2020届江苏省扬州市2017级高三5月二模考试数学试卷及答案

2017年江苏省扬州市高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合A=｛0,1，2}，B=｛2，4}，则A∪B= ．2．若复数z满足（2﹣i）z=1+i,则复数z在复平面上对应的点在第象限．3．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为21．已知矩阵A=，设曲线C：(x﹣y）2+y2=1在矩阵A对应的变换下得到曲线C′，求C′的方程．（本小题满分0分）22．在极坐标系中，直线l和圆C的极坐标方程为ρcos(θ+）=a（a ∈R）和ρ=4sinθ．若直线l与圆C有且只有一个公共点，求a的值．23．某校举办校园科技文化艺术节，在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座．已知A、B两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场．若A组1人选听《生活趣味数学》，其余4人选听《校园舞蹈赏析》；B组2人选听《生活趣味数学》，其余3人选听《校园舞蹈赏析》．（1）若从此10人中任意选出3人，求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率；（2）若从A、B两组中各任选2人，设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数，求X的分布列和数学期望E（X)．24．在数列{a n}中，a n=cos（n∈N＊）（1）试将a n+1表示为a n的函数关系式；（2)若数列{b n｝满足b n=1﹣（n∈N＊），猜想a n与b n的大小关系，并证明你的结论．2017年江苏省扬州市高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．设集合A={0，1，2｝,B=｛2,4}，则A∪B= ｛0，1，2,4｝．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集,根据定义进行求解即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B=｛0，1，2，4}故答案为:｛0，1，2，4}2．若复数z满足（2﹣i）z=1+i，则复数z在复平面上对应的点在第一象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：(2﹣i）z=1+i，∴z===+i则复数z在复平面上对应的点在第一象限．故答案为:一．3．随着社会的发展,食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解:要使函数f（x）有意义,则，即2﹣x≥4，解得﹣x≥2,解得x≤﹣2，即函数定义域为(﹣∞,﹣2］；故答案为:（﹣∞，﹣2］;7．已知双曲线=1（a＞0)的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的焦距为10 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程,求出a,然后求解双曲线的焦距即可．【解答】解:双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得:,解得a=,则b=2,c=5．双曲线的焦距为10．给答案为：10．8．已知sinθ=，θ∈（0，）,则tan2θ=．【考点】GU：二倍角的正切．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，tanθ，进而根据二倍角的正切函数公式即可计算得解．【解答】解:∵sinθ=,θ∈（0，），∴cosθ==,tan=，∴tan2θ===．故答案为:．9．已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角等于的扇形，则这个圆锥的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先求出底面圆的半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是圆心角为、半径为4的扇形,圆锥的母线l:4，解得圆锥的底面周长：2π,半径：r=1，∴这个圆锥的高是：h==．故圆锥的体积：V=πr2h=,故答案为：．10．已知圆C：x2+y2﹣2ax﹣2y+2=0（a为常数）与直线y=x相交于A,B两点,若∠ACB=，则实数a= ﹣5 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据△ABC是等边三角形列方程解出a．【解答】解：圆心C（a,1），半径r=（a2＞1），圆心C到直线y=x的距离d=，∵若∠ACB=，则△ABC是等边三角形,∴d=r,即=，解得a=1（舍）或a=﹣5．故答案为：﹣5．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=3，S10=40，则nS n的最小值为﹣32 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：设等差数列｛a n}的公差为d,∵a5=3，S10=40,∴a1+4d=3，10a1+d=40,解得a1=﹣5，d=2．∴S n=﹣5n+=n2﹣6n．则nS n=n2（n﹣6）．n≤5时，nS n＜0．n≥6时,nS n≥0．可得：n=4时，nS n取得最小值﹣32．故答案为:﹣32．12．若动直线x=t(t∈R）与函数f（x）=cos2（﹣x)，g（x）=sin （+x）cos（+x)的图象分别交于P、Q两点，则线段PQ长度的最大值为．【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的二倍角公式化简f（x）和g（x)，|PQ｜=|f （t)﹣g（t）｜,即求=｜f（t)﹣g（t）｜的最大值．【解答】解:函数f(x）=cos2（﹣x）=cos（）=sin2x+;函数g（x）=sin（+x）cos(+x)=sin（2x+)=cos2x．由题意，｜PQ|=｜f（t）﹣g(t）|，即|PQ|=sin2t+﹣cos2t|=|sin（2t﹣）｜．当sin（2t﹣)取得最大值时，可得｜PQ|的最大值．∴｜PQ|的最大值为1+=．故答案为：．13．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由三角形的面积公式，S△ABC=2S△MBC，则S△MBC=1，根据三角形的面积公式及向量的数量积，利用余弦定理，即可求得•+2，方法一、利用导数求得函数的单调性，即可求得•+2的最小值；方法二：利用辅助角公式及正弦函数的性质,即可求得•+2的最小值．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半,∴S△ABC=2S△MBC,而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1,S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1,∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM 丨cos∠BMC，显然,BM、CM都是正数,∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一:令y=,则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，)上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为,•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2,则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin(∠BMC+α)=≤1，解得:y≥，则•+2的最小值为2；故答案为:2．14．已知函数f(x）=有两个不相等的零点x1，x2,则+的最大值为．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】对k讨论，当k=0,k＞0，函数f(x）仅有一个零点;当k＜0时,分别求出两个零点，运用换元法，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．【解答】解：由函数f（x）=，当k=0时，f（x）=0，仅有一根x=，不符题意；当k＞0时，x＞1时，f（x）无零点；则0＜x≤1时，f（x）=0的两根为x==,必有一个负的，也不符合题意;故k＜0,由x＞1可得kx+1=0，即x1=﹣,﹣1＜k＜0；由0＜x≤1时，f（x）=0即为k==（﹣1)2﹣1,≥1,可得x2=，则+=﹣k+1+，﹣1＜k＜0，令t=，0＜t＜1，可得﹣k+1+=t﹣（t2﹣1)+1=﹣（t﹣)2+，当t=即k=﹣时，取得最大值，故答案为:．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b，c，若a2+c2+ac=b2，sinA=．（1）求sinC的值;(2)若a=2，求△ABC的面积．【考点】HR:余弦定理．【分析】（1)利用余弦定理可得B，再利用和差公式即可得出．（2)利用正弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解:（1）由a2+c2+ac=b2,∴cosB==．∵B∈（0，π）,∴B=．∵sinA=，A为锐角，∴cosA==．∴sinC=sin=﹣sinA==．（2）由正弦定理得=，∴c==2，∴S△ABC=acsinB==2．16．如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为梯形，CD∥AB,AB=2CD，AC交BD于O，锐角△PAD所在平面⊥底面ABCD，PA⊥BD，点Q在侧棱PC上，且PQ=2QC．求证：（1）PA∥平面QBD；（2）BD⊥AD．【考点】LX：直线与平面垂直的性质；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．（2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，可得PH⊥平面ABCD，即可得PH⊥BD，可得到以BD⊥平面PAD，即BD⊥AD．【解答】解：（1）如图,连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD，所以AO=2OC，又PQ=2QC,所以PA∥OQ，…又OQ⊂平面QBD，PA⊄平面QBD，所以PA∥平面QBD．…(2）在平面PAD内过P作PH⊥AD于H,因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PH⊂平面PAD,所以PH⊥平面ABCD，…又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD，…又AD⊂平面PAD,所以BD⊥AD．…17．如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成,曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分,曲线BCD是圆弧,已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米,圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．（1)求弧所在圆的半径；（2）求桥底AE的长．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】（1)由r2=52+（r﹣1）2，即可求得r，即可求得弧所在圆的半径;（2）建立直角坐标系，由题意设所在圆的方程，列方程组，即可求得圆的方程，曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m）2，求导，根据导数的几何意义,即可求得m的值，求得A和E点坐标，即可求得桥底AE的长为58米．【解答】解:（1）设弧所在圆的半径为r（r＞0），由题意得r2=52+(r ﹣1）2，则r=13，即弧所在圆的半径为13米．…（2）以线段AE所在直线为x轴，线段AE的中垂线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．∵H=6米，BD=10米，弓高h=1米，∴B（﹣5,5)，D（5，5），C（0，6）,设所在圆的方程为x2+(y ﹣b）2=r2,（r＞0)，则，,∴弧的方程为x2+（y+7）2=169(5≤y≤6)…6分设曲线AB所在抛物线的方程为：y=a（x﹣m)2，…由点B（﹣5，5），在曲线AB上∴5=a（5+m）2， …又弧与曲线段AB在接点B处的切线相同，且弧在点B处的切线的斜率为，由y=a（x﹣m）2，y′=2a（x﹣m）,2a（﹣5﹣m）=，2a（5+m）=﹣，…由 得m=﹣29，A(﹣29，0），E（29，0）∴桥底AE的长为58米; …答：（1)弧所在圆的半径为13米；（2）桥底AE的长58米．(答和单位各1分）…18．如图，已知椭圆E:+=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），且点（﹣1，)在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k(k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．（1）求椭圆E的标准方程;（2）若△CF1F2为等腰三角形,求点B的坐标;（3）若F1C⊥AB，求k的值．．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3:椭圆的标准方程．【分析】（1）将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程；(2）分类讨论，求得C点坐标，设直线BC的方程，即可求得点B的坐标；（3）设直线AB的方程,代入椭圆方程，即可求得B点坐标，分别求得BF2及CF1方程，联立，求得C点坐标,代入椭圆方程，即可求得k的值．【解答】解:（1）由题意得a=2，将（﹣1,）代入椭圆方程，解得:b=,∴椭圆E的标准方程:；…(2）由△CF1F2为等腰三角形,且k＞0，则点C在x轴下方，1° 若丨F1C丨=丨F2C丨，则C（0，﹣）;2° 若丨F1F2丨=丨CF2丨，则丨CF2丨=2，C（0，﹣）；3° 若丨F1C丨=丨F1F2丨，则丨CF1丨=2，C（0，﹣）;∴C(0，﹣）;∴直线BC的方程y=(x﹣1）,由，得或，∴B（，)；（不讨论扣2分）…（3）设直线AB的方程l AB：y=k（x+2)，由，整理得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴x A•x B=﹣2x B=，x B=,y B=k（x B+2）=,B（，) …若k=，则B（1，），C（1，﹣），由F1（﹣1，0），则=﹣,F1C与AB不垂直；∴，由F2（1，0）,=，=﹣,∴直线BF2的方程，直线CF1的方程:由，解得，∴C（8k2﹣1，﹣8k）…又点C在椭圆上得，即（24k2﹣1）（8k2+9）=0，即，∵k＞0，∴。

