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第二章习题解答1、求下列序列的z 变换()X z ，并标明收敛域，绘出()X z 的零极点图。
(1) 1()()2nu n (2) 1()()4nu n - (3) (0.5)(1)nu n --- (4) (1)n δ+(5) 1()[()(10)]2nu n u n -- (6) ,01na a <<解：(1) 00.5()0.50.5nn n n zZ u n z z ∞-=⎡⎤==⎣⎦-∑，收敛域为0.5z >，零极点图如题1解图(1)。
(2) ()()014()1414n nn n z Z u n z z ∞-=⎡⎤-=-=⎣⎦+∑，收敛域为14z >，零极点图如题1解图(2)。
(3) ()1(0.5)(1)0.50.5nnn n zZ u n z z --=-∞-⎡⎤---=-=⎣⎦+∑，收敛域为0.5z <，零极点图如题1解图(3)。
(4) [](1Z n z δ+=，收敛域为z <∞，零极点图如题1解图(4)。
(5) 由题可知，101010910109(0.5)[()(10)](0.5)()(0.5)(10)0.50.50.50.50.50.5(0.5)n n nZ u n u n Z u n Z u n z z z z z z z z z z z --⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⋅=-----==--收敛域为0z >，零极点图如题1解图(5)。
(6) 由于()(1)nn n a a u n a u n -=+--那么，111()(1)()()()nn n Z a Z a u n Z a u n z z z a z a z a a z a z a ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---⎣⎦⎣⎦⎣⎦=----=-- 收敛域为1a z a <<，零极点图如题1解图(6)。
(1) (2) (3)(4) (5) (6)题1解图2、求下列)(z X 的反变换。
第一章2、已知线性移不变系统的输入为()x n ，系统的单位抽样相应为()h n ，试求系统的输出()y n 。
（2）3()(),x n R n = 4()()h n R n =解：此题考察线性移不变系统的输出为激励与单位抽样相应的卷积，即：()()*(){1,2,3,3,2,1}y n x n h n == 4、判断下列每个序列的周期性，若是周期性的，试确定其周期。
3()cos()78x n A n ππ=-解：03 ()cos()78314 N=2/2/7314,3x n A n k k k k ππππωπ=-==∴=是周期的，周期是。
6、试判断系统的线性和移不变性。
()2(2) ()y n x n =⎡⎤⎣⎦ 解：()2()y n x n =⎡⎤⎣⎦()[]()[]2111)(n x n x T n y ==()()[]()[]2222n x n x T n y ==()()()[]()[]212121n bx n ax n by n ay +=+()()[]()()[]()[]()[]()()()()[]()()n by n ay n bx n ax T n x n abx n bx n ax n bx n ax n bx n ax T 2121212221221212 +≠+++=+=+即()[]()[]()()[]()[]()系统是移不变的即∴-=--=--=-m n y m n x T m n x m n y m n x m n x T 228、以下序列是系统的单位抽样响应()h n ，试说明系统的因果性和稳定性。
（4）3()nu n - 解：因果性：当0n <时，()0h n ≠，∴是非因果的；稳定性：0123|()|3332n h n •••∞--=-∞=+++=∑，∴是稳定的。
11、有一理想抽样系统，抽样角频率为6s πΩ=，抽样后经理想低通滤波器()a H j Ω还原，其中1,3()20,3a H j ππ⎧Ω<⎪Ω=⎨⎪Ω≥⎩今有两个输入，12()cos 2,()cos5a a x t t x t t ππ==。
第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-x T x x T T T x x TT T T T xT x N xT T x X xT x x xNx x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X Y X M N T XY TXY M N Y XY X T YXNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ 。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=x Tx x xx ee x T ee TTx x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m xa a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--T Hy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x x x x x E T）（、解][2][][T T T yy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
《数字信号处理》第6章课后作业答案6.1（1）已知IIR 数字滤波器的系统函数为 (1) 232164016()81061z H z z z z -+=-+- 试写出滤波器的差分方程，并分别画出直接I 型、直接Ⅱ型、转置直接Ⅱ型、级联型和并联型结构图。
