2021届湖南省中考数学复习题 (100)

新定义型【典例1】对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b=2a+b ．例如3⊗4=2×3+4=10．（1）求2⊗（-5）的值；（2）若x ⊗（-y ）=2，且2y ⊗x=-1，求x+y 的值．【解析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a ⊗b=2a+b ，即可得到2⊗（﹣5）的值； （2）依据x ⊗（﹣y ）=2，且2y ⊗x=﹣1，可得方程组，即可得到x+y 的值． 【典例2】对于实数x ，规定[]x 表示不小于x 的最小整数，例如[]1.2=2，[]3=3，[]-2.5=-2，则（1）填空：①[]-=π ；②若[]x =-2，则x 的取值范围是 ．（2）已知x 为正整数，且x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求x 的值．【解析】（1）①[﹣π]＝﹣3；②x 的取值范围是﹣3＜x ≤﹣2； （2）由x 132+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦知2＜x 12+ ≤3，解得：3＜x ≤5，∵x 取正整数， ∴x 的值为4或5．【典例3】在平面直角坐标系中，将一点(横坐标与纵坐标不相等)的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如(－3，5)与(5，－3)是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？ 【解析】（1）设这一对“互换点”的坐标为M(m ，n) 和N(n ，m) ． ① 当mn=0时，它们不可能在反比例函数的图像上； ② 当mn ≠0 时，M 、N 两点均在反比例函数的图像上． 于是得到结论“不一定”．（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(m ，n)，求直线MN 的表达式(用含m ，n 的代数式表示)；【解析】（2）设直线 MN 的表达式为 y = kx + b( k ≠0) ． 把 M( m,n) ，N( n ，m) 代入 y = kx + b ，解得 k=-1，b=m + n ，∴ 直线 MN 的表达式为y=-x+m+n ． （3）在抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求此抛物线的表达式．【解析】 ( 3）因为点A 在反比例函数2y x=-的图象上， 故设A(m ，2m -) ，则B(2m-，m) ．由（2）的结论可得，直线AB 的表达式为y=-x+m2m-．将P 点坐标1122⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入可得2m 10m--=， 解得m=2或-1． 【典例4】对任意一个三位数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F (n )．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F (123)＝6． （1）计算：F (243)，F (617);（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y (1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k ＝F (s )F (t ),当F (s )＋F (t )＝18时，求k 的最大值． 【解析】解：(1)F (243)＝(423＋342＋234)÷111＝9；F (617)＝(167＋716＋671)÷111＝14．（2）∵s ，t 都是“相异数”，s ＝100x ＋32，t ＝150＋y ，∴F (s )＝(302＋10x ＋230＋x ＋100x ＋23)÷111＝x ＋5，F (t )＝(510＋y ＋100y ＋51＋105＋10y )÷111＝y ＋6． ∵F (t )＋F (s )＝18，∴x ＋5＋y ＋6＝x ＋y ＋11＝18，∴x ＋y ＝7．∵1≤x ≤9，1≤y ≤9，且x ，y 都是正整数， ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝2y ＝5或⎩⎨⎧x ＝3y ＝4或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2或⎩⎨⎧x ＝6y ＝1． ∵s 是“相异数”， ∴x ≠2，x ≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y ≠1，y ≠5． ∴⎩⎨⎧x ＝1y ＝6或⎩⎨⎧x ＝4y ＝3或⎩⎨⎧x ＝5y ＝2， ∴⎩⎨⎧F (s )＝6F (t )＝12或⎩⎨⎧F (s )＝9F (t )＝9或⎩⎨⎧F (s )＝10F (t )＝8，∴k ＝F (s )F (t )＝12或k ＝F (s )F (t )＝1或k ＝F (s )F (t )＝54, ∴k 的最大值为54．【解析】 （1）322x y x -+=+，是 “奇特函数”；（2）①296x y x -=-；②(7,5)或53,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或715,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或(5,1)-.试题分析：（1）根据题意列式并化为322x y x -+=+，根据定义作出判断. （2）①求出点B ，D 的坐标，应用待定系数法求出直线OB 解析式和直线CD 解析式，二者联立即可得点E 的坐标，将B （9，3），E （3，1）代入函数6ax ky x +=-即可求得这个“奇特函数”的解析式.②根据题意可知，以B 、E 、P 、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ 或BQEP ，据此求出点P 的坐标.试题解析：（1）根据题意，得，∵，∴.∴.根据定义，是 “奇特函数”.（2）①由题意得，.易得直线OB 解析式为，直线CD 解析式为，由解得.∴点E （3，1）.将B（9，3），E（3，1）代入函数，得，整理得，解得.∴这个“奇特函数”的解析式为.②∵可化为，∴根据平移的性质，把反比例函数的图象向右平移6个单位，再向上平移2个单位就可得到.∴关于点（6，2）对称.∵B（9，3），E（3，1），∴BE中点M（6，2），即点M是的对称中心.∴以B、E、P、Q为顶点组成的四边形是平行四边形BPEQ或BQEP.由勾股定理得，.设点P到EB的距离为m，∵以B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为，∴.∴点P在平行于EB的直线上.∵点P在上，∴或.解得.∴点P的坐标为或或或.考点：1.新定义和阅读理解型问题；2.平移问题；3.反比例函数的性质；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.勾股定理；6.中心对称的性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用.【典例6】定义[a，b，c]为函数y＝a x2+bx c+的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（18,33）；②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m＜0时，函数在x＞14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有___________【解析】解：根据定义可得函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m），①当m＝﹣3时，函数解析式为y＝﹣6x2+4x+2，∴224144(6)248,22(6)344(6)3b ac ba a-⨯-⨯--=-===⨯-⨯-，∴顶点坐标是（18,33），正确；②函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）与x轴两交点坐标为（1，0），（﹣12mm+，0），当m＞0时，1﹣（﹣12mm+）＝313222m+>，正确；③当m＜0时，函数y＝2m x2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）开口向下，对称轴111444xm=->，错误；④当m≠0时，x＝1代入解析式y＝0，则函数一定经过点（1，0），正确．故选：①②④【典例7】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列四个实数中，最大的数是()A. −3B. −1C. πD. 42.(2021·湖南省长沙市·历年真题)2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为()A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列几何图形中，是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列计算正确的是()A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为()A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为()A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7.(2021·湖南省长沙市·历年真题)下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是()A. B. C. D.8.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是()A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249.(2021·湖南省长沙市·历年真题)有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是()A. 19B. 16C. 14D. 1310.(2021·湖南省长沙市·历年真题)在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是()A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.(2021·湖南省长沙市·历年真题)分解因式：x2−2021x=______ ．12.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14.(2021·湖南省长沙市·历年真题)若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为______ ．15.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16.(2021·湖南省长沙市·历年真题)某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.(2021·湖南省长沙市·历年真题)计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．18.(2021·湖南省长沙市·历年真题)先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−1．219. (2021·湖南省长沙市·历年真题)人教版初中数学教科书八年级上册第35−36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：△ABC ．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC ．作法：如图．(1)画B′C′=BC ；(2)分别以点B′，C′为圆心，线段AB ，AC 长为半径画弧，两弧相交于点A′；(3)连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：(1)完成下面证明过程(将正确答案填在相应的空上)：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC 中，{B′C′=BCA′B′=( )A′C′=( )∴△A′B′C′≌ ______ ．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______ .(填序号)①AAS②ASA③SAS④SSS20.(2021·湖南省长沙市·历年真题)“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市.本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球(每个球除颜色外，其他都相同)的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物.据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．(1)求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；(2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？21.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB=4．(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)求AD的长．22.(2021·湖南省长沙市·历年真题)为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？23.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD=CD，延长BC至E，使得CE=CA，连接AE．(1)求证：∠B=∠ACB；(2)若AB=5，AD=4，求△ABE的周长和面积．24.(2021·湖南省长沙市·历年真题)我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定，完成下列各题．(1)若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y={−4x(x<0)tx2(x≥0,t≠0,t是常数)的图象上的一对“T点”，则r=______ ，s=______ ，t=______ (将正确答案填在相应的横线上)；(2)关于x的函数y=kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；(3)若关于x的“T函数”y=ax2+bx+c(a>0，且a，b，c是常数)经过坐标原点O，且与直线l：y=mx+n(m≠0,n>0，且m，n是常数)交于M(x1,y1)，N(x2,y2)两点，当x1，x2满足(1−x1)−1+x2=1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．25.(2021·湖南省长沙市·历年真题)如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在AB⏜上，四边形MNPQ为正方形，点C在QP⏜上运动(点C与点P，Q不重合)，连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．(1)求sin∠AOQ的值；(2)求AMMN的值；(3)令ME=x，QD=y，直径AB=2R(R>0,R是常数)，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【知识点】实数大小比较【解析】解：∵−3<−1<π<4，∴最大的数是4，故选：D．先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．2.【答案】B【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：10040000=1.004×107．故选：B．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．3.【答案】C【知识点】中心对称图形【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是中心对称图形，故本选项符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】A【知识点】同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项【解析】解：A.a3⋅a2=a5，故此选项符合题意；B.2a+3a=5a，故此选项不合题意；C.a8÷a2=a6，故此选项不合题意；D.(a2)3=a6，故此选项不合题意；故选：A．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．5.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：∵AB//CD，∴∠CHG=∠AGE=100°，∴∠DHF=∠CHG=100°．故选：A．先根据平行线的性质，得出∠CHG的度数，再根据对顶角相等，即可得出∠DHF的度数．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时关键是注意：两直线平行，同位角相等．6.【答案】B【知识点】圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵∠A=54°，∴∠BOC=2∠A=108°，故选：B．直接由圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7.【答案】B【知识点】一次函数的性质【解析】解：∵k=2>0，b=1>0时，∴直线经过一、二、三象限．故选：B．根据一次函数的性质判断即可．本题考查了一次函数的性质，当k>0，b>0时，函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限．8.【答案】C【知识点】中位数、众数【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为22，23，23，23，24，24，25，25，26，∴这组数据的众数为23cm，中位数为24cm，故选：C．将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9.【答案】A【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】解：列表如下：由表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，∴两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率为436=19，故选：A．列表可知共有36种等可能的情况，两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的情况有4种，再由概率公式求解即可．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．10.【答案】A【知识点】有理数的加法【解析】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．∴各选项中，只有A是正确的，故选：A．根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．本题考查的是有理数加法的应用，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理．11.【答案】x(x−2021)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：x2−2021x=x(x−2021)．故答案为：x(x−2021)．直接提取公因式x，即可分解因式．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12.【答案】45°【知识点】垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系【解析】解：∵OC⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×4=2，∵OC=2，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，故答案为：45°．利用垂径定理可得AC=BC=12AB=12×4=2，由OC=2可得△AOC为等腰直角三角形，易得结果．本题主要考查了垂径定理和等腰直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．13.【答案】12【知识点】菱形的性质、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，且BD⊥AC，又∵点E是边AB的中点，∴OE=AE=EB=12AB，∴BC=AB=2OE=6×2=12，故答案为：12．根据四边形ABCD是菱形可知对角线相互垂直，得出OE=12AB，AB=BC，即可求出BC．本题主要考查菱形和直角三角形的性质，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14.【答案】−1【知识点】一元二次方程的解【解析】解：把x=3代入方程x2−kx−12=0得：9−3k−12=0，解得：k=−1，故答案为：−1．把x=3代入方程得出9−3k−12=0，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．15.【答案】2.4【知识点】角平分线的性质【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵DE=1.6，∴CD=1.6，∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4．故答案为：2.4由角平分线的性质可知CD=DE=1.6，得出BD=BC−CD=4−1.6=2.4．本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．16.【答案】50【知识点】扇形统计图、条形统计图【解析】解：∵30÷25%=120(份)，∴一共抽取了120份作品，∴此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为：120−30−28−12=50(份)，故答案为：50．利用共抽取作品数=A等级数÷对应的百分比求解，即可一共抽取的作品份数，进而得到抽取的作品中等级为B的作品数．本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．17.【答案】解：原式=√2−2×√2+1+√162=√2−√2+1+4=5．【知识点】特殊角的三角函数值、二次根式的混合运算、零指数幂【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算、零指数幂的性质、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2=−2x，当x=−12时，原式=−2×(−12)=1．【知识点】整式的混合运算【解析】直接利用乘法公式结合整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．19.【答案】△ABC(SSS)④【知识点】尺规作图与一般作图、全等三角形的判定与性质【解析】解：(1)由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，{B′C′=BC A′B′=AB A′C′=AC，∴△A′B′C′≌△ABC(SSS)．故答案为：△ABC(SSS)．(2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．(1)根据SSS证明三角形全等即可．(2)根据SSS证明三角形全等．本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图像信息，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为1500060000=0.25；(2)设袋子中白球的数量为x，则1212+x=0.25，解得x=36，经检验x=36是分式方程的解且符合实际，所以估计纸箱中白球的数量接近36．【知识点】利用频率估计概率、用样本估计总体【解析】(1)用发放景点吉祥物的数量除以游客的总数量即可；(2)设袋子中白球的数量为x，用袋子中红球的数量除以球的总个数=0.25列出方程求解即可．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．21.【答案】(1)证明：∵△AOB为等边三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四边形ABCD是平行四边形∴OB=OD=12BD，OA=OC=12AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形；(2)解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°−60°=30°，∴AD=√3AB=4√3．【知识点】平行四边形的性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质【解析】(1)由等边三角形的性质得OA=OB，再由平行四边形的性质得OB=OD=1 2BD，OA=OC=12AC，则BD=AC，即可得出结论；(2)由矩形的性质得∠BAD=90°，则∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质求解即可．本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22.【答案】解：(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，依题意得：4x−(25−1−x)=86，解得：x=22．答：该参赛同学一共答对了22道题．(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，依题意得：4y−(25−y)≥90，解得：y≥23．答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．【知识点】一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用【解析】(1)设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了(25−1−x)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了(25−y)道题，根据总得分=4×答对题目数−1×答错题目数，结合总得分大于或等于90分，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23.【答案】解：(1)证明：在△ADB和△ADC中：{AD=AD∠ADB=∠ADC BD=CD，∴△ADB≌△ADC(SAS)，∴∠B=∠ACB；(2)在Rt△ADB中，BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∴BD=CD=3，AC=AB=CE=5，∴BE=2BD+CE=2×3+5=11，在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=√42+82=4√5，∴C△ABE=AB+BE+AE=5+11+4√5=16+4√5，S△ABE=12×BE×AD=12×11×4=22．【知识点】线段垂直平分线的概念及其性质、三角形的面积【解析】(1)通过SAS求证△ADB≌△ADC即可证明∠B=∠ACB；(2)利用勾股定理分别计算出BD和AE即可求出△ABE的周长和面积．本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和基本性质以及勾股定理的应用是解题的关键．24.【答案】4 −1 4【知识点】二次函数综合【解析】解：(1)∵A，B关于y轴对称，∴s=−1，r=4，∴A的坐标为(1,4)，把A(1,4)代入是关于x的“T函数”中，得：t=4，故答案为r=4，s=−1，t=4；(2)当k=0时，有y=p，此时存在关于y轴对称得点，∴y=kx+p是“T函数”，当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，∴y=kx+p不是“T函数”；(3)∵y=ax2+bx+c过原点，∴c=0，∵y=ax2+bx+c是“T函数”，∴b=0，∴y=ax2，联立直线l和抛物线得：{y=ax 2y=mx+n，即：ax2−mx−n=0，x1+x2=ma ，x1x2=−na，又∵(1−x1)−1+x2=1，化简得：x1=x2，∴ma =−na，即m=−n，∴y=mx+n=mx−m，当x=1时，y=0，∴直线l必过定点(1,0)．(1)由A，B关于y轴对称求出r，s，由“T函数”的定义求出t；(2)分k=0和k≠0两种情况考虑即可；(3)先根据过原点得出c=0，再由“T函数”得出b的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l的解析式，确定经过的定点即可．本题主要考查和二次函数有关的新定义题型，关键在于读明白新定义的函数的特点，要理解本题中存在关于y轴对称的点是什么意思，过定点问题一般要先写出解析式，然后取x的值得出y．25.【答案】解：(1)如图，连接OP．∵四边形MNPQ是正方形，∴∠OMN=∠ONP=90°，MQ=PN，∵OQ=OP，∴△OMQ≌△ONP(HL)，∴OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，OQ=√OM2+MQ2=√5m，∴sin∠AOQ=MQOQ =2m√5m=2√55．(2)由(1)可知OM=ON=m，OQ=OA=√5m，MN=2m，∴AM=OA−OM=√5m−m，∴AMMN =√5m−m2m=√5−12．(3)∵AB=2R，∴OA=OB=OQ=r，∵QM=2MO，∴OM=√5R5，MQ=2√5R5，∵AB是直径，∴∠ACB=∠DCE=90°，∵∠CED=∠AEM，∴∠A=∠D，∵∠AME=∠DMB=90°，∴△AME∽△DMB，∴AMDM =EMBM，∴R−√5R 5y+2√5R5=xR+√5R5，∴y=4R25x −2√5R5，当点C与P重合时，AMAN =EMPN，∴R−√5R 5R+√5R5=2√5R5，∴x=3√5−55R，∴3√5−55R<x<2√55R.【知识点】圆的综合【解析】(1)利用全等三角形的性质证明OM=ON，设OM=ON=m，则MQ=2m，求出OQ，可得结论．(2)利用(1)中结论，求出AM，MN(用m表示即可)．(3)证明△AME∽△DMB，可得AMDM =EMBM，由此构建关系式，可得结论．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2021年中考数学复习——几何探究型问题班级姓名1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M、N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F。

（1）=+PMPEPQPF（2）若MNPMPN•=2，则=NQMQ2.（2020年湖南岳阳中考）如图，AB为半⊙O的直径，M，C是半圆上的三等分点，8AB=，BD与半⊙O相切于点B，点P为AM上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE OC⊥于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号）①PB PD=；②BC的长为43π；③45DBE∠=︒；④BCF PFB△∽△；⑤CF CP⋅为定值．3.（2020年湖南湘西中考）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，120ABC∠=︒，60MBN∠=︒，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG AE=，连接BG，先证明BCG BAE△≌△，再证明BFC BFE△≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，90BAD∠=︒，90BCD∠=︒，BA BC=，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA BC=，180BAD BCD∠+∠=︒，2ABC MBN∠=∠，MBN∠绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70 ，试求此时两舰艇之间的距离．4.（2020年湖南常德中考）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE 交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．5.（2020年湖南湘潭中考）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下：67286708，则表示的数是________．6. 2020年湖南怀化中考）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC BD ⊥，过点D 作BD 垂线交BC 的延长线于点E ，且45DBC ∠=︒，证明：四边形ABCD 是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD 内接于⊙O 中，60BCD ∠=︒．求⊙O 的半径．7. （2020年湖南省衡阳市中考）如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A 在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得9136S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒位的速度沿OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．8. （2020年湖南岳阳中考）如图1，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，动点P ，Q 分别从C 点，A 点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边,CA AB 上沿C A →，A B →的方向运动，当点Q 运动到点B 时，,P Q 两点同时停止运动，设点P 运动的时间为()t s ，连接PQ ，过点P 作PE PQ ⊥，PE 与边BC 相交于点E ，连接QE ．（1）如图2，当5t s =时，延长EP 交边AD 于点F ．求证：AF CE =；（2）在（1）的条件下，试探究线段,,AQ QE CE 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图3，当94t s >时，延长EP 交边AD 于点F ，连接FQ ，若FQ 平分AFP ∠，求AF CE的值．9. （2020年湖南株洲中考）如图所示，BEF 的顶点E 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上，AE 与BF 交于点G ，连接AF 、CF ，满足ABF CBE △≌△．（1）求证：90EBF ∠=︒．（2）若正方形ABCD 的边长为1，2CE =，求tan AFC ∠的值．教师用：2021年中考数学——几何探究型问题1. （2020年湖南长沙中考）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M 、N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F 。

