第一讲 分式的运算
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义
【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,2
2
π，是分式的有： .
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义
（1）
44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x
（5）x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.
（1）3
1
+-x x
（2）
4
2||2--x x （3）
6
53222----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例4】（1）当x 为何值时，分式
x
-84
为正； （2）当x 为何值时，分式2
)
1(35-+-x x 为负；
（3）当x 为何值时，分式
3
2
+-x x 为非负数. 练习：
1．当x 取何值时，下列分式有意义：
（1）
3
||61
-x
（2）
1
)1(32++-x x （3）
x
111+
2．当x 为何值时，下列分式的值为零：
（1）4
|1|5+--x x
（2）
5
6252
2+--x x x
3．解下列不等式 （1）
01
2
||≤+-x x （2）
03
252
>+++x x x
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：M
B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：
b
a
b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.
（1）y x y
x 4
1313221+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.
（1）y x y
x --+- （2）b a a --- （3）b a ---
题型三：化简求值题
【例3】已知：511=+y x ，求y
xy x y
xy x +++-2232的值.
提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y
x 1
1+. 【例4】已知：21=-
x x ，求2
21
x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求
y
x 241
-的值.
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.
（1）
y
x y
x 5.008.02.003.0+-
（2）b a b
a 10
141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1
242
++x x x 的值.
3．已知：
311=-b a ，求a
ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b
a b
a 532+-的值.
5．如果21<x x --2|2|x
x x x |
||1|1+
---. （三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分. （1）c
b a
c a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）
2
2
,
21,
1
222--+--x x x x x
x x ； （4）a
a -+21
,
2 题型二：约分
【例2】约分： （1）
3
22016xy y x -；（3）n m m n --2
2；（3）6
222---+x x x x .
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
（1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-；
（2）2
2233)()()3(
x
y x y y x y x a +-÷-⋅+； （3）m
n m
n m n m n n m ---+-+22；
（4）11
2
---a a a ；
（5）8
7
4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1
)3)(1(1)1)(1(1+++
++++-x x x x x x ； （7）)12()214
44
(22
2+-⋅--+--x x x x x x x