解:经化解原式可得：123123252()5311448z z z H z z z z -------+=-+-直接I 型：直接Ⅱ型:级联型：注意，对于级联型，一定要化成负幂次，再写系数！经对原式进行分解得：11211221 2.5()110.2512z z z H z z z z-------+=⨯--+并联型： 注意：系数b,a 是()H z z的系数！ b=[0,0,16,-40,16]; a=[8,-10,6,-1,0]; [K,z,d]=residue(b,a) KK1=[K(1),K(2)]; zz1=[z(1),z(2)];[b2,a2]=residue(KK1,zz1,0) 经原式分解得:111211.2 4.8 5.6()1610.2510.5z H z z z z -----=-++--+6.1（2）略 6.4Matlab 程序： clear; fp=5000; wp=2*pi*fp; fs=10000; ws=2*pi*fs; ap=3; as=30;[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s'); [B,A]=cheby1(N,ap,wc,'s') freqs(B,A);系统函数：17439213171.220510()18271 1.153910 1.25510 1.72410H s s s s s ⨯=++⨯+⨯+⨯ 图：6.6试设计一个巴特沃斯型模拟带通滤波器，并用Matlab 验证结果，要求带宽为200Hz ，中心频率为1000Hz ，通带内衰减不大于3dB,在频率小于830Hz 或大于1200Hz 处的衰减不小于25dB. 解：（1） 模拟带通滤波器的技术指标要求为：BW Ω=400πrad/s; 0Ω=2210πrad/s; p α=3dB; s α=25dB; 因为：ph pl Ω-Ω=400π；ph pl Ω•Ω=4000000π2； 所以可得：ph Ω=2210πrad/s; pl Ω=1810πrad/s; sh Ω=2400πrad/s; pl Ω=ll1810πrad/s; (2) 归一化频率为： 2210 5.525;400ph ph BWηΩ===Ω 18104.525;400pl pl BW ηΩ===Ω 24006;400sh sh BW ηΩ===Ω 1660 4.15;400sl sl BW ηΩ===Ω 2025;sh sl ηηη==（3）归一化原型模拟低通滤波器()a G p 的技术指标要求为：1;p λ= 222200min sh sl s sh sl ηηηηληη⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦， ；s λ=1.83；（4）设计归一化原型低通滤波器：()a G p0.10.110.12101lg 101 4.762;2lg (101) 1.029;p s ss Ns N αααλλλ-⎛⎫- ⎪-⎝⎭≥-==-=c 所以 N=5;（5）查表得： 23451()1 3.3261 5.236 5.2361 3.2361an G u u u u u u=+++++ （6）()()ca an pu G p G u λ==（7）2()()()ph pl ph pla s p s Ha s G p Ω-Ω=+ΩΩ=Matlab 程序：fp=[905,1105]; fs=[830,1200]; wp=2*pi*fp; ws=2*pi*fs; ap=3; as=25;[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,'s'); %巴特沃斯型模拟带通滤波器 [B,A]=butter(N,wc,'s'); f=500:1500; w=2*pi*f;H=freqs(B,A,w); subplot(2,1,1);plot(f,20*log10(abs(H))); grid on;axis([500,1500,-80,5]); xlabel('f/Hz'); ylabel('幅度/dB'); subplot(2,1,2); plot(f,angle(H)); grid on;axis([500,1500,-5,5]); xlabel('f/Hz'); ylabel('相位/dB');6.7 解：0.1T s =;112()(2)(3)23a s H s s s s s +-==+++++;122;3;s s ∴=-=-23122131(),,2()11T T T T H z z e z e T TH z e Z e Z ------==-∴=+--所以相应的的极点为Matlab 程序： clear; b=[1,1]; a=[1,5,6]; Fs=10;[B,A]=impinvar(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A,'whole'); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));6．8试用双线性变换法设计一个巴特沃斯型低通数字滤波器，并用matlab ，验证结果，给定技术指标为100,300,3,20,p s p s f Hz f Hz dB dB αα====采样频率为1000Hz 。
第一章离散时间系统4．判断下列每个序列是否是周期的，若是周期的，试确定其周期。
（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=873cos )(ππn A n x （2）⎪⎭⎫⎝⎛=n A n x π313sin )( （3）)6()(π-=nj e n x解：（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-=873cos )(ππn A n x 可得31473220==ππωπ，所以)(n x 的周期是14。
（2）由⎪⎭⎫⎝⎛=n A n x π313sin )(可得136313220==ππωπ，所以)(n x 的周期是6。
（3）由⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-6sin 6cos 6sin 6cos )()6(n j n n j n e n x nj πππ，所以)(n x 是非周期的。
6．试判断（1）∑-∞==nm m x n y )()(是否是线性系统？解：根据∑-∞==nm m x n y )()(可得 ∑-∞===nm m x n x T n y )()]([)(111，∑-∞===nm m xn x T n y)()]([)(222∑∑∑∑∑-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=+=+=++=+nm n m n m nm nm n xb n x a n bx m ax n bx n ax T n x b n x a n by n ay )()()]()([)]()([)()()()(2121212121所以系统是线性的。
9．列出图P1-9系统的差分方程并按初始条件y(n)=0，n<0，求输入为x(n)=u(n)时的输出序列y(n)，并画图。
