七年级数学图形与面积问题整理

七年级数学下册知识点归纳一、图形的认识1. 点、线、面的定义和特征2. 线段、直线、射线的区别和特征3. 角的定义和特征4. 图形的种类和特点：三角形、四边形、多边形等5. 同种图形的分类和比较二、平面图形的性质研究1. 三角形的内角和外角关系2. 三角形的分类及其性质3. 三角形内切圆和外接圆的应用4. 平行四边形的性质及其判定5. 长方形、正方形、菱形和矩形的性质及其判定三、图形的相似与全等1. 图形相似的概念和判定条件2. 相似三角形的性质及其判定3. 图形全等的概念和应用4. 证明图形全等的方法和步骤四、直角三角形的研究1. 直角三角形的定义和性质2. 勾股定理的应用3. 余弦定理和正弦定理的应用五、多边形的面积和周长1. 一般多边形的周长计算2. 三角形的面积计算和性质3. 四边形的面积计算和性质4. 多边形的面积计算和性质六、圆的研究1. 圆的定义和性质2. 圆的元素：圆心、半径、直径、弧长等的概念和关系3. 圆内角和弧度的关系及其应用4. 弧长、扇形面积和圆的面积计算七、线性方程的解法1. 一元一次方程的解方法2. 解一元一次方程的应用3. 解一元一次方程组的方法和步骤4. 一次函数及其应用八、比例与相似1. 比和比例的概念及其应用2. 相似三角形的比例关系3. 解直角三角形的比例问题4. 解平行四边形的比例问题九、数据的收集和处理1. 数据收集的方法和意义2. 数据的整理和描述3. 数据图形的绘制和解读4. 统计与概率的基本知识十、考试技巧与思维方法1. 解题方法和思维技巧的培养2. 数学解题策略与问题解决能力的提升3. 拓展数学的应用能力和创新思维。

第1页 共16页七年级数学几何图形初步难题精选（含解析答案）1. 美术课上，老师要求同学们将如图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是A. B. C. D2. 《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础.它是下列哪位数学家的著作( )A. 欧几里得B. 杨辉C. 费马D. 刘徽3.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，BD ⊥DC ，BD ＝DC ，CE 平分∠BCD ，交AB 于点E ，交BD 于点H ，EN ∥DC 交BD 于点N ，下列结论：①BH ＝DH ；②CH ＝(√2＋1)EH ；③S △ENH S △EBH ＝EHEC.其中正确的是( )A. ①②③B. 只有②③C. 只有②D. 只有③4. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是( )A. B. C. D.5. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后的图形是( )A. AB. BC. CD. D6. 图1所示的正方体木块棱长为6 cm,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm.7. 如图1,图2,图3,用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”,我们称之为环形密铺,但图4,图5不是我们所说的环形密铺.请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形:.8. 如图，n＋1个上底、两腰长皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn＋1的面积记为Sn，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn＝________.9. 有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B，D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE，C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE，C′F均落在DG上，点A，C′落在点A′处，点E，F落在点E′处，得折痕MN，QP.第3页 共16页这样，就可以折出一个五边形DMNPQ .(1)请写出图①中一组相等的线段__________(写出一组即可)；(2)若这样折出的五边形DMNPQ (如图③)恰好是一个正五边形，当AB ＝a ，AD ＝b ，DM ＝m 时，有下列结论：①a 2－b 2＝2ab tan 18°； ②m ＝√a 2+b 2tan 18°；③b ＝m ＋a tan 18°； ④b ＝32m ＋m tan 18°其中，正确结论的序号是______(把你认为正确结论的序号都．填上). 10. 一个圆柱形的蛋糕，将它截三刀，能截出六块、七块或八块吗？若能，画出示意图；若不能，请说明理由.11. 图①的正方体切去一块，得到图②~⑤的几何体.(1)所得几何体各有多少个面?多少条棱?多少个顶点?(2)举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少? (3)若面数记为f ，棱数记为e ，顶点数记为v ，则f , v , e 应满足什么关系?12. 有一副直角三角板，其中一个三角板的内角是45°,45°,90°,另一个三角板的内角是30°,60°,90°.(1)将该副三角板按如图①所示方式放置，AB ⊥AD ，则∠CAE =________，BC 与AD 的位置关系是________；(2)在第1问的基础上，再拿一个内角为30°,60°,90°的直角三角板，按如图②所示方式放置，AC'边和AD 边部分重合，则AE 平分∠CAB′吗？请说明理由；(3)根据第1问和第2问的计算，请解决下列问题：如图③，∠BAG =90°，∠BAC =∠FAG =20°，将一个内角为45°,45°,90°的直角三角板的一直角边与AG 部分重合，锐角顶点与∠BAG 的顶点重合，AE 平分∠CAF 吗？请说明理由；(4)如果图③中的∠BAC =∠FAG =∠α(∠α是锐角)，其他条件不变，那么第3问中的结论还成立吗？只需回答成立或者不成立，不需要说明理由.13. 如图给出的正多边形的边长都是20 cm.请分别按下列要求设计一种剪拼方法(用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线表示，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明)(1)将图①中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等；(2)将图②中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等；(3)将图③中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等.14. 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题.四面体长方体正八面体正十二面体(1)根据上面的多面体模型，补全表格：顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是________；(2)一个多面体的顶点数比面数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面的三角形的个数为x，八边形的个数为y，求x+y 的值.15. 在图中，对于四个平面图形①②③④，我们规定：如图形③，它的顶点为共5个，区域为△AED,△ABE,△BEC,△CED，共4个，边为AE,EC,DE,EB,AB,BC,CD,DA，共8条.①②③④(1)按此规定将图形①②④的顶点数、边数、区域数填入下列表格：第5页 共16页(2)观察上表，请你归纳上述平面图形的顶点数、边数、区域数之间的数量关系；(3)如果有一个平面图形满足第2问中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且从每一个顶点出发都有3条边，那么这个平面图形共有多少条边？16. 在多边形中，三角形是最基本的图形，而研究多边形一般是将多边形分割成三角形，那么一个八边形至少可以分割成多少个三角形？n 边形呢？17. 如图，P 是定长线段AB 上一点，C ,D 两点同时从P ,B 出发分别以1cm s ⁄和2 cm/s 的速度沿线段向左运动(C 在线段AP 处上，D 在线段BP 上).已知C ,D 运动到任一时刻时，总有PD =2AC .(1)线段AP 与线段AB 的数量关系是________；(2)若Q 是线段AB 上一点，且AQ -BQ =PQ ，求证：AP =PQ .(3)若C ,D 运动5秒，恰好有CD =12AB ，此时C 点停止运动，D 点在线段BP 上继续运动， M ,N 分别是CD , PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB的值. 18. 已知在同一平面内,∠AOB =90°,∠AOC =60°. (1)∠COB = ;(2)如果OD 平分∠BOC ,OE 平分∠AOC ,那么∠DOE 的度数为 ;(3)试问在第2问的条件下,如果将题目中∠AOC =60°改成∠AOC =2α(α<45°),其他条件不变,你能求出∠DOE 的度数吗?若能,请写出求解过程;若不能,请说明理由.19. 先阅读下面的材料,然后解答问题:在一条直线上有依次排列的n (n >1)台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P ,使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:如图所示,如果直线上有2台机床甲、乙,很明显供应站P 设在A 1和A 2之间的任何地方都行,因为甲和乙到P 的距离之和等于A 1到A 2的距离.如图所示,如果直线上有3台机床甲、乙、丙,不难判断,供应站P 设在中间A 2处最合适,因为如果P设在A 2处,甲和丙到P 的距离之和恰好为A 1到A 3的距离,而如果把P 设在别处,例如D 处,那么甲和丙到P 的距离之和仍是A 1到A 3的距离,可是乙到P 的距离是从A 2到D 的这一段的长,这是多出来的,因此P 放在A 2处最合适.不难知道,如果直线上有4台机床,P 应设在第2台与第3台之间的任何地方;有5台机床,P 应设在第3台处.(1)有n (n >1)台机床时,P 应设在何处?(2)根据第1问的结论,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.(3)变式:某公司员工分别住在离公路较近的A,B,C三个住宅区,其中A区有75人,B区有45人,C区有30人,A,B,C三区与公路的连接点分别为D,E,F,如图,且DE=100米,EF=200米,该公司的接送车打算在公路上只设一个停靠点,为使所有员工在公路上步行到停靠点的路程之和最小,那么停靠点的位置应设在.20. 如图,两个形状、大小完全相同的含有30°,60°角的三角尺如图①放置,PA,PB与直线MN重合,且三角尺PAC,三角尺PBD均可以绕点P逆时针旋转.(1)试说明:∠DPC=90°;(2)如图②,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;(3)如图③,若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3°/秒,同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2°/秒,在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时,两三角尺都停止转动),以下两个结论:①∠CPD∠BPN为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.21. 已知线段AB=12,CD=6,线段CD在直线AB上运动(如图,A在B的左侧,C在D的左侧,且运动中D在B的右侧).(1)M,N分别是线段AC,BD的中点,若BC=4,求MN的长;(2)当线段CD运动到D点与B点重合时,P是线段AB的延长线上一点,下列两个结论:①PA+PBPC 是定值,②PA-PBPC是定值.其中有一个正确,请你选出正确的结论,并求出这个定值.22. 墙角处有由若干大小相同的小正方体堆成的如图所示的立体图形,如果你打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制),但希望搬完后从正面、上面、右面用平行光线照射时,在墙面及地面上的影子不变,那么你最多可以搬走多少个小正方体?23. 已知C为直线AB上任意一点，M,N分别为AC,BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由.24. 已知直线AB上有点O，OD,OC是从点O出发的两条射线，∠AOD=42°，∠BOC=34°，求∠AOD 与∠BOC的角平分线的夹角的度数.25. 如图，射线OM,ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°.(1)求∠MON的度数；(2)当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数是否会发生变化？简单说明理由.26. 比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)：①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大.对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小.27. 如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.(1)求∠MON的度数；(2)若将题干中的∠AOB=90°改为∠AOB=α，其余条件不变，求∠MON的度数；(3)若将题干中的∠BOC=30°改为∠BOC=β(β为锐角)，其余条件不变，求∠MON的度数；(4)从前面的结果中，你能得出什么结论？28. 根据所给图形解答问题.第7页共16页(1)如图1，已知∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，OD,OE分别平分∠COB，∠AOC，求∠DOE的度数；(2)如图2，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB内任意一条射线”，其他任何条件都不变，试求∠DOE的度数；(3)如图3，在第1问中把“OC是∠AOB的平分线”改为“OC是∠AOB外任意一条射线”，其他任何条件都不变，你能求出∠DOE的度数吗？说明理由.29. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点B处，如图所示，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的？在图上画出来，这样的最短路线有几条？参考答案1. 【答案】B【解析】由图的特征可知B选项符合题意2. 【答案】A【解析】由常识可知选A.3. 【答案】B【解析】过点H作HM⊥BC于M.∵CE平分∠BCD.∴DH＝HM.在Rt△BMH中BH＞HM∴BH＞DH.故①不正确②③正确故选B.4. 【答案】B【解析】实际动手做一下，就可知几何体表面展开图是B.5. 【答案】D【解析】相反操作顺序展开，再利用对称性作图，可得D正确.6. 【答案】3√2+3√6【解析】本题考查平面展开图及最短路径问题,难度较大.将图②的几何体表面展开,根据“两点之间线段最短”得出结果.如图所示,蚂蚁爬行的最短距离即线段AB的长度,∵BC=BD,AC=AD,∴AB垂直平分线段CD,设垂足为点E,∵△BCD是等腰直角三角形,∴CD=√BC2+BD2=第9页 共16页√62+62=6√2(cm),∴BE =12CD =3√2(cm),∵AD ,AC ,CD 均为正方形的对角线,∴AD =AC =CD =6√2,即△ACD 是等边三角形,∴AE =AD sin 60°=6√2×√32=3√6, ∴AB =BE +AE =3√2+3√6(cm),∴蚂蚁爬行的最短距离为(3√2+3√6)cm.7. 【答案】正十二边形(答案不唯一)【解析】本题考查平面图形的镶嵌问题,属于较难题.由题意知,符合环形密铺的条件是各正多边形的重心到所围成的图形的重心距离要相等,即正多边形的重心在一个圆上,图中的④,⑤明显的不符合,正六边形符合,则正十二边形也符合.8. 【答案】3√34－12n+1√34【解析】当上底为1，腰为1，下底为2时，高为√1−14＝√32，上底与下底的比为1∶2，∴S △1＝14S △AN 1M 1＝2×√32×23×14×12＝√312， S 1＝12(1＋2)√32－√312＝3√34－√312＝2√33，S 1＝3√34－12×1+1√34，同理，由相似，S 2＝3√34－12×2+1√34，…，以此类推，S n ＝3√34－12n+1√34. 9.(1) 【答案】AD ＝C ′D (答案不唯一，也可以是AE ＝C ′F 等)【解析】图①中，AD ＝C ′D ，AE ＝C ′F ，DE ＝BE ，C ′F ＝CF 等 (2) 【答案】①②③【解析】延长MN ，则M 、N 、B 在一条直线上，∴∠MBA ＝18°， ∴AM AB ＝AMa＝tan 18°，∴AM ＝a tan 18°，又AD ＝AM ＋MD ，∴b ＝m ＋a tan 18°，延长线BM 至M ′，使DM ＝DM ′，∠DM ′M ＝∠DMM ′＝72°， ∴∠M ′DB ＝90° ∴DM ＝DM ′＝BD tan18°＝√a 2+b 2tan18°＝m .∴AE ＝b tan 18°，DE ＝BE ＝a －b tan 18°，AD ＝b .∴b 2＋b 2tan 2 18°＝a 2－2ab tan 18°＋b 2tan 18°，∴2ab tan 18°＝a2－b2.故①②③正确10. 【答案】垂直、平行于底面各截一刀，第三刀刚好过前两个截面的交线，如图1，可以截出六块(方法不唯一)；垂直、平行于底面各截一刀，第三刀不过前两个截面的交线，如图2，可以截出七块；垂直于底面交叉截两刀，再平行于底面横截一刀，如图3，可以截出八块.11.(1) 【答案】题图②有7个面、15条棱、10个顶点，题图③有7个面、14条棱、9个顶点，题图④有7个面、13条棱、8个顶点，题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点.(2) 【答案】例如：三棱锥被切去一块，如图所示，所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.(3) 【答案】由前两问可得到规律，f+v-e=2，所以f,v,e应满足的关系是f+v-e=2.12.(1) 【答案】15°；BC∥AD.(2) 【答案】AE平分∠CAB′，理由：易知∠EAB′=15°，由第1问知，∠CAE=15°，所以∠CAE=∠EAB′，所以AE平分∠CAB′.(3) 【答案】AE平分∠CAF，理由：因为∠GAE=45°，∠BAG=90°，所以∠BAE=45°，因为∠BAC=∠FAG=20°，所以∠CAE=25°，∠EAF=25°，即∠CAE=∠EAF，则AE平分∠CAF. (4) 【答案】成立.13.(1) 【答案】将图①中四个角上的4个小正方形剪下，拼成一个正方形，作为直四棱柱的一个底面.(2) 【答案】将图②中三个角上的3个四边形剪下，拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面.第11页 共16页(3) 【答案】将图③中五个角上的5个四边形剪下，拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面.14.(1) 【答案】6；6；V +F −E =2.(2) 【答案】12.(3) 【答案】这个多面体的面数为x +y ，棱数为24×32=36，根据V +F −E =2可得24+(x +y)−36=2，所以x +y =14. 15.(1) 【答案】①栏依次填入：4；6；3；②栏依次填入：6；9；4；④栏依次填入：10；15；6.(2) 【答案】顶点数+区域数-边数=1.(3) 【答案】设这个平面图形有n 个顶点.因为从每一个顶点出发都有3条边，所以它3n2有条边.根据上述数量关系，有n +9−3n 2=1，可得n =16.所以3n2=24，所以这个平面图形共有24条边.16. 【答案】(1)将八边形内一点与各个顶点相连，可把八边形分割成8个三角形(如图(1))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成n 个三角形；(2)从八边形边上一点出发，连接各个顶点，能分成7个三角形(如图(2))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −1)个三角形；(3)将八边形的一个顶点与同它不相邻的各顶点相连可以分割成6个三角形(如图(3))，用同样方法分割，可知n 边形可以分割成(n −2)个三角形.综上所述，八边形至少可以分割成6个三角形，n 边形至少可以分割成(n −2)个三角形.17.(1) 【答案】 AB =3AP .(提示：因为PD =2AC,DB =2PC ，所以PB =PD +DB =2(AC +PC )=2AP ，AB = AP +PB ，所以AB =3AP )(2) 【答案】证明：如图，由题意得AQ>BQ，∴AQ=AP+PQ，又∵AQ−BQ=PQ，∴AQ=BQ+PQ，∴AP=BQ.由第1问得，AP=13AB，∴PQ=AB−AP−BQ=13AB.∴AP=PQ.(3) 【答案】MNAB的值不变.当C点恰好停止运动时，有CD=12AB，∴AC+BD=12AB，∴AP−PC+BD=12AB，又∵AP=13AB，当C点恰好停止运动时，PC=1×5=5cm，BD=2×5=10cm，∴13AB−5+10=12AB，∴AB=30cm.∵M是CD的中点，N是PD的中点，∴MN=CD−MC−ND=CD−12CD−12PD=12(CD−PD)=12CP=52(cm)，∴MNAB =112.18.(1) 【答案】150°或30°(2) 【答案】45°(3) 【答案】能求出∠DOE的度数.当OC在∠AOB内部时,如图①,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°-2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°-α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC+∠COE=(45°-α)+α=45°;当OC在∠AOB外部时,如图②,因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°+2α,因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC,所以∠DOC=12∠BOC=45°+α,∠COE=12∠AOC=α,所以∠DOE=∠DOC-∠COE=(45°+α)-α=45°.综上所述,∠DOE=45°.第13页 共16页19.(1) 【答案】当n 为奇数时,P 应设在第n+12台处;当n 为偶数时,P 应设在第n 2台和第(n 2+1)台之间的任何地方.(2) 【答案】根据绝对值的几何意义,求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -617|的最小值就是在数轴上找出表示x 的点,使它到表示1,2,…,617各点的距离之和最小,根据问题(1)的结论知,当x =309时,原式的值最小.最小值是:|309-1|+|309-2|+|309-3|+…+|309-308|+0+|309-310|+|309-311|+…+|309-617|=308+307+306+…+1+1+2+…+308=308×309=95172. (3) 【答案】D 与E 两点之间(包括点D ,E )20.(1) 【答案】因为∠DPB =30°, ∠CPA =60°,所以∠DPC =180°-30°-60°=90°.(2) 【答案】设∠CPE =∠DPE =x ,∠CPF =y ,则∠APF =∠DPF =2x +y ,因为∠CPA =60°,所以y +2x +y =60°,所以x +y =30°,所以∠EPF =x +y =30°.(3) 【答案】①正确，②不正确.理由:设旋转时间为t 秒,则∠BPM =(2t )°,∠APN =(3t )°.所以∠BPN =180°-∠BPM =(180-2t )°,∠DPM =30°-∠BPM =(30-2t )°.所以∠CPD =180°-∠DPM -∠CPA -∠APN =(90-t )°,所以∠CPD ∠BPN =90-t 180-2t =12.21.(1) 【答案】如图①,因为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM=12AC =12(AB +BC)=8,DN =12BD =12(CD +BC )=5,所以MN =AD -AM -DN =9;如图②,困为M ,N 分别为线段AC ,BD 的中点,所以AM =12AC =12(AB -BC )=4,DN =12BD =12(CD -BC )=1,所以MN =AD -AM -DN =9. (2) 【答案】①正确.因为PA+PB PC =(PC+AC)+(PC -CB)PC =2PC PC =2,所以PA+PBPC是定值2.22. 【答案】第1列最多可以搬走9个小正方体; 第2列最多可以搬走8个小正方体;第3列最多可以搬走3个小正方体;第4列最多可以搬走5个小正方体;第5列最多可以搬走2个小正方体,因为9+8+3+5+2=27(个),所以最多可以搬走27个小正方体.23. 【答案】因为M是线段AC的中点，所以CM=12AC.因为点N是线段BC的中点，所以CN=12BC.分以下三种情况：①当点C在线段AB上时，如图1，则有MN=CM+CN=12AC+12BC=12(AC+BC)=12AB；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，则有MN=CM−CN=12AC−12BC=12(AC−BC)=12AB；③当点C在线段BA的延长线上时，如图3，则有MN=CN−CM=12BC−12AC=12(BC−AC)=12AB.综上所述，MN=12AB.24. 【答案】设∠AOD,∠BOC的角平分线分别为OE,OF.分两种情况讨论.①当射线OD和射线OC在直线AB的同侧时，由题意，得∠BOF=12∠BOC=17°，∠AOE=12∠AOD=21°，故∠EOF=180°−∠BOF−∠AOE=180°−17°−21°=142°；②当射线OD和射线OC在直线AB的异侧时，∠EOF=180°−∠AOE+∠BOF=180°−21°+17°=176°.综上所述，∠AOD与∠BOC的角平分线的夹角为142°或176°.25.(1) 【答案】因为∠NOC=12∠BOC，∠MOC=12∠AOC，所以∠MON=∠NOC+∠MOC=12∠AOC+12∠BOC=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB=45°.(2) 【答案】由第1问知，∠NOC+∠MOC是个定值，所以当OC在∠AOB内转动时，∠MON的度数不会发生改变，恒为45°.26. 【答案】①测量∠ABC=45°，∠DEF=65°，所以∠ABC<∠DEF.②如图，使∠ABC的一边BC与∠DEF的一边EF、顶点B与E分别重合，BA落在∠DEF的内部，所以∠ABC<∠DEF.27.(1) 【答案】因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC=12∠AOC，∠NOC=12∠BOC，又因为∠AOB=90°，∠BOC=30°所以∠MON=∠MOC−∠NOC=12∠AOC−12∠BOC=12(∠AOC−∠BOC)=12∠AOB=12×90°=45°.(2) 【答案】当∠AOB=α，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12α.(3) 【答案】当∠BOC=β，其他条件不变时，∠MON=12∠AOB=12×90°=45°.(4) 【答案】∠MON总等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关.28.(1) 【答案】因为∠AOB=80°，OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=12∠AOB=40°. 因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC=20°，∠COE=12∠AOC=20°，所以∠DOE=∠COD+∠COE=40°.第15页共16页(2) 【答案】因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，所以∠COD=12∠BOC，∠COE=12∠AOC，所以∠DOE=∠COD+∠COE=12(∠BOC+∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.(3) 【答案】能.∠DOE=∠DOC−∠COE=12∠BOC−12∠AOC=12(∠BOC−∠AOC)=12∠AOB=12×80°=40°.29. 【答案】欲求从A点到B点的最短路线，在立体图形中难以解决，可以考虑把正方体展开成平面图形.如图所示.在两点之间，走线段最短，因而沿着从A到B的虚线(如上图)走路程最短.在正方体中，像这样的最短路线一共有六条，如图所示.。

