北京市西城区鲁迅中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

D CA (重题：12)北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中试卷 2015.11试卷共五道大题，29道小题.试卷满分120分.考试时间120分钟.一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．二次函数2(1)2y x =-+-的最大值是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：∵2(1)2y x =-+-，∴此函数的顶点坐标是(1,2)--，即当1x =-函数有最大值2-．故选：A ．2. 如果45(0)x y y =≠，那么下列比例式成立的是（ ）A ．45xy= B ．54xy= C ．45x y = D ．54x y=3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，如果AC =3，AB =6， 那么AD 的值为（ ） A. 32 B. 92C.D.4．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，AD ∶BD =1∶2，若△ADE 的面积等于2，则△ABC 的面积等于（ ）A ．6B ．8C ．12D ．185．如图，ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，则cos B 的值是（ ）．A ．12 B C D【解答】解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，由勾股定理，得ABcosBCB AB ===，故选：C ．6．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（）．A ．2(3)1y x =+-B ．2(3)3y x =++C ．2(3)1y x =--D ．2(3)3y x =-+【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为(0,1)，∴平移后抛物线的顶点为(3,1)-，∴新抛物线解析式为2(3)1y x =--，故选：C ．7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ）．A ．0a <，0b <，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a >，0b <，0c >【解答】解：根据二次函数图象的性质，∵开口向下，∴0a <，∵与y 轴交于正半轴，∴0c >， 又∵对称轴02b x a=-<， ∴0b <，所以A 正确．故选A ．8．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B 1的长为 （ ）A. 1B. 2C. 4D. 89．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）．A．0a>B．不等式20ax bx c++>的解集是15x-<<C．0a b c-+>D．当2x>时，y随x的增大而增大【解答】解：A、图象开口方向向下，则0a<，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线2x=，则图象与x轴另一交点坐标为：(1,0)-，∴不等式20ax bx c++>的解集是15x-<<，故此选项正确；C、当1x=-，0a b c-+=，故此选项错误；D、当2x>时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．10．如图，在等边△ABC中，4=AB，当直角三角板MPN 的︒60角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E.设xBP=，yCE=，那么y与x之间的函数图象大致是二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点1(2,)P y -和点2(1,)Q y -分别为抛物线243y x x =-+上的两点，则1y ___________2y ． （用“>”或“<”填空）．【解答】解：∵2243(2)1y x x x =-+=--，∴二次函数图象的对称轴为直线2x =，∵212>->-，∴12y y >．故答案为：>．12．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为 m.13．在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =，则sin B =_________．【解答】解：如图所示，∵在ABC △中，90C ∠=︒，4tan 3A =， ∴设4BC x =，则3AC x =，∴5AB x ， ∴33sin 55AC x B AB x ===． 故答案为：35．14．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．15．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为__________．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为3-，∴0a >．234b a-=-，即212b a =， ∵一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，∴240b am ∆=-≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤，∴m 的最大值为3，故答案为3．16. 如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…．那么A2B2= ，A n B n= ．（n为正整数）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：tan60cos30tan45sin30︒-︒⨯︒+︒．【解答】解：原式11=2=12=．18. 若二次函数23y ax bx=++的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.19. 已知：如图，在ABC△中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED =∠C.（1）求证：△AED∽△ACB；4NMA1A2A3A43B21AE（2）若AB =6，AD = 4，AC =5，求AE 的长.20.如图，ABC △的顶点在格点上，且点(5,1)A --，点(1,2)C --．以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将ABC △放大，画出ABC △放大后的图形A B C '''△并写出A B C '''△各顶点坐标．【解答】解：如图所示：A B C '''△即为所求， (10,2)A '，(10,6)B '，(2,4)C '．21．已知二次函数的解析式是223y x x=--．（1）与x轴的交点坐标是___________，顶点坐标是___________；（）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；y的取值范围是__________．【解答】解：（1）令0y =，则2023x x =--． 解得11x =-，23x =． 抛物线223y x x =--与x 轴交点的坐标为(1,0)-，(3,0)． 2223(1)4y x x x =--=--， 所以它的顶点坐标为(1,4)-；；（3）当21x-<<时，45y-<<；当12x<<时，43y-<<-．∴当22x-<<时，45y-<<．22. 如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距AB为1.7米，求这棵树的高度．【解答】解：由题意，易知30CAD∠=︒，90CDA∠=︒，AD=，CE BE⊥， 1.7DE AB==米，∴tanCD CADAD∠=，∴3CD=．∴3 1.7 4.7CE=+=．答：这棵树的高度为4.7米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，四边形ABCD 中，AC 平分DAB ∠，90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，（1）求证：2AC AB AD =⋅；（2）求证：CE AD ∥；（3）若4AD =，6AB =，求AC AF的值．【解答】（1）证明：∵AC 平分DAB ∠，∴DAC CAB ∠=∠，∵90ADC ACB ∠=∠=︒，∴ADC ACB ∽△△，∴::AD AC AC AB =，∴2AC AB AD =⋅；（2）证明：∵E为AB的中点，∴12CE AB AE==，∴EAC ECA∠=∠，∵DAC CAB∠=∠，∴DAC ECA∠=∠，∴CE AD∥；（3）解：∵CE AD∥，∴AFD CFE∽△△，∴::AD CE AF CF=，∵12CE AB=，∴1632CE=⨯=，∵4AD=，∴43AFCF =，∴74 ACAF=．24．已知抛物线22(21)y x m x m m =--+-．（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线33y x m =-+的一个交点在y 轴上，求m 的值．【解答】（1）证明：令0y =得：22(21)0x m x m m --+-=，∵22(21)4()10m m m ∆=---⨯>，∴方程有两个不等的实数根，∴原抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）解：令0x =，根据题意有：233m m m -=-+，解得3m =-或1．25．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间满足280y x =-+ （20≤x ≤40），设销售这种产品每天的利润为W （元）.（1）求销售这种产品每天的利润W （元）与销售单价x （元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？26. 有这样一个问题：探究函数2112y x x =+的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数2112y x x=+的图象与性质进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数2112y x x=+的自变量x 的取值范围是__________； （2）下表是y 与x 的几组对应值．（3）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是3(1,)2，结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）________．【解答】解：（1）0x ≠，（2）令3x =， ∴211323y =⨯+9129236=+=； ∴296m =；（3）如图（4）该函数的其它性质：①该函数没有最大值；②该函数在0x =处断开；③该函数没有最小值；④该函数图象没有经过第四象限．故答案为该函数没有最大值．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. ）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,2)且平行于x 轴的直线，与直线1y x =-交于点A ，点A 关于直线1x =的对称点为B ，抛物线1C ：2y x bx c =++经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线2C ：2y ax =（0a ≠）与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2y =时，则21x =-，解得：3x =，∴(3,2)A ，∵点A 关于直线1x =的对称点为B ，∴(1,2)B -．（2）把(3,2)，(2,2)-代入抛物线21:C y x bx c =++得：29321b cb c =++⎧⎨=-+⎩，解得：21b c =-⎧⎨=-⎩．∴221y x x =--．顶点坐标为(1,2)-．（3）如图，当2C 过A 点，B 点时为临界，代入(3,2)A 则92a =， 解得：29a =，代入(1,2)B -，则2(1)2a -=，解得：2a =， ∴229a <≤．28. 对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线L ．现有点(2,0)A 和抛物线L 上的点(1,)B n -，请完成下列任务：【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为___________； （2）判断点A 是否在抛物线L 上；（3）求n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线L 总过定点，坐标为____________．【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．【解答】解：【尝试】（1）∵将2t =代入抛物线l 中，得：222(32)(1)(24)242(1)2y t x x t x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．（2）∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得 0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线l 上．（3）将1x =-代入抛物线l 的解析式中，得：2(32)(1)(24)6n t x x t x =-++--+=．【发现】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+ ∴抛物线l 必过定点(2,0)、(1,6)-．【应用1】将2x =代入2352y x x =-++，0y =，即点A 在抛物线上． 将1x =-代入2352y x x =-++，计算得：66y =-≠， 即可得抛物线2352y x x =-++不经过点B ， 二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”．29．8aac49074e023206014e3d41c9104ca8矩形ABCD 一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．北京教育学院附属中学2019-2020学年度第一学期九年级数学期中答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分）17.计算：0000tan60cos30tan45sin30-⨯+分18. 解：二次函数2y ax bx c=++的图象经过B（1，0）、C（2，－1）两点，∴03,142 3.a ba b=++⎧⎨-=++⎩.................................2分11212=+=解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩ ..................................4分∴二次函数的解析式为243y x x =-+……..5分19.(1)证明：∵∠AED =∠C ………………….1分∠A=∠A …………………2分 ∴△AED ∽△ACB ………………...3分(2)解：由（1）知△AED ∽△ACB∴AD AE AB AC=…………………....4分 ∵AB=6，AD= 4，AC=5 ∴AE=310………………….5分20．（1）（-1，0）、（3，0）；（1，-4）………………..2分（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；.....................................4分（3）-4≤y<5………………………………..5分 21.如图所示. …………………………………2分ACBDEA B CD E'(10,2),'(10,6),'(2,4)A B C…………………………………5分22. 解：在Rt△ADC中，∵∠DAC=30︒，AD=∴DC=AD错误！未找到引用源。

北京市西城区九年级数学上册期中试卷（含答案）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC 的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k ≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC 边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a= b，S四边形ABCD= b，S四边形KPOL= b．∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML=S四边形ABCD．25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c= ，d p= ；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m 的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞2 C．m≤2 D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3 B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3 D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC 的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1 ．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC 与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2 ．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 3 cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0 ．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（共9小题，满分52分）17．（5分）计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式=×﹣4×+1=﹣2+1=．【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．18．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）交于点A（﹣，﹣2），B（1，a）．（1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集．【分析】（1）首先由A（﹣，﹣2）在反比例函数y=的图象上，求得反比例函数的解析式，即可求得点B的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分．【解答】解：（1）∵点A（﹣，﹣2）在函数y=上，∴m=﹣×（﹣2）=3，∴y=，∵点B（1，a）在y=上，∴a=3，∵直线y=kx+b经过A（﹣，﹣2），B（1，3），∴，解得，∴直线解析式为y=2x+1．（2）观察图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣＜x＜0或x＞1．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由函数图象比较函数大小，能够数形结合是解题的关键．19．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B=60°，求AC的长．【分析】如图，作直径AD，连接CD．利用圆周角定理得到△ACD是含30度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得AC 的长度即可．【解答】解：如图，作直径AD，连接CD．∴∠ACD=90°．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∵⊙O的半径为6，∴AD=12．在Rt△ACD中，∠CAD=30°，∴CD=6．∴AC=6．【点评】本题考查了圆周角定理．注意题中辅助线的作法．20．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案．【解答】解：根据题意，再Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE=≈=10米，再Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，∴AE=CE•tan20°≈10×0.364=3.64米，∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0米，答：旗杆的高约为21.0米．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】（1）设矩形的边AB为x米，则边BC为80﹣2x米，根据矩形面积公式“面积=长×宽”列出函数的关系式．（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得．【解答】解：（1）根据题意知AB=x，BC=80﹣2x，∴S=x（80﹣2x）=﹣2x2+80x，又∵x＞0，0＜80﹣2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=﹣2x2+80x （15≤x＜40）；（2）∵S=﹣2x2+80x=﹣2（x﹣20）2+800，∴当x=20时，S最大值为800，答：当AB为20米时，活动区的面积最大，最大面积是800平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题．22．（5分）如图，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于D，DE⊥AB，垂足为点E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cos∠A的值．【分析】（1）连接OD，AD，由AC为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到AD垂直于BC，利用三线合一得到D 为BC中点，再由O为AC的中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线性质得到OD与AB平行，进而得到OD垂直于DE，即可得证；（2）由半径的长求出AB与AC的长，根据BE的长，由AB﹣BE求出AE的长，由平行得相似，相似得比例，设CF=x，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出所求．【解答】（1）证明：连接OD，AD，∵AC为圆的直径，∴∠ADC=90°，AD⊥BC，∵AB=AC，∴点D为BC的中点，∵点O为AC的中点，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，则DE为圆O的切线；（2）解：∵r=2，∴AB=AC=2r=4，∵BE=1，∴AE=AB﹣BE=3，∵OD∥AB，∴△FOD∽△FAE，∴==，设CF=x，则有OF=x+2，AF=x+4，∴=，解得：x=2，∴AF=6，在Rt△AEF中，∠AEF=90°，则cosA==．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上．（1）求m，b的值；（2）若点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，求a的值；（3）当二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）与直线y=﹣x+3相交于两点时，设左侧的交点为P（x1，y1），若﹣3＜x1＜﹣1，求a的取值范围．【分析】（1）根据二次函数的性质，可得b==1．将A（﹣2，m）代入y=﹣x+3，即可求出m=2+3=5；（2）将D（3，2）代入y=ax2﹣2ax+1，即可求出a的值；（3）把x=﹣3代入y=﹣x+3，求出y=6，把（﹣3，6）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=．再把x=﹣1代入y=﹣x+3，求出y=4，把（﹣1，4）代入y=ax2﹣2ax+1，求出a=1．进而得出a的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴为x=b，∴b==1．∵点A（﹣2，m）在直线y=﹣x+3上，∴m=2+3=5；（2）∵点D（3，2）在二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上，∴2=a×32﹣2a×3+1，∴a=；（3）∵当x=﹣3时，y=﹣x+3=6，∴当（﹣3，6）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，6=a×（﹣3）2﹣2a ×（﹣3）+1，∴a=．又∵当x=﹣1时，y=﹣x+3=4，∴当（﹣1，4）在y=ax2﹣2ax+1（a＞0）上时，4=a×（﹣1）2﹣2a ×（﹣1）+1，∴a=1．∴＜a＜1．【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．24．（7分）如图1，在矩形ABCD中，点E为AD边中点，点F为BC 边中点；点G，H为AB边三等分点，I，J为CD边三等分点．小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图2，图3所示，那么图2中四边形GKLH的面积与图3中四边形KPOL的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH= S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a= b，S四边形ABCD= 42 b，S四边形KPOL= 6 b．∴S四边形KPOL= S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH（填写“＞”“＜”或“═”）．（2）小瑞又按照图4的方式连接矩形ABCD对边上的点，则S四边形ANML=S四边形ABCD．【分析】（1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL=a，S△AEN=b．想办法证明S四边形ANML=4b，S四边形ABCD=20b，即可解决问题；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图2中，小瑞发现，S四边形GKLH=S四边形ABCD；在图3中，小瑞对四边形KPOL面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设S△DEP=a，S△AKG=b．∵EC∥AF．∴△DEP∽△DAK，且相似比为1：2，得到S△DAK=4a．∵GD∥BI，∴△AGK∽△ABM，且相似比为1：3，得到S△ABM=9b又∵S△DAG=4a+b=S四边形ABCD，S△ABF=9b+a=S 四边形ABCD．∴S四边形ABCD=24a+6b=36b+4a．∴a=b，S四边形ABCD=42b，四边形KPOL=6b．∴S四边形KPOL=S四边形ABCD，则S四边形KPOL＜S四边形GKLH．故答案为，，42，6，，＜．（2）如图4中，延长CE交BA的延长线于T，连接DN，设S△AGL=a，S△AEN=b．∵GL∥PH，∴△△AGL∽△AHP，相似比为1：2，得到S△AHP=4a，∵AT∥CD，∴∠T=∠ECD，∵∠AET=∠CED，AE=ED，∴△AET≌△DEC，∴AT=CD，∵AT∥CJ，∴==，∴=，可得S△DNJ=b，∴S△ABF=4a+b=S四边形ABCD，S△ADJ=b=S四边形ABCD，∴16a+b=20b，∴a=b，∴S四边形ANML=（20b﹣8a﹣b）=4b，∴S四边形ABCD=20b，∴S四边形ANML=S四边形ABCD．故答案为．【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．25．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c= 1 ，d p= 4 ；（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．【分析】（1）圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，由此即可解决问题；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，可以假设P（a，2a+2），根据PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，分不清楚两圆与线段AB相切时b的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，所以d c=1，d p=4；故答案为1，4；（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，∵点P在直线y=2x+2上，∴可以假设P（a，2a+2），∵PO=1，∴a2+（2a+2）2=1，解得a=﹣1或﹣，∴满足条件的点P的横坐标为﹣1或﹣．（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，当线段与外环相切时，可得b=，当线段于内环相切时，可得b=，所以满足条件的b的值：≤b＜．【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题．。

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷九年级数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90° 如果 AC=3, AB=5，那么 sinB 等于（ ）C B3434A.-B. —C.D.-5 5 4 32.点 A(1y)， B （3,y 2）是反比例函数y 二 --图象上的两点，那么 y ，y 2的大小关系是（ x )A . y 1 y 2B . y^y 2C .H2 D.不能确定3•抛物线y =（x -4）2 -5的顶点坐标和开口方向分别是（ ）A. （4, -5），开口向上B. （4, -5），开口向下9. ________________________________________ 抛物线y =x 2与y 轴的交点坐标为10. 如图，在△ ABC 中，D ，E 两点分别在 AB ，AC 边上，DE // BC ，AD 3C. （4龙），开口向上 4. 圆心角为60，且半径为12的扇形的面积等于（A. 48 nB. 24 nC. 4 n5. 如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的弦，如果/ 等于（ A . 34 )•D. ( 4, -5)，开口向下).D. 2nACD=34 °C . 56 °6. 如果函数B . 46° D . 66y =x 2，4x-m 的图象与x 轴有公共点，那么 m 的取值范围是（ B. m<4 C. m > -4 D. m> -4 P 在厶ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 正确的是（）. △ ABP s^ ACB ，那么以下添加的条件中，不/ APB= / ABCAB ACBP 一 CB22C . AB 二 AP AC8.如图，抛物线y=ax bx 3（ a 工0的对称轴为直线 x=1，2如果关于x 的方程ax ・bx-8=0（a 工0的一个根为4,那么 该方程的另一个根为（ A . -4B .).-2 C . 1 、填空题（本题共16分，每小题2分）).如果，AC=10，那么EC= _______ .DB 2215. 如图，抛物线y = ax bx c (a = 0)与y 轴交于点C ，与x 轴 交于A ，B 两点，其中点 B 的坐标为B(4,0)，抛物线的对称轴交x 轴于点D, CE // AB ，并与抛物线的对称轴交于点 E.现有下列结论: ①a 0 :②b 0 :③4a 2b 0 :④AD • CE = 4.其中所有 正确结论的序号是.16. 如图，O O 的半径为3，A ，P 两点在O O 上，点B 在O O 内，4tan. APB ， AB_AP .如果OB 丄OP ，那么OB 的长为 ___________ .3、解答题(本题共68分，第17-20题每小题5分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题7分)17 •计算：2sin30cos 2 45 -tan60 .11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，第一象限内的点 P(x,y)与点A(2,2)在同一个反比例函数的图象上，PC 丄y 轴于点C , PD 丄x 轴于点D ，那么矩形 ODPC 的面积等于 _______12.如图，直线 y 1 =kx - n (k ^0 与抛物 y 2 =ax bx c (a ^() 分别交于A(_1,0) , B(2,；)两点，那么当y 1 y 2时，x 的 取值范围是4(-1.0：13.如图，O O 的半径等于 4,如果弦 AB 所对的圆心角等于 那么圆心O 到弦AB 的距离等于120 ,14.2019-20209月热播的专题片《辉煌中国 ——圆梦工程》展示的中国桥、 工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国!中国路等超级 ”片中提到我国已成为 拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥(如图 1所示)主 桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列 .在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨 BD 的中点为E ，最长的斜拉索 CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角.CED 为ot ，那么用CE 的长和a 的三角函数表示主跨 BD 长的表达式应为 BD= ___________________ (m).4AXiR18 .如图，AB // CD，AC 与BD 的交点为E，Z ABE= / ACB •(1)求证：△ ABE ACB;(2)如果AB=6，AE=4，求AC，CD 的长.— 2 -19.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G : y = —x 2x .(1) 补全表格：抛物线 顶点坐 标 与x 轴交点坐 标 与y 轴交点坐标y = -x 2 +2x(1,1)(0,0)(2)将抛物线C i 向上平移3个单位得到抛物线 C 2，请画出抛物线 C i , C 2，并直接 回答：抛物线C 2与x 轴的两交点之间的距离是抛物线 Ci与x轴的两交点之间21•运动员将小球沿 与地面成一定角度的方向 击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h (m )与它的飞行时间t (s )满足二次函数关系,t (s ) 00.51 1.52 … h (m )8.75 1518.7520…(1 )求h 与t 之间的函数关系式(不要求写 t 的取值范围)；(2)求小球飞行3 s 时的高度； (3 )问：小球的飞行高度能否达到22 m ?请说明理由.t 与h 的几组对应值如下表所示距离的多少倍.度数为 _______ ;(2)当〉=45时，在图2中画出△ ADE ，并求此时点 A 到直线BE 的距离.A图2坐标为1，直线PA, PB与x轴的交点分别为点M, N,连接AN .(1)直接写出a, k的值；(2)求证：PM=PN，PM _ PN .23 .如图，线段BC长为13,以C为顶点，CB为一边的/「满足5COS .锐角△ ABC的顶点A落在厶•的另一边I上，且13满足sin A = 4.求△ ABC的高BD及AB边的长，并结合你的5计算过程画出高BD及AB边.(图中提供的单位长度供补全图形使用)24 .如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在0D上，.DCE二.B .(1)求证：CE是半圆的切线；2(2)若CD= 10, tanB ，求半圆的半径.325 .已知抛物线G：y=x2-2ax，a-1 ( a为常数).(1)当a = 3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标;(2)若记抛物线G的顶点坐标为P(P,q).①分别用含a的代数式表示p, q;②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数(3)小明想进一步对(2)中的问题进行如下改编：将( 2)中的抛物线G改为抛物线H : y =x -2ax N (a为常数)，其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_______ (用含a的代数式表示)，它的顶点所在的一次函数图象的表达式________ y = kx + b (k, b为常数, k=0)中，k= , b=26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线M : y二ax2• bx • c (a = 0)经过A(-1,0)，且顶点坐标为B(0,1).(1)求抛物线M的函数表达式；(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1 .①抛物线M1的顶点B1的坐标为 _____ ；②当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围.27.如图1,在Rt△ AOB 中，/ AOB=90 ° / OAB=30 ° 点C 在线段OB 上，OC=2BC, AO 边上的一点D满足/ OCD=30°.将厶OCD绕点O逆时针旋转％度(90° <aW0°)得到△ OCD , C, D两点的对应点分别为点C , D，连接AC', BD •，取AC的中点M，连接OM .(1) ______________________________ 如图2，当CD H AB时，a= _________________ °此时OM和BD •之间的位置关系为_________________(2)画图探究线段OM和BD之间的位置关系和数量关系，并加以证明.28 •在平面直角坐标系xOy中，A, B两点的坐标分别为A(2,2) , B(2,-2) •对于给定的线段AB及点P, Q,给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q •落在△ ABP的内部(不含边界)，则称点Q是点P关于线段AB的内称点.(1)已知点P(4, -1).①在Q1(1-1) , Q2(1,1)两点中，是点P关于线段AB的内称点的是__________________ ;②若点M在直线y =x -1 上,且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标x M的取值范围；(2)已知点C(3,3) , O C的半径为r，点D(4,0)，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE与O C相切，求半径r的取值范围.一、选择题（本题共16分,每小題2分〉题号1234 5 1678答案J A : C 1A B「c C D B n二填空迦（本题共16分*每小题2分）三、解答题（本题共68分，第17 - 20题每小题5分”第21、22题每小题6分•第23、24题每小题5分，第25、26题每小题6分•第27.28题毎小题7分）17.解；2sin30° + ss’45。

