2011全国中考数学模拟汇编一41.圆与圆的位置关系
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41.圆与圆的位置关系A 组一 选择题1.(2011上海市杨浦区中考模拟)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =8,BC =6,DE ∥BC ,且AD =2CD ,则以D 为圆心DC 为半径的⊙D 和以E 为圆心EB 为半径的⊙E 的位置关系是 ( ) (A )外离; (B )外切; (C )相交; (D )不能确定. 【答案】C2、(2011双柏县中考模拟)已知半径分别为5cm 和8cm 的两圆相交,则它们的圆心距可能是( ) A .1cmB .3cmC .10cmD .15cm【答案】C3. (2011杭州市余杭中考模拟) 如图,日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆,这两个圆的位置关系是 . 【答案】 相交4. (2011浙江金衢十一校联考)已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为1,则两圆的位置关系是 ( )A.相交 B.内切C.外切D.内含【答案】B5. (南京市玄武区2011年中考一模)已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点,那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是( )A .8d >B . 2d >C .02d ≤<D . 8d >或02d ≤<答案:D6、(2011年天河区) 已知两圆半径分别为4和7,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是( ).A . 内含B . 内切C . 相交D . 外切 考查内容: 答案:B7、(2011怀柔一模) 已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm 、8cm ,且它们的圆心距为8cm ,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为AC(第6题图)(第11题)A .外离B .相交C .相切D .内含 考查内容: 答案:B8、(2011平顶山二模) 如图,已知⊙01与⊙02关于y 轴对称,点01的坐标为(- 4,0).两圆相交于A 、B ,且01A ⊥02A ,则图中阴影部分的面积是( )A.4π – 8B.8π – 16C.16π – 16D.16π – 32 考查内容:答案:B9. (2011萝岗区综合测试一)如图,已知AB 为O ⊙的直径,C 为O ⊙上一点,CD AB ⊥于D .9AD =、4BD =,以C 为圆心,CD 为半径的圆与O ⊙相交于P 、Q 两点,弦PQ 交CD 于E .则PE EQ ·的值是( ﹡ ).A . 24B .9C .36D .27 答案:D第10题图 第14题图10. ( 2011年南沙区综合测试一)已知⊙1O 的半径为4cm ,⊙O 2的半径为5cm ,若两圆相切,则两圆的圆心距是( ※ ) A .9cm B .1cm C .9cm 或1cmD .不能确定答案:C11. (2011年天河区综合练习)已知两圆半径分别为4和7,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是( ).A . 内含B . 内切C . 相交D . 外切 答案:B12.(2011年广东化州市文楼镇中考模拟一)一平面内相离两圆的圆心距是方程01272=+-x x 的两根之和,以下属于两圆半径大小的数值中,不可能的是( )A .3和4B .3和5C .3和6D .3和8 答案:A13.(2011北京怀柔一模)已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm 、8cm ,且它们的圆心距为8cm ,则⊙O 1与⊙O 2的位置关系为( )A .外离B .相交C .相切D .内含 答案 B14.(2011路桥二中一模)如图,在8×4的方格(每个方格的边长为1个单位长)中,⊙A 的半径为1,⊙B 的半径为2,将⊙A 由图示位置向右平移几个单位长度 后与⊙B 内切( ▲ )A.1B. 2C. 3 或5D. 2或4 答案 C二 填空题1. (2011杭州市进化一中模拟)如图,⊙O 1和⊙O 2的半径为2和3,连接O 1O 2,交⊙O 2于点P ,O 1O 2=7,若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周,请写出⊙O 1与⊙O 2相切时的旋转时间为_______秒.【答案】 3或6 2.(南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模)已知⊙O 1的半径为3,⊙O 2的半径为5, O 1O2=7,则⊙O 1、⊙O 2的位置关系是 ▲. 答案:相交3.(南京市六合区2011年中考一模)已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为3cm 和5cm ,且它们内切,则12O O 等于 ▲ cm . 答案:24、(2011名校联合一模)已知⊙O 1的半径为3,⊙O 2的半径为5, O 1O 2=7,则⊙O 1、⊙O 2的位置关系是▲ .考查内容:圆与圆的位置关系 答案:相交:5. (2011番禺区综合训练)如图8,在△ABC 中,∠A=90,分别以B 、C 为圆心的两个等圆外切,两圆的半径都为2cm ,则图中阴影部分的面积为 . 答案: 2cm π6. (2011增城市综合测试)已知ABC △的三边分别是a b c ,,,两圆的半径12r ar b ==,,圆心距d c =,则这两个圆的位置关系是 . 答案:相交三 解答题1.(2011上海市杨浦区中考模拟)已知半径为6的⊙O 1与半径为4的⊙O 2相交于点P 、Q ,且∠O 1P O 2= 120°,点A 为⊙O 1上异于点P 、Q 的动点,直线AP 与⊙O 2交于点B ,直线O 1A 与直线O 2B 交于点M 。
2011年中考数学真题分类汇编之第三十三章直线与圆的位置关系(附参考答案)D【答案】B3. (2011浙江温州,10,4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( )A.3 B.4 C.22D.22【答案】C4. (2011浙江丽水,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是()A .点(0,3)B .点(2,3)C .点(5,1)D .点(6,1)【答案】C5. (2011浙江金华,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A ,B ,C 作一圆弧,点B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A .点(0,3)B .点(2,3)C .点(5,1) D .点(6,1)【答案】C6. (2011山东日照,11,4分)已知AC ⊥BC于C ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,下列选项中⊙O的半径为ba ab 的是( )【答案】C7. (2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB 为⊙O的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且CO=CD ,则∠PCA=( )A .30°B .45°C .60°D .67.5°【答案】D 8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知AB 是⊙O的直径,C 是AB 延长线上一点,BC =OB ,CE 是⊙O 的切线,切点为D ,过点A 作AE ⊥CE ,垂足为E ,则CD :DE 的值是A .12B .1C .2D .3【答案】C9. (2011台湾全区,33)如图(十五),AB 为圆OD AOB 第的直径,在圆O上取异于A、B的一点C,并连接BC、AC.若想在AB上取一点P,使得P与直线BC的距离等于AP长,判断下列四个作法何者正确?A.作AC的中垂线,交AB于P点B.作∠ACB的角平分线,交AB于P点C.作∠ABC的角平分线,交AC于D点,过D作直线BC的并行线,交AB于P点D.过A作圆O的切线,交直线BC于D 点,作∠ADC的角平分线,交AB于P点【答案】D10.(2011甘肃兰州,3,4分)如图,AB是⊙O 的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O 于点C,若∠A=25°,则∠D等于A .20°B .30°C .40°D .50°【答案】C 11. (2011四川成都,10,3分)已知⊙O 的面积为29cm π,若点0到直线l 的距离为cm π,则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定【答案】C12. (2011重庆綦江,7,4分) 如图,PA 、PB 是⊙O的切线,切点是A 、B ,已知∠P =60°,OA=3,那么∠AOB 所对弧的长度为( )A .6лB .5лC .3лD .2л【答案】:D13. (2011湖北黄冈,13,3分)如图,AB 为A BD O C⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且CO=CD ,则∠PCA=( )A .30°B .45°C .60°D .67.5°【答案】D 14. (2011山东东营,12,3分)如图,直线33y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点,圆心P 的坐标为(1,0),圆P 与y 轴相切与点O 。
2011年中考数学试题分类解析汇编专题11:圆一、选择题1. (佛山3分)若O 的一条弧所对的圆周角为60︒,则这条弧所对的圆心角是A 、30︒B 、60︒C 、120︒D 、以上答案都不对【答案】C 。
【考点】同弧所对圆周角与圆心角的关系。
【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半的定理,直接得出结果。
故选C 。
2. (广州3分)如图,AB 切⊙O 于点B ,OA =2AB =3,弦BC ∥OA ,则劣弧BC的弧长为A 3错误!未找到引用源。
B 、错误!2C 、πD 、错误!未找到引用源。
32π【答案】A 。
【考点】弧长的计算,切线的性质,特殊角的三角函数值,平行线的性质。
【分析】要求劣弧 BC的长首先要连接OB ,OC ,由AB 切⊙O 于点B ,根据切线的性质得到OB ⊥AB ,在Rt △OBA 中,OA =2错误!未找到引用源。
,AB =3,利用三角函数求出∠BOA =60°,同时得到OB =12OA =得到∠BOA =∠CBO =60°,于是有∠BOC =60°,最后根据弧长公式计算出劣弧 BC 的长=1803。
故选A 。
3.(茂名3分)如图,⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ,其半径分别是8和4,将⊙O 2沿直线O 1O 2平移至两圆相外切时,则点O 2移动的长度是A 、4B 、8C 、16D 、8或16【答案】D 。
【考点】圆与圆的位置关系,平移的性质。
【分析】由题意可知点O 2可能向右移,此时移动的距离为⊙O 2的直径长;如果向左移,则此时移动的距离为⊙O 1的直径长。
∵⊙O 1、⊙O 2相内切于点A ,其半径分别是8和4,如果向右移:则点O 2移动的长度是4×2=8,如果向左移:则点O 2移动的长度是8×2=16.∴点O 2移动的长度8或16。
故选D 。
4.(清远3分)如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,若∠BAC =20º,则∠BOC 的度数为A .20ºB .30ºC .40ºD .70º【答案】C 。
