中考数学复习知识点专题讲解28---一次函数图象截出的等腰三角形问题

一次函数背景下等腰三角形存在性解题
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特殊三角形和特殊四边形的存在性问题，是中考压轴题型，一般在二次函数背景下讨论分析。

现在提前安排在一次函数背景下，讨论存在性问题，掌握了解题思路和方法，在初三下册学习二次函数后，再解类似题型，水到渠成。

数学这东西，万变不离其宗，只要掌握住了规律，越学越简单。

这也是为什么学习好的同学，看着不费事就把新课程学的更好的原因，因为积累了雄厚的基础方法。

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中考数学复习考点知识与题型专题讲解专题28 命题与证明【知识要点】命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。

命题的形式：“如果…那么…”。

（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。

假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。

如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。

定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。

一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。

证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。

【考查题型】考查题型一判断是否命题及命题真假典例1．（2021·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】B【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；C.根据多边形的内角和为180(n 2)︒⨯-解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．【详解】A. 2=，2，故A 错误；B. 数据2，0，3，2，3的平均数是20323=25++++，方差是 2222216(22)(02)(32)(22)(32)55⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故B 正确； C. 正六边形的内角和为180(62)720︒⨯-=︒，故C 错误；D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D 错误，故选：B ．【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．变式1-1．（2021·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c =【答案】B【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【详解】解：由题意可知，A 、对顶角相等，故选项是命题；B 、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；C 、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；D 、如果a b a c ==，，那么b c =，故选项是命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．变式1-2．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( ) （1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-； （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm π，面积是2240cm π的扇形的圆心角是120︒．A ．14B ．12C ．34D ．1 【答案】C分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-，是真命题， （3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ，是真命题，（4）设扇形半径为r ，圆心角为n ，∵弧长是20cm π，则180n r π=20π，则3600nr =，∵面积是2240cm π，则2360n r π=240π，则2nr =360×240， 则2360240243600nr r nr ⨯===，则n=3600÷24=150°， 故扇形的圆心角是150︒，是假命题， 则随机抽取一个是真命题的概率是34， 故选C.【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.变式1-3．（2021·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．A ．B ．C ．D ．【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．【详解】解：A 、如图1，∠1是锐角，且∠1=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；B 、如图2，∠2是锐角，且∠2=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C 、如图3，∠3是钝角，且∠3=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D 、如图4，∠4是锐角，且∠4=αβ+，所以此图说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．变式1-4．（2021·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O 上．则下列命题为真命题的是（ ） A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC ∠=︒C ．若120ABC ∠=︒．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC【答案】B【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．【详解】A ．∵半径OB 平分弦AC ，∴OB ⊥AC ，AB=BC ，不能判断四边形OABC 是平行四边形，假命题；B ．∵四边形OABC 是平行四边形,且OA=OC,∴四边形OABC 是菱形，∴OA=AB=OB ，OA ∥BC ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；C ．∵120ABC ∠=︒，∴∠AOC=120º，不能判断出弦AC 平分半径OB ，假命题；D ．只有当弦AC 垂直平分半径OB 时，半径OB 平分弦AC ，所以是假命题，故选：B ．【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．考查题型二写一个命题的逆命题典例2．（2021·广东广州市·九年级二模）下列命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直【答案】C【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；B. 两个角都是45，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立故选C．【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．变式2-1．（2021·莆田擢英中学九年级零模）下列命题中，逆命题为真命题的是（）A．对顶角相等B．邻补角互补C．两直线平行，同位角相等D．互余的两个角都小于90°【答案】C【分析】先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假，即可．【详解】A．对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；B．邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；C．两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；D．互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；故选：C．【点睛】本题主要考查逆命题与真假命题，能写出原命题的逆命题是解题的关键．变式2-2．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（）A．两直线平行，同位角相等B．如果|a|＝1，那么a＝1C．全等三角形的对应角相等D．如果x＞y，那么mx＞my【答案】C【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 考查题型三 用反证法证明命题典例3．（2021·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D '∠=∠以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，②依据理论依据1，可得//A B CD ''，③假设AOF EO D '∠≠∠，④AOF EO D '∴∠=∠．⑤与理论依据2矛盾，∴假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④【答案】D【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．【详解】解：假设AOF EO D '∠≠∠，如图2，过点O 作直线A B ''，使A OF EO D ''∠=∠，∴//A B CD ''，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，∴假设不成立，∴AOF EO D '∠=∠．故选：D【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．变式3-1．（2021·浙江九年级其他模拟）能说明命题“若a ＞b ，则3a ＞2b “为假命题的反例为（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ＝﹣2，b ＝﹣3C ．a ＝2，b ＝3D ．a ＝﹣3，b ＝﹣2【答案】B【分析】本题每一项代入题干命题中，不满足题意即为反例．【详解】解：当a ＝﹣2，b ＝﹣3时，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＝2×（﹣3），即a ＞b 时，3a ＝2b ，∴命题“若a ＞b ，则3a ＞2b ”为假命题，故选：B ．【点睛】本题考查的是假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．变式3-2．（2021·浙江杭州市·八年级其他模拟）用反证法证明“ABC 中，若A B C ∠∠∠>>，则A 60∠>”，第一步应假设()A ．A 60∠=B ．A 60∠<C ．A 60∠≠D ．A 60∠≤【答案】D【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A ＞60°的反面有多种情况，应一一否定．【详解】解：∠A 与60°的大小关系有∠A ＞60°，∠A=60°，∠A ＜60°三种情况，因而∠A ＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°．故选：D变式3-3．（2021·河北唐山市·中考模拟）已知：ABC ∆中，AB AC =，求证：90O B ∠<，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴180O A B C ∠+∠+∠>，这与三角形内角和为180O 矛盾,②因此假设不成立．∴90O B ∠<,③假设在ABC ∆中，90O B ∠≥,④由AB AC =，得90O B C ∠=∠≥，即180O B C ∠+∠≥．这四个步骤正确的顺序应是（ ）A ．③④②①B ．③④①②C ．①②③④D ．④③①②【答案】B【分析】根据反证法的证明步骤“假设、合情推理、导出矛盾、结论”进行分析判断即可.【详解】题目中“已知：△ABC 中，AB=AC ，求证：∠B ＜90°”，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：(1)假设∠B≥90°，(2)那么，由AB=AC ，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，(3)所以∠A+∠B+∠C ＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，(4)因此假设不成立．∴∠B ＜90°，原题正确顺序为：③④①②，故选B ．【点睛】本题考查反证法的证明步骤，弄清反证法的证明环节是解题的关键.变式3-4．（2021·浙江宁波市·九年级一模）能说明命题“若一次函数经过第一、二象限，则k+b ＞0”是假命题的反例是（ ）A ．y 2x 3=+B ．y 2x 3=-C ．y 3x 2=--D ．y 3x 2=-+【答案】D【分析】利用命题与定理，首先写出假命题进而得出答案．【详解】解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、二象限，则k＞0，b＞0或k＜0，b＞0，故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的证明举例，训练了学生对举反例法的掌握情况．。

一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）➢课前预习1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B 是两个格点，若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰直角三角形，则符合条件的点C 有个．2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点：三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解．➢精讲精练1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．2.如图，直线y =-1x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3在直线y =-1x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为3．3 2（1）求直线y =-1x +b 的表达式及点C 的坐标；3（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为．3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，点P 是y轴正半轴上一个动点，Q是直线x=3 上的一个动点，若△APQ 为等腰直角三角形，则点P 的坐标为．4.如图，直线y=3x+4 与y 轴交于点A，点P 是直线x=6 上的一个动点，点Q 是直线y=3x+4 上的一个动点，且点Q 在第一象限，若△APQ 为等腰直角三角形，则点Q 的坐标为．5. 如图，直线 l 1：y =x +6 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，直线 l 2：y = - 1 x - 3 与 x 轴交于点 A ，点 M 是线段 AB 上的一动点，2过点 M 作 y 轴的平行线交直线 l 2 于点 N ，在 y 轴上是否存在点 P ，使△MNP 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】➢ 课前预习1. 6➢ 精讲精练1. (9，3)，(6，9)，( 9 ， 9 )2 22. （1） y = - 1 x -1，C (-6，1)3（2）(-2，3)，(-5，4)，(-4，2)3. (0，1)，(0，3)，(0，4)4. (2，10)，(3，13)，( 3 ， 17 )2 2 5. 存在，点 P 的坐标为(0， 12 )，(0， - 6 )，(0， 6 )5 5 7。

专题08易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错点一求长度时忽略三边关系易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论易错点一求长度时忽略三边关系例题：（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于____________．【变式训练】1．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少（）A ．13B ．17C ．13或17D ．13或102．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（）A ．15B ．16C ．17D ．183．已知实数x ，y 满足2|5|(10)0 x y ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20B ．25C ．20或25D ．以上答案均不对4．（2021·云南·富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26cm ，一边为8cm ，则腰长为_______．5．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm ，2cm ，则该等腰三角形的周长是________．6．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x ，求这个等腰三角形的周长．易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题：（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【变式训练】1．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________．典型例题2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ________．3．（2022·福建泉州·七年级期末）“特征值”的定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作“()F △”．若等腰ABC 中，80A ，则它的特征值()ABC F △______．4．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，ABC 中，AB AC ，40ABC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE ，DE 交线段AC 于点E ．当ADE 是等腰三角形时，BAD 的度数为______．5．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如示意图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AE ⊥BC 于点E ，过点B 作∠ABC 的角平分线BF 交AE 于G ，点D 是射线BF 上的一个动点，且点D 在△ABC 外部，连接AD ．∠C ＝2∠ADB ，当△ADG 为等腰三角形，则∠C 的度数为____________6．（2022·江西吉安·八年级期中）如图，O 是等边△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，100AOB ，BOC ，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△ADC ，连接OD ．若△AOD 是等腰三角形，则 的度数为________．7．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =30°，D 、E 分别为BC 、AB 边上的动点，且∠ADE =45°，若△ADE 为等腰三角形，则∠DAC 的大小为______．易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50 ，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A ．20B ．50 或70C ．70D ．20 或70 【变式训练】5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ________．6．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．如图1，Rt △ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2的△ABC 中，∠ABC ＝110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是_____．。

