讲稿动态及最小值

1. （2011江苏）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ ＝t （0≤t ≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE ⊥AB 于点E ，过M 作MF ⊥BC 于点F ．（1）当t ≠1时，求证：△PEQ ≌△NFM ； （2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠A ＝∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB∵QE ⊥AB ，MF ⊥BC∴∠AEQ ＝∠MFB ＝90°∴四边形ABFM 、AEQD 都是矩形∴MF ＝AB ，QE ＝AD ，MF ⊥QE 又∵PQ ⊥MN∴∠EQP ＝∠FMN又∵∠QEP ＝∠MFN ＝90° ∴△PEQ ≌△NFM ．（2）∵点P 是边AB 的中点，AB ＝2，DQ ＝AE ＝t∴PA ＝1，PE ＝1－t ，QE ＝2 由勾股定理，得PQ ＝22PEQE +＝4)1(2+-t∵△PEQ ≌△NFM ∴MN ＝PQ ＝4)1(2+-t 又∵PQ ⊥MN ∴S ＝MN PQ ⋅21＝[]4)1(212+-t ＝21t 2－t ＋25∵0≤t ≤2∴当t ＝1时，S 最小值＝2．综上：S ＝21t 2－t ＋25，S 的最小值为2．2、（2011北京）己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC 的对角线AC 所在直线的解析式为错误！未找到引用源。

（1）求线段AC 的长和错误！未找到引用源。

的度数。

（2）动点P 从点C 开始在线段CO 上以每秒错误！未找到引用源。

个单位长度的速度向点O 移动，动点Q 从点O 开始在线段OA 上以每秒错误！未找到引用源。

个单位长度的速度向点A 移动，（P 、Q 两点同时开始移动）设P 、Q 移动的时间为t 秒。

①设错误！未找到引用源。

的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，S 有最小值。

②是否存在这样的时刻t ，使得错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

相似，并说明理由？ （3）在坐标平面内存在这样的点M ，使得错误！未找到引用源。

为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M 的坐标。

（直接写出结果，每漏写或写错一点坐标扣一分，直到扣完为止。

） 答案：（1）令错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

∴A 点坐标为（0，1）令错误！未找到引用源。

得 错误！未找到引用源。

∴ 错误！未找到引用源。

C 点坐标为（错误！QPNMFE DC BA（第24题）错误错误错第2题图错误错错错错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

未找到引用源。

，0）∴错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

中，∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

（2）P 、Q 两点同时开始移动t 秒时① ∵错误！未找到引用源。

， 错误！未找到引用源。

t∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

t 错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

最大为错误！未找到引用源。

②ⅰ假设存在错误！未找到引用源。

∽错误！未找到引用源。

∴ 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

ⅱ错误！未找到引用源。

∽错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

（3）错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

3. （2011浙江省舟山，24，12分）已知直线错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

＜0）分别交错误！未找到引用源。

轴、错误！未找到引用源。

轴于A 、B 两点，线段OA 上有一动点P 由原点O 向点A 运动，速度为每秒1个单位长度，过点P 作错误！未找到引用源。

轴的垂线交直线AB 于点C ，设运动时间为错误！未找到引用源。

秒．（1）当错误！未找到引用源。

时，线段OA 上另有一动点Q 由点A 向点O 运动，它与点P 以相同速度同时出发，当点P 到达点A 时两点同时停止运动（如图1）． ① 直接写出错误！未找到引用源。

＝1秒时C 、Q 两点的坐标；② 若以Q 、C 、A 为顶点的三角形与△AOB 相似，求错误！未找到引用源。

的值．（2）当错误！未找到引用源。

时，设以C 为顶点的抛物线错误！未找到引用源。

与直线AB 的另一交点为D （如图2），① 求CD 的长； ② 设△COD 的OC 边上的高为错误！未找到引用源。

，当错误！未找到引用源。

为何值时，错误！未找到引用源。

的值最大？【答案】（1）①C （1，2），Q （2，0）．②由题意得：P (t ，0)，C (t ，－ｔ＋3)，Q (3－t ，0)， 分两种情形讨论：情形一：当△AQC∽△AOB 时，∠AQC=∠AOB ＝90°，∴CQ ⊥OA ， ∵CP ⊥OA ，∴点P 与点Q 重合，OQ =OP ，即3－t =t ，∴t=1.5．BAO PCxy11D（第24题图2）（第24题图1） BA OPCQ xy11情形二：当△ACQ∽△AOB 时，∠ACQ=∠AOB ＝90°，∵O Ａ=O Ｂ＝3，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴△ACQ 是等腰直角三角形，∵CQ ⊥OA ，∴AQ=2CP ，即t =2（－t ＋3），∴t=2．∴满足条件的t 的值是1.5秒或2秒．(2) ①由题意得：C (t ，－错误！未找到引用源。

＋3)，∴以C 为顶点的抛物线解析式是错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

，解得x 1=t ，x 2=t 错误！未找到引用源。

；过点D 作DE ⊥CP 于点E ，则∠DEC=∠AOB＝90°，DE∥OA ，∴∠EDC=∠OAB ，∴△DEC∽△AOB ，∴错误！未找到引用源。

，∵AO =4，AB =5，DE =t －（ｔ－错误！未找到引用源。

）=错误！未找到引用源。

．∴CD =错误！未找到引用源。

．②∵CD =错误！未找到引用源。

，CD 边上的高=错误！未找到引用源。

．∴S △COD =错误！未找到引用源。

．∴S △COD为定值；要使OC 边上的高h 的值最大，只要OC 最短．因为当OC⊥AB 时OC 最短，此时OC 的长为错误！未找到引用源。

，∠BCO ＝90°，∵∠AOB ＝90°，∴∠COP＝90°－∠BOC ＝∠OBA ，又∵CP⊥OA ，∴Rt △PCO∽Rt △OAB ，∴错误！未找到引用源。