圆与圆的位置关系一、选择题 A 组1、(某某一中初2011级10—11学年度下期3月月考)若两圆的半径分别为5和7,圆心距为2,则这两圆的位置关系是 ( )A .内含B .内切C .相交D .外切 答案:B2、(2011年四中四模)若两圆有且只有两条公切线,则这两圆的位置关系是( )(A )外离 (B )外切 (C )相交 (D )内切 答案:C3、(四中模拟7)已知两个圆只有一条公切线,那么这两个圆的位置关系是() A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 答案 A4、(2011年四中中考模拟20)已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为8,那么这两个圆的位置关系是( )A 、内切B 、相交C 、外切D 、外离 答案D5.(2011年某某省某某市模拟23)如图,A ⊙,B ⊙的半径分别为1cm ,2cm ,圆心距AB 为5cm .如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ,则此时该圆与B ⊙的位置关系是( )A .外离 B.相交 C. 外切 D. 内含 . 答案:B6、(2011年四中模拟26)已知两圆的半径分别为3㎝和4㎝,两个圆的圆心距为10㎝,则两圆的位置关系是( ) A .内切 B.相交 C.外切 D.外离BA(第5题)7、(四中模拟)已知⊙O 1的半径为R ,⊙O 2的半径为r ,两圆的圆心距为d ,d<R+r ,则两圆的位置关系为( ) A 、相交 B 、内切 C 、相交或内切 D 、相交或内切或内含答案:D8、(2011某某模拟26)已知两圆半径分别为4和6,圆心距为d ,若两圆无公共点,则下列结论正确的是……………………………………( )A .0<d <2 B. d >10 C. 0≤d <2或d >10 D.0<d <2或d >10 答案:C9.(2011年某某仙居)已知大圆的半径为5,小圆的半径为3,两圆圆心距为7,则这两圆的位置关系为( )A .外离B .外切 C.相交 D .内含 答案:C10.(2011某某调考模拟)已知⊙1O 与⊙2O 的圆心距1O 2O =6cm ,且两圆的半径满足一元二次方程2x -6x+8=0.则两圆的位置关系为() A .外切 B .内切 C .外离 D .相交 答案:A B 组1.(2011 天一实验学校 二模)两圆的半径分别为4和3,圆心距为5,则两圆的位置关系( ) A .外离 B .外切 C .相交D .内切答案:C2. (2011某某慈吉 模拟)已知⊙A 和⊙B 没有公共点, ⊙A 的半径为5, 圆心距为10, 则⊙B 的半径可能是( )A. 4B. 5C. 9D. 103.(2011年某某江津区七校联考)已知两圆直径分别为10cm和8cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是()答案:A4.(2011年某某省某某市七中模拟)两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为( )A.外离B.内切C.相交D.外切答案:D5.(2011某某中考模拟)已知半径分别为4cm和7cm的两圆相交,则它们的圆心距可能是()A.1cmB.3cmC.10cmD.15cm答案:C6.(2011四中二模)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和5cm,两圆的圆心距是6cm,则两圆的位置关系是( )(A)内含(B)外离(C)内切(D)相交答案:D7. (2011某某市全真中考模拟一)已知两圆相交,其圆心距为6,大圆半径为8,则小圆半径r的取值X围是(A)r>2 (13)2<r<14 (C)l<r<8 (13)2<r<8答案:D8. (2011某某某某调考模拟二)两圆的圆心距为5;两圆的半径分别是方程x2-5x+3 =0的两个根,则两圆的位置关系是()A.外切 B.外离 C.内含 D相交第11题AGBHCF DE第13题9、(2011某某模拟20)在ABC ∆中,3cos 2B =,045C ∠=,8AB =,以点B 为圆心4为半径的⊙B 与以点C 为圆心的⊙C 相离,则⊙C 的半径不可能...为( ) (A )15 (B )5(C )6(D )7 答案:D10、(2011年黄冈市浠水县)已知⊙O 1的半径为2cm ,⊙O 2的半径为4cm ,圆心距O 1O 2 为3cm ,则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切答案:A11、(某某省九校2010—2011第一次联考)图中圆与圆之间不同的位置关系【 】 A .2种 B .3种C .4种D .5种答案:B12.(2011年某某省澄海实验学校模拟)两圆的半径分别是5cm 和4cm,圆心距为7cm,则两圆的位置关系是( ) 答案:A13.(2011某某省崇阳县城关中学模拟)如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=6,经过点B 和点D 的两个动圆均与AC 相切,且与AB 、BC 、AD 、DC 分别交于点G 、H 、E 、F ,则EF+GH 的最小值是(▲)A .6B .8C .9.6D .10答案:C二、填空题 A 组1、(某某省某某市2011年中考数学模拟)如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4c m 的⊙O 2内切,那么两圆的圆心距O1O2=cm.【原创】答案:12、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)如图,PQ=3cm,以PQ为直径的圆与一个半径为5cm的圆相切于点P,正方形ABCD的顶点A、B在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD相切于点Q,则AB=cm.答案:63、(某某市纂江县赶水镇)已知两圆的半径分别为3㎝和4㎝,如果这两个圆的圆心距为10㎝,那么这两个圆的位置关系是_______.答案:相离4、(2011年如皋市九年级期末考)两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为.答案:外切d=,它们的半径分别是一元二次方程5.(2011年某某实验中学3月模拟)两圆的圆心距52540-+=的两个根,这两圆的位置关系是.x x答案:外切6.(2011年某某江津区七校联考)如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。
2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第33章直线与圆的位置关系一、选择题1. (2011宁波市,11,3分)如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB与P点,O1O2=8.若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现A.3次B.5次C.6次D.7次【答案】B2. (2011浙江台州,10,4分)如图,⊙O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB切⊙O于点B,则PB的最小值是()A.13B.5C. 3D.2【答案】B3. (2011浙江温州,10,4分)如图,O是正方形ABCD的对角线BD上一点,⊙O边AB,BC都相切,点E,F分别在边AD,DC上.现将△DEF沿着EF对折,折痕EF与⊙O相切,此时点D恰好落在圆心O处.若DE=2,则正方形ABCD的边长是( )D.22A.3 B.4 C.22【答案】C4. (2011浙江丽水,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是()x y110B CAA .点(0,3)B .点(2,3)C .点(5,1)D .点(6,1) 【答案】C5. (2011浙江金华,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,过格点A ,B ,C 作一圆弧,点B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )xy110B CAA .点(0,3)B .点(2,3)C .点(5,1)D .点(6,1) 【答案】C6. (2011山东日照,11,4分)已知AC ⊥BC 于C ,BC =a ,CA =b ,AB =c ,下列选项中⊙O 的半径为ba ab的是( ) 【答案】C7. (2011湖北鄂州,13,3分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且CO=CD ,则∠PCA=( ) A .30° B .45° C .60° D .67.5°【答案】D8. (2011 浙江湖州,9,3)如图,已知AB 是⊙O 的直径,C 是AB 延长线上一点,BC =OB ,CDAO PB第13题图CE 是⊙O 的切线,切点为D ,过点A 作AE ⊥CE ,垂足为E ,则CD :DE 的值是 A .12B .1C .2D .3【答案】C9. (2011台湾全区,33)如图(十五),AB 为圆O 的直径,在圆O 上取异于A 、B 的一点C ,并连接BC 、AC .若想在AB 上取一点P ,使得P 与直线BC 的距离等于AP 长,判断下列四个作法何者正确?A .作AC 的中垂线,交AB 于P 点 B .作∠ACB 的角平分线,交AB 于P 点C .作∠ABC 的角平分线,交AC 于D 点,过D 作直线BC 的并行线,交AB 于P 点 D .过A 作圆O 的切线,交直线BC 于D 点,作∠ADC 的角平分线,交AB 于P 点 【答案】D10.(2011甘肃兰州,3,4分)如图,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,DC 切⊙O 于点C ,若∠A=25°,则∠D 等于A .20°B .30°C .40°D .50°【答案】C11. (2011四川成都,10,3分)已知⊙O 的面积为29cm π,若点0到直线l 的距离为cm π,则直线l 与⊙O 的位置关系是C(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定 【答案】CABDOC12. (2011重庆綦江,7,4分) 如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点是A 、B ,已知∠P =60°,OA =3,那么∠AOB 所对弧的长度为( )A .6лB .5лC .3лD .2л【答案】:D13. (2011湖北黄冈,13,3分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点C ,交AB 的延长线于D ,且CO=CD ,则∠PCA=( )[来源:学,科,网Z,X,X,K] A .30° B .45° C .60° D .67.5°【答案】D14. (2011山东东营,12,3分)如图,直线333y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点,圆心P 的坐标为(1,0),圆P 与y 轴相切与点O 。
中考数学辅导之—圆和圆的位置关系一、教材简析本单元主要研究圆和圆的位置关系,内容主要包括两个圆各种不同位置关系的概念;相交、相切两圆的性质以及两个圆的公切线。
其中两个圆不同位置关系的概念及相交、相切时的性质是本单元的重点。
同学们在学习过程中要注意与前面所学的圆的有关知识的联系。
当一条直线与两个圆相切时,这条直线就是这两个圆的公切线,而对于每一个圆来说,这条直线都是他们的切线。
因此,研究两圆的公切线问题,就是圆的切线的判定和性质在两个相关的圆中的应用。
由圆的轴对称性可以推出,任意两个圆组成的图形,一定是以连心线为轴的对称图形。
两圆相交、相切的性质,都是由这个对称性得到的。
所以在学习这一单元时,要随时复习巩固前面所学知识,并逐步学会运用这些知识来解决两圆位置关系中的新问题。
本单元学习过程中,涉及实际应用的问题较多,有计算题,也有作图题,要学会把实际问题抽象成数学问题,在关于两圆公切线长的计算中,要学会把它转化为解直角三角形的问题。
二、基本内容及应注意的问题1、圆和圆的位置关系的分类,既考虑了数(两圆公共点的个数),又考虑了形(两圆的相对位置),两圆的五种位置关系按公共点的个数(0,1,2)可分为三类:(1)没有公共点⇔相离外离内含(包括同心);(2)有1个公共点⇔相切外切内切;(3)有2个公共点⇔相交2、与点和圆、直线和圆的位置关系相类似,两圆的位置关系(形的关系)与两圆的半径、圆心距的大小(数量关系)有关。
(1)两圆外离⇔d>R+r(2)两圆外切⇔d=R+r(3)两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)(4)两圆内切⇔d=R-r(R>r)(5)两圆内含⇔d<R-r(R>r)这个结论是双向的,“⇒”是由两圆位置的关系,得到两圆半径与圆心距之间特定的数量关系,这是两圆位置关系的性质,利用这些性质可以把形的问题转化为数的问题来解决;“⇐”是根据两圆半径与圆心距之间的某种数量关系来判定两圆的位置关系,从而把判定形的问题,转向为数的问题来解决。
1.选择题(每小题x分,共y分)(2011•吉林省)15.如图,两个等圆⊙A⊙B分别与直线l相切于点C、D,连接AB,与直线l相交于点O ,∠AOC=300,连接AC.BC,若AB=4,则圆的半径为( B )lOA BCDA 错误!未找到引用源。
