2014高考数学第一轮复习第七章直线与圆方程(小结)

·创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日金版新学案?高考总复习配套测评卷——高三一轮数学『文科』卷(七)直线和圆的方程————————————————————————————————————— 【说明】 本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷 (选择题 一共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．下面各组方程中，表示一样曲线的是( )A ．y ＝x 与yx＝1 B ．|y |＝|x |与y 2＝x 2C ．|y |＝2x ＋4与y ＝2|x |＋4D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ(θ为参数)y ＝cos 2θ与y ＝－x 2＋12．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( )A ．－x ＋2y －4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝03．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直〞的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点P (5，－2)，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角的直线l 的方程是( )A ．y ＝－2B ．y ＝2，x ＝5C ．x ＝5D ．y ＝－2，x ＝55．假设PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1,2)，那么直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝06．假设k ，－1，b 三个数成等差数列，那么直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)7．D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，所确定的平面区域，那么圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为( )A.π4B.π2C.3π4D.3π28．A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎪⎫225，0D.⎝⎛⎭⎪⎫0，2259．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，假设目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，那么2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．410．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (3,1)，B (－1,3)，假设点C 满足|＋|＝|－|，那么C 点的轨迹方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x －y ＝0C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．3x －2y －11＝011．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝012．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向挪动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城B 在A 的正东40千米处，那么B 城处于危险区内的时间是为( )A ．小时B ．1小时C ．小时D ．2小时第二卷 (非选择题 一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 13．将直线y ＝x ＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，那么所得直线的方程为________．14．在坐标平面内，与点A (1,3)的间隔 为2，且与点B (3,1)的间隔 为32的直线一共有__________条．15．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，那么△EOF (O 为坐标原点)的面积等于________．16．在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6y ＋4≤0，|x －2|＋|y －3|≥3表示的平面区域的面积是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤)17．(本小题满分是10分)△ABC 的两条高所在直线的方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A 的坐标为(1,2)，求BC 边所在直线的方程．18．(本小题满分是12分)如图，直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为(－2,0)，直角顶点B 的坐标为(0，－22)，顶点C 在x 轴上．(1)求BC 边所在直线的方程．(2)圆M 是△ABC 的外接圆，求圆M 的方程．19.(本小题满分是12分)△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0.AC 边上的高BH 所在直线为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．20．(本小题满分是12分)甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元/吨和元/吨．要使总运费最少，煤矿应怎样编制调运方案？21.(本小题满分是12分)圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)经过点(1，3)． (1)求圆C 的方程；(2)是否存在经过点(－1,1)的直线l ，它与圆C 相交于A ，B 两个不同点，且满足＝12＋32(O 为坐标原点)关系的点M 也在圆C 上？假如存在，求出直线l 的方程；假如不存在，请说明理由．22．(本小题满分是12分)圆M 的方程为：x 2＋y 2－2x －2y －6＝0，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切．(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，求·的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由． 答案：卷(七)一、选择题1．B 用排除法做．A 、C 易排除，∵点坐标范围明显不一致．D 中前者x ∈[－1,1]，y ∈[0,1]，后者x ∈R ，y ∈(－∞，1]，故排除D.2．D 选D.由题意知所求直线与2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.3．C 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1〞是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直〞的充要条件． 4．D (1)假设直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan 45°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －11＋k ，得k ＝0，所求l 的直线方程为y ＝－2.(2)假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x ＝5，且与直线x －y ＋5＝0相交成45°角．应选D.5．B 结合圆的几何性质易知直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.6．A ∵k ，－1，b 成等差数列， ∴k ＋b ＝－2.∴当x ＝1时，y ＝k ＋b ＝－2. 即直线过定点(1，－2)．7．B 如图阴影局部表示⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0x ＋3y ≥0，确定的平面区域，所以劣弧AB 的弧长即为所求．∵k OB ＝－13，k OA ＝12，∴tan ∠BOA ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1，∴∠BOA ＝π4.∴劣弧A B 的长度为2×π4＝π2.8．B 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．9．A 不等式组表示的平面区域如下图阴影局部，当直线ax ＋by ＝z (a ＞0，b ＞0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目的函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)获得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6 ＝136＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥136＋2 ＝256， 应选A10．C 由|＋|＝|－|知⊥，所以C 点的轨迹是以两个端点A 、B 为直径的圆，圆心坐标为线段AB 的中点(1,2)，半径等于5，所以C 点的轨迹方程是(x －1)2＋(y －2)2＝5.11．D 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直， 设圆心为O ，那么O (2,0)， ∴K OM ＝2－01－2＝－2.∴直线l 的斜率k ＝12，∴l 的方程为y －2＝12(x －1)．