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北师大版八年级数学下册第六章学情评估一、选择题(共8小题，每小题3分，计24分)1．正十九边形的外角和为( )A．180°B．360°C．720°D．1 260°2．关于平行四边形，下列说法正确的是( )A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．是轴对称图形，但不是中心对称图形C．不是轴对称图形，但是中心对称图形D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．在▱ABCD中，下列结论一定正确的是( )A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C4．如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(－1，3)，C(－2，－1)，找一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是以下( )A．(2，4) B．(－4，2)C．(0，－4) D．(－3，2)(第4题) (第5题) (第6题) (第7题) 5．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，AD，BE的延长线相交于点F，DF＝3，DE＝2，则▱ABCD的周长为( )A．5 B．7C．10 D．146．如图，在▱ABCD中，AC⊥AB，∠ABD＝30°，AC与BD交于点O，AO＝1，则BC 的长为( )A.7B. 5 C．3 D．2 27．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE等于( )A．60°B．81°C．78°D．80°8．如图，在边长为12的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝12CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF，DF，M，N分别为EF，DF 的中点，连接MN，则MN的长为( )A. 3 B．2C．2 3 D．4(第8题) (第9题) (第10题)二、填空题(共5小题，每小题3分，计15分)9．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形，AB与CD的大小关系为________．10．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB＝________ cm.11．一个正多边形的外角为72°，则过该正多边形一个顶点的对角线有________条．12．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE 的度数为 ________．(第12题) (第13题)13．一机器人以0.5 m/s的速度在平地上按如图所示的要求行走，则该机器人从开始到停止所需时间为________s.三、解答题(共13小题，计81分)14．(5分)一个多边形的外角和是它的内角和的29，求这个多边形的边数和内角和．15．(5分)如图，已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE ＝DF.求证：四边形AECF为平行四边形．(第15题)16．(5分)如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：AE＝CF.(第16题)17．(5分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AB，AC上的点，连接BE，DE，∠ADE＝∠AED，F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．求证：FG＝FH.(第17题)18．(5分)如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，且DC∥AB，DC＝AB，DE＝FB.求证：∠ECF＝∠FAE.(第18题)19．(5分)如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，连接BD，E是BC延长线上一点，连接DE，且BD＝DE，∠E＝∠ADB，求证：∠A＝∠BCD.(第19题)20．(5分)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC，连接AF，BD.(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)求证：四边形ABDF是平行四边形．(第20题)21．(6分)如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD 上，满足∠EAO＝∠DCO.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．(第21题) 22．(7分)如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，连接CF并延长交BA的延长线于点E.(1)求证：AB＝AE；(2)若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．(第22题)23．(7分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD 及等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)求证：AC＝EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．(第23题)24．(8分)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为多少？(第24题)25．(8分)如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．(第25题)26．(10分)在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC 交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E.(1)[问题证明]当点D在边BC上时，如图①，求证：DE＋DF＝AC.(2)[类比探究]当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．(3)[解决问题]若AC＝6，DE＝4，则DF＝________．(第26题)答案一、1.B 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A 7.B8．A 提示：∵BC＝12，BD＝12 CD，∴BD＝4.∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝12BD＝2，由勾股定理得DE＝BD2－BE2＝42－22＝2 3. ∵M，N分别为EF，DF的中点，∴MN＝12DE＝ 3.二、9.AB＝CD10.73 11.2 12.25°13.144三、14.解：设这个多边形是n边形，由题意得29×180°(n－2)＝360°，解得n＝11.(11－2)×180°＝1 620°.∴这个多边形的边数是11，其内角和为1 620°. 15．证明：连接对角线AC交对角线BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠BCF .∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠BFC ＝90°，在△DEA 与△BFC 中，⎩⎨⎧∠DEA ＝∠BFC ，∠DAE ＝∠BCF ，AD ＝CB ，∴△DEA ≌△BFC (AAS)，∴AE ＝CF .17．证明：∵∠ADE ＝∠AED ，∴AD ＝AE .∵AB ＝AC ，∴AB －AD ＝AC －AE ，即BD ＝CE .∵F ，G ，H 分别为BE ，DE ，BC 的中点，∴FG 是△EDB 的中位线，FH 是△BCE 的中位线，∴FG ＝12BD ，FH ＝12CE ， ∴FG ＝FH .18．证明：连接AC 交BD 于O ，如图所示．∵DC ∥AB ，DC ＝AB ，(第18题)∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵DE ＝FB ，又∵OA ＝OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∴∠ECF ＝∠FAE .19．解：∵BD ＝DE ，∴∠E ＝∠DBE .∵∠E ＝∠ADB ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴AD ∥BC .又∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠BCD .20．证明：(1)∵BE ＝FC ，∴BE ＋EC ＝FC ＋EC ，∴BC ＝FE .在△ABC 和△DFE 中，⎩⎨⎧AB ＝DF ，BC ＝FE ，AC ＝DE ，∴△ABC ≌△DFE (SSS)．(2)由(1)得，△ABC ≌△DFE ，∴∠ABC ＝∠DFE ，∴AB ∥DF .又∵AB ＝DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形．21．(1)证明：在△AOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠DCO ，AO ＝CO ，∠AOE ＝∠COD ，∴△AOE ≌△COD (ASA)，又∵AO＝CO，∴四边形AECD是平行四边形．(2)解：∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC.∴∠COD＝90°.∵AC＝8，∴CO＝12AC＝4.在Rt△COD中，由勾股定理，得OD＝CD2－CO2＝52－42＝3，∴DE＝2OD＝6，∴S四边形AECD＝12AC×DE＝12×8×6＝24.22．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD, AB∥CD，∴∠E＝∠DCF.∵F是AD的中点，∴AF＝DF.∵∠EFA＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC，∴AE＝CD，∴AB＝AE.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC.∵F是AD的中点，∴AF＝DF＝12AD，∴AF＝12BC.∵BC＝2AE，∴AE＝AF.∵∠E＝31°，∴∠AFE ＝∠E ＝31°，∴∠DAB ＝∠AFE ＋∠E ＝62°.23．证明：(1)∵Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∴AB ＝2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB ＝2AF .∴AF ＝BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，⎩⎨⎧AF ＝BC ，AE ＝BA ，∴Rt △AFE ≌Rt △BCA (HL)，∴AC ＝EF .(2)∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC ＝60°，AC ＝AD ，∴∠DAB ＝∠DAC ＋∠BAC ＝90°.又∵EF ⊥AB ，∴∠EFA ＝90°.∴EF ∥AD .∵AC ＝EF ，AC ＝AD ，∴EF ＝AD ，∴四边形ADFE 是平行四边形．24．解：连接EF ，设AE 与BF 交于点O ，∵AB ＝AF ，AO 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAE ，AO ⊥BF ，BO ＝FO ＝12BF ＝3. ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AF ∥BE ，∴∠DAE ＝∠BEA ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴AB ＝EB ，而BO ⊥AE ，∴AO ＝OE ，在Rt △AOB 中，AO ＝AB 2－OB 2＝52－32＝4， ∴AE ＝2AO ＝8.25．(1)证明：∵BD 垂直平分AC ，∴AB ＝BC ，AD ＝DC .在△ADB 与△CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，AD ＝DC ，DB ＝DB ，∴△ADB ≌△CDB (SSS)，∴∠BCD ＝∠BAD .∵∠BCD ＝∠ADF ，∴∠BAD ＝∠ADF ，∴AB ∥FD .∵BD ⊥AC ，AF ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形．(2)解：∵四边形ABDF 是平行四边形，AF ＝DF ＝5， ∴AB ＝BD ＝5.设BE ＝x ，则DE ＝5－x ，∵BD ⊥AC ，∴∠AEB ＝∠AED ＝90°，∴AB 2－BE 2＝AD 2－DE 2，即52－x 2＝62－(5－x )2，解得x ＝75， ∴AE ＝AB 2－BE 2＝245， ∴AC ＝2AE ＝485. 26．(1)证明：∵DF ∥AC ，DE ∥AB ，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF＝DE.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝BF，∴DE＋DF＝AB＝AC.(2)解：图②中：AC＋DE＝DF.图③中：AC＋DF＝DE.(3)解：2或10。