2023年江苏省扬州市邗江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）1．下列比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1C．−√3D．−√52．下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．2a+3b＝5abC．a6÷a3＝a2D．a3•a2＝a53．如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．长方体B．球C．三棱柱D．圆柱4．扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下：则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（）A．48，48B．50，48C．48，50D．50，50̂上，则∠CME的度数为（）5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在ABA．30°B．36°C．45°D．60°6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若△DOE的面积与△COB的面积的比为4：25，则AD：DB等于（）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．4：257．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，当EF ＝AE 时，tan ∠ADB ＝（ ）A ．12B ．√33C ．√5−12D ．238．现有一列数a 1，a 2，a 3，…，a 2021，a 2022，a 2023，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果a 2022＝2022，a 2023＝2023，则a 1+a 2+a 3+…+a 2021+a 2022+a 2023的值为（ ） A ．2022B ．2023C ．4044D ．4045二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）9．据报道，今年二季度，扬州全市计划开工亿元以上厦大项目174个，总投资约1604亿元．数据1604亿元用科学记数法表示为 元． 10．在函数y =1x−2中，自变量x 的取值范围是 ． 11．因式分解mx 2+2mx +m ＝ ．12．如图，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数为 ．13．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于 ．14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长及阔各几步”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO 是正方形，已知点C （2，1），则点B 的坐标是 ．16．若代数式（x ﹣2）（x ﹣k ）（x ﹣4）化简运算的结果为x 3+ax 2+bx +8，则a +b ＝ ．17．反比例函数y 1=3x、y 2=k x的部分图象如图所示，点A 为y 1=3x（x ＞0）的图象上一点，过点A 作y 轴的平行线交y 2=k x 的图象于点B ，C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，S △ABC ＝2，则k ＝ ．18．如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，点P 是边AB 上的动点，过点P 作PH ∥BC 交AC 于点H ，则PH +PC 的最小值为 ．三、解答题（共10题，满分96分．在答题卡相应的题号后答题区域内作答．必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图．） 19．计算或化简：（1）（12）﹣1﹣3tan30°+|3−√12|；（2）a 2+aa 2−2a+1÷（2a−1−1a）．20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m 的值．21．春暖花开日，正是读书时．在第28个“世界读书日”来临之际，某校开展可主题为“遇见美好，喜‘阅’发生”的读书系列活动．为了解学生平时的阅读时情况，从全校随机抽取了100名学生进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（t/分钟）．将收集的数据分为A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：平均每天阅读时间统计表请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）x＝；y＝；（2）在扇形统计图中，E组所对应的扇形的圆心角是度；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“喜‘阅’达人”．若全校学生以1600人计算，试估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数．22．根据党中央对“精准扶贫，科教扶贫”的要求，某校将选派2名教师去贫困山区学校支教，现有刘老师、王老师、张老师、李老师符合条件报名参加，学校决定从这4位老师中任意选派2名前往．（1）“赵老师被选派”是事件，“王老师被选派”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）用画树状图或列表的方法表示这次选派所有可能的结果，并求出“王老师被选派”的概率．23．（10分）如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P是边AD上一点，PM∥BD交AC于M点，PN⊥BD于N点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）若AD＝5，AC＝6，当四边形OMPN是正方形时，求AP的长．24．（10分）某国产品牌汽车企业在“五一”前夕发布了两款价格相同、续航里程相同、类别不同的汽车，两款汽车的部分参数信息如下表：（1）若两款车的续航里程均为a 千米，则燃油汽车的每千米行驶费用是 元，电动汽车的每千米行驶费用是 元（用含a 的代数式表示）；（2）经测算，电动汽车的每千米行驶费用比燃油汽车便宜0.5元，请求出续航里程a 的值；（3）在（2）求得的续航里程a 值的情况下，燃油汽车和电动汽车每年还有其他费用分别为4800元和7550元，当每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）25．（10分）如图，已知点B 在直线MN 上，A 点是直线MN 外一点．（1）请你用无刻度的直尺和圆规作⊙O ，使⊙O 经过点A 且与直线MN 相切于点B （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AB ，若AB ＝5cm ，tan ∠ABN =34，求⊙O 的半径．26．（10分）如图，△ABC 是⊙O的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，过C 点作⊙O 的切线CD ，且BD ＝BC ，直线CD 与直径AB 的反向延长线交于P 点． （1）探究∠CBD 与∠ABC 之间的数量关系，并说明理由； （2）若AB ＝6，sin P =13，求CD 的长．27．（12分）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：y＝x2﹣4|x|+3的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题：（1）列表，列出y与x的几组对应值如表：表格中，a＝．（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象．（3）观察图象，性质及其运用：①当x时，y随x的增大而增大；②求函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标；③若函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点，请求出b的取值范围．28．（12分）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．（1）如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB＝AC，AD ＝AE，∠BAC＝∠DAE＝m°，连接CE，则CE BD（填“＜”或“＝”或“＞”），∠BCE＝°（用含m的代数式表示）；（2）如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理由；（3）如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，BC＝6，过D点作DF⊥AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，直接写出F点运动的路径长．2023年江苏省扬州市邗江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填涂在答题卡中相应的位置上．）1．下列比﹣2小的数是（）A．0B．﹣1C．−√3D．−√5解：因为|−√5|＞|﹣2|＞|−√3|，所以−√5＜−2＜−√3＜−1＜0，所以比﹣2小的数是−√5．故选：D．2．下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．2a+3b＝5abC．a6÷a3＝a2D．a3•a2＝a5解：A、因为（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误；B、因为2a与3b不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，可知a6÷a3＝a6﹣3＝a3，故本选项错误；D、根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可知a3•a2＝a3+2＝a5，故本选项正确．故选：D．3．如图是某几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．长方体B．球C．三棱柱D．圆柱解：∵主视图与左视图是矩形，俯视图是圆，∴该几何体是圆柱．故选：D．4．扬州是著名的长毛绒玩具之都．生产的长毛绒玩具深受国内外游客青睐．今年“烟花三月”国际经贸旅游节期间，某玩具商店一个星期销售的长毛绒玩具数量如下：则这个星期该玩具商店销售长毛绒玩具的平均数和中位数分别是（）A．48，48B．50，48C．48，50D．50，50解：这个星期该玩具店销售长毛绒玩具的平均数x=17×（35+47+48+50+42+60+68）＝50（件）；将这7天销售长毛绒玩具的数量从小到大排列：35，42，47，48，50，60，68，处在中间位置的一个数，即第4个数是48，因此中位数是48．故选：B．5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在AB̂上，则∠CME的度数为（）A．30°B．36°C．45°D．60°解：连接OC，OD，OE，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME=12∠COE＝60°，故选：D．6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且DE∥BC，BE、CD相交于点O，若△DOE的面积与△COB的面积的比为4：25，则AD：DB等于（）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．4：25解：∵DE ∥BC ， ∴△DOE ∽△COB ， ∴S △DOE S △BOC =（DE BC）2=425， ∴DE BC=25，∵DE ∥BC ， ∴AD AB=25，∴AD ：DB ＝2：3． 故选：A ．7．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别是E 、F ，当EF ＝AE 时，tan ∠ADB ＝（ ）A ．12B ．√33C ．√5−12D ．23解：设EF ＝AE ＝x ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，CD ＝AB ， ∴∠CDF ＝∠ABE ， ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ， ∴∠CFD ＝∠AEB ＝90°， ∴△CFD ≌△AEB （AAS ）， ∴CF ＝AE ＝x ，∵∠ABE +∠ADE ＝90°，∠ADE +∠DAE ＝90°， ∴∠ABE ＝∠DAE ，∴△ABE ∽△DAE ，∴△CFD ∽△DAE ，∴AD DC =AE DF =DE CF ， ∴x DE =DF+x x ，∴DF 2+xDF ﹣x 2＝0，∴DF =−x+√5x 2或DF =−x−√5x 2（舍去）， ∴tan ∠ADB =AE DE =x −x+5x 2=√5−12， 故选：C ． 8．现有一列数a 1，a 2，a 3，…，a 2021，a 2022，a 2023，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果a 2022＝2022，a 2023＝2023，则a 1+a 2+a 3+…+a 2021+a 2022+a 2023的值为（ ）A ．2022B ．2023C ．4044D ．4045解：∵任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，如果a 2022＝2022，a 2023＝2023，∴这列数字为：2023，1，﹣2022，﹣2023，﹣1，2022，2023，1，﹣2022，﹣2023，﹣1，2022，2023， (2023)∴a 1+a 2+a 3+…+a 2021+a 2022+a 2023的值为：2023，故选：B ．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）9．据报道，今年二季度，扬州全市计划开工亿元以上厦大项目174个，总投资约1604亿元．数据1604亿元用科学记数法表示为 1.604×1011 元．解：1604亿＝1604×108＝1.604×1011．故答案为：1.604×1011．10．在函数y =1√x−2中，自变量x 的取值范围是 x ＞2 ． 解：由题意得，x ﹣2＞0，解得x ＞2．故答案为：x ＞2．11．因式分解mx 2+2mx +m ＝ m （x +1）2 ．解：原式＝m （x 2+2x +1）＝m （x +1）2，故答案为：m （x +1）2．12．如图，直线a ∥b ，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数为 34° ．解：如图，过点B作BC∥b，∵∠1＝56°，∴∠DBC＝∠1＝56°，∵∠DBC+∠ABC＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠DBC＝90°﹣56°＝34°，∵a∥b，AB∥b，∴AB∥a，∴∠2＝∠ABC＝34°．故答案为：34°．13．若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积等于6π．解：圆锥的侧面积＝πrl＝2×3π＝6π．故答案为：6π．14．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长及阔各几步”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为x（x+12）＝864．解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（2，1），则点B的坐标是（1，3）．解：如图，过点B作BD⊥y轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵C点坐标为（2，1），∴OE＝2，CE＝1，∴OC=√12+22=√5，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC=√5，∵∠CEO＝∠A，∠AOD＝∠COE，∴△COE∽△GOA，∴OCOG =OEOA，OG=52，∴AG=√OG2−OA2=√52，∴BG＝AB﹣AG=√5−√52=√52，∵∠BDG＝∠A，∠BGD＝∠OGA，∴△BDG∽△OAG，BD OA =DGAG=BGOG=√55，∴DG=12，BD＝1，∴OD＝OG+DG=52+12=3，∴B （1，3）；故答案为：（1，3）．16．若代数式（x ﹣2）（x ﹣k ）（x ﹣4）化简运算的结果为x 3+ax 2+bx +8，则a +b ＝ ﹣3 ．解：∵（x ﹣2）（x ﹣k ）（x ﹣4）＝（x 2﹣6x +8）（x ﹣k ）＝x 3+（﹣k ﹣6）x 2+（6k +8）x ﹣8k ，∴{−k −6=a6k +8=b −8k =8，解得{a =−5b =2k =−1，∴a +b ＝﹣5+2＝﹣3，故答案为：﹣3．17．反比例函数y 1=3x 、y 2=k x 的部分图象如图所示，点A 为y 1=3x （x ＞0）的图象上一点，过点A 作y 轴的平行线交y 2=k x 的图象于点B ，C 是y 轴上任意一点，连接AC 、BC ，S △ABC ＝2，则k ＝ ﹣1 ．解：连接OB 、OA ，AB 与x 轴交于点D ，如图，∵OC ∥BA ，∴S △OBA ＝S △ABC ，∵S △AOB ＝S △OAD +S △OBD ，∴12|k |+12×3＝2， ∴|k |＝1，而k ＜0，∴k ＝﹣1．故答案为：﹣1．18．如图，在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，点P 是边AB 上的动点，过点P 作PH ∥BC交AC 于点H ，则PH +PC 的最小值为 85 ．解：如图，作点C 关于AB 的对称点C ′，连接CC ′，交AB 与点D ，作C ′H ⊥AC 交AB 与点P ，垂足为H ，连接PC ，由对称得，PC ＝PC ′，∴PH +PC ＝PH +PC ′，∵点到直线间垂线段最短，∴C ′H 为所求，在Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝2，∴AB =√12+22=√5，∵S △ABC =12BC •AC =12AB •CD∴CD =BC⋅AC AB =1×2√5=2√55， 由对称得，CC ′＝2CD =4√55， ∵∠C ′＝∠A ，∴△CC ′H ∽△ABC ，∴C ′H ：AC ＝CC ′：AB ，即C ′H ：2=4√55：√5，∴C ′H =85．故答案为：85． 三、解答题（共10题，满分96分．在答题卡相应的题号后答题区域内作答．必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，作图时，必须使用黑色碳素笔在答题卡上作图．）19．计算或化简：（1）（12）﹣1﹣3tan30°+|3−√12|； （2）a 2+aa 2−2a+1÷（2a−1−1a ）． 解：（1）原式＝2﹣3×√33+√12−3＝2−√3+2√3−3=√3−1；（2）原式=a(a+1)(a−1)2÷2a−a+1a(a−1)=a(a+1)(a−1)2•a(a−1)a+1 =a 2a−1． 20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程两个实数根的差为3，求m 的值．（1）证明：∵一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2＝0，∴Δ＝（1﹣m ）2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣2m +1﹣4m +8＝（m ﹣3）2．∵（m ﹣3）2≥0，∴Δ≥0．∴该方程总有两个实数根．（2）解：∵一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2＝0，解方程，得x 1＝1，x 2＝m ﹣2．∵该方程的两个实数根的差为3，∴|1﹣（m ﹣2）|＝3．∴m ＝0或m ＝6．综上所述，m 的值是0或6．21．春暖花开日，正是读书时．在第28个“世界读书日”来临之际，某校开展可主题为“遇见美好，喜‘阅’发生”的读书系列活动．为了解学生平时的阅读时情况，从全校随机抽取了100名学生进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（t /分钟）．将收集的数据分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）：平均每天阅读时间统计表请根据图表中的信息，解答下列问题：（1）x＝20；y＝32；（2）在扇形统计图中，E组所对应的扇形的圆心角是115.2度；（3）学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“喜‘阅’达人”．若全校学生以1600人计算，试估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数．解：（1）由题意得，x＝100×20%＝20，y＝100﹣2﹣5﹣20﹣41＝32；故答案为：20；32；（2）在扇形统计图中，E组所对应的扇形的圆心角是360°×32100=115.2°；故答案为：115.2；（3）1600×32100=512（人），答：估计被评为“喜‘阅’达人”的学生人数大约为512人．22．根据党中央对“精准扶贫，科教扶贫”的要求，某校将选派2名教师去贫困山区学校支教，现有刘老师、王老师、张老师、李老师符合条件报名参加，学校决定从这4位老师中任意选派2名前往．（1）“赵老师被选派”是不可能事件，“王老师被选派”是随机事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）用画树状图或列表的方法表示这次选派所有可能的结果，并求出“王老师被选派”的概率．解：（1）“赵老师被选派”是不可能事件，“王老师被选派”是随机事件，故答案为：不可能，随机；（2）把刘老师、王老师、张老师、李老师分别记为A、B、C、D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中“王老师被选派”的结果有6种，∴“王老师被选派”的概率为612=12． 23．（10分）如图，在菱形ABCD 中，O 为AC ，BD 的交点，P 是边AD 上一点，PM ∥BD 交AC 于M 点，PN ⊥BD 于N 点．（1）求证：四边形OMPN 是矩形；（2）若AD ＝5，AC ＝6，当四边形OMPN 是正方形时，求AP 的长．（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵PM ∥BD ，∴PM ⊥AC ．∵PN ⊥BD ，∴∠AOD ＝∠PMO ＝∠PNO ＝90°，∴四边形OMPN 是矩形；（2）解：∵四边形OMPN 是正方形，∴PM ＝MO ＝ON ＝PN ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AO =12AC ＝3，∴OD =√AD 2−AO 2=4．设PM ＝MO ＝ON ＝PN ＝x ，则AM ＝3﹣x ．∵PM ∥BD ，∴△AMP ∽△AOD ，∴AM AO =MP OD ，∴3−x 3=x 4， ∴x =127．∵△AMP ∽△AOD ，∴AP AD =MP OD ，∴AP 5=1274，∴AP =157． 24．（10分）某国产品牌汽车企业在“五一”前夕发布了两款价格相同、续航里程相同、类别不同的汽车，两款汽车的部分参数信息如下表：（1）若两款车的续航里程均为a 千米，则燃油汽车的每千米行驶费用是340a 元，电动汽车的每千米行驶费用是 33a 元（用含a 的代数式表示）； （2）经测算，电动汽车的每千米行驶费用比燃油汽车便宜0.5元，请求出续航里程a 的值；（3）在（2）求得的续航里程a 值的情况下，燃油汽车和电动汽车每年还有其他费用分别为4800元和7550元，当每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）解：（1）根据题意得：燃油汽车的每千米行驶费用是8.5×40a =340a 元， 电动汽车的每千米行驶费用是0.55×60a =33a 元． 故答案为：340a ，33a ；（2）根据题意得：340a −33a =0.5，解得：a ＝614， 经检验，a ＝614是所列方程的解，且符合题意．答：续航里程a 的值为614；（3）设每年行驶里程为x 千米，根据题意得：340614x +4800＞33614a +7550，解得：x ＞5500．答：当每年行驶里程超过5500千米时，买电动汽车的年费用更低．25．（10分）如图，已知点B 在直线MN 上，A 点是直线MN 外一点．（1）请你用无刻度的直尺和圆规作⊙O ，使⊙O 经过点A 且与直线MN 相切于点B （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AB ，若AB ＝5cm ，tan ∠ABN =34，求⊙O 的半径．解：（1）如图：⊙O 即为所求；（2）∵OB ⊥MN ，∴∠ABO +∠ABN ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠OCB ＝90°，BC =12AB =2.5cm ，∴∠BOC +∠ABO ＝90°，∴∠BOC ＝∠ABN ，∴tan ∠ABN ＝tan ∠BOC =34=BC OC =2.5OC ，解得：OC =103， ∴OB =√OC 2+BC 2=256．26．（10分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，过C 点作⊙O 的切线CD ，且BD ＝BC ，直线CD 与直径AB 的反向延长线交于P 点．（1）探究∠CBD 与∠ABC 之间的数量关系，并说明理由；（2）若AB＝6，sin P=13，求CD的长．解：（1）∠CBD＝2∠ABC，理由如下：作BH⊥DC于H，连接OC，∵PD切⊙O于C，∴OC⊥PD，∴OC∥BH，∴∠OCB＝∠CBH，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBH＝∠OBC，∵BC＝BD，BH⊥CD于H，∴∠CBD＝2∠CBH，CD＝2CH，∴∠CBD＝2∠ABC；（2）∵∠OCP＝90°，∴sin P=OCOP=13，∵AB＝6，∴OC=12AB=12×6＝3，∴OP＝9，∴PC=√PO2−OC2=6√2，∵OC∥BH，∴PC：CH＝PO：OB，∴6√2：CH＝9：3，∴CH＝2√2，∴CD＝2CH＝4√2．27．（12分）通过课本上对函数的学习，我们积累了研究函数性质的经验，以下是小明探究函数M：y＝x2﹣4|x|+3的图象和性质的部分过程，请按要求回答问题：（1）列表，列出y与x的几组对应值如表：表格中，a＝﹣1．（2）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出函数M的图象．（3）观察图象，性质及其运用：①当x＞2或﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大；②求函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+3的交点坐标；③若函数M：y＝x2﹣4|x|+3与直线l：y＝2x+b只有两个交点，请求出b的取值范围．解：（1）当x＝2时，y＝22﹣4×|2|+3＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）如图所示：（3）由图象可得：①x ＞2或﹣2＜x ＜0，y 随x 的增大而增大，故答案为：＞2或﹣2＜x ＜0；②y ＝x 2﹣4|x |+3={x 2−4x +3(x ≥0)x 2+4x +3(x ＜0)， 当x ≥0时，联立方程组{y =2x +3y =x 2−4x +3， 解得{x =0y =3或{x =6y =15， ∴y ＝x 2﹣4x +3与y ＝2x +3的交点坐标为（0，3）和（6，15）；当x ＜0时，{y =2x +3y =x 2+4x +3， 解得{x =−2y =−1或{x =0y =3（舍去）． 综上，y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +3的交点坐标为（0，3），（6，15），（﹣2，﹣1）；③如图，当直线l ：y ＝2x +b 经过点（3.0）时，即0＝2×3+b ，解得b ＝﹣6，此时函数M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 只有1个交点，当x ＜0时，且函数M ：y ＝x 2+4x +3与直线l ：y ＝2x +b 相切时，此时函数M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 恰有3个交点，由2x +b ＝x 2+4x +3，即x 2+2x +3﹣b ＝0有两个相等的实数根，得到Δ＝22﹣4（3﹣b ）＝0，解得b ＝2，∴当﹣6＜b ＜2时，函数M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 只有两个交点，当直线l ：y ＝2x +b 经过点（﹣2．﹣1）时，即﹣1＝2×（﹣2）+b ，解得b ＝3，此时函缕M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 恰有三个交点，∴由图象可知，当b ＞3时，函数M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 只有两个交点，综上可知，若函数M ：y ＝x 2﹣4|x |+3与直线l ：y ＝2x +b 只有两个交点，b 的取值范围是b ＞3或﹣6＜b ＜2．28．（12分）给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．（1）如图①，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点（异于B点），AB＝AC，AD ＝AE，∠BAC＝∠DAE＝m°，连接CE，则CE＝BD（填“＜”或“＝”或“＞”），∠BCE＝（180﹣m）°（用含m的代数式表示）；（2）如图②，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一点，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＝∠DAE＝60°，M、N分别是底边BC、DE的中点，请探究MN与CE的数量关系，并说明理由；（3）如图③，△ABC和△ADE互为“友好三角形”，点D是BC边上一动点，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，BC＝6，过D点作DF⊥AD，交直线CE于F点，若点D从B点运动到C点，直接写出F点运动的路径长．解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝m°，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝m°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣m°＝（180﹣m）°；故答案为：＝；（180﹣m）；（2）MN=√32CE；理由如下：如图②，在CM上截取CH，使CH＝BD，连接EH交AC于K，∵点M是BC的中点，∴BM＝CM，∴DM＝HM，∵点N是DE的中点，∴DN＝EN，∴MN是△DEH的中位线，∴MN=12 HN，∴CH＝CE，由（1）知，∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，由（1）知，BD＝CE，∵CH＝BD，∴∠CKE＝90°，EK=12EH，MN=12HE，∴MN＝EK，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝60°，在Rt△CKE中，sin∠ACE=EKCE=sin60°=√32，∴MN =√32CE ；（3）如图③，过点A 作AG ⊥BC 于G ，则AG ＝BG ＝CG =12BC ＝3，当点D 在AG 上时，点F 在EC 的延长线上，过点B 作AB 的垂线交EC 于F '，当点D 从点B 运动到点G 时，点F 从F '运动到C ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠CBF '＝45°，同（1）的方法得，∠ACE ＝45°，∴∠BCE ＝90°，∴CF '＝BC ＝6，当点D 在CG 上时，过点D '作AD '的垂线交CE 于L ，∴∠AD 'G +∠LD 'C ＝90°，∵∠D 'AG +∠AD 'G ＝90°，∴∠D 'AG ＝∠LD 'C ，∵∠AGD '＝∠D 'CL ，∴△AD 'G ∽△D 'LC ，∴D′G CL =AG CD′，设D 'G ＝x ，CL ＝y ，则CD '＝3﹣x ，∴x y=33−x ， ∴y =13（x −32）2+34，当x=32时，即点D'在CG的中点时，y最大=34，当x＝3时，即点D'在CG的中点时，y＝0，即点D'从点G运动C，点F从点C运动到CL最大，再从最大运动到点C，∴F点运动的路径长为CF'+2×34=152．。

江苏省扬州中学2017届高三数学5月考第I 卷（共160分）一.填空题：1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={1，2，3，5}，则∁U （A ∩B ）= ． 2．“1x >”是“11x<”的 条件． （填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 3．如图所示，该伪代码运行的结果为 .4. 已知一组数据为8,12,10,11,9.则这组数据方差为____________.5. 已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|45|z i -+的最小值等于 . 6.已知向量夹角为45°，且，则= ．7．函数3()f x x ax =+在(1,2)处的切线方程为 .8．在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2220x ax a +-<的一个解的概率大小为_____ __.9．已知正四棱锥的体积是48cm 3，高为4cm ，则该四棱锥的侧面积是 cm 2． 10.若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的最大值为__________ ____． 11.由直线3-=x y 上的点向圆1)3()2(22=-++y x 引切线，则切线长的最小值为 . 12.直角ABC ∆的三边c b a ,,满足9853≤≤≤≤≤≤c b a ，则ABC ∆面积的最大值是 . 13.设数列{}n a 满足831=a ，且对任意的*N n ∈，满足n n n n n n a a a a 310,342⨯≥-≤-++ 则2017a =____________ __.14．如图，直角梯形ABCD 中， AB ∥,CD AB AD ⊥，S←0 p ←1While S≤15 S←S+p p ←p+2 End While Print p第3题图DCAE222AB CD AD===.在等腰直角三角形CDE中，090C∠=，点,M N分别为线段,BC CE上的动点，若52AM AN⋅=u u u u r u u u r，则MD DN⋅u u u u r u u u r的取值范围是_____________.二．解答题：15. （本小题14分）已知,αβ均为锐角,且3sin5α=,1tan()3αβ-=-.(1)求sin()αβ-的值; (2)求cosβ的值.菱形，3BADπ∠=，16. （本小题14分）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是PA PD=，F为AD的中点，PD BF⊥.（1）求证：AD PB⊥；（2）若菱形ABCD的边长为6，5PA=，求四面体PBCD的体积；17.（本小题14分）如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120o，,AB AC的长度均大于200米，现在边界,AP AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？（2）已知竹篱笆长为503米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围.18．（本小题16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，左、右焦点分别为圆12F F、，M 是C上一点，12MF=，且1212||||2MF MF MF MF=⋅u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r.（1）求椭圆C的方程；（2）当过点()4,1P的动直线l与椭圆C相交于不同两点,A B时，线段AB上取点Q，且Q满足AP QB AQ PB=u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程．16图PA BCDEF19. （本小题16分）已知函数221()xax bx f x e++=（e 为自然对数的底数). （1）当0==b a 时，直接写出)(x f 的值域（不要求写出求解过程）； （2）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （3）若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.20. （本小题16分） 若数列{}n a 和{}n b 的项数均为n ，则将∑=-ni i ib a1||定义为数列{}n a 和{}n b 的距离.(1) 已知2n na =,21nb n =+*∈N n ,求数列{}n a 和{}n b 的距离n d .(2) 记A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为n .若12b =， 13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离大于2017，求n 的最小值.(3) 若存在常数M ＞0,对任意的*∈N n ，恒有M b ani i i≤-∑=1||则称数列{}n a 和{}n b 的距离是有界的.若}{n a 与}{1+n a 的距离是有界的，求证：}{2n a 与}{21+n a 的距离是有界的.第Ⅱ卷（共40分）21B.矩阵与变换（本小题满分10分）若点A(2，2)在矩阵M=cos sin sin cos a a a a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应变换的作用下得到的点为B(一2，2)，求矩阵M 的逆矩阵．21C.坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12cos 6sin 0ρθθρ--+=，直线l 的参数方程为132332x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A B 、两点，点P 的坐标为()3,3，求PA PB +的值.22. （本题满分10分）如图，在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1E=CF=1． （1）求两条异面直线AC 1与D 1E 所成角的余弦值； （2）求直线AC 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）已知非空有限实数集S 的所有非空子集依次记为S 1，S 2，S 3，……，集合S k 中所有元素的平均值记为b k ．将所有b k 组成数组T ：b 1，b 2，b 3，……，数组T 中所有数的平均值记为m (T )．（1）若S={1，2}，求m (T )；（2）若S ＝{a 1，a 2，…，a n }（n ∈N *，n ≥2），求m (T )．江苏省扬州中学2017届高三数学5月考答案一．填空题：1.{2，4，6}；2. 充分不必要；3. 9 ; 4 .2; 5 5 ;6. 3; 7. 42y x =-; 8. 0.7 ; 9. 60; 10. 92-11.31; 12. 145; 13. 83201714.22512⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，;13. 【提示】：由n n n a a 32≤-+得n nn a a +≤+32，所以()n n n n n n a a a ++≤+≤++++3332224，即n n n a a +⨯≤+3104； 由n n n a a 3104⨯≥-+得nn n a a 3104⨯+≥+；所以可以得到n n n n n a a a +⨯≤≤⨯++3103104即n nn a a +⨯=+3104,再累加.14.【提示】以直线DC 为x 轴， CE 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则()1,1A --， ()1,1B -， ()0,1E ， ()1,0D -，设()0,N b ， (),M a a -， ()01,01a b ≤≤≤≤，则()()()()51,11,11112AM AN a a b a a b ⋅=+-+⋅+=++-++=u u u u r u u u r ， 12b ab -=， ()121b a =-，由01b ≤≤知1112a ≤-≤，二．解答题：15.解:(1)∵π,(0,)2αβ∈,从而ππ22αβ-<-<.又∵1tan()03αβ-=-<,∴π02αβ-<-<∴10sin()10αβ-=- …………………………7分(2)由(1)可得,310cos()10αβ-=.∵α为锐角,3sin 5α=,∴4cos 5α=∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-=4310310()510510⨯+⨯-=91050……………………14分16.（1）证明：连接PF ，Q PA PD =，F 为AD 的中点，∴PF AD ⊥， 在底面菱形ABCD 中，3BAD π∠=，F 为AD 的中点，易得BF AD ⊥， 又,PF BF ⊂平面PBF ,∴AD ⊥平面PBF ,Q PB ⊂平面PBF ，∴AD PB ⊥；……………………………7分 （2）解：由（1）得BF AD ⊥，又Q PD BF ⊥， ,AD PD PAD ⊂平面，∴BF PAD ⊥平面，又BF ABCD ⊂平面,∴PAD ABCD ⊥平面平面,由（1）得PF AD ⊥，=PAD ABCD AD I 平面平面，∴PF ABCD ⊥平面，∴PF 就是P 点到平面BCD 的距离，在直角PAF ∆中，5PA =，3AF =，90PFA ∠=o ，则4PF =，∴四面体PBCD 的体积1113664123332P BCD BCD V V S PF -∆==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=……………………………14分17.解:设AP x = (米)，则200AQ x =-,所以()2013200200sin12025003242APQS x x ∆⎛⎫=-≤= ⎪⎝⎭(米2)当且仅当200x x =-时，取等号。

