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人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f(x)＝e2x＋1，则f′(0)＝()A．0B．eC．2e D．e22．在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝36，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为() A．27B．30C．33D．363．已知a>0，b>0，a，b的等比中项为2，则a＋1b＋b＋1a的最小值为()A．3B．4 C．5D．424．函数y＝x－12x＋1在(1,0)处的切线与直线l：y＝ax垂直，则a＝() A．－3B．3C．13D．－135．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足：S37－S23＝a，则S60＝()A．4a B．307aC．5a D．407a6．函数f(x)＝(x2＋2x)e2x的图象大致是()7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A．一尺五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸8．已知函数f(x)＝x3－x和点P(1，－1)，则过点P与该函数图象相切的直线条数为() A．1B．2C．3D．4二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋211．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1<0，则下列结论正确的是()a7－1A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T612．设f′(x)为函数f(x)的导函数，已知x2f′(x)＋xf(x)＝ln x，f(1)＝12，则下列结论正确的是()A．xf(x)在(1，＋∞)单调递增B．xf(x)在(0,1)单调递减C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值12D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式a n＝________.a1a9，则a n＝________，数列14.已知正项等比数列{a n}满足a1＝1，a2a6a7＝116{log2a n}的前n项和为________．15.函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间是________．16.已知函数f(x)＝ln x＋mx，若函数f(x)的极小值不小于0，则实数m的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若a3，a5分别是等差数列{b n}的第4项和第16项，求数列{b n}的通项公式及前n项和S n.18.(12分)已知函数f(x)＝12x2－3ln x.(1)求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)试判断f(x)在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．19.(12分)设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，且a3＝2，S9＝54.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋3＋1a2＋3＋1a3＋3＋…＋1a100＋3>13.20.(12分)设函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若a＝2，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．21.(12分)等差数列{a n}中，S3＝21，S6＝24，(1)求数列{a n}的前n项和公式S n；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.22.(12分)已知a，b∈R，设函数f(x)＝e x－ax－b x2＋1.(1)若b＝0，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)的最小值为0，求a＋5b的最大值．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测2(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知函数f (x )＝e 2x ＋1，则f ′(0)＝()A ．0B ．e C ．2e D ．e 2C解析：∵f (x )＝e 2x ＋1，∴f ′(x )＝2e 2x ＋1，∴f ′(0)＝2e.故选C ．2．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝36，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9的值为()A ．27B ．30C ．33D ．36B解析：因为a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝36，所以a 4＝12.因为a 2＋a 5＋a 8＝33，所以a 5＝11.所以d＝a 5－a 4＝－1，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝3(a 5＋d )＝30.故选B ．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项为2，则a ＋1b ＋b ＋1a 的最小值为()A ．3B ．4C ．5D ．42C解析：∵a ＋1b ＋b ＋1a ＝(a ＋b )＋a ＋b ab＝(a ＋b ＝54(a ＋b )≥54·2ab ＝5，等号成立当且仅当a ＝b ＝2，原式的最小值为5.4．函数y ＝x －12x ＋1在(1,0)处的切线与直线l ：y ＝ax 垂直，则a ＝()A ．－3B ．3C ．13D ．－13A解析：∵y ′＝3(2x ＋1)2，∴y ′|x ＝1＝13，∴函数在(1,0)处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是－3，∴a ＝－3.故选A ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 37－S 23＝a ，则S 60＝()A ．4aB ．307a C ．5aD ．407aB 解析：因为S 37－S 23＝a 24＋a 25＋…＋a 37＝a 24＋a 372×14＝7(a 24＋a 37)＝a .所以S 60＝a 1＋a 602×60＝30(a 24＋a 37)＝307a .故选B ．6．函数f (x )＝(x 2＋2x )e 2x 的图象大致是()A 解析：由于f ′(x )＝2(x 2＋3x ＋1)·e 2x ，而y ＝x 2＋3x ＋1的判别式Δ＝9－4＝5>0，所以y＝x 2＋3x ＋1开口向上且有两个根x 1，x 2.不妨设x 1<x 2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上递增，在(x 1，x 2)上递减．所以C ，D 选项不正确．当x <－2时，f (x )>0，所以B 选项不正确．由此得出A 选项正确．故选A ．7．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，则芒种日影长为()A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸B解析：由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{a n }，S n 是其前n 项和，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝85.5，所以a 5＝9.5，由题知a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝31.5，所以a 4＝10.5，所以公差d ＝a 5－a 4＝－1.所以a 12＝a 5＋7d ＝2.5尺．故选B ．8．已知函数f (x )＝x 3－x 和点P (1，－1)，则过点P 与该函数图象相切的直线条数为()A ．1B ．2C ．3D ．4B解析：因为f (1)＝13－1＝0，所以点P (1，－1)没有在函数的图象上．设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－x 0，则f ′(x )＝3x 2－1.由导数的几何意义可知，过切点的斜率为k ＝3x 20－1，过P (1，－1)和切点的斜率表示为k ＝y 0＋1x 0－1，－x0，3x20－1，化简可得x20(2x0－3)＝0，所以x0＝0或x0＝32.所以切点有两个，因而有两条切线方程．故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n－2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则() A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a21＋a22＋…＋a2n＝4n－13D．m＋n为定值BD解析：由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2，所以S n－S n－1＝a n＝2a n－2－(2a n－1－2)＝2a n－2a n－1，所以a na n－1＝2，数列{a n}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，a n＝2n，故选项A错误，选项B正确；数列{a2n}是以a21＝4为首项，q1＝4为公比的等比数列，所以a21＋a22＋…＋a2n＝a21(1－q n1)1－q1＝4×(1－4n)1－4＝4n＋1－43，故选项C 错误；a m a n＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故选项D正确．故选BD．10．若函数e x f(x)(e＝2.7182…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数为()A．f(x)＝2－x B．f(x)＝3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝x2＋2AD解析：对于选项A，f(x)＝2－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·2－x为实数集上的增函数；对于选项B，f(x)＝3－x，则g(x)＝e x f(x)＝e x·3－x为实数集上的减函数；对于选项C，f(x)＝x3，则g(x)＝e x f(x)＝e x·x3，g′(x)＝e x·x3＋3e x·x2＝e x(x3＋3x2)＝e x·x2(x＋3)，当x＜－3时，g′(x)＜0，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上先减后增；对于选项D，f(x)＝x2＋2，则g(x)＝e x f(x)＝e x(x2＋2)，g′(x)＝e x(x2＋2)＋2x e x＝e x(x2＋2x＋2)＞0在实数集R上恒成立，∴g(x)＝e x f(x)在定义域R上是增函数．故选AD．11．设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a6a7>1，a6－1a7－1<0，则下列结论正确的是()A．0<q<1B．a6a8>1C．S n的最大值为S7D．T n的最大值为T6AD 解析：易知q >0，若q >1，则a 6>1，a 7>1，与a 6－1a 7－1>0矛盾，故0<q <1.所以0<a 7<1.所以a 6a 8＝a 27<1.因为a 7>0，a 8>0，所以S n 的最大值一定不为S 7.因为0<a 7<1，a 6>1，所以T n 的最大值为T 6，故选AD ．12．设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是()A ．xf (x )在(1，＋∞)单调递增B ．xf (x )在(0,1)单调递减C ．xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12D ．xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12ABD解析：由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x ＞0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，由[xf (x )]′＝ln xx .设g (x )＝xf (x )，即g ′(x )＝ln xx>0得x ＞1.由g ′(x )＜0得0＜x ＜1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0,1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12.