一次函数存在性之直角三角形（45°）等腰三角形知识点讲解知识回顾：由两直线平行或垂直，求直线解析式．【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为1-】①某直线与直线112y x=-+平行，且过点(2,3)，求此直线的解析式．②某直线与直线253y x=--平行，且过点(3,0)-，求此直线的解析式．③某直线与y轴交于点P(0,3)，且与直线112y x=-平行，求此直线的解析式．④某直线与x轴交于点P(2,0)-，且与直线142y x=-+平行，求此直线的解析式．⑤某直线与直线213y x=+垂直，且过点(2,1)-，求此直线的解析式．⑥某直线与直线142y x=--垂直，且过点(1,2)-，求此直线的解析式．⑦某直线与x轴交于点P(4,0)-，且与直线253y x=-+垂直，求此直线的解析式．直角三角形存在性问题策略：1．若要画出直角三角形则有以下画法：以顶点分类（1）已知定点处直角画角三角形用直尺直接画直角找动点（2）已知动点处为直角三角形画直角三角形用圆规以直角三角形的斜边为直径画圆找动点；（初二不要求掌握，初三掌握）2．直角三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又快又好；3．几何法一般分三步：分类、画图、计算；4．代数法一般也分三步：罗列三边长，借助直角三角形的性质建立等式解方程并检验．等腰直角三角形存在性问题策略：定边定长（点B 点C 是定点，以BC 为边的等腰直角三角形有如图所示的6种情况①以定长为边有四种②定长为边有两种）构图方法（BC 定长为边在左右两侧作BC 为边的两个正方形，连接对角线即可找到六种情况）坐标求法（构造一线三等角）求坐标I模型应用（构造等腰直角三角形，再过直角作垂线与水平线构造一线三等角模型）在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标，（1）如图(1,0)B，∠CBA=45°，求直线BC的解析式；A ，(0,3)（2）如图，∠CBA=45°，指出求BC解析式的方法；典型例题【例1】在平面直角坐标系中，已知点(4,0)A-，(2,0)B，若点C在一次函数122y x=-+的图像上，且△ABC是以AB为直角边的直角三角形，则满足条件的点C有（）【解析】由题意知，直线122y x=-+与x轴交点为(4,0)，与y轴交点为(0,2)，过点A作垂线与直线的交点(4,4)W-，过点B作垂线与直线的交点(2,1)S∴共有两个点能与点A，点B组成直角三角形．【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线162y x=-+分别与x轴，y轴交于点BC且与直线12y x=交于点A，点D是直线OA上的点，当△ACD为直角三角形时，则点D的坐标为．【答案】126(,)55或(4,2)--【详解】（1）直线162y x=-+，则B(12,0)，C(0,6)解方程组：16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得：63xy=-⎧⎨=⎩则A(6,3)∵△ACD为直角三角形，∴①当∠ADC=90°时，所以设直线CD的解析式为：2y x b=-+，把点C代入得：b=6，∴直线CD的解析式为：26y x=-+解2612y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得12565xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点D126(,)55；②当∠ACD=90°时，设直线CD的解析式为2y x a=+，把点C代入得：a=6，∴直线CD的解析式为：26y x=+解2612y xy x=+⎧⎪⎨=⎪⎩得42xy=-⎧⎨=-⎩，∴点D(4,2)--．综上所述，点D的坐标为126(,)55或(4,2)--．本题考查两条直线相交或平行的问题，直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，正确的理解题意是解题的关键．【例3】如图1，在平面直角坐标系中，点(4,4)A -，点(0,2)B（1）求直线AB 的解析式；（2）以点A 为直角顶点作∠CAD =90°，射线AC 交x 轴的负半轴于点C ，射线AD 交y 轴的负半轴于点D ，当∠CAD 绕着点A 旋转时，OC -OD 的值是否发生变化?若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2，点M (-4，0)和N (2，0)是x 轴上的两个点，点P 是直线AB 上一点，当△PMN 是直角三 角形时，请求出满足条件的所有点P 的坐标．图1 图2【答案】（1）直线AB 的解析式为：122y x =-+；（2）不变，理由见解析； （3）点P 的坐标为(2,1)或(4,4)-或(2)+或2)+． 【分析】（1）设直线AB 解析式为y kx b =+，把A 与B 坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k 与b 的值，即可确定出直线AB 解析式；（2）当∠CAD 绕着点A 旋转时，OC -OD 的值不变，理由为：过A 作AE 垂直于x 轴，AF 垂直于y 轴， 利用同角的余角相等得到一对角相等，求出A 的坐标得到AE =AF ，再由已知直角相等，利用ASA 得到三角形AEC 与三角形AFD 全等，利用全等三角形对应边相等得到EC =FD ，进而求出OC -OD 的值即可；（3）分三种情况考虑：①当M 为直角顶点时；②N 为直角顶点时；③P 为直角顶点时；分别求出P 坐标即可．【详解】（1）设直线AB 解析式为y kx b =+，∵点(4,4)A -，点(0,2)B 在直线AB 上，∴442k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为：122y x =-+； （2）不变，理由如下：过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E ，F ，可得∠AEC =∠AFD =90°又∵∠BOC =90°，∴∠EAF =90°，即∠DAE +∠DAF =90°，∵∠CAD =90°，即∠DAE +∠CAE =90°，∴∠CAE =∠DAF∵点(4,4)A -∴OE =AF =AE =OF =4，在△AEC 和△AFD 中90CAE DAF AB AFAEC AFD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩ ∴△AEC ≌△AFD （ASA ）∴EC =FD ，∴()()8OC OD OE EC FD OF OE OF -=+--=+=，则OC OD -的值不变，值为8．（3）①当M 为直角顶点时，点P 的横坐标为-4，∵点P 在直线AB 上，将4x =代入122y x =-+得4y =，∴点P (4,4)-； ②当N 为直角顶点时，点P 的横坐标为2，∵点P 在直线AB 上，将2x =代入122y x =-+得1y =，∴点P (2,1)； ③当P 为直角顶点时，∵点P 在直线AB 上，可设点P 的坐标为1,32x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 则()2221422MP x x ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭，()2221222NP x x ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭， 在Rt △PMN 中，222MP NP MN +=，6MN =，∴()()22222114222622x x x x ⎛⎫⎛⎫++-++-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1x =，2x = ∴2P ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2⎫+⎪⎪⎝⎭， 综上所述，满足条件的所有点P 的坐标为()4,4-或()2,1或2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或2⎫+⎪⎪⎝⎭.此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.相似题1.已知关于x 的一次函数13y mx m =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，过点B 作直线2y x =-的垂线，垂足为M ，连接AM .（1）求点A 的坐标；（2）当△ABM 为直角三角形时，求点M 的坐标.【答案】（1）()3,0；（2）33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 【解析】【分析】（1）根据x 轴上点的坐标特征计算，求出点A 的坐标；（2）根据两直线平行求出m 的值，根据等腰直角三角形的性质计算；解：（1）当10y =时，30mx m -+=，解得3x =，∴点A 的坐标为()3,0；（2）△ABM 为直角三角形时，∵90BMA ︒∠<，90BAM ︒∠<，∴90ABM ︒∠=，∵BM ⊥直线2y x =-，∴直线13y mx m =-+∥直线2y x =-，∴1m =，则33OB m ==，∴OB OA =，∴45OBA OAB ︒∠=∠=，∴45OBM ︒∠=，作MH ⊥OB 于H ，则1322MH OH OB ===，∴点M 的坐标为33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2.如图，直线132y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 与点A 关于y 轴对称. （1）求直线BC 的函数表达式；（2）设点M 是x 轴上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线，交直线AB 于点P ，交直线BC 于点Q ，连接BM .①若90MBC ︒∠=，求点P 的坐标；②若△PQB 的面积为94，请直接写出点M 的坐标.【答案】（1）132y x =-+；（2）①3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②0M ⎫⎪⎪⎝⎭或0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的特点求出A，B的坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）①设出点M的坐标，利用勾股定理求出245BC=，22229BM OM OB m=+=+，()226MC m=-，最后用勾股定理建立方程求解，即可得出结论；【详解】解：（1）对于132y x=+，令0x=，3y=，∴(0，3)，令y＝0，∴12x＋3＝0，∴x＝－6，∴A(－6，0)，∵点C与点A关于y轴对称，∴C(6，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，∴603k bb+=⎧⎨=⎩，∴123kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式为y＝－12x+3，(2)①设点M(m，0)，∴P(m，12m＋3)，∵B(0，3)，C(6，0)，∴BC2＝45，BM2＝OM2＋OB2＝m2＋9，MC2＝(6－m)2，∵∠MBC＝90°，∴△BMC是直角三角形，∴BM2＋BC2＝MC2，∴m2＋9＋45＝(6－m)2，∴m＝－32，∴P(－32，0)；此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，三角形的面积公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．课后追踪1．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－8，3)，点B的坐标是．【答案】(1．6)【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标．【详解】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵90ADC CBECAC BCEAC BC⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴．△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC＝BE，AD＝CE，∵点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－8，3)，∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，∴CD＝OD＝OC＝6，OE＝CE＝OC＝3－2＝1，∴BE＝6，∴则B点的坐标是(1，6)，故答案为(1，6)本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形2．如图4，直线l交坐标轴于A、B两点，A(a，0)、B(0，b)，且(a－b)2＋4b-＝0，(1)求A、B两点坐标．(2)C是线段AB上一点，C点横坐标为3，P是y轴正半轴上一点，且∠OCP＝45°，求P点坐标．分析(1)由(a －b)2＋4b -＝0，利用非负数的性质得到a －b ＝0，b －4＝0，解得a ＝4，b ＝4， 得到A(4，0)，B(0，4)；(2)如图l 过点O 作OM ⊥OC 交CP 的延长线于M ，得到等腰直角三角形，根据其性质得到OM ＝OC ，利用直线AB 的解析式，求出点C 的坐标，从而得到点M 的坐标，求得直线CM 的解析式，得到P 点的坐标； 解答 (1)解：∵(a －b)2＋4b -＝0，∴a －b ＝0，b －4＝0，∴a ＝4，b ＝4，∴A(4，0)，B(0，4)；(2)如图1过点O 作OM ⊥OC 交CP 的延长线于M ，∴∠OCP ＝45°，∴△OMC 是等腰直角三角形，∴OM ＝OC ，设直线AB 的解析式为：y ＝kx ＋4，∴0＝4k ＋4，∴k ＝－1，∴直线AB 的解析式为：y ＝－x ＋4，当x ＝3时，y ＝1，∴C(3，1)，∴M(－1，3)，∴直线CP 的解析式为：y ＝－12×＋52，∴P(0，52)； 3．如图，一次函数y ＝－23x ＋2的图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°，则过B 、C 两点的直线对应的函数表达式为 ．【答案】y ＝15x ＋2 【解析】【分析】作CD ⊥x 轴于点D ，由全等三角形的判定定理可得出△ABO ≌△CAD ，由全等三角形的性质可知OA ＝CD ，AD ＝OB ，故可得出C 点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC 的解析式．【详解】解：如图所示：作CD ⊥x 轴于点D ．∵∠BAC ＝90°，∴∠OAB ＋∠CAD ＝90°，又∵∠CAD ＋∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠BAO ，在△ABO 与△CAD 中，90BOA CAD ACD BAO AB AC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△CAD(AAS)，∴AD ＝OB ＝2，CD ＝OA ＝3，∴OD ＝OA ＋AD ＝5．则点C 的坐标是(5，3)．设直线BC 的解析式是y ＝kx ＋b ，根据题意得：253b k b =⎧⎨+=⎩，解得：152k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 则直线BC 的解析式是：y ＝15x ＋2．故答案为：y ＝15x ＋2．本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．(模型建立)(1)如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于点D ，过B 作BE ⊥ED 于点E ．求证：△BEC ≌△CDA ；(模型应用)(2)如图2，一次函数y ＝－2x ＋2的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作线段BC ⊥AB 且BC ＝AB ，直线AC 交x 轴于点D ．①求点C 的坐标，并直接写出直线AC 的函数关系式；②若点Q 是图2中坐标平面内一点，当以点A ，D ，Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点Q 的坐标．图1 图2【答案】(1)证明见解析；(2)①C(3，1)，y ＝－13x ＋2；②(8，6)，(2，8)，(4，4)(2，－2)，(4，－6)，(－2，－4)． 【解析】【详解】∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE∴∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ACD ＋∠CAD ＝90°又∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°∴∠CAD ＝∠BCE ，E DC BA在△BEC 和△CDA 中，BEC CDA CAD BCE BC AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△CDA(AAS)(2)①C(3，1)y ＝－13x ＋2; ②(8，6)，(2，8)，(4，4)，(2，－2)，(4，－6)，(－2，－4)．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴相交于点A(－3，0)，与y 轴交于点B ，且与正比例函数y ＝43x 的图象交点为C(m ，4)求：(1)一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；(2)若点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，直接写出点D 的坐标．(3)在x 轴上求一点P 使△POC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】(1)y ＝23x ＋2；(2)(－2，5)或(－5，3) (3)(5，0)或(－5，0)或(6，0)或(256，0)． 【解析】 试题分析：(1)首先利用待定系数法把C(m ，4)代入正比例函数y ＝43x 中，计算出m 的值，进而得到C 点坐标、再利用待定系数法把A 、C 两点坐标代入一次函数y ＝kx ＋b 中，计算出k 、b 的值，进而得到一次函数解析式．(2)利用△BED1≌△AOB ，△BED2≌△AOB ，即可得出点D 的坐标．试题解析：(1)∵点C 在正比例函数图像上，∴43m ＝4，m ＝3， ∵点C(3，4)，A(－3，0)在一次函数图像上，∴3034k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得232k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝23x ＋2， (2)过点D 1作D 1E ⊥y 轴于点E ，过点D 2作D 2F ⊥x 轴于点F ，∵点D 在第二象限，△DAB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形，∴AB ＝BD 2．∵∠D 1BE ＋∠ABO ＝90°，∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∴∠BAO ＝∠EBD 1．∵在△BED 1和△AOB 中，111D BE BOA EBD BAO D B BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△AOB(AAS)．∴BE ＝AO ＝3，D 1E ＝BO ＝2，即可得出点D 的坐标为(－2，5)；同理可得出：△AFD 2≌△AOB ，∴FA ＝BO ＝2，D2F ＝AO ＝3．∴点D 的坐标为(－5，3)．综上所述：点D 的坐标为(－2，5)或(－5，3)(3)当OC 是腰，O 是顶角的顶点时，OP ＝OC ＝5，则P 的坐标是(5，0)或(－5，0)；当OC 是腰，C 是顶角的顶点时，CP ＝CO ，则P 与O 关于x ＝3对称，则P 的坐标是(6，0)；当OC 是底边时，设P 的坐标是(a ，0)，则(a －3)2＋42＝a 2，解得a ＝256，则P 的坐标是：(5，0)或(－5，0)或(6，0)或(256，0)． 考点：两条直线相交或平行问题．6．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，0)和B(3，－1)．(1)求一次函数的解析式；(2)若点M 是y 轴上一点，且满足△ABM 是直角三角形，请直接写出点M 的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为y ＝－12x ＋12；(2)M 1(0，－7)，M 2(0，－2)． 【详解】(1)∵A(1，0)和B(3，－1)在一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象上，∴31k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：1212kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴一次函数的解析式为y＝－12x＋12．(2)①设M1(0，a)，则AM12＝1＋a2，BM12＝9＋(a＋l)2，AB2＝5，∵9＋(a＋1)2>5，9＋(a＋1)2>1＋a2，∴BM1为斜边：AM12＋AB2＝BM12，即1＋a2＋5＝9＋(a＋l)2，解得a＝2，即M1(0，－2)；②设M2(0，b)，CA，CB，M2C2＝CB2＋BM2，则有(12b)2＝2＋(3－0)2＋(－1－b)2，解得b＝－7．故得M2(0，－7)．7．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝－34x＋112与直线AC：y＝12x＋8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D．(1)求点A 的坐标;(2)将一个45°角的顶点Q 放在x 轴上，使其角的一边经过A 点，另一边交直线AC 于点R ，当△AQR 为等腰直角三角形时，请直接写出点R 的坐标．备用图【答案】(1)(－2，7)；(2)①(5，212)，②(－9，72)或(5，212)或(12，14)或(－203，143)． 【解析】【分析】(1)联立31142182y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：27x y =-⎧⎨=⎩，故点A 的坐标为(－2，7)； (2)△AQR 为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况，①AQ ⊥AC ，②当R Q ''⊥AC ，分别求解即可．【详解】(1)联立31142182y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：27x y =-⎧⎨=⎩，故点A 的坐标为(－2，7)； (2)△AQR 为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况：①当AQ ⊥AC ，当点R 在点A 下方时，∴直线AQ 的表达式为：y ＝－2x ＋b ，将点A 坐标代入得：7＝－2×(－2)＋b ，解得：b ＝3，故：直线AQ的表达式为：y＝－2x＋3，则点Q坐标为(32，0)，过点A作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，围成矩形GMQH，∠GAR＋∠QAH＝90°，∠QAH＋∠AQH＝90°，∴∠AQH＝∠GAR，∠AGR＝∠QHA＝90°，AR＝AQ．∴△AGR≌△QHA(AAS)，∴HQ＝GA＝7，GR＝AH＝2＋32＝72，OM＝2＋GA＝9，∴RM＝7－72＝72，故点R的坐标为(－9，72)，当点R在点A上方时，同理可得点R坐标为(5，212)；②当R Q''⊥AC时，同理，点R'的坐标为(12，14)或(－16，0)．综上所述：点R的坐标为(－9，72)或(5，212)或(12，14)或(－203，143)·本题考查了一次函数综合运用，涉及到等腰三角形基本知识、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，要注意分类讨论，避免遗漏．。