第6讲一元一次不等式的应用目标导航2．能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解.3．有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握.知识精讲知识点01 由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．【知识拓展1】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80【即学即练1】（2021春•高新区期末）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（）A．5x﹣（20﹣x）＞88B．5x﹣（20﹣x）＜88C．5x﹣x≥88D．5x﹣（20﹣x）≥88【即学即练2】（2021春•宜州区期末）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（）A．10x﹣5（20﹣x）≥95B．10x+5（20﹣x）≥95C．10x﹣5（20﹣x）＞95D．10x+5（20﹣x）＞95【即学即练3】（2021•桂林模拟）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（）A．6x﹣2（16﹣1﹣x）≥60B．6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60C．6x﹣2（16﹣x）≥60D．6x﹣2（16﹣x）＞60知识点02 一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【知识拓展1】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【即学即练2】（2021秋•虎林市期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对（）道题．A．12B．13C．14D．15【即学即练3】（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（）A．9件B．10件C．11件D．12件【知识拓展2】（2021秋•盐田区校级期末）超市要到厂家采购甲、乙两种工艺品共100个，付款总额不超（1）最多可采购甲种工艺品多少个？（2）若把100个工艺品全部以零售价售出，为使利润不低于2580元，则最少采购甲种工艺品多少个？【即学即练1】（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？【即学即练2】（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？【知识拓展3】（2021秋•上城区校级期中）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题，抢答规定，抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（）道题？A．17B．18C．19D．20【即学即练1】（2021秋•滨江区校级期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（）折．A．9B．8C．7D．6【即学即练2】（2021•嵊州市模拟）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m知识点03 一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．【知识拓展1】（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2【即学即练1】（2021秋•蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．【即学即练2】（2021秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜0D．x＞0【即学即练3】（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx ﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3【即学即练4】直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．【知识拓展2】（2021•滨江区校级三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．【即学即练1】（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x 且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4），求解下列问题：（1）在P1（2，4），P2（4，4），P3（5，5）中，是△ABC的覆盖特征点的有P2，P3；（2）若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．【即学即练2】（2020秋•丰都县期末）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质．小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…21m n﹣2﹣1012…表格中m的值为，n的值为．（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图）（3）进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：①当自变量时，函数y随x的增大而增大；②当自变量x的值为时，y＝3；③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为．能力拓展例1．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%做为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．（1）求两种口罩的进价分别是多少元?（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个?例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙作60个所用的时间相等．（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？【变式1】（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购进《孟子》和《论语》，已知一本《孟子》的进价与一本《论语》的进价的和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同．（1）求每本《孟子》、每本《论语》的进价分别是多少元？（2）今年《孟子》和《论语》的单价和去年相比保持不变，该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，求最少购进《孟子》多少本？【变式2】（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调0.7%a出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的56，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a，求a的最大值.【变式3】（2020·和平县实验初级中学七年级月考）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用；去乙店购买所需的费用．（结果要求化简）（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？【变式4】（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B 种台灯多少盏？【变式5】（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【变式6】（2019·山西八年级期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了2000元，“木马”艺术品共用了2400元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵8元，且购进“木象”“木马”的数量相同.()1求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；()2该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为60元，“木马”的销售单价为88元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于2460元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？题组A 基础过关练1．如图，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0）的图象过点A （0，﹣1），B （1，1），则不等式kx+b ＞1的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞1D ．x ＜12．如图，直线y ＝kx+b 与直线y ＝3x ﹣2相交于点（12，﹣12），则不等式3x ﹣2＜kx+b 的解为（ ）A ．x ＞12B ．x ＜12C ．x ＞﹣12D ．x ＜﹣123．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <分层提分4.如图，射线1l反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线2l反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（）A．大于3t B．等于4t C．小于6t D．大于6t5．（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（）A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃6．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜807．（2021春•龙华区期末）某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得（）A．72x+60（40﹣x）≤2600B．72x+60（40﹣x）＜2600C．72x+60（40﹣x）≥2600D．72x+60（40﹣x）＝26008．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户9．（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）A ．6种B ．7种C ．8种D ．9种．10.（2021•集美区模拟）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个11．（2021春•无棣县期末）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．A ．7B ．6C ．8D ．512.