即x －2y ＋3＝0.12．B 如图，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，那么B (40,0)，台风中心挪动的轨迹为射线y ＝x (x ≥0)，而点B 到射线y ＝x 的间隔 d ＝402＝202＜30，故l ＝2302－(202)2＝20，故B 城处于危险区内的时间是为1小时． 二、填空题13．【解析】 直线y ＝x ＋3－1的斜率为1，故倾斜角为45°，旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为3，故所求直线方程为y －3＝3(x －1)，即3x －y ＝0.【答案】3x －y ＝014．【解析】 以A (1,3)为圆心，以2为半径作圆A ，以B (3,1)为圆心，以32为半径作圆B .∵|AB |＝(1－3)2＋(3－1)2＝22＝32－2， ∴两圆内切， 公切线只有一条． 【答案】 1 15．【解析】 如图圆心O 1(2，－3)到直线l ：x －2y －3＝0的间隔 为5，那么|EF |＝29－5＝4，O 到l 的间隔 d ＝35，故S △OEF ＝12d |EF |＝655.【答案】65516．【解析】 区域为圆面(x －2)2＋(y －3)2＝9内挖去了一个内接正方形． 【答案】 9π－18三、解答题17．【解析】 可以判断A 不在所给的两条高所在的直线上，那么可设AB ，AC 边上的高所在的直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，那么可求得AB ，AC 所在的直线方程为y－2＝－32(x －1)，y －2＝x －1，即3x ＋2y －7＝0，y －x －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －x －1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)，所以直线BC 的方程为2x ＋3y ＋7＝0. 18．【解析】 (1)设C (x 0,0)， 那么k AB ＝－220－(－2)＝－ 2.k BC ＝0＋22x 0－0＝22x 0. ∵AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1， 即－2×22x 0＝－1，∴x 0＝4，∴C (4,0)，∴k BC ＝22， ∴直线BC 的方程为y －0＝22(x －4)，即y ＝22x －2 2. (2)圆M 以线段AC 为直径，AC 的中点M 的坐标为(1,0)，半径为3， ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －8＝0. 19．【解析】 直线AC 的方程为：y －1＝－2(x －5)，即2x ＋y －11＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3，那么C 点坐标为(4,3)．设B (m ，n )，那么M (m ＋52，n ＋12)，⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋52－n ＋12－5＝0m －2n －5＝0， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －n －1＝0m －2n －5＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1n ＝－3那么B 点坐标为(－1，－3)直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.20．【解析】 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费z ＝x ＋1.5(200－x )＋y ＋1.6(300－y )(万元)，即z ＝780－x －y . x 、y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，200－x ≥0，300－y ≥0，x ＋y ≤280，200－x ＋(300－y )≤360， 作出上面的不等式组所表示的平面区域如下图．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，那么M (0,280)，把直线l ：x ＋y ＝0向上平移至经过点M 时，z 的值最小． ∵点M 的坐标为(0,280)，∴甲煤矿消费的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨、向西车站运20万吨时，总运费最少． 21．【解析】 (1)由圆C ：x 2＋y 2＝r 2，再由点(1，3)在圆C 上，得r 2＝12＋(3)2＝4所以圆C 的方程为 x 2＋y 2＝4；(2)假设直线l 存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)①假设直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y －1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x ＋1)＋1x 2＋y 2－4＝0消去y 得，(1＋k 2)x 2＋2k (k ＋1)x ＋k 2＋2k －3＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－2k (k ＋1)1＋k 2＝－2＋2－2k 1＋k 2，x 1x 2＝k 2＋2k －31＋k 2＝1＋2k －41＋k 2， y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (k ＋1)(x 1＋x 2)＋(k ＋1)2＝2k ＋41＋k 2－3， 因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在圆C 上，因此，得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 由＝12＋32得x 0 ＝x 1＋3x 22，y 0＝y 1＋3y 22，由于点M 也在圆C 上，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋3x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋3y 222 ＝4，整理得，x 21＋y 214＋3x 22＋y 224＋32x 1x 2＋123y 1y 2＝4， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以1＋2k －41＋k 2＋(2k ＋41＋k2－3)＝0， 从而得，k 2－2k ＋1＝0，即k ＝1，因此，直线l 的方程为 y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0，②假设直线l 的斜率不存在，那么A (－1，3)，B (－1，－3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－32，3－32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322 ＝4－3≠4，故点M 不在圆上与题设矛盾综上所知：k ＝1，直线方程为x －y ＋2＝022．【解析】 圆M 的方程可整理为：(x －1)2＋(y －1)2＝8，故圆心M (1,1)，半径R ＝2 2.(1)圆N 的圆心为(0,0)，因为|MN |＝2＜22，所以点N 在圆M 内，故圆N 只能内切于圆M .设其半径为r .因为圆N 内切于圆M ，所以有：|MN |＝R －r ， 即2＝22－r ，解得r ＝ 2.所以圆N 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意可知：E (－2，0)，F (2，0)．设D (x ，y )，由|DE |、|DO |、|DF |成等比数列，得|DO |2＝|DE |×|DF |， 即：(x ＋2)2＋y 2×(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，整理得：x 2－y 2＝1.而＝(－2－x ，－y )，＝(2－x ，－y )，·＝(－2－x )(2－x )＋(－y )(－y )＝x 2＋y 2－2＝2y 2－1，由于点D 在圆N 内，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＜2x 2－y 2＝1，由此得y 2＜12，所以·∈[－1,0)． (3)因为直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，故直线MA 和直线MB 的斜率存在，且互为相反数，设直线MA 的斜率为k ，那么直线MB 的斜率为－k .故直线MA 的方程为y －1＝k (x －1)，直线MB 的方程为 y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k (x －1)x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点M 在圆N 上，故其横坐标x ＝1一定是该方程的解，可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2， 同理可得：x B ＝k 2＋2k －11＋k 2， 所以k AB ＝y B －y A x B －x A＝ －k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A＝ 2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k MN . 所以，直线AB 和MN 一定平行．。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题． 曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程． 圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程． 考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。