专题09 一次函数中的三角形问题知识对接考点一、怎样解直线与坐标轴围成图形的面积问题1．求直线与坐标围成的三角形的面积时，一般将在坐标轴上的其中一边作为底，另一边作为高来求面积专项训练一、单选题1．已知直线1:1l y kx k =++与直线2:(1)2l y k x k =+++，（k 为正整数），记直线1l 和2l 与x 轴围成的三角形面积为k S ，则12310S S S S +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．511B ．1011C ．920D ．50101【答案】A 【分析】变形解析式得到两条直线都经过点(1,1)-，即可证出无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-；先求出1y kx k =++与x 轴的交点和(1)2y k x k =+++与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出k S ，求出11112124S =⨯=⨯，21(2S =⨯11)23-，以此类推101(2S =⨯11)1011-，相加后得到11(1)211⨯-． 【详解】解：直线1:1(1)1l y kx k k x =++=++，∴直线1:1l y kx k =++经过点(1,1)-；直线2:(1)2(1)(1)1(1)(1)1l y k x k k x x k x =+++=++++=+++，∴直线2:(1)2l y k x k =+++经过点(1,1)-．∴无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点(1,1)-．直线1:1l y kx k =++与x 轴的交点为1(k k+-，0)， 直线2:(1)2l y k x k =+++与x 轴的交点为2(1k k +-+，0)， 1121||1212(1)K k k S k k k k ++∴=⨯-+⨯=++， 11112124S ∴=⨯=⨯；123101111[]212231011S S S S ∴+++⋯+=++⋯⨯⨯⨯111111[(1)()()]22231011=-+-+⋯+- 11(1)211=⨯- 110211=⨯ 511=， 故选：A ． 【点睛】此题考查了一次函数的综合题；解题的关键是一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标特点，与x 轴的交点的纵坐标为0，与y 轴的交点的横坐标为0．2．已知2,2a b b a +=≤，那么对于一次函数y ax b =+，给出下列结论：①函数y 一定随x 的增大而增大；①此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为43，下列判断正确的是（ ）A ．①正确，①错误B ．①错误，①正确C ．①，①都正确D ．①，①都错误【答案】A 【分析】根据一次函数的性质、配方法即可解决问题； 【详解】 解：2a b +=，2b a ∴=-，2b a ≤，22a a ∴-≤，23a ∴≥， 2y ax a ∴=+-，0a >，y ∴随x 的增大而增大，故①正确，函数图象与坐标轴所围成的三角形面积211||||22b b S b a a==，此函数没有最大值，故①错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是灵活运用一次函数知识解决问题，属于中考常考题型．3．将一次函数y ＝2x +4的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B 【分析】直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式得出答案 【详解】设平移的距离为k （k ＞0），则将一次函数y =2x +4向右平移后所得直线解析式为：y =2（x -k ）+4=2x -2k +4． 易求得新直线与坐标轴的交点为（k -2，0）、（0，-2k +4）所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：2?2429k k --+÷=，变形得229k -=（），解得k =5或k =-1（舍去）． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键． 4．下列关于一次函数2y x =-+的图象性质的说法中，不正确的是（ ） A ．直线与x 轴交点的坐标是(0,2) B ．与坐标轴围成的三角形面积为2 C ．直线经过第一、二、四象限 D ．若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >【答案】A 【分析】根据一次函数的图像与性质可直接进行排除选项． 【详解】解：由一次函数2y x =-+，可得：10,20k b =-<=>， ①一次函数经过第一、二、四象限，故C 不符合题意； 令x=0时，则y=2，令y=0时，则02x =-+，解得：2x =， ①直线与x 、y 轴的交点坐标为()2,0和()0,2，故A 错误，符合题意； ①直线与坐标轴围成的三角形面积为12222⨯⨯=，故B 正确，不符合题意；①k ＜0，①y 随x 的增大而减小，①若点(1,)A a -，(1,)B b 在直线上，则a b >，故D 正确，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．5．如图，直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，射线AP①AB于点A．若点C 是射线AP上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与①AOB 全等，则OD的长为（）A．2B．3C．2D．3【答案】D【分析】利用一次函数与坐标轴的交点求出①AOB的两条直角边，并运用勾股定理求出AB．根据已知可得①CAD＝①OBA，分别从①ACD＝90°或①ADC＝90°时，即当①ACD①①BOA时，AD ＝AB，或①ACD①①BAO时，AD＝OB，分别求得AD的值，即可得出结论．【详解】解：①直线y＝-2x+2与x轴和y轴分别交与A、B两点，当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝2，①A（1，0），B（0，2）．①OA＝1，OB＝2．①AB①AP①AB，点C是射线AP上，①①BAC＝90°，即①OAB＋①CAD＝90°，①①OAB＋①OBA＝90°，①①CAD＝①OBA，若以C、D、A为顶点的三角形与①AOB全等，则①ACD＝90°或①ADC＝90°，即①ACD①①BOA或①ACD①①BAO．如图1所示，当①ACD①①BOA时，①ACD＝①AOB＝90°，AD＝AB，①OD＝AD＋OA1；如图2所示，当①ACD①①BAO时，①ADC＝①AOB＝90°，AD＝OB＝2，①OD＝OA＋AD＝1＋2＝3．综上所述，OD的长为31．故选：D．【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．6．将一次函数y＝3x向左平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是24，则平移距离（）A．4B．6C．D．12【答案】A【分析】根据题意直接利用一次函数的图象平移规律得出平移后的解析式，进而根据三角形面积公式。

