2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟(文)试题(解析版)

四川省成都市2020年高三第二次诊断性考试数学文（2020成都二诊）数 学（文史类）本试卷分选择题和非选择题两部分第I 卷（选择题）第1至2页，第II 卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己旳姓名，考籍号填写在答题卡规定旳位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目旳答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦拭干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定旳位置上。

4.所有题目必须在答题卡上做答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出旳四个选项中，有且只有一项是符合题目要求旳.1.设集合{}30≤=x x A ＜，{}21-＞，或＜x x B =，则=⋂B A （A ）(]3,2 （B ）()()∞+⋃∞，，01-- （C ）(]3,1- （D ）()()∞+⋃∞，，20- 2.设复数i z +=3（i 为虚数单位）在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转0°得到OB ，则点B 在（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3.执行如图旳程序框图，若输入旳x 值为7，则输出旳x 旳值为（A ）2（B ）3（C ）3log 2（D ）41 4.在平面直角坐标系xoy 中，P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤01021y x y x y 所表示旳平面区域上一动点，则直线OP 斜率旳最大值为（A）2 （B）1 （C）21（D）315.已知βα,是两个不同旳平面，则“平面//α平面β”成立旳一个充分条件是（A）存在一条直线l，βα//,ll⊂（B）存在一个平面γ，βγαγ⊥⊥,（C）存在一条直线βα⊥⊥ll l,,（D）存在一个平面βγαγγ⊥,//,6.下列说法正确旳是（A）命题“若12＞x,则1＞x”否命题为“若12＞x，则1≤x”（B）命题“若1,2＞xRx∈”旳否定是“1,2＞xRx∈∀”（C）命题“若yx=，则yx coscos=”旳逆否命题为假命题（D）命题“若,yx=则yx coscos=”旳逆命题为假命题7.已知实数41，，m构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+ymx旳离心率为（A）22（B）3（C）22或3（D）21或3 8.已知P是圆()1122=+-yx上异于坐标原点O旳任意一点，直线OP旳倾斜角为θ，若dOP=，则函数()θfd=旳大致图像是9.已知过定点()0,2旳直线与抛物线yx=2相交于()()2211,,,yxByxA两点.若21,xx是方程0cossin2=-+ααxx旳两个不相等实数根，则αtan旳值是（A）21（B）21-（C）2 （D）-210.已知定义在R上旳奇函数)(xf，当0＞x时，.2),2(2120,12)(1⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-＞＜xxfxxfx则关于x旳方程()[]()0162=--x f x f 旳实数根个数为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣3＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{x|﹣6＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）设（1+i）•z＝1﹣i，则复数z的模等于（）A．B．2C．1D．3．（5分）已知α是第二象限的角，，则sin2α＝（）A．B．C．D．4．（5分）设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a5．（5分）随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，如图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差6．（5分）阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．7．（5分）设等比数列{a n}，则“a1+a3＜2a2”是“a1＜0”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要8．（5分）设x，y满足，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．（5分）设函数，则y＝f（x），x∈[﹣π，π]的大致图象大致是的（）A．B．C．D．10．（5分）对任意x∈R，不等式e x﹣kx≥0恒成立，则实数k的取值范围是（）A．[0，e）B．（0，e]C．[0，e]D．（﹣∞，e]11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，，，则sin C＝（）A．B．C．D．12．（5分）如图示，三棱椎P﹣ABC的底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，且P A＝PB＝AB＝，PC＝，则点C到面P AB的距离等于（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为．14．（5分）已知，，则与夹角的余弦值为．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．16．（5分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），F1、F2是椭圆Γ的左、右焦点，A为椭圆Γ的上顶点，延长AF2交椭圆Γ于点B，若△ABF1为等腰三角形，则椭圆Γ的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）设数列{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，a1＝1．若a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）[0.6，0.7）频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1）[0.1，0.2）[0.2，0.3）[0.3，0.4）[0.4，0.5）[0.5，0.6）频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（12分）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E 为AD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求证：平面ACD⊥平面BCE；（Ⅲ）若F为BD的中点，求四面体CDEF的体积．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点（0，1），离心率为，A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线y＝x﹣1与椭圆交于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：k AB•k OC为定值．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1，a∈R．（Ⅰ）a＝0时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的多数方程为，（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（1）求t的普通方程及C的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点P到l距离的取值范围．23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x+a|（a∈R）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）∀m∈（0，1），∃x0∈R，，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．90；14．；15．（﹣3，0）∪（3，+∞）；16．；三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．17．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差不为零d（d≠0），∵a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列．