解：x 1(n)=x(n)+x 1(n-1)/4 x 1(n)- x 1(n-1)/4=x(n) x 1(n-1)- x 1(n-2)/4=x(n-1) y(n)=x 1(n)+x 1(n-1) y(n-1)/4=x 1(n-1)/4+x 1(n-2)/4y(n)-y(n-1)/4=x(n)+x(n-1) y(n) =x(n)+x(n-1) +y(n-1)/4y(0)=u(0)=1y(1)=u(1)+u(0)+y(0)/4=2+1/4y(2)=u(2)+u(1)+y(1)/4=2+(2+1/4)/4=2(1+1/4)+(1/4)2 y(3)=u(3)+u(2)+y(2)/4==2(1+1/4+(1/4)2)+(1/4)3y(n)=2(1+1/4+……+(1/4)n-1)+(1/4)ny(n)=2(1-(1/4)n )/(1-1/4)+(1/4)n =[8/3-5/3(1/4)n ]u(n)11．有一理想抽样系统，抽样角频率为π6=Ωs ，抽样后经理想低通滤波器)(ωj H a 还原，其中：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=πωπωω30321)(j H a令有两个输入信号)2cos()(1t t x a π=，)5cos()(12t t x a π=输出信号有没有失真？为什么？解：抽样频率大于两倍信号最大频率则无失真，)2cos()(1t t x a π=信号角频率为2π<3π，y a1(n)无失真。
第3章 离散时间信号与系统时域分析3．1画出下列序列的波形（2）1()0.5(1)n x n u n -=- n=0:8; x=(1/2).^n;n1=n+1; stem(n1,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');(3) ()0.5()nx n u n =-（）n=0:8; x=(-1/2).^n;stem(n,x);axis([-2,9,-0.5,3]); ylabel('x(n)'); xlabel('n');3.8 已知1,020,36(),2,780,..n n x n n other n≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪⎩,14()0..n n h n other n≤≤⎧=⎨⎩，求卷积()()*()y n x n h n =并用Matlab 检查结果。
解：竖式乘法计算线性卷积： 1 1 1 0 0 0 0 2 2）01 2 3 4）14 4 4 0 0 0 0 8 83 3 3 0 0 0 0 6 62 2 2 0 0 0 0 4 41 1 1 0 0 0 02 21 3 6 9 7 4 02 6 10 14 8）1x (n )nx (n )nMatlab 程序:x1=[1 1 1 0 0 0 0 2 2]; n1=0:8; x2=[1 2 3 4]; n2=1:4; n0=n1(1)+n2(1);N=length(n1)+length(n2)-1; n=n0:n0+N-1; x=conv(x1,x2); stem(n,x);ylabel('x(n)=x1(n)*x2(n)');xlabel('n'); 结果：x = 1 3 6 9 7 4 0 2 6 10 14 83.12 (1) 37πx （n ）=5sin(n) 解：2214337w πππ==，所以N=14 (2) 326n ππ-x （n ）=sin()-sin(n)解：22211213322212,2122612T N w T N w N ππππππ=========，所以(6) 3228n π-x （n ）=5sin()-cos(n) 解：22161116313822222()T N w T w x n ππππππ=======，为无理数，所以不是周期序列所以不是周期序列3.20 已知差分方程2()3(1)(2)2()y n y n y n x n --+-=，()4()nx n u n -=，(1)4y -=，(2)10,y -=用Mtalab 编程求系统的完全响应和零状态响应，并画出图形。
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一、单选题（每题3分，共15分）1、图示的序列为________。
A 、)(n uB 、)(n δC 、)(6n RD 、)(n u a n2、数字信号处理之前，有一个预滤波的过程，为的是________。
A 、滤去高频成分B 、滤去低频成分C 、滤去高幅值成分D 、滤去外来信号3、如果一个系统是因果的，则要求其Z 变换收敛域________。
A 、包含∞点B 、包含零点C 、包含单位圆D 、 包含∞点和单位圆4、基本信号流图中,支路增益只能是________。
A 、常数B 、1-ZC 、变量D 、常数或1-Z5、无限长脉冲响应基本网络结构中，________的运算速度是最高的.A 、直接型B 、 级联型C 、频率采样结构D 、并联型二、连线题（每题3分，共15分)请按例对下图进行连线处理例：u (n )单位阶跃序列DIF —FFT FIR IFT H （z ）DFT 频域抽取快速傅里叶变换有限长单位脉冲响应基本网络结构傅里叶反变换离散傅里叶变换系统函数三、计算题（共3小题,50分）1、已知()(1)()x n n n δδ=--+，1()2()(1)(2)2h n n n n δδδ=+++-，求y （n )2、已知()2[()(10)]n x n u n u n -=-- ;求其Z 变换及收敛域3、已知：序列h （n ）是实因果序列，其傅氏变换实部为：ωωcos 1)(+=j R e H ，1）求原序列h （n ）2）求原序列的傅立叶变换3）求该系统的系统函数4）求系统函数的收敛域四、作图题（每题10分，共20分）1、已知系统函数为11210.5()10.20.8z H z z z ---+=-+,求其直接型结构的信号流图 2、做出序列 52(1)R n - 的波形图参考答案一、单选题：(3分×5)B 、A 、A 、D 、D二、连线题（3分×5）DIF —FFT FIR IFT H （z ）DFT 频域抽取快速傅里叶变换有限长单位脉冲响应基本网络结构傅里叶反变换离散傅里叶变换系统函数三、计算题（共3小题，50分）1、共15分.()()()....................................................31()[2()(1)(2)]212()(1)(2) (32)112[(1)()][()(1)][(3)22y n x n h n x n n n n x n x n x n n n n n n δδδδδδδδδ=*=*+++-=+++-=--++-+++--+分分(2)]......3112(1)2()()(1)(3)(2). (322)11(3)(2)2(1)()(1) (322)n n n n n n n n n n n n δδδδδδδδδδδ-=--+-++--+-=--+---+++分分分 2、共15分。