每日一题 079一次函数与等腰三角形武穴市百汇学校徐国纲解题技巧如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．如图，已知线段AB作等腰三角形，则符合要求的点都在以A、B为圆心，AB长为半径的圆和AB的垂直平分线上，这就是传说中的“两圆一线”.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：表示三边长，分类列方程，解方程并检验．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：①DO＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D 在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）．②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）．③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）．可求325:48PEl y x=-+，∴25(,0)6P．图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P ，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．代数法先设点P 的坐标为(x , 0)，其中x ＞0，然后表达△DOP 的三边长（的平方）． DO 2＝52，OP 2＝x 2，PD 2＝(x －3)2+42．①当DO ＝DP 时，52＝(x －3)2+42．解得x ＝6，或x ＝0．当x ＝0时既不符合点P 在x 轴的正半轴上，也不存在△DOP ．②当OD ＝OP 时，52＝x 2．解得x ＝±5．当x ＝－5时等腰三角形DOP 是存在的，但是点P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5）．③当PO ＝PD 时，x 2＝(x －3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x 轴和OD 的垂直平分线）有且只有一个交点．代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．图1-5例❷ 如图2-1，直线3y x =+与y 、x 轴相交于点A 、C ，动点P 以1个单位/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1个单位/秒的速度从点C 出发，沿CO 向点O 移动，当P 、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P 、Q 两点移动的过程中，当△PCQ 为等腰三角形时，求t 的值．图2-1【解析】在P 、Q 两点移动的过程中，△PCQ 的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ 的大小，夹∠PCQ 的两条边CQ ＝t ，CP ＝6－t .因此△PQC 符合“边角边”的解题条件，我们只需要在∠PCQ 的边上取点P 或Q 画圆．图2-2 图2-3 图2-4①如图2-2，当CP ＝CQ 时，t ＝6－t ，解得3t =(秒).②如图2-3，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 1622t PC -==. 在Rt △QMC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CQ =，62tt -=，解得3t =-(秒). ③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则1122CN CQ t ==. 在Rt △PNC 中，∵30PCQ =︒∠，∴2CP =，62tt -=，解得9t =-秒).例❸ 如图3-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P(0, m)是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．图3-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．因为PC//DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D(2, 4－m)．于是我们可以表达出△APD 的三边长（的平方）：22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图3-2）． ②当P A ＝PD 时，22242(42)m m +=+-． 解得43m =（如图3-3）或4m =（不合题意，舍去）． ③当DA ＝DP 时，222(4)2(42)m m -=+-．解得23m=（如图3-4）或2m=（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为32，43或23．图3-2 图3-3 图3-4其实①、②两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：①如图3-2，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以12PC MBCM BA==．因此12PC=，32m=．②如图3-3，当P A＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此42m m-=．解得43m=．小结：1、等腰三角形的存在性问题，又可以细分为两个定点一个动点，或一个定点一个定角，或只有一个定点，甚至三个点都是动点等几种类型；2、当条件中有定线段时，可以利用“两圆一线”来画图，再计算；在有定角时，可以借助特殊三角形三边比的特征或相似来建立方程；对于既无定线又无定角的问题，可以用代数法来解，即先表达三边，再分类列方程求解，要注意根据题目条件进行检验.对于不同类型的等腰三角形，我们可以灵活选用几何法或代数法，有时候将两种方法结合起来使用，可以使得解题又快又好；3、在进行有关等腰三角形的计算时，常用到勾股定理、三线合一、特殊角的三角函数、相似、一元二次方程等知识；在这个过程中，贯穿了分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法.。

一次函数之等腰三角形的存在性（讲义）课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3，1)，P为y轴上一点，且△POA为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为______________．知识点睛1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果．2.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征．②分类、画图结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．3.等腰三角形的存在性特征分析及特征下操作要点举例：两定点一动点连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解．精讲精练1.如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且43OB OA ．点C 在第一象限，且在直线y =kx -4上，△AOC 的面积是6．（1）求点C 的坐标．（2）x 轴上是否存在点P ，使△POC 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，长方形OABC在平面直角坐标系内，其中A(0，10)，C(6，0)，点D在线段OC上，将△OAD沿AD翻折，点O 的对应点E恰好落在线段BC上．（1）求点D，E的坐标．（2）若直线AE与x轴交于点F，求点F的坐标．（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△APF是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，直线y=2x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B．（1）求点A，B的坐标．（2）在直线x=1上是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，直线443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，在直线y =3上是否存在点P ，使△ABP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠BCO=45°，BC=42，点C的坐标为(-6，0)，直线BD交y轴正半轴于点D，且OD=2．（1）求直线BD的表达式．（2）若P是直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】课前预习1.(0，2)或(0，-2) 精讲精练1.（1）点C 的坐标为(6，4)；（2）存在，点P 的坐标为(213-，0)，(213，0)，(12，0)，(133，0)．2.（1）D (103，0)，E (6，2)；（2）F (152，0)．（3）存在，点P 的坐标为(152-，0)，(-5，0)，(20，0)，(3512-，0)．3.（1）A (0，3)，B (1，5)；（2）存在，点P 的坐标为(1，55+)，(1，55-)，(1，1)，(1，154)．4.存在，点P 的坐标为(-7，3)，(1，3)，(26-，3)，(26，3)，(176-，3).5.（1）直线BD 的表达式为y =-x +2；（2）存在，点P 的坐标为(2，0)，(2，22-)，(2-，22+)，(1，1).。

