最新湖水污染分析模型

湖泊与水库水质模型——箱子模型对于面积小，封闭性强，四周污染源多的小湖或大湖湾，污染物排入水域后，在湖泊和风浪作用下，有可能出现湖水均匀混合的现象。

这时湖泊内各处水质均一，污染物浓度在空间上差异较小。

描述这类水质状态的是均匀混合型（或完全混合型）水质模型。

对完全混合型的湖泊，根据物质平衡原理：某时段任何水质元素含量的变化等于该时段流入总量减去流出总量，再减去元素降解或沉淀损失的量。

可列出方程如下。

对易降解的物质，有kM p p tM -'-=∆∆ 对于难降解的物质，则有 p p t M '-=∆∆ 0M M M e -=∆式中 Me —— 时段末期湖泊内污染物的总量，kg ；M0—— 时段初期湖泊内污染物的总量，kg ；M —— 时段内湖泊平均污染物的总量，kg ；t∆——计算时段，d ；,P,p ’——时段内平均流入、流出湖泊污染物总量，kg ；k ——污染物衰减期，1/d 。

金沙湖建成后,在充分截污的前提下,补充水源携带的TP 负荷占主要地位,其次是大气沉降、底泥释放的TP 负荷。

模型根据质量守恒原理,认为流入的污染物在湖泊内掺混均匀,降雨量带来的污染物、湖泊水体对污染物的沉降和降解作用均句,因此可以用箱子模型研究湖泊污染物浓度。

可以用湖区充分混合后的物质守恒定律得到：()VC k d t P A C o Q o C d t Q i C i d t Q w C w dt dc -+-+=∨ 式中： ∨为湖水正常水位下的水体（m ³）C 、dt 是湖水某物质（如总磷）浓度及其变化量；Qw 、Cw 是流入湖区污水的流量和浓度；Qi 、Ci 是引水入湖区的流量和浓度；Qo 、Co 是流出湖区的流量和湖水浓度；P 、A 、Co 分别是降雨量和湖水浓度；V 、C 、K 、dt 分别是湖区水体体积、湖区水质、沉降系数和单位时间。

四者相乘代表沉入湖底的污染物总量可以将湖面上的降雨量、底泥的释放量均纳入流入湖区的污染物中（包括引水），总计为w （t ），则式子为：QeCdt-w (t)dt+Vdc+k ∨Cdt=0化简为：∨dt dc +（∨Ck+o1t ）=w （1） 式中：to=Qe∨称为停留时间 K 为污染物沉降时间，单位为（1/天）（1/年）w 为年（月）进入湖区污染物的总量当齐次方程w =0时，（1）式的解为：()t C =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-k toCo k V Qc Co 1exp exp 式中：Co 为初始浓度，新开湖的本底浓度； 当dtdc =0时，此线性非齐次方程的恒定解为Co =∑∑==+n i i KV Qi Wi 11 其非恒定解为()t C =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+∑∑∑===t k V Qi KV Qi Wi n i n i n i 111exp 1+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=t k V Qi Co n i 1exp （2） （2）式中第一项为本月负荷的增加值，第二项为前月初始值的衰减值，Co 是前月（日）的值。

湖泊水环境质量评价方法与模型研究一、研究背景随着工业化、城市化进程的不断加快，水资源变得越来越紧缺，水污染问题逐渐凸显。

湖泊作为一种重要的淡水资源和生态系统，对周边环境和经济社会发展起着重要作用。

因此，研究湖泊水环境质量评价方法和模型，对优化湖泊管理和保护，实现可持续发展具有重要意义。

二、湖泊水环境质量评价方法1. 水质指标的选取湖泊水质评价需要选取一定数量的水质指标，以反映水体的实际水质状况。

针对不同的湖泊水体，需要选择不同的评价指标。

其中一般包括生化需氧量(BOD)、化学需氧量(COD)、总磷(TP)、总氮 (TN)、溶解氧（DO）等，可以较全面地反映湖泊水体的新陈代谢、富营养化程度和污染程度等情况。

