初二数学下学期第一次月考试卷
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八年级数学第二学期 第一次月考测试卷含答案一、选择题1.下列各式计算正确的是( )A =B .2=C =D =2.下列运算正确的是( )A 2=B 5=-C 2=D 012=3的倒数是( )A B .2C .D .2-4.下列计算正确的是( )A =B 3=C =D .21=5.下列运算中,正确的是( )A =3B .=-1C D .36.下列式子一定是二次根式的是 ( )A B C D 7.下列各式中,正确的是( )A B .C =D =- 48.下列说法错误的个数是( )a =;④数轴上的点都表示有理数 A .1个 B .2个C .3个D .4个9.下列计算正确的是( )A =B 1-=C =D 6==10.已知m 、n m ,n )为( )A .(2,5)B .(8,20)C .(2,5),(8,20)D .以上都不是11.若12x x +-有意义,则字母x 的取值范围是( ) A .x≥1B .x≠2C .x≥1且x =2D ..x≥-1且x ≠212.已知实数x 、y 满足222y x x =-+--,则yx 值是( )A .﹣2B .4C .﹣4D .无法确定二、填空题13.将2(3)(0)3a a a a-<-化简的结果是___________________.14.(1)已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简()222144a a ab b +--+=_____________;(2)已知正整数p ,q 满足32016p q +=,则整数对()p q ,的个数是_______________;(3)△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 15.把31a a-根号外的因式移入根号内,得________ 16.已知372x =-,a 是x 的整数部分,b 是x 的小数部分,则a-b=_______ 17.将一组数2,2,6,22,10,…,251按图中的方法排列:若32的位置记为(2,3),27的位置记为(3,2),则这组数中最大数的位置记为______.18.如果0xy >,化简2xy -__________.19.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简()222a b a b -+-=_____.20.1+x有意义,则x 的取值范围是____.三、解答题21.先阅读材料,再回答问题:因为)111=1=;因为1=,所以=1== (1= ,= ; (2⋅⋅⋅+的值.【答案】(12)9 【分析】(1)仿照例子,由1+=的值;由1+=1的值;(2)根据(1)中的规律可将每个二次根式分母有理化,可转化为实数的加减法运算,再寻求规律可得答案. 【详解】解:(1)因为1-=;因为1=1(2⋅⋅⋅+1=+⋅⋅⋅1=1019=-=.【点睛】本题考查了分母有理化,分子分母都乘以分母这两个数的差进行分母有理化是解题关键.22.像2)=1=a (a ≥0)、﹣1)=b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因+1﹣1,﹣因式.进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.请完成下列问题:(1);(2)+;(3)的大小,并说明理由.【答案】(1(2)(3)< 【解析】分析:(1=1,确定互为有理化因式,由此计算即可;(2)确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理化后计算即可;(3与,,然后比较即可.详解:(1) 原式=9;(2)原式=2+=2+ (3)根据题意,-==,><,>点睛:此题是一个阅读题,认证读题,了解互为有理化因式的实际意义,以及特点,然后根据特点变形解题是关键.23.(1)计算:(2)先化简,再求值:(()8a a a a +--,其中14a =.【答案】(1)2)82-a ,【分析】(1)分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项,再合并同类二次根式即可;(2)分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项,再把a 的值代入化简后的式子计算即可. 【详解】(1)==;(2)(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时,原式1824⎫=⨯-=⎪⎭.【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算,属于常考题型,熟练掌握基本知识是解题的关键.24.先化简,再求值:(()69x x x x --+,其中1x =.【答案】化简得6x+6,代入得 【分析】根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】(()69x x x x +--+=22369x x x --++ =6x+6把1x =代入原式=61)【点睛】此题主要考查实数的运算,解题的关键熟知整式的运算法则.25.计算:(1)012⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)(4 【答案】(1)-5;(2)9 【分析】(1)第一项利用算术平方根的定义计算,后一项利用零指数幂法则计算,即可得到结果; (2)利用平方差公式计算即可.【详解】(1)0 1 2⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--,5=-;(2)(4167=-9=.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂,熟练掌握平方差公式是解题的关键.26.观察下列一组等式,然后解答后面的问题1)1=,1=,1=,1=⋯⋯(1)观察以上规律,请写出第n个等式:(n为正整数).(2(3【答案】(1)1=;(2)9;(3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律,分母有理化,再化简计算.(3)先对两个式子变形,分子有理化,变为分子为1,再比大小.【详解】解:(1)根据题意得:第n个等式为1=;故答案为1=;(2)原式111019==-=;(3-==,<∴>.【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目,解题的关键是掌握平方差公式.27.观察下列各式:11111122=+-=11111236=+-=111113412=+-= 请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:(1=_____________ (2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n (n 为正整数)表示的等式:______________;(3【答案】(1)1120;(211(1)n n =++;(3)1156,过程见解析 【分析】(1)仿照已知等式确定出所求即可; (2)归纳总结得到一般性规律,写出即可; (3)原式变形后,仿照上式得出结果即可. 【详解】解:(1111114520=+-=; 故答案为:1120;(2111111(1)n n n n =+-=+++;11(1)n n =++;(31156== 【点睛】此题是一个阅读题目,通过阅读找出题目隐含条件.总结:找规律的题,都要通过仔细观察找出和数之间的关系,并用关系式表示出来.28.计算:(1(2|a﹣1|,其中1<a【答案】(1)1;(2)1【分析】(1)根据二次根式的乘法法则计算;(2)由二次根式的非负性,a的取值范围进行化简.【详解】解:(1-1=2-1=1(2)∵1<a,a﹣1=2﹣a+a﹣1=1.【点睛】本题考查二次根式的性质、二次根式的乘法法则,主要检验学生的计算能力.29.已知x²+2xy+y²的值.【答案】16【解析】分析:(1)根据已知条件先计算出x+y=4,再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=(x+y)²,然后利用整体代入的方法计算.本题解析:∵x² +2xy+y² =(x+y)²,∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.30.计算下列各题:(1-.(2)2【答案】(1)2)2--【分析】(1)根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可;(2)利用平方差、完全平方公式进行计算.【详解】解:(1)原式==;=--+(2)原式22(5=---525=--2【点睛】本题考查二次根式的加减乘除混合运算,熟练掌握运算法则和乘法公式是关键.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】计算出各个选项中的正确结果,即可得到哪个选项是正确【详解】A错误;∵2+B错误;=,故选项C正确;=,故选项D错误.2故选C.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法.2.C解析:C【分析】由二次根式的性质,二次根式的混合运算,分别进行计算,即可得到答案.【详解】解:A A错误;=,故B错误;B5C2==,故C正确;D01213=+=,故D错误;故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的性质,二次根式的混合运算,立方根,零指数幂,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.3.B解析:B【分析】根据倒数的定义,即可得到答案.【详解】,;2故选:B.【点睛】本题考查了倒数的定义和化为最简二次根式,解题的关键是熟记倒数的定义进行解题. 4.A解析:A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算,然后选择正确答案.【详解】解:======,原式计算错误;D. 2220=-=,原式计算错误;故应选:A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法,掌握运算法则是解答本题的关键.5.D解析:D【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得.【详解】=+=,此项错误A314==-,此项错误B、23===⨯=,此项错误C2428=,此项正确D、3故选:D.【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除运算,熟记二次根式的运算法则是解题关键.6.A解析:A【分析】根据二次根式的定义,直接判断得结论.【详解】A A正确;a<B错误;B、0C是三次根式,故C错误;a<D错误;D、0故选:A.【点睛】a≥)是二次根式,注意二次根式的被开方数是非负数.7.C解析:C【分析】根据算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法逐项判断即可.【详解】A4=,此项错误B、4=±,此项错误==,此项正确CD==故选:C.【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义、二次根式的加法与乘除法,掌握二次根式的运算法则是解题关键.8.C解析:C【分析】根据无理数定义判断①;根据平方根的算法判断②;利用二次根式的性质化简判断③;根据数轴的特点,判断④.【详解】无限不循环小数才是无理数,①错误;=,3的平方根是②正确;3=,③错误;a数轴上的点可以表示所有有理数和无理数,④错误故选:C.【点睛】本题考查无理数的定义、平方根的计算、二次根式的性质以及数轴表示数,紧抓相关定义是解题关键.9.A解析:A【分析】本题涉及二次根式化简,在计算时,需要针对每个选项分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】====,故本项错误;D. 6故选:A.【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的运算.10.C解析:C【分析】根据二次根式的性质分析即可得出答案.【详解】解:∵m、n是正整数,∴m=2,n=5或m=8,n=20,当m=2,n=5时,原式=2是整数;当m=8,n=20时,原式=1是整数;即满足条件的有序数对(m,n)为(2,5)或(8,20),故选:C.【点睛】本题考查了二次根式的性质和二次根式的运算,估算无理数的大小的应用,题目比较好,有一定的难度.11.D解析:D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案.【详解】有意义,则x+1≥0且x-2≠0,解得:x≥-1且x≠2.故选:D.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,正确把握相关性质是解题关键.12.C解析:C【分析】依据二次根式中的被开方数是非负数求得x的值,然后可得到y的值,最后代入计算即可.【详解】y=,∵实数x、y满足2∴x=2,y=﹣2,-⨯=-4.∴yx=22故选:C.【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.二、填空题13..【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】∵a<0.∴a-3<0,∴==.故答案为:.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,正确判断根号内的符号是解题的关键.解析:【分析】根据二次根式的性质化简即可.【详解】∵a <0.∴a -3<0,∴(a -=-=故答案为:【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,正确判断根号内的符号是解题的关键.14.(1)2a -2b +1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,∴=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)∵,∴,p=20解析:(1)2a -2b +1;(2)3;(3)130°或50°.【解析】(1)∵-1<a<0,b>1,=|a+1|-|a-2b|=1+a-2b+a=2a-2b+1.(2)==∴p=14x 3(其中x 为正整数),同理可得:q=14y 2(其中y 为正整数),则x+3y=12(x 、y 为正整数)∴963,,123x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩, ∴整数对有(p,q )=(14⨯81,141⨯),或(1436,144)⨯⨯ ,或(149,149⨯⨯)。
一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列数中,属于有理数的是()A. √2B. πC. 0.1010010001...D. 2/32. 如果a > b,那么下列不等式中正确的是()A. a - b > 0B. a + b < 0C. a / b < 1D. a / b > 13. 下列函数中,是二次函数的是()A. y = 2x + 3B. y = x^2 - 4x + 5C. y = 3x^3 - 2x + 1D. y = x^2 - 34. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么它的体积V可以表示为()A. V = a + b + cB. V = abcC. V = a^2 + b^2 + c^2D. V = (a + b) / c5. 在等腰三角形ABC中,底边BC的长度为8cm,腰AB和AC的长度相等,且AB = AC = 10cm,那么三角形ABC的面积S可以表示为()A. S = 40cm²B. S = 32cm²C. S = 40cm²D. S = 32cm²6. 若x² - 5x + 6 = 0,那么x的值为()A. 2 或 3B. 1 或 4C. 2 或 4D. 1 或 37. 下列图形中,是圆的是()A. 正方形B. 等边三角形C. 半圆D. 等腰梯形8. 下列方程中,解集为空集的是()A. 2x + 3 = 0B. x² - 1 = 0C. x² + 2x + 1 = 0D. x² + 3x + 2 = 09. 下列数中,绝对值最小的是()A. -5B. -4C. 0D. 310. 若a、b、c是等差数列,且a + b + c = 18,那么a² + b² + c²的值为()A. 54B. 72C. 90D. 108二、填空题(每题5分,共50分)11. 已知x + y = 5,xy = 6,那么x² + y²的值为______。
八年级数学下册第一次月考试卷满分:150分考试用时:120分钟范围:第十六章《二次根式》~第十七章《勾股定理》班级姓名得分一、选择题(本大题共10小题,共40.0分)1.要使√x+1有意义,则x的取值范围为()2A. x≤0B. x≥−1C. x≥0D. x≤−12.已知△ABC的三边之长分别为a、1、3,则化简|9−2a|−√9−12a+4a2的结果是()A. 12−4aB. 4a−12C. 12D. −123.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是()A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π4.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M,则点M为()A. 2B. √5−1C. √10−1D. √55.下列运算中,能合并成一个根式的是()A. √12−√2B. √18−√8C. √8a2+√2aD. √x2y+√xy26.已知a,b,c为互不相同的有理数,满足(b+√2)2=(a+√2)(c+√2),则符合条件的a,b,c共有()A. 0组B. 1组C. 2组D. 4组7.如下图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升3cm至D点,则橡皮筋被拉长了()A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm8.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为()A. 1013√13B. 913√13C. 813√13D. 713√139.如果实数a满足|2019−a|+√a−2020=a,那么a−20192的值是()A. 2017B. 2018C. 2019D. 202010.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处,发现此时绳子末端距离地面2m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A. 12mB. 13mC. 16mD. 17m二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)11.要使代数式√2x−1x−1有意义,则x的取值范围是______.12.已知√7=a,√70=b,用含a、b的代数式表示√490=____________.13.已知△ABC中,∠A=12∠B=13∠C,则∠A、∠B、∠C所对的三条边之比为______.14.如图,一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ=_____________厘米.15.对于任意实数a,b,定义一种运算“∗”如下:a∗b=a(a−b)+b(a+b),如:3∗2=3×(3−2)+2×(3+2)=13,那么√3∗√2=.16.如果一个三角形的面积为√15,一边长为√3,那么这条边上的高为.17.如下图,AB=BC=CD=DE=1,且BC⊥AB,CD⊥AC,DE⊥AD,则线段AE的长为.18.如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C距离是5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离为.19.如图所示,正方体的棱长为√2cm,用经过A、B、C三点的平面截这个正方体,所得截面的周长是______ cm.20. a 1=1+112+122,a 2=1+122+132,a 3=1+132+142,⋯⋯,a n =1+1n 2+1(n+1)2,其中n 为正整数,则√a n 的值是__________.三、解答题(本大题共6小题,共80.0分) 21. (12分)计算下列各式(1)(13)−2+6√3−√12+(1−√2)0(2)y x +1x +y ⋅(x −y 2x )22. (12分)如图,OA ⊥OB ,OA =45海里,OB =15海里,我国钓鱼岛位于O 点,我国渔政船在点B 处发现有一不明国籍的渔船,自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O ,我国渔政船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在点C 处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C 处的位置;(2)求我国渔政船行驶的航程BC 的长.23.(12分)阅读理解材料:把分母中的根号化掉叫做分母有理化,例如:①2√5=2√5√5⋅√5=2√55;②1√2−1=1×(√2+1)(√2−1)(√2+1)=√2+1(√2)2−12=√2+1等运算都是分母有理化.根据上述材料,(1)化简:1√3−√2(2)计算:1√2+1+1√3+√2+1√4+√3+⋯+1√10+√9.24.(14分)已知四边形ABCD中,BC=DC,对角线AC平分∠BAD.(1)作CE⊥AB,CF⊥AD,E、F分别为垂足.求证:△BCE≌△DCF.(2)如果AB=21,AD=9.BC=DC=10,求对角线AC的长.25.(14分)已知a,b为实数,且a=√5b−35+√7−b+3,求√(a−b)2的值.26.(16分)超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末,小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段,尝试用自己所学的知识检测车速,观测点设在到公路l的距离为100m的P处.这时,一辆富康轿车由西向东匀速驶来,测得此车从A处行驶到B 处所用的时间为3s,并测得∠APO=60°,∠BPO=45°,试判断此车是否超过了80km/ℎ的限制速度?(√3≈1.732)答案1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.A8.D9.D10.D11.x≥12且x≠112.ab13.1:√3:214.2015.516.2√517.218.2519.620.n2+n+1n2+n21.解:(1)原式=9+2√3−2√3+1=10;(2)原式=yx +1x+y·x2−y2x=yx+1x+y·(x+y)(x−y)x=yx+x−yx=1.22.解:(1)作AB的垂直平分线与OA交于点C;(2)设BC为x海里,则CA也为x海里,∵∠O=90°,∴在Rt△OBC中,BO2+OC2=BC2,即:152+(45−x)2=x2,解得:x=25,答:我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里.23.解:(1)原式=√3+√2=√3+√2;(√3−√2)(√3+√2)(2)原式=√2−1+√3−√2+⋯+√10−√9=√10−1.24.(1)证明:∵AC平分∠BAD,且CE⊥AB,CF⊥AD;∴CF=CE;又∵CD=BC;∴Rt△BCE≌Rt△DCF.(2)解:取AG=AD,作CH⊥AB,垂足为H,得△ADC≌△AGC,∴AG=AD=9,CG=CD=10;∴CG=CB;∴△CGB为等腰三角形.∵GB=AB−AG=21−9=12,GH=HB=6;∴CH2=100−36=64,∴CH=8;GB=9+6=15;∴AH=AG+GH=9+12Rt△ACH中,AC2=AH2+CH2=152+82=172∴AC=17.25.由题意得{5b−35⩾07−b⩾0,解得b=7,∴a=√5b−35+√7−b+3=3,∴√(a−b)2=√(3−7)2=4.26.解:此车超过80km/ℎ的限制速度.理由如下:在Rt△APO中,∠APO=60°,则∠PAO=30°,∴AP=2OP=200m,AO=√AP2−OP2=√2002−1002=100√3(m),在Rt△BOP中,∠BPO=45°,则BO=OP=100m,∴AB=AO−BO=(100√3−100)m,∴从A到B小车行驶的速度为(100√3−100)÷3≈24.4(m/s)=87.84km/ℎ>80km/ℎ,∴此车超过80km/ℎ的限制速度.。
八年级(下)第一次月考数学试卷一、选择题(每题3分,共8题,总分24分)1.下列图形中,不是轴对称图形的是()A. B.C.D.2.下列说法正确的是()A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等3.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去玻璃店,就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带()A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块4.如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则可增加的条件是()A.∠ABE=∠DBE B.∠A=∠D C.∠E=∠C D.∠1=∠25.如图所示,则下面图形中与图中△ABC一定全等的三角形是()A. B.C.D.A.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′B.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=B′C′C.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′D.AB=A′B′,BC=B′C′,△ABC的周长等于△A′B′C′的周长7.如图,如果△ABC≌△FED,那么下列结论错误的是()A.EC=BD B.EF∥AB C.DF=BD D.AC∥FD8.如图,△ABC≌△ADE,AB=AD,AC=AE,∠B=28°,∠E=95°,∠EAB=20°,则∠BAD等于()A.75°B.57°C.55°D.77°二、填空题题(3分×10=30分)9.我国国旗上的五角星有条对称轴.10.已知△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠C=75°,则∠E=°.11.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y=.12.如图,∠ABC=∠DCB,要用SAS判断△ABC≌△DCB,需要增加一个条件:.13.把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽工具(卡钳).如图,若测得AB=5厘米,则槽为厘米.14.已知:如图,AB=AC,AD⊥BC于D,点E在AD上,图中共有对全等三角形.15.如图:已知,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E.若∠B=40°,则∠EAC=°.16.如图:作∠AOB的角平分线OP的依据是.(填全等三角形的一种判定方法)17.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.18.如图为6个边长等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=°.三、解答题(本大题共10个小题,共96分.)19.如图,在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上.(1)请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1,使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称;(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,直接写出四边形A1B1C1D1的面积.20.沿网格线把正方形分割成两个全等图形?用三种不同的方法试一试.21.如图,△ABC≌△DEF,∠A=25°,∠B=65°,BF=3cm,求∠DFE的度数和EC的长.22.如图,AB、CD相交于点O,△AOB≌△DOC,且∠A=80°,∠DOC=30°,BO=23,AO=18,求∠DC0的度数和BD的长度.23.如图,AC=AD,BC=BD,求证:AB平分∠CAD.24.已知:如图,AB=DC,AB∥DC,求证:AD=BC.25.如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.∠A=∠D=90°;求证:AB∥DE.26.两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置,右图是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)指出线段DC和线段BE的位置关系,并说明理由.27.如图,小明用三角尺画∠AOB的平分线,他先在∠AOB两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,然后,连接DN和EM,相交于点C,再作射线OC,此时他认为OC就是∠AOB的平分线,你认为他的做法正确吗?请说明理由.28.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠A=90°.操作:小明取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作PE∥AB,剪下△PEC(如图1),并将△PEC绕点P按逆时针方向旋转180°到△PFD 的位置,拼成新的图形(如图2).(Ⅰ)思考与实践:(1)操作后小明发现,拼成的新图形是;(2)如图图3中,已知AB∥CD,类比图2的剪拼方法,画出图3剪拼成一个平行四边形的示意图.(Ⅱ)发现与运用:小白又发现:在一个四边形中,只要有一组对边平行,就可以剪拼成平行四边形.(1)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,EF⊥AB于点F,AB=5,EF=4,求梯形ABCD的面积.(2)如图5的多边形中,AE=CD,AE∥CD,能否沿一条直线进行剪切,拼成一个平行四边形?若能,请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明;若不能,简要说明理由.2016-2017学年江苏省淮安市盱眙县八年级(上)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题3分,共8题,总分24分)1.下列图形中,不是轴对称图形的是()A. B.C.D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.【解答】解:A是中心对称图形,不是轴对称图形,B、C、D都是轴对称图形,故选:A.2.下列说法正确的是()A.形状相同的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等【考点】全等图形.【分析】根据全等形的概念:能够完全重合的两个图形叫做全等形,以及全等三角形的判定定理可得答案.【解答】解:A、形状相同的两个三角形全等,说法错误,应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等;B、面积相等的两个三角形全等,说法错误;C、完全重合的两个三角形全等,说法正确;D、所有的等边三角形全等,说法错误;故选:C.3.小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图的四块(即图中标有1、2、3、4的四块),你认为将其中的哪一块带去玻璃店,就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带()A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块【考点】全等三角形的应用.【分析】根据题意应先假定选择哪块,再对应三角形全等判定的条件进行验证.【解答】解:1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素,所以不能带它们去,只有第2块有完整的两角及夹边,符合ASA,满足题目要求的条件,是符合题意的.故选:B.4.如图,AB=DB,BC=BE,欲证△ABE≌△DBC,则可增加的条件是()A.∠ABE=∠DBE B.∠A=∠D C.∠E=∠C D.∠1=∠2【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定可以添加条件∠1=∠2.【解答】解:条件是∠1=∠2,∴∠ABE=∠DBC,理由是:在△ABE和△DBC中,,∴△ABE≌△DBC(SAS),故选D5.如图所示,则下面图形中与图中△ABC一定全等的三角形是()A. B.C.D.【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证,做题时要找准对应边,对应角.【解答】解:A图有两边相等,而夹角不一定相等,二者不一定全等;B图与三角形ABC有两边及其夹边相等,二者全等;C图有两边相等,而夹角不一定相等,二者不一定全等;D图与三角形ABC有两角相等,二者不一定全等;故选B6.根据下列条件,能判定△ABC≌△A′B′C′的是()A.AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′B.∠A=∠A′,∠B=∠B′,AC=B′C′C.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′D.AB=A′B′,BC=B′C′,△ABC的周长等于△A′B′C′的周长【考点】全等三角形的判定.【分析】根据全等三角形的判定(三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS))可得当AB=DE,BC=EF,AC=DF可判定△ABC≌△DEF,做题时要对选项逐个验证.【解答】解:A、满足SSA,不能判定全等;B、不是一组对应边相等,不能判定全等;C、满足AAA,不能判定全等;D、符合SSS,能判定全等.故选D.7.如图,如果△ABC≌△FED,那么下列结论错误的是()A.EC=BD B.EF∥AB C.DF=BD D.AC∥FD【考点】全等三角形的性质.【分析】根据全等三角形的性质得出DF=AC,∠E=∠B,∠EDF=∠ACB,FD=AC,推出EF∥AB,AC ∥DF,EC=BD,即可得出答案.【解答】解:∵△ABC≌△EFD,∴DF=AC,∠E=∠B,∠EDF=∠ACB,ED=BC;∴EF∥AB,AC∥DF,FD﹣CD=BC﹣DC,∴EC=BD,故选项A、B、D正确,选项C错误;故选C.8.如图,△ABC≌△ADE,AB=AD,AC=AE,∠B=28°,∠E=95°,∠EAB=20°,则∠BAD等于()A.75°B.57°C.55°D.77°【考点】全等三角形的性质.【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°,再由三角形内角和为180°,求出∠DAE=57°,然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数.【解答】解:∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠D=28°,又∵∠D+∠E+∠DAE=180°,∠E=95°,∴∠DAE=180°﹣28°﹣95°=57°,∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°.故选D.二、填空题题(3分×10=30分)9.我国国旗上的五角星有5条对称轴.【考点】轴对称的性质.【分析】根据轴对称图形的定义,可直接求得结果.【解答】解:过五角星的五个顶点中任意一个,与所对的两边的交点可作一条对称轴,∴五角星有5条对称轴.故答案为:5.10.已知△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠C=75°,则∠E=25°.【考点】全等三角形的性质.【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠F,再根据三角形的内角和定理求出即可.【解答】解:∵△ABC≌△DEF,∠A=80°,∠C=75°,∴∠D=∠A=80°,∠F=∠C=75°,∴∠E=180°﹣∠D﹣∠F=25°.故答案为:25.11.一个三角形的三边为2、5、x,另一个三角形的三边为y、2、6,若这两个三角形全等,则x+y= 11.【考点】全等三角形的性质.【分析】根据已知条件分清对应边,结合全的三角形的性质可得出答案.【解答】解:∵这两个三角形全等,两个三角形中都有2∴长度为2的是对应边,x应是另一个三角形中的边6.同理可得y=5∴x+y=11.故填11.12.如图,∠ABC=∠DCB,要用SAS判断△ABC≌△DCB,需要增加一个条件:AB=DC.【考点】全等三角形的判定.【分析】条件是AB=DC,根据SAS推出即可.【解答】解:添加的条件是:AB=DC,理由是:∵在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB(SAS),故答案为:AB=DC.13.把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽工具(卡钳).如图,若测得AB=5厘米,则槽为5厘米.【考点】全等三角形的应用.【分析】首先利用SAS定理判定△AOB≌△A′OB′,然后再根据全等三角形对应边相等可得A′B′=AB=5cm.【解答】解:连接AB,∵把两根钢条A′B、AB′的中点连在一起,∴AO=A′O,BO=B′O,在△ABO和△A′B′O中,∴△AOB≌△A′OB′(SAS),∴A′B′=AB=5cm,故答案为:5.14.