绝密★启用前江苏省扬州市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学试题2020年5月(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生． S ←0For I From 1 To 5S ←S ＋IEnd ForPrint S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1,1},b ＝{－3,1,2},则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合,则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角,且cos(α＋π6)＝13,则cos α＝________． 9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1a 6＝3a 3,且a 4与a 5的等差中项为2,则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,AB ＝2,AA 1＝3,O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1,S 2,则S 1S 2＝________． 11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x,直线l ：y ＝ax －a,则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0,y ＞0,则x ＋y x ＋16xy的最小值为________． 13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点,点A 的坐标为(1,0),且AM →·AN →＝1,则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n 4∉N *，a n ，n 4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n,若S 4n ≤λ·2n －1恒成立,则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题,共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中,已知2S ＝bccos A,其中S 为△ABC 的面积,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65,求sin 2C 的值．。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ；(2) 四边形ACC 1A 1为矩形．17. (本小题满分14分)某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点．(1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值；(3) 求AC →·AD →的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a(x －1x)(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分) 对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州) 数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点．又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分)因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分)又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1.又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分)设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分) (3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x ＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减．又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分) 思路二：假设mn ≥1，则2mn －2≥0，ln(mn)≥0，所以a(2mn －2)－ln(mn)≤0， 这与a(2mn －2)－ln(mn)＞0矛盾，故mn ＜1.(10分) ②解：u(x)＝xf(x)－g(x)＝a(x 2－1)－ln x ，当a ＞0时，u ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x .令u′(x)＝0得x ＝±12a(负值舍去)． 所以当x ∈(0，12a)时，u ′(x)＜0，u(x)为减函数； 当x ∈(12a，＋∞)时，u ′(x)＞0，u(x)为增函数． 又u(1)＝0， 1° 当12a ＝1，即a ＝12时，u(x)有1个零点；(12分) 2° 当12a ＜1，即a ＞12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 又u(e －a )＞0，且e －a ＜1，所以u(x)在(0，1)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点；(14分) 3° 当12a ＞1，即0＜a ＜12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 令φ(x)＝ln x －(x －1)，则φ′(x)＝1x －1＝1－x x，所以当x ∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，故ln x ≤x －1，则－ln x ≥－(x －1)．所以u(x)＞a(x 2－1)－(x －1)，所以u(1a －1)＞0，且1a －1＞1，所以u(x)在(1，＋∞)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点．综上，当a ＝12时，u(x)有1个零点；当a ＞0时a ≠12时，u(x)有2个零点．(16分)20. 解：(1) 因为a n ＝n 2，所以Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，则Δa n ＋1－Δa n ＝2.又Δa 1＝3，所以{Δa n }是首项为3，公差为2的等差数列．因为Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2，则{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列．(2分)(2) 因为数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，所以b n ＝b 1q n －1.又Δ2b n ＝Δb n ＋1－Δb n ＝b n ＋2－b n ＋1－(b n ＋1－b n )＝b n ＋2－2b n ＋1＋b n ，且对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，所以对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b 1q n ＋1－2b 1q n ＋b 1q n －1＝b 1q m －1，即(q －1)2＝q m －n .因为q ≥2，所以m －n ≥0. 1° 若m －n ＝0，则q 2－2q ＋1＝1，解得q ＝0(舍)或q ＝2，即当q ＝2时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n .2° 若m －n ＝1，则q 2－3q ＋1＝0，解得q ＝3－52(舍)或q ＝3＋52，即当q ＝3＋52时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n ＋1.3° 若m －n ≥2，则q m －n ≥q 2＞(q －1)2，故对任意的n ∈N *，不存在m ∈N *，使得Δ2b n＝b m .综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3＋52.(8分) (3) 因为Δ2c n ＝0，所以Δ2c n ＝Δc n ＋1－Δc n ＝c n ＋2－c n ＋1－(c n ＋1－c n )＝c n ＋2－2c n ＋1＋c n ＝0，所以c n ＋2－c n ＋1＝c n ＋1－c n ，所以{c n }是等差数列．设{c n }的公差为d ，则c n ＝c 1＋(n －1)d. 若d ＝0，则c m ＝c n ；若d ＜0，则当n ＞1－c 1d 时，c n ＜0，与数列{c n }的各项均为正数矛盾，故d ＞0.(10分)由等差数列前n 项和公式可得S n ＝d 2n 2＋(c 1－d2)n ，所以S n ＋S m ＝d 2n 2＋(c 1－d 2)n ＋d 2m 2＋(c 1－d 2)m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d2)(m ＋n)，S k ＝d 2(m ＋n 2)2＋(c 1－d 2)·m ＋n2.又m ≠n ，m 2＋n 22＞（m ＋n ）24，所以S n ＋S m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d 2)(m ＋n)＞d 2·（m ＋n ）22＋(c 1－d 2)(m ＋n)＝2S k ， 则当t ≤2时，不等式S m ＋S n ＞tS k 都成立．(12分)另一方面，当t ＞2时，令m ＝k ＋1，n ＝k －1(k ∈N *，k ≥2)，则S m ＋S n ＝d 2[(k ＋1)2＋(k －1)2＋(c 1－d 2)·2k]＝d 2(2k 2＋2)＋2k(c 1－d 2)， S k ＝d 2k 2＋(c 1－d 2)k ， 则tS k －(S m ＋S n )＝d 2tk 2＋(c 1－d 2)tk －d 2(2k 2＋2)－2k(c 1－d 2) ＝(d 2t －d)(k 2－k)＋(t －2)c 1k －d. 因为d 2t －d ＞0，k 2－k ≥0，所以当k ＞d （t －2）c 1，tS k －(S n ＋S m )＞0，即S m ＋S n ＜tS k . 综上，t 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：(1) 用待定系数或公式可求得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1.(5分) (2) 设直线l 上任一点(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下为(x′，y ′)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′在x ＋3y ＝0上，(8分) 则－3x ＋2y ＋6x －3y ＝0，即3x －y ＝0，所以直线l 的方程为3x －y ＝0.(10分)22. 解：把直线的方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1.(3分) 圆ρ＝22sin (θ－π4)化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22.(8分) 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（2）2－（22）2＝ 6.(10分)23. 解：(1) 因为n ＝A 35＝60，m ＝A 13A 24＝36，所以P 1＝3660＝35. 答：摸到三位数是奇数的概率是35.(4分) (2) 获奖金额X 的可能取值为50，100，200，300，400，500，则P(X ＝50)＝35，P(X ＝100)＝1×3×260＝110，P(X ＝200)＝1×3×160＝120， P(X ＝300)＝1×3×260＝110，P(X ＝400)＝1×3×160＝120，P(X ＝500)＝1×3×260＝110，(7分) 获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝50×35＋100×110＋200×120＋300×110＋400×120＋500×110＝150元． 答：期望是150元．24. 解：(1)1k ＋1C k n ＝1k ＋1·n ！k ！（n －k ）！＝1n ＋1·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！＝1n ＋1C k ＋1n ＋1.(2分)(2) (－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020＝∑2 020k ＝0(－1)k 1k ＋1C k 2 020＝12 021∑2 020k ＝0(－1)k C k ＋12 021＝12 021.(4分) (3) (解法1)设a n ＝∑n k ＝0(－1)k C k n 2k ＋2， 则a n ＝1＋∑n －1k ＝1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)2k ＋2＋(－1)n 2n ＋2＝a n －1＋∑n k ＝1(－1)k C k －1n －12k ＋2＝a n －1＋2n ∑n k ＝1(－1)k C k n k k ＋2＝a n －1＋2n ⎣⎡⎦⎤∑n k ＝0 （－1）k C k n －∑n k ＝0 （－1）k C k n 2k ＋2＝a n －1＋2n(0－a n )，(7分) 所以a n ＝n n ＋2a n －1⇒a n ＝n n ＋2·n －1n ＋1a n －2＝…＝n （n －1）·…·3·2（n ＋2）（n ＋1）·…·5·4a 1. 又a 1＝13，所以a n ＝n ！2！（n ＋2）！＝1C n n ＋2. 所以∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝a 2 020＝1C 2 0202 022＝1C 22 022＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)(解法2)∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 020！k ！（2 020－k ）！·2（k ＋1）（k ＋2）（k ＋1） ＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 022！（k ＋2）！（2 020－k ）！·2（k ＋1）2 022×2 021＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k －1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k ＋2－1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0 （－1）k ·（k ＋2）·C k ＋22 022－∑2 020k ＝0 （－1）k ·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0（－1）k ·2 022·C k ＋12 021－∑2 020k ＝0 （－1）k ＋2·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2 022∑2 020k ＝0 （－1）k ＋1·C k ＋12 021－[（1－1）2 022－1－C 22 022（－1）1] ＝22 022×2 021·{－2 022·[(1－1)2 021－1]＋1－2 022} ＝22 022×2 021＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)。

江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是______．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m （x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k ≠时，由②得判别式△=（k +1）2（3k ﹣1）2， 1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k ＜且k ≠时，方程②整理为[（2k ﹣1）x +k （k +1）]（x ﹣k ﹣1）=0， 解得x 1=，x 2=k +1，由于判别式△＞0，∴x 1≠x 2，其中x 2=k +1＞k ，x 1﹣k=≥0，即x 1≥k ，故原方程有两解，3）当k ＞时，由2）知，x 1﹣k=＜0，即x 1＜k ，故x 1不是原方程的解，而x 2=k +1＞k ，则原方程有唯一解，综上所述，当k ≥或k=时，原方程有唯一解， 当0≤k ＜且k ≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列； （2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k 时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）． （ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）解：（i）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n2．∵存在整数k≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m （3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．。

江苏省扬州市2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________． 10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n －1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边． (1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ； (2) 四边形ACC 1A 1为矩形．某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点． (1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值； (3) 求AC →·AD →的值．已知函数f(x)＝a(x －1x )(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分)对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点． 又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分) 因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分) 又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1. 又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分)设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分)(3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t ＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减． 又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分)。