21B 1 C3 D 2 (2011•张家界)7、已知两圆相外切,连心线长度是10厘米,其中一圆的半径为6厘米,则另一圆的半径是(D )A、16厘米B、10厘米C、6厘米D、4厘米7、(2008•宁德)如图,国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映出的两圆位置关系有(B)A、内切、相交B、外离、相交C、外切、外离D、外离、内切(2011•襄阳市)9.在△ABC中,∠C=90°.AC=3cm.BC=4cm,若⊙A.⊙B的半径分别为1cm,4cm.则⊙A与⊙B的位置关系是AA.外切B.内切C.相交D.外离(2011•扬州市)4.已知相交两圆的半径分别为4和7,则它们的圆心距可能是(C)A.2B.3 C.6D.11(2011•铜仁)6.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为6cm、11cm,当两圆相切时,其圆心距d的值为( D )A、0cmB、5cmC、17cmD、5cm或17cm (2011•达州)7、如图4,国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成,在这个图案中反映出的两圆位置关系有BA.、内切、相交B、外离、相交C、外切、外离D、外离、内切(2011•陕西省)7.同一平面内的两个圆,他们的半径分别为2和3 ,圆心距为d,当51d 时,两圆的位置关系是【 B 】A、外离B、相交C、内切或外切D、内含(2011•天津)(6) 已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ,若12O O =7 cm ,则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切〔2011•浙江省台州市〕8.如图是一个组合烟花的横截面,其中16个圆的半径相同,点A 、B 、C 、D 分别是四个角上的圆的圆心,且四边形ABCD 为正方形.若圆的半径为r ,组合烟花的高为h ,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)【 D 】 A .rh π26 B .rh rh π+24 C .rh rh π212+ D .rh rh π224+3. (2011台湾台北,25)如图(九),圆A 、圆B 的半径分别为4、2,且AB =12。
第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1圆与圆的位置关系1.种类:圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含.2.判定方法(1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2,两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:|r-r|<d<C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D21+E21-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D22+E22-4F2>0),2+y2+D1x+E1y+F1=0,2+y2+D2x+E2y+F2=0,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注:(1)圆和圆相离,两圆无公共点,它包括外离和内含;(2)圆和圆相交,两圆有两个公共点;(3)圆和圆相切,两圆有且只有一个公共点,它包括内切和外切.(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断,因为当方程组有一组解时,两圆只有一个交点,两圆可能外切,也可能内切;当方程组无解时,两圆没有交点,两圆可能外离,也可能内含.知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,①圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,②若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0.③方程③表示圆C 1与C 2的公共弦所在直线的方程.(1)当两圆相交时,两圆方程相减,所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程,这一结论的前提是两圆相交,如果不确定两圆是否相交,两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程.(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心.(3)求公共弦长时,几何法比代数法简单易求.1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线,圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.核心技巧:利用圆心到切线的距离d r =求解知识点4圆系方程(1)以(,)a b 为圆心的同心圆圆系方程:22()()(0)x a y b λλ-+-=>;(2)与圆220x y Dx Ey F ++++=同心圆的圆系方程为220x y Dx Ey λ++++=;(3)过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为22()0()x y Dx Ey F Ax By C R λλ+++++++=∈4过两圆1C 221110x y D x E y F ++++=,圆2C :222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=(1λ≠-,此时圆系不含圆2C :222220x y D x E y F ++++=)特别地,当1λ=-时,上述方程为一次方程.两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法:将两圆的圆心距d 与两圆的半径之差的绝对值,半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法:将两圆的方程组成方程组,通过解方程组,根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.2、圆系方程一般地过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0交点的圆的方程可设为:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ≠-1),然后再由其他条件求出λ,即可得圆的方程.3、两圆相交时,公共弦所在的直线方程若圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0.4、公共弦长的求法(1)代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程考点一:圆与圆位置关系的判断(一)判断圆与圆的位置关系例1.(2023秋·福建宁德·高二统考期中)圆()22(2)21x y -+-=与圆()()221225x y +++=的位置关系是()A .相切B .相交C .内含D .外离【答案】B【分析】根据给定条件,求出两圆的圆心和半径,并计算两圆的圆心距即可判断作答.【详解】圆()22(2)21x y -+-=的圆心1(2,2)C ,半径11r =,圆()()221225x y +++=的圆心2(1,2)C --,半径25r =,于是122121||5(,)C C r r r r ==∈-+,所以两圆相交.故选:B变式1.(2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习)圆O :221x y +=与圆C :22650x y y +++=的位置关系是()A .相交B .相离C .外切D .内切【答案】C【分析】利用两圆外切的定义判断即可.【详解】圆O 是以(0,0)O 为圆心,半径11r =的圆,圆C :22650x y y +++=改写成标准方程为()2234x y ++=,则圆C 是以(0,3)C -为圆心,半径22r =的圆,则3OC =,12r r +=3,所以两圆外切,故选:C .变式2.(2023·全国·高三专题练习)已知圆1C 的圆心在直线210x y +-=上,点()3,0与()1,2-都在圆1C 上,圆()()222:311C x y -++=,则1C 与2C 的位置关系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系数法求得圆1C 的标准方程,求出圆心距12C C ,与两圆的半径和、差比较即可得出结论.【详解】设圆1C 的标准方程为()()2221x a y b r -+-=,因为圆心1C 在直线210x y +-=上,且该圆经过()3,0与()1,2-两点,列方程组22212221210(3)(0)(1)(2)a b a b r a b r +-=⎧⎪-+-=⎨⎪-+--=⎩,解得1102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩,即圆1C 的标准方程为()2214x y -+=,圆心()11,0C ,半径12r =,又圆()()222:311C x y -++=,圆心()23,1C -,半径21r =,∴12C C =123r r +=,121r r-=,而13<<,∴1C 与2C 的位置关系是相交.故答案为:相交.变式3.【多选】(2023秋·江苏南通·高二统考期末)已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=,则()A .点(5,5)在圆C内B .直线3)y x =-与圆C 相切C .圆229x y +=与圆C 相切D .圆2249x y +=与圆C 相切【答案】BCD【分析】根据点和圆的位置关系判断A 选项,根据圆心与直线距离判断B 选项,根据圆心间距离和半径和差比较判断圆圆位置关系判断C,D 选项.【详解】点(5,5)代入圆22:(3)(4)4C x y -+-=可得22(53)(54)414-+-=+>,点(5,5)在圆C 外,A 选项错误;圆22:(3)(4)4C x y -+-=,圆()3,4,2C r=,直线3)y x =-,圆心到直线距离2d =,B 选项正确;圆229x y +=,圆心()110,0,3C r=,11523CC r r ===+=+,圆229x y +=与圆C 相外切,C 选项正确;圆2249x y +=,圆心()220,0,7C r =,22572CC r r ==-=-,圆2249x y +=与圆C 相内切,D 选项正确.故选:BCD.变式4.(2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习)平面直角坐标系中,()2,0A -,()2,0B ,动点P满足PA =,则使PAB 为等腰三角形的点P 个数为()A .0B .2C .3D .4【答案】D【分析】设(),P x y,根据PA =可得动点P 的轨迹方程为圆22:(4)12M x y -+=,再结合PAB 为等腰三角形分析即可求解.【详解】设(),P x y ,由PA =,=整理得22(4)12x y -+=,记为圆.M又PA PB =>,PAB 为等腰三角形,则有4PA AB ==或4PB AB ==.因为圆22:(2)16A x y ++=与圆M 相交,故满足4PA AB ==点P 有2个;因为圆22:(2)16B x y -+=与圆M 相交,故满足4PB AB ==点P 有2个,故使PAB 为等腰三角形的点P 共有4个.故选:D.变式5.【多选】(2023·湖南娄底·统考模拟预测)已知圆M :22650x y y +-+=,圆N :22280x y y ++-=,直线l :340x y m -+=,则下列说法正确的是()A .圆N 的圆心为()0,1B .圆M 与圆N 相交C .当圆M 与直线l 相切时,则2m =D .当7m =时,圆M 与直线l 相交所得的弦长为【答案】BD【分析】写出圆,M N 的标准方程确定圆心坐标和半径,判断||MN 与两圆半径的关系判断A 、B ;再由点线距离及相交弦长公式判断C 、D.【详解】由题设,22:(3)4M x y +-=,则(0,3)M 且半径2r =,22:(1)9N x y ++=,则(0,1)N -且半径3R =,A 错;所以4R r MN R r -<=<+,即两圆相交,B 对;M 到直线l 的距离|012||12|55m m d -+-==,若圆M 与直线l 相切,则|12|25m -=,所以22m =或2m =,C 错;当7m =时1d r =<,即圆M 与直线l 相交,相交弦长为=D 对.故选:BD变式6.(2022·全国·高二专题练习)已知点P 在圆O :224x y +=上,点()30A -,,()0,4B ,满足AP BP ⊥的点P 的个数为()A .3B .2C .1D .0【答案】B【分析】设(,)P x y ,轨迹AP BP ⊥可得点P 的轨迹方程,即可判断该轨迹与圆的交点个数.