故选ABD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，则其通项公式a n ＝________.12－n 解析：∵等差数列{a n }中，a 4＝8，a 8＝4，4＝a 1＋3d ＝8，8＝a 1＋7d ＝4，解得a 1＝11，d ＝－1，∴a n ＝11＋(n －1)×(－1)＝12－n .14.已知正项等比数列{a n }满足a 1＝1，a 2a 6a 7＝116a 1a 9，则a n ＝________，数列{log 2a n }的前n 项和为________．2－n ＋1－n (n －1)2解析：由a 1＝1，a 2a 6a 7＝1161a 9得a 5＝a 1q 4＝116，q ＝12，a n －1＝2－n＋1.而log 2a n ＝－n ＋1，所以{log 2a n }的前n 项和为－n (n －1)2.15.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．(0,1]解析：f (x )＝12x 2－ln x ，则f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x ＋1)(x －1)x≤0，故0<x ≤1.16.已知函数f (x )＝ln x ＋mx，若函数f (x )的极小值不小于0，则实数m 的取值范围为________．1e，＋∞解析：由f (x )＝ln x ＋m x 得f ′(x )＝1x －m x 2＝x －mx2，定义域为(0，＋∞)．当m ≤0时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增，函数无极值；当m >0时，令f ′(x )＝0⇒x ＝m ，当x ∈(0，m )时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以当x ＝m 时，函数y ＝f (x )取极小值，且为f (m )＝ln m ＋1.依题意有ln m ＋1≥0⇒m ≥1e ，因此，实数m 的取值范围是1e ，＋∞四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a 3，a 5分别是等差数列{b n }的第4项和第16项，求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 4＝8，b 16＝32.设{b n }的公差为d b 1＋3d ＝8，b 1＋15d ＝32，b 1＝2，d ＝2.从而b n ＝2＋2(n －1)＝2n .所以数列{b n }的前n 项和S n ＝(2＋2n )n2＝n 2＋n .18.(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ln x .(1)求f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)试判断f (x )在区间(1，e)上有没有零点．若有，判断零点的个数．解：(1)由已知得f ′(x )＝x －3x ，有f ′(1)＝－2，f (1)＝12，∴在(1，f (1))处的切线方程为y －12＝－2(x －1)，化简得4x ＋2y －5＝0.(2)由(1)知f ′(x )＝(x －3)(x ＋3)x ，因为x >0，令f ′(x )＝0，得x ＝ 3.所以当x ∈(0，3)时，有f ′(x )<0，则(0，3)是函数f (x )的单调递减区间；当x ∈(3，＋∞)时，有f ′(x )>0，则(3，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ∈(1，e)时，函数f (x )在(1，3)上单调递减，在(3，e)上单调递增．又因为f (1)＝12，f (e)＝12e 2－3>0，f (3)＝32(1－ln 3)<0，所以f (x )在区间(1，e)上有两个零点.19.(12分)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3＝2，S 9＝54.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.(1)解：设数列{a n }的公差为d ，∵S 9＝9a 5＝54，∴a 5＝6，∴d ＝a 5－a 35－3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －4.(2)证明：∵1a n ＋3＝12n －1>22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>(3－1)＋(5－3)＋…＋(201－199)＝201－1>14－1＝13，∴1a 1＋3＋1a 2＋3＋1a 3＋3＋…＋1a 100＋3>13.20.(12分)设函数f (x )＝e x －ax －1(a ∈R )．(1)若a ＝2，求函数f (x )在区间[0,2]上的最大值和最小值；(2)当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝e x －2x －1，取f ′(x )＝e x －2＝0，即x ＝ln 2，函数在[0，ln 2]上单调递减，在(ln 2,2]上单调递增，且f (0)＝0，f (2)＝e 2－5，f (ln 2)＝1－2ln 2，故函数的最大值为f (2)＝e 2－5，最小值为f (ln 2)＝1－2ln 2.(2)f (x )＝e x －ax －1，f ′(x )＝e x －a ，f (0)＝0.当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a >0，函数单调递增，故f (x )≥f (0)＝0，成立；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，即x ＝ln a ，故函数在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (ln a )<f (0)＝0，不成立．综上所述，a 的取值范围为(－∞，0].21.(12分)等差数列{a n }中，S 3＝21，S 6＝24，(1)求数列{a n }的前n 项和公式S n ；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .解：(1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，由S 3＝21，S 6＝24，a 1＋3×22d ＝21，a 1＋6×52d ＝24，1＝9，＝－2.∴S n ＝n ×9＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋10n .(2)由(1)知，a n ＝9＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋11，由a n ≥0得－2n ＋11≥0，即n ≤112.当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n ；当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋…＋|a 5|＋|a 6|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝n 2－10n ＋50.综上，T nn 2＋10n (n ≤5)，2－10n ＋50(n ≥6).22.(12分)已知a ，b ∈R ，设函数f (x )＝e x －ax －b x 2＋1.(1)若b ＝0，求f (x )的单调区间；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )的最小值为0，求a ＋5b 的最大值．注：e ＝2.71828…为自然对数的底数．解：(1)f (x )＝e x －ax ，f ′(x )＝e x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，函数单调递增；当a >0时，f ′(x )＝e x －a ＝0，x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增．综上所述，a ≤0时，f (x )在R 上单调递增；a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)f (x )＝e x－ax －bx 2＋1≥0在x ∈[0，＋∞)上恒成立，＝e －12a －52b ≥0，故a ＋5b ≤2e ，现在证明存在a ，b ，a ＋5b ＝2e ，使f (x )的最小值为0.取a ＝3e 4，b ＝5e 4(此时可使f 0)，f ′(x )＝e x －a －bx x 2＋1，f ″(x )＝e x －b (x 2＋1)x 2＋1，b ＝5e 4<1，故当x ∈[0，＋∞)时，(x 2＋1)x 2＋1≥1，e x ≥1，故f ″(x )≥0，f ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，f 0，故f (x )在0f (x )min ＝0.综上所述，a ＋5b 的最大值为2 e.。
模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ABCD ＝V O ABCD ＋V O PAD ＋V O PAB ＋V O PBC ＋V O PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。
高中数学必修二模块综合测试卷(含答案)一、选择题：（共10小题，每小题5分）1. 在平面直角坐标系中，已知(1,2)A -，(3,0)B ，那么线段AB 中点的坐标为（ ） A ．(2,1)- B ． (2,1) C ．(4,2)- D ．(1,2)-2. 直线y kx =与直线21y x =+垂直，则k 等于（ ） A ．2- B ．2 C ．12-D ．133．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（ ）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4. 在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．(2,1,4)-- B ．(2,1,4)- C ．(2,1,4)--- D ．(2,1,4)- 5. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6. 下列四个命题中错误的．．．是（ ） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7. 关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α⊂，则//a α B ．若//a α，b α⊂，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b8.20y +-=截圆224x y +=得到的弦长为（ ）A ．1B ．C ．D ． 2 9. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．1主视图左视图俯视图10．如右图，定圆半径为a ，圆心为(,)b c ，则直线0ax by c ++= 与直线10x y +-=的交点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11. 点(2,0)到直线1y x =-的距离为_______.12. 已知直线a 和两个不同的平面α、β，且a α⊥，a β⊥，则α、β的位置关系是_____.13. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是________.14. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D ABC -中，给出下列三个命题：①面DBC 是等边三角形； ②AC BD ⊥； ③三棱锥D ABC -的体积是6. 其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：（共6小题）15. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。
高一数学必修2质量检测试题（卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至6页。
考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
