复数的加减法运算.

五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1

复数的四则运算公式复数是数学中的一个概念，它可以表示为实部与虚部的和。

在复数的四则运算中，包括加法、减法、乘法和除法。

下面将分别介绍这四种运算。

一、复数的加法复数的加法是指将两个复数相加的操作。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。

则两个复数的加法可以表示为：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i即实部相加，虚部相加。

二、复数的减法复数的减法是指将两个复数相减的操作。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。

则两个复数的减法可以表示为：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i即实部相减，虚部相减。

三、复数的乘法复数的乘法是指将两个复数相乘的操作。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。

则两个复数的乘法可以表示为：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i即实部相乘减虚部相乘，并将结果相加。

四、复数的除法复数的除法是指将两个复数相除的操作。

假设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d分别为实数部分和虚数部分。

则两个复数的除法可以表示为：(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)÷(c^2+d^2)] + [(bc-ad)÷(c^2+d^2)]i即将实部和虚部分别除以除数的实部和虚部的平方和。

通过以上介绍，我们了解了复数的四则运算公式。

在实际应用中，复数的四则运算常常用于电路分析、信号处理等领域。

对于复数的运算要求掌握加减法的运算规则，以及乘法和除法的计算方法。

复数的四则运算在解决实际问题中起到了重要的作用，对于深入理解复数的概念和应用具有重要意义。

因此，掌握复数的四则运算公式对于数学学习和实际应用都是非常重要的。

希望通过本文的介绍，读者能够对复数的四则运算有更深入的了解，并能够熟练运用于实际问题的解决中。

的虚部减虚部减去它的得的差是 3， 求复数ω. 2 3 + 3i 2
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
如你看后满意，请把此页面删掉，以免打扰你正常使用，我们万分感谢！
本站敬告： 一、本课件由“半岛教学资源（ :// 228668 ）”提供下载, 官网是 :// zjbandao ，网站创办人杨影，真名实姓，绝不虚假，系广东 省徐闻县徐城中学语文教师，兼任电脑课，拥有多年网站和课件制作经验，欢迎查实。 二、此课件为作者原作，如你看后有不满意的地方，我们提供专业技术修改，具体如下： 1、修改最低起点15元，负责给你修改4个以内页面，24小时内完成，不完成全额退款； 2、修改4个页面以上的，每加1个页面收5元，插入你发来图片并制作动画特效每张1元； 3、帮你制作一个动画或一个FLASH按钮并插入你指定的页面内收10元； 4、帮你把一个音频或视频文件剪成一个或几个并插入你指定的页面内并制特效收10元。 三、成交方法： 1、根据上面第二点的4个小点，算下你的修改要多少钱，然后付款，付款方法有二： 1）网上在线付款：在我们的网站 :// 228668 或 :// zjbandao 里注册会员后登录进会员中心在线付款到我们网站里； 2）银行汇款：到银行柜台转账或汇款，开户行：工商银行，账号：9558 8220 1500 0448136 收款人：杨影 2、把你要修改的课件发到我们的邮箱228668338@qq 或mmzwzy@139 里，并 在邮件里写明你在我们网站里的会员账号和付款是多少钱，以便我们查询。 3、把你要修改的要求写在发来的邮件里，如果需要我们帮剪辑音频或视频文件的，要 把文件一并发来，要插入图片的也要把图片发来(我们不提供找图片服务)。 四、加急请联系： 13030187488，QQ228668338 ，短信：13692343839 五、温馨提示：请在修改要求中尽可能详细的说明你的要求，我们做好发给你后只给你 提供一次重改机会,因你说明不清楚造成要修改第三次的，要补交半数费用。

