第6章动态规划
第6章 动态规划
动态规划（Dynamic Programming）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论
6.1.1多阶段决策过程的数学描述
有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。任何一个阶段(stage，即决策点)都是由输入(input）、决策（decision）、状态转移律（transformation function)和输出(output)构成的，如图6-1（a）所示.其中输入和输出也称为状态(state）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
运筹学教案动态规划
一、教学目标
1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容
1. 动态规划的基本概念
动态规划的定义
动态规划与分治法的区别
2. 动态规划的基本原理
最优解的性质
状态转移方程
边界条件
3. 动态规划的方法
递推法
迭代法
表格法
4. 动态规划的应用
背包问题
最长公共子序列
最短路径问题
三、教学方法 1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备
1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程
1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估
1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展
1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。 3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思
1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
动态规划
动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第 一 节 动态规划的基本方法
多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题
某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？
6
3
8 4 5
5 6
4
9 8
一、判断题
1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。（ ）
正确答案：×
2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。（ ）
正确答案：×
3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。（ ）
正确答案：√
4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。（ ）
正确答案：×
二、选择题
1.关于图论中图的概念，以下叙述（ ）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B
2. 关于树的概念，以下叙述（ ）正确。
A.树中的点数等于边数减1
B.连通无圈的图必定是树 C.含n个点的树是唯一的
D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B
3. 一个连通图中的最小树（ ）。
A.是唯一确定的
B.可能不唯一
C.可能不存在
D.一定有多个。
正确答案：B
4.关于最大流量问题，以下叙述（ ）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的
B.达到最大流的方案是唯一的
C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案
D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D
5. 图论中的图，以下叙述（ ）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。只要不改变点与点的连接关系。 正确答案：C
6. 关于最小树，以下叙述（ ）正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图
B.最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图