∴，∴，∴a n＝2n﹣1，（Ⅱ∵b n＝＝＝．则数列{b n}的前n项和T n＝＝18．解：（1）根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图，如下图：（2）根据频率分布直方图得：该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为：p＝（0.2+1.0+2.6+1）×0.1＝0.48．（3）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：（1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65）＝0.48，使用节水龙头50天的日均用水量为：（1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55）＝0.35，∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：365×（0.48﹣0.35）＝47.45m3．19．解：（Ⅰ）证明：∵∠CBA＝∠CBD＝，∴AB⊥BC，BD⊥BC，∵AB∩BD＝B，∴BC⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴AD⊥BC．（Ⅱ）证明：∵AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴BE⊥AD，AC＝DC，∴CE⊥AD，∵BE∩CE＝E，∴AD⊥平面BCE，∵AD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCE．（Ⅲ）解：∵F为BD的中点，在四棱锥A﹣BCD中，AB＝BC＝BD＝2，AD＝2，∠CBA＝∠CBD＝，点E为AD的中点．∴EF＝＝1，DF＝＝1，DE＝＝，∴S△DEF＝＝．∴四面体CDEF的体积：V C﹣DEF＝＝＝．20．解：（Ⅰ）由题意可得b＝1，＝，a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：5x2﹣8x＝0，解得x＝0，或x＝，x＝0时，y＝﹣1，x＝时y＝，即M（0，﹣1），N（，），所以|MN|＝＝＝；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由++＝，可得C（﹣x1﹣x2，﹣y1﹣y2），因为直线AB、OC的斜率都存在，所以k AB＝，k OC＝＝，所以k AB•k OC＝，因为A，B在椭圆上，所以，所以+y12﹣y22＝0，即＝﹣，所以可证：k AB•k OC为定值﹣．21．解：（I）当a＝0时，f（x）＝e x﹣x﹣1，f′（x）＝e x﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝0时，函数取得最小值f（0）＝0，（II）f′（x）＝e x﹣2ax﹣1，令g（x）＝e x﹣2ax﹣1，x≥0，则g′（x）＝e x﹣2a，（i）当a时，g′（x）＞0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0，满足题意；（ii）当a＞时，由g′（x）＝0可得x＝ln（2a），当x∈（0，ln2a）时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（x）＜f（0）＝0不合题意，综上可得，a的范围（﹣]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．解：（1）直线l的参数方程为，（t为参数），消去参数t可得l的普通方程为．曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3＝0，可得C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3＝0．（2）C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝1，圆心为C（2，0），半径为1，所以，圆心C到l的距离为，所以，点P到l的距离的取值范围是．23．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝，∵f（x）＞4，∴或或，∴x＞2或x＜﹣2故不等式f（x）＞4的解集为（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣1|+|x+a|≥|（x+a）﹣（x﹣1）|＝|a+1|．∀m∈（0，1），＝（当时等号成立）依题意，∀m∈（0，1），∃x0∈R，有，则|a+1|＜9，∴﹣10＜a＜8，故实数a的取值范围是（﹣10，8）．。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）2=2-i（i为虚数单位），则|z|为（）A. 2B.C.D. 12.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A. {x|-2≤x＜1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|-1≤x≤1}D. {x|x＜1}3.在（）n的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则n=（）A. 9B. 8C. 7D. 64.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A. B. C. 2 D. 25.在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）A. B. C. D.6.如果执行如图所示的程序框图，输出的S=110，则判断框内应填入的条件是（）A. k＜10？B. k≥11？C. k≤10？D. k＞11？7.已知函数f（x）=x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g （x）的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则|x1-x2|的值可能为（）A. B. C. D.8.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A. B. C. 3 D.9.给出下列说法：①“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件；②命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＞2”．③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种．其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 310.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A.B.C.D.11.设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=若函数g（x）=f（f（x））-2恰有5个零点，且最小的零点小于-4，则a的取值范围是（）A. （-∞，-1）B. （0，+∞）C. （0，1）D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______．14.已知实数x，y满足，若x-y的最大值为6，则实数m=______．15.已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的体积为8π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．16.已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x-2）2+y2=1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，设b n=，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n=b n•2n-1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n-1≤λc n恒成立的λ的取值范围．18.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近日需求量1518212427频数108732（）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率．若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为X（单位：元）（ⅰ）若日需求量为15个，求X；（ⅱ）求X的分布列及其数学期望相关公式：==，=-19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1-BC-B1的余弦值．20.