已知:如图,AB=AC,AD⊥BC于D,点E在AD上,图中共有3对全等三角形.【考点】全等三角形的判定.【分析】由已知易得△ABD≌△ACD,从而运用全等三角形性质及判定方法证明△BDE≌△CDE,△ABE≌△ACE.【解答】解:图中的全等三角形共有3对.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ABD与Rt△ACD中,,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴BD=CD,∠BAD=∠CAD,在△BDE与△CDE中,,∴△BDE≌△CDE(SAS),∴BE=CE,在△ABE与△ACE中,,∴△ABE≌△ACE(SSS).故答案为:3.15.如图:已知,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E.若∠B=40°,则∠EAC=10°.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】根据∠C=90°AD=AC,求证△CAE≌△DAE,∠CAE=∠DAE=∠CAB,再由∠C=90°,∠B=40°,求出∠EAC的度数,然后即可求出∠AEC的度数.【解答】解:∵在△ABC中,∠C=90°,AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,在Rt△CAE与△RtDAE中,,∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴∠CAE=∠DAE=∠CAB,∵∠B+∠CAB=90°,∠B=40°,∴∠CAB=90°﹣40°=50°,∴∠EAC=10°.故答案为:10.16.如图:作∠AOB的角平分线OP的依据是SSS.(填全等三角形的一种判定方法)【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定.【分析】根据作法可知OC=OD,PC=PD,OP=OP,故可得出△OPC≌△OPD,进而可得出结论.【解答】解:在△OPC与△OPD中,∵,∴△OPC≌△OPD(SSS),∴OP是∠AOB的平分线.故答案为:SSS.17.如图,△ABC是不等边三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出4个.【考点】作图—复杂作图.【分析】能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以E为圆心,AC为半径画圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),分别于D,E连接后,可得到两个三角形.以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆.两圆相交于两点(DE上下各一个),分别于D,E连接后,可得到两个三角形.因此最多能画出4个【解答】解:如图,可以作出这样的三角形4个.18.如图为6个边长等的正方形的组合图形,则∠1+∠2+∠3=135°.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】观察图形可知∠1与∠3互余,∠2是直角的一半,利用这些关系可解此题.【解答】解:观察图形可知:△ABC≌△BDE,∴∠1=∠DBE,又∵∠DBE+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°.∵∠2=45°,∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠3+∠2=90°+45°=135°.故填135.三、解答题(本大题共10个小题,共96分.)19.如图,在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中(我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点),四边形ABCD在直线l的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上.(1)请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1,使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称;(2)在(1)的条件下,结合你所画的图形,直接写出四边形A1B1C1D1的面积.【考点】作图-轴对称变换.【分析】(1)根据轴对称的性质画出图形即可;(2)利用矩形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可.【解答】解:(1)如图所示.=3×4﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1﹣×2×2(2)S四边形A1B1C1D1=12﹣1﹣1﹣﹣2=.20.沿网格线把正方形分割成两个全等图形?用三种不同的方法试一试.【考点】作图—应用与设计作图;全等图形.【分析】观察图形发现:这个正方形网格的总面积为16,因此只要将面积分为8,即占8个方格,并且图形要保证为相同即可.【解答】解:如下图所示:21.如图,△ABC≌△DEF,∠A=25°,∠B=65°,BF=3cm,求∠DFE的度数和EC的长.【考点】全等三角形的性质.【分析】根据已知条件,△ABC≌△DEF,可知∠E=∠B=65°,BF=BC,可证EC=BF=3cm,做题时要正确找出对应边,对应角.【解答】解:△ABC中∠A=25°,∠B=65°,∴∠BCA=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣25°﹣65°=90°,∵△ABC≌△DEF,∴∠BCA=∠DFE,BC=EF,∴EC=BF=3cm.∴∠DFE=90°,EC=3cm.22.如图,AB、CD相交于点O,△AOB≌△DOC,且∠A=80°,∠DOC=30°,BO=23,AO=18,求∠DC0的度数和BD的长度.【考点】全等三角形的性质.【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠A,全等三角形对应边相等可得DO=AO,再根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠DCO,BD=BO+DO计算即可得解.【解答】解:∵△AOB≌△DOC,∴∠D=∠A=80°,DO=AO=18,在△COD中,∠DCO=180°﹣∠D﹣∠DOC=180°﹣80°﹣30°=70°,BD=BO+DO=23+18=41.23.如图,AC=AD,BC=BD,求证:AB平分∠CAD.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】由已知两对边相等,加上公共边AB=AB,利用SSS得到三角形ABC与三角形ABD全等,利用全等三角形对应角相等得到∠CAB=∠DAB,即可得证.【解答】证明:在△ABC与△ABD中,,∴△ABC≌△ABD(SSS),∴∠CAB=∠DAB,∴AB平分∠CAD.24.已知:如图,AB=DC,AB∥DC,求证:AD=BC.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】欲证明AD=BC,只要证明△ACB≌△CAD即可.【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,在△ACB和△CAD中,,∴△ACB≌△CAD(SAS),∴AD=BC(全等三角形的对应边相等).25.如图,已知:点B、F、C、E在一条直线上,FB=CE,AC=DF.∠A=∠D=90°;求证:AB∥DE.【考点】全等三角形的判定与性质;平行线的判定.【分析】欲证明AB∥DE,只需证得∠B=∠FED.由Rt△ABC≌Rt△DEF,根据全等三角形的性质推知该结论即可.【解答】证明:如图,∵FB=CE,∴FB+FC=CE+FC,即BC=EF.又∵∠A=∠D=90°,在Rt△ABC与Rt△DEF中,,∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL),∴∠B=∠FED,∴AB∥DE.26.两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置,右图是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC.(1)求证:△ABE≌△ACD;(2)指出线段DC和线段BE的位置关系,并说明理由.【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.【分析】(1)根据两个等腰直角三角形的性质得:AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°,由等式性质得:∠BAE=∠CAD,根据SAS证明两三角形全等;(2)由等腰直角三角形得两锐角为45°,再由全等三角形的性质得:∠ACD=∠B=45°,所以∠BCD=90°,则CD⊥BE.【解答】证明:(1)∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,在△ABE和△ACD中,∵,∴△ABE≌△ACD(SAS);(2)CD⊥BE,理由是:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵△ABE≌△ACD,∴∠ACD=∠ABC=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°,∴CD⊥BE.27.如图,小明用三角尺画∠AOB的平分线,他先在∠AOB两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,然后,连接DN和EM,相交于点C,再作射线OC,此时他认为OC就是∠AOB的平分线,你认为他的做法正确吗?请说明理由.【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.【分析】直接利用全等三角形的判定与性质分别得出△MOE≌△NOD(SAS),△MDC≌△NEC(AAS),△DOC≌△EOC(SSS),进而得出答案.【解答】解:他的做法正确;理由:在△MOE和△NOD中∵,∴△MOE≌△NOD(SAS),∴∠OME=∠DNO,∵OM=ON,OD=OE,∴DM=EN,∴在△MDC和△NEC中,∴△MDC≌△NEC(AAS),∴DC=EC,在△DOC和△EOC中,∴△DOC≌△EOC(SSS),∴∠DOC=∠EOC,∴OC就是∠AOB的平分线.28.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠A=90°.操作:小明取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P,过点P作PE∥AB,剪下△PEC(如图1),并将△PEC绕点P按逆时针方向旋转180°到△PFD 的位置,拼成新的图形(如图2).(Ⅰ)思考与实践:(1)操作后小明发现,拼成的新图形是矩形;(2)如图图3中,已知AB∥CD,类比图2的剪拼方法,画出图3剪拼成一个平行四边形的示意图.(Ⅱ)发现与运用:小白又发现:在一个四边形中,只要有一组对边平行,就可以剪拼成平行四边形.(1)如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,EF⊥AB于点F,AB=5,EF=4,求梯形ABCD的面积.(2)如图5的多边形中,AE=CD,AE∥CD,能否沿一条直线进行剪切,拼成一个平行四边形?若能,请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明;若不能,简要说明理由.【考点】四边形综合题;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定;矩形的判定;旋转的性质.【分析】思考与实践:(1)根据矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断即可;(2)取AD的中点P,过点P做PE∥BC交AB于E,交CD的延长线于F,根据旋转后三角形的一条边与四边形的一边在同一条直线上,构成平行四边形.发现与运用:=S□ABGH即可;(1)过点E作AB的平行线,交BC于点G,交AD的延长线于点H,得出S梯形ABCD(2)分别取AB、BC的中点F、H,作直线FH,分别交AE、CD于点M、N,将△AMF与△CNH一起拼接到△FBH位置即可.【解答】解:(Ⅰ)(1)如图2所示,△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置,易知PE与PF在同一条直线上,∴EF∥AB,又∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C+∠ADP=180°,∴∠FDP+∠ADP=180°,∴AD和DF在同一条直线上,那么构成的新图形是一个四边形,又∵AD∥BC,∴四边形ABEF是一个平行四边形,∵∠A=90°,∴拼成的新图形是矩形.故答案为:矩形;(2)如图所示,取AD的中点P,过点P做PE∥BC交AB于E,交CD的延长线于F,△PEA绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置,易知PE与PF在同一条直线上,所以EF∥BC,由于图中AB∥CD所以图中四边形BCFE是平行四边形.(Ⅱ)(1)如下图所示,过点E作AB的平行线,交BC于点G,交AD的延长线于点H,∵AH∥CG,∴∠H=∠CGE,∵E是CD的中点,∴DE=CE,又∵∠DEH=∠CEG,∴△DEH≌△CEG(AAS),∴S△DEH =S△CEG,∵AH∥BC,AB∥HC,∴四边形ABGH是平行四边形,∵EF⊥AB于点F,AB=5,EF=4,∴平行四边形ABGH的面积=AB×EF=5×4=20,∴梯形ABCD的面积=五边形ABGEDD的面积+△CEG的面积=五边形ABGEDD的面积+△DEH的面积=平行四边形ABGH的面积=20;(2)能.如图5,分别取AB、BC的中点F、H,作直线FH,分别交AE、CD于点M、N,将△AMF与△CNH 一起拼接到△FBH位置即可.。
八年级数学试题(全卷满分150分,考试时间120分钟)一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.)1.下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是()(A)(B)(C)(D)2.以下问题,不适合用普查的是()(A)了解全班同学每周体育锻炼的时间(B)旅客上飞机前的安检(C)学校招聘教师,对应聘人员面试(D)了解一批灯泡的使用寿命3.下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是()(A)AB=AD,BC=CD(B)∠A=∠C,∠B=∠D(C)AB∥CD,AB=CD(D)AB=CD,AD=BC4.如图,小明家的住房平面图呈长方形,被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长,则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③第4题图第5题图第6题图5.如图,在菱形ABCD中,M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为()(A)28°(B)52°(C) 62°(D)72°6.如图,在矩形ABCD中(AD>AB),点E是BC上一点,且DE=DA,AF⊥DE,垂足为点F,在下列结论中,不一定正确的是()(A)△AFD≌△DCE(B)AF= 12 AD(C)AB=AF(D)BE=AD﹣DF7.母亲节快到了,某校团委随机抽取本校部分同学,进行母亲生日日期了解情况调查,分“知道、不知道、记不清”三种情况.下面图①、图②是根据采集到的数据,绘制的扇形和条形统计图.请你根据图中提供的信息,若全校共有990名学生,估计这所学校所有知道母亲的生日的学生有()名(A)440 (B)495 (C)550 (D)660第7题图第8题图8.如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.则下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=CG;③AG∥CF;④S△EGC=S△AFE;⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正确的个数是()(A)2 (B)3 (C)4 (D)5二、填空题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.)9.有50个数据,共分成6组,第1~4组的频数分别为10,8,7,11.第5组的频率是0.16,则第6组的频数是.10.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中约有红球个.11.如图,把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D.若∠A′DC=90°,则∠A= .12.如图,在□ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,则□ABCD的周长等于.13.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有种.14.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE= 度.第14题图第15题图第16题图15.如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为.16.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,AC的垂直平分线交AD于点E,则△CDE的周长是.17.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A 重合,则折痕EF的长为.第17题图第18题图18.如图,在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为.三、解答题(本大题共10个小题,共96分.)19.(8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中,点A、B、C都是格点.(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1;(2)将△ABC绕点O按逆时针方向旋转180°得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;(3)若点O的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,3);写出△A1B1C1与△A2B2C2的对称中心的坐标.20.(8分)在一个不透明的口袋里装有仅颜色不同的黑、白两种颜色的球20只,某学习小组做摸球实验.将球搅匀后从中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下表是活动进行中记下的一组数据摸球的次数n100 150 200 500 800 1000摸到白球的次数m58 96 116 295 484 601摸到白球的频率mn0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601(1)请你估计,当n很大时,摸到白球的频率将会接近(精确到0.1).(2)假如你去摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是.(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球有多少只.21.(8分)为了促进学生多样化发展,某校组织开展了社团活动,分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团(要求人人参与社团,每人只能选择一项).为了解学生喜爱哪种社团活动,学校做了一次抽样调查.根据收集到的数据,绘制成如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息,完成下列问题:(1)此次共调查了多少人?(2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数;(3)请将条形统计图补充完整;(4)若该校有1500名学生,请估计喜欢体育类社团的学生有多少人?O22.(8分)已知平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于点E,A F∥CE,且交BC于点F.(1)求证:△ABF≌△CDE;(2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.23.(10分)如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF ∥BE.求证:(1)△AFD≌△CEB;(2)四边形ABCD是平行四边形.24.(10分)如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE 与DC的交点为O,连接DE.(1)求证:△ADE≌△CED;(2)求证:DE∥AC.25.(10分)已知:如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E是CD中点,连结OE.过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F,连结DF.求证:(1)△ODE≌△FCE;(2)四边形ODFC是菱形.26.(10分)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E,(1)求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形?并给出证明.27.(12分)【问题情境】如图1,四边形ABCD是正方形,M是BC边上的一点,E是CD边的中点,AE平分∠DAM.【探究展示】(1)证明:AM=AD+MC;(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.【拓展延伸】(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,其他条件不变,如图2,探究展示(1)、(2)中的结论是否成立?请分别作出判断,不需要证明.28.(12分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.(1)求证:DE⊥AG;(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°< α<360°)OE F G,如图2.得到正方形'''OAG是直角时,求α的度数;(注明:当直角边为斜边一半时,①在旋转过程中,当∠'这条直角边所对的锐角为30度)AF长的最大值和此时α的度数,②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求'直接写出结果不必说明理由.图1 图2命题人:花荡中学徐灯书审核人:吴桥中学张贻恒八年级数学试题(参考答案)一、选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D A A C B C C二、填空题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.)9.6 10.8 11.55°12.20 13.4 14.22.5°15.1216.10 17.8018.252,56,10三、解答题(本大题共10个小题,共96分.)19.(1)△A1B1C1如图所示;(3分)(2)△A2B2C2如图所示;(3分)(3)旋转中心(﹣3,0).(2分)20.(1)0.6;(2分)(2)35,25;(4分)(3)因为摸到白球的概率是35,摸到黑球的概率是25,所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是320125⨯=个,黑球是22085⨯=个。
江苏省泰州二中附中2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题一、单选题1.下面四幅作品分别代表“大雪”、“立春”、芒种”、“白露”四个节气,其中是中心对称图形的是()A.B.C.D.2.去年我区有近5千名考生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取500名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是()A.这500名考生是总体的一个样本B.近5千名考生是总体C.每位考生的数学成绩是个体D.500名学生是样本容量3.下列事件:①三条线段能组成一个三角形;②太阳从东方升起;③a是实数,0a<;④购买一张大乐透彩票,中大奖500万.其中必然事件是().A.①B.②C.③D.④4.下列式子从左边至右边变形错误的是()A.422a a=B.33a a-=-C.21x x xxy y--=D.3322aa=5.下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等6.如图,正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A,E,O在同一直线l上,且EF=3AB=,点M、N分别是线段BD和AB的中点,则MN的长为()A B .32C D二、填空题 7.要使分式12x -有意义,则x 的取值范围为. 8.如果分式293x x --的值为0,则x =.9.用反证法证明”时,第一步应该假设.10.如表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据,则可估计“钉尖不着地”的概率为.11.如图,ABCD Y 的面积为4,点P 在对角线AC 上,E 、F 分别在AB 、AD 上,且PE BC ∥,PF CD ∥,连接EF ,图中阴影部分的面积为.12.菱形周长是20,对角线长的比为3:4,则菱形的面积为.13.一次数学测试后,某班40名学生的成绩被分成5组,第14-组的频数分别为12、10、6、8,则第5组的频率是.14.如图,矩形ABCD 的对角线交于点O ,点E 在线段OD 上,且AE AB =,若15EAO ∠=︒,则AEO ∠=.15.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2,图3所示的正方形,如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为9和1,则图1中菱形的面积为.16.如图,矩形ABCD 中,5AB =,6BC =,点E 在BC 边上,且2BE =,F 为AB 边上的一个动点,连接EF ,以EF 为边作等边EFG V ,且点G 在矩形ABCD 内,连接CG ,则CG 的最小值为.三、解答题 17.解方程: (1)322x x =- (2)22111xx x +=-+ 18.先化简:22111a aa a a ⎛⎫-+÷⎪+-⎝⎭,再从1-,0,1,2中选一个你认为合适的数作为a 的值代入求值.19.两种品牌方便面销售增长率折线统计图如图:(1)BB 牌方便面的销售量比AA 牌多吗?为什么?你认为要做出这样的推断还需要什么信息?(2)从折线统计图中你能获得哪些信息?20.如图,通过旋转ABC V 可以使其与DEF V 重合(1)仅用无刻度直尺确定旋转中心M (保留作图痕迹),并写出旋转ABC V ,使其与DEF V 重合的过程.(2)若F 、A 的坐标分别为()32-,,()47-,,则旋转中心的坐标为 21.某水果店用3000元购进新品水果销售,由于销售状况良好,超市又调拨9000元资金购进该种水果,但这次的进价比第一次的进价提高了20%,购进水果数量是第一次的2倍还多300千克,如果超市按每千克9元的价格出售,当大部分水果售出后,余下的500千克按售价的8折售完.(1)该种水果的第一次进价是每千克多少元? (2)超市销售这种水果共盈利多少元?22.数学来源于生活,生活离不开数学,开水中加入适量的糖冲泡成甜糖水很受一些人的喜爱,人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.(1)若在a 克糖水里面含糖b 克()0a b >>,则该糖水的甜度为______;(2)现向(1)中的糖水中再加入适量的糖,充分搅匀后,感觉糖水更甜了.请用所学的数学知识解释这一现象.(提示:我们在判断两个数的大小时,常常会用到作差法,如5320-=>所以53>,同样如果0m n ->,就说明m n >)23.如图1,1A ,1B ,1C ,1D 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC BD ⊥,6AC =,10BD =.(1)试判断四边形1111D C B A 的形状,并证明你的结论;(2)如图2,依次取11A B ,11B C ,11C D ,11D A 的中点2A ,2B ,2C ,2D ,再依次取22A B ,22B C ,22C D ,22D A 的中点3A ,3B ,3C ,3D ……以此类推,取11n n A B --,11n n B C --,11n n C D --,11n n D A --的中点n A ,n B ,n C ,n D ,根据信息填空: ①四边形1111D C B A 的面积是__________; ②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516,则n =________; ③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积___________.24.如图,Rt CEF △中,90C ∠=︒,CEF ∠和CFE ∠的外角平分线交于点A ,过点A 分别作直线CE ,CF 的垂线,点B ,D 为垂足.(1)求证:四边形ABCD 是正方形;(2)若AB a =(a 为常数),求()()BE a DF a ++的值. 25.对x ,y 定义一种新运算T ,规定:()2ax byT x y x y+=+,(其中a 、b 均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:()01010212a b bT ⨯+⨯==+⨯,.(1)已知()5214T =,,()111T -=-,. ①求a ,b 的值;②若()23T m m +=-,,求m 的值;(2)若()()T x y T y x =,,对任意有理数x ,y 都成立(这里()T x y ,和()T y x ,均有意义),则a ,b 应满足怎样的关系式?26.折纸不仅是一项有趣的活动,也是一项益智的数学活动.实践操作:将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,使点D 落ABCD 所在平面内,边BC 和AD '相交于点E 解决问题:(1)如图1,①求证ABE CD E '≌V V ②连接BD ',判断BD '和AC 的位置关系,并说明理由(2)如图2,在矩形ABCD 中,若AB =F 是对角线AC 上一动点,30ACB ∠=︒,连接EF ,作点C 关于直线EF 的对称点P ,直线PE 交AC 于Q ,当AEQ △是直角三角形时,直接写出CF 的长.。
一、选择题1.如图,点A 的坐标是(2)2,,若点P 在x 轴上,且APO △是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是( )A .(2,0)B .(4,0)C .(-22,0)D .(3,0)2.如图,等腰直角△ABC 中,∠C =90°,点F 是AB 边的中点,点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动,且∠DFE =90°,连接DE 、DF 、EF ,在此运动变化过程中,下列结论:①图中全等的三角形只有两对;②△ABC 的面积是四边形CDFE 面积的2倍;③CD +CE =2FA ;④AD 2+BE 2=DE 2.其中错误结论的个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个3.如图,在长方形纸片ABCD 中,8AB cm =,6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠,点B 落在点E 处,AE 交DC 于点F ,则AF 的长为( )A .254cmB .152cmC .7cmD .132cm 4.如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是( )A.62B.22C.210D.6 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则点C到AB的距离是()A.34B.35C.45D.1256.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为16cm,在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿4cm的点A处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm,则该圆柱底面周长为()A.12cm B.14cm C.20cm D.24cm7.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接,最多可搭成直角三角形的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个8.如图,点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2,分别以点A和点B为圆心,线段AB的长度为半径画弧,在数轴的上方交于点C.再以原点O为圆心,OC为半径画弧,与数轴的正半轴交于点M,则点M对应的数为()A.3.5 B.23C.13D.369.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,则AC的长是()A.17B.5C.2D.710.一个直角三角形的两条边的长度分别为3和4,则它的斜边长为()A.5 B.4 C7D.4或5二、填空题11.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1).图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S1,S2,S3,若S 1+S 2+S 3=10,则S2的值是_________.12.如图,∠MON =90°,△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上,当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时,同时点B 在ON 上运动,连接OC .若AC =4,BC =3,AB =5,则OC 的长度的最大值是________.13.如图,现有一长方体的实心木块,有一蚂蚁从A 处出发沿长方体表面爬行到C '处,若长方体的长4cm AB =,宽2cm BC =,高1cm BB '=,则蚂蚁爬行的最短路径长是___________.14.如图,在四边形ABCD 中,AB =AD ,BC=DC ,点E 为AD 边上一点,连接BD 、CE ,CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB ,若∠A =60°,AB=4,CE=3,则BC 的长为_______.15.如图,在△ABC 中,OA =4,OB =3,C 点与A 点关于直线OB 对称,动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合),满足∠BPQ =∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时,OP 的长度是_____.16.如图,四边形ABDC 中,∠ABD =120°,AB ⊥AC ,BD ⊥CD ,AB =4,CD =43,则该四边形的面积是______.17.如图是由边长为1的小正方形组成的网格图,线段AB ,BC ,BD ,DE 的端点均在格点上,线段AB 和DE 交于点F ,则DF 的长度为_____.18.如图所示,“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的,记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ,已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.19.如图,在矩形ABCD 中,AD >AB ,将矩形ABCD 折叠,使点C 与点A 重合,折痕为MN ,连接CN .若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1:3,则22MN BM的值为______________.20.如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠,使点B 落在斜边上的点B '处,再沿CM 折叠,使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒,15cm BC =,20cm AC =,则MB '的长为______.三、解答题21.在等边ABC 中,点D 是线段BC 的中点,120,EDF DE ∠=︒与线段AB 相交于点,E DF 与射线AC 相交于点F .()1如图1,若DF AC ⊥,垂足为,4,F AB =求BE 的长;()2如图2,将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度,DF 仍与线段AC 相交于点F .求证:12BE CF AB +=.()3如图3,将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度,使DF 与线段AC 的延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ,若,DN FN =设,BE x CF y ==,写出y 关于x 的函数关系式.22.