2020届高三年级第二次模拟考试（十）数学（满分160 分，考试时间120 分钟）、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计70分．1. 已知集合A＝{x|1<x<3} ，B＝{x|2<x<4} ，则A∪B＝________2. 若复数z 满足z＝i（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数 a 的值为a＋2i3. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为［12，13），［13 ，14），［14 ，15），［15 ，16），［16 ，17］，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋯，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20 人，则第三组的人数为_ ．（第3题）（第4 题）4. 如图是某算法的伪代码，输出的结果S 的值为_______ ．5. 现有5件相同的产品，其中3件合格， 2 件不合格，从中随机抽检 2 件，则一件合格，另一件不合格的概率为_______ ．6. 在等差数列{a n}中，a4＝10，前12 项的和S12＝90，则a18的值为 ____ ．222 x y7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知 A 是抛物线y2＝4x 与双曲线4－b2＝1（b>0）的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________ ．π8. 若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象经过点（，2），且相邻两条6ππ对称轴间的距离为π2，则f（π4）的值为___ ．9. 已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为 2 ，则该正四棱锥的表面积为10. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－5x，则不等式f （x －1）>f（x）的解集为．211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（－1，0），B（5，0）．若在圆M：（x －4）2＋（y －m）2＝ 4 上存在唯一一点P，使得直线PA，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为12. 已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P 在DA的延长线上，且满足（PB＋|x ＋3| ，x≤0，13. 已知函数f(x) ＝ 3 设g(x) ＝kx＋1，且函数y＝f(x) －g(x) 的图x3－12x＋3，x>0.象经过四个象限，则实数k 的取值范围是________ ．2214. 在△ ABC中，若sin C ＝2cos Acos B ，则cos 2A＋cos 2B 的最大值为_____ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. ( 本小题满分14 分)π 设向量a＝(cos α，λ sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<2，且a＋b与a－b互相垂直．(1) 求实数λ 的值；4(2) 若a·b＝，且tan β＝2，求tan α 的值．516. ( 本小题满分14 分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E 分别是AB1和BC 的中点．求证：(1) DE ∥平面ACC1A1；(2) AE ⊥平面BCC1B1.17. （本小题满分14 分）某公园内有一块以O为圆心，半径为20 米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O 外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB ＝∠ QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞π台O 处的距离都不超过60 米．设∠ OAB＝α，α∈（0 ，3）．问：对于任意α，上述设计方案3是否均能符合要求？(2) 设经过点 P(2 ， 0)的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，点 Q(m ，0) ． ①若对任意直线 l 总存在点 Q ，使得 QA ＝QB ，求实数 m 的取值范围； ②设 F 为椭圆 C 的左焦点，若点 Q 为△FAB 的外心，求实数m 的值．18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C ： 的一个顶点到一个焦点的距离等于 2. (1) 求椭圆 C 的方程；2x2＋ayb 2 ＝1(a>b>0) 的离心率为 22， 且椭圆 C 短轴19. (本小题满分16 分)2x－2 已知函数f(x) ＝ln x －，a>0.x－1＋2a(1) 当a＝2时，求函数f(x) 的图象在x＝1 处的切线方程；(2) 若对任意x∈[1 ，＋∞ ) ，不等式f(x) ≥0恒成立，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数f(x) 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数 a 的取值范围．20. (本小题满分16 分) 已知数列{a n}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2⋯a n)2＝a n1＋1a n n＋－11.a2(1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求2的值；a1(2) ① 求证：数列{a n} 为等比数列；② 若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋⋯＋a n≤2n－1，求数列{a n} 的公比q的取值范围．2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十 ） 数学附加题 （本部分满分 40分，考试时间 30 分钟）21. 【选做题】 本题包括 A 、B 、C 三小题 ，请选定其中两小题 ，并作答．若多做 ，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [ 选修 4-2 ：矩阵与变换 ]（ 本小题满分 10 分）（1） 求 a ， b 的值； （2） 求 A 的逆矩阵 A －1.x ＝t ，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数 ），曲线 C 的参数 y ＝ 3t ＋2值．C. [ 选修 4-5 ：不等式选讲 ]（ 本小题满分 10 分） 解不等式： |2x －1| －x ≥2.【必做题】第 22 题、第 23 题， 每小题 10 分 ， 共计 20 分．解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．22. (本小题满分 10 分)如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口 A 开始到出口 B ，每遇到一个岔路2 b1121， B，AB ＝a 30 － 14 1已知矩阵 A ＝B. [ 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 ]（ 本小题满分 10 分 ）方程为x ＝ cos θ， y＝ 3sin θ（ θ 为参数 ） ，P 是曲线 C 上的任意一点． 求点 P 到直线 l 的距离的最大口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 A 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B 集中，设C 是其中的一个交叉路口点．(1) 求甲经过点 C 的概率；(2) 设这 4 名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．23. (本小题满分10 分)平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n 个点中，任取3个点，记 3 个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.(1) 若n＝3，求T 的最小值；3(2) 若n≥4，求证：T≥2C n3.2020 届高三年级第二次模拟考试 （ 十）数学参考答案因为 0<α<π2 ，所以 sin 2α≠0，所以 λ2－ 1＝0.又因为 λ >0，所以 λ＝ 1.（6 分 ） （2） 由（1） 知 a ＝（cos α，sin α） ．44 由 a ·b ＝ ，得 cos αcos β＋ sin αsin β＝ ，554即 cos （ α－β ） ＝ .（8 分 ）5 ππ 因为 0<α<β< 2 ，所以－ 2 <α－β<0，23所以 sin （ α－β ） ＝－ 1 － cos （α－β）＝－ 5.（10 分 ）sin （α－β） 3所以 tan （ α－β）＝ cos （α－β） ＝－ 4，（12 分）tan （α－β）＋ tan β 1因此 tan α＝tan （ α－β＋β ）＝1－ tan （α－β） tan β＝2.（14 分）16. （1） 连结 A 1B ，在三棱柱 ABCA 1B 1C 1中， AA 1∥BB 1且 AA 1＝BB 1， 所以四边形AA 1B 1B 是平行四边形．又因为 D 是 AB 1 的中点，所以 D 也是 BA 1 的中点． （2 分）在△ BA 1C 中， D 和E 分别是 BA 1和 BC 的中点，所以 DE ∥A 1C. 又因为 DE 平面ACC 1A 1，A 1C 平面 ACC 1A 1， 所以 DE ∥平面 ACC 1A 1.（6 分 ）（2） 由 （1） 知 DE ∥A 1C ，因为 A 1C ⊥BC 1， 所以 BC 1⊥DE.（8 分 ） 又因为BC 1⊥AB 1，AB 1∩DE ＝ D ， AB 1， DE 平面 ADE ，所以 BC 1⊥平面 ADE. 又因为 AE 平面 ADE ，所以 AE ⊥BC 1.（10 分 ） 在△ABC 中， AB ＝ AC ，E 是 BC 的中点， 所以 AE ⊥BC.（12 分 ） 因为 AE ⊥BC 1，AE ⊥BC ， BC 1∩BC ＝ B ，1. {x|1<x<4}2. － 23. 184.316 5. 35 6. －47. y ＝± 3 x 8. 3 9. 410. （ －2， 3） 11. ± 21 12. 13. － 9，1314.2＋1 2（1） 由 a ＋b 与 a － b 互相垂直 ， － 1＝ 0.（2 分） ＝ 1，＝ 0.（4 分 ） 15. 所以 cos 2α＋λ 2sin 2α 又因为 sin 2α＋ cos 2α 所以（λ 2－ 1）sin 2α可得 （a ＋b ）·（a －b ） 22＝a －b ＝BC 1 ，BC 平面 BCC 1B 1， 所以 AE ⊥平面 BCC 1B 1.（14 分 ）17. 过点 O 作 OH 垂直于 AB ，垂足为 H. 在直角三角形 OHA 中， OA ＝ 20，∠ OAH ＝α， 所以 AH ＝20cos α，因此 AB ＝ 2AH ＝40cos α.（4 分 ） 由图可知，点 P 处的观众离点O 最远． （5 分） 在三角形 OAP 中，由余弦定理可知 OP 2＝OA 2＋ AP 2－2OA ·AP ·cos α＋ 23π （7 分 ）3＝400（6cos 2α＋ 2 3sin α cos α＋ 1）＝ 400（3cos 2 α＋ 3sin 2 α＋ 4） ＝800 3sin 2α＋ π3 ＋1 600.（10 分） ππ π因为 α∈ 0 ，3 ，所以当 2α＝ 6 ，即 α＝ 12时，（OP 2）max＝ 800 3＋1 600 ，即 OP max ＝ 20 3＋ 20.（12 分 ）因为 20 3＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60米． （13 分）故对于任意 α，上述设计方案均能符合要求． （14 分 ）所以 b 2＝ a 2－ c 2＝1，x2所以椭圆 C 的方程为 2 ＋y 2＝1.（2 分） ①设 AB 的中点为 M （x 0，y 0） ，2x 1＋ x 24k 22k则 x0＝2＝1＋2k2，y0＝k(x 0－2) ＝－1＋ 2k 2.(6 分) 当 k ≠0时，因为 QA ＝ QB ，所以 QM ⊥ l ，2 解法一：设直线的方程为 y ＝k （x －2） ，代入椭圆 C 的方程，消去 y ，得（1 ＋ 2k 2）x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.因为直线 l 交椭圆 C 于两点，所以 Δ＝ （ －8k 2） 2－4（1 ＋2k 2）（8k 2－ 2）>0 ， 解得－ 2 <k< 2 .（4 分 ）设点 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2） ，＝ 400 ＋ (40cos α － 2×20× 40cos α ( － 2cossin αc＝218. (1) 依题意得 a 2c ＝1，8k 8k － 2则 x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2k－1＋2k2－0即 k QM ·k ＝2·k ＝－1.4k1＋2k2－m2k2 解得 m ＝1＋2k 2.（8 分 ）解法二：①设点 A （x 1， y 1） ， B （x 2， y 2） ，AB 中点为 M （x 0，y 0） ． 2x 1 22＋y 21＝ 1， 依题意 22 两式作差，x 2 22＋ y 2＝ 1，得y x 1－－y x 2×y x 0＝－12（x 0≠0）．x 1－ x 2 x 0 2y 1－ y 2 又因为 x 1－x 2＝kAB x 0－221所以 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ． 当 x 0＝0 时， y 0＝ 0，21符合 y 02＝－ 2x 0（x 0－2） ．（ⅰ）（4 分） 又因为 QA ＝QB ，所以 QM ⊥l ，所以（x 0－ m ）（x 0－ 2） ＋ （y 0－ 0）（y 0－ 0） ＝0， 即 y 0＝－ （x 0－ m ）（x 0－2） ．（ ⅱ）（6 分） 由（ⅰ）（ ⅱ） ，解得 x 0＝ 2m ，当 k ＝0 时，可得m ＝0，符合 m ＝1＋2k 22k 2.2k 2 因此 m ＝1＋2k 2k112（1－ m ）<12，解得 0≤m<12.（10 分）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 222＋y ＝ 1， 2消去 y ，得 x －4mx － 4m ＝0，所以 x 1， x 2也是此方程的两个根， 所以 x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝－ 4m.（14 分） 8k 2－2 x1x2＝1＋2k 2，由 0≤k 2＝（12 分 ）x 1x 2＝又因为 x 1＋ x 2＝ 2，1＋ 2k22 所以 8k 2＝－8k －21＋2k 2 1＋ 2k 22k 1 所以 m ＝1＋2k2k 2＝ 51.（162， 解得 k 2＝ 1，8分）y 0－0因此 y 02＝ 2m － 2m 2.（8 分 ） 因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以点 M 在椭圆 C 内，2（ 2m ） 221所以 2 ＋ （2m － 2m 2）<1 ，解得 m<2. 22 又 y 20＝ 2m － 2m 2≥0，所以 0≤m ≤1.1综上，实数 m 的取值范围是 0，2 .（10 分 ）②因为点 Q 为△ FAB 的外心，且点 F （－1，0） ， 所以 QA ＝ QB ＝ QF.（m ＋1）2＝（ x －m ）2＋y 2， 由 x 2 2消去 y ，2 ＋y ＝ 12得 x 2－4mx －4m ＝0.（ ⅲ）（12 分 ）当 y 0≠0时，则直线 l 为 y ＝－ x0 （x －2） ，代入椭圆的方程，2y 0得（2y 02＋ x 02）x 2－4x 02x ＋4x 20－ 4y 20＝0.将（ ⅰ） 代入上式化简得 x 2－2x 0x ＋3x 0－ 2＝0.（ ⅳ）当 y 0＝0 时，此时 x 0＝ 0，x 1＝－ 2， x 2＝ 2也满足上式． （14 分）x2由①可知 m ＝ 2，代入 （ ⅲ） 化简得 x 2－2x 0x －2x 0＝0.（ ⅴ） 因为（ ⅳ）（ ⅴ）是同一个方程， 所以 3x 0－ 2＝－ 2x 0，解得 x 0＝ ，5x 0 1所以 m ＝ 2＝5.（16 分 ）2x － 21 8 119. （1） 当 a ＝2时， f （x ） ＝lnx － x ＋3，f ′（x ） ＝ x －（x ＋3）2，则 f ′（1） ＝ 2.1又因为 f （1） ＝0，所以函数 f （x ） 的图象在 x ＝1处的切线方程为 y ＝ 2（x －1） ， 即 x －2y － 1＝0.（2 分）2x －2（2） 因为 f （x ） ＝ln x －x －1＋2a，1 所以 f ′ （x ） ＝ － 2x （x －1＋ 2a ）2 2 2 2x －2x ＋ 4a －4a ＋ 1 （ x －1） ＋4a －4ax 2＝1＋2 a －a 2∈（1，＋∞ ） ，当x ∈（1， x 2）时， f ′（x ）<0 ，x （x －1＋2a ）2，（4 分）且 f （1） ＝0. 因为 a>0，所以 1－2a<1. ①当 4a 2－ 4a ≥ 0，即 a ≥1时，因为 f ′（x ）>0 在区间 （1 ，＋∞ ） 上恒成立， 所以函数 f （x ） 在区间 （1 ，＋∞ ）上单调递增． 当 x ∈[1 ，＋∞ ）时， f （x ） ≥f （1） ＝ 0， 所以 a ≥1满足条件． （6 分 ）②当 4a 2－4a<0，即 0<a<1 时， 由 f ′（x ） ＝ 0，得 x 1＝1－2 a － a 2∈（0 ， 1） ，4a2x （x －1＋2a ）2则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，所以当x∈（1，x2）时，f（x）<f（1）＝0，这与x∈[1 ，＋∞ ）时，f（x）≥0 恒成立矛盾，所以0<a<1 不满足条件．综上，实数 a 的取值范围为[1 ，＋∞ ）．（8 分）（3）①当a≥1时，因为函数 f ′（x）≥0在区间（0 ，＋∞ ）上恒成立，所以函数f（x）在区间（0 ，＋∞ ）上单调递增，所以函数f（x）不存在极值，所以a≥1不满足条件；（9 分）1②当2<a<1 时，1－2a<0，所以函数f（x）的定义域为（0 ，＋∞），由f′（x）＝0，得x1＝1－2 a－a2∈（0 ，1），x2＝1＋2 a－a2∈（1，＋∞ ）．列表如下：由于函数f（x）在区间（x 1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，1所以2<a<1 不满足条件．（11 分）1 ③当a＝2时，由f′（x）＝0，得x＝2.列表如下：此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，1所以a＝2不满足条件．（12 分）1④当0<a<2时，函数f（x）的定义域为（0 ，1－2a）∪（1－2a，＋∞ ），且0<x1＝1－2 a－a2<1－2a，x2＝1＋ 2 a－a2>1－2a. 列表如下：所以函数f(x) 存在极大值f(x 1) 和极小值f(x 2)，(14 分)因为0<x1<1－2a<x2，x1所以ln <0，x1－x2<0，x1－1＋2a<0，x2－1＋2a>0，x2所以f(x 1) －f(x 2)<0 ，即f(x 1)<f(x 2) ，1所以0<a<2满足条件．1综上，实数a的取值范围为0，2 .(16 分)2 3 220. (1) 因为(a 1a2) 2＝a31a3，所以a22＝a1a3，因此a1，a2，a3 成等比数列．(2 分) 设公比为t ，因为a1，2a2，3a3成等差数列，a2 a3所以4a2＝a1＋3a3，即4× ＝1＋3× ，a1 a121于是4t ＝1＋3t ，解得t＝1 或t ＝3，a2 1所以a＝ 1 或3.(4 分)a1 3(2) ①因为(a 1a2⋯a n) 2＝a n1＋1a n n＋－11，所以(a 1a2⋯a n a n＋1) 2＝a1n＋2a n n＋2，n2a n＋ 2两式相除得a n＋1＝a1· n－1，a n＋1即a n n＋＋11＝a1a n n＋2，(*)(6 分)2n ＋ 2 n ＋1 n＋ 1即a n＋ 2 ＝a n ＋1a n＋3，所以a n＋2＝a n＋1a n＋3，2* 即a n2＋1＝a n a n＋2，n≥2，n∈N*，(8 分) 由(1) 知a22＝a1a3，所以a2n＋1＝a n a n＋2，n∈N*，因此数列{a n} 为等比数列．(10 分)②当0<q≤2时，由n＝ 1 时，可得0<a1≤1，所以a n＝a1q n－1≤2n－1此时f(x 1) －f(x 2) ＝ln x1 4a(x1－x2)x1－1＋2a)( x2－1＋2a).2x1－2 2x 2－ 2x1－1＋2a －ln x2 ＋x2－1＋2alnx1x2由(*) ，(*)(**)n＋ 2 n＋ 1得a n＋2＝a1a n＋3，两式相除得n＋2 n ＋1a n＋2 a n＋ 3n ＋1＝n a n＋1 a n ＋2因此 a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ≤1＋ 2＋⋯＋ 2n －1＝2n －1， 所以 0<q ≤2满足条件． （12 分） 当 q>2 时，n由 a 1＋a 2＋⋯＋ a n ≤2－1，a 1（1－ q ） n 得 1 1－q ≤2n －1，整理得 a 1q n ≤（q － 1）2 n ＋ a 1－ q ＋ 1.（14 分） 因为 q>2，0<a 1≤1，所以 a 1－ q ＋1<0，由于q >1，因此 n<log qq －1，与任意 n ∈N *恒成立相矛盾，2 2 a 1所以 q>2 不满足条件．综上，公比 q 的取值范围为 （0 ，2] ．（16 分）2b21. A. （1） 因为 A ＝， B ＝a32－b ＝1，b ＝ 1，所以 a ＝ 4， 即 （4 分 ）a ＝ 4.a － 3＝1， （2） 因为 |A |＝2×3－1×4＝ 2，（6 分）312.（10 分 ）π＋ 4 ＝ 1，此时 d 取最大值， 所以距离 d 的最大值为 62 2.（10 分 ）1C. 当 x ≥2时，由 2x － 1－x ≥2，得 x ≥3.（4 分）11当 x<2时，由 1－2x －x ≥2，得 x ≤－ 3.（4 分） 231 综上，原不等式的解集为 {x|x ≥3 或 x ≤－3} ． （10 分）22. （1） 设“甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C ”为事件 M ，B. 直线 l 的参数方程为x ＝ t ，y ＝ 3t （t 为参数 ） ，化为普通方程为 ＋23x －y ＋2＝ 0.（2 分）设点 P （cosθ，3sin θ），则点 P 到直线 l的距离| 3cos θ－ 3sin θ＋ 2| 6cos d ＝（ 3） 2＋1π θ＋ ＋ 242，（6分 ）因此 a 1q n<（q －1）2 n，即2qn<q －a 1112－1， AB ＝ 4所以 A －1＝取 θ＝－ 4 时， cos θ11甲选中间的路的概率为 3，在前面从岔路到达点 C 的概率为 2，这两个事件相互独立，所 32 111以选择从中间一条路走到点 C 的概率为 P 1＝ × ＝ .（2 分）3 2 6 111 同理，选择从最右边的道路走到点 C 的概率为 P 2＝ × ＝ .326因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，111所以 P （M ） ＝P 1＋P 2＝ ＋ ＝ .6631故甲从进口 A 开始到出口 B 经过点 C 的概率 3.（4 分） （2） 随机变量可能的取值 X ＝0，1，2，3， 4，（5 分） 01 02 4 16则 P （X ＝0） ＝C 40× 3 × 3 ＝81，P （X ＝1） ＝C 14×1 123 32 × ＝ ，3 3 81 P （X ＝2） ＝C 24× 1 2 2 2 24 3 × 3 ＝ 81，P （X ＝3） ＝C 34× 1 3 2 1 83 × 3 ＝ 81，P （X ＝4） ＝C 44× 1 4 2 0 113 × 23 ＝811，（8 分）概率分布为：8181813×881＋4×811＝43.（10 分） 23. （1） 当 n ＝3 时，共有 6 个点，因此 T 的最小值为 2.（3 分）（2） 首先证明：任意 n ，k ∈ N *，n ≥k ，有 C k n ＋1>C k n .若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 63＝20； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 53＝10； 若染红色的点的个数为 则 T ＝ C 43＝4； 若染红色的点的0或 6， 1或 5， 2或 4，3，则 T ＝ C 33＋ C 33＝ 2；证明：因为 C k n ＋ 1－ C k n ＝C k n －1>0，所以 C k n ＋1>C k n .设这 2n 个点中含有 p （p ∈ N ，p ≤2n ）个染红色的点， ①当 p ∈{0 ， 1， 2} 时， 3 3（ 2n －2）（ 2n － 3）（ 2n －4） T ＝C 2n － p ≥C 2n －2＝ 6 ＝4×（n －1）（n －2）（2n －3） 因为 所以 6 n ≥ 4，所以 2n － 3>n ， n (n －1)(n － 2) 3 3 T>4× ＝ 4C 3n >2C 3n .(5 分) 6 p ∈{2n －2，2n －1，2n} 时， 32n －2， ②当 T ＝C 3p ≥C 同理可得 T>2C 3n .(6 分 ) ③当 3≤p ≤2n － 3 时， T ＝C p ＋ C 2n －p ， 设 f(p) ＝ C p 3＋ C 23n －p ，3≤p ≤2n － 3， 当 3≤ p ≤ 2n － 4 时， f(p ＋1) －f(p) ＝ C p ＋1＋ C 2n －p －1－C p －C 2n －p ＝ C p － C 2n －p －1， 显然 p ≠2n － p －1， 当 p>2n － p － 1 即 n ≤p ≤2n － 4时， f(p ＋1)>f(p) ， 当 p<2n － p － 1 即 3≤p ≤n － 1 时， f(p ＋1)<f(p) ， 即 f(n)<f(n ＋1)<⋯<f(2n － 3) ；f(3)>f(4)> ⋯>f(n) ； 因此 f(p) ≥f(n) ＝ 2C 3n ，即 T ≥ 2C n 3. 综上，当 n ≥4时， T ≥2C n 3.(10 分)。