人教版 数学 七年级下册第七章 平面直角坐标系与三角形面积有关的 多结论问题一授课人：武汉二中广雅中学 陆 媛教学目标：1、结合平面直角坐标系中，点坐标的含义，解决简单的面积问题。

2、在计算和画图中探寻与三角形面积有关的几何模型；提高学生分类讨论和总结归纳的能力。

3、尝试用总结的几何模型，构造满足条件的图形； 提高学生实际操作的能力。

教学重点：1、提高学生数学建模的思想。

2、逐步消除学生画图中的“盲区”，增强学生画图时的分类意识。

教学难点：从特殊图形中提炼出与之有关的几何模型。

教学方法：讲练结合法。

教学过程： 一、回顾旧知：1、 回顾小学学习的三角形面积的计算方法。

2、 说出以下三角形的面积公式：二、引入新课：例一、在平面直角坐标系中，ΔABC 的面积为2，点A （0，0）、点B （1，2）、点C 在坐标轴上。

请画出所有满足条件的ΔABC ，并求出点C 的坐标。

分析：1、点C轴、y 轴两种情况画图。

2、思考：点C 在线段AB 的哪一侧呢？3、男、女生分别就点C 在x 轴、y 轴两种情况画图计算。

（学生代表演板）4、观察分类后的两个图形，思考：（图三）当AO 与BC 满足什么位置关系时，ΔAOB 的面积等于ΔAOC 的面积？三、抽丝剥茧1、 几何画板演示：在拖动点A 时，对比测量的ΔAOB 和ΔAOC 的面积。

2、 利用三角形面积公式，计算两个三角形的面积。

3、 探究归纳 几何模型一：4、四个ΔABC 合在一个坐标系上，选取线段AB 同侧的两个三角形，连接C 2C 3，观察 C 2C 3与AB 的位置关系。

5、几何画板演示：在拖动线段AB 时，对比测量的ΔABC 和ΔABD 的面积。

6、探究归纳 几何模型二：四、学以致用：例二：在平面直角坐标系中，ΔABC 的形状和位置如图所示，点C 在x 轴上，点D 在坐标轴上，并且ΔABD 的面积等于ΔABC 的面积，你能画出所有满足条件的ΔABD 吗？你能试着总结：将所有点D 找全的方法吗？依据：等底同高的两个三角形 面积相等。

25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.WFGEDCBA【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC BDEA【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S □ABCD =a ，求得△APQ 和△CPQ 的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.DCB A（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.DOCBA（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ⋅31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5DF CBEA6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(--C.))((c b c a --D.))((c b c a +-cccc7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B. 100 C.50π D. 200CBD A（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A.29 B.27 C.310D ．815 ⅢⅡⅠCBDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.HGEDCF B A（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．RKP GF EC B A D（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQPB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D ．20F BGCHDE A7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D ．51cm 2KGFEC B A D（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.GCBMAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△A BC 中，21===FA FB EC EA DB DC .求的面积△的面积△ABC GHI 的值. G IHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h=错误！未找到引用源。

初一求面积10题
以下是10道初一数学中求面积的题目：
一个长方形的长是8厘米，宽是6厘米，求这个长方形的面积。

一个正方形的边长是9厘米，求这个正方形的面积。

一个三角形的底是10厘米，高是8厘米，求这个三角形的面积。

一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是10厘米，求这个梯形的面积。

一个平行四边形的底是15厘米，高是9厘米，求这个平行四边形的面积。

一个菱形的两条对角线长分别为8厘米和12厘米，求这个菱形的面积。

一个圆的半径是5厘米，求这个圆的面积。

一个扇形的半径是6厘米，圆心角是120°，求这个扇形的面积。

一个矩形的对角线长是10厘米，一边长是6厘米，求这个矩形的面积。

一个三角形的两边长分别是4厘米和6厘米，这两边所夹的角是90°，求这个三角形的面积。

这些题目涵盖了长方形、正方形、三角形、梯形、平行四边形、菱形、圆、扇形等基本图形的面积计算，旨在检验学生对面积计算公式的掌握和应用能力。

《平面直角坐标系中几何图形的面积问题》教学设计设计理念：平面直角坐标系中几何图形的面积问题往往让七年级的学生思路难寻。

实际上数学是一门具有丰富内容并且与现实世界联系非常密切的学科，本节就体现了平面直角坐标系是解决实际问题的有效的数学模型的思想。

教师以需要创设的问题情境，激发学生探究实际问题的兴趣，引发学生思考，体验数学知识的实用性。

教材分析：本节课是七年级下总复习中“平面直角坐标系”专题复习。

是学生学习了平面直角坐标系相关知识的基础上，让学生进一步体验如何在平面直角坐标系中通过点的坐标解决几何问题，体会数形结合的思想。

在教学中培养学生的语言表达、动手操作的能力、与人合作的意识及解决问题的能力。

学情分析：学生已经有了一定的知识储备，但他们的信息掌握程度不高，知识面教窄，语言表达能力和动手操作能力不强。

因此，在学习中要让学生经历实践、思考、交流、表达与操作的过程，给学生留下充足的时间来活动，不断引导学生利用数学知识来解决问题。

教学目标：1、掌握点到坐标轴的距离以及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；2、会在平面直角坐标系中利用点的坐标求几何图形的面积；3、 体会数形结合、转化、分类讨论等数学思想。

重、难点：在平面直角坐标系中通过点的坐标就几何图形的面积教学过程一、 复习引入1、若A(2，-3)，则点A 到x 轴的距离是 ，到y 轴的距离是 。

2、若A(-1，0)，B(4，0),则线段AB 的长是 。

3、若A(0，3)，B(0，-1),则线段AB 的长是 。

4、若A(-2，-4)，B(3，-4)，则AB 与x 轴有何位置关系？你知道线段AB 的长度吗？5、若M(5，-2)，N(5，5)，则MN 与y 轴有何位置关系？求线段MN 的长度归纳：（1）点A(x ，y )到x 轴的距离是y ，到y 轴的距离是x ；（2） 点A(1x ，y )，B(2x ，y )，且21x x >，则AB=21x x -或AB=21x x +，AB//x 轴（3） 点A(x ，1y )，B(x ，2y )，且21y y >，则AB=21y y -或AB=21y y +，AB//y 轴二、 微课讲授1、 三角形AOB 中，A(4，0)，B(0，3)，求三角形AOB 的面积；2、三角形ABC中，A(4，0)，B(3，2)，C(-1，0)，求三角形ABC的面积；3、三角形ABC中，已知A(-3，2)，B(0，3)，C(-3，-2)，求三角形ABC的面积归纳：（1）如果有边在x轴或y轴上，常以这边作为底边。

七年级上册数学第二单元知识点全面解析2024人教版一、引言七年级上册数学第二单元主要涉及有理数及其运算、整式的加减、一元一次方程、图形的认识、数据的收集与整理等内容。

这些知识点不仅是初中数学学习的基础，也是学生们在日常生活中常常会用到的数学知识。

本文将对这些知识点进行详细的归纳和解析，帮助学生们更好地理解和掌握。

二、有理数及其运算1. 有理数的概念有理数包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。

它们可以表示为分数的形式，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。

2. 有理数的分类有理数可以分为整数和分数。

整数包括正整数、负整数和零；分数包括正分数和负分数。

3. 有理数的运算有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

以下是各类运算的具体规则：加法：同号相加，取相同的符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，绝对值相减。

减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法：同号相乘得正，异号相乘得负，绝对值相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

4. 有理数的性质有理数具有以下性质：交换律：a + b = b + a；a × b = b × a结合律：a + (b + c) = (a + b) + c；a ×(b ×c) = (a ×b) × c分配律：a ×(b + c) = a × b + a × c三、整式的加减1. 整式的概念整式是由数字和字母通过加、减、乘、除（除法中除数不含字母）以及乘方运算组成的代数式。

