第３５卷第１期中国机械工程V o l ．３５㊀N o ．１２０２４年１月C H I N A M E C HA N I C A LE N G I N E E R I N Gp p．８３Ｇ９２一种基于自适应K r i g i n g 集成模型的结构可靠性分析方法高㊀进１,２㊀崔海冰１,２㊀樊㊀涛３㊀李㊀昂３㊀杜尊峰３１．潍柴动力股份有限公司,潍坊,２６１０６１２．内燃机可靠性国家重点实验室,潍坊,２６１０６１３．天津大学建筑工程学院,天津,３００３５４摘要:基于K r i g i n g 模型的复杂结构可靠性分析结果高度依赖于K r i g i n g 模型的拟合精度,在构建K r i g i n g 模型的过程中,不同相关函数和回归函数的选择均会影响模型精度.为解决模型的不确定性对可靠性分析结果的影响,同时兼顾计算效率和精度,基于K r i g i n g 模型和蒙特卡罗模拟(M C S )方法,提出了一种结合自适应集成策略和主动学习函数的结构可靠度计算方法.该方法考虑K r i g i n g 模型的建模不确定性,将多种K r i g i n g 模型组合,构建了一种综合考虑样本点贡献和样本点距离的主动学习函数,通过主动学习函数迭代更新集成K r i g i n g 模型直至满足收敛条件,最后通过构建的集成K r i g i n g 模型和M C S 方法进行结构可靠性分析.数值算例和工程算例结果验证了所提方法的有效性,该方法与其他主要方法相比稳健性更好,在保证计算精度的同时,计算效率更高.关键词:结构可靠性;自适应集成策略;K r i g i n g 模型;主动学习函数中图分类号:T H １２２D O I :１０．３９６９/j ．i s s n ．１００４ １３２X．２０２４．０１．００８开放科学(资源服务)标识码(O S I D ):AS t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y C a l c u l a t i o n M e t h o dB a s e do nA d a p t i v eK r i g i n gE n s e m b l eM o d e lG A OJ i n １,２㊀C U IH a i b i n g １,２㊀F A N T a o ３㊀L IA n g ３㊀D UZ u n f e n g３１．W e i c h a i P o w e rC o m p a n y L i m i t e d ,W e i f a n g ,S h a n d o n g,２６１０６１２．S t a t eK e y L a b o r a t o r y o fE n g i n eR e l i a b i l i t y ,W e i f a n g ,S h a n d o n g,２６１０６１３．S c h o o l o fC i v i l E n g i n e e r i n g ,T i a n j i nU n i v e r s i t y ,T i a n ji n ,３００３５４A b s t r a c t :T h e r e l i a b i l i t y a n a l y s i s r e s u l t s o f c o m p l e xs t r u c t u r e sb a s e do n t h eK r i g i n g mo d e lw e r e h i g h l y d e p e n d e n t o nt h e f i t t i n g a c c u r a c y o f t h eK r i g i n g m o d e l ．I nt h ec o n s t r u c t i n gpr o c e s s e so f t h e K r i g i n g m o d e l ,t h e s e l e c t i o no f d i f f e r e n t c o r r e l a t i o na n d r e g r e s s i o n f u n c t i o n s a f f e c t e d t h e a c c u r a c y of t h em o d e l ．I no r d e r t o s o l v e t h e i m p a c t s o fm o d e l u n c e r t a i n t y o n t h e r e l i a b i l i t y a n a l ys i s r e s u l t s ,w h i l e c o n s i d e r i n g c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y a n d a c c u r a c y ,b a s e d o n t h eK r i g i n g mo d e l a n dM o n t eC a r l o s i m u Ｇl a t i o n (M C S )m e t h o d ,a s t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y c a l c u l a t i o nm e t h o d c o m b i n i n g a d a p t i v e e n s e m b l e s t r a t e g ya n d a c t i v e l e a r n i n g f u n c t i o nw a s p r o p o s e d ．C o n s i d e r i n g t h em o d e l i n g u n c e r t a i n t y o fK r i g i n g mo d e l s ,c o m b i n e dw i t hm u l t i p l eK r i g i n g m o d e l s ,t h i sm e t h e d c o n s t r u c t e d a n a c t i v e l e a r n i n gf u n c t i o n t h a t c o m Ｇp r e h e n s i v e l y c o n s i d e r e ds a m p l e p o i n t c o n t r i b u t i o na n ds a m p l e p o i n td i s t a n c e ．T h ee n s e m b l eK r ig i n gm o d e lw a s i t e r a t i v e l y u p d a t e dt h r o u g ht h ea c t i v e l e a r n i n g f u n c t i o nu n t i l t h ec o n v e r g e n c ec o n d i t i o n s w e r e s a t i s f i e d ．F i n a l l y t h es t r u c t u r a l r e l i a b i l i t y a n a l y s i sw a s c a r r i e do u tb y t h ec o n s t r u c t e de n s e m b l e K r i g i n g m o d e l a n d M C Sm e t h o d ．