2. 现场采样与数据处理在选取好评价指标后，需要对目标湖泊进行现场采样，以获取各项水质指标的浓度数据。

通过数据处理方法，可以得到各项指标在不同时间段内的平均值和变化趋势，进而分析其水环境质量状态。

3. 综合评价方法综合评价方法是将不同的水质指标进行加权平均，从而得到湖泊水环境质量综合评价。

加权平均方法需要根据不同的评价目的和湖泊特征，设置不同的权重。

如在保护自然湖泊生态系统的背景下，指标的权重应偏向于对污染敏感的指标，如TN、TP；在工业劳动型人工湖泊中则应偏向于COD等，从而得出不同湖泊的综合评价结果。

三、湖泊水环境质量评价模型1. 回归模型回归模型通常用于分析湖泊水体中各项水质指标的变化趋势。

比如，对于湖泊富营养化问题，可以采用线性回归模型，确定与营养盐指标相关的主要驱动因素，从而预测未来的营养盐浓度和趋势。

2. 神经网络模型神经网络模型是一种全新的预测模型，可以准确预测湖泊水质状况。

通过训练和学习，神经网络可以得到不同指标之间的关系，建立相关性模型，提高水质预测的准确性。

3. 灰色模型灰色模型是一种专门用于数据不完整或缺乏的情况下，对数据进行预测的模型。

在湖泊水质预测中，如果出现数据缺少或数据复杂，灰色模型可以用来对数据进行补充和补偿，提高预测准确性。

水质污染处理数学模型水质污染处理数学模型摘要随着市场经济和现代工业的飞速发展，人类面临了直接危害人类生存的新问题――环境污染。

为了治理污染，提出治理污染的新方案，必须建立合理的数学模型来解决现实问题。

这是1个关于湖泊、河流水质污染处理的`数学模型，通过模型的建立与问题解决，能够较准确地分析并解决实际生活中的水质污染问题。

如何合理地解决湖泊、河流污染问题是1个非常切合实际的问题，本问题是目前1个热门的研究课题。

把此模型看成是1个单流入、单流出的系统，流入、流出的水流速度相同。

利用质量守恒定律可列出关于浓度变化的微分方程，通过求解此微分方程可得到模型所要求的某1时刻污染物的浓度。

本模型较好地解决了湖水污染处理问题，具有1定的经济效用和价值，能比较恰当地解决实际问题。

通过对问题的分析，得出湖水污染浓度的变化的结果。

在模型建设中采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

关键词微分方程；质量守恒定律；污染浓度AbstractAlong with the market economy and the present industry rapid development, the new question of the humanity facing - environmental pollution has directly harmed the human survival. In order to control the pollution and propose a new plan, we have to establish the reasonable model to solve the realistic problem.This is a mathematical model about processing water pollution of the lake and the rivers. Through the establishment of the mathematical model and the solution of the question, we can accurately analyze and solve the question of water pollution in practical life. This question is an extremely realistic question, how to reasonably solve the question of contamination about the lake and the rivers is a lively researched topic today. We regard as this model as the system with a sole entrance and a sole exportation. And the velocity of the inflow and the outflow are same. Using the law of conservation about the changing density we can list a differential equation, through solving this differential equation we can obtain a certain time pollutant density which the model requests . This model has solved the problem well, and it has certain economic utility and value. The model can quite appropriately solve the actual problem.Through the analysis of the question, we can obtain the result of changing concentration of the contaminant. We have used the quite ideal solution method in the construction of model, and the model has a certain guiding sense in practice.Key words Differential equation; Law of conservation of mass; Concentration of contaminant。

案例分析第五章湖泊水库水质模型污染源污染类型污染物来源工业废水城镇生活污水固体废物处置场矿区地表径流外源污染物城镇地表径流农牧区地表径流大气降尘大气降水水体投饵养殖水面娱乐活动废弃物水土流失及土壤侵蚀内源污染物底泥及沉积物污染物入湖途径点源污染地下水养殖投饵2非点源3内源营养负荷1地面径流的营养负荷jl2降水的营养负荷jp3人为因素营养负荷生活污水js和工业污水湖泊富营养化定义指湖泊水体接纳过量的氮磷等营养性物质使水体中藻类以及其他水生生物异常繁殖水体透明度和溶解氧变化造成湖泊水质恶化加速湖泊老化从而使湖泊生态和水功能受到阻碍和破坏
第五章 湖泊水库水质模型
1
.
本章内容
? 湖泊水库的污染特性 ? 湖泊水库温度模型 ? 湖泊水库水质模型 ? 湖泊水库富营养化模型 ? 湖泊水库生态系统模型 ? 湖泊水库水质模拟通用软件介绍 ? 案例分析
2
第五章 湖泊水库水质模型
湖泊水库的污染特性
3
.
污染来源与途径
? 污染源
污染类型 点源
外源污染物 面源
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? 能量平衡模型
能量平衡模型将湖库沿垂向分为 n + m 个小薄层其中， 上部 m 层为混合均匀层，下部 n 层为变温层，每层 厚度为ΔZ。
混合层 变温层
混合层
Δz
变温层
Ek / Ep ? 1
Ek / Ep ≥? 1
17
Ek ? ? 0W* Asdt
Ep
?
g
? ?
m
?
V(i, k)?P(m ?
V poe
po
pe
r
V
Sh As Pph
SAs Pp
28
? 模型
（1）夏季分层模型

