工程流体力学
（第二版）
习题与解答
1 2
p p 2 1 V 第 1 章 流体的力学性质
1-1 用压缩机压缩初始温度为 20℃的空气，绝对压力从 1 个标准大气压升高到 6 个标准大气压。试计算等温压缩、绝热压缩、以及压缩终温为 78℃这三种情况下，空气的体积 减小率?V = (V 1 - V 2 )/V 1 各为多少？
解：根据气体压缩过程方程： pV k = const ，有(V /V ) = ( p / p )1/ k ，所以
2
1
1
2
(V -V ) V ? p ?1/ k ? = 1 2 = 1 - 2
= 1 - 1 ?
V
V V p 1 1 ? 2 ? 等温过程 k =1，所以
?V = 1 - p 1 / p 2 = 1 -1/ 6 =83.33%
绝热过程 k =1.4，所以 ? = 1 - ( p / p )1/1.4
= 1 - (1/ 6)1/1.4 =72.19% 压缩终温为 78℃时，利用理想气体状态方程可得
? = 1 - V 2 = 1 - p 1T 2 = 1 - 1? 78
=80.03% V 1 p 2T 1 6 ? 20
1-2 图 1-12 所示为压力表校验器，器内充满体积压缩系数 β = 4.75 ?10-10 m 2/N 的油， 用手轮旋进活塞达到设定压力。已知活塞直径 D =10mm ，活塞杆螺距 t =2mm ，在 1 标准大气压时的充油体积为 V 0=200cm 3。设活塞周边密封良好，问手轮转动多少转，才能达到 200 标准大气压的油压（1 标准大气压=101330Pa ）。
解：根据体积压缩系数定义积分可得：
β = - 1 d V → V = V exp[-β ( p - p )]
p
V d p
p
因为 nt
π D 2
4 = V 0 - V = V 0 ??1 - e x p - β p ( p - p 0 ) ??
所以
n = 4 V ?1 - e - β ( p - p )
? = 12.14 rpm
π D 2t 0 ?
?
0.05mm
1kN
20°
图 1-12 习题 1-2 附图
图 1-13 习题 1-3 附图
1-3 如图 1-13 所示，一个底边为200mm ? 200mm 、重量为 1kN 的滑块在 20°斜面的油膜上滑动，油膜厚度 0.05mm ，油的粘度μ= 7 ?10-2 Pa·s 。设油膜内速度为线性分布，试求滑块的平衡速度u T 。
V
30 ? ?
解：设油膜内速度呈线性分布，平衡时油膜内的速度梯度可计算为
d u = d y u T - 0 0.05 ?10-3
= 20000u T
1/s 由牛顿剪切定理可得滑块表面处流体受到的切应力τ 为
τ = μ d u
= 7 ?10-2 ? 20000u =1400 u Pa
d y T T
滑块受到的切应力与τ 的大小相等方向相反，且滑块受到的摩擦力与滑块重力沿斜面分量平衡，所以
A τ = mg sin θ → 0.2 ? 0.2 ?1400u T = 1000sin 20
→ u T ≈ 6.11m/s
1-4 有一直径 d =150mm 的轴在轴承中转动，转速 n =400 r/min ，轴承宽度 L = 300mm ， 轴与轴承间隙δ = 0.25mm ，其间充满润滑油膜，油的粘度为 μ = 0.049 Pa ? s 。假定润滑油膜内速度为线性分布，试求转动轴的功率 N （注：N =转轴表面积 A ?表面切应力τ ?表面线速度v θ ）。
解：根据牛顿剪切定律有
τ = μ d v θ = μ ωd /2 - 0 =
μωd ， M = A τ R = π dL μωd d = πμd 3
L ω d r δ 2δ πμd 3 L ω2 2δ πμd 3 L ? n π ?2
2 4δ
由此得轴功率为： N = M ω = 4δ = 4δ
? =273.47W
? ?
1-5 如图 1-14 所示，已知圆形管道中流体层流流动时的速度分布为：
? r 2 ?
u = 2u m 1 - R 2 ?