一次函数压轴题之等腰直角三角形1．【模型建立】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA；【模型应用】①已知直线l1：y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕着点A逆时针旋转45°至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式；②如图3，在平面直角坐标系中，点B（8，6），作BA⊥y轴于点A，作BC⊥x轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线y＝2x﹣6上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请直接写出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．2．已知，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝x相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，求点E的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A、点B、点C的坐标，并求出△COB的面积；（2）若直线l2上存在点P（不与B重合），满足S△COP＝S△COB，请求出点P的坐标；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别与l1，l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+b与直线l2：y＝﹣x﹣8交于点A，已知点A的横坐标为﹣5，直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l1的解析式；（2）将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线l4，若点M为垂线l4上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当CM+MN+NA的值最小时，求此时点M的坐标及CM+MN+NA 的最小值；（3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线l1、l2上的两个动点，连接EP、EQ、PQ，是否存在点P、Q，使得△EPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线BD：y＝x﹣2与直线CE：y＝﹣x+4相交于点A．（1）求点A的坐标；（2）点P是△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，求PB+PA+PC的最小值；（3）将点D向下平移一个单位得到点D1，连接BD1，将△OD1B绕点O旋转至△OB1D2的位置，使B1D2∥x轴，再将△OB1D2沿y轴向下平移得到△O1B2D3，在平移过程中，直线O1D3与x轴交于点K，在直线x＝3上任取一点T，连接KT，O1T，△O1KT能否以O1K为直角边构成等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的T点的坐标；若不能，请说明理由．6．如图1，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C．点A在x轴负半轴上且∠CAO＝30°．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，边长为3的正方形DEFG，G点与A点重合，现将正方形以每秒1个单位地速度向右平移，当点G与点O重合时停止运动．设正方形DEFG与△ACB重合部分的面积为S，正方形DEFG运动的时间为t，求s关于t的函数关系式；（3）如图3，已知点Q（1，0），点M为线段AC上一动点，点N为直线BC上一动点，当三角形QMN为等腰直角三角形时，求M点的坐标．7．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P（x，2）为垂线上的一个点，Q是y轴上一动点，若S△CPQ＝5，求此时点Q的坐标；（2）若P在过A作x轴的垂线上，点Q为y轴上的一个动点，当CP+PQ+QA的值最小时，求此时P的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在矩形ABCO中，点O为坐标原点，点B（4，3），点A、C在坐标轴上，点Q在BC边上，直线L1：y＝kx+k+1交y轴于点A．对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移．现将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2．（1）求直线L1与两坐标轴围成的面积；（2）求直线L2与AB的交点坐标；（3）在第一象限内，在直线L2上是否存在一点M，使得△AQM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝与x轴交于点A，且经过点B（2，m），已知点C（3，0）．（1）求直线BC的函数解析式；（2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标；（3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以线段AM为斜边的等腰直角三角形，求出点M 的坐标；（4）如图2，E为线段AC上一点，连结BE，一动点F从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位运动到点E 再沿线段EA以每秒个单位运动到A后停止，设点F在整个运动过程中所用时间为t，求t的最小值．10．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1，l2交于点C，且C点的横坐标为1．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q（0，2），若S△CPQ＝4，求此时点P 的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E，过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的纵坐标为﹣4．（1）求△ABC的面积；（2）如图1，过点A作x轴的垂线，若点P为垂线上的一个动点，点Q（0，2），若S△CPQ＝2，求此时点P 的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（﹣2，0），将直线l1绕点C顺时针旋转，使旋转后的直线l3刚好过点E．过点C作平行于x轴的直线l4，点M、N分别为直线l3、l4上的两个动点，是否存在点M、N，使得△BMN是以M 点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出N点的坐标：若不存在，请说明理由．12．如图，直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且OA＝OC，∠CBA ＝45°，点P是直线BC上的一点．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P从点B出发沿射线BC方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接AP，设△PAC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣x+与直线AC：y＝+8交于点A，直线AB分别交x轴、y轴于B、E，直线AC分别交x轴、y轴于点C、D．（1）求点A的坐标；（2）在y轴左侧作直线FG∥y轴，分别交直线AB、直线AC于点F、G，当FG＝3DE时，过点G作直线GH ⊥y轴于点H，在直线GH上找一点P，使|PF﹣PO|的值最大，求出P点的坐标及|PF﹣PO|的最大值；（3）将一个45°角的顶点Q放在x轴上，使其角的一边经过A点，另一边交直线AC于点R，当△AQR为等腰直角三角形时，请直接写出点R的坐标．14．模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED 于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA．模型应用：（1）已知直线l1：y＝x+4与y轴交与A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式．（2）如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出点D的坐标．15．如图，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动，当点D到达B点时C、D都停止运动．点E是CD的中点，直线EF⊥CD交y轴于点F，点E′与E点关于y轴对称．点C、D的运动时间为t（秒）．（1）当t＝1时，AC＝，点D的坐标为；（2）设四边形BDCO的面积为S，当0＜t＜3时，求S与t的函数关系式；（3）当直线EF与△AOB的一边垂直时，求t的值；（4）当△EFE′为等腰直角三角形时，直接写出t的值．16．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C（﹣4，﹣4）画平行于y轴的直线交直线AB于点D，CD＝10．（1）求点D的坐标和直线l的解析式；（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（不必书写解题过程）17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．（1）求点P的坐标．（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．（3）若在直线y＝﹣x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．18．如图，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣14x+4（AB+2）＝0的两个根（OB＞OA），P是直线l上A、B两点之间的一动点（不与A、B重合），PQ∥OB交OA 于点Q．（1）求tan∠BAO的值；（2）若S△PAQ＝S四边形OQPB时，请确定点P在AB上的位置，并求出线段PQ的长；（3）当点P在线段AB上运动时，在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．1．【解答】解：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形∴CB＝CA，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°又∵AD⊥CD，BE⊥EC∴∠D＝∠E＝90°又∵∠EBC+∠BCE＝90°∴∠ACD＝∠EBC在△ACD与△CBE中，∠D＝∠E，∠ACD＝∠EBC，CA＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）过点B作BC⊥AB交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°∴△ABC为等腰Rt△由（1）可知：△CBD≌△BAO∴BD＝AO，CD＝OB∵l1：，令y＝0，则x＝﹣3∴A（﹣3，0），令x＝0，则y＝4∴B（0，4）∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4∴OD＝4+3＝7．∴C（﹣4，7），设直线l2的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣3，0），C（﹣4，7）代入y＝kx+b中，得解得，k＝﹣7，b＝﹣21，则l2的解析式：y＝﹣7x﹣21；（3）如下图，设点Q（m，2m﹣6），当∠AQP＝90°时，由（1）知，△AMQ≌△QNP（AAS），∴AM＝QN，即|8﹣m|＝6﹣（2m﹣6），解得：m＝4或，故：Q（4，2），．2．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）联立y＝﹣x+6、y＝x并解得：x＝3，故点C（3，），S△AOC＝8×＝15＝S△BCP＝BP×（yP﹣yC）＝BP×（6﹣），解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）（3）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，如左图，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即|m﹣n|＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝或16，故点E（，）或（16，20）；②当∠EAP＝90°时，如右图，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14，故点E（2，）或（14，）；综上，E（，）或（14，）或；（2，）或（16，20）．3．【解答】解：（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，则点A、B的坐标分别为（6，0）、（0，3），联立式y＝x，y＝﹣x+3并解得：x＝2，故点C（2，2）；△COB的面积＝×OB×x C＝×3×2＝3；（2）设点P（m，﹣m+3），S△COP＝S△COB，则BC＝PC，则（m﹣2）2+（﹣m+3﹣2）2＝22+12＝5，解得：m＝4或0（舍去0），故点P（4，1）；（3）设点M、N、Q的坐标分别为（m，m）、（m，3﹣m）、（0，n），①当∠MQN＝90°时，∵∠GNQ+∠GQN＝90°，∠GQN+∠HQM＝90°，∴∠MQH＝∠GNQ，∠NGQ＝∠QHM＝90°，QM＝QN，∴△NGQ≌△QHM（AAS），∴GN＝QH，GQ＝HM，即：m＝3﹣m﹣n，n﹣m＝m，解得：m＝，n＝；②当∠QNM＝90°时，则MN＝QN，即：3﹣m﹣m＝m，解得：m＝，n＝y N＝3﹣＝；③当∠NMQ＝90°时，同理可得：n＝；综上，点Q的坐标为（0，）或（0，）或（0，）．4．【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣5，∴A（﹣5，﹣3），将点A代入y＝x+b，∴b＝4，∴直线l1的解析式y＝x+4；（2）l2：y＝﹣x﹣8与y轴的交点D（0，﹣8），∵将直线l2向上平移6个单位得到直线l3，直线l3与y轴交于点E，∴E（0，﹣2），∵过点E作y轴的垂线l4，点D是点C关于直线l4的对称点，作点A关于x轴的对称点A′（﹣5，3），连接AD′交x轴、l4于点N、M，则此时CM+MN+NA最小，最小值为：A′D，CM+MN+NA＝MD+MN+A′N＝A′D，A′D＝＝；∴CM+MN+NA的值最小为；（3）存在，理由：设点P、Q的坐标分别为：（m，m+4）、（n，﹣n﹣8），当点E在点P右边时，过点Q作x轴的平行线交y轴于点M，过点P作PN⊥QM于点N，PN交l4于点K，则△PNQ≌△EKP（AAS），∴PN＝KE，QN＝PK，即：m+4+n+8＝﹣m，m﹣n＝m+4+2，解得：m＝﹣3，∴点P（﹣3，﹣）当点E在点P的左侧时，同理可得：（﹣，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣）或（﹣，﹣5），5．【解答】解：（1）直线，则点B、D的坐标分别为：（，0）、（0，﹣2）；直线，则点C、E的坐标分别为：（4，0）、（0，4）；联立BD、CE的表达式并解得：x＝2，故点A（2，2）；（2）如图，将△APB绕点C逆时针旋转60°得到△EFC，则△BFP是等边三角形，∠ECB＝90°，BC＝3，AC＝＝CE，在Rt△EBC中，BE＝＝，∵PA+PB+PC＝EF+FP+PB≥BE，∴PA+PB+PC≥，∴PA+PB+PC的最小值为；（3）存在，理由：点D1（0，﹣3），点B（，0），则∠BD1O＝30°，B1D2∥x轴，则直线OD2的倾斜角为30°，设直线O1K的表达式为：y＝x+m，则点O1（0，m），点K（﹣m，0），则MO1＝﹣m，MK＝﹣m，KN＝﹣m，TN＝|﹣m﹣3|，则点T（3，﹣m）△O1KT能否以O1K为直角边构成等腰直角三角形，则O1K＝TK，TK⊥O1K，过点K作y轴的平行线分别交过点O1、T与x轴的平行线于点M、N，∵∠NKT+∠NTK＝90°，∠NKT+∠O1KM＝90°，∴∠O1KM＝∠NTK，∠KNT＝∠O1MK＝90°，O1K＝TK，∴△KNT≌△O1MK（AAS），∴TN＝KM，即：|﹣m﹣3|＝﹣m，解得：m＝，故点T（3，）或（3，）．6．【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于点C，则点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），∵∠CAO＝30°，则AC＝2OC＝6，则OA＝3，将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线AC的表达式为：y＝x+3；（2）如图2所示：①当0≤t≤3时，（左侧图），正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点M处，则点M（﹣3+t，0），则点H（﹣3+t，t），S＝S△AHM＝×AM×HM＝×t×t＝t2，②当3＜t≤3时，（右侧图），正方形的DA边交AC于点H，点A运动到点G处，E、F交直线AC于点R、S，AG＝t，则AS＝t﹣3，则RS＝（t﹣3），同理HG＝t，同理可得：S＝S梯形RSHG＝×3×（t+t﹣）＝t﹣；故：S＝；（3）∵点M为线段AC上一动点，经画图，∠MQN分别为90°时，点M不在线段AC上，①NMQ＝90°时，三角形QMN为等腰直角三角形，过点M作y轴的平行线交x轴于点G，过点N作x轴的平行线交MG于点R、交y轴于点H，设点M、N的坐标分别为（m，m+3）、（n，3﹣n），∵∠NMR+∠RNM＝90°，∠MNR+∠GMQ＝90°，∴∠GMQ＝∠RNM，∠NRM＝∠MGO＝90°，MR＝MQ，∴△NRM≌△MGO（AAS），则MG＝RN，GQ＝RM，即：n﹣m＝m+3，3﹣n﹣（m+3）＝1﹣m，解得：m＝﹣2，故点M的坐标为（﹣2，1）；②当∠MNQ＝90°时，同理可得：点M（﹣，2）；综上，点M的坐标为：（﹣2，1）或（﹣，2）．7．