C ，D ，且点M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若()0,1D ，求以CD 为直径的圆的方程；(3)直线MN 是否过x 轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由． 【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点23P ⎝⎭， 且1F ，2F 与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形， 可得b c =，则22222a b c b =+=，所以2223122b b+=⨯，解得222,1a b ==， 所以椭圆E 的标准分别为2212x y +=.（2）由（1）得1(1,0),(0,1)F D −，所以直线CD 的方程为1x y +=，联立方程组22112x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得41,33x y ==−或0,1x y ==，所以41(,)33C −， 则CD 的中点为21(,)33N 且423CD =CD 为直径的圆的方程为22218()()339x y −+−=. （3）设直线AB 的方程为1x my =+，且0m ≠，则直线CD 的方程为11x y m=−+， 联立方程组22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210m y my ++−=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则0∆>且12122221,22y y y y m m +=−=−++， 所以12121224(1)(1)()22x x my my m y y m +=+++=++=+， 由中点坐标公式得222(,)22mM m m −++， 将M 的坐标中的用1m −代换，可得CD 的中点为2222(,)2121m mN m m ++，所以232(1)MN mk m =−，所以直线MN 的方程为22232()22(1)2m m y x m m m +=−+−+，即23(1)12m y x m =−−，则直线MN 过定点2(,0)3. 【变式5-2】（2024·浙江·二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>左右焦点分别为1F ，2F ，点()3,2P 在双曲线上，且点()3,2P 到双曲线两条渐近线的距离乘积为65，过1F 分别作两条斜率存在且互相垂直的直线1l ，2l ，已知1l 与C 双曲线左支交于A ，B 两点，2l 与C 左右两支分别交于E ，F 两点. (1)求双曲线C 的方程；(2)若线段AB ，EF 的中点分别为M ，N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）设双曲线C 的两渐近线方程分别为b y x a=，by x a =−，点()3,2P 到双曲线两渐近线的距离乘积为22294323265b a b a b a ccc −−+⨯==，由题意可得：222222229465941a b c b a c a b ⎧+=⎪⎪−⎪=⎨⎪⎪−=⎪⎩，解得23a =，22b =， 所以双曲线C 的方程为22132x y −=.（2）设直线1l 的方程为(5y k x =， 由1l ，2l 互相垂直得2l 的方程(15y x k=−， 联立方程得(225132y k x x y ⎧=⎪⎨⎪−=⎩，消y 得()222223651560k x k x k −−−−=，0∆>成立，所以212352M x x k x +=，(255M M ky k x == 所以点M 坐标为23525k k ⎝⎭，联立方程得(2215132y x k x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，所以34352N x x x +==(1255N N k y x k −=−=， 所以点N 坐标为223525,2323k k k ⎛⎫− ⎪ ⎪−−⎝⎭，根据对称性判断知定点在x 轴上， 直线MN 的方程为()N MM M N My y y y x x x x −−=−−，则当0y =时，222223525352523232323351252525M N N M N M k k kx y x y k k k k x y y kk k −−−−−−===−−−−−−所以直线MN 恒过定点，定点坐标为()35,0−.1．已知椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为()0,1A ，离心率3e =()2,1P −的直线l 与椭圆Γ交于B ，C 两点，直线AB 、AC 分别与x 轴交于点M 、N .(1)求椭圆Γ的方程；(2)已知命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，求AMN 的重心坐标；(3)是否存在直线l ，使得2AMN ABC S S =△△？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（其中AMNS、ABCS分别表示AMN 、ABC 的面积）【解析】（1）依题意1b =，3c e a ==222c a b =−， 解得2a =，所以椭圆Γ的方程为2214x y +=；（2）因为命题“对任意直线l ，线段MN 的中点为定点”为真命题，。

圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2021·广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x y a b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 解题思路：设动点()00,P x y ，由题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值例2：（2021·全国高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，离心率2e =，焦距为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）设M 是双曲线C 上任意一点，且M 在第一象限，直线MA 与MF 的倾斜角分别为1α，2α，求122αα+的值.【答案】（1）2213y x -=；（2）π. 【详解】（1）由242c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得12a c =⎧⎨=⎩，所以2223b c a =-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）由（1）知双曲线C 的方程为2213y x -=，所以左顶点()1,0A -，右焦点()2,0F .设()()0000,0,0M x y x y >>，则22013y x -=.当02x =时，03y =，此时1MA k =，1π4α=，2π2α=， 所以122παα+=；当02x ≠，010tan 1MA y k x α==+，020tan 2MF yk x α==-.因为()220031y x =-，所以()()()()()00000001222220000000221211tan 22113111y x y x y x y x x y x x y x α+++-====-+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又由点M 在第一象限，易知1π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，所以122παα+=. 综上，122αα+的值为π.解题思路：利用点在双曲线上，满足22013y x -=，利用整体代换思想求出1tan 2α和2tan α相反.例3：（2021·安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆左焦点F 的直线0x -+=与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA ､MB 交椭圆分别于A ､B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证∶直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）直线0x -+=过左焦点F ，所以()F ，c =又由124OMF M S y ∆==可知1=2M y从而椭圆经过点12M ⎫⎪⎭由椭圆定义知1242a =+=，即2a = 故椭圆的方程为22:14x C y +=.（2）由条件知，直线MA MB 、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线(12MA y k x -=：交椭圆于点()11,A x y ，直线(12MB y k x -=--：交椭圆于点()22,B x y ，由(221244y k x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得()()22224141230k x k x k +-++--=1=1x =，112y =+故1)2A +，同理可得221)2B +，k ===即证直线AB. 解题思路：将直线(12MA y k x -=：与椭圆方程联立求出交点221)2A +的坐标，再将A 中的k 用k -替换，即可求出B 点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.例4.（2021·河南高三月考（理））已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒. ①求证：点P 在定直线上；②求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）解：由题意，得()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 化简，得()221243x y x +=≠±，所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点. （2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--.由2212,{3412,x y t x y =--+=得()2243120t y ty ++=， 解得21243N ty t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t tt --+==--+， 则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 在直线14x =-上.②由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.解题思路：①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证点P 在定直线上；②由（1）得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，进而可得直线NB与直线MB 的斜率之积.例5、（2021·江苏南通市高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）53. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22911,214c a a b +==，又222a b c =+，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，因为点M 为线段OA 的中点，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为B ，M ，N 三点共线，所以BN BM λ=， 所以()()3123121,122x x x y y y λλλλ=+-=+-，又因为A ，B 点在椭圆上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 又因为直线OA ，OB 的斜率之积为34-，所以1212340x x y y +=， 因为点N 在椭圆上，所以2233143x y +=，即()()()()()12122222221122341341482261x y x y x x y y λλλλ++-+-+=+，所以()22114λλ+-=，解得85λ=，所以85BN BM =,则53BM MN =，所以152132BOMB B AMNN N OM d BM Sd Sd MN AM d ⋅⋅====⋅⋅为定值.解题思路：设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，根据M 为线段OA 的中点和B ，M ，N 三点共线，由BN BM λ=，表示点N 的坐标，再根据A ，B ，N 在椭圆上，结合直线OA ，OB 的斜率之积为34-，求得λ，从而得到BM 与MN 的比值，然后由1212BOMB B AMNN N OM d BM S dSd MN AM d ⋅⋅===⋅⋅求解. 例6、（2021·山东泰安市高三期末）已知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为)(2,0A -，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过橢圆C 的右焦点F 作斜率为)(0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与直线2b x c=交于点P ，Q ，则FP FQ ⋅是否为定值？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，94-. 【详解】（1）∵2a =，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上，∵219144b +=，∵23b =，∵椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）是定值94-，理由如下：设)(11,M x y ，)(22,N x y ，直线l 的方程为)()(10y k x k =-≠，由)(221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得)(22224384120k x k x k +-+-=，∵2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，则11322P y y x =++，∵)(111151522P k x y y x x -==++， 同理可得)(22512Q k x y x -=+，∵)(11512,2k x FP x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝，)(22512,2k x FQ x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝， ∵)()()()()()(212121221212122511144252224k x x x x x x FP FQ kx x x x x x ---++⋅=+=++++++222222222412819434342541216444343k k k k k k k k k --+++=+=--++++，∵FP FQ ⋅为定值94-．解题思路：设直线l 的方程，与椭圆方程联立，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，由三点共线可得P y ，Q y ，结合韦达定理坐标表示FP FQ ⋅可得.3、求某一个量为定值例7、（2021·江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故C 的标准方程为22195x y +=. （2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ， 设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，由010133TA PA y yk k x x =⇒=++'①， 020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++， 又2211195x y +=，故2211195x y -=-，所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+.所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点， 所以设直线PQ 的方程为2x my =+，（直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率）代入22195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=解得092x =. 所以点T 横坐标为定值92. 解题思路：设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA PA k k =，TB QB k k =可得0126123333x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---，设直线PQ 的方程为2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入上式即可.例8、（2021·湖北武汉市高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.【详解】（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b+=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=. （Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立.得()224322039m m y y ++-=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解题思路：设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.例9、（2021·陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得x =，所以1AB ==②，由①②可得：24a =，p =所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+--=mx n y ， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====.||2MN ==. 所以MN 为定值.解题思路：设(,)P m n ，则2214+=n m ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用||MN =.题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题解答圆锥曲线的定点问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1、直线过定点问题例10、（2020·江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =所以22221b e a =-=⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点12P ⎫⎪⎭，代入椭圆方程可得223114a b +=， 联立方程组可得222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+， 122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，AQ BQ k k +===，即()()1221kx m x kx m x ⎛⎛+++ ⎝⎭⎝⎭()121220kx x m x x ⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭得()()22244814033k m km m m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得m =，直线l 的方程为(y k x =-，所以，直线l 恒过定点).