2021年怀化市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a63．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×1044．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．95．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．68．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±29．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．1010．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是．12．因式分解：x3﹣x＝．13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为分．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝°．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）1．下列数中，是无理数的是（）A．﹣3B．0C．D．【分析】根据无理数的三种形式求解即可．解：﹣3，0，是有理数，是无理数．故选：D．2．下列运算正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a2＝a4C．（2ab）3＝6a3b3D．a2•a3＝a6【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得答案．解：a2与a3不是同类项，不能合并，因此选项A计算错误，不符合题意；a6÷a2＝a4，因此选项B计算正确，符合题意；（2ab）3＝8a3b3≠6a3b3，因此选项C计算错误，不符合题意；a2•a3＝a5≠a6，因此选项D计算错误，不符合题意．故选：B．3．《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．0.35×107C．3.5×102D．350×104【分析】科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．所以a＝3.5，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n为负整数．本题小数点往左移动到3的后面，所以n＝6．解：350万＝350×104＝3.5×102×104＝3.5×106．故选：A．4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6B．7C．8D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．5．如图，已知直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠α＝40°，则∠β的度数为（）A．140°B．50°C．60°D．40°【分析】首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得∠β的度数．解：∵∠α＝40°，∴∠1＝∠α＝40°，∵a∥b，∴∠β＝∠1＝40°．故选：D．6．小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（）A．众数B．中位数C．方差D．平均数【分析】根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工的工资水平，故最应该关注的数据是中位数，故选：B．7．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为（）A．3B．C．2D．6【分析】根据角平分线的性质即可求得．解：∵∠B＝90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴由角平分线的性质得DE＝BE＝3，故选：A．8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k＝±4D．k＝±2【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．解：∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，解得：k＝±4．故选：C．9．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4B．6C．8D．10【分析】根据矩形的性质得到OA＝OB＝OC＝OD，推出S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，即可求出矩形ABCD的面积．解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示、则当y1＞y2时，自变量x的取值范围为（）A．x＜1B．x＞3C．0＜x＜1D．1＜x＜3【分析】根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．解：由图象可得，当y1＞y2时，自变量x的取值范围为1＜x＜3，故选：D．二、填空题（每小题3分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11．代数式有意义，则x的取值范围是x＞1．【分析】根据二次根式和分式有意义的条件可得x﹣1＞0，再解不等式即可．解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．12．因式分解：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）13．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为72分．【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．解：根据题意知，该名老师的综合成绩为80×60%+60×40%＝72（分）故答案为：72．14．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝130°．【分析】根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，根据平行线的性质得出∠D＝∠B，代入求出即可．【解答】证明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°，故答案为：130．15．如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是24π（结果保留π）．【分析】根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．解：由三视图可知该几何体是圆柱体，其底面半径是4÷2＝2，高是6，圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，且底面周长为：2π×2＝4π，∴这个圆柱的侧面积是4π×6＝24π．故答案为：24π．16．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2，0）．【分析】如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E ⊥x轴于点E，先在△OCB1中，表示出OC和B1C的长度，表示出B1的坐标，代入反比例函数解析式，求出OC的长度和OA1的长度，表示出A1的坐标，同理可求得A2、A3的坐标，即可发现一般规律．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x 轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝，A1A2＝，OA2＝，∴A2（，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝，A2A3＝，OA3＝，∴A3（，0），综上可得：A n（，0），故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共86分）17．计算：+2﹣2﹣2cos45°+|2﹣|．【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．解：原式＝＝＝＝．18．先化简，再求值：（﹣）÷，然后从﹣1，0，1中选择适当的数代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入x＝0求值即可．解：原式＝＝＝＝．∵x+1≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，∴x≠﹣1且x≠1且x≠﹣2，当x＝0时，分母不为0，代入：原式＝．19．为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为72度；（2）请你将条形统计图补全；（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有多少名？（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率．【分析】（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%＝50（名），扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为；故答案为：50，72；（2）B类人数是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），补全条形统计图如图所示：（3）名，答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；（4）列表如下：A B C DA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率＝．20．如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树CD的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留整数）【分析】设CB＝CD＝x，根据tan30°＝即可得出答案．解：由题意可知，AB＝20，∠DAB＝30°，∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵△BCD是等腰直角三角形，∴CB＝CD，设CD＝x，则BC＝x，AC＝20+x，在Rt△ACD中，tan30°＝＝，解得x＝10+10≈10×1.732+10＝27.32≈27，∴CD＝27，答：CD的高度为27米．21．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC＝DE，再根据等腰直角三角形的性质即可得到结果；（3）过点O作OE⊥BD，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理和锐角三角函数即可得到⊙O的半径．解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AC＝DE，又∵∠DBC＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD＝DE，∴BD＝AC，又∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是垂等四边形；（3）如图，过点O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是垂等四边形，∴AC＝BD，又∵垂等四边形的面积是24，∴AC•BD＝24，解得，AC＝BD＝4，又∵∠BCD＝60°，∴∠DOE＝60°，设半径为r，根据垂径定理可得：在△ODE中，OD＝r，DE＝，∴r＝＝＝4，∴⊙O的半径为4．22．某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．【分析】（1）根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；（2）根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取最小值时，y有最大值，将x＝12代入函数解析式求出结果即可．解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1600）x+（3000﹣2500）（20﹣x）＝﹣100x+10000，∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y＝﹣100x+10000；（2）由题意得：，解得12≤x≤15，∵x为正整数，∴x＝12、13、14、15，共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台，乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，∵y＝﹣100x+10000，且﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x取最小值时，y有最大值，即x＝12时，y最大值＝﹣100×12+10000＝8800，∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元．23．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD＝CA，且∠D ＝30°．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求证：CG2＝AE•BF．【分析】（1）连接OC，∠CAD＝∠D＝30°，由OC＝OA，进而得到∠OCA＝∠CAD ＝30°，由三角形外角定理得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD＝90°即可证明；（2）证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE＝CG，CF＝CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．【解答】（1）证明：连接OC，如右图所示，∵CA＝CD，且∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO＝30°，∴∠COD＝∠CAD+∠ACO＝30°+30°＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠D﹣∠COD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠COB＝60°，且OC＝OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CBG＝60°，又∵CG⊥AD，∴∠CGB＝90°，∴∠GCB＝∠CGB﹣∠CBG＝30°，又∵∠GCD＝60°，∴CB是∠GCD的角平分线，∵BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF＝BG，又∵BC＝BC，∴Rt△BCG≌Rt△BCF（HL），∴CF＝CG．∵∠D＝30°，AE⊥ED，∠E＝90°，∴∠EAD＝60°，又∵∠CAD＝30°，∴AC是∠EAG的角平分线，∵CE⊥AE，CG⊥AB，∴CE＝CG，∵∠E＝∠BFC＝90°，∠EAC＝30°＝∠BCF，∴△AEC∽△CFB，∴，即AE•BF＝CF•CE，又CE＝CG，CF＝CG，∴AE•BF＝CG2．24．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O 为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；（4）连接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，设P（x，﹣x﹣3），然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解．解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，故C点坐标为（0，﹣3），又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，∴B（3，0），A（﹣1，0），设直线BC的解析式为：y＝ax+b，代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，解得，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，则＝＝，（其中x Q，x C，x B分别表示Q，C，B 三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，x B﹣x C＝3，故，其中0＜n＜3，当时，S△BCN有最大值为，此时点N的坐标为（），（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）分情况讨论：①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：线段DG的中点坐标为，即，线段BC的中点坐标为，即，此时DG的中点与BC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：线段DB的中点坐标为，即，线段GC的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：线段DC的中点坐标为，即，线段GB的中点坐标为，即，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，∴，解得，经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；（4）连接AC，OP，如图2所示：设MC的解析式为：y＝kx+m，代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，解得∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E点坐标为（﹣3，0），∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，∴CE＝CB，∴∠B＝∠E，设P（x，﹣x﹣3），又∵P点在线段EC上，∴﹣3＜x＜0，则，，由题意知：△PEO相似△ABC，分情况讨论：①△PEO∽△CBA，∴，∴，解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；②△PEO∽△ABC，∴，∴，解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．。

专题2 代数式与整式一、单选题1．下列运算正确的是（）A．3a﹣2a＝a B．（a3）2＝a5C．2√5﹣√5＝2D．（a﹣1）2＝a2﹣12．下列整式与ab2为同类项的是（）A．a2b B．﹣2ab2C．ab D．ab2c3．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a3⋅a4=a12C．(a3)4=a7D．a3÷a2=a 4．（2022·长沙）下列计算正确的是（）A．a7÷a5=a2B．5a−4a=1C．3a2⋅2a3=6a6D．(a−b)2=a2−b25．（2022·永州）下列各式正确的是（）.A．√4=2√2B．20=0C．3a−2a=1D．2−(−2)=4 6．（2022·娄底）下列式子正确的是（）A．a3⋅a2=a5B．(a2)3=a5C．(ab)2=ab2D．a3+a2=a5 7．（2022·长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（）A．8x元B．10(100−x)元C．8(100−x)元D．(100−8x)元8．（2022·娄底）若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1.对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．09．（2022·怀化）下列计算正确的是（）A．（2a2）3＝6a6B．a8÷a2＝a4C．√(−2)2＝2D．（x﹣y）2＝x2﹣y210．（2022·常德）计算x4⋅4x3的结果是（）A．x B．4x C．4x7D．x11二、填空题11．（2022·邵阳）已知x2−3x+1=0，则3x2−9x+5=.12．（2022·长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力.看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS（永远的神）：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（觉醒年代）：2200的个位数字是6；QGYW（强国有我）：我知道210=1024，103=1000，所以我估计2200比1060大.其中对2200的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.13．（2022·怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是.14．（2022·永州）若单项式3x m y的与−2x6y是同类项，则m=.15．（2021·株洲）计算：2a2⋅a3=.16．（2021·岳阳）已知x+1x=√2，则代数式x+1x−√2=.17．（2021·怀化）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，……，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这组数的和是.18．（2021·岳阳模拟）若7a x b2与−3a3b y的和为单项式，则x y=.19．（2021·娄底模拟）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第个图形. 20．（2021·新化模拟）已知a²+2a−5=0，则代数式2a2+4a−1的值是.三、计算题21．（2021·衡阳）计算：(x+2y)2+(x−2y)(x+2y)+x(x−4y).22．（2021·长沙）先化简，再求值：(x−3)2+(x+3)(x−3)+2x(2−x)，其中x=−12. 23．（2021·新化模拟）先化简，再求值：(a+b)(a−b)+(a−b)2−(2a2−ab)，其中a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根. 24．（2021·永州）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1.25．（2021·永州模拟）先化简，再求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2，其中a＝－1，b＝12答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A符合题意；B、（a3）2＝a6，故B不符合题意；C、2√5﹣√5＝√5，故C不符合题意；D、（a﹣1）2＝a2-2a+1，故D不符合题意；故答案为：A.【分析】利用合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对A作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对B作出判断；再利用合并同类二次根式的法则，可对C作出判断；然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2，可对D作出判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵ab2和﹣2ab2所含的字母相同，相同的字母系数也相同，∴ab2和﹣2ab2是同类项.故答案为：B.【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的单项式，根据定义分别判断即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：A、a2+a3不能合并，故A不符合题意；B、a3·a4=a7，故B不符合题意；C、（a3）4=a12，故C不符合题意；D、a3÷a2=a，故D符合题意；故答案为：D.【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B 作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对D作出判断.4．【答案】A【解析】【解答】解：A、a7÷a5=a2，故该选项正确，符合题意；B、5a−4a=a，故该选项不正确，不符合题意；C、3a2⋅2a3=6a5，故该选项不正确，不符合题意；D、(a−b)2=a2−2ab+b2，故该选项不正确，不符合题意.故答案为：A.【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与单项式的乘法法则“把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断D.5．【答案】D【解析】【解答】解：A、√4=2，故A不符合题意；B、20=1，故B不符合题意；C、3a-2a=a，故C不符合题意；D、2-（-2）=2+2=4，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对A作出判断；利用任何不等于0的数的0次幂为1，可对B作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对C作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对D作出判断.6．【答案】A【解析】【解答】解：a3⋅a2=a5，故A选项符合题意；(a2)3=a6，故B不符合题意；(ab)2=a2b2，故C不符合题意；a3，a2不是同类项，不能合并，故D不符合题意.故答案为：A.【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方，先将每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断D.7．【答案】C【解析】【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本（100-x）本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为8（100-x）元故答案为：C.【分析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，根据乙种读本的单价×本数可得购买乙种读本的费用，据此解答.8．【答案】C【解析】【解答】解：∵lgM+lgN=lg(MN)，∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5·lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.故答案为：C.【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.9．【答案】C【解析】【解答】解：A、（2a2）3=8a6≠6a6，故此选项错误，不符合题意；B、a8÷a2=a6≠a4，故此选项错误，不符合题意；C、√(−2)2=2，故此选项正确，符合题意；D、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2≠x2﹣y2，故此选项错误，不符合题意.故答案为：C.【分析】积的乘方，先对每一个因式分别进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；根据二次根式的性质“√a2=|a|”可判断C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D.10．【答案】C【解析】【解答】解：x4⋅4x3=4x4+3=4x7，故C正确.故答案为：C.【分析】单项式乘以单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，据此计算.11．【答案】2【解析】【解答】解：3x2−9x+5=3x2−9x+3+2=3(x2−3x+1)+2∵x2−3x+1=0∴3x2−9x+5=0+2=2故答案为：2.【分析】待求式可变形为3(x2-3x+1)+2，然后将已知条件代入进行计算.12．【答案】DDDD【解析】【解答】解：2200是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；2200=(2100)2≠2002，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32⋯，∴2的乘方的个位数字4个一循环，∵200÷4=50，∴2200的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；∵2200=(210)20，1060=(103)20，210=1024，103=1000，且210>103∴2200>1060，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；故答案为：DDDD.【分析】根据乘方的意义可得DDDD的理解是错误的，观察发现：2的乘方的个位数字4个一循环，据此判断JXND；根据幂的乘方法则可得2200=(210)20，1060=(103)20，且210>103，据此判断QGYW. 13．【答案】744【解析】【解答】解：由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n（n+1），∴第27行的最后一个数，即第27个数为27×28=756，∴第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756−2×6=744，故答案为：744.【分析】由题意知，第n行有n个数，第n行的最后一个偶数为n(n+1)，求出第27行的最后一个数，据此解答.14．【答案】6【解析】【解答】解：∵单项式3x m y的与−2x6y是同类项∴m=6.故答案为：6.【分析】利用同类项中相同字母的指数相等，可求出m的值.15．【答案】2a5【解析】【解答】解：2a2⋅a3=2a2+3=2a5.故答案：2a5.【分析】根据单项式乘单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式."可求解.16．【答案】0【解析】【解答】x+1x−√2=√2−√2=0故答案为：0.【分析】直接代入计算即可.17．【答案】(2100−1)m【解析】【解答】由题意规律可得：2+22+23+⋯+299=2100−2.∵2100=m∴2+22+23+⋯+299+2=2100=m=20m，∵2+22+22+⋯+299+2100=2101−2，∴2101=2+22+23+⋯+299+2100+2=m+m=2m=21m.2102=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2=m+m+2m=4m=22m.2103=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2102+2=m+m+2m+4m=8m=23m.……∴2199=299m.故2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m.令20+21+22+⋯+299=S①21+22+23+⋯+2100=2S②②-①，得2100−1=S∴2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m= (2100−1)m故答案为：(2100−1)m.【分析】利用已知等式可得到数字的变化规律，再根据2100=m，由此可求出这组数据的和. 18．【答案】9【解析】【解答】解：∵7a x b2与−3a3b y的和为单项式，∴7a x b2与−3a3b y是同类项，∴x=3，y=2，∴x y=32=9，故答案为：9.【分析】根据题意7a x b2与−3a3b y是同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同，由此求出x、y的值，进而可求得x y的值.19．【答案】2021【解析】【解答】解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064−13=2021，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021.【分析】把每个图案分成两部分，最下面位置处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，据此规律找出第n个图形五角星的个数为：1+3n，据此求解即可.20．【答案】9【解析】【解答】解：∵a2+2a-5=0，∴a2+2a=5，∴a2+2a-1=2(a2+2a)-1=2×5-1=10-1=9.故答案为：9.【分析】将a2+2a-5=0变形为a2+2a=5，然后将代数式含字母的部分提取公因式2后整体代入所求的代数式进行化简求值.21．【答案】解：(x+2y)2+(x−2y)(x+2y)+x(x−4y)=x2+4xy+4y2+x2−4y2+x2−4xy=3x2【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，然后去括号、合并即可.22．【答案】解：原式=x2−6x+9+x2−9+4x−2x2，=−2x，将x=−12代入得：原式=−2x=−2×(−12)=1【解析】【分析】根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”、完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和根据单项式与多项式的乘法法则“单项式与多项式相乘，就是依据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加”可去括号，再根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可将多项式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解.23．【答案】解：原式= a2−b2+a2−2ab+b2−2a2+ab=﹣ab∵a，b是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2【解析】【分析】根据平方差公式、完全平方公式及去括号法则分别去括号，再合并同类项化为最简形式，进而根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案.24．【答案】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7.【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式以及合并同类项法则可将原式化简为2x+5，然后将x 的值代入计算.25．【答案】解：原式＝a2−b2+a2+2ab+b2＝2a2+2ab当a＝﹣1 ，b= 12时，原式＝2a2+2ab=2×(−1)2+2×(−1)×1 2=1【解析】【分析】利用平方差公式和完全平方公式先去括号，再合并同类项化为最简形式，然后将a，b 的值代入代数式进行计算。