理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b ya x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ.⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP = 2. 定比分点坐标分式。

高考圆方程知识点总结高考是每个学生都经历的一场考试，对于数学科目，圆方程是一个重要的知识点。

掌握圆方程的相关知识，可以帮助学生在高考中取得好成绩。

本文将对高考圆方程涉及的知识点进行总结，帮助学生加深对该知识点的理解和掌握。

一、概念及性质：- 圆的定义：平面内到给定点距离恒等于给定长度的点的集合。

- 圆心和半径：圆心是到圆上任意一点的距离都相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。

- 圆的方程：圆的方程是指平面内满足给定条件的点的集合的方程形式。

圆的标准方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

二、圆的方程的转化：- 完成平方：根据圆的标准方程，可以通过完成平方来将一般形式的方程转化为标准形式。

例如，对于方程x^2 + y^2 - 4x + 2y - 3 = 0，可以通过平方配方法将其转化为(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 10。

- 合并项：有时候，圆的方程中可能存在合并项的情况。

合并项指的是x和y的一次项系数不为1的情况。

通过将x和y的一次项系数提取出来，并进行平移、平方等操作，可以将合并项转化为标准方程。

三、圆与直线的位置关系：- 直线与圆相切：当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点，且该点在圆上。

此时，直线的方程与圆的方程有特定的关系，可以通过解方程组来确定切点的坐标。

- 直线与圆相交：当直线与圆相交于两个不同的点时，可以通过解方程组来确定相交点的坐标。

此时，直线的方程与圆的方程有两个解。

四、圆与圆的位置关系：- 相交：当两个圆相交于两个不同的点时，可以通过解方程组来确定相交点的坐标。

此时，两个圆的方程可以构成一个方程组。

- 相切：当两个圆相切时，两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。

此时，两个圆的方程可以构成一个方程组。

- 相离：当两个圆没有共同的交点时，它们是相离的。

五、常见题型分析：- 已知圆的方程，求切点坐标等。

高考数学直线与圆知识点总结数学一直是高考重点科目之一，而其中的直线与圆是常见的考点之一。

在高考中，对于这部分知识点的掌握不仅仅是学生们考试取得好成绩的关键，更是对于综合能力的全面考核。

本篇文章将对高考数学直线与圆的知识点进行总结，帮助同学们更好地备考。

直线与圆的基本性质：直线和圆是平面几何中最基本也是最常见的两个图形。

直线无限延伸，没有端点，而圆是由一组平面上距离圆心相等的点组成的。

直线与圆之间有一些基本的性质需要掌握。

1. 直线在平面上可以有不同的位置关系，即相交、平行和重合。

相交的直线在交点处满足公共点的特性。

平行的直线在平面上永远不相交。

重合的直线完全重叠在一起，所有的点都相同。

2. 圆与直线的位置关系通常包括内外离散、相切和内含三种情况。

离散的情况是直线与圆没有交点。

相切的情况直线与圆恰好有一个交点。

内含的情况是直线与圆有两个交点。

直线的方程与性质：直线是最基本的图形之一，它常常需要考生们掌握准确的方程表达以及相应的性质。

1. 直线的一般方程是Ax + By + C = 0，其中A、B、C分别是实数，也称为直线的一般式方程。

一般式方程用于表示直线的位置关系。

2. 直线的斜率是非常重要的一个性质，它是直线上任意两点对应坐标差的比值。

斜率可以帮助我们判断直线的倾斜方向以及直线是否垂直。

3. 两条直线的位置关系可以通过它们的斜率进行判断。

如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

圆的方程与性质：圆是平面几何中的一个基本图形，它有特定的方程表达和一系列的性质需要考生们进行掌握。

1. 圆的标准方程是(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径；标准方程可以用于表示任意圆。

2. 圆的一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是实数。

一般方程可以用于表示特定的圆。

直线与圆的方程中的六种数学思想方法1.数形结合的思想例1 设k ，a 是实数，要使关于x 的方程 |2x-1|=k(x-a)+a 对于k 的一切值都有解，求实数a 的取值范围．解 在平面直角坐标系中分别画出 l 1：y=|2x-1|和l 2：y=k(x-a)+a 的图象(如图)，其中l 2是过点M(a ，a)且斜率为k 的直线系，l 1是折线y=2x-1(x≥21)和y=-2x+1(x<21)．由图形的直观性可知要使原方程对于k 的一切值都有解的几何意义是直线l 2绕点M(a ，a)旋转时都与折线l 1相交，点M 必须位于过C(21，0)的两条射线上或射线的上方．∵ ⎩⎨⎧+-≥-≥1212a a a a ∴31≤a≤1．例2 已知定点A(1，1)， B(3，3)，动点P 在x 轴上，若∠APB 取得最大值，则点P 的坐标是………………( )A.这样的点P 不存在 B ．(2，O) C ．(3，O) D ．(6，O)分析 由A 、B 两点坐标及位置特点，可以看出，动点P 在x 轴正半轴上的某个位置可能使么∠APB 取最大值，此题若设P(x ，O)，用到角公式表示出tanAPB ，再求使之取得最大值时的P 点坐标显然较繁．