【解答】解：（1）直线l2：y＝x﹣，令x＝1，则y＝﹣4，故C（1，﹣4），把C（1，﹣4）代入直线l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，则l1为：y＝﹣x﹣3，所以A（﹣3，0），所以点P坐标为（﹣3，2），如图，设直线AC交y轴于点M，设y PC：y＝mx+t得：，解得，∴y PC＝﹣1.5x﹣2.5，即M（0，﹣2.5）．S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝（y Q+2.5）×4＝5，解得：y Q＝0或﹣5，∴Q的坐标为（0，0）或（0，﹣5）；（2）确定C关于过A垂线的对称点C′（﹣7，﹣4）、A关于y轴的对称点A′（3，0），连接A′C′交过A点的垂线与点P，交y轴于点Q，此时，CP+PQ+QA的值最小，将点A′、C′点的坐标代入一次函数表达式：y＝k′x+b′得：则直线A′C′的表达式为：y＝x﹣，即点P的坐标为（﹣3，﹣），（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：y＝﹣x﹣①当点M在直线l4上方时，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即，解得：，故点N的坐标为（﹣16，﹣4），②当点M在l4下方时，同理可得：N（﹣，﹣4），即：点N的坐标为（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）．8．【解答】解：（1）将点A（0，3）代入直线L1：y＝kx+k+1并解得：k＝2，故L1的表达式为：y＝2x+3，设：L1与x轴交点坐标为D，则其坐标为（﹣，0），直线l1与两坐标轴围成的面积＝OD×AO＝×3＝；（2）将直线L1经过2次斜平移，得到直线L2：y＝2（x﹣2）+3﹣2＝2x﹣3，当y＝3时，x＝3，即直线L2与AB的交点坐标为（3，3）；（3）①当∠QAM为直角时，点M在第四象限，舍去；②当∠AQM为直角时，对于L2，当x＝4时，y＝5，故点M（4，5）（舍去）；③当∠AMQ为直角时，AM＝MQ，过点M作x轴的平行线分别交AO、BC于点G、H，设点M（m，2m﹣3），点Q（4，n），∵∠AMG+∠GAM＝90°，∠AMG+∠QMH＝90°，∴∠QMH＝∠GAM，∠AGM＝∠MHQ＝90°，AM＝MQ，∴△AGM≌△MHQ（AAS），∴AG＝MH，即：|3﹣2m+3|＝4﹣m，解得：m＝2或，故点M（，）或（2，1），故点M（，）或（2，1）．9．【解答】解：（1）将点B坐标代入直线l的表达式得：m＝＝3，点B（2，3），令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故：直线BC的表达式为：y＝﹣3x+9；（2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则D点为所求，直线AB表达式得k值为，则直线OD的表达式为y＝x，将直线BC与OD表达式联立并解得：x＝，即：点D的坐标为（，）；（3）过点P作x轴的平行线分别于过点A、M与y轴的平行线于点G、H，设点P的坐标为（0，n）、点M（m，9﹣3m），∵∠GPA+∠GAP＝90°，∠GPA+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GAP，又PA＝PM，∠G＝∠H＝90°，∴△AGP≌△PHM（AAS），GP＝HM＝2，GA＝PH，即：，解得：m＝或，即点M的坐标为（，）或（，﹣）；（4）t＝+＝BE+AE，过点A作倾斜角为45度的直线l2，过点E作EF⊥l2交于点F，则：EF＝AE，即t＝BE+EF，当B、E、F三点共线且垂直于直线l2时，t最小，即：t＝BF′，同理，直线l2的表达式为：y＝﹣x﹣2，直线BF表达式为：y＝x+1，将上述两个表达式联立并解得：x＝﹣，即：点F′（﹣，﹣），t＝BF′＝＝．10．【解答】解：（1）直线l2：y＝，令x＝1，则y＝﹣4，故点C（1，﹣4），把点C（1，﹣4）代入直线l1：y＝﹣x+b，得：b＝﹣3，则直线l1的表达式为：y＝﹣x﹣3，（2）对于直线y＝﹣x﹣3，当y＝0时，有﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣3，即A（﹣3，0），如图，设直线AC交y轴于点M，设点P坐标为（﹣3，m），将点P、C的坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：，解得，即M．S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝•|2﹣+3|•（1+3）＝4，解得：m＝12或28，即点P的坐标为（﹣3，12）或（﹣3，28）；（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为①当点M在直线l4上方时，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即，解得．故点N的坐标为（﹣16，﹣4），②当点M在l4下方时，如图1，过点M作PQ∥x轴，与过点B作y轴的平行线交于Q，与过点N作y轴的平行线交于P，同①的方法得N（﹣，﹣4），③如图2中，当点N在y轴的右侧，△BMN是等腰直角三角形时，同法可得N（，﹣4）即：点N的坐标为（﹣，﹣4）或（﹣16，﹣4）或（，﹣4）．11．【解答】解：（1）直线l2：y＝x﹣，令y＝4，则x＝1，则点C（1，﹣4），令y＝0，则x＝4，即点B（4，0），把点C坐标代入直线l1：y＝﹣x+b得：b＝﹣3，则直线l1的表达式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，即点A（﹣3，0），S△ABC＝AB×|y C|＝7×4＝14；（2）如下图，设直线AC交y轴于点M，设点P坐标为（﹣3，m），将点P、C的坐标代入一次函数表达式y＝sx+t得：，解得：，即：点M坐标为（0，），S△CPQ＝QM×（x C﹣x P）＝（2﹣+3）×（1+3）＝2，解得：m＝16，即点P的坐标为（﹣3，16）当PC与y轴交于x轴上方时，同理可得：点P（﹣3，24），故点P（﹣3，16）或（﹣3，24）；（3）将E、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：y＝﹣x﹣，设点N（n，﹣4），点M（s，﹣s﹣），点B（4，0），过点N、B分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S，∵∠RMN+∠RNM＝90°，∠RMN+∠SMR＝90°，∴∠SMR＝∠RNM，∠MRN＝∠MSB＝90°，MN＝MB，∴△MSB≌△NRM（AAS），∴RN＝MS，RM＝SB，即：，解得：，故点N的坐标为（﹣16，﹣4）．12．【解答】解：（1）直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，则点A（﹣1，0），且OA＝OC，则点C（0，3），则k＝3，故直线AC的表达式为：y＝3x+3，∵∠CBA＝45°，∴OB＝OC＝3，∴点B（3，0），∵点C（0，3）、点B（3，0），则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；（2）当点P在线段BC时，过点P作PH⊥x轴于点H，∵∠CBA＝45°，PH＝PBsin45°＝t×＝t，S＝S△ABC﹣S△ABP＝×BA×（OC﹣PH）＝4×（3﹣t）＝6﹣2t，（0≤t≤3）；当点P在y轴右侧的射线BC上时，同理可得：S＝S△ABP﹣S△ABC＝2t﹣6，（t＞3）；故S＝；（3）设点M（0，m），点Q（n，3n+3），①如图2（左侧图），当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），分别过点Q、P作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，∵∠GMQ+∠MQG＝90°，∠GMQ+∠HMB＝90°，∴∠HMB＝∠GQM，∠MHB＝∠QGM＝90°，MB＝MQ，∴△MHB≌△QGM（AAS），∴GQ＝MH，BH＝GM，即：m＝﹣n，m﹣3n﹣3＝3，解得：m＝，n＝﹣；故点M（0，）、点Q（﹣，﹣）；同理当点M在x轴下方时，3n+3﹣m＝3且﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；②当∠MQB＝90°时，同理可得：﹣n＝﹣3n﹣3，3n+3﹣m＝3﹣n，解得：m＝﹣6，n＝﹣，故点M（0，﹣6）、点Q（﹣，﹣）；③当∠QBM＝90°时，同理可得：﹣3n﹣3＝3，m＝3﹣n解得：m＝5，n＝﹣2，点M（0，5）、点Q（﹣2，﹣3）；综上，M（0，）、Q（﹣，﹣）或M（0，﹣6）、Q（﹣，﹣）或M（0，5）点Q（﹣2，﹣3）．13．【解答】解：（1）联立，解得：，故点A的坐标为（﹣2，7）；（2）由题意得：点E、D、B、C的坐标分别为（0，）、（0，8）、（，0）、（﹣16，0），过点A作MN∥x轴，分别交FG、DE于点M、N，则：AN＝2，∵FG∥DE，∴△AFG∽△AED，∴＝3，则AM＝6，∴点M的横坐标为：﹣8，则点F、G的坐标分别为（﹣8，）、（﹣8，4），在y轴上找到点O关于直线GH的对称点O′（0，8），连接FO′并延长，交直线GH于点P，此时，|PF﹣PO|的值最大，最大值为PO′，直线O′F的表达式为：y＝﹣x+8，当y＝4时，x＝，即点P坐标为（，4），|PF﹣PO|＝FO′＝＝，故：点P坐标为（，4），|PF﹣PO|＝；（3）△AQR为等腰直角三角形，有如下图所示的两种情况，①当AQ⊥AC，当点R在点A下方时，∴直线AQ的表达式为：y＝﹣2x+b，将点A坐标代入得：7＝﹣2×（﹣2）+b，解得：b＝3，故：直线AQ的表达式为：y＝﹣2x+3，则点Q坐标为（，0），过点A作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，围成矩形GMQH，∠GAR+∠QAH＝90°，∠QAH+∠AQH＝90°，∴∠AQH＝∠GAR，∠AGR＝∠QHA＝90°，AR＝AQ，∴△AGR≌△QHA（AAS），∴HQ＝GA＝7，GR＝AH＝2+＝，OM＝2+GA＝9，∴RM＝7﹣＝故点R的坐标为（﹣9，），当点R在点A上方时，同理可得点R坐标为（5，）；②当R′Q′⊥AC时，同理，点R′的坐标为（12，14）或（﹣，），故：点R的坐标为（﹣9，）或（5，）或（12，14）或（﹣，）．14．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，又∵∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）；（2）解：过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，如图1，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝x+4，∴A（0，4），B（﹣3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C（﹣7，3），设l2的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，∴，∴l2的解析式：y＝x+4；（3）当点D位于直线y＝2x﹣6上时，分两种情况：①点D为直角顶点，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x﹣6）；则OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；则△ADE≌△DPF，得DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，x＝4；∴D（4，2）；当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x﹣6）；则OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x；同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，x＝；∴D（，）；②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x﹣6），则CF＝2x﹣6，BF＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12；同（1）可得，△APB≌△PDF，∴AB＝PF＝8，PB＝DF＝x﹣8；∴BF＝PF﹣PB＝8﹣（x﹣8）＝16﹣x；联立两个表示BF的式子可得：2x﹣12＝16﹣x，即x＝；∴D（，）；综合上面六种情况可得：存在符合条件的等腰直角三角形；且D点的坐标为：（4，2），（，），（，）．15．【解答】解：（1）如图1，过D作DH⊥AC于H，∵直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A，A、B，∴A（﹣3，0），B（0，4），∴AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝＝5，当0≤t≤3时，如图1，∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3﹣t，DH＝AD•sin∠BAO＝t，AH＝ADcos∠BAO＝t，当t＝1时，AC＝3﹣1＝2，点D的坐标为（，）；（2）∵AO＝3，BO＝4，AB＝5∴sin∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝过D作DH⊥AC于H，当0≤t≤3时，如图1，∵CO＝t，AD＝t，∴AC＝3﹣t，DH＝AD•sin∠BAO＝t，∴S＝S△ABO﹣S△ADC＝×3×4﹣•（3﹣t）•t，S＝t2﹣t+6（0＜t＜3）．（3）如图2，当EF⊥BO时，∵EF⊥CD，∴CD∥BO，∴∠ACD＝90°，在Rt△ADC中，＝cos∠BAO，∴＝，t＝，当EF⊥AB时，如图3，∵EF⊥CD，∴直线CD和直线AB重合，∴C点和A点重合，∴t＝3．（4）①如图4，当0＜t＜，且且重叠部分为等腰梯形PEQM时，则∠PEQ＝∠MQE，∵菱形CDMN，∴CD∥MN，∴∠MQE＝∠CEQ，∵EF⊥CD，即∠CEF＝90°，∴∠CEQ＝45°，∴∠ACD＝∠CEQ＝45°，过D作DH⊥AC于H，则△DHC是等腰直角三角形，∴DH＝HC，∴t＝3﹣t﹣t，∴t＝；②如图5，当＜t＜5，且重叠部分为等腰梯形EHNK时，同理可得∠CHE＝45°，连接DHDH，∵EF垂直平分CD，∴CH＝DH，∠DHE＝∠CHE＝45°，∴∠DHC＝90°，∴DH＝t，而CH＝CO﹣HO＝CO﹣（AO﹣AH）＝t﹣（3﹣t），∴t﹣（3﹣t）＝t，∴t＝．16．【解答】解：（1）∵CD＝10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），∴点D的坐标为（﹣4，6），把点D（﹣4，6）代入得，m＝4．∴直线l的解析式是；（2）∵，∴A（8，0），B（0，4），过点C画CH⊥y轴于H，则CH＝OH＝4，BH＝8．在△AOB和△BHC中，∵AO＝BH，∠AOB＝∠BHC，BO＝CH，∴△AOB≌△BHC，∴AB＝BC，∠HBC＝∠OAB，∴∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）p（﹣4，﹣）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣12）或（﹣4，﹣4）或（﹣4，4）．17．【解答】解：（1）作PK⊥MN于K，则PK＝KM＝NM＝2，∴KO＝6，∴P（6，2）；（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S＝0；②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA＝AH＝2b﹣4，∴S＝（2b﹣4）2＝2b2﹣8b+8，③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN＝AH＝8﹣2b，∴S＝S△PMN﹣S△ANH＝4﹣2（4﹣b）2＝﹣2b2+16b﹣28，④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S＝4；（3）以OM为直径作圆，当直线y＝﹣x+b（b＞0）与圆相切时，b＝+1，如图（五）；当b≥4时，重合部分是△PMN，S＝4设Q（x，b﹣x），因为∠OQM＝90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ2+QM2＝OM2，即[x2+（b﹣x）2]+[（x﹣4）2+（b﹣x）2]＝42，整理得x2﹣（2b+8）x+2b2＝0，x2﹣（b+4）x+b2＝0，根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）2﹣5b2≥0，﹣b2+2b+4≥0，b2﹣2b﹣4≤0，可以解得 1﹣≤b≤1+，由于b＞0，所以0＜b≤1+．故0＜b≤+1；（4）b的值为4，5，．∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）当PC＝PD时，b＝4；当PC＝CD时，b1＝2（P、C、D三点共线，舍去），b2＝5；当PD＝CD时，b＝8±2．18．【解答】解：（1）∵OA、OB的长分别是关于x的方程x2﹣14x+4（AB+2）＝0的两个根，∴OA+OB＝﹣＝14，由已知可得，又∵OA2+OB2＝AB2，∴（OA+OB）2﹣2OA•OB＝AB2，即142﹣8（AB+2）＝AB2，∴AB2+8AB﹣180＝0，∴AB＝10或AB＝﹣18（不合题意，舍去），∴AB＝10，∴x2﹣14x+48＝0，解得x1＝6，x2＝8，∵OB＞OA，∴OA＝6，OB＝8，∴tan∠BAO＝．（2）∵S△PAQ＝S四边形OQPB，∴S△PAQ＝S△AOB，∵PQ∥BO，∴△PQA∽△BOA，∴，∴．∵AB＝10，∴AP＝5，又∵tan∠BAO＝，∴sin∠BAO＝，∴PQ＝PA•sin∠BAO＝．（3）存在，设AB的解析式是y＝kx+b，则，解得：，则解析式是：y＝﹣x+8，即4x+3y＝24（*）①当∠PQM＝90°时，由PQ∥OB且|PQ|＝|MQ|此时M点与原点O重合，设Q（a，0）则P（a，a）有（a，a）代入（*）得a＝．②当∠MPQ＝90°，由PQ∥OB且|MP|＝|PQ|设Q（a，0）则M（0，a），P（a，a）进而得a＝247．③当∠PMQ＝90°，由PQ∥OB，|PM|＝|MQ|且|OM|＝|OQ|＝|PQ|设Q（a，0）则M（0，a）点P坐标为（a，2a）代入（*）得a＝125．综上所述，y轴上有三个点M1（0，0），M2（0，247）和M3（0，125）满足使△PMQ为等腰直角三角形．。