如图，已知椭圆C：的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且的最小值为，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、、B都在x轴上方，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；Ⅲ对于动直线l，是否存在一个定点，无论如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=2x lnx+2x，g（x）=a（x-1）（a为常数，且）．（1）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只要一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）；（2）当x＞3时，证明：f（x）（其中e为自然对数的底数）．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1=α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，设函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a，x∈R（Ⅰ）若a=b=c=1，求不等式f（x）＜5的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为1，证明：++≥18（a+b+c）-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘法、除法运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）2=2-i，得，∴，故选：C．2.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选：B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：B解析：【分析】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的特定项与特定项的系数，考查运算求解能力，属于中档题．先写出其通项，再令r=3，根据第四项的系数为-7，即可求出n的值．【解答】解：的二项展开式的通项为，∵第四项的系数为-7，∴r=3，∴C n3（-2-1）3=-7，解得n=8，故选：B．4.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sin A=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos A=1+4-2=3，则BC=．故选：B．利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sin A，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.答案：B解析：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}∴S=（2π）2=4π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，∴s=4π2-π2=3π2，由几何概型公式得到P=，故选：B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题，先要判断该概率模型是不是古典概型，再找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．再看是不是几何概型，它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到．6.答案：C解析：解：由程序可知，该程序是计算，由S=k（k+1）=110，得k=10，则当k=10时，k=k+1=10+1=11不满足条件，所以条件为k≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从2开始的前k个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前k个偶数的和，由和等于110算出k的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7.答案：B解析：解：函数f（x）=x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y=2sin（4x-）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g（x）=2sin（4x-）+1的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则4x-=+2kπ，k∈Z；解得x=+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1-x2|的值为T的整数倍，且T==．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）=9求得x1、x2满足的条件，再求|x1-x2|的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．8.答案：C解析：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．9.答案：C解析：【分析】由充分必要条件的定义和正切函数值，可判断①；由特称命题的否定为全称命题，可判断②；先考虑将四人分为三组2，1，1，再安排到三个班，去除甲乙在同一个班，即可判断③．本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和命题的否定，以及分组的方法和排列组合应用题的解法，考查运算能力，属于基础题．【解答】①，“x=”可得“tan x=1”，反之由tan x=1，可得x=kπ+，k∈Z，“x=”是“tan x=1”的充分不必要条件，故①正确；②，命题“∃x0∈R，x0+≥2”的否定形式是“∀x∈R，x+＜2”，故②错误；③，将甲乙丙丁四个人分为2，1，1，可有C=6种分法，再安排到三个班有6×6=36种方法，考虑甲乙分到同一个班，可得6种方法，即有甲乙不在同一个班的方法数为30，故③正确．故选：C．10.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥A-BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD=S△BCD•h=××2×4×2=，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=；所以外接球的体积为V球=πR3=•=8π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为=．故选A.11.答案：D解析：解：设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D．设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．12.答案：C解析：解：作出函数f（x）=的图象如图，由y=的导数为y′=，当x＞1时，y=递增；当0＜x＜1时，函数y=递减，可得x=1处y=取得极小值1，y=ax+3恒过定点（0，3），设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，当a≤0时，f（t）=2有两个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），t=f（x）不可能有五个实根；当a＞0时，f（t）=2有三个实根，一个介于（0，1），另一个介于（2，3），还有一个小于0，t=f（x），t3＜0时，最小的零点x5＜-4，由at3+3=2，即t3=-，ax5+3=t3=-，可得3-4a＞-，可得4a2-3a-1＜0，解得-＜a＜1，由a＞0可得0＜a＜1．故选：C．画出f（x）的图象，设t=f（x），可得g（x）=f（t）-2，结合函数g（x）=f（f（x））-2有5个零点，对a分类讨论求解．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法及分类讨论的数学思想方法，属难题．13.答案：4解析：解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．14.答案：8解析：解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．故答案为：8．依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-y=6，结合图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：解析：解：设球O的半径为R，则，得，如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，易知，PA⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴，∴，∵E为BC的中点，则，∵M、N分别为PA、AB的中点，则MN∥PB，且，同理可得NE∥AC，且，所以，异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，且，在△MNE中，，，ME=3，由余弦定理得．