2019-2020九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的对称轴为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝﹣22．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（）A．65°B．75°C．85°D．105°3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣4 7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．88．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于．11．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc0．12．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为．13．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是．14．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB ＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝3上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）17．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是；（2）点B2的坐标是．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．20．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（4）当x取何值时，y随x的增大而减小？21．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．22．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．24．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．25．如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）如果该抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，求m的值；（3）点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点．①写出点B坐标；②若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+2的对称轴为（）A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】直接由二次函数的顶点式可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝3，故选：A．2．如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（）A．65°B．75°C．85°D．105°【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＝∠DCE＝75°，故选：B．3．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．4．将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y＝2（x+4）2+1，下列平移正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移4个单位，再向下平移1个单位【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝2（x+4）2+1的顶点坐标为（﹣4，1），而点（0，0）先向左平移4个单位，再向上平移1个单位可得到点（﹣4，1），所以抛物线y＝2x2先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y＝2（x+4）2+1．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【分析】分别得出OA，OM，ON，OP，OQ的长判断即可．【解答】解：由图形可得：OA＝，OM＝，ON＝，OP ＝，OQ＝5，所以点A从（3，4）出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过P点，故选：C．6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），与y轴的交点为（0，3），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝﹣4 【分析】根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）．∴ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1＝1，x2＝﹣3．故选：C．7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4 C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．8．如图1，⊙O过正方形ABCD的顶点A、D且与边BC相切于点E，分别交AB、DC于点M、N．动点P在⊙O或正方形ABCD的边上以每秒一个单位的速度做连续匀速运动．设运动的时间为x，圆心O与P点的距离为y，图2记录了一段时间里y与x的函数关系，在这段时间里P点的运动路径为（）A．从D点出发，沿弧DA→弧AM→线段BM→线段BCB．从B点出发，沿线段BC→线段CN→弧ND→弧DAC．从A点出发，沿弧AM→线段BM→线段BC→线段CND．从C点出发，沿线段CN→弧ND→弧DA→线段AB【分析】结合图1分别画出A、B、C、D四种函数图象，即可判断．【解答】解：根据画出的函数的图象，C符合，故选：C．二．填空题（共8小题）9．请写出一个开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．【分析】根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，函数图象的开口向下，再利用过点（0，2）得出即可．【解答】解：∵开口向下且过点（0，2）的抛物线解析式，∴可以设顶点坐标为（0，2），故解析式为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．故答案为：y＝﹣x2+2（答案不唯一）．10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于．【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP＝AP′＝3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP＝3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，∴△ABP≌△ACP′，即线段AB旋转后到AC，∴旋转了90°，∴∠PAP′＝∠BAC＝90°，AP＝AP′＝3，∴PP′＝3．11．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc＜0．【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＞0，c＞0，则abc的正负即可判定．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线与x轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0；∵抛物线的对称轴在x轴的正半轴，∴﹣＞0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0．12．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为 4 ．【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC＝PA＝2，再证明∠BAC＝30°，由三角函数即可解决问题．【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线，∴PA＝PC，∵∠P＝60°，∴△PAC是等边三角形，∴AC＝PA＝2，∠PAC＝60°，∵PA是切线，AB是直径，∴PA⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝4，故答案为：4．13．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B （2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2 ．【分析】根据图象得出取值范围即可．【解答】解：因为直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，所以当y1＞y2时，﹣1＜x＜2，故答案为：﹣1＜x＜214．如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点．如果∠AOB＝140°，那么∠ACB的度数为70°或110°．【分析】根据点C在优弧AB上和劣弧AB上两种情况画出图形，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质进行计算即可．【解答】解：如图1，∠ACB＝∠AOB＝70°．如图2，∠ADB＝∠AOB＝70°，∵∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝110°．综上∠ACB的度数为70°或110°．故答案为70°或110°．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB ＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（﹣2，0）．【分析】根据三角函数可得OA，结合∠AOB＝30°可知△ABO绕点O逆时针旋转150°后OA的对应边OA1位于x轴上，继而可得答案．【解答】解：∵△ABO中，AB⊥OB，OB＝，∠AOB＝30°，∴cos∠AOB＝，∴OA＝＝＝2，如图，当△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，可得A1（﹣2，0），故答案为（﹣2，0）．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝3上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为2．【分析】连接PQ、OP，根据切线的性质得PQ⊥OQ，由勾股定理得到OQ＝，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ＝＝，当OP最小时，OQ最小，当OP⊥直线y＝3时，OP有最小值3，∴OQ的最小值为＝＝2．故答案为：2．三．解答题（共12小题）17．如图，有一个圆形工具，请利用直尺和圆规，确定这个圆形工具的圆心．【分析】作出一条弦的垂直平分线，作出另一条弦的垂直平分线，则它们的交点即为这个圆形工具的圆心．【解答】解：如图，点O为所作．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）画出△ABC绕原点逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出点B2的坐标．解：（1）点B1的坐标是（5，﹣1）；（2）点B2的坐标是（﹣1，﹣5）．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2．【解答】解：（1）△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（5，﹣1）；（2）△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣1，﹣5）．故答案为（5，﹣1），（﹣1，﹣5）．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．（1）求证：∠BCO＝∠D；（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．在Rt△CEO中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠B．∵∠B＝∠D，∴∠BCO＝∠D．（2）解：∵AB是直径，CD⊥AB，∴，设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．∵∠CEO＝90°，∴OC2＝CE2+OE2，∴r2＝32+（r﹣2）2，∴r＝．20．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）将二次函数y＝x2+2x﹣3化成顶点式；（2）求图象与x轴，y轴的交点坐标；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（4）当x取何值时，y随x的增大而减小？【分析】（1）利用配方法将一次项和二次项组合，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）将已知方程转化为两点式方程即可得到该抛物线与x轴的交点坐标；令x＝0即可得到该抛物线与y轴交点的纵坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3上的点的坐标列出，然后在平面直角坐标系中找出这些点，连接起来即可；（4）根据二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣3﹣1＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4；（2）令x＝0，则y＝﹣3，即该抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣3），又y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），所以该抛物线与x轴的交点坐标是（﹣3，0）（1，0）；（3）列表：图象如图所示：（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．21．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）当AB＝4，AD：DC＝1：3时，求DE的长．【分析】（1）由题意我们知道∠A+∠C＝90°，那么我们只要通过全等三角形来得出∠BCE ＝∠A，就能得出∠DCE＝90°的结论，那么关键就是证明三角形ADB和CBE全等，根据题意我们知三角形CBE是由三角形ABD旋转得来，根据旋转的性质我们可得出两三角形全等．（2）由（1）可得出三角形DEC是个直角三角形，要求DE的长，就必须求出CD和CE，由（1）可知AD＝CE，那么就必须求出AD和DC的长，有AD，CD的比例关系，那么求出AC就是关键．直角三角形ABC中，AB＝AC，有AB的长，进而可得AC的值．【解答】解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，∴△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝90°．（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝4，∴AC＝4，又∵AD：DC＝1：3，∴AD＝，DC＝3．由（1）知AD＝CE且∠DCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝2+18＝20，∴DE＝2．22．如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OD⊥OB，连接AB交OC于点D．（1）求证：AC＝CD；（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．【分析】（1）根据切线的性质可得出，∠OAC＝90°，再由已知条件得∠ODB+∠B＝90°，由OA＝OB可得出∠OAB＝∠B，从而得出∠CAB＝∠ADC，即AC＝CD．（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB+∠CAB＝90°．∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠ODB+∠B＝90°．∵OA＝OB∴∠OAB＝∠B，∴∠CAB＝∠ODB．∵∠ODB＝∠ADC，∴∠CAB＝∠ADC∴AC＝CD；（2）解：在Rt△OAC中，OC＝＝3，∴OD＝OC﹣CD，＝OC﹣AC，＝3﹣2，＝1．23．如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2.25m，喷出水流的运动路线是抛物线．水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3m．求水流的落地点C到水枪底部B的距离．【分析】根据题意建立平面直角坐标系利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：如图建立平面直角坐标系根据题意，得抛物线的顶点P（1，3）∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，∵A（0，2.25）∴a＝﹣0.75∴y＝﹣0.75（x﹣1）2+3令y＝0﹣0.75（x﹣1）2+3＝0解得x1＝3，x2＝﹣1（舍）∴BC＝3．答：水流的落地点C到水枪底部B的距离为3m．24．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D ＝30°．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．【分析】（1）连接OE，OF，由垂径定理和圆周角定理得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，得出∠DOF＝2∠A，证出∠OFD＝90°．即可得出结论；（2）连接OM，由垂径定理和勾股定理进行计算即可．【解答】解：（1）连接OE，OF，如图1所示：∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，∴，∴∠DOF＝∠DOE，∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，∴∠DOF＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OFD＝90°．∴OF⊥FD．∴FD为⊙O的切线；（2）连接OM．如图2所示：∵O是AB中点，M是BE中点，∴OM∥AE．∴∠MOB＝∠A＝30°．∵OM过圆心，M是BE中点，∴OM⊥BE．∴，．∵∠DOF＝60°，∴∠MOF＝90°．∴MF＝＝＝．25．如图1所示，点E在弦AB所对的优弧上，且为半圆，C是上的动点，连接CA、CB，已知AB＝4cm，设B、C间的距离为xcm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A、C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1、y2自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x的几组对应值：（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1、y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①连接BE，则BE的长约为 6 cm．②当以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC的长度约为6或4.47 cm．【分析】（1）由题意得出BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC ＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，由勾股定理得出BD＝≈0.9367（cm），得出AD＝AB+BD＝4.9367（cm），再由勾股定理求出AC 即可；AC＝＝≈5.70（cm）；（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象即可；（3）①∵BC＝6时，CD＝AC＝4.47，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，得出BE＝BC＝6即可；②分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6，由图象可得：BC＝4.47．【解答】解：（1）由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1、y2与x 的几组对应值知：BC＝3cm时，CD＝2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC＝4，CD、AC随着BC的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图1所示：∵CD⊥AB，∴BD＝＝≈0.9367（cm），∴AD＝AB+BD＝4+0.9367＝4.9367（cm），∴AC＝＝≈5.70（cm）；补充完整如下表：（2）描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），画出函数y1、y2的图象如图2所示：（3）①∵BC＝6cm时，CD＝AC＝4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径，∴BE＝BC＝6cm，故答案为：6；②以A、B、C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB＝90°时，AC＝CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC＝6cm；当∠CBA＝90°时，BC＝AD，由圆的对称性与∠CAB＝90°时对称，AC＝6cm，由图象可得：BC＝4.47cm；综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm；故答案为：6或4.47．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）如果该抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，求m的值；（3）点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点．①写出点B坐标；②若该抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）代入对称轴方程即可求得；（2）抛物线顶点在直线y＝2x﹣4上，则有m＝2m﹣4，解方程即可；（3）①根据对称点的特征求得B的坐标即可②结合函数图象把A、B点的坐标代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+m可得答案．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m对称轴方程为：x＝﹣＝m，（2）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m＝﹣（x﹣m）2+m，∴顶点坐标为（m，m），∵抛物线顶点在直线y＝2x﹣4上，∴m＝2m﹣4，∴m＝4；（3）①设B（x，y），∵点A的坐标为（﹣2，﹣8），点A关于点（0，﹣9）的对称点为B点，∴＝0，＝﹣9，∴B（2，﹣10）；②如图所示：把A（﹣2，﹣8）代入y＝﹣x2+2mx﹣m2+m得，﹣8＝﹣4﹣4m﹣m2+m，解得m＝1或m＝﹣4，把B（2，﹣10）代入y＝mx2﹣4mx+2m﹣1得，﹣10＝﹣4+4m﹣m2+m，解得m＝6或m＝﹣1，所以当﹣4≤m≤﹣1或1≤m≤6时，抛物线与线段AB有公共点．27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP＝AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴AC＝＝2，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，∴C'G＝﹣1，∴S△AC'C＝AC•C'G＝＝﹣1．28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，右图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x+2（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的边界值是3，且这个函数的最大值也是3，求b的取值范围；（3）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？【分析】（1）在x的取值范围内，y＝（x＞0）的y无最大值，不是有界函数；y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，其边界值是4；（2）由一次函数的增减性，可得当x＝a时，y max＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，由边界值定义可列出不等式，即可求解；（3）先设m＞1，函数向下平移m个单位后，x＝0时，y＝﹣m＜﹣1，此时边界值t＞1，与题意不符，故m≤1，判断出函数y＝x2所过的点，结合平移，可求或．【解答】解：（1）∵（x＞0）的y无最大值，∴不是有界函数；∵y＝x+2（﹣4≤x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝4，对于﹣4≤x≤2时，任意函数值都满足﹣4＜y≤4，∴边界值为4；（2）∵y＝﹣x+2，y随x的增大而减小，∴当x＝a时，y max＝3，当x＝b时，y＝﹣b+2，∵边界值是3，b＞a，∴﹣3≤﹣b+2＜3∴﹣1＜b≤5（3）若m＞1，图象向下平移m个单位后，x＝0时，y＜﹣m＜﹣1，此时函数的边界值t ＞1，不合题意，故m≤1．∴函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0），当x＝﹣1时，y max＝1，当x＝0时，y min＝0∴向下平移m个单位后，y max＝1﹣m，y min＝﹣m∵边界值∴或∴或．。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级化学2020.1考生须知1. 本试卷共10页，共47道小题。

满分100分。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和学号。

3. 试题答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

可能用到的相对原子质量H 1 Li 7 C 12 O16 Fe56Cu 64第一部分选择题（共30分）（每小题只有1个选项符合题意。

每小题1分）1．地壳中含量最多的元素是A．氧B．硅C．铝D．铁2．下列属于物质化学性质的是A．密度B．可燃性C．状态D．颜色3．下列金属活动性最弱的是A．镁B．银C．铜D．铁4．通过实验测定了空气组成的科学家是A．门捷列夫B．达尔文C．拉瓦锡D．牛顿5．下列元素符号书写不正确．．．的是A．氖Ne B．钾K C．金AU D．汞Hg6．下列仪器不能．．加热的是A．量筒B．试管C．烧杯D．燃烧匙7．下列属于氧气用途的是A．灭火B．作燃料C．光合作用D．医疗急救8．“含氟牙膏”中的“氟”指的是A．分子B．原子C．单质D．元素9．下列物质中，含有金属元素的是北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级化学第1页（共13页）A．Al2O3B．P2O5C．NO2D．H2SO410．下列物质在空气中燃烧，生成大量白烟的是A．硫B．木炭C．酒精D．红磷11A．滴加液体B．倾倒液体C．读取液体体积D．加热液体12．下列生活中的做法，不利于．．．节约用水的是A．用淘米水浇花B．隔夜的白开水直接倒掉C．用洗过衣服的水冲马桶D．洗手涂肥皂时关闭水龙头13．某原子的原子核内有1个质子和2个中子，则该原子的核外电子数为A．3 B．2 C．1 D．014．有关空气中主要成分的说法不正确．．．的是A．氮气可作保护气B．稀有气体可用于制作霓虹灯C．氧气可与多种物质发生反应D．二氧化碳是一种空气污染物15．碳元素与氧元素的本质区别是A．质子数不同B．电子数不同C．中子数不同 D. 最外层电子数不同16．下列配制与使用火药的过程中，主要发生化学变化的是A．精磨配料B．称量配料C．混合配料D．点燃火药17．下列符号能表示2个氢原子的是A．H2B．2H C．2H2D．2H+1819．下列化学用语所表达的意义正确的是A．Na——1个钠元素B．Cu2+——+2价铜元素-2C．O——1个氧离子D．2N2——2个氮分子20．下列灭火方法不正确．．．的是A．电器起火——用水浇灭B．森林起火——砍伐树木形成隔离带北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级化学第2页（共13页）北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷九年级化学第3页（共13页）C ．油锅起火——用锅盖盖灭D ．图书起火——用二氧化碳灭火器灭火 21．下列物质的化学式书写正确的是 A ．氧化铁FeOB ．氯化铝AlClC ．硫酸钠Na 2SO 4D ．氢氧化镁MgOH22．铬在元素周期表中信息如右图所示。

