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第一章勾股定理1探索勾股定理第1课时勾股定理教学目标1.掌握直角三角形三边数量关系，学会用符号表示，学生在经历用数格子和割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程.2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单问题.3.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识，通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感.教学重难点重点：勾股定理的探索及简单应用.难点：勾股定理的探索.教学过程导入新课如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？在直角三角形中，任意两条边确定了，另一条边也随之确定，三边之间存在一种特定的数量关系.事实上，古人已经发现了直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系，那么这种关系是什么？教师抛出两个问题，引发学生思考.学生对两个问题很感兴趣，从而能够激发学生的探索欲望.教学反思设计意图：从这两个问题入手，引入本节课的课题，这样更能激发学生教学反思学习的积极性，为学好本节课奠定基础.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第2~3页，然后让学生拿出方格纸（课前准备好），在纸上画出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，猜测三边长的平方之间有怎样的关系.教师给学生足够的时间，让学生在小组内合作交流，教师适当引导，猜测直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.设计意图：让学生动手并通过计算直角三角形的三边长的平方，引导学生从中发现存在的规律，渗透特殊到一般的思想方法.二、合作探究问题1：请分别计算下面图中直角三角形三边长的平方是多少，它们满足上边所猜想的数量关系吗？问题2：用a，b，c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？由三个正方形搭成的直角三角形三边的平方关系是否和上面的猜测相同？问题3：对于课本中的图1-3中的直角三角形，是否也满足这样的关系？教师观察学生活动并指导，让学生充分发表自己的见解，展示他们的思维过程，教师及时点拨，同时借助多媒体动态展示.设计意图：此环节让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，发展学生的合情推理能力.问题4：以上直角三角形的边长都是整数的情况，对于边长是小数的情况是否也成立？（例如两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度）学生动手在网格纸上画直角三角形，然后测量斜边的长度，进行计算，教师及时点拨.教师进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形的三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方，从而发现了勾股定理.（学生总结，教师点评）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.巩固练习下列说法中正确的是()A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2B．在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2D．在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2答案：C典型例题【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．【问题探索】CD是△ABC的高，要求CD的长，AB的长已知，如果能求出三角形ABC的面积就好办了．【解】∵在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 3 cm，∴由勾股定理，得AC2 = AB2－BC2 = 52－32 = 16 = 42，∴AC = 4 cm.又∵S△ABC = 12AB·CD = 12AC·BC，∴CD = AC BCAB = 435= 125(cm)．【总结】由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积，这个规律常与勾股定理联合使用．【例2】在△ABC中，AB = 20，AC = 15，AD为BC边上的高，且AD = 12，求△ABC的周长．【问题探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外两种情形．【解】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2-AD＝202-122＝162，教学反思∴BD＝16.教学反思在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2-AD2＝152-122＝92，∴CD＝9.∴BC＝BD+CD＝25，∴△ABC的周长为25+20+15＝60.当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得BD＝16，CD＝9，∴BC＝BD-CD＝7，∴△ABC的周长为7+20+15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.图1图2【总结】题中未给出图形时，作高构造直角三角形易漏掉钝角三角形的情况．如在本例中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形，导致漏解．课堂练习1.某直角三角形的三边长分别为3，5，x，则符合条件的x的值有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8 cm，另一只朝左挖，每分钟挖6 cm，10 min后，两只小鼹鼠相距()A．50 cm B．100 cmC．140 cm D．80 cm3.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，AC = 6，BC = 8，则CD = ______.4.一长为2.5米的木梯，架在高为2.4米的墙上（如图），这时梯脚与墙的距离是多少？参考答案1.B2.B3.34.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC²+AC²＝AB²，即BC²+2.4²＝2.5²，所以BC＝0.7米.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.字母表示：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.布置作业1.（必做题）习题1.1第1，2题2.（选做题）第4题板书设计1探索勾股定理第1课时勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.。