而利用平面几何中的圆外角小于圆周角，设过AB 且与x 轴正半轴相切的圆与x 轴的切点为P ，(如图)则P 点即为所求的点，而|OP|2=|OA|·|OB|=2·18=6 ∴|0P|=6，点P(6，0)， 故选D ．2.分类讨论的思想例3 求与点P(4，3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．解 (1)若截距a≠O，可设直线方程为： a x +a y=1 即x+y-a=0由已知：2|34|a -+=5可得：a=7士32(2)若截距a=O ，由于OP 所在的直线方程为 y=43x ，且|OP|=5 ∴所求直线方程为y=-34x综上，所求直线方程为 x-y-7-52=0或x+y-7+52=0或4x+3y=O 对含有参数的数学问题求解时要注意运用分类讨论的数学思想，正确、严密地求解．例4 讨论直线l ：3x+4y+m=0与圆C ：x 2+y 2-2x=O 的位置关系．分析 先求得圆C 的圆心C(1，O)和半径 r=1，再得圆心C 到直线l 的距离d=5|3|m +，最后按d<r 、d=r 、d>r 三种情况讨论直线与圆相交、相切、相离时m的取值范围．解 当d=5|3|m +<1，即-8<m<2时，直线与圆相交；当d=5|3|m +=1，即m=-8或m=2时，直线与圆相切；当d=5|3|m +>1，即m<-8或m>2时，直线与圆相离．3.参数思想例5 已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a 为何值，直线总过第一象限．(2)为使这直线不过第二象限，求a 的范围．解 (1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O 对任意实数a ，恒过直线3x-y=O 与x-2y+1=0的交点(51，53)，∴直线系恒过第一象限内的定点(51，53)；(2)当a=2时，直线为x=51不过第二象限；当a≠2时，直线方程化为：y=213--a a x-21-a ，不过第二象限的充要条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->--0210213a a a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<--0210213a a a ⇒a>2，总之，a≥2时直线不过第二象限．例6 过点P(2，1)作直线l ，与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，| PA|·| PB|的最小值及此时l 的方程．分析 本题除了用斜率、角度作为参数外，我们再给出以直线的参数方程来求解的方法．解 设直线AB 的倾斜角为α(2π<α<π),则直线AB 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 1cos 2t y t x令x=O ，则得B 点所对应的参数t=-αcos 2， 令y=O ，则得A 点所对应的参数t=-αsin 1∴|PA|·|PB|=|-αcos 2|·|-αsin 1|=|2sin |4α 当a=π43时|PA|·|PB|有最小值4，此时直线l 的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ππ43sin 143cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2212224.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用的方法．例7 已知直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过一定点P(6，-2)，求直线的方程．解法一 设直线l 的方程为a x +b y=1． ①∵直线l 过点(6，-2)， ∴a 6-b2=1． ②又∵a=b+1．代入②整理得b 2-3b+2=O ，解之b 1=1，b 2=2，∴a 1=2，a 2=3． 代入①得所求的直线方程为x+2y-2=O 或2x+3y-6=O ．解法二 设所求直线l 的斜率为k ，又直线l 过定点P(6，-2)，于是直线l 的方程是y+2=k·(x -6)，即kk x 26++)26(+-k y=1. 依题意知k k 26++6k+2=1,∴k=-32或k=-21. ∴直线l 的方程是y+2=-32(x-6)或y+2=-21(x-6)，即x+2y-2=O 或2x+3y-6=O ．例8 已知△ABC 中，A 点坐标为(1，2)， AB 边和AC 边上的中线方程分别为5x-3y-3=O 和7x-3y-5=O ，求BC 边所在直线方程．分析 欲求BC 边的方程，没有直接的已知条件，可设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，然后用两点式得方程．解 设C(x 1,y 1)，AB 中点坐标为(211+x ，221+y )则⎪⎩⎪⎨⎧=-+•-+•=--0522321703351111y x y x 解得：x 1=3，y 1=4，∴C(3，4)说明 此题由代点法，结合解方程组比直接由已知方程求交点要简单得多，同理可求得 B(-1，-4)，由两点式得直线BC 方程为2x-y-2=05.化归的思想. 利用转化的思想可把较繁的问题简单化． 例9 求函数y=12+x +842+-x x 的最小值．分析 此函数的定义域为R ，如果从代数的角度考虑，确实比较复杂；如果借助于两点间的距离公式，转化为几何问题，则是非常的容易．解 y=12+x +842+-x x =22)10()0(-+-x +22)20()2(-+-x 令A(O ，1)，B(2，2)，P(x ，O)，则问题转化为：在x 轴上求一点P(x ，O)，使得|PA|+|PB|取得最小值．∵A 关于x 轴的对称点为A ’(O ，-1)，∴(|PA|+|PB|)min =|A ’B|=22)12()02(++-=94+=13．6.函数、方程、不等式思想例10 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d ，如果这条直线各自绕点P 、Q 旋转并互相保持平行． (1)求d 的变化范围．