如图,在两个等腰直角ABC 和CDE △中,∠ACB = ∠DCE=90°.(1)观察猜想:如图1,点E 在BC 上,线段AE 与BD 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)探究证明:把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置,(1)中的结论还成立吗?说明理由;(3)拓展延伸:把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,若AC = BC=10,DE=12,当A 、E 、D 三点在直线上时,请直接写出 AD 的长.23.如图,△ABC 和△ADE 都是等腰三角形,其中AB =AC ,AD =AE ,且∠BAC =∠DAE . (1)如图①,连接BE 、CD ,求证:BE =CD ;(2)如图②,连接BE 、CD ,若∠BAC =∠DAE =60°,CD ⊥AE ,AD =3,CD =4,求BD 的长;(3)如图③,若∠BAC =∠DAE =90°,且C 点恰好落在DE 上,试探究CD 2、CE 2和BC 2之间的数量关系,并加以说明.24.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD中,∠ABC=70°,∠BAC=40°,∠ACD=∠ADC=80°,求证:四边形ABCD是邻和四边形.(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A、B、C三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D.,使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形.(3)如图3,△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=23,若存在一点D,使四边形ABCD是邻和四边形,求邻和四边形ABCD的面积.25.在等腰△ABC与等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点D、E、C三点在同一条直线上,连接BD.(1)如图1,求证:△ADB≌△AEC(2)如图2,当∠BAC=∠DAE=90°时,试猜想线段AD,BD,CD之间的数量关系,并写出证明过程;(3)如图3,当∠BAC=∠DAE=120°时,请直接写出线段AD,BD,CD之间的数量关系式为:(不写证明过程)26.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,若点P从点A出发,以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)若点P在AC上,且满足PA=PB时,求出此时t的值;(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上,求t的值;(3)在运动过程中,直接写出当t为何值时,△BCP为等腰三角形.27.如图1,△ABC中,CD⊥AB于D,且BD : AD : CD=2 : 3 : 4,(1)试说明△ABC是等腰三角形;(2)已知S△ABC=40cm2,如图2,动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动,同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t(秒),①若△DMN的边与BC平行,求t的值;②若点E是边AC的中点,问在点M运动的过程中,△MDE能否成为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.图1 图2 备用图28.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AC,BC上的点,且满足DE⊥EF,垂足为点E,连接DF.(1)求∠EDF= (填度数);(2)延长DE交AB于点G,连接FG,如图2,猜想AG,GF,FC三者的数量关系,并给出证明;(3)①若AB=6,G是AB的中点,求△BFG的面积;②设AG=a,CF=b,△BFG的面积记为S,试确定S与a,b的关系,并说明理由.29.已知ABC是等边三角形,点D是BC边上一动点,连结AD()1如图1,若2DC=,求AD的长;BD=,4()2如图2,以AD为边作60∠=∠=,分别交AB,AC于点E,F.ADE ADF①小明通过观察、实验,提出猜想:在点D 运动的过程中,始终有AE AF =,小明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法想法1:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然后通过全等三角形的相关知识获证.想法2:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造ADF 的全等三角形,然后通过等腰三角形的相关知识获证.请你参考上面的想法,帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积,x 表示AD 的长,请你直接写出S 与x 之间的关系式.30.如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AB =2,CD 是边AB 的高线,动点E 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动;同时,动点F 从点C 出发,以相同的速度沿射线CB 运动.设E 的运动时间为t (s )(t >0).(1)AE = (用含t 的代数式表示),∠BCD 的大小是 度;(2)点E 在边AC 上运动时,求证:△ADE ≌△CDF ;(3)点E 在边AC 上运动时,求∠EDF 的度数;(4)连结BE ,当CE =AD 时,直接写出t 的值和此时BE 对应的值.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【详解】解:(1)当点P 在x 轴正半轴上,①以OA 为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴∠AOP=45°,OA=22,∴P的坐标是(4,0)或(22,0);②以OA为底边时,∵点A的坐标是(2,2),∴当点P的坐标为:(2,0)时,OP=AP;(2)当点P在x轴负半轴上,③以OA为腰时,∵A的坐标是(2,2),∴OA= 22∴OA=AP=2∴P的坐标是(-220).故选D.2.B解析:B【分析】结论①错误,因为图中全等的三角形有3对;结论②正确,由全等三角形的性质可以判断;结论③错误,利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断;结论④正确,利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断.【详解】连接CF,交DE于点P,如下图所示结论①错误,理由如下:图中全等的三角形有3对,分别为△AFC ≌△BFC ,△AFD ≌△CFE ,△CFD ≌△BFE . 由等腰直角三角形的性质,可知FA=FC=FB ,易得△AFC ≌△BFC .∵FC ⊥AB ,FD ⊥FE ,∴∠AFD=∠CFE .∴△AFD ≌△CFE (ASA ).同理可证:△CFD ≌△BFE .结论②正确,理由如下:∵△AFD ≌△CFE ,∴S △AFD =S △CFE ,∴S 四边形CDFE =S △CFD +S △CFE =S △CFD +S △AFD =S △AFC =12S △ABC , 即△ABC 的面积等于四边形CDFE 的面积的2倍.结论③错误,理由如下:∵△AFD ≌△CFE ,∴CE=AD ,∴2FA .结论④正确,理由如下:∵△AFD ≌△CFE ,∴AD=CE ;∵△CFD ≌△BFE ,∴BE=CD .在Rt △CDE 中,由勾股定理得:222CD CE DE +=,∴222AD BE DE += .故选B .【点睛】本题是几何综合题,考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点,综合性比较强.解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质.3.A解析:A【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD,得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ,设AF=xcm ,则DF=(8-x)cm ,在Rt△AFD 中,利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形,∴∠B=∠D=900,BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ,∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm ,则DF=(8-x )cm在Rt△AFD 中,AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm , 222(8)6x x =-+ 254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题,利用勾股定理求线段的长度.4.C解析:C【解析】试题解析:作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P此时.PA PB PA PB AB -=-'='过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,四边形B DCE '为矩形,6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''2.AE ∴=22210.AB AE B E ''=+=PA PB -的最大值为:210.故答案为:210.5.D解析:D【解析】在Rt △ABC 中 ∠C=90°,AC=3,BC=4,根据勾股定理求得AB=5,设点C 到AB 的距离为h ,即可得12h×AB=12AC×BC ,即12h×5=12×3×4,解得h=125,故选D. 6.D解析:D【分析】将容器侧面展开,建立A 关于EG 的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为所求.【详解】解:如图:将圆柱展开,EG 为上底面圆周长的一半,作A 关于E 的对称点A',连接A'B 交EG 于F ,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF 的长,即AF+BF=A'B=20cm ,延长BG ,过A'作A'D ⊥BG 于D ,∵AE=A'E=DG=4cm ,∴BD=16cm ,Rt △A'DB 中,由勾股定理得:22201612-=cm∴则该圆柱底面周长为24cm .故选:D .【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.7.B解析:B【解析】试题分析:解:∵92=81,122=144,152=225,362=1296,392=1521,∴81+144=225,225+1296=1521,即92+122=152,152+362=392,故选B .考点:勾股定理的逆定理点评:本题难度中等,主要考查了勾股定理的逆定理,解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容.8.B解析:B【分析】如图,作CD ⊥AB 于点D ,由题意可得△ABC 是等边三角形,从而可得BD 、OD 的长,然后根据勾股定理即可求出CD 与OC 的长,进而可得OM 的长,于是可得答案.【详解】解:∵点A 和点B 在数轴上对应的数分别是4和2,∴OB=2,OA=4,如图,作CD ⊥AB 于点D ,则由题意得:CA=CB=AB=2,∴△ABC 是等边三角形,∴BD=AD=112AB =, ∴OD=OB+BD=3,223CD BC BD =-=,∴()22223323OC OD CD =+=+=,∴OM=OC=23,∴点M 对应的数为23.故选:B .【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识,属于常见题型,正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键.9.A解析:A【解析】试题解析:作AD ⊥l 3于D ,作CE ⊥l 3于E ,∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE,{BAD CBE AB BCADB BEC∠=∠=∠=∠,∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中,根据勾股定理,得25+9=34,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得342=217.故选A.考点:1.勾股定理;2.全等三角形的性质;3.全等三角形的判定.10.D解析:D【分析】根据题意,可分为已知的两条边的长度为两直角边,或一直角边一斜边两种情况,根据勾股定理求斜边即可.【详解】当3和4为两直角边时,由勾股定理,得:22345+=;当3和4为一直角边和一斜边时,可知4为斜边.∴斜边长为4或5.故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理,关键是根据题目条件进行分类讨论,利用勾股定理求解.二、填空题11.103.【解析】试题解析:将四边形MTKN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,∵正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,S1+S2+S3=10,∴得出S1=8y+x,S2=4y+x,S3=x,∴S1+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,x+4y=103,所以S2=x+4y=103.考点:勾股定理的证明.12.5【解析】试题分析:取AB中点E,连接OE、CE,在直角三角形AOB中,OE=AB,利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形,所以CE=AB,利用OE+CE≥OC,所以OC的最大值为OE+CE,即OC的最大值=AB=5.考点:勾股定理的逆定理,13.5cm【分析】连接AC',分三种情况进行讨论:画出图形,用勾股定理计算出AC'长,再比较大小即可得出结果.【详解】解:如图展开成平面图,连接AC',分三种情况讨论:如图1,AB=4,BC'=1+2=3,∴在Rt△ABC'中,由勾股定理得AC'2243(cm),如图2,AC=4+2=6,CC'=1∴在Rt△ACC'中,由勾股定理得AC'=22+=37(cm),61如图3,AD =2,DC'=1+4=5,∴在Rt△ADC'中,由勾股定理得AC'=22+=29(cm)25∵5<29<37,∴蚂蚁爬行的最短路径长是5cm,故答案为:5cm.【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理,本题具有一定的代表性,是一道好题,注意要分类讨论.14.7【分析】连接AC交BD于点O,由题意可证AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD,BO=OD,通过证明△EDF是等边三角形,可得DE=EF=DF,由勾股定理可求OC,BC的长.【详解】连接AC,交BD于点O,∵AB=AD,BC=DC,∠A=60°,∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=4,BO=OD=2,∵CE∥AB,∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,∴∠DAO=∠ACE=30°,∴AE=CE=3,∴DE=AD−AE=1,∵∠CED=∠ADB=60°,∴△EDF是等边三角形,∴DE=EF=DF=1,∴CF=CE−EF=2,OF=OD−DF=1,OC ∴=∴【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.15.1或78【分析】 分为三种情况:①PQ BP =,②BQ QP =,③BQ BP =,由等腰三角形的性质和勾股定理可求解.【详解】解:分为3种情况:①当PB PQ =时,4=OA ,3OB =,∴5BC AB ===, C 点与A 点关于直线OB 对称,BAO BCO ∴∠=∠,BPQ BAO ∠=∠,BPQ BCO ∴∠=∠,APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠,APQ CBP ∴∠=∠,在APQ 和CBP 中,BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩, ()APQ CBP AAS ∴△≌△,∴5AP BC ==,1OP AP OA ∴=-=;②当BQ BP =时,BPQ BQP ∠=∠,BPQ BAO ∠=∠,BAO BQP ∴∠=∠,根据三角形外角性质得:BQP BAO ∠>∠,∴这种情况不存在;③当QB QP =时,QBP BPQ BAO ∠=∠=∠,PB PA ∴=,设OP x =,则4PB PA x ==-在Rt OBP △中,222PB OP OB =+,222(4)3x x ∴-=+, 解得:78x =; ∴当PQB △为等腰三角形时,1OP =或78; 【点睛】本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定的应用,解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题,注意分类讨论.16.【分析】延长CA 、DB 交于点E ,则60C ∠=°,30E ∠=︒,在Rt ABE ∆中,利用含30角的直角三角形的性质求出28BE AB ==,根据勾股定理求出AE =.同理,在Rt DEC ∆中求出2CE CD ==12DE ==,然后根据CDE ABE ABDC S S S ∆∆=-四边形,计算即可求解.【详解】解:如图,延长CA 、DB 交于点E ,∵四边形ABDC 中,120ABD ∠=︒,AB AC ⊥,BD CD ⊥,∴60C ∠=°,∴30E ∠=︒,在Rt ABE ∆中,4AB =,30E ∠=︒,∴28BE AB ==,AE ∴=.在Rt DEC ∆中,30E ∠=︒,CD =2CE CD ∴==12DE ∴=,∴142ABE S ∆=⨯⨯= 1122CDE S ∆=⨯=CDE ABE ABDC S S S ∆∆∴=-=四边形.故答案为:【点睛】本题考查了勾股定理,含30角的直角三角形的性质,图形的面积,准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.17.2【分析】连接AD 、CD ,由勾股定理得:22435AB DE ==+=,224225BD =+=,22125CD AD ==+=,得出AB =DE =BC ,222BD AD AB +=,由此可得△ABD 为直角三角形,同理可得△BCD 为直角三角用形,继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ,得出∠BAC =∠EDB ,得出DF ⊥AB ,BD 平分∠ABC ,再由角平分线的性得出DF =DG =2即可的解.【详解】连接AD 、CD ,如图所示:由勾股定理可得,22435AB DE ==+=,224225BD =+=22125CD AD ==+, ∵BE=BC=5,∴AB=DE =AB =BC ,222BD AD AB +=,∴△ABD 是直角三角形,∠ADB =90°,同理可得:△BCD 是直角三角形,∠BDC =90°,∴∠ADC =180°,∴点A 、D 、C 三点共线,∴225AC AD BD ===,在△ABC 和△DEB 中,AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩=,∴△ABC ≌△DEB(SSS),∴∠BAC =∠EDB ,∵∠EDB+∠ADF =90°,∴∠BAD+∠ADF =90°,∴∠BFD =90°,∴DF ⊥AB ,∵AB=BC ,BD ⊥AC ,∴BD 平分∠ABC ,∵DG ⊥BC ,∴DF =DG =2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识,解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.18.103. 【分析】 根据八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,得出CG=NG ,CF=DG=NF ,再根据()21S CG DG =+,22S GF =,()23S NG NF =-,12310S S S ++=,即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形∴CG=NG ,CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅== ∴2103GF =故2103S = 故答案为103. 【点睛】 本题主要考查了勾股定理的应用,用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 19.12【解析】如图,过点N 作NG ⊥BC 于点G ,连接CN ,根据轴对称的性质有:MA=MC ,NA=NC ,∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形,所以AD ∥BC ,所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM,所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1:3,所以DN:CM=1:3.设DN=x ,则CG=x ,AM=AN=CM=CN=3x ,由勾股定理可得()22322x x x -=, 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=,BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛:矩形中的折叠问题,其本质是轴对称问题,根据轴对称的性质,找到对应的线段和角,也就找到了相等的线段和角,矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”),所以常常会结合等腰三角形,勾股定理来列方程求解. 20.3【分析】根据题意利用折叠后图形全等,并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解.【详解】解:由题意可知','ACM A CM BCH B CH ≅≅,∵15cm BC =,20cm AC =,∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=,∵90ACB ∠=︒,∴'A M AB ⊥(等量替换),CH AB ⊥(三线合一),∴25,AB cm = 利用勾股定理假设MB '的长为m ,'257AM AM m ==-,则有222(257)5m m +-=,解得3m =,所以MB '的长为3.【点睛】本题考查几何的翻折问题,熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.三、解答题21.(1)BE =1;(2)见解析;(3)()23y x =-【分析】(1)如图1,根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED =90°,进而可得∠BDE =30°,然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果;(2)过点D 作DM ⊥AB 于M ,作DN ⊥AC 于N ,如图2,根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ,则有BM =CN ,DM =DN ,进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ,可得EM =FN ,再根据线段的和差即可推出结论;(3)过点D 作DM ⊥AB 于M ,如图3,同(2)的方法和已知条件可得DM =DN =FN =EM ,然后根据线段的和差关系可得BE +CF =2DM ,BE ﹣CF =2BM ,在Rt △BMD 中,根据30°角的直角三角形的性质可得DM =3BM ,进而可得BE +CF =3(BE ﹣CF ),代入x 、y 后整理即得结果.【详解】解:(1)如图1,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B =∠C =60°,BC =AC =AB =4.∵点D 是线段BC 的中点,∴BD =DC =12BC =2. ∵DF ⊥AC ,即∠AFD =90°,∴∠AED =360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°,∴∠BED =90°,∴∠BDE =30°,∴BE =12BD =1;(2)过点D 作DM ⊥AB 于M ,作DN ⊥AC 于N ,如图2,则有∠AMD =∠BMD =∠AND =∠CND =90°.∵∠A =60°,∴∠MDN =360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°.∵∠EDF =120°,∴∠MDE =∠NDF .在△MBD 和△NCD 中,∵∠BMD =∠CND ,∠B =∠C ,BD =CD ,∴△MBD ≌△NCD (AAS ),∴BM =CN ,DM =DN .在△EMD 和△FND 中,∵∠EMD =∠FND ,DM =DN ,∠MDE =∠NDF ,∴△EMD ≌△FND (ASA ),∴EM =FN ,∴BE +CF =BM +EM +CN -FN =BM +CN =2BM =BD =12BC =12AB ;(3)过点D 作DM ⊥AB 于M ,如图3,同(2)的方法可得:BM =CN ,DM =DN ,EM =FN .∵DN =FN ,∴DM =DN =FN =EM ,∴BE +CF =BM +EM +FN -CN =NF +EM =2DM =x +y ,BE ﹣CF =BM +EM ﹣(FN -CN )=BM +NC =2BM =x -y ,在Rt △BMD 中,∵∠BDM =30°,∴BD =2BM ,∴DM =22=3BD BM BM -,∴()3x y x y +=-,整理,得()23y x =-.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识,具有一定的综合性,正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键.22.(1)AE BD =,AE BD ⊥;(2)成立,理由见解析;(3)14或2.【分析】(1)先根据等腰三角形的定义可得AC BC =,CE CD =,再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =,EAC DBC ∠=∠,然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒,由此即可得;(2)先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =,EAC DBC ∠=∠,再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒,然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒,从而可得90OHB ∠=︒,由此即可得;(3)先利用勾股定理求出102AB =,再分①点,,A E D 在直线上,且点E 位于中间,②点,,A E D 在直线上,且点D 位于中间两种情况,结合(1)(2)的结论,利用勾股定理求解即可得.【详解】(1)AE BD =,AE BD ⊥,理由如下:如图1,延长AE 交BD 于H ,由题意得:AC BC =,90ACE BCD ∠=∠=︒,CE CD =,∴()ACE BCD SAS ≅,∴AE BD =,EAC DBC ∠=∠,∵90DBC BDC ∠+∠=︒,∴90EAC BDC ∠+∠=︒,∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒,即AE BD ⊥,故答案为:AE BD =,AE BD ⊥;(2)成立,理由如下:如图2,延长AE 交BD 于H ,交BC 于O ,∵90ACB ECD ∠=∠=︒,∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠,即ACE BCD ∠=∠,在ACE △和BCD 中,AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ACE BCD SAS ≅,∴AE BD =,EAC DBC ∠=∠,∵90ACB ∠=︒,∴90EAC AOC ∠+∠=︒,∵AOC BOH ∠=∠,∴90BOH DBC ∠∠+=︒,即90OBH BOH ∠+∠=︒,∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒,即AE BD ⊥;(3)设AD x =,10,90AC BC ACB ==∠=︒,2102AB AC ∴==,由题意,分以下两种情况:①如图3-1,点,,A E D 在直线上,且点E 位于中间,同理可证:AE BD =,AE BD ⊥,12DE =,12BD AE AD DE x ∴==-=-,在Rt ABD △中,222AD BD AB +=,即222(12)(102)x x +-=,解得14x =或2x =-(不符题意,舍去),即14AD =,②如图3-2,点,,A E D 在直线上,且点D 位于中间,同理可证:AE BD =,AE BD ⊥,12DE =,12BD AE AD DE x ∴==+=+,在Rt ABD △中,222AD BD AB +=,即222(12)(102)x x ++=,解得2x =或14x =-(不符题意,舍去),即2AD =,综上,AD 的长为14或2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点,较难的是题(3),正确分两种情况讨论,并画出图形是解题关键.23.(1)证明见解析;(2)5;(3)CD 2+CE 2=BC 2,证明见解析.【分析】(1)先判断出∠BAE=∠CAD ,进而得出△ACD ≌△ABE ,即可得出结论.(2)先求出∠CDA=12∠ADE=30°,进而求出∠BED=90°,最后用勾股定理即可得出结论. (3)方法1、同(2)的方法即可得出结论;方法2、先判断出CD 2+CE 2=2(AP 2+CP 2),再判断出CD 2+CE 2=2AC 2.即可得出结论.【详解】解:∵∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC +∠CAE =∠DAE +∠CAE ,即∠BAE =∠CAD .又∵AB =AC ,AD =AE ,∴△ACD ≌△ABE (SAS ),∴CD =BE .(2)如图2,连结BE ,∵AD =AE ,∠DAE =60°,∴△ADE 是等边三角形,∴DE =AD =3,∠ADE =∠AED =60°,∵CD ⊥AE ,∴∠CDA =12∠ADE =12×60°=30°, ∵由(1)得△ACD ≌△ABE ,∴BE =CD =4,∠BEA =∠CDA =30°,∴∠BED =∠BEA +∠AED =30°+60°=90°,即BE ⊥DE ,∴BD 22BE DE +2234+5.(3)CD 2、CE 2、BC 2之间的数量关系为:CD 2+CE 2=BC 2,理由如下:解法一:如图3,连结BE .∵AD=AE,∠DAE=90°,∴∠D=∠AED=45°,∵由(1)得△ACD≌△ABE,∴BE=CD,∠BEA=∠CDA=45°,∴∠BEC=∠BEA+∠AED=45°+45°=90°,即BE⊥DE,在Rt△BEC中,由勾股定理可知:BC2=BE2+CE2.∴BC2=CD2+CE2.解法二:如图4,过点A作AP⊥DE于点P.∵△ADE为等腰直角三角形,AP⊥DE,∴AP=EP=DP.∵CD2=(CP+PD)2=(CP+AP)2=CP2+2CP•AP+AP2,CE2=(EP﹣CP)2=(AP﹣CP)2=AP2﹣2AP•CP+CP2,∴CD2+CE2=2AP2+2CP2=2(AP2+CP2),∵在Rt△APC中,由勾股定理可知:AC2=AP2+CP2,∴CD2+CE2=2AC2.∵△ABC为等腰直角三角形,由勾股定理可知:∴AB2+AC2=BC2,即2AC2=BC2,∴CD2+CE2=BC2.【点睛】本题是几何变换综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解(1)的关键是判断出∠BAE=∠CAD,解(2)(3)的关键是判断出BE ⊥DE ,是一道中等难度的中考常考题.24.(1)见解析;(2)见解析;(3)43或63【分析】(1)先由三角形的内角和为180°求得∠ACB 的度数,从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD ,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2)以点A 为圆心,AB 长为半径画圆,与网格的交点,以及△ABC 外侧与点B 和点C 组成等边三角形的网格点即为所求.(3)先根据勾股定理求得AC 的长,再分类计算即可:①当DA=DC=AC 时;②当CD=CB=BD 时;③当DA=DC=DB 或AB=AD=BD 时.【详解】(1)∵∠ACB =180°﹣∠ABC ﹣∠BAC =70°,∴∠ACB =∠ABC ,∴AB =AC .∵∠ACD =∠ADC ,∴AC =AD ,∴AB =AC =AD .∴四边形ABCD 是邻和四边形;(2)如图,格点D 、D'、D''即为所求作的点;(3)∵在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23,∴AC =()22222234AB BC +=+=,显然AB ,BC ,AC 互不相等.分两种情况讨论:①当DA =DC =AC=4时,如图所示:∴△ADC 为等边三角形,过D作DG⊥AC于G,则∠ADG=160302⨯︒=︒,∴122AG AD==,22224223DG AD AG=-=-=,∴S△ADC=1423432⨯⨯=,S△ABC=12AB×BC=23,∴S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=63;②当CD=CB=BD=23时,如图所示:∴△BDC为等边三角形,过D作DE⊥BC于E,则∠BDE=160302⨯︒=︒,∴132BE BD==()()22222333DE BD BE=-=-=,∴S△BDC=123333 2⨯=过D作DF⊥AB交AB延长线于F,∵∠FBD=∠FBC-∠DBC=90︒-60︒=30︒,∴DF=123S△ADB=12332⨯=,∴S四边形ABCD=S△BDC+S△ADB=3;③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时,邻和四边形ABCD不存在.∴邻和四边形ABCD的面积是3或3【点睛】本题属于四边形的新定义综合题,考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点,数形结合并读懂定义是解题的关键.25.(1)见解析;(2)CD2AD+BD,理由见解析;(3)CD3+BD【分析】(1)由“SAS”可证△ADB≌△AEC;(2)由“SAS”可证△ADB≌△AEC,可得BD=CE,由直角三角形的性质可得DE=2AD,可得结论;(3)由△DAB≌△EAC,可知BD=CE,由勾股定理可求DH=3AD,由AD=AE,AH⊥DE,推出DH=HE,由CD=DE+EC=2DH+BD=3AD+BD,即可解决问题;【详解】证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS);(2)CD=2AD+BD,理由如下:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS);∴BD=CE,∵∠BAC=90°,AD=AE,∴DE=2AD,∵CD=DE+CE,∴CD=2AD+BD;(3)作AH⊥CD于H.∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△ADB≌△AEC(SAS);∴BD=CE,∵∠DAE=120°,AD=AE,∴∠ADH=30°,∴AH=12 AD,∴DH 2AD , ∵AD =AE ,AH ⊥DE ,∴DH =HE ,∴CD =DE +EC =2DH +BD +BD ,故答案为:CD +BD .【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定,勾股定理等知识的综合问题,熟练掌握知识点,有简入难,层层推进是解答关键.26.(1)2516;(2)83t =或6;(3)当153,5,210t =或194时,△BCP 为等腰三角形. 【分析】(1)设存在点P ,使得PA PB =,此时2PA PB t ==,42PC t =-,根据勾股定理列方程即可得到结论;(2)当点P 在CAB ∠的平分线上时,如图1,过点P 作PE AB ⊥于点E ,此时72BP t =-,24PE PC t ==-,541BE =-=,根据勾股定理列方程即可得到结论; (3)在Rt ABC 中,根据勾股定理得到4AC cm =,根据题意得:2AP t =,当P 在AC上时,BCP 为等腰三角形,得到PC BC =,即423t -=,求得12t =,当P 在AB 上时,BCP 为等腰三角形,若CP PB =,点P 在BC 的垂直平分线上,如图2,过P 作PE BC ⊥于E ,求得194t =,若PB BC =,即2343t --=,解得5t =,PC BC =③,如图3,过C 作CF AB ⊥于F ,由射影定理得;2BC BF AB =⋅,列方程2234352t --=⨯,即可得到结论. 【详解】 解:在Rt ABC 中,5AB cm =,3BC cm =,4AC cm ∴=,(1)设存在点P ,使得PA PB =,此时2PA PB t ==,42PC t =-,在Rt PCB 中,222PC CB PB +=,即:222(42)3(2)t t -+=, 解得:2516t =, ∴当2516t =时,PA PB =; (2)当点P 在BAC ∠的平分线上时,如图1,过点P 作PE AB ⊥于点E ,此时72BP t =-,24PE PC t ==-,541BE =-=,在Rt BEP 中,222PE BE BP +=,即:222(24)1(72)t t -+=-, 解得:83t =, 当6t =时,点P 与A 重合,也符合条件,∴当83t =或6时,P 在ABC ∆的角平分线上; (3)根据题意得:2AP t =,当P 在AC 上时,BCP 为等腰三角形,PC BC ∴=,即423t -=,12t ∴=, 当P 在AB 上时,BCP 为等腰三角形,CP PB =①,点P 在BC 的垂直平分线上,如图2,过P 作PE BC ⊥于E ,1322BE BC ∴==, 12PB AB ∴=,即52342t --=,解得:194t =, PB BC =②,即2343t --=,解得:5t =,PC BC =③,如图3,过C 作CF AB ⊥于F ,12BF BP ∴=, 90ACB ∠=︒,由射影定理得;2BC BF AB =⋅, 即2234352t --=⨯, 解得:5310t =, ∴当15319,5,2104t =或时,BCP 为等腰三角形. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定,三角形的面积,难度适中.利用分类讨论的思想是解(3)题的关键.27.(1)见详解;(2)①t 值为:103s 或6s ;②t 值为:4.5或5或4912. 【分析】(1)设BD=2x ,AD=3x ,CD=4x ,则AB=5x ,由勾股定理求出AC ,即可得出结论;(2)由△ABC 的面积求出BD 、AD 、CD 、AC ;①当MN ∥BC 时,AM=AN ;当DN ∥BC 时,AD=AN ;得出方程,解方程即可;②根据题意得出当点M 在DA 上,即2<t ≤5时,△MDE 为等腰三角形,有3种可能:如果DE=DM ;如果ED=EM ;如果MD=ME=2t-4;分别得出方程,解方程即可.【详解】解:(1)证明:设BD=2x ,AD=3x ,CD=4x ,则AB=5x ,在Rt △ACD 中,AC=5x ,∴AB=AC ,∴△ABC 是等腰三角形;(2)解:由(1)知,AB=5x ,CD=4x ,∴S △ABC =12×5x×4x=40cm 2,而x >0, ∴x=2cm ,则BD=4cm ,AD=6cm ,CD=8cm ,AB=AC=10cm .由运动知,AM=10-2t ,AN=t ,①当MN ∥BC 时,AM=AN ,。