已知一次函数y kx b =+的图像如图所示，则关于x 的不等式320kx b ->的解集为_____．13．（2021秋•温州期中）全国文明城市创建期间，某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有25道题．答对一题记4分，答错（或不答）一题记﹣2分．小明参加本次竞赛得分要超过60分，他至少要答对 道题．14．（2021春•老河口市期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 折．15．（2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在2019﹣2020赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 场才有希望进入季后赛．16．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A 、B 两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A 型一体机1.2万元每套、B 型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A 型一体机的价格比去年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，则该市最多可以购买 套A 型一体机．17．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．18．（2021•福建模拟）疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A 种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？19．（2021春•淮阳区校级期末）某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．题组B 能力提升练1．如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx ＋b ＞4的解集是( )A ．x ＜－2B ．x ＞－2C ．x ＜0D ．x ＞02．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0，3)，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为( )A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x ＞3D ．x ＜33.若一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx ＋b ＞1的解集为( )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜1D ．x ＞14．如图，直线y ＝kx ＋b(k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3的解集为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ≥3D ．x ≥－15.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为( )A．x≥m B．x≤mC．x≥n D．x≤n6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax ＋b≥kx的解集为___．9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)10．在坐标系中作出函数y ＝2x ＋6的图象，利用图象解答下列问题：(1)求方程2x ＋6＝0的解；(2)求不等式2x ＋6＞－2的解集；(3)若2≤y ≤6，求x 的取值范围．11.如图，一次函数1: 22l y x =-的图像与x 轴交于点D ；一次函数2: l y kx b =+的图像与x 轴交于点A ，且经过点()3,1B ，两函数图像交于点(),2C m ．（1）求m ，k ，b 的值；（2）根据图象，直接写出122kx b x <+<-的解集．12.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．(1)请用含x 代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．13.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．(1)若购进A ，B 两种树苗刚好用去1 220元，问购进A ，B 两种树苗各多少棵？(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．14.如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,5A -，与x 轴交于点B ，与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1（1）求AB 的函数表达式；（2）若点D 在y 轴负半轴，且满足13COD BOC S S =△△，求点D 的坐标； （3）若3kx b x +<，请直接写出x 的取值范围．题组C 培优拔尖练一．填空题（共6小题）1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x 应满足的不等式为 ． 2．（2021秋•江北区校级期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 元．3．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 个窗口．4．（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品件．5．（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2020秋•东阳市期末）已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B 的左边）．（1）点A的坐标是；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝时，|OA'﹣OB'|取最大值．二．解答题（共7小题）7．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．8．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．。
八年级下册数学练习册答案北师大版第一章勾股定理课后练习题答案说明：因录入格式限制，“√”代表“根号”，根号下内用放在“()”里面; “⊙”，表示“森哥马”，§，¤，♀，∮，≒ ，均表示本章节内的类似符号。
§1.l探索勾股定理随堂练习1.A所代表的正方形的面积是625;B所代表的正方形的面积是144。
2.我们通常所说的29英寸或74cm的电视机，是指其荧屏对角线的长度，而不是其长或宽，同时，因为荧屏被边框遮盖了一部分，所以实际测量存在误差.1.1知识技能1.(1)x=l0;(2)x=12.2.面积为60cm：，(由勾股定理可知另一条直角边长为8cm).问题解决12cm2。
1.2知识技能1.8m(已知直角三角形斜边长为10m，一条直角边为6m，求另一边长).数学理解2.提示：三个三角形的面积和等于一个梯形的面积：联系拓广3.可以将四个全等的直角三角形拼成一个正方形.随堂练习12cm、16cm.习题1.3问题解决1.能通过。
.2.要能理解多边形ABC DEF’与多边形A’B’C’D’E’F’的面积是相等的.然后剪下△OBC和△OFE，并将它们分别放在图③中的△A’B’ F’和△D’F’C’的位置上.学生通过量或其他方法说明B’ E’F’C’是正方形，且它的面积等于图①中正方形ABOF和正方形CDEO的面积和。
即(B’C’) 2=AB2+CD2：也就是BC2=a2+b2。
，这样就验证了勾股定理§l.2 能得到直角三角形吗随堂练习l.(1) (2)可以作为直角三角形的三边长.2.有4个直角三角影.(根据勾股定理判断)数学理解2.(1)仍然是直角三角形;(2)略;(3)略问题解决4.能.§1.3 蚂蚁怎样走最近13km提示：结合勾股定理，用代数办法设未知数列方程是解本题的技巧所在习题 1.5知识技能1.5lcm.问题解决2.能.3.最短行程是20cm。
4.如图1～1，设水深为x尺，则芦苇长为(x+1)尺，由勾股定理解得x=12，则水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。
北师大版七年级上册第一章丰富的图形世界1.生活中的立体图形2.展开与折叠3.截一个几何体4.从三个方向看物体的形状回顾与思考复习题第二章有理数及其运算1.有理数2.数轴3.绝对值4.有理数的加法5.有理数的剑法6.有理数的加减混合运算7.有理数的乘法8.有理数的除法9.有理数的乘方10.科学计数法11.有理数的混合运算12.用计算器进行运算回顾与思考复习题第三章整式及其加减1.字母表示数2.代数式3.整式4.整式的加减5.探索与表达规律回顾与思考复习题第四章基本平面图形1.线段、射线、直线2.比较线段的长短3.角4.角的比较5.多边形与圆的初步认识回顾与思考复习题第五章一元一次方程1.认识一元一次方程2.求解一元一次方程3.应用一元一次方程---水箱变高4.应用一元一次方程---打折销售5.应用一元一次方程---“希望工程”6.应用一元一次方程---追赶小明回顾与思考复习题第六章数据的收集与整理1.收据的收集2.普查与抽样调查3.数据的表示4.统计图的选择回顾与思考复习题综合与实践探寻神奇的幻方关注人口老龄化制作一个尽可能大的无盖长方体课题学习制作一个尽可能大的无盖长方体总复习北师大版七年级下册第一章整式的乘法1.同底数幂的乘法2.幂的乘方与积的乘方3.同底数幂的除法4.整式的乘法5.平方差公式6.完全平方公式7.整式的除法回顾与思考复习题第二章相交线与平行线1.两条直线的位置关系2.探索直线平行的条件3.平行线的性质4.用尺规作角回顾与思考总复习第三章三角形1.认识三角形2.图形的全等3.探索三角形全等的条件1.用尺规作三角形2.利用三角形全等测距离回顾与思考总复习第四章变量之间的关系1.用表格表示的变量之间的关系2.用关系式表示的变量之间的关系3.用图像表示的变量之间的关系回顾与思考总复习第五章生活中的轴对称1.轴对称现象2.探索轴对称的性质3.简单的轴对称图形4.利用轴对称进行设计回顾与思考总复习第六章概率初步1.感受可能性2.频率的稳定性3.等可能事件的概率回顾与思考总复习综合与实践设计自己的运算程序综合与实践七巧板总复习北师大版八年级上册第一章勾股定理1.探索勾股定理2.一定是直角三角形吗3.勾股定理的应用回顾与思考复习题第二章实数1.认识无理数2.平方根3.立方根4.估算5.用计算器开方6.实数7.二次根式回顾与思考复习题第三章位置与坐标1.确定位置2.平面直角坐标系3.平行线的判定4.平行线的性质5.三角形内角和定理回顾与思考复习题第四章一次函数1.函数2.一次函数与正比例函数3.一次函数图像4.一次函数的应用回顾与思考复习题第五章二元一次方程组1.认识二元一次方程组2.求解二元一次方程组3.应用二元一次方程组--鸡兔同笼4.应用二元一次方程组--增收节支5.应用二元一次方程组--里程碑的数6.二元一次放陈玉一次函数7.用二元一次方程组确定一次函数8.三元一次方程组回顾与思考复习题第六章数据的分析1.平均数2.中为数与众数3.从统计图分析数据的集中趋势4.数据的离散程度回顾与思考复习题第七章平行线的证明1.为什么要证明2.定义与命题3.平行线的判定4.平行线的性质5.三角形内角和定理回顾与思考复习题综合与实践计算器运用与功能探索综合与实践哪一款手资费套餐更合适综合与实践哪个城市更热北师大版八年级下册第一章三角形的证明1.等腰三角形2.直角三角形3.线段的垂直平分线4.角平分线回顾与思考复习题第二章一元一次不等式与一元一次不等式组1.不等关系2.不等式的基本性质3.不等式的解集4.一元一次不等式5.一元一次不等式与一次函数6.一元一次不等式组回顾与思考复习题第三章图形的平移与旋转1.图形的平移2.图形的旋转3.中心对称4.简单的图案设计回顾与思考复习题第四章因式分解1.因式分解2.提公因式法3.公式法回顾与思考复习题第五章分式与分式方程1.认识分式2.分式的乘除法3.分式的加减法4.分式方程回顾与思考复习题第六章平行四边形1.平行四边形的性质2.平行四边形的判定3.三角形的中位线4.多边形的内角和与外角和回顾与思考复习题综合与实践生活中的“一次模型”综合与实践平面图形的镶嵌总复习旧版资源第一章一元一次不等式和一元一次方程第二章因式分解第三章分式第四章相似图形第五章数据的收集与处理第六章证明（一）总复习北师大版九年级上册第一章证明（二）1.你能证明它们吗2.直角三角形3.线段的垂直平分线4.角平分线回顾与思考复习题第二章一元二次方程1.花边有多宽2.配方法3.公式法4.分解因式法5.为什么是0.618回顾与思考复习题第三章证明（三）1.平行四边形2.特殊的平行四边形回顾与思考复习题第四章视图与投影1.视图2.太阳光与影子3.灯光与影子回顾与思考复习题第五章反比例函数1.反比例函数2.反比例函数的图像与性质3.反比例函数的应用回顾与思考复习题课题学习猜想、证明与拓广第六章频率与概率1.频率与概率2.投针试验3.生日相同的概率4.池塘里有多少条鱼回顾与思考复习题总复习北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系1.从梯子的倾斜成都谈起2.30、45、60角的三角函数值3.三角函数的有关计算4.船有触礁的危险吗5.测量物体的高度回顾与思考复习题第二章二次函数1.二次函数所描述的关系2.结识抛物线3.刹车距离与二次函数4.二次函数图像5.用三种方式表示二次函数6.何时获得最大利润7.最大面积是多少8.二次函数与一元二次方程回顾与思考复习题课题学习拱桥设计第三章圆1.车轮为什么做成圆形2.圆的对称性3.圆周角与圆心角的关系4.确定圆的条件5.直线和圆的位置关系6.圆与圆的位置关系7.弧长及扇形的面积8.圆锥的侧面积回顾与思考复习题课题学习设计遮阳蓬第四章统计与概率1.50年的变化2.哪种方式更合算3.游戏公平吗回顾与思考复习题总复习。