参考公式：1)2S c c h ''+正棱台或圆台侧＝（； S ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝； 13V S S h 下台体上＝（＋；V sh 柱体＝； V sh 锥体1＝3； 343V R π球＝第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面A 、 一定平行B 、一定相交C 、平行或相交D 、一定重合 2. 两圆229x y +=和22430x y x +-+=的位置关系是Ａ、相离 Ｂ、相交 Ｃ、内切 Ｄ、外切 3. 从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为2、3、6，则它的体积为A 、6B 、36CD 、4．若点P (4,2,3)--关于坐标平面xoy 及y 轴的对称点的坐标分别是（a,b,c ）、（e,f,d ）, 则c 与e 的和为A 、7B 、－7C 、－1D 、1 5．下列命题正确的是A 、过一点作一条直线的平行平面有无数多个B 、过一点作一直线的平行直线有无数条C 、过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D 、过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行6. 若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是 A 、平行 B 、在平面内 C 、相交 D 、平行或在平面内7. 若直线2314y x k =-++与直线432x y k -=--的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是A 、62k -<<-B 、53k -<<-C 、6k <-D 、2k >- 8. 已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，以下有三种说法： ①若α∥β，β∥γ，则γ∥α； ②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β； ③若m ⊥β，m ⊥n ，n β⊆/,则n ∥β.其中正确命题的个数是 A 、3个 B 、2个 C 、 1个 D 、 0个9. 已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是 A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AC ⊥β D. AB ∥β 10. 对两条不相交的空间直线a 和b ，必定存在平面α，使得A 、,a b αα⊂⊂B 、,//a b αα⊂C 、,a b αα⊥⊥D 、,a b αα⊂⊥ 11. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 A 、10x y ++= B 、10x y +-= C 、10x y --= D 、10x y -+= 12. 若直线1x ya b +=与圆221x y +=有公共点，则 A ． 2211a b +≥1 B ．22111a b +≤C ． 221a b +≥ D ．221a b +≤二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋1，a1＝1，则此数列的第3项是()A．13B．10C．7D．42．{a n}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A．－2B．－12D．2C．123．已知函数f(x)＝3x2＋2，则f′(5)＝()A．15B．30C．32D．774．设等比数列{a n}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则S6＝()A．－63B．－21C．21D．635．函数f(x)＝xx2＋1的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)和(1，＋∞)6．数列{a n}满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．127．函数f(x)＝ln xx＋1的图象大致是()8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程可能是()A ．3x ＋y ＝0B ．24x －y －54＝0C ．9x －y －24＝0D ．12x －y －24＝010．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是()A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|<|a 5|11．在数列{a n }中，若a 2n －a 2n －1＝p (n ≥2，n ∈N *，p 为常数)，则{a n }称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列B ．若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等方差数列C ．{(－1)n }是等方差数列D ．若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列12．设f (x )＝x a ·cos x ，x ∈π6，π3的最大值为M ，则()A ．当a ＝－1时，M <3B ．当a ＝2时，M <33C ．当a ＝1时，M >32D ．当a ＝3时，M <12三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则a n ＝________.14.设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝0，则实数a ＝________.15.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R ，n ∈N *)，则q ＝______；若a 1与a 5的等差中项为8，则p ＋q ＝________.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝231.(1)求该数列中a2的值；(2)求该数列的通项公式a n.18.(12分)(1)求曲线y＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．19.(12分)设f(x)＝a ln x＋12x－32x＋1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．20.(12分)设数列{a n}满足：a1＝1，且2a n＝a n＋1＋a n－1(n≥2)，a3＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)n项和．21.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝13，a na n＋1＝2a n＋1(n∈N*且n≥2)．(1)(2)n项和T n.22.(12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．人教版高中数学选择性必修第二册全册模块综合检测1(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，则此数列的第3项是()A ．13B ．10C ．7D ．4A解析：因为a n ＋1＝3a n ＋1，a 1＝1，所以a 2＝3a 1＋1＝3×1＋1＝4，所以a 3＝3a 2＋1＝3×4＋1＝13.故选A ．2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝()A ．－2B ．－12C ．12D ．2B解析：∵a 7－2a 4＝－1，∴a 3＋4d －2(a 3＋d )＝－1，∴4d －2d ＝－1，∴d ＝－12.3．已知函数f (x )＝3x 2＋2，则f ′(5)＝()A ．15B ．30C ．32D ．77B解析：依题意f ′(x )＝6x ，所以f ′(5)＝30.故选B ．4．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则S 6＝()A ．－63B ．－21C ．21D ．63B解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，1＋a 1q ＝－1，1－a 1q 2＝－3，1＝1，＝－2，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝1－643＝－21.故选B ．5．函数f (x )＝xx 2＋1的单调递增区间是()A ．(－∞，－1)B ．(－1,1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)和(1，＋∞)B解析：f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＝x 2＋1－2x ·x (x 2＋1)2＝1－x 2(x 2＋1)2＝(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，所以当－1<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的单调递增区间为(－1,1)．故选B ．6．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1025的最小n 值是()A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：数列{log 2a n }是以0为首项，公差为1的等差数列，log 2a n ＝0＋(n －1)×1＝n －1，a n＝2n －1，Sn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1>1025，2n >1026.因为210＝1024,211＝2048，所以，最小n 值是11.选C ．7．函数f (x )＝ln xx ＋1的图象大致是()C解析：由f (x )＝ln xx ＋1，得f ′(x )＝1＋1x －ln x(x ＋1)2(x >0)．令g (x )＝1＋1x－ln x ，则g ′(x )＝－1x 2－1x ＝－1＋x x 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1＋1e 2－ln e 2＝1e 2－1<0，所以存在x 0∈(e ，e 2)，使得g (x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减．故选C ．8．函数f (x )＝ln x ＋ax 有小于1的极值点，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)B ．(－∞，－1)C ．(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B解析：因为f(x)＝ln x＋ax，所以函数定义域为{x|x>0}．由f′(x)＝1x＋a＝0，得a≠0，x＝－1a.又函数f(x)＝ln x＋ax有小于1的极值点，所以－1a<1且a<0，所以a<－1.故选B．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程可能是()A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0C．9x－y－24＝0D．12x－y－24＝0AB解析：∵y′＝3x2－3.设曲线的切点为(x0，y0)，则k＝3x20－3，y0＝x30－3x0.∴切线方程为y－(x30－3x0)＝(3x20－3)(x－x0)．又切线经过点P(2，－6)，则－6－(x30－3x0)＝(3x20－3)(2－x0)，解得x0＝0或x0＝3，∴切点为(0,0)时，切线方程为3x＋y＝0；切点为(3,18)时，切线方程为24x－y－54＝0.10．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正确的是() A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|<|a5|AC解析：设等差数列{a n}的公差为d，则a1＋3(a1＋4d)＝7a1＋21d，解得a1＝－3d，所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－4)d，所以a4＝0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于无法确定d的正负，故S3可能为最大值，也可能为最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝0，所以a3＝－a5，即|a3|＝|a5|，故D不正确．故选AC．11．在数列{a n}中，若a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{a n}称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a kn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列ACD解析：对于A，{a n}是等方差数列，可得a2n－a2n－1＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，即有{a2n}是首项为a21，公差为d的等差数列，故正确；对于B，例如：数列{n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B不正确；对于C，数列{(－1)n}中，a2n－a2n－1＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N)，所以数列{(－1)n}是等方差数列，故C正确；对于D,数列{a n}中的项列举出来是：a1，a2，…，a k…，a2k，…，数列{a kn}中的项列举出来是：a k，a2k，a3k，….∵a2kn＋k－a2kn＋k－1＝a2kn＋k－1－a2kn＋k－2＝…＝a2kn＋1－a2kn＝p，∴a2kn＋k－a2kn＝(a2kn＋k－a2kn＋k－1)＋(a2kn＋k－1－a2kn＋k－2)＋…＋(a2kn＋1－a2kn)＝kp，∴a2k(n＋1)－a2kn＝kp,所以，数列{a kn}是等方差数列，故D 正确．故选ACD．12．设f(x)＝x a·cos x，x∈π6，π3的最大值为M，则()A．当a＝－1时，M<3B．当a＝2时，M<33C．当a＝1时，M>32D．