(2)用d 表示这两条直线的斜率．(3)当d 取最大值时，求这两条直线的方程．解 当过P 、Q 的两条直线的斜率为O 时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x 轴垂直时， d=3． 设l 1：y+2=k(x+2)；l 2：y-3=k(x-1) (1)由平行线间的距离公式得d=1|53|2+-k k即(d 2-9)k 2+30k+d 2-25=O ……① 由△=900-4(d 2-9)(d 2-25)≥O， 得O<d≤34(2)由①得k=9341522--±-d d d (d≠3) (3)当d=34时,k=-53∴l 1：y+2=-53(x+2)， l 2：y-3=-53(x-1)说明 此题的(1)(3)也可利用数形结合的方法来求解．。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12) 考查：直线与圆一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1． 若直线l 与直线1y =,7x =分别交于点P 、Q ,且线段P Q 的中点坐标为(1,1)-,则直线l 的斜率为( ) A.13 B.13- C.32- D.23 2．若直线1:60l x ay ++=与2:(2)320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为( )B.33．如果0A C ⋅<,且0B C ⋅<,那么直线0Ax By C ++=不经过( ). A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定5. 若函数8y ax =+与12y x b =-+的图象关于直线y x =对称，则a b +=( )A.1B.2D.46．直线1l 的斜率为2，12//l l ，直线2l 过点(1,1)-)且与y 轴交于点P ,则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(3,0)-C ．(0,3)-D ．(0,3)7. 已知直线1l 与圆2220x y y ++=相切,且与直线2:3460l x y +-=平行,则直线l 1的方程是( )A ．3410x y +-=B ．3410x y ++=或3490x y +-=C ．3490x y ++=D ．3410x y +-=或3490x y ++=8．若圆222()()1x a y b b -+-=+始终平分圆22(1)(1)4x y +++=的周长，则a b 、 满足的关系是( )A ．22230a a b ++-=B ．222250a b a b ++++=C ．22250a a b +++=D ．22250a a b --+=二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9. 圆心在原点且与直线24x y +=相切的圆的方程是 .10.点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是___________.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆224x y +=上有且只有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是________.12.已知点(1,3),(2,1)A B --,若直线:(2)1l y k x =-+与线段AB 相交,则k 的取值范围是________.13.圆心在曲线3(0)y x x=>上，且与直线3430x y ++=相切的面积最小的圆的方程为14．已知实数x y 、满足250x y ++=,的最小值为 .二、填空题(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且经过点(3,4)A -,求直线l 的方程.16．不同两点P 、Q 的坐标分别为(,),(3,3)a b b a --，求:()Ⅰ线段P Q 的垂直平分线l 的方程;()Ⅱ圆22(2)(3)1x y -+-=关于直线l 对称的圆的方程.17．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.18.在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线40x +=相切. ()Ⅰ求圆O 的方程;()Ⅱ圆O 与x 轴相交于A B 、两点，圆内的动点P 使PA PO PB、、|成等比数列,求PA PB ⋅的取值范围.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 12)参考答案1解析：选B.由直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P 、Q ，可设P (x 1,1)，Q (7，y 1)，再由线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，可解得：x 1＝－5，y 1＝－3.即直线l 上有两点P (－5,1)，Q (7，－3)，代入斜率公式可解得直线l 的斜率为k ＝1＋3－5－7＝－13.故选B.2 [解析]由l 1∥l 2知3＝a(a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18，求得a ＝－1，l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝|6－23|12＋(－1)2＝823.故选B. 3．C 解析：由A·C ＜0及B·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝⎛⎭⎫－CA ，0，⎝⎛⎭⎫0，－CB ，且－C A ＞0，－C B＞0，∴直线不过第三象限．