北师大版八年级数学下册第一章（证明）练习题1.下列图形中，可以由其中一个图形通过平移得到的是 ( )A. B. C. D. 2.列命题中，其逆命题不成立的是（ ）A ．同旁内角互补，两直线平行B ．如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形C ．如果两个实数相等，那么它们的平方相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等3. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A ．12B ．15C ．12或15D ．184.如图，在△ABC 中，BC ＝5，∠A ＝80°，∠B ＝70°，把△ABC 沿RS 的方向平移到△DEF 的位置，若CF ＝4，则下列结论中错误的是( )A. BE ＝4B. ∠F ＝30°C. AB ∥DED. DF ＝55．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 的度数是( )A ．18°B ．24°C ．30°D ．36°第4题 第5题 第6题 第7题 第8题6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则下列选项中AP 长不可 能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．77．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°，∠ABD ＝24°，则∠ACF 的度数为( )A ．48°B ．36°C ．30°D ．24°8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ， 则下列说法中正确的个数是( )①AD 是∠BAC 的平分线②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3.A. 1 B ．2 C ．3 D ．49．要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）①有两条直角边对应相等；②有两个锐角对应相等；③有斜边和一条直角边对应相等；④有一条直角边和一个锐角相等；⑤有斜边和一个锐角对应相等；⑥有两条边相等．A．①③④⑤B．①③⑤C．①③④⑤⑥D．①③④10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为()A．6 B．12 C．32 D．6411．一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为.12．在用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，首先应该假设这个三角形中_ _.13．有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有．(填序号)14. “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是，这是一个(填“真”或“假”)命题．15．已知点A的坐标为(1,3)，点B的坐标为(2,1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(−2,1)．则点B的对应点的坐标为．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为.第16题第17题第18题第19题第20题17．如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=________．18．如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为FG.若AB＝4，BC＝8，则△ABF 的面积为___ __．19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________．20．如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),点C在第一象限内,且∠CAB=90°,BC=6.将△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=√3x-2√3上时,线段BC扫过的面积为.21. 如图所示，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长是1，把△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到△A′B′C′．（1）在坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′各顶点的坐标．（2）求出△A′B′C′的面积.22.如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，我国某岛位于O点，我国渔政船在点B处发现有一艘不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地O点，我国渔政船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国渔政船行驶的航程BC的长.23.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，EF∥AD，交AC于点E，交BA的延长线于点F. 求证：△AEF为等腰三角形.24．如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A，C之间选择一点B(A，B，C三点在同一直线上)．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40 m.(1)求点B到AD的距离；(2)求塔高CD.(结果用根号表示)25. 如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C，D是垂足，连接CD，且交OE于点F.（1）求证：OE是CD的垂直平分线；（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．26.在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．27. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．28．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.(1)求证：BF＝2AE；(2)若CD＝2，求AD的长．29. 已知:如图所示,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC 边上匀速移动,它们的速度分别为v P=2 cm/s,v Q=1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P 的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?。
三角形的中位线定理同步练习一．选择题（共7小题）1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝2，∴EF的最大值为1．故选：C．2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连接DE，则DE 的长是（）A．0.5B．0.75C．1D．2【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BF，AB＝3，∴点D是BF的中点，且AB＝AF＝3．∵AC＝5，∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2．又∵点E为BC的中点，∴DE是△BFC的中位线，∴DE＝FC＝＝1．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接BF，则BF长为（）A．2B．2C．4D．4【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝60°，∵E为AB边上的中点，∴AE＝EB＝4，∵D、E分别为AC、AB边上的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠AED＝60°，∴∠BEF＝∠ABC＝60°，在Rt△AED中，∠A＝30°，∴AE＝2DE，∵EF＝2DE，∴AE＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴BF＝BE＝4，故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（）A．23°B．25°C．30°D．46°【解答】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝23°，∴∠PEF＝∠PFE＝23°．故选：A．5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．6．如图，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，若BC的长为7，则BF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：取FC的中点H，连接DH，∵CD＝DA，∴DH是△ACF的中位线，∴DH∥AF，∵BE＝ED，∴BF＝FH，∴BF＝FH＝HC＝BC＝，故选：A．7．如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（）A．10B．12.5C．15D．20【解答】解：∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，∴S△ADE＝S△ADC，S△ADC＝S△ABC，S△DEF＝S△ADE，∴S△DEF＝S△ABC＝×40＝5，∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，∴S△ABD＝S△ABC＝40＝20，∴S△BDF＝S△ADB＝20＝10，∴四边形BDEF的面积＝S△BDF+S△DEF＝15，故选：C．二．填空题（共7小题）8．已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为9．【解答】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，∴DE＝AC＝3.5，同理，DF＝BC＝3，EF＝AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，故答案为：9．9．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（4，2）或（，2）．【解答】解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，①当∠APB＝90°时，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，∴PN＝AB＝2.5，则PM＝PN+MN＝4，∴点P的坐标是（4，2）；②当∠ABP＝90°时，过P作PE⊥x轴于E，连接AP，设BE＝x，则PM＝OE＝x+3，由勾股定理得，PB＝，AP＝，在Rt△ABP中，AP＝＝，则＝，解得，x＝，∴OE＝+3＝，∴P（，2），故答案为：（4，2）或（，2）．