和式极限的求解方法

求极限的方法

摘要：

求极限的方法是高等数学的一个重点，而极限概念是微积分学的中心内容。因此，弄清极限概念，熟练掌握极限的计算方法，对于学好高等数学是十分必要的。为此，本文将高等数学中各种极限的计算方法，系统地归纳起来，对于在求极限时，能够灵活地运用求极限的法则，较熟练地选择简便的方法，是很有帮助的。

关键词：

正文：

极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正十二边形，其面积记为A3；循此下去，每次边数加倍，一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n∈N）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1,A2,A3…,An,…..,它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以An作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n 取得如何大，只要n取定了，An终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想n无限增大（记为n→∞），即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A1,A2,A3,…..,An,…..当n→∞时的极限。

极限有两种.：

数列极限：nlimxn=aε>0,一个正整数N，当n>N时，恒有|Xn-a|

函数极限：xlim f(x)=Aε>0,一个x>0,当|x|>X,恒有|f(x)－A|

0limxxf(x)=Aε>0,一个δ>0,当0<|x－x0|

求极限的方法已归纳出15种，分别列举如下：

§1 利用极限定义求极限

[解题提示]当数列Xn不单调时，其极限的存在性可考虑用极限的定义证明。解题程序是先求出xn 后，再证xn 的存在性。

龙源期刊网

型极限的求解方法

作者：魏建刚 李晓歌

来源：《东方教育》2016年第08期

摘要：极限是高等数学中重要的知识，而极限的求解更是高等数学的难点之一，本文对极限问题中 型极限问题的求解，给出利用有理化、利用重要极限、利用洛必达法则和利用泰勒公式这几种方法，方便大家遇到类似极限轻松解题。

关键词：重要极限；洛必达法则；泰勒公式

在我们刚进入高等数学的学习的过程中，初步接触到一些极限的求解方法，比如借助于定义法和极限的四则运算来求解一些简单的极限。我们知道在利用极限的四则运算中商的运算法则中要求分母的极限不能为零。但是学习时总会遇到分母的极限为零的情形，如果分母的极限为零，分子的极限是一个常数，那么可以用无穷大量与无穷小量的关系求解。时常还会遇到分子和分母的极限都是零的情形，我们把这类极限称之为“ ”型。下面就介绍一下一些 型极限的求解方法，以供参考。

方法一 利用有理化或约零因子求 型极限。

例1求

解析 通过观察发现，当 时，分子和分母的极限都是零，是一个 型极限，这时候无法用极限的四则运算法则来求。可以先将待求极限的分子先进行因式分解，在用四则运算法则求极限

下面看一个利用有理化求解极限的例子

例2求

解析 上式极限也是一个 型的极限，显然无法用因式分解约零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要极限求 型极限

我们这个极限 称之为重要极限，根据对这个极限内容深刻理解，可以推广到 ，下面看如何利用这个重要极限来求解 型极限。

例3 求

解析 这待求极限看似与重要极限形式不同，实际上先将这个极限的形式变形一下就可以借助重要极限来解答了。 龙源期刊网

令 ，则 ，且当 时 ，所以有

未定式极限的求解方法分析

通过总结未定式的极限的求解方法，分析了常用的求未定式的极限方法，以帮助初学者对未定式极限的求解方法更好的理解和掌握。

标签：未定式；极限；求解方法

极限对初学者而言，是一道很难过的关，尤其是未定式的极限求解。但为了学好高等数学还是要打好这个基础。在求解极限的过程中，经常会遇到求解未定式极限的问题，常用的未定式的极限主要就分成以下五种类型，分别是00，∞∞，0·∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。后面三种的解决方式相同，所以常看成一种类型。

本文将从五个方面，通过利用罗比达法则以及恒等变形的方法，对常用的未定式极限的求解方法进行解析。

1 00型未定式

解决这类未定式问题一般可以通过五种方法解题：

1.1 因式分解法，约去零因式，转化为普通的极限问题

例1 （1）求极限limx→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求极限limx→1xn-1xm-1(m,n∈N+,m≠n).

解 （1）当x→4时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-4，而x→4时，x-4≠0，可约去这个公因式。所以

limx→4x2-7x+12x2-5x+4=limx→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4)=limx→4x-3x-1=13.

（2）当x→1时，此极限是00型，因为分子和分母有公因式x-1，而x→1时，x-1≠0，可约去这个因式。所以

limx→1xn-1xm-1=

limx→1(x-1)(xn-1+xn-2+Λ+x+1)(x-1)(xm-1xm-2+Λ+x+1)

=limx→1(xn-1+xn-2+Λ+x+1)(xm-1+xm-2+Λ+x+1)=nm.

1.2 根式有理化，再约去零因子，转化为普通的极限问题

例2（1）求极限limx→01-1+x2x2.（2）求极限limx→4x-2-22x+1-3.

解（1）当x→0时，此极限是00型，将分子有理化得

limx→01-1+x2x2=

抓大头求极限方法

一、抓大头

（1）狭义的抓大头是指求极限分子分母分别“抓”x的最高次项，忽略低次项。之所以在分子分母中抓x的最高次项：x趋向于时，最高次项趋向于的速度最快。

（2）广义的抓大头在求型未定式极限时，若分子或分母为几项之和，分别取分子分母中趋近最快的无穷大项，忽略趋近速度相对较慢的无穷大项。（3）抓大头的推广若分子分母均是无穷大量，被同一单调函数复合，也可用抓大头。

二、抓小头

（1）狭义的抓小头分子分母中x低次项相对于高次项趋向于0的速度要蛮，极限的性质由次数低的项决定，分子分母保留最低次项，次数高的项略去不计。

（2）广义的抓小头 分子分母分别为多因式之和的 型未定式求极限，分子分母分别取趋近于 0 速度最慢的无穷小项做运算 （利用Taylor公式将分子分母转化为多项式）。

（1）“抓大头法”实质上是用和式中的大头（存在的话）去等价代换这个和式。

（2）既然是等价代换，原则上凡是可以无穷小（大）等价代换的情形都可用应用抓大头法。