整式包括单项式和多项式。

2. 单项式单项式是由数字和字母的乘积组成的代数式，如3a、-5xy²等。

单项式的系数是数字部分，次数是所有字母指数的和。

3. 多项式多项式是由几个单项式相加组成的代数式，如3a + 5b、-2x²+ 4x 7等。

多项式的项数是单项式的个数，最高次项的次数是多项式的次数。

一、解答题1．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度．(2)若6AB =,求MN 的长度．解析：（1）3；（2）3.【分析】（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长；（2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度．【详解】解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =，∴2CN =，1AM CM ==，∴3MN MC CN =+=.(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+==. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．2．如图，点B 和点C 为线段AD 上两点，点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，M 是AD 的中点，若MC ＝2，求AD 的长．解析：AD=36.【分析】根据点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分可得出CD 与AD 的关系，根据中点的定义可得MD=12AD ，利用MC=MD-CD 即可求出AD 的长度. 【详解】∵点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD ， ∵M 是AD 的中点， ∴MD=12AD ， ∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2， ∴AD=36.【点睛】 本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．3．已知点C 是线段AB 的中点（1）如图，若点D 在线段CB 上，且BD ＝1.5厘米，AD ＝6.5厘米，求线段CD 的长度；（2）若将（1）中的“点D 在线段CB 上”改为“点D 在线段CB 的延长线上”，其他条件不变，请画出相应的示意图，并求出此时线段CD 的长度．解析：（1）CD=2.5厘米；（2）CD=4厘米.【分析】根据BD+AD=AB 可求出AB 的长，利用中点的定义可求出BC 的长，根据CD=BC-BD 求出CD 的长即可；（2）根据题意画出图形，利用线段中点的定义及线段的和差关系求出CD 的长即可.【详解】（1）∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米，∴AB=BD+AD=8(厘米)，∵点C 是线段AB 的中点，∴BC=12AB=4(厘米) ∴CD=BC-BD=2.5(厘米).（2）当点D 在线段CB 的延长线上时，如图所示：∵BD=1.5厘米，AD=6.5厘米，∴AB=AD-BD=5(厘米)，∵点C 是线段AB 的中点，∴BC=12AB=2.5(厘米) ∴CD=BC+BD=4(厘米)【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．4．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.解析：40°【分析】根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.【详解】解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，∴120BOC ∠=︒.∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠， 40120=︒+︒，160=︒，又∵OD 平分AOC ∠， ∴1802AOD AOC ∠=∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠， 8040=︒-︒， 40=︒.【点睛】此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用. 5．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1,2COA BOC ∠=∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于12BOD AOD ∠=∠，称射线OD 是射线OB 的伴随线．[知识运用]（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【详解】（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，根据题意，12AOM BOM ∠=∠，则111204033AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=∠=∠=，1122BOC AOB α∠=∠=， ∴111236NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=； 故答案为：40︒，16α； （2）射线OD 与OA 重合时，180365t ==（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能： 若在相遇之前，则1805320t t --=，∴20t =；若在相遇之后，则5318020t t +-=，∴25t =；所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°；②相遇之前：（i ）如图1，OC 是OA 的伴随线时，则12AOC COD ∠=∠， 即()13180532t t t =--， ∴907t =； （ii ）如图2，OC 是OD 的伴随线时，则12COD AOC ∠=∠， 即11805332t t t --=⨯， ∴36019t =； 相遇之后： （iii ）如图3，OD 是OC 的伴随线时，则12COD AOD ∠=∠， 即()153********t t t +-=-，∴1807t =； （iv ）如图4，OD 是OA 的伴随线时，则12AOD COD ∠=∠， 即()118053t 5t 1802t -=+-， ∴30t =；所以，综上所述，当907t =，36019，1807，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．6．将一副三角尺叠放在一起：（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE 的度数；（2）如图②，若∠ACE ＝2∠BCD ，请求出∠ACD 的度数．解析：（1）∠CAE ＝18°；（2）∠ACD ＝120°．【分析】（1）由题意根据∠BAC ＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE ＝∠2，从而得解；（2）根据∠ACB 和∠DCE 的度数列出等式求出∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，再结合已知条件求出∠BCD ，然后由∠ACD ＝∠ACB+∠BCD 并代入数据计算即可得解．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝4∠2，∴4∠2+∠2＝90°，∴∠2＝18°，又∵∠DAE ＝90°，∴∠1+∠CAE ＝∠2+∠1＝90°，∴∠CAE ＝∠2＝18°；（2）∵∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCD+∠BCE ＝60°，∴∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，又∠ACE ＝2∠BCD ，∴2∠BCD ﹣∠BCD ＝30°，∠BCD ＝30°，∴∠ACD ＝∠ACB+∠BCD ＝90°+30°＝120°．【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．7．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．8．如图，A 、B 、C 三点在一条直线上，根据图形填空：（1）AC ＝ + + ；（2）AB ＝AC ﹣ ；（3）DB+BC ＝ ﹣AD（4）若AC ＝8cm ，D 是线段AC 中点，B 是线段DC 中点，求线段AB 的长．解析：（1）AD ，DB ，BC ；（2）BC ；（3）AC ；（4）6cm ．【分析】（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；（4）AD 和CD 的长度相等并且都等于AC 的一半，DB 的长度为CD 长度的一半即为AC 长度的四分之一．AB 的长度等于AD 加上DB ，从而可求出AB 的长度．【详解】（1）AC ＝AD+DB+BC故答案为：AD ，DB ，BC ；（2）AB ＝AC ﹣BC ；故答案为：BC ；（3）DB+BC ＝DC=AC ﹣AD故答案为：AC ；（4）∵D 是AC 的中点，AC ＝8时，AD ＝DC ＝4B 是DC 的中点，∴DB ＝2∴AB ＝AD+DB＝4+2，＝6（cm ）．【点睛】本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．9．已知线段AB=12，CD=6，线段CD 在直线AB 上运动(C 、A 在B 左侧，C 在D 左侧)．(1)M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点，若BC=4，求MN ；(2)当CD 运动到D 点与B 点重合时，P 是线段AB 延长线上一点，下列两个结论：①PA PB PC+是定值；②PA PB PC -是定值，请作出正确的选择，并求出其定值． 解析：（1）MN =9；（2）①PA PB PC+是定值2． 【分析】 （1）如图，根据“M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点”，可先计算出CM 、BN 的长度，然后根据MN ＝MC +BC +BN 利用线段间的和差关系计算即可；（2）根据题意可得：当CD 运动到D 点与B 点重合时，C 为线段AB 的中点，根据线段中点的定义可得AC =BC ，此时①式可变形为()()PC AC PC BC PA PB PC PC ++-+=，进而可得结论．【详解】解：（1）如图，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴CM =12AC =12（AB ﹣BC ）=12（12﹣4）=4， BN =12BD =12（CD ﹣BC ）=12（6﹣4）=1， ∴MN ＝MC +BC +BN ＝4+4+1＝9；（2）①正确，且PA PB PC+=2． 如图，当CD 运动到D 点与B 点重合时，∵AB =12，CD =6，∴C 为线段AB 的中点，∴AC =BC ，∴()()22PC AC PC BC PA PB PC PC PC PC ++-+===， 而()()212PC AC PC BC PA PB AC PC PC PC PC+---===，不是定值． ∴①PA PB PC +是定值2．【点睛】本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．10．如图，平面上有四个点A 、B 、C 、D ，根据下列语句画图．（1）画直线AB、CD交于E点；（2）画线段AC、BD交于点F；（3）连接E、F交BC于点G；（4）连接AD，并将其反向延长；（5）作射线BC．解析：见解析．【分析】（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD；交点处标点E；（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；（3）连接AD并从D向A方向延长即可；（4）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．【详解】解：所求如图所示：．【点睛】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．11．如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．解析：120°，30°【分析】先根据角平分线，求得∠BOE 的度数，再根据角的和差关系，求得BOF ∠的度数，最后根据角平分线，求得BOC ∠、AOC ∠的度数．【详解】∵OE 平分∠AOB ，∠AOB=90°∴∠BOE=∠AOB =45°又∵∠EOF=60°∴∠BOF=∠EOF －∠BOE= 15°又∵OF 平分∠BOC∴∠BOC=2∠BOF=30°∴∠AOC=∠AOB ＋∠BOC=120°故∠AOC=120°，∠COB=30°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键.注意：也可以根据AOC ∠的度数是EOF ∠度数的2倍进行求解．12．小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星．小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星．”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 解析：见解析【分析】根据直线的性质，结合实际意义，易得答案．【详解】解：如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿．换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．【点睛】题考查直线的性质，无限延伸性即没有端点；同时结合生活中的射击场景，立意新颖，熟练掌握直线的性质是解题的关键．13．线段AD=6cm ，线段AC=BD=4cm ，E 、F 分别是线段AB 、CD 中点，求EF ．解析：【分析】根据题意和图形可以求得线段EB 、BC 、CF 的长，从而可以得到线段EF 的长．【详解】∵E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，∴AB=2EB=2AE ，CD=2CF=2FD ，∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，∴AC+2CF=6，解得，CF=1，同理可得：EB=1，∴BC=2，∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．【点睛】此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．如图，已知点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，且DA=5，DB=3.求CD的长.解析：1【解析】【分析】根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，根据线段的和差，可得答案．【详解】由线段的和差，得AB=AD+BD=5+3=8.由线段中点的性质,得AC=CB=12AB=4.由线段的和差，得CD=AD−AC=5−4=1.【点睛】此题考查两点间的距离，解题关键在于掌握各性质定义.15．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）12α，理由见解析【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝75°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC＝65°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝12（α+β），∠NOC＝12∠BOC＝12β，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝12（α+β）﹣12β＝12α．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.16．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l经过A，B，C三点，且C点在A，B之间，点P是直线l外一点，画直线BP，射线PC ，连接AP ；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；（2）根据直线、射线、线段的定义解答．【详解】(1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ．【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．17．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .（1）若8AP cm =，①运动1s 后，求CD 的长；②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.解析：（1）①3cm ；②见解析；（2）9AP =或11cm.【分析】（1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案；②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ；（2）t=2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论.【详解】解：（1）①由题意可知：212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=，∵8,12AP cm AB cm ==，∴4PB AB AP cm =-=，∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=；②∵8,12AP AB ==，∴4,82BP AC t ==-，∴43DP t =-，∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-，∴2AC CD =；（2）当2t =时，224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=，当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm =，∴7CB CD DB cm =+=，∴5AC AB CB cm =-=，∴9AP AC CP cm =+=，当点D 在C 的左边时，如图所示：∴6AD AB DB cm =-=，∴11AP AD CD CP cm =++=，综上所述，9AP =或11cm.【点睛】本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.18．已知线段10cm AB =，在直线AB 上取一点C ，使16cm AC =，求线段AB 的中点与AC 的中点的距离．解析：13cm 或3cm ．【分析】结合题意画出简单的图形，再结合图形进行分类讨论：当C 在BA 延长线上时，当C 在AB 延长线上时，分别依据线段的和差关系求解．【详解】解：①如图，当C 在BA 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点， 所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==， 所以81513(cm)DE AE AD =+=+=． ②如图，当C 在AB 延长线上时．因为10cm AB =，16cm AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以15cm 2AD AB ==，18cm 2AE AC ==， 所以853(cm)DE AE AD =-=-=． 综上，线段AB 的中点与AC 的中点的距离为13cm 或3cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据题意画出图形，进行分类讨论． 19．线段12cm AB =点C 在线段AB 上，点D ，E 分别是AC 和BC 的中点． （1）若点C 恰好是AB 中点，求DE 的长；（2）若4cm AC =，求DE 的长；（3）若点C 为线段AB 上的一个动点（点C 不与A ，B 重合），求DE 的长． 解析：（1）6cm ；（2）6cm ；（3）6cm【分析】（1）根据中点的定义，进行计算即可求出答案；（2）由中点的定义，先求出DC 和CE 的长度，然后求出DE 即可；（3）利用中点的定义，即可得到结论．【详解】解：（1）因为点C 是AB 中点， 所以16cm 2AC BC AB ===． 又因为D ，E 分别是AC 和BC 的中点， 所以1116cm 222DE DC CE AC BC AB =+=+==， 故DE 的长为6cm ．（2）因为12cm AB =，4cm AC =，所以8cm BC =．因为点D ，E 分别是AC 和BC 的中点， 所以12cm 2DC AC ==，14cm 2CE BC ==， 所以6cm DE =． （3）因为111222DE DC CE AC BC AB =+=+=， 且12cm AB =，所以6cm DE =．【点睛】本题考查了线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系进行解题． 20．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥（2）求该几何体的体积．解析：（1）C ；（2）4【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案．（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2； 故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．21．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠．（1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）； （3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析.【分析】 （1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论；（2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论．【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒， 180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒，9060150COB ∴∠=︒+︒=︒，∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒， 756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（2）COD ∠是直角，AOC a ∠=，1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-，9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-，∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-， ()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=． （3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠， 90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭， 即2AOC DOE ∠=∠．【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 22．作图：如图，平面内有 A ，B ，C ，D 四点 按下列语句画图：（1）画射线 AB ，直线 BC ，线段 AC（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.解析：答案见解析【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．【详解】如图：【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．23．已知，A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x，∵MN=8cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.24．已知线段14AB=，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：1DB=：2：4，12AM AC=，且14DN BD=，求MN的长．解析：7或3【分析】求出AC，CD，BD，求出CM，DN，根据MN CM CD DN=++或MN CM CD ND=+-求出即可．【详解】如图，14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，2AC ∴=，4CD =，8BD =， 12AM AC =，14DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=． 则MN 的长是7或3． 【点睛】本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.25．如图所示，点A 、O 、C 在同一直线上，OE 是BOC ∠的平分线，90EOF ∠=︒，()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒.（1）求1∠的度数（请写出解题过程）.（2）如以OF 为一边，在COF ∠的外部画DOF COF ∠=∠，问边OD 与边OB 成一直线吗？请说明理由.解析：（1）1140∠=︒；（2）边OD 与边OB 成一直线，理由详见解析.【分析】（1）因为OE 是∠BOC 的平分线 所以∠BOC=2∠2，再根据点A 、O 、C 在一直线上，求出∠1和∠2关于x 的关系式，列出等式求出x 的值；（2）根据∠EOF=∠EOC+∠COF=90°和∠EOC=12∠BOC ，∠FOC=12∠DOC ，12∠BOC+12∠DOC=90°，得出∠BOC+∠DOC=180°，进而可可判断边OD 与边OB 成一直线．【详解】（1）因为OE 是BOC ∠的平分线，所以22BOC ∠=∠，因为点A 、O 、C 在同一直线上，所以1180BOC ∠+∠=︒，又因为()1420x ∠=+︒，()210x ∠=-︒，所以()()420210180x x ++-=，解得：30x =，1140∠=︒（2）边OD 与边OB 成一直线.理由：因为90EOF EOC COF ∠=∠+∠=︒， 又因为12EOF BOC ∠=∠，12FOC DOC ∠=∠. ∴119022BOC DOC ∠+∠=︒， 即180BOC DOC ∠+∠=︒，所以点D 、O 、B 在同一直线上，即边OD 与边OB 成一直线.【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线的知识点，解答本题的关键是熟练运用角之间的等量关系.26．马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子．（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）解析：见解析．【分析】根据正方体展开图直接画图即可．【详解】解：【点睛】正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．27．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．（1）如图1，求AOC ∠的度数；（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．解析：（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析【分析】（1）直接根据邻补角的概念即可求解；（2）直接根据角平分线的性质即可求解；（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．【详解】解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；（2）由（1）得80AOC ∠=︒，90COD ∠=︒，10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线，11804022AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；（3）由（2）得40AOM ∠=︒，BOP ∠与AOM ∠互余，90BOP AOM ∴∠+∠=︒，90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，1005050COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②当射线OP 在BOC ∠外部时（如图3-2)，10050150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒+︒=︒．综上所述，COP ∠的度数为50︒或150︒．【点睛】此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．28．如图，已知OE是∠AOB的平分线，C是∠AOE内的一点，若∠BOC＝2∠AOC，∠AOB ＝114°，则求∠BOC，∠EOC的度数．解析：∠BOC＝76°，∠EOC＝19°．【分析】由∠BOC＝2∠AOC，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC，即∠BOC=23∠AOB，然后求解即可;再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE，最后根据角的和差即可求得∠EOC．【详解】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，∴∠BOC＝23∠AOB =23×114°＝76°，∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝114°，∴∠BOE＝12∠AOB ＝12×114°＝57°.∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．29．计算（1）34°41′25″×5；（2）72°35′÷2＋18°33′×4．解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．【详解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．30．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD=2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。