DyxOCB A一次函数中等腰三角形的存在性若△ABC 是等腰三角形，则分三种情况分类讨论：AB=AC ；BA=BC ；CA=CB ，然后利用等腰三角形的性质或勾股定理计算（或建立方程）解题。

如图①，在直线l 上找一点C ，使得△ABC 为等腰二用形。

图① 图②（1）若AB=AC ，以A 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 1，C 2；（2）若BA=BC ，以B 点为圆心，AB 为半径画圆，交直线l 于两点C 3，C 4；（3）若CA=CB ，作AB 的中垂线交直线l 于点C 5.上述寻找等腰三角形的方法简称“两圆一线（垂直平分线）”。

例：已知直线经过点A （-2，0），B （0，3） （1）求直线的解析式；（2）在x 轴上有一点P ，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标。

跟踪练习：1、如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴和y 轴分别交于点A(6,0)和B(0, 23),再将△AOB 沿直线CD 对折,使点A 与点B 重合.直线CD 与x 轴交于点C,与AB 交于点D 、(1)试确定这个一次函数的解析式;(2)求点C 的坐标;(3)在x 轴上是否存在一点P,使△PAB 是等腰三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由.2、如图，直线y ＝4-3x +8与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，M 是OB 的上的一点，若将△ABM 沿AM 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）求直线AM 的表达式；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，直线l₁：y＝x+2与直线l₂：y＝kx+b相交于点P（1，m）（1）写出k、b满足的关系；（2）如果直线l₂：y＝kx+b与两坐标轴围成一等腰直角三角形，试求直线l₂的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设直线l₂与x轴相交于点A，点Q是x轴上一动点，求当△APQ是等腰三角形时的Q点的坐标．4、如图，在平面直角坐标系中，过点 B（6，0）的直线 AB 与直线 OA 相交于点 A（4，2）．(1)求直线 BC 的函数表达式；(2)若在 x轴上存在一点 M，使 MA+MC 的值最小，请求出点 M 的坐标；(3)在 y轴上是否存在点 N，使△AON 是等腰三角形？如果存在，直接写出点 N 的坐标；如果不存在，说明理由．。

鲁教版2023-2024一次函数专题复习---一次函数存在性问题之—次函数存在性之等腰三角形知识点精讲1．存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果. 2．存在性问题处理框架：①研究背景图形．②分析不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解.④结果验证．3．不变特征举例：①等腰三角形以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定点的位置．两个定点一动点构成等腰三角形的策略方法一①首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点．（若某边底，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况），先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标（标横表纵），按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程．解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点（就是不能构成三角形这个题意)．方法二①(两圆一线）或（两圆一垂）当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点，若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在，②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在，用以上方法即可找出所有符合条件的点．特殊①y＝x＋b与x轴所夹的锐角为45°；②y＝±3x＋b与x轴所夹的锐角为60°；③y＝±33x＋b与x轴所夹的锐角为30°.注意：函数与坐标轴夹角为特殊角要进行简单的过程书写，不可以直接用．函数是一个工具，将几何与函数有机的结合，特殊三角形角的边长关系：30°，60°，90°的直角三角形比例为1：2：3．120°的等腰三角形比例为1：1：3．45°，45°，90°比例为1：1：2．1. 如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB=3, BC=5．点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．(1)求折痕AE所在直线的函数解析式；(2)若把翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，连结OF，若△OAF是等腰三角形，求m的值2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C 在线段OA 上，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转90°得到CD ，此时点D 恰好落在直线AB 上时，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：BOC ≌CED ；（2）求经过 A 、B 两点的一次函数表达式及点D 的坐标；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P 点的坐标．（不用写过程）ABQ ABP S S =时，求出发，以每秒1个单位的速度沿直线于点N ．在运动过程中，使得AMN 为等腰三角形？4如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于点C、B．与直线y＝x相交于点A．（1）求A点坐标；（2）如果在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标；（3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，与正比例函数12y x 的图象交于点A．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若动点M在线段AC上运动，当OMC的面积是OAC的面积的12时，求出此时点M的坐标．（3）在y轴上是否存在点N，使NAC为等腰三角形，若存在，直接写出点N的坐标；若不存在．请说明理由．6．如图1，平面直角坐标系中，过A（，3）作AC∥x轴，交y轴于C，交直线OB于点B，已知∠BOC＝30°．（1）求直线OB解析式；（2）F为线段OC上一动点，连接AF，求AF+FO的最小值及此时F点坐标；（3）如图2，在（2）条件下，当AF+FO取得最小值时，将△CF A绕C顺时针旋转60°得到△CF'A'，过点F′作CF′的垂线与直线AC交于点Q，此时有一点D（2，4），请问在y轴上是否存在点S，使得以D，S，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出S的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象与x轴交于点C，与y轴交于点A，与正比例函数的图象交于点B，且点B的横坐标为2，点P为y轴上的一个动点．（1）求B点的坐标和k的值；（2）连接CP，当△ACP与△AOB的面积相等时，求点P的坐标；（3）连接BP，是否存在点P使得△P AB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图1，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC＝AB，直线AC交x轴于点D．（1）点A的坐标为，点B的坐标为；（2）直接写出点C的坐标，并求出直线AC的函数关系式；（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接OP，得到图2．当点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等时，直接写出△AOP的面积；（4）若点Q是图1中坐标平面内不同于点B、点C的一点，当以点C，D，Q为顶点的三角形与△BCD全等时，直接写出点Q的坐标．9综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x、y轴于点A、B，点C在y轴上，AC平分∠OAB．（1）求点A、B的坐标；（2）求线段BC的长；（3）在平面直角坐标系中是否存在点D，使得△ABD是以AB为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．10.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC＝8，OD＝3OC．（1）求直线CD的解析式；（2）点Q为直线AB上一动点，若有，请求出Q点坐标；（3）点M为直线AB上一动点，点N为y轴上一动点，是否存在以点M，N，C为顶点且以MN为直角边的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程，若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点B（3，0）．（1）求直线BC的解析式；（2）点G是线段BC上一动点，若直线AG把△ABC的面积分成2：1的两部分，请求点G的坐标；（3）已知D为AC的中点，点P是平面内一点，当△CDP是以CD为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P 的坐标．。

中考数学因动点产生的等腰三角形问题详
解
近年来，中考数学中因动点产生的图象问题，因其能较好地考查学生的空间想象能力和实际操作能力而备受
命题者的青睐。

思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第(2)题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂，计算简单，分三段表达.一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x=y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值.
满分解答
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一次函数两圆一线求等腰【引言】等腰三角形是初中数学中比较重要的一个概念，它具有两边长度相等的特点。