2 一定是直角三角形吗1．勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足a2＋b2＝c2能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来．比如：如果在△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，并且满足a2＋b2＝c2 (如图所示)，那么∠C＝90°.作△A1B1C1，使∠C1＝90°，B1C1＝a，C1A1＝b，则A1B21＝a2＋b2.∵a2＋b2＝c2，∴A1B1＝c(A1B1＞0)．在△ABC和△A1B1C1中，∵BC＝a＝B1C1，CA＝b＝C1A1，AB＝c＝A1B1，∴△ABC≌△A1B1C1.∴∠C＝∠C1＝90°.辨误区勾股定理的逆定理的条件(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确定直角三角形，当然也不能说“斜边”和“直角边”．(2)当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角．利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形．对啊！到目前为止判定直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角；②说明三角形中有两边互相垂直；③勾股定理的逆定理.【例1】如图所示，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，问：AD⊥AB吗？试说明理由．解：AD⊥AB.理由：根据勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝5.在△ABD中，AB2＋AD2＝52＋122＝169，BD2＝132＝169，所以AB2＋AD2＝BD2.由勾股定理的逆定理知△ABD为直角三角形，且∠BAD＝90°.故AD⊥AB.2．勾股定理的逆定理与勾股定理的关系勾股定理是通过“形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆定理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的．(1)勾股定理是直角三角形的性质定理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，二者是互逆的．(2)联系：①两者都与a2＋b2＝c2有关，②两者所讨论的问题都是直角三角形问题．(3)区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”．＝5，求DC.分析：先用勾股定理的逆定理判定形状，然后用勾股定理求数据．解：∵AD2＋BD2＝122＋52＝132＝AB2，∴由勾股定理的逆定理知△ADB为直角三角形．∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，由勾股定理，得DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.∴DC＝9.3．勾股数勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一不可．(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．【例3】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3n,4n,5n(n＞1，且为自然数)．上面各组数中，勾股数有______组．( )．A．1 B．2 C．3 D．4析规律勾股数的判断方法判断勾股数要看两个条件，一看能否满足a2＋b2＝c2，二看是否都是正整数．这两者缺一不可．4．勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判定是不是直角．家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的仪器的情况下，工人师傅常常利用勾股定理的逆定理作出直角．【例4】如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8 m，AD＝BC＝6 m，AC＝9 m，请你帮他看一下，挖的地基是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判定条件，来判断它是否为直角三角形．解：∵AD2＋DC2＝62＋82＝100，AC2＝92＝81，∴AD2＋DC2≠AC2.∴△ADC不是直角三角形，∠ADC≠90°.又∵按标准应为长方形，四个角应为直角，∴该农民挖的地基不合格．5．利用非负数的性质判定三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为a2＋b2＋c2＝0的形式，再由a ＝0，b＝0，c＝0，求得三角形三边之长，利用计算来判断△ABC是否是直角三角形．谈重点判定三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得出a，b，c的关系，从而判断三角形的形状．【例5】如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试说明这个三角形是直角三角形．分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明．解：将式子变形，得a2＋b2＋c2＋338－10a－24b－26c＝0，即a2－10a＋25＋b2－24b＋144＋c2－26c＋169＝0.整理，得(a－5)2＋(b－12)2＋(c－13)2＝0.因此a－5＝0，b－12＝0，c－13＝0，∴a＝5，b＝12，c＝13.∵a2＋b2＝52＋122＝132＝c2，∴这个三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理的综合应用(1)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决．(2)综合运用勾股定理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方面要注意到：如果一个三角形的三边长已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证其是否是直角三角形．【例6】如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，BC＝12 cm，CD＝13 cm.求四边形ABCD的面积．分析：根据AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，可连接BD构成直角三角形，通过判断△BCD是直角三角形解决问题．解：连接BD，在△ABD中，∵AD＝3 cm，AB＝4 cm，∠BAD＝90°，根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝32＋42＝52，∴BD＝5 cm.在△BCD中，∵BD＝5 cm，BC＝12 cm，CD＝13 cm，BD2＋BC2＝CD2，∴△BCD是直角三角形．∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12×3×4＋12×5×12＝36 cm2.。
第一章勾股定理§1.1探索勾股定理【学情分析】勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
【教学目标】（一）知识与技能掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。
学生在经历用数格子与割、补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
（二）过程与方法通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
（三）情感态度与价值观通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学、爱数学、做数学的情感。
使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美和探究之趣。
【教学重点】用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
【教学难点】计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
【教学方法】教法：选择引导探索法，采用“问题情境→建立模型→解释、应用与拓展”的模式进行教学。
学法：自主探索—合作交流的研讨式学习，乐于创新—参与竞争的积极性学习。
【课前准备】为了更好地体现本节课课堂评价的主题，课前将全班学生划分为6个小组，每个小组的同学推举一位组长和副组长，在黑板上展示出以组长名字划分的6个小组的竞技台，由班长和数学课代表一起完成本节课的记分任务。