一、解答题1．已知90AOB ∠=︒，OC 为一条射线，OE ，OF 分别平分AOC ∠，BOC ∠，求EOF ∠的度数．解析：45︒【分析】本题需要分类讨论，当OC 在AOB ∠内部时，根据OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠，即可求出EOF ∠的度数；当OC 在AOB ∠外部时，OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠，所以1122EOF FOC EOC BOC AOC ∠=∠-∠=∠-∠，即可解决． 【详解】解：①如图，当OC 在AOB ∠内部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠，所以12COE AOC ∠=∠，12COF BOC ∠=∠， 所以1122COE COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠， 即12EOF AOB =∠∠．又因为90AOB ︒∠=，所以45EOF ︒∠=．②如图，当OC 在AOB ∠外部时．因为OE ，OF 分别平分AOC ∠和BOC ∠， 所以12EOC AOC ∠=∠，12FOC BOC ∠=∠， 所以1111()452222EOF FOC EOC BOC AOC BOC AOC AOB ︒∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=． 综上所述，45EOF ︒∠=．【点睛】本题主要考查了角度的计算和角平分线的定义，熟练分类讨论思想，并且画出图形是解决本题的关键．2．如图，点B 和点C 为线段AD 上两点，点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，M 是AD 的中点，若MC ＝2，求AD 的长．解析：AD=36.【分析】根据点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分可得出CD 与AD 的关系，根据中点的定义可得MD=12AD ，利用MC=MD-CD 即可求出AD 的长度. 【详解】∵点B 、C 将AD 分成2︰3︰4三部分，∴CD=49AD ， ∵M 是AD 的中点， ∴MD=12AD ， ∵MC=MD-CD=2，∴12AD-49AD=2， ∴AD=36.【点睛】 本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．3．已知直线l 上有三点A 、B 、C ，AB=3，AC=2，点M 是AC 的中点.(1)根据条件，画出图形；(2)求线段BM 的长.解析：（1）见解析；（2）2或4.【分析】（1）分C 点在线段AB 上和C 点在BA 的延长线上两种情况画出图形即可；（2）利用（1）中所画图形，根据中点的定义及线段的和差故选，分别求出MB 的长即可.【详解】（1）点C 的位置有两种：当点C 在线段AB 上时，如图①所示：当点C 在BA 的延长线上时，如图②所示：（2）∵点M 是AC 的中点，AC=2，∴AM=CM=12AC=1， 如图①所示，当点C 在线段AB 上时，∵AB=AM+MB ，AB=3，∴MB=AB-AM=2.如图②所示：当点C 在BA 的延长线上时，MB=AM+AB=4.综上所述：MB 的长为2或4.【点睛】本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用分类讨论的思想是解题关键. 4．古时候，传说捷克的公主柳布莎曾出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人，再取余下的一半又两个给第二个人，又取最后所余的一半又三个给第三个人，那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”解析：34个【分析】在最后一次送了一半加三个，篮子的李子没有剩余，可以知道最后一次的一半就是三个，所以上一次剩余6个，6个加上送的2个合计8个，为第二次的一半，可以知道第一次送出后还有16个，16在加上第一次送的1个为17个，所以最初一共有34个.【详解】用逆推法：解： ()32221234⎡⎤⨯+⨯+⨯=⎣⎦（个）【点睛】送出一半又3个的时候，剩余为0，直接可以知道一半就是3个.5．（1）如图，AC =DB ，请你写出图中另外两条相等的线段．（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m ，则首尾两颗大树之间的距离是_____．解析：(1)AB=CD ；(2)10.5m.【分析】（1）根据等式的性质即可得出结论；（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．【详解】（1）因为AC=BD，∴AC－BC=DB－BC，即AB=CD．（2）设首尾之间的距离为x，由8棵树之间共有7段间隔，可得x=7×1.5=10.5（m）．故答案为：10.5m．【点睛】本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．6．说出下列图形的名称．解析：依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【分析】根据平面图形：一个图形的各部分都在同一个平面内可得答案．【详解】根据平面图形的定义可知：它们依次是圆、三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形．【点睛】此题考查认识平面图形，解题关键在于掌握其定义对图形的识别.7．蜗牛爬树一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【分析】根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答.【详解】设蜗牛需x天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x天，可列方程(10－7.8)(x－1)＋10＝98，解得x＝41.答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑．【点睛】此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.8．小明用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图，拼完后，小明看来看去觉得所拼图形似乎存在问题.（1）请你帮小明分析一下拼图是否存在问题，若有多余图形，请将多余部分涂黑；若图形不全，则直接在原图中补全；（2）若图中的正方形边长为5cm ，长方形的长为8cm ，请计算修正后所折叠而成的长方体的表面积和体积.解析：（1）多余一个正方形，图形见解析；（2）表面积为：210cm 2；体积为：200cm 3．【分析】（1）根据长方体的展开图判断出多余一个正方形；（2）根据表面积=四个长方形的面积+两个正方形的面积，体积=底面积×高分别列式计算即可得解．【详解】解：（1）多余一个正方形，如图所示：（2）表面积为：225285450160210()cm ⨯+⨯⨯=+=，体积为：2358200()cm ⨯=【点睛】本题考查了几何体的展开图以及长方体的表面积、体积的求法，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．9．如图，两个直角三角形的直角顶点重合，∠AOC ＝40°，求∠BOD 的度数．结合图形，完成填空：解：因为∠AOC+∠COB ＝ °，∠COB+∠BOD ＝ ①所以∠AOC ＝ ．②因为∠AOC ＝40°，所以∠BOD ＝ °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是： ．解析：90，90，∠BOD ，40，同角的余角相等【分析】根据同角的余角相等即可求解．【详解】解：因为∠AOC+∠COB＝90 °，∠COB+∠BOD＝90 ° -﹣﹣﹣①所以∠AOC＝∠BOD ．﹣﹣﹣﹣②-因为∠AOC＝40°，所以∠BOD＝40 °．在上面①到②的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等．故答案为：90，90，∠BOD，40，同角的余角相等．【点睛】本题考查了余角的性质：同角（或等角）的余角相等，及角的和差关系．10．如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图．（1）画直线AB、CD交于E点；（2）画线段AC、BD交于点F；（3）连接E、F交BC于点G；（4）连接AD，并将其反向延长；（5）作射线BC．解析：见解析．【分析】（1）连接AB、CD并向两方无限延长即可得到直线AB、CD；交点处标点E；（2）连接AC、BD可得线段AC、BD，交点处标点F；（3）连接AD并从D向A方向延长即可；（4）连接BC，并且以B为端点向BC方向延长．【详解】解：所求如图所示：．【点睛】本题考查的是直线、射线、线段的定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识，即直线向两方无限延伸；射线向一方无限延伸；线段有两个端点画出图形即可．11．如图，已知点O 为直线AB 上一点，将一个直角三角板COD 的直角顶点放在点O 处，并使OC 边始终在直线AB 的上方，OE 平分BOC ∠．（1）若70DOE ∠=︒，则AOC ∠=________；（2）若DOE α∠=，求AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）解析：（1）140︒；（2）2α【分析】（1）由70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠的度数，又因为OE 平分BOC ∠，所以可知BOC ∠的度数，180BOC ︒-∠的度数即可解决；（2）由DOE α∠=，90COD ︒∠=，可以推出COE ∠=90α︒-，又因为OE 平分BOC ∠，以可知BOC ∠=2COE ∠=1802α︒-，180BOC ︒-∠即可解决．【详解】解：（1）∵70DOE ︒∠=，90COD ︒∠=，∴907020COE ︒︒︒∠=-=．∵OE 平分BOC ∠，∴20COE BOE ︒∠=∠=，∴1801802140AOC BOC COE ︒︒︒∠=-∠=-∠=．故答案为140︒．（2）∵DOE α∠=，90COD ︒∠=，∴90COE α︒∠=-．∵OE 平分BOC ∠，∴21802BOC COE α︒∠=∠=-，∴()180********AOC BOC αα︒︒︒∠=-∠=--=．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角和直角，熟练各概念是解决本题的关键． 12．如图，O 在直线AC 上，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内．（1）若OE 是∠BOC 的平分线，则有∠DOE=90°，试说明理由；（2）若∠BOE=12∠EOC ，∠DOE=72°，求∠EOC 的度数． 解析：（1）见解析；（2）72° 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x 度，∠EOC=2x 度，把角用未知数表示出来，建立x 的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【详解】（1）如图，因为OD 是∠AOB 的平分线，OE 是∠BOC 的平分线， 所以∠BOD=12∠AOB ，∠BOE=12∠BOC ， 所以∠DOE=12（∠AOB+∠BOC ）=12∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x ，则∠EOC=2x ，则∠BOD=12（180°–3x ）， 则∠BOE+∠BOD=∠DOE ， 即x+12（180°–3x ）=72°， 解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．【点睛】本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．13．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）12α，理由见解析【分析】（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．【详解】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝75°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝70°+60°＝130°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝12∠AOC＝65°，∠NOC＝12∠BOC＝30°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∴∠MOC＝12∠AOC＝12（α+β），∠NOC＝12∠BOC＝12β，∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝12（α+β）﹣12β＝12α．【点睛】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.14．如图，C，D，E为直线AB上的三点.（1）图中有多少条线段，多少条射线？能用大写字母表示的线段、射线有哪些？请表示出来；（2）若一条直线上有n个点，则这条直线上共有多少条线段，多少条射线？解析：（1）有10条线段，10条射线.能用大写字母表示的线段：线段AC、线段AD、线段AE、线段AB、线段CD、线段CE、线段CB、线段DE、线段DB、线段EB.（2）(1)2n n条线段，2n条射线.【解析】【分析】对于（1），这条直线上共5个点，求直线上的线段条数，相当于求从5个点中任取两个点的不同取法有多少种，可从点A开始，用划曲线的方法从左向右依次连接其它各点，再从点C开始，用同样的划曲线方法，直到将线段EB画出为止，即可找到所有的线段，由于每个点对应两条射线，由直线上的5个点即可知有多少条射线；对于（2），和（1）类似，当一条直线上有n个点时，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段，结合其中有一半重合的线段，则可计算出n个点所组成的线段条数；一个点对应延伸方向相反的两条射线，可表示出当一条直线上有n个点时的射线条数.【详解】解：（1）图中有10条线段，10条射线.如图所示.能用大写字母表示的线段：线段AC 、线段AD 、线段AE 、线段AB 、线段CD 、线段CE 、线段CB 、线段DE 、线段DB 、线段EB.能用大写字母表示的射线：射线AC 、射线CD 、射线DE 、射线EB 、射线CA 、射线DC 、射线ED 、射线BE.（2）因为n 个点，其中任意1个点与剩余的（n-1）个点都能组成（n-1）条线段， 所以n 个点就组成n(n-1)条线段.因为其中有一半重合的线段，如线段AC 与线段CA ， 所以这条直线上共有(1)2n n -条线段. 因为一个端点对应延伸方向相反的两条射线， 所以当一条直线上有n 个点时，共有2n 条射线. 【点睛】此题考查直线、射线、线段，解题关键在于掌握直线上射线、线段条数的求法. 15．如图，C 是线段AB 上一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.(1)若1AM =,4BC =，求MN 的长度． (2)若6AB =,求MN 的长度． 解析：（1）3；（2）3. 【分析】（1）由中点可得CN 和MC 的长，再由 MN=MC+CN 可求得MN 的长； （2）由已知可得AB 的长是NM 的2倍，已知AB 的长，可求得MN 的长度． 【详解】解：(1)∵N 是BC 的中点，M 是AC 的中点，1AM =，4BC =， ∴2CN =，1AM CM ==， ∴3MN MC CN =+=.(2)∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，6AB =， ∴132NM MC CN AB =+==. 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 16．读下列语句，画出图形，并回答问题．（1）直线l 经过A ，B ，C 三点，且C 点在A ，B 之间，点P 是直线l 外一点，画直线BP ，射线PC ，连接AP ；（2）在（1）的图形中，能用已知字母表示的直线、射线、线段各有几条？写出这些直线、射线、线段．解析：（1）见解析；（2）直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ；线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC 【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图； （2）根据直线、射线、线段的定义解答． 【详解】 (1)如图所示．(2) 直线有2条，分别是直线PB ，AB ；射线有7条，分别是射线PC ，PB ，BP ，AC ，CB ，BC ，CA ； 线段有6条，分别是线段PA ，PB ，PC ，AB ，AC ，BC ． 【点睛】此题考查作图，确定图形中的直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是解题的关键．17．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒． 【分析】设这个锐角为x 度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可． 【详解】设这个锐角为x 度，由题意得：()18049030x x -=--，解得50x =．即这个锐角的度数为50︒．905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒． 【点睛】本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 18．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ． 解析：（1）-4；（2）-88 【分析】（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值． 【详解】（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-， 所以1021p =+-=-；若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-， 所以3104p =--+=-．（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．【点睛】本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．19．如图，是一个几何体的表面展开图．（1）该几何体是________；A ．正方体B ．长方体C ．三棱柱D ．四棱锥 （2）求该几何体的体积． 解析：（1）C ；（2）4 【分析】（1）本题根据展开图可直接得出答案． （2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可． 【详解】（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222=⨯⨯=；该几何体的高为2；故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯． 【点睛】本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可． 20．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD平分COE ∠，求BOD ∠的度数．解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒【分析】（1）根据角的定义即可解决；（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可． 【详解】（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，所以1111()2222BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠． 因为108AOC ∠=︒， 所以54BOD ∠=︒ 【点睛】本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，21．如图，点C 在线段AB 上，AC=6cm ，MB=10cm ，点M 、N 分别为AC 、BC 的中点．（1）求线段BC 的长； （2）求线段MN 的长；（3）若C 在线段AB 延长线上，且满足AC ﹣BC=b cm ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，你能猜想MN 的长度吗？请写出你的结论（不需要说明理由） 解析：（1）BC= 7cm ；（2）MN= 6.5cm ；（3）MN=2b 【分析】（1）根据线段中点的性质，可得MC 的长，根据线段的和差，可得BC 的长； （2）根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得MN 的长； （3）根据（1）（2）的结论，即可解答． 【详解】解：（1）∵AC=6cm ，点M 是AC 的中点， ∴12MC AC ==3cm ， ∴BC=MB ﹣MC=10﹣3=7cm ． （2）∵N 是BC 的中点， ∴CN=12BC=3.5cm ， ∴MN=MC+CN=3+3.5=6.5cm ． （3）如图，MN=MC ﹣NC=1122AC BC -=12（AC ﹣BC ）=12b ．MN=2b． 【点睛】本题考查两点间的距离．22．已知：O 是直线AB 上的一点，COD ∠是直角，OE 平分BOC ∠． （1）如图1．若30AOC ∠=︒．求DOE ∠的度数；（2）在图1中，AOC a ∠=，直接写出DOE ∠的度数（用含a 的代数式表示）； （3）将图1中的DOC ∠绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置，探究AOC ∠和DOE ∠的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．解析：（1）15DOE ∠=︒；（2）12DOE a ∠=；（3）2AOC DOE ∠∠=，理由见解析. 【分析】（1）先根据补角的定义求出∠BOC 的度数，再由角平分线的性质得出∠COE 的度数，根据∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论； （2）同（1）可得出结论；（3）先根据角平分线的定义得出∠COE =∠BOE =12∠BOC ，再由∠DOE =∠COD -∠COE 即可得出结论． 【详解】（1）∵COD ∠是直角，30AOC ∠=︒，180903060BOD ∴∠=︒-︒-︒=︒， 9060150COB ∴∠=︒+︒=︒， ∵OE 平分BOC ∠，1752BOE BOC ∴∠=∠=︒，756015DOE BOE BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒． （2）COD ∠是直角，AOC a ∠=， 1809090BOD a a ∴∠=︒-︒-=︒-， 9090180COB a a ∴∠=︒+︒-=︒-， ∵OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC a ∴∠=∠=︒-，()11909022DOE BOE BOD a a a ∴∠=∠-∠=︒--︒-=．（3）2AOC DOE ∠=∠，理由是：180BOC AOC ∠=︒-∠，OE 平分BOC ∠，119022BOE BOC AOC ∴∠=∠=︒-∠，90COD ∠=︒，()909018090BOD BOC AOC AOC ∴∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，()11909022DOE BOD BOE AOC AOC AOC ⎛⎫∴∠=∠+∠=∠-︒+︒-∠=∠ ⎪⎝⎭，即2AOC DOE ∠=∠． 【点睛】本题考查的是角的计算，熟知角平分线的定义、补角的定义是解答此题的关键． 23．已知，A 、B 是线段EF 上两点，已知EA ：AB ：BF=1：2：3，M 、N 分别为EA 、BF 的中点，且MN=8cm，求EF的长．解析：12cm【解析】【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，而M、N分别为EA、BF的中点，∴MA=12EA，NB=12BF，∴MN=MA+AB+BN=12x+2x+32x=4x，∵MN=8cm，∴4x=8，∴x=2，∴EF=EA+AB+BF=6x=12，∴EF的长为12cm．【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.24．如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD＝23AC，DE＝35AB，若AB＝24 cm，求线段CE的长．解析：CE＝10.4cm．【分析】根据中点的定义，可得AC、BC的长，然后根据题已知求解CD、DE的长，再代入CE=DE-CD即可.【详解】∵AC=BC=12AB=12cm，CD=13AC=4cm，DE=35AB=14.4cm，∴CE=DE﹣CD=10.4cm.25．如图，将一个长方形沿它的长或宽所在的直线旋转一周，回答下列问题：（1）得到什么几何体？（2）长方形的长和宽分别为6cm 和4cm ，分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到不同的几何体，它们的体积分别为多少？（结果保留π） 解析：（1）圆柱；（2）它们的体积分别为3144cm π，396cm π 【分析】(1)矩形旋转一周得到圆柱；(2)绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，从而可以计算出体积． 【详解】 解：(1)圆柱(2) 绕宽旋转得到圆柱底面半径为6cm ，高为4cm ，21V r h π=264π=⨯⨯144π=绕长旋转得到的圆柱的底面半径为4cm ，高为6cm ，2246V π=⨯⨯96π=∴它们的体积分别为3144cm π，396cm π 【点睛】本题主要考查的是圆柱的体积，熟记圆柱的体积公式是解题的关键． 26．如图，已知线段AB 和CD 的公共部分1134BD AB CD ==，线段AB 、CD 的中点E 、F 之间的间距是10cm ，求AB 、CD 的长．解析：AB=12cm ，CD=16cm 【分析】先设BD=xcm ，由题意得AB=3xcm ，CD=4xcm ，AC=6xcm ，再根据中点的定义，用含x 的式子表示出AE=1.5xcm 和CF=2xcm ，再根据EF=AC-AE-CF=2.5xcm ，且E 、F 之间距离是EF=10cm ，所以2.5x=10，解方程求得x 的值，即可求AB ，CD 的长． 【详解】设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=12AB=1.5xcm，CF=12CD=2xcm．∴EF=AC－AE－CF=2.5xcm．∵EF=10cm，∴2.5x=10，解得：x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．【点睛】本题考查了线段中点的性质，设好未知数，用含x的式子表示出各线段的长度是解题关键．27．如图，已知OE是∠AOB的平分线，C是∠AOE内的一点，若∠BOC＝2∠AOC，∠AOB ＝114°，则求∠BOC，∠EOC的度数．解析：∠BOC＝76°，∠EOC＝19°．【分析】由∠BOC＝2∠AOC，则∠AOB=∠BOC+∠AOC=3∠AOC，即∠BOC=23∠AOB，然后求解即可;再根据OE是∠AOB的平分线求得∠BOE，最后根据角的和差即可求得∠EOC．【详解】解：∵∠BOC＝2∠AOC，∠AOB＝114°，∴∠BOC＝23∠AOB =23×114°＝76°，∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝114°，∴∠BOE＝12∠AOB ＝12×114°＝57°.∴∠EOC＝∠BOC－∠BOE＝19°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及角的和差运算，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．28．计算（1）34°41′25″×5；（2）72°35′÷2＋18°33′×4．解析：（1）173°27′5″；（2）110°29′30″．【分析】（1）根据角度与整数的乘法法则计算即可；（2）根据角度的四则混合运算法则计算即可．【详解】（1）34°41′25″×5＝（34°＋41′＋25″）×5＝34°×5＋41′×5＋25″×5＝170°＋205′＋125″＝173°27′5″；（2）72°35′÷2＋18°33′×4＝36°17′30″＋72°132′＝110°29′30″．【点睛】本题主要考查了角度的运算，正确理解角度的60进制是解答本题的关键．29．把如图图形沿虚线折叠，分别能折叠成什么几何体(图中的五边形均为正五边形)？观察折成的几何体，回答下列问题：（1）每个几何体有多少条棱？哪些棱的长度相等？（2）每个几何体有多少个面？它们分别是什么图形？哪些面的形状、大小完全相同？解析：（1）第一个图形能折成一个正五棱锥，有10条棱，侧棱相等，底面上的五条棱相等；第二个图形能折成一个正五棱柱，有15条棱，上下底面上的棱相等，侧棱相等；（2）第一个几何体有6个面，分别是5个等腰三角形，1个正五边形，等腰三角形的形状、大小相同；第二个几何体有7个面，分别是5个长方形，2个正五边形，长方形的形状、大小相同，正五边形的形状、大小相同【分析】（1）由五棱锥与五棱柱的折叠及五棱锥与五棱柱的展开图解题．（2）根据五棱锥与五棱柱的特征即可求解．【详解】解：（1）图形（1）有10条棱，底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；图形（2）有15条棱，两个底面棱的长度相等，侧面棱的长度相等；（2）图形（1）有6个面，底面是五边形，侧面是形状、大小完全相同的三角形；图形（2）有7个面，底面是形状、大小完全相同的五边形，侧面是形状、大小完全相同的长方形．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．30．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOE=90°.（1）如图1，若OC平分∠AOE,求∠AOD的度数；（2）如图2，若∠BOC=4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度数.解析：（1）135°；（2）54°【分析】（1）利用OC平分∠AOE，可得∠AOC＝12∠AOE＝12×90°＝45°，再利用∠AOC+∠AOD=180°，即可得出．（2）由∠BOC=4∠FOB，设∠FOB=x°，∠BOC=4x°，可得∠COF=∠COB-∠BOF=3x°，根据OE平分∠COF，可得∠COE=∠EOF=12∠COF=32x°，即可得出．【详解】（1）∵∠AOE=90°，OC平分∠AOE，∴∠AOC＝12∠AOE＝12×90°＝45°，∵∠AOC+∠AOD=180°，∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-45°=135°，即∠AOD的度数为135°．（2）∵∠BOC=4∠FOB，∴设∠FOB=x°，∠BOC=4x°∴∠COF=∠COB-∠BOF=4x°-x°=3x°∵OE平分∠COF∴∠COE=∠EOF=12∠COF=32x°∵32x+x＝90°∴x=36，∴∠EOF=32x°=32×36°＝54°即∠EOF的度数为54°．【点睛】本题考查了角平分线的性质、方程思想方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力．。

