n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
b i1 n
(xi x)2
i1
i1 n
xi2
2
nx
i1
a y bx
其中－x ＝1n n xi ，－y ＝1n n yi ，(－x ，－y )称作_样__本__点__的__中__心___.
i1
×(176－176)＋(176－173)×(182－176)＝18，
3
(xi－ x )2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.
i1
∴b^＝1188＝1.∴a^＝ y －b^ x ＝176－173＝3. ∴回归直线方程为^y＝b^x＋a^＝x＋3. ∴可估计孙子的身高为 182＋3＝185(cm).
xi yi nx y
xi2
2
nx
，a^＝－y －b^－x .其中－x ＝1n
n i1
xi
，－y ＝1n
n i1
yi
，点(－x ，
i1
－y )称为样本点的中心，回归直线都经过样本点的中心.
【互动探究】
1.根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
y
4.0
2.5 －0.5 0.5
7 －2.0
得到的回归方程为^y＝b^x＋a^，则( )
有网友为此进行了调查，在参加调查的 2548 名男性公民中有 1560 名持反对意见，2452 名女性公民中有 1200 人持反对意见， 在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有
无关系时，用什么方法最有说服力( )
A.平均数与方差
B.回归直线方程
C.独立性检验
D.概率
解析：由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每 一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完 全随机统计，符合 2×2 列联表的要求.故用独立性检验最有说 服力.
像这类变量称为分类变量.
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设
有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1， y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为
2×2 列联表
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计
a＋b c＋d a＋b＋c＋d
1.变量间的关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另 一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关 系.
(2)将样本中 n 个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角 坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图.
(3)正相关、负相关. ①在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，两个
n
( yi yi )2
R2＝1－
i1 n
.
( yi y)2
i1
R2 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合
效果越好.在线性回归模型中，R2 表示解释变量对于预报变量变
化的贡献率，R2 越接近于 1，表示回归的效果越好.
3.独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，
由于该部分内容的特殊性， 高考对该部分的考查一直 非 常 慎 重 .高考在该部分 的主要命题点就是回归分 析和独立性检验的基础知 识和简单应用.因此，复 习时要掌握好回归分析和 独立性检验的基本思想、 方法和基本公式.此部分 内容也可能结合概率统计 的其他内容命制综合解答 题.另外，复习时要把独 立性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ验作为重点
答案：185
考点 2 回归分析的综合运用 例 2：(2015 年新课标Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种 产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：千元)对年销售量 y(单 位：t)和年利润 z(单位：千元)的影响，对近 8 年的宣传费 xi 和 年销售量 yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点 图(如图 9-11-1)及一些统计量的值.
变量的这种相关关系称为正相关. ②在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个
变量的这种相关关系称为负相关.
2.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种 常用方法. (2)线性相关关系： 观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大 致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关 系，这条直线叫做回归直线. (3)回归直线的求法：
图 9-11-1
xy 46.6 563
w
8 ( xi－－x )2 8 ( wi－－w )2
i1
i1
6.8 289.8
1.6
8
(
xi－－x )(yi－－y )
i1
1469
8
(
wi－－w )(yi－－y )
i1
108.8
表中 wi＝ xi ， w ＝18 8 i . i1
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx 与 y＝c＋d
2012年新课标第3题考查样本的 相关系数； 2014年新课标 Ⅱ 第 19题考查非 线性拟合、线性回归方程求法， 利用回归方程进行预报预测； 2015年新课标 Ⅰ 第 19题考查非 线性拟合、线性回归方程求法， 利用回归方程进行预报预测； 2016年新课标 Ⅲ 第 18题考查非 线性拟合、线性回归方程求法， 利用回归方程进行预报预测； 2017年新课标 Ⅰ 第 19题(1)考查 样本的相关系数；新课标 Ⅱ 第 19题考查独立性检验
＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.b^>b′，a^>a′ C.b^<b′，a^>a′
B.b^>b′，a^<a′ D.b^<b′，a^<a′
解析：由表格知，－x ＝261＝72，－y ＝163. 则b^＝1×0＋2×122＋＋232×＋13＋2＋4×42＋3＋525＋×632＋－66××472－2 6×72×163 ＝57， a^＝－y －b^－x ＝163－57×72＝－13. 由两组数据(1,0)和(2,2)，得－x ′＝32，－y ′＝1.
②当年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回
归直线 v＝α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
β^＝
i1
(ui
n
u)(i
)
，α^＝－υ －β^－u .
(ui u)2
i1
解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适合作为年销售 y
构造一个随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d， 其中 n＝___a_＋__b_＋__c_＋__d__为样本容量.
(3)独立性检验： 利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称 为独立性检验.
1.第 31 届夏季奥林匹克运动会，中国获 26 金，18 银，26 铜共 70 枚奖牌居奖牌榜第二，并打破 3 次世界纪录.由此许多 人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见.
第11讲 回归分析与独立性检验
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.会作两个有关联变量的数 据的散点图，会利用散点图 认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程. 3.了解下列一些常见的统计 方法，并能应用这些方法解 决一些实际问题. (1)了解独立性检验(只要求 2×2列联表)的基本思想、方 法及其简单应用. (2)了解回归的基本思想、方 法及其简单应用
则 b′＝1×102＋＋22×2－2－2×2×32322×1＝2， a′＝－y ′－b′－x ′＝1－2×32＝－2. 综上所述，b^<b′，a^>a′.故选 C.
答案：C
【 规 律 方 法 】 回 归 直 线 方 程 为 ^y ＝ b^ x ＋ a^ ， 其 中 b^ ＝
n
i1 n
相关系数.
②当 r>0 时，表明两个变量正相关；
当 r<0 时，表明两个变量__负__相__关__.
r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强.r
的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关
关系.通常|r|大于 0.75 时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(5)相关指数：
故可以排除选项 C 和 D.
因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选
项 A 和 B 中的直线方程进行检验，可以排除 B.故选 A.
3.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运
动，得到如下的列联表：
项目
男
爱好
40
不爱好
20
总计
60
女
总计
20
60
30
50
50
110
由 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d算得：
K2＝110×60×405×0×306－0×205×0 202≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
k
3.841
6.635
参照附表，得到的正确结论是( A )
0.001 10.828
A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
A.a^>0，b^<0
B.a^>0，b^>0
C.a^<0，b^<0
D.a^<0，b^>0
8 －3.0