【详解】设点(,)P x y ,则224x y +=,且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ,,由AP BP ⊥,得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-=,即22325()(2)24x y ++-=,故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆,则两圆的圆心距为52,半径和为59222+=,半径差为51222-=,有159222<<,所以两圆相交,满足这样的点P 有2个.故选:B.(二)由圆的位置关系求参数例2.(2023秋·浙江丽水·高二统考期末)若圆221:4C x y +=与圆2222:20C x y mx m m +-+-=外切,则实数m =()A .-1B .1C .1或4D .4【答案】D【分析】由两圆的位置关系计算即可.【详解】由条件化简得()222:,0C x m y m m -+=∴>,即两圆圆心为()()120,0,,0C C m ,设其半径分别为12,r r ,122,r r ==121224C C m r r m ==+=+⇒=.故选:D变式1.(2023秋·高二课时练习)若两圆22(1)4x y ++=和圆22()1x a y -+=相交,则a 的取值范围是()A .02a <<B .02a <<或42a -<<-C .42a -<<-D .24a <<或20a -<<【答案】B【分析】圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交,则圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和,解不等式.【详解】 圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交,∴两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和,即2121-<<+,所以113a <+<.解得02a <<或42a -<<-.故选:B变式2.(2023秋·高二课时练习)当a 为何值时,两圆2222450x y ax y a +-++-=和2222230x y x ay a ++-+-=.(1)外切;(2)相交;(3)外离.【答案】(1)5a =-或2a =(2)52a -<<-或1a 2-<<(3)5a <-或2a >【分析】(1)化两圆的方程为标准方程,求得圆心坐标与半径,再求出两圆的圆心距d ,由1212||d C C r r ==+列式,即可求解.(2)由1212||r r d r r <+<-列不等式组,即可求出a 的范围.(3)由1212||d C C r r =>+列不等式,即可求出a 的范围.【详解】(1)设圆2221:2450C x y ax y a +-++-=,半径为1r ,得221:()(2)9C x a y -++=,圆心1(,2)C a -,13r =.2222:2230C x y x ay a ++-+-=,半径为2r ,得222:(1)()4C x y a ++-=,圆心1(1,)C a -,22r =.圆心距12||d C C ===因为两圆12,C C 外切,则1212||5d C C r r ==+=5=,解得5a =-或2a =.(2)因为两圆12,C C 相交,则121212||||r r C C r r -<<+,即121||5C C <<,所以15<,解得52a -<<-或1a 2-<<.(3)因为两圆12,C C 外离,则1212||d C C r r =>+,即12||5C C >,5>,解得5a <-或2a >.变式3.(2022秋·高二课时练习)若圆222x y r +=与圆222440x y x y ++-+=有公共点,则r 满足的条件是()A .1rB .1r >+C .1r ≤D .1r <【答案】C【分析】根据两圆之间的位置关系,由圆心距和半径之间的关系即可求解.【详解】由222440x y x y ++-+=得()()22121x y ++-=,∵两圆有公共点,∴11r r -≤+,1r -#1,即11r -≤,∴1r ≤,故选:C.变式4.(2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末)已知圆1C :()()()222120x y r r -++=>与圆2C :()()224216x y -+-=有公共点,则r 的取值范围为()A .(]0,1B .[]1,5C .[]1,9D .[]5,9【答案】C【分析】根据题意得到1244r C C r -≤≤+,再解不等式即可.【详解】由题知:()11,2C -,1r r =,()24,2C ,24r =,125C C =.因为1C 和2C 有公共点,所以1244r C C r -≤≤+,解得19r ≤≤.故选:C变式5.(2023春·安徽·高二校联考期末)已知圆()()()222:3425C x y r r *-+-=+∈N ,()1,0M -,()1,0N ,若以线段MN 为直径的圆与圆C 有公共点,则r 的值可能为______.(写出一个即可)【答案】1(2,3均可)答案不唯一【分析】根据题意,由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.【详解】由题意得,圆221x y +=与圆()()222:3425C x y r -+-=+有公共点,11≤≤,∴46≥≤,且0r >,解得0r <1r =,2,3均可.故答案为:1(2,3均可)变式6.(2022·湖南常德·常德市一中校考二模)已知圆22:(4)(3)4C x y -++=和两点(,0),(,0)(0)->A a B a a ,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的最小值为()A .6B .5C .4D .3【答案】C【分析】根据条件,将问题转化成圆222x y a +=与圆C 有公共交点,再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.【详解】由90APB ∠=︒,得点P 在圆222x y a +=上,故点P 在圆222x y a +=上,又点P 在圆C 上,所以,两圆有交点,因为圆222x y a +=的圆心为原点O ,半径为a ,圆C 的圆心为(4,3)-,半径为1,所以|1|1a OC a -≤≤+,又5OC ==,所以|1|51a a -≤≤+,解得46a ≤≤,所以a 的最小值为4.故选:C.变式7.(2023秋·高一单元测试)已知圆221:()(2)9O x m y -++=与圆222:()(2)1O x n y +++=内切,则22m n +的最小值为_______【答案】2【分析】计算两圆的圆心距,令圆心距等于两圆半径之差,结合基本不等式求解最小值即可.【详解】圆1O 的圆心为(,2)m -,半径为13r =,圆2O 的圆心为(,2)n --,半径为21r =,∴两圆的圆心距||d m n =+,两圆内切,||2m n ∴+=,可得()2222222442m n mn m n mn m n ++=⇒-+=≤+,所以222m n +≥.当且仅当1m n ==时,取得最小值,22m n +的最小值为2.故答案为:2.变式8.(2023·浙江·校联考模拟预测)已知圆C 的方程为221x y +=,若直线()3y k x =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 相外切,则k 的取值范围为__________.【答案】,55⎡-⎢⎣⎦【分析】根据题意,由圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和求解.【详解】解:因为直线()3y k x =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 相外切,所以圆C 的圆心到直线()3y k x =-的距离不大于两半径之和,即2d =≤,化简得254k ≤,解得k ≤≤故答案为:⎡⎢⎣⎦考点二:与圆相交有关的问题(一)求两圆的交点坐标例3.(2022·高二课前预习)圆221x y +=与圆222210x y x y ++++=的交点坐标为()A .(1,0)和()0,1B .(1,0)和()0,1-C .(1,0)-和()0,1-D .()1,0-和()0,1【答案】C【分析】联立两圆的方程,解方程组,即可求得答案.【详解】由222212210x y x y x y ⎧+=⎨++++=⎩,可得10x y ++=,即=1y x --,代入221x y +=,解得=1x -或0x =,故得10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩,所以两圆的交点坐标为(1,0)-和()0,1-,故选:C变式1.(2022·高二课时练习)求圆22230x y x +--=与圆224230x y x y +-++=的交点的坐标.【答案】(1,2)-、(3,0)【分析】联立两圆方程可得3y x =-,将其代入其中一个圆的方程中求出点坐标.【详解】由题设,22224232300x y x y x y x +-⎧+--=++=⎪⎨⎪⎩,相减可得3y x =-,所以222(3)232860x x x x x +---=-+=,解得1x =或3x =,当1x =时,132y =-=-;当3x =时,330y =-=;所以交点坐标为(1,2)-、(3,0).变式2.(2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习)圆1C :22640x y x y ++-=和圆2C :2260x y y +-=交于A ,B 两点,则线段AB 的垂直平分线的方程是______.【答案】390x y -+=【分析】由两圆的方程得两圆心坐标,两圆心所在直线的方程即为所求直线方程,【详解】圆1C 方程为22(3)(2)13x y ++-=,圆2C 方程为22(3)9x y +-=,则圆心分别为1(3,2)C -,2(0,3)C ,两圆相交于,A B 两点,则线段AB 的垂直平分线即为直线12C C ,123210(3)3C C k -==--,则直线12C C 的方程为133y x =+,即390x y -+=,故答案为:390x y -+=变式3.(2023秋·辽宁丹东·高二统考期末)已知圆22:16O x y +=与圆22:86160C x y x y ++++=交于A ,B 两点,则四边形OACB 的面积为()A .12B .6C .24D .245【答案】A【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径,由()4,0A -和()4,3C --可知OA AC ⊥,则四边形OACB 的面积1222OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅ ,计算即可.【详解】圆22:16O x y +=,圆心坐标为()0,0O ,半径14r =,圆22:86160C x y x y ++++=化成标准方程为()()22439x y +++=,圆心坐标为()4,3C --,半径23r =,圆O 与圆C 都过点()4,0-,则()4,0A -,如图所示,又()4,3C --,∴OA AC ⊥,由对称性可知,OB BC ⊥,4OA OB ==,3AC BC ==,则四边形OACB 的面积12243122OAC S S OA AC ==⨯⋅⋅=⨯= .故选:A(二)圆系方程的应用例4.(2023·全国·高三专题练习)经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为______.【答案】2220x y x y ++--=【分析】求出两圆的交点坐标,设出所求圆的一般方程,将三点坐标代入,解出参数,可得答案.【详解】联立22224044120x y x y x y ⎧+-=⎨+-+-=⎩,整理得2y x =+,代入2240x y +-=,得220x x +=,解得0x =或2x =-,则圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点坐标为(0,2),(2,0)-,设经过点()1,1P 以及(0,2),(2,0)-的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则20420420D E F E F D F +++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩,解得112D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩,故经过点()1,1P 以及圆2240x y +-=与2244120x y x y +-+-=交点的圆的方程为2220x y x y ++--=,故答案为:2220x y x y ++--=变式1.