2018高中全程训练计划·数学(理)天天练26 基本不等式及简单的线性规划 Word版含解析

天天练选修系列一、选择题．不等式－＋＋≥的解集是( )．[－] ．[－]．(－∞，－]∪[，＋∞) ．(－∞，－]∪[，＋∞)．若直线(\\(＝＋，＝－))(为参数)被圆(\\(＝＋α，＝＋α)) (α为参数)所截得的弦长为，则的值为( )．或．－或．或－．－或－二、填空题．(·北京卷，)在极坐标系中，直线ρθ－ρθ－＝与圆ρ＝θ交于，两点，则＝.．若关于的不等式－＋＋≤在上的解集为∅，则的取值范围为．三、解答题．(·江苏卷，)在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(\\(＝＋()，＝(())))(为参数)，椭圆的参数方程为(\\(＝θ，＝θ)) (θ为参数)．设直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．．(·课标全国Ⅲ，)在直角坐标系中，曲线的参数方程为(\\(＝() α，＝α))(α为参数)．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ＝.()写出的普通方程和的直角坐标方程；()设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．．(·课标全国Ⅱ，)在直角坐标系中，圆的方程为(＋)＋＝.()以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；()直线的参数方程是(\\(＝α，＝α))(为参数)，与交于，两点，＝，求的斜率．．(·江西赣州一模，)设、为正实数，且＋＝.()求＋的最小值；()若(－)≥()，求的值．．(·课标全国Ⅲ，)已知函数()＝－＋.()当＝时，求不等式()≤的解集；()设函数()＝－.当∈时，()＋()≥，求的取值范围．．(·课标全国Ⅱ，)已知函数()＝－＋＋，为不等式()<的解集．()求；()证明：当，∈时，＋<＋.天天练选修系列．原不等式等价于(\\(≤－，－－－≥))或(\\(－<<，－＋＋≥))或(\\(≥，－＋＋≥，))从而原不等式的解集为{≥或≤－}．。

天天练1 集合的概念与运算一、选择题1．(2017·银川质检)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤5}，A ＝{1,4}，B ＝{4,5}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3,5}B ．{1,2,4,5}C ．{1,3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．(2017·贵阳监测)如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜3}C ．{x |x ＜3}D ．{x |x ＞0}3．(2017·太原五中检测)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－2x －3≤0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 子集的个数为( )A ．10B ．16C ．8D ．74．(2017·赣州摸底)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0，x ∈R }，B ＝{x |lg(x ＋1)＜1，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}5．(2017·长沙一模)记集合A ＝{x |x －a ＞0}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，若0∈A ∩B ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)6．(2017·河南适应性测试)已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{y |y ＝2x ，x∈A }，则A ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．5C ．4D ．37．(2017·衡水中学一调)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |x ＋1x －4＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}8．(2017·太原二模)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜2}，B ＝{x |a ＜x＜6}，且A ∩B ＝{x |2＜x ＜b }，则a ＋b ＝( )天天练1集合的概念与运算1．A由于全集U＝{x∈N*|x≤5}＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,4}，B＝{4,5}，A∩B＝{4}，则∁U(A∩B)＝{1,2,3,5}，故选A.2．B由Venn图可知，阴影部分表示的是集合A∪B＝{x|0<x<3}，故选B.3．C因为A＝{－1,0,1,2,3}，B＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2,3}，其子集的个数为23＝8，故选C.4．D由x2－x－2≤0得－1≤x≤2，所以A＝{x|－1≤x≤2}．由lg(x＋1)＜1，得0＜x＋1＜10，解得－1＜x＜9，所以B＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A∩B＝{0,1,2}，故选D.5．A依题意得，0∈A,0－a＞0，a＜0，因此实数a的取值范围是(－∞，0)，选A.6．C因为B＝{0,2,4}，所以A∪B＝{0,1,2,4}，元素个数为4，故选C.7．D依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁U B ＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.。

⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式（组）及简单的线性规划问题⾼中数学必考知识点:⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题|附习题对于⾼考来临，同学和家长⾮常关⼼数学如何去复习，⾼考数学考的知识点⾮常多，需要考⽣需要考⽣运⽤⼤量⽅法技巧进⾏解决问题，等等这些都增加⾼考数学的难度。