因此，异面直线PB与AC所成成的余弦值为．故答案为：．作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、NE、ME、AE，利用中位线的性质并结合异面直线所成角的定义得出异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，并计算出△MNE各边边长，利用余弦定理计算出cos∠MNE，即可得出答案．本题考查球体体积，考查异面直线的定义，同时也考查了余弦定理，考查计算能力与推理能力，属于中等题．16.答案：13解析：解：∵y2=8x，焦点F（2，0），准线l 0：x=-2，由圆：（x-2）2+y2=1，圆心（2，0），半径为1．由抛物线的定义得：|AF|=x A+2，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A+1同理：|CD|=x D+1当AB⊥x轴时，则x D=x A=2，∴|AB|+4|CD|=15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x-2）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（4k2+8）x+4k2=0，∴x A x D=4，x A+x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A+1）+4（x D+1）=5+x A+4x D≥5+2=13．当且仅当x A=4x D，即x A=4，x D=1时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．故答案为：13．由抛物线的焦点弦公式：|AF|=x A+2，可得|AB|=x A+2同理：|CD|=x D+1，分类讨论，根据基本不等式的性质，即可求得|AB|+4|CD|的最小值．本题考查圆与抛物线的综合，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．17.答案：（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1-b n=1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．证法二：由条件，得=，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①-②得，==-1+（1-n）•2n∴∵c n＞0，∴S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．解析：（I）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得b n+1-b n=1，即可证明．证法二：由条件代入递推关系得=，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得出S n．S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．代入即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式求和公式、错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）根据近30天的数据，==21，==6，=15×10+18×8+21×7+24×3+27×2=567，=152+182+212+242+272=2295，∴====-=-0.7，∴=-=6+0.7×21=20.7．所以回归方程为=-0.7x+20.7．（2）（Ⅰ）若日需求量为15个，则X=15×（10-4）+（24-15）×（2-4）=72元，（Ⅱ）若日需求量为18个，则X=18×（10-4）+（24-18）×（2-4）=96元，若日需求量为21个，则X=21×（10-4）+（24-21）×（2-4）=120元，若日需求量为24个或者27个，则X=24×（10-4）=144．所以X的分布列为：X7296120144P所以E（X）=72×+96×+120×+144×=101.6元．解析：（1）求出，，∑x i y i，代入公式，求出，即可．（2）（Ⅰ）若日需求量为15，则可以以10元每个卖出15个，剩下的9个以2元每个卖出，即可求出X的值，（Ⅱ）计算出其他的日需求量所对应的X，列出分布列，求出期望即可．本题考查了随机变量的概率分布列，回归方程的求法，主要侧重考查计算，属中档题．19.答案：（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1；又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1；又AE∥A1G且AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形，则EG∥AA1；又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1；又EG FG=G，EG、FG平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1；又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（2）解：令AA1=A1C=AC=2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直；以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），A（0，-1，0），．所以，，，令平面A1BC的法向量为=（x1，y1，z1），由则，令，则=（，，1）；令平面B1BC的法向量为=（x2，y2，z2），由则，令，则=（，，-1）；由cos==，故二面角A1-BC-B1的余弦值为．解析：本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，推出FG∥A1B1．证明FG∥平面ABB1A1．推出EG∥AA1．得到EG∥平面ABB1A1．证明平面EFG∥平面ABB1A1．然后证明直线EF∥平面ABB1A1．（2）连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量，平面B1BC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A1-BC-B1的余弦值即可．20.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a=，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，∴c=1，∴a2=b2+c2=b2+1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k BF=-1，∴直线BF为：y=-（x+1）=-x-1，代入，得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，代入y=-x-1，得，舍，或，∴B（-，）．∴=，∴直线AB的方程为：y=．（Ⅲ）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由韦达定理得，，由直线AB的斜率，得AB的方程为：y-y1=（x-x1）令y=0，得：x=x1-y1•，y1=k（x1+1），-y2=k（x2+1），===≥=-2，∴对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，求出a2=2，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），得k AF==1，从而k BF=-1，进而直线BF为：y=-x-1，代入，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）由∠OFA+∠OFB=180°，知B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），由，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能求出对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，属于难题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21.