在几何学中，有许多方法可以构造等腰三角形，其中一种方法是通过一次函数、两个圆和一条直线的组合。

本文将介绍这种构造方法，帮助读者更好地理解等腰三角形的特性和构造原理。

【一次函数与等腰三角形】一次函数是指函数的最高次项为一次的多项式函数，也被称为线性函数。

它的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

我们可以利用一次函数的性质来构造等腰三角形。

具体做法如下：【构造等腰三角形的步骤】步骤一：选择一次函数y = kx + b，其中k不等于零。

这个函数代表了直线的方程。

步骤二：选择两个圆，分别以直线y = kx + b上的两个点为圆心，半径分别为r1和r2。

这两个圆代表了两个顶点的位置。

步骤三：连接两个圆的圆心，并延长直线，直到与一次函数的图像相交。

这条直线就是等腰三角形的底边。

步骤四：连接两个圆的圆心，并延长直线，直到与一次函数的图像相交的另一点。

这个点就是等腰三角形的顶点。

步骤五：连接等腰三角形的底边上的两个顶点和顶点，得到等腰三角形。

【构造等腰三角形的实例】为了更好地理解构造等腰三角形的方法，我们来看一个具体的实例。

假设我们选取一次函数y = 2x + 1，圆心分别为A(-1, -1)和B(1, 3)，半径分别为r1 = 2和r2 = 3。

我们连接两个圆的圆心并延长直线，直到与一次函数的图像相交。

假设相交点为C，如下图所示：[图1]然后，我们再连接两个圆的圆心并延长直线，直到与一次函数的图像相交的另一点。

假设相交点为D，如下图所示：[图2]我们连接等腰三角形的底边上的两个顶点和顶点，得到等腰三角形ABC，如下图所示：[图3]【等腰三角形的性质】通过一次函数、两个圆和一条直线的组合构造的等腰三角形具有以下性质：性质一：等腰三角形的两边长度相等。

性质二：等腰三角形的顶角和底角相等。

性质三：等腰三角形的底边中垂线和底边相等。

一次函数存在性问题------------等腰三角形1. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A(m,0)，直线l2与y轴交于点B(0,n)，直线l1与l2相交于点E(3,5)，且m，n满足√18−3n−2√3n−18=m+2.(1)求直线l1,l2的解析式．(2)计算AE的长．(3)F是x轴上一动点,当△AEF是等腰三角形时,求点F的坐标．2. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y=x，直线l2的解析式为y=kx+b，与x轴、y轴分别交于点A、点B，其中A的坐标(6,0)，B的坐标(0,3)，直线l1与l2交于点C．(1)求出直线l2的解析式：(2)求△COB的面积：(3)在y轴上是否存在一点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C(0,4)，动点M从A点以每秒1 3. 如图，直线L:y=−12个单位的速度沿x轴向左移动．(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；(3)当△ABM为等腰三角形时，直接写出此时M点的坐标．x+4与x轴、y轴相交于A、B两点．4. 已知直线y=43(1)求A、B两点的坐标；(2)将直线AB进行平移，平移后的函数解析式为y=kx+b，并与x轴、y轴相交于C、D两点，当S△OCD=24时，求直线CD的解析式；(3)在x轴上有一点P，使得△ABP是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线y=x+2与直线y=nx+5相交于点C(m,4)。

(1)求m，n的值；(2)直线y=nx+5与x轴交于点D，动点P从点D开始沿线段DA以每秒1个单位的速度向A点运动，设点P的运动时间为t秒．①若△ACP的面积为12，求t的值；②是否存在某一时刻t使△ACP为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在,说明理由．6. 如图，以矩形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB=3, BC=5．点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE 翻折，点D恰好落在BC边上，记为F．(1)求折痕AE所在直线的函数解析式；(2)若把翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m个单位，连结OF，若△OAF是等腰三角形，求m的值7. 如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,6)的直线AB与直线OC相交于点C(2,4)，动点P沿路线O→C→B运动.(1)求直线AB的解析式；(2)当△OPB的面积是△OBC的面积的1时，求出这时点P的坐标；4(3)当点P在CB上运动时，是否存在点P，使△OBP是直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.x+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2⊥l1于点B．已知8. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1:y=−34位于第三象限的点C在直线l2上，且AB=BC(1)求点C的坐标；(2)已知点N(−1,0)在x轴负半轴上，点M是AB上一点，连接MN，MC，则MN+MC的值最小，求点M的坐2标；(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点P，使以M，N，P为顶点三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的P点的坐标．9.如图，直线y=−2x+7与x轴，y轴分别相交于点C，B，与直线y=x相交于点A．(1)求A点坐标；(2)在y轴上存在一点P，使△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则P点坐标是________；(3)在直线y=−2x+7上是否存在点Q，使△OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知OA=OB=6，点P是第一象限内在直线AB上一点．(1)直接写出k，b的值；(2)设P(x, y)，求△OPA的面积S与x的函数解析式；(3)当△POA是等腰三角形，求点P的坐标．11. 如图，过点B(0,3)的直线与直线y=x，x轴分别交于点C，点A，且AC=2BC.(1)求直线AB的解析式；(2)求△AOC的面积；(3)点Q从点O向点A匀速运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒，是否存在t值，使△OCQ是等腰直角三角形，如存在，直接写出t值，如不存在，说明理由．x+2的图像交x轴、y轴分别于A，B两点，交直线y=kx于P(2,a).12. 在平面直角坐标系中，一次函数y=−12(1)求点A，B的坐标；(2)若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；13.如图,一次函数y1=2x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A,B,一次函数y2=kx+b的图象与x轴交于点C(4,0),与一次函数y1的图象交于点D(1,n)(1)求一次函数y2的解析式;(2)连接BC，P是一次函数y₂图象上的点,若S∆ACP=2S∆BCD.,求点P的坐标;(3)在x轴上是否存在点Q,使△QCD是等腰三角形?如果存在,请直接写出所有符合条件的点Q坐标;如果不存在,请说明理由。

专题27 一次函数与等腰三角形结合1．已知一次函数y 1=k 1x +b 1和y 2=k 2x +b 2图象如图所示，直线y 1与直线y 2交于A 点（0，3），直线y 1、y 2分别与x 轴交于B 、C 两点．(1)求函数 y 1、y 2的解析式．(2)求△ABC 的面积．(3)已知点P 在x 轴上，且满足△ACP 是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．2．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴和y 轴分别交于点()4,0A 和点B ，正比例函数34y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象交于点()2,D n ．(1)求直线AB 的解析式；(2)求OD 的长；(3)设P 是x 轴上一动点，若使PAB 是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P 的坐标． 3．如图，直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点C 、B ，与直线32y x =相交于点A ．(1)求A 点坐标；(2)在直线27y x =-+上是否存在点Q ，使OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．(3)如果在y 轴上存在一点P ，使得OAP △为等腰三角形，求P 点的坐标．4．如图直线27y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点C 、B ，与直线32y x =交于点A ．(1)求点A 的坐标；(2)如果在y 轴上存在一点P ，使OAP △是以OA 为底边的等腰三角形，则点P 的坐标是________；(3)点Q 在线段AB 上，使OAQ 的面积等于6，求点Q 的坐标．5．如图，一次函数的图象经过点A （4，0）和点D （2，1.5），与y 轴交于点B ，将△AOB 沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．(1)求一次函数解析式；(2)求DC 的长；(3)点P 是x 轴上一动点，若△P AB 是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．6．已知一次函数111y k x b =+和222y k x b =+图像如图所示，直线1y 与直线2y 交于A 点(0,3)，直线1y 、2y 分别与x 轴交于B 、C 两点．(1)求函数1y 、2y 的解析式．(2)求ABC 的面积．(3)已知点P 在x 轴上，且满足ACP △是等腰三角形，请直接写出P 点的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ．(1)求点A 和点B 的坐标；(2)若点P 在x 轴上，且12BOP AOB S S =△△，求点P 的坐标． (3)在y 轴是否存在点M ，使三角形MAB 是等腰三角形，若存在，请直接写出点M 坐标，若不存在，请说明理由．8．如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,3B ，与正比例的函数y x =的图象交于点C ．(1)求一次函数的解析式及点C 的坐标；(2)请结合图象直接写出不等式组02kx b <+≤的解集；(3)在x 轴上是否存在一点P ，使COP 是等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，把矩形OABC 放入平面直角坐标系xOy 中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴的正半轴上，对角线AC 所在直线解析式为5153y x =-+，将矩形OABC 沿着BE 折叠，使点A 落在边OC 上的点D 处．(1)求点E 的坐标；(2)在y 轴上是否存在点P ，使PDE △为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知一次函数1y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 在y 轴上（M 不与原点重合），并且使以点A ，B ，M 为顶点的三角形是等腰三角形，则M 的坐标为______ ．二、解答题(共0分)11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数28y x =-+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，点C ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点A ，过点C 作CB y ⊥轴，垂足为点C ，两条垂线相交于点B ．(1)填空：线段AC 的长为___________；(2)折叠图1中的ABC ，使点A 与点C 重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，如图2．①求线段AD 的长___________．②在y 轴上，是否存在点P ，使得APD △为以AP 为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知四边形OABC 是边长为4的正方形，分别以OA 、OC 所在的直线为x 轴、y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l 经过A 、C 两点．(1)求直线l的函数表达式；(2)若P 是直线l 上的一个动点，请直接写出当△OP A 是等腰三角形时点P 的坐标；(3)如图2，若点D 是OC 的中点，E 是直线l 上的一个动点，求使OE +DE 取得最小值时点E 的坐标．13．一次函数y kx b =+的图像经过点()09A ，，并与直线53y x =相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．(1)求点B 的坐标和k ，b 的值；(2)点Q 为直线y kx b =+上一动点，当点Q 运动到何位置时，OBQ △的面积等于274？请求出点Q 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点P ，使PAB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，直线4y x =--交x 轴和y 轴于点A 和点C ，点B 的坐标为()02，，作出直线AB .(1)求点A 的坐标，并求出直线AB 的解析式；(2)在x 轴上是否存在一点M ，使ABM 是以AB 为腰的等腰三角形，若存在请求出点M 的坐标；若不存在请说明理由；(3)点P 为线段AB 上一动点,当BCP BAO ∠=∠时，求点P 的坐标．15．如图1，平面直角坐标系中，一次函数132y x =+图象分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，一次函数y x b =-+的图象经过点B ，并与x 轴交于点C ，点P 是直线AB 上的一个动点．(1)求点A、点B的坐标；(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点PQ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．P，使3(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．C16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，在x轴上运动（不与点O、点A重合），连接BC．(1)若点C为（3，0），则△ABC的面积为；(2)若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O、点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3)在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，A（0B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P 作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；(2)若△OBP 是以OB 为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P 的坐标；(3)求OP ＋PM 的最小值．18．如图，在平面直角坐标xOy 中，已知直线y ＝﹣2x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，直线l 过原点，与AB 交于点C ，△OBC 的面积为13．(1)求A 、B 两点的坐标．(2)求直线l 的解析式．(3)若直线l 上有一动点P （不与O 重合），连接AP ，PQ ⊥AP ，交x 轴于点Q ，当△AOP 为等腰三角形时，求点Q 的坐标．19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴交于点B ，直线334y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)直接写出点B 、C 的坐标：(2)点(),M x y 是直线1y x =+图象上一点，设BCM 的面积为S ，请求出S 关于x 的函数关系式；并探究当点M 运动到什么位置时（求出M 点坐标即可），BCM 的面积为10，并说明理由．(3)线段CD 上是否存在点P ，使CBP 为等腰三角形，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．。