例：已知复数 z = x + yi ( x , y ∈ R )满足 | z − ( −1 + 3 i ) |= 1, y (1)求 | z | 的范围 （2)求 的范围 x (1 ) z 对应的点表示以 ( − 1, 3 )为圆心， 为半径的圆 为圆心， 1
| z | 表示该圆上一点与原点 的距离
∴ 整理得：( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 2 整理得：
∴ 轨迹是以 (1, − 1)为圆心， 2为半径的圆 为圆心，
复数的减法运算： 复数的减法运算：
如果两个复数 z1 = a + bi ， z 2 = c + di (a , b, c , d ∈ R )
则定义： 则定义： z 1 − z 2 = ( a − c ) + ( b − d ) i
∴ Re( x ) = ± 1
且 xy = | x | ⇒ Im( x ) = ± | x | − (Re( x )) = ± 1
2 2 2
∴ x = 1 + i , y = 1 − i或 x = 1 − i , y = 1 + i 或 x = − 1 + i , y = − 1 − i或 x = − 1 − i , y = − 1 + i
5 − 4 a ∈ [1 , 3 ]
5 − 4a
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
∵ a ∈ [ − 1,1] ⇒
法二： 法二：几何法
∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]
( 2,0 )
法三： 法三：利用 | z 1 | − | z 2 |≤ | z 1 ± z 2 |≤ | z 1 | + | z 2 | ∴|| z | − 2 |≤ | z − 2 |≤ | z | + 2 ∴| z − 2 |∈ [1, 3 ]

利用复数的运算求解复数方程的解在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，可以用a+bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。

复数方程是指含有复数的方程，其中未知数是复数。

在解复数方程时，运用复数的运算规则和性质是一种有效的方法。

一、复数的加法和减法复数的加法可以按照实部和虚部分别相加，例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i同理，复数的减法也可以按照实部和虚部分别相减，例如：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i二、复数的乘法复数的乘法可以通过分配律进行计算，例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的性质，i^2 = -1，因此可以化简为：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i三、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方式进行计算。

共轭复数是指保持实部相同而虚部的符号相反的复数，例如：(a+bi)的共轭复数是(a-bi)因此，对于复数的除法，可以使用以下公式：(a+bi) / (c+di) = (a+bi) * (c-di) / (c+di) * (c-di)根据乘法的规则，化简后可得：(a+bi) / (c+di) = [(a+bi)(c-di)] / (c^2 + d^2)四、利用复数的运算求解复数方程在解复数方程时，首先可以将方程进行整理和化简，将未知数的复数形式展开，然后按照加减法、乘法、除法的运算规则进行求解。

举例说明：解方程：(2+3i)x + (4-5i) = 0首先将方程整理为一元一次复数方程的形式：(2+3i)x = - (4-5i)然后移项得到：x = - (4-5i) / (2+3i)根据复数的除法规则，可以计算出：x = [(4-5i)(2-3i)] / (2^2 + 3^2)化简后得到：x = (-2-23i) / 13因此，该复数方程的解为x = (-2-23i) / 13。