T h ev a l i d i t y o f t h e p r o p o s e dm e t h o dw a sv e r i f i e db y nu m e r i c a l a n d e n g i n e e r i n g e x a m p l e s ,a n d t h e r e s u l t s s h o wt h a t t h e p r o p o s e dm e t h o d i sm o r e r o b u s t t h a n o t h e rm a jo r m e t h o d s ,a n d t h e c o m p u t a t i o n a l e f f i c i e n c y i s h i g h e rw h i l e e n s u r i n g t h e c o m p u t a t i o n a l a c c u r a c y．K e y wo r d s :s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y ;a d a p t i v ee n s e m b l es t r a t e g y ;K r i g i n g m o d e l ;a c t i v el e a r n i n g f u n c t i o n收稿日期:２０２３０６３０基金项目:内燃机可靠性国家重点实验室开放课题(s k l e r Ｇ２０２１１２)０㊀引言综合考虑多源不确定性的机械结构可靠性分析在实际工程中具有重要意义,但机械结构的功３８能函数多为隐式函数,且计算往往涉及大量有限元仿真计算,传统方法如蒙特卡罗模拟(M C S)方法㊁一阶可靠性方法及二阶可靠性方法等已无法满足实际工程需求[１],因此,利用代理模型来替代结构的实际功能函数进行结构可靠性分析已经成为可靠性研究的重要分支和关键技术[２].其中, K r i g i n g模型具有估计方差小且无偏,适用于高度非线性㊁高维度的复杂结构系统,在可靠性领域备受关注[３].近年来,为提高基于K r i g i n g模型的可靠性分析方法的计算精度和计算效率,相关研究主要集中在以下三个方向:一是通过自适应学习函数更新代理模型.目前,B I C HO N等[４]提出的预期可行性学习函数(e x p e c t e d f e a s i b i l i t y f u n c t i o n,E F F)和E C H A R D 等[５]提出的考虑样本点被错误估计概率的自适应U函数应用最为广泛,Z H E N G等[６]考虑样本点对失效概率的贡献,对U函数进行了改进,进一步提高了K r i g i n g模型的收敛速度.S U N等[７]提出的最小改进函数(l e a s t i m p r o v e m e n t f u n cＧt i o n,L I F)提高了K r i g i n g模型的拟合精度.二是提高K r i g i n g模型拟合精度.H A N等[８Ｇ９]考虑样本点的梯度信息,构建了梯度增强K r i g i n g模型(g r a d i e n tＧe n h a n c e d K r i g i n g,G EＧK r i g i n g). S C HO B I等[１０Ｇ１１]将多项式混沌展开(p o l y n o m i a l c h a o s e x p a n s i o n,P C E)与K r i g i n g模型相结合,即将P C E的最优截断集合作为K r i g i n g模型的回归函数部分,提出了多项式混沌K r i g i n g模型(p o l y n o m i a lＧc h a o sＧb a s e d K r i g i n g,P CＧK r i g i n g),并基于P CＧK r i g i n g模型提出了一种新的可靠性分析方法.三是改进抽样方法并与K r i g i n g模型相结合进行可靠性分析.Z H A N G等[１２]和B A R K HO R I等[１３]分别提出了将K r i g i n g模型与子集模拟抽样(s u b s e ts i m u l a t i o n,S S)和重要性抽样(i m p o r t a n c es a m p l i n g,I S)相结合的可靠性计算方法.史朝印等[１４]基于K r i g i n g模型和交叉熵重要性抽样法提出了一种新的可靠性分析方法,该方法通过K r i g i n g模型协助混合高斯模型参数更新,引入重要性抽样思想,缩小了M C S仿真样本的规模,并通过算例验证了其优越性.综上所述,已有的相关研究所提出的基于代理模型的可靠性分析方法都有着较高的准确度和效率,但均是在单一K r i g i n g模型下展开研究,忽略了K r i g i n g建模过程中相关函数与回归函数的选择不确定性问题,而这一问题可能会导致K r i g i n g模型预测性能不佳[１５],另一方面,由于每种代理模型各有优劣,而在面对隐式功能函数时,在设计前难以了解其特性,如何选取合适的代理模型是一个难题.C H E N G等[１６]提出了一种基于P C E㊁S VM㊁K r i g i n g的集成代理模型可靠性分析方法,但该方法在更新训练集时,需额外计算预测点的统计信息,容易引起集成误差,可能导致集成代理模型在部分区域拟合不佳.李宁等[１７]提出了基于自适应集成学习代理模型(K r i g i n g模型与P CＧK r i g i n g模型)的结构可靠性分析方法,提高了可靠性分析的准确性与效率,但该方法未考虑K r i g i n g模型的相关函数的选择对拟合结果的影响.在实际问题中,由于功能函数往往非常复杂且为隐式,缺乏足够的先验信息,一般很难选择最优的K r i g i n g模型.对此,本文基于自适应集成策略,对不同回归函数和相关函数下的K r i g i n g 模型进行加权集成,解决了难以选择最优K r i g i n g 模型的问题,结合所提出的改进学习函数,提出了一种基于自适应K r i g i n g集成模型的结构可靠性分析方法,并通过算例予以验证.１㊀K r i g i n g模型１．１㊀K r i g i n g模型基本理论K r i g i n g模型是一种半参数的高效插值方法,是根据协方差函数对随机过程进行建模和预测的算法,它由两部分组成:随机部分和多项式回归.对于任意已知的m个n维样本点(X１,X２, , X m),其对应的真实响应值为(G(X１),G(X２), , G(X m)),则对任意输入向量X与其K r i g i n g模型的预测值^G(X)关系可表示为^G(X)＝(g(X))Tβ＋z(X)(１)其中,(g(X))Tβ为K r i g i n g模型的回归函数,表示高斯过程的均值;g(X)为模型的基函数;β为g(X)对应的回归系数;z(X)表示均值为０的高斯随机过程,其方差为σ２,协方差可表示为C o v[z(X i),z(X j)]＝σ２R(X i,X j,θ)(２)式中,R(X i,X j,θ)表示z(X i)和z(X j)的相关函数;θ表示R(X i,X j,θ)的相关参数,可通过最大似然估计求出.１．２㊀K r i g i n g模型的相关函数和回归函数K r i g i n g模型建模过程中存在多种相关函数选择不确定性问题,相关函数的选择应考虑功能函数性质和变量的分布特点.常用相关函数R(X i,X j,θ)形式有指数函数㊁高斯函数㊁三次函数㊁M a tér n函数[１８]等,本文选择指数函数㊁高斯函数㊁M a tér n函数三类相关函数构建集成代理模型,它们具体的表达式如表１所示.