初三第一学期期中学业水平调研数 学2019．11一、选择题 （本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图案中，是中心对称图形的是A B C D 2. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标为A ．(1,2)-B ． (1,2)C ．(1,2)-D ．(2,1)3. 体育课上，小悦在点O 处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M ，N ，P ，Q 四个点处， 则表示他最好成绩的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q4． 将抛物线22y x =向下平移3个单位，得到的抛物线为A ．223y x =+B ．223y x =-C ．()223y x =+D ． ()223y x =-5． 已知水平放置的圆柱形排水管道，管道截面半径是1 m ，若水面高0.2 m. 则排水管道截面的水面宽度为 A.0.6 m B.0.8 m C.1.2 m D.1.6 m6． 如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，25ADB ∠=︒. 则AOC ∠的度数为A ．30︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒7. 下列是关于四个图案的描述.图1所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称； 图2所示是一个正三角形内接于圆； 图3所示是一个正方形内接于圆；图4所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二.图1 图2 图3 图4这四个图案中，阴影部分的面积不小于．．．该图案外圈大圆面积一半的是 A. 图1和图3B. 图2和图3C. 图2和图4D. 图1和图48． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =-++与x 轴交于A , B 两点. 若顶点C 到x轴的距离为8，则线段AB 的长度为 A ．2 B ． C D ．4二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 在平面直角坐标系中，点(3,2)P -绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ． 10．写出一个对称轴是y 轴的抛物线的解析式： ． 11. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径. 若50P ∠=︒，则BAC ∠= °.12. 若二次函数2(1)3y x =-+的图象上有两点(0,),(5,)A a B b , 则a b .（填“>”，“=”或“<”）13. 如图, 边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.14. 在Rt ABC △中，∠C =90°，AB =10. 若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长为________ .15. 如图，已知正方形OBCD 的三个顶点坐标分别为B (1,0),C (1,1),D (0,1). 若抛物线2()y x h =-与正方形OBCD 的边 共有3个公共点，则h 的取值范围是___________.16. 如图，在ABC △中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ； （2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ； （4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P . 根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中，① 2BCNC =； ②2AB AM =；③点O 是ABC △的外心 ； ④点P 是ABC △的内心. 所有正确结论的序号是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为1x =，(2,3)M -是抛物线上一点，求该抛物线的解析式．18. 如图，等腰三角形ABC 中，BA =BC ，∠ABC =α. 作AD ⊥BC 于点D ，将线段BD 绕着点B 顺时针旋转角α后得到线段BE ，连接CE . 求证：BE ⊥CE .1920. 如图, 一条公路的转弯处是一段圆弧（ AB ），点O 是这段弧所在圆的圆心. 100m AB =, C 是AB 上一点，OC AB ⊥，垂足为 D ，=10m CD ，求这段弯路的半径．CA21. 已知二次函数21y x mx m =-+-的图象与x 轴只有一个公共点.（1）求该二次函数的解析式；（2）当03x ≤≤时，y 的最大值为 ，最小值为 .22. 如图，已知等边三角形ABC ，O 为△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，将△BAO 绕点B 旋转至△BCM .（1）依题意补全图形；（2）若OA =，OB =，OC =1，求∠OCM 的度数.23．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，O 是该半圆所在圆的圆心，E 为线段AC 上一点，且ED =EA . （1）求证：ED 是⊙O 的切线；（2）若ED =A =30°，求⊙O 的半径.24. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂 直于桥面），把桥面吊住.B E A某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB =CD , 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC 的长为600 m ，引桥CE 的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN 长为3 m ，桥面上与点M 相距100 m 处的吊杆PQ 长为13 m. 若将缆索的形状视为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D 与锚点E 的距离.图225. 探究函数2y x x =-的图象与性质．小娜根据学习函数的经验，对函数2y x x =-的图象与性质进行了探究．A图1下面是小娜的探究过程，请补充完整： （1）下表是x 与y 的几组对应值．请直接写出：m = ，n = ； （2）如图，小娜在平面直角坐标系xOy 中，描出了上表中已经给出的各组对应值为 坐标的点，请再描出剩下的两个点，并画出 该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若方程2x x a -=有三个不同的解，记为x 1, x 2, x 3，且x 1< x 2<x 3. 请直接写出x 1+ x 2+x 3的取值范围.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与直线1y x =+交于A , B 两点，其中点A 在x 轴上.（1）用含有b 的代数式表示c ；（2）① 若点B在第一象限，且AB =，求抛物线的解析式；②若AB ≥b 的 取值范围.27．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，4560ACB ︒<∠<︒，将点C 关于直线AB 对称得到点D ，作射线BD与CA 的延长线交于点E ，在CB 的延长线上取点F ，使得BF =DE ，连接AF . （1）依题意补全图形； （2）求证：AF =AE ；（3）作BA 的延长线与FD 的延长线交于点P ，写出一个∠ACB 的值，使得AP =AF 成立，并证明.CBACBA备用图28. 在平面内，C 为线段AB 外的一点，若以A ，B ，C 为顶点的三角形为直角三角形，则称C 为线段AB 的直角点. 特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称C 为线段AB 的等腰直角点． （1）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(4,0)，在点P 1(0,1)-，P 2(5,1)，P 3(2,2) 中，线段OM 的直角点是 ；（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(1,4)，(1,6)-，直线l的解析式为7y x=-+．①如图2，C是直线l上的一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；②如图3，P是直线l上的一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点. 若⊙O的半径为r，且⊙O上恰有两个点为直线l关于点A的伴随点，直接写出r的取值范围．图 1图 2图 3初三第一学期期中学业水平调研数 学答案及评分参考一、选择题二、填空题9． (3,2)- 10．2y x = 11．25 12．<1314. 15．01h <<16. ①③④注：（1）第10题答案不唯一，符合题意的均给满分；（2）第16题答案不全且不含②的给1分.三、解答题17．解：因为2y x bx c =++的对称轴为1x =，所以12b-=．………………………………………………………………………1分 得2b =-．………………………………………………………………………2分又因为()23M -，是抛物线上一点， 所以()23222c -=+-⨯+．得3c =-．………………………………………………………………………4分所以抛物线的解析式为223y x x =--． …………………………………………………5分18．证明：∵线段BD 绕点B 顺时针旋转角α得到线段BE ， ∴,.BD BE DBE α=∠=……………………………………………………………………………1分∵,ABC α∠= ∴.ABC DBE ∠=∠ ……………………………………………………………………………2分∵,AD BC ⊥ ∴90.ADB ∠=︒在△ABD 与△CBE 中，,,,AB CB ABD CBE BD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩……………………………………………………………………………3分∴△ABD ≌△CBE . ……………………………………………………………………………4分∴90.ADB CEB ∠=∠=︒∴.BE CE ⊥…………………………………………………………………………………5分19．解：直径所对的圆周角是90︒. ………………………………………………………………………2分 CAB ∠. ………………………………………………………………………3分同弧所对的圆周角相等. ………………………………………………………………………5分20．解：设这段弯路的半径为r m, ……………………………………………………………1分因为OC ⊥AB 于D , AB =100 （m ）,所以BD =DA =AB =50（m ）. …………………………………………………………………2分 所以CD =10（m ）,得10OD r =-（m ）.因为Rt △BOD 中，根据勾股定理有222BO BD DO =+.………………………………………………………………………3分 即22250(10)r r =+-.………………………………………………………………………4分解得r =130（m ）.因此这段弯路的半径为130 m. …………………………………………………………………5分 21.解：（1）由题意二次函数图象与x 轴只有一个公共点. 可令210x mx m -+-=, 则有0∆=. ………………………………………………………………………1分即 24(1)0m m --=. 得 2m =.………………………………………………………………………2分所以该二次函数的解析式为221y x x =-+ .……………………………………………3分（2）y 的最大值为4，最小值为0. ……………………………………………………………5分22．解：（1）依题意补全图形，如图所示：…………………………………………………………………………………………………2分（2）连接OM ，∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC =60°.∵△BAO 旋转得到△BCM ， OAOB∴MC=OAMB=OB∠OBM=∠ABC=60° . ………………………………………3分∴△OBM为等边三角形.∴OM= OB…………………………………………………………………4分在△OMC中，OC=1，∵2221+=,∴OC 2 +MC 2 =OM 2.∴∠OCM=90°.…………………………………………………………………………………………………5分23．（1）证明：连接OD.∵ED=EA,∴∠A=∠ADE. …………………………………………………………………………………1分∵OB=OD,∴∠OBD=∠BDO.∵∠ACB=90°,∴∠A +∠ABC =90°.∴∠ADE +∠BDO =90°. …………………………………………………………………2分∴∠ODE=90°.∴DE是⊙O的切线. ………………………………………………………………………3分（2）解：∵∠ACB =90°, BC为直径,∴AC是⊙O的切线.∵DE是⊙O的切线,∴ED=EC. ………………………………………………………………………4分∵ED=∴ED=EC=EA=.∴AC=. ………………………………………………………………………5分∵Rt△ABC中∠A=30°,∴BC=4.∴⊙O的半径为2. ………………………………………………………………………6分24. 解：如图所示建立平面直角坐标系.依题意可知3,13,100,600,124,,,MN PQMP AC CE ABDC BA AC DC AC ======⊥⊥, ,MN AC PQ AC ⊥⊥.由抛物线的对称性可知，13002MC AC ==.则可得点坐标：(0,0),(0,3),(100,13)M N Q . …………………………………………………………………………………1分设抛物线的表达式为23y ax =+. …………………………………………………2分因为抛物线经过点Q ，所以将点Q 的坐标带入得2131003a =+.解得11000a =. …………………………………………………………………3分得抛物线的表达式为2131000y x =+. …………………………………………………4分 当300x =时，得213003931000y =⨯+=.……………………………………………5分因为DC AC ⊥, 所以90DCE ∠=︒.所以531155DE ===⨯=.答：索塔顶端D 与锚点E 的距离为155米. ……………………………………………6分 25．解：（1）m =1，n =0； ……………………………………………………………………………2分（2）如图：…………………………………………………………………………………………………4分 （3）12343x x x <++<……………………………………………………………6分26．解：（1）由题意直线y =x +1与x 轴交于点A可得点A 坐标为(-1,0) ……………………………………………………………1分 又因抛物线y =x 2+bx +c 经过点A所以将点A 坐标(-1,0)代入抛物线解析式可得1-b +c =0，即c =b -1. ……………………………………………………………2分 （2）①设y =x +1与y 轴交于点C ，可得 A (-1,0)，C (0,1).可知OA =OC =1. 又因∠AOC =90º,所以∠OAC =45º. 如图，已知ABB 作BD ⊥x 轴于点D , 易知∠ADB =90º.又因∠BAD =45º，AB所以AD =BD =3.所以点B 的坐标为(2,3) . ……………………………………………………………3分 将点B 的坐标(2,3)代入抛物线y =x 2+bx +c 的解析式可得2b +c =-1.并与（1）中得到的c =b -1联立方程组可得：21,1.b c c b +=-⎧⎨=-⎩ 解得0,1.b c =⎧⎨=-⎩ 得抛物线的解析式为21y x =-.……………………………………………………………4分② 0b ≤或6b ≥. ………………………………………………………………………6分27．（1）如图所示……………………………………………………………………………1分2）证明：∵ 点C 与点D 关于直线AB 对称， ∴ DB =BC ，∠ABD =∠ABC . ………………………………………………………2分∵ DE =BF ， ∴ DE +BD =BF +BC . ∴ BE =CF . ∵ AB =AC ， ∴ ∠ABC =∠C . ∴ ∠ABD =∠C .∴△ABE ≌△ACF（SAS）.∴AE=AF. …………………………………………………………………4分（3）∠ACB=54°. …………………………………………………………………5分证明：如图，P∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=54°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=72°.∵点C与点D关于直线AB对称，∴∠DAB=∠BAC=72°，∠ADB=∠C=54°，AD=AB=AC.∴∠DAE=180°-∠DAB-∠BAC=36°，∴∠E=∠ADB-∠DAE=18°.∵由（2）得，△ABF ≌△ADE（或者△ACF ≌△ABE），∴∠AFB=∠E=18°.∴∠BAF=∠ABC-∠AFB=36°=12∠BAD.∵AB=AD，∴AF垂直平分BD.∴FB=FD.∴∠AFD=∠AFB=18°，∴∠P=∠BAF-∠AFD=18°=∠AFD，∴AP=AF.∵由（2）得AE=AF，∴AP=AE. …………………………………………………………………7分28．解：（1）是线段OM 的直角点为 P 1, P 3 ； ………………………………………………………2分（2）① 当∠BAC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）.∵点A 的坐标为(1,4)，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=4，7b a =-+，解得a=3. ∴点C 的坐标为(3,4).………………………………………………………3分当∠ABC =90°时，设点C 的坐标为（a ，b ）. ∵点B 的坐标为(1,6)-，点C 在直线7y x =-+上, ∴ b=6-，7b a =-+，解得a=13. ∴点C 的坐标为(13,6)-.当∠ACB =90°时如图，设点C 的坐标为（a , b ）. 取AB 的中点M ，作CM ⊥AB 于点H ，连接CM . ∵ 点C 在直线7y x =-+上， ∴ 得7b a =-+. （*）∵点A ，B 的坐标分别为(1,4)，(1,6)-,∴ 点M 的坐标为(1,1)-，CM =5，1,1CH a HM b =-=+.∴ 由勾股定理得方程 222(1)(1)5a b -++= . （**由（*），（**）得43a b =⎧⎨=⎩或52a b =⎧⎨=⎩，故C 的坐标为(4,3)或综上，点C 的坐标为(3,4)或(13,6)-或(4,3)或(5,2). ……………………………5分② 直接写出r 2r <<. ………………………………………7分注：本试卷各题中若有其他合理的解法请酌情给分.()。

2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列各图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝﹣13．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．14．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动5．二次函数y＝﹣2x2的图象如何移动就得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位6．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（3，4）B．（3，7）C．（7，3）D．（7，4）7．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2 8．在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（）A．30°B．50°C．40°D．70°二．填空题（共8小题）9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠BOC＝40°，则∠C的度数等于．10．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式．11．等边三角形△ABC绕着它的中心，至少旋转度才能与它本身重合．12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是；连接OA、OB，则∠AOB＝．13．某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种．14．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF＝．15．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是．16．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD 为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为．三．解答题（共12小题）17．抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．18．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸？”（注：1尺＝10寸）19．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．21．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为．22．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？23．已知直线MN过⊙O上点A，B、C是⊙O上两点，∠ACB＝∠NAB．求证：直线MN是⊙O 的切线．24．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．25．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O 于点D，连接AD．（1）求证：BC＝CD；（2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．26．已知：抛物线y1＝x2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（m，0）．将y1向右平移4个单位得到y2．（1）求b的值；（2）求抛物线y2的表达式；（3）抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y＝kx+k﹣1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．27．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．28．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数y＝图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数y＝x2+mx+n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列各图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可直接选出答案．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．2．二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+3中，a＝1，b＝﹣2，c＝3，x＝﹣＝﹣＝1．故选：C．3．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．4．下面生活中的实例，不是旋转的是（）A．传送带传送货物B．螺旋桨的运动C．风车风轮的运动D．自行车车轮的运动【分析】根据旋转的定义来判断：旋转就是将图形绕某点转动一定的角度，旋转后所得图形与原图形的形状、大小不变，对应点与旋转中心的连线的夹角相等．【解答】解：传送带传送货物的过程中没有发生旋转．故选：A．5．二次函数y＝﹣2x2的图象如何移动就得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：由y＝﹣2x2的图象得到y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象，得向右移动1个单位，向上移动3个单位．故选：B．6．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，则点B的对应点B'的坐标为（）A．（3，4）B．（3，7）C．（7，3）D．（7，4）【分析】首先求出A，B两点坐标，△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，B'点的横坐标是A的横坐标加OB的长度，纵坐标等于OB的长．【解答】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴A（3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，∵△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B'，∴OA＝OA′，OB＝OB′，B'点的横坐标为：OA+OB'＝OA+OB＝7，纵坐标为：：OA＝OA'＝3∴B′（7，3）故选：C．7．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）A．0≤b＜2B．﹣2 C．﹣22D．﹣2＜b＜2【分析】求出直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线y＝﹣x+b 与圆相切，且函数经过二、三、四象限时b的值，则相交时b的值在相切时的两个b的值之间．【解答】解：当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图．在y＝﹣x+b中，令x＝0时，y＝b，则与y轴的交点是（0，b），当y＝0时，x＝b，则A的交点是（b，0），则OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．连接圆心O和切点C．则OC＝2．则OB＝OC＝2．即b＝2；同理，当直线y＝﹣x+b与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b＝﹣2．则若直线y＝﹣x+b与⊙O相交，则b的取值范围是﹣2＜b＜2．故选：D．8．在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即就是∠A的正弦值．利用量角器可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（）A．30°B．50°C．40°D．70°【分析】由图知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与70°角的射线相交，从而得出答案．【解答】解：由图知，以点O为圆心、0.95为半径的半圆与70°角的射线相交，所以正弦值最接近0.94的是70°角，故选：D．二．填空题（共8小题）9．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠BOC＝40°，则∠C的度数等于20°．【分析】先利用圆周角定理得到∠A＝∠BOC＝20°，然后根据等腰三角形的性质得到∠C的度数．【解答】解：∠A＝∠BOC＝×40°＝20°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝20°．故答案为20°．10．请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，﹣2）的抛物线的表达式y＝﹣x2﹣2x ﹣2（答案不唯一）．【分析】写出一个二次函数，使其二次项系数为负数，常数项为﹣2即可．【解答】解：根据题意得：y＝﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣2（答案不唯一）11．等边三角形△ABC绕着它的中心，至少旋转120 度才能与它本身重合．【分析】根据旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点作答．【解答】解：∵360°÷3＝120°，∴该图形绕中心至少旋转120度后能和原来的图案互相重合．故答案为：120．12．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是8 ；连接OA、OB，则∠AOB＝120°．【分析】由PA，PB分别切⊙O于点A、B，根据切线长定理，即可求得PA＝PB，又由∠P ＝60°，即可证得△PAB是等边三角形，由PA＝8，则可求得弦AB的长．【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝PB，∵PA＝8，∴AB＝8．如图，连接OA，OB，则∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，故答案为：8，120°．13．某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有 3 种．【分析】设可以购买x个篮球，y个排球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y 的二元一次方程，结合y为正整数、x为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解．【解答】解：设可以购买x个篮球，y个排球，依题意，得：120x+90y＝1200，∴x＝10﹣y．∵y为正整数，x为非负整数，∴，，．∴共有3种购买方案．故答案为：3．14．如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF＝15°．【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到△AOB为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到∠BOF＝∠AOF＝30°，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：连接OB，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC＝AB，又OA＝OB＝OC，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB为等边三角形，∵OF⊥OC，OC∥AB，∴OF⊥AB，∴∠BOF＝∠AOF＝30°，由圆周角定理得∠BAF＝∠BOF＝15°，故答案为：15°．15．若二次函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是m≤1且m≠0 ．【分析】二次函数与x轴有公共点，即△≥0，从而求出m的范围．【解答】解：y＝mx2+2x+1是二次函数，∴m≠0，由题意可知：△≥0，∴4﹣4m≥0，∴m≤1∴m≤1且m≠0故答案为m≤1且m≠0．16．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C，D为⊙O上两动点（C，D不与A，B重合），且CD 为定长，CE⊥AB于E，M是CD的中点，则EM的最大值为 5 ．【分析】如图，通过画图观察可知，当CD∥AB时，EM的值最大．只要证明四边形OMCE 是矩形即可解决问题．【解答】解：如图，通过画图观察可知，当CD∥AB时，EM的值最大．连接OM，CE．∵DM＝MC，∴OM⊥CD，∵CD∥AB，CE⊥AB，∴∠OMC＝∠MOB＝∠CEO＝90°，∴四边形OMCE是矩形，∴EM＝OC＝5，∴EM的最大值为5．故答案为5．三．解答题（共12小题）17．抛物线顶点坐标是（﹣1，9），与x轴两交点间的距离是6．求抛物线解析式．【分析】由题意设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣4，0）或（2，0），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：由抛物线顶点知，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，又与x轴交点间的距离为6，∴交点横坐标为﹣4与2，∴两个交点坐标分别为（﹣4，0）、（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+9，把点（2，0）代入0＝9a+9，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+9．18．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图所示，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，求直径CD长是多少寸？”（注：1尺＝10寸）【分析】由勾股定理OA2＝OE2+AE2，代入数据即可求得．【解答】解：∵AB⊥CD∴AE＝BE∵AB＝10∴AE＝5在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2∴OA2＝（OA﹣1）2+52∴OA＝13∴CD＝2A0＝2619．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2，并直接写出点B2、C2的坐标．【分析】（1）利用点平移的规律写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B2、C2，从而得到△AB2C2，再写出点B2、C2的坐标．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△AB2C2即为所求，点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．20．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．【分析】（1）根据垂径定理，得到＝，再根据圆周角与圆心角的关系，得知∠E＝∠O，据此即可求出∠DEB的度数；（2）由垂径定理可知，AB＝2AC，在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理求AC即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°；（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AC＝BC，即AB＝2AC，在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，则AB＝2AC＝8．21．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为﹣4≤y＜0 ．【分析】（1）利用配方法得到顶点坐标；（2）通过解方程x2+2x﹣3＝0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用描点法画二次函数图象；（4）结合函数图象和二次函数的性质确定y的范围．【解答】解：（1）∵y＝（x+1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）；（2）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）、（1，0）；（3）当x＝0时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3；当x＝﹣2时，y＝x2+2x﹣3＝﹣3；抛物线经过点（0，﹣3），（﹣2，﹣3），（4）﹣4≤y＜0．故答案为﹣4≤y＜0．22．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量（y）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式为y＝90﹣3（x﹣50），然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．【解答】解：（1）由题意得：y＝90﹣3（x﹣50）化简得：y＝﹣3x+240；（3分）（2）由题意得：w＝（x﹣40）y（x﹣40）（﹣3x+240）＝﹣3x2+360x﹣9600；（3分）（3）w＝﹣3x2+360x﹣9600∵a＝﹣3＜0，∴抛物线开口向下．当时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大．∴当x＝55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．（4分）23．已知直线MN过⊙O上点A，B、C是⊙O上两点，∠ACB＝∠NAB．求证：直线MN是⊙O 的切线．【分析】连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，根据圆周角定理得到∠D＝∠C，∠ABD ＝90°，根据余角的性质得到∠DAN＝90°，于是得到结论．【解答】证明：连接OA，延长AO交圆O于D，连接BD，∴∠D＝∠C，∠ABD＝90°，∴∠D+∠DAB＝90°，∵∠ACB＝∠NAB，∴∠DAB+∠BAN＝90°，∴∠DAN＝90°，∴直线MN是⊙O的切线．24．列方程或方程组解应用题：“美化城市，改善人民居住环境”是城市建设的一项重要内容．某市近年来，通过植草、栽树、修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，2011年底该市城区绿地总面积约为75公顷，截止到2013年底，该市城区绿地总面积约为108公顷，求从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率．【分析】设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x，由增长率问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：设从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是x，由题意，得75（1+x）2＝108解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：从2011年底至2013年底该市城区绿地总面积的年平均增长率是20%．25．如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O 于点D，连接AD．（1）求证：BC＝CD；（2）若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．【分析】（1）根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线，切线长定理证明；（2）根据含30°的直角三角形的性质、正切的定义计算即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O直径，BC⊥AB，∴BC是⊙O的切线，∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；（2）解：连接BD，∵BC＝CD，∠C＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝3，∠CBD＝60°，∴∠ABD＝30°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝BD•tan∠ABD＝．26．已知：抛物线y1＝x2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（m，0）．将y1向右平移4个单位得到y2．（1）求b的值；（2）求抛物线y2的表达式；（3）抛物线y2与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），记抛物线在D、F之间的部分为图象G（包含D、F两点），若直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点，请结合函数图象，求直线y＝kx+k﹣1与抛物线y2的对称轴交点的纵坐标t的值或取值范围．【分析】（1）把A（﹣3，0）代入y1＝x2+bx+3求出b的值即可；（2）将y1变形化成顶点式得：y1＝（x+2）2﹣1，由平移的规律即可得出结果；（3）求出抛物线y2的对称轴和顶点坐标，求出与坐标轴的交点坐标E（1，0），F（3，0），D（0，3），由题意得出直线y＝kx+k﹣1过定点（﹣1，﹣1）得出当直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点时，t＝﹣1，求出当直线y＝kx+k﹣1过F（3，0）时和直线过D（0，3）时k的值，分别得出直线的解析式，得出t的值，再结合图象即可得出结果．【解答】解：（1）把A（﹣3，0）代入y1＝x2+bx+3得：9﹣3b+3＝0，解得：b＝4，∴y1的表达式为：y＝x2+4x+3；（2）将y1变形得：y1＝（x+2）2﹣1据题意y2＝（x+2﹣4）2﹣1＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3；∴抛物线y2的表达式为y＝x2﹣4x+3；（3）∵y2＝（x﹣2）2﹣1，∴对称轴是x＝2，顶点为（2，﹣1）；当y2＝0时，x＝1或x＝3，∴E（1，0），F（3，0），D（0，3），∵直线y＝kx+k﹣1过定点（﹣1，﹣1）当直线y＝kx+k﹣1与图象G有一个公共点时，t＝﹣1（经过顶点），当直线y＝kx+k﹣1过F（3，0）时，3k+k﹣1＝0，解得：k＝，∴直线解析式为y＝x﹣，把x＝2代入＝x﹣，得：y＝﹣，当直线过D（0，3）时，k﹣1＝3，解得：k＝4，∴直线解析式为y＝4x+3，把x＝2代入y＝4x+3得：y＝11，即t＝11，∴结合图象可知t＝﹣1，或﹣＜t≤11．27．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．【分析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质可得∠DAB＝∠CAE，AB＝AC，AD＝AE，即可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE；（2）过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得CG＝BD，∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC，可证△BFD≌△CFG，可得结论；（3）由题意可证点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，由直径是圆的最大弦可得EF的最大值．【解答】证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为128．在平面直角坐标系xOy中，若P和Q两点关于原点对称，则称点P与点Q是一个“和谐点对”，表示为[P，Q]，比如[P（1，2），Q（﹣1，﹣2）]是一个“和谐点对”．（1）写出反比例函数y＝图象上的一个“和谐点对”；（2）已知二次函数y＝x2+mx+n，①若此函数图象上存在一个和谐点对[A，B]，其中点A的坐标为（2，4），求m，n的值；②在①的条件下，在y轴上取一点M（0，b），当∠AMB为锐角时，求b的取值范围．【分析】（1）由题目中所给和谐点对的定义可知P、Q即为关于原点对称的两个点，在反比例函数图象上找出两点即可；（2）①由A、B为和谐点对可求得点B的坐标，则可得到关于m、n的方程组，可求得其值；②当M在x轴上方时，可先求得∠AMB为直角时对应的M点的坐标，当点M向上运动时满足∠AMB为锐角；当点M在x轴下方时，同理可求得b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝，∴可取[P（1，1），Q（﹣1，﹣1）]；（2）①∵A（2，4）且A和B为和谐点对，∴B点坐标为（﹣2，﹣4），将A和B两点坐标代入y＝x2+mx+n，可得，∴；②（ⅰ）M点在x轴上方时，若∠AMB为直角（M点在x轴上），则△ABC为直角三角形，∵A（2，4）且A和B为和谐点对，∴原点O在AB线段上且O为AB中点，∴AB＝2OA，∵A（2，4），∴OA＝，∴AB＝，在Rt△ABC中，∵O为AB中点∴MO＝OA＝，若∠AMB为锐角，则；（ⅱ）M点在x轴下方时，同理可得，，综上所述，b的取值范围为或．。