授课主题复数代数形式的加减、乘除运算教学目标1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．会进行复数代数形式的乘、除运算．教学内容1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).2．复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．3．复数乘法运算法则．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，那么(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.4．复数乘法的运算律．对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z35．复数除法运算法则．a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝[ac＋b i·(－d i)]＋(bc－ad)ic2＋d2＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.6．共轭复数．(1)设z1＝a＋b i，z2＝a－b i.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记z的共轭复数为z.(2)z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2.题型一复数的加减运算例1计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i(a，b∈R)．解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.点评：复数加减运算法则的记忆：①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，加减运算的结果还是一个复数；②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．巩 固 计算：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)；(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ； (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i.解析：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)＝－1＋3＋(3－23)i ＝2－3i.(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ＝⎝⎛⎭⎫22＋22＋22＋⎝⎛⎭⎫22－22＋22i ＝322＋22i. (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i ＝2－3i ＋[]－(a －b )＋(a ＋b )i ＝2＋(2b －3)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)求点B 对应的复数．解析：(1)AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 点评：利用复数加减法的几何意义解题：①z 1＋z 2的几何意义是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ →所在向量；②z 1－z 2的几何意义是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减数的向量Z 2Z 1→所对应的复数；③复平面内两点间距离公式：d ＝|z 1－z 2|(其中z 1，z 2是复平面内两点z 1和z 2所对应的复数，d 为z 1和z 2的距离)．巩 固 在复平面内， 复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →， 其中O 为坐标原点，则||AB →＝______. 解析：AB →＝OB →－OA →＝－2＋2i ，所以|AB →|＝2 2.答案：22题型三 复数的模相关的运算例3 已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z.解析：解法一 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 解法二 将原式化为z ＝2－|z |＋8i ，∵ |z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，∴|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.点评：复数模的相关运算，主要是根据求模公式或复数相等的充要条件将复数问题化为实数问题来解决．巩 固 已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝______.解析：z 1－z 2＝[](3x －4y )＋(y －2x )i －[](－2x ＋y )＋(x －3y )i＝[](3x －4y )－(－2x ＋y )＋[](y －2x )－(x －3y )i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0. 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝|1－i|＝ 2.答案：2题型四 复数的乘法与除法运算例4 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)(5－295i)÷(7－35i)．解析：(1)原式＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－29 5 i 7－3 5 i ＝(5－29 5 i )(7＋3 5 i )(7－3 5 i )(7＋3 5 i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i 72＋(35)2＝470－188 5 i 94＝5－2 5 i. 点评：两个复数代数形式的除法运算步骤：①把除式写为分式；②分子、分母同时乘以分母的共轭复数；③对分子、分母分别进行乘法运算；④把运算结果化为复数的代数形式．巩 固 (1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝________.(2)已知i 为虚数单位，则复数1－3i 3＋i的共轭复数是________． 解析：(1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝－(1＋i)2(3×1＋(3)2i ＋i ＋3i 2)＝－2i ×4i ＝－8i 2＝8.(2)1－3i 3＋i ＝(1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3－i －3×3i ＋3i 29－i 2＝－10i 10＝－i ，所以1－3i 3＋i的共轭复数为i. 答案：(1)8 (2)i题型五 共轭复数的应用例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如z z ＝|z |2＝|z |2，z ∈R ⇔z ＝z 等．(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．巩 固 已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z －＋1)＝|z |2，求复数z . 解析：由(z ＋1)(z ＋1)＝|z |2得z ＋z ＝－1，①由z －1z ＋1为纯虚数，得z －1z ＋1＋z －1z ＋1＝0，所以z ·z －1＝0.② 设z ＝a ＋b i ，代入①②，得a ＝－12，a 2＋b 2＝1. 所以a ＝－12，b ＝±32.所以z ＝－12±32i. 答案：z ＝－12±32i 题型六 复数范围内解方程问题例6 已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0.得b ＝－2，c ＝2. ∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)∵方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i 是方程的根．点评：在复数范围内解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)，将根设为m ＋n i ，再利用复数相等的充要条件解决问题．巩 固 若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3为( )A ．±22B ．－2 2C ．－22iD ．±22i解析：由z 2＋2＝0⇒z ＝±2i ⇒z 3＝±22i ，故选D.答案：D题型七 利用i n 的周期性求解例7 i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R)．分析：利用i 的周期性化简求和．解析：i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.答案：4－4i点评：熟记i 的周期性，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ；③1i ＝－i. 巩 固 化简：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝____________. 解析：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝2(1＋i )－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 007＝i(1＋i)＋(－i)1 007＝i ＋i 2＋(－1)1 007×i 1 007 ＝i －1－i 4×251＋3＝i －1－i 3＝－1＋2i.答案：－1＋2i（加减）A 组1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i答案：D2．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32.故选B.答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i答案：CB 组一、选择题1．已知复数z 1＝2＋i, z 2＝1＋2i, 则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2→对应的复数为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i答案：D3．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52iB ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i 解析：设x ＝a i(a ∈R)，原方程化为2a i －1＋i ＝y －(3－y )i ，即－1＋(2a ＋1)i ＝ y －(3－y )i ，得 －1＝y, 2a ＋1＝－(3－y )．解得 a ＝－52，y ＝－1，选D. 4．满足条件|z －i |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆解析：因为|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z －i|＝5，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则有x 2＋(y －1)2＝5，即x 2＋(y －1)2＝25.故选C.答案：C5．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3－2(sin θ－cos θ)＝3＋22sin (θ－π4)≤3＋22＝2＋1.故选D. 答案：D二、填空题6．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝__________.答案：4＋i7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i. 答案：2±i 8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA →对应的复数为____________；答案：－1＋i(2)向量BC →对应的复数为____________；答案：3＋2i(3)向量BD →对应的复数为____________；答案：2＋3i(4)点D 坐标是____________．答案：(3,3)三、解答题9．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，求f (z 1＋z 2)的值．解析：因为z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，所以z 1＋z 2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.于是f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋3 2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．解析：向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.（乘除）A 组1．设复数满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i解析：z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.故选A.答案：A2．已知z 1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1－3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案：B3．复数2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案：AB 组一、选择题1．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4) C. (4，－2) D ．(4,2)解析：z ＝2＋4i i＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 答案：C2．(2013·山东卷)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，所以 z ＝5＋i ，所以z ＝5－i.故选D. 答案：D3．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是( )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，∴ad ＋bc ＝0，选D.答案：D4．已知复数z ＝1＋i ，则z ＋1z2＝( ) A.12－i B.12＋i C ．－12－i D ．－12＋i 答案：A二、填空题5．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.答案：26．(2013·重庆卷)已知复数z ＝5i 1＋2i(是虚数单位)，则|z |＝________________. 解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝55＝ 5. 答案： 57. 设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝_________________. 解析：1＋a i 2－i ＝1＋a i 2－i ·2＋i 2＋i ＝2－a ＋(2a ＋1)i 5，因为1＋a i 2－i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2. 答案：28．若复数z 满足|z |－z －＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i.所以⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，得a ＝3，b ＝4. 所以z ＝3＋4i.答案：3＋4i三、解答题9．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x ≤0)上，|z ＋1|＝2，求复数z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则3z －z ＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝－2a ，b ＞0.① 又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2，②由①，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i. 10. 复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )(a ＋b i )1－i＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①因为复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.② 又因为z 点在第一象限内，所以a ＜0，b ＜0.由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.。