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【解答】解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵S△ABC＝＝，∴CM＝，∴DE＝＝，故答案为：．11．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是6cm．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵点E是AB的中点，∴EO＝AD，∵OE＝3，∴AD＝6cm，故答案为：6．12．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°．先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为80°．【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°（两直线平行，同位角相等）；又∵∠ADE＝∠A1DE，∴∠A1DA＝2∠B，∴∠BDA1＝180°﹣2∠B＝80°；故答案是：80°．13．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．14．如图，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．当BC＝4，DE＝5，∠FMN＝45°时，则BE的长为．【解答】解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，MN都是△ABE的中位线，∴MF∥AE，MN∥BE，∴四边形EFMN是平行四边形，∴∠AEB＝∠NMF＝45°，又∵AB⊥AE，∴∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∵BC⊥CD，DE⊥CD，又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EAD+∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠EAD，∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC≌△EAD（AAS），∴BC＝AD＝4，CA＝DE＝5，∴Rt△ABC中，AB＝＝，∴等腰Rt△ABE中，BE＝＝，故答案为：．三．解答题（共10小题）15．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm．求四边形DEFG的周长．【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED＝BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG＝BC，∴ED＝FG＝BC═4cm，同理GD＝EF＝AO＝3cm，∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4＝14（cm）．16．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，求△ABC的周长．【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25．17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠F AH＝∠FHA，∵∠DAH+∠F AH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH＝AB，EH∥CN，EH＝CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．20．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？【解答】解：相等．理由如下：取AD的中点G，连接MG，NG，∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，∴GN＝AC，同理可得，GM＝BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM＝AC＝BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．21．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．【解答】证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG＝BD，FH＝CE，∴FG＝FH；（2）解：延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE＝ED，AD＝AB，∵BE＝ED，BF＝FC，∴EF＝CD＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE＝EH，AH＝AB＝9，∵BE＝EH，BF＝FC，∴EF＝CH＝（AH﹣AC）＝2．24．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；（2）若△ABC的面积为20，BD＝5．①△ABD的面积为10，②求△BDE中BD边上的高EF的长；（3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示）【解答】解：（1）作EF⊥BD垂足为F，（2）①∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABC的面积为20，∴△ABD的面积为10；②∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE＝S△ABD＝5，∵BD＝5，∴EF的长＝2；③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线，∴EG是△ACD的中位线，∴DG是△ACD的中线，∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDG＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△GDC＝，又∵S△COD＝n，∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD＝．。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.3三角形的中位线同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为_____________．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为________．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为________．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为________cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC ＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．50° B．40° C．30°D．20°6．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点．若BD＝10，则EF的长为( )A．8 B．10 C．5 D．47．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝8，则HE＝( )A．20 B．16 C．12 D．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是( )A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形三、解答题9．(1)如图，BD是△ABC的高，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．求证FG＝DE；(2)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，求四边形EFGH的周长．10．(1)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在CA 的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝9，AB＝12，求四边形AEDF的周长；(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝________．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝________．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为________cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．C 组(综合题)15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC.(1)求证：四边形BDEF 是平行四边形；(2)线段BF ，AB ，AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.3三角形的中位线同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为100_cm．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为65°．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为12 cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC ＝80°，则∠1的度数为(B)A ．50°B ．40°C ．30°D ．20°6．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，F 是BC 的中点．若BD ＝10，则EF 的长为(C)A ．8B ．10C ．5D ．47．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8，则HE ＝(D)A ．20B ．16C ．12D ．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是(B)A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 三、解答题9．(1)如图，BD 是△ABC 的高，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，AB 的中点．求证FG ＝DE ；证明：∵G ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG ＝12BC.∵BD 是△ABC 的高， ∴△BCD 是直角三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝12BC.∴FG ＝DE.(2)如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，求四边形EFGH 的周长．解：∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝42＋32＝5.∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点， ∴EH ＝FG ＝12BC ，EF ＝GH ＝12AD.∴四边形EFGH 的周长＝EH ＋GH ＋FG ＋EF ＝AD ＋BC.又∵AD ＝7，BC ＝5，∴四边形EFGH 的周长＝7＋2＝12.10．(1)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在CA 的延长线上，∠FDA ＝∠B ，AC ＝9，AB ＝12，求四边形AEDF 的周长；解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝9，AB ＝12， ∴BC ＝92＋122＝15. ∵E 是BC 的中点， ∴AE ＝12BC ＝BE ＝7.5.