(2022秋·高二单元测试)求过两圆221:240C x y y +--=和圆222:420C x y x y +-+=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.【答案】22310x y x y +-+-=【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程,并求出圆心坐标,把圆心坐标代入直线l 的方程,从而求出圆的方程.【详解】设圆的方程为()222242(1)240x y x y x y y λλ+-+++--=≠-,则()()()221412240x x y y λλλλ+-+++--=,即2242240111x y x y λλλλλ-+-+-=+++,所以圆心坐标为21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭,把圆心坐标21,11λλλ-⎛⎫⎪++⎝⎭代入2410x y +-=得24102111λλλ-++⨯+⨯-=,解得13λ=,所以所求圆的方程为22310x y x y +-+-=.(三)求两圆公共弦方程例5.(2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末)圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为___________.【答案】30x -=【分析】判断两圆相交,将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆221:130O x y +-=的圆心为(0,0),半径为1r =圆222:650O x y x +-+=的圆心为(3,0),半径为22r =,则121212||3r r O O r r -<=<+,则两圆相交,故将两圆方程相减可得:6180x -=,即30x -=,即圆221:130O x y +-=与圆222:650O x y x +-+=的公共弦所在直线方程为30x -=,故答案为:30x -=变式1.(2022秋·高二课时练习)已知圆2212610C x y x y ++-+=:与圆22242110C x y x y +-+-=:,求两圆的公共弦所在的直线方程()A .3460x y ++=B .3460x y +-=C .3460x y --=D .3460x y -+=【答案】D【分析】由两圆方程相减即可得公共弦的方程.【详解】将两个圆的方程相减,得3x -4y +6=0.故选:D.变式2.(2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习)已知圆1C :222(1)x y r ++=过圆2C :22(4)(1)4x y -+-=的圆心,则两圆相交弦的方程为______.【答案】5190x y +-=【分析】求出2r ,得到圆1C ,两圆相减得到相交弦方程.【详解】圆2C :22(4)(1)4x y -+-=的圆心坐标为()4,1,因为圆1C 过圆2C 的圆心,所以222(41)1r ++=,所以226r =,所以1C :22(1)26x y ++=,两圆的方程相减可得相交弦方程为5190x y +-=.故答案为:5190x y +-=.变式3.(2022秋·高二课时练习)已知过圆224x y +=外一点()3,4P 做圆的两条切线,切点为,A B 两点,求,A B 所在的直线方程为()A .3440x y +-=B .3440x y ++=C .3440x y --=D .3440x y -+=【答案】A【分析】根据切线的特征可知,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程,【详解】根据题意得,A B 所在的直线为圆224x y +=和以OP 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心,以OP 为直径的圆的公共弦所在的直线方程,因为5OP =,所以圆()2222325234024M x y x y x y :+骣琪--=Þ+--=琪桫,两圆相减得,A B 所在的直线方程为3440x y +-=.故选:A.(四)求两圆公共弦长例6.(2022·高二课时练习)已知圆221:(1)5C x y +-=,圆222:420C x y x y +-+=.(1)求圆1C 与圆2C 的公共弦长;(2)求过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程.【答案】(1)(2)22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)将两圆方程作差可求出公共弦的方程,然后求出圆心1C 到公共弦的距离,再利用弦心距,半径和弦的关系可求得答案,(2)解法一:设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-,求出圆心坐标代入241x y +=中可求出λ,从而可求出圆的方程,解法二:将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标,设所求圆的圆心坐标为(),a b ,然后列方程组可求出,a b ,再求出圆的半径,从而可求出圆的方程.【详解】(1)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即()()222242240x y x y x y y +-+-+--=,化简得10x y --=,所以圆1C 的圆心()0,1到直线10x y --=的距离为d =则22215232AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,解得AB =,所以公共弦长为(2)解法一:设过两圆的交点的圆为()()222242240,1x y x y x y y λλ+-+++--=≠-,则2242240,1111x y x y λλλλλλ-+-+-=≠-+++;由圆心21,11λλλ-⎛⎫- ⎪++⎝⎭在直线241x y +=上,则()414111λλλ--=++,解得13λ=,所求圆的方程为22310x y x y +-+-=,即22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法二:由(1)得1y x =-,代入圆222:420C x y x y +-+=,化简可得22410x x --=,解得22x =;当22x =时,2y =;当22x =时,2y =-;设所求圆的圆心坐标为(),a b ,则2222222222241a b a b a b ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+=⎩,解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩;所以222317222r ⎛⎛=+--= ⎝⎭⎝⎭;所以过两圆的交点且圆心在直线241x y +=上的圆的方程为22317222x y ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式1.(2023·河南·统考二模)若圆221:1C x y +=与圆222:()()1C x a y b -+-=的公共弦AB 的长为1,则直线AB 的方程为()A .210ax by +-=B .230ax by +-=C .2210ax by +-=D .2230ax by +-=【答案】D【分析】将两圆方程相减得到直线AB 的方程为22220a b ax by +--=,然后再根据公共弦AB 的长为1即可求解.【详解】将两圆方程相减可得直线AB 的方程为22220a b ax by +--=,即22220ax by a b +--=,因为圆1C 的圆心为(0,0),半径为1,且公共弦AB 的长为1,则1(0,0)C 到直线22220ax by a b +--=的距离为2,223a b +=,所以直线AB 的方程为2230ax by +-=,故选:D.变式2.(2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中)已知圆C 的圆心为()2,2-,且与直线0x y ++相切.(1)求圆C 的方程;(2)求圆C 与圆224x y +=的公共弦的长.【答案】(1)22(2)(2)20x y -++=(2)【分析】(1)由题意求得圆的半径,即可求得答案;(2)将两圆方程相减,求出两圆的公共弦方程,根据弦长、弦心距以及圆的半径之间的关系即可求得答案.【详解】(1)由题意得圆C 的半径为r =故圆C 的方程为22(2)(2)20x y -++=;(2)圆224x y +=和22(2)(2)20x y -++=的圆心距为而22<<+,即两圆相交,将224x y +=和22(2)(2)20x y -++=相减得20x y -+=,圆224x y +=的圆心到20x y -+=的距离为d ==故两圆的公共弦长为=变式3.(2021秋·高二课时练习)若圆O :x 2+y 2=5与圆O 1:(x -m )2+y 2=20(m ∈R )相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则直线AB 的方程为________;线段AB 的长为________.【答案】x =±14【分析】连接OO 1,记AB 与OO 1的交点为C ,利用勾股定理和等面积法,求出AC ,进而求出AB ,根据1OO ,求出m ,进而联立求出直线AB 的方程.【详解】连接OO 1,记AB 与OO 1的交点为C ,如图所示,在Rt △OO 1A 中,|OA ||O 1A |=∴|OO 1|=5,∴|AC |2,∴|AB |=4.由|OO 1|=5,得5m =±,所以,联立可得2222(5)520x y x y +-±-=-,解得直线AB 的方程为x =±1.故答案为:①1x =±;②4.变式4.(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)已知圆221:1O x y +=与圆()2222201:O x y x y F F +-++=<2O 的半径r =()A .1BC 1D【答案】D【分析】两圆方程相减可得公共弦所在直线方程,后由垂径定理结合圆2O 圆心与半径表达式可得答案.【详解】221x y+=与()2222201:O x y x y F F +-++=<两式相减得2210:l x y F ---=,即公共弦所在直线方程.圆2O 方程可化为()()22211:O x y -++2F =-,可得圆心()21,1O -,2O 半径r =则圆心2O 到l 的距离为d ==半弦长为2,则有2222r F +==-⎝⎭,解得3F =-或1F =(舍),此时r =.故选:D .变式5.(2021秋·高二课时练习)圆2221:22210C x y ax ay a ++++-=与圆2222:22220C x y bx by b ++++-=的公共弦长的最大值是()A .12B .1C .32D .2【答案】D【分析】将两圆转化成标准方程,根据标准方程得出两圆圆心均在直线y x =上,再利用几何关系即可求出结果.【详解】由222x y 2ax 2ay 2a 10++++-=,得()()22x a y a 1+++=,圆心1(,)C a a --,半径11r =;由2222:22220C x y bx by b ++++-=,得()()22x b y b 2+++=,圆心2(,)C b b --,半径2r =所以两圆圆心均在直线y x =上,半径分别为1,如图,当两圆相交且相交弦经过小圆圆心,也即大圆圆心在小圆上时,两圆公共弦长最大,最大值为小圆的直径,即最大值为2.故选:D.考点三:两圆的公切线问题(一)圆的公切线条数例7.(2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末)圆221:(2)(4)25C x y +++=与圆222:(1)9C x y ++=的公切线的条数为()A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】先判断圆与圆的位置关系,从而可确定两圆的公切线条数.【详解】圆221:(2)(4)25C x y +++=的圆心坐标为(2,4)--,半径为5;圆222:(1)9C x y ++=的圆心坐标为(1,0)-,半径为3,所以两圆的圆心距为d因为5353-<+,所以两圆相交,所以两圆的公切线有2条.故选:B.变式1.【多选】(2023秋·高一单元测试)已知圆221:9C x y +=与圆222:(3)(4)16C x y -+-=,下列说法正确的是()A .1C 与2C 的公切线恰有4条B .1C 与2C 相交弦的方程为3490x y +-=C .1C 与2C 相交弦的弦长为125D .