2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—1.集合

2011-2018高考真题全国卷文科数学试题分类汇编含答案第一章 集合与常用逻辑用语1.（2011全国1文1）已知集合，，，则的子集共有（ ）.A.个B.个C.个D.个 2.(2012全国文1)已知集合，，则（ ）.A. B. C. D. 3.（2013全国I 文1）已知集合，则（ ）.A. B. C. D. 4.（2013全国II 文1）已知集合，，则（ ）.A. B. C. D.5（2014新课标Ⅰ文1）已知集合，，则（ ）A. B. C. D.6.（2014新课标Ⅱ文1）已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 7. (2015全国I 文1)已知集合，则集合中元素的个数为（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 28. (2015全国II 文1)已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 9. (2016全国I 文1)设集合，，则（B )10.(2016全国II 文1)已知集合，则(D )（A ） （B ） （C ） （D ） 11．(2017全国I 文1)已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 ( A ){}0,1,2,3,4M ={}1,3,5N =P MN =P 2468{}220A x x x =<－－{}11B x x =<<－A B ⊂≠B A ⊂≠A B =AB =∅{}{}21234A B x x n n A ===∈，，，，，A B ={}14，{}23，{}916，{}12，{}|31M x x =-<<{}3,2,1,0,1N =---MN ={}2,1,0,1--{}3,2,1,0---{}2,1,0--{}3,2,1---{|13}M x x =-<<{|21}N x x =-<<MN =(2,1)-(1,1)-(1,3))3,2(-{}2,0,2A =-{}2|20B x x x =--=AB =∅{}2{}0{}2-{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n B ==+∈=N A B {|12}A x x =-<<{}03B x x =<<=B A ()13,-()10,-()02,()23,{1,3,5,7}A ={|25}B x x =≤≤A B ={123}A =，，，2{|9}B x x =<A B ={210123}--，，，，，{21012}--，，，，{123}，，{12}，A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}A ．AB =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．AB 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭D ．A B=R12(2017全国II 文1设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=AB （A ）A. {}123,4，，B. {}123，，C. {}234，，D. {}134，，13.【2018全国一文1】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =（A ）A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 14.【2018全国二文2】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．15.【2018全国三1】已知集合，，则（C ）A ．B ．C ．D ．16.（2014新课标Ⅱ文3）函数在处导数存在，若；是的极值点，则（ ）A.是的充分必要条件B.是的充分条件，但不是的必要条件C.是的必要条件，但不是的充分条件17.（2013全国I 文5）已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）.A. B. C. D. 18.（2014新课标Ⅰ文14）甲.乙.丙三位同学被问到是否去过，，三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市； 乙说：我没去过城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为.第一章 集合答案 BBACB BDABD AAACC CBA{}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =AB ={}3{}5{}3,5{}1,2,3,4,5,7{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}()f x 0x x =0:()0p f x '=0:q x x =()f x p q p q q p q q :2<3x x p x ∀∈R ，32:1q x x x ∃∈=-R ，p q ∧p q ⌝∧p q ∧⌝p q ⌝∧⌝A B C B C第2章 复数1.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ2）复数512ii=-( ) A. B. C. D. 2.（2012全国文2）复数的共轭复数是（ ）. A. B. C. D. 3.（2013全国II 文2）（ ）. A.B.D. 4.（2014新课标Ⅰ文3）设，则（ ） A.B.D.5.（2011全国文2）复数（ ）. A. B. C. D. 6.（2013全国I 文2）（ ）.A. B. C. D. 7.（2014新课标Ⅱ文2）（ ）A. B. C. D. 8. (2015全国I 文3)已知复数满足，则（ ）. A.B. C. D.9. (2015全国II 文2)若为实数，且，则（ ）. A.B. C. D.10. (2016全国I 文2)设的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ )2i -12i -2i -+12i -+3i2iz -+=+2i +2i -1i -+1i --21i=+211i 1iz =++z =12225i12i=-2i -12i -2i -+12i -+()212i1i +=-11i 2--11i 2-+11i 2+11i 2-13i 1i+=-12i +12i -+12i -12i --z (1)i 1i z -=+z =2i --2i -+2i -2i +a 2i3i 1ia +=++a =4-3-34(12i)(i)a ++11.(2016全国II 文2)设复数z 满足，则= ( )（A ）（B ）（C ）（D ）12． (2017全国I 文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是 （ ) A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)13.(2017全国II 文2)（1+i ）（2+i ）= ( )A.1-iB. 1+3iC. 3+iD.3+3i14.(2017全国3文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)15.(2018全国I 文2)设1i2i 1iz -=++，则z = ( ) A ．0B ．12C ．1 D16.【2018全国2卷1】A ．B ．C ．D ．17.【2018全国3卷2】 A ．B ．C ．D ．第2章 复数答案 CDCBC BBCDA CCBAC DDi 3i z +=-z 12i -+12i -32i +32i -()i 23i +=32i -32i +32i --32i -+()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3第3章 平面向量1.（2011全国文13）已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直， 则．2.（2012全国文15）已知向量夹角为，且，，则3.（2013全国I 文13）已知两个单位向量的夹角为，，若，则4.（2013全国II 文14）已知正方形的边长为，为的中点，则__.5.（2014新课标Ⅱ文4）设向量满足（ ）A. B. C. D.6.（2014新课标Ⅰ文6）设分别为的三边的中点，则（ ）A.B.C. D. 7.(2015全国II 文7)已知三点，，，则外接圆的圆心到原点的距离为（ ）.A. B.C. D. 8.(2015全国I 文2) 已知点，向量，则向量（ ）.A. B. C. D. 9.(2015全国II 文4)向量,，则（ ）. A.B. C. D.10．（2016全国文15）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =11.(2016全国II 文13)已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =________.12．（2017全国文13）已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =____________. 13.(2017全国II 文)设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则（ ）A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a14．（2018全国1文7）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = （ ） A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + a b k +a b k -a b k =,a b 451=a 2-=a b =b ，a b 60()1t t =+-c a b 0⋅=b c t =ABCD 2E CD AE BD ⋅=，a b +=a b -a b ⋅=a b 1235F E D ,,ABC △AB CA BC ,,=+2121()1,0A (B (C ABC △3532135234(0,1),(3,2)A B ()4,3AC =--BC =()7,4--()7,4()1,4-()1,4()1,1=-a ()1,2=-b ()2+⋅=a b a 1-012开始结束开始结束答案：1、 1 ， 2、，3、3 ，4、2， 5A ，6A ，7B ，8A ， 9C ，1011 -6 12 7 13 A第4章 算法初步1.（2013全国II 文7）执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）.A. B. C. D. 2.（2013全国I 文7）7. 执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）.A.B.C.D. 3.（2014新课标Ⅰ文9）执行如图所示的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的（ ）A. B. C. D.第3题 第2题 第1题4.（2011全国文5）执行如图所示的程序框图，如果输入的是6，则输出的是（ ）. A. B. C.D.=b 23-4N =S =1111234+++1111232432+++⨯⨯⨯111112345++++111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯[]13t ∈-，s []34-，[]52-，[]43-，[]25-，,,a b k M =20372165158N p 120720144050405.（2014新课标Ⅱ文8）执行如下图所示程序框图，如果输入的均为，则输出的（ ） A. B. C. D.6.（2012全国文6）如果执行下边的程序框图，输入正整数和市属，输出，则 ( )A.为的和B.为的算术平均数 C.和分别是中最大的数和最小的数 D.和分别是第4题 第5题 6题7.(2015全国I 文9)执行如下图所示的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）.A. 5B. 6C.D.8. (2015全国II 文8)如下图所示，程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的.分别为14.18，则输出的（ ）. A. B. C. D.9.(2016全国I 文10).执行下面的程序框图，如果输入的 n =1,则输出的值满足( )（A ） （B ） （C ） （ D ）,x t 2S =4567()2N N …12,,...,N a a a ,A B A B +12,,...,N a a a 2A B+12,,...,N a a a A B 12,,...,N a a a A B 12,,...,N a a a 0.01t =n =78a b a =024140,1,x y ==,x y 2y x =3y x =4y x =5y x =第7题 第8题 第9题 10．(2017全国I 文10)如图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入 ( )A ．A >1000和n =n +1B ．A >1000和n =n +2C ．A ≤1000和n =n +1D ．A ≤1000和n =n +2答案：BADBD CCBCDnm1S=1,n=0,m=12?输入t否第5章 三角函数与解三角形1.（2014全国I 文2）若，则（）A. B. C. D. 2.（2011全国文11）设函数，则（）. A.在单调递增，其图象关于直线对称 B.在单调递增，其图象关于直线对称 C.在单调递减，其图象关于直线对称 D.在单调递减，其图象关于直线对称 3. .在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（）A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③4.（2014新课标Ⅱ文14）函数的最大值为5.（2012全国文9）已知，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（）. A.B. C. D.6.(2015全国I 文8) 函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）. A. B.C. D.7.（2013全国II 文16）函数的图象向右平移个tan 0α>sin 0α>cos 0α>sin 20α>cos20α>ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π4x =()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π2x =()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π4x =()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭π2x =cos 2y x =cos y x =cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭π()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-0ω>0ϕ<<π4x π=4x 5π=()()sin f x x ωϕ=+ϕ=4π3π2π43π()cos()f x x ωϕ=+()f x ()13π,π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()132π,2π44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()13,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ()132,244k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z cos(2)(ππ)y x ϕϕ=+-剟π2单位后，与函数的图象重合，则_________. 8.（2011全国1文7）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）.A. B. C. D. 9.（2013全国II 文6）已知，则（）.A.B.C. D.10.(2013全国I 文9)函数在的图象大致为（）.11.(2013全国I 文16)设当时，函数取得最大值，则.12.(2015全国II 文11)如图所示，长方形的边，，是的中点，点沿着，与运动，记.将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（）.πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ϕ=θx 2y x =cos2θ=45-35-35452sin 23α=2πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭16131223()()1cos sin f x x x =-[]ππ-，D.C.B.A.x θ=()sin 2cos f x x x =-cos θ=ABCD 2AB =1=BC O AB P BC CD DA BOP x ∠=P A B x ()f x ()y f x =A. B. C. D.13.（2013全国II 文4）的内角的对边分别为，已知，，，则的面积为（）.A. B.C.14.(2015全国II 文17)中，是上的点，平分，. ，求.15.（2011全国文15）中，，，，则的面积为．16.（2013全国I 文10）已知锐角的内角的对边分别为，，，，则（）.A. B. C. D.17.（2014新课标Ⅱ文17）（本小题满分12分）四边形的内角与互补，，，.（1）求和；（2）求四边形的面积.424424424424ABC △,,A B C ,,a b c 2b =π6B =π4C =ABC△2121ABC △D BC AD BAC ∠2BD DC =60BAC =B ∠ABC △120B =7AC =5AB =ABC △ABC △A B C ，，a b c ，，223cos cos20A A +=7a =6c =b =10985ABCD A C 1AB =3BC =2CD DA ==C BD ABCD18.（2012全国文17）已知分别为△三个内角的对边， （1）求；（2）若，△.19.（2014新课标Ⅰ文16）如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高20. (2015全国I 文17)已知分别为内角的对边，.