专题1.9 数与式计算100题（基础篇）（真题专练）1．（2021·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：（11a -＋1）÷21a a -，其中a ＝﹣4． 2．（2021·广西桂林·中考真题）计算：|﹣3|+（﹣2）2．3．（2021·江苏连云港·262--．4．（2021·辽宁本溪·中考真题）先化简，再求值：2623193a a a a -⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭，其中2sin303a =︒+．5．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算：()201 3.144cos 4512π-⎛⎫-+-+︒- ⎪⎝⎭（2）因式分解：3312xy xy -+．6．（2021·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：(2)(2)(1)a a a a +-+-，其中4a =． 7．（2021·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：()()212(2)x x x +++-，其中1x =．8．（2021·湖南张家界·中考真题）计算：2021(1)22cos60-+-︒9．（2021·广东深圳·中考真题）先化简再求值：2169123x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中1x =-． 10．（2021·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：()()()()233322x x x x x -++-+-，其中12x =-．11．（2021·湖南株洲·中考真题）计算：12602--︒-．12．（2021·浙江台州·中考真题）计算：|-2| 13．（2021·浙江·中考真题）计算：()()()211x x x x +++-．14．（2020·山东济南·中考真题）计算：0112sin 3022π-⎛⎫⎛⎫-︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．（2020·黑龙江大庆·中考真题）计算：1015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭16．（2020·贵州毕节·中考真题）计算：11|2|(3)2cos303π-⎛⎫-+++︒- ⎪⎝⎭17．（2020·云南·中考真题）先化简，再求值：22244242x x x xx x -+-÷-+，其中12x =．18．（2020·广东深圳·中考真题）计算：101()2cos30|(4)3π--︒+--．19．（2020·广东广州·中考真题）已知反比例函数ky x=的图象分别位于第二、第四象限，化简：21644k k k ---20．（2020·湖南邵阳·中考真题）计算：120201(1)|12sin602-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝+⎭． 21．（2020·江苏淮安·中考真题）计算：（1）0|3|(1)π-+-（2）1112x x x +⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭22．（2020·湖北·中考真题）计算：101|2|20202-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．23．（2020·湖北宜昌·中考真题）在“-”“×”两个符号中选一个自己想要的符号，填入212212⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭中的□，并计算．24．（2020·湖南张家界·中考真题）计算：21|12sin 45(3.14)2π-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．25．（2020·四川泸州·中考真题）化简：2211x x x x +-⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭．26．（2020·江苏连云港·中考真题）化简2233121a a aa a a ++÷--+．27．（2019·青海·中考真题）计算：)11112453cos -⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭28．（2019·广西河池·中考真题）计算：21332-⎛⎫+- ⎪⎝⎭．29．（2019·辽宁大连·中考真题）计算：22241112a a a a-÷+---30．（2019·辽宁大连·中考真题）计算：22)31．（2019·湖北省直辖县级单位·中考真题）（1）计算：20(2)|3|(6)----； （2）解分式方程：22511x x =--． 32．（2019·广西河池·中考真题）分解因式：2((1)5)2x x -+-．33．（2019·湖南株洲·中考真题）计算：02cos30π+-︒．34．（2019·四川遂宁·中考真题）计算：201920(1)(2)(3.14)4cos30|2π-︒-+-+--+ 35．（2019·浙江湖州·中考真题）计算:()31282-+⨯.36．（2019·四川乐山·中考真题）计算：()10120192sin 302π-︒⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.37．（2019·四川乐山·中考真题）如图，点A 、B 在数轴上，它们对应的数分别为2-，1xx +，且点A 、B 到原点的距离相等.求x 的值.38．（2019·四川乐山·中考真题）化简：2222111x x x x x x -+-÷-+. 39．（2019·浙江杭州·中考真题）化简：242142x xx圆圆的解答如下：2224214224422x x x x xx xx圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答.40．（2019·北京·中考真题）计算：()01142604sin π-----+（）. 41．（2019·辽宁鞍山·中考真题）先化简，再求值：（233x x x +-﹣2169x x x--+）÷9x x-，其中x ＝42．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）先化简，再求值：2221a aa a +-+÷（211a a --），其中a ＝（13）﹣1﹣（﹣2）0．43．（2019·辽宁和平·中考真题）计算：2012cos301(2019)2π-⎛⎫-+︒-- ⎪⎝⎭44．（2019·福建·中考真题）先化简，再求值：(x－1)÷(x －21x x-),其中x +1 45．（2019·湖北鄂州·中考真题）先化简，再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x 的值代入求值．2222444424x x x x xx x ⎛⎫---÷ ⎪-+--⎝⎭.46．（2019·辽宁阜新·中考真题）(1)(12)-1+4sin30°. (2)先化简，再求值：22m 9m 6m 9-++÷(1-2m 3+)，其中m=2．47．（2019·贵州安顺·中考真题）计算：()1201920192cos 608(0.125)--+⨯-︒+．48．（2019·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：2821333a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，其中a 为不等式组121232a a -<⎧⎪⎨+>⎪⎩的整数解． 49．（2019·辽宁盘锦·中考真题）先化简，再求值：（m +12m +）÷（m ﹣2+32m +），其中m ＝3tan30°+（π﹣3）0．50．（2019·湖南娄底·中考真题）计算：1011)2sin |602+-︒⎛⎫-- ⎪⎝⎭51．（2019·江苏常州·中考真题）计算：（1）1212π-⎛⎫+-⎪⎝⎭；（2）()()()111x x x x -+--． 52．（2019·广西贺州·中考真题）计算：()()201901 3.142sin30π-+-．53．（2019·吉林·中考真题）先化简，再求值：()()212a a a -++，其中a =54．（2019·湖南湘潭·中考真题）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：()()3322x y x y x xy y +=+-+ ； 立方差公式：()3322()x y x y x xy y -=-++ ；根据材料和已学知识，先化简，再求值：22332428x x x x x x ++---，其中3x =．55．（2019·湖南永州·中考真题）先化简，再求值：221·11a a aa a a a ---+-，其中a ＝2．56．（2019·湖南永州·中考真题）计算：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）． 57．（2019·广西广西·中考真题）计算：22()()19(6)2-+--+-÷．58．（2019·湖南株洲·中考真题）先化简，再求值：221(1)a a a a a -+--，其中12a =．59．（2019·湖北武汉·中考真题）计算：()32242x x x -⋅60．（2019·黑龙江·中考真题）先化简再求值：22224()2442x x x x x x x x +---÷--+-其中4tan452cos30x =︒+︒.61．（2019·黑龙江·中考真题）已知：ab =1，b =2a -1，求代数式12a b-的值．62．（2019·黑龙江·中考真题）计算：0(2019)160sin π-+︒．63．（2019·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中x 为整数且满足不等式组11,{52 2.x x ->-≥-64．（2019·甘肃兰州·中考真题）计算：02|2|1)(2)tan 45--+--︒ 65．（2019·甘肃兰州·中考真题）化简：(1 2 )+2(+1)(1)a a a a --66．（2019·山东东营·中考真题）（1）计算：()101 3.142019π-⎛⎫+- ⎪⎝⎭2sin 4512+- （2）化简求值：22222a b a ab b a b a ab a ⎛⎫++-÷ ⎪--⎝⎭，当1a =-时，请你选择一个适当的数作为b 的值，代入求值．67．（2019·甘肃陇南·中考真题）计算：20()|243()225cos π---︒+-68．（2019·浙江台州·()11--.69．（2019·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值：2222222a ab b a ab a b a a b -+-÷--+，其中a ，b 满足2(2)0a -+=．70．（2019·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：212111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中2a =-.71．（2019·江苏宿迁·中考真题）计算：()101112π-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭72．（2019·江苏苏州·中考真题）计算：()222π+---.73．（2019·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：2361693x x x x -⎛⎫÷- ⎪+++⎝⎭，其中3x =.74．（2019·山东济宁·中考真题）计算：016sin 60|2018|2︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭75．（2019·江苏南京·中考真题）计算22()()x y x xy y +-+．76．（2019·浙江温州·中考真题）计算：（1）06(1(3)---；（2）224133x x x x x +-++． 77．（2019·重庆·中考真题）计算：（1）2()(2)x y y x y +-+ ； （2）294922a a a a a --⎛⎫+÷⎪--⎝⎭78．（2021·甘肃兰州·中考真题）先化简，再求值：22611931m m m m m --÷--+-，其中4m =． 79．（2021·青海西宁·中考真题）计算： 121(2)|3|2-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭． 80．（2021·山东济南·中考真题）计算：101(1)32tan 454π-⎛⎫+-+-- ⎪⎝⎭︒． 81．（2021·山东日照·中考真题）（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m nx y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =．82．（2021·四川绵阳·中考真题）（1）计算：02cos 452021︒ （2）先化简，再求值：2222x xy x y x y x y ---+-，其中 1.12x =，0.68y =． 83．（2021·广西河池·中考真题）先化简，再求值：2(1)(1)x x x +-+，其中2021x =．84．（2021·四川德阳·中考真题）计算：（﹣1）31|﹣（12）﹣2+2cos45°85．（2021·山东滨州·中考真题）计算：221244422x x x x x x x x -+-⎛⎫-÷⎪-+--⎝⎭． 86．（2021·西藏·中考真题）先化简，再求值：2212a a a ++-•221a a --﹣（11a -＋1），其中a ＝10．87．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：22169(1)24x x x x +++÷+-，其中3x =．88．（2021·贵州遵义·中考真题）先化简2242x x x -÷-（244x x x x+--），再求值，其中x =2．89．（2021·湖南湘潭·中考真题）计算：011|2|(2)()4tan 453π----+-︒90．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：（22211x x x -+--1）1x x ÷+，其中x ＝sin30°． 91．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（﹣1）2+（﹣8）÷4（﹣2021）0．92．（2021·江苏南通·中考真题）（1）化简求值：2(21)(6)(2)x x x -++-，其中x = （2）解方程2303x x-=-． 93．（2021·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求代数式的值：22241242a a a a a-+++---，其中02sin 302(1)a π=︒+-．94．（2021·贵州毕节·中考真题）先化简，再求值：2222a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中2a =，1b =． 95．（2021·江苏泰州·中考真题）（1）分解因式：x 3﹣9x ； （2）解方程：22x x -+1＝52x-． 96．（2021·江苏徐州·中考真题）计算：（1）101220212-⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）22111a a a a ++⎛⎫+÷⎪⎝⎭ 97．（2021·吉林·中考真题）先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中12x =． 98．（2021·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：222a ab b a ba b a b ab ⎛⎫---÷ ⎪--⎝⎭，其中1,1a b =．99．（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：222sin 601---︒+100．（2021·辽宁大连·中考真题）计算：223333693a a a a a a a ++⋅--++-．参考答案1．a ＋1，﹣3【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题． 解：（11a -＋1）÷21a a - ＝11(1)(1)1a a a a a+-+-⋅-＝11a a a+⋅＝a ＋1，当a ＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3．【点拨】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算． 2．7【分析】根据有理数的绝对值以及乘方的意义化简各数后即可得到答案． 解：|﹣3|+（﹣2）2 =3+4 =7【点拨】此题主要考查了有理数的运算，正确化简各数是解答此题的关键． 3．4．，-6=6，计算出结果． 解：原式2644=+-= 故答案为：4．【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，关键是开三次方与绝对值的计算． 4．23a -，2 【分析】先把分式化简后，再求出a 的值代入求出分式的值即可． 解：2623193a a a a -⎛⎫÷+ ⎪-+⎝⎭26323=933a a a a a a +-⎛⎫÷+ ⎪-++⎝⎭63=3)(3)3a a a a a +⨯+-（ 2=3a - 2sin303a =︒+ 1232=⨯+4=当4a =时，原式=2=243-．【点拨】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键． 5．（1）6（2）3(2)(2)xy y y -+-【分析】（1）先计算乘方、特殊三角函数值、绝对值的运算，再利用四则运算法则计算即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．解：（1）解：原式4141)=++411=++6=（2）解：原式23(4)xy y =-- 3(2)(2)xy y y =-+-【点拨】本题考查的是实数的运算、因式分解，熟练运用乘方公式、特殊三角函数值、绝对值、正确提取公因式等是解题的关键． 6．4,5a【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a 的值代入化简后的式子，即可解答本题． 解：221aa a a224a a a =-+-4a =-当4a =时，原式44-=【点拨】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 7．25x +，7．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将1x =代入求值即可得．解：原式22214x x x =+++-，25x =+，将1x =代入得：原式2157=⨯+=．【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键． 8【分析】先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．解：2021(1)22cos60-+-︒11222=-+-⨯+=【点拨】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 9．12x +；1 【分析】先把分式化简后，再把x 的值代入求出分式的值即可． 解：原式212331122(3)232x x x x x x x x x +++⎛⎫=+⋅=⋅= ⎪++++++⎝⎭ 当1x =-时，原式1112==-+． 【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键． 10．2x -，1．【分析】先计算完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后将x 的值代入即可得．解：原式22246299x x x x x =-+-++-， 2x =-，将12x =-代入得：原式12212x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=--．【点拨】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 11．3【分析】熟记特殊三角数值、掌握绝对值的代数意义和负整数指数幂的求法，遵循运算法则计算即可．解：原式131223222=+-=+-= 【点拨】本题考察实数的运算，属于基础题，难度不大．熟练掌握运算法则是解题的关键．12．【分析】先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解．解：原式=2＋【点拨】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式法则，是解题的关键．13．21x +【分析】利用单项式乘多项式、平方差公式直接求解即可．解：原式2221x x x =++-21x =+．【点拨】本题考查整式的乘法，掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题的关键． 14．4【分析】分别计算零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，再合并即可得到答案． 解：原式112222=-⨯++ ＝1﹣1+2+2＝4．【点拨】本题考查的是实数的混合运算，考查了零指数幂，锐角三角函数，算术平方根，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．15．7．【分析】先计算绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂，再计算有理数的加减法即可得． 解：原式513=-+43=+7=．【点拨】本题考查了绝对值运算、零指数幂、负整数指数幂等知识点， 熟记各运算法则是解题关键．16．【分析】根据绝对值、零指数幂、三角函数、负指数幂、二次根式的运算法则计算即可．解：101|2|(3)2cos303π-⎛⎫-+++︒- ⎪⎝⎭2123=++--=【点拨】本题考查绝对值、零指数幂、三角函数、负指数幂、二次根式的混合运算,关键在于牢记运算法则．17．2.【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可． 解：22244242x x x x x x -+-÷-+ ()()()()222222x x x x x x -+=•+-- 1x = 当1,2x = 上式11 2.2=÷= 【点拨】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键． 18．2【分析】分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并即可．解：101()2cos30|(4)3π--︒+--321=-31=2.=【点拨】本题考查实数的运算，考查了负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，掌握以上知识是解题的关键．19．5【分析】由反比例函数图象的性质可得k <0,化简分式时注意去绝对值．解：由题意得k <0．()()224416164444k k k k k k k k +---=----441415k k k k k +=++-=+-+==【点拨】本题考查反比例函数图象的性质和分式的化简,关键在于去绝对值时符号的问题． 20．2【分析】分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可．解：原式＝)1212++-＝121+＝2【点拨】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．21．(1)2;(2)12． 【分析】(1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可．(2)根据分式的混合运算法则计算即可．解：(1) 0|3|(1)3122π-+-=+-=． (2)111111122212x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫÷+=÷=⋅= ⎪+⎝⎭． 【点拨】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方法．22．1【分析】根据负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂分别计算出每一项，再计算即可． 解：101|2|20202-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭221=-+ 1=．【点拨】本题考查负整数指数幂，绝对值的运算，0次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．23．-；5或×；5【分析】先选择符号，然后按照有理数的四则运算进行计算即可．解：（1）选择“-”212212⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭1422=+⨯ 41=+5=（2）选择“×”212212⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭ 1422=+⨯ 41=+5=【点拨】本题考查了有理数的四则运算，熟知有理数的四则运算法则是解题的关键． 24．4-【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．解：201|12sin 45(3.14)2π-︒⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭1214=--114=-4=-【点拨】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．25．21x - 【分析】首先进行通分运算，进而利用因式分解变形，再约分化简分式.解：原式=221x x x x x ++⨯- =()()()2111x x x x x +⨯+- =21x - 【点拨】此题主要考查了分式的化简求值，正确利用分解因式再化简分式是解题关键． 26．1a a- 【分析】首先把分子分母分解因式，把除法变为乘法，然后再约分后相乘即可．解：原式23(3)1(1)a a a a a ++=÷-- ， 23(1)1(3)a a a a a +-=⋅-+， 1a a-=． 【点拨】此题主要考查了分式的乘除法，关键是掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．27．3-．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式1312-+-＝131-＝3＝-．故答案为3-．【点拨】本题考查实数运算，正确化简各数是解题关键．28．【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．解：原式143=++=【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．29．2a a - 【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简，进而利用分式的加减运算法则计算得出答案；解：原式2(1)(1)112(2)2a a a a a -+=⨯---- 1122a a a +=--- 2a a =-． 【点拨】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简是解题关键．30．7【分析】直接利用完全平方公式以及结合二次根式的性质化简进而得出答案．解：原式346=+-34=+-7=．【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．31．(1)6;(2)x=32【分析】（1）先计算乘方、去绝对值符号、计算二次根式的乘法及零指数幂，再计算加减可得；（2）去分母化分式方程为整式方程，解之求得x 的值，再检验即可得．解：（1）原式＝43416-++=；（2）两边都乘以()()11x x +-，得：()215x +=， 解得：32x =， 检验：当32x =时，()()51104x x +-=≠， ∴原分式方程的解为32x =． 【点拨】本题主要考查二次根式的混合运算与解分式方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法法则及解分式方程的步骤．32．()(33)x x +-．【分析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．解：原式221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-．【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．33．1【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式12-=1=1=．【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．34．74- 【分析】先根据整数指数幂、负指数幂、零指数幂、三角函数和绝对值进行化简，再进行加减运算.解：原式111424=-++-11124=-++- 74=-． 【点拨】本题考查指数幂、三角函数和绝对值，解题的关键是掌握指数幂、三角函数和绝对值.35．-4.【分析】先求（-2）3=-8，再求12×8=4，即可求解；解：原式844=-+=-【点拨】本题考查有理数的计算；熟练掌握幂的运算是解题的关键．36．2 【分析】111=12=212（）-⎛⎫ ⎪⎝⎭，()012019=π-，sin 301=2︒ 解：原式12122=-+⨯ 211=-+2=.【点拨】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的正弦值，掌握即可解题. 37．2x =-【分析】根据点A 、B 到原点的距离相等可知点A 、B 表示的数值互为相反数，即21x x =+，解分式方程即可.解：∵点A 、B 到原点的距离相等∵A 、B 表示的数值互为相反数 即21x x =+，去分母，得2(1)x x =+，去括号，得22x x =+，解得2x =-经检验，2x =-是原方程的解.【点拨】本题考查了相反数，绝对值的定义，解分式方程，解本题的关键是读懂题意，根据题中点A 、B 到原点的距离相等可知点A 、B 表示的数值互为相反数38．1x【分析】平方差公式a 2-b 2=（a+b ）（a -b ）完全平方公式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2 解：原式2(1)(1)(1)x x x -=+-÷(1)1x x x -+ (1)(1)x x -=+×1(1)x x x +- 1x=. 【点拨】本题考查了运用完全平方公式与平方差公式，提公因式进行因式分解，分式的化简，注意符号问题即可.39．圆圆的解答不正确.正确解为2x x -+，解答见解析. 【分析】根据完全平方差公式先对分式进行通分，再化简，即可得到答案.解：圆圆的解答不正确.正确解答如下： 原式242(2)4(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x x x x +-=--+-+-+- 24(24)(4)(2)(2)x x x x x -+--=+- (2)(2)(2)x x x x --=+- 2x x =-+. 【点拨】本题考查分式化简，解题的关键是掌握完全平方差公式.40．3【分析】根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可解：原式124+14==3【点拨】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌握相关的知识是解题的关键．41．21(3)x -，原式＝13． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值． 解：原式＝231[](3)(3)9x x x x x x x +--•--- 2(3)(3)(1)(3)9x x x x x x x x -+--=•-- 2291(3)9(3)x x x x x x -=•=---当x ＝ 原式＝13． 【点拨】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．42．2a a 1-，原式＝4． 【分析】先把分母因式分解后约分，再进行通分和同分母的减法运算得到()()()()212111a a a a a a a +--÷-+ ，接着化简计算得到2a a 1- ，然后化简()10123a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最后把2a = 代入计算即可； 解：2221211a a a a a a +⎛⎫÷- ⎪-+-⎝⎭()()()()212111a a a a a a a +--=÷-- ()()()()211211a a a a a a a +-=•--- ()()111a a a a a +=•-+2a a 1=-， 当()10123312a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭＝﹣＝时，原式22421==- ． 【点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．注意分式有意义的条件．43．6【分析】直接利用负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝＝6． 【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．44．【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．解：原式＝（x−1）÷2221(1)(1)1x x x x x x x x -+=-⋅=--，当x 1时，12=+． 【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 45．x+2；当1x =-时，原式=1.【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．解：原式()()22244242x x x x x x ⎡⎤--=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ 244224x x x x x -⎡⎤=-÷⎢⎥---⎣⎦ ()()22424x x x x x -+-=⋅-- 2x =+∵20x -≠，40x -≠，∵2x ≠且4x ≠，∵当1x =-时，原式121=-+=．【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 46．(2)31m m -+；13-. 【分析】(1)先化简二次根式、计算负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．解：(1)原式-2+4×122+2(2)原式=()()2m 3m 3(m 3)+-+÷(m 3m 3++-2m 3+) =m 3m 3-+•m 3m 1++ =m 3m 1-+， 当m=2时，原式=2321-+=13-． 【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．47．-3【分析】分别根据负整数指数幂的性质、算术平方根的定义、特殊角的余弦值、零指数幂以及积是乘方逆运算化简即可解答． 解：原式20191131(0.1258)22=--+++-⨯11311322=--++-=-． 【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．48．1;1a a -+13【分析】先根据变形得到2821333a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪++⎝⎭，进行乘法运算得到22283(1)a a +-=+，化简得到11a a -+，然后将a 的整数解代入求值． 解：原式28(3)(3)33(1)a a a a a +-++=⋅++ 22283(1)a a +-=+2(1)(1)(1)a a a +-=+ 11a a -=+， 解不等式得534a <<， ∵不等式组的整数解为2a =，当2a =时， 原式211213-==+． 【点拨】本题考查分式的化简求值和完全平方公式，熟练分解因式是解题的关键．49．11m m +-. 【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 解：原式＝2212m m m +++÷2432m m -++ ＝2(1)22(1)(1)m m m m m ++⨯++- 11m m +=-，m ＝3tan30°+（π﹣3）0＝1，【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．50．-1.【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解：原式122=-12=-+1=-． 【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．51．（1）0；（2）1x -.【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；解：（1）120112302π-⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭；（2）()()()111x x x x -+--=2211x x x x --+=-；【点拨】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．52．【分析】先分别计算幂、三角函数值、二次根式，然后算加减法． 解：原式＝111422++⨯﹣﹣ ＝﹣4+1＝﹣3．【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握三角函数值、零指数幂的运算是解题的关键． 53．5【分析】先根据完全平方公式及单项式与多项式的乘法计算，再合并同类项，然后把a =代入计算即可.解：原式＝22221221a a a a a -+++=+，当a =原式=221⨯+＝5.【点拨】本题考查了整式的化简求值熟练掌握运算顺序及乘法公式是解答本题的关键. 54．2【分析】根据题目中的公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 解：22332428x x x x x x ++--- ()22324(2)(2)24x x x x x x x x ++=---++ 3122x x =--- 22x =-，当3x =时，原式2232==- 【点拨】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 55．-1.【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题． 解：221·11a a a a a a a ---+- =()()()a 1a 1aa a a 1a 1a 1+---+- =a 1a 1-- =a 1a a 1--- =1a 1-- 当a 2=时，原式=1121-=-- 【点拨】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 56．5.【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：（﹣1）2019sin60°﹣（﹣3）＝﹣+3 ＝﹣1+3+3＝5【点拨】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．57．13.【分析】分别运算每一项然后再求解即可.解：22()()19(6)2-+--+-÷1693=++-13=．【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键.58．1(1)a a -,-4. 【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题． 解：221(1)a a a a a-+-- 2(1)1(1)a a a a a-+=-- 11a a a a+=-- 2(1)(1)(1)a a a a a --+=- 221(1)a a a a -+=- 1(1)a a =-， 当12a =时，原式1411122==-⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点拨】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 59．67x【分析】按顺序先分别进行积的乘方运算、同底数幂的乘法运算，然后再合并同类项即可. 解：()32242x x x -⋅ =668x x -67x =.【点拨】本题考查了整式的混合运算，涉及了积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.60【分析】先将多项式进行因式分解，根据分式的加减乘除混合运算法则，先对括号里的进行通分，再将除法转化为乘法，约分化简即可.解：原式()()2224222x x x x x x x ⎡⎤-+-=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ 22224x x x x x x +-⎛⎫=-⋅ ⎪---⎝⎭ 2224x x x -=⋅-- 24x =-，当4tan452cos304124x ︒︒=+=⨯+=原式=== 【点拨】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练应用分式的基本性质进行约分和通分是解题的关键.61．-1.【分析】根据ab=1，b=2a -1，可以求得b -2a 的值，从而可以求得所求式子的值．解：∵ab =1，b =2a -1，∵b -2a =-1，∵122111b a a b ab ---===- 【点拨】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 62【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案． 解：()020191sin6011π-+-︒== 【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．63．34． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解， 继而代入计算可得． 解：原式211(1)(1)11x x x x x x -⎛⎫=÷+ ⎪+---⎝⎭ 21•(1)(1)x x x x x-=+-1x x =+， 解不等式组11,{52 2.x x ->-≥-得722x <≤，则不等式组的整数解为3，当3x =时，原式33314==+． 【点拨】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算 法则及解一元一次不等式组的能力．64．4【分析】根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得解：原式21414=-+-=【点拨】此题考查实数的混合运算，掌握运算法则是解题关键65．a -2【分析】先去括号，再注意到（a+1）（a -1）可以利用平方差公式进行化简，最后合并同类项即可解：原式2222(1)a a a =-+-22222a a a =-+-2a =-【点拨】此题考查代数式的化简，掌握运算法则是解题关键66．(1)2020;(2)1【分析】(1)根据负指数幂、零指数幂、绝对值和三角函数、二次根式，即可得到答案；(2)根据分式的性质进行化简，再代入1a =-，即可得到答案.解：1（）原式201912++＝2020+＝ 2020＝；2（）原式()()222a b a a a b a b -=-+ ()()()()2a b a b aa ab a b -+=-+ 1a b =+， 当1a =-时，取2b ＝，原式1112==-+． 【点拨】本题负指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数、二次根式和分式的化简，解题的关键是掌握负指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数、二次根式和分式的化简.67．3【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解：20()||243()225cos π---︒+-，4(221=--，421=-，3=．【点拨】本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．68．【分析】根据实数的性质进行化简，即可求解.解：原式11=+=【点拨】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.69．1a b-+，-1 【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案. 解：原式2()2()()()a b a a b a b a a b a b-=-+--+ 12a b a b=-++ 1a b =-+，∵a ，b 满足2(2)0a -+=，∵20a -=，10b +=，2a =，1b =-，原式1121=-=--．【点拨】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质.70．12a +，12- 【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 解：原式()()1112a a a a a +-=⨯- 12a +=， 当2a =-时，原式21122-+==-. 【点拨】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握运算法则是解题关键．71【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．解：原式211=-【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．72．4.【分析】直接利用根式计算，绝对值计算和零指数幂的运算进行逐一计算即可解：321=+-原式4=【点拨】本题考查实数的简单计算，掌握计算法则是解题关键73．13x +. 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x 值带入即可解：原式()233633x x x x -+-=÷++()23333x x x x --=÷++ ()23333x x x x -+=⋅-+ 13x =+ 代入3x 原式。