解题思路： 设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，将韦达定理代入得出答案.例11、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解题思路：设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点.例12、（2021·山东德州市高三期末）已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=，所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线，所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mk km k m k k --+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）.解题思路：先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）."设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2、动点在定直线上的问题例13、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅= 解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=. 显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上.解题思路：设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线BO 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.例14、（2021·福建高三模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，12P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于AB 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为点1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以222141a b ⎝⎭+=， 又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =， 故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=. 1122::AEBFy l y x x y l y x x ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(10x ≠，20x ≠) 11111y kx x x +====，故1y ⎤=⎥⎦2kx x xx x x +++-=3x x x x +-=3=故点T 恒在一定直线3y =上.解题思路：设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果.3、圆过定点问题例14、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，证明见解析，定点为(1,0),(1,0)-. 【详解】解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=，解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.解题思路： 设00(,)P x y ，设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，与椭圆方程联立由0∆=，求出切线的斜率0034x k y =-，得出切线方程000334x x y y y =-+，由条件求出12,B B 坐标，在x 轴上取点(),0M t ，由120MB MB ⋅=得出答案.【巩固训练】1、（2020·广东高三一模）已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）22163x y +=，离心率为2；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，得22411a b+== 由①②解得26a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=，椭圆C 的离心率为2c e a ===． （2）直线AB 的斜率为定值1.证明：设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 记11(,)A x y ，22(,)B x y ．设直线PA 的方程为1(2)y k x +=+，与椭圆C 的方程联立，并消去y 得()()222212848840k x k k x k k ++-+--=，则2-，1x 是该方程的两根，则212884212k k x k ---=+，即21244212k k x k-++=+． 设直线PB 的方程为1(2)y k x +=-+，同理得22244212k k x k --+=+．因为()1112y k x +=+，()2212y k x +=-+，所以()()()212121212121228224121812ABkk x k x k x x y y k k k x x x x x x k +++++-+=====---+，因此直线AB 的斜率为定值．2、（2021·山西阳泉市高三期末（理））已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析．【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->， ∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k -+=+，解得12k =±．1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴1254S S π+=为定值． 3、（2021·湖北宜昌市高三期末）已知点A 、B坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-．（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P 的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)3)2222x x m m my my +-+++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-.4、（2021·安徽池州市高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点、右焦点分别为A ，F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线AD ，AE 斜率分别为1k ，2k ，证明：12kk kk +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意可得2222222312112a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可知()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-.联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，所以()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++12331122k x x ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭()()()()()12121212123434222224x x x x k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=-=-⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦2222228344324128244343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222223816122412161612k k k k k k ⎡⎤++⎢⎥=--+++⎢⎥⎣⎦ 222112k k k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 所以1211kk kk k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭（定值）.5、（2021·安徽蚌埠市高三二模（理））已知圆()22:224E x y ++=，动圆N 过点()2,0F 且与圆E 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个动点，且OP OQ ⊥，记PQ 中点为M ，OP OQ t OM ⋅=，证明：t 为定值.【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E，∴NE NF EF +=>，所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k-=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=.化简得：()()22121210k x x km x x m ++++=，即()22222366101313m km k km m k k--+⋅+⋅+=++， 从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =， 在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ，则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为x n =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝ 由OP OQ ⊥得n =t = 综上，t.6、（2021·江苏无锡市高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标； （2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）(4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-， 解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-； 所以直线MN的方程为4)y x =-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-， 又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---， 交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.7、（2021·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值； （3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111xm x λ=-，同理222xm x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 8、（2020·湖北高三月考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若平面上一点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7. （1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为43k =的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接.PN 问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）过定点，1,34⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)由已知，定点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7.272p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4p =，即抛物线的方程28y x =(2)设11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y ，则121211212222888PM y y y y k y y x x y y ++=-=+=-，同理：238MNk y y =+，138PN k y y =+， 由23843MN k y y ==+知：236y y +=，即236y y =- ① 直线11128:()PM y y x x y y -=-+，即1212()8y y y y y x +-=过(2,3)A 求得1211633y y y -=- ② 同理求直线PN 方程1313()8y y y y y x +-= ③ 由①②得13133()2y y y y =+- 代入③得1313()3()28y y y y y x +-++=13()(3)280y y y x +-+-=故3y =且280x -=时，直线PN 恒过点1,34⎛⎫⎪⎝⎭. 9、（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120kx k x k+-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦ ()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.10、（2021·安徽高三月考（理））已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析．【详解】解：（1）由题意得：222221a b c ba ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2,1,a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=。