为了能帮助考⽣各个击破⾼考数学知识点，今天肖⽼师就来讲讲如何利⽤⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题相关知识内容。

⼀、⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积为________．(2)若不等式组表⽰的平⾯区域是⼀个三⾓形，则a的取值范围是________．规律⽅法：⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的确定⽅法(1)确定⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的⽅法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代⼊不等式(组)．若满⾜不等式(组)，则不等式(组)表⽰的平⾯区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平⾯区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．　⼆、求线性⽬标函数的最值(范围)线性⽬标函数的最值(范围)问题是每年⾼考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．⾼考对线性⽬标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题⾓度：(1)求线性⽬标函数的最值(范围)；(2)已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求⾮线性⽬标函数的最值(范围)．(1)(2017·⾼考浙江卷)若x，y满⾜约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0，6] B．[0，4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)(2015·⾼考⼭东卷)已知x，y满⾜约束条件若z＝ax＋y的最⼤值为4，则a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3规律⽅法：利⽤线性规划求⽬标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可⾏域；(2)将⽬标函数视为动直线，并将其平移经过可⾏域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代⼊⽬标函数，求出最⼤值或最⼩值．[注意]　对于已知⽬标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代⼊⽬标函数．　⾓度⼀　求线性⽬标函数的最值(范围)(2017·贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平⾯区域上的⼀个动点，则⽬标函数z＝－x＋2y的最⼤值是( )A．0 B．1C．3 D．4⾓度⼆　已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2017·海⼝市调研测试)若x，y满⾜且z＝y－x的最⼩值为－12，则k的值为( )A. B．－C. D．－三、线性规划的实际应⽤(2016·⾼考全国卷⼄)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1.5 kg，⼄材料1 kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0.5 kg，⼄材料0.3 kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，⼄材料90 kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为________元．四、数形结合思想求解⾮线性规划问题(2015·⾼考全国卷Ⅰ)若x，y满⾜约束条件则的最⼤值为________．好了，今天⽼师就分享到这⾥了，同学们对于⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)都掌握了吗？本⽂章是根据⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)解题讲解，或者需要解题技巧⽅法可以给⽼师留⾔，同时⽼师以后继续给⼤家分享关于章节知识点技巧和⼲货习题和视频。

天天练6指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1．2log a（M－2N)＝log a M＋log a N,则错误!的值为（）A。

错误!B．4 C．1 D．4或12．定义运算a⊗b＝错误!，则函数f（x）＝1⊗2x的图象大致为（）（x2－6x＋17）的值域是（)3．函数y＝log12A．R B.错误!C.错误!D。

错误!4．函数y＝lg错误!的图像关于( )A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称5．设函数f（x)＝错误!，f（－2)＋f（log212)＝( ）A．3 B．6 C．9 D．126．设f(x）＝ln x，0＜a＜b，若p＝f（错误!），q＝f错误!，r＝错误!(f(a)＋f（b))，则下列关系式中正确的是( ）A．q＝r＜p B．q＝r〉pC．p＝r＜q D．p＝r＞q7．已知函数f（x）＝x2，g（x)＝lg x,若有f(a)＝g（b），则b的取值范围是（)A．[0，＋∞) B．（0，＋∞）C．［1,＋∞）D．（1，＋∞）8．函数y＝错误!的图象大致为（）二、填空题9．lg 错误!＋2lg2－错误!－1＝________.10．2－3,312,log 25三个数中最大的数是__________．11．已知函数f （x ）＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0］,则a ＋b ＝__________。

三、解答题12．已知函数f (x ）＝log 3错误!的定义域为R ，值域为错误!,求m ，n 的值．天天练6 指数函数、对数函数、幂函数1．B 由对数的运算性质可得:(M －2N ）2＝MN ,M 2－4MN ＋4N 2＝MN ，（M N）2－5（错误!)＋4＝0,错误!＝4或错误!＝1，又M ＞2N ，故错误!＝4。

2．A 由a ⊗b ＝错误!得f (x ）＝1⊗2x ＝错误!3．C 因为x 2－6x ＋17＝（x －3）2＋8≥8,所以由复合函数的单调性可知：函数的值域为(－∞，－3]．4．C y ＝lg 错误!，由奇函数的定义可知该函数为奇函数，故选C 。