西城区九年级上册数学期中测试题(含答案解析)西城区2019九年级上册数学期中测试题(含答案解析)西城区2019九年级上册数学期中测试题(含答案解析) 一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数的最大值是A． B． C．1 D．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于A．130° B．120°C．80° D．60°3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A B C D4．把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线A． B．C． D．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面积是3，那么△A′B′C′的面积等于点B，那么△AOB的面积等于．10．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，如果∠D=28°，那么°．11．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．12．在平面直角坐标系xOy中，，（其中），点P在以点为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P满足，（1）线段的长等于（用含m的代数式表示）；（2）m的最小值为．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：．14．解方程：．15．如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD 与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接交AB于点E．如果⊙ 的半径等于，，求弦的长．16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到（1）在正方形网格中，画出△ ；（2）计算线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积．（结果保留）17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．18．如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实数a的值．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得海中灯塔P在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P到环海路的距离PC约等于多少米？（取1.732，结果精确到1米）20．如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△F CD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求的值．21．如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称．E 为半径OC上一点，，连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M．（1）请依题意补全图形；（2）求证：；（3）求的值．22．已知抛物线C： .抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标抛物线C：变换后的抛物线（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数表达式.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点，在反比例函数（m为常数）的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点，过点C作CE∥x轴交直线l于点E．（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；（2）求点E的坐标；（3）求证：．24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）．（1）① = ；② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，点Q 到直线l的距离等于；（2）当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为，．在图2中画出此时的线段及△ ，并直接写出相应m的值；（3）当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于时，求m的值．25．如图1，对于平面上不大于的，我们给出如下定义：若点P在的内部或边界上，作于点E，于点，则称为点P相对于的“点角距离”，记为．如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于，点P为第一象限内或两条坐标轴正半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G．（1）满足条件的其中一个点P的坐标是，图形G与坐标轴围成图形的面积等于；（2）设图形G与x轴的公共点为点A，已知，，求的值；（3）如果抛物线经过（2）中的A，B两点，点Q在A，B 两点之间的抛物线上（点Q可与A，B两点重合），求当取最大值时，点Q的坐标．西城区2019九年级上册数学期中测试题(含答案解析)及评分标准一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A B B C D D B C二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．3． 10.28． 11. ． 12.（1）m；（2）3.三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：……………………………………………………… 3分………………………………………………………………………………… 5分14．解：．∵ ，，，……………………………………………………… 1分∴ ．……………………………………………… 2分∴ ……………………………………………… 3分∴ 原方程的解是，． (5)分15．解：连接OC．（如图1）∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，∴OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分PC=PD，∠OPC=∠OPD．∴ CD⊥OP，CD=2CE．…………………………2分∴ ．……………3分设 OE=k，则CE=2k，．（）∵ ⊙ 的半径等于，∴ ，解得．∴CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分∴CD=2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分16．（1）画图见图2．…………………………… 2分（2）由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3，所以AB=5．…………………… 3分线段AB在旋转到的过程中所扫过区域是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．……………………………………… 4分…………………………………… 5分所以线段AB在旋转到的过程中所扫过区域的面积为．17．解：根据题意，得．（20≤a≤80）…………………… 1分整理，得．可得．解方程，得，． (3)分当时，（件）．当时，（件）．因为要使每天的销售量尽量大，所以．………………………………… 4分答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售价应是40元．……………………………………………………………………… 5分18．解：（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立．…………1分（2）当a≠0时，函数是关于x的二次函数．∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，∴ 关于x的方程有两个相等的实数根．………2分∴ ．………………………………………………3分整理，得．解得． (5)分综上，或．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°．………………………………………… 2分∴ ∠PAC=∠APB．∴ PB=AB= 400．…………………………… 3分在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，∴ ≈346（米）．………………4分答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米．…………………………………… 5分20．（1）证明：如图4．∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵ 点F在BC上，点G在FD上，∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴ ∠EFB =∠FDC．…………………… 1分∴ △EBF∽△FCD．…………………… 2分（2）解：∵ BF=3，BC=CD=12，∴ CF=9，．由（1）得．∴ ．…………………………………………… 3分∴ ．……………………………………4分∴ ．………………………………………………… 5分21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分（2）证明：∵弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ ∠DBC=2∠ABC．……………………………2分又∵ ，∴ ．……………………………3分（3）解：∵ ，∴ ∠A=∠D．又∵ ，∴△AOE∽△DBM．……………………………………………………… 4分∵ ，OA =OC，∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，∴ BC=BD．∴ ． (5)分22．解：（1），．……………………………………………………… 2分画图象见图6． (3)分（2）由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示：抛物线顶点坐标与x轴交点坐标与y轴交点坐标变换后的抛物线设抛物线对应的函数表达式为．（a≠0）∵ 抛物线与y轴交点的坐标为，解得．∴ ．……… 5分∴ 抛物线对应的函数表达式为．说明：其他正确解法相应给分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．解：（1）∵ 点在反比例函数（m为常数）的图象G 上，∴ ．………………………………………………………………1分∴ 反比例函数（m为常数）对应的函数表达式是．设直线l对应的函数表达式为（k，b为常数，k≠0）．∵ 直线l经过点，，∴ 解得∴ 直线l对应的函数表达式为．………………………………2分（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为．………… 3分∵ CE∥x轴交直线l于点E，∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分（3）如图7，作AF⊥CE于点F，与过点B的y轴的垂线交于点G，BG交AE于点M，作CH⊥BG 于点H，则BH∥CE，．∴ 点F的坐标为．∴ CF=EF．∴ AC=AE．∴ ∠ACE =∠AEC．………………………… 5分∵ 点在图象G上，在Rt△ABG中，，在Rt△BCH中，，∴ ． (6)分∴∠BAE=∠ACB．…………………………………………………………… 7分 24．解：（1）① =90 ；………………………………………………………………1分② m=3时，点Q到直线l的距离等于．……………………………… 2分（2）所画图形见图8．………………………… 3分．……………………………… 4分（3）作BG⊥AC于点G，过点Q作直线l的垂线交l于点D，交BG于点F．∵ CA⊥直线l，∴ ∠CAP=90 ．易证四边形ADFG为矩形．∵ 等边三角形ABC的边长为4，∴ ∠ACB=60 ，，．∵ 将△ACP绕点C按逆时针方向旋转得到△BCQ，∴ △ACP≌△BCQ．∴ AP = BQ = m，∠PAC=∠QBC=90 ．∴ ∠QBF=60 ．在Rt△QBF中，∠QFB=90 ，∠QBF=60 ，BQ=m，∴ ． (5)分要使△PAQ存在，则点P不能与点A，重合，所以点P的位置分为以下两种情况：① 如图9，当点P在（2）中的线段上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的下方．整理，得．解得或．经检验，或在的范围内，均符合题意．… 7分② 如图10，当点P在（2）中的线段的延长线上（点P不与点A，重合）时，可得，此时点Q在直线l的上方．整理，得．解得（舍负）．经检验，在的范围内，符合题意．…………8分综上所述，或或时，△PAQ的面积等于．25．解：（1）满足条件的其中一个点P的坐标是；………………………………… 1分（说明：点的坐标满足，0≤x≤5，0≤y≤5均可）图形G与坐标轴围成图形的面积等于．…………………………………2分（2）如图11，作ME⊥OB于点E，MF⊥x轴于点F，则MF =1，作MD∥x轴，交OB于点D，作BK⊥x轴于点K．由点B的坐标为，可求得直线OB对应的函数关系式为．∴ 点D的坐标为，．∴ OB=5，，……………………………………… 3分……………………………………… 4分（3）∵ 抛物线经过，两点，∴ 解得∴ 抛物线对应的函数关系式为．………………………5分如图12，作QG⊥OB于点G，QH⊥x轴于点H．作QN∥x轴，交OB于点N．设点Q的坐标为，其中3≤m≤5，则．同（2）得．∴ 点N的坐标为，．∴ 当（在3≤m≤5范围内）时，取得最大值（）．………………………………………………………… 6分此时点Q的坐标为．…………西城区2019九年级上册数学期中测试题(含答案解析)参考答案。

2023-2024学年第一学期初三数学期中模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A. B. AIC. D.【答案】C【解析】【分析】中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．【详解】解：A ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；B ：既是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意；C ：是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；D ：既不是中心对称图形又不是轴对称图形，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别．掌握相关定义即可．2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A. 它的图象的顶点坐标为B. 当时，随的增大而减小C. 它的图象关于直线对称D. 图象与轴的交点坐标为【答案】D【解析】【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得顶点坐标，对称轴，增减性，即可判断A 、B 、C ，令，可得，即可得出图象与轴的交点坐标，即可判断D ，从而得到答案．【详解】解：，180︒243y x x =--()27--，2x >y x 2x =-y ()03-，()224327y x x x =--=--0x ==3y -y ()224327y x x x =--=--它的图象的顶点坐标为，故A 选项错误，不符合题意；，二次函数的图象开口向上，当时，随的增大而增大，故B 选项错误，不符合题意；对称轴为直线，它的图象关于直线对称，故C 选项错误，不符合题意；当时，，图象与轴的交点坐标为，故D 选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数解析式化为顶点式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．3. 已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值为（ ）A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】将代入得到关于的方程，解方程即可得到答案．【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根，，解得：，故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据题意得到关于的方程是解此题的关键．4. 二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（ ）A. B. C.D. ∴()27-，10a => ∴∴2x >y x 2x =∴2x = 0x =3y =∴y ()03-，1x =x ()22110x m x ++-=m 1-12-1x =()22110x m x ++-=m 1x =x ()22110x m x ++-=12110m ∴++-=12m =-m 231y x =-+180︒231y x =--23y x =231y x =+231y x =-【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案．【详解】解：二次函数解析式为，二次函数的顶点坐标为，二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，得到的抛物线的解析式为，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键．5. 如图，三点在已知的圆上，在中，是的上一点，分别连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等可得，据此即可求解．【详解】解：由题意得：∵∴故选：B【点睛】本题考查在同圆或等圆中，同弧所得的圆周角相等．熟记相关结论是解题关键．6. 如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦231y x =-+180︒ 231y x =-+∴()01，231y x =-+180︒∴231y x =+231y x =-+180︒,,A B C ABC 70,30,ABC ACB D ∠=︒∠=︒ BAC,DB DC D ∠30︒80︒90︒70︒BAC D ∠=∠18080BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒BAC D∠=∠80D ∠=︒O 3P AB OP 4OP =30P ∠=︒的长为（ ）．A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，由在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，可求得OH 的长，由在Rt △O4H 中，OA=3，即可求得AH 的长，继而求得答案.【详解】解：如图：过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，∵在Rt △OHP 中，∠P=30°，OP=4，∴ ∵在Rt △OAH 中，OA=3，∴故选．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.7. 已知二次函数的图象与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点．下列说法正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】D AB 2122OH OP ==AH ===2AB AH ∴==C 2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 112x <<y 0ac >0b <0a b c -+>0.50.250a b c ++<【解析】【分析】由题意可得抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据二次函数的图象与性质即可求解．【详解】解：由题意可知：抛物线的开口向下∴∵二次函数图象与y 轴交于正半轴上一点∴∴故A 错误；∵二次函数的图象与轴交于和∴对称轴为直线∵∴∴∴故B 错误；∵二次函数的图象与轴交于∴当时，即故C 错误；∵抛物线的开口向下，与轴交于和，∴当时，即利用不等式的性质可得：故D 正确；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．熟记相关结论，利用数形结合的思想是解题关1122x b x a -+=-=2y ax bx c =++a<0c >0ac <2y ax bx c =++x ()1,0-()1,0x 1122x b x a -+=-=112x <<111022x -+<<02b a->0b >2y ax bxc =++x ()1,0-=1x -0y =0a b c -+=x ()1,0-()1,0x 112x <<2x =0y <420a b c ++<0.50.250a b c ++<2y ax bx c =++键．8. 如图，A,B 是半径为1的⊙O 上两点，且OA ⊥OB. 点P 从A 出发，在⊙O 上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A 运动结束. 设运动时间为x ，弦BP 的长度为y ，那么下面图象中可能表示y 与x 的函数关系的是A. ①B. ④C. ②或④D. ①或③【答案】D【解析】【分析】分两种情形讨论当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题．【详解】解：当点P 顺时针旋转时，图象是③，当点P 逆时针旋转时，图象是①．故选D ．二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）9. 若二次函数的图象经过点，则___________．【答案】5【解析】【分析】把点代入，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，解得：．故答案为：5【点睛】本题主要考查了二次函数的图象上点的特征，熟练掌握二次函数的图象上点的特征是解题的关键．23y x mx m =++-()0,2m =()0,223y x mx m =++-23y x mx m =++-()0,232m -=5m =10. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．【详解】解：由题意得：且解得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关结论即可．11. 一个扇形的弧长为，半径为6，则此扇形的圆心角度数为___________，此扇形的面积为___________．【答案】①. 40 ②. 【解析】【分析】根据弧长及扇形面积公式可进行求解．【详解】解：由弧长公式可得：，解得：；∴该扇形的面积为；故答案为，．【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积公式，熟练掌握弧长及扇形面积公式是解题的关键．12. 已知的半径为5，点到圆心的距离为8，那么点与的位置关系是___________．【答案】点在外【解析】【分析】根据点在圆上，点在圆外，点在圆内，即可得到答案．【详解】解：的半径为5，点到圆心的距离为8，，点与的位置关系是点在外，故答案为：点在外．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上，点在圆外，点在圆内是解()1130m m xx +-+-=x m 1-12m +=10m -≠1m =-1-43π︒4π463180n ππ=40n =︒24064360S ππ⨯⨯==404πO P O P O P O d r =d r >d r < O P O 85OP ∴=>∴P O P O P O d r =d r >d r <此题的关键．13. 对于二次函数，与的部分对应值如表所示，在某一范围内，随的增大而减小，写出一个符合条件的的取值范围___________．01211【答案】【解析】【分析】根据表格确定二次函数的对称轴，然后结合与的值确定答案即可．【详解】解：由表格可得：二次函数过点，，二次函数的对称轴为直线，由表格可得：当时，随的增大而减小故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的对称轴．14. 如图，四边形内接于为直径，，若，则___________．【答案】55【解析】【分析】连接，由题意易得，然后问题可求解．【详解】解：连接，如图所示：()20y ax bx c a =++≠y x x y x x x L3-2-L y L 2-2-7-L 1x >-x y ()20y ax bx c a =++≠()32--，()12-，∴3112x -+==-1x >-y x 1x >-ABCD ,O AB CDBC =110C ∠=︒B ∠=︒BD 90,70,35ADB A CBD CDB ∠=︒∠=︒∠=∠=︒BD∵为的直径，∴，∵四边形内接于，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：55．【点睛】本题主要考查圆周角的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．15. 如图，分别是内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若的半径为2，下面四个结论中，①；②的长为；③点为的中点；④平分．其中所有正确结论的序号是___________．【答案】③④##④③【解析】【分析】设圆的圆心是，连接，，，，应用圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长计算公式、等边三角形的判定与性质，逐项判断即可得到答案．【详解】解：如图，设圆的圆心是，连接，，，，AB O 90ADB =︒ABCD O 110C ∠=︒18070A C ∠=︒-∠=︒20ABD ∠=︒ CDBC =CD BC =()1180352CBD CDB C ∠=∠=⨯︒-∠=︒55ABC ABD CBD ∠=∠+∠=︒AB AC AD ，，O O 1AB = AC 2πB AD AC BAD ∠O OA OB OC OD O OA OB OC OD是圆内接正六边形的一边，的度数为，，，为等边三角形，的半径为2，，故①错误，不符合题意；是圆内接正方形一边，的度数为，，，故②说法错误，不符合题意；是圆内接等边三角形的一边，的度数为，，，，，，点为的中点，故③正确，符合题意；，，，，，的AB AB ∴3600166⨯︒=︒60AOB ∴∠=︒OA OB = AOB ∴ O 2AB OA ∴==AC AC ∴1360904⨯︒=︒90AOC ∴∠=︒ 90π2π180AC ⨯⨯==∴AD »AD ∴13601203⨯︒=︒120AOD ∴∠=︒60AOB ∠=︒ 1206060BOD AOD AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BOD AOB ∴∠=∠ AB BD∴=∴B AD 90AOC ∠=︒ 120AOD ∠=︒1209030COD AOD AOC ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒60BOD ∠=︒ 603030BOC BOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，，，平分，故④正确，符合题意；综上所述，正确的有③④，故答案为：③④．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、弧长公式、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．16. 如图，在中，，点是边上一点且绕点逆时针旋转得线段，点始终为的中点，若绕点旋转一周，则线段的最大值为___________此时旋转角___________．【答案】①.②. ##150度【解析】【分析】由含角的直角三角形的性质可得，取边上的中点，连接，，，为的中位线，得到，，由可得当、、在同一直线时，最大，，证明为等边三角形，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，从而即可得到的度数．【详解】解：在中，，，如图，取边上的中点，连接，，BOC COD ∴∠=∠ BCCD ∴=BAC CAD ∴∠=∠∴AC BAD ∠Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，D AC AD =AD A AD 'F BD 'AD A CF DAD '∠=︒6+6+150︒30︒12BC =AB E EF CE 162CE AB ==EF ABD '△12EF AD '==EF AD '∥EF CE CF +≥C E F CF 6CF CE EF =+=+CBE △60CEB ∠=︒180120BEF CEB ∠=︒-∠=︒120D AB BEF '∠=∠=︒DAD '∠ Rt ABC △90306ACB BAC BC ∠=︒∠=︒=，，212AB BC ∴==AB E EF CE，，始终为的中点，为的中位线，，，如图，当、、在同一直线时，最大，，，，，为中点，，为等边三角形，，，，，，162CEAB ∴== F BD 'EF ∴ABD '△12EF AD '∴==EF AD '∥EF CE CF +≥ ∴C E F CF 6CF CE EF =+=+30BAC ∠=︒ 9060ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒E AB CE BE ∴=CBE ∴ 60CEB ∴∠=︒180120BEF CEB ∴∠=︒-∠=︒A EF D ' ∥120D AB BEF '∴∠=∠=︒12030150D AD D AB BAC ''∴∠=∠+=︒+︒=︒故答案为：，．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．三、解答题（共12小题，满分68分，17-19，21-23每题5分，20，24-26每题6分，27，28每题7分）17. 解方程：【答案】【解析】【分析】根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：∵，，∴解得：【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．18. 已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为1，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）计算，证明即可解题；（2）利用韦达定理，结合解题．【小问1详解】证明：6+150︒2620x x -+=1233x x ==2620x x -+=1,6,2==-=a b c 2436828b ac ∆=-=-=x ==1233x x =+=22320x kx k -+=0k >1k =224b ac k ∆=-=0∆≥212123,2b c x x k x x k a a+=-=⋅==22121212)(4()x x x x x x +=--22320x kx k -+=21,3,2a b k c k ==-=2222498b ac k k k ∆=-=-=该方程总有两个实数根；【小问2详解】又【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．19. 如图，是直径，是弦，于点，若，求圆的半径．【答案】圆的半径为5【解析】【分析】连接，设的半径为，则，由垂径定理可得，由可得，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．【详解】解：如图，连接，的20k ≥Q 0∴∆≥∴22320x kx k -+=21212121,3,2b c x x x x k x x k a a -=+=-=⋅==Q 22121212()()4x x x x x x -=+-Q 22981k k ∴-=1k ∴=±0k > 1k ∴=CD O AB AB CD ⊥E 28ED AB ==，OA O r OA OD r ==4AE =2DE =4=-OE r ()22242r r +-=OA，设的半径为，则，是的直径，是弦，于点，，，，，，在中，，即，解得：，圆的半径为5．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．20. 已知抛物线经过点和．…………（1）求抛物线解析式；（2）用五点法列表并画出函数图象；O r OA OD r == CD O AB AB CD ⊥E 8AB =142AE BE AB ∴===90AEO ∠=︒2DE = 2OE r ∴=-Rt AEO △222AE OE OA +=()22242r r +-==5r ∴()21y a x k =++()03-，()10，x y（3）当时，的取值范围是___________．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）将点和代入抛物线得到，求出、的值即可得到答案；（2）先列出表格，再描点、连线，即可得到答案；（3）先求出当时，，再根据图象即可得到答案．【小问1详解】解：抛物线经过点和，，解得：，抛物线解析式为：；【小问2详解】解：列表：…01……00…画出图象如图所示：的22x -<<y ()214y x =+-45y -≤<()03-，()10，()21y a x k =++340a k a k +=-⎧⎨+=⎩a k 2x =5y = ()21y a x k =++()03-，()10，340a k a k +=-⎧∴⎨+=⎩14a k =⎧⎨=-⎩∴()214y x =+-x 3-2-1-y 3-4-3-【小问3详解】解：当时，，由图象可得：当时，的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．21. 三帆中学计划在一块（单位：）的场地新修操场．如果操场由宽为1米的矩形步行道包围，如图，若内圈矩形周长是160米，设的长为米，则可用表示为___________米；根据实际情况的取值范围是___________；为了充分利用好操场，使操场面积最大，请给出一个合理的修建新操场的方案．【答案】，，当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【解析】【分析】利用矩形的周长公式求得的长，再利用的矩形场地，列不等式组求得的取值范围，然后利用矩形面积公式列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：设的长为米，则，由题意得，解得，2x =5y =22x -<<y 45y -≤<45y -≤<4060⨯m ABCD AB x AD x x 80x -2238x ≤≤AB 38AD 44AD 4060⨯x AB x 1602802x AD x -==-24080260x x +≤⎧⎨-+≤⎩2238x ≤≤设操场的面积为y ，则，∵，开口向下，当时，y 随x 的增大而增大，∴当时，y 有最大值，最大值为（平方米）．当的长为米，的长为米时，操场面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形得出矩形的边的长及二次函数的性质．22. 一次函数的图象经过点和．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若直线与该一次函数的图象相交，且交点在第三象限，直接写出的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设一次函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可；（2）由题意可联立函数解析式，然后可得交点坐标为，进而问题可求解．【小问1详解】解：设一次函数的表达式为，由题意得：，解得：，∴一次函数的表达式为；【小问2详解】解：由题意可得：，解得：()()()22802401764y x x x =+-+=--+10-<40x <38x =()2384017641760y =--+=AB 38AD 44AD ()1,6()0,4y nx =n 24y x =+02n <<y kx b =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭y kx b =+64k b b +=⎧⎨=⎩24k b =⎧⎨=⎩24y x =+24y nx y x =⎧⎨=+⎩4242x n ny n ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∴直线与一次函数的图象的交点坐标为，∵该交点在第三象限，∴，解得：．【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．23. 下面是小石设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，是半圆的圆心，点在的延长线上．求作：过点与半圆相切的直线．作法：①以为圆心，为半径作半圆，且半圆与半圆在直线同侧，交的延长线于点；②以为圆心，的长度为半径作弧，与半圆交于点；③作直线．则直线就是所作切线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接，作于点．（①___________）（填推理的依据）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，y nx =24y x =+44,22n n n ⎛⎫⎪--⎝⎭402402n n n ⎧<⎪⎪-⎨⎪<⎪-⎩02n <<O MN P OM P MN O OP PA PA MN PN A A MN PA B PB PB AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C是半圆的切线．（②___________）（填推理的依据）．【答案】23. 见解析24. 垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】（1）根据题意，画出图形，即可；（2）连接，作于点．根据垂径定理可得，再根据三角形中位线定理，可得，且，从而得到是半圆的半径，即可．【小问1详解】解：根据题意，画出图形，如图所示：【小问2详解】证明：连接，作于点．（垂径定理）．是的中点，是的中点，，且．是半圆的半径．又于，是半圆的切线．（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）故答案为：垂径定理；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理是解题的关键．24. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m ）与水平距离（单位：m ）近似满足函数关系．PB ∴MN AB OC PB ⊥C PC BC =OC AB ∥12OC AB OM ==OC MN AB OC PB ⊥C PC BC ∴=C PB O PA OC AB ∴∥12OC AB OM ==OC ∴MN OC PB ⊥ C PB ∴MN y x 2()(0)y a x h k a =-+<某运动员进行了两次训练．（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离x /m 02581114竖直高度y /m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．【答案】（1）23.20 m ； （2）【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出和，然后进行比较即可．【小问1详解】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m ，根据表格中的数据可知，当时，，代入得：，解得：，x y ()2(0)y a x h k a =-+<20.04(9)23.24.y x =--+2d 1d 2d ()20.05823.20y x =--+＜t 1d 2d ()8,23.208h =23.20k =0x =20.00y =()2823.20y a x =-+()220.000823.20a =-+0.05a =-∴函数关系关系式为：．【小问2详解】设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，第二次训练时，，解得：，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t 表示出和是解题的关键．25. 如图，是的直径，是的中点，的切线交的延长线于点，是的中点，的延长线交切线于点，交于点，连接．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】()20.05823.20y x =--+t ()20.05823.20t x =--+8x =+8x =18d =+()20.04923.24t x =--+9x =9x =29d =()()2023.202523.24t t --＜12d d ＜＜t 1d 2d AB O C AB O BD AC D E OB CE BD F AF O H BH AC CD =2OB =BH BH =【分析】（1）连接，若要证明C 为的中点，只需证，已知C 是的中点，可知，又是切线，可知，问题得证（2）由（1）及E 为中点可知，从而可知，由勾股定理可得的长，由面积法即可求出的长【详解】证明：（1）连接，∵C 是的中点，是的直径∴，∵是切线∴，∴，∴，∵，∴．（2）∵E 是的中点∴，在和中∴∴，的OC AD OC BD ∥ AB OC AB ⊥BD BD AB ⊥OB COE FBE △≌△2BF CO BO ===AF BH OC AB AB O OC AB ⊥BD O BD AB ⊥OC BD ∥AO ACOB CD=AO BO =AC CD =OB OE BE =COE FBE CEO FEB OE BE COE FBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AAS COE FBE ≌BF CO =∵，∴∴∵是直径，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理的应用，熟练的利用以上知识解题是关键．26. 在平面直角坐标系中，为抛物线（是常数）上的两点．（1）求抛物线顶点坐标（用表示）；（2）若，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）将一般式化为顶点式即可求解；（2）由可得，据此即可求解．【小问1详解】解：∴抛物线的顶点坐标为【小问2详解】解：由（1）可得：抛物线的开口向上，对称轴为直线∵∴即的2OB =2BF =AF ==AB BH AF ⊥AB BF BH AF ⋅===xOy ()()1221,,2,A m y B y -2222y x mx m =-+-m m 12y y >m (),2m -32m >12y y >212m m m -->-()222222y x mx m x m =-+-=--(),2m -x m =12y y >212m m m -->-12m m->-解得：【点睛】本题考查了将抛物线的一般式化为顶点式以及二次函数的增减性．熟记相关的结论，注意计算的准确性即可．27. 如图，在中，，点是边上一动点，连接．将绕点逆时针旋转，得到，满足，并连接．（1）如图1，求证：；（2）连接为中点，为中点，连接交于．①猜想的度数，并证明当时（如图2）你猜想的结论；②连接，若长的最小值．【答案】（1）见解析 （2）①【解析】【分析】（1）证即可；（2）①延长至点，使得，可证，故；根据全等三角形和等腰三角形的性质求出即可；②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段；可推出当点与点重合时，有最小值，通过解直角三角形即可求解．【小问1详解】证明：∵∴32m >ABC ,120AB AC BAC =∠=︒D BC AD AD A AE DAE BAC ∠=∠CE BD CE =,BE F CD G BE FG AB H BHF ∠30CAD ∠=︒AG AB AC ==AG 120︒ABD ACE ≌△△BC R CR BD =GF ER ∥BFG R ∠=∠R ∠AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ D BC E CI G JK D J AG DAE BAC∠=∠BAD CAE∴∠=∠,AB AC AD AE== ABD ACE∴ ≌BD CE=【小问2详解】解：①，理由如下：延长至点，使得，如图所示：∵为中点，∴为中点∵为中点∴∵∵∴当时，证明过程不变②将逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，的中点，连接，如图所示：120BHF ∠=︒BC R CR BD =F CD CR BD =F BR G BE GF ER∥,120AB AC BAC =∠=︒30ABC ACB ∴∠=∠=︒ABD ACE≌△△30,ACE ABD BD CE CR∠=∠=︒==60DCE R CER ACB ACE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒R CER ∠=∠Q 30R ∴∠=︒30BFG R ∴∠=∠=︒180120BHF ABC BFG ∴∠=︒-∠-∠=︒30CAD ∠=︒AC 120︒A I ,CI BI BC J BI K KJ当点在边上运动时，可知点的运动轨迹为线段，点的运动轨迹为线段可知∵分别为的中点∴当点与点重合时，有，平分此时的值最小∵即：【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线定理等知识点．解决第三问的关键是确定动点的运动轨迹．28. 在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形D BC E CI G JK BAC CAIV V ≌30ACB ACI ∴∠=∠=︒60BCI ∴∠=︒,K J ,BI BC KJ CI∥60BJK BCI ∴∠=∠=︒D J AD BC ⊥AD BAC∠90,60ADB BAD ∴∠=︒∠=︒30KDA ADB BJK ∴∠=∠-∠=︒90AGD ∴∠=︒AG 30AB ABD =∠=︒sin 30AD AB ∴=⨯︒=30AD ADG =∠=︒Q sin 30AG AD ∴=⨯︒=AG G M 1G 1MG G −−−→1G再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．容易知道：若，则；若，则．已知在平面直角坐标系中，点．（1）如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．（2）点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；（3）点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．【答案】（1）①②（2）点的横坐标的取值范围为或（3或【解析】【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案；（2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案；N 2G 12M NG G G −−−→−−→G 2G G M N ，2G 2M NG G −−−→，1M G G −−−→1M G G −−−→2M N G G −−−→，2N MG G −−−→，xOy ()()1110A B ，，，11101,0222S T R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，A AOB O S ，S T ，R ，R O ，P 1y x =+O PAB CD →，CD P Px Q 1OQ =AB H H O Q ，K x K K x P P x 312P x -≤≤-12P x =-13K x +≤≤11K x -≤≤A AOB ()1P P P x x +，O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++，CD x CD y P x（3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案．【小问1详解】解：根据题意可得：点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，故答案为：①②；【小问2详解】解：点在直线上，设点，点，线段后点的坐标为，，线段与坐标轴有公共点，当线段与轴有公共点时，，，解得：，当线段与轴有公共点时，，解得：，综上所述，点的横坐标的取值范围为或；【小问3详解】解：线段上存在点，，设点的坐标为，点，则，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤1OQ =221+=m n H O Q，()212K m n y ++，K x 20n y +=n 221+=m n m A O S ，()10，AOB A S T ，()00，AOB A R ，()33，AOB A R O ，()01，AOB A AOB P 1y x =+∴()1P P P x x +， ()()1110AB ，，，∴O PAB CD →，C ()2123P P x x ++，()2122P P D x x ++， CD ∴CD x 230P x +≥220P x +≤312P x -≤≤-CD y 210P x +=12P x =-P P x 312P x -≤≤-12P x =- AB H ()()1110A B ，，，H ()1y ，()Q m n ，01y ≤≤，，即，点作对称后的对应为点，，点在轴上，，，，，，，，，，或或，点的横坐标或．【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键．1OQ =1=221+=m n H O Q ，K ()212K m n y ∴++， K x 20n y ∴+=2y n ∴=-01y ≤≤021n ∴≤-≤102n ∴-≤≤2104n ∴≤≤221m n += 21014m ∴≤-≤2314m ∴≤≤1m ≤≤1m -≤≤1213m +≤+≤1211m -≤+≤+∴K K x 13K x ≤≤11K x -≤≤。