，OP =错误！未找到引用源。

，即t =错误！未找到引用源。

，∴当t 为错误！未找到引用源。

秒时，h 的值最大．4.（2011•宁夏）在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ． （1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？（2）当MN=x ，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时，y的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换（折叠问题）；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。

分析：（1）首先连接AP ，交MN 于O ，由MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ，即可得△AMN ∽△ABC ，21==APAO BCMN ，则可求得当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上；（2）此题需要分为当AO≤21AD 时与当AO ＞21AD 时去分析，首先由△AMN ∽△ABC ，求得各线段的长，然后求△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积，即可得关于x 的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案． 解答：解：（1）连接AP ，交MN 于O ， ∵将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ， ∴OA=OP ，AP ⊥MN ，AN=PN ，AM=PM ， ∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，AO ⊥MN ， ∴21==APAOBC MN ，∵BC=6，∴MN=3，∴当MN=3时，点P 恰好落在BC 上；（2）过点A 作AD ⊥BC 于D ，交MN 于O ， ∵MN ∥BC ， ∴AO ⊥MN ， ∴△AMN ∽△ABC ， ∴AD AOBC MN=，∵AB=AC=5，BC=6，AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，BD=21BC=3，∴AD=4， ∴46AOx =，∴AO=32x ，∴S △AMN =21MN•AO=21•x•32x=31x 2，当AO≤21AD 时，根据题意得：S △PMN =S △AMN ，∴△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为S △AMN ，∴y=31x 2，∴当AO=21AD 时，即MN=21BC=3时，y 最小，最小值为3； 当AO ＞21AD 时， 连接AP 交MN 于O，则AO ⊥MN ，∵MN ∥BC ，∴AP ⊥BC，△AMN ∽△ABC ，△PEF ∽△PMN ∽△AMN ， ∴AD AO BC MN =，PO PD MN EF =， 即：46AO x =，AO PD x EF =， ∴AO=32x ，∴AO AD AO x EF -=2， ∴EF=2x ﹣6，OD=AD ﹣AO=4﹣32x ， ∴y=S梯形MNFE=21（EF+MN ）•OD=21×（2x ﹣6+x ）×（4﹣32x ）=﹣（x ﹣4）2+4，∴当x=4时，y 有最大值，最大值为4，综上所述：当x=4时，y 的值最大，最大值是4．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识．解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．5. （2011湖北）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上）．若⊙P 过A 、B 、E 三点（圆心在x 轴上），抛物线y= 14x2+bx+c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1． （1）求B 点坐标；（2）求证：ME 是⊙P 的切线；（3）设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此轴称轴上不与N 点重合的一动点， ①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ=t ，S △ACQ =S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式．考点：二次函数综合题．分析：（1）如图甲，连接PE 、PB ，设PC=n ，由正方形CDEF 的面积为1，可得CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n ，由PB=PE ，根据勾股定理即可求得n 的值，继而求得B 的坐标；（2）由（1）知A （0，2），C （2，0），即可求得抛物线的解析式，然后求得FM 的长，则可得△PEF ∽△EMF ，则可证得∠PEM=90°，即ME 是⊙P 的切线；（3）①如图乙，延长AB 交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q ，连AQ ，则有AQ=A′Q，△ACQ 周长的最小值为AC+A′C 的长，利用勾股定理即可求得△ACQ 周长的最小值；②分别当Q 点在F 点上方时，当Q 点在线段FN 上时，当Q 点在N 点下方时去分析即可求得答案． 解答：解：（1）如图甲，连接PE 、PB ，设PC=n ， ∵正方形CDEF 的面积为1，∴CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n ，∴BC=2PC=2n ， ∵而PB=PE ，∴PB 2=BC 2+PC 2=4n 2+n 2=5n 2，PE 2=PF 2+EF 2=（n+1）2+1， ∴5n 2=（n+1）2+1，解得：n=1或n=- 12（舍去），∴BC=OC=2，∴B 点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A （0，2），C （2，0），∵A ，C 在抛物线上， ∴ {c=214×4+2b+c=0，解得： {c=2b=-32，∴抛物线的解析式为：y= 14x 2- 32x+2= 14（x-3）2- 14，∴抛物线的对称轴为x=3，即EF 所在直线， ∵C 与G 关于直线x=3对称， ∴CF=FG=1，∴MF= 12FG= 12，在Rt △PEF 与Rt △EMF 中， ∠EFM=∠EFP ，∵ FMEF=121=12， EFPF=12， ∴ FMEF=EFPF ，∴△PEF ∽△EMF ， ∴∴∠EPF=∠FEM ，∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°， ∴ME 是⊙P 的切线；（3）①如图乙，延长AB 交抛物线于A′，连CA′交对称轴x=3于Q ，连AQ ，则有AQ=A ′Q，∴△ACQ 周长的最小值为AC+A′C 的长，∵A 与A′关于直线x=3对称， ∴A （0，2），A′（6，2），∴A′C=（6-2）2+22=2 5，而AC=22+22=2 2， ∴△ACQ 周长的最小值为2 2+2 5；②当Q 点在F 点上方时，S=t+1， 当Q 点在线段FN 上时，S=1-t ， 当Q 点在N 点下方时，S=t-1．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，圆的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，题目难度较大，解题的关键是方程思想、分类讨论与数形结合思想的应用． 6（2011•菏泽）如图，抛物线y=x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．考点：二次函数综合题。