另外，老师加以说明，本节课同学们积极参与课堂评价，我们将评选出1～2个优胜小组获得老师准备的奖品，评选出5～6位表现突出的同学获得老师赠与的礼物。
【教学过程】（一）故事引入，引发思考相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。
在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。
原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。
《探索勾股定理一》教案教学目标1、知识与技能目标：经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程；运用勾股定理解决实际问题；了解有关勾股定理的历史.2、过程与方法目标：在探索勾股定理的过程中培养学生的思维能力和语言表达能力；通过问题的解决，提高学生的运算能力.3、情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育.教学重点难点1、重点：勾股定理及其应用.2、难点：勾股定理的探索过程.教学方法讲授法、启发式教学法学习方法讨论交流法、自主探索法教学工具多媒体、三角板教学过程一、导入新课俄罗斯的伟大作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多的土地吗？》中写出一个故事：有一个叫巴河姆的人到草原上去购买土地.卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布.”意思是：谁出1000卢布，那么他从日出到日落走过的路所围成的土地都归他；不过，如果日落之前买地的人回不到原来的出发点，那么他就一点土地也得不到.巴河姆觉得条件对自己有利，于是付了1000卢布.第二天太阳刚刚从地平线升起，就连忙在草原上大步走去.他走了足足10俄了里才左拐弯，接着又走了许久，才再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时他发现天色已经不早，而自己离出发点还足足有17俄里，于是只得改变方向，拼命朝出发点跑去，总算在日落之前赶回了出发点.可是，他还未站稳，两脚一软，就倒地口吐鲜血而死.你能算出巴河姆这一天共走了多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？二、合作探索，讲授新课1、探索思考(如图1-1)想一想:(图中每个小方格代表一个单位面积)(1)观察图1－1.正方形A 中含有__________个小方格，即A 的面积是__________个单位面积； 正方形B 中含有__________个小方格，即B 的面积是_______个单位面积；正方形C 中含有__________个小方格，即C 的面积是__________个单位面积.(2)在图1－2中，正方形A ，B ，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？(3)你能发现图1－1中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？三、勾股定理直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”. 也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c .那么222c b a =+.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来.四、想一想在图1-1的问题中，需要多长的钢索？五、组织学生做随堂练习六、作业课本习题1.1的1、2、3、4.。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《几何初步》的第一节内容。
本节内容通过探究直角三角形三边的关系，引入勾股定理，是学生学习几何的重要基础。
教材以我国古代数学家赵爽的弦图作为探究勾股定理的载体，让学生经历探究过程，感悟数学的证明过程，体会数形结合的数学思想。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够识别直角三角形，并了解其性质。
但对于证明勾股定理，他们可能还没有直观的感受。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作，逐步理解并证明勾股定理。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现过程，感受数学家探索勾股定理的艰辛。
2.掌握勾股定理的内容，并能运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力，提升学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程。
2.难点：理解并证明勾股定理。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、数形结合法等教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程，探索并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件、视频等教学资源。
2.准备直角三角形模型、拼图等教具。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。
例如：什么是直角三角形？直角三角形有哪些性质？2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景知识，介绍赵爽的弦图，让学生了解勾股定理的来源。
同时，提出探究问题：如何证明勾股定理？3.操练（15分钟）让学生分组进行讨论，每组尝试用拼图或者模型来证明勾股定理。
教师巡回指导，引导学生发现证明勾股定理的关键。
4.巩固（10分钟）学生汇报各自的证明过程，教师点评并总结。
同时，让学生回答一些与勾股定理相关的问题，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）让学生运用勾股定理解决实际问题，例如：计算一个直角三角形的两条直角边长。
北师大版八年级数学上册：1.1《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》的第一节内容。
本节课的主要内容是通过实际问题引导学生探究直角三角形三边之间的关系，从而引入勾股定理。
教材通过丰富的情境和探究活动，让学生经历探究过程，感受数学的发现过程，培养学生的探究能力和创新精神。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了相似三角形的性质，能够理解直角三角形的概念，但对于勾股定理的证明和应用可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，通过适当的引导和启发，帮助学生理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的定义和证明过程。
2.能够运用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和创新精神。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的理解和应用。
2.难点：勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导发现法：通过实际问题和探究活动，引导学生发现勾股定理。
2.小组合作学习：学生在小组内进行讨论和交流，共同完成探究任务。
3.情境教学法：通过丰富的情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括图片、动画和视频等，帮助学生形象地理解勾股定理。
2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生探究勾股定理。