答案：解：（1）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，令F′（x）=0，，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得a-=0，记h（a）=a-，h′（a）=1-＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）=6-2e＞0，h（7）=7-2e＜0，所以a∈（6，7），即n=6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）=a（x-1）＞6（x-1），只要证明：x＞3时，6（x-1）,即e ln（x-2）-＞0，记G（x）=e ln（x-2）-，则G′（x）=-=，记φ（x）=3ex2-（6e+4）x+3e+8，图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1+＜3，且φ（3）=12e-4＞0，所以当x＞3时，φ（x）＞0，即G′（x）＞0，所以G（x）在区间（3，+∞）上单调递增，从而G（x）＞G（3）=0，即e ln（x-2）-＞0，成立，所以f（x）成立．解析：本题考查利用导数求函数单调性、证明函数不等式，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，属于较难题．（1）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a；当a≤4时，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，可得F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得：a-=0，记h（a）=a-，利用导数可得a∈（6，7），即n=6．（2）由（1）得：当x＞3时，f（x）≥g（x）=a（x-1）＞6（x-1），只要证明：x＞3时，6（x-1）即e ln（x-2）-＞0即可，记G（x）=e ln（x-2）-，利用导数既可证明．22.答案：解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|=4cosα，|OQ|==．所以：==1，所以：tanα=1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|=4cos．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，而|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，而-2、2对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为（-2，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a的最小值为|b+c|+a=b+c+a=1，∴（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c）=（+4+9）（a+b+b+c+a+c）≥•=18=18（a+b+c）．解析：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，利用绝对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c），再利用柯西不等式求得要证的结论．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（文）试题一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<< D ．{}12x x -<<【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )A ．B ．2C ．1D【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i i z i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.3．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-【答案】D【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D 【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2xy =的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2x y =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差. 【答案】D【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．6．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“1322a a a +<”是“10a <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断; 【详解】因为22131,a a q a a q ==,所以若1322a a a +<成立，即21112a q q a a +<成立,整理可得,()2110a q -<成立, 因为1q =时,1322a a a +=, 所以1q ≠,即()210q ->, 所以可得10a <,即“1322a a a +<”是“10a <”的充分条件； 若10a <成立,因为()210q -≥,所以可得()2110a q -≤,即1322a a a +≤成立, 即由10a <不能推出1322a a a +<,故“1322a a a +<”不是“10a <”的必要条件；综上可知,“1322a a a +<”是“10a <”的充分不必要条件. 故选: A 【点睛】本题考查等比数列通项公式和充分条件与必要条件的判断;考查逻辑推理能力和运算求解能力;根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.8．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．2C ．3D ．没有最小值【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线0:0l x y +=,根据目标函数z 的几何意义平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值,联立方程求出点A 坐标，代入目标函数求解即可. 【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：作出直线0:0l x y +=,因为目标函数z 的几何意义为直线y x z =-+的纵截距， 所以平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值, 联立方程24220x y x y +=⎧⎨--=⎩,解得20x y =⎧⎨=⎩,所以点A 坐标为()2,0,把点A 的坐标代入目标函数z x y =+可得目标函数z 的最小值为2. 故选:B 【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想和运算求解能力;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9．设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解. 【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10．对任意x ∈R ，不等式0x e kx -≥恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[)0,e B ．(]0,eC ．[]0,eD ．(],e -∞ 【答案】C【解析】由题意知,x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立,设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线,求出直线()g x kx =与曲线xy e =相切时的k 值,利用数形结合即可求出实数k 的取值范围. 【详解】由题意可知, x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立,设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线, 根据题意作图如下：易知0k ≥,由图可知,当直线()g x kx =与曲线xy e =相切时k 有最大值,因为xy e '=,设切点坐标为()00,x y ,由导数的几何意义知,00x x e kkx e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =⎧⎨=⎩, 所以实数k 的取值范围为[]0,e . 故选:C 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率及不等式恒成立问题的求解;考查数形结合思想和转化与化归能力;把不等式恒成立问题转化为两函数图象所对函数值的大小问题是求解本题的关键;属于中档题.11．