其中 u m 为管内流体的平均速度。（1）设流体粘度为 μ ，求管中流体的剪切应力τ 的分布公式；
（2）如长度为 L 的水平管道两端的压力降为
?p （进口压力-出口压力），求压力降?p 的表
达式。
解：（1）根据牛顿剪切定律有
τ = μ
d u
= -4μu d r r
m R
2
由上式可知，壁面切应力为τ 0 = -4μu m / R ，负号表示τ 0 方向与 z 相反； （2）由流体水平方向力平衡有： π R 2 ?p + τ π DL = 0 ，将τ 表达式代入得
0 0
?p =
8μu m L R 2
1-6 图 1-15 所示为两平行圆盘，直径为 D ，间隙中液膜厚度为δ ，液体动力粘性系数为 μ ，若下盘固定，上盘以角速度ω 旋转，求所需力矩 M 的表达式。
=AτR
解：固定圆盘表面液体速度为零，转动圆盘表面半径r 处液体周向线速度速度v
θs
=rω；设液膜速度沿厚度方向线性分布，则切应力分布为
τ=μ?vθ =μvθs - 0 =μrω
?δδδ
R 2ππμωD4
所需力矩M 为：M =??τr(r d r dθ) =
0 0
32δ
r =R /2
y
b b'
d y
t= 0 t=d t
αα-dα
a a'u ( y)
o
x 图1-15 习题1-6 附图图1-16 习题1-7 附图1-7如图1-16 所示，流体沿x 轴方向作层状流动，在y 轴方向有速度梯度。在t=0 时，任取高度为d y 的矩形流体面考察，该矩形流体面底边坐标为y，对应的流体速度为u( y) ；经过d t 时间段后，矩形流体面变成如图所示的平行四边形，原来的α角变为α- dα，其剪切变形速率定义为dα/d t （单位时间内因剪切变形产生的角度变化）。试推导表明：流体的剪切变形速率就等于流体的速度梯度，即
dα=d u
d t d y
解：因为a 点速度为u，所以b 点速度为u+
d u
d y ；由此得a - a'、b - b'的距离为：
d y
aa'=u d t ，bb'= (u+
d u
d y)d t
d y
所以dα≈ tan dα=
bb'-aa'
=
d u
d t 即dα=d u
d y d y d t d y
L
R δ1
n δ2
δ 1-8 图 1-17 所示为旋转粘度测定仪。该测定仪由内外两圆筒组成，外筒以转速 n （r/min ）旋转，通过内外筒之间
的油液，将力矩传递至内筒；内筒上下两端用平板封闭，上端固定悬挂于一金属丝下，通过测定金属丝扭转角度确定金属丝所受扭矩为 M 。若内外筒之间的间隙为δ1 ，底面间隙为δ2 ， 筒高为 L ，求油液动力粘性系数的计算式。
解：半径 R 的筒体表面磨擦扭矩为
μ R ω 2π R 3 L ? n π ?
M 1 = A τ R = 2π RL δ R = μ δ 30 ?
1 1 ? ?
筒体端部表面摩擦扭矩（相当于圆盘摩擦）为
R 2π
R R
r ω π μω R 4
M 2 = ? ? τ r (r d r d θ ) = 2π ?τ r 2d r = 2π ? μ 0 0 0 0
2
由总扭矩 M = M 1 + M 2 解出油液动力粘性系数为
r 2d r = 2δ2 μ = 2δ1δ2 M ? 30 ?
π R 3 (4L δ + R δ π ?
2 1
) ? n
?
1-9 空气中水滴直径为 0.3mm 时，其内部压力比外部大多少？
解：查附录表 C-1，水在常温空气中的表面张力系数σ =0.073N/m ，所以
? 1 1 ? 2σ 2 ? 0.073 ?p = σ R + R ? = R = 0.15 ?10-3
= 973Pa
? 1 2 ?