2021中考数学复习专题【实际问题与二次函数】拓展训练一．选择题1．已知关于x的二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，则m的取值范围是（）A．且m≠B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜D．＜m＜12．某工厂2017年产品的产量为a吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝a（1﹣x）2B．y＝C．y＝a（1+x）2D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S＝B．S＝C．S＝D．S＝4．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（）A．1米B．2米C．5米D．6米5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（）A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）26．已知函数y＝+x，下列结论中正确的是（）A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值7．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．3或5B．﹣1或1C．﹣1或5D．3或18．关于二次函数y＝x2+4x﹣7的最大（小）值，叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数有最大值B．当x＝2时，函数有最小值C．当x＝﹣1时，函数有最大值D．当x＝﹣2时，函数有最小值9．当a，b为实数，二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1时有（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a≥b10．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y＝﹣x2+26x（2≤x＜52）B．y＝﹣x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y＝﹣x2+27x﹣52（2≤x＜52）二．填空题21．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t （单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．22．正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为．23．若P是抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点，则点P的坐标是．24．铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣x2+x+，铅球推出后最大高度是m，铅球落地时的水平距离是m．25．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．三．解答题31．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB．32．小明将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度y（m）与它的飞行时间x（s）满足二次函数关系，y与x的几组对应值如下表所示：x（s）00.51 1.52…y（m）08.751518.7520…（Ⅰ）求y关于x的函数解析式（不要求写x的取值范围）；（Ⅱ）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．33．某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米．（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？34．某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克的钱，现在可买33千克．（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y与x之间的函数关系式；（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润＝销售收入﹣进货金额）35．如图，在直角三角形ABC中，直角边AC＝6cm，BC＝8cm，设P，Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm，同时点Q自点B沿BC方向向点C 作匀速移动且速度为每秒1cm．当P点到达B点时，Q点就停止移动，设P，Q移动的时间t秒．（1）写出△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式，并写出t的取值范围．（2）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：设y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m，∵二次三项式（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m的值恒为正，∴（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m＞0且2m﹣1≠0，∴在函数y＝（m+1）x2﹣（2m﹣1）x+m中，m+1＞0且△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m+1）•m＜0且2m﹣1≠0，解得，m＞且m≠，故选：A．2．解：根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝a（1+x）2，故选：C．3．解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S＝ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S＝．故选：A．4．解：方法一：根据题意，得y＝x2+6x（0≤x≤4），＝﹣（x﹣2）2+6所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2，所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B．5．解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a（1+x）2辆，则y＝a（1+x）2．故选：B．6．解：设＝t，则6﹣x＝t2，即x＝6﹣t2，y＝t+6﹣t2＝﹣（t﹣）2+，所以当t＝时，y有最大值．故选：A．7．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故选：C．8．解：原式可化为y＝x2+4x+4﹣11＝（x+2）2﹣11，由于二次项系数1＞0，故当x＝﹣2时，函数有最小值﹣11．故选：D．9．解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2+b的最小值为﹣1，∴a＞0，b＝﹣1，∴a＞b．故选：C．10．解：y关于x的函数表达式为：y＝（50+2﹣x）x＝﹣x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．二．填空题21．解：∵h＝30t﹣5t2，∴当h＝0时，t＝0或t＝6，∴水流从喷出至回落到水池所需要的时间是：6﹣0＝6，故答案为：6．22．解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），则面积增加y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．故应填：y＝x2+6x．23．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最高点P的坐标为（2，1）．故答案为（2，1）．24．解：∵y＝﹣x2+x+，∴y＝﹣（x﹣4）2+3因为﹣＜0所以当x＝4时，y有最大值为3．所以铅球推出后最大高度是3m．令y＝0，即0＝﹣（x﹣4）2+3解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去）所以铅球落地时的水平距离是10m．故答案为3、10．25．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．三．解答题31．解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．32．解：（Ⅰ）∵x＝0时，y＝0，∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx（a≠0），∵x＝1时，y＝15；x＝2时，y＝20，∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x2+20x；（Ⅱ）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20，∴小球飞行的最大高度为20m，∵22＞20，∴小球的飞行高度不能达到22m．33．解：（1）设AB＝x，则BC＝50﹣2x，长方形面积为y 得：y＝x（50﹣2x）＝﹣2x2+50x，＝﹣2（x﹣）2+，＝，当x＝时，y最大值BC＝50﹣2×＝25，答：当AB＝米，BC＝25米时，面积最大是平方米；（2）若墙体长度是20米，则BC≤20，AB≥15，在函数y＝﹣2x2+50x中，a＝﹣2＜0，当x＞时，y随x的增大而减小，＝300，所以当x＝15时，y最大值答：面积最大为300平方米．34．解：（1）设现在实际购进这种牛肉每千克a元，则原来购进这种牛肉每千克（a+2）元，由题意，得32（a+2）＝33a，解得a＝64．答：现在实际购进这种牛肉每千克64元；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（70，140），（80，40）代入，得，解得，故y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+840；（3）设这种牛肉的销售单价为x元时，所获利润为w元，则w＝（x﹣64）y＝（x﹣64）（﹣10x+840）＝﹣10x2+1480x﹣53760＝﹣10（x﹣74）2+1000，所以当x＝74时，w有最大值1000．答：将这种牛肉的销售单价定为74元时，能获得最大利润，最大利润是1000元．35．解：（1）∵Rt△ABC中直角边AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∴BP＝10﹣2t，BQ＝t．如图1，过点P作PH⊥BC，垂足为H，∵AC⊥BC，∴△BPH∽△ABC，∴＝，即＝，解得PH＝6﹣t，∴S＝BQ•PH＝t•（6﹣t）＝﹣t2+3t（0＜t≤5）；（2）①当BP＝BQ时，10﹣2t＝t，解得t＝秒；②如图2，当BQ＝PQ时，作QE⊥BD，垂足为E，∵BQ＝PQ，QE⊥BD，∴BE＝BP＝（10﹣2t）＝5﹣t，∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，∴△BQE∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒；③如图3，当BP＝PQ时，作PF⊥BC，垂足为F，∵BP＝PQ，PF⊥BC，∴BF＝BQ＝t．∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，∴△BPF∽△BAC，∴＝，即＝，解得t＝秒．∴当t＝秒，t＝秒，t＝秒时，均使△PBQ为等腰三角形．。

2021年中考数学冲刺 挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）04挑战压轴题（解答题（二））1. （2020年长沙中考第24题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”。

根据该约定，完成下列各题。

（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号内打“√”，不是“H 函数”的打“×”。

① x y 2= （ ） ② ）（0≠=m xmy （ ） ③ 13-=x y （ ）（2）若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a 、b 、c 的值或取值范围。

（3）若关于x 的“H 函数”是常数），，（c b a c bx ax y 322++=同时满足下列两个条件：① 0=++c b a ， ② 0322<++•-+）（）（a b c a b c ，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围。

【答案】（1）√、√、× （2）-1<a<0，b=4，0<c<1 （3）72221<-<x x【解析】（1）根据题意，易知“H 函数”图像上存在关于原点对称的点。