三角函数、平面向量、数列、不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边过点P(－1，m)，且|sinα｜＝错误!，则点P位于( ）A．第一象限或第二象限B．第三象限或第四象限C．第二象限或第三象限D．第二象限或第四象限2．若集合A＝{x|x(x－2)<3｝，B＝{x|（x－a）(x－a＋1)＝0｝，且A∩B＝B，则实数a的取值范围是( ）A．－1<a<3 B．0〈a〈3C．0〈a<4 D．1<a〈43．若函数f（x)＝sin(3x＋φ)(｜φ｜〈π)满足:f(a＋x)＝f（a－x），a 为常数，a∈R，则f错误!的值为（)A.错误!B．±1 C．0 D。

错误!4．已知△ABC，点D在线段BC的延长线上，且错误!＝3错误!，点O在线段CD上(与点C，D不重合),若错误!＝x错误!＋（1－x）错误!（x ∈R)，则x的取值范围是( ）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!5．如图是函数y＝sin(ωx＋φ）图象的一部分，A,B是图象上的一个最高点和一个最低点，O为坐标原点，则错误!·错误!的值为( ）A。

错误!π2 B.错误!π2＋1C。

错误!π2－1 D。

错误!π2－16．已知函数f（x)＝x－4＋错误!，x∈(0,4）,当x＝a时，f(x）取得最小值b，则在直角坐标系中,函数g(x）＝错误!｜x＋b｜的图象为( ）7．已知数列{a n｝为等差数列,其前5项和为30，且a5是a1与a7的等比中项,则数列{a n}的公差为( ）A．－1或0 B．－2或1C．1或0 D．2或－18．已知数列{a n｝满足：a1＝m（m为正整数）,a n＋1＝错误!，若a6＝1，则m的所有可能取值组成的集合为（）A．｛4,5｝B．{4,32｝C．{4,5,32｝D．{5,32｝9．已知函数y＝A sin(ωx＋φ）＋m(A>0,ω>0)的最大值为4，最小值为0,最小正周期为错误!,直线x＝错误!是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是( ）A．y＝4sin错误!B．y＝2sin错误!＋2C．y＝2sin错误!＋2 D．y＝2sin错误!＋210．已知|a｜＝6，|b|＝6错误!,若t a＋b与t a－b的夹角为钝角，则t的取值范围为( )A．（－2，0）B．（0，错误!）C．（－错误!，0）∪（0，错误!）D．[－错误!，错误!］11．若实数x，y满足不等式组错误!，目标函数z＝kx－y的最大错误!＋1×（－1）＝错误!π2－1。

高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。

以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。

### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。

工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。

如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。

设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。

2. 目标函数为：\( P = 50x + 80y \)。

3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：\( 3x + 2y \leq 100 \)- 人工时间：\( 2x + 4y \leq 80 \)- 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)4. 画出可行域，找到可行域的顶点。

5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。

### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。

产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。

公司每月有原材料预算3000元。

如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。

2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。

3. 约束条件为原材料成本：\( 10x + 15y \leq 3000 \)4. 非负条件：\( x \geq 0, y \geq 0 \)5. 画出可行域，找到顶点。

6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。

### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。

天天练26基本不等式及简单的线性规划一、选择题1．已知a，b∈R＋,且a＋b＝1,则ab的最大值为（）A．1 B。

错误! C.错误! D.错误!2．若a,b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（) A．a＋b≥2错误!B。

错误!＋错误!>错误!C。

错误!＋错误!≥2 D．a2＋b2〉2ab3．（2017·福建四地六校联考,3）已知函数f(x）＝x＋错误!＋2的值域为(－∞，0]∪［4，＋∞），则a的值是( )A.错误!B.错误!C．1 D．24．函数y＝log a(x＋3）－1(a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其中m，n均大于0，则错误!＋错误!的最小值为( ）A．2 B．4 C．8 D．165．(2017·安徽江南十校联考，10）若x,y满足约束条件错误!则z ＝y－x的取值范围为（）A．［－2,2］ B.错误!C．[－1,2］ D.错误!6．若实数x，y满足错误!且z＝y－x的最小值为－2，则k的值为( )A．1 B．－1 C．2 D．－27．已知实数x,y满足错误!则k＝错误!的最大值为( )A.错误!B。