1-10 图 1-18 所示为插入水银中的两平行玻璃板，板间距δ =1mm ，水银在空气中的表面张力σ =0.514N/m ，与玻璃的接触角θ =140°，水银密度
ρ =13600kg/m 3。试求玻璃板内外水银液面的高度
差 h 。
解：对于两平板间的液膜，如图所示，液面下侧压力 p 0 + ρ gh ，液面上侧压力为 p 0 ，取垂直书面方向为单位厚度，写出液膜竖直方向力平衡方程有
p 0δ + 2σ cos(π - θ ) = ( p 0 + ρ gh )δ
由此得两平壁间的液膜爬升高度为 h = 2σ cos θ = - 5.9 ?10-3 m= -5.9mm
δρ g
1-11 如图 1-19 所示，一平壁浸入体积很大的水中。由于存在表面张力，在靠近壁面的地方水的表面成为弯曲面，弯曲液面垂直于 x-y 平面。假定弯曲面曲率半径 r 可以表示成1/ r
= d 2 y /d x 2 ，接触角θ 和表面张力系数σ 已知。试确定平壁附近水面的形状和最大高度 h 。
1mm
h
θ
图 1-18 习题 1-10 附图
图 1-17 习题 1-8 附图
y
h
θ
o
x
σ
y
x
p 0
h p θ
G
σ
p 0
图 1-19 习题 1-11 附图
水平液面以上流体受力分析
解：根据弯曲表面张力压差公式，任意 x 处自由表面内外压力差为
?p = p - p = σ ( 1 + 1
)
R 1 R 2
其中 p i 是 x 处自由表面内的压力， R 1 、 R 2 是 x 处自由表面两个正交法截线的半径。
因为 x 轴为水平液面，所以根据静力学原理，x 轴对应的水平面上压力为 p 0 ；设任意 x 处弯曲液面与水平液面的距离为 y ，根据静力学关系有
p 0 = p i + ρ gy 即 ?p = p 0 - p i = ρ gy
所以
ρ gy =σ ( R 1
+ 1
)
R 2
根据本题附图可知，如果取弯曲面曲线（x-y 平面内）曲率半径：1/ R 1 = d y / d x ，则 2 2
与其正交的曲率半径 R 2 →∞ （因为自由液面⊥x-y 平面），于是有
d y 2
σ
d x 2
- ρ gy = 0 → y = C 1e + C 2e
由边界条件： x →∞ ： y = 0 ，x =0：y =h ，可得C 1 = 0 ， C 2 = h ，所以
y = h exp (- ρ g /σ x
)
其中的 h 可根据边界条件： x = 0 ， y ' = -1/ tan θ ，表示为
h = (1/ tan θ ) 或，取 z 方向为单位厚度，由 y 方向力平衡可得
∞
σ cos θ = G → σ cos θ = ?
ρ g y d x →
h = cos θ 或，取 z 方向为单位厚度，由 x 方向力平衡可得
h
h
σ sin θ + hp 0 = ? p d y + σ → σ sin θ + hp 0 = ? ( p 0 - ρ g y )d y + σ
h
即
σ sin θ = -? ρ g y d y + σ 0
→ h = ρ g x σ
-
ρ g x σ
ρ g /σ
ρ g /σ
2(1-sin θ ) ρ
g /σ 1 0 i
0 1 2 1 2 1-12 如图 1-20 所示，一圆形管内装有理想塑性流体，其剪切应力与变形速率的关系由式（1-18）所描述。已知该流体屈服应力为τ 0 ，现从管的左端加压力 p ，问该压力至少为多大才能将该塑性流体挤出管外？已知管子直径为 D ，塑性流体充满长度为 l 的管段，管外为大气。
解：由压力 p 与壁面切应力τW 的平衡关系可得
π D 2
p
4
= τW π Dl
要实现流动，壁面切应力必须大于屈服应力，即τW >τ 0 , 所以
π D 2 p / 4 > τ π Dl 即 p > 4l τ 0 /D
第 2 章 流体流动的基本概念
2-1 已知直角坐标系中的速度场 v = v x i + v y j = (x + t )i + ( y + t )j 。（1）试求 t =0 时通过 点 x =a 、y =b 的迹线方程和流线方程；（2）试求以拉格朗日变量表示的流体速度与加速度。提
示：方程组 d x / d t = x + t ， d y / d t = y + t 的解为： x = c e t - t -1， y = c e t - t -1
。 解：
(1) 由v x = x + t , v y = y + t 得迹线微分方程为：：
d x = x + t ， d y
= y + t d t 一阶线性微分方程 y ' + p (t ) y = q (t ) d t
的通解形式为