八年级下学期第一次月考数学试卷(含参考答案)(满分150分;时间:120分钟)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________第I卷(选择题共40分)一.单选题.(共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个最符合题目要求。
1.下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的,其中是中心对称图形的是( )2.若a<b<0,则下列条件一定成立的是( )A.ab<0B.a+b>0C.ac<bcD.a+c<b+c3.下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的为( )A.a2-16+3a=(a-4)(a+4)+3aB.10x2-5x=5x(2x-1)C.x2-4x+4=x(x-4)+4D.a(m+n)=am+an4.不等式x>4的解集在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(1,4),如果将点A向右平移2个单位长度得到点A’,则点A’的坐标为( )A.(1,2)B.(1,6)C.(-1,4)D.(3,4)6.多项式12a3b-8ab2c的公因式是( )A.4a2B.4abC.2a2D.4abc7.下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是( )A.x2-1B.x2+4C.x+9D.x2-6x8.下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )A.9x2-16y2B.4x2-4x+1C.x2+xy+y2D.9-3x+x29.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转角a(0°<a<180°)得到△MDE,点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=25,则旋转角a的度数是( )A.70°B.60°C.50°D.40°(第9题图) (第10题图)10.如图,将点A 1(1,1)向上平移1个单位,再向右平移2个单位,得到点A 2;将点A 2向上平移2个单位,再向右平移4个单位,得到点A 3;将点A 3向上平移4个单位,再向右平移8个单位,得到点A 4……按这个规律平移得到点A n ,则点A 2024的横坐标为( )A.22024B.22004-1C.22023-1D.2203+1第II 卷(非选择题 共110分)二.填空题:(每题4分,共24分)11.用适当的符号表示下列关系:a 是正数 .12.因式分解:a 2+4a= .13.若m>n ,则m -n 0(填">"或"="或"<").14.若一次函数y=kx+b 的图象如图所示,则关于x 的不等式kx+b<0的解集是 .(第14题图) (第15题图) (第16题图)15.如图,将周长为10cm 的△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF ,连接AD ,四边形ABFD 的周长为15cm ,则平移的距离为 cm.16.如图,长方形ABCD 中,AB=5,BC=12,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把∠B 沿AE 折叠,使点B 落在点B’处,当△CEB'为直角三角形时,BE 的长为 .三.解答题(共10小题,86分)17.(4分)解下列不等式,并把不等式的解集在数轴上表示出来:-x -1≤3x -518.(6分)解不等式组{x -3(x -1)>11+3x 2>x -1,并写出它的所有非负整数解.19.(每题3分,共18分)因式分解:(1)8m 2n+2mn (2)-15a ³b 2+9a 2b 2-3ab 3 (3)4a 2-1(4)a 2-4ab+4b 2 (5)3x 3-12x (6)mx 2+2m 2x+m 320.(6分)先分解因式,再求值:2x(a-2)-y(2-a),其中a=2,x=1.5,y=-2.21.(6分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点4(1,2),B(3,1).(1)C点的坐标为.(2)将三角形ABC先向下平移4个单位,在向左平移3个单位,得到三角形A1B1C1,画出三角A1B1C1:(3)三角形A1B1C1的面积为。
一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列各数中,有理数是()A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -3/52. 下列各式中,正确的是()A. 3a + 2b = 5(a + b)B. (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2yC. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2ab3. 已知 a + b = 5,ab = 6,则 a^2 + b^2 的值为()A. 25B. 36C. 37D. 494. 若 a,b 是方程 x^2 - (a + b)x + ab = 0 的两个实数根,则 a^2 + b^2 的值为()A. 0B. 1C. 2D. 45. 已知三角形的三边长分别为 3,4,5,则这个三角形是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形6. 在直角坐标系中,点 A(2,3)关于原点对称的点的坐标是()A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-2,3)D.(2,-3)7. 下列函数中,有最小值的是()A. y = x^2 + 2x + 1B. y = x^2 - 2x + 1C. y = -x^2 + 2x - 1D. y = x^2 - 2x - 18. 下列方程中,有唯一解的是()A. x^2 - 2x + 1 = 0B. x^2 + 2x + 1 = 0C. x^2 - 2x - 1 = 0D. x^2 + 2x - 1 = 09. 已知 a,b,c 成等差数列,且 a + b + c = 15,则 a^2 + b^2 + c^2 的值为()A. 45B. 50C. 55D. 6010. 下列不等式中,正确的是()A. -3 < -2 < -1B. 1 < 0 < -1C. 2 < 1 < 0D. -1 < 0 < 1二、填空题(每题3分,共30分)11. 已知 x + y = 5,xy = 6,则 x^2 + y^2 的值为 _______。
八年级数学第一次月度检测模拟试卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 下列四个图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的图案是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识,解题的关键是掌握中心对称图形的定义和轴对称图形的定义,进行判断,即可.【详解】中心对称图形的定义:旋转后能够与原图形完全重合,∴A 、是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意;B 、即是中心对称图形也是轴对称图形,符合题意;C 、即不是中心对称图形也不是轴对称图形,不符合题意;D 、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意.故选:B .2. 为了解某地一天内的气温变化情况,比较适合使用的统计图是( )A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图【答案】B【解析】【分析】根据题意中的“变化情况”直接选择折线统计图.【详解】为了解某地一天内的气温变化情况,180应选择的统计图是折线统计图,故选:B .【点睛】本题考查了条形统计图,扇形统计图,折线统计图,频数直方图的概念,根据实际选择合适的统计图,根据题意中的“变化情况”选择统计图是解题的关键.折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况不仅可以表示数量的多少,而且可以反映数据的增减变化情况.3. □ABCD 中,E 、F 是对角线BD 上不同的两点,下列条件中,不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是( )A. BE =DFB. AE =CFC. AF //CED. ∠BAE =∠DCF 【答案】B【解析】【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.【详解】A 、如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,OB =OD ,∵BE =DF ,∴OE =OF ,∴四边形AECF 是平行四边形,故不符合题意;B 、如图所示,AE =CF ,不能得到四边形AECF 是平行四边形,故符合题意;C 、如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC ,∵AF //CE ,∴∠FAO =∠ECO ,又∵∠AOF =∠COE ,∴△AOF ≌△COE,∴AF =CE ,∴四边形AECF 是平行四边形,故不符合题意;D 、如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB //CD ,∴∠ABE =∠CDF ,又∵∠BAE =∠DCF ,∴△ABE ≌△CDF ,∴AE =CF ,∠AEB =∠CFD ,∴∠AEO =∠CFO ,∴AE //CF ,∴四边形AECF 是平行四边形,故不符合题意,故选B .【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定,熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.4. 在对60个数进行整理的频数分布表中,这组的频数之和与频率之和分别为( )A. 60,1B. 60,60C. 1,60D. 1,1【答案】A【解析】【分析】本题是频数与频率基础应用题,难度一般,主要考查学生对频数与频率的定义的理解和运用能力. 根据频数与频率的定义即可得到结果.【详解】解:在对个数据进行整理的频率分布表中,各组的频数之和等于,频率之和等于1,故选A .5. 如图,在△ABC 中,∠CAB =65°,将△ABC 在平面内绕点A 旋转到△AB ′C ′的位置,使CC ′∥AB,则旋的6060转角的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 65°【答案】C【解析】【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC ′=∠CAB ,根据旋转的性质可得AC ′=AC ,然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC ′,再根据∠CAC ′、∠BAB ′都是旋转角解答.【详解】解:∵CC ′∥AB ,∴∠ACC ′=∠CAB =65°,∵△ABC 绕点A 旋转得到△AB ′C ′,∴AC =AC ′,∴∠CAC ′=180°-2∠ACC ′=180°-2×65°=50°,∴∠CAC ′=∠BAB ′=50°故选:C .【点睛】本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键.二、填空题:本题共10小题,每小题3分,共30分6. 函数x 的取值范围是__________.【答案】x ≥-2且x ≠1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论.【详解】解:由题意可得解得x ≥-2且x ≠1故答案为:x ≥-2且x ≠1.【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围,掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键.y =2010x x +≥⎧⎨-≠⎩7. 一个袋子中装着只有颜色不同,其他都相同的两个红球和一个黄球,从中任意取出一个是黄球的概率是________.【答案】【解析】【分析】先求出总球的个数,再根据概率公式进行计算即可得出答案.【详解】解:∵有两个红球和一个黄球,共3个球,∴从中任意取出一个是黄球的概率是;故答案为.【点睛】本题考查了概率公式.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.8. “校园安全”受到全社会的广泛关注,某校对400名学生和家长就校园安全知识的了解程度进行了随机抽样调查,并绘制成如图所示的统计图(不完整),根据统计图中的信息,若全校有2050名学生,请你估计对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生有______人.【答案】1350【解析】【分析】本题考查的是条形统计图运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 求得调查的学生总数,则可得对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”所占的比例,利用求得的比例乘以2050即可得到.【详解】解:∵调查的家长的总人数是:(人)∴调查的学生的总人数是:(人)对“校园安全“知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生是(人),全校2050学生中达到“非常了解”和“基本了解”的学生人数为:(人).故答案为:.9. 在中,,则的度数为______.【答案】##135度1313138377314195+++=400195205-=2055416135--=13520501350205´=1350ABCD Y :A B ∠∠=3:1C ∠135︒【解析】【分析】本题考查平行四边形的知识,根据平行四边形的性质,则,则,再根据,求出,;最后根据平行四边形的性质,即可.【详解】∵四边形是平行四边形,∴,,∴,∵,∴,,∴.故答案为:.10. 如图,把Rt △ABC 放在直角坐标系内,其中∠CAB =90°,BC =5,点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0),将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在直线y =2x - 6上时,线段BC 扫过的面积为_______【答案】16【解析】【分析】根据题意,线段扫过的面积应为一平行四边形的面积,其高是的长,底是点平移的路程.求当点落在直线上时的横坐标即可.【详解】解:如图所示.AD BC ∥180A B ∠+∠=︒:A B ∠∠=3:1A ∠B ∠ABCD AD BC ∥A C ∠=∠180A B ∠+∠=︒:A B ∠∠=3:1135A ∠=︒45B ∠=︒135C ∠=︒135︒BC AC C C 26y x =-点、的坐标分别为、,.,,∴由勾股定理可得:..点在直线上,,解得.即...即线段扫过的面积为16.故选:C .【点睛】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用,解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积.11. 如图,将绕点顺时针旋转后得到,点与点是对应点,点与点是对应点.如果,那么______°.【答案】【解析】A B (1,0)(4,0)3AB ∴=90CAB ∠=︒ 5BC =4AC =4A C ∴''= C '26y x =-264x ∴-=5x =5OA '=514CC ∴'=-=4416BCC B S ''∴=⨯= BC BC ABC A 80︒ADE V B D C E 35EAB ∠=︒DAC ∠=125【分析】本题考查旋转的性质,解题的关键是掌握:旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小.据此解答即可.【详解】解:∵将绕点顺时针旋转后得到,∴,∵,∴,∴.故答案为:.12. 在平行四边形中,,已知,,将沿翻折至,使点落在平行四边形所在的平面内,连接.若是直角三角形,则的长为______.【答案】或【解析】【分析】根据平行四边形中,,要使是直角三角形,则,,画出图形,分类讨论,即可.【详解】当,,延长交于点,∵四边形是平行四边形,∴,,∴,∵沿翻折至,∴,,∴,,∴,在中,,设,∴,ABC A 80︒ADE V 80CAE ∠=︒35∠=︒BAE 803545EAD CAB CAE BAE ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒453545125DAC CAB BAE DAE ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒125ABCD AB BC <30B ∠=︒AB =ABC AC AB C 'V B 'ABCD B D 'AB D 'V BC 23AB BC <AB C 'V 90B AD '∠=︒90AB D '∠=︒①90B AD '∠=︒AB BC <B A 'BC G ABCD AD BC ∥AD BC =90B AD B GC ''∠=∠=︒ABC AC AB C 'V AB AB '==30B AB C '∠=∠=︒BC B C'=12AG AB ==2B C GC '=B G AB AG ''=+==Rt B GC ' 222B C B G CG ''=+GC x =2B C x '=∴,解得:,∴,∴;当时,设交于点,∵四边形是平行四边形,∴,,∵沿翻折至,∴,,∴,∵,∴,∴,∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,,∴,()2222x x =+32x =3B C '=3BC =②90AB D '∠=︒AD B C 'O ABCD AD BC ∥AD BC =ABC AC AB C 'V BC B C '=2BCA ∠=∠AD BC B C '==AD BC ∥1BCA ∠=∠12BCA ∠=∠=∠AO CO =DO B O '=3=4∠∠AOC DOB '∠=∠1234∠=∠=∠=∠'∥AC B D 90B AC BAC '∠=∠=︒30B ∠=︒AB =12AC BC =设,∴,∴,∴解得:,∴.综上所述,当的长为或时,是直角三角形.【点睛】本题考查平行四边形、直角三角形的知识,解题的关键是掌握平行四边形的性质,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形中,所对的直角边是斜边的一半,即可.13. 如图,平行四边形,点F 是上的一点,连接平分,交于点E ,且点E 是的中点,连接,已知,则__.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,利用全等三角形的对应边相等,对应角相等进行推算.延长交于点,判定,即可得出,再根据三线合一即可得到即可解答.详解】解:如图,延长交于点,【AC x =2BC x =222BC AC AB =+()2222x x =+1x =2BC =BC 23AB D 'V 30︒ABCD BC 60AF FAD AE ∠=︒,,FAD ∠CD CD EF 53AD CF ==,EF =AE BC ,G ADE GCE △≌△5CG AD AE GE ===,FE AG ⊥AE BC ,G∵点是的中点,∴,∵平行四边形中,,∴,∵,∴,∴,∵平分,,∴,∴,∵是的中点,∴,∴中,,故答案为:.14. 在平面直角坐标系中,一次函数的图像过和两点,该一次函数的表达式为______;若该一次函数的图像过点,则的值为______.【答案】① ②. 【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式,一次函数图像上点的坐标特征,分别将点和点的坐标代入得到关于、的二元一次方程组,求解即可;将点代入所求得的一次函数表达式即可得到的值.掌握待定系数法确定一次函数解析式是解题的关键.【详解】解:∵一次函数的图像过和两点,.E CD DE CE =ABCD AD BC ∥D ECG ∠=∠AED GEC ∠=∠()ASA ADE GCE ≌5CG AD AE GE ===,AE FAD ∠AD BC ∥1302FAE DAE G DAF ∠=∠=∠=∠=︒358AF GF ==+=E AG FE AG ⊥Rt AEF 142EF AF ==4xOy ()0y kx b k =+≠()0,5A ()1,2B -(),11C m m 35y x =+2A B ()0y kx b k =+≠k b (),11C m m ()0y kx b k =+≠()0,5A ()1,2B -∴,解得:,该一次函数的表达式为,∵该一次函数的图像过点,∴,解得:.故答案为:;.15. 如图,E 为外一点,且,,若,则的度数为______.【答案】##度【解析】【分析】根据四边形内角和求出度数,再借助平行四边形的性质可知即可得到结果.【详解】解:在四边形中,,,所以.四边形是平行四边形,.故答案为:.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和,解题的关键是掌握特殊四边形的角度问题,一般借助旋转转化角,进行间接求解.三、解答题:本题共10小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. 某同学在解关于的分式方程,去分母时,由于常数漏乘了公分母,最后解得,试求的值,并求出该分式方程正确的解.【答案】,52b k b =⎧⎨-+=⎩35k b =⎧⎨=⎩35y x =+(),11C m 1135m =+2m =35y x =+2ABCD Y EB BC ⊥ED CD ⊥65E ∠=︒A ∠115︒115360︒C ∠A C ∠=∠BCDE 65E ∠=︒90EBC EDC ∠=∠=︒360659090115C ∠=︒-︒-︒-︒=︒ ABCD 115A C ∴∠=∠=︒115︒360︒x 3622x m x x -+=--6=1x -m 2m =177x =【解析】【分析】本题考查分式方程,根据题意,按照该同学的解法解这个分式方程,将解代入,求出的值.再将值代入原方程,求出其正确的解即可.求出的值、掌握解分式方程的步骤是求解题的关键.【详解】解:由题意得,是该同学去分母后得到的整式方程的解,∴,解得:,∴.方程两边同乘以,得:,解得:,检验:当时,代入得:,∴是该分式方程正确的解.17. 先化简,再求值:(1),其中;(2),其中.【答案】(1), (2),【解析】【分析】本题考查分式的化简求值:(1)先根据分式的加法法则,进行化简,再代值计算即可;(2)先根据分式的加法法则,进行化简,再根据,得到,代入计算即可.【小问1详解】解:=1x -m m m =1x -36x m -+=36x m -+=2m =32622x x x -+=--()2x -()3622x x -+-=177x =177x =()2x -1732077-=≠177x =221211a a a a a -+-+-2a =2224224n m mn m n n m n m +++--15m n =11a a +-322n m n m +-11915m n =5n m =221211a a a a a -+-+-,当时,原式;【小问2详解】,,,原式.18. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (-3,2),B (-1,4),C (0,2).(1)将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180,画出旋转后对应的△A 1B 1C ;(2)平移△ABC ,若A 的对应点A 2的坐标为(-5,-2),画出平移后的△A 2B 2C 2;(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ,请直接写出旋转中心的坐标.()()21111a a a a -=+--111a a a =+--11a a +=-2a =21321+==-2224224n m mn m n n m n m +++--()()()()()()()()2224222222n n m m n m mnn m n m n m n m n m n m -+=+++-+-+-()()22422422n mn mn m mn n m n m -+++=+-()()()2222n m n m n m +=+-22n m n m+=- 15m n =5n m ∴=∴1010119m m m m +=-=︒【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)(-1,0).【解析】【分析】(1)根据图中的网格结构分别找出点A、B绕点C旋转180°后的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可;(2)根据网格结构找出点A、B、C平移后的位置,然后顺次连接即可;(3)根据旋转的性质,确定出旋转中心即可.【详解】解:(1)△A1B1C如图所示;(2)△A2B2C2如图所示;(3)如图所示,旋转中心为(﹣1,0).【点睛】本题考查作图﹣旋转变换,作图﹣平移变换.19. 某校积极开展中学生社会实践活动,决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍,每名学生最多选择一个队伍,为了了解学生的选择意向,随机抽取A ,B ,C ,D 四个班,共200名学生进行调查.将调查得到的数据进行整理,绘制成如下统计图(不完整).(1)求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数;(2)求D 班选择环境保护的学生人数,并补全折线统计图;(3)若该校共有学生4000人,试估计该校选择文明宣传的学生人数.【答案】(1);(2)15人,见解析;(3)1520人【解析】【分析】(1)由折线图得出选择交通监督的人数,除以总人数得出选择交通监督的百分比,再乘以360°即可求出扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数;(2)用选择环境保护的学生总人数减去A ,B ,C 三个班选择环境保护的学生人数即可得出D班选择环境97.2保护的学生人数,进而补全折线图;(3)先求出四个班中选择文明宣传的百分比,用4000乘以样本中选择文明宣传的学生所占的百分比即可.【详解】解:(1)由折线图可得选择交通监督的各班学生总数为12+15+13+14=54人,在四个班人数的百分比为54÷200×100%=27%,扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数=;(2)由扇形统计图中选择环境保护的占30%,∴选择环境保护的学生人数为200×30%=60人,∴D 班选择环境保护的学生人数为60-15-14-16=15(人),补全折线统计图如图;(3)四个班中选择文明宣传的学生人数所占百分比为1-30%-5%-27%=38%,该校4000人选择文明宣传的学生人数为:(人).【点睛】本题考查折线统计图、用样本估计总体、扇形统计图,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件、利用数形结合的思想解答问题.20. 已知,按要求完成下列尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).(1)如图①,B ,C 分别在射线、上,求作;(2)如图②,点是内一点,求作线段,使P 、Q 分别在射线、上,且点O 是的中点.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】36027%97.2⨯= 400038%1520⨯=MAN ∠AM AN ABDC O MAN ∠PQ AM AN PQ【分析】本题考查了作图复杂作图:复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.也考查了平行四边形的判定与性质.(1)分别以、点为圆心,以、为半径画弧,两弧相交于点,则四边形满足条件;(2)连接,以点O 为圆心,为半径画弧,交延长线于点G ,再作,交于,连接并延长交于,则满足条件.【小问1详解】解:如图①,平行四边形为所作;∵,∴四边形为平行四边形;【小问2详解】图②,为所作.∵,,,∴,∴,即点是的中点.21. 2016年是中国工农红军长征胜利80周年,某商家用1200元购进了一批长征胜利主题纪念衫,上市后果然供不应求,商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了5元.(1)该商家购进的第一批纪念衫单价是多少元?(2)若两批纪念衫按相同的标价销售,最后剩下20件按标价八折优惠卖出,如果两批纪念衫全部售完利润不低于640元(不考虑其它因素),那么每件纪念衫的标价至少是多少元?【答案】(1)该商家购进第一批纪念衫单价是30元;(2)每件纪念衫的标价至少是40元.【解析】【分析】(1)设未知量为x ,根据所购数量是第一批购进量的2倍得出方程式,解出方程即可得出结论,此题得以解决.-B C AC AB D ABDC AO AO AO PGA OAN ∠=∠GP AM P PO AN Q PQ ABDC ,AB CD AC BD ==ABDC PQ POG QOA ∠=∠OA OP =PGA OAN ∠=∠()ASA OPG OQA ≌OP OQ =O PQ(2)设未知量为y ,根据题意列出一元一次不等式,解不等式可得出结论.【详解】(1)设该商家购进第一批纪念衫单价是x 元,则第二批纪念衫单价是(x +5)元,由题意,可得:,解得:x =30,检验:当x =30时,x (x +5)≠0,∴原方程的解是x =30答:该商家购进第一批纪念衫单价是30元;(2)由(1)得购进第一批纪念衫的数量为1200÷30=40(件),则第二批的纪念衫的数量为80(件)设每件纪念衫标价至少是a 元,由题意,可得:40×(a ﹣30)+(80﹣20)×(a ﹣35)+20×(0.8a ﹣35)≥640,化简,得:116a ≥4640解得:a ≥40,答:每件纪念衫的标价至少是40元.【点睛】本题考查分式方程的应用,一元一次不等式的应用,解决此类题的关键是要根据题意找出题目中的等量或不等量关系,根据关系列方程或不等式解决问题.22. 如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 在对角线BD 上,且BE =DF ,(1)求证:AE =CF ;(2)求证:四边形AECF 是平行四边形.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得AB =CD ,AB ∥CD ,然后可证明∠ABE =∠CDF ,再利用SAS 来判定△ABE ≌△DCF ,从而得出AE =CF .(2)首先根据全等三角形的性质可得∠AEB =∠CFD ,根据等角的补角相等可得∠AEF =∠CFE ,然后证明AE ∥CF ,从而可得四边形AECF 是平行四边形.【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB ∥CD.1200280025x x ⨯=+∴∠ABE =∠CDF .在△ABE 和△CDF 中,,∴△ABE ≌△DCF (SAS ).∴AE =CF .(2)∵△ABE ≌△DCF ,∴∠AEB =∠CFD ,∴∠AEF =∠CFE ,∴AE ∥CF ,∵AE =CF ,∴四边形AECF 是平行四边形.【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质,解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质.23. 如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 为BC 上两点,且BE=CF ,AF=DE求证:(1)△ABF ≌△DCE ;(2)四边形ABCD 是矩形.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据等量代换得到BE=CF ,根据平行四边形的性质得AB=DC .利用“SSS”得△ABF ≌△DCE .(2)平行四边形的性质得到两边平行,从而∠B+∠C=180°.利用全等得∠B=∠C ,从而得到一个直角,问题得证.【详解】(1)∵BE=CF ,BF=BE+EF ,CE=CF+EF ,∴BF=CE .∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB=DC.AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在△ABF 和△DCE 中,∵AB=DC ,BF=CE ,AF=DE ,∴△ABF ≌△DCE .(2)∵△ABF ≌△DCE ,∴∠B=∠C .∵四边形ABCD 平行四边形,∴AB ∥CD .∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴平行四边形ABCD 是矩形.24. 如图,已知,点 D 在 y 轴的负半轴上,若将沿直线折叠,点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C 处.(1)求直线的表达式;(2)求 C 、D 坐标;(3)在直线上是否存在一点 P ,使得 ? 若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由.【答案】(1) (2), (3)存在,或【解析】【分析】本题考查的是一次函数综合运用,涉及到图形折叠、面积的计算等,(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式,即可得到直线的表达式;(2)由题意得:,故点,设点D 的坐标为,根据,即可得到m 的值;(3)由是的()()3004A B ,,,DAB AD AB DA 10PAB S = 443y x =-+()80C ,()06D -,()14-,()54,y kx b =+AB 5AC AB ==()80C ,()0m ,CD BD =,即可求解.【小问1详解】解:设一次函数表达式:,将点的坐标代入得:,解得:,故直线的表达式为:;【小问2详解】解:,,由题意得: ,,,故点,设点D 的坐标为:,,解得:,故点;【小问3详解】解:存在,理由如下:PAB BDP BDA S S S =- y kx b =+()()3004A B ,,,034k b b =+⎧⎨=⎩434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AB 443y x =-+()()3004A B ,,,5AB ∴=CD BD =5AC AB ==358OC OA AC ∴=+=+=()80C ,()0m ,CD BD = 4m\=-6m =-()06D -,设直线的表达式为,由点、的坐标代入得:,解得:,直线的表达式为:,,,,,,点P 在直线上,设,,解得:或5,即点P 的坐标为:或.25. 如图1,在ABC 中,BD 是AC 边上的中线,将DBA 绕点D 顺时针旋转α(0°<α<180°) 得到DEA (如图2),我们称DEA 为DBC 的“旋补三角形”.DEA 的边EA 上的中线DF 叫做DBC 的“旋补中线”.AD 11y k x b =+()30A ,()06D -,111036k b b =+⎧⎨=-⎩1126k b =⎧⎨=-⎩AD 26y x =-()04B ,()06D -,10BD ∴=1103152ABD S \=´´= 10PAB S = DA (),26P a a -13102PAB BDP BDA S S S BD a \=-=´´-= 1a =()14-,()54,(1)在图2,图3,图4中,DEA 为DBC 的“旋补三角形”,DF 是DBC 的“旋补中线”.①如图2,∠BDE +∠CDA = °;②如图3,当DBC 为等边三角形时,DF 与BC 的数量关系为DF = BC ;③如图4,当∠BDC =90°时,BC =4时,则DF 长为 ;(2)在图2中,当DBC 为任意三角形时,猜想DF 与BC 的关系,并给出证明.(3)如图5,在四边形ABCD 中,∠C =90°,∠D =150°,BC =12,CD =DA =6,BE ⊥AD ,E 为垂足.在线段BE 上是否存在点P ,使PDC 是PAB 的“旋补三角形”?若存在,请作出点P ,不需证明,简要说明你的作图过程.【答案】(1)①180;②;③2(2);证明见解析 (3)存在.见解析【解析】【分析】(1)①依据,可得;②当为等边三角形时,可得是等腰三角形,,,再根据,即可得到中,,进而得出;③当时,时,易得,即可得到中,;(2)延长至,使得,连接,,判定四边形是平行四边形,进而得到,再判定,即可得到,进而得出;(3)延长,,交于点,作线段的垂直平分线,交于,交于,连接、、,由定义知当,且时,是的“旋补三角形”,据此进行证明即可.【小问1详解】解:①∵∠ADE +∠BDC =180°,1212DF BC =180ADE BDC ∠+∠=︒180BDE CDA ∠+∠=︒DBC ∆ADE ∆120ADE ∠=︒30E ∠=︒DF AE ⊥Rt DEF ∆12DF DE =12DF BC ==90BDC ∠︒4BC =ADE CDB ∆∆≌Rt ADE ∆122DF AE ==DF G FG DF =EG AG AGED BDC DEG ∠=∠DGE CDB SAS ∆∆≌()BC DG =1122DF DG BC ==AD BC F BC PG BE P BC G PA PD PC PA PD PB PC ==,180DPA CPB ∠+∠=︒PDC ∆PAB ∆∴∠BDE +∠CDA =180°,故答案为:180;②当△DBC 为等边三角形时,BC =DB =DE =DC =DA ,∠BDC =60°,∴△ADE 是等腰三角形,∠ADE =120°,∠E =30°,又∵DF 是△ADE 的中线,∴DF ⊥AE ,∴Rt △DEF 中,DF =DE ,∴DF =BC ,故答案为:;③∵BD 是AC 边上的中线,∴,∵∠BDC =90°,∴ ,在△ADE 和△CDB 中,,∴△ADE ≌△CDB ,∴AE =BC =4,∴Rt △ADE 中,DF =AE =2,故答案为:2;【小问2详解】猜想:DF =AE .证明:如图2,延长DF 至G ,使得FG =DF ,连接EG ,AG ,121212AD CD =90EDA BDC ∠=∠=︒AD CD EDA BDC DE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1212∵EF =FA ,FG =DF ,∴四边形AGED 是平行四边形,∴,GE =AD =CD ,∴∠GED +∠ADE =180°,又∵∠BDC +∠ADE =180°,∴∠BDC =∠DEG ,在△GED 和△CDB 中,,∴△DGE ≌△CDB (SAS ),∴BC =DG ,∴DF=DG =BC ;【小问3详解】存在.理由:如图5,延长AD ,BC ,交于点F ,作线段BC 的垂直平分线PG ,交BE 于P ,交BC 于G ,连接PA 、PD 、PC ,由定义知当PA =PD ,PB =PC ,且∠DPA +∠CPB =180°时,△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”,∵∠ADC =150°,EG DA ∥DE BD GED CDB GE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1212∴∠FDC =30°,在Rt △DCF 中,∵CD =DCF =90°,∠FDC =30°,∴CF =2,DF =4,∠F =60°,在Rt △BEF 中,∵∠BEF =90°,BF =14,∠FBE =30°,∴EF =BF =7,∴DE =EF −DF =3,∵AD =6,∴AE =DE ,又∵BE ⊥AD ,∴PA =PD ,PB =PC ,在Rt △BPG 中,∵BG =BC =6,∠PBG =30°,∴PG =∴PG =CD ,又∵,∠PGC =90°,∴四边形CDPG 是矩形,∴∠DPG =90°,∴∠DPE +∠BPG =90°,∴2∠DPE +2∠BPG =90°,即∠DPA +∠BPC =180°,∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”.【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、含30°角直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识的综合运用,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.1212CD PG ∥。