2020-2021学年北京市西城区鲁迅中学九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列说法正确的是()A. 有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B. 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形C. 为防止新冠传播，对确诊患者的密切接触者采用抽样调查的方法D. 五边形的内角和是720°2.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是()A. x=−1B. x=1C. x=−2D. x=23.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是()．A. 7B. 9C. 10D. 114.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S 四边形 AOBO ′=6+3；其中正确的结论是()A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②5.抛物线y=3x2+2x−1向上平移4个单位长度后的函数解析式为()A. y=3x2+2x−5B. y=3x2+2x−4C. y=3x2+2x+3D. y=3x2+2x+46.若点A(2,4)在函数y=kx(k≠0)的图象上，则下列各点在此函数图象上的是()A. (1,2)B. (−2,−1)C. (−1,2)D. (2,−4)7.已知直线y=kx+b，若k+b<0，kb>0，那么该直线不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8.如图，AB是⊙O的直径，AC，CD是⊙O的两条弦，CD⊥AB，连接OD，若∠CAB=20°，则∠BOD的度数是()A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，D为抛物线的顶点，∠DAB=45°，过A作AC⊥AD交抛物线于点C，动直线l过点A，与线段CD交于点P，设点C，D到直线l的距离分别为d1、d2，则d1+d2的最大值为______．10.如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°，得到Rt△EFC，若AB=√5，BC=1，则阴影部分的面积为______．11.如图，四边形ABCD是矩形纸片，AD=.对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，折痕为EF；展平后再过点A折叠矩形纸片，使点D落在EF上的点N，折痕AG与EF相交于点Q；再次展平，连接AN，GN，延长GN交AB于点M.有如下结论：①MN=NG；②EQ=1；③△GAM一定是等边三角形；④P为线段AG上一动点，则PD+PE的最小值是.其中正确结论的序号是．12.小学某有男生900人，女生人数是男生人数的，实验小学一共有()人。

2021-2022学年北京市西城区鲁迅中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下面四个图案中，是中心对称不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.已知⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，则()A. OA<6B. OA>6C. OA<3D. OA>33.方程x2−3x−3=0的根的情况是()A. 无实根B. 有两个相等的实根C. 有两个不相等的实根D. 不确定4.二次函数y=(x−5)2+7的最小值是()A. −7B. 7C. −5D. 55.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于()A. 70°B. 80°C. 60°D. 50°6.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是()A. B.C. D.7.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=kx+n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断：①二次函数y1有最大值②二次函数y1的图象关于直线x=−1对称③当x=−2时，二次函数y1的值大于0④过动点P(m,0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m<−3或m>−1．其中正确的是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：(1)△AED≌△AEF；(2)△ABE∽△ACD；(3)BE+DC=DE；(4)BE2+DC2=DE2．其中正确的是()A. (2)(4)B. (1)(4)C. (2)(3)D. (1)(3)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.关于x的一元二次方程x2+x+a2−36=0有一个根为5，则a=______．10.将一元二次方程x2+4x+1=0化成(x+a)2=b的形式，其中a，b是常数，则a+b=______．11.若关于x的一元二次方程mx2+2x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是______．12.函数y=x2−2x−2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是______．13.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是______ ．14.如图，A，B，C三点在已知的圆上，在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是弧BAC的中点，连接DB，DC，则∠DBC的度数为______度．15.已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为______°.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y=2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.解下列方程：(1)(x−3)2=2x−6；(2)x2−4x−1=0．18.已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根为负数，求m的取值范围．19.已知：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表：(1)这个二次函数的对称轴是直线______；(2)m的值为______；(3)求出这个二次函数的解析式；(4)当0<x<3时，则y的取值范围为______．20.如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的位置如图．(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；(3)写出C2点的坐标．21.已知：如图，直线AC与圆O交于点B、C，直线AD过圆心O，若圆O的半径是5，且∠DAC=30°，AD=13，求弦BC的长．22.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：如图，⊙O和点P．求作：过点P的⊙O的切线．小明的主要作法如下：如图：(1)连接OP，作线段OP的垂直平分线，交OP于点A；(2)以A为圆心，OA长为半径作圆，交⊙O于点B，C；(3)作直线PB和PC；所以PB和PC就是所求的切线．老师说：“小明的作法正确．”根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：证明：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=90°，∠PCO=90°；______(填推理的依据)∴OB⊥PB，OC⊥PC，又∵OB，OC是⊙O的半径，∴PB，PC是⊙O的切线．______(填推理的依据)23.阅读下面材料：上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数x，关于x的不等式x2−2x−1−a>0恒成立，求a的取值范围．小捷的思路是：原不等式等价于x2−2x−1>a，设函数y1=x2−2x−1，y2=a，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转化为函数y1的图象在y2的图象上方时a的取值范围．请结合小捷的思路回答：对于任意实数x，关于x的不等式x2−2x−1−a>0恒成立，则a的取值范围是______．参考小捷思考问题的方法，解决问题：关于x的方程x2−4x=a在0<x<4范围内有两个解，求a的取值范围．(1)设函数y1=x2−4x，y2=a，画出y1的图象的示意图．(2)关于x的方程x2−4x=a在0<x<4范围内有两个解，则a的取值范围是______．24.某水果店出售一种进价为每千克10元的热带水果，原售价为每千克20元．(1)连续两次降价后，每千克售价16.2元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率．(2)这种水果每月的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在着一次函数关系：y=−10x+200.当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．(1)求证：EF⊥AB；(2)若∠C=30°，EF=√6，求EB的长．26.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y=4x2−8ax+4a2−4，A(−1,0)，N(n,0)．(1)当a=1时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；②若抛物线G与线段AN只有一个交点，求n的取值范围；(2)若存在实数a，使得抛物线G与线段AN有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．27.正方形ABCD中，将边AB所在直线绕点A逆时针旋转一个角度α得到直线AM，过点C作CE⊥AM，垂足为E，连接BE．(1)当0°<α<45°时，设AM交BC于点F，①如图1，若α=35°，则∠BCE=______°；②如图2，用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系，并证明；(2)当45°<α<90°时(如图3)，请直接用等式表示线段AE，BE，CE之间的数量关系．28.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点(1,1)，(−13,−13)，(−√2,−√2)，…，都是和谐点．(1)判断函数y=−2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(32,3 2 ).①求a，c的值．②当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.是中心对称不是轴对称图形，故本选项符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：∵⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，∴OA<6．故选：A．根据点P在圆内⇔d<r.进行判断．本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r．3.【答案】C【解析】解：∵Δ=(−3)2−4×1×(−3)=21>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．4.【答案】B【解析】解：∵y=(x−5)2+7∴当x=5时，y有最小值7．故选：B．根据二次函数的性质求解．本题考查了二次函数的最值：当a>0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−b，2a；当a<0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称函数最小值y=4ac−b24a，函轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−b2a数最大值y=4ac−b2．4a5.【答案】B【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°，故选：B．先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．6.【答案】C【解析】【试题解析】解：x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a>0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选：C．令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a>0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象的开口向上，∴二次函数y1有最小值，故①错误；观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=−1对称，故②正确；当x=−2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；当x<−3或x>−1时，抛物线在直线的上方，∴m的取值范围为：m<−3或m>−1，故④正确．故选：D．8.【答案】B【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，∴AD=AF，∵∠DAE=45°，∴∠FAE=90°−∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE，∵在△AED与△AEF中，{AF=AD∠FAE=∠EAD AE=AE，∴△AED≌△AEF(SAS)，故①正确；∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，∴△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；∵△AED≌△AEF，∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，在Rt△ABC中，∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，∴BE2+BF2=FE2，即BE2+DC2=DE2，故④正确．故选B．由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE= 45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF.由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE2+DC2=DE2是正确的．本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全都三角形的判定与性质、图形旋转的性质等知识，难度适中．9.【答案】±√6【解析】解：根据题意，得52+5+a2−36=0．解得a=±√6．故答案是：±√6．把x=5代入已知方程后，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．本题考查了一元二次方程的解(根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了解一元一次方程．10.【答案】5【解析】解：方程x2+4x+1=0，移项得：x2+4x=−1，配方得：x2+4x+4=3，即(x+2)2=3，∴a=2，b=3，则a+b=5，故答案为：5方程配方得到结果，确定出a与b的值，即可求出a+b的值．此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11.【答案】m≤1且m≠02【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x+2=0有两个实数根，∴m≠0Δ=22−4×2m≥0且m≠0，解得：m≤1且m≠0，2且m≠0．故答案为：m≤12根据判别式的意义得到m≠0，b2−4ac=22−4×2m≥0，然后解不等式即可；此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．12.【答案】x≤−1或x≥3【解析】解：当y=1时，x2−2x−2=1，解得(x+1)(x−3)=0，x1=−1，x2=3．由图可知，x≤−1或x≥3时y≥1．故答案为x≤−1或x≥3．令函数的值等于1，求出x的值，然后从函数图象即可观察出当y≥1成立的x的取值范围．本题考查了二次函数与不等式(组)及二次函数的图象，体现了数形结合在解题时的重要作用．13.【答案】y=−x2−1【解析】解：根据题意，−y=(−x)2+1，得到y=−x2−1.故旋转后的抛物线解析式是y=−x2−1．根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．14.【答案】50【解析】解：∵∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−30°=80°，∴∠BDC=∠BAC=80°，∵BD⏜=CD⏜，∴∠DBC=∠DCB=1(180°−∠BDC)=50°，2故答案为：50．利用三角形内角和定理求出∠BAC，再利用等腰三角形的性质求解即可．本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．15.【答案】30或150【解析】解：如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，∴∠AOB=60°，在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，∠AOB，∠ACB+∠ADB=180°，∵∠ACB=12∴∠ACB=30°，∠ADB=150°，故答案为：30或150．求出∠AOB=60°，再利用圆周角定理，圆内接四边形的性质解决问题即可．本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．16.【答案】√3【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理．连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到OQ=√OP2−1，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ的最小值．【解答】解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切⊙P于点Q，∴PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，OQ=√OP2−PQ2=√OP2−1，当OP最小时，OQ最小，当OP垂直于直线y=2时，OP有最小值2，∴OQ的最小值为√22−1=√3．故答案为√3．17.【答案】解：(1)(x−3)2=2x−6，(x−3)2−2(x−3)=0，(x−3)(x−3−2)=0，(x−3)或(x−5)=0，∴x1=3，x2=5；(2)x2−4x=1，x2−4x+4=5，(x−2)2=5，x−2=±√5，所以x1=2+√5，x2=2−√5．【解析】(1)先移项，再提取公因式，再利用因式分解法求解可得；(2)利用配方法得到(x−2)2=3，然后利用直接开平方法解方程．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)由题意可知：△=(−m)2−4(m−1)=(m−2)2∵(m−2)2≥0，∴方程总有两个实数根．(2)由题意可知：x=m−1或x=1∵方程有一个根为负数，∴m−1<0．∴m<1．【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案．(2)根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．19.【答案】x=23−1≤y<3【解析】解：(1)∵由表中x、y的对应值可知，当x=1与x=3时y的值相等，=2，∴对称轴是直线x=1+32故答案为直线x=2；(2)∵点(0,3)关于直线x=2的对称点为(4,3)，∴m=3，故答案为3；(3)∵二次函数的图象经过点(1,0)，(3,0)，∴设二次函数的解析式为y=a(x−1)(x−3)，∵图象经过点(0,3)，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=x2−4x+3；(4)由表格数据可知，当0<x<3时，则y的取值范围为−1≤y<3，故答案为：−1≤y<3．(1)根据表中x、y的对应值可知，当x=1与x=3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；(2)根据抛物线的对称性求得即可；(3)利用待定系数法求得即可．此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)C2点的坐标(2,3)．【解析】(1)平移平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；(3)根据C2的位置写出坐标即可．本题考查作图−旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．21.【答案】解：作OM⊥BC于点M．∵AD=13，OD=5，∴AO=8∵∠DAC=30°，∴OM=4．在Rt△OCM中，OM=4，OC=5，∴MC=3∴BC=2MC=6．【解析】已知AD的长及⊙O的半径，即可求出OA的长；过O作BC的垂线，设垂足为M，在Rt△OAM中，由OA的长和∠A的度数，可求出OM的值；进而可在Rt△OCM中，用勾股定理求出CM的长．根据垂径定理知BC=2CM，由此可求出BC的长．此题考查的是直角三角形的性质、勾股定理及垂径定理的综合应用．22.【答案】直径所对的圆周角是直角经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线【解析】(1)解：补全图形如图所示；(2)证明：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=90°，∠PCO=90°(直径所对的圆周角是直角)(填推理的依据)，∴OB⊥PB，OC⊥PC，又∵OB，OC是⊙O的半径，∴PB，PC是⊙O的切线(经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线)(填推理的依据)．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．(1)根据题意补全图形即可；(2)根据圆周角定理得到∠PBO=90°，∠PCO=90°，根据垂直的定义得到OB⊥PB，OC⊥PC，根据切线的判定定理即可得到结论．本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．23.【答案】a<−2−4≤a<0【解析】解：请结合小捷的思路回答：由函数图象可知，a<−2时，关于x的不等式x2−2x−1−a>0恒成立，故答案为：a<−2；解决问题：(1)y1=x2−4x=(x−2)2−4，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,4)，当y=0时，x2−4x=0，解得：x1=0，x2=4，∴图象过(0,0)和(4,0)，如图所示：(2)关于x的方程x2−4x=a在0<x<4范围内有两个解，可转化为函数y1=x2−4x，y2=a在0<x<4范围内有两个交点，∴结合图象可知，a的取值范围是−4≤a<0．故答案为：−4≤a<0．请结合小捷的思路回答：直接根据函数的顶点坐标可得出a的取值范围；解决问题：(1)根据函数解析式画出函数图象；(2)把关于x的方程x2−4x=a在0<x<4范围内有两个解，可转化为函数y1=x2−4x，y2=a在0<x<4范围内有两个交点，结合图形即可得出结论．本题考查的是二次函数与不等式(组)，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．24.【答案】解(1)设每次下降的百分率为a，由题意得：20(1−a)2=16.2，解得：a1=0.1=10%，a2=1.9(舍去)，∴每次下降的百分率为10%；(2)设每月可获得的利润为w元，由题意得：w=(x−10)(−10x+200)=−10x2+300x−2000=−10(x−15)2+250，∵−10<0，∴当x=15时，w有最大值，最大值为250，∴当销售单价为15元时，每月可获得最大利润250元．【解析】(1)设每次下降的百分率为a，根据连续两次降价后，每千克售价16.2元列出方程，解方程即可；(2)根据题意可得利润=(定价−进价)×销售量，从而列出关系式，然后根据函数的性质求最值即可．此题考查二次函数以及一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出方程和函数解析式．25.【答案】(1)证明：连接AD、OD，∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，又∵AB=AC，∴CD=DB，又CO=AO，∴OD//AB，∵FD是⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴FE⊥AB；(2)∵∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠F=30°，OF，∴OA=OD=12∵∠AEF=90°，EF=√6，∴AE=√2，∵OD//AB，OA=OC=AF，∴OD=2AE=2√2，AB=2OD=4√2，∴EB=3√2．【解析】(1)连接AD、OD，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质证明D是BC的中点，得到OD是△ABC的中位线，根据切线的性质证明结论；(2)根据三角形的内角和得到∠AOD=60°，∠F=30°，根据直角三角形的性质得到OA=OF，求得AE=√2根据平行线等分线段定理得到OD=2AE=2√2，AB=2OD= OD=124√2，由线段的和差即可得到结论．本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理，掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键．26.【答案】解：(1)①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2−8x，令y=0，即4x2−8x=0，解得：x1=0，x2=2，即抛物线G与x轴的交点坐标为：(0,0)、(2,0)；②设C(0,0)，D(2,0)，抛物线G与线段AN只有一个交点，则点N在C、D之间，所以：0<n<2；(2)由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则G与x轴的两交点在AN之间，解方程4x2−8ax+4a2−4=0，得x1=a−1，x2=a+1，当a−1≥−1时，则n≥a+1，当a+1≤−1时，则n≤a−1，即：n的取值范围为：n≤−3或n≥1．【解析】(1)①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2−8x，令y=0，即可求解；②抛物线G与线段AN只有一个交点，可知点N在C、D之间，即可求解；(2)由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则G与x轴的两交点在AN之间，注意分情况讨论．本题考查的是二次函数的综合运用，其核心是二次函数与线段的交点问题，注意分情况讨论，本题难度较大．27.【答案】解：(1)①35；②AE=CE+√2BE．证明：如图2，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，∴∠GBE=∠GBC+∠CBE=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠ABG+∠GBC=90°，∴∠ABG=∠CBE．∵∠ABC=90°，∴∠α+∠AFB=90°，∵∠CFE=∠AFB，∴∠α+∠CFE=90°，∵∠CEF=90°，∴∠BCE+∠CFE=90°，∴∠α=∠BCE．在△ABG和△CBE中，∠ABG=∠CBE，AB=BC，∠α=∠BCE，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴AG=CE，BG=BE．∵在Rt△BEG中，BG=BE，∴GE=√2BE，∴AE=AG+GE=CE+√2BE．(2)AE+CE=√2BE．理由：如图3，过点B作BG⊥BE，交AM于点G，∴∠GBE=∠GBA+∠ABE=90°．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠D=∠ABC=∠ABE+∠EBC=90°，∴∠ABG=∠CBE．∵∠D=90°，∴∠DAH+∠AHD=90°，∵∠AHD=∠CHE，∴∠DAH+∠CHE=90°，∵∠CEA=90°，∴∠DCE+∠CHE=90°，∴∠DAH=∠DCE．延长DA交BG于N，∵∠NAG=∠DAH，∴∠NAG=∠DCE，∴∠NAG+90°=∠DCE+90°，∴∠BAG=∠BCE在△ABG和△CBE中，∠ABG=∠CBE，AB=BC，∠BAG=∠BCE，∴△ABG≌△CBE(ASA)，∴AG=CE，BG=BE．∵在Rt△BEG中，BG=BE，∴GE=√2BE，∴AE=GE−AG=√2BE−CE．即：AE+CE=√2BE．【解析】【分析】(1)①利用正方形的性质得出∠ABC=90°，进而求出∠AFB=90°−∠BAF=55°，再利用对顶角相等得出∠CFE=∠AFB=55°，即可得出结论；②先利用等式的性质得出∠ABG=∠CBE，再同①的方法得出∠α=∠BCE，进而判断出△ABG≌△CBE(ASA)，得出AG=CE，BG=BE，即可得出结论；(2)先判断出∠ABG=∠CBE，进而用同①的方法判断出∠DAH=∠DCE，即可得出∠BAG=∠BCE，判断出△ABG≌△CBE(ASA)，得出AG=CE，BG=BE，即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形的两锐角互余，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键．【解答】解：(1)①∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∵∠BAF=35°，∴∠AFB=90°−∠BAF=55°，∴∠CFE=∠AFB=55°，∵CE⊥AM，∴∠CEF=90°，∴∠ECF=90°−∠CFE=35°，即：∠BCE=35°，故答案为：35；②见答案；(2)见答案．28.【答案】解：(1)令−2x+1=x，解得x=13，∴函数y=−2x+1的图象上有一个和谐点(13,13 )；(2)①令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，Δ=32−4ac=0，即4ac=9，又方程的根为−32a =32，解得a=−1，c=−94；②函数y=ax2+4x+c−34，即y=−x2+4x−3，该函数图象顶点为(2,1)，与y轴交点为(0,−3)，由对称性可知该函数图象也经过点(4,−3)，如图1，由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最小值为−3，最大值为1，∴2≤m≤4．【解析】(1)根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，可得方程，根据解方程，可得答案；(2)根据和谐点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32−4ac=0，即4ac=9，方程的根为−32a =32，从而求得a=−1，c=−94；(3)函数y=ax2+4x+c−34=−x2+4x−3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，准确理解和谐点的含义以及熟练应用二次函数的性质数形结合是解题关键．。