（1）若，求；（2）设，且的面积.２１. (2015全国I 文４)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（）,,a b c ABC ,,A B C sin cos c C c A =-A 2a =ABC ,b c MN A C A M 60MAN ∠=︒C 45CAB ∠=︒75MAC ∠=︒C 60MCA ∠=︒100m BC =MN =,,a b c ABC △,,A B C 2sin 2sin sin B A C =a b =cos B 90B ∠=a =ABC △a =2c =2cos 3A =A BC ．2D ．3２２. (2016全国I 文６)若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为２３. (2016全国I 文1４)已知θ是第四象限角，且sin (θ+)=，则tan (θ–)= 24 (2017全国I 文8)．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．25. (2017全国I 文15)．已知π(0)2α∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．26.(2018全国I 文8)．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 （ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为427.(2018全国I 文11)．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= （ ）A ．15BCD ．128.(2018全国I 文16)．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．π435π4A ． y =2sin(2x +π4)B ． y =2sin(2x +π3)C ． y =2sin(2x –π4)D ． y =2sin(2x –π3)高考真题试题详解1.解析由得是第一.三象限角，若是第三象限角，则A ，B 错； 由知，C 正确；取时，，D 错.故选C. 评注本题考查三角函数值的符号，判定时可运用基本知识.恒等变形及特殊值等多种方法，具有一定的灵活性.2.解析因为，当时，，故在单调递减. 又当是的一条对称轴.故选D.3.解析①，最小正周期为；②由图像知的最小正周期为；③的最小正周期；④的最小正周期.因此选A.评注本题考查三角函数的周期性，含有绝对值的函数可先变形再判断，或运用图像判断其最小正周期. 4.解析，所以.5.分析利用三解函数的对称轴求得周期.解析由题意得周期，所以，即，所以，所以 ，.因为，所以. 所以，所以.故选A. 6.解析由图可知，得，.画出图中函数的一条对称轴，如图tan 0α>ααsin 22sin cos ααα=sin 20α>απ32211cos 22cos 121022αα⎛⎫=-=⨯-=-< ⎪⎝⎭ππππ()sin 2cos 2sin 2cos 24444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭π02x <<02πx <<()f x x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =()y f x =cos 2cos 2y x x ==πcos y x =ππcos 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭2ππ2T ==πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2T =()()sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=+-=+-=()sin cos cos sin sin 1x x x ϕϕϕ-=-…()max 1f x =512ππ2π44T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭2π2πω=1ω=()sin()f x x ϕ=+ππsin 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π5πsin 144f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0πϕ<<ππ5π444ϕ<+<ππ42ϕ+=π4ϕ=511244T =-=2T =2ππTω==()f x 0x x =所示.由图可知，则，可得，则，得.由，得的单调递减区间为. 故选D.7.分析先进行平移，得出的三角函数与所给的三角函数进行比较，求出的值. 解析：的图象向右平移个单位得到的图象，整理得.因为其图象与的图象重合，所以，所以，即.又因为，所以. 8.解析设为角终边上任意一点，则. 当时，；当时，.因此.故选B.9.分析结合二倍角公式进行求解.解析：因为，所以故选A. 10.分析先利用函数的奇偶性排除B ，再利用特殊的函数值的符号排除A ，而最后答案的选择则利用了特定区间上的极值点.解析：在上，因为，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，排除B.取，则，排除A.因为，所以令，则或. 034x =3πcos 14ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭3π2ππ4k ϕ+=+()π2π4k k ϕ=+∈Z ()πcos π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2ππ2ππ4k x k ++剟()f x 132244k xk -+剟ϕ()cos 2y x ϕ=+2πcos 22y x ϕ⎡π⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()cos 2y x ϕ=-π+sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2k ϕππ-π=-+π322k ϕππ=+π-+π322k ϕ5π=+π6ϕ-ππ≤<5ϕπ=6(,2)(0)P t t t ≠θcos θ=0t>cos θ=0t<cos θ=223cos 22cos 1155θθ=-=-=-2sin 23α=221cos 211sin 213cos .42226αααπ⎛⎫++- ⎪π-2⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭[],-ππ()()()()()1cos sin 1cos sin f x x x x x -=---=--=⎡⎤⎣⎦()()1cos sin x x f x --=-()f x ()f x 2x π=1cos 10f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪22⎝⎭⎝⎭>()()1cos sin f x x x =-()()sin sin 1cos cos f x x x x x '=⋅+-2221cos cos cos 2cos cos 1.x x x x x =-+-=-++()0f x '=cos 1x =1cos 2x =结合，求得在上的极大值点为，靠近，故选C. 11.分析先利用三角恒等变换求得函数的最大值，再利用方程思想求解. 解析：， 则所以，所以， 所以又因为时，取得取大值，所以.又，所以即.12.解析由已知可得，当点在边上运动时，即时，；当点在边上运动时，即，时，当时，； 当点在边上运动时，即时，.从点的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，，且轨迹非直线型.故选B. 评注本题以几何图形为背景考查了函数图像的识别与作法，特别是体现了分类讨论和数形结合的思想. 13.分析先由正弦定理解出的值，再运用面积公左求解. 解析：因为，，所以 由正弦定理，得，即所以.故选B. 14.分析 (1)根据题意，由正弦定理可得.[],x ∈-ππ()f x (]0,π23ππsin 2cos y x x x x ⎫=-=⎪⎭cos sin αα=)()sin cos cossin .y x x ααα=-=-x ∈R x α-∈R max y =x θ=()f x ()sin 2cos fθθθ=-=22sin cos 1θθ+=sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩cos θ=P BC π04x剟PA PB +=tan x P CD π3π44x 剎?π2x ≠PA PB +=π2x =PA PB +=P AD 3ππ4x 剎?tan PA PB x +=P π2x =ππ42f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭c 6B π=4C π=7.A B C πππ=π--=π--=6412sin sin b c B C =2sin sin c =ππ64212=c =117sin 212212ABC S bc A π==⨯⨯=△sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠(2)由诱导公式可得，由(1)可知，所以，. 解析 (1)由正弦定理得，，.因为平分，，所以. (2)因为，，所以.由(1)知，所以，即. 评注三角是高中数学的重点内容，在高考中主要利用三角函数，三角恒等变换及解三角形的正弦定理及余弦定理，在求解时，注意角的转化及定理的使用.15.解析由余弦定理知，即，解得．故．故答案为． 16.分析先求出角的余弦值，再利用余弦定理求解.解析：由得，解得.因为是锐角，所以.又，所以，所以或.又因为，所以.故选D.17.解析（1）由题设及余弦定理得，①. ②由①，②得，故，()1sin sin sin 22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin B ∠=sin C ∠tan 3B ∠=30B ∠=sin sin AD BD B BAD =∠∠sin sin AD DCC CAD=∠∠AD BAC ∠2BD DC =sin 1sin 2B DC C BD ∠==∠()180C BAC B ∠=-∠+∠60BAC ∠=()1sin sin sin 2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠2sin sin B C ∠=∠tan 3B ∠=30B ∠=2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅249255BC BC =++3BC =11sin120532224ABC S AB BC =⋅=⨯⨯⨯=△4A 223cos cos 20A A +=2223cos 2cos 10A A +-=1cos 5A =±A 1cos 5A =2222cos a b c bc A =+-214936265b b =+-⨯⨯⨯5b =135b =-0b >5b >2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+1cos 2C =60C =BD =（2）四边形的面积评注本题考查余弦定理的应用和四边形面积的计算，考查运算求解能力和转化的思想，把四边形分割成两个三角形是求面积的常用方法.18.解析（1）由.由于,所以. 又，故. （2）的面积，故.而，故 . 解得.19.解析在中，，，所以. 在中，，，从而，由正弦定理得，，因此.在中，，，由得，故填.20. 解析（1）由正弦定理得，.又，所以，即.则. （2）解法一：因为，所以，即，亦即.又因为在中，，所以，则，得.所以为等腰直角三角形，得，所以. 解法二：由（1）可知，①因为，所以，②将代入得，则，所以.ABCD 1111sin sin 1232sin 60232222S AB DA A BC CD C ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭sin cos c C c A =-sinA C -cos sin sin 0A C C -=sin 0C ≠π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πA <<π3A =ABC △1sin 2S bc A ==4bc =2222cos a b c bc A =+-228b c +=2b c ==Rt ABC △45CAB ∠=100BC =m AC =m AMC △75MAC ∠=60MCA ∠=45AMC ∠=sin 45sin 60AC AM=AM=m Rt MNA △AM =m 60MAN∠=sin 60MNAM=150MN ==m 15022b ac =a b =22a ac=2a c =22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅90B ∠=()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-2sin cos 1A A =sin 21A =ABC △90B ∠=090A <∠<290A ∠=45A ∠=ABC △a c ==112ABC S ==△22b ac =90B ∠=222a c b +=②①()20a c -=a c ==112ABC S ==△２１. (2015全国I 文４)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=答案：D解析：本题考察余弦定理，根据题目条件画出图形可以列出等式,带入已知条件化简可得，解得.２２. (2016全国I 文６)若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为答案：D解析：该函数的周期为,所以函数向右平移，得，化简可得y =2sin(2x –π3).２３. (2016全国I 文1４)已知θ是第四象限角，且sin (θ+)=，则tan (θ–)=.答案： 解析：本题考察同角的三角函数关系，三角函数的符号判断以及诱导公式的运用：，因为θ是第四象限角，且，所以也在第四象限，即，所以24 (2017全国I 文8)．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为a =2c =2cos 3A =2222cos a b c bc A =+-23830b b --=3b =2T ππω==4π2sin(2())46y x ππ=-+π435π443-cos()4πθ-=3cos()sin()4245πππθθ+-=+=cos()4πθ-=354πθ-4sin()45πθ-=-sin()44tan()43cos()4πθπθπθ--=--ABC ．2D ．3A ． y =2sin(2x +π4) B ． y =2sin(2x +π3)C ． y =2sin(2x –π4)D ． y =2sin(2x –π3)A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．25. (2017全国I 文15)．已知π(0)2α∈，，tan α=2，则πcos ()4α-=__________．26.(2018全国I 文8)．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 B A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为427.(2018全国I 文11)．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= BA ．15B C D ．128.(2018全国I 文16)．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为．第6章 极坐标与参数方程1．（2013全国2文23）动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与（），为的中点.（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.2.（2014新课标Ⅱ文23）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为，.（1）求的参数方程；（2）设点在上，在处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定的坐标.P Q ，2cos 2sin x tC :y t=⎧⎨=⎩t t α=2t α=0<<2παM PQ M M d a M xOy x C 2cos ρθ=0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦C D C CD :2l y =+D3（2012全国文23）已知曲线的参数方程是为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为.（1）求点的直角坐标； （2）设为上任意一点，求的取值范围.4.(2015全国II 文23) 在直线坐标系中，曲线：（为参数，）其中.(1) 求与交点的直角坐标；1C 12cos ,:3sin ,x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ)x 2C 2ρ=ABCD 2C ,,,A B C D A π2,3⎛⎫⎪⎝⎭,,,A B C D P 1C 2222PA PB PC PD +++xOy 1C cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t 0t ≠0πα剟2C 3C5.(2015全国I 文23)在直角坐标系中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求的极坐标方程. （2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，求的面积.6.（2011全国文23））在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．xOy 1C 2x =-2C ()()22121x y -+-=12,C C 3C ()π4θρ=∈R 2C 3C ,M N 2C MN △xOy 1C 2cos ,22sin .x y αα=⎧⎨=+⎩αM 1C P 2OP OM =P 2C 2C O x π3θ=1C A 2C B AB7（2013全国I 文23）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）把的参数方程化为极坐标方程；（2）求与交点的极坐标8（2016全国卷1 23.）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为（t 为参数，a ＞0）。