４８中国机械工程第３５卷第１期２０２４年１月表１㊀常见的相关函数T a b ．１㊀C o m m o n r e l a t e d f u n c t i o n s名称R (X i ,X j ,θ)指数函数e x p(－θ|X i －X j |)高斯函数e x p(－θ(X i －X j )２),０＜θ＜２M a t ér n ３/２函数(１＋３|X i －X j |θ)e x p(－３|X i －X j |θ)M a t ér n ５/２函数(１＋５|X i －X j |θ＋５(X i －X j )２３θ２)e x p (－５|X i －X j |θ)㊀㊀回归函数g (X )Tβ反映了Kr i g i n g 代理模型的预测趋势,常见的回归函数主要有常量回归㊁线性回归㊁２阶回归等[１８],尽管(g (X ))Tβ的具体形式对K r i g i n g 模型的拟合精度影响不大[１９],但文献[１０]将P C E 作为K r i g i n g 模型的一种回归函数,构建的P C ＧK r i g i n g 模型具有较好的拟合性能.因此本文选择P C E 回归函数和常量回归函数构建集成代理模型.P C E 通过多项式展开,对函数的近似拟合输出可表示为Y ＝ða ɪAy a ψa (X )(３)式中,ψa (X )为多变量标准正交多项式,其系数为y a ;A 为多项式阶数.利用P C E 替代K r i g i n g 模型的基函数g (X )得到对应的P C ＧK r i g i n g 模型如下式所示[２０]:^G (X )＝ða ɪAy a ψa(X )＋z (X )(４)综上,本文对P C E 回归和常量回归两类K r i g i n g 模型分别构建其在指数函数㊁高斯函数㊁M a t ér n ３/２函数以及M a t ér n ５/２函数四种相关函数下的代理模型,共计８种K r i g i n g 模型(表２),结合自适应集成策略构建集成代理模型.表２㊀８种K r i g i n g 模型T a b ．２㊀８t y p e s o fK r i g i n g mo d e l s 模型编号回归函数R (X i ,X j ,θ)K r i g i n g 模型１K r i g i n g 模型２K r i g i n g 模型３K r i g i n g 模型４常量回归高斯函数M a t ér n ３/２函数M a t ér n ５/２函数指数函数K r i g i n g 模型５K r i g i n g 模型６K r i g i n g 模型７K r i g i n g 模型８P C E 回归高斯函数M a t ér n ３/２函数M a t ér n ５/２函数指数函数２㊀基于自适应K r i g i n g 组合模型的可靠性分析方法２．１㊀自适应集成策略集成代理模型的基本思想是使用加权形式对多个代理模型进行聚合,以充分利用每个代理模型的预测能力,同时解决难以选择最佳代理模型的问题.集成代理模型有如下表达式:^G M (X )＝ðKi ＝１w i ^G i(X )ðKi ＝１wi＝１üþýïïïï(５)式中,K 为所使用的代理模型的个数,本文K ＝８;^G M (X )为集成代理模型对任意输入向量X 的预测值;^G i (X )为第i 个代理模型对任意输入向量X 的预测值;w i 为第i 个代理模型的权重.文献[２１]提出了一种基于全局预测误差确定权重的启发式策略,表达式如下:w i ＝w ∗iðKi ＝１w ∗i w ∗i ＝(εL i ＋αðK i ＝１εLi K)βüþýïïïïïï(６)其中,εLi 为第i 个模型全局预测误差,为尽可能减少功能函数调用次数,选择全局留一交叉验证误差(l e a v e Ｇo n e Ｇo u t ,L O O )作为全局预测误差.α(α＜１)㊁β(β＜０)分别为控制单个代理模型相对重要性的两个参数,根据文献[２１Ｇ２２]分别取α＝０．０５,β＝－１.２．２㊀主动学习函数主动学习函数是指在更新代理模型过程中,根据学习函数值将样本集进行排序,并筛选合适的样本点添加到训练集中,以提高代理模型的预测精度.由于在实际工程应用中,功能函数的计算涉及到大量的有限元分析计算,计算时间长,因此,在构建代理模型时,需要在保证计算精度的情况下尽可能减少训练集的样本点个数,本文基于I E G O (i m p r o v e d e f f i c i e n t g l o b a l o pt i m i z a t i o n )学习函数[１９],提出了一种新的主动学习函数.I E G O 学习函数基于J O N E S 等[２３]首次提出的E G O 学习函数,为使代理模型在极限状态附近拟合精度更高,文献[１９]对E G O 学习函数中的期望值定义进行调整,使其选点策略更符合可靠度计算的要求.I E G O 学习函数定义如下:首先定义样本点X 处对K r i g i n g 模型的改进程度为H ∗(X )＝m a x (^G ∗m i n －^G (X ),０)(７)^G ∗m i n ＝mi n (|^G (X １)|,|^G (X ２)|, ,|^G (X k )|)其中,^G ∗m i n 表示当前已知k 个真实响应值的绝对值的最小值,则样本点X 对K r i g i n g 模型的改进程度期望值E (H ∗(X ))定义为E (H ∗(X ))＝(^G ∗m i n －|^G (X )|)Φ(^G ∗m i n －|^G (X )|σ(X ))＋σ(X )φ(^G ∗m i n －|^G (X )|σ(X))(８)５８ 一种基于自适应K r i g i n g 集成模型的结构可靠性分析方法高㊀进㊀崔海冰㊀樊㊀涛等式中,σ(X)为K r i g i n g模型的预测方差;Φ( )㊁φ( )分别表示标准正态分布的累积分布函数和概率密度函数.则下一次待添加到实验设计(D o E)的最佳样本点为所有样本点中期望值最大所对应的点X b e s t.但I E G O学习函数只优先考虑了极限状态方程附近的拟合,未考虑样本点的距离对拟合效率的影响,事实上,在选择最佳新样本点的同时,学习函数必须考虑样本聚类的潜在风险,以避免构建代理模型时出现过拟合,因此,采用以下距离准则来保证待添加到D o E的最佳样本点远离现有的样本点.距离函数定义为d m(X)＝m i n i(X－X i)T(X－X i)(９)d m i n＝m i n iʂj(X j－X i)T(X j－X i)(１０)式中,X i为已有的训练集中样本点;d m(X)为待添加样本点与已有样本点的最近距离;d m i n为已有样本点之间的最小距离.本文在I E G O学习函数的基础上,提出了一种考虑样本点聚集的改进学习函数I E(X),其表达式如下:I E(X)＝E(H∗(X)) d m(X)d m i n(１１)基于式(１１),选择候选样本点中I E(X)值最大的样本点作为新增样本点加入到实验设计中,重新生成集成K r i g i n g模型,直至输出的失效概率达到稳定状态,满足下式所示[２４]的收敛条件,迭代终止:３１qðT i＝T－q＋１( P f q－^P f i)２P f qɤε(１２)P f q＝１qðT i＝T－q＋１^P f i其中,T表示第T次迭代过程(Tȡq);^P f i表示第i次迭代计算所得失效概率; P f q表示q次迭代过程的失效概率均值.本文取ε＝０．０１,q＝８.２．３㊀可靠度计算流程基于集成K r i g i n g模型和蒙特卡罗抽样,结合本文提出的改进学习函数的可靠性分析方法主要流程如图１所示.