4[解析]直线ax －y ＋2a ＝0⇒a(x ＋2)－y ＝0，即直线恒过点(－2,0)，∵点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选C.5解析：直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2故选B6.解析：∵点P 在y 轴上，∴设P(0，y)，又∵kl 1＝2，l 1∥l 2，∴kl 2＝y －10－(－1)＝y －1＝2，∴y ＝3，∴P(0,3)．答案：D7.D 解析：设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.∵直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，∴|－4＋m|32＋42＝1.∴|m －4|＝5.∴m ＝－1或m ＝9.∴直线l 1的方程为3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8.解析 即两圆的公共弦必过(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0.答案C9解析：由题意，半径R ＝41＋22＝45，所以圆的方程为x 2＋y 2＝165，故填x 2＋y 2＝165.10解析：设圆上任一点为Q(s ，t)，PQ 的中点为A(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝4＋s 2y ＝－2＋t2，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2x －4t ＝2y ＋2，将其代入圆的方程，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 11.解析 (数形结合法)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图．若l 与线AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB ，∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤1212.[解析] 本题考查了直线与圆的位置关系，利用数形结合可解决此题，属中档题．要使圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，只需满足圆心到直线的距离小于1即可．即|c|122＋52<1，解|c|<13，∴－13<c<13.13.解析：设圆心(a ，3a )(a>0),则圆心到直线的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|5，而d ≥15(23a ·12a ＋3)＝3,当且仅当3a ＝12a ，即a ＝2时，取“＝”，此时圆心为(2，32)，半径为3，圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝9.14.解析：x 2＋y 2表示点(x ，y)到原点的距离．根据数形结合得x 2＋y 2的最小值为原点到直线2x ＋y ＋5＝0的距离，即d ＝55＝ 5.15.解析：设直线l 的方程是y ＝k(x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)(4k ＋3)＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. 16.【解析】（1）∵313P a bk b a--==--Q ，∴11l P k k =-=-Q ， ∵P Q 的中点坐标为33(,)22，直线l 的方程为3x y +=．（2）设所求圆的圆心为(,)a b ，则31223322l b k a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， ∴所求圆的圆方程为22(1)1x y +-=．17解析 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB.设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0消去y 得： 2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， ∴x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2＋4b －4)，②y 1y 2＝(x 1＋b)(x 2＋b)＝x 1x 2＋b(x 1＋x 2)＋b 2＝12(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2＝12(b 2＋2b －4)．③把②③式代入①式，得b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得Δ＝4(b ＋1)2－8(b 2＋4b －4)＞0成立．故存在直线l 满足题意，其方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4.法二:可设直线l :0x y c -+=,经过A B 、的圆:22:244()0C x y x y x y c λ+-+-+-+=分析18.解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)不妨设A(x 1,0)，B(x 2,0)，x 1<x 2.由x 2＝4即得A(－2,0)，B(2,0)．设P(x ，y)，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.PA →·PB →＝(－2－x ，－y)· (2－x ，－y)＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．。