3.学生活动材料：为学生提供一些卡片，上面写有直角三角形的三边长度，用于学生进行小组探究。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、自行车的三角形车把等，引导学生观察并思考直角三角形的特点。
然后提出问题：“直角三角形的三边之间有什么特殊的关系呢？”2.呈现（10分钟）呈现教材中的探究活动，让学生分组进行探究。
每组有一张卡片，上面写有直角三角形的三边长度。
学生通过测量、计算和讨论，发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.操练（10分钟）学生分组进行探究，验证勾股定理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
《探索勾股定理一》教案教材义务教育课程标准实验教科书（北师大版）八年级数学上册第一章第1节P2~ P6。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
教学目标1、知识与技能目标：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。
学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
2、能力目标：通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。
使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。
教学重点、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。
难点：计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。
教学方法选择引导探索法，采用“问题情境----建立模型----解释、应用与拓展”的模式进行教学。
教具准备多媒体课件；若干张已画好直角三角形的方格纸；剪刀；已剪好的纸片若干张。
教学过程一、创设情境，引入新课（师）请同学们观察动画，我国科学家曾向太空发射勾股图试图与外星人沟通，在2002年的国际数学家大会上采用弦图作为会标，它为什么有如此大的魅力呢？它蕴涵着怎样迷人的奥妙呢？这节课我就带领大家一起探索勾股定理。
（设计意图：用一段生动有趣的动画，点燃学生的求知欲，以景激情，以情激思，引领学生进入学习情境。
）二、师生互动，探究新知活动1：（观察图1）你知道正方形C的面积是多少吗？你是怎样得出上面结果的呢？（生）独立思考后交流，采用直接数方格的办法，或者是分割成几个等腰直角三角形的方法计算正方形C的面积。
1.1 探索勾股定理（1）教学目标知识与技能1.经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的语言表达能力和初步的逻辑推理能力。
过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的过程，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
情感与态度在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
重点难点重点：探索勾股定理，并能用它来解决一些简单的问题。
难点：勾股定理的探索。
教学过程【新课导入】创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.【新知构建】一、用测量的方法探索勾股定理学生活动：任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.师生活动：师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很精确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、用数格子的方法探索勾股定理1.展示教材P2图1-2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?你是如何计算的?（1）观察图，正方形A中有_______个小方格，即A的面积为______个单位。
北师大版数学八年级上册1《探索勾股定理》教学设计3一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册第一单元的教学内容。
这部分教材主要是让学生通过探究、实践、归纳等方式，了解并掌握勾股定理的证明方法，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要教师在教学过程中引导学生进行积极的思考和交流，从而更好地理解和掌握勾股定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质、全等三角形的性质等知识，但对于用这些性质证明勾股定理还缺乏直观的感受。
另外，学生对于几何图形的观察和分析能力还有待提高，因此在教学过程中需要教师给予适当的引导和帮助。
三. 教学目标1.了解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理。
2.培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
3.培养学生团队协作能力和探索精神。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明过程和应用。
2.难点：如何引导学生发现并归纳勾股定理的证明方法。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、分析几何图形，发现勾股定理的证明方法。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成勾股定理的证明。
3.讲解法：教师讲解勾股定理的应用，巩固学生对勾股定理的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作勾股定理的证明过程和应用的课件。
2.几何图形：准备一些三角形、直角三角形的模型或图片。
3.练习题：准备一些有关勾股定理的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实例，如房屋建筑、家具等，引导学生观察并思考这些实例中是否存在勾股定理的应用。
让学生感受到勾股定理在生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，引导学生观察这些图形的性质，并尝试找出它们之间的关系。
3.操练（10分钟）教师提出一些有关勾股定理的问题，如“如何证明一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方？”学生分组讨论，共同探索勾股定理的证明方法。
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》教学设计一、课题：勾股定理二、课型：新授课三、课时：一课时四、教材分析：（一）主要内容本章是北师大版《数学》八年级上册册第1章第一节，本节的主要内容是勾股定理的探究，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境。
（二）相关要求掌握勾股定理的证明方法，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用（三）教材的地位和作用在本节课以前，学生学习了一些图形的面积公式，还学习了三角形全等的判定和性质、直角三角形的有关性质以及整式运算中的完全平方公式（a＋b）2=a2＋2ab+b2。
学生在这些原有的认知水平基础上，探索直角三角形的又一条重要性质——勾股定理。
这一定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为以后学习怎样解直角三角形和二次根式做铺垫。
通过探索还掌握新的数学证明方法——等面积法。
（四）数学思想和方法掌握等面积方法和数形结合的数学思想。
五、学情分析：由于该堂课采用了“等面积”方法来证明勾股定理，这种方法在以前的学习中不常用，如果只是老师讲授，学生不会留下深刻印像。
因此，我们采用分组探索的方式。