∴∠BAE ＝∠B.∵∠FDA ＝∠B ，∴∠FDA ＝∠BAE. ∴DF ∥AE.∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝4.5.∴四边形AEDF 是平行四边形．∴四边形AEDF 的周长＝2×(4.5＋7.5)＝24.(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.证明：∵AE 为△ABC 的角平分线，CH ⊥AE ， ∴△ACF 是等腰三角形． ∴AF ＝AC ，HF ＝CH. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝2．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝25．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为3cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．证明：作AD 的中点G ，连接EG ，FG.∵E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线BD ，AC 的中点， ∴FG ＝12CD ，EG ＝12AB.∴EG －FG ＝12(AB －CD)．在△EFG 中，EG －FG<EF ， ∴EF>12(AB －CD)．C 组(综合题)15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC.(1)求证：四边形BDEF 是平行四边形；(2)线段BF ，AB ，AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．解：(1)证明：延长CE 交AB 于点G. ∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°. 在△AGE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∠AEG ＝∠AEC ，∴△AGE ≌△ACE(ASA)．∴GE ＝EC. ∵BD ＝CD ，∴DE 为△CGB 的中位线． ∴DE ∥AB.∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． (2)BF ＝12(AB －AC)．证明如下：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE. ∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点， ∴BF ＝DE ＝12BG.∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC. ∴BF ＝12(AB －AG)＝12(AB －AC)．。
2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.1.1平行四边形的性质(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC；∠A＝∠C，∠B＝∠D；∠A＋∠B＝______，∠A＋∠D＝______．2．小斌用一根50 m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16 m，则它的邻边长为______．3．(1)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于______；(2)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝50°，则∠B的度数为______．4．(1)平行四边形的一个角比它的邻角大32°，则最大内角的度数为______；(2)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE的大小为______．二、选择题5．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度数比可能是( )A．2∶3∶3∶2 B．2∶3∶2∶3 C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶1∶16．如图，在▱ABCD中，已知AC＝6 cm.若△ACD的周长为15 cm，则▱ABCD的周长为( ) A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm7．如图，在▱ABCD中，CE⊥CD，C为垂足．如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数为( ) A．55°B．35°C．25°D．30°8．如图，在▱ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝6，点A的坐标为(－2，0)，则点C的坐标为( )A．(6，3) B．(3，23) C．(6，23) D．(6，3)三、解答题9．(1)如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处．若∠B＝60°，AB＝3，求△ADE的周长．10．(1)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE＝AD，点F在AD上，AF＝AB.求证：△AEF≌△DFC.(2)如图，在▱ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝32，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，求AP的长．B组(中档题)一、填空题11．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4，则CE的长是______．12．如图，以▱ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD＝DE＝CE，∠DEC＝90°，且点E在平行四边形内部，连接AE，BE，则∠AEB的度数是______．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB，CD于点E和点F，则AE的长为______．二、解答题14．如图，已知▱ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝213.(1)求▱ABCD的面积；(2)求证：BD⊥BC.C组(综合题)15．如图，在▱ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH，AC，AD于点E，F，G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC.(1)若BE＝10，BC＝25，求DG的值；(2)连接HF，求证：HA＝2HF－HE.参考答案2020-2021学年北师大版八年级数学下册第六章 6.1.1平行四边形的性质(一) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，在▱ABCD中，AB＝CD，AD＝BC；∠A＝∠C，∠B＝∠D；∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．2．小斌用一根50 m长的绳子围成了一个平行四边形场地，其中一边长16 m，则它的邻边长为9_m．3．(1)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝7，∠ABC的平分线交AD于点E，则ED等于3；(2)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝50°，则∠B的度数为50°．4．(1)平行四边形的一个角比它的邻角大32°，则最大内角的度数为106°；(2)如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD ＝63°，则∠ADE的大小为21°．二、选择题5．在▱ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度数比可能是(B)A．2∶3∶3∶2 B．2∶3∶2∶3 C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶1∶16．如图，在▱ABCD中，已知AC＝6 cm.若△ACD的周长为15 cm，则▱ABCD的周长为(D) A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm7．如图，在▱ABCD中，CE⊥CD，C为垂足．如果∠A＝120°，那么∠BCE的度数为(D) A．55°B．35°C．25°D．30°8．如图，在▱ABCD中，∠ADO＝30°，AB＝6，点A的坐标为(－2，0)，则点C的坐标为(C)A．(6，3) B．(3，23) C．(6，23) D．(6，3)三、解答题9．(1)如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E 处．若∠B＝60°，AB＝3，求△ADE的周长．解：由折叠可得，∠ACD ＝∠ACE ＝90°. ∴∠BAC ＝90°.又∵∠B ＝60°，∴∠ACB ＝30°. ∴BC ＝2AB ＝6.∴AD ＝6.由折叠可得，∠E ＝∠D ＝∠B ＝60°， ∴∠DAE ＝60°.∴△ADE 是等边三角形． ∴△ADE 的周长为6×3＝18.(2)如图，在▱ABCD 中，BE ，DF 分别平分∠ABC ，∠ADC.求证：BE ＝DF.证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠A ＝∠C ，∠ABC ＝∠ADC ，AB ＝CD. 又∵BE ，DF 分别平分∠ABC ，∠ADC ，∴∠CBE ＝∠ADF. 又∵AD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠DFC. ∴∠CBE ＝∠DFC.∴BE ∥DF.又∵DE ∥BF ，∴四边形DFBE 为平行四边形． ∴BE ＝DF.10．(1)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，且BE ＝AD ，点F 在AD 上，AF ＝AB.求证：△AEF ≌△DFC.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠EAF ＝∠ADC.又∵AF ＝AB ，BE ＝AD ， ∴AF ＝CD ，AE ＝DF.在△AEF 和△DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠EAF ＝∠FDC ，AE ＝DF ，∴△AEF ≌△DFC.(2)如图，在▱ABCD 中，连接BD ，且BD ＝CD ，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，过点D 作DN ⊥AB 于点N ，且DN ＝32，在DB 的延长线上取一点P ，满足∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，求AP 的长．解：∵BD ＝CD ，BA ＝CD ， ∴BD ＝BA.又∵AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，∴DN ＝AM ＝3 2.又∵∠ABD ＝∠MAP ＋∠PAB ，∠ABD ＝∠P ＋∠PAB ， ∴∠P ＝∠PAM.∴△APM 是等腰直角三角形． ∴AP ＝2AM ＝6.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在▱ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，EA ＝3，EB ＝5，ED ＝4，则CE 的长是45．12．如图，以▱ABCD 的边CD 为斜边向内作等腰直角△CDE ，使AD ＝DE ＝CE ，∠DEC ＝90°，且点E 在平行四边形内部，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数是135°．13．如图，在▱ABCD 中，∠ABC ＝135°，AD ＝42，AB ＝8，作对角线AC 的垂直平分线EF ，分别交对边AB ，CD 于点E 和点F ，则AE 的长为203．二、解答题14．如图，已知▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，AC ＝213. (1)求▱ABCD 的面积； (2)求证：BD ⊥BC.