第5章_大数定律和中心极限定理

一、大数定律切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界，那么对辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在，则对任意【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么依概率收敛到_____[答疑编号986305101：针对该题提问]答案：【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布，则。

[答疑编号986305102：针对该题提问]【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布[答疑编号986305103：针对该题提问]答案：C【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为则辛钦大数定律对此序列（）A.适用B.当常数a,b取适当的数值时适用C.不适用D.无法判别[答疑编号986305104：针对该题提问]答案C二、中心极限定理独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布，【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（）[答疑编号986305105：针对该题提问]答案：C。

第五章 大数定律和中心极限定理一、内容提要（一）切贝谢夫不等式 1. 切贝谢夫不等式的内容设随机变量X 具有有限的数学期望E （X ）和方差D （X ），则对任何正数ε，下列不等式成立。

(){}()(){}().1,22εεεεX D X E X P X D X E X P -≤-≤≥-2. 切贝谢夫不等式的意义（1）只要知道随机变量X 的数学期望和方差（不须知道分布律），利用切贝谢夫不等式，就能够对事件(){}ε≥-X E X 的概率做出估计，这是它的最大优点，今后在理论推导及实际应用中都常用到切贝谢夫不等式。

（2）不足之处为要计算(){}ε≥-X E X P 的值时，切贝谢夫不等式就无能为力，只有知道分布密度或分布函数才能解决。

另外，利用本不等式估值时精确性也不够。

（3）当X 的方差D (X )越小时，(){}ε≥-X E X P 的值也越小，表明X 与E (X )有较大“偏差”的可能性也较小，显示出D (X )确是刻画X 与E (X )偏差程度的一个量。

（二）依概率收敛如果对于任何ε＞0，事件{}ε a X n -的概率当n →∞时，趋于1，即{}1lim =-∞→ε a X P n n ，则称随机变量序列X 1,X 2,…,X n ,…当n →∞时依概率收敛于α。

（三）大数定律 1. 大数定律的内容（1）大数定律的一般提法若X 1,X 2,…,X n ,…是随机变量序列，如果存在一个常数序列α1,…,αn ,…，对任意ε＞0，恒有11lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑=∞→ε n i n i n a X n P ， 则称序列{X n }服从大数定律（或大数法则）。

（2）切贝谢夫大数定律设随机变量X 1,X 2,…,X n ,…相互独立，分别有数学期望E(X i )和方差D(X i )，且它们的方差有公共上界C ，即()().,,,2,1, n i C X D i =≤则对于任意的ε＞0，恒有()111lim 11=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑∑==∞→ε n i ni i i n X E n X n P 。