八年级下学期第一次月考数学试卷范围:第一章~第二章满分:150分考试用时:120分钟题号一二三总分得分一、选择题(本大题共15小题,共45.0分)1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12cm,则AB等于()A. 6cmB. 7cmC. 8cmD. 9cm2.在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC,则点P是△ABC()A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点C. 三条高的交点D. 三边垂直平分线的交点3.如图,点D在△ABC的边AC上,将△ABC沿BD翻折后,点A恰好与点C重合.若BC=5,CD=3,则BD的长为()A. 1B. 2C. 3D. 44.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A. M点B. N点C. P点D. Q点5.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A. ∠A=37°,∠C=53°B. ∠A−∠C=∠BC. ∠A:∠B:∠C=3:4:5D. ∠A:∠B:∠C=2:3:56. 如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,CE 平分∠ACD 交AB 于点E ,则下列结论一定成立的是( )A. BC =ECB. EC =BEC. BC =BED. AE =EC7. 已知a // b ,某学生将一直角三角板如图所示放置.如果∠1=35°,那么∠2的度数为( )A. 35°B. 55°C. 56°D. 65°8. 下列说法:①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线,则EA =EB ;②若PA =PB ,EA =EB ,则直线PE 是线段AB 的垂直平分线;③若EA =EB ,则直线EP 是线段AB 的垂直平分线;④若PA =PB ,则点P 在线段AB 的垂直平分线上.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 不等式组{2x +9>6x +1x −k <1的解集为x <2,则k 的取值范围为( )A. k >1B. k <1C. k ≥1D. k ≤110. 不等式组{2x >1−12x +1≥0的整数解x 的值为( )A. 0、1、2B. 1、2C. 2D. 111. 已知关于x 的不等式组{x >2a −3,2x ≥3(x −2)+5仅有三个整数解,则a 的取值范围是 ( )A. 12≤a <1B. 12≤a ≤1C. 12<a ≤1D. a <112. 商店里有如表两种节能灯:功率(kw)单价(元/只) 白炽灯 0.1 2 节能灯0.0432经了解知,这两种灯的使用寿命相同.已知王阿姨家所在地的电价为0.50元/kW·ℎ.如果仅考虑费用支出[用电量(kW·ℎ)=功率(kW)×时间(ℎ)],且节能灯较合算,则这两种灯的使用寿命需超过()A. 1000hB. 900hC. 1100hD. 800h13.某市自来水公司按如下标准收取水费:若每户每月用水不超过5m3,则每立方米收费1.5元;若每户每月用水超过5m3,则超过部分每立方米收费2元,小颖家某月的水费不少于15元,那么她家这个月的用水量(吨数为整数)至少是()A. 10.75m3B. 9m3C. 8m3D. 8.75m314.某人从一鱼摊上买了三条鱼,平均每条a元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赚了钱,原每条b元,后来他又以每条a+b2因是()A. a<bB. a>bC. a=bD. 与a、b大小无关15.已知a,b为常数,ax+b>0的解集为x<1,则bx−a<0的解集是()5A. x>−5B. x<−5C. x>5D. x<5二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)16.三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于______.17.如图,某失联客机从A地起飞,飞行1000km到达B地,再折返飞行1000km到达C地后在雷达上消失,已知∠ABC=60°,则失联客机消失时离起飞地A地的距离为km.18.如图,∠MON=30°,点B1在边OM上,且OB1=2,过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1,以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1;过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2,以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2;过点C2作OM的垂线分别交OM、ON于点B3、A3,以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3,…;按此规律进行下去,则△A n A n+1C n的面积为___________.(用含正整数n的代数式表示)19. 我们定义|a b cd|=ad −bc ,例如|2345|=2×5−3×4=10−12=−2,则不等式组1<|1x34|<3的解集是 . 20. 若关于x 的不等式组{x−24<x−13,2x −m ≤2−x 有且只有三个整数解,则m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)21. (8分)解不等式组{3x −2>1,①x +9<3(x +1),②并把解集在数轴上表示出来.22. (8分)我们定义一个关于实数m ,n 的新运算,规定:m※n =4m −3n ,例如:5※2=4×5−3×2=14,若m 满足m※2<0,求m 的取值范围.23. (10分)解不等式:2x −1>3x−12.解:去分母,得2(2x−1)>3x−1.…(1)请完成上述解不等式的余下步骤;(2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是_____________(填“A”或“B”).A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变B.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变24.(12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D.求证:∠CAB=∠AED.25. (12分)解不等式组:{3x ≤2x +1,①2x +5≥−1.②请结合题意填空,完成本题的解答. (1)解不等式①,得____________; (2)解不等式②,得____________;(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:(4)原不等式组的解集为___________.26. (14分)在△ABC 中,AB 、AC 边的垂直平分线分别交BC 边于点M 、N .(1)如图①,若△AMN 是等边三角形,则∠BAC =______°; (2)如图②,若∠BAC =135°,求证:BM 2+CN 2=MN 2.(3)如图③,∠ABC 的平分线BP 和AC 边的垂直平分线相交于点P ,过点P 作PH 垂直BA 的延长线于点H.若AB =4,CB =10,求AH 的长.27.(16分)如图1,点A、D在y轴正半轴上,点B、C分别在x轴上,CD平分∠ACB与y轴交于D点,∠CAO=∠DBO.(1)求证:AC=BC;(2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长;(3)在(1)中,过D作DF⊥AC于F点,点H为FC上一动点,点G为OC上一动点,(如图3),当H在FC上移动、点G点在OC上移动时,始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH,试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系,写出你的结论并加以证明.答案1.C2.D3.D4.A5.C6.C7.B8.C9.C 10.B 11.A 12.A 13.B 14.A 15.B 16.2.5 17.100018.(32)2n−2×√3319.13<x <1 20.1≤m <421.解:x >3.解集在数轴上表示略. 22.解:∵m※2=4m −3×2=4m −6,∴由m※2<0可得4m −6<0, 解得:m <32.23.解:(1)去括号,得4x −2>3x −1.移项,得4x −3x >2−1. 合并同类项,得x >1.(2)A24.证明:∵DE 是AB 的垂直平分线,∴EA =EB .∴∠EAB=∠B.∵∠C=90°,∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠AED+∠EAB=90°,∴∠CAB=∠AED.25.(1)x≤1(2)x≥−3(3)略(4)−3≤x≤126.(1)120(2)如图①,连接AM、AN∵∠BAC=135°∴∠B+∠C=45°,又∵点M在AB的垂直平分线上∴AM=BM∴∠BAM=∠B,同理AN=CN,∠CAN=∠C∴∠BAM+∠CAN=45°∴∠MAN=90°,∴AM2+AN2=MN2;∴BM2+CN2=MN2;(3)如图②,连接AP、CP,过点P作PE⊥BC于点E ∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC∴PH=PE∵点P在AC的垂直平分线上∴AP=CP在Rt△APH和Rt△CPE中{AP=CPPH=PE∴Rt△APH≌Rt△CPE∴AH=CE,∵BP平分∠ABC,PH⊥BA,PE⊥BC∴∠HBP=∠CBP,∠BHP=∠BEP=90°∵BP=BP∴Rt△BPH≌Rt△BPE∴BH=BE,∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH ∴AH=(BC−AB)÷2=3.27.解:(1)∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,在△ACD和△BCD中,{∠CAO=∠DBO ∠ACD=∠BCD CD=CD,∴△ACD≌△BCD(AAS),∴AC=BC;(2)如图2,过点D作DM⊥AC于M,∵CD平分∠ACB,OD⊥BC,∴DO=DM,在△BOD和△AMD中,{∠DBO=∠DAM∠BOD=∠AMD=90°DO=DM,∴△BOD≌△AMD(AAS),∴OB=AM,在Rt△DOC和Rt△DMC中,{DO=DMDC=DC,∴Rt△DOC≌Rt△DMC(HL),∴OC=MC,∵∠CAO=∠DBO,∠DEA=∠DBO,∴∠DAE=∠DEA,∵DM⊥AC,∴AM=EM,∴OB=EM,∵C(4,0),∴OC=4,∴BC+CE=OB+OC+MC−EM=2OC=8;(3)GH=OG+FH;证明:如图3,在GO的延长线上取一点N,使ON=FH,∵CD平分∠ACO,DF⊥AC,OD⊥OC,∴DO=DF,在△DON和△DFH中,{DO=DF∠DON=∠DFH=90°ON=FH,∴△DON≌△DFH(SAS),∴DN=DH,∠ODN=∠FDH,∵∠GDH=∠GDO+∠FDH,∴∠GDH=∠GDO+∠ODN=∠GDN,在△DGN和△DGH中,{DN=DH∠GDN=∠GDH DG=DG,∴△DGN≌△DGH(SAS),∴GH=GN,∵ON=FH,∴GH=GN=OG+ON=OG+FH.11。
华师大版八年级下册数学第一次月考试题一、单选题1.在211133122x xy a x x y mπ+++,,,,中,分式的个数是()A .2B .3C .4D .52.下列分式是最简分式的是()A .222a a bB .23aa a-C .22a b a b ++D .222a ab a b --3.下面哪个点不在函数23y x =-+的图像上()A .(3,0)B .(0.5,2)C .(-5,13)D .(1,1)4.将分式2+x x y中的x ,y 的做同时扩大到原来的3倍,则分式的值()A .扩大到原来的3倍B .缩小到原来的13C .保持不变D .无法确定5.一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是()A .一、二、三B .二、三、四C .一、二、四D .一、三、四6.若分式2||244x x x --+的值为0,则x 的值为()A .2B .-2C .2或-2D .2或37.若点p (2k -1,1-k )在第四象限,则k 的取值范围为()A .k >1B .k <12C .k >12D .12<k <18.在同一平面直角坐标系中,若点A(a ,3a ﹣b),B(b ,2a+b ﹣2)关于x 轴对称,则a ,b 值为()A .25,25B .-23,23C .25,-25D .23,-239.王大爷散步,从家中走20分钟到离家900米的公园,与朋友聊天10分钟后,用15分钟返回家中.下面图形表示王大爷离时间x (分)与离家距离y (米)之间的关系是()A .B .C .D .10.关于x 的方程:11ax =+的解是负数,则a 的取值范围是()A .1a <B .1a <且0a ≠C .1a D .1a且0a ≠11.某校为了丰富学生的校园生活,准备购买一批陶笛,已知A 型陶笛比B 型陶笛的单价低20元,用2700元购买A 型陶笛与用4500购买B 型陶笛的数量相同,设A 型陶笛的单价为x 元,依题意,下面所列方程正确的是()A .270020x -=4500x B .2700x =450020x -C .270020x +=4500x D .2700x =450020x +12.已知四条直线3y kx =-,1y =-,3y =和1x =所围成的四边形的面积是12,则k 的值为()A .1或-2B .2或-1C .3D .4二、填空题13.用科学记数法表示:-0.0000601=______.14.分式2x y xy +,23yx,26x y xy -的最简公分母为____________.15.函数y =x 的取值范围是:___________.16.若方程233x m x x =+--有增根,则m 的值为________.17.如果2310x x -+=,则221x x +的值为_________18.将直线21y x =+平移后经过点(2,1),则平移后的直线解析式为______________.三、解答题19.(π-3.14)0+(12)-1-|-4|+2-220.(22x 4x 2x 4x 4x 2----++)÷x x 2-21.解方程2373226x x +=++.22.先化简,再求值:222(1)24a a a a a -++÷--,然后选取一个你喜欢的a 值代入求值.23.某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践.一部分学生乘旅游车,另一部分学生乘中巴车,他们同时出发,结果乘中巴车的同学晚到8分钟.已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍,求中巴车的速度是多少千米/小时?24.学校与图书馆在同一条笔直道路上,甲从学校去图书馆,乙从图书馆回学校,甲、乙两人都匀速步行且同时出发,乙先到达目的地.两人之间的距离y (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示.(1)根据图象信息,当t =分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为米/分钟,乙的速度为米/分钟;(2)图中点A 的坐标为;(3)求线段AB 所直线的函数表达式;(4)在整个过程中,何时两人相距400米?25.某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨,则每吨按政府补贴优惠价a 元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场调节价b 元收费.小刘家3月份用水10吨,交水费20元;4月份用水16吨,交水费35元.(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少?(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数关系式;(3)小刘预计他家5月份用水不会超过22吨,那么小刘家5月份最多交多少元水费?26.已知,如图,直线y=8﹣2x与y轴交于点A,与x轴交于点B,直线y=x+b与y轴交于点C,与x轴交于点D,如果两直线交于点P,且AC:CO=3:5(AO>CO)(1)求点A、B的坐标(2)求直线y=x+b的函数解析式(3)求四边形COBP的面积S参考答案1.B【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【详解】解:在211133122x xy ax x y mπ+++,,,,,中,分式有131ax x y m++,,∴分式的个数是3个.故选:B .2.C 【解析】根据分式的基本性质进行约分,化出最简分式即可进行判断.【详解】解:选项A 中,221=2a a b ab,不符合题意,故选项A 错误;选项B 中,21=33a a a a --,不符合题意,故选项B 错误;选项C 中,22a ba b ++不能约分,符合题意,故选项C 正确;选项D 中,222=a ab aa b a b--+,不符合题意,故选项D 错误;故选C .3.A 【分析】把每个选项中点的横坐标代入函数解析式,判断纵坐标是否相符,即可得出结论.【详解】解:A .当x =3时,y =−2x +3=−3,点不在函数图象上;B .当x =0.5时,y =−2x +3=2,点在函数图象上;C .当x =−5时,y =−2x +3=13,点在函数图象上;D .当x =1时,y =−2x +3=1,点在函数图象上.故选:A .4.A 【解析】将x 变为3x ,y 变为3y 计算后与原式比较即可得到答案.【详解】222(3)93333()x x x x y x y x y==⨯+++,故分式的值扩大到原来的3倍,故选:A .【点睛】此题考查分式的基本性质,正确掌握积的乘方运算,分解因式是解题的关键.【解析】根据一次函数与系数的关系进行判断.【详解】解:∵k=-5<0,∴一次函数经过第二、四象限,∵b=3>0,∴一次函数与y 轴交于正半轴,∴一次函数y=-5x+3的图象经过第一、二、四象限.故选:C .6.B 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值.【详解】解:根据题意得:∵分式2||244x x x --+的值为0,∴||20x -=,且2440x x -+≠,∴x=-2,故选B.7.D 【分析】根据点P 在第四象限的特征,列出不等式组21010k k ->⎧⎨-<⎩,解不等式组即可.【详解】解:∵点P (21,1)k k --在第四象限,∴21010k k ->⎧⎨-<⎩,解得:112k <<.故选D .【分析】直接利用关于x 轴对称点的性质得出a b ,的方程组进而得出答案.【详解】∵点A(a ,3a b -),B(b ,22a b +-)关于x 轴对称,∴()322a b a b a b =⎧⎨-=-+-⎩,解得:2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选:A .【点睛】本题主要考查了关于x 轴对称点的性质,正确把握横纵坐标的关系是解题关键.9.D 【解析】【分析】对四个图依次进行分析,符合题意者即为所求.【详解】解:A 、从家中走20分钟到离家900米的公园,与朋友聊天20分钟后,用20分钟返回家中,故本选项错误;B 、从家中走20分钟到离家900米的公园,与朋友聊天0分钟后,用20分钟返回家中,故本选项错误;C 、从家中走30分钟到离家900米的公园,与朋友聊天0分钟后,用20分钟返回家中,故本选项错误;D 、从家中走20分钟到离家900米的公园,与朋友聊天10分钟后,用15分钟返回家中,故本选项正确.故选D .【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.【解析】【详解】解:解方程得x=a-1,∵x <0,∴a-1<0即a <1,又a≠0则a 的取值范围是a <1且a≠0.故选B .11.D 【解析】【分析】设A 型陶笛的单价为x 元,则B 型陶笛的单价为(x+20)元,根据用2700元购买A 型陶笛与用4500购买B 型陶笛的数量相同,列方程即可.【详解】设A 型陶笛的单价为x 元,则B 型陶笛的单价为(x+20)元,由题意得2700450020x x =+故选:D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程.12.A 【解析】【分析】首先用k 表示出直线3y kx =-与1y =-,3y =和1x =的交点坐标,即可用k 表示出四边形的面积.得到一个关于k 的方程,解方程即可解决.【详解】解:如图:在3y kx =-中,令1y =-,解得2x k=;令3y =,6x k=;当0k <时,四边形的面积是:126[(1)(1)]4122k k-+-⨯=,解得2k =-;当0k >时,可得126[(1)(1)]4122k k-+-⨯=,解得1k =.即k 的值为2-或1.故选:A .【点睛】本题考查待定系数法,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.13.-6.01×10-5【解析】【分析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示,一般形式为10n a -⨯,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【详解】-0.0000601=-6.01×10-5.故答案为-6.01×10-5.【点睛】本题考查了负整数指数科学计数法,对于一个绝对值小于1的非0小数,用科学记数法写成10n a -⨯的形式,其中110a ≤<,n 是正整数,n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0)14.226x y 【解析】【详解】解:2x y xy -,23y x,26x y xy +最简公分母为6x 2y 2故答案为:226x y .【点睛】本题考查最简公分母,掌握概念正确计算是解题关键.15.0x ≥且1x ≠【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和分母不为零计算即可;【详解】解:∵函数1y x =--有意义,∴0x ≥,10x -≠,∴0x ≥且1x ≠.故答案为:0x ≥且1x ≠.【点睛】本题主要考查了函数自变量取值范围,解题的关键是结合二次根式的非负性计算.16.3【解析】【分析】先去分母化为整式方程,利用分母为0的根代入求m 即可【详解】试题分析:两边同乘x-3,得x=2(x-3)+m ,∵原分式方程有增根,∴x-3=0,∴x=3,∴m=3.【点睛】本题考查分式方程的增根,掌握分式方程有增根的解法是先求分母化为整式方程,利用分母为0得出整式方程的根求出参数是解题关键.17.7【解析】【分析】先化简已知式,然后利用完全平方公式计算.【详解】将方程两边同除以x ,则有:x-3+1x =0,即x+1x =3;因此(x+1x )2=x 2+21x +2=9,所以x 2+21x =7.【点睛】掌握整式的除法,解题的关键是记住每一项都除以同一个数,最后利用完全平方求出.18.y=2x ﹣3【解析】【详解】解:设平移后直线的解析式为y=2x+b .把(2,1)代入直线解析式得1=2×2+b ,解得b=﹣3.所以平移后直线的解析式为y=2x ﹣3.故答案是y=2x ﹣3.19.34【解析】【分析】先计算0指数幂和负指数幂和绝对值,然后相加减即可.【详解】解:原式=1 1244 +-+114=-+34=-.【点睛】本题考查的是实数的运算,熟知负整数指数幂、0指数幂的计算法则是解答此题的关键.20.82 x+【解析】【分析】先将括号里的分式进行因式分解约分,再通分加减,然后把除法运算转换为乘法运算进行约分化简即可【详解】原式=()()()2222222x x x xx x x⎡⎤+----⋅⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦=22222x x xx x x+--⎛⎫-⋅⎪-+⎝⎭=()() ()()2222222x x xx x x+---⋅-+=82 x+【点睛】本题主要考查了分式的运算,熟练掌握分式运算的方法是解题关键21.x=﹣2是原方程的根【解析】【分析】察可得方程最简公分母为2(x+3),去分母,转化为整式方程求解,结果要检验.【详解】原方程的两边同时乘以2(x+3),得:4+3(x+3)=7,解这个方程,得x =﹣2,检验:将x =﹣2代入2(x+3)时,该式等于2,∴x =﹣2是原方程的根.【点睛】本题考查了解分式方程,解题的关键是掌握(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解;(2)解分式方程一定注意要验根.22.a+2,1【解析】【分析】根据分式的运算法则进行化简,再代入使分式有意义的a 值即可求解.【详解】222(1)24a a a a a -++÷--=()()()()122(1)2222a a a a a a a a +-⎡⎤-+÷⎢⎥--+-⎣⎦=()()2222222(1)a a a a a a a a +-⎛⎫--+⋅ ⎪---⎝⎭=()()2222(1)a a a a a a a +--⋅--=()()22(1)2(1)a a a a a a a +--⋅--=a+2代入a=-1,原式=1【点睛】此题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟知其运算法则.23.中巴车的速度为50千米/小时【解析】【分析】根据中巴车走40千米所用时间860=旅游车走40千米所用时间列出方程,求出方程的解即可.【详解】解:设中巴车速度为x 千米/小时,则旅游车的速度为1.2x 千米/小时.依题意得404081.260 x x-=,解得x=50,经检验:x=50是原方程的解,且符合题意,∴1.2x=60(千米/小时),答:中巴车的速度为50千米/小时,旅游车的速度为60千米/小时.24.(1)24,40,60;(2)(40,1600);(3)线段AB所表示的函数表达式为y=40x;(4)在整个过程中,第20分钟和28分钟时两人相距400米【解析】【分析】(1)根据图象信息,当24t=分钟时甲乙两人相遇,甲60分钟行驶2400米,根据速度=路程÷时间可得甲的速度,进而求出乙的速度;(2)求出乙从图书馆回学校的时间即A点的横坐标;(3)运用待定系数法求解即可;(4)分相遇前后两种情况解答即可.【详解】解:(1)根据图象信息,当t=24分钟时甲乙两人相遇,甲的速度为2400÷60=40(米/分钟).∴甲、乙两人的速度和为2400÷24=100米/分钟,∴乙的速度为100﹣40=60(米/分钟).故答案为:24,40,60;(2)乙从图书馆回学校的时间为2400÷60=40(分钟),40×40=1600,∴A点的坐标为(40,1600).故答案为:(40,1600);(3)设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b,∵A(40,1600),B(60,2400),∴401600602400k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得40kb=⎧⎨=⎩,∴线段AB所表示的函数表达式为y=40x;(4)两种情况:①迎面:(2400﹣400)÷100=20(分钟),②走过:(2400+400)÷100=28(分钟),∴在整个过程中,第20分钟和28分钟时两人相距400米.【点睛】本题考查了一次函数的应用,路程、速度、时间的关系,用待定系数法确定函数的解析式,属于中考常考题型.读懂题目信息,从图象中获取有关信息是解题的关键.25.(1)政府补贴优惠价为2元,市场调节价是3.5元;(2)y=3.5x-21;(3)56元.【解析】【分析】(1)由10<14,根据单价=总价÷用水量,即可求出a值,由16>14,根据总价=14×2+超出14吨部分×b,即可得出关于b的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)分0≤x≤14和x>14两种情况考虑,当0≤x≤14时,根据总价=2×用水量,即可得出y 关于x的函数关系式;当x>14时,根据总价=14×2+3.5×超出14吨部分,即可得出y关于x的函数关系式;(3)由22>14确定选项y=3.5x﹣21(x>14),根据一次函数的性质结合x的取值范围,即可得出小刘家5月份最多交的水费钱数.【详解】解:(1)∵3月份用水10吨,10<14,∴政府补贴优惠价为:a=20÷10=2(元);∵4月份用水16吨,16>14,∴14×2+(16﹣14)b=35,解得:b=3.5.答:每吨水的政府补贴优惠价为2元,市场调节价为3.5元.(2)当0≤x≤14时,y=2x;当x>14时,y=14×2+(x﹣14)×3.5=3.5x﹣21.∴y=()() 20143.52114x xx x≤≤⎧⎪⎨->⎪⎩.(3)∵小刘预计5月份用水不超过22吨,即x≤22,∴为求最多交多少水费,应选择:y=3.5x﹣21(x>14).∵k=3.5>0,∴y随x增大而增大,∴当x=22时,y最大=3.5×22﹣21=56.答:预计小刘家5月份最多交56元水费.【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的性质以及解一元一次不等式,属于常考题型,解题的关键是:(1)根据数量关系列式计算;(2)根据数量关系,找出y 关于x 的函数关系式;(3)利用一次函数的性质,解决最值问题.26.(1)A (0,8),B (4,0);(2)y=x+5;(3)14.5【解析】【分析】(1)对于直线y=8﹣2x 令0x =求出A 点坐标;令0y =求出B 点坐标;(2)由(1)知A 点坐标为()0,8,根据AC :CO=3:5可得出C 点坐标,代入y=x+b 即可求算函数解析式;(3)先联立解方程求算P 点坐标,再用AOB ∆的面积减去ACP ∆的面积即可求算四边形COBP 的面积.【详解】(1)∵直线y=8﹣2x 与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B令0x =解得8y =∴A 点坐标为()0,8令0y =解得4x =∴B 点坐标为()4,0(2)∵A 点坐标为()0,8,AC :CO=3:5∴C 点坐标为()0,5将C ()0,5代入y=x+b 解得:5b =∴直线解析式为:5y x =+(3)联立解方程:825y x y x =-⎧⎨=+⎩解得:16x y =⎧⎨=⎩∴P点坐标为()1,6∴11843114.522AOB ACPCOBPS S S∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=四【点睛】本题考查一次函数综合题目,难度中等.掌握函数解析式的求算以及割补法算面积是解题关键.。
一、选择题1.若2a <,化简()223a --=( )A .5a -B .5a -C .1a -D .1a -- 2.下列各式计算正确的是( )A .2+3=5B .43﹣33=1C .27÷3=3D .23×33=63.下列计算正确的是( ) A .2×3=6B .2+3=5C .8=42D .4﹣2=24.下列各式中,正确的是( ) A .42=±B .822-=C .()233-=- D .342=5.下列各式计算正确的是( )A .6232126()b a b a b a---⋅=B .(3xy )2÷(xy )=3xyC .23a a a +=D .2x •3x 5=6x 66.下列各式是二次根式的是( ) A .3B .1-C .35D .4π-7.已知:x =3+1,y =3﹣1,求x 2﹣y 2的值( ) A .1B .2C .3D .438.已知()()44220,24,180x y x y x yx y>+=++-=、.则xy=( )A .8B .9C .10D .11 9.若实数a ,b 满足+=3,﹣=3k ,则k 的取值范围是( )A .﹣3≤k ≤2B .﹣3≤k ≤3C .﹣1≤k ≤1D .k ≥﹣1 10.若3x -在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A .x >0B .x >3C .x ≥3D .x ≤3二、填空题11.若m =201520161-,则m 3﹣m 2﹣2017m +2015=_____.12.已知a ,b 是正整数,且满足15152()a b+是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有____对.13.对于任何实数a ,可用[a]表示不超过a 的最大整数,如[4]=4,[3]=1.现对72进行如下操作:72[72]=8[8]=22]=1,类似地,只需进行3次操作后变为1的所有正整数中,最大的是________.14.实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____.15.若613-的整数部分为x ,小数部分为y ,则(213)x y +的值是___. 16.已知:x=5+2,则2可用含x 的有理系数三次多项式来表示为:2=_____. 17.将一组数2,2,6,22,10,…,251按图中的方法排列:若2的位置记为(2,3),7的位置记为(3,2),则这组数中最大数的位置记为______.18.4102541025-+++=_______. 19.2121=-+3232=+4343=+20202324320202019+++++……=___________.20.已知23x =243x x --的值为_______.三、解答题21.先阅读下列解答过程,然后再解答:2m n +,a b ,使a b m +=,ab n =,使得22)a b m +=a b n =22())m n a b a b a b ±=±=>743+743+7212+7,12m n ==,由于437,4312+=⨯=,即:22(4)(3)7+=,4312=27437212((43)23+=+=+=+。