(重题：6)北京市鲁迅中学九年级数学期中测试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷（选择题）30分和第Ⅱ卷90分共120分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共 30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为（ ）．A ．3:2B ．4:6C ．4:9D ．2:3【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2:3，∴这两个三角形的面积之比为4:9．故选C ．2．已知：522x y x y +=-，则x y 的值为（ ）． A ．13 B ．14 C ．3 D ．4 【解答】解：由522x y x y +=-，得 22510x y x y +=-，两边都加（52x y --），得312x y -=-，两边都除以3y -，得4x y=． 故选：D ．3.在ABC △中，D 为AB 边上一点，DE BC ∥交AC 于点E ，若35AD DB =，6DE =，则BC 的长度为（ ）．A．8B．10C．16D．18【解答】解：∵35 ADDB=，∴38 ADDB=，∵DE BC∥，∴38DE ADBC AB==，又6DE=，∴16BC=，故选：C．4．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）．A．10m B．12m C．15m D．40m【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，1.8325x=，解得：15x=．故选：C．5. 在ABC△中，90C∠=︒，3sin5A=，那么cos B的值等于（）．A．35B．45C．34D．43【解答】解：∵90C∠=︒，3 sin5A=，又∵90A B∠+∠=︒，∴3 cos sin5B A==．故选A．6. 二次函数22y x=-的图象如何移动就得到22(1)3y x=--+的图象（）．A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位【解答】解：由22y x =-的图象得到22(1)3y x =--+的图象，得向右移动1个单位，向上移动3个单位．故选：B ．7. 抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是（ ）．A ．(1,25)-B ．(1,25)--C ．(1,21)-D ．(1,21)【解答】解：由(6)(4)y x x =-+-可知抛物线与x 轴的交点坐标为(6,0)-和(4,0)， ∴对称轴为6412x -+==-，∴顶点的横坐标为1-，代入(6)(4)y x x =-+-得，(16)(14)25y =--+--=，∴抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是(1,25)-．故选A ．8.抛物线21y x =+绕原点旋转180︒后的解析式为（ ）．A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2(1)y x =-+【解答】解：在抛物线21y x =+上找两点(1,2)，(0,1)，它们绕原点旋转180︒后为(1,2)--，(0,1)-，可设新函数的解析式为2y ax b =+，则2a b +=-，1b =-．解得1a =-．∴新抛物线的解析式为：21y x =--．故选B ．9. f6e56c3eb5a44fc490e23e558ebe3739已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）10.ff80808149848e470149890b127b0934如图，在等边△ABC中，4=AB，当直角三角板MPN的︒60角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E.设xBP=，yCE=，那么y与x之间的函数图象大致是( )分)二、填空题：本大题共618分.把答案填在题中横线上.11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点均在格点上，则tan B∠的值为__________．【解答】解：如图：，5tan4ADBBD==．故答案为：54．12. 若090α︒<<︒，1tan 2α=，则sin α=__________． 【解答】解：如图在Rt ACB △中，90C ∠=︒，B α∠=，1tan 2AC B BC ==，设AC k =，2BC k =，由勾股定理得：AB ，则sin sinAC B AB α===，13．ae4b7a32909c4cd59306206bac988e5f请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线 的解析式____ ______．14. 若抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是____________．【解答】解：∵抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点，∴0∆>，即2(2)41()0k --⨯⨯->．整理得：440k +>．解得：1k >-．故答案为：1k >-．15.小莉站在离一棵树水平距离为2米的地方，用一块含30︒的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为__________．（结果保留根号）【解答】解：如图所示：过A 作CD 的垂线，设垂足为E 点，则2AE BC ==米， 1.5AB CE ==米．Rt ADE △中，2AE =米，30DAE ∠=︒，∴tan30DE AE =⋅︒，∴ 1.5)CD CE DE =+=+米．故答案为： 1.5)+米．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．则正方形ABCD 的面积为_________，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，则正方形111A B C C 的面积为__________；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，正方形2015201520152014A B C C 的面积为__________．【解答】解：∵点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，∴1OA =，2OD =，∵90AOD ∠=︒，∴AB AD ==，90ODA OAD ∠+∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ABC ∠=∠=︒，25ABCD S ==正方形，∴190ABA ∠=︒，190OAD BAA ∠+∠=︒，∴1ODA BAA ∠=∠，∴1ABA DOA ∽△△， ∴1BA AB OA OD=，即11BA ，∴1BA =∴1CA ， ∴正方形111A B C C的面积2454==，…，第n 个正方形的面积为95()4n ⨯， ∴第2015个正方形即2015201520152014A B C C 的面积为201595()4⨯； 故答案为：5，454，201595()4⨯． 三、解答题（本题共33分，第17――21题各5分，22题8分）．17.计算：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒．【解答】解：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒22=3=．18.8aac50a74e724b3f014e804769dc3581如图，在ABC ∆中，∠C=90°，52sin =A ，D 为AC 上一点，∠BDC=45°，6=DC ，求AD 的长.解：19. 已知：如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，且ACD B ∠=∠，若5AC =，9AB =，6CB =． （1）求证：ADC ACB ∽△△；（2）求CD 的长．CB A【解答】（1）证明：在ADC△与ACB△中，∵ABC ACD∠=∠，A A∠=∠，∴ACD ABC∽△△．（2）解：∵ACD ABC∽△△，∴::CD BC AC AB=．∴CD AB BC AC⋅=⋅，即956CD=⨯，∴103 CD=．20. 如图，已知O是坐标原点，(3,6)B-，(3,0)C-，以原点O为位似中心，将OBC△缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1:2）．（1）画出缩小后的图形；（2）写出B点的对应点坐标；（3）如果OBC△内部一点M的坐标为(,)x y，写出点M经位似变换后的对应点坐标．【解答】解：（1）∵以原点O 为位似中心，将OBC △缩小为原来的一半，(3,6)B -，(3,0)C -， ∴3(,3)2B '-，3(,0)2C '-；3(,3)2B ''-，3(,0)2C ''；（2）B 点的对应点坐标为：3(,3)2-，3(,3)2-；（3）OBC △内部一点M 的坐标为(,)x y ， 则点M 经位似变换后的对应点坐标为：11(,)22x y ，11(,)22x y --．21. 已知：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）中的x 和y 满足下表：（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当3y >时，x 的取值范围为___________．【解答】解：（1）（2）根据题意得：30421c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．则函数的解析式是：243y x x =-+， 当4x =时，161633m =-+=．（3）函数图象经过(0,3)，(4,3)，当3y >时，则x 的取值范围为：0x <或4x >．22.已知二次函数2246y x x =+-．（1）把函数配成2()y a x h k =-+的形式； （2）求函数与x 轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为__________． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为__________．【解答】解：（1）222462(1)8y x x x =+-=+-； （2）令0y =，则20246x x =+-，解得：1x =，或3x =-，函数与x 轴交点坐标为(1,0)，(3,0)-； （3）用五点法画函数图象如下：（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为1x ≥或3x -≤． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为08y >-≥．四、解答题（本题共20分，每题5分）． 23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且DAE F ∠=∠．求证：BE EC FC CD ⋅=⋅．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AD BC ∥，AB CD =， ∴B ECF ∠=∠，DAE AEB ∠=∠， 又∵DAE F ∠=∠， ∴AEB F ∠=∠， ∴ABE ECF ∽△△， ∴BE ABFC EC=， ∴BE EC FC CD ⋅=⋅．24. 已知：如图，等腰ABC △中，AB BC =，AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ，若2CE =，4cos 5AEF ∠=，求BE 的长．【解答】解：∵AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ， ∴90AEB AFE ∠=∠=︒．∴90B BAE BAE AEF ∠+∠=∠+∠=︒． ∴B AEF ∠=∠． ∵4cos 5AEF ∠=， ∴4cos 5B ∠=． ∵cos BEB AB∠=，AB BC =，2CE =， ∴设4BE a =，则5AB a =，CE a =． ∴2a =． ∴8BE =．25．如图，有长为24m 的篱笆，围成长方形的花圃，且花圃的一边为墙体（墙体的最大可用长度为20m ）．设花圃的面积为2m y ，AB 的长为m x ．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． （2）x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）2(242)242S x x x x =-=-； 又∵0x >，且202420x ->≥， ∴212x <≤；（2）22S x x x=-+=--+，2242(6)72∵20x=，-<，对称轴6∴当6x>时，y随x的增大而减小，∴当6x=时，y的值最大，最大值72y=．26. ff80808149848e470149890d1b2c0940如图，一艘海轮A位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔100海里，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.≈≈≈）2.449（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）有一圆形暗礁区域，它的圆心O位于射线PB上，OP长190海里。

(重题：6)北京市鲁迅中学九年级数学期中测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷（选择题）30分和第Ⅱ卷90分共120分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（共 30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为（ ）．A ．3:2B ．4:6C ．4:9D ．2:3【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2:3， ∴这两个三角形的面积之比为4:9． 故选C ．2．已知：522x y x y +=-，则xy的值为（ ）． A ．13B ．14C ．3D ．4【解答】解：由522x y x y +=-，得 22510x y x y +=-，两边都加（52x y --），得 312x y -=-，两边都除以3y -，得 4xy=． 故选：D ．3.在ABC △中，D 为AB 边上一点，DE BC ∥交AC 于点E ，若35AD DB =，6DE =，则BC 的长度为（ ）．A．8B．10C．16D．18【解答】解：∵35 ADDB=，∴38 ADDB=，∵DE BC∥，∴38DE ADBC AB==，又6DE=，∴16BC=，故选：C．4．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）．A．10m B．12m C．15m D．40m【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，1.8325x=，解得：15x=．故选：C．5. 在ABC△中，90C∠=︒，3sin5A=，那么cos B的值等于（）．A．35B．45C．34D．43【解答】解：∵90C∠=︒，3 sin5A=，又∵90A B∠+∠=︒，∴3cos sin 5B A ==．故选A ．6. 二次函数22y x =-的图象如何移动就得到22(1)3y x =--+的图象（ ）．A ．向左移动1个单位，向上移动3个单位B ．向右移动1个单位，向上移动3个单位C ．向左移动1个单位，向下移动3个单位D ．向右移动1个单位，向下移动3个单位【解答】解：由22y x =-的图象得到22(1)3y x =--+的图象， 得向右移动1个单位，向上移动3个单位． 故选：B ．7. 抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是（ ）．A ．(1,25)-B ．(1,25)--C ．(1,21)-D ．(1,21)【解答】解：由(6)(4)y x x =-+-可知抛物线与x 轴的交点坐标为(6,0)-和(4,0)， ∴对称轴为6412x -+==-， ∴顶点的横坐标为1-，代入(6)(4)y x x =-+-得，(16)(14)25y =--+--=， ∴抛物线(6)(4)y x x =-+-的顶点坐标是(1,25)-． 故选A ．8.抛物线21y x =+绕原点旋转180︒后的解析式为（ ）．A ．21y x =-B ．21y x =--C ．21y x =-+D ．2(1)y x =-+【解答】解：在抛物线21y x =+上找两点(1,2)，(0,1)，它们绕原点旋转180︒后为(1,2)--，(0,1)-，可设新函数的解析式为2y ax b =+，则2a b +=-，1b =-． 解得1a =-．∴新抛物线的解析式为：21y x=--．故选B．9. f6e56c3eb5a44fc490e23e558ebe3739已知函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则函数baxy+=的图象是（）10. ff80808149848e470149890b127b0934如图，在等边△ABC中，4=AB，当直角三角板MPN的︒60角的顶点P在BC上移动时，斜边MP始终经过AB边的中点D，设直角三角板的另一直角边PN与AC相交于点E.设xBP=，yCE=，那么y与x之间的函数图象大致是( )分)二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC△的三个顶点均在格点上，则tan B∠的值为__________．【解答】解：如图：，5tan 4AD B BD ==． 故答案为：54．12. 若090α︒<<︒，1tan 2α=，则sin α=__________．【解答】解：如图在Rt ACB △中，90C ∠=︒，B α∠=，1tan 2AC B BC ==，设AC k =，2BC k =，由勾股定理得：AB =，则sin sinAC B AB α====，．13．ae4b7a32909c4cd59306206bac988e5f请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-1）的抛物线 的解析式____ ______．14. 若抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是____________．【解答】解：∵抛物线22y x x k =--与x 轴有两个交点， ∴0∆>，即2(2)41()0k --⨯⨯->． 整理得：440k +>． 解得：1k >-． 故答案为：1k >-．15.小莉站在离一棵树水平距离为2米的地方，用一块含30︒的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是1.5米，那么她测得这棵树的高度为__________．（结果保留根号）【解答】解：如图所示：过A 作CD 的垂线，设垂足为E 点， 则2AE BC ==米， 1.5AB CE ==米．Rt ADE △中，2AE =米，30DAE ∠=︒，∴tan30DE AE =⋅︒=，∴ 1.5)CD CE DE =+=+米．故答案为： 1.5)+米．16.在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)．则正方形ABCD 的面积为_________，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ，则正方形111A B C C 的面积为__________；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，正方形2015201520152014A B C C 的面积为__________．【解答】解：∵点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)， ∴1OA =，2OD =， ∵90AOD ∠=︒，∴AB AD ===，90ODA OAD ∠+∠=︒， ∵四边形ABCD 是正方形，∴90BAD ABC ∠=∠=︒，25ABCD S ==正方形， ∴190ABA ∠=︒，190OAD BAA ∠+∠=︒， ∴1ODA BAA ∠=∠， ∴1ABA DOA ∽△△，∴1BA AB OA OD=，即11BA =，∴1BA =∴1CA =，∴正方形111A B C C 的面积2454==，…，第n 个正方形的面积为95()4n ⨯， ∴第2015个正方形即2015201520152014A B C C 的面积为201595()4⨯；故答案为：5，454，201595()4⨯．三、解答题（本题共33分，第17――21题各5分，22题8分）．17.计算：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒．【解答】解：22sin45sin60cos30tan 60︒+︒-︒+︒22=+3．18.8aac50a74e724b3f014e804769dc3581 如图，在ABC ∆中，∠C=90°，52sin =A ，D 为AC 上一点，∠BDC=45°，6=DC ，求AD 的长. 解：19. 已知：如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，且ACD B ∠=∠，若5AC =，9AB =，6CB =．（1）求证：ADC ACB ∽△△； （2）求CD 的长．【解答】（1）证明：在ADC △与ACB △中， ∵ABC ACD ∠=∠，A A ∠=∠， ∴ACD ABC ∽△△．（2）解：∵ACD ABC ∽△△， ∴::CD BC AC AB =． ∴CD AB BC AC ⋅=⋅， 即956CD =⨯， ∴103CD =．D CBA20. 如图，已知O是坐标原点，(3,6)B-，(3,0)C-，以原点O为位似中心，将OBC△缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为1:2）．（1）画出缩小后的图形；（2）写出B点的对应点坐标；（3）如果OBC△内部一点M的坐标为(,)x y，写出点M经位似变换后的对应点坐标．【解答】解：（1）∵以原点O为位似中心，将OBC△缩小为原来的一半，(3,6)B-，(3,0)C-，∴3(,3)2B'-，3(,0)2C'-；3(,3)2B''-，3(,0)2C''；（2）B点的对应点坐标为：3(,3)2-，3(,3)2-；（3）OBC△内部一点M的坐标为(,)x y，则点M 经位似变换后的对应点坐标为：11(,)22x y ，11(,)22x y --．21. 已知：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）中的x 和y 满足下表：（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当3y >时，x 的取值范围为___________． 【解答】解：（1）（2）根据题意得： 3421c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩， 解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．则函数的解析式是：243y x x =-+， 当4x =时，161633m =-+=．（3）函数图象经过(0,3)，(4,3)，当3y >时，则x 的取值范围为：0x <或4x >．22.已知二次函数2246y x x =+-．（1）把函数配成2()y a x h k =-+的形式； （2）求函数与x 轴交点坐标； （3）用五点法画函数图象根据图象回答：（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为__________． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为__________．【解答】解：（1）222462(1)8y x x x =+-=+-； （2）令0y =，则20246x x =+-， 解得：1x =，或3x =-，函数与x 轴交点坐标为(1,0)，(3,0)-； （3）用五点法画函数图象如下：（4）当0y ≥时，则x 的取值范围为1x ≥或3x -≤． （5）当30x -<<时，则y 的取值范围为08y >-≥．四、解答题（本题共20分，每题5分）．23. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC 的延长线上，且DAE F ∠=∠．求证：BE EC FC CD ⋅=⋅．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AD BC ∥，AB CD =， ∴B ECF ∠=∠，DAE AEB ∠=∠， 又∵DAE F ∠=∠， ∴AEB F ∠=∠， ∴ABE ECF ∽△△， ∴BE ABFC EC=， ∴BE EC FC CD ⋅=⋅．24. 已知：如图，等腰ABC △中，AB BC =，AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ，若2CE =，4cos 5AEF ∠=，求BE 的长．【解答】解：∵AE BC ⊥于E ，EF AB ⊥于F ， ∴90AEB AFE ∠=∠=︒．∴90B BAE BAE AEF ∠+∠=∠+∠=︒． ∴B AEF ∠=∠．∵4cos 5AEF ∠=， ∴4cos 5B ∠=． ∵cos BEB AB∠=，AB BC =，2CE =， ∴设4BE a =，则5AB a =，CE a =． ∴2a =． ∴8BE =．25．如图，有长为24m 的篱笆，围成长方形的花圃，且花圃的一边为墙体（墙体的最大可用长度为20m ）．设花圃的面积为2m y ，AB 的长为m x ．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． （2）x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）2(242)242S x x x x =-=-； 又∵0x >，且202420x ->≥， ∴212x <≤；（2）222242(6)72S x x x =-+=--+， ∵20-<，对称轴6x =，∴当6x >时，y 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，y 的值最大，最大值72y =．26. ff80808149848e470149890d1b2c0940如图，一艘海轮A 位于灯塔P 的南偏东60°方向，距离灯塔100海里，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.≈≈≈）2.449（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）有一圆形暗礁区域，它的圆心O位于射线PB上，OP长190海里。

