第一章 导数及其应用单元检测(人教A版)(原卷版)

A. B.
C. D.
解析：由s＝ t3＋lnt，得s′＝t2＋ ，所以s′|t＝4＝42＋ ＝ .
答案：C
4．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()
A．e2B．e
C. D．ln2
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
f′(x0)＝lnx0＋1＝2⇒x0＝e.
答案：B
5．函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是()
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)
B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)
D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
解析：由f′(2)，f′(3)的几何意义知f′(2)>f′(3)>0，
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中，其平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
14．函数f(x)＝ (x∈[－2,2])的最大值是________．最小值是________．
答案：C
2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()
A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.将点(0，b)代入切线方程，得b＝1.

第一章 导数及其应用一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共40分） 1．曲线123-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是（ ）A ．1-=x yB ．2-=x yC ．x y =D ．1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4） 3．已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是 ( )A.)0,(-∞B.)1,1(-C. ),0(+∞D.)1,(--∞及),1(+∞ 4．函数]0,3[13)(3-+-=在x x x f 上的最大值，最小值分别是（ ） A ．1，－1 B ．1，－17 C ．3，－17 D ．9，－19 5. 已知f （x ）=x 2+2x·f ＇（1），则f ＇（0）等于（ ）A. 0B. –2C. 2D. – 4 6. 下列求导运算正确的是（ ）xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 7. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ）），和（∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A8. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--9．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()lim h f x h f x h h→+--=( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．010. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π，则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为（ ）ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[-二.填空题：（每小4分,共16分）11. 已知m m x x x f (62)(23+-=为常数）在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 . 12. 当∈k 时，23)(kx x x f +=在]2,0[上是减函数．13.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增； (4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .14． .直线a y =与函数x x x f 3)(3-=的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 三.解答题：15 (本小题满分16分) 已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。

高中数学第一章导数及其应用单元质量测评新人教A版选修22 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)答案C解析由导数的运算法则易得，注意A选项中的a为常数，所以(sin a)′＝0.答案B答案 C答案 C答案 B答案 B7.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点答案 D解析函数f(x)的极大值f(x0)不一定是最大值，故A错误；f(x)与－f(－x)关于原点对称，故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时，－x0是－f(－x)的极小值点，故选D.答案 D9.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A.2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D解析 由4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－14x 4|20＝4.10.关于x 的方程x 3－3x 2－m ＝0有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,1) B ．(－∞，0) C.(1，＋∞) D ．(－4,0)答案 D解析 令g(x )＝x 3－3x 2，则可知函数g(x )的极大值为0和极小值为－4，则得出m 的取值范围是(－4,0).答案 B答案 D第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝2，则实数k ＝________.答案 1解析 ∵⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋k x )10＝1＋k ，∴1＋k ＝2，∴k ＝1.14.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 3解析 因为 f ′(x )＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3.答案 2解析 ∵f (x )＝x ＋12＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinxx 2＋1， 令g(x )＝2x ＋sinxx 2＋1，∴f ′(x )＝g′(x )＝2－2x 2＋x 2＋1cosx －2xsinxx 2＋12.∵g(－x )＝－g(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x ).∴f (2019)＋f ′(2019)＋f (－2019)－f ′(－2019)＝1＋g(2019)＋f ′(2019)＋1－g(2019)－f ′(2019)＝2.16.已知函数f (x )＝x ＋3a2x－2a ln x 在区间(1,2)内是增函数，则实数a 的取值范围是______.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 解析 f ′(x )＝1－3a 2x 2－2a x ，由已知得1－3a 2x 2－2a x≥0在x ∈(1,2)内恒成立，即x 2－2ax－3a 2≥0在x ∈(1,2)内恒成立．设g(x )＝x 2－2ax －3a 2，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧g 2≥0，a ≥2或Δ＝(－2a )2＋12a 2≤0，解得－1≤a ≤13或a 无解或a ＝0，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，求过P 的切线l 与C围成的图形的面积.18.(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 3＋b x 2＋c x (a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a ，b ，c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由.解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2 b x ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2 b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32·(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1，x ＝1为极小值点.19.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx －3在x ＝1处取得极值，且在(0，－3)点处的切线与直线2x ＋y ＝0平行.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g(x )＝xf (x )＋4x 的单调递增区间及极值. 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx －3，可得f ′(x )＝2ax ＋b . 由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f ′0＝－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，b ＝－2.解得a ＝1，b ＝－2. 所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)由题意得，g(x )＝xf (x )＋4x ＝x 3－2x 2＋x ， 所以g′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(3x －1)(x －1). 令g′(x )＝0，得x 1＝13，x 2＝1.所以函数g(x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞).极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，极小值为g(1)＝0. 20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x (a >0). (1)若存在x >0，使得不等式f (x )>6a 2－4a 成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数y ＝f (x )图象上任意不同的两点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，证明k >f ′(x 0).解 (1)因为f (x )＝ln x －ax 2－(1－2a )x ，其定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －2ax －(1－2a )＝－x －12ax ＋1x ，因为a >0，x >0，所以2ax ＋1>0，所以当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减；从而当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－a －(1－2a )＝a －1，由题意得a －1>6a 2－4a ，解得13<a <12， 即实数a 的取值范围⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)证明：因为f ′(x )＝1x－2ax －(1－2a )， 所以f ′(x 0)＝1x 0－2ax 0－(1－2a )＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )， 又k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝ [ln x 2－ax 22－1－2a x 2]－[ln x 1－ax 21－1－2a x 1]x 2－x 1＝ln x 2－ln x 1－a x 22－x 21－1－2ax 2－x 1x 2－x 1＝ln x 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a ). 不妨设x 2>x 1>0，要证明k>f ′(x 0)，即证明lnx 2x 1x 2－x 1－a (x 2＋x 1)－(1－2a )>2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(1－2a )， 只需证明lnx 2x 1x 2－x 1>2x 1＋x 2，即证明ln x 2x 1>2x 2－x 1x 2＋x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1， 构造函数g(x )＝ln x －2x －1x ＋1， 则g′(x )＝1x －4x ＋12＝x －12x x ＋12≥0， 所以g(x )在[1，＋∞)上是增函数，当x >1时，g(x )>g(1)＝0，又x 2x 1>1， 所以ln x 2x 1>2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－1x 2x 1＋1，从而k>f ′(x 0)成立. 21.(本小题满分12分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解 设火车的速度为x km /h ，甲、乙两城距离为a km .由题意，令40＝k·203，∴k＝1200， 则总费用f (x )＝(k x 3＋400)·a x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫k x 2＋400x . ∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0<x ≤100). 由f ′(x )＝a x 3－40000100x2＝0，得x ＝2035. 当0<x <2035时，f ′(x )<0；当2035<x <100时，f ′(x )>0，∴当x ＝2035时，f (x )取最小值，即速度为2035 km /h 时，总费用最少.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若在[1，e](e ＝2.71828…)上存在一点x 0，使得f (x 0)≤0成立，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x，x ∈(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝x 2－ax －1＋a x 2＝x ＋1[x －1＋a ]x 2，x ∈(0，＋∞)，①当1＋a ≤0，即a ≤－1时，在(0，＋∞)上总有f ′(x )≥0，所以，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.②当1＋a >0时，即a >－1时，在区间(0,1＋a )上f ′(x )<0，在区间(1＋a ，＋∞)上f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1＋a )单调递减，在(1＋a ，＋∞)单调递增.(2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)≤0成立，即函数f (x )＝x －a ln x ＋1＋a x在[1，e]上的最小值不大于0， 由(1)知，当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )的最小值是f (1)，有f (1)＝1＋1＋a ≤0，得a ≤－2.当a >－1时：①当1＋a ≥e，即a ≥e－1时，f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值是f (e)，由f (e)＝e ＋1＋a e －a ≤0可得a ≥e 2＋1e －1， 因为e 2＋1e －1>e －1，所以a ≥e 2＋1e －1. ②当1＋a ≤1，即a ≤0时，f (x )在[1，e]上单调递增，f (x )的最小值是f (1)，有f (1)＝1＋1＋a ≤0，得a ≤－2，这与a >－1矛盾，③当1<1＋a <e ，即0<a <e －1时，可得f (x )的最小值是f (1＋a )，因为0<ln (1＋a )<1，所以有0<a ln (1＋a )<a ，故有f (1＋a )＝a ＋2－a ln (1＋a )>2，此时f (1＋a )≤0不成立.综上所述，所求a 的取值范围是a ≤－2或a ≥e 2＋1e －1.。