八年级下学期数学第一次月考试卷满分:150分考试用时:120分钟范围:第一章《三角形的证明》~第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》班级姓名得分一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是()A. ∠B=∠CB. AD⊥BCC. AD平分∠BACD. AB=2BD2.在△ABC中,其两个内角如下,则能判定△ABC为等腰三角形的是()A. ∠A=40°,∠B=50°B. ∠A=40°,∠B=60°C. ∠A=40°,∠B=80°D. ∠A=20°,∠B=80°3.若实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示,则下列不等式成立的是()A. a−c>b−cB. a+c<b+cC. ac>bcD. ab <cb4.若a>b,则()A. a−1≥bB. b+1≥aC. a+1>b−1D. a−1>b+15.不等式组{x−1<−3,2x+9≥3的解集是()A. −3≤x<3B. x>−2C. −3≤x<−2D. x≤−36.某商品进价10元,标价15元,为了促销,现决定打折销售,但每件利润不少于2元,则最多打几折销售()A. 6折B. 7折C. 8折D. 9折7.如图,在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图,AB⊥AC于点A,BD⊥CD于点D.若AC=DB,则下列结论中不正确的是()A. ∠A=∠DB. ∠ABC=∠DCBC. OB=ODD. OA=OD9.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD和△BCE是等边三角形,连接AE,交BD于点P,连接CD,分别交BE,AE于点Q,M,连接BM,PQ,则∠AMD的度数为()A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°10.若3a−22和2a−3是实数m的平方根,且t=√m,则不等式2x−t3−3x−t2≥512的解集为()A. x≥910B. x≤910或x≤6.5C. x≥811D. x≤811二、填空题(本大题共5小题,共20.0分)11.如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=度.12.如图,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=7,DE=4,则△ABD的面积为.13.商家花费760元购进某种水果80千克,销售中有5%的水果正常损耗.为了避免亏本,售价至少应定为______元/千克.14.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则不等式kx+b<x+a的解集为______.15.若关于x的不等式组{3x+5<5x+1 x>a−1 解集为x>2,则a的取值范围是______.三、解答题(本大题共10小题,共100.0分)16.(8分)解不等式组:{3(x+1)>x−1 x+92>2x17.(10分)已知,如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,BD为∠ABC的角平分线交AC于D,过点D作DE垂直AB于点E,(1)求BC的长;(2)求AE的长;(3)求BD的长18.(10分)解不等式组{4(x+1)≤7x+13,①x−4<x−83,②并求它的所有整数解的和.19.(10分)某工厂计划生产甲、乙两种机器共10台,其生产成本和利润如下表所示:(1)某工厂计划投入成本26万元,这些成本刚好生产出整数台机器.问:甲、乙两种机器各应安排生间多少台?(2)若工厂计划生产甲机器的数量不少于4台,并共能获利不少于16万元,问:工厂有哪几种生产方案?并说明哪种方案获利最大?最大利润是多少?20.(10分)如图1,A村和B村在一条大河CD的同侧,它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米,又知道CD的长为4千米.(1)现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水,有两种方案备选择.方案1:水厂建在C点,修自来水管道到A村,再到B村(即AC+AB)(如图2);方案2:作A点关于直线CD的对称点A′,连接A′B交CD于M点,水厂建在M点处,分别向两村修管道AM和BM(即AM+BM)(如图3).从节约建设资金方面考虑,将选择管道总长度较短的方案进行施工,请利用已有条件分别进行计算,判断哪种方案更合适.(2)有一艘快艇Q从这条河中驶过,若快艇Q在CD之间(即点Q在线段CD上),当DQ为多少时?△ABQ为等腰三角形,请直接写出结果.21.(8分)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如表:现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元.(1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆?(2)求y与x的函数表达式,并直接写出x的取值范围;(3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值.22.(10分)如图,在四边形ABCD中,E是边BC的中点,F是边CD的中点,且AE⊥BC,AF⊥CD.(1)求证:AB=AD;(2)若∠BCD=114°,求∠BAD的度数.23.(10分)用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n−mn−3n,如:1※2=12×2−1×2−3×2=−6.(1)求(−2)※√3;(2)若3※m≥−6,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集.24.(12分)甲、乙两台智能机器人从同一地点出发,沿着笔直的路线行走了450cm.甲比乙先出发,并且匀速走完全程,乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍.设甲行走的时间为x(s),甲、乙行走的路程分别为y1(cm),y2(cm),y1,y2与x之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)乙比甲晚出发___________s,乙提速前的速度是___________cm/s,m=___________,n=___________;(2)当x为何值时,乙追上了甲?(3)何时乙在甲的前面?25.(12分)(1)如图①,点A、点B在线段l的同侧,请你在直线l上找一点P,使得AP+BP的值最小(不需要说明理由).(2)如图②,菱形ABCD的边长为6,对角线AC=6√3,点E,F在AC上,且EF=2,求DE+BF的最小值.(3)如图③,四边形ABCD中,AB=AD=6,∠BAD=60°,∠BCD=120°,四边形ABCD的周长是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.答案1.D2.D3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.B10.B11.4012.1413.1014.x>315.a≤316.解:{3(x+1)>x−1①x+92>2x②解不等式①得x>−2,解不等式②得x<3,∴不等式组的解集为−2<x<3.17.解:(1)∵∠C=90°,AB=10,AC=8,∴BC=√102−82=6;(2)∵BD为∠ABC的角平分线,DE⊥AB,∴CD=DE,在Rt△BCD和Rt△BED中,{BD=BDCD=DE,∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴BE=BC=6,∴AE=AB−BE=10−6=4;(3)设CD=DE=x,则AD=8−x,在Rt△ADE中,AE2+DE2=AD2,即42+x2=(8−x)2,解得x=3,所以,CD=DE=3,在Rt△BCD中,BD=√62+32=3√5.18.解:−3≤x<2.所有整数解的和为−5.19.解:(1)设甲、乙两种机器各应安排生间x台,(10−x)台,2x+5(10−x)=26,解得,x=8,则10−x=2,答:甲、乙两种机器各应安排生间8台、2台;(2)设生产甲种机器的数量为a台,{a+3(10−a)≥16a≥4,解得,4≤a≤7,∵a是整数,∴a=4,5,6,7,即工厂有四种进货方案,方案一:生产甲种机器4台,乙种机器6台;方案二:生产甲种机器5台,乙种机器5台;方案三:生产甲种机器6台,乙种机器4台;方案四:生产甲种机器7台,乙种机器3台;设利润为w元,w=a+3(10−a)=−2a+30,∴当a=4时,w取得最大值,此时w=22,即方案一获利最大,最大利润是22万元.20.解:(1)方案1:AC+AB=1+5=6,方案2:AM+BM=A′B=√CD2+(AC+BD)2=√41,∵6<√41,∴方案1更合适;(2)(方法不唯一)如图,①若AQ1=AB=5或AQ4=AB=5时,CQ1=CQ4=√52−12=2√6(或√24)>4∴(不合题意,舍去)②若AB=BQ2=5或AB=BQ5=5时,DQ=√52−42=3,③当AQ3=BQ3时,设DQ3=x,则有x2+42=(4−x)2+128x=1∴x=1,8;即:DQ=18故当DQ=3或1时,△ABQ为等腰三角形.821.解:(1)大货车、小货车各有12辆、8辆.(2)设到A地的大货车有x辆,则到A地的小货车有(10−x)辆,到B地的大货车有(12−x)辆,到B地的小货车有(x−2)辆,∴y=900x+500(10−x)+1000(12−x)+700(x−2)=100x+15600(2≤x≤10,且x为整数).(3)根据题意,得15x+10(10−x)≥140.解得x≥8.∴8≤x≤10.∴当x=8时,y取最小值,y最小=100×8+15600=16400.22.解:(1)连接AC,∵点E 是边BC 的中点,AE ⊥BC ,∴AB =AC(三线合一)同理AD =AC ,∴AB =AD ;(2)∵AB =AC ,AD =AC ,∴∠B =∠1,∠D =∠2,∴∠B +∠D =∠1+∠2,即∠B +∠D =∠BCD ,∵∠BAD +(∠B +∠D)+∠BCD =(4−2)⋅180°=360°,∠BCD =114°, ∴∠BAD =360°−114°−114°=132°.23.(1)3√3.(2)m ≥−2.解集在数轴上表示图略.24.解:(1)15 15 31 45(2)设y 1=k 1x.∵点A(31,310)在OA 上,∴31k 1=310.解得k 1=10.∴y 1=10x .设BC 段对应的函数关系式为y 2=k 2x +b ,∵点B(17,30),C(31,450)在BC 上,∴{17k 2+b =30,31k 2+b =450,解得{k 2=30,b =−480.∴y 2=30x −480(17≤x ≤31).当y 1=y 2时,则10x =30x −480,解得x =24.∴当x =24时,乙追上了甲.(3)由图象可知,当x >24且x ≤45时,乙在甲的前面.25.解:(1)如图①中,作点A 关于直线l 的对称点A′,连接A′B 交直线l 于P ,连接PA.则点P 即为所求的点.(2)如图②中,作DM//AC ,使得DM =EF =2,连接BM 交AC 于F ,∵DM=EF,DM//EF,∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE=FM,∴DE+BF=FM+FB=BM,根据两点之间线段最短可知,此时DE+FB最短,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=3√3,在Rt△ADO中,OD=√AD2−OA2=3,∴BD=6,∵DM//AC,∴∠MDB=∠BOC=90°,∴BM=√BD2+DM2=√62+22=2√10.∴DE+BF的最小值为2√10.(3)如图③中,连接AC、BD,在AC上取一点,使得DM=DC.∵∠DAB=60°,∠DCB=120°,∴∠DAB+∠DCB=180°,∴A、B、C、D四点共圆,∵AD=AB,∠DAB=60°,∴△ADB是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,∴∠ACD=∠ADB=60°∵DM=DC,∴△DMC是等边三角形,∴∠ADB=∠MDC=60°,CM=DC,∴∠ADM=∠BDC,∵AD=BD,∴△ADM≌△BDC,∴AM=BC,∴AC=AM+MC=BC+CD,∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC,∵AD=AB=6,∴当AC最大时,四边形ABCD的周长最大,∴当AC为△ABC的外接圆的直径时,四边形ABCD的周长最大,易知AC的最大值=4√3,∴四边形ABCD的周长最大值为12+4√3.。
一、选择题1.如图,在等边△ABC 中,AB =15,BD =6,BE =3,点P 从点E 出发沿EA 方向运动,连结PD ,以PD 为边,在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ,当点P 从点E 运动到点A 时,点F 运动的路径长是( )A .8B .10C .43D .12 2.如图,在长方形纸片ABCD 中,8AB cm =,6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠,点B 落在点E 处,AE 交DC 于点F ,则AF 的长为( )A .254cmB .152cmC .7cmD .132cm 3.已知等边三角形的边长为a ,则它边上的高、面积分别是( )A .2,24a a B .23,24a a C .233,24a a D .233,44a a 4.如图,已知直线a ∥b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为3,AB 230=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短,则此时AM +NB =( )A .6B .8C .10D .125.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为( )A .20B .24C .994D .5326.如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,2AC =,3BC =.设AB 长是m ,下列关于m 的四种说法:①m 是无理数;②m 可以用数轴上的一个点来表示;③m 是13的算术平方根;④23m <<.其中所有正确说法的序号是( )A .①②B .①③C .①②③D .②③④7.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,D 为BC 边上的一点,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使AC 落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长为( )A .2cmB .2.5cmC .3cmD .4cm8.如图,已知数轴上点P 表示的数为1-,点A 表示的数为1,过点A 作直线l 垂直于PA ,在l 上取点B ,使1AB =,以点P 为圆心,以PB 为半径作弧,弧与数轴的交点C 所表示的数为( )A 5B 51C 51D .51-9.如图,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4,将矩形沿AC 折叠,点B 落在点B ′处,则重叠部分△AFC 的面积为( )A .12B .10C .8D .610.如果下列各组数是三角形的三边,那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A .7,24,25 B .111,4,5222 C .3,4,5 D .114,7,822二、填空题11.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,4AC =,2BC =,以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ,则CD 的长可以是__________.12.如图,RT ABC ,90ACB ∠=︒,6AC =,8BC =,将边AC 沿CE 翻折,使点A 落在AB 上的点D 处;再将边BC 沿CF 翻折,使点B 落在CD 的延长线上的点B '处,两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ,则B FC '△的面积为______.13.在△ABC 中,AB =6,AC =5,BC 边上的高AD =4,则△ABC 的周长为__________.14.已知,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=7,D 是AB 的中点,点E 在AC 上,点F 在BC 上,DE=DF ,若BF=4,则EF=_______15.在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,且a +b =35,c =5,则ab 的值为______.16.如图,在锐角ABC ∆中,2AB =,60BAC ∠=,BAC ∠的平分线交BC 于点D ,M ,N 分别是AD 和AB 上的动点,则BM MN +的最小值是______.17.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________18.Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,以 AC 为一边.在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段 BD 的长为_____.19.如图,小正方形的边长为1,连接小正方形的三个格点可得△ABC ,则AC 边上的高的长度是_____________.20.如图,在△ABC 中,AB =AC =10,BC =12,BD 是高,则点BD 的长为_____.三、解答题21.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒.(1)出发2秒后,求线段PQ 的长;(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形;(3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间.22.定义:有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.(1)如图1,四边形ABCD 中,∠ABC =70°,∠BAC =40°,∠ACD =∠ADC =80°,求证:四边形ABCD 是邻和四边形.(2)如图2,是由50个小正三角形组成的网格,每个小正三角形的顶点称为格点,已知A 、B 、C 三点的位置如图,请在网格图中标出所有的格点.......D .,使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为邻和四边形.(3)如图3,△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23,若存在一点D ,使四边形ABCD 是邻和四边形,求邻和四边形ABCD 的面积.23.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,动点D 在直线AB (点A 与点B 重合除外)上时,以CD 为一腰在CD 上方作等腰直角三角形ECD ,且90ECD ∠=︒,连接AE .(1)判断AE 与BD 的数量关系和位置关系;并说明理由.(2)如图2,若4BD =,P ,Q 两点在直线AB 上且5EP EQ ==,试求PQ 的长. (3)在第(2)小题的条件下,当点D 在线段AB 的延长线(或反向延长线)上时,判断PQ 的长是否为定值.分别画出图形,若是请直接写出PQ 的长;若不是请简单说明理由.24.已知a ,b ,c 88a a -+-=|c ﹣17|+b 2﹣30b +225,(1)求a ,b ,c 的值;(2)试问以a ,b ,c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,求出三角形的周长和面积;若不能构成三角形,请说明理由.25.如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍,则称这个三角形是“优三角形”,这两条边的比称为“优比”(若这两边不等,则优比为较大边与较小边的比),记为k . (1)命题:“等边三角形为优三角形,其优比为1”,是真命题还是假命题?(2)已知ABC 为优三角形,AB c =,AC b =,BC a =,①如图1,若90ACB ∠=︒,b a ≥,6b =,求a 的值.②如图2,若c b a ≥≥,求优比k 的取值范围.(3)已知ABC 是优三角形,且120ABC ∠=︒,4BC =,求ABC 的面积.26.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,2BC AC =.(1)如图1,点D 在边BC 上,1CD =,5AD =,求ABD ∆的面积.(2)如图2,点F 在边AC 上,过点B 作BE BC ⊥,BE BC =,连结EF 交BC 于点M ,过点C 作CG EF ⊥,垂足为G ,连结BG .求证:2EG BG CG =+.27.如图,在四边形ABCD 中,=AB AD ,=BC DC ,=60A ∠︒,点E 为AD 边上一点,连接CE ,BD . CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB .(1)求证:CED ADB ∠=∠;(2)若=8AB ,=6CE . 求BC 的长 .28.在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,点D 是AC 的中点,点E 是射线DC 上一点,DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,连接CF ,作FH CF ⊥于点F ,交直线AB 于点H .(1)如图(1),当点E 在线段DC 上时,判断CF 和FH 的数量关系,并加以证明; (2)如图(2),当点E 在线段DC 的延长线上时,问题(1)中的结论是否依然成立?如果成立,请求出当ABC △和CFH △面积相等时,点E 与点C 之间的距离;如果不成立,请说明理由.29.如图1,点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点,以DE 为边作正方形DEFG ,连接BF ,点M 是线段BF 中点,射线EM 与BC 交于点H ,连接CM .(1)请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系.(2)把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒,此时点F 恰好落在线段CD 上,如图2,其他条件不变,(1)中的结论是否成立,请说明理由.(3)把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒,此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上,连接CE ,如图3,其他条件不变,若2DG =,6AB =,直接写出CM 的长度.30.如图1,已知△ABC 是等边三角形,点D ,E 分别在边BC ,AC 上,且CD =AE ,AD 与BE 相交于点F .(1)求证:∠ABE =∠CAD ;(2)如图2,以AD 为边向左作等边△ADG ,连接BG .ⅰ)试判断四边形AGBE 的形状,并说明理由;ⅱ)若设BD =1,DC =k (0<k <1),求四边形AGBE 与△ABC 的周长比(用含k 的代数式表示).【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用,判定△DPE≌△FDH,△DF2Q≌△ADE,然后利用全等三角形的性质,得出点F运动的路径长.【详解】∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°,过D点作DE′⊥AB,过点F作FH⊥BC于H,如图所示:则BE′=12BD=3,∴点E′与点E重合,∴∠BDE=30°,DE3BE3,∵△DPF为等边三角形,∴∠PDF=60°,DP=DF,∴∠EDP+∠HDF=90°∵∠HDF+∠DFH=90°,∴∠EDP=∠DFH,在△DPE和△FDH中,90PED DHFEDP DFHDP FD︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DPE≌△FDH(AAS),∴FH=DE3∴点P从点E运动到点A时,点F运动的路径为一条线段,此线段到BC的距离为3当点P在E点时,作等边三角形DEF1,∠BDF1=30°+60°=90°,则DF1⊥BC,当点P在A点时,作等边三角形DAF2,作F2Q⊥BC于Q,则四边形DF1F2Q是矩形,∵∠BDE =30°,∠ADF 2=60°,∴∠ADE +∠F 2DQ =180°﹣30°﹣60°=90°,∵∠ADE +∠DAE =90°,∴∠F 2DQ =∠DAE ,在△DF 2Q 和△ADE 中,222F QD DEA 90F DQ DAE DF AD ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△DF 2Q ≌△ADE (AAS ),∴DQ =AE =AB ﹣BE =15﹣3=12,∴F 1F 2=DQ =12,∴当点P 从点E 运动到点A 时,点F 运动的路径长为12,故选:D .【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,解题关键是作好辅助线. 2.A解析:A【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD,得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ,设AF=xcm ,则DF=(8-x)cm ,在Rt△AFD 中,利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形,∴∠B=∠D=900,BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ,∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF设AF=xcm ,则DF=(8-x )cm在Rt△AFD 中,AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm , 222(8)6x x =-+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题,利用勾股定理求线段的长度.3.C解析:C【分析】作出等边三角形一边上的高,利用直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,得出BD ,利用勾股定理即可求出AD ,再利用三角形面积公式即可解决问题.【详解】解:如图作AD ⊥BC 于点D .∵△ABC 为等边三角形,∴∠B =60°,∠B AD =30° ∴1122BD AB a == 由勾股定理得,2222213()2AD AB BD a a a =-=-= ∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×32a =34a 2, 故选:C .【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式,熟练掌握相关性质定理是解题关键.4.B解析:B【解析】【分析】MN 表示直线a 与直线b 之间的距离,是定值,只要满足AM +NB 的值最小即可.过A 作直线a 的垂线,并在此垂线上取点A ′,使得AA ′=MN ,连接A 'B ,则A 'B 与直线b 的交点即为N ,过N 作MN ⊥a 于点M .则A 'B 为所求,利用勾股定理可求得其值.【详解】过A 作直线a 的垂线,并在此垂线上取点A ′,使得AA ′=4,连接A ′B ,与直线b 交于点N ,过N 作直线a 的垂线,交直线a 于点M ,连接AM ,过点B 作BE ⊥AA ′,交射线AA ′于点E ,如图,∵AA ′⊥a ,MN ⊥a ,∴AA ′∥MN .又∵AA ′=MN =4,∴四边形AA ′NM 是平行四边形,∴AM =A ′N .由于AM +MN +NB 要最小,且MN 固定为4,所以AM +NB 最小.由两点之间线段最短,可知AM +NB 的最小值为A ′B .∵AE =2+3+4=9,AB 30=BE 2239AB AE =- ∵A ′E =AE ﹣AA ′=9﹣4=5,∴A ′B 22'A E BE =+=8. 所以AM +NB 的最小值为8.故选B .【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离,解答本题的关键是找到点M、点N的位置,难度较大,注意掌握两点之间线段最短.5.B解析:B【分析】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和,也等于长乘以宽,列出方程,化简再代入a,b的值,得出x2+7x=12,再根据矩形的面积公式,整体代入即可.【详解】设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据题意得:2(ax+x2+bx)=(a+x)(b+x),化简得:ax+x2+bx-ab=0,又∵ a = 3 , b = 4 ,∴x2+7x=12;∴该矩形的面积为=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=24.故答案为B.【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用,求出小正方形的边长是解题的关键.6.C解析:C【分析】根据勾股定理即可求出答案.【详解】解:∵∠ACB=90°,∴在Rt ABC中,m=AB2213AC BC故①②③正确,∵m2=13,9<13<16,∴3<m<4,故④错误,故选:C.【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算,解题的关键是熟练运用勾股定理,本题属于基础题型.7.C解析:C【分析】-,在首先由勾股定理求得AB=10,然后由翻折的性质求得BE=4,设DC=x,则BD=8x△BDE中,利用勾股定理列方程求解即可.【详解】在Rt△ABC中,由勾股定理可知:==,10由折叠的性质可知:DC=DE,AC=AE=6,∠DEA=∠C=90°,∴BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°,设DC=x,则BD=8-x,DE=x,在Rt△BED中,由勾股定理得:BE2+DE2=BD2,即42+x2=(8-x)2,解得:x=3,∴CD=3.故选:C.【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题,熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键.8.B解析:B【分析】-,点A表示的数为1,得PA=2,根据勾股定理得PB由数轴上点P表示的数为1而即可得到答案.【详解】-,点A表示的数为1,∵数轴上点P表示的数为1∴PA=2,AB=,又∵l⊥PA,1∴PB=∵∴数轴上点C1.故选B.【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理,掌握数轴上两点之间的距离求法,是解题的关键.9.B解析:B【分析】已知AD 为CF 边上的高,要求AFC △的面积,求得FC 即可,求证AFD CFB '△≌△,得B F DF '=,设DF x =,则在Rt AFD △中,根据勾股定理求x ,于是得到CF CD DF =-,即可得到答案.【详解】解:由翻折变换的性质可知,AFD CFB '△≌△,'DF B F ∴=,设DF x =,则8AF CF x ==-,在Rt AFD △中,222AF DF AD =+,即222(8)4x x -=+,解得:3x =,835CF CD FD ∴=-=-=,1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△. 故选:B .【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容,根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键.10.B解析:B【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项,选出正确的答案.【详解】A 、22272425+=,能组成直角三角形,故正确;B 、22211145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,不能组成直角三角形,故错误; C 、222345+=,能组成直角三角形,故正确; D 、2221147822⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,能组成直角三角形,故正确; 故选:B .【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理:已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2,则三角形ABC 是直角三角形.二、填空题11.210或213或32【分析】 在ABC 中计算AB ,情况一:作AE CE ⊥于E ,计算AE ,DE ,CE ,可得CD ;情况二:作BE CE ⊥于E ,计算BE ,CE ,DE ,可得CD ;情况三:作DE CE ''⊥,计算,,DF DE CE '',可得CD .【详解】∵90ACB ︒∠=,4,2AC BC ==,∴25AB =, 情况一:当25AD AB ==时,作AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅,即455AE =,1455DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二:当25BD AB ==时,作BE CE ⊥于E ,∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅,即45BE =145DE =∴2225CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三:当AD BD =时,作DE CE ''⊥,作BE CE ⊥于E ∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅, ∴45BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形 ∴152BF DF AB === ∴955DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为:1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索,勾股定理的计算等,熟知以上知识是解题的关键. 12.9625【分析】将△B´CF的面积转化为求△BCF的面积,由折叠的性质可得CD=AC=6,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B´CF,CE⊥AB,可证得△ECF是等腰直角三角形,EF=CE,∠EFC=45°,由等面积法可求CE的长,由勾股定理可求AE的长,进而求得BF的长,即可求解.【详解】根据折叠的性质可知,CD=AC=6,∠ACE=∠DCE,∠BCF=∠B´CF,CE⊥AB,∴∠DCE+∠B´CF=∠ACE+∠BCF,∵∠ACB=90°,∴∠ECF=45°,且CE⊥AB,∴△ECF是等腰直角三角形,∴EF=CE,∠EFC=45°,∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CE,∴AC•BC=AB•CE,∵根据勾股定理求得AB=10,∴CE=245,∴EF=245,∵AE 185,∴BF=AB−AE−EF=10-185-245=85,∴S△CBF=12×BF×CE=12×85×245=9625,∴S△CB´F=96 25,故填:96 25.【点睛】此题主要考查了翻折变换,等腰三角形的判定和性质,勾股定理的应用等知识,根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键.13.14+或8+【分析】分两种情况考虑:如图1所示,此时△ABC为锐角三角形,在直角三角形ABD与直角三角形ACD中,利用勾股定理求出BD与DC的长,由BD+DC求出BC的长,即可求出周长;如图2所示,此时△ABC为钝角三角形,同理由BD-CD求出BC的长,即可求出周长.