七年级上册数学期末专题复习：几何图形问题（二）1．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示阴影部分的面积．方法1：；方法2：．（2）从中你能发现什么结论？请用乘法公式表示该结论：．（3）运用你所得到的结论，解决问题：已知（x+y）2＝25，xy＝3，求x2+y2的值．12．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形，根据这一操作过程回答下列问题：（1）图②中阴影部分的正方形的边长为；（2）请用两种方法表示图②中阴影部分的面积．方法一：；方法二：；（3）观察图②，写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式：；（4）计算：（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝．13．我们在学习整式乘法运算时，经常会用图形的面积关系来说明运算的合理性．（1）根据所给图形写出表示整式运算及其结果的等式，并写出等式两边的整式所表示的意义；（2）请尝试用类似的图形表示（a+2b+c）2，并根据图形直接写出运算的结果．14．如图①所示是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：方法①：；方法②：；（2）观察图②，试写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：；（3）根据（3）题中的等量关系，若m+n＝15，mn＝30，求图②中阴影部分的面积．15．如图，是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．（1）请分别求出会客室和会议厅的占地面积是多少平方米？（2）如果x+y＝5，xy＝6．求会议厅比会客室大多少平方米？16．如图，一块直径为a+b的圆形钢板，从中挖去直径分别为a与b的两个圆，若a+b＝4，a2+b2＝10，求剩下的钢板的面积．17．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性（1）根据下图写出一个代数恒等式：．（2）我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，请你画出符合（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2的几何图形．（3）已知正数a、b、c和m、n、l满足a+m＝b+n＝c+l＝k，试构造边长为k的正方形，利用面积来说明al+bm+cn＜k2．18．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性．（1）根据下列所示图形写出一个代数恒等式．（2）已知正数a，b，c和m，n，l，满足a+m＝b+n＝c+l＝k，试构造边长为k的正方形．利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．思考过程如下：因为a+m＝b+n＝c+l＝k，所以a，b，c，m，n，l，均k（填“大于”或“小于”）．由于k2可以看成一个正方形的面积，则al、bn、cn可以分别看成三个长方形的面积．请画出图形，并利用图形面积来说明al+bm+cn＜k2．19．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为；①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是；（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．20．如图1，A纸片是边长为a的正方形，B纸片是边长为b的正方形，C纸片是长为b，宽为a的长方形．现用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：；方法2：；（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值．七年级上册数学期末专题复习：几何图形问题（三）1．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题．（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，求a2+b2+c2；（4）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值．22．图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为．（2）观察图②，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是．（3）若x+y＝﹣6，xy＝，则x﹣y＝．（4）观察图③，你能得到怎样的代数恒等式呢？23．如图，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为．（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为．（多项式乘积的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式．（4）结合（3）的公式，计算（1+）（1+）（1+）（1+）+．24．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在中间正方形地块上修建一座雕像，其中这个正方形的边长为（a+b）米，其余部分（阴影）进行绿化，请计算绿化部分的面积．25．探究活动：（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题（4）计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；（5）若4x2﹣9y2＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．26．乘法公式的探究及应用：（1）如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；（4）运用你所得到的公式，计算下列式子：①1002×998；②（2m+n﹣p）（2m+n+p）；③（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1．27．“囧”（jiǒng）是最近时期网络流行语，像一个人脸郁闷的神情．如图所示，一张边长为20的正方形的纸片，剪去两个一样的小直角三角形和一个长方形后得到一个“囧”字图案．设剪去的小长方形的长和宽分别为x、y；两个小直角三角形的两直角边长也分别为x、y．（1）用含有x、y的代数式表示图中“囧”字图案中阴影部分的面积．（2）若x＝8，y＝4，求此时“囧”字图案中阴影部分的面积．28．小李家住房户型呈长方形，平面图如下（单位：米）．现准备铺设整个长方形地面，其中三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖（房间内隔墙宽度忽略不计）．（1）求a的值；（2）请用含x的代数式分别表示铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米；（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，已知卧室2的面积为21平方米，求铺设地面的总费用．（木地板与地砖的总价和）29．如图，一个长方形运动场被分割成A、B、A、B、C共5个区域，A区域是边长为a 米的正方形，C区是边长为c米的正方形．（1）①列式表示B区长方形场地的长是，宽是．②列式表示一个B区长方形场地周长，并将式子化简；（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当a＝4时，求运动场地的周长．30．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法①；方法②；（3）观察图②，直接写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．参考答案1．解：（1）方法1，两个正方形的面积和，即a2+b2，方法2，大正方形的面积减去两个长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）根据方法1与方法2所表示的面积相等得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）∵xy＝3，∴xy＝6，又∵（x+y）2＝25，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝25﹣12＝13．12．解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，故答案为：m﹣n；（2）方法一：直接利用正方形的面积公式得正方形的面积为（m﹣n）2；方法二：从边长为（m+n）的大正方形减去四个长为m，宽为n的矩形面积即为阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；（3）由（2）的两种方法可得，（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（4）（10.5+2）2﹣（10.5﹣2）2＝（10.5﹣2）2+4×10.5×2﹣（10.5﹣2）2＝4×10.5×2＝84．故答案为：84．13．解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，左边表示大矩形的面积，右边表示4个正方形和5个小矩形的面积的和；（2）如图所示，（a+2b+c）2＝a2+4b2+c2+4ab+2ac+4bc．14．解：（1）方法①∵阴影正方形边长为（m﹣n），∴面积为：（m﹣n）2，故答案为：（m﹣n）2，方法②∵大正方形边长为（m+n），∴大正方形面积为：（m+n）2∵四个小长方形面积为4mn，∴阴影正方形面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，为：（m+n）2﹣4mn，故答案为：（m+n）2﹣4mn；（2）根据阴影正方形面积可得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；（3）∵（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2且m+n＝15，mn＝30，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝152﹣4×30＝225﹣120＝105．15．解：（1）会客室：（x﹣y）（2x+y﹣x﹣y）＝（x﹣y）x＝x2﹣xy，会议厅：（2x+y）（2x+y﹣x）＝（2x+y）（x+y）＝2x2+2xy+xy+y2＝2x2+3xy+y2；答：会客室的占地面积是（x2﹣xy）平方米，会议厅的占地面积是（2x2+3xy+y2）平方米；（2）2x2+3xy+y2﹣（x2﹣xy）＝2x2+3xy+y2﹣x2+xy＝x2+4xy+y2，由x+y＝5，得（x+y）2＝25，∴x2+2xy+y2＝25，又∵xy＝6，∴x2+4xy+y2＝25+2×6＝37（平方米）答：会议厅比会客室大37平方米．16．解：根据题意得：S阴影＝（）2π﹣（）2π﹣（）2π＝，∵a+b＝4，a2+b2＝10，∴ab＝＝，∴S阴影＝．17．解：（1）由图可得，4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）∵如图2的面积为（2a+b）（a+b）或2a2+3ab+b2，∴（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2；，（3）构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m＝b+n＝c+l＝k，根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，故al+bm+cn＜k2．18．解：（1）由图可得，4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）因为a+m＝b+n＝c+l＝k，所以a，b，c，m，n，l，均小于k；故答案为：小于；构造一个边长为k的正方形，如图所示：显然a+m＝b+n＝c+l＝k，根据图形可知，正方形内部3个矩形的面积和小于正方形的面积，故al+bm+cn＜k2．19．解：（1）阴影部分的正方形的边长为b﹣a，故答案为：②；（2）大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，小正方形的边长为b﹣a，面积为（b﹣a）2，四块长方形的面积为4ab，所以有（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；（3）①由（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，把x+y＝8，xy＝2代入得，64＝（y﹣x）2+8，所以（y﹣x）2＝56，②由BE＝2，即x﹣y＝2，y＝x﹣2由拼图可得，阴影部分的面积为（x2﹣y2），即（x+y）（x﹣y）＝x+y＝2x﹣2，∵x2+y2＝16，即x2+（x﹣2）2＝16，也就是x2﹣2x﹣6＝0，解得x1＝1+，x2＝1﹣＜0（舍去），∴2x﹣2＝2+2﹣2＝2，答：阴影部分的面积和为2．20．解：（1）方法一，直接利用正方形的面积公式可得图2的面积为（a+b）2 ，方法二，大正方形的面积等于4个部分面积和，可得a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2 ，a2+b2+2ab；（2）由（1）得，（a+b）2 ＝b2+a2+2ab；故答案为：（a+b）2 ＝b2+a2+2ab；（3）∵a+b＝5，a2+b2＝13，（a+b）2 ＝b2+a2+2ab，∴52＝13+2ab，∴ab＝6．参考答案1．解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac两部分面积相等．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（3）∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝102﹣2×35＝30∴a2+b2+c2的值为30．（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：2a2+3b2+mab从因式分解的角度看，可分解为（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）＝2a2+3b2+5ab∴m＝5或7．22．解：（1）图②中阴影部分为边长为（m﹣n）的正方形，其面积为：（m﹣n）2故答案为：（m﹣n）2．（2）最外层大正方形的面积为：（m+n）2，4个长方形的面积为4mn，阴影部分面积为（m﹣n）2，总体看图形的面积和分部分之和的面积相等故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．（3）∵x+y＝﹣6，xy＝，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝36﹣11＝25∴x﹣y＝±5故答案为：±5．（4）由整体求面积和分部分求面积，二者相等，可得：（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．23．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）根据两个图形的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）（1+）（1+）（1+）（1+）+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）（1+）]+＝2×[（1﹣）（1+）]+＝2×（1﹣）+＝2﹣+＝2．24．解：绿化部分的面积＝长方形的面积﹣正方形的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+2ab+3ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab．答：绿化部分的面积为（5a2+3ab）平方米．25．解：（1）S阴影部分＝S大正方形﹣S小正方形＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以S阴影部分＝S长方形＝（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）原式＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2，＝a2+2ab+b2﹣4c2；（5）∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝10，4x+6y＝4，∴2x+3y＝2，∴2x﹣3y＝10÷2＝5，故2x﹣3y的值为5．26．解：（1）左图的面积为两个正方形的面积差，即：a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2，（2）右图可得：拼成长方形的宽是（a﹣b），长是（a+b），面积是（a+b）（a﹣b），故答案为：（a﹣b），（a+b），（a﹣b）（a+b）（3）故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（4）①1002×998＝（1000+2）（1000﹣2）＝10002﹣22＝1000000﹣4＝999996，②（2m+n﹣p）（2m+n+p）＝（2m+n）2﹣p2＝4m2+4mn+n2﹣p2；③（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）+1，＝264﹣1+1，＝264．27．解：（1）“囧”字图案中阴影部分的面积为20×20﹣xy×2﹣xy＝400﹣2xy；（2）把x＝8，y＝4代入400﹣2xy，得原式＝400﹣2×8×4＝336．故此时“囧”字图案中阴影部分的面积是336．28．解：（1）根据题意得a+5＝4+4，解得a＝3；（2）铺设地面需要木地板：4×2x+a[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]+6×4＝8x+3（17﹣5x）+24＝（75﹣7x）平方米；铺设地面需要地砖：16×8﹣（75﹣7x）＝128﹣75+7x＝（7x+53）平方米；（3）∵卧室2的面积为21平方米，∴3[10+6﹣（2x﹣1）﹣x﹣2x]＝21，∴3（17﹣5x）＝21，∴x＝2，∴铺设地面需要木地板：75﹣7x＝75﹣7×2＝61，铺设地面需要地砖：7x+53＝7×2+53＝67．铺设地面的总费用：61×300+67×100+2000＝25000（元）．故铺设地面的总费用为25000元．29．解：（1）①根据图形各个区域之间的关系可得，B区长方形场地的长是（a+c），宽为（a﹣c），故答案为：（a+c），（a﹣c）；②2[（a+c）+（a﹣c）]＝4a；（2）整个长方形的长为（2a+c），宽为（2a﹣c），∴周长为2[（2a+c）+（2a﹣c）]＝8a，当a＝4时，8a＝32．30．解：（1）根据拼图可得，阴影部分是边长为（m﹣n）的正方形，故答案为：m﹣n；（2）方法①，从大正方形中减去四个小长方形的面积，即：（m+n）2﹣4mn，方法②根据正方形的面积公式直接表示小正方形的面积为（m﹣n）2，故答案为：①（m+n）2﹣4mn，②（m﹣n）2；（3）由（2）知，（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；（4）由于（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，又∵a+b＝8，ab＝5，∴（a﹣b）2＝64﹣20＝44．。

专题1.16 整式的运算中图形面积问题（专项练习）一、单选题1．（2021·黑龙江哈尔滨市·八年级期末）如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）A ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2=（a ﹣b ）2+4ab2．（2020·浙江杭州市·七年级期中）通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，下图可表示的代数恒等式是（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()22a a b a ab +=+C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()()a b a b a b +-=-3．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如图，从边长为(4)cm a +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)cm a +的正方形（0a >），剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（既没有重叠也没有缝隙），则长方形的面积为（ ）A ．()2225cm +a aB ．2(615)cm a +C ．2(69)cm a +D ．2(315)cm a + 4．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，从边长为(1)cm a +的正方形纸片中剪去一个边长为(1)cm a -的正方形(1)a >，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的面积是（ ）cm 2．A ．2B ．4aC ．2aD ．21a -5．（2020·浙江杭州市·七年级期末）一个大长方形ABCD 按如图方式分割成九个四边形，且只有标号为①和①的两个正好为正方形，其余均为长方形．若已知小正方形①的周长为8，小长方形①的周长为2p ，小长方形①的周长为2q ，且2()31p q pq +=-，这个大长方形ABCD 的面积（ ）A ．25B ．30C ．35D ．406．（2021·贵州遵义市·八年级期末）为了提高广大市民的禁毒意识和防毒拒毒能力，某县准备修建一个禁毒文化广场，如图是该文化广场设计图纸的一部分，其面积表示错误的是（ ）A ．()()x p x q ++B ．2()x p q x pq +++C ．2x px qx pq +++D ．22x px q ++7．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，从边长为a 的大正方形纸片中挖去一个边长为b 的小正方形纸片后，将其裁成四个相同的等腰梯形（甲），然后拼成一个平行四边形（乙）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ）A ．()222a b a b -=-B ．()2222a b a ab b -=-+ C ．()2222a b a ab b +=++ D ．()()22a b a b a b -=+- 8．（2021·江西宜春市·八年级期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为a ，宽为b ()a b >，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）A ．()222a b ab =B ．()()224a b a b ab +=-+ C ．()2222a b a b ab +=++ D ．()()22a b a b a b -=+- 9．（2021·广东深圳市·九年级期末）如图，矩形ABCD 的周长是10cm ，以AB ，AD 为边向外作正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2，那么矩形ABCD 的面积是（ ）A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 210．（2021·广西钦州市·八年级期末）如图，将大小相同的四个小正方形按照图①和图①所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（ ）A ．222()2a b a ab b -=-+B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()()4a b a b ab -=+-D ．22()()a b a b a b +-=-11．（2020·浙江杭州市·七年级期末）如图，长为()cm y ，宽为()cm x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长是5cm ，下列说法中正确的是（ ）①小长方形的较长边为15y -；①阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为5x y -+；①若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；①当15x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①12．（2021·浙江宁波市·七年级期末）已知长方形ABCD ，AD AB >，10AD =，将两张边长分别为a 和b （a b >）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当213S S b -=时，AB 的值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1013．（2021·山东济宁市·八年级期末）在矩形ABCD 内将两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当4AD AB -=时，21S S -的值为（ ）A ．4aB ．4bC ．44a b -D ．5b二、解答题 14．（2021·云南玉溪市·七年级期末）如图，将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个长方形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的长方形． （1）用含m ，n 的式子表示新长方形的周长．（2）若m=10，n=4，求新长方形的面积．15．（2021·河南焦作市·八年级期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块空地长为（3a＋2b）m，宽为（2a＋b）m；另一块长为（a＋b）m，宽为（a－b）m．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为（a－b）m的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪（1）求计划种植草坪的面积；（2）已知a＝30，b＝10，若种植草坪的价格为30元/m2，种花的价格为50元/m2，求改造两块空地种植花草应投入的资金为多少元？16．（2021·河南焦作市·八年级期末）（1）如图，长方形ABCD的周长为16，四个正方形的面积和为68，求矩形ABCD的面积．（2）若（x2+nx+3）（x2﹣2x+m）的展开式中不含x2项和x3项，求m-n的值．17．（2021·河南新乡市·八年级期末）某公园有一块如图所示的长方形空地，计划修建东西、南北走向的两条小路（阴影部分），其余进行绿化，已知长方形空地的长为(4)a b +米，宽为(2)a b +米，道路宽都为a 米．（1）求绿化部分的面积（用含a ，b 的式子表示）；（2）当2a =，3b =时，求绿化部分的面积．18．（2021·山东济南市·七年级期末）如图1是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a 、b 、c ，其中a 、b 是直角边，两个小正方形的边长分别是a 、b ． （1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图2）．用两种不同的方法列代数式表示图2中的大正方形面积：方法一：________________；方法二：________________；（直接把答案填写在答题卡的横线上）（2）观察图2，试写出()2a b +，2a ，2ab ，2b 这四个代数式之间的等量关系：________________．（直接把答案填写在答题卡的横线上）（3）请利用（2）中等量关系解决问题：若图1中一个三角形面积是6，图2的大正方形面积是64，求22a b +的值．19．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）若x 满足()()944x x --=，求()()2249x x -+-的值．解：设9,4x a x b -=-=，则()()944x x ab --==，()()945a b x x +=-+-=，222222(9)(4)()252417x x a b a b ab ∴-+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面问题：（1）若x 满足()()522x x --=，求()()2252x x -+-的值； （2）若x 满足()()632x x --=，求()()2263x x -+-的值； （3）已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD DC 、上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF DF 、为边作正方形，求阴影部分的面积．20．（2021·河南商丘市·八年级期末）把一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m ，n 的代数式表示）． 方法1：______________________________．方法2：______________________________．（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式()2m n +，()2m n -，mn 间的等量关系：________（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数x ，y 满足6xy =，5x y -=，请求出x y +的值．21．（2021·河南安阳市·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是______；（2）运用（1）中的结论，完成下列各题：①已知：3a b -=，2224a b -=，求+a b 的值；①计算：22222111111111123420192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．22．（2021·陕西安康市·八年级期末）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为,b 宽为a 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图②的大正方形．()1观察图②，请你写出代数式()222,,a b a b ab ++之间的等量关系是 ；()2根据()1中的等量关系，解决下列问题；①已知224,10a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()222020201852x x -+-=，求2019x -的值．23．（2021·山东济宁市·八年级期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以用来解释()2222a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >．（以上长度单位： cm ）（1）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以分解因式为_________（2）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258,cm 试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．24．（2021·河南三门峡市·八年级期末）乘法公式的探究及应用．（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：①10.39.7⨯①(2)(2)m n p m n p +--+25．（2021·福建泉州市·八年级期末）如图，将一张长方形铁皮切割成九块，切痕如下图虚线所示，其中有两块是边长都为acm 的大正方形，两块是边长都为bcm 的小正方形，五块是长、宽分别是acm bcm 、的全等小长方形，且a b >．（1）用含a b 、的代数式表示切痕的总长为_ cm ；（2）若每块小长方形的面积为212cm ，四块正方形的面积和为280cm ，试求+a b 的值．26．（2021·山东滨州市·八年级期末）图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式2()a b +，2()a b -，ab 之间的等量关系为________． （3）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求m n+的值．（4）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1226S S +=，求图中阴影部分面积．27．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系是______；（2）拓展应用：若()()22202020217m m -+-=，求()()20202021m m --的值．28．（2021·湖北荆州市·八年级期末）如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =，试求x y +的值； （3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．29．（2021·江西赣州市·八年级期末）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a，b的式子表示）（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；（3）观察图2，用等式表示出（2a-b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．30．（2021·河南商丘市·八年级期末）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a＋b ＝8，ab＝6，求图中阴影部分的面积．31．（2021·山西长治市·八年级期末）综合与实践读下列材料，完成文后任务．2(15)40304010⨯-+=-+=．任务（1）方法1用到的乘法公式是 （填“平方差公式”或“完全平方公式”）．（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若22(11)(9)10x x -+-=，求(11)(9)x x --的值．（3）如图，在长方形ABCD 中，10AB =，6BC =，E ，F 是BC ， CD 上的点，且BE DF x ==，分别以FC ，CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和 CEMN ，若长方形 CEPF 的面积为40，求图中阴影部分的面积和．32．（2021·广西河池市·八年级期末）图1是长为2a ，宽为2b 的长方形，按虚线将它分成四个全等的小长方形，然后拼成如图2的一个正方形图案．（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积（直接用含a ，b 的代数式表示）； （2）分别对（1）中的两个代数式进行化简，并写出你发现的相等关系式；（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知5a b +=，4ab =，求2()a b -的值．33．（2021·山东滨州市·八年级期末）（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到()2222a b a ab b +=++，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：_________．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10a b c ++=，35ab ac bc ++=，则222a b c ++=__________．（3）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形，z 张宽、长分别为a 、b 的长方形纸片拼出一个面积为()()33++a b a b 长方形，则x y z ++=_________．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x 的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：_________．34．（2021·河南开封市·八年级期末）如图①是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图①的形状拼成一个正方形．（1）图①中阴影部分的正方形的边长是__________；（2）用两种不同的方法表示①中阴影部分的面积：方法1：____________________；方法2：____________________（3）观察图①，请你写出式子()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系：__________； （4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若7m n -=-，5mn =，则()2m n +的值为多少？35．（2021·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）图①是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图①的形状拼成一个正方形．（1）观察图①，请用两种不同的方式表示阴影部分的面积，写出三个代数式()2m n +、()2m n -、mn 之间的等量关系是______________；（2）有许多等式可以用图形的面积来表示．如图①，它表示了_________；（3）请你用图①提供的若干个长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解：2243m mn n ++．要求：在图①的框中画出图形并在下方写出分解的因式．36．（2021·安徽六安市·七年级期末）如图，长方形长为8m ，宽为6m ，现从四个角割去四个边长为2m 的小正形，然后折叠成一个无盖的长方体．（1）求长方体的体积（用含有m 的代数式表示）（2）当12m =时，求此时长方体体积． 37．（2021·河南安阳市·八年级期末）（1）探究发现：小明计算下面几个题目①()()23x x ++；①()()41x x -+；①()()42y y +-；①()()53y y --后发现，形如()()x p x q ++的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：2()()()()()p x x q x ++=++（2）面积说明：上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算()()x p x q ++，发现这个规律是正确的．小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律，请你帮助小明补全图中括号的代数式．（3）逆用规律：学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：2710x x -+.38．（2020·浙江杭州市·七年级期末）数学中有很多等式可以用图形的面积来表示．（1）观察图，直接写出代数式22(),()a b a b +-，ab 之间的等量关系________；（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知7,10a b ab -==-．求+a b 的值； ①已知13x x +=，求1x x-的值．39．（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为()a b a >．（1）如图1，点H 与A 重合，点E 在边AB 上，点G 在边AD 上，请用两种不同的方法求出阴影部分1S 的面积（结果用a ，b 表示）．（2）如图2，在图1的正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD 的右下角又放了一个和正方形EFGH 一样的正方形，使一个顶点和点C 重合，两条边分别落在BC 和DC 上．若题（1）中14S =，图2中21S =，求阴影部分3S 的面积．（3）如图3，若正方形EFGH 的边GF 和正方形ABCD 的边CD 在同一直线上，且两个正方形均在直线CD 的同侧，若点D 在线段GF 上，满足14DF GF =，连结AH ，HF ，AF ，当三角形AHF 的面积为3时，求三角形EFC 的面积，写出求解过程．40．（2021·安徽合肥市·八年级期末）图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）请写出图2中阴影部分的面积：________________；（2）观察图2，你能写出下列三个式子：2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？（3）根据（2）中的等量关系，已知：21a a -=求：2a a+的值．41．（2021·广西玉林市·八年级期末）如图，某小区有一块长为(24)a b +米，宽为(2)a b -米的长方形地块，角上有四个边长为()-a b 米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．（1）用含有a 、b 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；（2）物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该队每小时可绿化4b 平方米，每小时收费300元，则该物业应该支付绿化队多少费用？（用含a 、b 的代数式表示）42．（2021·河南周口市·七年级期末）如图，已知阴影部分面积为S（1）列出代数式表示S ．（2）若a=3，b=5，c=1，d=6，求出S 的值43．（2021·江西赣州市·八年级期末）乘法公式的探究及应用．数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片长为a 、宽为b 的长方形并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）观察图2，请写出下列三个代数式：()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系____； （2）若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片_____张．（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：6a b +=，2214a b +=，求ab 的值：①已知()()22201820204x x -+-=．求()22019x -的值．三、填空题44．（2021·北京西城区·八年级期末）如图1，先将边长为a 的大正方形纸片ABCD 剪去一个边长为b 的小正方形EBGF ，然后沿直线EF 将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形AEGC ．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：________．（用含a ，b 的式子表示）45．（2021·河南漯河市·八年级期末）如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分分折起，制成一个高为a 的长方体形状无盖纸盒，如果纸盒的容积为26a b ，底面长方形的一边长为b ，则底面长方形的另一边长为______．46．（2020·浙江杭州市·七年级期中）如图，记图①中阴影部分面积为S 甲，图①中阴影部分面积为S 乙，且(0)S k a b S =>>甲乙． （1）k =______（用含a ，b 代数式表示）．（2）若34k =，则a b值为______．47．（2021·四川绵阳市·八年级期末）如图，一块直径为+a b 的圆形彩色纸板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个小圆，若3a b -=，2219+=a b ，则剩下的纸板的面积是_______．48．（2021·河北唐山市·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是：__________；（请选择正确的一个）A ．2222()a ab b a b -+=-B ．22()()a b a b a b -=+-C ．2()a ab a a b +=+（2）应用：利用所选（1）中等式两边的等量关系，完成下面题目：若46x y +=，45x y -=，则221664x y -+的值为__________．49．（2021·辽宁抚顺市·八年级期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是_____．50．（2021·福建泉州市·八年级期末）如图所示，将一个边长为a 的正方形减去一个边长为b 的小正方形，将剩余部分（阴影部分）对半剪开，恰好是两个完全相同的直角梯形，将它们旋转拼接后构成一个等腰梯形．（1）利用图形的面积关系可以得到一个代数恒等式是________；（2）求前n 个正奇数1，3，5，7，…的和是________．参考答案1．C【分析】分别表示图（1）和图（2）中阴影部分的面积即可得出答案．【详解】图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：C．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，用代数式表示各个图中阴影部分的面积是得出答案的关键．2．B【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab=2a2+2ab，即2a（a+b）=2a2+2ab．故选：B．【点拨】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．3．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．【详解】解：长方形的面积为：（a+4）2-（a+1）2=（a2+8a+16）-（a2+2a+1）=a2+8a+16-a2-2a-1=6a+15．①长方形的面积是（6a+15）cm2．故选：B【点拨】此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．4．B【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．【详解】解：（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-a2+2a-1=4acm2，故选：B．【点拨】本题主要考查了整式的混合运算的应用，关键是根据题意列出式子，运用整式的混合运算法则进行计算，要熟记公式．5．C【分析】设小长方形①的宽为a，长为b，据此得出①的长和宽，从而表示出大长方形的长和宽，结合已知条件2（p+q）=31-pq得到结果．【详解】解：由题意可得：小正方形①的边长为8÷4=2，设小长方形①的宽为a，长为b，①①为正方形，①①的长为a，①①的周长为2q，①①的宽为q-a，①①的周长为2p，①a+b=p ，①S 长方形ABCD =（b+2+a ）（q -a+2+a ）=（p+2）（q+2）=pq+2（p+q ）+4①2（p+q ）=31-pq ，①S 长方形ABCD = pq+31-pq+4=35，故选C ．【点拨】本题考查了整式的混合运算，解决本题的关键是用字母表示出相应线段的长度． 6．D【分析】利用长方形的面积公式表示图形面积，再利用多项式乘以多项式法则计算()()x p x q ++，从而可得答案．【详解】解：由图形面积是长方形的面积，所以可表示为：()()x p x q ++，故A 不符合题意； ()22()(),x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++ 故,B C 都不符合题意；显然()()x p x q ++≠22x px q ++，故D 符合题意；故选：.D【点拨】本题考查的是利用代数式表示图形面积，同时考查了多项式乘以多项式，掌握以上知识是解题的关键．7．D【分析】分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案．【详解】解：图甲中阴影部分的面积为：a 2-b 2，图乙中阴影部分的面积为：（a+b ）（a -b ） ①甲乙两图中阴影部分的面积相等①a 2-b 2=（a+b ）（a -b ）①可以验证成立的公式为（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2．故选：D ．【点拨】本题考查了平方差公式的几何背景，属于基础题型，比较简单．8．B【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．【详解】解：大正方形的边长为：+a b ,空白正方形边长：-a b ，图形面积：大正方形面积()2a b +，空白正方形面积()2a b -，四个小长方形面积为：4ab ， ①()2a b +=()2a b -+4ab ．故选择：B ．【点拨】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．9．B【分析】设AB ＝x ，AD ＝y ，根据题意列出方程x 2+y 2＝17，2（x +y ）＝10，利用完全平方公式即可求出xy 的值．【详解】解：设AB ＝x ，AD ＝y ，①正方形ABEF 和ADGH 的面积之和为17cm 2①x 2+y 2＝17，①矩形ABCD 的周长是10cm①2（x +y ）＝10，①（x +y ）2＝x 2+2xy +y 2，①25＝17+2xy ，①xy ＝4，①矩形ABCD的面积为：xy＝4cm2，故选：B．【点拨】本题考查了正方形面积、矩形面积和完全平方公式，恰当的设未知数，建立方程，设而不求，只求xy的值是解题关键．10．A【分析】根据图形阴影部分的面积的不同求法可得等式．【详解】解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为（a-b）的正方形，因此面积为（a-b）2，由图2可知，阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：a2-2ab+b2，因此有（a-b）2=a2-2ab+b2，故选：A．【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．11．C【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；①由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法①错误；①由阴影A，B 的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+15），结合x为定值可得出说法①正确；①由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=15可得出说法①错误．【详解】解：①①大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm，①小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确；①①大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm，①阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm，①阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法①错误；①①阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，①阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30），①阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5），①若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法①正确；①①阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm，①阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2，①阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2，当x=15时，xy-25y+375=（375-10y）cm2，说法①错误．综上所述，正确的说法有①①．故选：C．【点拨】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．12．A【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再由S2-S1=3b，AD=10，列出方程求得AB便可．【详解】解：S1=（AB-a）•a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）•a+（AB-b）（AD-a），。