北京西城区普通中学2019年初三上年中数学试卷含解析【一】选择题1、下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形旳是〔〕A、B、C、D、2、抛物线y=〔x﹣2〕2+1旳顶点坐标是〔〕A、〔﹣2，﹣1〕B、〔﹣2，1〕C、〔2，﹣1〕D、〔2，1〕3、以下事件为必定事件旳是〔〕A、任意掷一枚均匀旳硬币，正面朝上B、篮球运动员投篮，投进篮筐C、一个星期有七天D、打开电视机，正在播放新闻4、如图，△ABC内接于⊙O，假设∠AOB=100°，那么∠ACB旳度数是〔〕A、40°B、50°C、60°D、80°5、抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，那么平移后旳抛物线旳【解析】式为〔〕A、y=2〔x+1〕2+5B、y=2〔x+1〕2﹣5C、y=2〔x﹣1〕2﹣5D、y=2〔x﹣1〕2+56、如图，⊙O旳半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，假设OC=3，那么弦AB旳长为〔〕A、8B、6C、4D、107、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′、假设∠A=40°，∠B′=110°，那么∠BCA′旳度数是〔〕A、90°B、80°C、50°D、30°8、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕9、在平面直角坐标系xOy中，假如⊙O是以原点O〔0，0〕为圆心，以5为半径旳圆，那么点A〔﹣3，﹣4〕与⊙O旳位置关系是〔〕A、在⊙O内B、在⊙O上C、在⊙O外D、不能确定10、如图，AD、BC是⊙O旳两条互相垂直旳直径，点P从点O动身，沿O→C→D→O旳路线匀速运动、设∠APB=y〔单位：度〕，那么y与点P运动旳时刻x〔单位：秒〕旳关系图是〔〕A、B、C、D、【二】填空题11、点P〔﹣3，4〕关于原点对称旳点旳坐标是、12、函数y=〔m+1〕x|m|+1+4x﹣5是二次函数，那么m=、13、在一个不透明旳袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同、现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色旳概率是、14、点A〔﹣3，y1〕，B〔2，y2〕在抛物线y=x2﹣5x上，那么y1y2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕15、二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕旳部分图象如下图，对称轴为直线x=﹣1，与x轴旳一个交点为〔1，0〕，与y轴旳交点为〔0，3〕，那么方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕旳解为、16、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转至BA′，假设BA′与⊙O相切，那么旋转旳角度α〔0°＜α＜180°〕等于、【三】解答题〔17-26每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m与y轴交点坐标是〔0，3〕、〔1〕求出m旳值并画出这条抛物线；〔2〕求抛物线与x轴旳交点和抛物线顶点旳坐标；〔3〕当x取什么值时，y旳值随x值旳增大而减小？18、如图，AB是⊙O旳直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、假设∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O旳半径、19、：如图，A，B，C为⊙O上旳三个点，⊙O旳直径为4cm，∠ACB=45°，求AB旳长、20、如图，方格纸中旳每个小方格差不多上边长为1个单位长度旳正方形，每个小正方形旳顶点叫格点，△ABC旳顶点均在格点上、〔1〕画出将△ABC向右平移2个单位后得到旳△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到旳△A2B1C2；〔2〕求线段B1C1旋转到B1C2旳过程中，点C1所通过旳路径长、21、抛物线y=ax 2+bx+c 通过点A 〔0，3〕、B 〔4，3〕、C 〔1，0〕、〔1〕填空：抛物线旳对称轴为直线x=，抛物线与x 轴旳另一个交点D 旳坐标为；〔2〕求该抛物线旳【解析】式、22、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？23、石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年旳猜拳游戏，游戏时旳各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中旳一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”、两人游戏时，假设出现相同手势，那么不分胜负游戏接着，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，假设三种手势都相同或都不相同，那么不分胜负游戏接着，假设出现两人手势相同，那么视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在，参照两人游戏规那么，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，那么甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：〔1〕直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负旳概率；〔2〕请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负旳概率、24、如图〔1〕是某河上一座古拱桥旳截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状、抛物线两端点与水面旳距离差不多上1m ，拱桥旳跨度为10cm 、桥洞与水面旳最大距离是5m 、桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 旳景观灯、现把拱桥旳截面图放在平面直角坐标系中，如图〔2〕、求：〔1〕抛物线旳【解析】式；〔2〕两盏景观灯P 1、P 2之间旳水平距离、25、：如图，AB 为⊙O 旳直径，PA 、PC 是⊙O 旳切线，A 、C 为切点，∠BAC=30°、〔1〕求∠P 旳大小；〔2〕假设AB=6，求PA旳长、26、依照以下要求，解答相关问题、〔1〕请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0旳解集旳过程、①构造函数，画出图象：依照不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面旳坐标系中〔图1〕画出二次函数y=﹣2x2﹣4x旳图象〔只画出图象即可〕、②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0旳解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0旳部分、③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0旳解集为﹣2＜x＜0、请你利用上面求一元一次不等式解集旳过程，求不等式x2﹣2x+1≥4旳解集、，0〕，27、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1〔m＞0〕与x轴旳交点分别为A〔x1B〔x，0〕、2〔1〕求证：抛物线总与x轴有两个不同旳交点；〔2〕假设AB=2，求此抛物线旳【解析】式、〔3〕x轴上两点C〔2，0〕，D〔5，0〕，假设抛物线y=mx2﹣8mx+16m﹣1〔m＞0〕与线段CD有交点，请写出m旳取值范围、28、如图1，△ABC和△CDE差不多上等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α〔0°＜α＜90°〕，使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE、〔1〕①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间旳数量关系；〔2〕如图3，正方形ABCD边长为，假设点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直截了当写出点A到BP旳距离、29、在平面直角坐标系xOy中，定义点P〔x，y〕旳变换点为P′〔x+y，x﹣y〕、〔1〕如图1，假如⊙O旳半径为，①请你推断M〔2，0〕，N〔﹣2，﹣1〕两个点旳变换点与⊙O旳位置关系；②假设点P在直线y=x+2上，点P旳变换点P′在⊙O旳内，求点P横坐标旳取值范围、〔2〕如图2，假如⊙O旳半径为1，且P旳变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离旳最小值、2016-2017学年北京市西城区一般中学九年级〔上〕期中数学试卷参考【答案】与试题【解析】【一】选择题1、下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形旳是〔〕A、B、C、D、【考点】中心对称图形、【分析】依照中心对称图形旳概念对各个选项中旳图形进行推断即可、【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，应选：D、【点评】此题考查旳是中心对称图形旳概念，假如一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么那个图形就叫做中心对称图形、2、抛物线y=〔x﹣2〕2+1旳顶点坐标是〔〕A、〔﹣2，﹣1〕B、〔﹣2，1〕C、〔2，﹣1〕D、〔2，1〕【考点】二次函数旳性质、【分析】抛物线旳顶点式，可知顶点坐标和对称轴、【解答】解：∵y=〔x﹣2〕2+1是抛物线旳顶点式，依照顶点式旳坐标特点可知，对称轴为直线x=2，应选D、【点评】考查了二次函数旳性质，顶点式y=a〔x﹣h〕2+k，顶点坐标是〔h，k〕，对称轴是x=h、3、以下事件为必定事件旳是〔〕A、任意掷一枚均匀旳硬币，正面朝上B、篮球运动员投篮，投进篮筐C、一个星期有七天D、打开电视机，正在播放新闻【考点】随机事件、【分析】必定事件确实是一定发生旳事件，依照定义即可推断、【解答】解：A、任意掷一枚均匀旳硬币，正面朝上是随机事件，选项错误；B、篮球运动员投篮，投进篮筐是随机事假，选项错误；C、一个星期有7天，是必定事件，选项正确；D、打开电视机，正在播放新闻是随机事假、应选C、【点评】此题考查了必定事件旳定义，解决此题需要正确理解必定事件、不可能事件、随机事件旳概念、必定事件指在一定条件下一定发生旳事件、不可能事件是指在一定条件下，一定不发生旳事件、不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生旳事件、4、如图，△ABC内接于⊙O，假设∠AOB=100°，那么∠ACB旳度数是〔〕A、40°B、50°C、60°D、80°【考点】圆周角定理、【分析】直截了当依照圆周角定理进行解答即可、【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对旳圆心角与圆周角，∠AOB=100°，∴∠ACB=∠AOB=50°、应选B、【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等，都等于这条弧所对旳圆心角旳一半、5、抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，那么平移后旳抛物线旳【解析】式为〔〕A、y=2〔x+1〕2+5B、y=2〔x+1〕2﹣5C、y=2〔x﹣1〕2﹣5D、y=2〔x﹣1〕2+5【考点】二次函数图象与几何变换、【分析】直截了当利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后旳【解析】式、【解答】解：∵将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移5个单位，∴平移后旳抛物线旳【解析】式为：y=2〔x﹣1〕2+5、应选：D、【点评】此题要紧考查了二次函数图象旳平移变换，正确掌握平移规律是解题关键、6、如图，⊙O旳半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，假设OC=3，那么弦AB旳长为〔〕A、8B、6C、4D、10【考点】垂径定理；勾股定理、【专题】探究型、【分析】先连接OA，依照勾股定理求出AC旳长，由垂径定理可知，AB=2AC，进而可得出结论、【解答】解：连接OA，∵OA=5，OC=3，OC⊥AB，∴AC===4，∵OC⊥AB，∴AB=2AC=2×4=8、应选A、【点评】此题考查旳是垂径定理及勾股定理，依照题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题旳关键、7、如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′、假设∠A=40°，∠B′=110°，那么∠BCA′旳度数是〔〕A、90°B、80°C、50°D、30°【考点】旋转旳性质、【分析】首先依照旋转旳性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，即可得到∠A′=40°，再有∠B′=110°，利用三角形内角和可得∠A′CB′旳度数，进而得到∠ACB旳度数，再由条件将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′可得∠ACA′=50°，即可得到∠BCA′旳度数、【解答】解：依照旋转旳性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，∵∠A=40°，∴∠A′=40°，∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°，∴∠ACB=30°，∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，∴∠BCA′=30°+50°=80°、应选：B、【点评】此题要紧考查了旋转旳性质，关键是熟练掌握旋转前、后旳图形全等，进而可得到一些对应角相等、8、某商品现在旳售价为每件60元，每星期可卖出300件、市场调查反映，假如调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件、设每件商品降价x元后，每星期售出商品旳总销售额为y元，那么y与x旳关系式为〔〕A、y=60〔300+20x〕B、y=〔60﹣x〕〔300+20x〕C、y=300〔60﹣20x〕D、y=〔60﹣x〕〔300﹣20x〕【考点】依照实际问题列二次函数关系式、【分析】依照降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，由题意可得等量关系：总销售额为y=销量×售价，依照等量关系列出函数【解析】式即可、【解答】解：降价x元，那么售价为〔60﹣x〕元，销售量为〔300+20x〕件，依照题意得，y=〔60﹣x〕〔300+20x〕，应选：B、【点评】此题要紧考查了依照实际问题列二次函数【解析】式，关键是正确理解题意，找出题目中旳等量关系，再列函数【解析】式、9、在平面直角坐标系xOy中，假如⊙O是以原点O〔0，0〕为圆心，以5为半径旳圆，那么点A〔﹣3，﹣4〕与⊙O旳位置关系是〔〕A、在⊙O内B、在⊙O上C、在⊙O外D、不能确定【考点】点与圆旳位置关系；坐标与图形性质、【分析】依照两点间旳距离公式求出AO旳长，然后与⊙O旳半径比较，即可确定点A旳位置、【解答】解：∵点A〔﹣3，﹣4〕，∴AO==5，∵⊙O是以原点O〔0，0〕为圆心，以5为半径旳圆，∴点A在⊙O上，应选：B、【点评】此题要紧考查了点与圆旳位置关系，关键要记住假设半径为r，点到圆心旳距离为d，那么有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内、10、如图，AD、BC是⊙O旳两条互相垂直旳直径，点P从点O动身，沿O→C→D→O旳路线匀速运动、设∠APB=y〔单位：度〕，那么y与点P运动旳时刻x〔单位：秒〕旳关系图是〔〕A、B、C、D、【考点】动点问题旳函数图象、【分析】依照图示，分三种情况：〔1〕当点P沿O→C运动时；〔2〕当点P沿C→D运动时；〔3〕当点P沿D→O运动时；分别推断出y旳取值情况，进而推断出y与点P运动旳时刻x〔单位：秒〕旳关系图是哪个即可、【解答】解：〔1〕当点P沿O→C运动时，当点P在点O旳位置时，y=90°，当点P在点C旳位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；〔2〕当点P沿C→D运动时，依照圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；〔3〕当点P沿D→O运动时，当点P在点D旳位置时，y=45°，当点P在点0旳位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°、应选：B、【点评】〔1〕此题要紧考查了动点问题旳函数图象，解答此类问题旳关键是通过看图猎取信息，并能解决生活中旳实际问题，用图象解决问题时，要理清图象旳含义即学会识图、〔2〕此题还考查了圆周角定理旳应用，要熟练掌握，解答此题旳关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等；相等旳圆周角所对旳弧也相等、【二】填空题11、点P〔﹣3，4〕关于原点对称旳点旳坐标是〔3，﹣4〕、【考点】关于原点对称旳点旳坐标、【分析】此题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P〔x，y〕，关于原点旳对称点是〔﹣x，﹣y〕，即关于原点旳对称点，横纵坐标都变成相反数、【解答】解：依照中心对称旳性质，得点P〔﹣3，4〕关于原点对称旳点旳坐标是〔3，﹣4〕、【点评】这一类题目是需要识记旳基础题，解决旳关键是对知识点旳正确经历、12、函数y=〔m+1〕x|m|+1+4x﹣5是二次函数，那么m=1、【考点】二次函数旳定义、【分析】依据二次函数旳定义可得到m+1≠0，|m|+1=2，从而可求得m旳值、【解答】解：∵函数x|m|+1+4x﹣5是二次函数，∴m+1≠0，|m|+1=2、解得：m=1、故【答案】为：1、【点评】此题要紧考查旳是二次函数旳定义，掌握二次函数旳定义是解题旳关键、13、在一个不透明旳袋子中，装有2个红球和3个白球，它们除颜色外其余均相同、现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色旳概率是、【考点】概率公式、【分析】依照概率旳求法，找准两点：①全部情况旳总数；②符合条件旳情况数目；二者旳比值确实是其发生旳概率、【解答】解：依照题意可得：一个不透明旳袋中装有除颜色外其余均相同旳2个红球和3个白球，共5个，现随机从袋中摸出一个球，颜色是白色旳概率是、故【答案】为、【点评】此题考查概率旳求法：假如一个事件有n种可能，而且这些事件旳可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A旳概率P〔A〕=、14、点A 〔﹣3，y 1〕，B 〔2，y 2〕在抛物线y=x 2﹣5x 上，那么y 1＞y 2、〔填“＞”，“＜”或“=”〕【考点】二次函数图象上点旳坐标特征、【分析】分别计算自变量为﹣3、2时旳函数值，然后比较函数值旳大小即可、【解答】解：当x=﹣3时，y 1=x 2﹣5x=24；当x=2时，y 2=x 2﹣5x=﹣6；∵24＞﹣6，∴y 1＞y 2、故【答案】为：＞、【点评】此题考查了二次函数图象上点旳坐标特征：二次函数图象上点旳坐标满足其【解析】式、也考查了二次函数旳性质、15、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕旳部分图象如下图，对称轴为直线x=﹣1，与x 轴旳一个交点为〔1，0〕，与y 轴旳交点为〔0，3〕，那么方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕旳解为x 1=1，x 2=﹣3、【考点】抛物线与x 轴旳交点、【分析】直截了当利用抛物线旳对称性以及结合对称轴以及抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴旳一个交点是〔1，0〕，得出另一个与x 轴旳交点，进而得出【答案】、【解答】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴旳一个交点是〔1，0〕，对称轴为直线x=﹣1， ∴抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴旳另一个交点是〔﹣3，0〕，∴方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕旳解为：x 1=1，x 2=﹣3、故【答案】为：x 1=1，x 2=﹣3、【点评】此题要紧考查了抛物线与x 轴旳交点，正确得出抛物线与x 轴旳交点坐标是解题关键、16、如图，∠ABC=90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ，将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转至BA ′，假设BA ′与⊙O 相切，那么旋转旳角度α〔0°＜α＜180°〕等于60°或120°、【考点】切线旳性质、【分析】当BA ′与⊙O 相切时，可连接圆心与切点，通过构建旳直角三角形，求出∠A ′BO 旳度数，然后再依照BA ′旳不同位置分类讨论、【解答】解：如图；①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，那么∠OPB=90°；Rt△OPB中，OB=2OP，∴∠A′BO=30°；∴∠ABA′=60°；②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；同①，可求得∠A′BO=30°；现在∠ABA′=90°+30°=120°；故旋转角α旳度数为60°或120°、【点评】此题要紧考查旳是切线旳性质，以及解直角三角形旳应用；需注意切线旳位置有两种情况，不要漏解、【三】解答题〔17-26每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m与y轴交点坐标是〔0，3〕、〔1〕求出m旳值并画出这条抛物线；〔2〕求抛物线与x轴旳交点和抛物线顶点旳坐标；〔3〕当x取什么值时，y旳值随x值旳增大而减小？【考点】抛物线与x轴旳交点、【分析】〔1〕先把点〔0，3〕代入抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m求出m旳值即可得出抛物线旳【解析】式，利用描点法画出函数图象即可；〔2〕、〔3〕依照函数图象可直截了当得出结论；【解答】解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+〔m﹣1〕x+m与y轴交点坐标是〔0，3〕，∴m=3，∴抛物线旳【解析】式为y=﹣x2+2x+3、列表如下：，函数图象如图；〔2〕由函数图象可知，抛物线与x轴旳交点为〔﹣1，0〕，〔3，0〕，顶点坐标为〔1，4〕；〔3〕由函数图象可知，当x＞1时，y旳值随x值旳增大而减小、【点评】此题考查旳是抛物线与x轴旳交点，能依照题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题旳关键、18、如图，AB是⊙O旳直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、假设∠A=22.5°，CD=8cm，求⊙O旳半径、【考点】垂径定理；勾股定理、【分析】连接OC，由圆周角定理得出∠COE=45°，依照垂径定理可得CE=DE=4cm，证出△COE为等腰直角三角形，利用专门角旳三角函数可得【答案】、【解答】解：连接OC，如下图：∵AB是⊙O旳直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm，∵∠A=22.5°，∴∠COE=2∠A=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC=CE=4cm，即⊙O旳半径为4cm、【点评】此题要紧考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数旳应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等，都等于这条弧所对旳圆心角旳一半、19、：如图，A，B，C为⊙O上旳三个点，⊙O旳直径为4cm，∠ACB=45°，求AB旳长、【考点】圆周角定理；等腰直角三角形、【分析】首先连接OA，OB，由∠ACB=45°，利用圆周角定理，即可求得∠AOB=90°，再利用勾股定理求解即可求得【答案】、【解答】解：连接OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°，∵⊙O旳直径为4cm，∴OA=OB=2cm，∴AB==2〔cm〕、【点评】此题考查了圆周角定理以及勾股定理、注意准确作出辅助线是解此题旳关键、20、如图，方格纸中旳每个小方格差不多上边长为1个单位长度旳正方形，每个小正方形旳顶点叫格点，△ABC旳顶点均在格点上、〔1〕画出将△ABC向右平移2个单位后得到旳△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋转90°后所得到旳△A2B1C2；〔2〕求线段B1C1旋转到B1C2旳过程中，点C1所通过旳路径长、【考点】作图-旋转变换；轨迹；作图-平移变换、【分析】〔1〕依照题意能够画出相应旳图形；〔2〕依照题意和图形，可知线段B 1C 1旋转到B 1C 2旳过程中，点C 1所通过旳路径时半径为4旳圆周长旳四分之一、【解答】解：〔1〕如右图所示；〔2〕由题意可得，线段B 1C 1旋转到B 1C 2旳过程中，点C 1所通过旳路径长是：2π×4×=2π，即线段B 1C 1旋转到B 1C 2旳过程中，点C 1所通过旳路径长2π、【点评】此题考查作图﹣旋转变换、轨迹、平移变换，解题旳关键是明确题意，利用数形结合旳思想解答、21、抛物线y=ax 2+bx+c 通过点A 〔0，3〕、B 〔4，3〕、C 〔1，0〕、〔1〕填空：抛物线旳对称轴为直线x=2，抛物线与x 轴旳另一个交点D 旳坐标为〔3，0〕； 〔2〕求该抛物线旳【解析】式、【考点】待定系数法求二次函数【解析】式；二次函数旳性质、【分析】〔1〕A 〔0，3〕、B 〔4，3〕旳纵坐标相同，因而这两点一定是对称点，那么可求得函数旳对称轴，再依照对称性就可求得抛物线与x 轴旳另一个交点D 旳坐标；〔2〕依照待定系数法即可求得函数旳【解析】式、【解答】解：〔1〕拋物线旳对称轴为直线x=2；拋物线与x 轴旳另一个交点D 旳坐标为〔3，0〕；〔2〕∵拋物线通过点C 〔1，0〕、D 〔3，0〕，∴设拋物线旳【解析】式为y=a 〔x ﹣1〕〔x ﹣3〕〔4分〕由拋物线通过点A 〔0，3〕，得a=1∴拋物线旳【解析】式为y=x 2﹣4x+3〔6分〕【点评】此题考查了抛物线旳对称性、用待定系数法求函数【解析】式旳方法，同时还考查了方程旳解法等知识、22、某小区有一块长21米，宽8米旳矩形空地，如下图、社区打算在其中修建两块完全相同旳矩形绿地，同时两块绿地之间及四周都留有宽度为x米旳人行通道、假如这两块绿地旳面积之和为60平方米，人行通道旳宽度应是多少米？【考点】一元二次方程旳应用、【专题】几何图形问题、【分析】设人行道旳宽度为x米，那么矩形绿地旳长度为：，宽度为：8﹣2x，依照两块绿地旳面积之和为60平方米，列方程求解、【解答】解：设人行道旳宽度为x米，由题意得，2××〔8﹣2x〕=60，解得：x1=2，x2=9〔不合题意，舍去〕、答：人行道旳宽度为2米、【点评】此题考查了一元二次方程旳应用，解答此题旳关键是读懂题意，设出未知数，找出合适旳等量关系，列方程求解、23、石头剪子布，又称“猜丁壳”，是一种起源于中国流传多年旳猜拳游戏，游戏时旳各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中旳一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”、两人游戏时，假设出现相同手势，那么不分胜负游戏接着，直到分出胜负，游戏结束，三人游戏时，假设三种手势都相同或都不相同，那么不分胜负游戏接着，假设出现两人手势相同，那么视为一种手势与第三人所出手势进行对决，现在，参照两人游戏规那么，例如甲、乙二人同时出石头，丙出剪刀，那么甲、乙获胜，假定甲、乙、丙三人每次差不多上随机地做这三种手势，那么：〔1〕直截了当写出一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负旳概率；〔2〕请你画出树状图求出一次游戏中甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负旳概率、【考点】列表法与树状图法、【专题】计算题、【分析】〔1〕甲、乙两人出第一次手势时，共有9种等可能旳结果数，其中出现相同手势旳结果数为3，因此依照概率公式可计算出不分胜负旳概率；〔2〕画树状图展示所有27种等可能旳结果数，再找出三种手势都相同或都不相同旳结果数，然后依照概率公式求解、【解答】解：〔1〕一次游戏中甲、乙两人出第一次手势时，不分胜负旳概率=；〔2〕画树状图为：共有27种等可能旳结果数，其中三种手势都相同或都不相同旳结果数为9，因此甲、乙、丙三人出第一次手势时，不分胜负旳概率==、【点评】此题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能旳结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 旳结果数目m ，然后依照概率公式求出事件A 或B 旳概率、24、如图〔1〕是某河上一座古拱桥旳截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状、抛物线两端点与水面旳距离差不多上1m ，拱桥旳跨度为10cm 、桥洞与水面旳最大距离是5m 、桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 旳景观灯、现把拱桥旳截面图放在平面直角坐标系中，如图〔2〕、求：〔1〕抛物线旳【解析】式；〔2〕两盏景观灯P 1、P 2之间旳水平距离、【考点】二次函数旳应用、【分析】〔1〕由图形可知这是一条抛物线，依照图形也能够明白抛物线旳顶点坐标为〔5，5〕，与y轴交点坐标是〔0，1〕，设出抛物线旳【解析】式将两点代入可得抛物线方程；〔2〕第二题中要求灯旳距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，确实是它们旳距离、【解答】解：〔1〕抛物线旳顶点坐标为〔5，5〕，与y轴交点坐标是〔0，1〕，设抛物线旳【解析】式是y=a〔x﹣5〕2+5，把〔0，1〕代入y=a〔x﹣5〕2+5，得a=﹣，∴y=﹣〔x﹣5〕2+5〔0≤x≤10〕；〔2〕由得两景观灯旳纵坐标差不多上4，∴4=﹣〔x﹣5〕2+5，∴〔x﹣5〕2=1，∴x1=，x2=，∴两景观灯间旳距离为﹣=5米、【点评】此题要紧考查了二次函数旳应用以及一元二次方程与二次函数旳关系，从图象中能够看出旳坐标是解题旳关键、25、：如图，AB为⊙O旳直径，PA、PC是⊙O旳切线，A、C为切点，∠BAC=30°、〔1〕求∠P旳大小；〔2〕假设AB=6，求PA旳长、【考点】切线旳性质、【分析】〔1〕由圆旳切线旳性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°、由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°、〔2〕连接BC，依照直径所对旳圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3、最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3、【解答】解：〔1〕∵PA是⊙O旳切线，AB为⊙O旳直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°、∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°、又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC ，∴△PAC 是等边三角形，∴∠P=60°、〔2〕如图，连接BC 、∵AB 是直径，∠ACB=90°，∴在Rt △ACB 中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos ∠BAC=6×cos30°=3、又∵△PAC 是等边三角形，∴PA=AC=3、【点评】此题着重考查了圆旳切线旳性质定理、切线长定理、直径所对旳圆周角、等边三角形旳判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点旳运用是关键，难度适中、26、依照以下要求，解答相关问题、〔1〕请补全以下求不等式﹣2x 2﹣4x ＞0旳解集旳过程、①构造函数，画出图象：依照不等式特征构造二次函数y=﹣2x 2﹣4x ；并在下面旳坐标系中〔图1〕画出二次函数y=﹣2x 2﹣4x 旳图象〔只画出图象即可〕、②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x 2﹣4x=0旳解为x 1=0，x 2=﹣2；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x 2﹣4x 图象中y ＞0旳部分、③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x 2﹣4x ＞0旳解集为﹣2＜x ＜0、请你利用上面求一元一次不等式解集旳过程，求不等式x 2﹣2x+1≥4旳解集、【考点】二次函数与不等式〔组〕、【分析】①利用描点法即可作出函数旳图象； ②当y=0时，解方程求得x 旳值，当y ＞0时，确实是函数图象在x 轴上方旳部分，据此即可解得；。