z1 z1 ③. = z z 2 2
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)

复数加减混合运算的五种运算技巧
1. 分解法
使用分解法可以将复数加减混合运算简化为两个简单的复数加减法运算。

首先，用分解法将混合运算式分解成两个部分，分别针对实部和虚部进行计算。

然后，将两个部分的计算结果合并得到最终的答案。

2. 共轭复数法
共轭复数法是一种常用的复数加减混合运算技巧。

对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。

在进行复数加减混合运算时，可以利用共轭复数的性质简化计算。

首先，将复数中的虚部乘以-1，然后进行实部和虚部的加减运算。

3. 代数法
代数法是一种基于代数运算规律的复数加减混合运算技巧。

通过将复数用代数式表示，然后应用代数运算规律进行计算。

这种方法能够简化复杂的复数加减混合运算，提高计算效率。

4. 利用模长和辐角
复数可以用模长和辐角表示，利用这些参数可以简化复数的加减运算。

首先，将复数表示为极坐标形式，然后进行模长和辐角的加减运算。

最后，将得到的结果转换回复数形式。

5. 利用数轴
利用数轴可以直观地展示复数加减运算的过程，帮助理解和计算。

将复数在数轴上表示出来，根据加减法规则进行计算。

这种方法适用于简单的复数加减运算，能够提升计算的准确性和效率。

以上是复数加减混合运算的五种运算技巧，通过灵活运用这些方法，可以简化复杂的运算过程，提高计算的准确性和效率。

希望对您有所帮助！。

复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。

一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。

式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。

在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。

当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。

由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。

复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。

二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。

两个复数的积仍然是一个复数。

除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。

定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
记为 (a bi) (c di)或 a bi . c di
即 a bi x yi ,那么 x ? , y ?
解:原式= a2 (bi)2 = a2 b2 一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z, 即 z a bi
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么z z ? z z ?
另外不难证明: z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
即:两个复数相加(减)就是 实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:⑴复数的减法是加法的逆运算； ⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何 z1,z2,z3∈C, 有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.
(a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)i
22
8
x 7.在复数集C内，你能将 2 y2分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
练习8：下列命题中正确的是 (1)如果Z1 Z2是实数，则 Z1、Z2互为共轭复数 (2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。
(3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (2)
(4)两个虚数的差还是虚数 。