①、②图像均关于原点对称，故为“H 函数”；对于函数③，变形为：31=+x y ，令xy x y -+-=+33，无解，故不是“H 函数”。

（2）∵若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”∴m=4，n=-1 ∴A （1，4） B （-1，-4） 代入c bx ax y ++=2中，得:⎩⎨⎧-=+-=++44c b a c b a 解得：⎩⎨⎧==+40b c a∵函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧 ∴22->ab∴224>-a解得：01<<-a ∵100<<∴=+c c a∴-1<a<0，b=4，0<c<1（3）c bx ax y 322++=∵是H 函数，∴至少存在不同的两点关于原点对称的“H 点” 设H 点坐标分别为（m ，n ）；（-m ，-n ），则:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++nc bm am n c bm am 323222∴n bm c am ==+2032因为002<∴>ac c a m 异号，即、∵c a b c b a -=∴=++0∵0322<++•-+）（）（a b c a b c ∴0)32)(2(<+-----a c a c a c a c∴0)2)(2(<+-a c a c 即：224a c <∴22<∴<a cac ∴02<<-ac 令02<<-∴=t act设函数与x 轴的两个交点分别为)0(1，x 、)0(2，x ，则21x x 、是方程0322=++c bx ax 的两根 ∴a ca c a a c ab a ac b x x 12)(4124124a 2222221-+=-=-=∆=-)1(412)21(412))(21(4222+-=-++=•-+•+=t t t t t aca c a c 43)21(22+-=t ∵时02<<-t 函数递减，所以当t=-2时取最大值，当t=0时取最小值∴72221<-<x x2.（2019年长沙中考第25题）已知抛物线)2020()2(22-+-+-=c x b x y (b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n ( m<n )，当n x m ≤≤时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m ，求m ，n 的值．【解析】（1）由题可设()1122+--=x y去括号得：1422-+-=x x y⎩⎨⎧-=-=-∴1202042c b20196==∴c b ，（2）设抛物线上关于远点对称且不重合的两点坐标分别为()()0000--y x y x ，、， 代入解析式可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+---=--+-+-=)2020()2(2)2020()2(202000200c x b x y c x b x y∴两式相加可得：0)2020(24-20=-+c x20202020220≥∴+=∴c x c（3）由（1）可知抛物线为()11214222+--=-+-=x x x y ，∴1≤y12211210+≤+≤+≤≤<<n ny m m n x m m 时，恰好有，当nm m mm y n <≤∴≥≤∴≤≤∴111111，即 ∵抛物线对称轴x =1，开口向下 ∴当n x m ≤≤时，y 随x 增大而减小∴当x =m 时，1422max -+-=m m y当x =n 时，1422min -+-=n n y又∵my n 11≤≤ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+∴）（）（21142-11142-22m m m n n n将（1）式整理得：014223=++-n n n变形得：()()01232223=----n n n n 即：()()()0112122=-+--n n n n()()012212=---∴n n n1>n01222=--∴n n（舍去），2311-=∴n 2312+=n 同理整理（2）式得：()()012212=---m m mn m <≤1.2312311321（舍去）（舍去），，+=-==∴m m m ∴综上所示：m =1，n =231+ 3.（2018年长沙中考第25题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数xmy =（m 为常数，m ＞1，x ＞0）的图象经过点P （m ，1）和Q （1，m ），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，点M （x ，y ）是该函数图象上的一个动点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ． （1）求∠OCD 的度数；（2）当m =3，1＜x ＜3时，存在点M 使得△OPM ∽△OCP ，求此时点M 的坐标； （3）当m =5时，矩形OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【分析】（1）想办法证明OC =OD 即可解决问题；（2）设M （a ，a 3），由△OPM ∽△OCP ，推出CPPMOP OM OC OP ==，由此构建方程求出a ，再分类求解即可解决问题；（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x ＜5时，如图1中；②当x ≤1时，如图2中；③当x ≥5时，如图3中；【解答】解：（1）设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则有⎩⎨⎧=+=+m b k b km 1，解得⎩⎨⎧+=-=11m b k ，∴y =﹣x +m +!，令x =0，得到y =m +1，∴D （0，m +1），令y +0，得到x =m +1，∴C （m +1，0），∴OC =OD ，∵∠COD =90°， ∴∠OCD =45°．（2）设M （a ，a 3），∵△OPM ∽△OCP ，∴CPPM OP OM OC OP ==，∴OP 2=OC •OM ，当m =3时，P （3，1），C （4，0），OP 2=32+12=10，OC =4，OM =229a a +，∴410=OC OP ，∴10=4229a a +， ∴4a 4﹣25a 2+36=0， （4a 2﹣9）（a 2﹣4）=0， ∴a =±23，a =±2， ∵1＜a ＜3， ∴a =23或2， 当a =23时，M （23，2）， PM =213，CP =2， 4102213≠=CM PM （舍弃）， 当a =2时，M （2，23），PM =25，CP =2，∴410225==CP PM ，成立，∴M （2，23）． （3）不存在．理由如下：当m =5时，P （5，1），Q （1，5），设M （x ，x5）， OP 的解析式为：y =51x ，OQ 的解析式为y =5x ， ①当1＜x ＜5时，如图1中，E∴E （x 1，x 5），F （x ，51x ）， S =S 矩形OAMB ﹣S △OAF ﹣S △OBE =5﹣21•x •51x ﹣21•x 1•x5=4.1， 化简得到：x 4﹣9x 2+25=0，△＜O ， ∴没有实数根． ②当x ≤1时，如图2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③当x≥5时，如图3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，综上所述，不存在．1．（2021·湖南长沙市·九年级一模）如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P(a，b)，则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）＋b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x＋1）2＋3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx＋3k﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x＋3与直线n：y＝﹣2x＋9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2＋1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．【答案】（1）y=-2x+1；（2）y=-（x+3）2-2；（3）y= -x+3或y=1．【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定P的坐标为（-1,3），然后将A点坐标代入求解即可；（2）y=kx+3k-2=k（x+3）-2，确定点P的坐标为（-3，-2），然后求出解析式即可；（3）由△ABC的面积=S△APB+S△APC=12，求出x C-x B=6，则点x B（t,t+3），x C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1求解即可．【详解】解：（1）∵y=-2（x+1）2+3，∴令x=0，则y=1，∴点A的坐标为（0,1），顶点P的坐标为（-1,3），∴风车线的表达式为y=k（x+1）+3，将点A的坐标代入并求解得：k=-2∴“风车线”的解析式为y=-2（x+1）+3=-2x+1；（2）∵y=kx+3k-2=k（x+3）-2∴点P的坐标为（-3，-2），∴平移后的抛物线表达式为y=-（x+3）2-2；（3）∵y=-2（x-2）2+1，∴点P（2，1），即“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1，联立329y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得25xy=⎧⎨=⎩，故点A（2，5），∴AP=5-1=4，∴△ABC的面积=S△APB+S△APC=12×4×（x C-x B）=12，解得：x C-x B=6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，∵点B在直线m上，∴点B（t，t+3），同理：点C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1，得：3(2)123(62)1t k tt k t+=-+⎧⎨--=+-+⎩解得1tk=⎧⎨=-⎩或2tk=⎧⎨=-⎩∴“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1=-（x-2）+1=-x+3或y=1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、面积的计算等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．2．（2021·湖南长沙市·九年级一模）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“垂足距”，记作____AB ．根据该约定，完成下列各题 （1）若点A （1x ，4），B （2x ，8-）．当点A 、B 在函数4y x =的图象上时，____AB = ； 当点A ，B 在函数16y x=-的图象上时，____AB = ． （2）若一次函数()30y kx k =+≠的图象上有两点A （1x ，k ），B （2x ，222k -），当____AB k =时，求k的值．（3）若抛物线2y ax bx c =++与直线()230y bx c b =--≠在同一坐标平面内交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且同时满足下列两个条件：①a b c >>；②抛物线经过点（1，0），试求____AB 的范围、【答案】（1）3，6；（2）k =2或1；（3____AB 【分析】（1）先把点A 和点B 坐标代入4y x =和16y x=-分别得出 1x 和2x 的值，由“垂足距”的定义即可得出答案 （2）根据“垂足距”的定义得出k 的方程，解方程即可；（3）由2=23++--ax bx c bx c 得出1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，根据根与系数的关系可得1x +2x 和1x 2x 的值，再结合抛物线经过点（1，0）得出22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ，再根据a b c >>和二次函数的增减性得出答案；【详解】解：（1）∵点A （1x ，4），B （1x ，8-）在函数4y x =的图象上，∴1=1x ，2=-2x ，∴()____=1--2=3AB ，∵点A （1x ，4），B （2x ，8-）在函数16y x=-的图象上 ∴1=-4x ，2=2x ，∴()____=2--4=6AB ，（2）∵A （1x ，k ），B （2x ，222k -）在()30y kx k =+≠的图象， ∴1k-3=k x ，222k -5=kx ， ∵____AB k = ∴22k -5k-3-=k k k， ∴222--2=k k k当22--20＞k k 时，2--2=0k k ，解得：k =2或-1，当22--20＜k k 时，23--2=0k k ，解得：k =2-3或1， ∵k ＞0，∴k =2或1；（3）∵2=23++--ax bx c bx c ()0b ≠∴234=0++ax bx c∴1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，∴1x +23b =-a x ，1x 24c =a x ； ∴()()22221212___122_9b -16ac =x -x =x +x -4x x =a ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB ， ∵抛物线经过点（1，0），∴=0a b c ++，∴=--c a b ， ∴____22229b -16ac b b =9+16+16a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∵a b c >>，∴b -a-b >， ∴1b -a 2>， ∴1a -a 2>， ∴a 0>， ∴1b -12a＜＜， ∵22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∴对称轴为b 81=--a 92＜， ∴当1b -12a ＜＜时，_2___⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 随b a 的增大而增大， ∴当b =1a时， ____AB ，∴当b 1=-a 2时， ____AB∴____AB 的范围为____2AB ； 【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，解题的关键是理解题意，利用“垂足距”的定义解决问题，属于压轴题． 3．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）我们约定：图象关于y 轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有 （填序号）；①y ＝x +1；②y ＝﹣2020x 2+5；③y ＝|2018x|；④y ＝2021x 2﹣2020x +2018． （2）已知二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y ＝ax 2+bx +c ，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，若AB ＝2，且以AB 为直径的圆恰好经过点C ，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），过点E （0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点AB 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，分别用S 1，S 2，S 3表示△ACE ，△ECD ，△EDB 的面积，问：是否存在实数m ，使S 22＝m S 1S 3都成立？若成立，求出m 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）②③；（2）y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣12-或y ＝2x 2x ﹣12；（3）存在，m ＝4【分析】(1)根据每个函数是否关于y 轴对称进行判断； (2)根据偶函数的概念可得：k 2﹣1＝0且k +1≠0，即可求得抛物线解析式，再依据平移的性质可知a ＝2，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），利用根与系数关系及乘法公式可得：b 2﹣8c ＝16，再根据圆的性质和勾股定理得：b 2+16c 2＝16，从而求得b 、c ，即可得到新函数的解析式；(3)由偶函数性质可知b ＝0，再利用待定系数法即可得函数解析式，设过点E （0，2）的一次函数解析式为：y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣1，根据题意建立方程求解即可．【详解】解：(1)①y ＝x +1的图像经过第一、三象限，y 轴不是其对称轴，所以y ＝x +1不是偶函数；②y ＝﹣2020x 2+5的图像抛物线是轴对称图形，且对称轴是y 轴，是偶函数；③y ＝|2018x|是关于y 轴对称的，是偶函数； ④y ＝2021x 2﹣2020x +2018的图像抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x ＝10102021，不是偶函数； 故答案为：②③；(2)∵二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，∴21010k k ⎧-=⎨+≠⎩，解得：k ＝1，∴该二次函数解析式为：y ＝2x 2+1，∵平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即a 的值不变，∴平移得到新的二次函数为y ＝2x 2+bx +c ，由题意知，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），令x ＝0，得y ＝c ，∴C （0，c ），∵AB ＝2，∴x 2﹣x 1＝2，由根与系数关系可知：x 1+x 2＝﹣2b ，x 1x 2＝2c ， ∵（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（x 2﹣x 1）2，∴（﹣2b ）2﹣4×2c ＝22，即b 2﹣8c ＝16， ∵以AB 为直径的圆恰好经过点C ，∴该圆的圆心为F （122x x +，0），即F （﹣4b ，0）， ∴CF ＝1，即（﹣4b ）2+c 2＝1，整理，得：b 2+16c 2＝16， 联立方程组：2228161616b c b c ⎧-=⎨+=⎩， 解得：1140b c =-⎧⎨=⎩，2240b c =⎧⎨=⎩，3312b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，4412b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩； ∴平移后新函数的解析式为：y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣x 12-或y ＝2x 2﹣12； (3)∵偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），∴b ＝0，即y ＝ax 2+c ，∴245a ca c+=⎧⎨+=⎩，解得：11ac=⎧⎨=⎩，∴y＝x2+1，设过点E（0，2）的一次函数解析式为：y＝kx+2，将y＝x2+1代入，得：x2+1＝kx+2，即x2﹣kx﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2•x1x2+2k（x1+x2）+4＝k2+4，∵用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，∴S1＝12AC•（﹣x1）＝12y1•（﹣x1）＝﹣12x1y1，S2＝12CD•OE＝12（x2﹣x1）×2＝x2﹣x1，S3＝12BD•x2＝12x2y2，∴S22＝（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，S1S3＝﹣12x1y1•12x2y2＝﹣14（x1x2）（y1y2）＝﹣14×（﹣1）×（k2+4）＝14（k2+4），∵S22＝m S1S3，∴k2+4＝m•14（k2+4），∴m＝4．【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数交点，根与系数关系，三角形面积，圆的性质等，是一道综合性强，涉及知识点多的中考压轴题型；解题关键是灵活运用根与系数关系和乘法公式．4．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)c2﹣4c＋4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求A，B，D的坐标；（2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）如图，过P(0，﹣1)作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求AM MQPQ-的值．【答案】（1）A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2；（3）1．【分析】（1）由非负数的性质可求得a、c的值，可求得A、B、D的坐标；（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，由勾股定理可求解；（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点H，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI＝QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM＝∠MEQ＝45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM＝MQ，再结合条件可求得AI＝PQ，可求得答案．【详解】解：（1）＋c2﹣4 c＋4＝0，＋（c﹣2）2＝0，∴a＝3，c＝2，∵b为最大的负整数，∴b＝﹣1，∴A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）∵A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)，∴OB＝1，OD＝2，OA＝3，∴AO＝BD，在△ABO和△BED中，90ABOBED AOBBDE AO BD ，∴△ABO ≌△BED （AAS ），∴DE ＝BO ＝1，∴E (2，1)，设直线AE 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、E 坐标代入可得312b k b ，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AE 的解析式为y ＝﹣x ＋3，令y ＝0，可解得x ＝3，∴F (3，0)，如图1，作点F 关于y 轴的对称点F '(﹣3，0)，连接EF '，交AO 于G ，则GF ＋GE 最小值为EF '，∴EF ' ，∴GF ＋GE（3）过E 作EG ⊥OA ，EH ⊥PQ ，垂足分别为G 、H ，在GA 上截取GI ＝QH ，如图2，∵E (2，1)，P (﹣1，0)，∴GE ＝GP ＝EH ＝PH ＝2，∴四边形GEHP 为正方形，∴∠IGE ＝∠EHQ ＝90°，在Rt △IGE 和Rt △QHE 中，{GE HEIGE EHQ IG QH=∠=∠=∴△IGE ≌△QHE （SAS ），∴IE ＝EQ ，∠1＝∠2，∵∠QEM ＝45°，∴∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∴∠IEM ＝∠QEM ，在△EIM 和△EQM 中，IE QEIEM QEMME ME，∴△EIM≌△EQM（SAS），∴IM＝MQ，∴AM﹣MQ＝AM﹣IM＝AI，由（2）可知OA＝OF＝3，∠AOF＝90°，∴∠A＝∠AEG＝45°，∴PH＝GE＝GA＝IG＋AI，∴AI＝GA﹣IG＝PH﹣QH＝PQ，∴AM MQ AIPQ PQ-=＝1．【点睛】本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，正方形的判定和性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）如图1，已知抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D．（1）若D（0，﹣8）为△ABC的外心，求a的值；（2）如图2，若D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，点P为线段BC的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；（3）如图3，点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，已知OC＝2OD，△BCE的面积为6，点E在双曲线F2：y＝1cx+上，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，求m +n 的值．【答案】（1）a ＝12；（2）y ＝﹣6x 或y ＝﹣18x；（3）m +n ＝3【分析】（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，可求得点A ，B 的坐标，根据D （0，﹣8）为△ABC 的外心，可得DA ＝DB ＝DC ，再运用勾股定理即可求得a 的值；（2）根据勾股定理可求得AC ＝BC ，可得S △ABC ＝12AB •OC ＝216a ，再根据D 为△ABC 的内心且△ABC 的内切圆半径为3，亦可得S △ABC ＝12×（AB +BC +AC ）×3，建立方程即可求得a 的值，从而可得点C 坐标，再利用中点坐标公式可得点P 坐标，即可求得结论；（3）先运用待定系数法求得直线l 解析式，再联立方程组求得点E 坐标，利用△BCE 的面积建立方程求a 的值，通过点E 坐标求得c 的值，从而得到抛物线解析式，再结合二次函数增减性和最值进行分类讨论求得m ，n 的值即可得到答案．【详解】解：（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，得：ax 2﹣36a ＝0，解得：x 1＝﹣6，x 2＝6，∴A （﹣6，0），B （6，0），∵D（0，﹣8）为△ABC的外心，∴DA＝DB＝DC，∵抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与y轴交于点C，∴C（0，﹣36a），∴DC＝﹣8﹣（﹣36a）＝36a﹣8，在Rt△BOD中，DB＝10，∴36a﹣8＝10，∴a＝12；（2）由（1）知：AB＝6﹣（﹣6）＝12，OC＝36a，由勾股定理得：AC＝BC，∵D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，∴S△ABC＝12×（AB+BC+AC）×3，∵S△ABC＝12AB•OC＝12×12×36a＝216a，∴12×（AB+BC+AC）×3＝216a，即12×（×3＝216a，解得：a1＝19，a2＝13，∴C（0，﹣4）或C（0，﹣12），∵点P为线段BC的中点，∴P（3，﹣2）或P（3，﹣6），设经过点P的反比例函数的解析式为y＝kx，将P（3，﹣2）或P（3，﹣6）分别代入，得：k＝﹣6或﹣18，∴经过点P的反比例函数的解析式为y＝﹣6x或y＝﹣18x；（3）由（1）知：B（6，0），C（0，﹣36a），∵OC＝2OD，∴D（0，﹣18a），∵直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D，∴6018k bb a+=⎧⎨=-⎩，解得：318k ab a=⎧⎨=-⎩，∴直线l解析式为：y＝3ax﹣18a，∵点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，∴236318y ax a y ax a ⎧=-⎨=-⎩，解得：116 0x y =⎧⎨=⎩（舍去）22327xy a=-⎧⎨=-⎩，∴E（﹣3，﹣27a），∴S△BCE＝12×DC×（3+6）＝12×[﹣18a﹣（﹣36a）]×9＝81a，∵△BCE的面积为6，∴81a＝6，解得：a＝2 27，∴E（﹣3，﹣2），∵点E在双曲线F2：y＝1cx上，∴c+1＝6，∴c＝5，∵当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，∴二次函数y＝﹣x2+2x+5，当m≤x≤n（其中mn＜0）时，2m≤y≤2n，且m＜0，由y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，可知：抛物线对称轴为直线x＝1，顶点（1，6），①当n≤1时，y随x增大而增大，又x＝m时，y＝2m，x＝n时，y＝2n，∴2m＝﹣m2+2m+5或2n＝﹣n2+2n+5，解得：m n∵m＜0，0＜n≤1，∴m，n＝；②当n＞1时，则2n＝6，解得n＝3，若﹣1＜m＜0，则最小值在x＝3处取得，即2m＝﹣32+2×3+5＝2，解得：m＝1＞0，不符合题意，舍去；若m≤﹣1，最小值在x＝m处取得，即2m＝﹣m2+2m+5，解得：m1m2，∴m，n＝3，综上所述，m，n＝3；∴m+n＝3【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，反比例函数等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想，分类讨论思想是解题关键．6．（2020·湖南广益实验中学九年级月考）已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；（2）已知以坐标原点O为圆心的圆半径是45，试判断点M与⊙O的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；（3）对于任意实数m，点M都是直线l上一点，直线l与该二次函数相交于A、B两点，a是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A、B在以O为圆心的圆上．①求⊙O的半径；②求该二次函数的解析式．【答案】（1）1；（2）点M在⊙O外，理由见解析；（3）①4；②21634 525y x x=-+【分析】（1）由二次函数与x轴只有一个交点，可得△＝0，从而得出关于m的方程，解方程即可确定m的值；（2）写出点M的坐标，用含m的式子表示出OM2，从而可得关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得OM2的最小值，求其算术平方根，可得OM的最小值，从而可判断点M与⊙O的位置关系；（3）①由切线长定理求得a的值，将其代入抛物线的解析式，写出直线l的解析式，由抛物线的解析式与直线l的解析式可得关于x的方程，解方程，从而用含m的式子表示出点A和点B的坐标，由勾股定理或两点距离公式可得⊙O的半径；②将a和m的值代入抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2计算即可得出答案．【详解】解:（1）∵二次函数与x轴只有一个交点，∴△＝(﹣2am)2﹣4a(am2﹣2m+2)＝0，∴8am﹣8a＝8a(m﹣1)＝0，∵a≠0，∴m﹣1＝0，∴m＝1；（2）∵点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2的顶点，∴M(m，﹣2m+2)，∵原点O的坐标为(0，0)，∴OM2＝m2+(﹣2m+2)2＝5m 2﹣8m +4 ＝2445()55m -+， ∴当m ＝45时，OM 2有最小值45，455=>， ∴点M 在⊙O 外；（3）①作出以3、4、5为边长的三角形，F ，G ，H 是三角形与⊙O 的切点，连接OF ，OG ，如图所示:由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则∠E ＝90°，由切线的性质可知，OF ⊥DE ，OG ⊥CE ，∴∠OFE ＝90°，∠OGE ＝90°，∴四边形OFEG 是矩形，∵OF ＝OG ＝a ，∴四边形OFEG 是正方形，∴FE ＝EG ＝a ，∵CH ＝CG ，DH ＝DF ，∴2a ＝3+4﹣5，∴a ＝1，∴y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，∵对于任意实数m ，点M 都是直线l 上一点，且M (m ，﹣2m +2)，∴直线l 的解析式为y ＝﹣2x +2，令﹣2x +2＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，解得x 1＝m ，x 2＝m ﹣2，∴A (m ，﹣2m +2)，B (m ﹣2，﹣2m +6)，∵点A 、B 在以O 为圆心的圆上，∴m 2+(﹣2m +2)2＝(m ﹣2)2+(﹣2m +6)2，解得m ＝85，∴⊙O 4==． ②将a ＝1，m ＝85代入抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2﹣2m +2得21634525y x x =-+． ∴该二次函数的解析式为21634525y x x =-+． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x 轴的交点、利用二次函数的性质求最值、点与圆的位置关系、切线长定理、直线与抛物线的交点及解一元二次方程等知识点，综合性较强，需要熟练掌握相关性质及定理并正确运算．7．（2021·长沙市湘郡培粹实验中学九年级期末）对于一个函数给出如下定义；对于函数y ，若当a x b ≤≤，函数值y 满足m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属合函数”．例如：正比例函数2y x =-，当13x ≤≤时，62y -≤≤-，则()()2631k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属合函数”． （1）一次函数10,13()y ax a x =-<≤≤为“1属合函数”，求a 的值．（2）反比例函数(0,k y k a x b x=>≤≤，且0a b <<）是“k 属合函数”，且a b +=，请求出22a b +的值； （3）已知二次函数22362y x ax a a =-+++，当11x -≤≤时，y 是“k 属合函数”，求k 的取值范围．【答案】（1）a =-1；（2）2019；（3）k ≥32． 【分析】（1）利用“k 属合函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k 属合函数”的定义得出ab =1，最后利用完全平方公式即可得出结论； （3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k 属合函数”的定义即可得出结论．【详解】解：（1）当a ＜0时，一次函数的y 随着x 的增大而减小，∵1≤x ≤3，∴3a -1≤y ≤a -1，∵一次函数y =ax -1（a ＜0，1≤x ≤3）为“1属合函数”，∴（a -1）-（3a -1）=1×（3-1），∴a =-1；（2）∵反比例函数y =k x，k ＞0， ∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属合函数”， ∴()k k k b a a b-=-， ∴ab =1，∵a+b∴a2+b2=（a+b）2-2ab=2021-2=2019；（3）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴是：直线62(3)ax a =-=⨯-，∴当-1≤x≤1时，y是“k属合函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3，∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，∴k=-6a，∴k≥6；②如图2，当-1＜a≤0时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =1时，有y min =a 2+8a -3，∴（4a 2+2a ）-（a 2+8a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =-， ∴362k ≤<； ③如图3，当0＜a ≤1时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3∴（4a 2+2a ）-（a 2-4a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =+， ∴362k <≤； ④如图4，当a ＞1时，当x =1时，有y max =a 2+8a -3，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3，∴（a 2+8a -3）-（a 2-4a -3）=2k ，∴k =6a ，∴k ＞6；综上，k 的取值范围为k ≥32． 【点睛】此题是二次函数，一次函数，反比例函数的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．8．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，首先找到对称中心，将关键点与对称中心相连，并延长至等长，最后将所得的对应点连接即可得到对称图形．若将函数C 1的图象沿某一点旋转180度，与函数C 2的图象重合，则称函数C 1与C 2关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫作函数C 1、C 2的“对称中心”，如：求函数y x =的关于（1，0）的中心对称函数，可以在函数上取（0，0）和（1，1），两个点关于（1，0）中心对称点分别是（2，0）和（1，1-），这样我们就可以得到函数y x =关于（1，0）中心对称函数2y x =-．（1）求函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数；（2）若函数C 1：2y x b =+，对称中心是（0，b -），此时C 1的关于（0，b -）的中心对称函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，求b 的值；（3）若函数C 1：211y x =+，对称中心是（1，10），当04x ≤≤时，此时函数C 1关于（1，10）的中心对称函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，求k 的取值范围．【答案】（1）y=3x-8；）（2）b=43±；（3）57≤k≤2． 【分析】（1）由“中心对称函数”的概念解答即可；（2）在函数2y x b =+求出两个点关于（0，b -）的中心对称点，则得到函数2C 的解析式，再根据C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，得△=0，求出b 即可； （3）求出函数C 1：211y x =+关于（1，10）的中心对称函数2C ，再根据C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，得△≥0，求出k ，再根据x 的取值范围对k 进行检验．【详解】解：（1）由题意得：可在32y x =+上取（0，2）和（-23，0）， 两个点关于（1，0）的中心对称点分别是（2，-2）和（8,03）， 则得到函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数y=3x-8；（2）可在函数1C ：y=2x+b 上取（0，b ）和（-b ,02）， 两个点关于（0，b -）的中心对称点分别是（0，-3b ）和（,22b b -）， 则得到函数y=2x+b 关于（0，b -）的中心对称函数2C ： y=2x-3b ，又∵函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点， ∴2x+b=-2x22320x bx -+=△=29b 160-=b=±43（3）在函数C 1：211y x =+上取（0，11）、（1，12），两个点关于（1，10）的中心对称点分别是（2，9）、（1，8），则得到函数2C 的解析式：y=-245x x ++，当x=4时，y=5，∴A(4，5)，∵函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象在0≤x≤4上始终有交点，∴-245x x ++=kx+3k∴-2(4)530x k x k +-+-=∵△=2(4)+4(53)k k -⨯-=0∴22036k k -+=0解得：122,18k k ==，把A(4，5)代入y=kx+3k 得k=57， ∴k 的取值范围为57≤k≤2． 【点睛】本题考查了对“中心对称函数”的概念理解与运用和判别式的应用，掌握这些知识点是解题的关键． 9．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y ＝﹣2x +3的图象，求关于直线y ＝﹣x 的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y ＝ax 2+4ax +4a ﹣1的图象为C 1；①求C 1关于点R （1，0）的对称函数图象C 2的函数解析式；②若两抛物线与y 轴分别交于A 、B 两点，当AB ＝16时，求a 的值；（3）若直线y ＝﹣2x ﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P ，不论m 取何值，抛物线y ＝mx 2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标． 【答案】（1）y =1322x - ，(2) ①28161y ax ax a =-+-+ ，②910或7-10 （3）（1，1），(-2，7). 【分析】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32，0），求出这两点关于y =-x 对称点，代入y =k x +b ，求出k ，b 的值则可以得出解析式； （2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点代入C 1上，则可以求出C 2 的解析式； ②C 1与y 轴交于（0，4a -1）， C 2与y 轴交于（0，-16a +1）根据AB =16，列方程求出a 的值，（3）求出y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，根据抛物线不通过点P ：222323()(2)(2)3838y mx m x m x x x =+---=+--+ ，令220x x +-= ，得出x ，将x 的值代入y =-2x +3中，由于函数值得唯一性，得出点P 的坐标.【详解】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32 ，0）两点关于y =-x 对称点为（-3，0），（0，-32） 设y =x +b ，则0332k b b =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，解得1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ， 则1322y x =-- ， （2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点为（2-x ，-y ），(2-x ，-y )在C 1上，则()()224241y a x a x a -=-+-+-C 2:28161y ax ax a =-+-+，②C 1关于y 轴交于（0，4a -1）， C 2关于y 轴交于（0，-16a +1），AB =｜(4a -1)-(-16a +1)｜=16，｜2a -2｜=16，解得a =910或-710 ， （3）y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，抛物线:()222323223838y mx m x m x x m x ⎛⎫⎛⎫=+---=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令220x x +-= ，得x 1=1，x 2=-1，则抛物线经过（1，7-24 ），（-2，4124） 令x =1，y =-2x -3=1，令x =-2，y =-2x +3=7，点（1，1）（-2，7）在y =-2x +3上由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，故P 为(1，1)或(-2，7)．【点睛】 此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质．10．（2020·湖南长沙市·九年级月考）已知y 是关于x 的函数，若其图像经过点(,2)P t t ，则称点P 为函数图像上的“偏离点”．例如：直线3y x =-上存在“偏离点”(3,6)P --．（1）在双曲线1y x =上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由． （2）若抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭上有“偏离点”，且“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ，求22123ka w x x =+-的最小值（用含k 的式子表示）； （3）若函数21(2)24y x m t x n t =+-+++-的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当23m -≤≤时，n 的最小值为t ，求t 的值．【答案】（1）2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝；（2）2241632k k ++-；（2）4或1． 【分析】（1）根据“偏离点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“偏离点”；（2）设抛物线“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入抛物线的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有两个偏离点，则这两个偏离点的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，先由△的值确定a 的取值，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，再将所求式子代入w=x 12+x 22-3ka 进行变形，得到w 关于a 的二次函数，求最小值即可；（3）设函数“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入函数的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有一个偏离点，则△=0，得到n=（m-t ）2-t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t ，分三种情况讨论：①t ＜-2，列方程，方程无解，没有符合条件的t 值；②t ＞3，列方程，解出t 并取舍；③当-2≤t≤3，同理得t=1．【详解】（1）设存在这样的“偏离点”P ，坐标为(),2t t ，将点P 的坐标代入双曲线1y x=得： 12t t =，221t =，解得2t =±， 故存在两个“偏离点”，坐标为2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝． （2）设抛物线“偏离点”的坐标为(),2P x x ， 将点P 的坐标代入抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭中得 22122221239x x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭， 2212210239x ax a a -+--+=， ∵“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ， ∴1x 、2x 是方程2212210239x ax a a -+--+=的两个根， 22212410329a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯---+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 224221099a a a ⎛⎫∆=+--+≥ ⎪⎝⎭， 220a ∆=-+≥，∴1a ≤， ∵12243132a a x x +=-=-，2212214922192a a x x a a --+⋅==+--，()2221212122244222393233a ka a a ka ka w x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 28(4)493k w a a =-++， ∵809>， ∴抛物线开口向上，且对称轴：4363391628kk a --+=-=⨯ ， ∴若36316k a +=≥1时，即36+3k≥16，则当a=1时，w 的最小值是：893k -； 若36316k a +=＜1时，即36+3k ＜16，k ＜203-，则当36316k a +=时， 则w 小=28449849(4)3k ⨯⨯-⨯+=21313242k k ---=2241632k k ++- ； （3）设函数“偏离点”的坐标为(),2P x x ， 将点P 的坐标代入函数()21224y x m t x n t =+-+++-得 ()21224x x m t x n t =+-+++-， ()21204x m t x n t +-++-=， ∵存在唯一的一个“偏离点”，∴()()214204m t n t ∆=--⨯⨯+-=，()22n m t t =--+，这是一个n 关于m 的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m t =，对称轴左侧，n 随m 的增大而减小；对称轴右侧，n 随m 的增大而增大；①2t <-，当23m -≤≤时，在对称轴右侧递增，∴当2m =-时，n 有最小值为t ，即()222t t t ---+=，2260t t ++=， 44160∆=-⨯⨯<，方程无解，②3t >，当23m -≤≤时，在对称轴左侧递减，∴当3m =时，n 有最小值为t ，即()232t t t --+=，解得14t =243t =<（舍），③当23t -≤≤，当23m -≤≤时，n 有最小值为2t -+，∴2t t -+=，1t =．综上所述，t 的值为4+或1．【点睛】本题是一个阅读理解问题，考查了对函数“偏离点”的掌握和运用，还考查了反比例函数和二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，函数有最小值，当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．。

2021中考数学复习专题【实际问题与一元二次方程】复习专练1．某社区“百果园”水果店一直销售的是沙漠蜜瓜，1月份新引进一种金美人蜜瓜，其中金美人蜜瓜的销售单价是沙漠蜜瓜的倍，1月份，沙漠蜜瓜和金美人蜜瓜总计销售400kg，金美人蜜瓜的销售额为8640元，沙漠蜜瓜的销售额为4320元．（1）求金美人蜜瓜，沙漠蜜瓜的销售单价各为多少；（2）受疫情影响，水果销量急剧下降，于是百果园在4月推出“心享会员”活动，充值金额后不仅返还现金券，所有水果还可享受降价a%的折扣，非心享会员则需按原价购买，就金美人蜜瓜而言，4月销量比1月销量增加了a%，其中遇过心享会员购买的销量占4月金美人蜜瓜总销量的，不计会员充值费用以及返还的现金券，4月金美人蜜瓜的销售总额比1月金美人蜜瓜的销售总额提高了a%，求a的值．2．水蜜桃，因其鲜嫩多汁，香甜可口深受广大市民喜爱．近期是水蜜桃大量上市的日子，某水果店以12元每千克购进水蜜桃100千克进行销售．若在运输过程中质量损耗10%，其他费用忽略不计．（1）问每千克水蜜桃售价至少定为多少元，才能使销售完后的利润率不低于20%？（2）因水蜜桃销售情况良好，很快一抢而空，水果店本周又购进了第二批水蜜桃400千克，第二批水蜜桃的购进价格比第一批上涨了a%，由于天气原因，第二批水蜜桃在运输过程中质量损耗提高到a%，所以水果商决定提高售价，比第一批的最低售价提高a元，这样，第二批水蜜桃销售完后比第一批水蜜桃多赚1480元，求a的值．3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆藏书总量由2017年5万册增加到2019年7.2万册．（1）求该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率；（2）经统计知：在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书总量的年均增长率，2019年中外古典名著册数占藏书总量的10%，而在2017年中外古典名著册数仅占当年藏书总量的m%，请求出m的值．4．某小区物业一直用洗涤剂和消毒水对小区进行清洁消毒，已知1桶洗涤剂和4桶消毒水的价格为150元，2桶洗涤剂和2桶消毒水的价格为140元，该小区原来一周会消耗2桶洗涤剂和4桶消毒水．（1）求1桶洗涤剂和1桶消毒水的售价各是多少元？（2）新冠疫情期间物业加大了小区清洁消毒力度，现在该小区每周消耗洗涤剂的数量在原来一周的基础上增加了2m%，每周消耗的消毒水数量比原来一周消耗的多桶．疫情期间洗涤剂价格上涨了m%，因异地购买每桶还需另付邮费5元；每桶消毒水的价格上涨了50%，也因异地购买每桶还需另付邮费10元，现在该小区疫情期间每周购买洗涤剂和消毒水的费用（含邮费）比原来每周费用的4倍还少m元，求m的值．5．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．（1）求道路宽多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？6．“过雨荷花满院香，沉李浮瓜冰雪凉”，炎热的夏季正是各种水果大量上市的季节，香果园大型水果超市的江安李子和山东烟台的红富士苹果很受消费者的欢迎，苹果售价24元/千克，李子售价16元/千克．（1）若第一周苹果的平均销量比李子的平均销量多200千克，且这两种水果的总销售额为12800元，则第一周销售苹果多少千克？（2）该水果超市第一周按照（1）中苹果和李子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周苹果售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，李子的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了a%，求a的值．7．为了开展阳光体育运动，坚持让中小学生“每天锻炼一小时”，体育局做了一个随机调查，调查内容是：每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因．他们随机调查了340名学生，用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图（图1、图2）．根据图示，请回答以下问题：（1）“没时间”的人数是，并补全频数分布直方图；（2）2015年全市中小学生约18万人，按此调查，可以估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有万人；（3）在（2）的条件下，如果计划2017年全市中小学生每天锻炼未超过1h的人数减少到8.64万人，求2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率．8．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．9．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．（1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？（2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．10．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka 公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．参考答案1．解：（1）设沙漠蜜瓜的销售单价为x元，则金美人蜜瓜的销售单价为x元，依题意，得：+＝400，解得：x＝27，经检验，x＝27是原方程的解，且符合题意，∴x＝36．答：金美人蜜瓜的销售单价为36元，沙漠蜜瓜的销售单价为27元．（2）1月份金美人蜜瓜的销售数量为8640÷36＝240（千克）．依题意，得：36（1﹣a%）××240（1+a%）+36×（1﹣）×240（1+a%）＝8640（1+a%），整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为20．2．解：（1）设每千克水蜜桃售价为x元，依题意，得：100×（1﹣10%）x﹣12×100≥12×100×20%，解得：x≥16．答：每千克水蜜桃售价至少定为16元，才能使销售完后的利润率不低于20%．（2）依题意，得：（16+a）×400（1﹣a%）﹣12（1+a%）×400＝12×100×20%+1480，整理，得：a2﹣80a+1200＝0，解得：a1＝20，a2＝60，又∵a%＞10%，∴a＞40，∴a＝60．答：a的值为60．3．解：（1）设该校图书馆藏书总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），∴x＝0.2＝20%，答：该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率为20%．（2）由题意知：（7.2﹣5）×20%+5×m%＝7.2×10%，解得：m＝5.6．4．解：（1）设1桶洗涤剂的售价为x元，1桶消毒水的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：1桶洗涤剂的售价为元，1桶消毒水的售价为元．（2）依题意，得：[（1+m%）+5]×2（1+2m%）+[（1+50%）+10]×（4+）＝4×（×2+×4）﹣m，整理，得：13m2+6600﹣357500＝0，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去）．答：m的值为．5．解：（1）设道路宽x米，根据题意得：（50﹣2x）（30﹣x）＝1392，整理得：x2﹣55x+54＝0，解得：x＝1或x＝54（不合题意，舍去），故道路宽1米．（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：300×0.8y+200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y]≤23600，解得：y≤50．故最多选A种类型步道砖50平方米．6．解：（1）设第一周李子销售量为x千克．则苹果的平均销量为y千克，根据题意得：，解得：，答：第一周销售苹果400千克；（2）根据题意得：24（1﹣a%）×400（1+a%）+16×200（1+a%）＝12800（1+a%），∴a1＝60，a2＝0（舍去）．答：a的值为60．7．解：（1）∵随机调查了340名学生，∴锻炼未超过1h的中小学生有340×＝255人，又∵不喜欢的人数和其他的人数分别是120和20，∴“没时间”的人数为255﹣120﹣20＝115人，频数分布直方图如图所示：（2）根据扇形统计图知道：每天锻炼超过1h的百分比为18×＝4.5万人．故估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有4.5万人；（3）设2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为x．由题意得：18×0.75（1﹣x）2＝8.64，解得x＝0.2，x＝1.8（舍去）．答：2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为20%．故答案为：115；4.5．8．解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．9．解：（1）设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，依题意，得：，解得：．答：第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果150千克．（2）依题意，得：[10（1+m%）﹣5]×200（1+2m%）+（12﹣8）×100＝2090，整理，得：0.4m2+40m﹣690＝0，解得：m1＝15，m2＝﹣115（不合题意，舍去）．答：m的值为15．10．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．。