y = e -? p d t (? qe ? p d t d t + c )
此处迹线微分方程中 p = -1，q = t ；代入后得：
y = e t (? te -t d t + c ) = e t [-e -t (t +1) + c ] = ce t - t -1
即
x = c e t - t -1， y = c e t - t -1
因此，t =0 时：过（a , b ）的迹线方程为：
x = (a + 1)e t - t -1，y = (b + 1)e t - t -1
又，将速度代入流线微分方程得：
t 被看成常数，积分上式得：
d x =
x + t d y
y + t
ln(x + t ) = ln( y + t ) + ln c 因此，t =0 时：过（a , b ）的流线方程为：
或 (x + t ) = c ( y + t )
(x + t ) = a
( y + t ) 或 b
y = b x + ( b -1)t
a a (2) 由迹线方程直接求导，或直接将迹线方程代入欧拉速度式，可得拉氏变量表示的速
x y x y 度为：
v = (a +1)e t -1，v = (b +1)e t
-1
直接对拉氏变量速度式求导，或对欧拉速度求质点导数再代入迹线方程，可得以拉氏变量表示的加速度为：
a = (a +1)e t ，a = (
b +1)e t
2-2 给定速度场： v = (6 + 2xy + t 2 )i - (xy 2
+10t )j + 25k 。试求流体质点在位置（3，
0，2）处的加速度。
解：根据质点导数定义，流体质点加速度为
a =
D v = ?v
+ v ?v + v ?v
+ v ?v
根据速度分布式有：
D t ?t x ?x y ?y z
?z
?v = 2t i -10j ,
?t
所以加速度矢量为
?v = 2 y i - y 2 j ,
?x
?v
= 2x i - 2xy j , ?y
?v = 0
?z a = (2t i -10j ) + (6 + 2xy + t 2 )(2 y i - y 2 j ) - (xy 2 +10t )(2x i - 2xy j )
= [2t + (6 + 2xy + t 2 )2 y - (xy 2 +10t )2x ]i +[-10 - (6 + 2xy + t 2 ) y 2 + (xy 2 +10t )2xy ]j
= -58t i -10j
2-3 已知速度场为 v = xt i + yt j + zt k ，温度场为T = A t 2 /(x 2 + y 2 + z 2 ) ，其中 A 为常数。试求：（1）流场（x ，y ，z ）点处的温度变化率和流体加速度；（2）t = 0 时通过（x=a ，y=b ， z=c ）处的流体质点的温度变化率和加速度。
解：
(1) 流场（x , y, z ）点处的时间变化率是局部变化率，所以温度变化率和流体加速度分别为
?T = 2A t ； a = ?v x
= x ，a = ?v y = y ，a = ?v z = z ?t (x 2
+ y 2 + z 2
) x ?t y ?t z ?t
(2) 流体质点的温度变化率和加速度是温度和速度的质点导数，即
D T = ?T + v D t ?t x ?T + v ?x y ?T + v ?T ?y z ?z = ?T + ?t xt ?T + ?x yt ?T + ?y
zt ?T ?z = 2A t (1- t 2 )
(x 2 + y 2+ z 2 )
a =
D v = ?v
+ v ?v + v ?v
+ v ?v D t ?t x ?x y ?y z
?z
= (x i + y j + z k ) + xt 2 i + yt 2 j + zt 2 k = (1+ t 2 )(x i + y j + z k )
而t = 0 时通过（x=a ，y=b ，z=c ）处的流体质点的迹线方程为
d x
= xt d y = yt d z = zt
→ x = ae t 2 /2，y = be t 2 /2，z = ce t
2
/2
， ， d t d t d t
所以该质点的温度变化率和加速度为
0 D T = 2 A t (1- t 2
)e t 2
； a = D v = (1+ t 2 )e t 2 /2
(a i + b j + c k ) D t (a 2 + b 2+ c 2 ) D t
2-4 给定速度场： v = 6x i + 6 y j - 7t k 。试求：（1）在t =0 时通过点（a , b , c ）的迹线方程；（2） t =0 时的流线方程；（3）在t =0 时通过点（a , b , c ）的流线方程。