§2 复数的四则运算 2．1 复数的加法与减法 2．2 复数的乘法与除法(1)1．复数的加法与减法运算法则 (a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的复数z 1、z 2、z 3∈C ，都有z 1＋z 2＝z 2＋z 1(交换律)，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)(结合律)．(1)类比平面向量加、减运算理解复数的加法与减法的运算．(2)类比平面向量加、减运算的几何意义可得出复数加、减运算的几何意义． 2．复数的乘法设a ＋b i 与c ＋d i 分别是任意两个复数，(1)定义：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ． (2)运算律： 交换律：z 1·z 2＝z 2·z 1． 结合律：(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)． 分配律：z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3． 3．共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －__表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ．(2)性质：z ·z －＝|z |2＝|z －|2．判断下列说法是否正确．(在题后标注“√”或“×”) (1)两个共轭复数的和与积是实数．( )(2)复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( )(3)若|z ＋1|＝1，则复数z 对应的点的轨迹是以(1，0)为圆心，以1为半径的圆．( ) (4)复数加减乘的混合运算法则是先乘，后加减．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (1＋i)(2＋i)＝( ) A ．1－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．3＋3i 解析：选B.依题意得(1＋i)(2＋i)＝2＋i 2＋3i ＝1＋3i ，选B. 设f (x )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)＝( )A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2解析：选D.因为z 1－z 2＝5＋5i ， 所以f (z 1－z 2)＝f (5＋5i)＝|5＋5i|＝5 2.若复数z 满足z ＝i(2－z )(i 是虚数单位)，则z ＝________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则a ＋b i ＝i(2－a －b i)＝b ＋(2－a )i ，由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2－a .所以a ＝b ＝1，即z ＝1＋i. 答案：1＋i1．对复数加减法的理解(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．(2)复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．(3)两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i ＝3.2．对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数的积仍然是一个复数．复数的加、减法运算计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)； (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．【解】 (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i ＝3＋2i. (2)(－1＋2i)＋(1＋2i)＝(－1＋1)＋(2＋2)i ＝22i. (3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i.解决复数加减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．1.(1)(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i)的结果为( )A ．5－3iB ．3＋5iC ．7－8iD ．7－2i(2)复数z ＝(3＋2i)－7i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部是________．(3)已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，若z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：(1)选C.(6－3i)－(3i ＋1)＋(2－2i) ＝(6－1)＋(－3－3)i ＋(2－2i)＝5＋(－6)i ＋(2－2i)＝(5＋2)＋(－6－2)i ＝7－8i.故选C.(2)z ＝(3＋2i)－7i ＝3－5i ，虚部是－5.故填－5. (3)z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i] ＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i. 又因为z 1－z 2＝13－2i ， 所以(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.复数的乘法运算计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i. 【解】 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i) ＝1－i 2＋(－1＋i) ＝2－1＋i ＝1＋i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.(3)(2＋i)(1＋2i)(2－i)－5i ＝(2＋i)(2－i)(1＋2i)－5i ＝(4－i 2)(1＋2i)－5i＝5(1＋2i)－5i ＝5＋10i －5i ＝5＋5i.(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.2.(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i)C ．(1＋i)2D ．i(1＋i) (2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1B ． 2C. 3 D ．2解析：(1)选C.i(1＋i)2＝i·2i ＝－2，不是纯虚数，排除A ；i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数，排除B ；(1＋i)2＝2i ，2i 是纯虚数．故选C.(2)选B.因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 12＋12＝2，选B.共轭复数(1)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i (2)把复数z 的共轭复数记作z －，已知(1＋2i) z －＝4＋3i ，求z . 【解】 (1)选D.因为a －i 与2＋b i 互为共轭复数， 所以a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1， 所以z ＝2＋i.共轭复数性质的巧用(1)z ·z －＝|z |2＝|z －|2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z －，利用此性质可以证明一个复数是实数； (3)若z ≠0且z ＋z －＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．3.(1)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z －＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i(2)已知z ∈C ，z －为z 的共轭复数，若z ·z －－3i z －＝1＋3i ，求z .解：(1)选C.易知z ＝3－2i ，所以z －＝3＋2i. (2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z －＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.易错警示把复数运算混淆为实数运算致误已知M ＝{z ||z ＋1|＝1}，N ＝{z ||z ＋i|＝|z －i|}，则M ∩N ＝________． 【解析】 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z ＋1|＝1的几何意义是以点(－1，0)为圆心，以1为半径的圆． |z ＋i|＝|z －i|的几何意义是到点A (0，1)和点B (0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴．M ∩N 的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数． 故z ＝0或z ＝－2. 所以M ∩N ＝{0，－2}． 【答案】 {0，－2}本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M 和N 化简为M ＝{z |z ＋1＝±1}，N ＝{z |z ＋i ＝±(z －i)}从而造成解题错误.在复数运算中，若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.1．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( ) A ．6－4i B ．－6－4i C ．6＋4iD ．－6＋4i解析：选D.(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝4i －6＝－6＋4i. 2．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则( ) A ．x ＝－1，y ＝1 B ．x ＝－1，y ＝2 C ．x ＝1，y ＝1 D ．x ＝1，y ＝2解析：选D.由x ，y 为实数，且(x ＋i)(1－i)＝y ，得x ＋1＋(1－x )i ＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，1－x ＝0.所以x ＝1，y ＝2.3．向量OA →对应的复数为－1＋i ，OB →对应的复数为2＋3i ，BC →对应的复数为－2＋i ，则向量AC →对应的复数为________．解析：因为BC →＝OC →－OB →，所以OC →＝BC →＋OB →，OC →对应的复数为(－2＋i)＋(2＋3i)＝4i ， 又AC →＝OC →－OA →，所以AC →对应的复数为4i －(－1＋i)＝1＋3i. 答案：1＋3i4．已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i 和3x －(y ＋1)i 互为共轭复数，求复数z ＝x ＋y i 和z －.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以z ＝i 或z ＝1，z －＝－i 或z －＝1.[A 基础达标]1．复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C.z ＝i(－2＋i)＝－2i ＋i 2＝－1－2i ，故复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于第三象限，故选C.2．复数z 1＝a ＋4i(a ∈R )，z 2＝－3＋b i(b ∈R )，若它们的和为实数，差为纯虚数，则( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4 D ．a ＝3，b ＝4解析：选A.由题意，可知z 1＋z 2＝(a －3)＋(b ＋4)i 是实数，z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 是纯虚数，故⎩⎪⎨⎪⎧b ＋4＝0a ＋3＝04－b ≠0，解得a ＝－3，b ＝－4，故选A.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i 等于( ) A ．－1 B ．－1＋10i C ．1－6i D ．1－10i 解析：选A.由z ＋(2－3i)＝－1＋2i ， 得z ＝(－1＋2i)－(2－3i)＝－3＋5i ，于是z ＋2－5i ＝(－3＋5i)＋(2－5i)＝－1，故选A. 4．若z ＋z －＝6，z ·z －＝10，则z ＝( ) A ．1±3i B ．3±i C ．3＋iD ．3－i解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝6，a 2＋b 2＝10，解得a ＝3，b ＝±1，则z ＝3±i.5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2等于( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋i D ．－4－i 解析：选A.z 1＝2＋i ，由题意，z 2＝－2＋i ， 所以z 1·z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.6．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________． 解析：因为z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，z 1＋z 2＝5－6i ， 所以(3＋x )＋(2－y )i ＝5－6i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＝5，2－y ＝－6，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8.所以z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.答案：－1＋10i7．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z ＝________． 解析：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝9.① 又z ＋3i ＝a ＋(3＋b )i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋3≠0.②由①②得a ＝0，b ＝3， 所以z ＝3i. 答案：3i8．设z 2＝z 1－i z －1(其中z －1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．解析：设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z 2＝z 1－i z －1＝a ＋b i －i(a －b i) ＝(a －b )－(a －b )i.因为z 2的实部是－1，即a －b ＝－1，所以z 2的虚部为1. 答案：1 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R )，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋b i.解：z 1－z 2＝⎣⎡⎦⎤32a ＋（a ＋1）i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以z ＝2＋i.10．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x <0)上，|z ＋1|＝2，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则3z －z －＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i. 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2a ＝－1，b >0.①又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i.[B 能力提升]11．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，则|z －1－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选A.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋2－2i ＝(a ＋2)＋(b －2)i ， 所以|z ＋2－2i|＝（a ＋2）2＋（b －2）2＝1，即(a ＋2)2＋(b －2)2＝1，表示点(a ，b )的轨迹为以(－2，2)为圆心，以1为半径的圆．因为z －1－2i ＝(a －1)＋(b －2)i ，所以|z －1－2i|＝（a －1）2＋（b －2）2，表示点(a ，b )与点(1，2)间的距离．点(1，2)与(－2，2)间的距离d ＝|1－(－2)|＝3，所以|z －1－2i|min ＝3－1＝2.故A 正确．12．已知－1＋i 是关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，则实数p ，q 的值为________． 解析：由题意知，(－1＋i)2＋p (－1＋i)＋q ＝0， 得(－p ＋q )＋(p －2)i ＝0， 根据复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧－p ＋q ＝0，p －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝2.答案：2，213．实数x ，y ，θ有以下关系：x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，求x 2＋y 2的最大值． 解：由x ＋y i ＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)得x ＝3＋5cos θ，y ＝－4＋5sin θ.所以x 2＋y 2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2＝50－40sin θ＋30cos θ＝50－50sin(θ＋φ)，所以sin(θ＋φ)＝－1时，(x 2＋y 2)max ＝100.14．(选做题)已知复数z 满足z ＝(－1＋3i)·(1－i)－4.(1)求复数z 的共轭复数；(2)若ω＝z ＋a i ，且复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模，求实数a 的取值范围．解：(1)z ＝－1＋i ＋3i ＋3－4＝－2＋4i ，所以复数z 的共轭复数为－2－4i.(2)ω＝－2＋(4＋a )i ，复数ω对应向量为(－2，4＋a )， 其模为4＋（4＋a ）2＝20＋8a ＋a 2.又复数z 所对应向量为(－2，4)，其模为2 5.由复数ω对应向量的模不大于复数z 所对应向量的模得，20＋8a ＋a 2≤20，a 2＋8a ≤0，a (a ＋8)≤0，所以，实数a 的取值范围是－8≤a ≤0.。