基于GIS 的环境污染应急分析系统的开发重点是实现水体污染扩散模拟。

目前, 国外在此方面的研究成果很多，已经进行到了三维水体污染扩散模拟，国内的起步则较晚, 至今的研究成果在一维的较多，二维和三维的较少。

鉴于目前网络的发展, 有必要将互联网与系统结合起来。

一维水体污染扩散数学模型：一维水质模型是水环境模型中相对简单的一种，是河流、河口和湖泊遭受污染时，实际的断面浓度分布与断面浓度的平均值偏差不大时常采用的水污染预测模型。

它主要研究污染物浓度分布沿程的变化以及各个断面上污染物浓度随时间的变化，其中河流以一维水质模型最为常见。

在突发性河道水源地污染事故发生时。

污染物的排放存在两种情况，即一维稳定排放和一维瞬时排放,
二维水体污染扩散数学模型：二维计算模型模拟速度快、实时而精度无需很高, 可忽略基本控制方程中的一些非主要因素,模型结构简单、实用性强。

目前最为常用的有限差分数值计算方法对控制方程进行离散, 按物理分步法将二维偏微分方程化简成较简单的一维方程, 应用广为采用的ADI隐式格式联合求解水动力模型与水污染模型。

算法具有编程简单、占用计算机内存较小、无条件稳定、可适当增大空间步长、计算效率高、易于实现自动化的实时模拟计算等显著优点, 适合于在应急处置中应用。

并且利用GIS 的强大的空间分析、处理和表现功能, 将水力计算与GIS 结合在一起, 实现了污染模拟结果的二维可视化, 为应急处置提供一个形象、直观的表现平台, 能有效地辅助应急决策。

三维水体污染扩散数学模型：水污染三维可视化包含两方面的内容：河道地形地貌三维仿真与污染扩散可视化，二者通过地理坐标进行空间叠加形成河道污染扩散可视化展示平台，在此基础上进行各种统计分析功能。

灰色系统GM（1,1）模型预测抚仙湖水污染一实验目的1了解灰色系统理论。

2掌握GM（1,1）模型的建立及使用.3学会用GM（1,1）模型对环境质量变化趋势进行预测。

二实验内容抚仙湖简介：实验步骤：1建立 G M (1, 1) 模型1.1建模原理设 x(0)( 1 ) , x(0)( 2 ) , …, x(0)(M) 是要预测的某项指标的原始数据 , { x i(0)(t) } , i = 0,1, 2…多为随机量, 变化趋势无规律, 则无法用回归预测法对其进行预测。

若将原始数列进行累加生成新的数据序列 { x i(1)(t) } , i= 0, 1, 2…即:x( 1)(2) = x(0)(1) + x(0)(2)x( 1)(3) = x(0)(1) + x(0)(2) +x( 0)(3)……通过累加, 弱化其随机性程度, 增加其平稳程度。

灰色系统理把上述经过处理后的数据序列称为“模块” , 认为由已知的白色数据构成的模块是白色模块，而由白色模块外推到未来的模块是灰色模块。

将 { x i(1)(t) } , i = 0, 1, 2…拟合成微分方程为：dx(1)/dt+ ax(1)= u (1)该式即为 GM (1, 1) 模型, 用来模拟时间数据灰色量。

式中 a, u 为参数向量元素, 分别称作发展灰数和控制灰数, 可以通过如下最小二乘法拟合得到:（2）在(2)式中 , Y M为列向量 Y M = [ x(0)(2) ,x(0)(3) , …, x(0)(M) ]T; B 为构造系数矩阵:微分方程 (1) 式所对应的时间响应函数为(3) 式就是数列预测的基础公式, 由 ( 3) 式次累加生成数列的预测值, 求得还原值为:1.2模型及模拟结果表1 2006-2009年抚仙湖主要污染物(mg/L)表2发展灰数a和控制灰数u计算结果COD Mn预测模型: x(1)( t +1) = 19.4638e0.05322t-18.4138TP 预测模型: x(1)( t +1) = -0.06349e-0.096677t+0.06849 TN 预测模型: x(1)( t +1) = 5.69568e0.02912t-5.53568根据上述污染物的预测模型，可得抚仙湖的污染预测结果 , 如表3所示。

湖水污染问题Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的废水排入河中,导致了Pristine湖被污染。

PCA公司声称:已排放的废水的标准多年从未改变且不会对湖的环境有影响。

假设：1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

已知:Pristine湖的湖容量为l159.114l年。

PCA声1010，流入(流出)的水流速度为/称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

问题：1.在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

2.派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为0.03 mol/l，再测得河水污染浓度为0.05 mol/l。