实际应用题实际应用题021.[2021·宜宾] 某市从2021年开场大力开展“竹文化〞旅游产业.据统计,该市2021年“竹文化〞旅游收入约为2亿元.预计2021年“竹文化〞旅游收入到达2.88亿元,据此估计该市2021年、2021年“竹文化〞旅游收入的年平均增长率约为()A.2%B.4.4%C.20%D.44%2.小明去超市购物,并按原路返回,往返均为匀速步行,小明离家的距离y(单位:米)与他出发的时间x(单位:分)之间的函数关系如图ZT2-1所示,那么小明在超市内购物花费的时间为 ()图ZT2-1A.20分B.25分C.30分D.35分3.某种手机每部售价为a元,如果售价每月的平均降低率为x,那么2个月后,这种手机每部的售价是元.(用含a,x的代数式表示)4.把m个练习本分给n个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果每人分5本,那么最后一个同学有练习本但缺乏5本,n 的值为.5.某校学生志愿效劳小组在“学雷锋〞活动中购置了一批牛奶到江阴儿童福利院看望儿童.如果分给每位儿童5盒牛奶,那么剩下18盒牛奶;如果分给每位儿童6盒牛奶,那么最后一位儿童分不到6盒,但至少能有3盒.那么这个儿童福利院的儿童最少有个,最多有个.6.某市方案建立一条总长为30000米的轻轨线,甲工程队平均每天能比乙工程队多建立20米,平均每天的经费也比乙工程队多40%.经测算:两个工程队单独完成这项工程所需总经费一样,求甲、乙两工程队每天各能建立多少米.7.[2021·南宁] 为响应国家全民阅读的号召,某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书,并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位:本).该阅览室在2021年图书借阅总量是7500本,2021年图书借阅总量是10800本.(1)求该社区的图书借阅总量从2021年至2021年的年平均增长率.(2)2021年该社区居民借阅图书人数有1350人,预计2021年到达1440人.如果2021年至2021年图书借阅总量的增长率不低于2021年至2021年的年平均增长率,那么2021年的人均借阅量比2021年增长a%,求a的值至少是多少.8.李明到离家2.1千米的学校参加九年级联欢会,到学校时发现演出道具还放在家中,此时距联欢会开场还有42分钟,于是他立即步行匀速回家,在家拿道具用了1分钟,然后立即匀速骑自行车返回学校.李明骑自行车到学校比他从学校步行到家少用了20分钟,且骑自行车的速度是步行速度的3倍.(1)李明步行的速度是多少?(2)李明能否在联欢会开场前赶到学校?9.某工厂用如图ZT2-2①所示的长方形和正方形纸板,做成如图②所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒. (1)现有正方形纸板162张,长方形纸板340张.假设要做两种纸盒共100个,有哪几种生产方案? (2)假设有正方形纸板162张,长方形纸板a 张,做成上述两种纸盒,纸板恰好用完.290<a<306,求a 的值.图ZT2-210.[2021·连云港] 某村在推进美丽乡村活动中,决定建立幸福广场,方案铺设一样大小规格的红色和蓝色地砖.经过调查,获取信息如下:购置数量低于5000块购置数量不低于5000块 红色地砖 原价销售 以八折销售 蓝色地砖原价销售以九折销售 如果购置红色地砖4000块,蓝色地砖6000块,需付款86000元;如果购置红色地砖10000块,蓝色地砖3500块,需付款99000元.(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各是多少元?(2)经过测算,需要购置地砖12000块,其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半,并且不超过6000块,如何购置付款最少?请说明理由.参考答案1.C2.C3.a (1-x )2[解析] ∵售价每月的平均降低率为x ,∴2个月后,这种手机每部的售价是a (1-x )2.4.5或6 [解析] 每人分3本,余8本,那么练习本的总数为3n+8.根据题意,得{3n +8-5(n -1)>0,3n +8-5(n -1)<5,解得4<n<6.5.∵n 为整数,∴n=5或6.5.19 21 [解析] 设有x 名儿童,那么有牛奶(5x+18)盒.假设每人分6盒,那么最后一名儿童分得的数量是(5x+18)-6(x-1)=24-x.根据题意,得{24-n <6,24-n ≥3.解得18<x ≤21.故这个儿童福利院的儿童最少有19人,最多有21人.6.解:设甲工程队平均每天能建立x 米,那么乙工程队平均每天能建立(x-20)米.根据题意,得30000n(1+40%)=30000n -20.解得x=70.经检验,x=70是原分式方程的解且符合题意,∴x-20=50.答:甲工程队平均每天能建立70米,乙工程队平均每天能建立50米.7.解:(1)设该社区的图书借阅总量从2021年至2021年的年平均增长率为x.根据题意,得 7500(1+x )2=10800,即(1+x )2=1.44. 解得:x 1=0.2,x 2=-2.2(舍去).答:该社区的图书借阅总量从2021年至2021年的年平均增长率为20%.(2)10800(1+0.2)=12960(本),10800÷1350=8(本),12960÷1440=9(本),(9-8)÷8×100%=12.5%.故a 的值至少是12.5. 8.解:(1)设李明步行的速度为x 米/分,那么骑自行车的速度为3x 米/分.根据题意,得2100n-21003n =20.解得x=70.经检验,x=70是原分式方程的解且符合题意. 答:李明步行的速度是70米/分.(2)210070+1+21003×70=41(分钟).∵41<42,∴李明能在联欢会开场前赶到学校.9.解:(1)设生产竖式纸盒x 个,那么生产横式纸盒(100-x )个.由题意,得{n +2(100-n )≤162,4n +3(100-n )≤340,解得38≤x ≤40.答:共有三种生产方案,方案一:生产竖式纸盒38个,横式纸盒62个;方案二:生产竖式纸盒39个,横式纸盒61个;方案三:生产竖式纸盒40个,横式纸盒60个.(2)设生产竖式纸盒x 个,那么生产横式纸盒y 个.由题意,得{n +2n =162,4n +3n =n .解得y=648-n 5.∵290<a<306,∴342<648-a<358,∵y 是整数,∴648-a=345,350,355,此时{n =293,n =20,n =71;{n =298,n =22,n =70;{n =303,n =24,n =69.∴a=303,298,293.10.解:(1)设红色地砖每块a 元,蓝色地砖每块b 元. 由题意,得{4000n +6000n ×0.9=86000,10000n ×0.8+3500n =99000,解得{n =8,n =10. 答:红色地砖每块8元,蓝色地砖每块10元.(2)设购置蓝色地砖x 块,那么购置红色地砖(12000-x )块,所需的总费用为y 元. 由题意知x ≥12(12000-x ),解得x ≥4000.又x ≤6000,所以蓝砖块数x 的取值范围为4000≤x ≤6000.当4000≤x<5000时,y=10x+8×0.8(12000-x )=76800+3.6x. 所以x=4000时,y 有最小值91200.当5000≤x ≤6000时,y=0.9×10x+8×0.8(12000-x )=2.6x+76800.所以x=5000时,y有最小值89800.因为89800<91200,所以购置蓝色地砖5000块,红色地砖7000块,付款最少,最少费用为89800元.。

2021中考数学复习专题【一元二次方程】专项提升训练一．选择题1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4、5、81B．4、﹣5、81C．4、﹣5、﹣81D．﹣4、﹣5、﹣812．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A．6人B．7人C．8人D．9人3．关于x的方程3x2﹣2mx＝15，有一个根为3，则m的值等于（）A．2B．﹣C．﹣2D．4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣925．对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根6．一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣且k≠0B．k≥﹣1C．k≤﹣1且k≠0D．k≥﹣1或k≠07．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，则另一根和k的值分别为（）A．x＝﹣3，k＝﹣3B．x＝3，k＝﹣3C．x＝3，k＝3D．x＝﹣3，k＝38．已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．B．4C．D．9．已知关于x的方程x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，则k的值为（）A．3B．6C．﹣6D．±610．如果x＝4是关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的一个根，则另一个根是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝1D．与p有关，不能确定二．填空题11．方程（2x﹣3）x＝3（2x﹣3）的根是．12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是．13．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1，x2满足，则m＝．15．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为．三．解答题16．按照要求解方程（1）x2+2x﹣2＝0（公式法）；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0（因式分解法）．17．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围：（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．18．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留2米宽的小门EF（不用篱笆），设AD长为x米，AB长为y米．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．19．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？20．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝﹣2．”（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝5x+81，整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．故选：C．2．解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝42，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．故选：B．3．解：∵关于x的方程3x2﹣2mx＝15的一个根是3，∴3×32﹣6m＝15，解得m＝2．故选：A．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．6．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝4+8k≥0，k≠0，解得：k≥﹣且k≠0，故选：A．7．解：当x＝1时，1+k﹣1﹣3＝0，解得：k＝3，则x2+2x﹣3＝0，设方程x2+2x﹣3＝0的解为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣2，∵x1＝1，∴x2＝﹣3．∴另一根和k的值分别为x＝﹣3，k＝3．故选：D．8．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤，∴m+n的最大值为，9．解：∵（x﹣m）2＝0，∴x2﹣2mx+m2＝0，∵x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，∴m2＝9，则m＝±3，∴k＝2m＝±6，故选：D．10．解：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，x2﹣5x+6﹣p2＝0，设方程的另一个解为x＝t，根据题意得4+t＝5，解得t＝1，∴另一个根是x＝1．故选：C．二．填空题11．解：移项得，（2x﹣3）x﹣3（2x﹣3）＝0，分解因式得：（2x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝，x2＝3．故答案为：x1＝，x2＝3．12．解：设该店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．故答案是：20%．13．解：∵y2﹣y﹣＝0，∴y2﹣y+＝1，∴（y﹣）2＝1，故答案为（y﹣）2＝1．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），∵x12+x22＝14，∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∴p＝﹣3，q＝8，则p+q＝﹣3+8＝5，故答案为：5．三．解答题16．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝＝﹣1，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1＝，x2＝8．17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，∴k的取值范围为k≤8；（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣2，∴＝x1x2﹣2，∴＝k+1﹣2，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，∴k1＝11，k2＝﹣11，∵k≤8，∴k＝﹣11．18．解：（1）∵AD＝BC＝x米，AB+AD+BC＝34+2＝36（米），∴AB＝（36﹣2x）米．∵，∴9≤x≤17．（2）依题意，得：x（36﹣2x）＝160，整理，得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．19．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2＝256，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低y元，则每天可售出（200+45y）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣y）（200+45y）＝2125，整理，得：9y2﹣50y+25＝0，解得：y1＝5，y2＝．∵要尽量减少库存，∴y＝5．答：售价应降低5元．20．解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：∵x2+2x﹣8＝0，∴x2+2x＝8，∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，则x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x1＝2，x2＝﹣4；（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，∴x2+2nx＝8n2，∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，∴（x+n）2＝9n2，∴x+n＝±3n，∴x1＝2n x2＝﹣4n．。

2021年湖南省湘潭市中考数学总复习：一元二次方程一．选择题（共7小题）1．一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（）A．x＝6B．x=−2 3C．x1＝6，x2=−23D．x1＝﹣6，x2=232．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2×i＝（﹣1）×i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n×i＝（i4）n×i＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013+…+i2019的值为（）A．0B．1C．﹣1D．i3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0以下正确的是（）A．（x﹣3）2＝2B．（x﹣3）2＝11C．（x+3）2＝11D．（x+3）2＝2 4．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．一元二次方程（x﹣1）2＝2x+3的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根6．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥147．某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）第1 页共31 页。

2021模拟年中考数学复习专题练：《分式方程实际应用》1．在抗击“新冠肺炎”战役中，某公司接到转产生产1440万个医用防护口罩补充防疫一线需要的任务，临时改造了甲、乙两条流水生产线．试产时甲生产线每天的产能（每天的生产的数量）是乙生产线的2倍，各生产80万个，甲比乙少用了2天．（1）求甲、乙两条生产线每天的产能各是多少？（2）若甲、乙两条生产线每天的运行成本分别是1.2万元和0.5万元，要使完成这批任务总运行成本不超过40万元，则至少应安排乙生产线生产多少天？（3）正式开工满负荷生产3天后，通过技术革新，甲生产线的日产能提高了50%，乙生产线的日产能翻了一番．再满负荷生产13天能否完成任务？2．某口罩生产厂在春节期间接到紧急任务，要求几天内生产出70万只口罩，为了战胜疫情，口罩厂工人愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂口罩生产线进行生产，结果每天比原来多生产3万只，而且提前了3天完成了任务，问原来要求几天完成这项紧急任务？3．在我县创建“生态保护示范县”活动中，某社区计划对面积为3600m2的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍．如果两队各自独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天，求甲，乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化？4．九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍．求慢车与快车的速度各是多少？5．某服装加工厂甲、乙两个车间共同加工一款休闲装，且每人每天加工的件数相同，甲车间比乙车间少10人，甲车间每天加工服装400件，乙车间每天加工服装600件．（1）求甲、乙两车间各有多少人；（2）甲车间更新了设备，平均每人每天加工的件数比原来多了10件，乙车间的加工效率不变，在两个车间总人数不变的情况下，加工厂计划从乙车间调出一部分人到甲车间，使每天两个车间加工的总数不少于1314件，求至少要从乙车间调出多少人到甲车间．6．某公司需要采购A、B两种笔记本，A种笔记本的单价高出B种笔记本的单价10元，并且花费300元购买A种笔记本和花费100元购买B种笔记本的数量相等．（1）求A种笔记本和B种笔记本的单价各是多少元；（2）该公司准备采购A、B两种笔记本共80本，若A种笔记本的数量不少于60本，并且采购A、B两种笔记本的总费用不高于1100元，那么该公司有种购买方案．7．哈市红十字预计在2019年儿童节前为郊区某小学发放学习用品，联系某工厂加工学习用品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍．（1）求手工每小时加工产品的数量；（2）经过调查该小学的小学生的总数不超过1332名，每名小学生分发两个学习用品，工厂领导打算在两天内（48小时）完成任务，打算以机器加工为主，同时人工也参与加工（人工与机器加工不能同时进行），为了保证按时完成加工任务，人工至多加工多少小时？8．甲、乙两个筑路队共同承担一段一级路的施工任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用15天．且甲队单独施工60天和乙队单独施工40天的工作量相同．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？（2）若甲、乙两队共同工作了4天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？9．为维护市区的生态环境，政府决定对市区周边水域的水质进行改善，这项工程由甲、乙两个工程队承包，乙工程队单独施工140天后甲工程队加入，甲、乙两个工程队合作40天后，共完成总工程的，且甲工程队每天的施工量是乙工程队的3倍．（1）求甲工程队单独完成这项工程需要多少天？（2）若要求乙工程队施工工期不超过300天，则甲工程队至少要施工多少天？10．某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条500米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务．（1）求实际每天挖掘多少米？（2）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过70天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？11．节能又环保的油电混合动力汽车，既可以用油做动力行驶，也可以用电做动力行驶．比亚迪油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为96元；若完全用电做动力行驶，则费用为36元．已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？12．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间又用2800元购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）求该商店第一次购进水果多少千克？（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售一段时间后，将最后剩下的100千克按照标价的半价出售．售完全部水果后，利润不低于1700元，则最初每千克水果的标价至少是多少？13．某校为美化校园，计划对面积为1100m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为200m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.35万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？14．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该商场第一次购进这种运动服多少套？（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率＝×100%．）15．某周日，珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发，沿同一条路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应节能环保，绿色出行的号召，两人步行，已知珂铭的速度是小雪的速度的1.2倍，结果珂铭比小雪早6分钟到达．（1）求小雪的速度；（2）活动结東后返回，珂铭与小雪的速度均与原来相同，若小雪计划比珂铭至少提前6分钟回到小区，则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发？16．一项工程，甲队单独完成比乙队单独完成少用8天，甲队单独做3天的工作乙队单独做需要5天．（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需几天？（2）甲队每施工一天则需付给甲队工程款5.5万元，乙队每施工一天则需付给乙队工程款3万元．该工程先由甲、乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩下的工程．若要求完成此项工程的工程款不超过65万元，则甲、乙两队最多合作多少天？17．八（1）班为了配合学校体育文化月活动的开展，同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳．已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元．若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳，则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半．（1）求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元？（2）双11期间，商店老板给予优惠，购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳，如果八（1）班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的2倍还多10，且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过350元，那么八（1）班最多可购买多少副羽毛球拍？18．国庆70华诞期间，各超市购物市民络绎不绝，呈现浓浓节日气氛．“百姓超市”用320元购进一批葡萄，上市后很快脱销，该超市又用680元购进第二批葡萄，所购数量是第一批购进数量的2倍，但进价每市斤多了0.2元．（1）该超市第一批购进这种葡萄多少市斤？（2）如果这两次购进的葡萄售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每市斤葡萄的售价应该至少定为多少元？19．在开任公路改建工程中，某工程段将由甲，乙两个工程队共同施工完成，据调查得知，甲，乙两队单独完成这项工程所需天数之比为2：3，若先由甲，乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队做15天完成．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）此项工程由两队合作施工，甲队共做了m天，乙队共做了n 天完成．已知甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费用为8万元，若工程预算的总费用不超过840万元，甲队工作的天数与乙队工作的天数之和不超过80天，请问甲、乙两队各工作多少天，完成此项工程总费用最少？最少费用是多少？20．某学校计划选购A、B两种图书．已知A种图书每本价格是B 种图书每本价格的2.5倍，用1200元单独购买A种图书比用1500元单独购买B种图书要少25本．（1）A、B两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该学校计划购买B种图书的本数比购买A种图书本数的2倍多8本，且用于购买A、B两种图书的总经费不超过1164元，那么该学校最多可以购买多少本B种图书？参考答案1．解：（1）设乙条生产线每天的产能是x万个，则甲条生产线每天的产能是2x万个，依题意有﹣＝2，解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，2x＝2×20＝40，故甲条生产线每天的产能是40万个，乙条生产线每天的产能是20万个；（2）设安排乙生产线生产y天，依题意有0.5y+1.2×≤40，解得y≥32．故至少应安排乙生产线生产32天；（3）（40+20）×3+[40×（1+50%）+20×2]×13＝180+1300＝1480（万个），1440万个＜1480万个，故再满负荷生产13天能完成任务．2．解：设原来每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+3）万只口罩，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝7，经检验，x＝7是原分式方程的解，且符合题意，∴＝＝10．答：原来要求10天完成这项紧急任务．3．解：设乙工程队每天能完成xm2的绿化，则甲工程队每天能完成2xm2的绿化，依题意，得：﹣＝6，解得：x＝50，经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，∴2x＝100．答：甲工程队每天能完成100m2的绿化，乙工程队每天能完成50m2的绿化．4．解：设慢车与快车的速是xkm/h，则快车的速度是1.2xkm/h，根据题意得﹣＝，解得：x＝50，检验：经检验x＝50是原方程的根，答：慢车速度为50千米/小时，快车速度为60千米/小时．5．解：（1）设甲车间有x人，乙车间有（x+10）人，则：，解得：x＝20，经检验：x＝20是原分式方程的解．答：甲车间有20人，乙车间有30人．（2）设从乙车间调a人到甲车间；则：，解得：a≥11.4．因为a为正整数，所以a的最小值为12．答：从乙车间至少调12人到甲车间．6．解：（1）设A种笔记本的单价是x元，则B种笔记本的单价是（x ﹣10）元，根据题意得，＝，解得：x＝15，经检验：x＝15是原方程的根，∴x﹣10＝5，答：A种笔记本和B种笔记本的单价各是15元和5元；（2）设该公司准备采购A种笔记本a本，采购B种笔记本（80﹣a）本，根据题意得，15a+5（80﹣a）≤1100，解得：a≤70，∵A种笔记本的数量不少于60本，∴60≤a≤70，（a为正整数），∴该公司有11种购买方案．故答案为：11．7．解：（1）设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件，根据题意，得：×＝，解得x＝27，经检验：x＝27是原分式方程的解，答：手工每小时加工产品27件；（2）设人工要加工a小时，根据题意，得：27a+（2×27+9）（48﹣a）≥2×1332，解得a≤10，答：人工至多加工10小时．8．解：（1）设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需（x+15）天根据题意得经检验x＝30是原方程的解，则x+15＝45（天）答：甲队单独完成此项任务需45天，乙队单独完成此项任务需30天．（2）解：设甲队再单独施工y天，依题意，得，解得y≥4．答：甲队至少再单独施工4天．9．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则甲每天的施工量为，乙每天的施工量为，由题意得140×+40（+）＝∴+＝∴x＝200经检验x＝200是原方程的解，且符合问题的实际意义．答：甲工程队单独完成这项工程需要200天．（2）由（1）可知，乙工程队单独完成这项工程需要3×200＝600天设甲工程队至少要施工y天，由题意得≤300∴y≥199答：甲工程队至少要施工199天．10．解：（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘1.5x米，根据题意得：﹣＝25，解得x＝4．经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意，则1.5x＝6答：实际每天挖掘6米．（2）设每天还应多挖掘y米，由题意，得（70﹣）（6+y）≥500﹣300，解得y≥4．答：每天还应多挖掘4米．11．解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.5）元，可得：＝，解得：x＝0.3，经检验x＝0.3是原方程的解，∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是36÷0.3＝120（千米）；（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.5＝0.8（元），设汽车用电行驶ykm，可得：0.3y+0.8（120﹣y）≤50，解得：y≥92，所以至少需要用电行驶92千米．12．解：（1）设第一次购进水果x千克，依题意可列方程：．解得x＝200．经检验：x＝200是原方程的解．答：第一次购进水果200千克；（2）由（1）可知，二次共购进水果600千克，设最初水果标价为y元，依题意可列不等式：500y+100×﹣3800≥1700．解得y≥10．答：最初每千克水果标价至少为10元．13．解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x（m2），根据题意得：﹣＝4，解得：x＝25，经检验x＝25是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是25×2＝50（m2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是50m2、25m2；（2）设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.35y+×0.25≤8，解得：y≥20，答：至少应安排甲队工作20天．14．解：（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x 套，由题意得，﹣＝10，解得：x＝200，经检验：x＝200是原分式方程的解，且符合题意，答：该商场第一次购进200套；（2）设每套售价是y元，两批运动服总数：200+400＝600由题意得：600y﹣32000﹣68000≥（32000+68000）×20%，解得：y≥200，答：每套售价至少是200元．15．解：设小雪的速度是x米/分钟，则珂铭速度是1.2x米/分钟，依题意得：，解得：x＝50，经检验x＝50是原方程的解，答：小雪的速度是50米/分钟．（2）1.2×50＝60（米/分钟），1800÷50＝36（分钟），1800÷60＝30（分钟），设小雪比珂铭提前a分钟出发，根据题意得，a+30﹣36≥6，解得a≥12，答：小雪至少要比珂铭提前出发12分钟．16．解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需（x+8）天根据题意得：＝解得x＝12经检验x＝12是原方程的解当x＝12时，x+8＝20答：甲队单独完成此项工程需12天，乙队单独完成此项工程需20天．（2）设甲乙两队合作m天，根据题意得：5.5m+×3≤65，解得m≤10；又∵（+）m≤1，∴m≤7.5，∴甲乙两队最多合作7天．答：甲乙两队最多合作7天．17．解：（1）设购买一副羽毛球拍需要x元，则购买一根跳绳需要（x﹣20）元，依题意，得：＝×，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，∴x﹣20＝5．答：购买一副羽毛球拍需要25元，购买一根跳绳需要5元．（2）设八（1）班购买m副羽毛球拍，则购买（2m+10）根跳绳，依题意，得：25m+5（2m+10﹣m）≤350，解得：m≤10．答：八（1）班最多可购买10副羽毛球拍．18．解：（1）设该超市第一批购进这种葡萄x市斤，则第二批购进这种葡萄2x市斤，依题意，得：﹣＝0.2，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：该超市第一批购进这种葡萄100市斤．（2）设每市斤葡萄的售价应该定为y元，依题意，得：（100+100×2）y﹣320﹣680≥（320+680）×20%，解得：y≥4．答：每市斤葡萄的售价应该至少定为4元．19．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要2x天，则乙工程队单独完成这项工程需要3x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴2x＝60，3x＝90．答：甲工程队单独完成这项工程需要60天，乙工程队单独完成这项工程需要90天．（2）由题意，得：+＝1，∴n＝90﹣m．设施工总费用为w万元，则w＝15m+8n＝15m+8×（90﹣m）＝3m+720．∵两队施工的天数之和不超过80天，工程预算的总费用不超过840万元，∴，∴20≤m≤40．∵15＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m＝20时，完成此项工程总费用最少，此时n＝90﹣m＝60，w＝780万元．答：甲、乙两队各工作20，60天，完成此项工程总费用最少，最少费用是780万元．20．解：（1）设B种图书每本价格为x元，则A种图书每本价格为2.5x元，依题意，得：﹣＝25，解得：x＝40.8，经检验，x＝40.8是原方程的解，且符合题意，∴2.5x＝102．答：A种图书每本价格为102元，B种图书每本价格为40.8元．（2）设购买y本A种图书，则购买（2y+8）本B种图书，依题意，得：102y+40.8（2y+8）≤1164，解得：y≤4．∵y为整数，∴y的最大值为4，∴（2y+8）的最大值为16．答：该学校最多可以购买16本B种图书．。