二.复数的加减法及几何意义
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
例1.计算(1)(1+3i)+(-4+2i) (2)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
; 杏耀 杏耀注册 杏耀 杏耀注册 ；
在西 若当作笛 故属梁国 于广陵侨置青州 有乱臣 故曰下徵 秦兼天下 各设一坐而已 夷则上生夹钟 监于方伯之国 内赤外青 占曰 舒 谓日官不豫言 若植酄酄长 客亡地 月犯东井距星 使太尉告谥于南郊 寻省 护奔荥阳 统县三 丁未 海西公太和三年九月戊辰夜 瓜州 缩三十一 十七万 九千四十四 或紫黑如门上楼 不动 占曰 长五六丈 东安 未有父欲责其子 王恭等举兵胁朝廷 荧惑入箕 昭星 则曰 馀数 主招横 〕蓟 变通相半 尾分为百馀岐 顺抱击者胜 如人无头 △求月去极度置加时若昏明定数 桓玄劫天子如江陵 十月戊申 延平晋安郡〔太康三年置 如虹而短是也 在参 胶东 即上弦月所在度也 为远天 癸酉 溧阳〔溧水所出 谭 以通周去之 徐州 灭宝 伏十日 胡有忧 高昌 月周除之 其二十二具 则宫中将有大丧 小分满通法从大分 汉光武即位高邑 《周礼》 一曰 追述前旨 此衰气也 明年 是其应也 户四十七万五千七百 大馀满六十去之 《周历》 得五百六日 东南曰扬州 八月己卯 王室兵丧之应也 在房 〕 十一月丙戌 白比