以新数据为依据考虑湖水污染问题的数学模型。

3.现在假设你是环保局的所聘请的高级顾问，请向你的雇主提交一份报告.内容包括:(1)在工厂停产(或半停产)条件下，湖水自然净化所需年限(净化指标为污染浓度不超过0.001 mol/l)；(2)为保护环境，对PCA进行整改的建议。

模型的建立1.假设1.假设降水量和蒸发量相等；2.湖中流入量和流出量相等且一直未变；3.湖水混合均匀；4.湖内无其它污染源。

假设1.2保证了湖的体积稳定，为V。

假设3保证了湖泊的中溶液是均一稳定的假设4保证了Pure河作为流入Pristine湖的唯一河流对Pristine湖中污染的决定性作用。

2.问题1由于PCA声称河水污染浓度仅为0.001mol/l，自工厂开工以来没有改变过。

我们姑且可以认为污染源的浓度为恒定的常量C。

通过生态环境物质守恒原理：积累量=输入量-输出量+生成量建立平衡过程模型由于假设湖内没有其他污染源，可以断定不存在生成量。

已知湖泊体积为V ，污染源的河水浓度为C ，流入和流出的体积为Vq ，湖泊内污染浓度为r （t ）则我们可以建立每年的污染积累量的模型：[r(n)-r(n-1)]V=CVq-r(a)Vq其中r(n)表示第n 年的湖泊污染浓度；n-1≤a ≤n ，r(a)表示在第n 年与第n-1年中的任意时刻的湖泊内污染浓度。

水质污染处理数学模型水质污染处理数学模型是指使用各种数学方法建立的可以用来描述和预测水质污染处理过程的数学模型。

水质污染处理数学模型可以帮助我们更好地了解水质污染的成因和处理过程，为水质污染治理和管理提供科学依据。

下面我们将介绍水质污染处理数学模型的相关内容。

一、水质污染处理数学模型的基本原理1、质量守恒原理水体中化学物质的浓度和质量在时间和空间上的变化受到水质污染的贡献和处理过程的调节。

如果不考虑均衡和生物降解等因素，仅仅从数量的角度看，水体中物质的质量守恒原理可以用以下公式表示：dC/dt=-Q(Cin-Cout)+R其中，dC/dt表示物质浓度随时间的变化率，Q表示水流量，Cin和Cout分别表示水的进口和出口处的污染物浓度，R表示污染物在水中的产生速率。

2、化学反应原理许多水质污染处理中涉及到的化学反应可用动力学模型描述如下：C=C0*[1-exp(-k*t)]其中，C表示化学物质浓度，C0表示初始浓度，k为反应速率常数，t为反应时间，exp(-k*t)为反应进程函数。

3、生物反应原理许多水质污染处理中涉及到的生物反应也可以用动力学模型描述。

一般规律是肥料-微生物-氧化物系统中微生物的生长是符合“麦克斯韦-卡尔克莱文方程”形式的：μ=μmax*C/(K+C)其中，μ为微生物生长速率，μmax为最大生长速率，C为可利用物质的浓度，K为半饱和常数，和生物种类密切相关。

二、水质污染处理数学模型的应用1、水体污染负荷分析水质污染处理数学模型可以帮助我们对水体污染情况进行预测和分析。

通过建立水体污染负荷数学模型，可以预测污染物质的浓度、分布和转移规律，从而合理选择处理方法和措施，提高水质污染治理的效率和成效。

2、水体污染治理方案设计水质污染处理数学模型可以帮助我们设计污染治理方案。

通过建立污染物迁移扩散模型、水环境质量模型以及处理工艺模型等，可以对治理方案的可行性进行评价和比较，优化处理流程和条件，提高治理方案的可靠性和效率。

湖水治理数学模型
湖水治理数学模型是指利用数学方法和模型来研究和优化湖泊的水质、流动和污染物传输等问题，以实现湖水的治理和保护。

湖水治理数学模型可以包括以下方面的内容：
1. 水质模型：通过建立湖水水质的动力学模型，研究湖水中营养盐、溶解氧、悬浮物等物质的运输与转化规律，评估湖水的富营养化程度，为湖泊污染控制和水质改善提供科学依据。

2. 水动力模型：通过建立湖水水动力学模型，研究湖水的流动速度、流向和水体混合过程等，分析湖泊的水循环机制，揭示湖泊中污染物的扩散和沉积规律，为湖泊的污染治理和流动状况预测提供依据。