中考数学一元二次方程复习题及答案43．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x ，则由题意得：128+128（1+x ）+128（1+x ）2＝608化简得：4x 2+12x ﹣7＝0∴（2x ﹣1）（2x +7）＝0，∴x ＝0.5＝50%或x ＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．44．2019新型冠状病毒（2019﹣nCoV ），因2019年武汉出现的病毒性肺炎病例而被发现，为防治疫情的蔓延，专家们建议大家出门都要佩戴口罩，因此口罩的销售量大增．某药店销售一种口罩，经市场调查发现：2020年2月以100元/盒的进价购进一款口罩2000盒，以150元/盒的售价迅速销售完．3月我国疫情得到控制，多家爱心企业也转产该款口罩，所以口罩的储备量迅速上升，销售人员根据市场调研发现，该款口罩每盒的售价在2月售价基础上每降价5元，月销量就会相应增加100盒．（1）若该药店3月计划销售该款口罩不超过2600盒，则该款口罩3月的售价每盒至少多少元？（2）实际上，3月该药店购进该款口罩的进价比2月便宜了m 2%，而实际售价在2月基础上降了m 元，且购进的口罩全部销售完，已知该款口罩3月的销售利润比2月减少m 5%，求m 的值．【解答】解：（1）设该款口罩3月的售价为x 元/盒，依题意，得：2000+150−x 5×100≤2600， 解得：x ≥120．答：该款口罩3月定价至少为120元/盒． （2）依题意，得：[（150﹣m ）﹣100（1−m 2%）]（2000+m 5×100）＝2000×（150﹣100）（1−m 5%），整理，得：m 2﹣20m ＝0，解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝20．答：m的值为20．。

中考复习应用题专题一、列方程解应用题的一般步骤：1.认真审题;找出已知量和未知量;以及它们之间的关系；2.设未知数;可以直接设未知数;也可以间接设未知数；3.列出方程中的有关的代数式；4.根据题中的相等关系列出方程；5.解方程；6.答题。

注：列方程解应用题的关键是找出题中的等量关系二、常见的应用题类型行程问题：1)追及问题：a、两个物体在同一地点不同时间同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程=乙路程甲速度×甲时间=乙速度×（甲时间+乙先走的时间）b、两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点的行程问题等量关系：甲路程－乙路程=原相距路程2)相遇问题：两个物体同时从不同地点出发相向而行最后相遇的行程问题等量关系：甲路程+乙路程=相遇路程甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间=原两地的路程3)一般行程问题：等量关系：速度×时间=路程4)航行问题：等量关系：顺水速度=静水速度+水流速度逆水速度=静水速度－水流速度练习：1、一队学生去校外进行军事野营训练;他们以5千米/时的速度行进;走了18分钟的时候;学校要将一个紧急通知传给队长;通讯员骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去;通讯员用多少时间可以追上学生队伍？2、甲、乙两地相距500 km;新修的高速公路开通后;在甲、乙两地问行驶的长途客运车平均速度提高了40％;而从甲地到乙地的时间缩短了2.5 h;求长途客运车原来的平均车速。

(结果精确到1 km／h)3、客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶;客车长150米;货车长250米.如果两车相向而行;那么从两车车头相遇到车尾离开共需10秒钟；如果客车从后面追货车;那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需要1分40秒.求两车的速度.4、轮船顺流航行100km和逆流航行60km所用时间相等;已知轮船在静水中航行的速度为21km/h;求水流速度。

2021年中考数学复习题：考点27 正方形一．选择题（共4小题）1．（无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．（宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，S正方形ABCD=，∴S阴=故选：B．3．（湘西州）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．4．（张家界）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共7小题）5．（武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．6．（呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H 为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt △ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．7．（青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．8．（咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．（江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．10．（潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．11．（台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为+3．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG 的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，即（a+b）2=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为： +3．三．解答题（共6小题）12．（盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；（2）连接AC，四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．（白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．15．（潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM 于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x ﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．（湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．17．（遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

2021届中考实数及其运算练习卷一、选择题1.下列选项中，比小的数是A. B. 0 C. D.2.数1，，0，中最小的是（）A. 1B. 0C.D. —23.下列各数中，比小的数是A. —3B. —1C. 0D. 24.下列各数中最大的负数是A. B. C. —1 D. —35.下列各组数比较大小，判断正确的是A. B. C. D.6.某市有一天的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高A. B. C. D.7.计算的结果是A. B. C. 1 D. 58.的值是A. B. 1 C. 5 D.9.下列各对数中，数值相等的是A. 与B. 与C. 与D. 与10.的倒数是A. B. C. 2021 D.11.下列各式中结果为负数的是A. B. C. D.12.下列算式中，运算结果为负数．．的是A. B. C.—（—3）D.13.九章算术中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为A. B. C. D.14.数轴上到点的距离为5的点表示的数为A. B. C. 3或 D. 5或15.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是A. B.C. D.16.若a与5互为相反数，则等于A. 0B. 5C. 10D.17.的相反数是A. 0B.C.D. 2018.的倒数等于A. 2020B.—2020C.D.19.已知实数x，y满足，则代数式的值为A. 1B. —1C. 2021D. —202120.在中，已知、都是锐角，，那么的度数为A. B. C. D.21.若将“收入100元”记作“元”，则“支出50元”应记作（）A. 元B. 元C. 元D. 元22.的相反数为A. B. 3 C. 0 D. 不能确定23.下列四个数中最大的数是A. 0B.C.D.24.下列数中，是无理数的是A. B. 0 C. D.25.的相反数是A. 2020B.C.D.26.计算，结果正确的是A. —4B. —3C. —2D. —127.在，，，0，，中，负数的个数有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个28.若实数a、b在数轴上对应的点如图，下列结论正确的共有（），，，，；A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个29.在有理数、、、中负数有A. 4B. 3C. 2D. 130.数a，b在数轴上的位置如图所示，下列式子中错误的是（）A. B. C. D.31.的平方根是A. 4B.C.D.32.下列说法正确的是A. 是25的算术平方根B. 是64的立方根C. 是的立方根D. 的平方根是33.的平方根是A. B. C. D.二、填空题34.截至2020年11月17日凌晨，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器已在轨飞行116天，距离地球约63800000千米，请将63800000用科学记数法表示________．35.月球的半径约为1738000m，把1738000这个数用科学记数法表示为．36.5G是第五代移动通信技术，其网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，正常下载一部高清电影约需1秒．将1300000用科学记数法表示为______．37.科学家们测得光在水中的速度约为225000000米/秒，数字225000000用科学记数法表示为．38.截止2020年，世界总人口已接近于76亿人，用科学记数法可表示为．39.实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为，数字用科学记数法表示为______．40.是大气压中直径小于或等于的颗粒物，将用科学记数法表示为________．41.随着人们对环境的重视，新能源的开发迫在眉睫，石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是，这个数据用科学记数法表示是________．三、解答题42.计算：．43.计算：．44.计算：．45.计算：；46.计算：．47.计算：48.计算：．49.计算：．50.计算：．51. 计算：(π－3.14)0+(12)－1－|－2|－(－1)2020．52. 计算：|－3|+(－1) 2020×(π－3.14) 0－(−13)−2+tan45°．53.计算: |3－2|+(π－2021)0－(13)－1+3tan30°．54. 计算：2cos45°+(－12)－2+(2020－2)0+|2－2|．55.计算: │－3│+(－tan45°)3×(π－3.14)0－(－12)－3－(3＋2)(3－2)56.计算：|－2|+π0－16+327÷3＋2cos45°．答案和解析1.【答案】D【解析】先比较数的大小，再得出选项即可．能熟记有理数的大小比较法则的内容是解此题的关键．解：A、，故本选项不符合题意；B、，故本选项不符合题意；C、，故本选项不符合题意；D、，故本选项符合题意；故选：D．2.【答案】D【解析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．解：，所以最小的数是．故选D．3.【答案】A【解析】有理数的大小比较．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小，根据有理数大小比较法则解答即可．【解答】解：，比小的数是，故选A．4.【答案】A【解析】根据有理数的大小比较即可求出．解题的关键是熟练运用有理数的大小比较法则，本题属于基础题型．特别记住：两个负数，绝对值大的其值反而小．解：因为，所以最大的负数是，故选：A．5.【答案】D【解析】解：，选项A不符合题意；，选项B不符合题意；，选项C不符合题意；，选项D符合题意．故选：D．有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．6.【答案】A【解析】有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：．故选：A．7.【答案】D【解析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．解：．故选：D．8.【答案】A【解析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．解：．故选：A．9.【答案】C【解析】分别求出选项中的每一项，，，，，，，，即可求解．牢固掌握有理数的乘方和乘法运算法则是解题的关键．解：，，不正确；，，不正确；，，C正确；，，不正确；故选：C．10.【答案】B【解析】求一个数的倒数，掌握求一个整数的倒数就是写成这个整数分之一是解题的关键．解：的倒数是，故选：B．11.【答案】D【解析】根据相反数、有理数的乘方、绝对值，解析化简即可解答．解决本题的关键是明确正数和负数的概念．解：A、，是正数，故错误；B、，是正数，故错误；C 、，是正数，故错误；D 、，是负数，正确．故选：D．12.【答案】B【解析】本题考查了正数和负数，涉及的知识点有绝对值的性质、有理数的乘方、相反数，属于基础题，难度较易．将每一项的式子进行化简，然后根据负数的定义进行判断即可．【解答】解：A、，是正数；B、，是负数；C、，是正数；D、，是正数，故选B．13.【答案】A【解析】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是理解正负数的意义．根据相反意义的量可以用正负数来表示，高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为米．【解答】解：如果高于海平面200米记为米，那么低于海平面300米应记为米．故选：A．14.【答案】C【解析】设未知数，根据数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，列方程求解即可．数形结合是常用的方法．解：设这个数为x，由题意得，，或，解得，或．故选：C．15.【答案】C【解析】由数轴知，再根据有理数的加法法则和乘法法则计算可得．解题的关键是掌握数轴上右边的数总是大于左边的数及有理数的加法法则和乘法法则．由数轴知，则A选项错误．B.，此选项错误；C.，此选项正确；D.，此选项错误；故选：C．16.【答案】C【解析】根据a与5互为相反数，可得：，据此求出等于多少即可．解：与5互为相反数，，故选：C．17.【答案】B【解析】直接利用零指数幂的性质以及相反数的定义分析得出答案．正确把握相关定义是解题关键．解：，则1的相反数是．故选：B．18.【答案】C【解析】根据绝对值性质和倒数的概念求解可得．解题的关键是掌握乘积是1的两数互为倒数．解：，即2020的倒数等于，故选：C．19.【答案】A【解析】直接利用非负数的性质进而得出x，y的值，即可得出答案．正确得出x，y的值是解题关键．解：，，，解得：，，则．故选：B．20.【答案】C【解析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，进而得出，，即可得出答案．正确得出，是解题关键．解：，，，，，，，的度数为：．故选：C．21.【答案】B【解析】解：如果将“收入100元”记作“元”，那么“支出50元”应记作“元”，故选：B．22.【答案】B【解析】解：的相反数是3，故选：B．根据相反数的定义进行解答即可．23.【答案】A 【解析】解：根据题意得：，则最大的数是0，故选：A ．24.【答案】D 【解析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：带有根号且开方开不尽的数，无限不循环小数，某些含有兀的数．【解答】解：，0，31是有理数，是无理数．故选D ． 25.【答案】A 【解析】解：的相反数是2020，故选：A ．26.【答案】C 【解析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得，再根据有理数的减法法则进行计算．解：原式．故选：C ．27.【答案】C 【解析】先根据有理数的乘方、绝对值、相反数化简，再根据负数的定义即可．解决本题的关键是先根据有理数的乘方、绝对值、相反数化简．解：，，，，负数有：，，，，负数的个数有4个，故选：C ．28.【答案】B 【解析】根据各点在数轴上位置即可得，且，再根据有理数的四则运算法则判断即可． 解：由题意可知，且， ，故正确；，故错误； ，故错误；，故错误； ，故正确；，故正确．正确的有共3个． 故选：B ．29.【答案】B 【解析】先化简题目中的数字即可解答本题． 解：， ， ， ，有理数、、、中负数有3个，故选：B ．30.【答案】B 【解析】本题考查了数轴，数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．根据数轴表示数的方法得到，数a表示的点比数b表示点离原点远，则；；，．【解答】解：根据题意得，，；；，数a表示的点比数b表示点离原点远，，选项ACD正确，选项B不正确．故选B．31.【答案】D【解析】根据平方根的定义，即一个数的平方等于a，则这个数叫a的平方根．注意：一个正数的平方根有两个，并且它们互为相反数．解：，的平方根为，则的平方根是．故选：D．32.【答案】C【解析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义解答即可．解题的关键是明确它们各自的计算方法．解：A、是25的平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；B、4是64的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；C、是的立方根，原说法正确，故此选项符合题意；D、，16的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意．故选：C．33.【答案】D【解析】首先根据算术平方根的定义求出的值，再根据平方根的定义求2的平方根．注意此题求的是的平方根，而不是4的平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．解：，2的平方根为的平方根为．故选：D．34.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【解答】解：将将63800000用科学记数法表示为，故答案为．35.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【解答】解：．故答案为．36.【答案】【解析】解：将数据1300000用科学记数法可表示为：．故答案为：．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．37.【答案】【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同解答即可．【解答】解：，故答案为：．38.【答案】【解析】此题考查科学记数法、绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．可得出答案．【解答】解：76亿，故答案是：．39.【答案】【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．故答案为：．40.【答案】【解析】解：，故答案为：．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．41.【答案】【解析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：．答案:．42.【答案】解：原式．【解析】本题考查的知识点比较多：绝对值、特殊角的三角函数值、0指数幂、负整数指数幂、二次根式的运算的有关内容，熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．43.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查的是实数的运算，涉及有理数的乘方，绝对值，特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的有关知识，先将给出的式子进行变形，然后再计算即可．44.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查了实数的运算，根据题意先运用法则计算零指数幂和负整数指数幂及利用特殊角三角函数值计算最后一项，然后合并即可．45.【答案】解：原式【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二、三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算，最后计算加减即可得到结果．46.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查实数的运算，零指数幂与负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握法则是解题的关键.第一项根据负整数指数幂的法则计算，第二项根据零指数幂的法则计算，第三项根据特殊角的三角函数值计算，第四项根据二次根式的性质化简，然后算乘法，最后算加减即可．47.【答案】解：原式．【解析】本题主要考查了带特殊角三角函数的实数运算，考查了负整数指数幂，零指数幂、绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键.直接根据特殊角三角函数、绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂的性质化简式子，然后计算可得答案．48.【答案】解：原式．【解析】本题考查代数式的值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂及特殊角的三角函数值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．解答此题可先求出负整指数幂，零整指数幂的值，写出角的正弦值，并化简绝对值，然后再加减即可．49.【答案】解：原式．【解析】直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．50.【答案】解：【解析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．51.原式==1+2-2-1=0．52.原式=3+1×1-9+1=3+1-9+1=4-9+1=-4．53.原式＝2－3+1－3+3=0．54.原式＝2－2+1+2－2＝1．55.原式＝3-1×1+8－(9－2)=3-1+8－7=3．56.计算：|－2|+π0－16+327÷3＋2cos45°．56.原式=2+1—4+1+1=1.。