主要步骤如下:(１)采用蒙特卡罗抽样构建候选样本池,根据随机变量的分布类型抽取N m c个样本点作为样本池(X１,X２, ,X N m c).(２)采用拉丁超立方抽样法(L a t i n h y p e r c u b e s a m p l i n g,L H S)生成D o E中的初始样本点(X１,X２, ,X n),并计算其真实功能函数响应值(G(X１),G(X２), ,G(X n)). (３)根据D o E中的初始样本点及真实响应值图１㊀基于自适应K r i g i n g集成模型的可靠性分析方法流程F i g．１㊀F l o wc h a r t o f r e l i a b i l i t y a n a l y s i sm e t h o db a s e do na d a p t i v e e n s e m b l eK r i g i n g m o d e l初步构建K种K r i g i n g模型,并根据式(５)㊁式(６)计算每个代理模型集成权重,构建集成K r i g i n g 模型,最后利用集成K r i g i n g模型去计算候选样本池中所有点的预测均值和标准差.(４)根据步骤(３)中的结果计算式(１１)中的I E(X).(５)根据学习函数的停止准则判断是否需要更新集成K r i g i n g模型,若不满足停止准则,则根据本文提出的学习函数和步骤(４)的计算结果选择I E(X)最大值所对应的样本点作为新的样本点加入D o E中,跳转到步骤(３),否则,执行下一步.(６)基于集成K r i g i n g模型的预测均值,采用MC S计算失效概率^P f和变异系数C o v P f,当C o v Pfɤ０．０５时,输出^P f,否则,更新样本池N m c,执行步骤(１).其中^Pfʈ１N m cðN m c i＝１I(^G(X i))(１３)C o v P f＝１－^P f^Pf(N m c－１)(１４)其中,I(^G(X i))为失效指示函数,当^G(X i)＜０时,I(^G(X i))＝１,当^G(X i)ȡ０时,I(^G(X i))＝０.６８中国机械工程第３５卷第１期２０２４年１月３㊀算例验证为了验证本文方法的有效性,现通过三个算例进行验证,每一个算例均使用本文方法和常用的A K ＧMC S ＧU [５]㊁A K ＧMC S ＧE F F [４]㊁A K ＧMC S ＧI E G O [１９]㊁MC S 等方法进行计算比较,验证本文所提方法在计算可靠度方面的有效性和正确性,需要说明的是,其他方法的K r i g i n g 模型的相关函数采用高斯函数,回归函数采用常量回归.３．１㊀数值算例３．１．１㊀算例１:四分支串联系统本算例功能函数如下[５]:g (x １,x ２)＝m i n (３＋(x １－x ２)２/１０－(x １＋x ２)/２,３＋(x １－x ２)２/１０＋(x １＋x ２)/２,x １－x ２＋k /２,－(x １－x ２)＋k/２)(１５)式中,x １㊁x ２相互独立且均服从正态分布,x １~N (０,１),x ２~N (０,１);k ＝６,７.首先根据变量分布函数和蒙特卡罗抽样函数构建候选样本池,再利用L H S 抽样获得初始样本,并根据式(１５)获得真实响应值,拟合初始的K r i g i n g 模型,然后根据学习函数不断更新集成K r i g i n g 模型直至收敛,输出求解的失效概率P f ,并以MC S 方法的结果P MCf(视作精确值)作为参照,利用下式计算各个结果的相对误差:εP f＝|P f －P M Cf |P M Cf(１６)运算结果如表３所示,可以看出本文所提出的方法与A K ＧMC S ＧU ㊁A K ＧMC S ＧE F F 等主要方法相比,在保证计算准确度的同时,能够显著减少系统模型下对其功能函数的调用次数.表３㊀算例１各方法计算结果对比T a b ．３㊀C a l c u l a t i o n r e s u l t s f o r e a c hm e t h o do f e x a m pl e １k 值方法样本点数P f (１０－３)εP f (％)６MC S５ˑ１０５４．４５０A K ＧS S １２＋１３１４．４６２０．２７A K ＧMC S ＧE F F [４]１２＋５６４．３８４１．４８A K ＧMC S ＧU[５]１２＋１２０４．４６６０．３６A K ＧMC S ＧI E G O[１９]１２＋５１４．４２５０．５６本文方法１２＋４９４．４０２１．０９７MC S５ˑ１０５２．２１８A K ＧS S １２＋８１２．３５６６．２２A K ＧMC S ＧE F F [４]１２＋３６２．３３０５．０５A K ＧMC S ＧU[５]１２＋８４２．３４０５．５０A K ＧMC S ＧI E G O[１９]１２＋４８２．２２５０．３２本文方法１２＋４３２．２３２０．６３㊀㊀图２展示了A K ＧMC S ＧU ㊁A K ＧMC S ＧE F F ㊁A K ＧMC S ＧI E G O 和本文所提方法所对应的四类学习函数分别在k ＝６和k ＝７时最佳样本点分布.结合表３可以看出,虽然U 函数在极限状态附近的拟合效果较好,求解精度较高,但由于U函数的停止准则过于严格,样本点出现了大量的局部聚集,从而导致K r i g i n g 模型出现过拟合,增加计算成本,而E F F 函数虽然调用功能函数次数最少,样本点分布也较合理,但计算精度较差,这是因为E F F 函数在计算时容易出现提前收敛[２５],在k ＝７时,误差甚至达到了５．０５％,不具备参考性.I E G O 函数在极限状态附近拟合效果较好,但是在k ＝６,k ＝７时均出现了样本点局部聚集的情况,增加了计算成本,这也导致了虽然该方法计(a )k ＝６时最佳样本点分布(b )k ＝７时最佳样本点分布图２㊀算例１中不同学习函数样本点分布对比F i g ．２㊀C o m p a r i s o no f s a m p l e p o i n t d i s t r i b u t i o no f d i f f e r e n t l e a r n i n g f u n c t i o n s i n e x a m pl e １７８ 一种基于自适应K r i g i n g 集成模型的结构可靠性分析方法高㊀进㊀崔海冰㊀樊㊀涛等算精度与本文方法相近,但计算效率均低于本文方法计算效率.本文方法在保证最佳样本点处在极限状态附近的基础上,分布比I E G O 函数更加均匀合理,未出现样本点局部聚集的情况,计算效率更高,说明了本文提出的考虑样本点距离的改进学习函数的有效性.图３展示了k ＝６时不同K r i g i n g 模型的权重系数随模型迭代次数的变化趋势,可以看出P C ＧK r i g i n g 模型的权重系数整体上高于常量回归K r i g i n g 模型权重系数,K r i g i n g 模型５权重最高,说明了P C ＧK r i g i n g 模型比常规K r i g i n g 模型在拟合精度上具有一定的优势,在具有相同回归函数的K r i g i n g 模型中,采用M a t ér n ５/２函数作为相关函数的权重较高,采用指数函数作为相关函数的权重较低,说明在此案例中,采用M a t ér n ５/２函数作为相关函数的K r i g i n g 模型具有较好的拟合效果.(a )常量回归K r i g i n g 模型(b )P C ＧK r i g i n g 模型图３㊀算例１中不同K r i g i n g 模型权重w 变化F i g ．