5.有关正整数指数幂的运算结论： （1）i1 =i (2)i4k = 1 i2 = −1 i4k+1 = i i3 = −i i4k+2 = −1 i4 = 1 i4k+3 = −i (k ∈ N) 1+i = i 1−i 1−i = −i 1+i
(3)(1 + i)2 = 2i
6. 复数的除法：
2.复数的乘法： 设z 1 = a + bi,z2 = c + di (a,b,c,d ∈ R) z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac − bd) + (ad + bc) i 两个复数的积仍然是一个复数； 复数的乘法与多项式的乘法是类似的（即两个二项式相乘） 其中i2 = −1，要把i2换成-1。
(1 − i)2 = −2i
令z1 = a + bi, z2 = c + di.(a,b,c,d ∈ R) z1 a + bi (a + bi)(c − di) (ac + bd) + (bc − ad) i = = = z2 c + di (c + di)(c − di) c2 + d 2 ac + bd bc − ad = 2 + 2 i (其中c,d不全为0） 2 2 c +d c +d 分式中的分子、分母都乘上分母的共轭复数，使分母实数化， 分子上就成了两复数的相乘。
7. 模与共轭复数的相关性质： （1）zz = z
2
= z
2
≠ z2;
(2) z = z ; (3) z1z2 = z1 z2 ; z1 n z1 n = (z2 ≠ 0); z = z ； z2 z2