高中数学圆锥曲线定点问题解题策略
高中数学圆锥曲线定点问题是数学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆锥曲线的交点、定点问题等。

解题的策略一般包括以下几个方面：
1. 明确问题要求：首先要清楚问题要求求解什么，例如求交点的坐标、定点的坐标等，明确问题的目标是解决问题的第一步。

2. 寻找相关方程：根据问题所涉及的圆锥曲线类型，如抛物线、椭圆、双曲线等，
确定相应的方程。

对于抛物线可以使用一般方程y=ax^2+bx+c，对于椭圆可以使用标准方
程\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，对于双曲线可以使用标准方程
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1等。

寻找到相关方程是解题的基础。

3. 解方程求解：根据问题所给的条件和方程，利用数学方法解方程组，求解出未知
数的值。

根据具体的题目要求，可能会涉及到一元二次方程、二元一次方程、高次方程等，可以利用因式分解、配方法、根的判别式等方法求解。

4. 计算坐标值：根据求解出的未知数的值，可以得到所求点的坐标。

根据坐标的定义，可以通过具体的计算将结果转化为坐标值，例如将x和y值代入方程，计算出相应的
坐标点。

5. 检查答案：在得到结果后，需要对结果进行检查，确保所得答案符合原题要求，
并且满足数学上的要求。

对于涉及到图形的问题，可以通过作图验证答案的正确性。

解决高中数学圆锥曲线定点问题的关键是明确问题要求，寻找相关方程，解方程求解，计算坐标值，最后进行答案的检查。

通过多进行练习和实践，加强对数学知识的理解和掌握，可以提高解决此类问题的能力。

圆锥曲线中定点问题的解题策略高玉荣(山东省安丘市第二中学ꎬ山东安丘２６２１００)摘㊀要:圆锥曲线中的定点问题主要是指圆锥曲线试题中直线过定点或者圆过定点问题.本文结合具体例子给出圆锥曲线中定点问题的解题策略ꎬ以期为一线教师提供解题思路与方法.关键词:圆锥曲线ꎻ定点问题ꎻ直线ꎻ斜率ꎻ解题策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００２４－０４收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:高玉荣(１９６８.５－)ꎬ男ꎬ山东省安丘人ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀圆锥曲线中的直线过定点问题ꎬ主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及化归思想㊁数形结合思想和数学运算求解能力等.圆锥曲线中定点问题的题型主要有:切点弦问题㊁斜率之和为定值问题㊁斜率之积为定值问题以及定点的存在性问题.笔者对圆锥曲线中的定点问题进行分类解析并给出解题策略.１解题策略(１)从特殊位置入手ꎬ找出定点ꎬ再证明该点适合题意.(２)解题的关键是设点ꎬ设线ꎬ直线与圆锥曲线联系ꎬ然后表示出直线的斜率ꎬ进而求直线方程并证明结论等.２两垂直弦的中点所在的直线例１㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左焦点Ｆ(－ｃꎬ０)作两条互相垂直的弦ＡＢ㊁ＣＤꎬ若弦ＡＢꎬＣＤ的中点分别为ＭꎬＮꎬ那么直线ＭＮ恒过定点(－ａ２ｃａ２＋ｂ２ꎬ０)[１].证明:设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｔｙ－ｃꎬ直线ＣＤ方程为ｘ＝－１ｔｙ－ｃꎬ设Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＮ(ｘᶄ０ꎬｙᶄ０).把直线ＡＢ代入椭圆方程ꎬ得(ｂ２ｔ２＋ａ２)ｙ２－２ｂ２ｃｔｙ－ｂ４＝０ꎬ则ｙ０＝ｙ１＋ｙ２２＝ｂ２ｃｔｂ２ｔ２＋ａ２ꎬｘ０＝ｔｙ０－ｃ＝－ａ２ｃｂ２ｔ２＋ａ２ꎬ同理ꎬ将－１ｔ替代ｔꎬ得ｙᶄ０＝－ｂ２ｃｔａ２ｔ２＋ｂ２ꎬｘᶄ０＝－ａ２ｃｔ２ａ２ｔ２＋ｂ２.