错误!C．1 D。

错误!8．已知点A(－2，0)，点M（x，y）为平面区域错误!上的一个动点，则｜AM｜的最小值是( )A．5 B．3C．2错误!D。

错误!二、填空题4．C ∵x＝－2时，y＝log a1－1＝－1，∴函数y＝log a（x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点（－2，－1）即A(－2，－1），∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0,即2m＋n＝1，∵mn>0,∴m>0,n>0，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2＋错误!＋错误!＋2≥4＋2·错误!＝8，当且仅当m＝错误!,n＝错误!时取等号．5．B 作出可行域(图略），设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点（1，3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝错误!x2相切时，z取得最小值，由错误!消去y 得x2－2x－2z＝0,由Δ＝4＋8z＝0,得z＝－错误!，故－错误!≤z≤2，故选B.6．B 结合本题特点可用排除法解决．当k＝1或k＝2时，目标函数z＝y－x无最小值；当k＝－2时，直线y＝x＋z过点（0，2)时有z min＝2；当k＝－1时，直线y＝x＋z过点(2,0)时有z min＝－2。

三角函数、平面向量、数列、不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分分．考试时间分钟．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．若角α的终边过点(－，)，且α＝，则点位于( )．第一象限或第二象限．第三象限或第四象限．第二象限或第三象限．第二象限或第四象限．若集合＝{(－)<}，＝{(－)(－＋)＝}，且∩＝，则实数的取值范围是( )．－<< ．<<．<< ．<<．若函数()＝(＋φ)(φ<π)满足：(＋)＝(－)，为常数，∈，则的值为( )．±．．已知△，点在线段的延长线上，且＝，点在线段上(与点，不重合)，若＝＋(－) (∈)，则的取值范围是( )．如图是函数＝(ω＋φ)图象的一部分，，是图象上的一个最高点和一个最低点，为坐标原点，则·的值为( )π π＋π－π－．已知函数()＝－＋，∈()，当＝时，()取得最小值，则在直角坐标系中，函数()＝＋的图象为( )．已知数列{}为等差数列，其前项和为，且是与的等比中项，则数列{}的公差为( )．－或．－或．或．或－．已知数列{}满足：＝(为正整数)，＋＝(\\(()，为偶数＋，为奇数))，若＝，则的所有可能取值组成的集合为( )．{} ．{}．{} ．{}．已知函数＝(ω＋φ)＋(>，ω>)的最大值为，最小值为，最小正周期为，直线＝是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是( ) ．＝．＝＋．＝＋．＝＋．已知＝，＝，若＋与－的夹角为钝角，则的取值范围为( )．(－，) ．(，)．(－，)∪(，) ．[－，]．若实数，满足不等式组(\\(＋－≤－－≤≥))，目标函数＝－的最大值为，最小值为，则实数的值为( )．．．．．已知各项都是正数的等比数列{}中，存在两项，(，∈*)使得＝，且＝＋，则＋的最小值是( )第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题：本大题共小题，每小题分，把答案填在相应题号后的横线上．．已知数列{}满足：－＝，－＝，＝，∈*，则＝；＝.．在△中，∠＝，边上的高为，△的面积为，则＝.．在△，角，，所对的边分别为，，，若＋－＝，·>，＝，则＋的取值范围是．．关于函数()＝－，有下列命题：①对任意，∈，当－＝π时，()＝()成立；②()在区间上单调递增；③函数()的图象关于点对称；。

4.2 简单线性规划[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念 名 称意 义 约束条件关于变量x ，y 的一次不等式(组) 线性约束条件关于x ，y 的一次不等式(组) 目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数关于变量x ，y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域由所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值；当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．题型一 求线性目标函数的最值例1 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．答案 －5解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值．跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1 解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，。