2011年一2018年新课标全国卷I文科数学分类汇编8.数列一、选择题【2015,7】已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若&=4S4,则a沪：( )17 19A. B. C. 10 D. 122 22【2013, 6】设首项为1,公比为一的等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则；( ).3A . S n= 2a n —1B. S n = 3a n —2 C . S n = 4—3a n D . S n= 3—2a n【2012, 12】数列｛a n｝满足a n 1 ■ (-1)n a^2n-1,则｛a n｝的前60项和为；()A. 3690B. 3660C. 1845D. 1830二、填空题【2015,13】数列｛a n｝中，a1=2, a n+1=2a n, S n 为｛a n｝的前n 项和，若S n=126，则n= _____ .【2012,14】14.等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S3+35= 0,则公比q= ____________ .三、解答题(2018新课标I,文17):已知数列'a n /满足印=1 , na. 1 = 2 n • 1 a.，设b n =如.n(1 )求b , b2 , b3 ；(2 )判断数列in ?是否为等比数列，并说明理由；(3 )求?的通项公式.【2017, 17】记S n为等比数列 4*的前n项和，已知S2 = 2 , S3 =-6 .(1 )求订鳥的通项公式；(2)求S n，并判断S n 1 , S n , & 2是否成等差数列.【2016,17】已知瓜？是公差为3的等差数列，数列Z满足d=1, b2 = 3, a n b ni b n.b ng.(1 )求〔a n ?的通项公式；(2 )求的前n项和.【2014,17】已知订n ?是递增的等差数列，32 , 34是方程X2 -5x • 6 = 0的根。

2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)文科数学试题分类汇编—8.三角函数、解三角形2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7.三角函数、解三角形一、选择题2018年新课标Ⅰ文8题：已知函数$f(x)=2\cos x-\sin x+2$，则$f(x)$的最小正周期为$\pi$，最大值为3.2018年新课标Ⅰ文11题：已知角$\alpha$的顶点为坐标原点，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上有两点$A(1,0)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{5}$，则$a-b=\frac{1}{5}$。

2018年新课标Ⅱ文7题：在$\triangle ABC$中，$\cos C=\frac{5}{\sqrt{26}}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=5\sqrt{2}$。

2018年新课标Ⅱ文10题：若$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值是$\frac{3\pi}{4}$。

2018年新课标Ⅲ文4题：若$\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{8}}$，则$\cos 2\alpha=-\frac{7}{8}$。

2018年新课标Ⅲ文6题：函数$f(x)=\frac{\tan x}{1+\tan^2 x}$的最小正周期为$\pi$。

2018年新课标Ⅲ文11题：triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。

若$\triangle ABC$的面积为$4$，则$\cosC=\frac{3}{4}$。

2017年新课标Ⅰ文11题：triangle ABC$的内角$A$、$B$、$C$的对边分别为$a$、$b$、$c$。

已知$\sin B+\sin A(\sin C-\cos C)=\frac{3}{2}$，$a=2$，$c=2$，则$C=\frac{\pi}{3}$。

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编13．坐标系与参数方程【2018,22】曲线1C 的方程为2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=．（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【2017】曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 的距离最大值为17求a ．【2016，23】曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【2015，23】直线1C ：x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ，求2C MN ∆的面积.【2014，23】已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【2013，23】已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【2012，23】已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），曲线2C 的极坐标方程是2=ρ。

2011 —2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8.三角函数与解三角形一、选择题C；5(2018 新课标H,文7)在厶ABC 中，cos , BC =1 , AC =5，则AB二( )2 5A. 42B. 30C. 29D. 25(2018新课标n,文10)若f(x)=cosx—si nx在［0, a］是减函数，则a的最大值是()A n n 3 nA. B. C. D. n4 2 4(2017 3)函数f(x)=sin(2x+王)的最小正周期为( )3A.4 二B.2 二C.二D.2(2016 3)函数y=Asin(•，x •「)的部分图像如图所示，则( )TE JI JI JIA. y =2sin(2x )B. y =2sin(2x )C. y =2sin(2x+=)D. y=2sin(2x+：)6 3 6 3(201611)函数f (x) =cos2x - 6cos(n - x)的最大值为( )2A. 4B. 5C. 6D. 7(2013 4)在厶ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知b = 2 , B=- , C =~，则△ ABC的6 4面积为( )A. 2.3 2 B ..3 1 C. 2.3-2 D..3-12 2 JI(2013 6)已知sin 2 二一，贝y cos (:3 ;)=()1 1 C 1 2A .-B C.—D6 3 2 3(2012 9)已知• ■>0, 0：：：「：：：二，直线5：--X = _ 和x=—是函数 f (x) =sin(「x ■「)图像的两条相邻的对称4轴，则「=()n n_ n 一nA. 4 B .3 C. 2 D4.(2011 7)已知角B的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y = 2x上，则cos2 0=( )A . _4B .一3C . 3D . J45 5 5 5(2011 -11)设函数f(x)=sin(2x +卷)+cos(2x 耳)，则( )A . y = f (x)在(0 ―)单调递增，其图像关于直线x=—对称2 4B . y = f (x)在(0 —)单调递增，其图像关于直线x=—对称2 2C . y = f (x)在(0 —)单调递减，其图像关于直线x=—对称‘24D . y = f (x)在(0 —)单调递减，其图像关于直线x=—对称‘22、填空题( 5八1(2018 新课标n,文15)已知tan. a一 =一，贝V tan a _________________I 4丿5(2017 -13)函数 f (x) =2cos x+sinx 的最大值为_____________________ .(2017 -16) △ ABC的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若2bcosB=acosC+ccosA，贝U B= ____4 5(201615)△ ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,若CB A , cosC , a=1,则b=5 13(2014 -14)函数f (x) = sin(x+ 妨-2sin(jcosx 的最大值为TT TT (2013 16)函数y =cos(2x •「)(-二_ _ ■：)的图象向右平移—个单位后，与函数y =sin(2x —)的图象重合,2 3(2011 •15)在厶ABC 中B=120°, AC=7, AB=5，则△ ABC 的面积为三、解答题(2015 17)在A ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分/ BAC, BD=2DC. sin(I)求一sin N C(n)若/ BAC=60°,求/ B.(201417)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1 , BC=3, CD=DA=2.(I)求C 和BD;(n)求四边形ABCD的面积.(2012 17)已知a, b, c分别为△ ABC 三个内角A, B, C 的对边，c =「3asinC-ccosA.(I)求A ；(n)若a=2,^ ABC的面积为,3，求b , c.2011 — 2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8.三角函数与解三角形、选择题(2018新课标n.C -57)在"BC 中, cos 厂眉,BC 「，AC=5，则 AB 二(A . 42B . 30D . 25(2018新课标n,10)若f(x) =cosx -sinx 在［0, a ］是减函数，则a 的最大值是3n C.4D .n(2017新课标n,文 3)函数f (x)二sin(2x 匸)的最小正周期为(3A.4 二B.2 二C.二Tt D.2(2017 3) C 解析：由题意T =2,故选C.(2016新课标n,文3)函数 y=Asin(・.x W )的部分图像如图所示，则(A . y =2sin(2^-)B . y =2sin(2x) C . y =2sin(2x+—)D .36ny =2si n(2x+§)(2016 3) A 解析：由 T 2Ji , Ji 、 Ji ()=及 T36 2得 =2，由最大值2及最小值-2,的A=2，再将|-|3代入解析式，2sin(2 — •「)=2，解得：匕—，故y =2sin(2 x)，故选A.3""(2016新课标n,文11)n函数f (x) =cos2x 6cos( x)的最大值为(2A . 4B .C. 6 D . 7(2016 11) B 解析:因为 3 2 11 f (x) - -2(sin x) 2，而sinx ・［-1,1］，所以当sin x =1时，取最大值5，选B.(2013新课标n,文4)在厶ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a , b , c ,已知 b =2 , B=_ , C =~ ,6 4则厶ABC 的面积为(A . 2.32 _)B . .3 1 2 3-2D . .3-11 1三角形的面积为严A=22 2 2sin12所以 ^bcsinA=2、、2 上2(二3」)一31，故选 B.2 2 2 2一 2 2(2013新课标n,文6)已知sin2，则cos 23B . -3,. _ TE 71 . . __(2。