海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．26．图形面积的计算 解读课标面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：1．常见图形面积计算公式；2．等底等高的两个三角形面积相等；3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比．面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法． 熟悉以下基本图形．问题解决例1 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，AOB △和BOC △的面积分别为225cm 和，梯形的面积是__________2cm ．隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出DOC △的，过线段的比把三角形面积联系起来．例2 如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么AEG △的面积的值（）．A ．只与m 的大小有关B ．只与n 的大小有关C ．与m 、n 的大小都有关D ．与m 、n 的大小都无关试一试略 例3 如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点O ，已知OB OD =，2OC OE =．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ． （1）求13:S S 的值；（2）如果22S =，求4S 的值．试一试恰当连线（如连OA ），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设AOE S x =△，利用三角形面积之间的关系建立方程．例4 如图，ABC △的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点．S 2S 1S 1S2S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 4S 3ODC BAGF ED CBAE OD CBA求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFGN 的面积．试一试（1）连CP ，设PCF S x =△，PCE S y =△，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（2）连NC ，仿（1），先求出BNC △的面积，再得出BNG △面积，进而可求四边形PFGN 的面积．例5 如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．解法1 如图①，14AMD AMC S S ==△△，AMG S △为公共部分，所以AGD MCG S S =△△，因为AMG △与AMD△的高相等（以A 为顶点作高），MCG △与MCD △的高相等（以C 为顶点作高），所以AMG MCG AMD MCD S S MG S S MD==△△△△，即141142MCG MCG S S -=△△， 解得16MCG S =△，11263S =⨯=阴影．解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△， 又1122AMG ABG AGD S S S ==△△△，所以2211=22212343AGD AMD S S S =⨯=⨯⨯=+阴影△△． 解法3 如图③，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于点O ，AMG S x =△，因为14AMD AOD ABCD S S S ==△△，所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD S S x ==△△，BMG AMG S S x ==△△， 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△， 即14x x x =++，所以112x =． 所以()123AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=阴影△△△△．皮克公式例6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．P Q M NGF E D CBA 图①图②图③（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如S x S =． 2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =___________．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 试一试本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为3、4、5等的情况，从特殊到一般作出猜想． 数学冲浪 知识技能广场1．如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果2175cm S =，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_____________2cm ．2．图中最大正方形的边长是10cm ，那么，阴影部分的总面积是__________2cm ．3．如图，将边长为4cm 的等边ABC △沿边BC 向右平移2cm 得DEF △，DE 与AC 交于点G ，则:ABC ABFD S S =四边形△_____________．4．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图②摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ____________2S （填“>”、“<”或“=”）．④③②①S 4S 3S 2S 1GF EDCBA图①图②5．如图，在直角扇形ABC 中，分别以AB 、AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成1S 、2S 、3S 、4S 四部分，则2S 与4S 的大小关系是（）． A ．24S S < B ．24S S = C ．24S S > D ．无法确定的6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为（）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．如图，在长方形ABCD 中，11223AE BG BF AD AB =====，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（）．A ．8B ．12C ．16D ．208．如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．139．如图，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求DEK △的面积．10．如图，ABC △的边30cm AB =，25cm AC =，点D 、F 在AC 上，点E 、G 在AB 上，::::1:2:3:4:5ADE DEF EFG FGC GBC S S S S S =△△△△△，求AD 和GE 的长．S 4S 3S 2S1D CB AODCBA思维方法天地11．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是__________．12．如图，三角形ABC 的面积为1，:2:1BD DC =，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为______________．13．如图，长方形ABCD 中，60cm AD =，45cm AB =，Q 为CD 的中点，在BC 上取一点P ，使APQ △的面积等于2900cm ，则BP =_______________．14．如图，若P 为平行四边形ABCD 内的一点，且5PAB S =△，2PAD S =△，则PAC S =△______________．15．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1214BCE CDF ABCD S S S ==⋅=平行四边形△△，则CEF S =△___________．16．如图，大圆中有4个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是__________2cm （π取3）．GF ED CBANCB PE DCBAABCD PQPHDCBAF EDC BA17．如图，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于D ，连接CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积．18．如图，ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===，求GHI ABC 的面积的面积△△的值．应用探究乐园19．在如图①至图③中，ABC △的面积为a ． 探索（1）如图①，延长ABC △的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD △的面积为1S ，则1S =__________（用含a 的代数式表示）；（2）如图②，延长ABC △的边BC 到点D ，延长CA 到点E ，使C D B C =，AE CA =，连接DE ．若DEC△的面积为2S ，则2S =_________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图②的基础上延长AB 到点F ，使B F A B =，连接FD 、FE ，得到DEF △（如图③）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =________（用含a 的代数式表示）． 发现像上面那样，将ABC △各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF △（如图③），此时，我们称ABC △向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的DEF △的面积是原来ABC △面积的______倍． 应用O F EDCBAG IHF E DCBA图①图②图③图④去年在面积为210m 的ABC △空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把ABC △向外进行两次扩展，第一次由ABC △扩展成DEF △，第二次由DEF △扩展成MGH △（如图④）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少2m ？20．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，求正方形盒子的面积．红绿黄26．图形面积的计算 问题解决例1 144()235cm AOD BOC S S ==△△，AOD DOCABO BOCS S DO S BO S ==△△△△，得()249cm DOC S =△． 例2 B 连AC ，AC GE ∥，212AGE GCE S S n ==△△．例3 （1）23S S =，212S S =，得13:1:2S S =． （2）由22S =，得11S =，32S =，连接OA ， 设AOE S x =△，则1AOD AOB S S x ==+△△， 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得3x =，14x +=，所以4347S =+=．例4 （1）133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①+②，得16x y +=，即16PECF S =四边形．（2）连NC ，ND ，设NGB S a =△，NCE S b =△， 则2NOG S a =△，2NEA S b =△，则1332233a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1115321642BEC BNG PFGN PECF S S S S =--=--=四边形四边形△△．例6 （1）12S x =；（2）112S x =+；（3）112S x n =+-．数学冲浪1．108 2．25 3．2:1ABC ADFC S S =四边形△ 4．= 5．B 6．D 7．B 8．B 9．16DEK BEFG S S ==正方形△10．设cm AD x =，则2cm DF x =，3cm AF x =， 由():123:43:2AFG FGC S S =++=△△，得2cm FC x =， 3225AC x x =+=，故5x =，即5cm AD =，同理AE EG =，2AG BG =，20cm AG =，10cm EG =．11．8.5连HD 12．73013．40cm 设cm BP x =，则()60cm PC x =-，由()1451145604560456090022222APQ S x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯=△，得40x =．14．3设PAH S m =△，PCH S n =△，则1252BHC BHC ABCD S n m S S ++=-+=平行四边形△△．15．74连AC ，DE ，则1B C ES =△，12CDF S =△，4ABCD S =平行四边形，2AB EB =，E 为AB 中点，4AD FD =，34AF AD =，3344AEF ADE S S ==△△，13741244CEF CDF AEF BCE ABCD S S S S S =---=---=平行四边形△△△△．16．150如图，因为1与2、3与4、5与6、7与8、9与10、11与12部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即20.5π1050π150⨯⨯==（平方厘米）．17．16设BOF S x =△，BOD S y =△，则14AOE COE AOB COB S S S S ====△△△△， 14AOF S x =-△，34ACF S x =-△，14BCF S x =+△．由AOF ACF BOF BCF S S AF S BF S ==△△△△，得134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-，解得112x =．同理有14COD S y =-△，34ACD S y =-△，14ABD S y =+△，由BOD ABD COD ACD S BD S S CD S ==△△△△，得112y =． 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形．18．17连BG ，设ABC S S =△，DCG S x =△，BGF S y =△，则1332233x y S x y S ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得121EAH FBI S S S ==△△，又13ADC BEA S S S ==△△，得12532121GCEH HAFI S S S S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭四边形四边形，这样21011321217GHI S S S ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭△，即17GHI ABC S S =△△． 19．探索：（1）a ；（2）2a ；理由：连接AD ，CD BC = ，AE CA =，DAC DAE ABC S S S a ∴===△△△，22S a ∴=； （3）6a ； 发现：7应用：拓展区域的面积：()()227110480m -⨯=．20．51.2移动黄块到左边缘，在移动的过程中，黄块露出的部分减少多少，绿块露出的部分就增加多少，即“黄+绿”141024=+=不变．当黄块移动到靠左边缘时，由于红块是正方形，大盒也是正方形，可得这时“黄”=“绿”24212=÷=，易知此时“左上”⨯“右下”=“右上”⨯“左下”，可得“右上”1212207.2=⨯÷=，所以“大盒”的面积2012127.251.2=+++=．绿红黄。