从而ｋＭＮ＝ｙ０－ｙᶄ０ｘ０－ｘᶄ０＝ｔ(ａ２＋ｂ２)(ｔ２＋１)ａ２(ｔ４－１)＝(ａ２＋ｂ２)ｔａ２(ｔ２－１)ꎬ所以直线ＭＮ为ｙ＝(ａ２＋ｂ２)ｔａ２(ｔ２－１)(ｘ＋ａ２ｃｂ２ｔ２＋ａ２)＋ｂ２ｃｔｂ２ｔ２＋ａ２ꎬ化简得ａ２(ｔ２－１)ｔｙ＝(ａ２＋ｂ２)ｘ＋ａ２ｃꎬ故直线ＭＮ过定点(－ａ２ｃａ２＋ｂ２ꎬ０).３切点弦问题例２㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的短轴长为２ꎬ椭圆上一点到两焦点的距离之和是６.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)若直线ｌ的方程是ｘ＋ｙ－６＝０ꎬ点Ｍ是直线ｌ上一点ꎬ过点Ｍ作椭圆Ｃ的切线ＭＧꎬＭＨꎬ切点分别为ＧꎬＨꎬ设切线的斜率都存在ꎬ试问:直线ＧＨ是否过定点?若过定点ꎬ求出该点的坐标ꎻ若不过ꎬ请说明理由[２].解㊀(１)依题意知ꎬａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ所以椭圆方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.(２)证明设Ｇ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＨ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬ直线ＭＧ的方程为ｙ－ｙ１＝ｋ(ｘ－ｘ１).由ｙ－ｙ１＝ｋ(ｘ－ｘ１)ｘ２＋９ｙ２＝９{ꎬ得(９ｋ２＋１)ｘ２＋１８ｋ(ｙ１－ｋｘ１)ｘ＋９(ｙ１－ｋｘ１)２－９＝０ꎬ则ә＝１８ｋ(ｙ１－ｋｘ１)[]２－４(９ｋ２＋１)９(ｙ１－ｋｘ１)２－９[]＝０ꎬ化简得(ｙ１－ｋｘ１)２＝９ｋ２＋１ꎬ所以(ｘ２１－９)ｋ２－２ｘ１ｙ１ｋ＋ｙ２１－１＝０ꎬ又由方程只有一解ꎬ则ｋ＝ｘ１ｙ１ｘ２１－９＝－ｘ１９ｙ１ꎬ所以直线ＭＧ方程为ｙ－ｙ１＝－ｘ１９ｙ１(ｘ－ｘ１)ꎬ化简得ｘ１ｘ＋９ｙ１ｙ＝９ꎬ同理可得ꎬ直线ＭＨ方程为ｘ２ｘ＋９ｙ２ｙ＝９.又因为两条切线都经过点Ｍ(ｘ３ꎬｙ３)ꎬ所以ｘ１ｘ３＋９ｙ１ｙ３＝９ｘ２ｘ３＋９ｙ２ｙ３＝９{ꎬ所以直线ＧＨ方程为ｘ３ｘ＋９ｙ３ｙ＝９.又ｘ３＋ｙ３－６＝０ꎬ所以直线ＧＨ方程为６ｘ－９＋(９ｙ－ｘ)ｙ３＝０ꎬ令６ｘ－９＝０９ｙ－ｘ＝０{ꎬ得ｘ＝３２ｙ＝１６ìîíïïïïꎬ所以直线ＧＨ恒过定点３２ꎬ１６æèçöø÷.点评㊀圆锥曲线的切点弦方程的一般结论如下[３]:Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)分别是抛物线ｙ２＝２ｐｘ㊁椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１和双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１外的一点ꎬ则过Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)作曲线的切线ꎬ切点为ＡꎬＢꎬ则直线ＡＢ的方程分别是ｙ０ｙ＝ｐ(ｘ＋ｘ０)ꎬｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１.利用切点弦的结论ꎬ快速解决下面的例３.例３㊀动点Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)在直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０上ꎬ由Ｐ引椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的两条切线ꎬ切点分别是ＭꎬＮꎬ则直线ＭＮ必过定点Ｇ(－ａ２Ｃꎬ－ｂ２ＢＡＣ).