３㊀V a r i a t i o no fw e i g h t s f o r d i f f e r e n tK r i g i n gm o d e l s i n e x a m pl e １３．１．２㊀算例２:非线性振动系统６维随机非线性振动系统如图４所示[８],功能函数如下:㊀g (c １,c ２,M ,R ,t １,F １)＝３R －|２F １M ω２s i n (ωt１２)|(１７)ω＝(c １＋c ２)/M 其中,c １㊁c ２表示系统中两个连接弹簧刚度;M 表示小车质量;R 表示位移阈值;F １㊁t １分别为系统所受载荷幅值和时间.随机变量分布如表４所示.图４㊀非线性振动系统F i g ．４㊀N o n l i n e a r v i b r a t i o n s ys t e m s 表４㊀随机变量分布信息T a b ．４㊀R a n d o mv a r i a b l e d i s t r i b u t i o n i n f o r m a t i o n变量分布均值标准差c １(N /m )正态分布１．００．１０c ２(N /m )正态分布０．１０．０１M (k g )正态分布１．００．０５R (m )正态分布０．５０．０５t １(s )正态分布１．００．２０F １(N )正态分布１．００．２０㊀㊀根据变量(c １,c ２,M ,R ,t １,F １)的分布函数生成候选样本池,然后利用L H S 抽样在样本池中抽取１２个样本点作为初始样本点进行迭代计算,同时,为了说明本文所提方法的稳定性,分别对A K ＧMC S ＧU ㊁A K ＧMC SＧE F F ㊁A K ＧMC SＧI E G O ㊁A K ＧS S 方法和本文所提方法进行３０次计算,３０次计算结果的平均值如表５所示,３０次计算结果的失效概率箱型图见图５.表５㊀算例２计算结果对比T a b ．５㊀C o m p a r i s o no f c a l c u l a t i o n r e s u l t s f o r e x a m pl e ２方法样本点数P f (１０－２)εP f (％)MC S１ˑ１０６２．８５８F O R M ４８３．１０８８．７A K ＧMC S ＧE F F [４]１２＋３４．５３．０３２６．１A K ＧS S １２＋１４５．１２．８６１０．１A K ＧMC S ＧU [５]１２＋１３６．８２．８５５０．１A K ＧMC S ＧI E G O [１９]１２＋３６．９２．８７５０．５９本文方法１２＋２９．９２．８６７０．３１㊀㊀可以看出,五种方法的失效概率均在一定范围内波动,这是由抽样的随机性所导致的,同时,五种方法中,A K ＧMC S ＧU 的波动最小,精度最高,最接近MC S 的结果,但结合表４可以看出,该方法所添加的样本点最多,说明该方法虽然精度较高,但效率较低,而A K ＧMC S ＧE F F 虽然效率较高,但是精度较低,本文所提方法不但能保证精度高㊁效率高的要求,结果的稳定性也比较强,这说明了本文方法的有效性.８８ 中国机械工程第３５卷第１期２０２４年１月图５㊀算例２中各方法求解的失效概率的分布情况F i g．５㊀D i s t r i b u t i o no f t h e f a i l u r e p r o b a b i l i t i e s s o l v e db y e ac hm e t h od i ne x a m p l e２为了说明本文提出的集成模型具有较好的稳定性,现分别取本文的集成模型和表２的８种K r i g i n g模型分别与本文提出的学习函数相结合,对该算例计算３０次,失效概率和新增样本点个数结果如图６所示.可以看出,基于不同代理模型(a)概率分布(b)新增样本点个数图６㊀不同模型计算３０次的概率分布和新增样本点个数分布F i g．６㊀T h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o na n d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f n e ws a m p l e p o i n t s c a l c u l a t e d３０t i m e sb y d i f f e r e n tm o d e l s 所得的失效概率和新增样本点个数均在一定范围内波动,但集成模型的概率波动较小.综合来看,本文的方法能在保证计算精度的前提下,使稳定性更高,且计算效率较高.３．２㊀工程算例:某配气机构传动系统的频率可靠性分析发动机配气机构是一种控制燃料气体进出气缸的装置,是内燃机重要组成部分之一.所设计的配气机构性能好坏会直接影响内燃机的各项性能指标[２６].当配气机构传动系统的固有频率与凸轮的激振频率差值不超过某一固定阈值时,该传动系统会以最大的振幅开始振动,从而引起机械和结构很大的变形和动应力,即共振失效.为此,以某型号发动机配气机构为对象,利用所提方法对其进行结构可靠性分析,并与其他主要方法进行对比,以验证所提方法的工程应用价值.图７为一发动机配气机构系统简图.其中, m t㊁m v㊁m s分别为挺柱A D㊁气门B C和气门弹簧质量;I㊁θ分别为摇臂A B对转轴O的转动惯量和转动角度;a㊁b分别为挺柱㊁气门到摇臂中心的距离;k s㊁k t分别为阀簧刚度和简化后挺柱的刚度,取k t＝０;c一般为阻尼系数,由模态理论可知,阻尼系数对系统的固有频率影响可忽略不计,此处不予考虑.各随机变量的分布信息如表６所示.根据文献[２６]所推导的配气系统振动可靠性的功能函数如下:g(x１,x２)＝|f－ω|－γ(１８)ω＝k ta２＋k s b２I＋m t a２＋b２(m v＋１３m s)(１９)式中,ω为系统的固有频率;f为系统激振频率的统计量;γ为固定阈值,根据经验一般取系统固有频率均值的１０％~１５％.图７㊀配气机构的振动模型F i g．７㊀V i b r a t i o nm o d e l o f t h e a i r d i s t r i b u t i o nm e c h a n i s m９８一种基于自适应K r i g i n g集成模型的结构可靠性分析方法 高㊀进㊀崔海冰㊀樊㊀涛等表６㊀随机变量分布信息T a b ．６㊀R a n d o mv a r i a b l e d i s t r i b u t i o n i n f o r m a t i o n变量分布均值标准差a (mm )正态分布４００．２b (mm )正态分布６４０．３２k s (N /mm )正态分布２６６１３．３I (k gmm ２)正态分布９９４．９５m t (k g )正态分布０．２０．０１m v (k g)正态分布０．１５５０．００７５m s (k g )正态分布０．０９２０．００４６f正态分布４０２㊀㊀与数值算例的求解流程类似,首先根据变量的分布函数生成候选样本池,然后利用L H S 抽样抽取１２个样本点作为初始样本点进行迭代计算,各方法计算结果如表７所示.结合表７可以看出,本案例中采用代理模型进行可靠性分析的精度都比较高,但本文提出的方法计算成本最低,说明与算例１㊁２相比,集成K r i g i n g 模型在拟合高维非线性函数时具有较大优势,仅需调用功能函数１２＋３３次,极大地减小了计算量.表７㊀计算结果对比T a b ．７㊀C o m pa r i s o no f c a l c u l a t i o n r e s u l t s 方法样本点数P f (１０－３)εP f (％)MC S１ˑ１０６１．３７６A K ＧMC S ＧE F F [４]１２＋８０１．３３７２．８３A K ＧS S １２＋１８９１．３３２３．