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ）A ．3B 21 C 21 D 57 【答案】B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan 3B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】31sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭Q ，即31sin sin sin cos sin sin 2A B A B A B =-，即3sin sin 3sin cos A B A A =， sin 0A >Q ，3sin 3cos B B ∴=，得3tan 3B =，0B Q π<<，6B π∴=.由余弦定理得2232cos 112212372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， 由正弦定理sin sin c b C B=，因此，123sin 212sin 77c B C b ⨯===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12．如图所示，三棱椎P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，且2PA PB AB ===，3PC =，则点C 到面PAB 的距离等于( )A ．13B 6C 3D ．23【答案】C【解析】取AB 的中点G ,连接,PG CG ,作CH PG ⊥,垂足为H ,利用线面垂直的判定定理证明AB ⊥平面PCG ,由线面垂直的性质可得AB CH ⊥,进而证得CH ⊥平面PAB ,在PCG ∆中,利用余弦定理和同角三角函数的基本关系求出sin PGC ∠,在Rt CHG ∆中求出CH 即可.【详解】取AB 的中点G ,连接,PG CG ,作CH PG ⊥,垂足为H ,如图所示：因为2PA PB AB ===,所以PAB ∆为等边三角形, 因为G 为AB 中点,所以PG AB ⊥, 又ABC ∆为等腰直角三角形,90ACB ︒∠=, 所以CG AB ⊥,又PG CG G =I , 所以AB ⊥平面PCG ,又CH ⊂平面PCG , 所以AB CH ⊥,因为CH PG ⊥，PG AB G ⋂=, 所以CH ⊥平面PAB ,即CH 即为点C 到面PAB 的距离, 因为在等边PAB ∆中,362PG ==在ABC ∆为等腰直角三角形中,222CG ==, 在PCG ∆中,由余弦定理可得,22222262323cos 23622PG CG PCPGC PG CG ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⨯⨯,所以2236sin 1cos 133PGC PGC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭, 在Rt CHG ∆中,263sin 233CH CG CGP =⋅∠=⨯=, 所以点C 到面PAB 3故选:C 【点睛】本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离;考查数形结合思想和逻辑推理能力;灵活运用线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.二、填空题13．已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________. 【答案】90【解析】利用分层抽样方法：利用频率、频数与样本容量的关系按比例抽取即可. 【详解】由题意知,全校共有学生人数为1350人,其中高二年级有450人, 设高二年级抽取的人数为x 人，根据分层抽样按比例抽取可得,270450901350x =⨯=. 故答案为: 90 【点睛】本题考查利用分层抽样按比例抽取样本;考查运算求解能力;属于基础题.14．已知(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则a r 与a b +r r夹角的余弦值为________.【解析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出a b +r r的坐标,分别求出,a a b +v v v ,()a b a +⋅r r r,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,()0,3a b +=vv ,因为(1,2)a =r ，所以()01326a b a +⋅=⨯+⨯=v v v,由向量模的定义知,3a a b ==+==v v v ,由平面向量数量积的夹角公式可得,()cos a b a a a b θ+⋅===⋅+v v v v v v故答案为【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.15．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【解析】设0x ＜ ，则0x -＞ ，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜ 时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞ ，可得22x x x x ⎧⎨-⎩＞＞ ，或20 2x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞ 求得3x ＞ ，或30x -＜＜， 故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 16．已知椭圆Г：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.【答案】3【解析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率 【详解】如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB |.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a −t ，所以|AB |=a +t =|BF 1|=2a −t ，解得a =2t ，即|AB |=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO =θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e =22||||OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ==-，所以21sin 3θ=，即e =sin θ故答案为：3.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.三、解答题17．设数列{}n a是公差不为零的等差数列，其前n项和为n S，11a=，若1a，2a，5a 成等比数列.（Ⅰ）求n a及n S；（Ⅱ）设211(N*)1nnb na+=∈-，求数列{}nb的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）21na n=-，2nS n=；（Ⅱ）4(1)nnTn=+.【解析】（Ⅰ）设数列{}n a的公差为d，利用等比中项和等差数列通项公式得到关于1,a d的方程,求出1,a d代入公式即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出数列{}n b的通项公式,利用裂项相消法求和即可.【详解】（Ⅰ）设{}n a的公差为d,依题意有122151aa a a=⎧⎨=⋅⎩，即()()1211114aa d a a d=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩，解得112ad=⎧⎨=⎩或11ad=⎧⎨=⎩（舍去），所以()12121na n n=+-=-()122n n n a a S n +== ； （Ⅱ）因为()211111114141n n b a n n n n +⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭所以1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4(1)nn =+.【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式和前n 项和公式及裂项相消法求和;考查运算求解能力;利用等比中项和等差数列通项公式正确求出1,a d 是求解本题的关键;属于中档题.18．某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得m，从而求得结果.到一年能节约用水多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48； （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=．