2011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编9．数列一、选择题(2015·新课标Ⅰ，文7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 10=()A ．172B ．192C ．10D ．12（2015·新课标Ⅱ，文5）设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （）A.5B.7C.9D.11（2015·新课标Ⅱ，文9）已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a （）A.2B.1C.21 D.81（2014·新课标Ⅱ，文5）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项S n =（）A ．(1)n n +B ．(1)n n -C ．(1)2n n +D ．(1)2n n -(2013·新课标Ⅰ，文6)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则()．A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n(2012·新课标Ⅰ，文12)数列{n a }满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{n a }的前60项和为（）A ．3690B ．3660C ．1845D ．1830二、填空题(2015·新课标Ⅰ，文13)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n =126，则n =．（2014·新课标Ⅱ，文16）数列}{n a 满足nn a a -=+111，2a =2，则1a =_________.(2012·新课标Ⅰ，文14)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =_____．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．(2018·新课标Ⅱ，文17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．(2018·新课标Ⅲ，文17)等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）{}n a 的通项公式；⑵记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．(2017·新课标Ⅰ，文17)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知22S =,36S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列．（2017·新课标Ⅱ，文17）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，a 2+b 2=2.（1）若a 3+b 3=5，求{b n }的通项公式；（2）若T 3=21，求S 3.(2017·新课标Ⅲ，文17)设数列{}n a 满足()123212n a a n a n +++-= ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．(2016·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．（2016·新课标Ⅱ，文17）等差数列{a n }中，a 3+a 4=4，a 5+a 7=6．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =[lg a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.(2016·新课标Ⅲ，文17)已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．(2014·新课标Ⅰ，文17)已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形一、选择题(2018.7)．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =（ ）A ．BCD ．(2018.10)．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π （2017·3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ） A.4π B.2π C. π D. 2π（2016·3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=- C ．2sin(2+)6y x π= D ．2sin(2+)3y x π= （2016·11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 （2013·4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1 （2013·6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23（2012·9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4 （2011·7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y = 2x 上，则cos2θ =（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．45（2011·11）设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ） A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称 B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称 C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称 D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称二、填空题(2018.15)．已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________． （2017·13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = （2016·15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. （2014·14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________.（2013·16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2011·15）在△ABC 中B =120°，AC =7，AB =5，则△ABC 的面积为 .三、解答题（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A -.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编8．三角函数与解三角形（解析版）一、选择题（2017·3）C 解析：由题意22ππ==T ，故选C. （2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A. （2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.（2013·4）B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sin sin()sin cos cos sin ()123434342222222πππππππ=+=+=+=+，所以11sin )122bc A =+=，故选B. （2013·6）A 解析：因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A. （2012·9）A 解析：由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+（k Z ∈），∴ϕ=4k ππ+（k Z ∈），∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A. （2011·7）B 解析：易知tan θ=2，cos θ=51±.由cos2θ=2，cos 2θ-1=35-，故选B. （2011·11）D 解析：因为())2f x x x π=+=. 所以f (x ) 在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称. 故选D.二、填空题（2017·13()(tan 2)其中ϕϕ+=f x x .（2017·16）3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=B B A C C A A C B 1πcos 23⇒=⇒=B B （2016·15）2113解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==. （2014·14）1解析：∵f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x = sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x = sin x cos φ-sin φcos x =sin(x -φ) ≤ 1，∴f (x )的最大值为1.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，所以sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=. （2011·15）4315=S解析：由余弦定理得2222cos120AB AC BC AC BC =+-⋅︒，所以BC =3，有面积公式得4315=S . 三、解答题（2015·17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin B C∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B . （2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠ （Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2sin sin ,BC ∠=∠ 所以tan B ∠= 即30B ∠=︒. （2014·17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2.（Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积.（2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C ①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2 -2AB ·AD cos A = 5-4cos A= 5+4cos C ②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，BD =.（Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴sin sin C A ==1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=.（2012·17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A -.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .（2012·17）解析：（Ⅰ）由sin cos c C c A =-sin cos sin sin A C A C C -=，由于sin 0C ≠，所以1sin()62A π-=，又0A π<<，故3A π=.（Ⅱ）ABC ∆的面积S =1sin 2bc A =，故bc =4，而 2222cos a b c bc A =+-，故22=8c b +，解得b c ==2.。