２０A K ＧMC S ＧU [５]１２＋２１９１．３１６４．３６A K ＧMC S ＧI E G O [１９]１２＋４８１．３５８１．３１本文方法１２＋３３１．３５８１．３１㊀㊀图８展示了本算例中不同K r i g i n g 模型的权重系数随模型迭代次数的变化趋势,可以看出P C ＧK r i g i n g 模型的权重系数整体上远远高于常量(a )常量回归K r i g i n g 模型(b )P C ＧK r i g i n g模型图８㊀该算例中不同K r i g i n g 模型权重w 变化F i g ．８㊀D i f f e r e n tK r i g i n g m o d e l w e i g h t s c h a n ge i n t h i s e x a m pl e 回归K r i g i n g 模型的权重系数.结合图３可以看出,在拟合高维非线性函数时,结合P C E 的K r i g i n g 模型相比于常量回归K r i g i n g 模型更有优势,采用常量回归函数和指数函数作为相关函数的K r i g i n g 模型精度较低,说明此类模型对高维非线性函数的拟合效果不佳.为了进一步说明本文提出的集成模型在解决实际问题时具有较高的稳定性,现分别使用本文的集成模型和８种K r i g i n g 模型对该算例计算３０次,其结果如图９所示.可以看出集成模型的计算次数和计算结果的波动均最小,说明集成模型的稳定性较好,与单一K r i g i n g 模型相比,集成模型稳定性和精度均有一定的提高.(a)新增样本点个数(b)概率分布图９㊀不同模型计算３０次的概率分布和新增样本点个数分布F i g ．９㊀T h e p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o na n d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e n u m b e r o f n e ws a m pl e p o i n t s c a l c u l a t e d ３０t i m e s b y di f f e r e n tm o d e l s ４㊀结论本文提出了一种基于集成K r i g i n g 模型与改进主动学习函数相结合的可靠性分析方法,并利用２个数值算例和１个工程案例验证了本文所提方法的有效性和高效性,主要结论如下:０９ 中国机械工程第３５卷第１期２０２４年１月(１)基于自适应集成策略对不同回归函数和不同相关函数下的K r i g i n g模型进行集成,与单一K r i g i n g模型相比,集成模型具有更高的稳健性,在解决工程实际问题时,能通过构建更稳健的代理模型来计算可靠度,保证计算结果可靠. (２)在I E G O学习函数的基础上所提出的改进学习函数,既能够使最佳样本点分布于极限状态面附近,保证K r i g i n g模型在极限状态面附近的拟合精度,又综合考虑了样本点之间的距离对拟合精度和拟合效率的影响,使得样本点能均匀分布于极限状态面附近,避免了样本点出现局部聚集,从而导致选点浪费.(３)数值和工程算例验证了集成K r i g i n g模型在处理高维非线性函数时具有较大优势,能够在保证计算精度的条件下实现对问题的高效求解.本文所提出的集成K r i g i n g模型的权重是将全局留一交叉验证误差(L O O)作为全局预测误差来确定各个模型的权重,但L O O是一种高方差估计,可能会导致某些性能较差的模型获得较高的权重,影响集成K r i g i n g模型的拟合性能,在未来研究中,可考虑制定更有效的权重策略,以进一步提高模型的稳健性和求解精度.参考文献:[１]㊀查从燚,孙志礼,潘陈蓉等．面向结构可靠性分析的并行自适应加点策略[J]．东北大学学报(自然科学版),２０２３,４４(１):７６Ｇ８１．Z HA C o n g y i,S U N Z h i l i,P A N C h e n r o n g,e ta l．P a r a l l e lA d a p t i v eS a m p l i n g S t r a t e g y f o rS t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y A n a l y s i s[J]．J o u r n a lo f N o r t h e a s t e r nU n i v e r s i t y,２０２３,４４(１):７６Ｇ８１．[２]㊀李永华,梁校嘉,宫琦．基于双点加点策略的改进K r i g i n g响应面可靠度计算方法[J]．中国机械工程,２０１９,３０(１７):２０５１Ｇ２０５７．L IY o n g h u a,L I A N G X i a o j i a,G O N G Q i．I m p r o v e dK r i g i n g R e s p o n s e S u r f a c e R e l i a b i l i t y C a l c u l a t i o nM e t h o dB a s e do nT w oP o i n tA d d i t i o nS t r a t e g y[J]．C h i n a M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g,２０１９,３０(１７):２０５１Ｇ２０５７．[３]㊀周成宁．随机和认知不确定性下基于代理模型的结构可靠性方法研究[D]．成都:电子科技大学,２０２１．Z HO U C h e n g n i n g．A R e s e a r c ho fS u r r o g a t eB a s e dM o d e l f o r S t r u c t u r a l R e l i a b i l i t y M e t h o du n d e rA l e aＧt o r y a n d E p i s t e m i c U n c e r t a i n t i e s[D]．C h e n g d u:S c h o o lo f M e c h a n i c a la n d E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g,２０２１．[４]㊀B I C HO NBJ,E L D R E D M S,S W I L E R LLP,e t a l．E f f i c i e n t G o b a l R e l i a b i l i t y A n a l y s i sf o r N o n l i n e a rI m p l i c i tP e r f o r m a n c eF u n c t i o n s[J]．A I A AJ o u r n a l,２００８,４６(１０):２４５９Ｇ２４６８．[５]㊀E C HA R D B,G A Y T O N N,L E MA I R E M．A KＧM C S:a nA c t i v eL e a r n i n g R e l i a b i l i t y M e t h o dC o m b iＧn i n g K r i g i n g a n dM o n t eC a r l oS i m u l a t i o n[J]．S t r u cＧt u r a l S a f e t y,２０１１,３３(２):１４５Ｇ１５４．[６]㊀Z H E N GP,M I N G W C,Z O N G G,e t a l．