高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.3平面与圆锥面的截线练习含解析新人教A版选修41092359课时过关·能力提升基础巩固1已知圆锥的顶角为50°,圆锥的截面与轴线所成的角为30°,则截线是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线α=50°2=25°,β=30°,β>α,故截线是椭圆,故选B.2已知平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()A.2B.12C.√32D.2√3β,母线与轴线夹角为α,由题意,知β=0°,α=60°,故e=cosβcosβ=112=2.3若以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是() A.不存在的 B.椭圆C.双曲线D.抛物线,应选D.4已知双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A.√2B.√3C.√62D.2√32a,虚轴长为2b,焦距为2c.·3,故e=√3.由题意知2c=2β2β5已知圆锥母线与轴夹角为60°,平面π与轴夹角为45°,则平面π与圆锥交线的离心率是,该曲线的形状是.=√2>1,∴曲线为双曲线.e=cos45°cos60°√2双曲线6设圆锥面是由直线l'绕直线l旋转而得,l'与l交点为V,l'与l的夹角为α(0°<α<90°),不经过圆锥顶点V的平面π与圆锥面相交,设轴l与平面π所成的角为β,则当时,平面π与圆锥面的交线为圆;当时,平面π与圆锥面的交线为椭圆;当时,平面π与圆锥面的交线为双曲线;当时,平面π与圆锥面的交线为抛物线.=90°α<β<90°β<αβ=α7一圆锥面的母线和轴线成30°角,当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是.β=30°,α=30°,则β=α.则截线是抛物线,如图.8已知一圆锥面S 的轴线为Sx ,轴线与母线的夹角为30°,在轴上取一点O ,使SO=3 cm,球O 与这个锥面相切,求球O 的半径和切点圆的半径.,OH=12SO=32cm,HC=OH sin60°=32×√32=3√34(cm).所以球O 的半径为32cm,切点圆的半径为3√34cm .能力提升1已知双曲线两个焦点的距离为10,双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为6,则双曲线的离心率为 ( )A.35B.45C.1D.532a ,虚轴长为2b ,焦距为2c.由题意知,2c=10,2a=6,故e=ββ=53.2线段AB 是抛物线的焦点弦,F 为焦点.若点A ,B 在抛物线准线上的正射影分别为点A 1,B 1,则∠A 1FB 1等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°,由抛物线定义,知AA 1=AF ,∴∠AA 1F=∠AFA 1.又AA 1∥EF ,∴∠AA 1F=∠A 1FE , ∴∠AFA 1=∠A 1FE , ∴FA 1是∠AFE 的平分线.同理,FB 1是∠BFE 的平分线,∴∠A 1FB 1=12∠AFE+12∠BFE =12(∠AFE+∠BFE )=90°.3如图,F 1,F 2是椭圆C 1:β24+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点,A ,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A.√2B.√3C.32D.√62C 1中,|AF 1|+|AF 2|=4,|F 1F 2|=2√3.又因为四边形AF 1BF 2为矩形, 所以∠F 1AF 2=90°. 所以|AF 1|2+|AF 2|2=|F 1F 2|2, 解得|AF 1|=2-√2,|AF 2|=2+√2.所以在双曲线C 2中,2c=2√3,2a=|AF 2|-|AF 1|=2√2,故e=ββ=√3√2=√62,故选D .4已知椭圆两条准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为 .2a ,短轴长为2b ,焦距为2c.由{2β=10,2β2β=20,得a=5,c=52,则2b=2√β2-β2=5√3.√35已知一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面内切球的半径为 .2a=6,得a=3.又e=cos45°=√22,∴c=e ·a=√22×3=3√22.∴b=√β2-β2=√32-92=3√22. ∴圆柱面内切球的半径r=3√22.6如图,抛物线的焦点为F ,顶点为A ,准线为l ,过点F 作PF ⊥AF.求证:AF=12PF.,过点P 作PB ⊥l 于点B.由抛物线的定义知PB=PF ,AH=AF , 又HF=BP ,故AF=12HF=12BP=12PF.★7如图,已知圆锥母线与轴的夹角为α,平面π与轴线夹角为β,Dandelin球的半径分别为R,r,且α<β,R>r,求平面π与圆锥面交线的焦距F1F2,轴长G1G2.β>α知截线为椭圆,通过数形结合转化到相应平面上求解.O1F1,O2F2,O1O2交F1F2于点O,在Rt△O1F1O中,OF1=β1β1tan∠β1ββ1=βtanβ.在Rt△O2F2O中,OF2=β2β2tan∠β2ββ2=βtanβ.则F1F2=OF1+OF2=β+βtanβ.同理,O1O2=β+βsinβ.连接O1A1,O2A2,过O1作O1H⊥O2A2.在Rt△O1O2H中,O1H=O1O2·cosα=β+βsinβ·cosα.又O1H=A1A2,由切线定理,容易验证G1G2=A1A2,故G1G2=β+βsinβ·cosα.。