江苏省扬州市XX学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请根据正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（）A．﹣B．﹣C．D．2．我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（）A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×1063．在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（）A．138 B．183 C．90 D．934．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．B．C．D．6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90°D．AC=BD7．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n 为（）A．5 B．10 C．36 D．728．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC 与△DEF的面积比为（）A．9：4 B．3：2 C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解决过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）9．﹣2的相反数是．10．分解因式：﹣x3+2x2﹣x=．11．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A 的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是．12．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是．13．已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为．14．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为．15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为．16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1+∠2=°．17．如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣2﹣2sin60°；（2）解不等式组：．20．先化简，再求值：÷（1﹣），其中m满足一元二次方程m2﹣4m+3=0．21．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了份学生试卷；扇形统计图中a=，b=；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到元购物券，至多可得到元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．23．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．24．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）26．定义：如果代数式a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式”（1）写出﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”；（2）若﹣x2﹣18mx﹣3与x2﹣2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值；（3）无论x取何值时，代数式x2﹣2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围．27．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y 与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．江苏省扬州市XX学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求的，请根据正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列无理数中，在﹣1与2之间的是（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】估算无理数的大小．【分析】根据无理数的定义进行估算解答即可．【解答】解：A．﹣＜﹣1，故错误；B．﹣＜﹣1，故错误；C．﹣1＜，故正确；D.＞2，故错误；故选：C．2．我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为（）A．167×103B．16.7×104C．1.67×105D．1.6710×106【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于167000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：167 000=1.67×105．故选C．3．在体育达标测试中，某校初三5班第一小组六名同学一分钟跳绳成绩如下：93，138，98，152，138，183；则这组数据的极差是（）A．138 B．183 C．90 D．93【考点】极差．【分析】根据极差的定义，用最大值减最小值即可求得答案．【解答】解：由题意可知，极差为183﹣93=90．故选C．4．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】A选项的被开方数中，含有能开得尽方的因式a2；B、C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．D选项的被开方数是个平方差公式，它的每一个因式的指数都是1，所以D选项符合最简二次根式的要求．【解答】解：因为：A、=|a|；B、=；C、=；所以，这三个选项都可化简，不是最简二次根式．故本题选D．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）A．B．C．D．【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：由于俯视图为三角形．主视图为两个长方形和左视图为长方形可得此几何体为三棱柱．故选：A．6．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是（）A．AC⊥BD B．AB=AC C．∠ABC=90°D．AC=BD【考点】菱形的判定．【分析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AC≠BC，∴平行四边形ABCD不是，故本选项错误；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出，平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴四边形ABCD是矩形，不是菱形．故选：A．7．已知圆O是正n边形A1A2…A n的外接圆，半径长为18，如果弧A1A2的长为π，那么边数n 为（）A．5 B．10 C．36 D．72【考点】正多边形和圆．【分析】设正多边形的中心角的度数是x，根据弧长公式即可求得x的值，然后利用360度除以x即可得到．【解答】解：设正多边形的中心角的度数是x，根据题意得：=π，解得：x=10．则n==36．故选C．8．如图，△ABC与△DEF都是等腰三角形，且AB=AC=3，DE=DF=2，若∠B+∠E=90°，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．9：4 B．3：2 C．D．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠E=∠F，再利用三角形内角和得到∠A+∠D=180°，则sinA=sinD，然后根据三角形面积公式得到S△BAC=sinA，S△EDF=2sinD，再计算它们的比值．【解答】解：∵△ABC与△DEF都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠E=∠F，∵∠B+∠E=90°，∴∠A+∠D=180°，∴sinA=sinD，∵S△BAC=AB•ACsin∠A=sinA，S△EDF=DE•DFsin∠D=2sinD，∴S△BAC ：S△EDF=：2=9：4．故选A．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解决过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上）9．﹣2的相反数是2．【考点】相反数．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2，故答案为：2．10．分解因式：﹣x3+2x2﹣x=﹣x（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【解答】解：﹣x3+2x2﹣x，=﹣x（x2﹣2x+1）…（提取公因式）=﹣x（x﹣1）2．…（完全平方公式）11．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A 的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或﹣2＜x＜0．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】根据反比例函数图象的特点得出B点横坐标，再利用函数图象可直接得出结论．【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2．∵由函数图象可知，当x＞2或﹣2＜x＜0时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或﹣2＜x＜0．故答案为：x＞2或﹣2＜x＜0．12．事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是5．【考点】概率的意义．【分析】根据概率的意义解答即可．【解答】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，则事件A平均每100次发生的次数为：100×=5．故答案为：5．13．已知x2﹣2x﹣3=0，则2x2﹣4x的值为6．【考点】代数式求值．【分析】利用提取公因式法得出2x2﹣4x=2（x2﹣2x）即可得出代数式的值．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=0，∴x2﹣2x=3，∴2x2﹣4x=2（x2﹣2x）=2×3=6．故答案为：6．14．已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为10．【考点】圆锥的计算．【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长．依此列出方程即可．【解答】解：设母线长为x，根据题意得：2πx÷2=2π×5，解得x=10．故答案为：10．15．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为．【考点】平行线分线段成比例．【分析】求出AB=3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH=2，HB=1，∴AB=AH+BH=3，∵l1∥l2∥l3，∴=；故答案为：．16．如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1+∠2=90°．【考点】平行线的性质．【分析】根据平行线的性质，垂直的定义即可解决问题．【解答】解：如图，∵l1∥l2，∴∠1=∠3，∵l3⊥l4，∴∠4=90°，∴∠3+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，故答案为∠1+∠2=90°17．如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为4．【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A′BC′，A′B=AB=4，所以△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，然后得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影=S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC=S△A′BA，最终得到阴影部分的面积．【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，∴△ABC≌△A′BC′，∴A′B=AB=4，∴△A′BA是等腰三角形，∠A′BA=45°，∴S△A′BA=×4×2=4，又∵S阴影=S△A′BA+S△A′BC′﹣S△ABC，S△A′BC′=S△ABC，∴S阴影=S△A′BA=4．故答案为：4．18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=m，点D是边AB的中点，点P是边BC上的动点，且不与B、C重合，∠DPQ=∠B，射线PQ交AC于点Q．当点Q总在边AC上时，m的最大值是4．【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】先证明△BPD∽△CQP，得出，求出CQ=x（m﹣x）=﹣x2+mx，由二次函数得出当x=m时，CQ取最大值，最大值为m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ ≤4，得出m2≤4，因此0＜m≤4，即可得出答案．【解答】解：设BP=x，则PC=m﹣x，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DPQ=∠B，∴∠C=∠DPQ，∵∠PQC=180°﹣∠QPC﹣∠C，∠BPD=180°﹣∠DPQ﹣∠QPC，∴∠PQC=∠BPD，∴△BPD∽△CQP，∴，即，∴CQ=x（m﹣x）=﹣x2+mx，当x=m时，CQ取最大值，最大值为m2，要使Q永远在AC上，则CQ≤AC，即CQ≤4，∴m2≤4，∴m2≤32，∴0＜m≤4，∴m的最大值为4；故答案为：4．三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：|1﹣|﹣（﹣）﹣2﹣2sin60°；（2）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）先根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别求出每一部分的值，再代入求出即可；（2）先求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣4﹣2×=﹣1﹣4﹣=﹣5；（2）∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3．20．先化简，再求值：÷（1﹣），其中m满足一元二次方程m2﹣4m+3=0．【考点】分式的化简求值．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到m的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=÷=•=，由m2﹣4m+3=0，变形得：（m﹣1）（m﹣3）=0，解得：m=1（不合题意，舍去）或m=3，则当m=3时，原式=．21．某地区在一次九年级数学质量检测试题中，有一道分值为8分的解答题，所有考生的得分只有四种，即：0分，3分，5分，8分，老师为了解本题学生得分情况，从全区4500名考生试卷中随机抽取一部分，分析、整理本题学生得分情况并绘制了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查从全区抽取了240份学生试卷；扇形统计图中a=25，b=20；（2）补全条形统计图；（3）该地区这次九年级数学质量检测中，请估计全区考生这道8分解答题的平均得分是多少？得8分的有多少名考生？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）用得0分24人对应的分率是10%用除法求得抽取学生试卷数，再求得3分试卷数量，进一步求得3分和8分试卷数量占总数的分率得出a、b的数值即可；（2）利用（1）中的数据补全条形统计图；（3）利用加权平均数的计算方法得出平均得分，利用所占总数的百分数得出得8分的有多少名考生．【解答】解：（1）24÷10%=240份，240﹣24﹣108﹣48=60份，60÷240=25%，48÷240=20%，抽取了240份学生试卷；扇形统计图中a=25，b=20；（2）如图：（3）0×10%+3×25%+5×45%+8×20%=4.6分，4500×20%=900名．答：这道8分解答题的平均得分是4.6分；得8分的有900名考生．22．某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．（1）该顾客至少可得到10元购物券，至多可得到50元购物券；（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．【解答】解：（1）10，50；（2）解法一（树状图）：从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，因此P（不低于30元）=；解法二（列表法）：第二次第一次01020300﹣﹣1020301010﹣﹣3040202030﹣﹣5030304050﹣﹣（以下过程同“解法一”）23．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等．（2）根据全等三角形对应角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得．（3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE，∴∠ACE===40°；（3）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．24．在我市开展“五城联创”活动中，某工程队承担了某小区900米长的污水管道改造任务．工程队在改造完360米管道后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了20%，结果共用27天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造管道多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】首先设原来每天改造管道x米，则引进新设备前工程队每天改造管道（1+20%）x米，由题意得等量关系：原来改造360米管道所用时间+引进了新设备改造540米所用时间=27天，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设原来每天改造管道x米，由题意得：+=27，解得：x=30，经检验：x=30是原分式方程的解，答：引进新设备前工程队每天改造管道30米．25．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠COA，根据三角形内角和定理求出∠OCA，根据切线的判定推出即可；（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分别求出△ACO的面积和扇形COD的面积，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OC，交BD于E，∵∠B=30°，∠B=∠COD，∴∠COD=60°，∵∠A=30°，∴∠OCA=90°，即OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，∴∠OED=∠OCA=90°，∴DE=BD=，∵sin∠COD=，∴OD=2，在Rt△ACO中，tan∠COA=，∴AC=2，2×2﹣=2﹣．∴S阴影=×26．定义：如果代数式a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式”（1）写出﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”；（2）若﹣x2﹣18mx﹣3与x2﹣2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值；（3）无论x取何值时，代数式x2﹣2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围．【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．【分析】（1）根据定义即可求出﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”；（2）根据定义求出m与n的值，代入原式求值即可；（3）利用作差法即可求出a的范围．【解答】解：（1）设﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”为ax2+bx+c由题意可知：a=1，b=﹣2，c=3，∴﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”为x2﹣2x+3；（2）由题意可知：﹣18m﹣2n=0，﹣3+n=0，解得：m=﹣，n=3，∴原式=（﹣1）2015=﹣1；（3）x2﹣2x+a的“牛郎织女式”为﹣x2+2x﹣a，∴由题意可知：x2﹣2x+a＞﹣x2+2x﹣a对于任何x都成立，∴x2﹣2x+a﹣（﹣x2+2x﹣a）＞0，∴a＞﹣x2+2x，∴a＞﹣（x﹣1）2+1对于任何的x都成立，∵﹣（x﹣1）2+1的最大值为1，∴a＞1，27．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y 与x满足下列关系式：y=．（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只，由题意可知：30n+120=420，解得n=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1；当9≤x≤15时，设P=kx+b，把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，，解得，∴p=0.1x+3.2，①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）；②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228，∵x是整数，∴当x=9时，w最大=741（元）；③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336，∵a=﹣3＜0，∴当x=﹣=12时，w最大=768（元）；综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768．（3）由（2）可知m=12，m+1=13，设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5），∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a≥0.1．答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=，由勾股定理得：BD===．=BD•AE=AB•AD，∵S△ABD∴AE===4．在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠1=∠2．由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．①当点F′落在AB上时，∵AB∥A′B′，∴∠3=∠4，∴∠3=∠2，∴BB′=B′F′=3，即m=3；②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1，∴∠5=∠6，又易知A′B′⊥AD，∴△B′F′D为等腰三角形，∴B′D=B′F′=3，∴BB′=BD﹣B′D=﹣3=，即m=．（3）存在．理由如下：在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2，∴∠3=∠Q，∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ===．∴DQ=BQ﹣BD=﹣；②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，∵∠1=∠2，∴∠1=∠P，∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上．∵∠3=∠2，∴∠3=∠1，∴BQ=A′Q，∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2，即：32+（4﹣BQ）2=BQ2，解得：BQ=，∴DQ=BD﹣BQ=﹣=；③如答图3﹣3所示，点Q落在BD上，且PD=DQ，易知∠3=∠4．∵∠2+∠3+∠4=180°，∠3=∠4，∴∠4=90°﹣∠2．∵∠1=∠2，∴∠4=90°﹣∠1．∴∠A′QB=∠4=90°﹣∠1，∴∠A′BQ=180°﹣∠A′QB﹣∠1=90°﹣∠1，∴∠A′QB=∠A′BQ，∴A′Q=A′B=5，∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1．在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ===，∴DQ=BD﹣BQ=﹣；④如答图3﹣4所示，点Q落在BD上，且PQ=PD，易知∠2=∠3．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴BQ=BA′=5，∴DQ=BD﹣BQ=﹣5=．综上所述，存在4组符合条件的点P、点Q，使△DPQ为等腰三角形；DQ的长度分别为﹣、、﹣或．。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|－1＜x ＜2}，B ＝{x|x ＞0}，则A ∩B ＝________．2. 已知(1－i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为________．3. 已知某校高一、高二、高三年级分别有1 000，800，600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取________名学生．S ←0For I From 1 To 5 S ←S ＋I End For Print S4. 如图伪代码的输出结果为________．5. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥－1，x ＋y －1≤0，则2x －y 的最小值为________．6. 已知a ∈{－1，1}，b ＝{－3，1，2}，则直线ax ＋by －1＝0不经过第二象限的概率为________．7. 已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为________．8. 已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝13，则cos α＝________．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1a 6＝3a 3，且a 4与a 5的等差中项为2，则S 5＝________．10. 在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心．设正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1与正四棱锥OA 1B 1C 1D 1的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝________．11. 已知曲线C ：f(x)＝x 3－x ，直线l ：y ＝ax －a ，则“a ＝－14”是“直线l 与曲线C 相切”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分又不必要”)12. 已知x ＞0，y ＞0，则x ＋y x ＋16xy的最小值为________．13. 已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM →·AN →＝1，则OA →·OD →的最小值为________．14. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋1，n4∉N *，a n ，n4∈N *.设{a n }的前n 项和为S n ，若S 4n ≤λ·2n－1恒成立，则实数λ的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，已知2S ＝bccos A ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．(1) 求角A 的值；(2) 若tan B ＝65，求sin 2C 的值．16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BC ＝B 1C ，O 为四边形ACC 1A 1对角线的交点，F 为棱BB 1的中点，且AF ⊥平面BCC 1B 1.求证：(1) OF ∥平面ABC ；(2) 四边形ACC 1A 1为矩形．17. (本小题满分14分)某厂根据市场需求开发三角花篮支架(如图)，上面为花篮，支架由三根细钢管组成．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：① 三根细钢管长均为1米(粗细忽略不计)，且与地面所成的角均为θ(π6≤θ≤π3)；② 架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③ 三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2∶3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．(1) 当θ＝π3时，求“支架高度”；(2) 求“支架需要空间”的最大值．18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，且椭圆的离心率为22.直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C ，D 两点．(1) 求椭圆E 的标准方程； (2) 求线段CD 长的最大值；(3) 求AC →·AD →的值．19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝a(x －1x)(a ∈R )，g(x)＝ln x.(1) 当a ＝1时，解不等式：f(x)－g(x)≤0； (2) 设u(x)＝xf(x)－g(x)．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，＋∞)(m ≠n)，使得u(m)＋u(n)＝0，求证：mn ＜1； ②当a ＞0时，讨论u(x)的零点个数．20. (本小题满分16分) 对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．规定{Δ2a n }为{a n }的二阶差分数列，其中Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n (n ∈N *)．(1) 已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2(n ∈N *)，试判断{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列，请说明理由；(2) 若数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，求q 所有可能的取值构成的集合；(3) 设各项均为正数的数列{c n }的前n 项和为S n ，且Δ2c n ＝0.对满足m ＋n ＝2k ，m ≠n 的任意正整数m ，n ，k ，都有c m ≠c n ，且不等式S m ＋S n ＞tS k 恒成立，求实数t 的最大值.2020届高三模拟考试试卷(十五)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 22b ，M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1223，且MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.(1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．22.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：ρ＝22sin (θ－π4)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．23. (本小题满分10分)某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1 000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次(每次摸出的小球均不放回口袋)，编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元(m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元)．(1) 求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；(2) 求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与数学期望E(X)．24.(本小题满分10分)(1) 求证：1k ＋1C k n ＝1n ＋1C k ＋1n ＋1(n ∈N *，k ∈N )；(2) 计算：(－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020； (3) 计算：∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2.2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学参考答案及评分标准1. {x|0＜x ＜2}2. 1023. 304. 155. －16. 16 7. 25 8. 3＋2269. 121 10.3105 11. 充分不必要 12. 42 13. －1 14. λ≥33215. 解：(1) 因为2S ＝bccos A ，所以2×12bcsin A ＝bccos A ，则sin A ＝cos A ．(3分)在△ABC 中，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝cos A ＞0， 所以tan A ＝1，(5分) 所以A ＝π4.(7分)(2) 由(1)知A ＝π4，又tan B ＝65，所以tan(A ＋B)＝tan(π4＋B)＝1＋tan B1－tan B＝1＋651－65＝－11.(9分)在△ABC 中，因为A ＋B ＋C ＝π，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝11，所以sin 2C ＝2sin Ccos C ＝2sin Ccos C sin 2C ＋cos 2C ＝2tan C1＋tan 2C ＝2×111＋112＝22122＝1161.(14分)16. 证明：(1) 取AC 中点D ，连结OD.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，BB 1∥CC 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.因为O 为平行四边形ACC 1A 1对角线的交点，所以O 为A 1C 的中点．又D 为AC 的中点，所以OD ∥AA 1，且OD ＝12AA 1.(2分)又BB 1∥AA 1，BB 1＝AA 1，所以OD ∥BB 1，且OD ＝12BB 1.又F 为BB 1的中点，所以OD ∥BF ，且OD ＝BF ，所以四边形ODBF 为平行四边形，所以OF ∥BD.(5分)因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以OF ∥平面ABC.(7分)(2) 因为BC ＝B 1C ，F 为BB 1的中点，所以CF ⊥BB 1.因为AF ⊥平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AF ⊥BB 1.(9分)因为CF ⊥BB 1，AF ⊥BB 1，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF ∩AF ＝F ， 所以BB 1⊥平面AFC.(11分)又AC ⊂平面AFC ，所以BB 1⊥AC. 又由(1)知BB 1∥CC 1，所以AC ⊥CC 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形， 所以四边形ACC 1A 1为矩形．(14分)17. 解：(1) 因为架面与架底平行，且AA 1与地面所成的角为π3，AA 1＝1米，所以“支架高度” h ＝1×sinπ3＝32(米)．(4分) (2) 过O 作OO 1⊥平面A 1B 1C 1，垂足为O 1.又O 1A 1⊂平面A 1B 1C 1，所以OO 1⊥O 1A 1.又AA 1与地面所成的角为θ，所以O 1A 1＝35cos θ.同理O 1C 1＝O 1B 1＝35cos θ，所以O 1为等边三角形A 1B 1C 1的外心，也为其重心， 所以B 1C 1＝A 1O 1·32×23＝35cos θ·3＝335cos θ，S △A 1B 1C 1＝34×(335cos θ)2＝273100cos 2θ. 记“支架需要空间”为V ，则V ＝273100cos 2θ·sin θ，θ∈[π6，π3]．(8分)令t ＝sin θ，则t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.所以V ＝273100(1－t 2)t ＝273100(t －t 3)，t ∈⎣⎡⎦⎤12，32.又V′＝273100(1－3t 2)＝－813100(t 2－13)＝－813100(t ＋33)(t －33)，则当t ∈(12，33)时，V ′＞0，V 单调递增；当t ∈(33，32)时，V ′＜0，V 单调递减，所以当t ＝33时，V max ＝273100[33－(33)3]＝273100×33×23＝950(立方米)．(13分) 答：(1) 当θ＝π3时，“支架高度”为32米；(2) “支架需要空间”的最大值为950立方米．(14分)18. 解：(1) 设椭圆E 的焦距为2c(c ＞0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，可知a 2＝2b 2.(2分)因为椭圆E 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2＝2得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0. 又直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－43t ，x 1x 2＝2t 2－23，且Δ＝(4t)2－4×3×(2t 2－2)＞0，则－3＜t ＜ 3.(6分) 设AB 的中点为M(x M ，y M )，则x M ＝x 1＋x 22＝－23t ，y M ＝x M ＋t ＝13t ，所以AB 的中垂线的方程为y ＝－x －13t ，即直线CD 的方程为y ＝－x －13t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －13t ，x 2＋2y 2＝2得27x 2＋12tx ＋2t 2－18＝0，则⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，(8分) 所以CD ＝（x 4－x 3）2＋（y 4－y 3）2＝1＋（－1）2·（x 3＋x 4）2－4x 3x 4 ＝2·（－49t ）2－4×2t 2－1827＝2·－881t 2＋83. 又t ∈(－3，3)，所以当t ＝0时，CD max ＝2×83＝433.(10分) (3) 由(2)知AC →·AD →＝(x 3－x 1，y 3－y 1)·(x 4－x 1，y 4－y 1) ＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(y 3－y 1)(y 4－y 1)＝(x 3－x 1)(x 4－x 1)＋(－x 3－x 1－43t)(－x 4－x 1－43t)＝x 3x 4－(x 3＋x 4)x 1＋x 21＋x 3x 4＋(x 1＋43t)(x 3＋x 4)＋x 21＋83tx 1＋169t 2＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋2x 21＋83tx 1＋169t 2.(13分) 又⎩⎨⎧x 3＋x 4＝－49t ，x 3x 4＝2t 2－1827，3x 21＋4tx 1＋2t 2－2＝0，所以AC →·AD →＝2x 3x 4＋43t(x 3＋x 4)＋23(3x 21＋4tx 1)＋169t 2 ＝2×2t 2－1827＋43t ×(－49t)＋23(2－2t 2)＋169t 2＝(427－1627－3627＋4827)t 2＝0.(16分) 19. (1) 解：设h(x)＝f(x)－g(x)＝x －1x －ln x ，则h′(x)＝1＋1x 2－1x ＝x 2－x ＋1x 2＝（x －12）2＋34x 2＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上递增．又h(1)＝0，所以0＜x ＜1，所以f(x)－g(x)≤0的解集为(0，1)．(4分) (2) ①证明：由u(m)＋u(n)＝0得a(m 2－1)－ln m ＋a(n 2－1)－ln n ＝0， 即a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0，又a ＜0，所以a(m 2＋n 2－2)－ln m －ln n ＝0≤a(2mn －2)－ln(mn)． 因为m ≠n ，所以“＝”不成立．(7分) 思路一：设mn ＝t ，v(t)＝a(2t －2)－ln t(t ＞0)，则v′(t)＝2a －1t＜0，所以v(t)在(0，＋∞)上单调递减．又v(1)＝0，所以t ＜1，即mn ＜1.(10分) 思路二：假设mn ≥1，则2mn －2≥0，ln(mn)≥0，所以a(2mn －2)－ln(mn)≤0， 这与a(2mn －2)－ln(mn)＞0矛盾，故mn ＜1.(10分) ②解：u(x)＝xf(x)－g(x)＝a(x 2－1)－ln x ，当a ＞0时，u ′(x)＝2ax －1x ＝2ax 2－1x .令u′(x)＝0得x ＝±12a(负值舍去)． 所以当x ∈(0，12a)时，u ′(x)＜0，u(x)为减函数； 当x ∈(12a，＋∞)时，u ′(x)＞0，u(x)为增函数． 又u(1)＝0， 1° 当12a ＝1，即a ＝12时，u(x)有1个零点；(12分) 2° 当12a ＜1，即a ＞12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 又u(e －a )＞0，且e －a ＜1，所以u(x)在(0，1)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点；(14分) 3° 当12a ＞1，即0＜a ＜12时，由u(1)＝0可知u(12a)＜u(1)＝0， 令φ(x)＝ln x －(x －1)，则φ′(x)＝1x －1＝1－x x，所以当x ∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，所以φ(x)max ＝φ(1)＝0，故ln x ≤x －1，则－ln x ≥－(x －1)．所以u(x)＞a(x 2－1)－(x －1)，所以u(1a －1)＞0，且1a －1＞1，所以u(x)在(1，＋∞)上有1个零点，故此时u(x)有2个零点．综上，当a ＝12时，u(x)有1个零点；当a ＞0时a ≠12时，u(x)有2个零点．(16分)20. 解：(1) 因为a n ＝n 2，所以Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，则Δa n ＋1－Δa n ＝2.又Δa 1＝3，所以{Δa n }是首项为3，公差为2的等差数列．因为Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2，则{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列．(2分)(2) 因为数列{b n }是公比为q 的正项等比数列，所以b n ＝b 1q n －1.又Δ2b n ＝Δb n ＋1－Δb n ＝b n ＋2－b n ＋1－(b n ＋1－b n )＝b n ＋2－2b n ＋1＋b n ，且对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得Δ2b n ＝b m ，所以对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b 1q n ＋1－2b 1q n ＋b 1q n －1＝b 1q m －1，即(q －1)2＝q m －n .因为q ≥2，所以m －n ≥0. 1° 若m －n ＝0，则q 2－2q ＋1＝1，解得q ＝0(舍)或q ＝2，即当q ＝2时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n .2° 若m －n ＝1，则q 2－3q ＋1＝0，解得q ＝3－52(舍)或q ＝3＋52，即当q ＝3＋52时，对任意的n ∈N *，都有Δ2b n ＝b n ＋1.3° 若m －n ≥2，则q m －n ≥q 2＞(q －1)2，故对任意的n ∈N *，不存在m ∈N *，使得Δ2b n＝b m .综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，3＋52.(8分) (3) 因为Δ2c n ＝0，所以Δ2c n ＝Δc n ＋1－Δc n ＝c n ＋2－c n ＋1－(c n ＋1－c n )＝c n ＋2－2c n ＋1＋c n ＝0，所以c n ＋2－c n ＋1＝c n ＋1－c n ，所以{c n }是等差数列． 设{c n }的公差为d ，则c n ＝c 1＋(n －1)d. 若d ＝0，则c m ＝c n ；若d ＜0，则当n ＞1－c 1d 时，c n ＜0，与数列{c n }的各项均为正数矛盾，故d ＞0.(10分)由等差数列前n 项和公式可得S n ＝d 2n 2＋(c 1－d2)n ，所以S n ＋S m ＝d 2n 2＋(c 1－d 2)n ＋d 2m 2＋(c 1－d 2)m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d2)(m ＋n)，S k ＝d 2(m ＋n 2)2＋(c 1－d 2)·m ＋n2.又m ≠n ，m 2＋n 22＞（m ＋n ）24，所以S n ＋S m ＝d 2(n 2＋m 2)＋(c 1－d 2)(m ＋n)＞d 2·（m ＋n ）22＋(c 1－d 2)(m ＋n)＝2S k ，则当t ≤2时，不等式S m ＋S n ＞tS k 都成立．(12分)另一方面，当t ＞2时，令m ＝k ＋1，n ＝k －1(k ∈N *，k ≥2)， 则S m ＋S n ＝d 2[(k ＋1)2＋(k －1)2＋(c 1－d 2)·2k]＝d 2(2k 2＋2)＋2k(c 1－d2)，S k ＝d 2k 2＋(c 1－d 2)k ， 则tS k －(S m ＋S n )＝d 2tk 2＋(c 1－d 2)tk －d 2(2k 2＋2)－2k(c 1－d 2) ＝(d 2t －d)(k 2－k)＋(t －2)c 1k －d. 因为d 2t －d ＞0，k 2－k ≥0，所以当k ＞d （t －2）c 1，tS k －(S n ＋S m )＞0，即S m ＋S n ＜tS k . 综上，t 的最大值为2.(16分)2020届高三模拟考试试卷(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：(1) 用待定系数或公式可求得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1.(5分) (2) 设直线l 上任一点(x ，y)在矩阵M 对应的变换作用下为(x′，y ′)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3x ＋2y 2x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′在x ＋3y ＝0上，(8分) 则－3x ＋2y ＋6x －3y ＝0，即3x －y ＝0，所以直线l 的方程为3x －y ＝0.(10分)22. 解：把直线的方程l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ，y ＝1－3t (t 为参数)化为普通方程为x ＋y ＝1.(3分) 圆ρ＝22sin (θ－π4)化为普通方程为x 2＋2x ＋y 2－2y ＝0， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(6分) 圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22.(8分) 所以直线l 被圆C 截得的弦长为2（2）2－（22）2＝ 6.(10分) 23. 解：(1) 因为n ＝A 35＝60，m ＝A 13A 24＝36，所以P 1＝3660＝35. 答：摸到三位数是奇数的概率是35.(4分) (2) 获奖金额X 的可能取值为50，100，200，300，400，500，则P(X ＝50)＝35，P(X ＝100)＝1×3×260＝110，P(X ＝200)＝1×3×160＝120， P(X ＝300)＝1×3×260＝110，P(X ＝400)＝1×3×160＝120，P(X ＝500)＝1×3×260＝110，(7分) 获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝50×35＋100×110＋200×120＋300×110＋400×120＋500×110＝150元． 答：期望是150元．24. 解：(1)1k ＋1C k n ＝1k ＋1·n ！k ！（n －k ）！＝1n ＋1·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！＝1n ＋1C k ＋1n ＋1.(2分)(2) (－1)0C 02 020＋(－1)112C 12 020＋(－1)213C 22 020＋…＋(－1)2 02012 021C 2 0202 020＝∑2 020k ＝0(－1)k 1k ＋1C k 2 020＝12 021∑2 020k ＝0(－1)k C k ＋12 021＝12 021.(4分) (3) (解法1)设a n ＝∑n k ＝0(－1)k C k n 2k ＋2， 则a n ＝1＋∑n －1k ＝1(－1)k (C k n －1＋C k －1n －1)2k ＋2＋(－1)n 2n ＋2＝a n －1＋∑nk ＝1(－1)k C k －1n －12k ＋2＝a n －1＋2n ∑n k ＝1(－1)k C k n k k ＋2 ＝a n －1＋2n ⎣⎡⎦⎤∑n k ＝0 （－1）k C k n －∑n k ＝0 （－1）k C k n 2k ＋2＝a n －1＋2n(0－a n )，(7分) 所以a n ＝n n ＋2a n －1⇒a n ＝n n ＋2·n －1n ＋1a n －2＝…＝n （n －1）·…·3·2（n ＋2）（n ＋1）·…·5·4a 1. 又a 1＝13，所以a n ＝n ！2！（n ＋2）！＝1C n n ＋2. 所以∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝a 2 020＝1C 2 0202 022＝1C 22 022＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)(解法2)∑2 020k ＝0(－1)k C k 2 0202k ＋2＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 020！k ！（2 020－k ）！·2（k ＋1）（k ＋2）（k ＋1） ＝∑2 020k ＝0(－1)k · 2 022！（k ＋2）！（2 020－k ）！·2（k ＋1）2 022×2 021＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k －1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·∑2 020k ＝0(－1)k ·(k ＋2－1)·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0 （－1）k ·（k ＋2）·C k ＋22 022－∑2 020k ＝0 （－1）k ·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎣⎡⎦⎤∑2 020k ＝0（－1）k ·2 022·C k ＋12 021－∑2 020k ＝0 （－1）k ＋2·C k ＋22 022 ＝22 022×2 021·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2 022∑2 020k ＝0 （－1）k ＋1·C k ＋12 021－[（1－1）2 022－1－C 22 022（－1）1] ＝22 022×2 021·{－2 022·[(1－1)2 021－1]＋1－2 022}＝22 022×2 021＝11 011×2 021＝12 043 231.(结果没化简，不扣分)(10分)。