证明㊀由题意得Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｃ＝０ꎬ①ＭＮ是椭圆的切点弦方程ꎬ故其方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１ꎬ即ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ａ２ｂ２ꎬ②将①代入②消去ｘ０得(Ａａ２ｙ－Ｂｂ２ｘ)ｙ０＝ａ２ｂ２＋Ｃｂ２ｘꎬ由于ｙ０的任意性ꎬ故有Ａａ２ｙ－Ｂｂ２ｘ＝０ａ２ｂ２＋Ｃｂ２ｘ＝０{ꎬ解得ｘ＝－ａ２Ｃꎬｙ＝－ｂ２ＢＡＣ.所以直线ＭＮ必过定点Ｇ(－ａ２Ｃꎬ－ｂ２ＢＡＣ).４斜率之积为定值例４㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的两条渐近线互相垂直ꎬ且过点Ｄ２ꎬ１().(１)求双曲线Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｐ为双曲线的左顶点ꎬ直线ｌ过坐标原点且斜率不为０ꎬｌ与双曲线Ｃ交于ＡꎬＢ两点ꎬ直线ｍ过ｘ轴上一点Ｑ(异于点Ｐ)ꎬ且与直线ｌ的倾斜角互补ꎬｍ与直线ＰＡꎬＰＢ分别交于ＭꎬＮ(ＭꎬＮ不在坐标轴上)两点ꎬ若直线ＯＭꎬＯＮ的斜率之积为定值ꎬ求点Ｑ的坐标.解㊀(１)略.(２)(方法１)设点.设Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｔꎬ０)ꎬ由(１)知Ｐ(－１ꎬ０)ꎬ设直线ＯＭꎬＯＮ的斜率分别为ｋ１ꎬｋ２ꎬ因为ＡꎬＰꎬＭ三点共线ꎬ所以ｋＡＰ＝ｋＭＰꎬ即ｙ０ｘ０＋１＝ｙ１ｘ１＋１.因为直线ｍ过ｘ轴上一点Ｑ(异于点Ｐ)ꎬ且与直线ｌ的倾斜角互补ꎬ所以ｋｍ＝－ｋｌꎬ即ｋＭＱ＝－ｋＯＡꎬ所以ｙ１ｘ１－ｔ＝－ｙ０ｘ０.联立ｙ０ｘ０＋１＝ｙ１ｘ１＋１ｙ１ｘ１－ｔ＝－ｙ０ｘ０ìîíïïïï可得ｘ１＝(ｔ－１)ｘ０＋ｔ２ｘ０＋１ｙ１＝(ｔ＋１)ｙ０２ｘ０＋１ìîíïïïïꎬ所以ｋ１＝ｙ１ｘ１＝(ｔ＋１)ｙ０２ｘ０＋１(ｔ－１)ｘ０＋ｔ２ｘ０＋１＝(ｔ＋１)ｙ０(ｔ－１)ｘ０＋ｔꎬ同理可得ｋ２＝(ｔ＋１)(－ｙ０)(ｔ－１)(－ｘ０)＋ｔ.因为直线ＯＭꎬＯＮ的斜率之积为定值ꎬ设定值为ｃꎬ则ｋ１ｋ２＝－(ｔ＋１)２ｙ２０ｔ２－(ｔ－１)２ｘ２０＝－(ｔ＋１)２ｙ２０ｔ２－(ｔ－１)２(ｙ２０＋１)＝ｃꎬ整理可得(ｔ＋１)２－ｃ(ｔ－１)２[]ｙ２０＋ｃ(２ｔ－１)＝０ꎬ其中ｔʂ１.因为上式对任意的ｙ０都成立ꎬ所以２ｔ－１＝０(ｔ＋１)２－ｃ(ｔ－１)２＝０{ꎬ可得ｔ＝１２ꎬｃ＝９ꎬ所以点Ｑ的坐标为１２ꎬ０æèçöø÷.(方法２)设线[４].设Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬＭ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｔꎬ０)ꎬ由(１)知Ｐ(－１ꎬ０)ꎬ因为ｋＰＡｋＰＢ＝ｙ０ｘ０＋１ ｙ０ｘ０－１＝ｙ２０ｘ２０－１＝１.不妨设直线ＰＡ的斜率为ｋꎬ则直线ＰＢ的斜率为１ｋꎬ联立ｙ＝ｋ(ｘ＋１)ｘ２－ｙ２＝１{得(ｋ２－１)ｘ２＋２ｋ２ｘ＋ｋ２＋１＝０ꎬ所以－１ ｘ０＝ｋ２＋１ｋ２－１ꎬ于是ｘ０＝－ｋ２＋１ｋ２－１ꎬｙ０＝ｋ－ｋ２＋１ｋ２－１＋１æèçöø÷＝－２ｋｋ２－１ꎬ所以ｋＡＢ＝ｙ０ｘ０＝２ｋｋ２＋１ꎬ于是直线ｍ的方程为ｙ＝－２ｋｋ２＋１(ｘ－ｔ)ꎬ联立ｙ＝－２ｋｋ２＋１(ｘ－ｔ)ｙ＝ｋ(ｘ＋１){ꎬ解得ｘ＝(２ｔ－１)－ｋ２３＋ｋ２ｙ＝２(ｔ＋１)ｋ３＋ｋ２ìîíïïïïꎬ所以ｋＯＭ＝２(ｔ＋１)ｋ(２ｔ－１)－ｋ２.同理ꎬｋＯＮ＝２(ｔ＋１)１ｋ(２ｔ－１)－１ｋæèçöø÷２＝２(ｔ＋１)ｋ(２ｔ－１)ｋ２－１.因为直线ＯＭꎬＯＮ的斜率之积为定值ꎬ设定值为ｃꎬ则２(ｔ＋１)ｋ(２ｔ－１)－ｋ２ ２(ｔ＋１)ｋ(２ｔ－１)ｋ２－１＝ｃꎬ化简得ｃ(２ｔ－１)ｋ４＋４(ｔ＋１)２－ｃ(４ｔ２－４ｔ＋２)[]ｋ２＋ｃ(２ｔ－１)＝０(ｔʂ１).因为上式对任意的实数ｋ都成立ꎬ所以ｃ(２ｔ－１)＝０４(ｔ＋１)２－ｃ(４ｔ２－４ｔ＋２)＝０{ꎬ解得ｔ＝１２ｃ＝９{ꎬ所以点Ｑ的坐标为１２ꎬ０æèçöø÷.