又考虑到学生的情况不同，将学生进行合理分配，在活动前对学生进行鼓励，告诉他们该节课的学与以前的基础知识联系不大，并且要求学生多动口、动手、动脑，以学生自主探究为主。
六、教学目标：（一）知识与技能：了解勾股定理的面积证法和数形结合的思想，理解和掌握勾股定理内容及简单应用；培养学生动口、动手、动脑和合作探究的综合能力，提升学生自主学习能力、思考能力和创新能力。
（二）情感与价值：学生动手探究出数学的奥妙，感受到数形结合的美，达到学生爱学、会学、学会的目标。
七、教学重点和难点：（一）教学重点：勾股定理的在解决数学问题中的灵活应用（二）教学难点：勾股定理的证明八、教学方法：学生自己探究，将课堂以学生为主，进行分组讨论。
学生利用新的数学思想来证明本节课的定理。
学生能够灵活的掌握勾股定理的应用，感受等面积法和数形结合的美。
1 探索勾股定理1．勾股定理的探索如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：(1)a2＝__________，b2＝__________，c2＝__________；(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2.释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．2．勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°，(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________.解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5；(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8；(3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x，于是(3x)2＋(4x)2＝52.化简，得9x2＋16x2＝25，即25x2＝25，x2＝1，x＝1(x＞0)．因此a＝3x＝3，b＝4x＝4.答案：(1)5 (2)8 (3)3 4谈重点用勾股定理求边长这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长．【例2－2】有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s，飞机距离这个男孩头顶5 000 m，那么飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出图形．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 000 m，AB＝5 000 m.欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s时间里飞行的路程，即图中CB的长．由于△ABC的斜边AB＝5 000 m，AC＝4 000 m，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：如图，AB＝5 000 m＝5 km，AC＝4 000 m＝4 km，故由勾股定理得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－42＝9， 即BC ＝3 km.因为飞机20 s 飞行3 km ，所以它每小时飞行的距离为3 60020×3＝540(km)．3．勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得(a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得c 2＝(b －a )2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2. 方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的梯形． 由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得： 12(a ＋b )(a ＋b )＝2×12ab ＋12c 2. 化简可得：a 2＋b 2＝c 2.说明：勾股定理的验证还有很多方法．我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．对啊! 利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.【例3】 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a ＋b )2的值为( )．A ．169B ．144C ．100D ．25解析：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝13－1＝12，可知4×12ab ＝12，即2ab ＝12，由勾股定理得a 2＋b 2＝13，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝13＋12＝25. 答案：D4．利用勾股定理求长度 利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．常见的方法有：(1)利用高(作垂线)构造直角三角形； (2)利用已知直角构造直角三角形； (3)利用勾股定理构造直角三角形．已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．【例4】 如图①，校园内有两棵树，相距12 m ，一棵树高13 m ，另一棵树高8 m ，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？图①分析：分别用AB ，CD 表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD ，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，可构造出Rt△AED ，利用勾股定理解决．解：如图②，作DE ⊥AB 于点E ，图②∵AB ＝13 m ，CD ＝8 m ， ∴AE ＝5 m.由BC ＝12 m ，得DE ＝12 m.∵在Rt△ADE 中，AD 2＝AE 2＋DE 2， ∴AD ＝13 m.∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13 m ． 5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．【例5】如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．故矩形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长．6．勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．具体问题如下：①已知直角三角形的两边，求第三边的长；②说明线段的平方关系；③判断三角形的形状或求角的大小；④解决实际问题．(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．【例6】如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A 在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？分析：注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求．解：设AE的长为x m，由题意，得CE＝(AC－x) m.∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.∴AC＝2 m.∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m. 在Rt△ECD中，CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，即AE＝0.5 m.∴滑杆顶端A下滑了0.5 m．。