解：在直角坐标系下速度场可表示为： v x = 6x ， v y = 6 y ， v z = -7t ；
(1) 迹线微分方程为：
d x
= 6x ， d y = 6y ， d z
= -7t d t d t d t
积分得迹线方程：
x = c e 6t ，y = c e 6t ，z = - 7 t 2
+ c ， 1 2 2 3
t = 0 过（a , b , c ）的迹线方程：
x = ae 6t ，y = be 6t
，z = - 7 t 2 + c 2
(2) 将速度代入流线方程得： d x = d y = d z
6x 6 y -7t
积分得：
x / y = c ， z = - 7
t ln y + c 1 6
2
t = 0 时的流线方程：
x / y = c 1 ， z =c 2
(3) (3) t =0 时通过点（a , b , c ）的流线方程：
x / y = a / b ， z = - 7 t ln y + c
6
2-5 给定二维流动： v = U 0i + V 0 cos(kx - αt )j ，其中U 0、V 0、k 、α 均为常数。（1） 试求在t = 0 时刻通过点（0, 0）的流线和迹线方程；（2）若 k → 0, 曲线。
解：在直角坐标系下速度场可表示为：
v x = U 0 ， v y = V 0 cos(kx - αt )
α → 0 ，试比较这两条
将其代入流线方程得：
d x = U 0 d y V 0 cos(kx - αt ) 或 d y = V 0
cos(kx - αt )d x U 0
将 t 视为积分常数，对上式进行积分得流线方程为
y =
V 0
kU 0
sin(kx - αt ) + c 1
又，迹线微分方程为： d x = U ， d y = V cos(kx - αt ) d t 对上两式进行积分得迹线方程
d t 0 x = U t + c ， y =
V 0
sin[kc + (kU - α )t ] + c
2
kU - α
2
3
(1) t = 0 时刻通过点（0, 0）， c 1 = c 2 = c 3 = 0 ，所以
? ?
流线方程：
y =
V 0
kU 0
sin(kx - αt )
迹线方程：
x = U t ， y = V 0
sin[(kU - α )t ] 0 kU - α 0
(2) k → 0, α → 0 时，流线方程： y = V 0 x ；迹线方程： x = U t ， y = V t = V
0 x ，
U 0 所以流线与迹线重合，为稳态流动。
0 0
2-6 给定拉格朗日流场： x = ae
-(2t / k )
， y = be t / k ， z = ce t / k ，其中 k 为常数。试判
断：（1）是否是稳态流动；（2）是否是不可压缩流场；（3）是否是有旋流动。
解：
(1) 流体运动速度为：
v =
d x
= -
2a e -(2t / k ) = - 2 x ； v = d y = b e t / k = 1 y ； v = d z = c e t / k = 1
z
x d t k k y d t k k z
d t k k
由于流体速度仅为空间位置的函数 v = v (x , y , z ) ，所以为稳态流动（稳态或非稳态由欧
拉法速度场判断）。
(2) 因为：?? v = ?v x + ?v y + ?v z
= -2 / k +1/ k +1/ k = 0 ，所以该流场为不可压缩流场。
?x ?y ?z
(3) 因为： Ω = ? ? v = ( ?v z - ?v y )i + ( ?v x - ?v
z )j + ( ?v y - ?v x )k =0，所以该流动无旋。
?y ?z ?z ?x ?x ?y
2-7 给定速度场： v = C y 2 + z 2
i ， C 是常数。求涡量Ω 和涡线方程。 解：因为v y = v z =0 ，所以，根据涡量展开式有
Ω =
?v x j - ?v x k =Cz j Cy ?z 根据涡线微分方程有：
?y Ω Cz
Cy
C d(y 2 + z 2 )
y d z = Ωz
d y →
z = -y → = 0
即涡线方程为：
y 2
+ z 2 = c 。
2-8 图 2-16 所示为圆形管道中牛顿流体的层流流动，其速度分布为：
? r 2 ?
v z = 2v m 1 - R 2 ?
其中 v m 为管内平均流速，R =D /2。（1）判断流动是否是不可压缩流动；（2）判断管道中的流动是有旋
流动还是无旋流动；（3）求流线、迹线、涡线方程。已知，柱坐标下的涡量分量表达式为：
U