七年级数学专题训练25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.F【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FC B【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCDA【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.Q P FG ED CBA【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE 上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.C（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.C（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC 31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A .2B . 3C . 4D .5F CBE6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A .c b a ab )(+-B . c b a ab )(--C .))((c b c a --D .))((c b c a +-7．如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B . 100 C .50π D .200CD（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A .29 B .27 C .310 D ．815BDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.CF B（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．KEB AD（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A .8B .12C .16D ．20F BGCDA7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A .48cm 2B .49cm 2C .50cm 2D ．51cm 2FEB A（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A .0B .1C .2D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A .25B .30C .35D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.CAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC中，21===FAFBECEADBDC.求的面积△的面积△ABCGHI的值.GIHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）专题25 图形面积的计算例1 196 提示：×28×（28+14）-×28×28=×28×14=28×7=196.例2 D 提示：设△ABC 底边上的高为h ，则×BC ×h =24 故h====. 设△ABC 底边DE 上的高为，△BDE 底边DE 上的高为，则h =.∴=+=+）===6.例3 2cm .提示：设△ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则，解得DE =2.例4 54提示：2S CE S EA ==丙甲 , 2S BE S ED ==丙乙, 12S DE S BE ==丁甲,12S AE S EC ==丁乙. 例51133AECABCSS == ，1133BGFABCS S ==.设=x PECS ，=y PFCS则=3x PBCS，=3y PCAS于是133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①+②，得243x y +=（），∴16x y +=，即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS==. ∴APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a==82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =.设x AEP S=，则=4x ADP S.由APDBEPF SS =四边形得a x=4x 4-. ∴ ax=20. ∴a a4=205APDS =⨯. 连接AC ，又∵AQ ∥PC ，APQACQS S =， ∴a5ACQADQS S+=. ∴a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBP AEP SS=. 由1=a 2ABPCDPS S+， 得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=--=--=.∴aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S==，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPD S S =.于是a a 3a==201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形. ∴3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级1.14 提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3. ()22a 2π-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8.C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将△DEK 的面积转化为规则图形的面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=++----正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222++-+--+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222++---+---=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则∠DBA=∠GEB=45°, ∴DB ∥GE,得GEDGEBS S=，同理GE ∥FK ，得GEKGEFS S=.∴16DEKGEDGEKGEBGEFBEFG SSSSSS =+=+==正方形.B 级1. 2212a 3a π-（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8. 3. 18.75（π≈3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 4812481提示：“生长”n 次后得到n 34⨯边形，面积为原面积的n 114293+-倍.6. B.7. B 提示：过点K 作KH ⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45°, ∴KH=12AE=7. 111474922AKES AE KH =••=⨯⨯=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. ⑴当a ＞1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，∴()()11151a a 22122222=⨯⨯++⨯--⨯⨯，解得a=6.⑵当0≦a ＜1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯，解得a=-4（不合题意，舍去）.⑶当a ＜0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMD AMC SS==. ∵AMGS 为公共部分, ∴AGD CMGSS=.又因为△AMG 与△AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），△MCG 与△MCD 的高相等（以C 为顶点作高），∴AMG OMG AMDMCDSS MGSSMD==,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.∴11=2=63S ⨯阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,,x y S x y S ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得12421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 同理可得：121.EAHFBISSS == 又13ADCBEAS S== S ，得12532121=-=OCEH HAFIS S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭四形四形 .∴21011321217=--GHISS S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故17GHI ABCS S =.。

专题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1例题与求解【例1】 如图，在直角△ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S △AGW =______________．(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：△AGW 的面积可以看做△AGF 和△GWF 的面积之差.F【例2】 如图，已知△ABC 中的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC =4CF .四边形BDCE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设△ABC 底边BC 上的高为h .本例关键是通过适当变形找出h 和DE 之间的关系．FB【例3】 如图，平行四边形ABCD 的面积为30cm 2，E 为AD 边延长线上的一点，EB 与DC 交于F 点，已知三角形FBC 的面积比三角形DEF 的面积大9cm 2，AD =5cm ，求DE 长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示．BACFDE【例4】 如图，四边形ABCD 被AC 与DB 分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE =80 cm ，CE =60 cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A【例5】 如图，△ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S △PFC =x ，S △PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.Q P FG ED CBA【例6】如图，E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC.求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF，DF，AC，PB，设S□ABCD=a，求得△APQ和△CPQ的面积. F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是______.FCB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，若△BDF 的面积为6平方厘米，则长方形ABCD 的面积是_____________平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB ，BC ，CD ，DA 分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是____________.C（安徽省中考试题）4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_________平方厘米.C（“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ⋅31，则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5F CBE6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(--C.))((c b c a --D.))((c b c a +-7．如图，线段AB =CD =10cm ，»BC和»DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( )． A ．25π B. 100 C.50π D. 200CD（“五羊杯”竞赛试题）8．如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( )． A.29 B.27 C.310 D ．815BDA9．如图，长方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，△ABG ，△DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.CF B（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求△DEK 的面积．KEB A D（广西壮族自治区省南宁市中考试题）B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_____________.（江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_________cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题）3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为___________________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_____.CMNDQB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=________，面积是原三角形面积的______倍.第2次生长第1次生长原图(“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D ．20F BGCDA7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2 D ．51cm 2FEB A（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由8×8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ).A.0B.1C.2 D ．3（全国初中数学联赛试题）9.如图，△ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △GEC =3，S △GDC =4，则△ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D ．40GFE CBDA10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S △ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面积.CAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，△ABC中，21===FAFBECEADBDC.求的面积△的面积△ABCGHI的值.GIHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题）。