2020届苏锡常镇二模数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n(x i －x )2，其中x ＝1n.球的体积V ＝43πr 3，其中r 表示球的半径．柱体的体积V ＝Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝11＋i，则|z|＝________．2. 已知集合A ＝{x|0≤x ≤1}，B ＝{x|a －1≤x ≤3}，若A ∩B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为________．3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为y ＝23x ，则a ＝________．5. 甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x 的值为________．7. “直线l 1：ax ＋y ＋1＝0与直线l 2：4x ＋ay ＋3＝0平行”是“a ＝2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)8. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________．9. 已知M 是曲线y ＝2ln x ＋x 2－3x 上的一动点，当曲线在点M 处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为________________．10. 已知3cos 2α＝4sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin 2α＝________． 11. 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，AB ＝1，BC ＝2.分别以A ，D 为圆心，1为半径作圆弧EB ︵，EC ︵，将两圆弧EB ︵，EC ︵及BC 所围成的平面图形(阴影部分)绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为________．(第11题) (第14题)12. 在△ABC 中，(AB →－λAC →)⊥BC →(λ＞1)，若A 的最大值为π6，则实数λ的值是________．13. 若函数f(x)＝a x (a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n)，则实数a 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，AE ＝2EC ，CD 与BE 相交于点O.若OB ＝2OC ，则△ABC 面积的最大值是________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A －3a sin B ＝0. (1) 求A 的大小；(2) 已知a ＝2 3，B ＝π3，求△ABC 的面积．如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．求证：(1) AP∥平面EBD；(2) BE⊥PC.17. (本小题满分14分)某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度)，l1和l2所在直线的距离为0.5(百米)，对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于点M )，在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到点M的距离为1 (百米)，且点F恰在点B的正对岸(即BF⊥l3)．(1) 在图中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；(2) 游客(视为点P)在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在(1)的坐标系中，写出观测点P的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32，A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过左焦点F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点(其中点D 在x 轴上方)． (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若△AEF 与△BDF 的面积之比为1∶7，求直线l 的方程．已知函数f(x)＝23x 3－mx 2＋m 2x(m ∈R )的导函数为．(1) 若函数g (x )＝f (x )－存在极值，求m 的取值范围；(2) 设函数h (x )＝(其中e 为自然对数的底数)，对任意m ∈R ，若关于x 的不等式h (x )≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，求正整数k 的取值集合．已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中n ∈N *.(1) 若a n ＝n ，b n ＝2n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ；(2) 若数列{a n }为等差数列，且对任意n ∈N *，c n ＋1>c n 恒成立． ①当数列{b n }为等差数列时，求证：数列{a n }，{b n }的公差相等；②数列{b n }能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n }；若不能，请说明理由.2020届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 321，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1，且二阶矩阵M 满足AM ＝B ，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋2 3cos 2α2 (α为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1) 求曲线C 的普通方程；(2) 求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标．(本小题满分10分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝t (t 为常数)，且x 24＋y 29＋z 2的最小值为，求实数t 的值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会(即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推)．抽奖的规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大(如1，2，5)，则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小(如5，3，1)，则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．(1) 某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；(2) 赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．23. (本小题满分10分)已知抛物线C：x2＝4py(p为大于2的质数)的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.(1) 求点G的轨迹方程；(2) 当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．2020届苏锡常镇二模数学参考答案1.22 2. 2 3. 0.08 4. 3 5. 566. 67. 必要不充分8. －2n ＋119. x －y －3＝010. －19 11. 2π312. 3 13. (1，e 2e ) 14. 8 215. (1) 因为b cos A －3a sin B ＝0，所以由正弦定理可得sin B cos A －3sin A sin B ＝0.(2分) 因为0<B<π，所以sin B>0，所以cos A ＝3sin A. 因为0<A<π，所以cos A ＝3sin A>0，所以tan A ＝33.(6分) 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(8分)(2) 因为a ＝2 3，B ＝π3，A ＝π6，所以在△ABC 中，C ＝π2.(10分)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b ＝a sin Bsin A＝2 3×3212＝6，(12分)所以S △ABC ＝12ab ＝12×2 3×6＝6 3.(14分)16. (1) 连结AC 交BD 于点O.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点． 连结EO ，在△PAC 中，因为E 是PC 的中点，所以EO ∥AP.(2分) 又因为AP ⊄平面EBD ，EO ⊂平面EBD ， 所以AP ∥平面EBD.(6分)(2) 因为△PDC 为正三角形，E 是PC 的中点， 所以DE ⊥PC.(8分)又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝DC ，且BD ⊥DC ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，所以BD ⊥PC.(11分)又因为DE ⊥PC ，且BD ∩DE ＝D ，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以PC ⊥平面BDE.因为BE ⊂平面BDE ，所以BE ⊥PC.(14分)17. (1) 以A 为原点，l 1所在的直线为x 轴，AM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(如图)，则由题意可知A(0，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，12.(2分) 设抛物线方程为x 2＝2py(p>0)， 则1＝2p ×12，解得p ＝1，(4分)所以栈道AB 的方程为x 2＝2y(0≤x ≤1)．(6分)(2) 过点P 作PH ⊥l 3于点H ，设P(x 0，y 0)(其中0≤x 0≤1，0≤y 0≤12)，则PH ＝2－y 0.设∠EPH ＝α，∠FPH ＝β，则∠EPF ＝α＋β， 所以tan α＝1＋x 02－y 0，tan β＝1－x 02－y 0，(7分)所以tan (α＋β)＝1＋x 02－y 0＋1－x 02－y 01－1＋x 02－y 0·1－x 02－y 0＝22－y 01－1－x 20（2－y 0）2＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋x 20＝2（2－y 0）（2－y 0）2－1＋2y 0.(9分)令t ＝2－y 0∈⎣⎡⎦⎤32，2，则0<tan (α＋β)＝2t t 2－1＋2（2－t ）＝2t t 2－2t ＋3＝2t ＋3t－2≤22 t·3t－2＝3＋12， 当且仅当t ＝3t ，即t ＝3∈⎣⎡⎦⎤32，2时取等号．(12分) 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan (α＋β)＞0，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 因为y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，所以当tan (α＋β)最大时，α＋β最大，即∠EPF 最大，此时y 0＝2－3，x 0＝3－1，即P(3－1，2－3)．(13分)故点P 的坐标为P(3－1，2－3)时，观测EF 的视角(∠EPF)最大．(14分)18. (1) 设椭圆的焦距为2c(c>0)，则e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝12，可知b 2＝34a 2.(2分)又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1，(4分) 解得a 2＝4，b 2＝3，即椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分) (2) 设D(x 1，y 1)，E(x 2，y 2)，直线l ：x ＝my －1.因为S △BDF ＝12(a ＋c)|y 1|＝32y 1，S △AEF ＝12(a －c)|y 2|＝－12y 2，所以由S △BDF ＝7S △AEF ，可得y 1＝－73y 2.(9分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4＝－43y 2，y 1y 2＝－93m 2＋4＝－7y223<0.(11分)因为y 1>0，所以y 2<0，所以m>0.(12分) 由上式可得y 2＝－9m 2（3m 2＋4）＝－67m ，即m 2＝169.(15分) 又因为m>0，所以m ＝43，所以直线l 的方程为y ＝34(x ＋1)．(16分)19. (1) f′(x)＝2x 2－2mx ＋m 2，(1分)所以g(x)＝⎝⎛⎭⎫23x 3－mx 2＋m 2x －(2x 2－2mx ＋m 2)＝23x 3－(m ＋2)x 2＋(m 2＋2m)x －m 2， 所以g′(x)＝2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m.(3分)①当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m)≤0时，即m ≤－2或m ≥2时，g′(x)≥0恒成立，所以函数g(x)在R 上单调递增，故函数g (x )无极值； ②当Δ＝4(m ＋2)2－8(m 2＋2m )>0时，即－2<m <2时，2x 2－2(m ＋2)x ＋m 2＋2m ＝0有两个根x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)，列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 1，＋∞)g ′(x ) ＋－0 ＋g (x )极大值极小值综上所述，m 的取值范围是(－2，2)．(6分)(2) 因为h (x )＝(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)，所以对任意m ∈R ，(2e 2x －2m e x ＋m 2)＋(2ln 2x －2m ln x ＋m 2)≥m 2＋k 2在(0，＋∞)上恒成立，(8分)即对任意m ∈R ，m 2－2(e x ＋ln x )m ＋(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≥0在(0，＋∞)上恒成立，(10分) 所以Δ＝4(e x ＋ln x )2－4(2e 2x ＋2ln 2x －k 2)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即k 2≤(e x －ln x )2对任意x >0恒成立． 记φ(x )＝e x －ln x (x >0)，所以φ′(x )＝e x －1x.因为φ″(x )＝e x ＋1x 2>0，所以φ′(x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增且连续不间断，而φ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，φ′(1)＝e －1>0，所以函数φ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，列表如下：x (0，x 0) x 0 (x 0，＋∞)φ′(x ) －0 ＋φ(x )极小值所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝e x 0－ln x 0，其中e x 0－1x 0＝0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(13分) 所以x 0＝－ln x 0，所以φ(x )min ＝e x 0－ln x 0＝x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52. 又因为k >0，所以由k 2≤(e x －ln x )2得k ≤e x －ln x 对任意x >0恒成立． 由题意知k ≤φ(x )min ＝x 0＋1x 0.因为x 0＋1x 0∈⎝⎛⎭⎫2，52，且k ∈N *， 所以k ＝1，2，(15分)即正整数k 的取值集合为{1，2}．(16分)20. (1) T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n ) ＝（1＋2n －1）n 2＋4（1－4n ）1－4＝n 2＋4n ＋1－43.(3分)(2) ①设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公差为d 2.因为数列{c n }是递增数列，所以∀k ∈N *，a 2k －1<b 2k <a 2k ＋1， 即∀k ∈N *，a 1＋(2k －2)d 1<b 1＋(2k －1)d 2<a 1＋2kd 1， 所以∀k ∈N *，⎩⎪⎨⎪⎧2（d 2－d 1）k ＋b 1－a 1＋2d 1－d 2>0， ①2（d 1－d 2）k ＋a 1－b 1＋d 2>0. ②由①得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2－2d 1<0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≤0，a 1－b 1－d 2＜0.(6分)由②得2k (d 1－d 2)＋a 1－b 1＋d 2>0对任意k ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d 1－d 2≥0，a 1－b 1＋2d 1－d 2>0，(7分)所以d 1＝d 2>0，即数列{a n }，{b n }的公差相等．(8分) ②数列{b n }不能为等比数列．(9分)若存在，设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为数列{c n }是递增数列，所以a 1＝c 1<c 3＝a 3＝a 1＋2d ，所以d >0.(10分) 又a n ＝a 1＋(n －1)d ，则当n >1－a 1d 时，a n >0，所以必存在正奇数i ，有a i >0，所以b i ＋1＝c i ＋1>c i ＝a i >0，即b 1q i >0， 所以b 1q >0，即b 2>0.因为b 2＝c 2<c 4＝b 4＝b 2q 2，所以q 2>1.(12分)记q 2＝p ，则p >1.因为∀k ∈N *，b 2k ＋2<a 2k ＋3，所以对任意k ∈N *，有b 2p k <a 3＋2kd 成立． 设f (x )＝x 2e x ，x >0，则f ′(x )＝x （2－x ）e x .当0<x <2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以∀x >0，有f (x )≤f (2)＝⎝⎛⎭⎫2e 2<1，从而x >0时，e x >x 2.因为p >1，所以∀k ∈N *，k ln p >0，所以e k ln p >(k ln p )2，即p k >ln 2p ·k 2， 从而∀k ∈N *，b 2ln 2p ·k 2<b 2p k <a 3＋2kd .因为a 3＝c 3>c 2＝b 2>0，所以a 3≤a 3k ，所以b 2ln 2p ·k 2<a 3k ＋2kd ， 所以对任意k ∈N *，k <a 3＋2db 2ln 2p， 而上式不成立，所以数列{b n }不能为等比数列．(16分)．21. A. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3 1 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3c ＝－2，b ＋3d ＝3，2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11.(4分)令M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 0 1 λ－1＝(λ－1)2＝0，得λ＝1，所以M 的特征值为1.(7分)设属于特征值1的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则由M α＝α，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－11⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ，－x ＋y ＝y ，所以x ＝0，所以M 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(注：答案不唯一)(10分)B. (1) 因为ρ＝4sin θ，所以ρ2＝4ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(4分)(2) 曲线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝3（cos α＋2）(α为参数)，所以曲线l 的普通方程为y ＝3x (1≤x ≤3)．(6分)由⎩⎨⎧y ＝3x ，x 2＋（y －2）2＝4，得4x 2＝4 3x ， 所以x ＝0(舍去)或x ＝3，故曲线l 和曲线C 的公共点的直角坐标为(3，3)， 其极坐标为⎝⎛⎭⎫2 3，π3.(10分) C. 由柯西不等式⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y32＋z 2(22＋32＋12)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋z )2＝t 2，(6分)当且仅当x 22＝y33＝z 1时取等号，此时x 4＝y 9＝z .又x ＋y ＋z ＝4，解得x ＝87，y ＝187，z ＝27，所以x 24＋y 29＋z 2的最小值为t 214.(8分)因为x 24＋y 29＋z 2的最小值为87，所以t 214＝87.又因为t ＝x ＋y ＋z >0，所以t ＝4.(10分)22. (1) X 的所有可能取值有10，20，40.按规则摸出3个小球的情况共有5×4×3＝60(种)．(1分)其中“一次比一次大”和“一次比一次小”的情况都恰有C 35＝10(种)， 所以P(X ＝40)＝1060＝16，P(X ＝20)＝1060＝16，P(X ＝10)＝1－P(X ＝40)－P(X ＝20)＝23，故获奖金额X 的概率分布为数学期望E(X)＝10×23＋20×16＋40×16＝503，故获奖金额X 的数学期望为503元．(6分) (2) 记“获得的奖金恰好为60元”为事件A.赵四购物恰好满600元，则他有3次抽奖机会，各次抽奖结果相互独立． 事件A 包含：三次都是二等奖；一次一等奖及两次三等奖， P(A)＝⎝⎛⎭⎫163＋C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫161＝49216，(9分)故赵四获得的奖金恰好为60元的概率为49216.(10分)23. (1) 由题意可得F(0，p)，AB ：y ＝kx ＋p(k ≠0)，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4py ，y ＝kx ＋p ，得x 2－4pkx －4p 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16p 2k 2＋16p 2>0，x 1＋x 2＝4pk ，x 1x 2＝－4p 2.由y ＝x 24p ，得y′＝x 2p，所以抛物线C 在点A 处的切线方程为y ＝x 12p (x －x 1)＋x 214p ，即y ＝x 12p x －x 214p，①同理抛物线C 在点B 处的切线方程为y ＝x 22p x －x 224p.②联立①②得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 24p ，即G(2pk ，－p)，所以点G 的轨迹方程为y ＝－p(x ≠0，且p 为大于2的质数)．(3分) (2) 设AB 的中点为M ，连结MG ，FG . 由F(0，p)，G(2pk ，－p)，得k FG ＝－1k，所以AB ⊥FG .因为AB ⊥EM ，所以EM ∥FG ，所以∠EMF ＝∠GFM ＝90°.因为x M ＝12(x 1＋x 2)＝2pk ＝x G ，所以MG 平行于y 轴，所以∠EFM ＝∠GMF.又因为FM ＝MF ，所以△EFM ≌△GMF ， 所以EM ＝FG ，所以S ＝S △AGB ＋S △AEB ＝12AB·FG ＋12AB·EM ＝AB·FG .又因为AB ＝AF ＋BF ＝y 1＋y 2＋2p ＝k(x 1＋x 2)＋4p ＝4p(1＋k 2)， 且FG ＝（2pk ）2＋（2p ）2＝2p 1＋k 2， 所以S ＝AB·FG ＝p 2(21＋k 2)3.(6分)由题意得2pk 为整数，设2pk ＝t(t ∈Z ，t ≠0)， 所以k ＝t2p.假设S ＝p 2(21＋k 2)3为整数，则21＋k 2＝n (n ∈N *)， 即4＋⎝⎛⎭⎫t p 2＝n ，所以⎝⎛⎭⎫t p 2＝n 2－4， 所以tp只能为整数．(8分)设t ＝dp (d ∈Z ，d ≠0)，则d 2＝n 2－4，所以(n －d )(n ＋d )＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝4，n ＋d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－4，n ＋d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝1，n ＋d ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－1，n ＋d ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝2，n ＋d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n －d ＝－2，n ＋d ＝－2. 因为d ∈Z ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0，但当⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，d ＝0时，k ＝0，与k ≠0矛盾，不合题意．综上所述，S 不是整数．(10分)。