【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果. 19．如图所示，在四棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD 的中点.（Ⅰ） 求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅲ）若F 为BD 的中点，求四面体CDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ3【解析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明CB ⊥平面ABD ,再由线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥BC ，由题可知,BE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面BCE ,再由面面垂直的判定定理即可得证;（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD ,由此可得CB 即为点C 到平面ABD 的距离,利用三角形的面积公式求出DEF ∆的面积,代入三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）证明：因为2CBA CBD π∠=∠=，所以,BC BA BC BD ⊥⊥,又BA BD B =I , 由线面垂直的判定定理知,CB ⊥平面ABD ， 因为AD ⊂平面ABD ,所以AD ⊥BC . （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知AD ⊥BC , 又AB BD =,点E 为AD 的中点， 所以BE AD ⊥,因为BE BC B =I , 由线面垂直的判定知,AD ⊥平面BCE ， 又AD ⊂平面ACD ，由面面垂直的判定定理知， 平面ACD ⊥平面BCE .（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD , 因为2,23AB BD AD ===所以在ABD ∆中由余弦定理可得,(222222221cos 22222AB BD ADABD AB BD +-+-∠===-⋅⨯⨯,所以120ABD ∠=o ,又EF 为ABD ∆的中位线， 所以120EFD ∠=o , 所以13C DEF DEF V S CB -∆=⋅ 11(sin120)32EF FD CB ︒=⋅⋅⋅⋅11(112322=⋅⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直、面面垂直及三棱锥体积的求解;考查逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线1y x =-与椭圆交于M ,N 两点，求MN ； （Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值. 【答案】（ⅠⅡ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）根据题意知1b =,结合离心率和,,a b c 之间的关系求出椭圆方程,然后与直线1y x =-联立求出交点M ,N 两点的坐标,代入两点间的距离公式求解即可； （Ⅱ）设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ，由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，利用平面向量坐标的线性运算求出123,,x x x 之间的关系和123,,y y y 之间的关系,把,A B 两点坐标代入椭圆方程利用点差法求解即可得证. 【详解】（Ⅰ）解：依题有2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2241a b ⎧=⇒⎨=⎩ ， 所以椭圆方程为2214x y +=，由122110114y x x x y y =-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，或228535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以MN ==（Ⅱ）证明：设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ，则()123123,OA OB OC x x x y y y ++=++++u u u v u u u v u u u v， 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r知,123123,x x x y y y +=-+=-，由()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，所以()121212124AB y y x xk x x y y -+==--+，因为321321OC y y y k x x x +==+, 所以AB OC k k ⋅14=-为定值. 【点睛】本题考查椭圆的方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、点差法的运用、平面向量坐标的线性运算；考查运算求解能力和逻辑推理能力和知识的综合运用能力;属于中档题、常考题型.21．设函数()21xf x e ax x =--+，a R ∈.（Ⅰ）0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）214e a -≤.【解析】（Ⅰ）对函数()f x 进行求导，利用导数判断函数()f x 的单调性求最值即可； （Ⅱ）由题知，()020f =>对任意a R ∈恒成立，当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210xe ax x --+≥对任意0x >恒成立，即21x e x a x -+≤对任意0x >恒成立，令()21x e x h x x-+=，0x >，对函数()h x 进行求导判断其单调性求()0,∞+上的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）0a =时，()1xf x e x =-+，则()1xf x e =-' ， 令()0f x '=，得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减； 当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增； 所以()()min 02f x f ==；（Ⅱ）由题意知，()020f =>对任意a R ∈恒成立， 当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210x e ax x --+≥对任意0x >恒成立，即21x e x a x-+≤对任意0x >恒成立， 令()21x e x h x x -+=，0x >，则()()()'321x x e h x x-+=， 所以当02x <<时，()'0h x <，函数()h x 单调递减；当2x >时，()'0h x >，函数()h x 单调递增，所以当2x =时函数()h x 有最小值为()2124e h -=，所以此时a 的取值范围为214e a -≤，综上可知所求a 的取值范围为214e a -≤. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求最值、利用构造函数法求解不等式的恒成立问题;考查运算求解能力、转化与化归的能力、逻辑推理能力；灵活运用函数的单调性与导数之间的关系是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【答案】（10y -+=，22430x y x +-+=.（2）1⎤-⎥⎣⎦【解析】（1）根据直线l的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，即可求得的l 的普通方程，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即可求得答案； （2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1，根据点到直线距离公式，即可求得答案.【详解】（1）直线l的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t∴l0y -+=.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1∴圆心C 到l的距离为d ==， ∴点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23．已知()1f x x x a =-++()a R ∈.（Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）(10,8)-.