５定点的存在性问题例５㊀如图１ꎬ已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左顶点为Ａ－２ꎬ０()ꎬ焦距为２３.动圆Ｄ的圆心坐标是０ꎬ２()ꎬ过点Ａ作圆Ｄ的两条切线分别交椭圆于Ｍ和Ｎ两点ꎬ记直线ＡＭ㊁ＡＮ的斜率分别为ｋ１和ｋ２.(１)求证:ｋ１ｋ２＝１ꎻ(２)若Ｏ为坐标原点ꎬ作ＯＰʅＭＮꎬ垂足为Ｐ.是否存在定点Ｑꎬ使ＰＱ为定值?解㊀(１)由题意知ꎬ椭圆Ｃ的左顶点为Ａ－２ꎬ０()ꎬ焦距为２３ꎬ可得ａ＝２２ｃ＝２３ａ２＝ｂ２＋ｃ２ìîíïïïïꎬ解得ａ２＝４ꎬｂ２＝１ꎬ所以故椭圆Ｃ的方程为ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ设过点Ａ与圆Ｄ的切线的直线为ｙ＝ｋｘ＋２()ꎬ动圆的半径为ｒꎬ则２ｋ－２ｋ２＋１＝ｒꎬ化简得４－ｒ２()ｋ２－８ｋ＋４－ｒ２＝０ꎬ所以ｋ１和ｋ２是方程４－ｒ２()ｋ２－８ｋ＋４－ｒ２＝０的两根ꎬ由韦达定理知ꎬｋ１ｋ２＝１.(２)设点Ｍｘ１ꎬｙ１()ꎬＮｘ２ꎬｙ２()ꎬ联立方程组ｙ＝ｋｘ＋２()ｘ２４＋ｙ２＝１{ꎬ整理得１＋４ｋ２()ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－４＝０ꎬ则－２()ｘ１＝１６ｋ２－４４ｋ２＋１ꎬ得ｘ１＝２－８ｋ２４ｋ２＋１ꎬｙ１＝４ｋ４ｋ２＋１ꎬ所以Ｍ２－８ｋ２４ｋ２＋１ꎬ４ｋ４ｋ２＋１æèçöø÷因为ｋ１ｋ２＝１ꎬ所以将ｋ换成１ｋꎬ可得Ｎ２ｋ２－８ｋ２＋４ꎬ４ｋｋ２＋４æèçöø÷ꎬ则直线ＭＮ的斜率ｋ＝４ｋ４ｋ２＋１－４ｋｋ２＋４２－８ｋ２４ｋ２＋１－２ｋ２－８ｋ２＋４＝３ｋ４ｋ２＋１()所以直线ＭＮ的方程为ｙ－４ｋ４ｋ２＋１＝３ｋ４ｋ２＋１()ｘ－２－８ｋ２４ｋ２＋１æèçöø÷如图１ꎬ由椭圆的对称性[５]可知ꎬ直线ＭＮ必过轴上一定点Ｅｘ０ꎬ０()所以０－４ｋ４ｋ２＋１＝３ｋ４ｋ２＋１()ｘ０－２－８ｋ２４ｋ２＋１æèçöø÷ꎬ化简得４０＋１２ｘ０()ｋ２＋３ｘ０＋１０＝０这是一个与ｋ无关的方程ꎬ所以ｘ０＝－１０３ꎬ即直线ＭＮ过定点Ｅ－１０３ꎬ０æèçöø÷.因为ＯＰʅＭＮꎬ所以点Ｐ的轨迹是以ＯＥ为直径的圆上的一段弧ꎬ故存在点Ｑ－５３ꎬ０æèçöø÷ꎬ使得ＰＱ为定值.点评㊀对于圆锥曲线中的定点㊁定值问题的求图１㊀例５题图解策略:(１)对于定点㊁定值问题ꎬ可考虑能否用特殊点或特殊值求得定点或定值ꎬ再把结论推广到一般结论ꎻ(２)运用函数与方程的思想方法进行解答ꎬ一般步骤:①选择适当的变量ꎻ②把要证明的定点㊁定值的量表示为上述变量的函数或方程ꎻ③把定点㊁定值的量化成与变量无关的结构形式ꎬ从而加以判定或证明.６结束语圆锥曲线中的定点问题是高考的难题ꎬ令很多考生望而生畏.破解圆锥曲线中定点问题的策略主要是通法(即设点㊁设线㊁联立㊁韦达等)ꎬ只不过还需要熟悉一些常用的结论ꎬ比如切点弦方程㊁两点直径圆㊁同构思想㊁齐次化思想等.在解题时ꎬ熟悉通法与常用的数学思想最为关键ꎬ然后进行分类㊁总结ꎬ再加强训练ꎬ假以时日ꎬ定能提高学习效率与解题能力.参考文献:[１]李鸿昌.高中数学一点一题型(新高考版)[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２:７.[２]秦俭ꎬ林方.同构思想在处理双切线问题中的应用[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２２(０７):２８－３２.[３]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２:４.[４]李鸿昌.圆锥曲线中 非对称 问题的成因及破解策略[Ｊ].数学通讯ꎬ２０２２(２２):３２－３５.[５]李鸿昌.二次曲线系在圆锥曲线四点共圆问题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(０７):９２－９４.[责任编辑:李㊀璟]。