2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编7．三角函数、解三角形一、选择题(2018·新课标Ⅰ，文8)已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4(2018·新课标Ⅰ，文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15B C D ．1(2018·新课标Ⅱ，文7)在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = （ ）A ．BCD ．(2018·新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是 （ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π(2018·新课标Ⅲ，文4)若1sin 3α=，则cos 2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-(2018·新课标Ⅲ，文6)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π(2018·新课标Ⅲ，文11)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π(2017·新课标Ⅰ，文11)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C=( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3（2017·新课标Ⅱ，文3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC.πD.2π(2017·新课标Ⅲ，文4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79(2017·新课标Ⅲ，文6)函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15(2016·新课标Ⅰ，文4)ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A ．B C ．2 D ．3(2016·新课标Ⅰ，文6)若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ） A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2016·新课标Ⅱ，文3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=- C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π= （2016·新课标Ⅱ，文11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7(2016·新课标Ⅲ，文6)若1tan 3θ=，则cos2θ=( )A ．45-B ．15-C ．15D ．45(2016·新课标Ⅲ，文9)在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =( )A ．310 B ．10 C ．5 D ．10(2015·新课标Ⅰ，文8)函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈(2014·新课标Ⅰ，文7)在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ (2014新课标Ⅰ，文2)若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos 20α>(2013·新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ ( )A ．10B ．9C ．8D ．5 （2013·新课标Ⅱ，文4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（ ）A ．2B 1C ．2D 1（2013·新课标Ⅱ，文6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23(2012·新课标Ⅰ，文9)已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ） A ．4π B ．3π C ．2πD ．34π(2011·新课标Ⅰ，文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45(2011·新课标Ⅰ，文11)设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线4x π=对称B ．y = f (x )在(0)2,π单调递增，其图像关于直线2x π=对称C ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线4x π=对称D ．y = f (x )在(0)2,π单调递减，其图像关于直线2x π=对称二、填空题(2018·新课标Ⅰ，文16)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．(2018·新课标Ⅱ，文15)已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．(2017·新课标Ⅰ，文15)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．（2017·新课标Ⅱ，文13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .（2017·新课标Ⅱ，文16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B =(2017·新课标Ⅲ，文15)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，b =3c =，则A =_________．(2016·新课标Ⅰ，文14)已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． （2016·新课标Ⅱ，文15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.(2016·新课标Ⅲ，文14)函数sin y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到．(2014·新课标Ⅰ，文16)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．（2014·新课标Ⅱ，文14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________.(2013·新课标Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______． （2013·新课标Ⅱ，文16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.(2011·新课标Ⅰ，文15)ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ． 三、解答题(2015·新课标Ⅰ，文17)已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．（2015·新课标Ⅱ，文17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC . （Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B . .（2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. .（2012·新课标Ⅰ，文17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，3sin cos c a C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编8．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题(2018·新课标Ⅰ，文8) 已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】 B 解析：因为()1cos 21cos 23522cos 22222x x f x x +-=⨯-+=+，所以T π=，()f x 的最大值为4.(2018·新课标Ⅰ，文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=（ ）A ．15BCD ．1【答案】B 解析：解法1：由已知可得cos ,sin αα==，又2cos 23α=，由倍角公式得22222212,11312,443a a a b b b ⎧-=⎪⎪++⎨⎪-=⎪++⎩解得,5,a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,5.a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（注意,a b 同号）b a ∴-=B ． 解法2：（活用公式）由已知可得tan ,22ba b a α==∴=．① 又2cos 23α=，由倍角公式及平方关系得22222222cos sin 21tan 212,,cos sin 31tan 313a a αααααα---=∴=∴=+++．②由①②解得,5,a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,5.a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩b a ∴-=B ．(2018·新课标Ⅱ，文7)在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB = （ ） A．BCD．【答案】A 解析：因为 2cos 2cos 12C C =- 所以23cos 215C =-=-⎝⎭由余弦定理可知：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅222351251325AB ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭故，AB =(2018·新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是（ ）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】C 解析：解法一：常规解法 因为 ()cos sin f x x x =-所以()4πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数 所以 研究sin 4πx ⎛⎫- ⎪⎝⎭在[0,]a 是增函数所以 02442a a πππππ⎧<≤⎪⎪⎪-≤⎨⎪⎪-≥-⎪⎩解得 304a π<≤解法二：导数法因为 ()cos sin f x x x =-所以 ()()sin cos sin cos 4πf x x x x x x ⎛⎫'=--=-+=+ ⎪⎝⎭ 所以 sin 04πx ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 所以 04a ππ<+≤解得 304a π<≤(2018·新课标Ⅲ，文4)若1sin 3α=，则cos 2α=（ ）A ．89B ．79C ．79-D ．89-【答案】B 解析：227cos 212sin 199αα=-=-=.故选B. (2018·新课标Ⅲ，文6)函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2π C ．π D ．2π【答案】C 解析：2222sin tan sin cos 1cos ()sin cos sin 2sin 1tan sin cos 21cos xx x x x f x x x x x x x x x=====+++，∴()f x 的周期22T ππ==.故选C. (2018·新课标Ⅲ，文11)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 解析：2222cos 1cos 442ABCa b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2ABC S ab C ∆=，故tan 1C =，∴4C π=.故选C.(2017·新课标Ⅰ，文11)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，C= ( ) A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解法】解法一：因为sin sin (sin cos )0B A C C +-=，sin sin()B A C =+，所以sin (sin cos )0C A A +=，又sin 0C >，所以sin cos A A =-，tan 1A =-，又0A π<<，所以34A π=，又a =2，c=即1sin 2C =．又02C π<<，所以6C π=，故选B ．解法二：由解法一知sin cos 0A A +=)04A π+=，又0A π<<，所以34A π=．下同解法一．（2017·新课标Ⅱ，文3）函数()sin(2)3π=+f x x 的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC.πD.2π【答案】C 解析：由题意22ππ==T ，故选C.(2017·新课标Ⅲ，文4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 解析：9791612sin 9162sin 1cos .sin 21)cos (sin 2-=-==-=-=-αααααα，． 故选A ．(2017·新课标Ⅲ，文6)函数()1ππsin cos 536f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A 解析：11()sin sin sin sin 5362533f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6sin 53x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭．选A ．(2016·新课标Ⅰ，文4)ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）A ．BC ．2D ．3解析：选D ．由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即245243b b +-=， 整理得()28113033b b b b ⎛⎫--=-+= ⎪⎝⎭，解得3b =．故选D ． (2016·新课标Ⅰ，文6)若将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（ ）．A ．π2sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．π2sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解析：选D ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期，即向右平移π4个单位， 故所得图像对应的函数为ππ2sin 246y x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．故选D ． （2016·新课标Ⅱ，文3）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=（2016·3）A 解析：由()2362T πππ=--=及2T πω=||得2=ω，由最大值2及最小值-2，的A =2，再将(2)3π，代入解析式，2sin(2)23πϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故2sin(2)6y x π=-，故选A.（2016·新课标Ⅱ，文11）函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7（2016·11）B 解析：因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.(2016·新课标Ⅲ，文6)若1tan 3θ=，则cos2θ=( )A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D 解析 22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan θθθθθθθθθ--=-==++2211435113⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选D ． (2016·新课标Ⅲ，文9)在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则sin A =( ) A ．310 BCD【答案】D 解析 解法一：111sin 232ABC S a a ac B =⋅=△，c =，所以sin C A =，3sin π4A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A A A =，所以tan 3sin 10A A =-⇒=故选D ． 解法二：如图所示，由π4B =，知tan 1B =．由13AH BC =，则23HC BC =,AC =．由正弦定理知sin sin A B BC AC =,则sin A =．故选D ． HCBA(2015·新课标Ⅰ，文8)函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈ 解：选D ．依图，153++4242ππωϕωϕ==且，解得ω=π，=4πϕ， ()cos()4f x x ππ∴=+，224k x k πππππ<+<+由，，解得132244k x k -<<+，故选D ． (2014·新课标Ⅰ，文7)在函数① y=cos|2x|，②y=|cos x |，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③解：选A ．由cos y x =是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x ，最小正周期为π；②y=|cos x |的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A(2014·新课标Ⅰ，文2)若tan 0α>，则（ ）A ． sin 0α>B ． cos 0α>C ． sin 20α>D ． cos 20α>解：选C ．tan α>0，α在一或三象限，所以sin α与cos α同号，故选C(2013·新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D ．由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125．∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15．∵cos A ＝2364926b b+-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．（2013·新课标Ⅱ，文4）在△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则△ABC 的面积为（ ） A．2B1C．2D1【答案】B 解析：因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sin sin 64b cππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212bc A π=⨯⨯.因为711sinsin()sin cos cos sin )1234343422πππππππ=+=+==，所以11sin ()12222bc A =+=，故选B.（2013·新课标Ⅱ，文6）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A 解析：因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===， 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，故选A.(2012·新课标Ⅰ，文9)已知0ω>，0ϕπ<<，直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．4π B ．3π C ．2π D ．34π【解析】选A ．由直线4x π=和54x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，得()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期52()244T πππ=-=，从而1ω=． 由此()sin()f x x ϕ=+，由已知4x π=处()sin()f x x ϕ=+取得最值，所以sin()14πϕ+=±，结合选项，知ϕ=4π，故选择A ．(2011·新课标Ⅰ，文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）．A ．45-B ．35-C ．35D ．45【解析】设(,2)(0)P t t t ≠为角θ终边上任意一点，则cos θ=． 当0t >时，cos θ=；当0t <时，cos θ=．因此223cos 22cos 1155θθ=-=-=-．故选B ．(2011·新课标Ⅰ，文11)设函数ππ()sin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 （ ） A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π4x =对称B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线π2x =对称 C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π4x =对称 D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线π2x =对称【解析】因为ππππ()sin 2cos 2224444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当π02x <<时，02πx <<，故()f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．又当π2x =π22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭π2x =是()y f x =的一条对称轴．故选D ．二、填空题(2018·新课标Ⅰ，文16)△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【答案】解析：由sin sin 4sin sin b c c B a B C +=得2sin sin 4sin sin sinC B C A B =，则1sin 2A =，又2228b c a +-=， 则2228cos 222b c a A bc bc +-===，故3bc =，111sin 22323ABCS bc A ==⨯=(2018·新课标Ⅱ，文15)已知51tan 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=__________．【答案】32 解析：因为 5111tan tan tan 454545πππααπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒--=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦tan 113tan tan 41tan 52παααα-⎛⎫-==⇒= ⎪+⎝⎭(2017·新课标Ⅰ，文15)已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=，则cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】10．0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin tan 22sin 2cos cos ααααα=⇒=⇒=，又22sin cos 1αα+=，解得sin α=cos α=，cos sin )4πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭．【基本解法2】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，tan 2α=，∴角α的终边过(1,2)P ，故sin y r α==，cos 5x r α==，其中r ==，cos (cos sin )4210πααα⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭． （2017·新课标Ⅱ，文13）函数()2cos sin =+f x x x 的最大值为 .()(tan 2)其中ϕϕ+=f x x .（2017·新课标Ⅱ，文16）△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，若2b cos B =a cos C +c cos A ，则B = 【答案】3π解析：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos sin()sin =+=+=B B A C C A A C B 1πcos 23⇒=⇒=B B (2017·新课标Ⅲ，文15)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知60C =，b =3c =，则A =_________．【答案】75 解析：由正弦定理有3sin 60=，所以，又c，所以45B =，所以()18075A B C =-+=．(2016·新课标Ⅰ，文14)已知θ是第四象限角，且π3sin 45θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πtan 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 解析：43-．由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ， 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 方法2：还可利用ππtan tan 144θθ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭来进行处理，或者直接进行推演，即由题意4cos 45θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3tan 44θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan 4θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭143tan 4θ-=-π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （2016·新课标Ⅱ，文15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.（2016·15）2113解析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a B b A ==.(2016·新课标Ⅲ，文14)函数sin y x x =图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移______个单位长度得到．【答案】π3解析 s i n c o s y x x =⇒π2s i n 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可由函数2sin y x =至少向右平移π3才能得到．(2014·新课标Ⅰ，文16)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及 75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN = m ．解：在RtΔABC 中，由条件可得AC =，在ΔMAC 中，∠MAC=45°；由正弦定理可得sin 60sin 45AM AC =︒︒，故310032AM AC =，在直角RtΔMAN 中，MN=AM sin60°=150．（2014·新课标Ⅱ，文14）函数f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x 的最大值为_________.（2014·14）1解析：∵f (x ) = sin(x +φ)-2sin φcos x = sin x cos φ+cos x sin φ-2sin φcos x = sin x cos φ-sin φcos x = sin(x -φ)≤ 1，∴f (x )的最大值为1. (2013·新课标Ⅰ，文16)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝______．答案：解析：． ∵f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φcos φ 当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-．（2013·新课标Ⅱ，文16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.（2013·16）56π解析：函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移2π个单位，得到sin(2)3y x π=+，即s i n(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，所以sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位，得sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ=-+=++5cos(2)6x π=+，即56πϕ=. (2011·新课标Ⅰ，文15)ABC △中，120B =，7AC =，5AB =，则ABC △的面积为 ．【解析】由余弦定理知2222cos120AC AB BC AB BC =+-⋅， 即249255BC BC =++，解得3BC =．故11sin1205322ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△．．三、解答题(2015·新课标Ⅰ，文17)已知,,a b c 分别为ABC △内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos B ；（2）设90B ∠=，且a =ABC △的面积．解析：（1）由正弦定理得，22b ac =．又a b =，所以22a ac =，即2a c =．则22222212cos 2422a a a a cb B a ac a ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===⋅．（2）解法一：因为90B ∠=，所以()2sin 12sin sin 2sin sin 90B A C A A ===-，即2sin cos 1A A =，亦即sin 21A =．又因为在ABC △中，90B ∠=，所以090A <∠<， 则290A ∠=，得45A ∠=．所以ABC △为等腰直角三角形，得a c ==，所以112ABC S ==△． 解法二：由（1）可知22b ac =，①因为90B ∠=，所以222a cb +=，②将②代入①得()20a c -=，则a c =，所以112ABC S ==△． 解：(Ⅰ) 因为sin 2B =2sin A sin C ． 由正弦定理可得b 2=2ac ．又a =b ，可得a=2c ， b=2c ，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==． (Ⅱ)由(Ⅰ)知b 2=2ac ． 因为B=90°，所以a 2+c 2=b 2=2ac ． 解得a =所以ΔABC 的面积为1．（2015·新课标Ⅱ，文17）在ΔABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC .（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC =60°，求∠B .（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠ （Ⅱ）因为180(),60C BAC B BAC ∠=︒-∠+∠∠=︒，所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠1sin .2B B =∠+∠ 由（Ⅰ）知2s i ns i n ,B C ∠=∠ 所以t a n ,B ∠=即30B ∠=︒.（2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB =1，BC =3，CD =DA =2. （Ⅰ）求C 和BD ；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积. （2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD 中，BC =3，CD =2，由余弦定理得：BD 2 = BC 2+CD 2-2BC ·CD cosC = 13 -12cos C①，在△ABD 中，AB =1，DA =2，A +C =π，由余弦定理得：BD 2 = AB 2+AD 2-2AB ·AD cos A = 5-4cos A = 5+4cos C②，由①②得：1cos 2C =，则C =60°，BD =.（Ⅱ）∵1cos 2C =，1cosA 2=-，∴sin sin 2C A ==1111sin sin 12322222S AB DA A BC CD C =⋅+⋅=⨯⨯⨯⨯=.（2012·新课标Ⅰ，文17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，sin cos c C c A =-. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC b ，c .【解析】（1）根据正弦定理2sin sin a cR A C==，得A R a sin 2=， C R c sin 2=，因为sin cos c C c A =-，所以2sin sin )sin 2sin cos R C R A C R C A =-⋅， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即21)6sin(=-πA ， 而π<<A 0，6566πππ<-<-A ，从而66ππ=-A ，解得3π=A ．（2）若2a =，△ABC1）得3π=A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+=43cos 233sin 21222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=8422c b bc ， 从而解得2=b ，2=c ．。