专题07 直线与圆、圆与圆、阿波罗尼斯圆（隐形圆）问题知识点归纳：一、圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心),(b a ，半径r 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x当04422>-+F E D 时，才能表示圆，圆心)2,2(ED --，半径4422FE D r -+=当04422=-+F E D ，表示一个点)2,2(ED -- 当04422<-+FE D ，不表示任何图形 二、直线与圆的位置关系设圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，直线方程：0=++C By Ax判别方法1：设圆心到直线的距离为d ，若r d >，直线与圆相离；若r d =，直线与圆相切；若r d <，直线与圆相交；判别方法2：将直线与圆联立方程组消元得到一个关于x 或者y 的一元二次方程，若0>∆，直线与圆相交；若0=∆，直线与圆相切；若0<∆，直线与圆相离； 三、圆与圆的位置关系设圆的方程0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 圆21,C C 的圆心距为d ，1C 的半径为1r ，2C 的半径为2r若21r r d +>，两圆相外离；若21r r d +=，两圆相外切；若2121r r d r r +<<-，两圆相交； 若21r r d -=，两圆相内切；若21r r d -<，两圆相内含； 四、圆系方程①设直线0=++C By Ax 与圆022=++++F Ey Dx y x 相交，则过两交点的圆的方程为0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ②设圆0:111221=++++F y E x D y x C ，圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交，则过两交点的圆的方程为022********=+++++++++）（F y E x D y x F y E x D y x λ注：1-≠λ时，表示过两交点的圆；1-=λ时，表示过两交点的直线方程，即圆与圆的相交弦所在的直线方程 以),(b a A ，),(d c B 为直径端点的圆的方程0))(())((=--+--d y b y c x a x五、阿波罗尼斯圆动点P 到两定点B A ,的距离的比值为一定值，即PB PA λ=，且1≠λ的点的轨迹是圆. 当1=λ时，动点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线，将其称之为阿波罗尼斯圆江苏高考中每年都会有圆的试题，填空题和解答题甚至应用题中都有可能出现，考点也不外乎上述的知识点总结，下面我们通过实例来看看每个知识点的考法。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。