北京西城外国语学校初三上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分） #1．抛物线2(2)5y x =-+-的顶点坐标是（ ）．A ．(2,5)-B ．(2,5)C ．(2,5)--D ．(2,5)-【答案】C【解析】顶点坐标为(2,5)--．#2．如图，⊙O 是ABC △的外接圆，若40ABC ∠=︒，则AOC ∠的度数为（ ）． A ．20︒ B ．30︒ C ．60︒ D ．80︒【答案】D【解析】圆周角是其所对弧的圆心角的一半，则280AOC ABC ∠=∠=︒．#3．如图，A 、B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A 、B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC 、BC 的中点M 、N ，并测量出MN 的长为12m ，由此他就知道了A 、B 间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）． A ．MN AB ∥ B ．:1:2CM MA =C ．CMN CAB ∽△△D 24m AB =【答案】C【解析】由图可知，当CMN CBA ∽△△时， ∴12MN CN CM AB CB CA ===． ∴MN AB ∥，:1:2CM MA =，CMN CBA ∽△△，24m AB =． #4．把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ）． A ．23(2)1y x =-+ B ．23(2)1y x =+-C ．23(2)1y x =--D ．23(2)1y x =++【答案】D【解析】把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，得到23(2)y x =+， 再向上平移1个单位，得到23(2)1y x =++．故答案为D ． #5．如图，点D 在ABC △的边AC 上，要判断ADB △与ABC △相似，添加一个条件，不正确．．．的是（ ）． A ．ABD C ∠=∠B ．ADB ABC ∠=∠ C ．AD ABAB AC = D ．AB CBBD CD= 【答案】D 【解析】要证ADB ABC ∽△△，A A ∠=∠，故只需再有一个角相等即可．∴A 、B 都正确． 当AD ABAB AC =时，ADB ABC ∽△△，∴D 不正确． 故答案为D ．MCBAN#6．在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F ，若2EC BE =，则BFFD的值是（ ）．A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】∵四边形ABCD 为菱形， ∴ADF EBF ∠=∠，DAF BEF ∠=∠， ∴BFE DFA ∽△△， ∴13BF BE FD AD ==．#7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据图象可知，0a >，240b ac ∆=->，12ba-=， 当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+<，当2x =-时，420y a b c =-+>， ∴20b a =-<，0c <，∴3x =时，930a b c ++>，80a c +>． 故正确的为①③．#8．在同一直角坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】二次函数必过原点．可排除B 、C ．A 中，一次函数0a >，0b <，则二次函数开口向上，对称轴02bx a =->，符合条件． D 中，一次函数0a >，0b >，则二次函数开口向上，对称轴02bx a=-<，不符合条件．故答案为A ．#9．如图，在大小为44⨯的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④【答案】C【解析】∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、2、10； 由勾股定理求出③的各边长分别为22、2、25， ∴22222=，102225=，即221022225==， ∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．#10．如图，正方形ABCD 中，8cm AB =，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，以1cm /s 的速度沿BC 、CD 运动，到点C 、D 时停止运动．设运动时间为t （s ），O E F△的面积为S （2cm ），则S （2cm ）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意BE CF t ==，8CE t =-， ∵四边形ABCD 为正方形，∴OB OC =，45OBC OCD ∠=∠=︒， ∵在OBE △和OCF △中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴OBE △≌OCF △（SAS ）， ∴OBE OCF S S =△△，∴218164OBC OECF S S ==⨯=四边形△，∴2211116(8)416(4)8222CEF OECF S S S t t t t t =-=--⋅=-+=-+四边形△（08t ≤≤），∴S （2cm ）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为(4,8)，自变量为08t ≤≤． 故答案为B ．AB CDEOF二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）#11．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,1)-的抛物线的解析式__________．（结果请化为一般式） 【答案】21y x =-【解析】开口向上，且与y 轴交于点(0,1)-，可有21y x =-．#12．两个相似三角形的面积比是5:9，则它们的周长比是__________． 【答案】53【解析】两个相似三角形的面积比是5:9，则其边长之比为59，则周长比是53．#13．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，半径OD 过AB 的中点C ，则CD 的长为__________． 【答案】2【解析】2222()55422ABCD r r =--=--=．#14．如图，在ABC △中，90A ∠=︒，D 为BC 上一点，过D 作ED BC ⊥交AC 于E ，若6AB =，8AC =，3ED =，则CD 的长为__________． 【答案】4【解析】90A CDE ∠=∠=︒，∴CDE CAB ∽△△， ∴36CD DE CA AB ==， ∴1842CD =⋅=．#15．点11(,)A x y 、22(,)B x y 在二次函数221y x x =--的图象上，若211x x >>，则1y 与2y 的大小关系是1y __________2y ．（用“>”、“<”、“=”填空）． 【答案】<【解析】二次函数221y x x =--的对称轴为1x =，函数在(,1)-∞单调递减，(1,)+∞单调递增， ∴若211x x >>，则12y y <．#16．在ABC △中，5AB =，4AC =，E 是AB 上一点，2AE =，在AC 上取一点F ，使以A 、E 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，则AF 的长为__________． 【答案】1.6或2.5【解析】以A 、E 、F 为顶点的三角形与ABC △相似，有ABC AEF ∽△△和ABC AFE ∽△△两种情况进行讨论：当ABC AEF ∽△△时，有AEAF AB AC =，则254AF=，解得： 1.6AF =； 当ABC AFE ∽△△时，有AEAF ACAB =，则245AF=，解得： 2.5AF =． 所以 1.6AF =或2.5．DCBO AEACBD三、解答题（本大题共66分）#17．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(2,5)A ． @（1）求二次函数的解析式． 【答案】223y x x =+-【解析】∵二次函数23y x bx =+-的图象经过点(2,5)A ， ∴4235b +-=， ∴2b =．∴二次函数的解析式为223y x x =+-．@（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式． 【答案】2(1)4y x =+-【解析】22223(21)4(1)4y x x x x x =+-=++-=+-．#18．已知一抛物线过点(3,0)-、(2,6)--，且对称轴是1x =-，求该抛物线的解析式．【答案】2246y x x =+-． 【解析】∵对称轴是1x =-，抛物线过点(3,0)-， ∴抛物线与x 轴另一交点是(1,0)， ∴设抛物线的解析式：(3)(1)y a x x =+-， ∵抛物线过点(2,6)--， ∴6(23)(21)a -=-+--， ∴2a =，∴2(3)(1)y x x =+-，即：2246y x x =+-．#19．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在BC 边上，点F 在DC的延长线上，且DAE F ∠=∠． @（1）求证：ABE ECF ∽△△． 【答案】证明见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB CD ∥，AD BC ∥，∴B ECF ∠=∠，DAE AEB ∠=∠． 又∵DAE F ∠=∠， ∴AEB F ∠=∠．∴ABE ECF ∽△△． @（2）若5AB =，8AD =，2BE =，求FC 的长．【答案】125【解析】∵ABE ECF ∽△△， ∴AB BE ECCF=．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴8BC AD ==．∴826EC BC BE =-=-=． ∴526CF=∴125CF =．#20．已知二次函数2 43y x x -=+．@（1）求出该函数与x 轴．的交点坐标、与y 轴．的交点坐标． 【答案】与x 轴．的交点坐标为(1,0)和(3,0)，与y 轴的交点坐标为(0,3) 【解析】令0y =，解得13x =，21x =，即与x 轴．的交点坐标为(1,0)和(3,0)， 令0x =，则3y =，即与y 轴的交点坐标为(0,3)．@（2）在平面直角坐标系中，用描点法．．．画出该二次函数的图象． 【答案】【解析】根据（1）中所求点及顶点(2,1)-描出该二次函数图象． @（3）根据图象回答：@@①当自变量x 的取值范围满足什么条件时，0y <？ 【答案】13x <<【解析】令0y <，解得13x <<．@@②当03x ≤<时，y 的取值范围是多少？ 【答案】13y -≤≤【解析】根据（2）中所作的图可看出，当03x ≤<时，13y -≤≤．#21．如图，在平面直角坐标系中，(1,1)A -，(2,1)B --．@（1）以原点O 为位似中心，把线段AB 放大到原来的2倍，请在图中画出放大后的线段CD ．【答案】【解析】见答案所示．@（2）在（1）的条件下，写出点A 的对应点C 的坐标为__________，点B 的对应点D 的坐标为__________．【答案】(2,2)-或(2,2)-；(4,2)--或(4,2)．【解析】点A 的对应点C 的坐标为(2,2)-或(2,2)-，点B 的对应点D 的坐标为(4,2)--或(4,2)．#22．某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x （元）满足280w x =-+（2040x ≤≤），设销售这种手套每天的利润为y （元）． @（1）求y 与x 之间的函数关系式． 【答案】221201600y x x =-+-．【解析】2(20)(280)(20)21201600y w x x x x x =⋅-=-+-=-+-． @（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】销售单价定为30元，每天的利润最大为200元． 【解析】22212016002(30)200y x x x =-+-=--+， ∴当30x =时，max 200y =．即销售单价定为30元，每天的利润最大为200元．#23．已知：如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅．【答案】证明见解析．【解析】∵90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点， ∴AM BM CM ==， ∴B BAM ∠=∠， ∵90B C ∠+∠=︒， ∴90BAM C ∠+∠=︒， ∵90C D ∠+∠=︒， ∴BAM D ∠=∠， ∵AME DMA ∠=∠， ∴AME DMA ∽△△， ∴AM MEDM AM=， ∴2AM MD ME =⋅．#24．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．@（1）抛物线的解析式．【答案】2481255y x x =-++（010x ≤≤）． 【解析】抛物线的顶点坐标为(5,5)，与y 轴交点坐标是(0,1)， 设抛物线的解析式是2)5(5y a x =-+， 把(0,1)代入2)5(5y a x =-+得425a =-， ∴22448551252(55)y x x x =--++-=+（010x ≤≤）． @（2）两盏景观灯1P 、2P 之间的水平距离． 【答案】1P 、2P 之间的水平距离为5米． 【解析】由已知得两景观灯的纵坐标都是4， ∴244552(5)x --+=， ∴24 (5125)x -=，解得1152x =，252x =， ∴ 两景观灯间的距离为5米．#25．阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图（1），在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．如果3AE EF =，求CDCG的值．他的做法是：过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，则可以得到BAF HEF ∽△△． 请你回答：@（1）:AB EH 的值为__________，:CG EH 的值为__________，CDCG的值为__________． 【答案】3AB EH =，2CG EH =，32CD CG =． 【解析】依题意，过点E 作EH AB ∥交BG 于点H ，如图1所示． 则有ABF EHF ∽△△，∴3AB AF EH EF==，∴3AB EH =．∵四边形ABCD 为平行四边形，EH AB ∥， ∴EH CD ∥， 又∵E 为BC 中点， ∴EH 为BCG △的中位线， ∴2CG EH =．3322CD AB EH CG CG EH ===．@（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果AE a EF =（0a >），那么CDCG的值为__________（用含a 的代数式表示）．【答案】2CD aCG =【解析】如图2所示，作EH AB ∥交BG 于点H ，则EFH AFB ∽△△． ∴AB AFa EH EF ==， ∴AB aEH =． ∵AB CD =， ∴CD aEH =． ∵EH AB CD ∥∥， ∴2CG EH =．∴22CD aEH aCG EH ==．@（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD 中，DC AB ∥，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．如果AB m CD =，BCn BE=（0m >，0n >），那么AFEF的值为__________（用含m ，n 的代数式表示）． 【答案】AFmn EF=． 【解析】如图3所示，过点E 作EH AB ∥交BD 的延长线于点H ，则有EH AB CD ∥∥． ∵EH CD ∥，∴BCD BEH ∽△△， ∴CD BC n EH BE==， ∴CD nEH =． 又ABm CD=， ∴AB mCD mnEH ==． ∵EH AB ∥， ∴ABF EHF ∽△△， ∴AF AB mnEHmn EF EH EH===．#26．对于二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+，把2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E ．现有点(2,0)A 和抛物线E 上的点(1,)B n -，请完成下列任务：@【尝试】（1）当2t =时，抛物线2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+的顶点坐标为__________． 【答案】(1,2)-【解析】将2t =代入抛物线E 中，得222(32)(1)(24)242(1)2y t x x t x x x x =-++--+=-=--， ∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,2)-．@（2）点A __________（填在或不在）在抛物线E 上． 【答案】在【解析】点A 在抛物线E 上，理由如下：∵将2x =代入2(32)(1)(24)y t x x t x =-++--+，得0y =， ∴点(2,0)A 在抛物线E 上． @（3）n 的值为__________． 【答案】6【解析】∵点(1,0)B -在抛物线E 上， ∴将1x =-代入抛物线E 的解析式中， 得：2(32)(1)(24)6n t x x t x =-++--+=．@【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为__________．【答案】(2,0)、(1,6)-．【解析】∵将抛物线E 的解析式展开，得：2(32)(1)(24)(2)(1)24y t x x t x t x x x =-++--+=-+-+，∴抛物线E 必过定点(2,0)、(1,6)-．@【应用】二次函数2352y x x =-++是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由． 【答案】不是，理由见解析． 【解析】不是．∵将1x =-代入2352y x x =-++，得66y =-≠， ∴二次函数2352y x x =-++的图象不经过点B ．∴二次函数2352y x x =-++不是二次函数232y x x =-+和一次函数24y x =-+的一个“再生二次函数”．#27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y mx x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C ，D 为OC 的中点． @（1）求m 的值． 【答案】1-【解析】抛物线235y mx x m =+++与y 轴交于点(0,4)C ， ∴54m +=， ∴1m =-．@（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点11 的三角形与ADE △相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】存在，点F 的坐标为(1,4)或3(,5)2． 【解析】抛物线的解析式为：234y x x =-++．可求抛物线与x 轴的交点(1,0)A -，(4,0)B ．可求点E 的坐标3(,0)2． 由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF △是钝角三角形，不可能与ADE △相似，所以点F 一定在x 轴上方．此时ABF △与ADE △有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况： ①当AB AE AF AD=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点， 可求F 点坐标为(1,4)． ②当AB AD AF AE=时，5552AF =，解得5=52AF ． 过F 点作FH x ⊥轴，垂足为H ．可求F 的坐标为3(,5)2．@（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使G BC △中BC 边上的高为522？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，点G 的坐标为315(,)22或35(,)22-． 【解析】在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G ．由题意，可知OBC △为等腰直角三角形，直线BC 为4y x =-+． 可求与直线BC 平行且的距离为522的直线为9y x =-+或1y x =--． ∴ 点G 在直线9y x =-+或1y x =--上． ∵抛物线的对称轴是直线32x =， ∴329x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，解得32152x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．或321xy x⎧=⎪⎨⎪=--⎩，解得3252xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．∴点G的坐标为315(,)22或35(,)22-．12。