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编14．不等式选讲（含解析）一、解答题【2018,23】已知()11f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()01x ∈，时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

（1) 当3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（2）若|4|)(-≤x x f 的解集包含[1，2]，求a 的取值范围。

【2011，24】设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值。

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 10．统计、概率（含解析）一、选择题【2018，3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【2017，2】为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为12,,,n x x x L ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A. 12,,,n x x x L 的平均数B. 12,,,n x x x L 的标准差C. 12,,,n x x x L 的最大值D. 12,,,n x x x L 的中位数【2017，4】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A.14 B.π8 C.12 D.π4【2016，3】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）．A ．13 B ． 12 C ． 23 D ． 56【2015，4】如果3个正数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A ．310 B ．15 C ．110 D ．120 【2013，3】从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．12 B ．13 C ．14 D ．16【2012，3】在一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）（2n ≥，1x ，2x ，…，n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ）都在直线112y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．－1 B ．0C ．12D ．1【2011，6】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）.A.13B.12 C.23 D.34二、填空题【2014，13】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. 三、解答题【2018，19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6） [0.6，0.7） 频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1，0.2） [0.2，0.3） [0.3，0.4） [0.4，0.5） [0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑， 1621(8.5)18.439ii x =-≈∑，()161()8.5 2.78i i x x i =--=-∑，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2,…,16． （1）求(),i x i (i =1,2,…,16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r |<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(x i ,y i )(i =1,2,…,n )的相关系数()()niix x y y r --=∑0.09≈．【2016，19】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量（单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x i ，和年销售量y i (i =1,2,3,…,8)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，表中8118i ii ωωω===∑(Ⅰ)根据散点图判断，y=a+bx与y c =+，哪一个宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z=0.2y-x ，根据(Ⅱ)的结果回答下列问题： (1)当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ (2)当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？【2013，18】为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【2012，18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。

2011—2018 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编7．函数与数一、(2018 新· Ⅱ，文e x e x的象大致（）3)函数 f xx2(2018 新· Ⅱ，文10)若f (x)cos x sin x 在 [0, a] 是减函数， a 的最大是（）A．πB．πC．3πD．π424(2018 新· Ⅱ，文12)已知 f ( x)是定域( ,) 的奇函数，足 f (1 x) f (1x) ．若 f (1) 2 ，f (1) f (2) f(3) f (50)（）A． 50B． 0C． 2D． 50（ 2017·8）函数f (x)ln( x22x8) 的增区是（）A. (-， - 2)B. (- ， - 1)C. (1， +)D. (4， +)（ 2016·10）下列函数中，其定域和域分与函数y=10lgx的定域和域相同的是（）A． y=x B ．y=lg x C．y=2x D ．y1x（ 2016·12）已知函数f( x)（ x∈R）足 f(x)=f(2- x)，若函数 y=|x2- 2x- 3|与 y=f(x) 像的交点(x , y )，11m( x2 , y2 ) ，⋯， ( x m , y m ) ，x i（）i1A． 0B．m C． 2m D． 4m（2015·11）如，方形 ABCD 的 AB=2， BC=1，O 是 AB ∠ BOP=x.将点 P 到 A， B 两点距离之和表示x 的函数的中点，点P 沿着 BC， CD 与 DA 运，f（ x）， f（ x）的像大致（）A． B ．C． D ．（ 2015·12）函数f ( x) ln(1 | x |)1，使得 f ( x) f (2x 1)成立的x的取范是（）x21A. (1,1)B. (, 1) (1, ) C. ( 1 , 1)D.( , 1) ( 1,)333 33 3（ 2014·11）若函数 f (x) = kx- lnx 在区间 (1， +)单调递增，则 k 的取值范围是（）A ．, 2B ．, 1C ． 2,D ． 1, （ 2013·8）设 a log 3 2 ， blog 5 2 ， c log 2 3，则（）A ． a c bB ． b c aC ． c b aD ． c a b（ 2013·11）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c ，下列结论中错误的是（）A ． x 0 R ， f ( x 0 ) 0B ．函数 yf ( x) 的图象是中心对称图形C ．若 x 0 是 f (x) 的极小值点，则 f ( x) 在区间 ( , x 0 ) 单调递减D ．若 x 0 是 f (x) 的极值点，则f (x 0 ) 0（ 2013·12）若存在正数 x 使 2x ( xa) 1成立，则 a 的取值范围是（ ）A ． (, )B ． (2, ) C ． (0, )D ． ( 1, )（ 2012·11）当 0< x ≤1时， 4xlog a x ，则 a 的取值范围是（）2A ．(0，2 )B ．( 2， 1)C ．(1， 2 )D ．( 2 ， 2)22（ 2011·3）下列函数中，既是偶函数又在 （0，+ ））单调递增的函数是（3B ． y | x | 1C ． y2|x|A ． y xx 1D ． y 2（ 2011·10）在下列区间中，函数 f (x) = e x+ 4x - 3 的零点所在的区间为（）A ． ( 1 ,0)B ． (0, 1)C ． ( 1 , 1)D ． ( 1 , 3)444 22 4（ 2011·12）已知函数 y = f (x)的周期为 2，当 x ∈ [-1,1] 时 f (x) = x 2，那么函数 y = f (x)的图像与函数 y = |lgx|的图像的交点共有（ ）A ．10 个B ．9 个C ．8 个D ．1 个二、填空题(2018 ·课标Ⅱ，文新 13)曲线 y 2ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 __________．（ 2017·14）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (，0) 时， f ( x)=2 x 3 x 2 ，则 f (2) =（ 2015·13）已知函数 f (x) = ax 3- 2x 的图象过点 (- 1, 4)，则 a =.（ 2015·16）已知曲线 y x ln x 在点 (1, 1)处的切线与曲线y ax 2 (a2) x 1相切，则 a.（ 2014·15）偶函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (- 1) = _______.（ 2012·13）曲线 yx(3ln x 1) 在点 (1, 1)处的切线方程为.（ 2012·16）设函数 f ( x) ( x 1)2sin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m =.x 2 1三、解答题(2018 ·21)已知函数f x 1 x3 a x2x 1 ．3（ 1）若 a 3 ，求 f ( x) 的单调区间；（ 2）证明： f ( x) 只有一个零点．（2017·21）设函数 f (x) = (1- x2)e x.（1）讨论 f (x)的单调性；（ 2）当 x 0 时， f (x) ax+1，求 a 的取值范围 .（ 2016·20）已知函数f ( x) ( x 1)ln x a(x1) .（Ⅰ）当a=4 时，求曲线y=f(x)在(1， f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈(1,+∞)时， f(x)>0，求a的取值范围 .（2015·21）已知函数 f (x) = ln x +a(1- x).（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；（Ⅱ）当 f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求 a 的取值范围 .（ 2014·21）已知函数 f (x) = x3- 3x2+ax+2 ，曲线 y = f (x)在点 (0， 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为- 2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k<1 时，曲线y = f (x)与直线 y = kx- 2 只有一个交点．（2013·21）已知函数f ( x) x2e x .（Ⅰ）求 f ( x) 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y f ( x) 的切线l的斜率为负数时，求l 在x轴上截距的取值范围。