3. 污染物传输模型：通过建立湖水中污染物（如有机物、重金属等）的传输模型，研究污染物在湖水中的输移和转化过程，预测污染物的浓度分布和扩散范围，为污染物的治理和防控提供科学依据。

4. 优化模型：通过建立湖水治理的优化模型，考虑不同的治理措施和投入成本，综合考虑湖水水质和环境效益，寻找最优的治理策略和方案，为湖泊的综合管理和保护提供决策支持。

以上只是湖水治理数学模型的一些常见内容，实际应用中还可以根据具体问题情况进行模型的选择和建立，以及对应的数学方法和算法的应用。

湖水污染问题1121943 刘烁1121940 庄静1121946 刘蔚[摘要] 随着市场经济和现在工业的飞速发展。

人类面临了直接危害人类生存的新的问题——环境污染，为了治理污染，提出治理污染的新的方案，我们必须建立客观合理的数学模型来解决现实问题。

湖水不仅为人类的生存提供了大量的水资源和生物资源，还提供了丰富的旅游，度假和休闲的精神资源，但湖泊也承受着人们倾倒垃圾、废水等污染物的破坏，由于人们缺乏保护生态环境的意识，它们越来越受到工业和生物废水的污染，从而导致生物资源的灭绝，水质变坏，给人类带来了灾难。

所以保护生态环境成为了人们越来越关心的问题。

湖水治理的工作是困难的，因为一般湖水覆盖的面积比较大，周围污染源比较复杂，很难指明所有污染的原因。

通常治理水体污染的办法是靠水体本身的自净能力来缓解污染，这对河流的污染一般是有效的，但对于被污染的湖水来说是行不通的。

通过对问题的分析，我们利用微积分方程的求解方法，得出湖水污染的结果。

下降到原来的0.05%所需时间，在模型建设中我们采用了比较理想的求解方法，在实际中还是比较有指导意义的。

[关键字] 湖水污染微分方程模型一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以 0.12m3 /s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=0.05%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.符合说明F：污染物浓度Z：倒入湖中的污染物总量D：处于某浓度的时间四.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

河湖水环境数学模型河湖水环境数学模型是一种基于数学理论的模拟工具，用于分析水环境的运动与变化规律，以及预测可能的污染扩散和治理效果。

该模型主要涉及流体力学、水动力学、水污染传输和化学反应等方面的知识，通过建立数学方程组并运用计算机程序求解，可以模拟出水体在时间和空间上的变化情况，并估计不同污染源对水体质量的影响程度。

模型基础理论河湖水环境数学模型主要包括自然水动力学模型和水污染传输模型两部分。

其中，自然水动力学模型主要描述水体的流动规律和水位变化情况，采用伯努利方程、连续方程及自由水面条件等基本方程描述自由水面水体运动，通过建立动量守恒方程、能量守恒方程和湍流应力方程等求解水体速度场和水位场。

水污染传输模型则描述了污染物在水中的扩散、降解和转移过程，主要利用输运方程、分布方程和化学反应方程等描述污染物传输和降解规律。

模型应用场景河湖水环境数学模型的应用范围比较广泛，常用于以下几个方面：1. 水质控制与预测：对于一些重要水源地、环保监测点和重大工业企业，可以建立相应的污染传输模型，预测污染物移动路径和扩散规律，为环保部门提供决策支持。

2. 水力工程优化：通过建模模拟水体流动和水污染物传输的过程，可以实现针对水利工程的优化设计、排放标准制定等，为工程的环境评价和规划提供重要基础。

3. 灾害风险评估：在洪涝、水灾、地灾等自然灾害发生前，可以利用模型模拟相应水文过程，并结合地形、土壤、降雨等因素，评估灾害风险并提前采取防灾措施。

4. 河道管理与治理：河涌切割、城市化扩张和环境污染等因素对河道环境造成较大影响。

通过建立河湖水环境数学模型，可以分析河道水动力学特性，制定河道优化治理策略，进一步提高河道生态环境的质量。

总体来说，河湖水环境数学模型具有建模精度高、数据传输方便、计算效率高等优点，可以有效地辅助环境监测和水质控制，为工程决策和环保管理提供支持。

随着计算机技术和数学方法的不断发展，河湖水环境数学模型必将在未来发挥更加重要和广泛的作用。

中国传媒大学2010 学年第一学期数学建模与数学实验课程数学建模与数学实验题目Pristine湖污染问题的建模与求解学生姓名学号班级学生所属学院任课教师教师所属学院成绩Pristine湖污染问题的建模与求解摘要本文讨论了湖水污染浓度变化趋势的预测问题。