当a＝3时，M<12AB解析：对于选项A，当a＝－1时，f(x)＝cos xx在区间π6，π3上递减，所以M＝cosπ6π6＝33π<3，故选项A正确．对于选项B，当a＝2时，f(x)＝x2·cos x，则f′(x)＝x cos x(2－xtanx)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，即M＝π218<33，故选项B正确．对于选项C，当a＝1时，x<tan x恒成立，所以f(x)＝x cos x<tan x cos x＝sin x≤32，所以M<32，故选项C 错误．对于选项D，当a＝3时，f(x)＝x3·cos x，则f′(x)＝x2cos x(3－xtan x)>0，∴f(x)在区间π6，π3上递增，∴M＝12·>12，故选项D错误．故选AB．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，S99－S55＝－4，则a n＝________.－2n＋11解析：设公差为d，因为S99－S55＝－4，所以4d－2d＝－4，即d＝－2.所以a n＝a1＋(n－1)d＝9－2(n－1)＝－2n＋11.14.设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0，则实数a＝________.－2解析：因为点P(1，f(1))在该切线上，所以f(1)＝－1，则f(1)＝1＋a＝－1，解得a＝－2.15.已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－2n＋q(p，q∈R，n∈N*)，则q＝______；若a1与a5的等差中项为8，则p＋q＝________.02解析：由等差数列的性质可得q＝0.又a1与a5的等差中项为8，所以a1＋a5＝16，即S5＝(a1＋a5)×52＝40，所以25p－10＝40，解得p＝2，即p＋q＝2＋0＝2.16.设a ，b ∈R ，若x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ≤(x 2－1)2，则ab 等于________．－1解析：验证发现，当x ＝1时，将1代入不等式有0≤a ＋b ≤0，所以a ＋b ＝0，当x ＝0时，可得0≤b ≤1，结合a ＋b ＝0可得－1≤a ≤0.令f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b ，即f (1)＝a ＋b ＝0.又f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a ，f ′′(x )＝12x 2－6x ，令f ′′(x )＞0，可得x ＞12，则f ′(x )＝4x 3－3x 2＋a 在0，12上递减，在12，＋∞上递增．又－1≤a ≤0，所以f ′(0)＝a ＜0，f ′(1)＝1＋a ≥0.又x ≥0时恒有0≤x 4－x 3＋ax ＋b ，结合f (1)＝a ＋b ＝0知，1必为函数f (x )＝x 4－x 3＋ax ＋b 的极小值点，也是最小值点．故有f ′(1)＝1＋a ＝0，由此得a ＝－1，b ＝1.所以ab ＝－1.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝231.(1)求该数列中a 2的值；(2)求该数列的通项公式a n .解：(1)由等差数列性质得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝21，∴a 2＝7.(2)设等差数列公差为d ，∴a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2·(a 2＋d )＝7(7－d )(7＋d )＝7(49－d 2)＝231.解得d ＝±4，∴a n ＝a 2＋(n －2)d ，即a n ＝4n －1或a n ＝－4n ＋15.18.(12分)(1)求曲线y ＝1x在点(－1，－1)处的切线方程；(2)求经过点(4,0)且与曲线y ＝1x 相切的直线方程．解：∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)当x ＝－1时，得在点(－1，－1)处的切线的斜率为－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.(2)设切点为x 0，1x 0，则切线的斜率为－1x 20，∴切线方程为y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)，∵切线过点(4,0)，∴－1x 0＝－1x 20(4－x 0)，解得x 0＝2，∴所求切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0.19.(12分)设f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处取得极值．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间和极值．解：(1)因为f (x )＝a ln x ＋12x －32x ＋1，所以f ′(x )＝a x －12x 2－32.由f ′(1)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.(2)由(1)可知，f (x )＝2ln x ＋12x －32x ＋1，f ′(x )＝－(3x －1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝13，x 2＝1，又因为函数f (x )定义域为(0，＋∞)，所以f (x )(1，＋∞)故f (x )的极大值为f (1)＝0，f (x )的极小值为2－2ln 3.20.(12分)设数列{a n }满足：a 1＝1，且2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)，a 3＋a 4＝12.(1)求{a n }的通项公式；(2)n 项和．解：(1)由2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)可知数列{a n }是等差数列，设公差为d ，因为a 1＝1，所以a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝12，解得d ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知1a n a n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝n 项和S n …＋＋13－12n ＋1－＝13－n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3).21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝13，a na n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *且n ≥2)．(1)(2)n 项和T n .(1)证明：因为a na n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＝a n ＋1＋2a n a n ＋1，即a n －a n ＋1＝2a n a n ＋1，等式两边同时除以a n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝2(n ≥2)，且1a 2－1a 1＝2，1，公差为2的等差数列．(2)解：由(1)得1a n ＝2n －1，3na n ＝(2n －1)3n ，则T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)3n ①，3T n ＝1×32＋…＋(2n －3)3n ＋(2n －1)3n ＋1②，①－②得－2T n ＝3＋2(32＋…＋3n )－(2n －1)3n ＋1＝3＋2×9×(1－3n －1)1－3－(2n －1)3n ＋1＝2(1－n )3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)3n ＋1＋3.22.(12分)已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )·e x 的导数为f ′(x )＝e x (2－x 2)．由f′(x)＞0，解得－2<x<2，由f′(x)＜0，解得x＜－2或x> 2.即有函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2)．(2)函数f(x)＝(－x2＋ax)·e x的导数为f′(x)＝e x[a－x2＋(a－2)x]．由函数f(x)在(－1,1)上单调递增，则有f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，即为a－x2＋(a－2)x≥0，即有x2－(a－2)x－a≤0，则有1＋(a－2)－a≤0且1－(a－2)－a≤0，解得a≥3 2，则a的取值范围为3 2，＋。
模块综合检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．直线x＝tan 60°的倾斜角是()A．90°B．60°C．30°D．不存在2．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥nB．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．已知三棱锥S—ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．π B．2π C．3π D．4π6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°7．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝08．以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，将△ABC 折成二面角C －AD －B 为多大时，在折成的图形中，△ABC 为等边三角形．( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线是( ) A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y ＝1C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y 10．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B ．12或32C ．2或0D ．－2或011．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°12．在平面直角坐标系中，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A(－2,3,4)，在y 轴上有一点B ，且|AB|＝35，则点B 的坐标为________． 14．圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称，则k ＝________． 15．如图，某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积为________．16．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0，若圆C 和坐标轴的交点间的线段恰为圆C′直径，则圆C′的标准方程为__________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0．求AC边上的高所在的直线方程．18．(12分)求经过点P(6，－4)且被定圆O：x2＋y2＝20截得的弦长为62的直线AB 的方程．19．(12分) 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC 的中点，求证PA∥平面EDB．20．(12分)如图所示，在四棱柱(侧棱垂直于底面的四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ．(1)求证D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由．21．(12分)已知M 与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为12．(1)求M 点的轨迹方程；(2)若M 的轨迹为曲线C ，求C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C′的方程．22．(12分) 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°．PD 垂直底面ABCD ，PD ＝22R ，E ，F 分别是PB ，CD 上的点，且PE EB ＝DFFC，过点E 作BC 的平行线交PC 于G ．(1)求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值； (2)证明：△EFG 是直角三角形； (3)当PE EB ＝12时，求△EFG 的面积．模块综合检测(A) 答案1．A2．D [①忽视两直线可以相交，②可以相交、平行，③l 1、l 2可以异面、相交，④与l 1、l 2都相交的两直线可以相交，故选D ．]3．B [注意到直线的斜率a 与在y 轴上的截距1a 同号，故B 正确．]4．D5．D [∵SO ⊥底面ABC ，∴SO 为三棱锥的高线，∴SO ＝r ，又∵O 在AB 上，AB ＝2r ，AC ＝2r ，∠ACB ＝90° ∴BC ＝2r ，∴V S －ABC ＝13×12×2r×2r×r ＝13r 3．又∵球的体积V ＝43πr 3，∴VV S －ABC ＝43πr 313r 3＝4π．] 6．B [连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，∵E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点， ∴EF ∥12A 1B ，GH ∥12BC 1，∴∠A 1BC 1即为异面直线EF 与GH 所成的角． 又∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体 ∴A 1B ＝BC 1＝A 1C 1， ∴∠A 1BC 1＝60°．]7．D [直线x －2y ＋1＝0与x ＝1的交点为A(1,1)，点(－1,0)关于x ＝1的对称点为B(3,0)也在所求直线上，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0．]8．A[关键利用折叠前后不变的垂直关系，如图所示，可知∠BDC 为二面角的平面角，设 BD ＝CD ＝a ，则可求BC ＝AB ＝AC ＝2a ，故∠BDC ＝90°．] 9．D [截距相等问题关键不要忽略过原点的情况．] 10．C [圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5， 则圆心为(1,2)．由点到直线的距离公式得d ＝|1－2＋a|2＝22，解得a ＝2或0．]11．C [可先求出圆心到直线的距离d ＝3，由于半径为2，设圆心角为θ，则知 cos θ2＝32，∴θ＝60°．] 12．B [满足要求的直线应为圆心分别为A 、B ，半径为1和2的两圆的公切线，而圆A 与圆B 相交，所以公切线有两条．]13．(0,8,0)或(0，－2,0) 14．2解析 由已知可知PQ 的垂直平分线为kx －y ＋4＝0， ∴直线kx －y ＋4＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－12，3， ∴－12k ＋1＝0，k ＝2．15．36π 解析 由三视图可知，该几何体是半个圆锥，底面半径为1，高为3，故体积为16π×12×3＝36π． 16．x 2＋(y －3)2＝1解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋8＝0与x 轴没有交点，只与y 轴相交，取x ＝0，得y 2－6y ＋8＝0解得两交点分别为(0,2)和(0,4)，由此得圆C′的圆心坐标为(0,3)，半径为1，所以标准方程为x 2＋(y －3)2＝1．17．解 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋12＝04x －3y ＋16＝0，解得交点B(－4,0)，∵BD ⊥AC ，∴k BD ＝－1k AC ＝12，∴AC 边上的高线BD 的方程为y＝12(x＋4)，即x－2y＋4＝0．18．解由题意知，直线AB的斜率存在，且|AB|＝62，OA＝25，作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，|OC|＝20－(32)2＝2．设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y＋4＝k(x－6)，即kx－y－6k－4＝0．∵圆心到直线的距离为2，∴|6k＋4|1＋k2＝2，即17k2＋24k＋7＝0，∴k＝－1或k＝－717．故所求直线的方程为x＋y－2＝0或7x＋17y＋26＝0．19．证明如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，因为四边形ABCD为正方形，所以O 为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE为△PAC的中位线，所以EO∥PA，又EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．20．(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．∵AD，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC 1⊂平面ADC 1， ∴D 1C ⊥AC 1． (2)解在DC 上取一点E ，连接AD 1，AE ，设AD 1∩A 1D ＝M ，BD∩AE ＝N ，连接MN ， ∵平面AD 1E∩平面A 1BD ＝MN ，要使D 1E ∥平面A 1BD ，须使MN ∥D 1E ，又M 是AD 1的中点．∴N 是AE 的中点． 又易知△ABN ≌△EDN ， ∴AB ＝DE ． 即E 是DC 的中点．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ． 21．解 (1)设M 坐标为(x ，y)，由题意得x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4． 所以M 点的轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4． (2)因为曲线C ：(x ＋1)2＋y 2＝4，所以C 关于直线2x ＋y －4＝0对称的曲线C′是与C 半径相同的圆，故只需求C′的圆心坐标即可，设C′的圆心坐标(x 0，y 0)．由题意得⎩⎨⎧y 0x 0＋1＝122·x 0－12＋y2－4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝195y 0＝125．故曲线C′的方程为⎝⎛⎭⎫x －1952＋⎝⎛⎭⎫y －1252＝4． 22．(1)解 在Rt △BAD 中，∵∠ABD ＝60°，∴AB ＝R ，AD ＝3R ． 而PD 垂直底面ABCD ，PA ＝PD 2＋AD 2＝(22R)2＋(3R)2＝11R ， PB ＝PD 2＋BD 2＝(22R)2＋(2R)2＝23R ．在△PAB 中，PA 2＋AB 2＝PB 2，即△PAB 是以∠PAB 为直角的三角形，设点D 到面PAB 的距离为h ，由V P —ABD ＝V D —PAB 有PA·AB·h ＝AB·AD·PD ，即h ＝AD·PD PA ＝3R·22R 11R ＝26611R ，∴sin θ＝h BD ＝6611．(2)证明 ∵EG ∥BC ，∴PE EB ＝PG GC ．而PE EB ＝DFFC ，∴PG GC ＝DFFC，∴GF ∥PD ， ∴GF ⊥BC ．而BC ∥EG ， ∴GF ⊥EG ，∴△EFG 是直角三角形．(3)解 当PE EB ＝12时，EG BC ＝PE PB ＝13，GF PD ＝CF CD ＝23，即EG ＝13BC ＝13×2R×sin45°＝23R ，GF ＝23PD ＝23×22R ＝423R ，∴S △EFG ＝12EG·GF ＝12×23R×423R ＝49R 2．。
模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．如图所示，桌面上放着一个圆锥和一个长方体，其俯视图是( )2．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1B ．12C ．13D ．163．直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则m 等于( ) A ．1B ．2C ．－12D ．2或－124．直线4x －3y －2＝0与圆x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－12＝0总有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．－3<a <7B ．－6<a <4C ．－7<a <3D ．－21<a <195．若P 为平面α外一点，则下列说法正确的是( ) A ．过P 只能作一条直线与平面α相交 B ．过P 可能作无数条直线与平面α垂直 C ．过P 只能作一条直线与平面α平行 D ．过P 可作无数条直线与平面α平行6．连接平面外一点P 和平面α内不共线的三点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1分别在P A ，PB ，PC 的延长线上，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1与平面α分别交于D ，E ，F ，则D ，E ，F 三点( )A ．成钝角三角形B ．成锐角三角形C ．成直角三角形D ．共线7．在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫85，65 B ．⎝⎛⎭⎫85，－65 C ．⎝⎛⎭⎫－85，65D ．⎝⎛⎭⎫－85，－65 8．矩形ABCD 的对角线AC ，BD 成60°角，把矩形所在的平面以AC 为折痕，折成一个直二面角D －AC －B ，连接BD ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为( )A ．710B ．217C ．32D ．729．若⊙C 1：x 2＋y 2－2mx ＋m 2＝4和⊙C 2：x 2＋y 2＋2x －4my ＝8－4m 2相交，则m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－125，－25 B ．(0,2) C ．⎝⎛⎭⎫－125，－25∪(0,2)D ．⎝⎛⎭⎫－125，2 10．已知点P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的切线，A 为切点，则|P A |的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 211．二面角α－l －β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥l 于B ，AB ＝2，在平面β内，CD ⊥l 于D ，CD ＝3，BD ＝1，M 为棱l 上的一个动点，则AM ＋CM 的最小值为( )A ．2 5B ．2 2C ．2 6D ．2612．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC ＝30°，则此几何体的体积为________．14．P (0，－1)在直线ax ＋y －b ＝0上的射影为Q (1,0)，则ax －y ＋b ＝0关于x ＋y －1＝0对称的直线方程为________．15．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．16．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：(1)过点P与直线l平行的直线方程；(2)过点P与直线l垂直的直线方程．18．(12分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D 为PB的中点，且△PMB为正三角形．求证：(1)DM∥平面APC；(2)平面ABC⊥平面APC．19．(12分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)20．(12分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．21．(12分)从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．22．(12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．模块综合检测(C) 答案1．D 2．D3．D [令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1，所以m ＝2或m ＝－12．]4．B [将圆的方程化为(x －a )2＋(y ＋2)2＝16． 圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|5．∵直线与圆有两个不同交点，∴d <4，即|4a ＋4|5<4，得－6<a <4，故选B ．] 5．D6．D [因为D ，E ，F 都在平面A 1B 1C 1与平面α的交线上．] 7．A [经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎨⎧x ＝－85，y ＝－65画出图形，可以判断点⎝⎛⎭⎫85，65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎫－85，－65是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．]8．B9．C [圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m )，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<|C 1C 2|<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－125<m <－25或0<m <2．]10．D [圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使|P A |最小，只需|PC |最小，|PC |min＝|3＋4＋8|32＋42＝3．故|P A |min ＝32－12＝22．]11．D [将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．连接AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2＋(AB ＋CD )2＝26．] 12．C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立， 等价于c ≥[－(x ＋y )]max ． 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b ．∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1，解得，－2－1≤b ≤2－1．∴c ≥2－1．] 13．56πR 3解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32R 2·2R ＝π2R 3，∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3．14．x －y ＋1＝0解析 ∵k PQ ·(－a )＝－1，∴a ＝1，Q (1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入 ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直， ∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 15．x 2＋y 2＝4解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°，∴∠APO ＝30°，∴|PO |＝2|OA |＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 16．(2)(3)(4)解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 17．解 (1)设所求直线的方程是3x －y ＋m ＝0(m ≠－7)， ∵点P (－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，∴m ＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P (－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0． 18．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM ∥AP ．又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC ．(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点，∴DM ⊥PB ． 又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ．又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．19．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝12 cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝⎛⎭⎫1－122＝52(cm)，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为12cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝13(S 上＋S下＋S 上·S 下)h ′＋S底面·h ＝13⎣⎡⎦⎤π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫122×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)．该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r )·l ＋2πRh ＝π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354π(cm 2)．∴该几何体的体积为1312πcm 3，表面积为9＋354πcm 2．20．解 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0① 将P ，Q 坐标代入①得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④ 据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根． 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48 ⑤ 解由②③⑤组成的方程组得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，将②式代入得a 2－6a ＋5＝0． 所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37，即 (x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．21．解 设B (1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－6x 0－1·1＝－1，x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4.∴B ′(3,4)．依题意知B ′在入射光线上． 又A (－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0． 22．(1)证明 ∵圆C 过原点O ， ∴r 2＝t 2＋4t2．设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ． ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12．∴直线OC 的方程是y ＝12x ．∴2t ＝12t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5．。
模块综合检测(二)(时间分钟，满分分)一、选择题(共小题，每小题分，共分)．若直线＋＋＝与直线＋(－)＝－＋平行，则实数＝( )．．－．－或．－或解析：选因两直线平行，所以(－)－×＝，解得＝或＝－.经检验，当＝－时，两直线重合，故选.．若空间直角坐标系中，轴上一点到点()的距离为，则点的坐标为( )．()．()．()或()．()解析：选由题意，设()，则＝＝，解得＝或＝.．直线：＋＝和圆：＋＋＋＝在同一坐标系的图形只能是( )解析：选可知圆心，半径＝，则圆心到直线的距离为＝＝＝，∴直线与圆相切，由此排除，，，选.．已知圆：(＋)＋(－)＝，圆与圆关于直线：－－＝对称，则圆的方程为( )．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(－)＋(－)＝解析：选可知(－)，直线的斜率为，设圆的圆心坐标为(，)，则＝，线段的中点为.∵圆与圆关于直线对称，∴线段被直线垂直平分，∴有(\\((－＋)·＝－，,(－)－(＋)－＝，))解得(\\(＝，＝－，))∴圆的方程为(－)＋(＋)＝，故选.．面积为的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为( )．π．π．π．π解析：选设正方形边长为，则＝，侧＝π··＝π.．关于直线，与平面α，β，有下列四个命题：①∥α，∥β且α∥β，则∥；②⊥α，⊥β且α⊥β，则⊥；③⊥α，∥β且α∥β，则⊥；④∥α，⊥β且α⊥β，则∥.其中真命题的序号是( )．③④．①②．②③．①④解析：选对于①，与可能平行，可能相交，也可能异面，所以①是假命题；②是真命题；对于③，⊥α，α∥β⇒⊥β，若∥β，必有⊥，所以③是真命题，从而④是假命题，故选.．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )解析：选由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为＝××π××＝.．正六棱柱的底面边长为，最长的一条对角线长为，则它的表面积为( )．(＋)．(＋)．(＋)．(＋)选解析：示，如图所＋××＝＋＝××＋)．＝(．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则一定为△的( )．外心．垂心．重心．内心解析：选若三棱柱的三个侧面两两垂直，则三条侧棱两两垂直(可以证明，略)，根据线面垂直的判定与性质可知，一定为△的垂心．．已知△是等腰直角三角形，∠＝°，⊥，为垂足，以为折痕，将△和△折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：。
模块综合检测卷(测试时间:120分钟评价分值：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数错误!＝（A）A．1－i B．－1＋iC。
错误!＋错误!i D．－错误!＋错误!i解析：错误!＝错误!＝错误!＝1－i，故选A.2．i是虚数单位,在复平面上复数错误!对应的点到原点的距离是(D）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析：错误!＝错误!＝错误!，所以复数错误!在复平面上对应的点为错误!，它到原点的距离为错误!＝错误!。
故选D.3．(2015·广东江门调研)i是虚数单位,则(32i－错误!）(－错误!＋错误!i)＝（D)A．1 B．－错误!＋错误!iC.错误!－错误!i D．－错误!－错误!i解析：错误!错误!＝－错误!i－错误!＋错误!－错误!i＝－错误!－错误!i。
故选D.4．数列2，5,11，20，x,47,…中的x等于(B）A．28 B．32 C．33 D．27解析：由题中数字可发现：2＋3＝5，5＋6＝11,11＋9＝20，故20＋12＝32.5．(2015·海南省海南中学5月模拟改编)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1，3），则实数b的值为(C)A．1 B．－3 C．3 D．－1解析：y′＝3x2＋a，所以有错误!解得错误!故选C.6．（2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根"时，要做的假设是（A）A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析:反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根"的否定是“没有”,故选A.7．在复平面内，若复数z满足|z＋1｜＝｜1＋i z｜，则z在复平面内对应点的轨迹是（A)A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线解析：设z＝x＋y i（x、y∈R)，｜x＋1＋y i｜＝错误!,｜1＋i z|＝|1＋i（x＋y i）｜＝错误!,则错误!＝错误!.∴复数z＝x＋y i对应点（x，y）的轨迹为到点（－1，0）和（0,1)距离相等的直线．8．如图，阴影部分面积为(B)解析：9．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒解析:s′(t)＝2t－1，s′(3)＝2×3－1＝5.10．（2015·安徽江淮十校4月联考）二次函数f（x）的图像经过点错误!，且f′(x)＝－x－1，则不等式f(10x）〉0的解集为（D）A．(－3，1）B．（－lg3，0）C.错误!D．（－∞，0）解析:由f′（x）＝－x－1知f（x)＝－x2－x＋m,又f（0）＝错误!,所以m＝错误!，即f（x)＝－错误!x2－x＋错误!，f（x)＝－错误!x2－x＋错误!〉0⇒－3〈x〈1，所以10x<1，x<0,故选D。
模块检测(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·湖北高考)用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④解析 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．答案 C2．直线2x －y ＋3＝0的倾斜角所在区间是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析 由直线方程得其斜率k ＝2，又k ＞1，∴倾斜角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.故选B.答案 B3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233解析 该几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，则其体积为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233，所以该几何体的体积为2π＋233.答案 C4．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为( )．A ．(0，2，0)B ．(0，2，3)C ．(1,0，3)D ．(1，2，0)解析 根据空间直角坐标系的概念知，yOz 平面上点Q 的x 坐标为0，y 坐标、z 坐标与点P 的y 坐标2，z 坐标3分别相等，∴Q (0，2，3)．故选B. 答案 B5．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是M (1,2)，则直线PQ 的方程是( )． A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0 解析 由题意知k OM ＝2－01－0＝2，∴k PQ ＝－12，∴直线PQ 的方程为：y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.故选B. 答案 B6．直线l 通过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且点(5,1)到l 的距离为10，则l 的方程是( )．A ．3x ＋y ＋4＝0B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y －24＝0，x －y ＝0.得交点(2,2)，设l 的方程为y －2＝k (x －2)， 即kx －y ＋2－2k ＝0， ∴|5k －1＋2－2k |k 2＋－2＝10，解得k ＝3.∴l 的方程为3x －y －4＝0.故选C. 答案 C7．(2010·课标全国高考)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 2解析 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径R ＝OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故S球＝4πR 2＝73πa 2. 答案 B8．若直线x a ＋y b＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( )． A ．a 2＋b 2≤1 B．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1解析 直线x a ＋y b＝1与圆x 2＋y 2＝1有公共点，因此圆心(0,0)到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离应小于等于1. ∴|－ab |a 2＋b2≤1，∴1a 2＋1b2≥1.故选D. 答案 D9．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )． A ．30° B．45° C．60° D．90°解析 过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求， 又 tan ∠ADE ＝AEDE＝3， 故∠ADE ＝60°.故选C. 答案 C10．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )． A.85 B.25 C.285 D.125解析 因为点M (－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0. 因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0. 所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋－2＝125.故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为________．解析 由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ， 如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO ＝12×2×22＝2 2.答案 2 212．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________． 解析 k ＝tan α＝2a －＋a 3－－a ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0， 即(a －1)(a ＋2)＜0. ∴－2＜a ＜1. 答案 (－2,1)13．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是________．解析 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y |＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y |＋1. 答案 x 2＝2|y |＋1.14．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，以正方体的三条棱DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，若点P 在正方体的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则下列点P 的坐标①(1,1,1)，②(0,1,0)，③(1,1,0)，④(0,1,1)，⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，12中正确的是________．解析 ∵点P 在正方体的侧面BCC 1B 1及其边界上运动，BD 1是定线段，AP ⊥BD 1，∴直线AP 在与直线BD 1垂直的平面内运动，连接AB 1，AC 得平面ACB 1，与平面BCC 1B 1的交线为CB 1，点P 的轨迹是线段CB 1，故正确的结论有①②⑤. 答案 ①②⑤三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图．(单位：cm)(1)求该多面体的体积；(2)在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥面EFG . (1)解 所求多面体体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥＝4×4×6－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843(cm 3)．(2)证明 在长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，连结AD ′， 则AD ′∥BC ′.因为E ，G 分别为AA ′，A ′D ′中点，所以AD ′∥EG ， 从而EG ∥BC ′.又BC ′⊄平面EFG ，所以BC ′∥面EFG .16．(10分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0，若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程．解 由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知圆心为(－1,2)，半径为 2. 当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则|k ＋2|k 2＋1＝2，∴k ＝2±6，即切线方程为y ＝(2±6)x . 当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ， 则|－1＋2－a |2＝ 2. ∴a ＝－1或a ＝3，即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. ∴切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.17．(10分)过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程． 解 法一 设点A (x ，y )在l 1上，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B2＝3，y ＋yB2＝0，∴点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，－x ＋－y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163.∴k ＝163－0113－3＝8.∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.法二 设所求的直线方程为y ＝k (x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6kk ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 又∵当k ＝0时，x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 18．(12分)如图所示，已知直二面角αAB β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4，PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小； (2)四面体PCDQ 的体积．解 (1)如图，在平面β内，作CE 綉DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边形，所以EQ 綉CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)． ∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C . ∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°， ∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°， ∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23， DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt △CDQ 中，CD ＝CQ 2－DQ 2＝12－4＝22，从而EQ ＝2 2. ∵QD ⊥AB ，且四边形CDQE 为平行四边形， ∴QE ⊥CE .又PC ⊥β，EQ ⊂β，∴EQ ⊥PC .故EQ ⊥平面PCE ，从而EQ ⊥PE . 在Rt △PEQ 中，cos ∠PQE ＝EQ PQ ＝224＝22. ∴∠PQE ＝45°，即直线PQ 与CD 所成角的大小为45°. (2)在Rt △PCQ 中，PQ ＝4，∠PQC ＝30°，∴PC ＝2.而S △CDQ ＝12CD ·DQ ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ 的体积为V ＝13S △CDQ ·PC ＝13×22×2＝432.19．(12分)如图所示，在正三棱柱(底面是正三角形，侧棱和底面垂直的三棱柱)ABC A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1，D 是BC 上的一点，且AD ⊥C 1D .(1)求证：A 1B ∥平面AC 1D ；(2)在棱CC 1上是否存在一点P ，使直线PB 1⊥平面AC 1D ？若存在，找出这个点，并加以证明：若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ， ∴CC 1⊥AD .又AD ⊥C 1D ，CC 1∩C 1D ＝C 1，∴AD ⊥平面BCC 1B 1， ∴AD ⊥BC ，∴D 是BC 的中点．连接A 1C ，设与AC 1相交于点E ，则点E 为A 1C 的中点． 连接DE ，则在△A 1BC 中， ∵D 、E 分别是BC 、A 1C 的中点， ∴A 1B ∥DE .又DE 在平面AC 1D 内，A 1B 不在平面AC 1D 内， ∴A 1B ∥平面AC 1D .(2)解 存在这样的点P ，且点P 为CC 1的中点．下面给出证明：由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，故B 1P ⊥AD .设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，所以B1P⊥C1D.因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D.。
(A )(B )△(D)必修2模块检测题(一)%1.选择题：1.如果一个球的球面面积膨胀为原来的三倍，则膨胀后球的体积变成原来的( )(A)V3倍(B) 2舲倍(C) 3舲倍(D) 4倍2.直线/与直线y=l, x—y—1=0分别交于P、0两点，线段P0的中点为(1, -1),则直线/的斜率为( )3 2 3(B)—(C) -- (D)--2 3 23.已知一个正六棱锥的体积为12,底面边长为2,则它的侧棱长为( )(A) 4 (B)(C) V6 (D) 234.直线x~2y+2k=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么实数斤的取值范围是( )(A) k^l (B) EW —1 (C) —1WEW1 且(D) kW — 1 或k^l5.如图在正方形AS1S2S3中，E、F分别是边S1S2、S2S3的中点，D是EF的中点，沿AE、EF、AF把这个正方形折成一个几何体，使三点Si、S2、S3重合于一点S, 下面有5个结论：① AS丄平面SEF；② AD丄平面SEF；③SF丄平面AEF-,④EF 丄平面SAD；⑤SD丄平面AEFo其中正确的是( )⑷①③(B)②⑤(C)①④(D)②④36.若直线过点P( —3,—亍)，且被圆X2+/=25截得的弦长是8,则这条直线的方程是( )8.当点P在圆x~+y2=l上运动时，它与定点0(3, 0)的连线的中点M的轨迹方程是( )(A) (_r+3)2+y2=l (B) (x—3)2+y2=l(C)(2x—3)2+4y2=l (D) (2x+3)2+4y2=l9.在棱长为1的正方体上，分别用过有公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩余的凸多面体的体积是( )⑷- (B) - (C) - (D)-3 7 5 610.从点％", 3)向圆C： (x+2)2+(.y+2)2=l引切线，则切线长的最小值是( )(A) 2^6 (B) 5(C)履(D) 4+V211.圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )(A) 81 兀 (B) 100兀(C) 14n (D) 169兀12.与圆/+于一4x+6y+3=0同心且经过点(一1, 1)的圆的方程是( )(A) (x—2)2+®+3)2=25 (B) (x+2)2+(y—3)2=25(C) (x—2)2+(y+3)2=5 (D) (x+2)2+(y—3)2=5%1.填空题：13.已知曲线Ci：”+于+2也+(4好10)尸10好20=0伙工一1),当丘取不同值时，曲线C表示不同的圆, 且这些圆的圆心共线，则这条直线的方程是_______________________ O14.已知“7、n是不同的直线，a、P是不重合的平面，给出下列命题：① 若a//®, "?ua, “U0,则ml In-,②若m, nua, n//^>,则a//p；③ 若mA.a,"丄|3, mlln,则a//p；④若加，n是两条异面直线，ml la, m//^, "//a, n//^,则a//p»其中真命题的序号是o15.若点P在坐标平面xOy内，点A的坐标为(0, 0, 4),且d(P, A)=5,则点P的轨迹方程是_________________________ »16.如图，已知底面半径为r的圆柱被截后剩下部分的体积是 ____________________ 。
三、模块验收评估(教师用书独具)- -考前热身自评 ,学习效果心知肚明一、选择题(本大题共10小题 ,每题5分 ,共50分)1．一个长方体去掉一个小长方体 ,所得几何体的正视图与侧视图分别如下图 ,那么该几何体的俯视图为( )解析：选C 由几何体的正视图、侧视图 ,结合题意 ,可知选C.2．如图是一个几何体的三视图 ,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4 ,腰长为4的等腰梯形 ,那么该几何体的侧面积是( )A．6πB．12πC．18π D．24π解析：选B ∵正视图和侧视图都是等腰梯形 ,俯视图是一个圆环 ,∴该几可体是一个圆台 ,且圆台的上、下底半径分别为1和2 ,母线为4 ,∴S侧＝π(r＋r′)l＝π·(1＋2)×4＝12π.3．一个球的内接正方体的外表积为54 ,那么球的外表积为( )A．27π B．18πC．9π D．54π解析：选A 设正方体的棱长为a ,球的半径为r ,那么6a2＝54 ,∴a＝3.又∵2r＝3a ,∴r ＝32a ＝332, ∴S 表＝4πr 2＝4π×274＝27π.4． 高为3的直棱柱ABC －A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如下图) ,那么三棱锥B ′－ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析：选D V B ′－ABC ＝13·S △ABC ·h ＝13×34×3＝34.5． 直线l 1经过两点(－1 ,－2) ,(－1,4) ,直线l 2经过两点(2,1) ,(x,6) ,且l 1∥l 2 ,那么x ＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．1解析：选A 因为直线l 1经过两点(－1 ,－2) ,(－1,4) ,所以直线l 1的倾斜角为π2.而l 1∥l 2 ,所以 ,直线l 2的倾斜角也为π2,又直线l 2经过两点(2,1) ,(x,6) ,所以 ,x ＝2.6．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图 ,那么其体积等于( )A ．6B ．2 C. 3D ．2 3解析：选C 由正视图可知该三棱柱的底面边长为2 ,棱柱的高为1 ,故其体积V ＝12×2×3×1＝ 3.7． 直线x ＋ky ＝0,2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0交于一点 ,那么k 的值是( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0x －y －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1 y ＝－2那么点(－1 ,－2)在直线x＋ky ＝0上 ,得k ＝－12.8．圆：x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆：x 2＋y 2－6x ＝0交于A ,B 两点 ,那么AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0解析：选 C AB 的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线 ,两圆的圆心为(2 ,－3) ,(3,0) ,那么所求直线的方程为y －0－3－0＝x －32－3,即3x －y －9＝0.9．在四面体A －BCD 中 ,棱AB ,AC ,AD 两两互相垂直 ,那么顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：选A ∵AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ∩AD ＝A , ∵AB ⊥平面ACD ,∴AB ⊥CD .∵AH ⊥平面BCD ,∴AH ⊥CD ,AB ∩AH ＝A , ∴CD ⊥平面ABH ,∴CD ⊥BH .同理可证CH ⊥BD ,DH ⊥BC ,那么H 是△BCD 的垂心．10． 设球的体积为V 1 ,它的内接正方体的体积为V 2 ,以下说法中最|适宜的是( ) A ．V 1比V 2大约多一半 B ．V 1比V 2大约多两倍半 C ．V 1比V 2大约多一倍 D ．V 1比V 2大约多一倍半解析：选D 设正方体的棱长为a ,那么正方体的体积为V 2＝a 3,那么球半径为32a ,球体积V 1＝32πa 3 ,那么V 1－V 2＝32πa 3－a 3＝(32π－1)a 3≈a 3. 二、填空题11． 某几何体的三视图如下图 ,那么该几何体的体积为________．解析：由三视图可知 ,该几何体是由三个圆柱构成的组合体 ,其中两边圆柱的底面直径是4 ,高为1 ,中间圆柱的底面直径为2 ,高为4 ,所以该组合体的体积为2×π×22×1＋π×12×4＝12π.答案：12π12．平面α ,β和直线m ,给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β. (1)当满足条件________时 ,有m ∥β；(2)当满足条件________时 ,有m ⊥β(填所选条件的序号)．解析：由面面平行和线面平行的定义知假设m ⊂α ,α∥β那么m ∥β；由线面垂直的定义知假设m ⊥α ,α∥β ,那么m ⊥β.答案：(1)③⑤ (2)②⑤13． 如图 ,将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起 ,使得平面ADC ⊥平面ABC ,在折起后形成的三棱锥D －ABC 中 ,给出以下三种说法：①△DBC 是等边三角形；②AC ⊥BD ；③三棱锥D －ABC 的体积是26. 其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号)．解析：取AC 的中点E ,连接DE ,BE , 那么DE ⊥AC ,BE ⊥AC ,且DE ⊥BE . 又DE ＝EC ＝BE ,所以DC ＝DB ＝BC , 故△DBC 是等边三角形． 又AC ⊥平面BDE , 故AC ⊥BD .又V D －ABC ＝13S △ABC ·DE ＝13×12×1×1×22＝212,故③错误．答案：①②14．直线l 经过点P (－4 ,－3) ,且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8 ,那么直线l 的方程是________．解析：∵(－4＋1)2＋(－3＋2)2＝10<25 , ∴点P 在圆内．当l 的斜率不存在时 ,l 的方程为x ＝－4 ,将x ＝－4代入圆的方程 ,得y ＝2或y ＝－6 ,l 的斜率存在时 ,设l 的方程为 y ＋3＝k (x ＋4) ,即kx －y ＋4k －3＝0 ,当弦长为8时 ,圆心到直线的距离为 25－42＝3 ,那么│－k ＋2＋4k －3│k 2＋1＝3 ,解得k ＝－43.那么直线l 的方程为y ＋3＝－43(x ＋4) ,即4x ＋3y ＋25＝0.答案：4x ＋3y ＋25＝0或x ＝－4 三、解答题15．两条直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点P ,求： (1)过点P 且过原点的直线方程；(2)过点P 且垂直于直线l 3：x －2y －1＝0的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝02x ＋y ＋2＝0 解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝2.∴点P 的坐标是(－2,2) , (1)所求直线方程为y ＝－x .(2)∵所求直线l 与l 3垂直 ,∴设直线l 的方程为2x ＋y ＋CP 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0 ,得C ＝2.∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.16．某几何体的三视图如下图 ,P 是正方形ABCD 对角线的交点 ,G 是PB 的中点．(1)根据三视图 ,画出该几何体的直观图； (2)在直观图中 ,①证明：PD ∥平面AGC . ②证明：平面PBD ⊥平面AGC .解：(1)该几何体的直观图如下图．(2)证明：如图 ,①连接AC ,BD 交于点O ,连接OG , 因为G 为PB 的中点 ,O 为BD 的中点 , 所以OG ∥PD .又OG ⊂平面AGC ,PD ⊄平面AGC , 所以PD ∥平面AGC .②连接PO ,由三视图 ,PO ⊥平面ABCD , 所以AO ⊥PO .又AO ⊥BO ,BO ∩PO ＝O , 所以AO ⊥平面PBD . 因为AO ⊂平面AGC , 所以平面PBD ⊥平面AGC .17．圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0 ,直线l 经过点D (－2,0) ,且斜率为k . (1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)假设直线l 与圆C 相离 ,求k 的取值范围．解：(1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4 , 那么此圆的圆心为C (0,4) ,半径为2.所以CD 的中点E (－1,2) ,|CD |＝22＋42＝2 5 , ∴r ＝ 5 ,故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.(2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2) ,即kx －y ＋2k ＝0.假设直线l 与圆C 相离 ,那么有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1＞2 ,解得k ＜34.18．(2021·山东（高|考）)在如下图的几何体中 ,四边形ABCD 是等腰梯形 ,AB ∥CD ,∠DAB ＝60° ,FC ⊥平面ABCD ,AE ⊥BD ,CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F BD C 的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形 ,AB ∥CD ,∠DAB ＝60° ,所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又CB ＝CD ,所以∠CDB ＝30° , 因此∠ADB ＝90° ,即AD ⊥BD . 又AE ⊥BD ,且AE ∩AD ＝A ,AE ,AD ⊂平面AED , 所以BD ⊥平面AED .(2)如图 ,取BD 的中点G ,连接CG ,FG ,由于CB ＝CD ,因此CG ⊥BD ,又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ,FC ,CG ⊂平面FCG , 所以BD ⊥平面FCG , 故BD ⊥FG ,所以∠FGC 为二面角F BD C 的平面角． 在等腰三角形BCD 中 ,由于∠BCD ＝120° , 因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ,所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG , 故cos ∠FGC ＝55, 因此二面角F BD C 的余弦值为55.。