2011年—2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编10．立体几何一、选择题(2018·新课标Ⅰ，文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π(2018·新课标Ⅰ，文9)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A ．B ．C ．3D ．2(2018·新课标Ⅰ，文10)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．C ．D ．(2018·新课标Ⅱ，文9)在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 （ ）A B C D(2018·新课标Ⅲ，文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）(2018·新课标Ⅲ，文12)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．(2017•新课标Ⅰ，文6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）（2017·新课标Ⅱ，文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π(2017·新课标Ⅲ，文9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4(2017·新课标Ⅲ，文10)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥(2016•新课标Ⅰ，文7)如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π(2016•新课标Ⅰ，文7) （2016·新课标Ⅱ，文7） (2016·新课标Ⅲ，文10) (2016•新课标Ⅰ，文11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A ．2 B ．2 C ．3 D ．13（2016·新课标Ⅱ，文4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323π C ．8πD ．4π （2016·新课标Ⅱ，文7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π (2016·新课标Ⅲ，文10)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．18+B ．54+C ．90D ．81(2016·新课标Ⅲ，文11)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球．若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（ ）． A ．4π B ．9π2 C ．6π D ．32π3(2015•新课标Ⅰ，文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛(2015•新课标Ⅰ，文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(2015•新课标Ⅰ，文11) （2015·新课标Ⅱ，文6） (2014•新课标Ⅰ，文8)（2015·新课标Ⅱ，文6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A.81 B.71 C.61 D.51 （2015·新课标Ⅱ，文10）已知A 、B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π(2014•新课标Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱 （2014·新课标Ⅱ，文6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727 B ．59 C ．1027 D ．13（2014·新课标Ⅱ，文7）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为（ ）A ．3B ．32C ．1D (2013•新课标Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π （2013·新课标Ⅱ，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(2012•新课标Ⅰ，文7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．15(2013•新课标Ⅰ，文11) (2012•新课标Ⅰ，文7) (2011•新课标Ⅰ，文8)(2012•新课标Ⅰ，文8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为（ ）AB ．C ．D ．(2011•新课标Ⅰ，文8)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）二、填空题 (2018·新课标Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若S A B △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．(2017•新课标Ⅰ，文16)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．（2017·新课标Ⅱ，文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________．(2013•新课标Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______．（2013·新课标Ⅱ，文15）已知正四棱锥O-ABCD O 为球心，OA为半径的球的表面积为________.(2011•新课标Ⅰ，文16)已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文18)如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．(2018·新课标Ⅱ，文19) 如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．(2018·新课标Ⅲ，文19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑵ 在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．(2017•新课标Ⅰ，文18)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．（2017·新课标Ⅱ，文18）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB =BC =AD ，∠BAD =∠ABC =90°. （1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PAD面积为P-ABCD 的体积.(2017·新课标Ⅲ，文19)如图所示，四面体ABCD 中，ABC △是正三角形，AD CD =．（1）证明：AC BD ⊥；（2）已知ACD △是直角三角形，AB BD =．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．D PA B C(2016•新课标Ⅰ，文18)如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ．连结PE 并延长交AB 于点G ． （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE（2016·新课标Ⅱ，文19）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D´EF 的位置.（Ⅰ）证明：'AC HD ⊥；（Ⅱ）若55,6,,'4AB AC AE OD ====D´—ABCEF 体积.(2016·新课标Ⅲ，文19)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（1）证明//MN PAB 平面；（2）求四面体N BCM -的体积．OBAFDHE D 'PN MDCBA(2015•新课标Ⅰ，文18)如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ，(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(Ⅱ)若∠ABC =120°，AE ⊥EC ， 三棱锥E - ACD（2015·新课标Ⅱ，文19）如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中AB =16，BC =10，AA 1=8，点E ，F 分别在A 1B 1，D1C 1上，A 1E =D 1F =4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.(2014•新课标Ⅰ，文19)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.（2014·新课标Ⅱ，文18）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的点. （Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设AP=1，AD =3，三棱锥P -ABD 的体积V =43，求A 点到平面PBD 的距离.(2013•新课标Ⅰ，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．（2013·新课标Ⅱ，文18）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点.（Ⅰ）证明：1//BC 平面1ACD ； （Ⅱ）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积.1(2012•新课标Ⅰ，文19)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(2011•新课标Ⅰ，文18)如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． （1）证明：PA BD ⊥；（2）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．A 12011年—2018年新课标全国卷文科数学分类汇编10．立体几何（解析版）一、选择题(2018·新课标Ⅰ，文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）A ．B ．12πC ．D ．10π【答案】B 解析：如图，设上下底面的半径为R ，则截面面积2(2)8S R ==，所以，22R =，因为圆柱的表面积：22222612S S S R R R R ππππ++=+⋅==下上侧，故选B.(2018·新课标Ⅰ，文9)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A．B ．C ．3D ．2【答案】 B 解析：已知上、下底面周长均为8，则展开图为如下，则MN =(2018·新课标Ⅰ，文10)在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．【答案】C 解析：A 在11BB C C 面内射影为B ,则1AC B ∠为线1AC 与11BB C C 面所成角，即1=30AC B ∠，则1=4AC .在Rt ABC 中,1BC =1CC =V =(2018·新课标Ⅱ，文9)在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 （ ）A B C D【答案】C 解析：解法一：平移法：在t R AEF ∆中，异面直线的夹角的正切值，tan AFEFθ=由几何关系可知：设EF a =，则AF =，tan AF EF θ=解法二：补型法：在t R MDC ∆中，异面直线的夹角的正切值，tan MDCDθ=由几何关系可知：设CD a =，则MD =，tan MD CD θ==(2018·新课标Ⅲ，文3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【答案】A 解析：根据题意，A 选项符号题意； (2018·新课标Ⅲ，文12)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 解析：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为A ，B ，C ，D 外接球的球心，G 为ABC ∆的重心，由ABC S ∆=得6AB =，取BC 的中点H ，∴sin 60AH AB =⋅︒=∴23AG AH ==，∴球心O 到面ABC 的距离为2d ==，∴三棱锥D ABC -体积最大值1(24)3D ABC V -=⨯+=.(2017•新课标Ⅰ，文6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【解法】选A ．由B ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由C ，AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；由D ，AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故A 不满足，选A ．（2017·新课标Ⅱ，文6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π【答案】B 解析：由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为2213634632V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=，故选B.(2016•新课标Ⅰ，文7)如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（ ）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π解析：选A ． 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ，则37428ππ833R ⨯=，解得2R =．该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14， 所以该几何体的表面积为22714π23π284S =⨯⨯+⨯⨯⨯14π3π17π=+=．故选A ． (2017·新课标Ⅲ，文9)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）．A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B 解析：有圆柱的外接球半径公式可知，2222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即22112r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得234r =，所以圆柱的体积234V r h ππ==．故选B ．(2017·新课标Ⅲ，文10)在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C 解析：因为11BC B C ⊥，111BC A B ⊥，且1111B C A B B =，所以1BC ⊥平面11A B CD ，又因为1A E ⊂平面11A B CD ．所以11A E BC ⊥．故选C ．(2016•新课标Ⅰ，文11)平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）ABCD ．13解析：选A ． 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示．通过寻找线线平行构造出平面α，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF π∠=．故选A ．ABCDA 1B 1C 1D 1EF解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面α，并使α∥平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作β使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到β，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13A BD π∠=，所以其正弦值为2．故选A ．D 1C 1B 1A 1DCBA（2016·新课标Ⅱ，文4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）A ．12πB ．323πC ．8πD ．4π （2016·4）A 解析：因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为2412ππ⋅=，故选A.（2016·新课标Ⅱ，文7）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C 解析：因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.(2016·新课标Ⅲ，文10)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 （ ） A．18+ B．54+ C ．90 D ．81【答案】B 解析 如图所示为其几何体直观图，该几何体为四棱柱1111AEFD A E F D -，所以表面积为(33363254⨯+⨯+⨯⨯=+B ．F 1E 1F ED 1DB 1A 1C 1ABC(2016·新课标Ⅲ，文11)在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球．若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA = 则V 的最大值是（ ）． A ．4π B ．9π2 C ．6π D ．32π3【答案】B 解析 如图所示，假设在直三棱柱111ABC A B C -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B ，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示．设其球的半径为1r则16822,11(6810)22ABC ABCS r C ⨯⨯===⨯++△△且123r AA =…，得32r …．因此，直三棱柱内球的半径最大值为32，则33max 4439πππ3322V r ⎛⎫===⎪⎝⎭．故选B ．BACC 1B 1A 1CBA(2015•新课标Ⅰ，文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) BA ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ⨯⨯=⇒=，所以米堆的体积为211163203()54339⨯⨯⨯⨯=，故堆放的米约为3209÷1．62≈22，故选B ．(2015•新课标Ⅰ，文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2πr 2+πr×2r+πr 2+2r×2r =5πr 2+4r 2=16+20π， 解得r=2，故选B ．（2015·新课标Ⅱ，文6）一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A.81 B.71 C.61 D.51【答案】D 解析：截去部分是正方体的一个角，其体积是正方体体积的16，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.（2015·新课标Ⅱ，文10）已知A 、B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90º，C 为该球面上的动点. 若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π 【答案】C 解析：设球的半径为R ，则△AOB 面积为212R ，三棱锥O-ABC 体积最大时，C 到平面AOB 距离最大且为R ，此时313666V R R ==⇒=，所以球O 的表面积24144S R ππ==. (2014•新课标Ⅰ，文8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱解：几何体是一个横放着的三棱柱． 故选B（2014·新课标Ⅱ，文6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A ．1727 B ．59 C ．1027 D ．13（2014·6）C 解析：原来毛坯体积为：π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=，故选C.(2013•新课标Ⅰ，文11)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π 解析：选A ．该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体． V 半圆柱＝12π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16．所以所求体积为16＋8π．故选A ．（2014·新课标Ⅱ，文7）正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为（ ）A ．3B ．32C ．1D 【答案】C 解析：∵B 1C 1 // BD ，∴BD // 面AB 1C 1，点B 和D 到面AB 1C 1的距离相等，1111--D AB C B AB C V V ∴=11-112132C ABB V ==⋅⋅=，故选C.（2013·新课标Ⅱ，文9）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）【答案】A解析：在空间直角坐标系中，先画出四面体O-ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图如右图，故选A.(2012•新课标Ⅰ，文7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面△BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为11(63)3932V=⨯⨯⨯⨯=，故选择B．(2012•新课标Ⅰ，文8)8．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的）A B．C．D．【解析】如图所示，由已知11O A=，1OO=在1Rt OO A∆中，球的半径R OA==所以此球的体积343V Rπ==，故选择B．【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算．(2011•新课标Ⅰ，文8)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）【解析】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形．故选D．二、填空题(2018·新课标Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若S A B △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．【答案】8π 解析：1842ABC S SA SB SA SB ∆=⋅=⇒==由几何关系可知：2SO =、AO =(21283V ππ=⨯⨯=(2017•新课标Ⅰ，文16)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA SCB ⊥平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_______．【解析】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC ==，所以,OA SC OB SC ⊥⊥， 因为平面SAC ⊥平面S B C ，所以OA ⊥平面S B C ，设O A r=，3111123323A SBCSBC V S OA r r r r -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以31933r r =⇒=， 所以球的表面积为2436r ππ=．（2017·新课标Ⅱ，文15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为【答案】14π解析：球的直径是长方体的对角线，所以22414ππ==R S R .(2013•新课标Ⅰ，文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 【答案】9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ，OH ＝3R．又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1．∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴R 2＝98． ∴S 球＝4πR 2＝9π2．（2013·新课标Ⅱ，文15）已知正四棱锥O-ABCD O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________.【答案】24π解析：设正四棱锥的高为h ，则212V h =⨯=，解得高h =则底面正方形的对=OA =2424ππ=.(2011•新课标Ⅰ，文16)已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 ．【答案】13 解析：设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223π4π16r R =⨯，知2234r R =． 根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB ⊥．设PO x '=，QO y '=，则2x y R +=． ① 又PO B BO Q ''△∽△，知22r O B xy '==．即2234xy r R ==． ② 由①②及x y >可得3,22Rx R y ==．则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13．三、解答题(2018·新课标Ⅰ，文18)如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥．又BA ⊥AD ，所以AB ⊥平面ACD ． 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =又23BP DQ DA ==，所以BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE=13DC ． 由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为 11113451332Q ABP ABP V QE S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=△．(2018·新课标Ⅱ，文19) 如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．解：（1）连接OB ，由几何关系可知：PO =，2OB =，因为 22216PO OB PB +==，所以 2POB π∠=，所以 PO OB ⊥，因为 =PB PA ，OA OC =，所以 PO AC ⊥，因为 ACOB O =，所以 P O A B C ⊥平面.解法2：（二线法，以AB 边中点为例，三垂线定理）在AB 边去中点N ，连接PN 、ON因为PA PB =，所以 PA AB ⊥，在ABC ∆中，由勾股定理可知：AB BC ⊥， 在ABC ∆中，AO OC =，AN NB =，所以 ON BC ，所以 AB ON ⊥， 因为 ON PN N =，所以 AB PNO ⊥平面，所以 AB PO ⊥， 由几何关系可知：PO AC ⊥，因为 AC ON O =，所以 PO ABC ⊥平面.（2）解法一：等体积法：由题意可知：1132P ABC V -=⨯⨯P ABC V -1=3P OMC P ABC V V --OM，12POM S ∆=P OMC C POM V V --=，92d ==解法二：等面积法：由题意可知：118422ABC S AB BC ∆=⋅⋅=⨯=，1433OMC ABC S S ∆∆==，OM ，1423OMC S OM FC ∆=⋅⋅=，所以FC.(2018·新课标Ⅲ，文19)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ；⑶ 在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．【答案】见解析解析：（1）∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ， ∴AD ⊥半圆面CMD ，∴AD ⊥平面MCD .∵CM 在平面MCD 内，∴AD CM ⊥，又∵M 是半圆弧CD 上异于,C D 的点，∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =I ，∴CM ⊥平面ADM ，∵CM 在平面BCM 内，∴平面BCM ⊥平面ADM .（2）线段AM 上存在点P 且P 为AM 中点，证明如下：连接,BD AC 交于点O ，连接,,PD PB PO ；在矩形ABCD 中，O 是AC 中点，P 是AM 的中点； ∴//OP MC ，∵OP 在平面PDB 内，MC 不在平面PDB 内，∴//MC 平面PDB .(2017•新课标Ⅰ，文18)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解法】（1）90BAP CDP ∠=∠=︒， ∴,A B A P C DDP ⊥⊥ 又AB ∥CD ∴AB DP ⊥又AP ⊂平面PAD ，DP ⊂平面PAD ，且AP DP P = ∴AB ⊥平面PADAB ⊂平面PAB ，所以 平面PAB ⊥平面PAD（2）由题意：设=PA PD AB DC a === ，因为90APD ∠=︒ ，所以PAD ∆为等腰直角三角形即AD取AD 中点E ，连接PE ，则PE =，PE AD ⊥． 又因为平面PAB ⊥平面PAD 所以PE ⊥平面ABCD因为AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD所以AB ⊥AD ，CD ⊥AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以31121823333P ABCD V AB AD PE a aa a -====即2a =11=223+22S ⨯⨯⨯⨯侧（2017·新课标Ⅱ，文18）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB=BC =AD ，∠BAD =∠ABC =90°. （1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PAD 面积为P-ABCD 的体积.（2017·18）解析：（1）在平面ABCD 内，因为∠BA D=∠ABC =90º，所以BC //AD . 又面⊄BC PAD ，故BC //平面PAD .（2）取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由12A B =B C =A D及BC //AD ，知四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD . 因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，底面⊂CM ABCD ，所以CM ⊥面PAD ，因为面⊂PM PAD ，所以CM ⊥PM .设BC =x ，则CM =x，，==CD PM ，PC =PD =x。