第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.83.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是()A. B.0,5] C. D.4.已知不等式组表示的平面区域的面积为4,则z=2x+y的最大值为()A.4B.6C.8D.125.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型客车不多于A型客车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元6.(2016云南昆明七校调研)已知实数x,y满足则z=x+3y的最小值为.7.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.8.(2016河南中原名校3月联考)设x,y满足不等式组若M=3x+y,N=-,则M-N 的最小值为.9.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.B组提升题组11.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.-3B.-6C.3D.612.(2017黑龙江鸡西一中月考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是()A.(-6,-2)B.(-3,2)C.D.13.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.14.若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.15.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.答案全解全析A组基础题组1.C(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔或画图可知选C.2.C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.3.D画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是.4.B如图,a>0,不等式组对应的平面区域为△OBC及其内部,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线的截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6,∴z max=6.5.C设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则约束条件为目标函数为z=1600x+2400y.可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点.当目标函数z=1600x+2400y对应的直线经过点A(5,12)时,z取得最小值,z min=1600×5+2400×12=36800.故租金最少为36800元,选C.6.答案-8解析依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(图略),当直线x+3y-z=0经过点(4,-4)时,目标函数z=x+3y取得最小值,为4+3×(-4)=-8.7.答案解析画出不等式组表示的可行域,如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.8.答案解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A(-1,2),B(3,2),当直线3x+y-M=0经过点A(-1,2)时,目标函数M=3x+y取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x≤3,所以函数N=-在x=-1处取得最大值-,由此可得M-N的最小值为-1-=.9.解析(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4×(-1)-3×(-6)-a]4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).10.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,∴(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.B组提升题组11.B不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示:由得A(k,k),易知目标函数z=x+y在点A处取最大值,则12=k+k,故k=6,所以B(-12,6),又目标函数z=x+y在点B处取最小值,∴z的最小值为-6,故选B.12.C作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.答案解析不等式组表示的区域为以A(1,0),B,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界),则1≤x≤2,所以1≤ax+y≤4恒成立可转化为≤-a≤恒成立.易知表示可行域内点(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为-;表示可行域内点(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有-≤-a≤-1,即1≤a≤.14.答案21解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·的几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,易得z max=21.15.解析(1)由已知得,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。

辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。

天天练30 空间向量与立体几何一、选择题1．已知A ∈α，P ∉α，P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，平面α的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－2，则直线P A 与平面α所成的角为 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．150° 2．(2017·泸州二模)在空间直角坐标系中，点P (m,0,0)到点P 1(4,1,2)的距离为30，则m 的值为( )A ．－9或1B ．9或－1C ．5或－5D ．2或33．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D ，E 分别是AC 1和BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 4.如图，在三棱锥P －ABC 中，不能证明AP ⊥BC 的条件是( ) A ．AP ⊥PB ，AP ⊥PC B ．AP ⊥PB ，BC ⊥PBC ．平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PCD ．AP ⊥平面PBC 5．(2017·东北三校联考(一))在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 6．(2017·丽水一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AD ＝1，AB ＝2，点E 是AB 上一点，当二面角P －EC －D 为π4时，AE ＝( )A ．1 B.12C ．2－ 2D ．2－ 3 7．(2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为 3B ．BE ∥平面P AD ，且BE 到平面P AD 的距离为263 C ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角大于30° D ．BE 与平面P AD 不平行，且BE 与平面P AD 所成的角小于30° 8．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，则点A 1到平面AB 1D 1的距离是( )A ．1 B.43 C.169 D ．2 二、填空题9．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝2，BC ＝3，D ，E 分别是AC 1，BB 1的中点，则直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为________．10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________．11.(2017·山西晋中五校联考，15)如图，在四棱锥S －ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，且AB ＝4，SA ＝3，E 、F 分别为线段BC 、SB 上的一点(端点除外)，满足SF BF ＝CEBE ＝λ，则当实数λ的值为________时，∠AFE 为直角．三、解答题 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝ 3.(1)求证：平面PQB⊥平面P AD；(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定t的值．天天练30空间向量与立体几何1．C设P A与平面α所成的角为θ，则sinθ＝⎪⎪⎪⎪cos〈P A→·n〉＝|P A→·n||P A→||n|＝14＋21＋2·14＋2＝32.∵θ∈[0°，90°]，∴θ＝60°，故选C.2．B由题意|PP1|＝30，即(m－4)2＋(－1)2＋(－2)2＝30，∴(m－4)2＝25，解得m＝9或m＝－1.故选B.3．A由已知AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(3，0,0)，D⎝⎛⎭⎪⎫32，12，a，E(0,0，a)，所以ED→＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，cos 〈ED →，n 〉＝ED →·n |ED →||n |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋02×1＝12，〈ED →，n 〉＝60°，所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为30°.故选A.4．B 由AP ⊥PB ，AP ⊥PC 可推出AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC ，故排除A ；由平面BPC ⊥平面APC ，BC ⊥PC 可推出BC ⊥平面APC ，∴AP ⊥BC ，故排除C ；由AP ⊥平面PBC 可推出AP ⊥BC ，故排除D ，选B.5．C 通解 建立空间直角坐标系(如图1所示)，设AB ＝AC ＝AA 1＝1，异面直线BA 1与AC 1所成的角为θ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1)，cos θ＝12×2＝12，θ＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°，故选C. 优解 由条件把直三棱柱补成正方体，如图2，易得异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.6．D如图，过点D 作DF ⊥CE 于F ，连接PF ，因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥CE ，又PD ∩DF ＝D ，所以CE ⊥平面PDF ，所以PF ⊥CE ，可得∠PFD 为二面角P －EC －D 的平面角，即∠PFD ＝π4，故在Rt △PDF 中，PD ＝DF ＝1，因为在矩形ABCD 中，△EBC ∽Rt △CFD ，所以DF BC ＝CD EC ，得EC ＝CD ·BCDF ＝2，在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得BE ＝＝CE 2－BC 2＝3，所以AE ＝AB －BE ＝2－3，故选D.7．D连接AC，BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥P－ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，知A(－2，0,0)，B(0，－2，0)，C(2，0,0)，D(0，2，0)，P(0,0，2)，E⎝⎛⎭⎪⎫22，0，22，则BE→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，2，22，P A→＝(－2，0，－2)，PD→＝(0，2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面P AD的法向量，则m⊥P A→，且m⊥PD→，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x－2z＝02y－2z＝0，令x＝1，则z＝－1，y＝－1，m ＝(1，－1，－1)是平面P AD的一个法向量，设BE与平面P AD所成的角为θ，则sinθ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·BE→|m|·|BE→|＝23<12，故BE与平面P AD不平行，且BE与平面P AD所成的角小于30°，故选D.8．B设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1－AB1D1＝VA －A1B1D1，所以13S△AB1D1h＝13S△A1B1D1×AA1，所以h＝S△A1B1D1×AA1S△AB1D1＝12×2×2×412×22×42＋22－(2)2＝43.故选B.9.12解析：如图，取AC的中点F，连接DF，BF，则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成角的正弦值为所求．∵AB＝1，BC＝3，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF 与平面BB1C1C所成的角．由条件知BG＝12BC＝32，GF＝12AB＝12，∴tan ∠FBG ＝GF BG ＝33，∴∠FBG ＝π6，∴sin ∠FBG ＝sin π6＝12，即直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为12.10．60°解析：建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)． ∴D 1A →＝(1,0，－1)，D 1B →＝(1,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)．设平面ABD 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则由m ·D 1A →＝0，m ·D 1B →＝0，可得m ＝(1,0,1)，由n ·D 1B →＝0，n ·D 1B 1→＝0，得n ＝(1，－1，0), ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝12.∴所求二平面的大小为60°.11.916解析：∵SA ⊥面ABCD ，∠BAD ＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz .∵AB ＝4，SA ＝3，∴B (0,4,0)，S (0,0,3)． 设BC ＝m ，则C (m,4,0)， ∵SF BF ＝CE BE ＝λ，∴SF →＝λFB →，∴AF →－AS →＝λ(AB →－AF →)， ∴AF→＝11＋λ(AS →＋λAB →)＝11＋λ(0,4λ，3)， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4λ1＋λ，31＋λ.同理，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1＋λ，4，0，∴FE →＝⎝⎛⎭⎪⎫m 1＋λ，41＋λ，－31＋λ， 要使∠AFE ＝90°，则FE →·F A →＝0， 又F A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4λ1＋λ，－31＋λ， ∴0·m1＋λ＋－4λ1＋λ·41＋λ＋－31＋λ·－31＋λ＝0，∴16λ＝9，∴λ＝916.12．解：(1)证法一：∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ . ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴BQ ⊥平面P AD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD .证法二：AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ . ∵∠ADC ＝90°∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD . ∵P A ＝PD ，∴PQ ⊥AD . ∵PQ ∩BQ ＝Q ， ∴AD ⊥平面PBQ .∵AD ⊂平面P AD ，∴平面PQB ⊥平面P AD .(2)法一：∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD .∵面P AD ⊥平面ABCD ，且面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PQ ⊥平面ABCD .如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)；Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)． 设M (x ，y ，z )，则PM→＝(x ，y ，z －3)，MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )。