2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
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2016年北京市高考数学试卷(理科)(含详细答案解析)
2016年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.（5分）已知集合A={x||x|＜2}，集合B={﹣1.1，2，3}，则A∩B=（）
A。{﹣1.1}
B。{，1}
C。{，1，2}
D。{﹣1.1，2}
2.（5分）若x，y满足x+y=4且x2+y2的最小值为2，则2x+y的最大值为（）
A。2
B。3
C。4 D。5
3.（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）
A。1
B。2
C。3
D。4
4.（5分）设a、b为向量，则||a+b||=||a-b||的充分必要条件是（）
A。a·b=0
B。a=b
C。||a||=||b||
D。a·b=||a||·||b||
5.（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A。x-y＞0
B。sinx-siny＞0
C。（x+y）/（x-y）＜2 D。XXX＞0
6.（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A。8/3
B。10/3
C。12/5
D。14/5
7.（5分）将函数y=sin（2x-π/2）图象上的点P（π/6，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）
A。t=1，s的最小值为π/6
B。t=1/2，s的最小值为π/6
C。t=1，s的最小值为π/3
D。t=1/2，s的最小值为π/3
8.（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒。重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A。乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B。乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C。乙盒中红球不多于丙盒中红球
D。乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=2.
10.（5分）在（1-2x）6的展开式中，x2的系数为60.
11.（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ=2与ρsinθ=3的交点为A，B两点，则|AB|=2.
12.（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和。若a1=6，a3+a5=0，则S6=36.
1.ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B。求点A的坐标。 解：将ρsinθ-1=0代入ρ=2cosθ，得cosθ=1/2，即θ=π/3或θ=11π/3.代入ρ=2cosθ，得点A坐标为(1,√3)或(-1,-√3)。
2.双曲线-1=(a^2/b^2)(x^2-y^2)=1的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=√3.
解：双曲线-1=(a^2/b^2)(x^2-y^2)=1的渐近线为y=±(a/b)x。正方形OABC的边长为2，故OA=OC=√2，即渐近线的斜率为±1/√2.又因为点B为该双曲线的焦点，故焦点到渐近线的距离为a，即a/√2=1，解得a=√3.
3.设函数f(x)=x^3-3ax^2+3a^2x，其中a为实数。
①若a=0，则f(x)的最大值为0；
②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是(-∞,-1/3)∪(1/3,+∞)。
解：①当a=0时，f(x)=x^3，f(x)在x=0处取得最大值0.
②当f(x)无最大值时，f'(x)=3x^2-6ax+3a^2=3(x-a)^2-3a^2，f'(x)=0的解为x=a。当xa时，f'(x)>0，故x=a时为f(x)的最小值点。又因为f(x)无最大值，故f(x)的最小值为负无穷，即f(a)=a^3-3a^3+3a^3=-a^3<0，解得a的取值范围为(-∞,-1/3)∪(1/3,+∞)。
4.在△ABC中，a^2+c^2=b^2+2accosB。
Ⅰ）求∠B的大小；
Ⅱ）求cosA+cosC的最大值。
解：（Ⅰ）将a^2+c^2=b^2+2accosB代入余弦定理cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，得cosB=(c^2-a^2-b^2)/(2ab)。又因为cosB<1，故c^2-a^2-b^2<2ab，即b^2-c^2
b^2+c^2，得-1
Ⅱ）由（Ⅰ）得cosA+cosC=2cosB/(1-cosB)=2(c^2-a^2-b^2)/(a^2-b^2)，令t=(c^2-a^2-b^2)/(a^2-b^2)，则XXX的取值范围为(-1,1)，当t=1时，即c=b，此时∠B=90°，cosA+cosC=0；当t→-1时，即a=b+c，此时∠B=0°，cosA+cosC=2.当t∈(-1,1)时，cosA+cosC的最大值为2.综上所述，cosA+cosC的最大值为2.
5.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：
A班
6
6.5
7.5
8
B班
6
7
8
9
10
11
12
C班 3
4.5
6
7.5
8.5
10.5
12
Ⅰ）试估计C班的学生人数；
Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙。假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；
Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ，试判断μ和μ1的大小。（结论不要求证明）
解：（Ⅰ）设C班的学生人数为x，则A班和B班的学生人数分别为(100-x)/2，(100-x)/2.由表格可得C班学生的平均锻炼时间为(3+4.5+6+7.5+8.5+10.5+12)/7=7.5，故C班学生的总锻炼时间为7.5x。将A班和B班学生的总锻炼时间分别记为Ta，Tb，则Ta+Tb+7.5x=100×8，即Ta+Tb=525-7.5x。由表格可得A班和B班学生的平均锻炼时间为(6+6.5+7.5+8+6+7+8+9+10+11+12)/11=8，故A班和B班学生的总锻炼时间为8(100-x)。代入Ta+Tb=525-7.5x，解得x=30，故C班的学生人数为30.
Ⅱ）设甲的锻炼时间为x，乙的锻炼时间为y，则x和y的概率密度函数分别为f(x)=1/11，g(y)=1/7.5.所求概率为P(x>y)=∫(x>y)f(x)g(y)dydx=∫(0,x)1/11·1/7.5dydx=1/2-1/22x^2.代入x的取值范围[6,8]，得P(x>y)=11/44.
Ⅲ）表格中的数据的平均数为(6+6.5+7.5+8+6+7+8+9+10+11+12+3+4.5+6+7.5+8.5+10.5+12)/18≈7.67，新样本的平均数为(7+9+8.25)/3=8.08.因为新样本的平均数比表格中数据的平均数略大，故μ1>μ。
6.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=√5.
Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；
Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求BM/AM的值，若不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）连接PC，由PA=PD，得∠PAD=∠PDA，故△PAD为等腰三角形，又因为XXX⊥PD，故∠APD=90°。连接PB，由AB⊥AD，得∠ABD=90°，又因为AB=1，AD=2，故BD=√5.由题可知AC=CD=√5，故△ACD为等腰直角三角形，故∠ACD=45°。又因为平面PAD⊥平面ABCD，故∠PAD+∠ACD=90°，故∠PAD=45°。由∠APD=90°和∠PAD=45°，得∠PDA=45°，故△PDA为等腰直角三角形，故PD⊥PA，又因为XXX⊥AD，故PD⊥AB。故PD⊥平面PAB。
Ⅱ）由题可知PC⊥AB，故PB与平面PCD所成角等于PB与直线PC的夹角。设∠PBC=θ，则∠PCD=90°-θ，由余弦定理cosθ=PB/BD，sin(90°-θ)=cosθ=PB/BD，解得sinθ=BD/PB=√5.
Ⅲ）设BM/AM=k，由题可知BM⊥PCD，故BM在平面PCD上的投影为BD，故BD/BM=k，由AB=1，得AD=√5，故BD=√3.代入BD/BM=k，解得BM=k√3.设PA的中点为N，由题可知PN=1/2，AN=√5/2，故AM=AN-1/2=(√5-1)/2.若存在点M使得BM∥平面PCD，则BM与PCD的夹角为0°或180°，即BM与PCD重合或平行。若BM与PCD重合，则k=1/√3；若BM与PCD平行，则BM与PCD的夹角等于PB与PCD的夹角，即θ=0°或θ=180°，即PB在平面PCD内或外，故k<1/√3.综上所述，BM/AM的取值范围为(0,1/√3]。
题目分析：
本题是一道数列的题目，主要考查对于“G时刻”的理解和运用，以及对于数列的性质的掌握。
解题思路：
Ⅰ）根据题意，找出小于n的正整数k，使得ak
Ⅱ）假设数列A中存在an>a1，则对于k=1，有ak
Ⅲ）根据题意，对于数列A中的任意相邻的两项，它们之间的差不超过1，因此可以得到a1≤a2≤。≤aN。若a1+1≤a2，则1是“G时刻”，将1加入集合G(A)中。同理，若a2+1≤a3，则2是“G时刻”，将2加入集合G(A)中。以此类推，直到aN-