2021年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021B．2021C．﹣D．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×1054．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27B．12C．7D．55．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a66．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．77．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN ＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是个．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（）x+y；（2）+＝．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝，b＝；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．（1）求证：△AEC≌△BFD．（2）判断四边形DECF的形状，并证明．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m 的最小值．2021年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项请将正确的选项填涂到答题卡上）1．﹣|﹣2021|的相反数为（）A．﹣2021B．2021C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义、相反数的定义解题即可．【解答】解：∵﹣|﹣2021|＝﹣2021，∴﹣2021的相反数为2021．故选：B．2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C．故选：C．3．据永州市2020年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入约为24000元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（）A．24×103B．2.4×104C．2.4×105D．0.24×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：24000＝2.4×104．故选：B．4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（）A．27B．12C．7D．5【分析】根据众数的意义求解即可．【解答】解：这组数据中出现次数最多的是12，共出现3次，因此众数是12，故选：B．5．下列计算正确的是（）A．（π﹣3）0＝1B．tan30°＝C．＝±2D．a2•a3＝a6【分析】根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．【解答】解：A．因为π﹣3≠0，所以（π﹣3）0＝1，因此选项A符合题意；B．tan30°＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项D不符合题意；故选：A．6．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．【解答】解：∵解不等式①得：x＞﹣0.5，解不等式②得：x≤5，∴不等式组的解集为﹣0.5＜x≤5，∴不等式组的整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选：C．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若∠B＝50°，则∠CAD的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝50°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC，然后计算∠BAC﹣∠DAB即可．【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝50°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝80°﹣50°＝30°．故选：A．8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，则以下列出的方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故选：A．9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭典”四种民俗文化分别记为：A、B、C、D，画树状图如图：共有12种等可能的结果，小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的结果有2种，∴小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率为＝，故选：D．10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN ＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5B．2C．1D．0【分析】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将答案填在答题卡的答案栏内）11．在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是1个．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：0，，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；﹣0.101001是有限小数，属于有理数；无理数有π，共1个．故答案为：1．12．已知二次根式有意义，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：y＝﹣．【分析】根据反比例函数的性质可得k＜0，写一个k＜0的反比例函数即可．【解答】解：∵图象在第二、四象限，∴y＝﹣，故答案为：y＝﹣．14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其中A班甲、乙两位同学6个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A班需从甲、乙两位同学中选1人进入班球队，从两人成绩的稳定性考虑，请你决策A班应该选择的同学是甲．【分析】根据折线统计图中甲、乙成绩的起伏情况判断即可得解．【解答】解：根据折线统计图可得，甲的投篮技能测试成绩起伏小，比较平稳，乙的投篮技能测试成绩起伏大，不稳定，因此A班应该选择的同学是甲．故答案为：甲．15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为10．【分析】设此圆锥的母线长为l，利用扇形的面积公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．【解答】解：设此圆锥的母线长为l，根据题意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，所以此圆锥的母线长为10．故答案为10．16．如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是（2，0）．【分析】连接AB交x轴于点P'，求出直线AB的解析式与x轴交点坐标即可．【解答】解：如图，连接AB交x轴于点P'，根据两点之间，线段最短可知：P'即为所求，设直线AB的关系式为：y＝kx+b，，解得，∴y＝，当y＝0时，x＝2，∴P'（2，0），故答案为：（2，0）．17．已知函数y＝，若y＝2，则x＝2．【分析】根据题意，进行分类解答，即可求值．【解答】解：∵y＝2．∴当x2＝2时，x＝．∵0≤x＜1．∴x＝（舍去）．当2x﹣2＝2时，x＝2．故答案为：2．18．若x，y均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：（1）43xy•47xy＝（2021）x+y；（2）+＝1．【分析】（1）将43xy•47xy化成（43x）y•（47y）x代入数值即可计算；（2）由（1）知43xy•47xy＝2021（x+y），43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，得出xy＝x+y即可求．【解答】解：（1）43xy•47xy＝（43x）y•（47y）x＝2021y×2021x＝2021x+y，故答案为：2021；（2）由（1）知，43xy•47xy＝2021（x+y），∵43xy•47xy＝（43×47）xy＝2021xy，∴xy＝x+y，∴+＝＝1，故答案为：1．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x+1）2+（2+x）（2﹣x）＝x2+2x+1+4﹣x2＝2x+5，当x＝1时，原式＝2+5＝7．20．（8分）若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0的两根分别为m，n．（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q的值；（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n的值．【分析】（1）利用根与系数的关系得到2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，然后分别解方程求出p与q的值；（2）利用根与系数的关系得到m+n＝﹣，mn＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1）根据题意得2﹣4＝﹣，2×（﹣4）＝，所以p＝1，q＝﹣8；（2）根据m+n＝﹣＝﹣，mn＝﹣，所以m+mn+n＝m+n+mn＝﹣﹣＝﹣1．21．（8分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞赛活动根据竞赛结果，抽取了200名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．200名学生党史知识竞赛成绩的频数表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）频数表中，a＝60，b＝0.25；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；（4）若该校共有1000名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出a、b、c的值；（2）根据（1）中a、b的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次党史知识竞赛成绩超过80分的学生人数．【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，∴a＝200×0.3＝60，b＝50÷200＝0.25，故答案为：60，0.25；（2）由（1）知，a＝60，如图，即为补全的频数分布直方图；（3）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；故答案为：C；（4）1000×（0.25+0.3）＝1000×0.55＝550（人），即本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数有550人．22．（10分）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．（1）求证：△AEC≌△BFD．（2）判断四边形DECF的形状，并证明．【分析】（1）根据已知条件得到AC＝BD，根据平行线的判定定理得到∠A＝∠B，由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，．由平行线的判定定理得到CE∥DF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，在△AEC和△BFD中，，∴△AEC≌△BFD（SAS）．（2）四边形DECF是平行四边形，证明：∵△AEC≌△BFD，∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，∴CE∥DF，∴四边形DECF是平行四边形．23．（10分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在2022年将30亩土地全部用于种植A、B两种经济作物．预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元，为实现2022年A种经济作物年总产值20万元，B种经济作物年总产值30万元的目标，问：2022年A、B两种经济作物应各种植多少亩？【分析】设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，根据“预计B种经济作物亩产值比A种经济作物亩产值多2万元”列出方程并解答．【解答】解：设2022年A种经济作物应种植x亩，则B种经济作物应种植（30﹣x）亩，根据题意，得+2＝．解得x＝20或x＝﹣15（舍去）．经检验x＝20是原方程的解，且符合题意．所以30﹣x＝10．答：2022年A种经济作物应种植20亩，则B种经济作物应种植10亩．24．（10分）已知锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：＝＝．（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD（如图2所示），若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．【分析】（1）由边角关系式可求解；（2）由边角关系式可求∠B＝60°，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求CD的长．【解答】解：∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵＝＝，∴＝，∴b＝2；（2）∵＝，∴＝，∴sin B＝，∴∠B＝60°，∴tan B＝＝，∴BD＝CD，∵AC2＝CD2+AD2，∴196＝CD2+（10﹣CD）2，∴CD＝8，CD＝﹣3（舍去），∴CD的长度为8米．25．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC2＝2AD•AO；（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．【分析】（1）连接OC，由角平分线的定义、等腰三角形性质、三角形外角性质和切线的定义证明；（2）由△CDA∽△BCA，得证AC2＝2AD•AO；（3）由外角性质、直径所对的圆周角是直角和角平分线定义证明．【解答】证明：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠BOC＝2∠OAC，∵AC平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠OAC，∴∠BAE＝∠BOC，∴CO∥AD，∵∠D＝90°，∴∠DCO＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠CAD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠BCA，∴△BAC∽△CAD，∴，∴AC2＝AB•AD，∵AB＝2AO，∴AC2＝2AD•AO．（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，∴∠Q＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠Q＝45°，同理可证：∠P＝45°，∴∠P＝∠Q．26．（12分）已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m 的最小值．【分析】（1）由待定系数法，及对称轴为直线x＝﹣，可求出二次函数的表达式；（2）需要分三种情况：①b＜﹣；②b﹣3＞﹣；③b﹣3≤﹣≤b分别进行讨论；（3）根据二次函数图象的增减性可得结论．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点（0，4），∴c＝4；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴此二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4．（2）当b2﹣c＝0时，b2＝c，此时函数的表达式为：y1＝x2+bx+b2，根据题意可知，需要分三种情况：①当b＜﹣，即b＜0时，二次函数的最小值在x＝b处取到；∴b2+b2+b2＝21，解得b＝，b＝﹣舍去；②b﹣3＞﹣，即b＞2时，二次函数的最小值在x＝b﹣3处取到；∴（b﹣3）2+b（b﹣3）+b2＝21，解得b＝4，b＝﹣1（舍去）；③b﹣3≤﹣≤b，即0≤b≤2时，二次函数的最小值在x＝﹣处取到；∴（﹣）2+b•（﹣）+b2＝21，解得b＝±2（舍去）．综上，b的取值为或4．（3）由（1）知，二次函数的表达式为：y1＝x2﹣2x+4，对称轴为直线：x＝1，∵1＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，且最大值为4；∵二次函数y2＝2x2+x+m的对称轴为直线：x＝﹣，且2＞0，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，且最小值为m，∵当0≤x≤1时，总有y2≥y1，∴m≥4，即m的最小值为4．。

2021年湖南省衡阳市中考数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．8的相反数是（）A．﹣8B．8C．﹣D．±82．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×1083．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）25．下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝36．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85 7．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）A．B．C．D．8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．7.5米B．8米C．9米D．10米9．下列命题是真命题的是（）A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120°C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形10．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．11．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．若二次根式有意义，则x的取值范围是．14．计算：＝．15．因式分解：3a2﹣9ab＝．16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为．（结果保留π）17．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树棵．18．如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年湖南省衡阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．8的相反数是（）A．﹣8B．8C．﹣D．±8【分析】根据相反数的概念求解即可．【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此8的相反数是﹣8．故选：A．2．2021年2月25日，习近平总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚战取得全面胜利．现标准下，98990000农村贫困人口全部脱贫．数98990000用科学记数法表示为（）A．98.99×106B．9.899×107C．9899×104D．0.09899×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：98990000＝9.899×107，故选：B．3．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．4．下列运算结果为a6的是（）A．a2•a3B．a12÷a2C．（a3）2D．（a3）2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A．a2•a3＝a5,故此选项不合题意；B．a12÷a2＝a10,故此选项不合题意；C．（a3）2＝a6,故此选项符合题意；D．（a3）2＝a6,故此选项不合题意；故选：C．5．下列计算正确的是（）A．＝±4B．（﹣2）0＝1C．+＝D．＝3【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可．【解答】解：16的算术平方根为4，即，故A不符合题意；根据公式a0＝1(a≠0)可得（﹣2）0＝1，故B符合题意；、无法运用加法运算化简，故，故C不符合题意；，故D不符合题意；故选：B．6．为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩（单位：分）分别为：85，82，86，82，83，92．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是82B．中位数是84C．方差是84D．平均数是85【分析】根据方差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．【解答】解：将数据重新排列为82，82，83，85，86，92，A、数据的众数为82，此选项正确，不符合题意；B、数据的中位数为＝84，此选项正确，不符合题意；C、数据的平均数为＝85，所以方差为×[（85﹣85）2+（83﹣85）2+2×（82﹣85）2+（86﹣85）2+（92﹣85）2]＝12，此选项错误，符合题意；D、由C选项知此选项正确；故选：C．7．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的左视图是（）A．B．C．D．【分析】画出该组合体的三视图即可．【解答】解：这个组合体的三视图如下：故选：A．8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（）A．7.5米B．8米C．9米D．10米【分析】由锐角三角函数可以求得AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，∴AB≈BC＝×6＝10（米），故选：D．9．下列命题是真命题的是（）A．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B．正六边形的每一个内角为120°C．有一个角是60°的三角形是等边三角形D．对角线相等的四边形是矩形【分析】根据多边形的外角和都是360度对A作出判断；根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角和，再求出每个内角对B作出判断；根据等边三角形的判定对C作出判断；根据矩形的判定对D作出判断．【解答】解：A．每个多边形的外角和都是360°，故错误，假命题；B．正六边形的内角和是720°，每个内角是120°，故正确，真命题；C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，假命题；D．对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，假命题．故选：B．10．不等式组的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】解出两个不等式，再表示出不等式组的解集，在数轴上正确表示出来即可选出正确答案．【解答】解：解不等式x+1＜0得，x＜﹣1,解不等式﹣2x≤6得，x≥﹣3，∴不等式组的解集为：﹣3≤x＜﹣1,在数轴上表示为：故选：A．11．下列说法正确的是（）A．为了解我国中学生课外阅读情况，应采取全面调查方式B．某彩票的中奖机会是1%，买100张一定会中奖C．从装有3个红球和4个黑球的袋子里摸出1个球是红球的概率是D．某校有3200名学生，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目，随机抽取了200名学生，其中有85名学生表示最喜欢的项目是跳绳，估计该校最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的有1360人【分析】根据概率的定义和计算公式即可．【解答】解：全国中学生人数很大，应采用抽样调查方式，∴A选项错误，彩票的中奖机会是1%说的是可能性，和买的数量无关，∴B选项错误，根据概率的计算公式，C选项中摸出红球的概率为，∴C选项错误，200名学生中有85名学生喜欢跳绳，∴跳绳的占比为，∴3200×42.5＝1360(人)，∴D选项正确，故选：D．12．如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】先判断四边形CMPN是平行四边形，再根据PN＝CN判断四边形CMPN是菱形，点P与点A重合时设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理解出x，进而求出MN即可判断②，当MN过D点时，求出四边形CMPN面积的最小值，当P与A重合时，求出四边形面积的最大值，即可判断③．【解答】解：∵PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP，∴PM＝CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故①正确；如图1，当点P与A重合时，设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，在Rt△ABN中，AB²+BN²＝AN²，即4²+x²＝(8﹣x)²，解得x＝3，∴CN＝8﹣3＝5，∵AB＝4，BC＝8，∴AC＝＝4，∴CQ＝AC＝2，∴QN＝＝，∴MN＝2QN＝2，故②不正确；由题知，当MN过点D时，CN最短，如图2，四边形CMPN的面积最小，此时S＝S菱形CMPN＝×4×4＝4，当P点与A点重合时，CN最长，如图1，四边形CMPN的面积最大，此时S＝×5×4＝5，∴4≤S≤5正确，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）13．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】二次根式的被开方数x﹣3≥0．【解答】解：根据题意，得x﹣3≥0，解得，x≥3；故答案为：x≥3．14．计算：＝1．【分析】根据同分母的分式加减法则进行计算即可．【解答】解：原式＝＝1．故答案为：1．15．因式分解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b）．【分析】提取公因式，即可得出答案．【解答】解：3a2﹣9ab＝3a（a﹣3b），故答案为：3a（a﹣3b）．16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为12π．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．17．“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木6000棵．由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务．则实际每天植树500棵．【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前3天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入（1+25%）x中即可求出结论．【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1+25%）x棵，依题意得：﹣＝3，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴（1+25%）x＝500．故答案为：500．18．如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为(2+3)厘米．【分析】结合图象当点P运动到A点，点Q运动到C点时，即AC＝2cm，同理求出BD＝2cm，利用菱形性质即可求出AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，再由题意易知当点P在A ﹣D段上运动，P、Q两点的最短时P、Q分别位于AD、BC的中点时，求出此时P、Q 两点的运动路程之和即可．【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2(cm)，∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝AF＝＝＝,∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm）故答案为：(2+3)．三、解答题（本大题共8个小题，19～20题每题6分，21～24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤.）19．（6分）计算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式展开再合并同类项即可．【解答】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy＝3x2．20．（6分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据题目已知条件利用ASA即可求出△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),又∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等),在△ABC和△DEF中，,∴△ABC≌△DEF(ASA)．21．（8分）“垃圾分类工作就是新时尚”，为了改善生态环境，有效利用垃圾剩余价值，2020年起，我市将生活垃圾分为四类：厨余垃圾、有害垃圾、可回收垃圾、其他垃圾．某学习研究小组在对我市垃圾分类实施情况的调查中，绘制了生活垃圾分类扇形统计图，如图所示．（1）图中其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是64.8度；（2）据统计，生活垃圾中可回收物每吨可创造经济总价值约为0.2万元．若我市某天生活垃圾清运总量为500吨，请估计该天可回收物所创造的经济总价值是多少万元？（3）为了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，某校开展了相关知识竞赛，要求每班派2名学生参赛．甲班经选拔后，决定从2名男生和2名女生中随机抽取2名学生参加比赛，求所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【分析】（1）根据题意求出其他垃圾所占百分比即可求出其他垃圾所在的扇形的圆心角度数；（2）根据可回收垃圾所占百分比算出500吨生活垃圾中可回收垃圾中的质量，即可计算出该天可回收物所创造的经济总价值；（3）结合题意，画出树状图即可求出所抽取的学生中恰好一男一女的概率．【解答】解：（1）由题意可知，其他垃圾所占的百分比为：1﹣20%﹣7%﹣55%＝18%，∴其他垃圾所在的扇形的圆心角度数是：360°×18%＝64.8°，故答案为：64.8；（2）500×20%＝100（吨），100×0.2＝20（万元），答：该天可回收物所创造的经济总价值是20万元；（3）由题意可列树状图：∴P（一男一女）＝＝．22．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；（2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．【分析】（1）利用旋转即可得到Rt△ABE≌Rt△ADF，再根据全等三角形的性质即可求证四边形AFHE的形状；（2）设AE＝x,则BE＝7+x,AB＝13，利用勾股定理即可求出x,进而可求出DH的长．【解答】解：（1）四边形AFHE是正方形，理由如下：∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴∠AFH＝90°，∵Rt△ABE≌Rt△ADF，∴∠DAF＝∠BAE,又∵∠DAF+∠F AB＝90°，∴∠BAE+∠F AB＝90°，∴∠F AE＝90°，在四边形AFHE中，∠F AE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°，∴四边形AFHE是矩形，又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形；（2）设AE＝x．则由（1）以及题意可知：AE＝EH＝FH＝AF＝x,BH＝7,BC＝AB＝13,在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，即132＝x2+(x+7)2,解得：x＝5,∴BE＝BH+EH＝5+7＝12,∴DF＝BE＝12,又∵DH＝DF+FH，∴DH＝12+5＝17．23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．【分析】（1）设出y与x的函数关系式为y＝kx+b，代入表中数据求系数即可；（2）根据函数关系式和背带长度为130cm列出二元一次方程组解方程组即可；（3）根据x和y都为非负数求出L的最大值和最小值即可确定取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题知，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；（2）根据题意知，解得，∴双层部分的长度为22cm；（3）由题知，当x＝0时，y＝152，当y＝0时，x＝76，∴76≤L≤152．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；(2)连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD 为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：∵AB是直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDO+∠ADO＝90°，又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）连结OE，如图所示：∵∠BDE＝30°，∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，又∵E为的中点，∴∠EOD＝60°,∴△EOD为等边三角形，∴ED＝EO＝OD＝2,又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,∴CD＝2．25．（10分）如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（6，0），动点P、Q同时从点O出发，分别沿x轴正方向和y轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点P到达点B时点P、Q同时停止运动．过点Q作MN∥OB分别交AO、AB于点M、N，连接PM、PN．设运动时间为t（秒）．（1）求点M的坐标（用含t的式子表示）；（2）求四边形MNBP面积的最大值或最小值；（3）是否存在这样的直线l，总能平分四边形MNBP的面积？如果存在，请求出直线l 的解析式；如果不存在，请说明理由；（4）连接AP，当∠OAP＝∠BPN时，求点N到OA的距离．【分析】（1）过点A作x轴的垂线，分别交MN和x轴于点E和点F，利用三角形相似写出点M的坐标；（2）四边形的面积可以用分割法求解，①△MNP和△BNP的面积之和；②四边形MNBO 和△OMP的面积之差，其它方法亦可；（3）先判断四边形MNBP的形状，就可知道平分四边形MNBP的直线经过的定点坐标（用含t的式子表示），然后消去t，得到直线l的解析式；（4）利用三角形相似解题，由∠OAP＝∠BPN和∠AOB＝∠PBN（由题意可知），得证△AOP∽△PBN，再利用相似的性质求出对应的t值，再由等面积法求高，求出点N到OA的距离．【解答】解：（1）过点A作x轴的垂线，交MN于点E，交OB于点F，由题意得：OQ＝2t，OP＝3t,PB＝6﹣3t，∵O（0，0），A（3，4），B（6，0），∴OF＝FB＝3，AF＝4，OA＝AB＝，∵MN∥OB，∴∠OQM＝∠OF A，∠OMQ＝∠AOF，∴△OQM∽△AFO，∴，∴，∴QM＝，∴点M的坐标是（）．（2）∵MN∥OB，∴四边形QEFO是矩形，∴QE＝OF，∴ME＝OF﹣QM＝3﹣，∵OA＝AB，∴ME＝NE，∴MN＝2ME＝6﹣3t，∴S四边形MNBP＝S△MNP+S△BNP＝MN•OQ+•BP•OQ＝＝﹣6t2+12t＝﹣6(t﹣1)2+6，∵点P到达点B时，P、Q同时停止，∴0≤t≤2，∴t＝1时，四边形MNBP的最大面积为6．（3）∵MN＝6﹣3t，BP＝6﹣3t，∴MN＝BP，∵MN∥BP，∴四边形MNBP是平行四边形，∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心，即MB的中点，设中点为H（x，y），∵M()，B（6，0），∴x＝＝，y＝．∴x＝，化简得：y＝，∴直线l的解析式为：y＝．（4）∵OA＝AB，∴∠AOB＝∠PBN，又∵∠OAP＝∠BPN，∴△AOP∽△PBN，∴，∴，解得：t＝．∵MN＝6﹣3t，AE＝AF﹣OQ,ME＝3﹣，∴MN＝6﹣3×，AE＝，ME＝，∴AM＝．设点N到OA得距离为h，∵S△AMN＝•MN•AE＝•AM•h，∴，解得：h＝．∴点N到OA得距离为．26．（12分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如（1，1），（2021，2021）…都是“雁点”．（1）求函数y＝图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）．当a＞1时．①求c的取值范围；②求∠EMN的度数；（3）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰Rt△BPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，即可求解；（2）①由△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，即可求解；②求出点M的坐标为（﹣，0）、点E的坐标为（﹣，﹣），即可求解；（3）证明△CMP≌△PNB（AAS），则PM＝BN，CM＝PN，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：x＝，解得x＝±2，当x＝±2时，y＝＝±2，故“雁点”坐标为（2,2）或（﹣2，﹣2）；（2）①∵“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y＝x，∵物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，则ax2+5x+c＝x，则△＝25﹣4ac＝0，即ac＝4，∵a＞1，故c＜4；②∵ac＝4，则ax2+5x+c＝0为ax2+5x+＝0，解得x＝﹣或﹣，即点M的坐标为（﹣，0），由ax2+5x+c＝x，ac＝4，解得x＝﹣，即点E的坐标为（﹣，﹣），故点E作EH⊥x轴于点H，则HE＝，MH＝x E﹣x M＝﹣﹣（﹣）＝＝HE，故∠EMN的度数为45°；（3）存在，理由：由题意知，点C在直线y＝x上，故设点C的坐标为（t，t），过点P作x轴的平行线交过点C与y轴的平行线于点M，交过点B与y轴的平行线于点N，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则BN＝﹣m2+2m+3,PN＝3﹣m,PM＝m﹣t,CM＝﹣m2+2m+3﹣t,∵∠NPB+∠MPC＝90°,∠MPC+∠CPM＝90°,∴∠NPB＝∠CPM,∵∠CMP＝∠PNB＝90°,PC＝PB,∴△CMP≌△PNB（AAS），∴PM＝BN，CM＝PN，即m﹣t＝|﹣m2+2m+3|，﹣m2+2m+3﹣t＝|3﹣m|，解得m＝1+（舍去）或1﹣或，故点P的坐标为（，）或（，）．。