通过分析水流输入输出湖泊的过程，建立了湖水污染浓度随时间变化的含参变量的微分方程模型，在河水污染浓度恒定和自然净化速率呈线性关系的情况下，求得其精确解，带入具体数据得到结论：在PCA声称的河水污染浓度下，湖的环境不会恶化；在工作人员实地测得的河水浓度下，湖的环境将会恶化。

同时建立了计算机模拟模型，带入具体数值，运用时间步长法来仿真模拟了在湖水污染浓度稳定以前湖水每天的变化情况，输出自PCA建厂以来每年的湖水污染浓度，得到与微分方程模型相同的结论。

在全停产和半停产时，通过前面的两个模型可以计算湖水污染浓度在自然净化影响下的恢复到净化指标所需的年限。

并可得到结论：在半停产状态下，在选定的自然净化速率常数的约束下，只有当河水污染浓度降至原来的3.15%（自然净化速率呈线性关系），4.7%（自然净化速率呈指数关系），才有可能使河水在100年内恢复至0.001mol/l，然后给出整改建议。

一、问题重述Pure河是流入Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA将为处理的湖水排入河中，导致Pristine湖被污染。

PCA公司声称：已排放的废水的标准多年从未改变切不会对湖的环境有影响。

10L，流入（流出）的水流速度为149.1L/年。

现已知：Pristine湖的湖容量为15PCA公司声称河水污染浓度仅为0.001mol/L，自工厂以来没有改变过。

讨论下列问题：（1）建立数学模型用PCA提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化；（2）以目前湖水污染浓度0.03mol/L，和河水污染浓度0.05mol/L为新数据判断湖的环境是否会恶化；二、模型的合理假设和符号系统2.1 模型的合理假设（1）降水量和增发量相等；（2）湖中流入量和流出量相等且一直未变；（3）污水量远小于河水注入量，且污水与河水混合均匀；（4）湖水混合均匀，且流入污水的扩散速度无限大；（5）湖内除Pure河外，无其他污染源；2.2 符号系统0ρ：河水污染浓度mol/L ；ρ：湖水污染物浓度mol/L ；V ：湖泊容量1510L ；c ：自然净化速率mol/（L 。

湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。

（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。

二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析`分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。

用分钟作为时间t的单位。

在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。

因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。

四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/F(0)=0；2000F’=Z/2000F’+=Z/60F’+2000=Z/120000所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;\y=[]=[（Z/120000）（2000/）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。

显然是t=60时，污染达到高峰。

此时污染浓度为：]F（60）=Z/432（1-）= *10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。

摘要在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。

理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量n+1n a 0.62a =，安大略湖的污染物总量n n n b 6129.03230.627020.33600.87192.3077=-⨯+⨯+，n b 在n →∞时趋于一个定值192.3077，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当35n =时 245.95n b =安大略湖的污染程度减少到目前水平的10%；当31n ≥≥是系统的污染物的量是一直增加的，当203n ≥≥系统的污染物量急剧减少，大约从40n ≥开始系统的污染物量几乎保持不变。

实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。

分析铝厂排放的污染物时，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间t ，把一年分成多份t ，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25单位按t 分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是0.3q ∆=单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。

综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。

模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。

在直径小于20um 时赤泥的排出量急剧增加。

为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。

二、问题分析伊利湖的湖水每年有38%的更新，湖水的更新引起湖内污染物量的变化。

假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。

精品湖水污染模型1．问题重述Pure 河是流入 Pristine湖的唯一河流。

50年前PCA公司在此河旁建起一个生产设施并投入运行。

PCA 将未经处理的废水排入河中，导致了Pristine湖被污染，PCA声称：已排放的废水标准多年从未改变且不会对湖的环境产生影响。

已知：Pristine 湖容量为 1015L ，流入（流出）的水流速度为 1.9 × 1014L/年。

PCA 声称河污染浓度仅为 0.001mol/L，自工厂开工以来没有改变过。

(1) 在花费时间和经费去测试之前，建立数学模型，用PCA 提供的公开数据判断湖的环境是否会恶化。

(2)派出野外工作人员测得目前湖水污染浓度为 0.03mol/L ，再测得河水污染浓度为 0.05mol/L 。

在这样的状况下湖的污染程度又将如何变化？(3)假设你是环保局所聘请的高级顾问，在仅考虑湖水自然净化（净化指标为污染浓度不超过 0.001mol/L ）的情况下，为保护环境，对 PCA 提出整改建议。

2．问题分析2.1 问题（ 1 ）分析要想知道湖水的环境是否会恶化，就要知道湖每年流进的污染物浓度以及流出的污染物浓度，由这些数据后就可以算出湖每一年的污染情况，从而判断湖的水环境是否会恶化。