2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,3,5,7A =,{}2|log (2)1B x x =-<,则A B =( )A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}3,5【参考答案】B 【试题解析】由对数函数的性质可得{}|24B x x =<<,再由集合交集的概念即可得解. 由题意{}{}{}2|log (2)1|022|24B x x x x x x =-<=<-<=<<, 所以{}{}{}2,3,5,7|243x Ax B <<==.故参考答案：B.本题考查了对数不等式的求解及集合的运算,属于基础题. 2.若复数z 满足()2z i i i +=-,则z =( ) 2 B.210 D.10【参考答案】C 【试题解析】由题意13z i =--,再由复数模的概念即可得解.由题意()22213i i iz i i i i i --=-=-=--,所以z ==故参考答案：C.本题考查了复数的运算与模的求解,属于基础题. 3.下列说法正确的是( )A.“若2a >,则24a >”的否命题为“若2a >,则24a ≤”B.命题p q ∨与()p q ⌝∨至少有一个为真命题C.“0x ∀>,2220x x -+≥”的否定为“0x ∀>,2220x x -+<”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题 【参考答案】B 【试题解析】由否命题的概念即可判断A,由命题及其否定的关系可判断B,由全称命题的否定方法可判断C,由命题的概念可判断D,即可得解.对于A,“若2a >,则24a >”的否命题为“若2a ≤,则24a ≤”,故A 错误；对于B,命题p q ∨的否定为()p q ⌝∨,故命题p q ∨与()p q ⌝∨有一个命题为真,故B 正确； 对于C,“0x ∀>,2220x x -+≥”的否定为“0x ∃≤,2220x x -+<”,故C 错误； 对于D,“这次数学考试的题目真难”不能判断真假,故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题,故D 错误. 故参考答案：B.本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念,属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立,某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查,经过计算2K 的观测值为7,根据这一数据分析,下列说法正确的是( ) 附：A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关 【参考答案】D 【试题解析】由题意()26.6350.01P K ≥=,由独立性检验的原理即可得解.由题意27K =,()26.6350.01P K ≥=,所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为英语词汇量与阅读水平有关,有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关. 故参考答案：D.本题考查了独立性检验的应用,属于基础题.5.斐波那契数列,指的是这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,…,在数学上,斐波那契数列{}n a 定义如下：121aa ==,()123,n n n a a a n n Z --=+≥∈.随着n 的增大,1nn a a +越来越逼近黄金分割10.6182≈,故此数列也称黄金分割数列,而以1n a +、n a 为长和宽的长方形称为“最美长方形”,已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米,则该长方形的长应该是( ) A.144厘米 B.233厘米C.250厘米D.377厘米【参考答案】B 【试题解析】由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=,即可得解.由题意可得10.618nn a a +≈且133600n n a a +=,解得1233n a +≈. 故参考答案：B.本题考查了数学文化及数列新定义的应用,属于基础题.6.在103x 的展开式中,常数项为( )A.-252B.-45C.45D.252【参考答案】C 【试题解析】由题意写出10的展开式的通项公式,令8r =即可得解.由题意,10的展开式的通项公式为：()105110101rrr rr r r T C C x --+⎛=⋅=-⋅⋅ ⎝, 令53r -=-即8r =,()()8583310101145rr r C x C x x ----⋅⋅=-⋅⋅=,所以103x 的展开式中,常数项为45.故参考答案：C.本题考查了二项式定理的应用,属于基础题. 7.已知,0a b >,22a b +=,则1b a b+取值范围是( )A.()0,∞+B.[)2,+∞C.)1,++∞D.)⎡+∞⎣【参考答案】C 【试题解析】 由题意112b b aa b a b+=++,利用基本不等式即可得解.由题意得,1212121222b b a b b a b a a b a b a b a b++=+=++≥⋅+=+, 当且仅当2b a a b=,即222a =-,22b =-时等号成立. 故参考答案：C.本题考查了基本不等式的应用,关键是对于条件做适当的变形,属于基础题. 8.函数x xy e=的部分图象是( ) A. B.C. D.【参考答案】A 【试题解析】对比函数的性质与图象的特征,逐项排除即可得解. 令()x x f x e =,则()()xxf x f x e---==-,所以()f x 为奇函数,可排除C 选项； 当0x >时,()1x xf x e-'=,故()f x 在()0,1上单调递增,()1,+∞上单调递减,故排除B 、D. 故参考答案：A.本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用,属于基础题. 9.定义在R 上的奇函数()f x 满足：3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且当30,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()2log (1)f x x m =++,若()2100log 3f =,则实数m 的值为( )A.2B.1C.0D.-1【参考答案】B 【试题解析】由题意结合奇函数的性质可得()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,结合函数周期的概念可得()f x 是周期为3的周期函数,进而可得()()110012f f f ⎛⎫==⎪⎝⎭,即可得解. 由()f x 为奇函数知3344f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴3344f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,∴()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭,∴()f x 是周期为3的周期函数, 故()()2131001log 22f f f m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭,即223log log 32m +=,∴1m =. 故参考答案：B.本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用,考查了对数运算及运算求解能力,属于中档题.10.已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ,以F 为圆心、3p 为半径的圆交抛物线E 于P ,Q 两点,以线段PF 为直径的圆经过点()0,1-,则点F 到直线PQ 的距离为( )B.3C.5D.【参考答案】C 【试题解析】由题意结合抛物线的性质得52p x p =,p y ,由以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -可得115212p p+⋅=-,求得5p =即可得解.由题意点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设点()(),0P P P P x y y >,()0,1A -, 32p p FP x p =+=,∴52p x p =,p y , 以线段PF 为直径的圆经过点()0,1A -,∴AP AF ⊥,即115212p p+⋅=-,∴5p =, 由//PQ y轴可得所求距离为5225p p -=. 故参考答案：C.本题考查了直线与抛物线的综合应用,考查了运算求解能力和转化化归思想,属于基础题. 11.已知ABC 的面积为1,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若sin sin sin sin a A b B B c C -=+,cos cos 5B C =,则a =( )【参考答案】D 【试题解析】由题意结合正弦定理得222a b c -=+,由余弦定理得cos 2A =-即34A π=,再由cos sin sin cos cos A B C B C =-可得sin sin 10B C =,根据正弦定理得sin b B =,sin c C =,则212sin sin 22ABC S a B C =⋅⋅△即可得解.由sin sin sin sin a A b B B c C -=+得222a b c -=+,则2222cos 2b c a A bc +-==-,由()0,A π∈可得34A π=, 由cos cos()sin sin cos cos A B C B C B C =-+=-得2sin sin 10B C =, 由正弦定理知2sin sin b ca B C==,即2sin b a B =,2sin c a C =, ∴221121sin 2sin sin 22101ABC S bc A a B C a ==⋅⋅==△, 所以10a =. 故参考答案：D.本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用,考查了运算能力与转化化归思想,属于中档题.12.已知,,,A B C D 四点均在球O 的球面上,ABC 是边长为6的等边三角形,点D 在平面ABC 上的射影为ABC 的中心,E 为线段AD 的中点,若BD CE ⊥,则球O 的表面积为( ) A.36π B.42πC.54πD.246π【参考答案】C 【试题解析】设ABC 的中心为G ,连接BG 并延长BG 交AC 于F ,则F 为AC 中点,连接DF 、DG ,由题意可得AC BD ⊥,进而可得BD ⊥平面ACD ,即可得DA ,DB ,DC 两两垂直,可把原三棱锥的外接球转化为以DA ,DB ,DC 为棱的正方体的外接球,即可得解.设ABC 的中心为G ,连接BG 并延长BG 交AC 于F ,则F 为AC 中点,连接DF 、DG ,由题知DG ⊥平面ABC ,所以DG AC ⊥,又AC GB ⊥,DG GB G =,所以AC ⊥平面DGB ,所以AC BD ⊥, 又BD CE ⊥,CEAC C =,∴BD ⊥平面ACD ,∴BD CD ⊥,BD AD ⊥,又D ABC -为正三棱锥,∴DA ,DB ,DC 两两垂直,故三棱锥D ABC -可看作以DA ,DB ,DC 为棱的正方体的一部分,二者有共同的外接球,由6AB =得DA =故正方体外接球直径2R ==所以球O 的表面积为224454R πππ==⎝⎭.故参考答案：C.本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解,考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量()2,a m =,()1,2a b +=,若()//3a a b +,则实数m =______________. 【参考答案】4 【试题解析】由题意可得()1,2b m =--,进而可得()31,62a b m +=--,再由平面向量共线的特征即可得解.()2,a m =,()1,2a b +=,∴()1,2b m =--,∴()31,62a b m +=--,又()//3a a b +,∴()262m m -=-,解得4m =. 故答案为：4.本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征,属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示,网格中的每个小方格是边长为1的正方形,则该几何体的体积为_______________.【参考答案】9452π- 【试题解析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个18球,利用体积公式即可得解. 由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球,如图所示,∴3149335345832V ππ=⨯⨯-⋅⋅=-. 故答案为：9452π-.本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解,属于基础题. 15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中,2a ,4a ,8a 依次成等比数列,若3a ,6a ,1b a ,2b a ,…,nb a ,…成等比数列,则n b =_____________.【参考答案】132n +⋅ 【试题解析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd =,进而可得132n n b a d +=⋅,即可得解.设数列{}n a 公差为d ,由题知()()24284424a a a a d a d ==-+,即44a d =,故413d d a a =-=, ∴n a nd =,33a d =,66a d =, 故新等比数列首项为3d 、公比为2, 因此132n n b a d +=⋅,故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.本题考查了等差数列、等比数列的综合应用,考查了运算求解能力,属于基础题.16.若曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直,则实数a 的取值范围是__________.【参考答案】⎡⎣【试题解析】求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+,转化条件得存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-,进而可得()()221a a -+≤-,即可得解. 求导得[]2sin 2,2y a x a a '=-∈-+,曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直,∴存在[]12,2,2k k a a ∈-+使得121k k =-,不妨设120k k <<,()()()121222k k k a a a ≥+≥-+,∴()()221a a -+≤-,即a ≤≤故答案为：⎡⎣.本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算,考查了转化化归思想,属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知函数()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调性；(2)在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,a =1c =,求ABC 的面积.【参考答案】(1)在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增,在511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减,k Z ∈；【试题解析】 (1)由三角恒等变换得()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,分别令()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈、()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈即可得解； (2)由题意可得23A π=,由正弦定理得1sin 2C =,进而可得6B π=,再利用1sin 2ABC S ac B =△即可得解.(1)由题意()2cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 22sin 223x x x π+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 由()222232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()51212k x k k Z ππππ-≤≤+∈,由()3222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈得()1212k x k k Z 5π11ππ+≤≤π+∈,故()f x 在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增,在()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减；(2)由题意2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则sin 3A π⎛⎫-=⎪⎝⎭,∵()0,A π∈,∴33A ππ-=,即23A π=, 由正弦定理得sin sin c a C A=即13sin 3C =,1sin 2C =, 由0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得6C π=,∴ππ6B A C, ∴1113sin 312224ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△. 本题考查了三角函数的性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用,属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队,筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位：cm )在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为[)165,167,[)167,169,[)169,171,[)171,173,[]173,175五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X (cm )近似服从正态分布()2,N μσ,其中μ近似为样本平均数x ,2σ近似为样本方差2s . (i )求()167.86174.28P X <<；(ii )若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X Nμσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,()220.9544P X μσμσ-<<+=10.7≈,100.95440.63≈,90.97720.81≈,100.97720.79≈.【参考答案】(1)170x =,2 4.6s =；(2)(i )0.8185；(ii )0.21 【试题解析】(1)由题意求出各组频率,由平均数公式及方差公式即可得解； (2)(i )由题意结合正态分布的性质即可得解；(ii )由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=,再由()10110.0228P =--即可得解.(1)由题知第三组的频率为750.375200=, 则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=, 第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=,所以五组频率依次为0.1,0.2,0.375,0.25,0.075,故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；(2)由题知170μ=, 2.145σ==≈, (i )()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；(ii )()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==, 故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.本题考查了频率分布直方图的应用,考查了正态分布的应用,属于中档题.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,//AB CD ,AB AP ⊥,3AB =,4=AD ,5BC =,6CD =.过直线AB 的平面分别交棱PD ,PC 于E ,F 两点.(1)求证：PD EF ⊥；(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为3π,且PA PD =,EF AB =,求二面角A BD F --的余弦值.【参考答案】(1)证明见解析；(2)9131【试题解析】(1)由线面平行的性质可得//AB EF ,取DC 中点G ,连接BG ,则ABGD 为平行四边形,由平面几何知识90BGC ∠=︒即AB AD ⊥,由线面平行的判定可得AB ⊥平面PAD ,再由线面垂直的性质即可得证；(2)由题意3PD =E 、F 分别为PD 、PC 的中点,建立空间直角坐标系,求出各点坐标后,进而可得平面DBF 的一个法向量为m 、平面ABD 的一个法向量n ,由cos ,m nm n m n⋅=⋅即可得解.(1)证明：∵//AB DC ,AB ⊄平面PDC ,∴//AB 平面PDC , 又面ABFE面PDC EF =,∴//AB EF ,取DC 中点G ,连接BG ,如图：则ABGD 为平行四边形,∴4BG =,又3GC =,5BC =,故90BGC ∠=︒, ∴AD DC ⊥,∴AB AD ⊥,又AB AP ⊥,AP AD A ⋂=,∴AB ⊥平面PAD , ∴EF ⊥平面PAD ,又PD ⊂平面PAD ,∴PD EF ⊥；(2)由(1)知CD ⊥平面PAD ,∴CPD ∠即为直线PC 与平面PAD 所成角, ∴3CPD π∠=,∴tan 3CPD DCDP ∠==,解得23PD =, 又12EF AB DC ==,∴E ,F 分别为PD ,PC 的中点, 取AD 中点O ,连接PO ,则PO AD ⊥,2222PO PD OD =-=,由CD ⊥平面PAD 可得CD PO ⊥,CDAD D =,故PO ⊥平面ABCD ,以O 为原点,OA ,AB ,OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图：则()2,0,0A ,()2,0,0D -,()2,3,0B ,()2,6,0C -,(0,0,22P , 故(2F -,()4,3,0DB =,(2DF =, 设平面DBF 的一个法向量为(),,m x y z =,则43030m DB x y m DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩,令3x =得3,m ⎛=- ⎝⎭, 显然()0,0,1n =是平面ABD 的一个法向量,∴922c os ,131m n m n m n⋅===⋅, 由题知二面角A BD F --的余弦值为-本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角,考查了空间思维能力与运算求解能力,属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3,且点1,3⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作斜率为1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点,点P 满足2OP OM =(O 为坐标原点),直线NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ,若NQ NP λ=,求λ的值.【参考答案】(1)22132x y +=；(2)2237λ=【试题解析】(1)由题意可得c a =、221413a b +=,解出23a =,22b =后即可得解； (2)设()11,M x y ,()22,N x y ,转化条件得2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+= ⎪⎝⎭,联立方程可得1265x x +=,1235x x =-,即可得解. (1)由题知c a =,故2223b a =,又221413a b+=,∴23a =,22b =,所以椭圆C 的方程为22132x y +=；(2)设()11,M x y ,()22,N x y ,由2OP OM =得()112,2P x y , 由NQ NP λ=得()()221212,2,2Q Q x x y y x x y y λ--=--, ∴122(1)Q x x x λλ=+-,122(1)Q y y y λλ=+-,又点Q椭圆C 上,故[][]2212122(1)2(1)132x x y y λλλλ+-+-+=,即222222112212124(1)4(1)1323232x y x y x x y y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴2212124(1)4(1)132x x y y λλλλ⎛⎫+-+-+=⎪⎝⎭,由题知直线:1MN y x =-,与椭圆C 的方程联立得25630x x --=,>0∆, 则1265x x +=,1235x x =-, ∴()()()121212123641111555y y x x x x x x =--=-++=--+=-, ∴212524(1)055λλλλ⎛⎫-+---= ⎪⎝⎭,解得2237λ=或0, 又N ,Q 不重合,∴0λ≠,故2237λ=. 本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用,考查了运算求解能力,属于中档题.21.已知函数()21ln 2f x x ax =+,a R ∈.(1)讨论()f x 的单调性； (2)若不等式()12xf x e e a <-+对()1,x ∀∈+∞恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】(1)当0a ≥时,在()0,∞+上单调递增,当0a <时,在⎛ ⎝上单调递增,在⎫+∞⎪⎭上单调递减；(2)1a e -≤【试题解析】(1)求导后,按照0a ≥、0a <分类讨论,求出()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解； (2)转换条件得211ln 022xe ax x e a ---+>在()1,+∞上恒成立,令()211ln 22x g x e ax x e a =---+,求导后结合()10g =,按照1a e >-、1a e -≤分类讨论,即可得解.(1)求导得()211(0)ax f x ax x x x+'=+=>,当0a ≥时,()0f x '>,()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a <时,()00f x x'>⇔<<,所以()f x 在⎛⎝上单调递增,在⎫+∞⎪⎭上单调递减； (2)()2111ln 0222xx f x e e a e ax x e a <-+⇔---+>, 令()211ln 22xg x e ax x e a =---+,()10g =,则()1xg x e ax x'=--,若()10g '<,即1a e >-,则存在01x >,使得当(]01,x x ∈时()0g x '<,()g x 单调递减, ∴()()010g x g <=,与题意矛盾；当1a e -≤时,令()1xh x e ax x=--,()1,x ∈+∞, ∴()()221110xh x e a e e x x'=-+>--+>,∴()h x 即()g x '单调递增,∴()()110g x g e a ''>=--≥,∴()g x 单调递增,∴()()10g x g >=,符合题意； 综上所述,1a e -≤.本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力与推理能力,属于中档题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数),以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为(4sin 3cos )a ρθθ+=,且直线l 与曲线C 有两个不同的交点. (1)求实数a 的取值范围；(2)已知M 为曲线C 上一点,且曲线C 在点M 处的切线与直线l 垂直,求点M 的直角坐标. 【参考答案】(1)828a <<；(2)221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫⎪⎝⎭【试题解析】(1)分别求出曲线C 与直线l 的直角坐标方程,由点到直线的距离公式即可得解；(2)设点()0022cos ,32sin M θθ++,由题意可得1//O M l 即002sin 32co 4s θθ=-,结合同角三角函数的平方关系求得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩后即可得解.(1)消参可得曲线C 的普通方程为()()22234x y -+-=,可得曲线C 是圆心为()2,3,半径为2的圆,直线l 的直角坐标方程为43y x a +=,由直线l 与圆C 有两个交点知61225a+-<,解得828a <<； (2)设圆C 的圆心为()12,3O ,由圆C 的参数方程可设点()0022cos ,32sin M θθ++,由题知1//O M l ,∴002sin 32co 4s θθ=-,又2200s cos in 1θθ+=,解得004cos 53sin 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,或004cos 53sin 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,故点M 的直角坐标为221,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或189,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化,考查了参数方程的应用,属于中档题.23.已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若实数a ,b 满足22a b m +=,求221112a b +++的最小值. 【参考答案】(1)2m =；(2)45【试题解析】(1)由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥,即可得解； (2)由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+⎪++⎝⎭,结合222a b +=即可得解. (1)由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥,当且仅当0x =时等号成立,故2m =；(2)由题意222a b +=, 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝, 当且仅当232a =,212b =时,等号成立, ∴222211441235a b a b +≥=++++,故221112a b +++的最小值为45. 本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用,属于中档题.。