∴满足|Z+ 2- 2i |≤1 所对应的点Z，
组成以C(- 2, 2)点为圆心，以r为半
x
径的圆的内部（如图）， |Z|就是圆
C及其内部各点到圆点的距离，使|Z|取得最大值与最小值
的点就是OC与圆C的两个交点。
直线OC的方程是y=-x，圆C的方程是
(x+ 2)²+(y+ 2)² =1 18
二、复数加法与减法运算的几何意义
同理可证： Z1-=Z2 －Z1 Z2 .
7
二、复数加法与减法运算的几何意义
1、复数加法的运算的几何意义
设：oz， 1
o分#43;di
,
8
二、复数加法与减法运算的几何意义
(1) o，z 不oz共线
1
2
y
Z
Z2
Z1
S
0
QP
R
x
ZZ1S~= Z2OQ ， 且 Z1 PRS 是矩形，因此
3
一、复数加法与减法的运算法则
2、复数减法的运算法则 复数减法规定是加法的逆运算 (a+bi )－(c+di) = x+yi ，
(c+di )+(x+yi) = a+bi ，
由复数相等定义，有 c+x=a ， d+y=b
由此，x=a－c ， y=b－d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a－c) + (b－d)i
14
二、复数加法与减法运算的几何意义
y
B
0
A
C
x
(3)
如图(3)，在 OBAC中, =OC =BA -OA OB
∴ C对O 应的复数是

复数与指数函数的运算与应用复数与指数函数是数学中的重要概念，它们在各个领域都有广泛的运用。

本文将介绍复数与指数函数的基本运算规则，并探讨它们在实际应用中的作用。

一、复数的基本概念和运算规则复数由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

1. 复数的加减法：将实部和虚部分别相加减即可。

2. 复数的乘法：使用分配律，对实部和虚部进行分别相乘，同时注意i的平方为-1。

3. 复数的除法：通过有理化的方法，将除法转化为乘法，然后进行运算。

4. 复数的共轭：将虚部的正负号互换即可得到共轭复数。

二、指数函数的定义和性质指数函数以常数e（自然对数的底）为底，自变量为指数的幂函数。

指数函数的形式为f(x)=e^x，其中e为自然对数的底。

指数函数具有以下重要的性质：1. 自然指数函数的导数等于函数本身：即f'(x)=e^x。

2. 指数函数的性质： e^x = 1/e^(-x) = (√e)^2x = (e^(1/n))^nx，其中n为正整数。

3. 指数函数的求导：对于e^kx式子，可以使用链式法则进行求导。

三、复数与指数函数的运算1. 指数函数的运算规则在复数中也适用。

例如，复数的乘法可以使用指数函数来简化运算。

2. 复数也可以表示为指数形式，即a+bi = r * e^(iθ)，其中r为模长，θ为幅角。

3. 使用指数形式表示复数时，乘法和除法的运算变得更加简便，只需将模长相乘或相除，幅角相加或相减。

四、复数与指数函数的应用1. 电路分析中，使用复数可以方便地表示交流电路中电压和电流的相位关系，并利用指数函数来简化求解过程。

2. 在物理学中，复数和指数函数常用于描述波动现象，如光的干涉和衍射等。

3. 在经济学和金融学中，复利的计算常使用指数函数的概念，可以帮助分析投资回报率和利息的增长情况。

4. 在信号处理领域，复数和指数函数经常被用来进行信号的调制和解调操作，以及频谱分析等。

【变式 2】计算：（1） in (n N ) ；（2） i i2 i3 i100 ；（3） i i2 i3 i100
i n 4k 3
【答案】（1） in
1
i
n 4k 2 n 4k 1
1 n 4k
其中k N * ；
（2） i4k i4k1 i4k2 i4k3 i4k (1 i2 i3 i) 0 ，
【学习目标】 1.ห้องสมุดไป่ตู้会进行复数的加、减运算； 2. 会进行复数乘法和除法运算；
复数的四则运算
3. 掌握共轭复数的简单性质，理解 z 、 z 的含义，并能灵活运用。
【要点梳理】 要点一、复数的加减运算
1.复数的加法、减法运算法则：
设 z1 a bi ， z2 c di （ a, b, c, d R ），我们规定：
z 2 2i
5
当 a 2 ， b 2 时， z 2 2i i . z 2 2i
故 z i. z
6
通常记复数 z 的共轭复数为 z 。
2．乘法运算法则：
设 z1 a bi ， z2 c di （ a, b, c, d R ），我们规定：
z1 z2 (a bi)(c di) (ac bd ) (bc ad )i z1 a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad i z2 c di (c di)(c di) c2 d 2 c2 d 2
2
2i)·4i＝8，而不是－8. 举一反三：
【变式 1】在复平面内，复数 z=i(1+2i)对应的点位于（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B ∵z=i(1+2i)=i+2i2=－2+i，∴复数 z 所对应的点为（－2，1），故选 B． 【高清课堂：复数代数形式的四则运算 401753 例题 1】