【详解】解:分两种情况考虑:如图1所示,此时△ABC为锐角三角形,在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:BD=22226425AB AD -=-=, 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:CD=2222543AC AD -=-=,∴BC=253+, ∴△ABC 的周长为:652531425+++=+;如图2所示,此时△ABC 为钝角三角形,在Rt △ABD 中,根据勾股定理得:BD=22226425AB AD -=-=, 在Rt △ACD 中,根据勾股定理得:CD=2222543AC AD -=-=,∴BC=253-, ∴△ABC 的周长为:65253825++-=+;综合上述,△ABC 的周长为:1425+或825+;故答案为:1425+或825+.【点睛】此题考查了勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键. 14.322或11或5或1095【分析】分别就E ,F 在AC,BC 上和延长线上,分别画出图形,过D 作DG⊥AC,DH⊥BC,垂足为G ,H ,通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.【详解】解:①过D作DG⊥AC,DH⊥BC,垂足为G,H ∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点,∴DG=12 BC同理:DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF(HL)∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3∴EF=223332+=②过D作DG⊥AC,DH⊥BC,垂足为G,H∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°又∵D是AB的中点,∴DG=12 BC同理:DH=12 AC又∵BC=AC∴DG=DH在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF∴Rt△DGE≌Rt△DHF(HL)∴GE=HF又∵DG=DH,DC=DC∴△GDC≌△FHC∴CG=HC∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11∴EF=221111112+=③如图,以点D为圆心,以DF长为半径画圆交AC边分别为E、E',过点D作DH⊥AC于点H,可知DF DE DE'==,可证△EHD≌△E HD',CE D CFD'≌,△DHC为等腰直角三角形,∴∠1+∠2=45°∴∠EDF=2(∠1+∠2)=90°∴△EDF为等腰直角三角形可证AED CFD△△≌∴AE=CF=3,CE=BF=4∴2222435EF CE CF=+=+=④有第③知,EF=5,且△EDF为等腰直角三角形,∴ED=DF=52,可证△E CF E DE''∆∽,2223y x+=5252x=+综上可得:25x=∴2222E F DE DF DE '''''=+=1095E F ''= 【点睛】本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识,做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.15.10【分析】先根据勾股定理得出a 2+b 2=c 2,利用完全平方公式得到(a +b )2﹣2ab =c 2,再将a +b =35,c =5代入即可求出ab 的值.【详解】解:∵在Rt △ABC 中,直角边的长分别为a ,b ,斜边长c ,∴a 2+b 2=c 2,∴(a +b )2﹣2ab =c 2,∵a +b =35,c =5,∴(35)2﹣2ab =52,∴ab =10.故答案为10.【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式,灵活运用完全平方公式是解题关键.16.3.【分析】作点B 关于AD 的对称点B′,过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ,根据轴对称确定最短路线问题,B′N 的长度即为BM+MN 的最小值,根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形,再根据等边三角形的性质求解即可.【详解】如图,作点B 关于AD 的对称点B ′,由垂线段最短,过点B′作B′N ⊥AB 于N 交AD 于M ,B′N 最短,由轴对称性质,BM=B′M ,∴BM+MN=B′M+MN=B′N ,由轴对称的性质,AD 垂直平分BB′,∴AB=AB′,∵∠BAC=60°,∴△ABB′是等边三角形,∵AB=2,∴B′N=2×3=3,即BM+MN的最小值是3.故答案为3.【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题,等边三角形的判定与性质,确定出点M、N的位置是解题的关键,作出图形更形象直观.17.【解析】【分析】延长BC,AD交于E点,在直角三角形ABE和直角三角形CDE中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.【详解】如图,延长AD、BC相交于E,∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,∴∠E=30°∴AE=2AB,CE=2CD∵AB=3,AD=4,∴AE=6, DE=2设CD=x,则CE=2x,DE=x即x=2x=即CD=故答案为:【点睛】本题考查了勾股定理的运用,含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质,本题中构建直角△ABE和直角△CDE,是解题的关键.18.4或2510【分析】分三种情况讨论:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC.分别画图,并求出BD.【详解】①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,如图1.∵∠DAC=90°,且AD=AC,∴BD=BA+AD=2+2=4;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,如图2.连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,∴∠DCE=45°.又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=45°,∴CE=DE=2222⨯=.在Rt△BAC中,BC2222=+=22,∴BD22222222BE DE()()=+=++= 25;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,如图3.∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,∴AD=DC=AC sin45°=222⨯=.又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠BCD=90°.又∵在Rt△ABC中,BC2222=+=22,∴BD222222210 BC CD=+=+=()().故BD的长等于4或510.故答案为4或25或10.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题,19.35 5【详解】四边形DEFA是正方形,面积是4;△ABF,△ACD的面积相等,且都是×1×2=1.△BCE的面积是:12×1×1=12.则△ABC的面积是:4﹣1﹣1﹣12=32.在直角△ADC中根据勾股定理得到:AC=222+1=5.设AC边上的高线长是x.则12AC•x=5x=32,解得:x=355.35 5.20.48 5【解析】试题分析:根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8,然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯,解得BD=485.三、解答题21.(1)出发2秒后,线段PQ的长为2132)当点Q在边BC上运动时,出发83秒后,△PQB是等腰三角形;(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.【分析】(1)由题意可以求出出发2秒后,BQ和PB的长度,再由勾股定理可以求得PQ的长度;(2)设所求时间为t,则可由题意得到关于t的方程,解方程可以得到解答;(3)点Q 在边CA 上运动时,ΔBCQ 为等腰三角形有三种情况存在,对每种情况进行讨论可以得到解答.【详解】(1)BQ=2×2=4cm ,BP=AB−AP=8−2×1=6cm ,∵∠B=90°,由勾股定理得:PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后,线段PQ 的长为213;(2)BQ=2t ,BP=8−t由题意得:2t=8−t解得:t=83 ∴当点Q 在边BC 上运动时,出发83秒后,△PQB 是等腰三角形; (3) ∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8,∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1),则∠C=∠CBQ ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ ,∴BQ=AQ ,∴CQ=AQ=5,∴BC+CQ=11,∴t=11÷2=5.5秒;②当CQ=BC 时(如图2),则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ 时(如图3),过B 点作BE ⊥AC 于点E ,∴BE=6824105AB BC AC ⋅⨯==,所以CE=22BC BE=185=3.6,故CQ=2CE=7.2,所以BC+CQ=13.2,∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知,当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题,利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键.22.(1)见解析;(2)见解析;(3)363【分析】(1)先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数,从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2)以点A为圆心,AB长为半径画圆,与网格的交点,以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求.(3)先根据勾股定理求得AC的长,再分类计算即可:①当DA=DC=AC时;②当CD=CB=BD时;③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时.【详解】(1)∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°,∴∠ACB=∠ABC,∴AB=AC.∵∠ACD=∠ADC,∴AC=AD,∴AB=AC=AD.∴四边形ABCD是邻和四边形;(2)如图,格点D、D'、D''即为所求作的点;(3)∵在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =2,BC =23, ∴AC =()22222234AB BC +=+=,显然AB ,BC ,AC 互不相等.分两种情况讨论:①当DA =DC =AC=4时,如图所示:∴△ADC 为等边三角形,过D 作DG ⊥AC 于G ,则∠ADG =160302⨯︒=︒, ∴122AG AD ==, 22224223DG AD AG =-=-=,∴S △ADC =1423432⨯⨯=,S △ABC =12AB×BC =23, ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63;②当CD =CB =BD =23时,如图所示:∴△BDC 为等边三角形,过D 作DE ⊥BC 于E ,则∠BDE =160302⨯︒=︒,∴12BE BD ==3DE ===,∴S △BDC =132⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ,∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒,∴DF=12S △ADB =122⨯=,∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =;③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时,邻和四边形ABCD 不存在.∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题,考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点,数形结合并读懂定义是解题的关键.23.(1)AE=BD 且AE ⊥BD ;(2)6;(3)PQ 为定值6,图形见解析【分析】(1)由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ,可得AE=BD ,∠EAC=∠DBC=45°,可得AE ⊥BD ; (2)由等腰三角形的性质可得PA=AQ ,由勾股定理可求PA 的长,即可求PQ 的长; (3)分两种情况讨论,由“SAS”可证△ACE ≌△BCD ,可得AE=BD ,∠EAC=∠DBC ,可得AE ⊥BD ,由等腰三角形的性质可得PA=AQ ,由勾股定理可求PA 的长,即可求PQ 的长.【详解】解:(1)AE=BD ,AE ⊥BD ,理由如下:∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠EAC=∠DBC=45°,∴∠EAC+∠CAB=90°,∴AE ⊥BD ;(2)∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;(3)如图3,若点D 在AB 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=135°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ , ∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴AQ=22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6;如图4,若点D 在BA 的延长线上,∵△ABC ,△ECD 都是等腰直角三角形,∴AC=BC ,CE=CD ,∠ACB=∠ECD=90°,∠ABC=∠CAB=45°,∴∠ACE=∠DCB ,且AC=BC ,CE=CD ,∴△ACE ≌△BCD (SAS )∴AE=BD ,∠CBD=∠CAE=45°,且∠CAB=45°,∴∠EAB=90°,∵PE=EQ ,AE ⊥BD ,∴PA=AQ ,∵EP=EQ=5,AE=BD=4,∴22=2516=3EQ AE --,∴PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,证明AE ⊥BD 是本题的关键.24.(1)a =8,b =15,c =17;(2)能,60【分析】(1)根据算术平方根,绝对值,平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值;(2)根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形,由此得到面积和周长【详解】解:(1)∵a ,b ,c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225, 2881||7(15)a a c b --+-=﹣,∴a ﹣8=0,b ﹣15=0,c ﹣17=0,∴a =8,b =15,c =17;(2)能.∵由(1)知a =8,b =15,c =17,∴82+152=172.∴a 2+c 2=b 2,∴此三角形是直角三角形,∴三角形的周长=8+15+17=40; 三角形的面积=12×8×15=60. 【点睛】此题考查算术平方根,绝对值,平方的非负性,勾股定理的逆定理判断三角形的形状.25.(1)该命题是真命题,理由见解析;(2)①a 的值为92;②k 的取值范围为13k ≤<;(3)ABC ∆的面积为2033或1235. 【分析】 (1)根据等边三角形的性质、优三角形和优比的定义即可判断;(2)①先利用勾股定理求出c 的值,再根据优三角形的定义列出,,a b c 的等式,然后求解即可;②类似①分三种情况分析,再根据三角形的三边关系定理得出每种情况下,,a b c 之间的关系,然后根据优比的定义求解即可;(3)如图(见解析),设BD x =,先利用直角三角形的性质、勾股定理求出AC 、AB 的长及ABC ∆面积的表达式,再类似(2),根据优三角形的定义分三种情况分别列出等式,然后解出x 的值,即可得出ABC ∆的面积.【详解】(1)该命题是真命题,理由如下:设等边三角形的三边边长为a则其中两条边的和为2a ,恰好是第三边a 的2倍,满足优三角形的定义,即等边三角形为优三角形又因该两条边相等,则这两条边的比为1,即其优比为1故该命题是真命题;(2)①90,6CB b A ∠=︒=c ∴=根据优三角形的定义,分以下三种情况:当2a b c +=时,6a +=,整理得24360a a -+=,此方程没有实数根当2a c b +=时,12a =,解得92a =当2b c a +=时,62a =,解得86a =>,不符题意,舍去综上,a 的值为92; ②由题意得:,,a b c 均为正数 根据优三角形的定义,分以下三种情况:(c b a ≥≥)当2a b c +=时,则1b k a=≥ 由三角形的三边关系定理得b a c a b -<<+ 则2a b b a a b +-<<+,解得3b a <,即3b k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2a c b +=时,则1c k a =≥ 由三角形的三边关系定理得c a b a c -<<+ 则2a c c a a c +-<<+,解得3c a <,即3c k a=< 故此时k 的取值范围为13k ≤< 当2b c a +=时,则1c k b =≥由三角形的三边关系定理得c b a b c -<<+ 则2b c c b b c +-<<+,解得3c b <,即3c k b =< 故此时k 的取值范围为13k ≤<综上,k 的取值范围为13k ≤<;(3)如图,过点A 作AD BC ⊥,则180********ABC ABD ∠=︒-︒∠-==︒︒ 设BD x =2222,3AB BD x AD AB BD x ∴===-=22222(3)(4)224AC AD CD x x x x =+=++=++11432322ABC S BC AD x x ∆=⋅=⨯⨯= ABC ∆是优三角形,分以下三种情况:当2AC BC AB +=时,即222444x x x +++=,解得103x =则10203232333ABC S x ∆==⨯= 当2AC AB BC +=时,即222428x x x +++=,解得65x =则6123232355ABC S x ∆==⨯= 当2BC AB AC +=时,即242424x x x +=++,整理得234120x x ++=,此方程没有实数根综上,ABC ∆的面积为203或123.【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形的三边关系定理等知识点,理解题中的新定义,正确分多种情况讨论是解题关键.26.(1)3;(2)见解析.【分析】(1)根据勾股定理可得AC ,进而可得BC 与BD ,然后根据三角形的面积公式计算即可; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ,由已知易得BE ∥AC ,于是∠E =∠EFC ,由于CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ,于是可得∠E =∠BCG ,然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ,可得BG =BH ,CG =EH ,从而△BGH 是等腰直角三角形,进一步即可证得结论.【详解】解:(1)在△ACD 中,∵90ACB ∠=︒,1CD =,5AD =,∴222AC AD CD =-=,∵2BC AC =,∴BC=4,BD =3,∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则∠CBG +∠CBH =90°,∵BE BC ⊥,∴∠EBH +∠CBH =90°,∴∠CBG =∠EBH ,∵BE BC ⊥,90ACB ∠=︒,∴BE ∥AC ,∴∠E =∠EFC ,∵CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,∴∠EFC +∠FCG =90°,∠BCG +∠FCG =90°,∴∠EFC =∠BCG ,∴∠E =∠BCG ,在△BCG 和△BEH 中,∵∠CBG =∠EBH ,BC=BE ,∠BCG =∠E ,∴△BCG ≌△BEH (ASA ), ∴BG =BH ,CG =EH ,∴222GH BG BH BG =+=,∴2EG GH EH BG CG =+=+.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识,属于常考题型,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.27.(1)见解析;(2)27BC =.【分析】(1)由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形,又由平行进行角度间的转化可得出结论.(2)连接AC 交BD 于点O ,由题意可证AC 垂直平分BD ,△ABD 是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4,通过证明△EDF 是等边三角形,可得DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC ,BC 的长.【详解】(1)证明:∵AB AD =,=60A ∠︒,∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ,∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.(2)解:连接AC 交BD 于点O ,∵AB AD =,BC DC =,∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形,8AB =∴8AD BD AB ===,∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ,∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中, ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中,∴22224(23)27BC BO OC =+=+=.【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.28.(1)CF FH =,证明见解析;(2)依然成立,点E 与点C 之间的距离为333-.理由见解析.【分析】(1)做辅助线,通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形.证出CEF FGH ≌,利用全等的性质即可得到CF FH =.(2)设AH ,DF 交于点G ,可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ,从而得到CF FH =,当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时,6CF AC ==.利用勾股定理可以求DE 、CE 的长,即可求出CE 的长,即可求得点E 与点C 之间的距离.【详解】(1)CF FH =证明:延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,∴90EDF ∠=︒,ADG 与DEF 是等腰直角三角形.∴45AGD DEF ∠=∠=︒,AD DG =,90DCF CFD ∠+∠=︒,∴135CEF FGH ∠=∠=︒,∵点D 是AC 的中点,∴132CD AD AC ===,∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ,∴90CFG ∠=︒,∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =;(2)依然成立。
一、选择题1.如图,透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为15cm ,在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,位于离容器上沿3cm 的点A 处,若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为25cm ,则该圆柱底面周长为( )A .20cmB .18cmC .25cmD .40cm 2.△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC 的周长为( )A .42B .32C .42或32D .37或33 3.如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ,那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表,观察表中每列数的规律,可知x y +的值为( )A .47B .62C .79D .98 4.将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形,则这个矩形的对角线长等于( )A .37B .13C .37或者13D .37或者137 5.圆柱形杯子的高为18cm ,底面周长为24cm ,已知蚂蚁在外壁A 处(距杯子上沿2cm )发现一滴蜂蜜在杯子内(距杯子下沿4cm ),则蚂蚁从A 处爬到B 处的最短距离为( )A .13B .28C .20D .1226.已知△ABC 的三边分别是6,8,10,则△ABC 的面积是( )A .24B .30C .40D .48 7.“折竹抵地”问题源自《九章算术》中,即:今有竹高一丈,末折抵地,去本四尺,问折者高几何?意思是:一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远(如图),则折断后的竹子高度为多少尺?(1丈=10尺)( )A.3 B.5 C.4.2D.48.如图,已知数轴上点P表示的数为1-,点A表示的数为1,过点A作直线l垂直于PA,在l上取点B,使1AB=,以点P为圆心,以PB为半径作弧,弧与数轴的交点C 所表示的数为()A.5B.51-C.51+D.51-+9.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()A.B.C.D.10.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别是点D、E,AD=3,BE=1,则BC的长是()A.32B.2 C.22D10二、填空题11.如图,在四边形ABCD中,AB =AD,BC=DC,点E为AD边上一点,连接BD、CE,CE 与BD交于点F,且CE∥AB,若∠A =60°,AB=4,CE=3,则BC的长为_______.12.如图,在四边形ABCD 中,22AD =,3CD =,45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒,则BD 的长为__________.13.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上,点A 1在第一象限,且OA=1,以点A 1为直角顶点,OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2,再以点A 2为直角顶点,OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律,则点A 2018的坐标是_____.14.在△ABC 中,若222225,75a b a b c -+===,,则最长边上的高为_____.15.在△ABC 中,AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC ∆的周长为_______________.16.Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,以 AC 为一边.在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ,则线段 BD 的长为_____.17.如图,在□ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,且AB =3,BC =5.①线段OA 的取值范围是______________;②若BD -AC =1,则AC •BD = _________.18.一块直角三角形绿地,两直角边长分别为3m ,4m ,现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充时只能延长长为3m 的直角边,则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2.19.如图,在四边形ABCD 中,AD =4,CD =3,∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°,则2________BD =.20.如图,直线423y x =+与x 轴、y 轴分别交于点B 和点A ,点C 是线段OA 上的一点,若将ABC ∆沿BC 折叠,点A 恰好落在x 轴上的'A 处,则点C 的坐标为______.三、解答题21.如图,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是BC 上一动点、连接AD ,过点A 作AE AD ⊥,并且始终保持AE AD =,连接CE ,(1)求证:ABD ACE ≅;(2)若AF 平分DAE ∠交BC 于F ,①探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明;②若3BD =,4CF =,求AD 的长,22.如图, ABD 为边长不变的等腰直角三角形,AB AD =,90BAD ∠=︒,在 ABD 外取一点 E ,以A 为直角顶点作等腰直角AEP △,其中 P 在 ABD 内部,90EAP ∠=︒,2AE AP ==,当E 、P 、D 三点共线时,7BP =.下列结论:①E 、P 、D 共线时,点B 到直线AE 的距离为5;②E 、P 、D 共线时, 13ADP ABP S S ∆∆+=+;=532ABD S ∆+③; ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ,在 AEP 绕点 A 旋转的过程中,PC 的最小值为5+232-;⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上,当点P 落在AD 上时,取BP 上一点N ,使得AN BN =,连接 ED ,则AN ED ⊥.其中正确结论的序号是___.23.如图,在△ABC 中,∠C =90°,把△ABC 沿直线DE 折叠,使△ADE 与△BDE 重合.(1)若∠A =35°,则∠CBD 的度数为________;(2)若AC =8,BC =6,求AD 的长;(3)当AB =m(m>0),△ABC 的面积为m +1时,求△BCD 的周长.(用含m 的代数式表示)24.如图,在四边形ABCD 中,=AB AD ,=BC DC ,=60A ∠︒,点E 为AD 边上一点,连接CE ,BD . CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB .(1)求证:CED ADB ∠=∠;(2)若=8AB ,=6CE . 求BC 的长 .25.问题情境:综合实践活动课上,同学们围绕“已知三角形三边的长度,求三角形的面积”开展活动,启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决:图(1)、图(2)都是6×6的正方形网格,每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,操作发现,启航小组同学在图(1)中画出△ABC ,其顶点A ,B ,C 都在格点上,同时构造长方形CDEF ,使它的顶点都在格点上,且它的边EF 经过点A ,ED 经过点B .同学们借助此图求出了△ABC 的面积.(1)在图(1)中,△ABC 的三边长分别是AB = ,BC = ,AC = .△ABC 的面积是 .(2)已知△PMN 中,PM =17,MN =25,NP =13.请你根据启航小组的思路,在图(2)中画出△PMN ,并直接写出△RMN 的面积 .26.在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,点D 是AC 的中点,点E 是射线DC 上一点,DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,连接CF ,作FH CF ⊥于点F ,交直线AB 于点H .(1)如图(1),当点E 在线段DC 上时,判断CF 和FH 的数量关系,并加以证明;(2)如图(2),当点E 在线段DC 的延长线上时,问题(1)中的结论是否依然成立?如果成立,请求出当ABC △和CFH △面积相等时,点E 与点C 之间的距离;如果不成立,请说明理由.27.如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,ABC ∆,ADE ∆,AFO ∆均为等边三角形,A 在y 轴正半轴上,点0()6,B -,点(6,0)C ,点D 在ABC ∆内部,点E 在ABC ∆的外部,32=AD ,30DOE ∠=︒,OF 与AB 交于点G ,连接DF ,DG ,DO ,OE .(1)求点A 的坐标;(2)判断DF 与OE 的数量关系,并说明理由;(3)直接写出ADG ∆的周长.28.(知识背景)据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦就等于5,后人概括为“勾三、股四、弦五”.像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数,称为勾股数.(应用举例)观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,并且勾为3时,股14(91)2=-,弦15(91)2=+; 勾为5时,股112(251)2=-,弦113(251)2=+; 请仿照上面两组样例,用发现的规律填空:(1)如果勾为7,则股24= 弦25=(2)如果勾用n (3n ≥,且n 为奇数)表示时,请用含有n 的式子表示股和弦,则股= ,弦= .(解决问题)观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…根据应用举例获得的经验进行填空:(3)如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数,2a m =(m 表示大于1的整数),则b = ,c = ,这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式. (4)请你利用柏拉图公式,补全下面两组勾股数(数据从小到大排列)第一组: 、24、 :第二组: 、 、37.29.(已知:如图1,矩形OACB 的顶点A ,B 的坐标分别是(6,0)、(0,10),点D是y 轴上一点且坐标为(0,2),点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动,到达点B 时运动停止.(1)设点P 运动时间为t ,△BPD 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式;(2)当点P 运动到线段CB 上时(如图2),将矩形OACB 沿OP 折叠,顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置,求此时点P 坐标;(3)在点P 运动过程中,是否存在△BPD 为等腰三角形的情况?若存在,求出点P 坐标;若不存在,请说明理由.30.已知ABC 是等边三角形,点D 是BC 边上一动点,连结AD()1如图1,若2BD =,4DC =,求AD 的长;()2如图2,以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=,分别交AB ,AC 于点E ,F . ①小明通过观察、实验,提出猜想:在点D 运动的过程中,始终有AE AF =,小明把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法想法1:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造角平分线的性质定理的基本图形,然后通过全等三角形的相关知识获证.想法2:利用AD 是EDF ∠的角平分线,构造ADF 的全等三角形,然后通过等腰三角形的相关知识获证.请你参考上面的想法,帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)②小聪在小明的基础上继续进行思考,发现:四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积,x 表示AD 的长,请你直接写出S 与x 之间的关系式.