圆锥曲线大题计算的小技巧圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，对于许多学生来说，计算圆锥曲线的题目可能是比较困难的。

然而，通过一些小技巧，我们可以更容易地解决这些问题。

在本文中，我将介绍一些超适用的小技巧，帮助大家更好地计算圆锥曲线的题目。

一、直线和圆锥曲线的关系在计算圆锥曲线的问题中，经常会遇到直线和圆锥曲线的相交问题。

对于这类题目，我们可以通过将直线方程代入圆锥曲线方程，得到一个关于未知数的方程，从而解出未知数的值。

具体步骤如下：1. 设直线的方程为y = kx + c，其中k和c为常数。

2. 将直线方程代入圆锥曲线的方程中，得到关于未知数的方程。

例如，如果圆锥曲线的方程为ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0，代入直线方程后得到关于x的二次方程（其中k和c是已知数）。

3.解方程，得到未知数的值。

根据解的个数，可以确定直线和圆锥曲线的相交情况。

这种方法可以帮助我们更快地确定直线和圆锥曲线的交点的位置，从而更好地解决问题。

二、使用平移变换简化计算在计算圆锥曲线的问题中，有时可以通过平移变换简化计算。

具体步骤如下：1.设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0。

2.假设平移向量为(a,b)，将平移之后的曲线方程设为f(x-a,y-b)=0。

3.将f(x-a,y-b)展开，得到新的方程。

4.移项合并同类项，简化方程。

通过平移变换，我们可以改变方程的形式，使得计算更为简单。

这种方法对于计算特定的圆锥曲线问题非常有效。

三、标准方程的使用在计算圆锥曲线的问题中，标准方程是一种非常有用的工具。

不同类型的圆锥曲线有不同的标准方程，例如：1.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标。

2.双曲线的标准方程是(x-h)^2/a^2-(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是双曲线的中心坐标。

3. 抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。

圆锥曲线的解题方法导语：定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。

过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。

第一、圆锥曲线的解题方法：一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。

例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2、求动点P的轨迹方程。

解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。

（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。

（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。

例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。

解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。

解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。

二、圆锥曲线最值问题（1）化为求二次函数的最值根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式，用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

例题：曲边梯形由曲线{C}及直线x=1，x=2所围成，那么通过曲线上哪一点作切线，能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

解析：设切点{C}，求出切线方程{C}，再求出这条切线与直线x=1，x=2的交点纵坐标，根据梯形面积公式列出函数关系式：梯形面积={C}，从而得出结论。

（2）利用圆锥曲线性质求最值先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式，再用几何或代数方法求最值。