2.2 问题（ 2 ）分析要想湖的污染程度又将如何变化，就要通过题目中给的数据与湖水每一年的污染物浓度建立合适的关系，从中推算出湖水每一年的污染情况，找到湖水的变化趋势。

2.3 问题（ 3 ）分析为了保护环境，是湖水自然净化，最直接的办法就是让PCA 公司停止排放污染物质，但是如果让PCA 公司停止排放，那么 PCA 公司就要停产，这是不符合实际的，而且无法实现。

要想使湖水达到标准，除了让PCA 公司停止排放污染物质外还可以是它减少排放量，这样也可以使湖水净化到合理标准。

3. 模型假设假设 1 湖水与河水流量常年不变。

假设 2 忽略降雨、蒸发等其它因素对湖水容量的影响。

湖水污染问题摘要湖泊为人类提供了丰富的水资源，但也越来越受到各种各样的污染.本文首先在扩散速度无限大即污水流入湖水中后迅速与净水融合的假设前提下，综合考虑了污水注入、流出时的速度和浓度，运用微分方程建立模型。

问题一:我们分为两段时间进行考虑，第一部分即污染物发生泄漏到10:05 得到控制之间的45分钟，我们在参与模型变量连续、充分光滑的假设前提下运用湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染的平衡原理建立微分方程模型。

第二部分即在10：05之后事故得到控制，则此刻之后不会再有污水流入，我们根据污染物的改变量=—流出污染的平衡原理建立微分方程模型。

问题二：要解决湖水中污染物的浓度何时达到最大值，由分析可知在事故得到控制之前,即在10：05之前,湖水中污染物的浓度随时间不断的增加，在事故得到控制之后，随着污染物的流出，净水的注入湖中污染物的浓度会不断的下降，故在10:05时湖水中的污染物浓度达到最大值。

问题三：湖水中污染物的浓度何时达到安全水平,即求污染物浓度p(t)小于0.05％的时间，我们可根据问题一所建立的微分模型求解。

问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型，我们可以通过计算机模拟得到关键词：微分方程模型、平衡原理、扩散速度无限大一、问题的重述下图是一个容量为20003m的一个小湖的示意图(图一),通过小河A水以0.08sm3的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。

在上午9:20,因交通事故,一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。

在采取紧急措施后，于上午10：05事故得到控制，但数量不详的化学物质T已泻入湖中，初步估计T的数量在53m至203m之间。

问题一:请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；问题二:估计湖水何时到达污染高峰；问题三:何时污染程度可降至安全水平(〈=0。

05％）;问题四:建立湖水污染浓度的变化趋势的预测模型；二、模型的假设1、不区分污染物只考虑湖水中污染物的浓度，系统视为单流入单流出系统；2、污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关;3、参与模型变量连续、充分光滑;4、湖的容积不变即湖水体体积不变（不考虑渗漏、降水等因素）；5、忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化；三、符号说明W：倾倒在x处得污染物的总量（3m）；v：污染物流入湖中的速率；ui（t）：表示t时刻湖水的流入速度；uo(t）：表示t时刻湖水的流出速度;pi(t）：表示t时刻流入的污染物的浓度;po (t）:表示t时刻流出的污染物的浓度;图一p （t ）：表示t 时刻湖水中污染物的浓度； V:表示湖水的体积；四、模型的建立与求解（一)问题一1.1.1问题分析:该问题要求湖水的污染程度随时间的变化，分析问题我们视此问题为单流入单流出系统（如图二所示），我们以秒（s)作为时间单位，在上午10：05事故得到控制前的（45*60)秒之内即0<t<45*60时间内，污染物流入湖中的平均速率v 0=60*45W3m /s,我们根据参与模型变量连续、充分光滑；忽略微生物的自净过程，即流入湖中的污水只能随湖水的流出来净化的假设前提，可知湖水中污染物的改变量=流入污染-流出污染1根据湖水中污染物的改变量=流入污染—流出污染的平衡原理，我们可 得：V[p （t+Δt ）— p(t)］=[ u i （t)* p i (t)— u o （t ）*p o （t ）]＊Δt两边同除以Δt,且取极限得：V ＊dtdp= u i (t ）＊ p i （t)- u o (t ）＊p o (t ） 即：dt dp =Vt p t u t p t u o i i )(*)()(*)(0- (1）1）由模型假设2“污染物流入湖中后能很快和湖水混合，即湖水的污染状况与任何局部水体的湖的位置无关”，可知在t 时刻湖水中污染物的浓度p （t ）和t 时刻流出的污染物的浓度p o (t ）相同,即p o (t)= p(t ）则(1）式变为：dt dp =Vt p t u t p t u i i )(*)()(*)(0- （2） 2)由题我们可知湖水的流入速度u i （t ）= 湖水的流出速度u o （t)= u o = 0.08s m 3， 则:dt dp =Vt p t p u i )]()([*0- （3） 3）t 时刻流入的污染物的浓度P i （t ）= v 0/ u o ，得:dt dp =V t p u v u o )](/[*00-=V v o -Vu 0＊p （t) （4） 利用常微分方程中的常数变易法,求（4）式的线性齐次微分方程的通解得：dt dp =-V u 0＊p 即：pdp=—V u 0*dt两边同时积分得：lnp=—Vu0*t+c 1, 则：p=c 2*eVt u *0-(c 1、c 2是任意常数）利用常数变易法令：p(t)=c （t)*e Vt u *0- （5）两边同时对t 求导得:dtt dp )(=c '(t)* eVtu *0-- Vu0＊c(t ）＊ e Vt u *0- （6）4）由方程(4）和（6)可得: c '（t)* e Vt u *0-- Vu0＊c(t ）＊ eVt u *0-=V v o -Vu0*p （t) （7）即：c '（t)＊ eV tu *0-=Vv oc '（t)= Vvo * eVt u *0积分得：c(t)= 00u v＊eVu t 0*+c （其中c 为任意常数) （8)5）由方程（5）和（8）可得：p(t ）= (00u v＊eVu t 0*+c)＊ eVt u *0-=0u v +c* e Vt u *0- （9)在t=0时刻时，即上午9:20时，由于此时刻刚刚在X 处发生事故，污染物还没有流入到湖水中，故此时湖水中污染物的浓度为0，即：p(0）=0;带入（9） 得:c=—u v 所以：p （t)= 00u v —0u v * eVt u *0- （10）1。