A N e w A cＧt i v eL e a r n i n g M e t h o dB a s e do nt h eL e a r n i n g F u n cＧt i o nUo f t h eA KＧM C SR e l i a b i l i t y A n a l y s i s M e t h o d[J]．E n g i n e e r i n g S t r u c t u r e s,２０１７,１４８:１８５Ｇ１９４．[７]㊀S U NZ,WA N GJ,L IR,e ta l．L I F:aN e w K r i g i n gB a s e d L e a r n i n g F u n c t i o n a n d I t s A p p l i c a t i o n t oS t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y A n a l y s i s[J]．R e l i a b i l i t y E n g iＧn e e r i n g a n dS y s t e mS a f e t y,２０１７,１５７:１５２Ｇ１６５．[８]㊀HA NZ H,Z I MM E R MA N R,G O R T ZS．A l t e r n aＧt i v e c oＧK r i g i n g M e t h o df o rV a r i a b l eＧf i d e l i t y S u r r oＧg a t e M o d e l i n g[J]．A I A A J o u r n a l,２０１２,５０(５):１２０５Ｇ１２１０．[９]㊀HA N Z H,G o r t zS,Z I MM E R MA N R．I m p r o v i n g V a r i a b l eF i d e l i t y S u r r o g a t e M o d e l i n g v i aG r a d i e n tＧe n h a n c e dK r i g i n g a n daG e n e r a l i z e d H y b r i dB r i d g eF u n c t i o n[J]．A e r o s p a c eS c i e n c e&T e c h n o l o g y,２０１３,２５(１):１７７Ｇ１８９．[１０]㊀S C HO B IR,S U D R E T B,W I A R T J．P o l y n o m i a lＧc h a o sB a s ed K r i g i n g[J]．I n te r n a t i o n a l J o u r n a lf o rU n c e r t a i n t y Q u a n t i f i c a t i o n s,２０１５,５(２):１７１Ｇ１９３．[１１]㊀S C HO B I R,S U D R E T B,MA R E L L I S．R a r eE v e n tE s t i m a t i o n U s i n g P o l y n o m i a lＧc h a o sK r i g i n g[J]．A S C EＧA S M EJ o u r n a l o fR i s k a n dU n c e r t a i n t yi nE n g i n e e r i n g S y s t e m s,P a r t A:C i v i lE n g i n e e rＧi n g,２０１７,３(２):４０１６００２．[１２]㊀Z HA N GJ,X I A O M,G A OL．A nA c t i v eL e a r n i n g R e l i a b i l i t y M e t h o dC o m b i n i n g K r i g i n g C o n s t r u c t e dw i t hE x p l o r a t i o na n d E x p l o i t a t i o no fF a i l u r e R eＧg i o na n dS u b s e tS i m u l a t i o n[J]．R e l i a b i l i t y E n g iＧn e e r i n g a n dS y s t e mS a f e t y,２０１９,１８８:９０Ｇ１０２．[１３]㊀B A R K HO R I M,S HA Y A N F A R M A,B A R KＧHO R D A R IM A,e t a l．K r i g i n g A i d e dC r o s s e n t r o p yＧb a s e dA d a p t i v e I m p o r t a nc e S a m p l i n g U s i n g G a u s sＧi a n M i x t u r e[J]．I r a n i a n J o u r n a lo f S c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,２０１９,４３(１):S８１ＧS８８．[１４]㊀史朝印,吕震宙,李璐祎,等．基于自适应K r i g i n g 代理模型的交叉熵重要抽样法[J]．航空学报,２０１９,４１(１):２２３１２３．S H I Z h a o y i n,L Y UZ h e n z h o u,L I L u y i,e t a l．C r o s sＧe n t r o p y I m p o r t a n c e S a m p l i n g M e t h o d B a s e d o nA d a p t i v eK r i g i n g M o d e l[J]．A c a t aA e r o n a u t i c ae tA s t r o n a u t i c aS i n i c a,２０２０,４１(１):２２３１２３．[１５]㊀万良琪,欧阳林寒．基于０Ｇ１规划模型筛选策略的K r i g i n g组合模型及可靠性优化设计[J]．计算机集１９一种基于自适应K r i g i n g集成模型的结构可靠性分析方法 高㊀进㊀崔海冰㊀樊㊀涛等成制造系统,２０２２,２８(７):２１６２Ｇ２１６８．WA NL i a n g q i,O U Y A N GL i n h a n．K r i g i n g E n s e mＧb l eM o d e l B a s e d o n０Ｇ１P r o g r a mm i n g M o d e l S e l e cＧt i o ns t r a t e g y f o rR e l i a b i l i t yＧb a s e d D e s i g n O p t i m iＧz a t i o n[J]C o m p u t e r I n t e g r a t e d M a n u f a c t u r i n g S y sＧt e m s,２０２２,２８(７):２１６２Ｇ２１６８．[１６]㊀C H E N G K,L U Z．S t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y A n a l y s i sB a s e do nE n s e m b l eL e a r n i n g o fS u r r o g a t e M o d e l s[J]．