若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点,则max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数;如果两圆相交,进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程;通过垂径定理可以求弦长;两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和,逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆1C 的圆心()10,0C ,半径13r =,圆2C 的圆心()23,4C ,半径24r =,1221125,C C r r d r r ==-<<+,故两圆相交,所以1C 与2C 的公切线恰有2条,故A 错误;做差可得1C 与2C 相交弦的方程为3490,x y +-=1C 到相交弦的距离为95,故相交弦的弦长为245=,故C 错误;若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点,则max 1212||12PQ C C r r =++=,故D 正确.故选:BD变式2.(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线,并且点()3,4B 到直线l的距离是2,这样的直线l 有()A .1条B .2条C .3条D .4条【答案】D【分析】由已知可推得,直线l 是圆C 与圆B 的公切线.根据两圆的圆心、半径,推得两圆的位置关系,即可得出答案.【详解】由已知可得,圆心()2,1C ,半径11r =.由点()3,4B 到直线l 的距离是2,所以直线l 是以()3,4B 为圆心,22r =为半径的圆的切线,又直线l 是圆:C ()()22211x y -+-=的切线,所以,直线l 是圆C 与圆B 的公切线.因为123BC r r ==>=+,所以,两圆外离,所以两圆的公切线有4条,即满足条件的直线l 有4条.故选:D.变式3.(2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模)若圆221:1Cx y +=和2221:2502C x y ay a a ⎛⎫+---=> ⎪⎝⎭有且仅有一条公切线,则=a______;此公切线的方程为______【答案】120y ++=【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求a ,联立圆的方程求出切点,根据圆的切线性质得出斜率即可求解.【详解】如图,由题意得1C 与2C 相内切,又22221:()()452C x y a a a a ⎛⎫+-=+> ⎪⎝⎭,所以121C C ==,所以21a +=1a =,所以)2C,12C C k==联立(()2222119x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩,解得1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以切点的坐标为122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故所求公切线的方程为12y +=2x +⎭20y ++=.故答案为:120y ++=变式4.(2022秋·高二课时练习)已知两圆2211C x y +=:,()()()2222120C x y r r -+-=>:,当圆1C 与圆2C 有且仅有两条公切线时,则r 的取值范围________.22r <<【分析】根据两圆相交即可利用圆心距与半径的关系求解.【详解】若圆C 1与圆C 2有且仅有两条公切线时,则两圆相交,圆心C 1()0,0,半径R =2,圆C 2()1,2,半径r ,则12C C ==若两圆相交,则满足12<<r R C C R r -+,即22r r -<+,22r <+,22r <+变式5.(2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末)已知两圆2226940x y ax a +++-=和222290x y by b ++--=恰有三条公切线,若R a ∈,R b ∈,且0ab ≠,则2211a b +的最小值为()A .1625B .3225C .169D .329【答案】A【分析】确定两圆圆心和半径,根据公切线得到两圆外切,得到22925a b +=,变换得到()22222219111125b a b a b a ⎛⎫+= ⎪⎭++⎝,展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】2226940x y ax a +++-=,即()2234x a y +=+,圆心()13,0O a -,12R =;222290x y by b ++--=,即()229x y b +-=,圆心()20,O b ,半径23R =;两圆恰有三条公切线,即两圆外切,故12125O O R R =+=,即22925a b +=,()222222222211111111610102525252599a b a b a b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭+⎭.当且仅当22229b a a b=,即22512a =,2254b =时等号成立.故选:A(二)圆的公切线方程例8.(2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)写出与圆()()224316x y -++=和圆221x y +=都相切的一条直线的方程___________.【答案】1y =(答案不唯一,247250x y ++=或4350x y --=均可以)【分析】先判断两圆位置关系,再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ,半径为1;圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -,半径为4,圆心距为5OC =,所以两圆外切,如图,有三条切线123l l l ,,,易得切线1l 的方程为1y =;因为3l OC ⊥,且34OC k =-,所以343l k =,设34:3l y x b =+,即4330x y b -+=,则()0,0O 到3l 的距离315b =,解得53b =(舍去)或53-,所以343:50x y l --=;可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称,联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上,在1l 上取点()0,1,设其关于OC 的对称点为()00,x y ,则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则27124252447253l k --==--+,所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,即247250x y ++=,综上,切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为:1y =(答案不唯一,247250x y ++=或4350x y --=均可以)变式1.(2023·江西南昌·校联考模拟预测)已知圆()22:11C x y -+=与圆(22:1E x y +=,写出圆C和圆E 的一条公切线的方程______.【答案】10x +=20y +-=20y +=.【分析】设切线方程为y kx b =+,根据圆心到直线的距离均为1求解方程.【详解】设圆的公切线为y kx b =+,11==|||k b b ⇒+=,k =2k b-代入求解得:2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩或b k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以切线为:2,y =+或2y =+或10x +=故答案为:10x -+=20y +-=20y +=.变式2.(2023·湖南岳阳·统考三模)写出与圆221:1O x y +=和222:(3)1O x y -+=都相切的一条直线方程____________.【答案】3)52y x =±-或1y =±中任何一个答案均可【分析】先判断两圆的位置关系,可知公切线斜率存在,方程可设为y kx b =+,根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组,解之即可得出答案.【详解】圆221x y +=的圆心为()10,0C ,半径为11r =,圆222:(3)1O x y -+=的圆心为()23,0C ,半径为21r =,则12123C C r r =>+,所以两圆外离,由两圆的圆心都在x 轴上,则公切线的斜率一定存在,设公切线方程为y kx b =+,即0kx y b -+=,则有11==,解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01k b =⎧⎨=⎩或01k b =⎧⎨=-⎩所以公切线方程为3)2y x =-或1y =±.故答案为:1y =.(答案不唯一,写其它三条均可)变式3.【多选】(2022秋·高二单元测试)已知圆()()221:211C x y -+-=,圆()()222:211C x y +++=,则下列是圆1C 与圆2C 的公切线的直线方程为()A .0y =B .430x y -=C.20x y -=D.20x y +=【答案】ABC【分析】在同一坐标系内画出两圆图象,由两圆相离可知共有4条切线,再利用对称性设出直线方程,由点到直线距离公式即可求得切线方程.【详解】根据题意可知,两圆心()()122,1,2,1C C --关于原点对称,在同一坐标系内画出两圆图象,如下图所示:显然,圆心距1211C C =+,即两圆外离,共有4条切线;又两圆心到x 轴的距离都等于其半径,所以x 轴是其中一条公切线,即A 正确;利用对称性可知,其中一条切线1l 过原点,设其方程为y kx =,又()12,1C 到切线1l 的距离为11=,解得0k =或43k =;当0k =时,切线即为x 轴,当43k =时,切线方程为43y x =,即430x y -=,B 正确;由对称性可知,切线23,l l 与直线12C C 平行,易知12111222C C k +==+,所以直线12C C 的方程为12y x =,可设23,l l 的方程分别为12y x c =+,()1,02y x c c =->1=,解得2c =,即切线23,l l的方程分别为122y x =+,122y x =-;整理可得两切线方程为20x y -=和20x y -=,故C 正确,D 错误;故选:ABC(二)圆的公切线长例9.【多选】(2023春·山东青岛·高二统考开学考试)已知圆221:1C x y +=,圆222:2210C x x y y -+-+=,则()A .圆1C 与圆2C 相切B .圆1C 与圆2CC .圆1C 与圆2C 公共弦所在直线的方程为1x y +=D .圆1C 与圆2C 公共部分的面积为π12-【答案】BCD【分析】求出两圆圆心坐标与半径,求出圆心距,即可判断A ,B ,两圆方程作差即可得到公共弦方程,从而判断C ,求出两圆圆心到公共弦的距离,从而取出公共部分的面积,从而判断D.【详解】解:因为圆221:1C x y +=,圆222:2210C x y x y +--+=,所以圆1C 的圆心为1(0,0)C ,半径11r =,圆2C 的圆心为2(1,1)C ,半径21r =,所以121212r r C C r r -<=+,故圆1C 与圆2C 相交,即A 错误;因为两圆半径相等,则两圆公切线的长度为12C C =B 正确将两圆方程作差得10x y +-=,所以两圆公共弦所在直线l 的方程为10x y +-=,故C 正确;因为1C 的圆心为1(0,0)C ,半径11r =,所以1(0,0)C 到直线10x y +-=的距离为1d所以公共弦长为又圆心2(1,1)C 到直线10x y +-=的距离为2d ==所以圆1C 与圆2C 公共部分的面积为11π2π14222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭,故D 正确.故选:BCD变式1.【多选】(2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中)圆221:2660C x y x y ++-+=与圆222:2210C x y x y +--+=相交于A ,B 两点,则()A .AB 的直线方程为4450x y -+=B .公共弦AB 的长为8C .圆1C 与圆2C D .线段AB 的中垂线方程为20x y +-=【答案】ACD【分析】对于A ,两圆方程相减可求出直线AB 的方程,对于B ,利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦AB 的长,对于C ,求出12C C ,对于D ,线段AB 的中垂线就是直线12C C ,求出直线12C C 的方程即可.【详解】由222660x y x y ++-+=,得22(1)(3)4x y ++-=,则1(1,3)C -,半径12r =,由222210x y x y +--+=,得22(1)(1)1x y -+-=,则2(1,1)C ,半径21r =,对于A ,公共弦AB 所在的直线方程为2222266(221)0x y x y x y x y ++-+-+--+=,即4450x y -+=,所以A 正确,对于B ,2(1,1)C 到直线AB 的距离d =,所以公共弦AB 的长为4AB ==,所以B 错误,对于C ,因为12C C ==,12r =,21r =,。