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质（含解析）一、选择题??????????230f，fxx0y?axx?x?xa?1f?2018,6处的切线方程【在点】设函数为奇函数，则曲线．若为y??xy?xx2y??2xy? AD C B ．．．．?x?，x2≤0??????x12?ffx??xfx2018,12 的取值范围是】设函数的，则满足【?1 ，x?0?????????00????，?1??，?1，0，D ABC ．．．．sin2x?y 的部分图像大致为（，8】函数）【20171?cos x????x2?ln x??ln xf9 2017）】已知函数【，则（，????????0,20,2xxff B A单调递减．．在单调递增在??????,0y?f1y?fxx1x? C D对称．对称的图像关于点．的图像关于直线a?b?00?c?1，则（，）2016【，8】若ccab c?bca?b?log?log c log a log cC．．A D．． B cbac??x2e?y?2x2,2?的图像大致为（9在】函数）【2016，yyyy1111-2-2-22xx22x-2OOO x2OA．B．C．D．x?1??2,x?21f(x)?，且f(a)=-3，则f(6-a)=( ) 2015,10【】已知函数??log(x?1),x?1?27531???? D ．．C ．B ．A4444．x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则af(x)的图像与y=2=( ) C【2015，12】设函数y=A．-1 B．1 C．2 D．4R f(x)gx)(x)f(x)g(是偶函数，则下列结论中正，且的定义域为,是奇函数，【2014，5】5．设函数确的是（）f(x)g(x))f(x)g(x是奇函数BA．．是偶函数f(x)g(x)f(x)g(x)是奇函数．．CD是奇函数【2013，9】函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图像大致为()2??2x,xx?0,?【2013，12】已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()．?ln(x?1),x?0.?A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0] 1x ax?log4?0?x的取值范围是（时，【2012，11】11．当），则a222 22），C．（1 B．（，1D．）（0，2）A．（，）22????0,单调递增的函数是（，3】下列函数中，既是偶函数又在）??x3?e?f4xx?【20112?|x|31???xy2y?x?y1y?|x|?．C．D．A．B的零点所在的区间为（，201110】在下列区间中，函数）．【111113????????,,0,0,?C．D．． A ． B ????????242444????????2f(x)?xy?f(x?y?f(x)x?[1,1])2的图像【时函数的周期为】已知函数，那么函数，当2011，12y?lg x的图像的交点共有（）．与函数10981个D．C．个A ．个B．个二、填空题??????2?a1?f3a?x log?xf 2018,13________．】已知函数【，若，则23+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= )=(】已知函数，【201514fxax．x?1?,xe?1?x?x)f(的取值范围是_____．【2014，15】设函数，则使得成立的?2f(x)≤1?x,x?13?2?sin1)x(x?m M?m??)f(xM_______】，【20121616．的最大值为，最小值为，则．设函数21?x新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编2．函数及其性质（解析版）一、选择题??????????230x0y?ffx，ax??xxa?f1x?2018,6处的切线方程为奇函数，则曲线【在点】设函数．若为y??xy?xxy?2x2y?? B CD A ．．．．????23x??1?x?axfax是奇函数，解：1??a?21?(0?f)?1x?(x)?3)?f(x?0，f y?x D 。