第5章 大数定律和中心极限定理本章教学基本要求1.了解切比雪夫不等式，会用该不等式估算某些事件的概率.2.了解相关大数定律.3.了解相关中心极限定理，会用定理近似计算事件的概率.5.1大数定律一、主要知识归纳1.切比雪夫不等式：设随机变量X 具有均值u X E =)(，方差2)(σ=X D ，则对于任意正数ε，有不等式 22}{εσε≤≥-u X P 成立.2. 切比雪夫大数定理：设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即C X D i <)( )2,1( =i ，则对于任意0>ε，有1})(11{lim 11=<-∑∑==∞→εni i n i i n X E n X n P 成立.3.辛钦大数定理：设⋅⋅⋅,,21X X 相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望u X E k =)(),2,1(⋅⋅⋅=k .作前n 个变量的算术平均值∑=ni i X n 11，则对于任意0>ε，有1}1{lim 1=<-∑=∞→εu X n P ni i n 成立 4.伯努利大数定理：设X 是n 次重复独立试验中事件A 发生的次数，)10(<<p p 是在一次试验中事件A 发生的概率，则对于任意正数ε，有0}{lim =≥-∞→εp nXP n 成立.二、基础练习1．设随机变量X 的数学期望u X E =)(，方差2)(σ=X D ，试利用切比雪夫不等式估计下列概率值：（1）}{σ≥-u X P （2）}3{σ≥-u X P .2．用切比雪夫不等式估计200个新生儿中,男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和女孩的概率均为0.5)3.设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量，其分布函数为)0(arctan 1)(≠+=b bxa x F π，则辛钦大数定理对此序列（ ） A 适用 B 当常数a 、b 取适当数值时适用 C 不适用 D 无法判断5.2中心极限定理一、主要知识归纳：1.独立同分布中心极限定理:设随机变量n X X X ,,,21⋅⋅⋅相互独立服从同一分布，且具有有限的均值与方差，则对任意实数x 有⎰∑∑∑∞--===∞→=<-xt ni i ni i ni in dt ex X D X E XP 2111221})()({lim π成立.2.棣莫佛-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理:设X ～),(p n B ，则对任意实数x ，有)(21})1({lim 22x dt ex p np np X P t xn Φ==<---∞-∞→⎰π成立.二、基础练习1.一加法器同时收到20个噪声电压k V )20,,2,1(⋅⋅⋅=k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间)10,0(上服从均匀分布.记∑==201k kVV ，求}105{>V P 的近似值.2.对于一个学生而言，来参加家长会的家人是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长人数相互独立，且服从同一分布. （1）求参加会议的家长人数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率.本章小结一 本章知识结构图二、综合练习1. 设随机变量X 的数学期望100)(=X E ，方差10)(=X D ，则由切比雪夫不等式有______}12080{≥<<X P .2.一颗骰子连续掷4次,点数总和为X .估计}1810{<<X P .3.生产灯泡的合格率为0.6,求10000个灯泡中合格数在5800~6200的概率.4.一大批种蛋中,良种蛋占80%.从中任取500枚,求其中良种蛋率未超过81%的概率.5.某商店负责供应某地区1000人商品,某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6,假定在这一段时间个人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件).6.对敌人的防御阵地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其数学期望是2，方差是1.69，求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.7.设)50,,2,1( =i X i 是相互独立的随机变量,且它们都服从参数为03.0=λ的泊松分布.记5021X X X Z +++= ,利用中心极限定理计算}3{≥Z P8.设某种器件使用寿命(单位:小时)服从指数分布,其平均使用寿命为20小时,具体使用时是当以器件损坏后立即更换另一新器件,如此继续,已知每个器件进价为a 元,试求在年计划中应为此器件作多少元预算,才可以有95%的把握一年够用(假定一年有2000个工作小时).三、单元测试一、 填空题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X 与Y 相互独立，且1)(-=X E ，1)(=Y E ，2)(2=X E ，3)(2=Y E ，则由切比雪夫不等式有______}6{≥<+Y X P .2．设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是n 个相互独立同分布的随机变量，u X E i =)(，8)(=i X D ，),,2,1(n i ⋅⋅⋅=，对于∑==ni inX X 1，则______}{≤≥-εu X P ，______}4{≥<-u X P . 3．设X ～)6.0,200(B ，当999.0}{≥≤k X P 时，则______≥k . 4．设随机变量10021,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，且1!1}{-==e k k X P i ，⋅⋅⋅=,2,1k ，则______}120{1001=<∑=i i X P .二、选择题：（每小题5分，共20分）1．设随机变量X ～),(2σu N ，则随σ的增大，概率}{σ<-u X P 是（ ） A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定2．设⋅⋅⋅,,21X X 为独立同分布序列，且i X ),2,1(⋅⋅⋅=i 服从参数为λ的指数分布，则（ ）其中dt ex Y t x2221)(-∞-⎰=π.A )(}{lim 1x Y x nnX p ni i n =≤-∑=+∞→λ B )(}{lim 1x Y x nnXp ni in =≤-∑=+∞→C )(}{lim 1x Y x nXp ni in =≤-∑=+∞→λλD )(}{lim 1x Y x n Xp ni in =≤-∑=+∞→λλ3．设随机变量921,,,X X X ⋅⋅⋅相互独立同分布，1)(=i X E ，1)(=i X D ，)9,,2,1(⋅⋅⋅=i ，令∑==919i iXS ，则对任意0>ε，从切比雪夫不等式直接可得（ ）A 2911}1{εε-><-S P B 2991}9{εε-≥<-S PC 2911}9{εε-><-S P D 2911}191{εε-≥<-S P4．假设随机变量⋅⋅⋅,,21X X 相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律的是（ ）A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X XB ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++,,,2,121n X X X nC ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,1,,21,21n X nX X D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,2,21n nX X X 三、计算题：（每小题12分，共60分）1．已知正常成人男性血液中，每一毫升含白细胞数平均为7300，均方差为700，试利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200至9400之间的概率.2．设各零件的重要都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5公斤，均方差为0.1公斤.问5000只零件的总重量超过2510公斤的概率是多少？3．一部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为2毫米，均方差为0.05毫米.规定总长度为20±0.1毫米时产品合格，试求产品合格的概率.4．某工厂生产炭末电阻，在正常生产情况下，废品的概率为0.01，今取500个装成一盒，问废品不超过5个的概率是多少？5．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从木柱中随机取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？第6章 数理统计基础知识本章教学基本要求1.理解总体、样本、统计量等基本概念，了解经验分布函数。

第五章 大数定律和中心极限定理§1 大数定律设X 1,X 2,...X n ,...是一随机变量列，a 1,a 2,...a n ,...是一常数列，令Y n =∑=ni iXn11n=1,2,...,，所谓大数定律就是研究(Y n -a n )收敛到0的定理。

按收敛意义的不同，有弱大数定律和强大数定律。

我们主要介绍弱大数定律，弱大数定律也称大数定律。

契比雪夫不等式设R.V.X ，其2)(,)(σμ==X D X E 都存在，则对任意>ε均有 或一、大数定律定理5.1:(契比雪夫大数定律）若X 1,X 2,...X n ,...相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，即E(X i )=?i , D(X i )=?i 2?C(常数） i=1,2,...则对任意的??0，均有lim ∞→n P{?Y n-E(Y n)???}=1 (5.1)其中Y n=∑=ni iX n 11 定理5.2（伯努利大数定律）设伯努利试验中，事件A 发生的概率为p(0?p?1)，m 为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，则对任意的??0，均有1lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εp n m P n (5.2) 定理5.3 （辛钦大数定律）若X 1,X 2,...,X n,...相互独立同分布，其数学期望存在，即E(X i )=?,i=1,2,...，则对任意的??0，均有111lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμn i i n X n P (5.3) 例:设X 1,X 2,...,X n,...独立同分布，且X i 的k 阶矩m k =E(X i k )存在（k 为正整数），则对任意的??0，均有二、中心极限定理定理5.4 (林德贝格-莱维定理）若X 1,X 2,...,X n,...相互独立同分布，其数学期望和方差均存在且方差大于零，即E(X i )=?,D(X i)=?2?0, i=1,2,...则∑=ni iX 1的标准化随机变量σμn n XY ni in-=∑=1的分布函数)(x F n 对于任意的x 满足即σμn n X ni∑-1的分布函数−→−∞→n )1,0(N .当n 很大时近似公式P <α{σμn n X ni∑-1}β<()()βαΦ-Φ≈.例:为了把问题简化，假定在计算机上进行加法计算时，对每个数都取最接近它的整数（即取整）再相加。