2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编圆与圆的位置关系一、选择题1.(2011天津3分)已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ,若12O O =7 cm ,则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距12O O =7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.(2011重庆潼南4分)已知⊙O1与⊙O2外切,⊙O1的半径R=5cm ,⊙O2的半径r=1cm ,则⊙O1与⊙O2的圆心距是A 、1cmB 、4cmC 、5cmD 、6cm 【答案】D 。
【考点】圆与圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的性质:相切(两圆圆心距离等于两圆半径之和或两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。
由于两圆外切,故两圆圆心距离等于两圆半径之和;5cm +1cm =6cm 。
故选D 。
3.(2011浙江台州4分)如图是一个组合烟花的横截面,其中16个圆的半径相同,点A 、B 、C 、D 分别是四个角上的圆的圆心,且四边形ABCD 为正方形.若圆的半径为r ,组合烟花的高为h ,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)A .rh π26B .rh rh π+24C .rh rh π212+D .rh rh π224+【答案】D 。
【考点】两圆相切的性质,扇形面积的计算。
【分析】由图形知,正方形ABCD 的边长为6r ,∴其周长为4×6r=24r ,∴截面的周长为:24r+2πr , ∴组合烟花的侧面包装纸的面积为:(24r+2πr )h=24rh+2πrh 。
故选D 。
4..(2011浙江温州4分)已知线段AB=7cm,现以点A为圆心,2cm为半径画⊙A;再以点B为圆心,3cm为半径画⊙B,则⊙A和⊙B的位置关系【来源:】A、内含B、相交C、外切D、外离【答案】D。
圆与圆的位置关系一、选择题1、(2012年上海青浦二模)如果⊙1O 的半径是 5,⊙2O 的半径为 8,124O O ,那么⊙1O 与⊙2O 的位置关系是( )A .内含;B .内切;C .相交;D .外离.答案:C2、(2012年浙江金华四模)已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为1,则两圆的位置关系是 ( )A.相交B.内切 C.外切 D.内含答案:B3、(2012年浙江金华五模)如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成,小刚准备画出它的三视图,那么他所画的三视图中的俯视图应该是( ▲ )A .两个相交的圆B .两个内切的圆C .两个外切的圆D .两个外离的圆答案:C4、(2012山东省德州四模)已知⊙O 1和⊙O 2外切,它们的半径分别为2cm 和5cm ,则O 1O 2的长( ) (A )2cm (B )3cm (C )5cm (D )7cm 答案:D5、(2012山东省德州一模) 以O 为圆心的两个同心圆的半径分别为9cm 和5 cm ,若⊙P 与这两个圆都相切,则下列说法中正确的是( ).(A)⊙P 的半径一定是2cm (B)⊙P 的半径一定是7 cm (C) 符合条件的点P 有2个 (D) ⊙P 的半径是2 cm 或7cm 答案:D6、(2012江苏无锡前洲中学模拟)已知两圆的半径分别为6和4,圆心距为2,则两圆的位置关系是( )A .相交B .内含C .外切D .内切 答案:D7、(2012江苏扬州中学一模)两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是( ▲ )A .内切B .相交C .外切D .外离 答案:B(第2题图)8、(2012兴仁中学一模)已知两圆的半径分别为1和2,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外离 D.外切9. (2012年江苏海安县质量与反馈)两圆半径长分别为R和r,两圆的圆心距为d,以长度为R、r、d的三条线段首尾相接可以围成一个三角形,则两圆的位置关系是A.外离 B.内含 C.相切 D.相交答案:D.10(2012年江苏通州兴仁中学一模)已知两圆的半径分别为1和2,圆心距为5,那么这两个圆的位置关系是()A.内切 B.相交 C.外离 D.外切答案:C.11、(2012温州市泰顺九校模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,外切,那么图中两个扇形(即阴影部分)的面积之和为()A.π825B.π425C.π1625D.π3225答案:B12、(2012年4月韶山市初三质量检测)已知⊙O1与⊙O2相切 (包括内切与外切 ) ,⊙O1的半径为3 cm ,⊙O2的半径为2 cm,则O1O2的长是()A.1 cm B.5 cm C.1 cm或5 cm D.0.5cm或2.5cm答案:C13、(2012年山东泰安模拟)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4,如果两圆的位置关系为内含,那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是()A B C D答案:B14、(2012深圳市龙城中学质量检测)如图,某宾馆大厅要铺圆环形的地毯,工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长,就计算出了圆环的面积.若测量得AB的长为20m,则圆环的面积为A.10m2 B.π10m2 C.100m2 D.π100m2第1题图第5题图 答案:D15、(2012广西贵港)已知半径分别为cm 5和cm 8的两圆相交,则它们的圆心距可能是 A .cm 1 B .cm 3 C .cm 10 D .cm 15答案:C16.(2012广西贵港)如图所示,在矩形ABCD 中,8=BC ,6=AB ,经过点B 和点D的两个动圆均与AC相切,且与DC AD BC AB 、、、分别交于点F E H G 、、、,则GH EF +的最小值是A .6B .8C .6.9D .10 答案:C17.(2012年广东模拟)已知两圆的半径分别是2 cm 和4 cm ,圆心距是2cm ,那么这两个圆的位置关系是( )A .外离B .外切C .相交D .内切 (原创)答案D18、(2012年浙江省金华市一模)已知两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则这两圆的位置关系是( )A .外离B .外切C .相交D .内切答案:B19、(2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考)两圆的圆心都在x 轴上,且两圆相交于A ,B 两点,点A 的坐标是(3,2),那么点B 的坐标为 --------------------------------------------------------------------( ) A .(–3,2) B .(3,–2) C .(–3,–2) D .(3,0). 答案:B20、(徐州市2012年模拟)已知半径分别为3 cm 和1cm 的两圆相交,则它们的圆心距可能是( )A .1 cmB .3 cmC .5cmD .7cm 答案:B21. (盐城市亭湖区2012年第一次调研考试)要在一个矩形纸片上画出半径分别是9cm 和4cm 的两个外切圆,该矩形纸片面积的最小值...是( )。
圆与圆的位置关系一、选择题:1.如果两圆的半径长分别为6和2,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是【】A.外离B.相切C.相交 D.内含2.若两圆的半径分别为2cm和6cm,圆心距为4cm,则这两圆的位置关系是【】A.内含B.内切C.外切D.外离3.如图,用邻边分别为a,b(a<b)的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆,再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面,小圆恰好能作为底面,从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计),则a与b满足的关系式是【】 A.b= a B.C.D.4.已知⊙O1与⊙O2外切,O1O2=8cm,⊙O1的半径为5cm,则⊙O2的半径是【】A. 13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7,3,圆心距为4,则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1,⊙O2的半径是r1=2, r2=4,圆心距d=5,则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】 A.外切 B.相交 C.内切 D.内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm,如果O1O2=7cm,则这两圆的位置关系是【】A.内含 B.相交 C.外切 D.外离9.若两圆的半径分别为2和4,且圆心距为7,则两圆的位置关系为【】A. 外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图,平面直角坐标系中,⊙O半径长为1.点⊙P(a,0),⊙P的半径长为2,把⊙P向左平移,当⊙P与⊙O相切时,a的值为【】(A)3 (B)1 (C)1,3 (D)±1,±311.已知两圆外切,圆心距为5cm,若其中一个圆的半径是3cm,则另一个圆的半径是【】A. 8cm B.5cm C.3cm D.2cm12.⊙O1的半径为3厘米,⊙O2的半径为2厘米,圆心距O1O2=5厘米,这两圆的位置关系是【】A.内含B.内切C.相交D.外切13.已知两圆的半径分别为1和3,当这两圆内含时,圆心距d的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2的两圆相切,其中一个圆的半径为1,则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1或2 (D)1或315.第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕,奥运会旗图案有五个圆环组成,下图也是一幅五环图案,在这个五个圆中,不存在...的位置关系是【】 A外离 B内切 C外切 D相交二、填空题:1.半径分别为3cm和4cm的两圆内切,这两圆的圆心距为cm.2.如图,⊙M与⊙N外切,MN=10cm,若⊙M的半径为6cm,⊙N的半径为 cm。
(2012年1月最新最细)2011全国中考真题解析120考点汇编☆圆与圆的位置关系一、选择题1.(2011盐城,5,3分)若⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6,圆心距O1O2=8,则⊙O1与⊙O2的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.外离考点:圆与圆的位置关系.分析:根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解.注意相交,则R﹣r<P<R+r;(P 表示圆心距,R,r分别表示两圆的半径).解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别为4和6,圆心距O1O2=8,又∵6﹣4=2,6+4=10,∴6﹣4<8<6+4,∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交.故选B.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是解此题的关键.2.(2011江苏扬州,4,3分)已知相交两圆的半径分别在4和7,则它们的圆心距可能是()A.2B. 3C. 6D. 11考点:圆与圆的位置关系。