第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。
2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。
3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。
4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。
5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。
6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。
7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。
8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。
9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。
1．、2． 用冲激响应不变法将以下 )(s H a变换为变换为 )(z H ，抽样周期为T 。
为任意正整数 ,)()( )2()()()1(022n s s As H b a s as s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nTt a===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（②第（22）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,na n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出可求出 )()()(kT Th t Th k h a kTt a===，|又 dz z dX z k kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e e t h tjb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nT a jb nT a T h n Th nT e e u n -+--==+ 11011() () 211naT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=z e bT z e bT z e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L 可得：可得： n a s s As H )()(0-=))()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则 )()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==- dzz dX zk kx az k u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n kkT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e ATz H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(s s s H a ++=而而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs 来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π：设系统抽样频率为设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
第六章 习题解答(部分)［1］解：对采样数字系统，数字频率ω与模拟角频率Ω之间满足线性关系T Ω=ω。
因此，当时，ms T 01.0=TT cc 8πω==Ω，Hz T f c c 6251612==Ω=π 当s T µ5=时， TT c c 8πω==Ω，Hz T f c c 125001612==Ω=π［2］解：的极点为：，)(s H a jb a s +−=1jb a s −−=1将部分分式展开： )(s H a )(21)(21)(jb a s j jb a s js H a +−−−+−−−=所以有1)(1)(121121)(−+−−−−−−+−=z e j z e j z H T jb a T jb a通分并化简整理得：TT T e z bT e z bTe z z H ααα2211cos 21sin )(−−−−−−+−=［3］解：归一化原型低通滤波器与带通滤波器之间的频率变换关系为：B⋅ΩΩ−Ω=Ω22s rad p p /1002210×=ΩΩ=Ωπ，s rad B /2002×=π，dB p 2=δs rad s /80021×=Ωπ，s rad s /124022×=Ωπ，dB s 15=δ因此，归一化原型低通滤波器的通带频率p Ω取1，通带处最小衰减为2dB 。
同理可得归一化原型低通滤波器的阻带频率分别为：9375.31221=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs ， 1597.62222=ΩΩ−Ω=ΩΩ=Ωs Bs因此，归一化原型低通滤波器的阻带频率9375.3),min(21=ΩΩ=Ωs s s ，这是因为取较小的频率值，则较大的频率处一定满足衰减要求，阻带处最大衰减为15dB 。
利用巴特沃斯低通滤波器设计归一化原型低通滤波器)(s H 利用归一化原型低通滤波器的指标，得巴特沃斯低通滤波器阶数N444.19372.31lg 2110110lg 5.12.0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−≥N 取，查表的归一化巴特沃斯原型低通滤波器的系统函数 2=N 14142.11)(2++=s s s H LP由归一化原型低通滤波器变换到实际模拟带通滤波器22202220222)(4142.1)()()(202B s sB s s B s s H s H Bs s s LP BP +Ω++Ω+==⋅Ω+= ［4］解：（1）用冲激响应不变法① 确定数字滤波器指标rad p 3/πω=，dB p 3=δ rad s 5/4πω=，dB s 15=δ② 将数字滤波器指标转换为相应的模拟滤波器指标。