初中数学二次函数的应用题型分类汇编——与图形有关问题5（附答案）1．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC +BD =16，则四边形ABCD 的面积最大值是( )A ．64B ．16C ．24D ．322．将抛物线y ＝x 2﹣4x +1向左平移至顶点落在y 轴上，如图所示，则两条抛物线.直线y ＝﹣3和x 轴围成的图形的面积S （图中阴影部分）是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y 轴对称．AB ∥x 轴，AB=4cm ，最低点C 在x 轴上，高CH=1cm ，BD=2cm ．则右轮廓线DFE 所在抛物线的函数解析式为（ ）A ．y=（x+3）2B ．y=（x+3）2 C ．y=（x ﹣3）2 D ．y=（x ﹣3）25．在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y ，则y 关于x 的函数关系为（ ）A ．y=πx 2－4B ．y=π(2－x)2C ．y=－π(x 2+4)D ．y=－πx 2+16π 6．小强用一根长为16cm 的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）A ．216cmB ．232cmC ．264cmD ．28cm7．中国贵州省内的射电望远镜(FAST )是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜，根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈现抛物线状，口径AB 为500米，最低点O 到口径面AB 的距离是100米，若按如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )A ．21100625y x =- B ．21100625y x =-- C ．21625y x = D ．21625y x =- 8．周长是4m 的矩形，它的面积S(m 2)与一边长x(m)的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．已知两个正方形的面积和y 与其中一个正方形边长x 之间的函数解析式21236y ax x =-+的图象如图所示，（3，18）是该图象的顶点，当4x =时，这两个正方形的面积和为（ ）A ．19 B ．20 C ．22 D ．2410．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m,则所围成矩形ABCD 最大面积是（ ）A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 211．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 1：y 1＝12（x +3）2﹣92，将抛物线C 1 向右平移3个单位、再向上平移4.5个单位得抛物线C 2，则图中阴影部分的面积为________．12．如图，已知抛物线 ()221y x =-- 与 x 轴交于A 、C 两点，与 y 轴交于点B ，在抛物线的对称轴上找一点Q ，使△ABQ 成为等腰三角形，则Q 点的坐标是____.13．一养鸡专业户计划用116m 长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN 宽2m ，门PQ 和RS 的宽都是1m ，围成的鸡舍面积最大是_平方米．14．如图，抛物线2y ax c =+的顶点为B ，O 为坐标原点，四边形ABCO 为正方形，则ac =______.15．如图，两条抛物线21112y x =-+，22112y x =--与分别经过点()2,0-，()2,0且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为______ ．16．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M （1，3）的特征线有：x ＝1，y ＝3，y ＝x +2，y ＝﹣x +4．问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC ，点B 在第一象限，A ，C 分别在x 轴和y 轴上，抛物线y ＝18（x ﹣a ）2+b 经过B ，C 两点，顶点D 在正方形内部．若点D 有一条特征线是y ＝x +2，则此抛物线的表达式是_____．17．用12m 长的木材做窗框（如图所示），要使透过窗户的光线最多，窗框的长为_____m ，此时最大面积为_____m 2．18．在北京市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地. 如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG = 2BE. 如果设BE 的长为x （单位：m ），绿地AEFG 的面积为y （单位：m 2），那么y 与x 的函数的表达式为__________________；当BE =______m 时，绿地AEFG 的面积最大.19．在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地为矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE.那么当BE ＝_____m 时，绿地AEFG 的面积最大．20．长方体底面周长为50cm ，高为10cm .则长方体体积()3y cm 关于底面的一条边长()x cm 的函数解析式是____________.（不要求写自变量的取值范围）21．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m ）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD ）外，用长为32m 的栅栏围成矩形ABCD ．设绿化带宽AB 为x m ，面积为S m 2，（1）求S 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m 2吗？若能，请求出AB 的长度；若不能，请说明理由；（3）当x 为何值时，满足条件的绿化带面积最大．22．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5与x 轴交于A (﹣1，0)．B (5，0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求此物线的解析式；(2)在此物线的对称轴上找一点M ．使得MA +MC 最小，请求出点M 的坐标；(3)在直线BC 下方抛物线上是否存在点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在．请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于点,C OB OC =.点D 在函数图象上，//CD x 轴，且2CD =，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点.(1)求b c 、的值;(2)如图①，连接BE ， 线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F'恰好在线段BE 上，求点F 的坐标;(3)如图②,动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC 交于点M ，与抛物线交于点N .试问:直线PN 右侧的抛物线上是否存在点Q ,使得PQN V 与APM ∆的面积相等，且线段NQ 的长度最小?如果存在，求出点Q 的坐标;如果不存在，说明理由. 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用周长为30米的篱笆围成．已知墙长14米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积S 有最大值吗？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点()30A -，、()20B ，、()04，C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若AC 与抛物线的对称轴交于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径作圆，A e 与y 轴的位置关系如何？请说明理由．（3）过点E 作A e 的切线EG ，交x 轴于点G ，请求出直线EG 的解析式及G 点坐标．26．如图，用长为6m 的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm ，窗户的透光面积为ym 2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．27．已知，抛物线22y ax ax c =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧.点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =.（1）求抛物线的解析式；（2）当0a >时，如图所示，若点D 是第三象限抛物线上方的动点，设点D 的横坐标为m ，三角形ADC 的面积为S ，求出S 与m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；请问当m 为何值时，S 有最大值？最大值是多少.28．已知抛物线y=-x 2-mx+2m 2（m ＜0）与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． （1）求证：OB=2OA ；（2）若直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，求m 的值．（3）若点C 与点O 关于点A 对称，且以点C 为圆心，CO 为半径的圆交抛物线于点D ，求证：DO 平分∠ADB ．29．如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大长a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为xm ，面积为2Sm ．（1）求S 与x 的函数解析式并求出x 的取值范围．（2）当x 为多少时，矩形花圃面积S 最大，并求出最大值．30．如图1，抛物线213222y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为线段AC 的中点，直线BD 与抛物线交于另一点E ，与y 轴交于点F ．(1)如图1，点P 是直线BE 上方抛物线上一动点，连接PD ，PF ，当△PDF 的面积最大时，在线段BE 上找一点G ，使得PG ﹣10EG 的值最小，求出PG ﹣10EG 的最小值；(2)如图2，点M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，点K 为平面内一点，当以点A 、M 、N 、K 为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N 的坐标．参考答案1．D【解析】设AC=x，四边形ABCD面积为S，则BD=16-x，则：S=12AC•BD=12x（16-x）=-12（x-8）2+32，当x=8时，S最大=32；所以AC=BD=8时，四边形ABCD的面积最大，故选D．【点睛】二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键．2．B【解析】【分析】B，C分别是顶点，A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCO的面积.【详解】抛物线y＝x2﹣4x+1=(x-2)2-3的顶点坐标C(2.-3), 向左平移至顶点落在y轴上,此时顶点B(0,-3)，点A是抛物线与x轴的一个交点，连接OC，AB，如图，阴影部分的面积就是ABCO的面积，S=2×3=6；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，阴影部分的面积；能够将面积进行转化是解题的关键．3．D【解析】根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是，故选D．【点睛】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．4．C【解析】试题分析：利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式．解：∵高CH=1cm，BD=2cm，而B、D关于y轴对称，∴D点坐标为（1，1），∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，∴AB关于直线CH对称，∴左边抛物线的顶点C的坐标为（﹣3，0），∴右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y=a（x﹣3）2，把D（1，1）代入得1=a×（1﹣3）2，解得a=，故右边抛物线的解析式为y=（x﹣3）2．故选C．考点：二次函数的应用．5．D【解析】【分析】剩下面积=半径为4的圆的面积-半径为x的圆的面积，据此列式即可求得答案.【详解】半径为4的圆的面积16π，半径为x 的圆的面积πx 2，因而函数解析式是：y=-πx 2+16π，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 6．A【解析】【分析】设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ，面积S =x （8-x ），利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积．【详解】解：设矩形长为x cm （0＜x ＜8），则宽为（8-x ）cm ， 面积S =x （8-x ）．S =-x 2+8x ,=-(x -4)2+16,由于-1<0,S 有最大值，当x =4时，S 最大是16.所以矩形的最大面积是16cm 2． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题,解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式,再求二次函数最值.7．A【解析】【分析】观察图像可知，抛物线的顶点坐标为（0，-100），开口向上，a>0，只有选项A 满足条件【详解】观察图象可知，抛物线的顶点坐标为(0,100)-，开口向上，0a >，只有选项A 满足条件. 故选：A【点睛】本题考查了抛物线的解析式，掌握a 与开口方向的关系是解题的关键.8．D【解析】【分析】首先根据矩形的周长，求出两个边长，然后列出面积的关系式，即可判定.【详解】根据题意，矩形的周长为4m ，一边长为x ，则另一边长为2-x ，∵S ＝x(2﹣x)＝﹣(x ﹣1)2+1(0＜x ＜2)．∴函数图像是顶点坐标(1，1)开口向下的抛物线．故选：D ．【点睛】此题主要考查二次函数图像的判定，熟练掌握，即可解题.9．B【解析】【分析】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入可求出a ，然后当x=4时，求出y 即可【详解】由题知解析式为21236y ax x =-+，将点（3,18）代入得：a=2∴解析式为221236y x x =-+当x=4时，y=20；故选B【点睛】本题主要考察二次函数解析式的求解，难度不大，仔细运算即可10．C【解析】试题分析：设BC=xm ，表示出AB ，矩形面积为ym 2，表示出y 与x 的关系式为y=（16﹣x ）x=﹣x 2+16x=﹣（x ﹣8）2+64，，利用二次函数性质即可求出求当x=8m 时，y max =64m 2，即所围成矩形ABCD 的最大面积是64m 2．故答案选C ．考点：二次函数的应用．11．27 2【解析】【分析】根据上→加，下→减，左→加，右→减的原则表示抛物线C2的解析式，由对称性可知：S阴影部分=S△OPQ，先计算Q的坐标，表示PQ的长，可得面积．【详解】由平移可得：抛物线C2的解析式：y2=12（x+3-3）2-92+92，即抛物线C2的解析式：y2=12x2，由抛物线C2的解析式：y2=12x2，可知，抛物线C2过原点O，当x=-3时，y2=12×（-3）2=92，∴Q（-3，92），∵抛物线C1：y1＝12（x+3）2﹣92，∴P（-3，-92），∴PQ=92+92=9，P与Q关于x轴对称，∴OQ=OP，∴S阴影部分=S△OPQ =12×3×PQ=12×3×9=272．故答案为：272．【点睛】本题考查二次函数的平移规律、抛物线与x轴的交点、对称性、三角形面积以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移原则是关键．12．Q 1()236+，，Q 2()236-，，Q 3（2，2），Q 4（2，3）【解析】【分析】先求得点A 和点B 的坐标，由顶点式知抛物线的对称轴为直线x=2，设抛物线的对称轴上的点Q 的坐标为()2m ，，分别求得AB ，并用含m 的代数式表示BQ AQ 、的长，分AB BQ BQ AQ AB AQ ===，，三种情况构造方程求得m 的值.【详解】如图，抛物线的对称轴为直线x=2当y=0时，（x-2）2-1=0解之：x 1=3，x 2=1∴点A 的坐标为（1，0）当x=0时，y=3∴点B （0，3）设点Q 的坐标为（2，m ）.∴AB 2=32+1=10，BQ 2=（m-3）2+22=（m-3）2+4，AQ 2=m 2+1，要使△ABQ 为等腰三角形，当AB 2=BQ 2时，则（m-3）2+4=10,解之：m 1=36 ， m 2=36 ，∴点Q 1(236， ， Q 2(236，.当BQ 2=AQ 2时，则（m-3）2+4=m 2+1,解之：m=2所以点Q 2（2，2）；当AB 2=AQ 2时，则10=m 2+1,解之：m=±3若m=-3，则点B 、A ，Q 在同一直线上，∴m=-3舍去，∴点Q 4（2，3）故答案为：(23+，，Q 2(23，，（2，2），（2，3）【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论．13．450【解析】【分析】设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，用含x 的式子表示出AD ，根据矩形面积公式得出关于x 的二次函数，由二次函数的性质，可求得围成的鸡舍面积的最大值．【详解】解：设鸡舍面积为y 平方米，AB xm =，则116421(602)2x AD x m -+=+=- 由题意得：2(602)260y x x x x =-=-+ ∴当152b x a=-=时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：22156015450-⨯+⨯=（平方米） 故答案为450．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意正确分析图中的数量关系列出函数关系式，是解题的关键．14．-2【解析】【分析】 抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），由四边形ABCO 是正方形，则C 点坐标为标为（2c -，2c ），代入抛物线即可解答． 【详解】解：∵抛物线y=ax 2+c 的顶点B 点坐标为（0，c ），四边形ABCO 是正方形，∴∠COB=90°，CO=BC ，∴△COB 是等腰直角三角形，∴C 点横纵坐标绝对值相等，且等于BO 长度一半，∴C 点坐标为（2c -，2c ）， 将点C 代入抛物线方程中得：2·()22cc a c -+= 解得：ac=-2．故答案为：-2．【点睛】 本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．15．8【解析】【分析】两函数差的绝对值乘以两条直线的距离即可得到所求的阴影部分的面积．【详解】如图，∵两解析式的二次项系数相同，∴两抛物线的形状完全相同，∴两条抛物线是上下平移得到，∴y1-y2=-12x2+1-（-12x2-1）=2；∴S阴影=（y1-y2）×|2-（-2）|=2×4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查能否正确的判断出阴影部分面积，而解答此题．16．y＝18（x-4）2+6【解析】【分析】由特征线确定a与b的关系为b＝a+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数解析式即可求得a．【详解】由题意可知D（a，b）在y＝x+2上，∴b＝a+2，∴正方形的边长为2a，∴C（0，2a），将点C代入y＝18（x﹣a）2+b得到，18（﹣a）2+a+2＝2a，∴a1=a2＝4∴y＝18（x-4）2+6；故答案为y＝18（x-4）2+6．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，新定义问题，弄清新定义的实质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.17．3 6【解析】【分析】设窗框的长为xm，根据木材的总长度是12m表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值解答．【详解】解：设窗框的长为xm ，则窗框的宽为()13122x -， 所以，窗框的面积()()2122361233x x x =-=--+， ∵230a =-<， ∴当x ＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m 2．故答案为：3，6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，难点在于要注意窗框有三条宽．18．22864(08)y x x x =-++<< 2【解析】由题意可知：AE=AB-BE=8-x ，DG=2BE=2x ，所以AG=AD+DG=8+2x ，∴y=AE·AG=（8-x ）(8+2x)=-2x 2+8x+64(0<x<8)；y= -2x 2+8x+64=-2（x-2）2+72，∴当x=2时，y 有最大值，故答案为：y =-2x 2+8x+64(0<x<8)， 2.19．2【解析】【分析】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，根据题意得出函数解析式进行解答即可．【详解】设BE 的长为x ，绿地AEFG 的面积为y ，S 矩形AEFG ＝AE•AG ＝（8−x ）（8＋2x ）＝−2x 2＋8x ＋64（0＜x ＜8）；解析式变形为：y ＝−2（x−2）2＋72，所以当x ＝2时，y 有最大值72，故填：2.【点睛】此题考查二次函数的应用，关键是根据图形得出函数解析式．20．210250=-+y x x【解析】【分析】由长方体底面周长50cm 和底面一条边长x 可表示出另一条边长，然后可得到底面积，最后用底面积乘高得到体积y 的解析式.【详解】∵长方体底面周长为50cm ，底面的一条边长x cm∴底面的另一条边长为()150252⨯-=-x x cm ∴()22510=10250=-⋅⋅-+y x x x x故答案为：210250=-+y x x .【点睛】本题考查根据实际问题写函数关系式，解题的关键是正确表示出长方体体积.21．（1）S ＝﹣2x 2+32x （10≤x ＜16）；（2）绿化带的面积不能达到128m 2，理由详见解析；（3）当x ＝10时，绿化带面积最大．【解析】【分析】（1）依题意易可得BC =32-2x ，根据矩形的面积公式可得出S 与x 的函数关系式，再由0＜32-2x≤12可求出x 的取值范围；（2）先将S =128代入（1）中的解析式，求出x ，再根据x 的取值范围判断即可；（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，再结合x 的取值范围利用二次函数的性质可求得结果．【详解】解：（1）由题意得，BC =32-2x ，∴S ＝x （32﹣2x ）＝﹣2x 2+32x ，又0＜32-2x ≤12，解得10≤x ＜16，故S 与x 的函数关系式为S =﹣2x 2+32x (10≤x ＜16)；（2）根据题意得，当S =128时，有﹣2x 2+32x ＝128，解得：x ＝8，又由（1）知10≤x ＜16，∴x =8不符合题意，故绿化带的面积不能达到128m 2；（3）∵S ＝﹣2x 2+32x ＝﹣2（x ﹣8）2+128，当10≤x ＜16，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，绿化带面积最大．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数表达式和一元二次方程．22．（1）y ＝x 2﹣4x ﹣5；（2）M (2，﹣3)；（3）存在，点P 的坐标为(52，354-) 【解析】【分析】(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5求出a 、b 的值即可确定抛物线的关系式；(2)由对称可得，直线BC 与对称轴的交点就是所求的点M ，求出直线BC 的关系式和对称轴方程，求出交点坐标即可；(3)向下平移直线BC 与抛物线有唯一公共点时，这个公共点就是要求的点M ，于是利用平移后的直线关系式与抛物线关系式联立，使其只有一个解时即可．【详解】解：(1)把A (﹣1，0)、B (5，0)代入抛物线y ＝ax 2+bx ﹣5得， 5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，a ＝1，b ＝﹣4，∴抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，故答案为：y ＝x 2﹣4x ﹣5；(2)当x ＝0时，y ＝﹣5，∴点C (0，﹣5)设直线BC 的关系式为y ＝kx +b ，把点B 、C 坐标代入得，505k b b +=⎧⎨=-⎩ ， 解得，15k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线BC 的关系式为y ＝x ﹣5，∵抛物线的关系式为y ＝x 2﹣4x ﹣5＝(x ﹣2)2﹣9， ∴对称轴为直线x ＝2，由对称可得，直线BC 与对称轴x ＝2交点就是所求的点M ，当x ＝2时，y ＝2﹣5＝﹣3，∴点M (2，﹣3)时，MA +MC 最小，故答案为：M (2，﹣3)；(3)向下平移直线BC ，使平移后的直线与抛物线有唯一公共点P 时，此时点P 到BC 的距离最大，因此△PBC 的面积最大，设将直线BC 向下平移后的直线的关系式为y ＝x ﹣5﹣m ，则方程x 2﹣4x ﹣5＝x ﹣5﹣m ，有两个相等的实数根，即x 2﹣5x +m ＝0有两个相等的实数根，∴m ＝254， 当m ＝254时，方程x 2﹣5x +m ＝0的解为x ＝52，把x ＝52代入抛物线的关系式得，y ＝254﹣4×52﹣5＝﹣354， ∴P (52，﹣354) 答：在直线BC 下方抛物线上存在点P ，使得△PBC 的面积最大，此时点P 的坐标为(52，﹣354)， 故答案为：P (52，﹣354)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、轴对称和最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，三角形的面积以及二次函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次函数和二次函数解析式，以及交点问题是解题的关键．23．（1）2b =-，3c =-；（2）02（，）F -；（3）315,24Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b 的值；由OB OC =，可用c 表示出B 点坐标，代入抛物线解析式可求得c 的值；（2）可设(0,)F t ，则可表示出2F t '（，）的坐标，由B 、E 的坐标可求得直线BE 的解析式，把F '坐标代入直线BE 解析式可得到关于t 的方程，可求得F 点的坐标；（3）设点P 坐标为(,0)n ，可表示出PA 、PB 、PN 的长，作QR PN ⊥，垂足为R ，则可求得QR 的长，用n 可表示出Q 、R 、N 的坐标，在Rt QRN ∆中，由勾股定理可得到关于n 的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n 的值，则可求得Q 点的坐标，【详解】解：（1）2CD =Q 且//CD x 轴，∴抛物线的对称轴为直线1x = 即2b a -=-12b =， 2b ∴=-，() ,0,OB OC C c =Q ，,0B c ∴-（）代入：220c c c ++=，解得123,0c c =-= (舍去），3c ∴=-.（2）由（1）可知222314y x x x =--=--（） 则143,0EB -（，）（） 由待定系数法可得直线BE 的解析式为：26y x =-设由0F t （，），点F 关于直线1x =的对称点F 的坐标为2Ft '（，） 则有：2262t =⨯-=-02F ∴-（，）（3）存在点Q 满足题意．设点P 坐标为(,0)n ，则1PA n =+，3PB PM n ==-，223PN n n =-++．作QR PN ⊥，垂足为R ，S Q △PQN APM S ∆=， ∴211(1)(3)(23)?22n n n n QR +-=-++， 1QR ∴=．点Q 在直线PN 的右侧时，Q 点的坐标为2(1,4)n n +-，R 点的坐标为2(,4)n n n -，N 点的坐标为2(,23)n n n --．∴在Rt QRN ∆中， 221(21)NQ n =+-，∴12n =时，NQ 取最小值1．此时Q 点的坐标为315(,)24-． 综上可知存在满足题意的点Q ，其坐标为315(,)24-． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F 点的坐标表示出F '的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR 的长，用勾股定理得到关于n 的二次函数是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．24．（1）12x =；（2）有，S 的最大值为112平方米．【解析】【分析】（1）根据题意可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题，注意平行于墙的一般长不能超过14米；（2）根据题意可以得到S 关于x 的二次函数，然后利用配方法及函数性质求得其最值，从而可以解答本题．【详解】解：（1）由题意得：(302)72x x -=，整理得：215360x x -+=，解得13x =，212x =．当3x =时，3022414x -=>，不符合题意，故舍去，当12x =时，302614x -=<，则当苗圃园的面积为72平方米时，12x =．（2）∵平行于墙的一边长不小于8米∴830214x ≤-≤，即811x ≤≤．215225(302)222S x x x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭Q ， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线152x =， ∴当152x >时，S 随x 的增大而减小， ∴当8x =时，S 取得最大值，S 的最大值为112平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．25．（1）y ＝﹣23x 2﹣23x +4；（2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由见解析；（3）直线GE 的表达式为：y ＝﹣34x +7124，G （7118，0）． 【解析】【分析】 （1）根据待定系数法，即可求解；（2）根据待定系数法，求出直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，进而求出点E 的坐标，可得AE 的长，比较AE 与AO 的大小关系，即可得到结论；（3）由直线AC 的表达式为：y ＝43x +4，结合AC ⊥EG ，可得直线EG 的表达式为：y ＝﹣34x +m ，结合点E 的坐标，可得直线GE 的表达式，进而即可求解． 【详解】（1）∵抛物线经过点()30A -，、()20B ，， ∴设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣2）＝a （x 2+x ﹣6），把C(0，4)代入得：﹣6a ＝4，解得：a ＝﹣23， ∴抛物线的表达式为：y ＝﹣23x 2﹣23x +4； （2）⊙A 与y 轴的位置关系是相交，理由如下：设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：034k b b =-+⎧⎨=⎩，解得：434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的表达式为：y ＝43x +4， ∵抛物线的对称轴为：直线x ＝﹣12， ∴当x ＝﹣12时，y ＝103∴点E(﹣12，103)，∴AE＝221103023⎛⎫⎛⎫-++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝256＞AO，∴⊙A与y轴的位置关系是相交；（3）直线AC的表达式为：y＝43x+4，∵EG是Ae的切线，切点是点E，∴AC⊥EG，∴设直线EG的表达式为：y＝﹣34x+m，将点E的坐标代入上式，得103＝﹣34×(﹣12)+m，解得：m＝7124，∴直线GE的表达式为：y＝﹣34x+7124，∵当y＝0时，x＝71 18，∴点G(7118，0)．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数与圆的综合，掌握待定系数法，切线的性质定理，直线与圆的位置关系的判定方法，是解题的关键．26．（1）y=-32x2+3x（0＜x＜2），(2) 窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．【解析】试题分析：（1）由窗框的宽为x m ，则长为(63)2x -m ，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可； （2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．试题解析：（1）根据题意,得2(63)3322x y x x x -=⋅=-+（0＜x ＜2）. （2）∵()2233331222y x x x =-+=--+,∴当x=1时，32y =最大. ∴当窗框的长为32m 和宽为1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m 2. 考点：二次函数的应用．27．（1）223y x x =--+或223y x x =+-;（2）当12m =-时，S 取最大值，最大值为38 【解析】【分析】（1）根据点B 的坐标及OC=3OB 可得出点C 的坐标，再根据点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点D 作DE ⊥x 轴，交AC 于点E ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、C 的坐标，进而即可得出线段AC 所在直线的解析式，由点D 的横坐标可找出点D 、E 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出S 与m 的函数关系式，利用配方法可找出S 的最大值．【详解】解：（1）∵点B 的坐标为(1,0)，3OC OB =，∴点C 的坐标为(0,3)或(0,3)-，将点(1,0)B ，(0,3)C 或(0,3)-代入22y ax ax c =++， 203a a c c ++=⎧⎨=⎩或203a a c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得：13a c =-⎧⎨=⎩或13a c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：223y x x =--+或223y x x =+-；（2）过点D 作DE x ⊥轴，交AC 于点E ，如图所示，，∵0a >，∴抛物线的解析式为223y x x =+-，∴点C 的坐标为(0,3)-.当0y =时，有2230x x +-=，解得：13x =-，21x =，∴点A 的坐标为(3,0)-，利用待定系数法可求出线段AC 所在直线的解析式为：3y x =--.∵点D 的横坐标为m ，∴点D 的坐标为2(,23)m m m +-，点E 的坐标为(,3)m m --，∴223(23)3DE m m m m m =---+-=--， ∴21330()22S DE m m =⨯--=-+（30m -<<）， ∵302-<，且223313()()2228S m m m =-+=-++， ∴当12m =-时，S 取最大值，最大值为38. 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点B 、C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出S 与m 的函数关系式．28．（1）见解析；（2）当79m =-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）见解析. 【解析】【分析】（1）令y=0，代入y=-x2-mx+2m2，求出A(m，0)，B(-2m，0)，进而得OB=2OA；（2）联立2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩，得x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，结合直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，得△=0，进而即可求解；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，分两种情况：①当D 在x轴上方时，②当D在x轴下方时，分别求证，即可．【详解】（1）∵抛物线y=-x2-mx+2m2（m＜0）与x轴交于A、B两点，∴关于x的方程-x2-mx+2m2=0有两个不相等的实数根x1和x2，解得：x1=m，x2=-2m，∵点A在点B的左边，且m＜0，∴A(m，0)，B(-2m，0)，∴OA=-m，OB=-2m，∴OB=2OA；（2）∵直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点，∴2222y x mx my x⎧=--+⎨=-+⎩只有一组实数解，消y得：x2+（m-1）x+（2-2m2）=0，∴△=0，即（m-1）2-4×1×（2-2m2）=0，整理得：9m2-2m-7=0，解得：m1=1（不合题意舍去），27 9m=-．∴当79m=-时，直线y=-x+2与抛物线只有一个公共点；（3）以点C为圆心，CO为半径的圆交抛物线于点D，交点有两个，∴CO=CD，①当D在x轴上方时，如图1，连接CD，∵点C与点O关于点A对称，∴OC=2OA=2AC，又由（1）得OB=2OA，∴BC=2OC，∴CA CD CD BC ==12， ∵∠DCA=∠BCD ，∴△DCA ∽△BCD ，∴BD=2AD ， ∵OB=2OA ，∴S △BOD =2S △AOD ，过O 点分别作△BOD 、△AOD 的高ON ，OM ，∴S △BOD=12BD ON ⋅，S △AOD=12AD OM ⋅ ∴BD •ON=2AD•OM ，∴ON=OM ，∴OD 是∠ADB 的平分线，即DO 平分∠ADB ；②当D 在x 轴下方时，如图2，同理①，可得DO 平分∠ADB ．【点睛】本题主要考查二次函数，相似三角形以及圆的综合，掌握二次函数的图象和性质，三角形相似的判定定理和性质定理，是解题的关键．29．（1）2330S x x =-+(20103x <…)；（2）当203x =时，矩形花圃面积S 最大，S 最大值=22003m 【解析】。

七年级配套问题知识点在七年级的数学学科中，除了基础的数学知识外，还涉及到一些配套问题的知识点。

这些知识点与基础的数学知识相互独立，但对于学习某些数学概念及其应用具有重要作用。

本文将介绍七年级配套问题知识点。

一、几何图形的面积计算在七年级数学中，我们学习了各种不同形状的几何图形，如矩形、正方形、三角形等。

计算这些几何图形的面积是很重要的，因为在很多实际应用场景中，我们需要知道这些图形的面积来进行计算。

例如，在日常生活中，常常需要测算房间的面积，如果知道房间的形状和面积，可以更方便的选择地板、墙纸等装修材料。

在数学教学中，计算几何图形的面积还可以帮助学生更好地理解概念，并提高他们的计算能力。

二、代数式的化简与展开在七年级数学中，我们开始接触代数式的概念。

代数式是由常数、变量和运算符号组成的表达式，其中包含了数学符号、代数符号和算术运算符号。

化简代数式是将代数式中的项合并为一个项的过程，而展开代数式是将代数式分解成多个项的过程。

代数式的化简和展开在数学教学中具有重要作用，它们可以帮助学生更好地理解代数式的含义和运算规律。

同时，这些知识点在日常生活中也有广泛的应用，例如在计算金融利息、分配财产、评估公司股份等方面，都需要运用代数式的化简和展开知识。

三、数据的收集与整理在数学教学中，数据的收集和整理也是非常重要的一环。

数据收集是指通过各种途径收集不同类型、不同来源的数据信息；而数据整理则是对收集到的数据信息进行分类、汇总和表达的过程。

中学数学中，数据的收集和整理涉及到统计学中的一些基本概念和方法，如频率、中位数、均值等。

数据的处理与应用在现实生活中也有广泛的应用，例如市场调研、社会调查、投票选举等方面都需要运用到这些知识。

四、三角函数的初步学习在七年级数学学科中，学生也开始接触到三角函数的概念。

三角函数是解决三角形中的各种问题的数学函数，其中包括正弦、余弦、正切等，并在珠峰高度、天文学、地球科学等领域有广泛的应用。

七年级上册数学材料题整理单元一：整数1. 请计算下列各题的结果，并将答案填入括号内：- $3 + (-5) = \_\_\_\_\_$- $(-7) - (-10) = \_\_\_\_\_$- $(-2) \times 4 = \_\_\_\_\_$- $(-12) \div 3 = \_\_\_\_\_$2. 判断下列各题是否为真（T）或假（F）：- $-5$ 是一个正整数。

- 一个整数的相反数一定大于它本身。

- $0$ 是一个负整数。

- 当两个负数相加时，结果一定是正数。

3. 完成下列数轴中的整数标记：单元二：有理数1. 将下列各题转换为小数，并四舍五入到最接近的千分位：- $\frac{7}{10} = \_\_\_\_\_$- $-\frac{2}{5} = \_\_\_\_\_$- $3 \div 4 = \_\_\_\_\_$- $-\frac{5}{6} = \_\_\_\_\_$2. 请判断下列各题是否为有理数（R）或无理数（I）：- $\sqrt{16}$- $\frac{2}{3}$- $\pi$- $-\frac{5}{8}$3. 将下列各题按照大小顺序排列：- $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{3}$, $0$, $-1$单元三：代数式与方程式1. 计算下列各题，并将结果写在括号内：- $2x + 3$, 当 $x = 5$- $4x - 7$, 当 $x = -3$- $2(3x + 4)$, 当 $x = 2$- $\frac{1}{2}x - 3$, 当 $x = 10$2. 解下列方程：- $3x + 5 = 14$- $2(x - 4) = -6$- $\frac{1}{3}(4x + 6) = 2$3. 已知矩形的宽度为 $x$，长度为 $2x - 3$，求矩形的周长。