解：(1)过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ， 设BE ＝x ，CE ＝h.在Rt △CEB 中，由勾股定理，得x 2＋h 2＝9.①在Rt △CEA 中，由勾股定理，得(5＋x)2＋h 2＝52.② 联立①②，解得x ＝95，h ＝125.∴S ▱ABCD ＝AB ·h ＝12.(2)证明：过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F. ∴∠DFA ＝∠CEB ＝90°.在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴∠DAF ＝∠CBE.又∵∠DFA ＝∠CEB ＝90°，AD ＝BC ， ∴△ADF ≌△BCE(AAS)．∴AF ＝BE ＝95，BF ＝5－95＝165，DF ＝CE ＝125.在Rt △DFB 中，由勾股定理，得 BD 2＝DF 2＋BF 2＝(125)2＋(165)2＝16，∴BD ＝4.∵BC ＝3，DC ＝5，∴CD 2＝DB 2＋BC 2. ∴BD ⊥BC.C 组(综合题)15．如图，在▱ABCD 中，过点C 作CH ⊥AB ，过点B 作AC 的垂线，分别交CH ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，且∠ABC ＝∠BEH ，BG ＝BC.(1)若BE ＝10，BC ＝25，求DG 的值；(2)连接HF ，求证：HA ＝2HF －HE.解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝25，∠ABC ＋∠BAG ＝180°. ∵∠ABC ＝∠BEH ，∴∠CEB ＋∠ABC ＝180°. ∴∠BAG ＝∠CEB.∵∠ABG ＋∠BEH ＝90°，∠ECB ＋∠ABC ＝90°， ∴∠ABG ＝∠ECB.在△BAG 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAG ＝∠CEB ，∠ABG ＝∠ECB ，BG ＝CB ，∴△BAG ≌△CEB(AAS)．∴AG ＝BE ＝10.∴DG ＝AD －AG ＝25－10＝15.(2)证明：过点F 作FN ⊥HF ，交BA 的延长线于点N ， ∵△BAG ≌△CEB ，∴CE ＝AB.∵∠ABG ＋∠BAC ＝∠ECB ＋∠ABC ＝90°，∠ABG ＝∠ECB ， ∴∠BAC ＝∠ABC. ∴AC ＝BC.∵CH ⊥AB ，∴∠ACH ＝∠ECB ＝∠ABG. 在△ABF 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CFE ＝∠BFA ，∠ABF ＝∠ECF ，AB ＝EC ，∴△ABF ≌△ECF(AAS)．∴AF ＝EF.∵∠HFN ＝∠EFA ＝90°，∴∠AFN ＝∠EFH. ∵∠BAC ＝∠ABC ，∠ABC ＝∠BEH ， ∴∠NAF ＝∠HEF.在△ANF 和△EHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAF ＝∠HEF ，AF ＝EF ，∠AFN ＝∠EFH ，∴△ANF ≌△EHF(ASA)．∴HE ＝AN ，HF ＝NF.∴△HFN 是等腰直角三角形． ∴HN ＝2HF.∴HA ＋AN ＝HA ＋HE ＝2HF. ∴HA ＝2HF －HE.。
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形同步测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到A B C'''．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E D''．已知2E D''=，则BC的值是（）A．1 B．2 C．4 D．52、如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（）A．40°B．22°C．30°D．52°3、若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4、一个正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．72°5、如图，点O是▱ABCD的对称中心，l是过点O的任意一条直线，它将平行四边形分成甲、乙两部分，在这个图形上做扎针试验，则针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是（）A．甲大B．乙大C．一样大D．无法确定6、n边形的每个外角都为15°，则边数n为（）A．20 B．22 C．24 D．267、如图，正五边形ABCDE点D、E分别在直线m、n上．若m∥n，∠1＝20°，则∠2为（）A．52°B．60°C．58°D．56°8、如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°9、七边形的内角和为（）A．720°B．900°C．1080°D．1440°10、将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、一个多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是____°．2、一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，则这个正多边形的边数为__________．3、如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），则顶点D的位置用数对表示为 ________．4、如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ，交AB 于点E ，交CD 于点F ，连接CE ，若AD ＝6，△BCE 的周长为14，则CD 的长为_________．5、一个正多边形的每个外角都是45°，则这个正多边形是正___边形．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB ≌AGC（2）如图2，连接HG 和GF ，其中HG 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有∠HFG ＝90°；②若AB ＝AC ＝4，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？2、如图1，在等边ABC 中，60,A AB AC ∠=︒=，点D ，E 分别在边,AB AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为,,DE DC BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，MPN ∠= ；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接,,MN BD CE ，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4,10AD AB ==，请直接写出PMN 周长的最大值．3、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）．4、如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB =10，AD =8，AC ⊥BC ，求（1）ABCD 的面积；（2）△AOD 的周长．5、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E 恰是CD的中点．求证：（1）△ADE≌△FCE；（2）BE⊥AF．-参考答案-一、单选题1、C【分析】先根据旋转的性质可得ED＝E'D'＝2，再根据三角形的中位线定理求解即可．【详解】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E'D'，∴ED＝E'D'＝2，∴BC＝2ED＝4，故选C．【点睛】本题考查旋转的性质、三角形的中位线定理，掌握旋转的性质是解题的关键．2、B利用四边形的内角和定理求出B C ∠+∠，再利用三角形的内角和定理可得结果．【详解】∵1=70∠︒，2=132∠︒，∴3601236070132158B C ∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴180()18015822A B C ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出B C ∠+∠的度数．3、B【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n ．根据题意得：（n −2）×180°＝360°，解得：n ＝4．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．4、D【分析】设正多边形的边数为n ，则根据内角和为540°可求得边数n ，从而可求得该正多边形的一个外角的【详解】设正多边形的边数为n ，则由题意得：180(n －2)=540解得：n =5即此正多边形为正五边形，其一个外角为360°÷5=72°故选：D ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与多边形的外角和，掌握多边形的内角和与外角定理是关键．5、C【分析】如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N H 则O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥再证明,ANO CHO ≌ ,,DNO BHO AOB COD ≌≌ 可得,ANHB CHND S S 四边形四边形 从而可得答案.【详解】解：如图，连接,,AC BD 记过O 的直线交,AD BC 于,,N HO 为▱ABCD 的对称中心，O 为,AC BD 的中点，,,,OA OC OB OD AD BC ∥,,NAO HCO ANO CHO,ANO CHO ≌同理：,,DNO BHO AOB COD ≌≌,ANHB CHND S S 四边形四边形所以针头扎在甲、乙两个区域的可能性的大小是一样的，故选C【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，随机事件发生的可能性的大小，几何概率的意义，理解几何概率的意义是解本题的关键.6、C【分析】根据多边形的外角和等于360度得到15°•n ＝360°，然后解方程即可．【详解】解：∵n 边形的每个外角都为15°，∴15°•n ＝360°，∴n ＝24．故选C ．【点睛】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键．7、D【分析】延长AB 交直线n 于点F ，由正五边形ABCDE ，可得出五边形每个内角的度数，再由三角形外角的性质可得128EGB ∠=︒，根据平行线的性质可得52GFH ∠=︒，最后再利用一次三角形外角的性质即可得．【详解】解：如图所示，延长AB 交直线n 于点F ，∵正五边形ABCDE ，∴108A ABC C D AED ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∵120∠=︒，∴1128EGB A ∠=∠+∠=︒，∵m n ∥，∴18052GFH EGB ∠=︒-∠=︒，∴256GBH GFH ∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点睛】题目主要考查正多边形的内角，平行线的性质，三角形外角的性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这几个性质是解题关键．8、C【分析】在等腰三角形ADE 中，求出E ∠的度数即可解决问题．【详解】在正五边形ABCDE 中，1(52)1801085E ∠=⨯-⨯︒=︒,ADE 是等腰三角形，1(180108)362DAE ∴∠=⨯︒-︒=︒． 故选：C ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及正多边形内角，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．9、B【分析】根据多边形内角和公式即可求解．【详解】解：七边形的内角和为：（7-2）×180°=900°，故选：B ．【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．10、C【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：C【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．