S t r u c t u r a l S a f e t y,２０２０,８３:１０１９０５．[１７]㊀李宁,潘慧雨,李忠献．一种基于自适应集成学习代理模型的结构可靠性分析方法[J]．工程力学,２０２３,４０(３):２７Ｇ３５．L I N i n g,P A N H u i y u,L IZ h o n g x i a n．S t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y A n a l y s i sM e t h o dB a s e d o nA d a p t i v eE nＧs e m b l eL e a r n i n g S u r r o g a t e M o d e l[J]．E n g i n e e r i n gM e c h a n i c s,２０２３,４０(３):２７Ｇ３５．[１８]㊀李大帅．基于多保真度K r i g i n g代理模型的结构可靠度分析方法[D]．哈尔滨:哈尔滨工业大学,２０２１．L I D a s h u a i．A S t r u c t u r a l R e l i a b i l i t y A n a l y s i sM e t h o dB a s e do n M u l t iＧf i d e l i t y K r i g i n g S u r r o g a t eM o d e l[D]H a r b i n g:H a r b i nI n s t i t u t eo fT e c h n o l oＧg y,２０２１．[１９]㊀洪林雄,李华聪,彭凯,等．基于改进学习策略的K r i g i n g模型结构可靠度算法[J]．西北工业大学学报,２０２０,３８(２):４１２Ｇ４１９．HO N G L i n x i o n g,L iH u a c o n g,P e n g K a i,e ta l．S t r u c t u r a lR e l i a b i l i t y A l g o r i t h m s o fK r i g i n g M o d e lB a s e do nI m p r o v e dL e a r n i n g S t r a t e g y[J]．J o u r n a lo f N o r t h w e s t e r n P o l y t e c h n i c a l U n i v e r s i t y,２０２０,３８(２):４１２Ｇ４１９．[２０]㊀彭新款．基于P CＧK r i g i n g替代模型的移动模架结构可靠度分析[D]．广州:华南理工大学,２０１９．P E N G X i n k u a n．R e l i a b i l i t y A n a l y s i so f M o v a b l eS c a f f o l d i n g S y s t e mS t r u c t u r eB a s e do nP CＧK r i g i n gS u r r o g a t eM o d e l[D]．G u a n g z h o u:S o u t hC h i n aU n iＧv e r s i t y o fT e c h n o l o g y,２０１９．[２１]㊀G O E LT,HA F T K A R T,S H Y Y W,e t a l．E nＧs e m b l e o fS u r r o g a t e s[J]．S t r u c t u r a l a n d M u l t i d i sＧc i p l i n a r y O p t i m i z a t i o n,２００７,３３(３):１９９Ｇ２１６．[２２]㊀Z HA N G H L,Z HO U C C,Z HA O H D,e ta l．A nE n s e m b l e M o d e lＧb a s e d M e t h o df o rE s t i m a t i n gF a i l u r e P r o b a b i l i t y F u n c t i o n w i t h A p p l i c a t i o ni nR e l i a b i l i t y B a s e dO p t i m i z a t i o n[J]．A p p l i e d M a t h eＧm a t i c a lM o d e l l i n g,２０２２,１０８:４４５Ｇ４６８．[２３]㊀J O N E SDR,S C HO N L A U M,W E L C H WJ．E f f iＧc i e n tG l o b a lO p t i m i z a t i o no fE x p e n s i v eB l a c kＧb o xF u n c t i o n s[J]．J o u r n a l o fG l o b a l O p t i m i z a t i o n,１９９８,１３(４):４５５Ｇ４９２．[２４]㊀石灵健．基于主动学习代理模型的结构可靠性分析方法研究[D]．南京:东南大学,２０１９．S H IL i n g j i a n．R e s e a r c h o n S t r u c t u r a l R e l i a b i l i t yA n a l y s i sB a s e d o nA c t i v eL e a r n i n g S u r r o g a t eM o dＧe l[D]．N a n j i n g:S o u t h e a s tU n i v e r s i t y,２０１９．[２５]㊀吴振光．基于主动学习K r i g i n g代理模型的结构可靠性算法研究[D]．沈阳:东北大学,２０２０．WUZ h e n g u a n g．E f f i c i e n t S t r u c t u r a l R e l i a b i l i t y A lＧg o r i t h m s w i t ht h e A c t i v eＧl e a r n i n g B a s e d K r i g i n gM o d e l[D]．S h e n y a n g:N o r t h e a s t e r n U n i v e r s i t y,２０２０．[２６]㊀杨周,刘洋,张义民．发动机配气机构传动系统的频率可靠性分析[J]．振动．测试与诊断,２０１７,３７(２):２８４Ｇ２８７．Y A N G Z h o u,L I U Y a n g,Z HA N G Y i m i n．F r eＧq u e n c y R e l i a b i l i t y A n a l y s i s f o rT r a n s m i s s i o nS y sＧt e mi nE n g i n e V a l v eT r a i n[J]．J o u r n a lo fV i b r aＧt i o n,M e a s u r e m e n t&D i a g n o s i s,２０１７,３７(０２):２８４Ｇ２８７．(编辑㊀王艳丽)作者简介:高㊀进,男,１９８５年生,工程师.研究方向为结构不确定性分析.杜尊峰(通信作者),男,１９８４年生,博士㊁副教授.研究方向为结构可靠性分析,结构损伤评估.EＧm a i l:d z f＠t j u．e d u．c n.２９中国机械工程第３５卷第１期２０２４年１月。