导数及其应用单元测试(A卷基础篇）（人教A版）满分：100分考试时间：90分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2019春•绵阳期末）在高台跳水运动中，ts时相对于水面的高度（单位：m）是h（t）＝﹣4.9t2+6.5t+10，则该高台跳水运动员在t＝1s时瞬时速度的大小为（）A．11.6m/s B．1.6m/s C．3.3m/s D．4.9m/s2．（2019秋•琼海校级月考）下列求导运算正确的是（）A．（ln2）'＝0 B．（cos x）′＝sin xC．（e﹣x）′＝e﹣x D．3．（2019春•红河州期末）已知曲线y＝x3+ax在x＝1处的切线与直线y＝4x+3平行，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．（2019春•安庆期末）函数y＝f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，下列数值排序正确的是（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜0B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜0C．f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜f′（2）＜0D．f′（2）＜f（3）﹣f（2）＜f′（3）＜05．（2019春•分宜县校级月考）对函数f（x）＝x•lnx，下列结论正确的是（）A．有最小值B．有最小值C．有最大值D．有最大值6．（2019秋•中原区校级月考）已知f′（x）为函数f（x）＝ax﹣blnx的导函数，且满足f′（1）＝0，f′（﹣1）＝2，则f′（2）＝（）A．1 B．C．D．7．（2019秋•桃城区校级月考）若f（x）＝e x+ae﹣x是定义在R上的奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（）A．y＝﹣x B．y＝x C．y＝﹣2x D．y＝2x8．（2019秋•临川区校级月考）若f（x）＝x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递减区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（1，+∞）D．（0，2）9．（2019秋•平罗县校级月考）已知偶函数f（x）的导函数是f'（x），当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f （2）＝0，则f（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）10．（2019秋•辛集市校级月考）设a＞1，若曲线y与直线x＝1，x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为2，则a＝（）A．2 B．e C．2e D．e2第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2020•天河区一模）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝．12．（2019秋•上高县校级月考）设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x﹣f（1），则f′（1）＝．13．（2019秋•清江浦区校级月考）函数f（x）＝lnx x2的递减区间为．14．（2019秋•襄城区校级月考）曲线y＝xlnx+3x在点（1，3）处的切线方程为．评卷人得分三．解答题（共3小题，每小题10分，共30分）15．（2019春•咸阳期末）求下列函数的导数．（1）f（x）＝2x2+lnx+cos x；（2）f（x）＝x3e x．16．（2019秋•翠屏区校级月考）已知函数（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间和极值17．（2019秋•和平区校级月考）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设0＜t＜1，求f（x）在区间上的最小值．。