二、填空题1、1260【分析】由一个多边形的每个外角都等于40°，根据n 边形的外角和为360°计算出多边形的边数n ，然后根据n 边形的内角和定理计算即可．【详解】解：设这个多边形是n 边形，则40°×n ＝360°，解得n ＝9．这个多边形的内角和为（9﹣2）×180°＝1260°．答：这个多边形的内角和为1260°．2、9【分析】设正多边形的外角为x 度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．【详解】设正多边形的外角为x 度，则内角为(5x −60)度由题意得：560180x x +-=解得：40x =则正多边形的边数为：360÷40=9即这个正多边形的边数为9故答案为：9【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．3、（8，6）【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，得出点的平移方式，解答即可．【详解】解：∵平行四边形ABCD的顶点A，B，C的位置用数对分别表示为（4，6），（1，3），（5，3），由A，B坐标可得B向右平移3个单位，向上平移3个单位，可以得到点A∴点D可由点C向右平移3个单位，向上平移3个单位得到，∵点C坐标为（5，3）则点D坐标为（8，6）；故答案为：（8，6）．【点睛】此题考查了坐标与图形，涉及了平行四边形的性质以及点的平移，掌握平行四边形的性质以及点的平移规律是解题的关键．4、8【分析】根据题意可知用MN垂直平分AC，则EA=EC，利用等线段代换得到△BCE的周长=AB+BC，然后根据平行四边形的性质AD＝BC可确定答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，由题可知，MN是AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AB=14，∵BC=AD=6，∴CD=AB=14−6=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质，做题的关键是证明EA=EC，将△CDE的周长转化为AB+BC．5、八【分析】根据多边形的外角和等于360︒即可得．【详解】解：因为多边形的外角和等于360︒，所以这个正多边形的边数是360458︒÷︒=，即这个正多边形是正八边形，故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于360︒是解题关键．三、解答题1、（1）见详解；（2）①见详解；②EH2；【分析】（1）根据等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，可得AB=AC，根据线段AH绕点A逆时针方旋转90°，得到AG ，可得AH =AG ，∠HAD =90°，可证∠BAH =∠CAG ，即可证△ABH ≌△ABG （SAS ）；（2）①根据点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，可得AE =12AB ，AF=12AC ，EF∥BC ，可得AB =AC ，∠BAC =90°，可得AE =AF ，∠EAF =90°，可求∠AEF =∠AFE =()1180452EAF ︒-∠=︒，再证△AEH ≌△AFG （SAS ），可得∠AEH =∠AFG =45°，可求∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°；②根据AB ＝AC ＝4，∠BAC=90°，利用勾股定理BC ==E ，F 分别为AB ，AC 的中点，可求EF=1122BC =⨯=AQG 为等腰三角形，分三种情况，当AQ =GQ 时，根据AH =AG ，∠HAG =90°，可求∠QAG =∠QGA =45°，可证HG ⊥AC ，再证AH 平分∠EAF ，AE =AF ，可得EH =HF=1122EF =⨯=AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，可求∠GAQ =∠GQA =()118067.52AGQ ︒-∠=︒，可求∠EAH =∠EHA =67.5°，可得EH =AE =114222AB =⨯=；当AQ =QG 时，根据∠AQG 是△AQM 的外角，得出∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，AQ =AG 不成立．【详解】（1）证明：∵等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，∴AB =AC ，∵线段AH 绕点A 逆时针方旋转90°，得到AG ，∴AH =AG ，∠HAD =90°，∴∠BAH +∠HAF =∠HAF +∠CAG =90°，∴∠BAH =∠CAG ，在△ABH 和△ABG 中，AB AC BAH CAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABH ≌△ABG （SAS ），（2）①证明：∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =12AB ，AF=12AC ，EF∥BC ， ∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AE =AF ，∠EAF =90°，∴∠AEF =∠AFE =()1180452EAF ︒-∠=︒， 在△AEH 和△AFG 中，AE AF EAH FAG AH AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEH ≌△AFG （SAS ），∴∠AEH =∠AFG =45°，∴∠HFG =∠AFE +∠AFG =45°+45°=90°，∴∠HFG ＝90°；②解：∵AB ＝AC ＝4，∠BAC =90°，根据勾股定理BC ==∵点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF =1122BC =⨯= ∵AQG 为等腰三角形分三种情况当AQ =GQ 时，∵AH =AG ，∠HAG =90°，∴∠AHG =∠AGH =()1180452HAG ︒-∠=︒， ∴∠QAG =∠QGA =45°，∴∠AQG =180°-∠QAG -∠QGA =90°，∴HG ⊥AC ，∴∠HAQ =90°-∠QAG =90°-45°=45°，∴∠EAH =90°-∠HAQ =90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，AE =AF ，∴EH =HF =1122EF =⨯=当AG =GQ =AH ，∠AGQ =45°，∴∠GAQ =∠GQA =()118067.52AGQ ︒-∠=︒， ∴∠EAH =∠QAG =67.5，∴∠AHE =180°-∠AEH -∠EAH =180°-45°-67.5°=67.5°∴∠EAH =∠EHA =67.5°∴EH =AE =114222AB =⨯=；当AQ =QG 时，过A 作AM ⊥HG 于M ，∵∠AQG 是△AQM 的外角，∴∠AQG ＞∠AMQ =90°＞∠AGQ =45°，∴AQ =AG 不成立．综合得EH 2．【点睛】 本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思想，掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，等腰三角形分类讨论思想是解题关键．2、（1）PM PN=，120︒；（2）成立，见解析；（3）14+【分析】（1）利用三角形的中位线定理以及平行线的性质解决问题即可；（2）证明△ABD≌△ACE（SAS），推出BD=CE，再利用三角形的中位线定理解决问题即可；（3）首先证明点D恰好在BA延长线上时，PM、PN的最大值为7，再利用30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，求出M N的长度即可解决问题．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠A=60°，∵AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，∵M，P，N分别是DE，DC，BC的中点，∴MP=12EC，PM∥EC，PN=12BD，PN∥BD，∴PM=PN，∠MPD=∠ACD，∠NPD=∠ADC，在△ACD中，∠ADC+∠ACD=180°-∠A=120°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=120°．故答案为：PM=PN，120°；（2）成立，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∵DM=ME，DP=PC，BN=NC，∴MP=12EC，PM∥EC，PN=12BD，PN∥BD，∴MP=PN，∴△PMN是等腰三角形．∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∴∠MPN=120°，∴PM=PN，∠MPN=120°；（3）由（2）知：PM=PN，∠MPN=120°，∵BD≤AB+AD，∴BD≤14，∴点D恰好在BA延长线上时，BD、CE取得最大值，且最大值为14，∴PM、PN的最大值为7，此时MN经过点A，即MN垂直平分BC，如图：∵△ABC、△ADE是等边三角形，且AD=4，AB=10，∴∠BAN=∠DAM=30°，∴BN=CN=5，DM=EM=2，∴AN=AM∴△PMN周长的最大值为PM+PN+MN【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3、见解析【分析】将不规则图形面积分为面积相等的两部分，将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件．【详解】解：（1）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得；（2）如图所示，将图形分成两个平行四边形，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得；（3）如图所示，将不规则图形补全，然后按照（1）（2）方法，分别连接两个平行四边形的对角线，产生两个交点，将两个交点连接即可得；【点睛】题目主要考查中心对称图形的应用及平行四边形的性质，理解题意，掌握中心对称图形的应用是解题关键．4、（1）48（2）11【分析】（1）利用勾股定理先求出高AC ，故可求解面积；（2）根据平行四边形的性质求出AO ，再利用勾股定理求出OB 的长，故可求解．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AD =8∴BC =AD =8∵AC ⊥BC∴∠ACB =90°在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC 2=AB 2-BC 2∴6AC∴8648ABCD S BC AC =⋅=⨯=（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC =6 ∴13,2OA OC AC OB OD ==== ∵∠ACB =90°，BC =8∴OB =∴OD OB ==∴8311AOD C AD AO OD =++=+=【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用．5、（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠D ＝∠ECF ，则可证明△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）由平行四边形的性质证出AB ＝BF ，由全等三角形的性质得出AE ＝FE ，由等腰三角形的性质可得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠ECF ，∵E 为CD 的中点，∴ED ＝EC ，在△ADE 和△FCE 中，D ECF ED ECAED FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△FCE （ASA ）；（2）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠FAD＝∠AFB，又∵AF平分∠BAD，∴∠FAD＝∠FAB．∴∠AFB＝∠FAB．∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AE＝FE，∴BE⊥AF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．。