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【分析】将容器侧面展开,建立A 关于EG 的对称点A ′,根据两点之间线段最短可知A ′B 的长度即为最短路径,由勾股定理求出A ′D 即圆柱底面周长的一半,由此即可解题.【详解】解:如图,将圆柱展开,EG 为上底面圆周长的一半,作A 关于E 的对称点A ',连接A B '交EG 于F ,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF BF +的长,即 25cm AF BF A B '+==,延长BG ,过A '作A D BG '⊥于D ,3cm AE A E '==,153315cm BD BG DG BG AE ∴=+=+=-+=,Rt A DB '∴△中,由勾股定理得:2222251520cm A D A B BD ''=-=-=, ∴该圆柱底面周长为:20240cm ⨯=,故选D .【点睛】本题考查了平面展开---最短路径问题,将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.2.C解析:C【分析】存在2种情况,△ABC 是锐角三角形和钝角三角形时,高AD 分别在△ABC 的内部和外部【详解】情况一:如下图,△ABC 是锐角三角形∵AD 是高,∴AD ⊥BC∵AB=15,AD=12∴在Rt△ABD 中,BD=9∵AC=13,AD=12∴在Rt△ACD 中,DC=5∴△ABC 的周长为:15+12+9+5=42情况二:如下图,△ABC 是钝角三角形在Rt△ADC 中,AD=12,AC=13,∴DC=5在Rt△ABD 中,AD=12,AB=15,∴DB=9∴BC=4∴△ABC 的周长为:15+13+4=32故选:C【点睛】本题考查勾股定理,解题关键是多解,注意当几何题型题干未提供图形时,往往存在多解情况.3.C解析:C【分析】依据每列数的规律,即可得到2221,,1a n b n c n =-==+,进而得出x y +的值. 【详解】解:由题可得:222321,42,521=-==+…… 2221,,1a n b n c n ∴=-==+当21658c n n =+==时,63,16x y ∴==79x y ∴+=故选C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题;观察数列,找出规律是解答本题的关键.4.C解析:C【分析】如图1或图2所示,分类讨论,利用勾股定理可得结论.【详解】当如图1所示时,AB=2,BC=3,∴AC=22+;23=13当如图2所示时,AB=1,BC=6,∴AC=221+6=37;故选C.【点睛】本题主要考查图形的拼接,数形结合,分类讨论是解答此题的关键.5.C解析:C【解析】分析:将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.详解:如图所示,将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B2222A D BD'++ (cm)=1216故选C.点睛:本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开,化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.6.A解析:A【解析】已知△ABC的三边分别为6,10,8,由62+82=102,即可判定△ABC是直角三角形,两直角边是6,8,所以△ABC 的面积为12×6×8=24,故选A . 7.C解析:C【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可.【详解】解:设折断处离地面的高度OA 是x 尺,根据题意可得:x 2+42=(10-x )2,解得:x=4.2,答:折断处离地面的高度OA 是4.2尺.故选C .【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,根据题意正确应用勾股定理是解题关键.8.B解析:B【分析】由数轴上点P 表示的数为1-,点A 表示的数为1,得PA=2,根据勾股定理得5PB 而即可得到答案.【详解】∵数轴上点P 表示的数为1-,点A 表示的数为1, ∴PA=2,又∵l ⊥PA ,1AB =, ∴225PB PA AB +=∵5∴数轴上点C 51.故选B .【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理,掌握数轴上两点之间的距离求法,是解题的关键.9.B解析:B【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.【详解】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示:故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明,证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.10.D解析:D【分析】根据条件可以得出∠E =∠ADC =90°,进而得出△CEB ≌△ADC ,就可以得出AD =CE ,再利用勾股定理就可以求出BC 的值.【详解】解:∵BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,∴∠E =∠ADC =90°,∴∠EBC +∠BCE =90°.∵∠BCE +∠ACD =90°,∴∠EBC =∠DCA .在△CEB 和△ADC 中,E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△CEB ≌△ADC (AAS ),∴CE =AD =3,在Rt △BEC 中,2222BC=BE +CE =1+3=10,故选D .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.二、填空题117【分析】连接AC 交BD 于点O ,由题意可证AC 垂直平分BD ,△ABD 是等边三角形,可得∠BAO =∠DAO =30°,AB =AD =BD ,BO =OD ,通过证明△EDF 是等边三角形,可得DE =EF =DF ,由勾股定理可求OC,BC的长.【详解】连接AC,交BD于点O,∵AB=AD,BC=DC,∠A=60°,∴AC垂直平分BD,△ABD是等边三角形,∴∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=4,BO=OD=2,∵CE∥AB,∴∠BAO=∠ACE=30°,∠CED=∠BAD=60°,∴∠DAO=∠ACE=30°,∴AE=CE=3,∴DE=AD−AE=1,∵∠CED=∠ADB=60°,∴△EDF是等边三角形,∴DE=EF=DF=1,∴CF=CE−EF=2,OF=OD−DF=1,22∴-=OC CF OF322BC=OB+OC=7∴7【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.12.5【分析】作AD′⊥AD,AD′=AD构建等腰直角三角形,根据SAS求证△BAD≌△CAD′,证得BD=CD′,∠DAD′=90°,然后在Rt△AD′D和Rt△CD′D应用勾股定理即可求解.【详解】作AD′⊥AD,AD′=AD,连接CD′,DD′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ,∴∠BAD=∠CAD′,在△BAD 与△CAD′中,{BA CABAD CAD AD AD =∠=∠='',∴△BAD ≌△CAD′(SAS ),∴BD=CD′,∠DAD′=90°,由勾股定理得22()4AD AD +=',∵∠D′DA+∠ADC=90°,∴由勾股定理得22(')5DC DD +=,∴BD=CD′=5故答案为5.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键.13.(0,21009)【解析】【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系.【详解】∵∠OAA 1=90°,OA=AA 1=1,以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2,再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3,…,∴OA 12,OA 2=2)2,…,OA 2018=2)2018,∵A 1、A 2、…,每8个一循环,∵2018=252×8+2∴点A 2018的在y 轴正半轴上,OA 2018=20182=21009,故答案为(0,21009).【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题,除了研究动点变化的相关数据规律,还应该注意象限符号.14.125 【分析】 解方程222225,7a b a b +=-=可求得a=4,b=3,故三角形ABC 是直角三角形,在利用三角形的面积转化得到斜边上的高.【详解】解:∵222225,7a b a b +=-=,将两个方程相加得:2232a =,∵a >0,∴a=4代入得:22425b +=,∵b >0,∴b=3,∵a=3,b=4,c=5满足勾股定理逆定理,∴△ABC 是直角三角形,如下图,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,1122ABC SAC BC AB CD =⋅⋅=⋅⋅ , 即:1134522CD ⋅⋅=⋅⋅, 解得:CD=125, 故答案为:125. 【点睛】 本题考查求解三角形的高,解题关键是利用三角形的面积进行转化,在同一个三角形中,一个底乘对应高等于另一个底乘对应高.15.32或42【分析】根据题意画出图形,分两种情况:△ABC 是钝角三角形或锐角三角形,分别求出边BC ,即可得到答案【详解】当△ABC是钝角三角形时,∵∠D=90°,AC=13,AD=12,∴2222=-=-=,13125CD AC AD∵∠D=90°,AB=15,AD=12,∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9-5=4,∴△ABC的周长=4+15+13=32;当△ABC是锐角三角形时,∵∠ADC=90°,AC=13,AD=12,∴2222CD AC AD=-=-=,13125∵∠ADB=90°,AB=15,AD=12,∴2222BD AB AD=-=-=,15129∴BC=BD-CD=9+5=14,∴△ABC的周长=14+15+13=42;综上,△ABC的周长是32或42,故答案为:32或42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用,能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键. 16.4或2510【分析】分三种情况讨论:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC.分别画图,并求出BD.【详解】①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,如图1.∵∠DAC=90°,且AD=AC,∴BD=BA+AD=2+2=4;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,如图2.连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,∴∠DCE=45°.又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=45°,∴CE=DE=222⨯=.在Rt△BAC中,BC2222=+=22,∴BD22222222BE DE()()=+=++= 25;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,如图3.∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,∴AD=DC=AC sin45°=2222⨯=.又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠BCD=90°.又∵在Rt△ABC中,BC2222=+=22,∴BD222222210 BC CD=+=+=()().故BD的长等于4或510.故答案为4或510.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识.解题的关键是分情况考虑问题,17.①1<OA <4. ②672. 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1<OA <4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知,ABF 全等DCE ,由题意知,22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +, ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-,2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68,BD -AC =1,两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1, ∴AC •BD =672.18.8或10或12或253【详解】解:①如图1:当BC=CD=3m 时,AB=AD=5m ,AC ⊥BD ,此时等腰三角形绿地的面积:12×6×4=12(m 2); ②如图2:当AC=CD=4m时,AC⊥CB,此时等腰三角形绿地的面积:12×4×4=8(m2);③如图3:当AD=BD时,设AD=BD=xm,在Rt△ACD中,CD=(x-3)m,AC=4m,由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-3)2+42=x2,解得x=256,此时等腰三角形绿地的面积:12BD·AC=12×256×4=253(m2);④如图4,延长BC到D,使BD=AB=5m,故CD=2m,此时等腰三角形绿地的面积:12BD·AC=12×5×4=10(m2);综上所述,扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或12m2或10m2或253m2.点睛:此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用,解决问题的关键是根据题意正确画出图形.19.41【解析】作AD′⊥AD ,AD′=AD ,连接CD′,DD ′,如图:∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ,即∠BAD=∠CAD′,在△BAD 与△CAD ′中,;BA CA BAD CAD AD AD ===⎧⎪∠∠'⎨⎪⎩∴△BAD ≌△CAD′(SAS ), ∴BD=CD′,∠DAD′=90°,由勾股定理得22AD AD +' ,∠D′DA+∠ADC=90°,由勾股定理得22DC DD +' 41BD 2=41.故答案是:41.20.(0,34). 【分析】 由423y x =+求出点A 、B 的坐标,利用勾股定理求得AB 的长度,由此得到53122OA '=-=,设点C 的坐标为(0,m ),利用勾股定理解得m 的值即可得到答案. 【详解】 在423y x =+中,当x=0时,得y=2,∴A (0,2) 当y=0时,得4203x +=,∴32x =-,∴B(32-,0),在Rt△AOB中,∠AOB=90︒,OA=2,OB=3 2 ,∴52AB===,∴53122OA'=-=,设点C的坐标为(0,m)由翻折得ABC A BC'≌,∴2A C AC m'==-,在Rt A OC'中,222A C OC A O''=+,∴222(2)1m m-=+,解得m=34,∴点C的坐标为(0,34).故答案为:(0,34).【点睛】此题考查勾股定理,翻折的性质,题中由翻折得ABC A BC'≌是解题的关键,得到OC 与A’C的数量关系,利用勾股定理求出点C的坐标.三、解答题21.(1)见详解(2)①结论:222BD FC DF+=,证明见详解②【分析】(1)根据SAS,只要证明BAD CAE∠=∠即可解决问题;(2)①结论:222BD FC DF+=.连接EF,进一步证明90ECF∠=︒,DF EF=,再利用勾股定理即可得证;②过点A作AG BC⊥于点G,在Rt ADG中求出AG、DG 即可求解.【详解】解:(1)∵AE AD⊥∴90DAC CAE∠+∠=︒∵90BAC∠=︒∴90DAC BAD∠+∠=︒∴BAD CAE∠=∠∴在ABD△和ACE△中AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD △≌ACE △()SAS(2)①结论:222BD FC DF +=证明:连接EF ,如图:∵ABD △≌ACE △∴B ACE ∠=∠,BD CE =∴90ECF BCA ACE BCA B ∠=∠+∠=∠+∠=︒∴222FC CE EF +=∴222FC BD EF +=∵AF 平分DAE ∠∴DAF EAF ∠=∠∴在DAF △和EAF △中AD AE DAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DAF △≌EAF △()SAS∴DF EF =∴222FC BD DF +=即222BD FC DF +=②过点A 作AG BC ⊥于点G ,如图:∵由①可知222223425DF BD FC =+=+=∴5DF =∴35412BC BD DF FC =++=++=∵AB AC =,AG BC ⊥ ∴1112622BG AG BC ===⨯= ∴633DG BG BD =-=-=∴在Rt ADG 中,AD ===故答案是:(1)见详解(2)①结论:222BD FC DF +=,证明见详解②【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质.综合性较强,属中档题,学会灵活应用相关知识点进行推理证明.22.②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅,利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒,利用勾股定理求出BE ,即可求得点B 到直线AE 的距离;②根据①的结论,利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论; ③在Rt AHB 中,利用勾股定理求得2AB ,再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆; ④当A P C 、、共线时,PC 最小,利用对称的性质,AB BC =的长,再求得AC 的长,即可求得结论;⑤先证得ABP ADE ≅,得到ABP ADE ∠=∠,根据条件得到ABP NAB ∠=∠,利用互余的关系即可证得结论.【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形,∴90BAD ∠=︒,90EAP ∠=︒,AB AD =,AE AP =,45APE AEP ∠=∠=︒, ∴EAB PAD ∠=∠, ∴()ABE ADP SAS ≅,∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒,∴222PE BE PB +=,∵AE AP ==90EAP ∠=︒,∴2PE ==,∴2222BE +=,解得:BE =作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ,∵45AEP ∠=︒,90PEB ∠=︒,∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒, ∴26sin 45322HB BE =︒==, ∴点B 到直线AE 的距离为6,故①错误; ②由①知:ABE ADP ≅,2EP =,3BE =,∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯⨯+⨯⨯ 13=+,故②正确;③在Rt AHB 中,由①知:62EH HB ==, ∴62AH AE EH =+=+, 22222256623AB AH BH ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭, 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+,故③正确; ④因为AC 是定值,所以当A P C 、、共线时,PC 最小,如图,连接BC ,∵A C 、关于 BD 的对称, ∴523AB BC ==+, ∴225231043AC BC ==+=+,∴ min PC AC AP =-,10432=+-,故④错误;⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形,∴90BAD ∠=︒,90EAP ∠=︒,AB AD =,AE AP =, 在ABP 和ADE 中,AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()ABP ADE SAS ≅,∴ABP ADE ∠=∠,∵AN BN =,∴ABP NAB ∠=∠,∴EAN ADE ∠=∠,∵90EAN DAN ∠+∠=︒,∴90ADE DAN ∠+∠=︒,∴AN DE ⊥,故⑤正确;综上,②③⑤正确,故答案为:②③⑤.【点睛】本题是三角形的综合题,主要考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理的应用,三角形的面积公式,综合性强,全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键.23.(1)∠CBD=20°;(2)AD=164;(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】(1)根据折叠可得∠1=∠A=35°,根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°,进而得到∠CBD=20°;(2)根据折叠可得AD=DB,设CD=x,则AD=BD=8-x,再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=(8-x)2,再解方程可得x的值,进而得到AD的长;(3)根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+,进而得到AC•BC=2m+2,再在Rt△CAB中,CA2+CB2=BA2,再把左边配成完全平方可得CA+CB的长,进而得到△BCD的周长.【详解】(1)∵把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合,∴∠1=∠A=35°,∵∠C=90°,∴∠ABC=180°-90°-35°=55°,∴∠2=55°-35°=20°,即∠CBD=20°;(2)∵把△ABC沿直线DE折叠,使△ADE与△BDE重合,∴AD=DB,设CD=x,则AD=BD=8-x,在Rt△CDB中,CD2+CB2=BD2,x2+62=(8-x)2,解得:x= 74,AD=8-74=164;(3)∵△ABC 的面积为m+1,∴12AC•BC=m+1,∴AC•BC=2m+2,∵在Rt△CAB中,CA2+CB2=BA2,∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC,∴(CA+BC)2=m2+4m+4=(m+2)2,∴CA+CB=m+2,∵AD=DB,∴CD+DB+BC=m+2.即△BCD的周长为m+2.【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换,以及勾股定理,完全平方公式,关键是掌握勾股定理,以及折叠后哪些是对应角和对应线段.24.(1)见解析;(2)27BC =.【分析】(1)由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形,又由平行进行角度间的转化可得出结论.(2)连接AC 交BD 于点O ,由题意可证AC 垂直平分BD ,△ABD 是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4,通过证明△EDF 是等边三角形,可得DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC ,BC 的长.【详解】(1)证明:∵AB AD =,=60A ∠︒,∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ,∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.(2)解:连接AC 交BD 于点O ,∵AB AD =,BC DC =,∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形,8AB =∴8AD BD AB ===,∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ,∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中, ∴2223OC CF OF =-=. 在Rt △BOC 中, ∴22224(23)27BC BO OC =+=+=. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.25.(1)13,17,10,112;(2)图见解析;7. 【分析】(1)利用勾股定理求出AB ,BC ,AC ,理由分割法求出△ABC 的面积.(2)模仿(1)中方法,画出△PMN ,利用分割法求解即可.【详解】解:(1)如图1中,AB =22AE BE +=2232+=13,BC =22BD CD +=2214+=17,AC =22AF CF +=2213+=10,S △ABC =S 矩形DEFC ﹣S △AEB ﹣S △AFC ﹣S △BDC =12﹣3﹣32﹣2=112, 故答案为13,17,10,112. (2)△PMN 如图所示.S △PMN =4×4﹣2﹣3﹣4=7,故答案为7.【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键.26.(1)CF FH =,证明见解析;(2)依然成立,点E 与点C 之间的距离为333-.理由见解析.【分析】(1)做辅助线,通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形.证出CEF FGH ≌,利用全等的性质即可得到CF FH =.(2)设AH ,DF 交于点G ,可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ,从而得到CF FH =,当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时,6CF AC ==.利用勾股定理可以求DE 、CE 的长,即可求出CE 的长,即可求得点E 与点C 之间的距离.【详解】(1)CF FH =证明:延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,∴90EDF ∠=︒,ADG 与DEF 是等腰直角三角形.∴45AGD DEF ∠=∠=︒,AD DG =,90DCF CFD ∠+∠=︒,∴135CEF FGH ∠=∠=︒,∵点D 是AC 的中点,∴132CD AD AC ===,∴CD DG = ∴CE FG =∵FH CF ⊥于点F ,∴90CFG ∠=︒,∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =;(2)依然成立理由:设AH ,DF 交于点G ,由题意可得出:DF=DE ,∴∠DFE=∠DEF=45°,∵AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,∵DF∥BC,∴∠CBA=∠FGB=45°,∴∠FGH=∠CEF=45°,∵点D为AC的中点,DF∥BC,∴DG=12BC,DC=12AC,∴DG=DC,∴EC=GF,∵∠DFC=∠FCB,∴∠GFH=∠FCE,在△FCE和△HFG中CEF FGHEC GFECF GFH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△FCE≌△HFG(ASA),∴HF=FC.由(1)可知ABC△和CFH△均为等腰直角三角形当他们面积相等时,6CF AC==.∴2233DE DF CF CD==-=∴333CE DE DC=-=-∴点E与点C之间的距离为333-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理,学会利用全等和等腰三角形的性质,借助勾股定理解决问题.27.(1)(0,3);(2)DF OE=;(3)93233+【分析】(1)由等边三角形的性质得出6OB=,12AB AC BC===,由勾股定理得出OA ==A 的坐标;(2)由等边三角形的性质得出AD AE =,AF AO =,60FAO DAE ∠=∠=︒,证出FAD OAE ∠=∠,由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆,即可得出DF OE =;(3)证出90AGO ∠=︒,求出9AG =,由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠,证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒,由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案.【详解】解:(1)ABC ∆是等边三角形,点0()6,B -,点(6,0)C ,6OB ∴=,12AB AC BC ===,OA === ∴点A 的坐标为(0,;(2)DF OE =;理由如下:ADE ∆,AFO ∆均为等边三角形,AD AE ∴=,AF AO =,60FAO DAE ∠=∠=︒,FAD OAE ∴∠=∠,在FAD ∆和OAE ∆中,AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()FAD OAE SAS ∴∆≅∆,DF OE ∴=;(3)60AOF ∠=︒,30FOB ∴∠=︒,60ABO ∠=︒,90AGO ∴∠=︒,AFO ∆是等边三角形,AO =·sin 609AG OA ∴=︒==, FAD OAE ∆≅∆,AOE AFD ∴∠=∠,30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠,30AOD AFD ∴∠+∠=︒,FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠,60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒,AG OF ⊥,AOF ∆为等边三角形,G ∴为斜边OF 的中点,1122DG OF ∴==⨯=ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目,考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.28.(1)1(491)2-;1(491)2+;(2)21(1)2n -;21(1)2n +;(3)21m -;21m +;(4)10;26; 12;35;【解析】【分析】(1)依据规律可得,如果勾为7,则股24=1(491)2-, 弦25=1(491)2+; (2)如果勾用n (n≥3,且n 为奇数)表示时,则股=21(1)2n -, 弦=21(1)2n +; (3)根据规律可得,如果a ,b ,c 是符合同样规律的一组勾股数,a=2m (m 表示大于1的整数),则b=m 2-1,c=m 2+1;(4)依据柏拉图公式,若m 2-1=24,则m=5,2m=10,m 2+1=26;若m 2+1=37,则m=6,2m=12,m 2-1=35.【详解】解:(1)依据规律可得,如果勾为7,则股24=1(491)2-, 弦25=1(491)2+; 故答案为:1(491)2-;1(491)2+; (2)如果勾用n (n≥3,且n 为奇数)表示时,则股=21(1)2n -, 弦=21(1)2n +; 故答案为:21(1)2n -;21(1)2n +; (3)根据规律可得,如果a ,b ,c 是符合同样规律的一组勾股数,a=2m (m 表示大于1的整数),则b=m 2-1,c=m 2+1;故答案为:m 2-1,m 2+1;(4)依据柏拉图公式,若m2-1=24,则m=5,2m=10,m2+1=26;若m2+1=37,则m=6,2m=12,m2-1=35;故答案为:10、26;12、35.【点睛】此题主要考查了勾股数的定义,及勾股定理的逆定理:已知△ABC的三边满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形.29.(1)S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩(2)10,103⎛⎫⎪⎝⎭(3)存在,(6,6)或(6,1027)-,(6,272)+【解析】【分析】(1)当P在AC段时,△BPD的底BD与高为固定值,求出此时面积;当P在BC段时,底边BD为固定值,用t表示出高,即可列出S与t的关系式;(2)当点B的对应点B′恰好落在AC边上时,设P(m,10),则PB=PB′=m,由勾股定理得m2=22+(6-m)2,即可求出此时P坐标;(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.【详解】解:(1)∵A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),∴OA=6,OB=10,当点P在线段AC上时,OD=2,BD=OB-OD=10-2=8,高为6,∴S=12×8×6=24;当点P在线段BC上时,BD=8,高为6+10-t=16-t,∴S=12×8×(16-t)=-4t+64;∴S与t之间的函数关系式为:240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩();(2)设P(m,10),则PB=PB′=m,如图1,∵OB′=OB=10,OA=6,∴AB′22OB OA-',∴B′C=10-8=2,∵PC=6-m,∴m2=22+(6-m)2,解得m=10 3则此时点P的坐标是(103,10);(3)存在,理由为:若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图2,①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,根据勾股定理得:CP1228627-=∴AP1=10−7,即P1(6,10-27②当BP2=DP2时,此时P2(6,6);③当DB=DP3=8时,在Rt△DEP3中,DE=6,根据勾股定理得:P3228627-=,∴AP3=AE+EP3=7+2,即P3(6,27),综上,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,10-276,7+2).【点睛】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,注意分类讨论思想和方程思想的运用.30.(1)7;(2)证明见解析.【解析】【分析】()1由等边三角形的性质可求6AB BC==,132BG BC==,1DG=,由勾股定理可求AG,AD的长;()2①想法1:过点A作AM DF⊥于点M,作AH DE⊥,交DE的延长线于点H,由。
八年级数学下册第一次月考试卷(附答案)一.单选题。
(共40分)1.若m>n,下列结论错误的是()A.m+2>n+2B.m-2>n-2C.2m>2nD.﹣2m>﹣2n2.x的3倍与5的差不大于4,用不等式表示为()A.3x+5≤4B.3x+5<4C.3x-5<4D.3x-5≤43.函数y=kx+b的图象如图所示,关于x的不等式kx+b>0的解集为()A.x>0B.x<0C.x<2D.x>2(第3题图)(第4题图)(第8题图)4.一次函数y=kx+b的图像如图所示,当y<2时,x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<3D.x>35.﹣3x≤9的解集在数轴上可表示为()A. B. C. D.6.已知点P(3-m,m-1)在第二象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.7.关于x的不等式x+a2≥2x-13的解集为x≤﹣1,则a的值是()A.0B.1C.﹣1D.﹣138.一次函数y=3x+b和y=ax-3的图象如图所示,交点P(﹣2,﹣5),则不等式3x+b>ax-3的解集在数轴上表示正确的是()A. B.C. D.9.某种商品的进件为80元,出售时标价120元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保证利润率不低于5%,则至少打几折,如果该商品打x 折销售,则不等式中正确表示该商品的促销方式的是( )A.120x ≥80×5%B.120x -80≥80×5%C.120×x10≥80×5% D.120×x10-80≥80×5% 10.关于x 的不等式组{x -m <07-2x ≤1的整数解共有4个,则m 的取值范围是( )A.6<m <7B.6≤m <7C.6≤m ≤7D.6<m ≤7 二.填空题。
(共24分)11.若a <b ,则1-3a 1-3b (填>、<或=) 12.若关于x 的不等式组{x >2x >m的解集是x >2,则m 的取值范围是 .13.已知关于x 的不等式(1-a )x >3的解集为x <31-a,则a 的取值范围是 .14.关于x 的方程2x+4=m -x 的解为负数,则m 的取值范围是 . 15.已知关于x 、y 的二元一次方程组{2x +3y =5ax +4y =2a +3满足x -y >0,则a 的取值范围是 .16.对于任意实数a 、b 定义一种运算:a ★b=ab -a+b -2,例如2★5=2×5-2+5-2=11,请根据上述定义解决问题,若不等式3★x <2,则不等式的正整数解是 . 三.解答题。