分析:根据两圆半径;再根据两圆位置关系与数量关系间的联系即可求解.外离,则P>R+r;外切,则P=R+r;相交,则R﹣r<P<R+r;内切,则P=R﹣r;内含,则P<R﹣r.(P 表示圆心距,R,r分别表示两圆的半径),得出符合要求的答案即可.解答:解:根据题意,得R=7,r=4,∴R+r=11,R﹣r=3,∴相交两圆的圆心距为: R﹣r<d<R+r,即3<d<11,∴它们的圆心距可能是6.故选C.点评:此题主要考查了圆与圆的位置关系,圆与圆的位置关系与数量关系间的联系是中考热点,需重点掌握.3.(2011•宁夏,6,3分)已知⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5.若两圆相切,则圆心距O1O2的值是()A、2或4B、6或8C、2或8D、4或6考点:圆与圆的位置关系。
分析:由两圆相切,可知两圆内切或外切,又由⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5.,则根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系,即可求得圆心距O1O2的值.解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是r1=3、r2=5.∴若两圆内切,则圆心距O1O2的值是:5﹣3=2,若两圆外切,则圆心距O1O2的值是:3+5=8.∴圆心距O1O2的值是:2或8.故选C.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系是解此题的关键.4.(2011陕西,7,3分)同一平面内的两个圆,他们的半径分别为2和3,圆心距为d.当<d时,两圆的位置关系是()51<A.外离 B.相交 C.内切或外切 D.内含考点:圆与圆的位置关系。
圆与圆的位置关系一、选择题 A 组1、(重庆一中初2011级10—11学年度下期3月月考)若两圆的半径分别为5和7,圆心距为2,则这两圆的位置关系是 ( )A .内含B .内切C .相交D .外切 答案:B2、(2011年北京四中四模)若两圆有且只有两条公切线,则这两圆的位置关系是( ) (A )外离 (B )外切 (C )相交 (D )内切 答案:C3、(北京四中模拟7)已知两个圆只有一条公切线,那么这两个圆的位置关系是( ) A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 答案 A4、(2011年北京四中中考模拟20)已知两圆的半径分别为3和4,圆心距为8,那么这两个圆的位置关系是( )A 、内切B 、相交C 、外切D 、外离 答案D5.(2011年浙江省杭州市模拟23)如图,A ⊙,B ⊙的半径分别为1cm ,2cm ,圆心距A B 为5cm .如果A ⊙由图示位置沿直线A B 向右平移3cm ,则此时该圆与B ⊙的位置关系是( )A .外离 B.相交 C. 外切 D. 内含 . 答案:B6、(2011年北京四中模拟26)已知两圆的半径分别为3㎝和4㎝,两个圆的圆心距为10㎝,则两圆的位置关系是( ) A .内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案:D[来源:] 7、(北京四中模拟)已知⊙O 1的半径为R ,⊙O 2的半径为r ,两圆的圆心距为d ,d<R+r ,则两圆的位置关系为( ) A 、相交B 、内切C 、相交或内切D 、相交或内切或内含答案:D8、(2011杭州模拟26)已知两圆半径分别为4和6,圆心距为d ,若两圆无公共点,则下列结论正确的是……………………………………( )A .0<d <2 B. d >10 C. 0≤d <2或d >10 D.0<d <2或d >10 答案:C9.(2011年浙江仙居)已知大圆的半径为5,小圆的半径为3,两圆圆心距为7,则这两圆的位置关系为( )A .外离B .外切 C.相交 D .内含(第5题)答案:C 10.(2011武汉调考模拟)已知⊙1O 与⊙2O 的圆心距1O 2O =6cm ,且两圆的半径满足一元二次方程2x -6x+8=0.则两圆的位置关系为()A .外切B .内切C .外离D .相交 答案:AB 组 1.(2011 天一实验学校 二模)两圆的半径分别为4和3,圆心距为5,则两圆的位置关系 ( ) A .外离 B .外切C .相交D .内切答案:C2. (2011浙江慈吉 模拟)已知⊙A 和⊙B 没有公共点, ⊙A 的半径为5, 圆心距为10, 则⊙B 的半径可能是( )A. 4B. 5C. 9D. 10 答案:A3.(2011年重庆江津区七校联考)已知两圆直径分别为10cm 和8cm ,圆心距为2cm ,那么两圆的位置关系是( )A.相交B.内切C.外切D.外离答案:A[来源:学#科#网]4.(2011年安徽省巢湖市七中模拟)两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为( ) A .外离 B .内切 C .相交 D .外切答案:D5.(2011安徽中考模拟)已知半径分别为4cm 和7cm 的两圆相交,则它们的圆心距可能是( )A .1cmB .3cmC .10cmD .15cm 答案:C6.(2011北京四中二模)已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和5cm ,两圆的圆心距是6cm ,则两圆的位置关系是( )(A )内含 (B )外离 (C )内切 (D )相交 答案:D7. (2011深圳市全真中考模拟一)已知两圆相交,其圆心距为6,大圆半径为8,则小圆半径r 的取值范围是(A)r>2 (13)2<r<14 (C)l<r<8 (13)2<r<8 答案:D8. (2011湖北武汉调考模拟二) 两圆的圆心距为5;两圆的半径分别是方程x 2-5x+3 =0的两个根,则两圆的位置关系是( )第13题A .外切 B.外离 C.内含 D 相交 答案:A9、(2011杭州模拟20)在A B C∆中,cos 2B =,045C ∠=,8A B =,以点B 为圆心4为半径的⊙B 与以点C 为圆心的⊙C 相离,则⊙C 的半径不可能...为( ) (A )15 (B )5 (C )6 (D )7 答案:D10、(2011年黄冈市浠水县)已知⊙O 1的半径为2cm ,⊙O 2的半径为4cm ,圆心距O 1O 2 为3cm ,则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 相交B. 外离C. 外切D. 内切答案:A 11、(江西省九校2010—2011第一次联考)图中圆与圆之间不同的位置关系【 】 A .2种B .3种C .4种D .5种[来源:学科网]答案:B12.(2011年广东省澄海实验学校模拟)两圆的半径分别是5cm 和4cm,圆心距为7cm,圆的位置关系是( )A.相交B.内切C.外切D.外离答案:A13.(2011湖北省崇阳县城关中学模拟)如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=6经过点B 和点D 的两个动圆均与AC 相切,且与AB 、BC 、AD 、DC 分别交于点G 、H 、E 、F ,则EF+GH 的最小值是( ▲ ) A .6 B .8 C .源:Z|xx|] 答案:C二、填空题 A 组1、(浙江省杭州市2011年中考数学模拟)如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4c m 的⊙O 2内切,那么两圆的圆心距O 1O 2= cm .【原创】 答案:12、(中江县2011年初中毕业生诊断考试)如图,PQ =3cm ,以PQ 为直径的圆与一个半径为5cm 的圆相切于点P ,正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上,小圆在正方形的外部且与CD 相切于点Q ,则AB = cm.答案:63、(重庆市纂江县赶水镇)已知两圆的半径分别为3㎝和4㎝,如果这两个圆的圆心距为10㎝,那么这两个圆的位置关系是_______. 答案:相离4、(2011年如皋市九年级期末考)两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为 . 答案:外切[来源:学#科#网] 5.(2011年三门峡实验中学3月模拟)两圆的圆心距5d =,它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=的两个根,这两圆的位置关系是 . 答案:外切6.(2011年重庆江津区七校联考)如图,在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。
⊙A 半径为2,⊙B 半径为1,需使⊙A 与静止的⊙B 相切,那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.答案:2或47、(赵州二中九年七班模拟)两圆的半径分别为3cm 和4cm ,圆心距为2cm.那么这两圆的位置关系是 。
答案:相交8.(2011浙江杭州育才初中模拟)两圆的半径分别为3和3,圆心距为3,(2011浙江杭州育才初(第6题图)中模拟)则两圆的位置关系为 .(原创) 答案:相交[来源:学。
科。
网]9、(2011北京四中模拟)己知两圆内切,一个圆的半径为3,圆心距为2,则另一个圆的半径为 答案:1或 510(2011深圳市三模)要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm 和1cm 的两个外切圆,该矩形纸片面积的最小值是 . 答案: 72.11(2011年黄冈中考调研六)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为5,⊙O 1的半径为3,若两圆相切,则⊙O 2的半径为 。
答案2或812(北京四中模拟)三个半径为2cm 的圆如图所示叠放在一起,用一根一定长的绳子绕三个圆刚好一圈,则绳的长为 cm答案:(124)cm π+13 (2011年兴华公学九下第一次月考)如图,AB 是⊙O 1的直径,AO 1是⊙O 2的直径,弦MN ∥AB ,且MN 与⊙O 2相切于C 点,若⊙O 1的半径为2,则O 1B 、BN ⌒ 、NC 与CO 1⌒所围成的阴影部分的面积是 .答案:23112++π14 (2011浙江省杭州市10模)如图,相离的两个圆⊙O 1和⊙O 2在直线l 的同侧。
一条光线跟⊙O 1相切射向l 后反射,反射线又跟⊙O 2相切,则满足条件的光线共有 ▲ .答案:315(2011浙江杭州模拟14)如图,⊙O 1和⊙O 2的半径为2和3,连接O 1O 2,交⊙O 2于点P ,O 1O 2=7,若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向以30°/秒的速度旋转一周,请写出⊙O 1与⊙O 2相切时的旋转时间为_______秒.答案:3或6或三、解答题1、(北京四中模拟6)已知:如图,⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点, 动点P 在⊙O 2上,且在⊙1 外,直线PA 、PB 分别交⊙O 1于C 、D.问:⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化?如果发生变化,请你确定CD 最长和最短时P 的位置,如果不发生变化,请你给出证明;答案: 解:当点P 运动时,CD 的长保持不变,A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点,弦AB 与点P 的位置关系无关,连结AD ,∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ,所以∠ADP 为定值,∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ,所以∠P 为定值. ∵∠CAD =∠ADP +∠P , ∴∠CAD 为定值, 在⊙O 1中∠CAD 对弦CD , ∴CD 的长与点P 的位置无关.2(2011年重庆江津区七校联考)如图,A B C △内接于⊙O ,点D 在半径O B 的延长线上,30B C D A ∠=∠=°.第14图(1)试判断直线C D与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径长为1,求由弧B C、线段C D和B D所围成的阴影部分面积(结果保留π和根号).答案:(1) CD与⊙O相切理由:∵∠A=30°∴∠BOC=2∠A =60°∵OB=OC∴△BO C是正三角形∴∠OCB=60°[来源:]又∵∠BCD=30°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°即 OC⊥CD ∴CD与⊙O相切(2)略AD。