江苏省扬州市杭集中学2020年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的零点个数是（）A．0 B. 1 C. 2 D. 3参考答案：C2. 5．下列命题中：①若向量、与空间任意向量不能构成基底，则∥。

②若∥，∥，则∥.③若、、是空间一个基底，且=＋＋,则A、B、C、D四点共面。

④若向量+ ，+ ，+ 是空间一个基底，则、、也是空间的一个基底。

其中正确的命题有（）个。

A 1B 2C 3D 4参考答案：C3. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么（）A B C D参考答案：A4. 若二项式的展开式的第5项是二项式系数最大的项，则自然数的值为A．6 B．8 C．9 D．11 （）参考答案：B略5. 已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A． 10 B． 20 C．D．参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．6. 已知△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，BC边上的中线，则( )A．3 B．C．D．参考答案：C7. 的值是（）A． B． C． D．参考答案：C略8. 设函数在区间内有零点，则实数的取值范围是( )A． B．C． D．参考答案：C在上是减函数，由题设有，得解C．9. 已知，，，，下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：D因为，，，所以A错；因为，，所以B错；因为，，所以C错；由不等式性质得若，则，所以D对，故选D．10. 已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线与直线之间的距离为_____。

2020年江苏省扬州市宝应县中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列四个数中，最大的数是()A. −2B. |−2|C. (−2)2D. −(−2)2.下列运算正确的是()A. −3a+a=−4aB. 3x2⋅2x=6x2C. 4a2−5a2=a2D. (2x3)2÷2x2=2x43.一把直尺和一块三角板ABC(其中∠B=30°，∠C=90°)摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE=50°，那么∠BAF的大小为()A. 20°B. 40°C. 45°D. 50°4.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x−(单位：千克)及方差S2(单位：千克 2)如表所示：甲乙丙丁x−24242320S2 2.1 1.92 1.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.下图是由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是()A.B.C.D.6.如图，在△ABC中，∠CAB=65º，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，连接EC，满足EC//AB，则∠BAD的度数为()A. 50°B. 40°C. 35°D. 30°(k1⋅k2≠0)的图象如图所示，若y1>y2，则x的取7.一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=k2x值范围是()A. −2<x<0或x>1B. −2<x<1C. x<−2或x>1D. x<−2或0<x<18.二次函数y=2x2+x−1的图象与x轴的交点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9.数据0.0000032用科学记数法表示为______．10.分解因式：a3−ab2=______．11.如图，数轴上点A表示的数为a，化简：|a−1|=______．12. 如图，在▱ABCD 中，AB =√13，AD =4，将▱ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为______ ．13. 如图，在Rt △ABC 中，EF 是中位线，CD 是斜边AB 上的中线，EF =12cm ，则CD = ______．14. 如图，小明购买一种笔记本所付款金额y(元)与购买量x(本)之间的函数图象由线段OB 和射线BE 组成，则一次购买8个笔记本比分8次购买每次购买1个可节省______元．15. 如果最简二次根式√m 2−5m +7与√2m 2−4m +1是同类二次根式，那么m 的值是______． 16. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分半径OA ，AB =6，则BC 的长是______．17. 已知点A(−2,0)，AB//y 轴，且AB =3，则B 点坐标_______．18. 如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到▵BDC′，DC′与AB 交于点E ，连结AC′，若AD =AC′=2，BD =3，则点D 到BC′的距离为_______．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分） 19. 计算：|√2−1|−2sin45°+√83−(12)−220.解不等式组：{2(x−1)+1<x+2,x−12>−1,并写出x的所有整数解．21.我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了体操(A)、乒乓球(B)、毽球(C)、跳绳(D)四个项目活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：(1)这次被调查的学生共有_____人；(2)请将统计图2补充完整；(3)统计图1中乒乓球项目对应的扇形的圆心角是____度；(4)已知该校共有学生1000人，根据调查结果估计该校喜欢体操的学生有_____人．22.某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶(500mL)、红茶(500mL)、可乐(600mL).抽奖规则如下： ①如图是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成5个扇形区域，每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样; ②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”); ③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”; ④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关)，便可获得相应奖品一瓶;不相同时，不能获得任何奖品.根据以上规则，回答下列问题：(1)求一次“有效随机转动”获得“乐”字的概率;(2)有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．23.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG//CD，交AE于点G，连接DG．(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD=8，CF=4，求CE的值．DE24.甲队计划用若干天完成某项工作，从第4天起，乙队加入此项工作，且甲、乙两队的工作效率相同，结果提前两天完成任务．求甲队原计划完成工作的天数．25.如图，在矩形ABCD中，AD>AB，AE是∠BAC的平分线交BC于点E，以AC上一点O为圆心作圆，使⊙O经过A，E两点，⊙O交AC于点F，(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB=3，∠BAC=60°，试求图中阴影部分的面积．26.如图，已知点A(−1,m)与点B(2,m+3)是反比例函数y=k图象上的两点．x(1)求m的值和直线AB的函数表达式；(2)若点C(−1,0)，连接AC，BC，求△ABC的面积．27. 黄冈东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为P ={14t +30(1≤t ≤24,t 为整数)−12t +48(25≤t ≤48,t 为整数)且其日销售量y(kg)与时间t(天)的关系如下表：时间t(天) 1 3 6 10 20 … 日销售量y(kg)11811410810080…(1)已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ (2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg 水果就捐赠n 元利润(n <9)给“精准扶贫”对象。

2020届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}14A =，，{}57B a =-，．若{}4A B =，则实数a 的值是 ▲ ．【答案】9 2．若复数z 满足2i iz=+，其中i 是虚数单位，则 z 的模是 ▲ ．3． 在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别为9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是 ▲ 吨．【答案】104．右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ． 【答案】525．“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头． 甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 ▲ ．【答案】236．在△ABC 中，已知B = 2A ，AC，则A 的值是 ▲ ． 【答案】π67．在等差数列{a n } ( n ∈ N *)中，若a 1 = a 2 + a 4，a 8 = -3，则a 20的值是 ▲ ．【答案】-158．如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为顶点，上下 底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ▲ ． 【答案】139．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的左顶点为A ，右焦点为F ，过F作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q ．若△APQ 为直角三角形，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】2（第8题）（第4题）10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线2y x =上，过点P 作圆C ：22(4)8x y -+=的一条切线，切点为T ．若PT PO =，则PC 的长是 ▲ ．11．若x > 1，则91211x x x +++-的最小值是 ▲ ．【答案】812．在平面直角坐标系xOy 中，曲线e x y =在点()00e x P x ，处的切线与x 轴相交于点A ，其中e 为自然对数的底数．若点B ( x 0，0 )，△PAB 的面积为3，则0x 的值是 ▲ ．【答案】ln 613．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME -7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中OA 1 = A 1A 2 = A 2A 3 = … = A 7A 8 = 1，则6778A A A A ⋅的值是 ▲ ．14．设函数f ( x )2log 04(8)48x a x f x x ⎧-<⎪=⎨-<<⎪⎩，≤，，． 若存在实数m ，使得关于x 的方程f ( x ) = m 有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()1-∞，说明：第6题答案写成角度也对；第12题自然对数符合“ln ”书写错误不给分；第14题答案写成“1a <”或者“{}|1a a <”也算正确。

2020届江苏省扬州市2017级高三上学期开学调研考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共7分.请把答案填写在答题卡相应的位置上1.设集合{2,4}A ,{2,6,8}B =,则A B =____________.【答案】{2,4,6,8}分析：{}2,4,6,8A B ⋃=详解：因为{}2,4A =,{}2,6,8B =,A B ⋃表示A 集合和B 集合“加”起来的元素,重复的元素只写一个,所以{}2,4,6,8A B ⋃=点睛：在求集合并集时要注意集合的互异性.2.命题“1x ∀>,都有212x +>”的否定是______.【答案】1x ∃>,有212x +≤【解析】根据全称命题的否定是特称命题写出原命题的否定.【详解】全称命题的否定是特称命题,故原命题的否定是“1x ∃>,有212x +≤”.3.设a R ∈,则命题:1p a ≤,命题2:1q a ≤,则p 是q 的______条件.（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”）.【答案】必要不充分【解析】比较命题p 和命题q 中a 的范围,由此判断充分、必要条件.【详解】由21a ≤解得11a -≤≤,而{}|11a a -≤≤{}|1a a ≤,故p 是q 的必要不充分条件.4.矩阵3011⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值为______. 【答案】3和1【解析】先根据特征值的定义列出特征多项式,令()0f λ=解方程可求得特征值.【详解】依题意,特征多项式()()()303111f λλλλλ-==----,令()0f λ=,解得3λ=或1λ=.5.函数()f x =的定义域为______ 【答案】(1,3]【解析】根据幂函数与对数函数的性质,列不等式组求解即可.【详解】要使函数()f x =有意义, 则()41log 10210x x ⎧--≥⎪⎨⎪->⎩,解得13x <≤,即函数()f x =的定义域为(]1,3,故答案为(]1,3. 【点睛】本题主要考查函数的定义域、不等式的解法,属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ,则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.6.已知23a =,98b =,则ab 的值是______.【答案】32【解析】将题目所给指数式改写为对数式,然后根据对数运算,求得ab 的值.【详解】依题意2log 3a =,239333log 8log 2log 22b ===,所以2333log 3log 222ab =⋅=.。