上海电机学院2011年“自强杯”数学建模竞赛题号 B论文题目北美五大湖湖水污染模型姓名张竹胜廖鑫成陈倩倩院系BG0906 BG1002 BG1002学号0910******** 101001010220 101001010209联系方式139******** 188******** 158********摘要本文针对北美的五大湖污染问题，通过分析可以将问题分为4个部分：①建立模型描述这两个湖的污染情况:当把伊利湖看成单入单出的系统时，同时认为流进伊利湖的湖水所含的污染物浓度1()P t 为定值，则由微分方程模型可以得到伊利湖污染情况的模型101(()())dPV r P t P t dt =-，同理得到安大略湖污染情况的模型0323222()()()()oS r r t dQ Q t P t P t dt V V V +=+。

②如果流入安大略湖的水有5/6是由伊利湖流入的，对它们的污染情况给出进一步的分析可以得到安大略湖污染情况模型为：23()66()()5dQ Q t P t P t dt τττ+=+。

③假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了．把安大略湖净化到50%以及5%所需要的时间又可以分成四种情况，即考虑安大略湖一开始是否被污染和从伊利湖流入安大略湖的湖水是否含有污染物这两种可能： （ⅰ）当0s Q ≠且0k =时有当()50%sQ t Q α==时，0.5ln 2t τ=； 当()5%sQ t Q α==时，0.05ln 20t τ=(ⅱ)当0s Q =且0k ≠时有()ln 1t βτβ=--；(ⅲ)当0s Q ≠且0k ≠时有()()0ln 1/1t βτββ=--⎡⎤⎣⎦； （ⅳ）当0s Q =且0k =时，此时讨论无意义。

④使用这些数据建模进一步对伊利湖和安大略湖进行分析得， （Ⅰ）伊利湖：（ⅰ）当0s P ≠，0k =，50%η= 0.5ln 2 1.802t τ==， 5%η= 0.05ln 207.789t τ== （ⅱ）当0s P =且0k ≠ 当0.5β=时，0.5ln 2 1.802t τ==；当0.05β=时，0.05100ln0.13395t τ==（ⅲ）当0s P =，0k =即在此讨论无意义（ⅳ）当0s P ≠，0k ≠[]0ln (1)/(1)t βτββ=--其中0sP k β=（Ⅱ）安大略湖：（ⅰ）当0s Q ≠且0k =时50%α=时，0.5ln 2 5.406t τ== 5%α=时，0.05ln 2023.37t τ== (ⅱ)当0s Q =且0k ≠时有 当0.5β=时有0.5ln 2 5.406t τ== 当0.05β=时有0.05100ln0.495t τ==（ⅲ)当0s Q ≠且0k ≠时有当0.5β=时，()()0.5001ln 1/7.8ln 212t τββ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ （ⅳ）当0s Q =且0k =，这时讨论已无实际意义。