【解析】（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数()f x 改写成分段函数的形式,分1,11,1x x x ≥-<<≤-三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值,利用均值不等式求出141m m+-的最小值,结合题意,只需()min min141f x m m ⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭即可,解不等式即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或124x x ≤-⎧⎨->⎩ 2x ⇔>，或2x <-所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+(0,1)m ∀∈，又[]1414()(1)11m m m m m m+=++--- 4151m m m m-=++-59≥+=（当13m =时等号成立）， 依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014()1f x m m+>-， 则19a +<，解之得108a -<<，故实数a 的取值范围是(10,8)-.【点睛】 本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.复数z 的实部是虛部的两倍，且满足15i1iz a ++=+，则实数a =（ ） A.1-B.5C.1D.92.已知集合{}230A x x x =-≤，{}*23,B x x n n ==-∈N ，则A B =I （ ）A.{}3,1--B.{}1,3C.{}0,1,3D.{}0,1,2,33.已知点()1,1A ，()1,2B -，点C 在直线20x y +=上，若AC AB ⊥u u u r u u u r，则点C 的坐标是（ ）A.()2,1-B.()2,1-C.21,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.21,55⎛⎫-⎪⎝⎭4.已知()3sin 24tan θπθ=+，且k θπ≠（k ∈Z ），则cos2θ等于（ ） A.13-B.13C.14-D.145.设{}n a 为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若10111102S S +=，则6a =（ ） A.8B.10C.12D.146.我国法定劳动年龄是16周岁至退休年龄（退休年龄一般指男60周岁，女干部身份55周岁，女工人50周岁）.为更好了解我国劳动年龄人口变化情况，有关专家统计了2010~2025年我国劳动年龄人口和15~59周岁人口数量（含预测），得到下表：其中2010年劳动年龄人口是9.20亿人，则下列结论不正确的是（ ）A.2012年劳动年龄人口比2011年减少了400万人以上B.2011~2018这8年15~59周岁人口数的平均数是9.34亿C.2016~2018年，15~59周岁人口数每年的减少率都小于同年劳动人口每年的减少率D.2015~2020年这6年15~59周岁人口数的方差小于这6年劳动人口数的方差7.已知直线l ：20kx y k +-=与双曲线C ：2221y x b-=（0b >）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为43，则双曲线C 的焦距为（ ） A.4B.6C.3D.88.已知函数()ln f x x x =-的图象在1x x =和2x x =处的切线互相垂直，且1212x x =，则12x x +=（ ） A.2B.3C.4D.69.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？”题中的“圆亭”是一个几何体，其三视图如图所示，其中正视图和侧视图是高为1丈的全等梯形，俯视图中的两个圆的周长分别是2丈和3丈，取3π=，则该圆亭外接球的球心到下底面的距离为（ ） A.512丈 B.1736丈 C.2972丈 D.3172丈 10.若函数()()2sin 23f x x ϕ=-（02πϕ<<）在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ϕ的取值范围是（ ） A.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.5,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，()2211log log 12x f x x +=⋅+.若()02f x =，则0x =（ ） A.12或3- B.1或12-C.3-D.1-12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，点F 是AD 上一点，12AB AA ==，3BC =，1AF =.动点P 在上底面1111A B C D 上，且满足三棱锥P BEF -的体积等于1，则线段1C P 的最大值为（ ） 56C.22D.2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()31,0,1,0,1x x f x x x x +≤⎧⎪=-⎨>⎪+⎩，在区间[]1,2-上任取一个实数m ，则()0f m >的概率为______.14.已知实数x ，y 满足约束条件220,10,40,x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则4x y +的最大值为______.15.各项均为正数的等比数列{}n a 的首项为1，其前n 项和为n S ，且2316a S +=.若数列{}n b 满足11223n n n a b a b a b n +++=⋅L ，则n b =______.16.椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(),0F c ，直线0x -=与C 相交于A 、B 两点.若0AF BF ⋅=u u u r u u u r，则椭圆C 的离心率为______.三、解答题：共70分.17.（12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且()3cos b a C c -=.（1）若sin 2a A b =，求sin B ；（2）a =2sin sin B C =，求ABC ∆的面积.18.（12分）秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市环保部门通过制定评分标准，先对本市的企业进行评估，评出四个等级，并根据等级给予相应的奖惩，如下表所示：环保部门对企业评估完成后，随机抽取了50家企业的评估得分（40≥分）为样本，得到如下频率分布表：其中a 、b 表示模糊不清的两个数字，但知道样本评估得分的平均数是73.8.（1）现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取1个，若以样本中频率为概率，求该家企业的奖励不少于40万元的概率；（2）现从样本“不合格”“合格”“良好”三个等级中，按分层抽样的方法抽取6家企业，再从这6家企业随机抽取2家，求这两家企业所获奖励之和不少于0万元的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD AD ⊥，90BAD ADC ∠=∠=︒，CD PA ⊥，2CD AB ==，2AD =，E 是BC 上一点，且3BC BE =.（1）求证：平面PDE ⊥平面PBC .（2）F 是PA 上一点，当PFAF为何值时，PC ∥平面DEF ？20.（12分）斜率为k 的直线l 过抛物线C ：24y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）设点M 在第一象限，过M 作抛物线C 的准线的垂线，A 为垂足，且1tan 2MFA ∠=，直线1l 与直线l 关于直线AM 对称，求直线1l 的方程；（2）过F 且与l 垂直的直线2l 与圆D ：()2233x y -+=交于P ，Q 两点，若MPQ ∆与NPQ ∆面积之和为k 的值.21.（12分）设函数()2e 2x f x kx =--，k ∈R .（1）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性； （2）当2k >时，若存在正实数m ，使得对()0,x m ∀∈，都有()2f x x >，求k 的取值范围..（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 的极坐标方程是2sin 0a ρθ+=（304πθ≤≤，0ρ≥），直线l 的参数方程是3,54,5x t a y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）若2a =-，M 是圆C 上一动点，求点M 到直线l 的距离d 的最小值和最大值；（2）直线1l 与l 关于原点对称，且直线1l 截曲线C的弦长等于a 的值.23.已知函数()124f x x x =+--.（1）若关于x 的不等式()11f x m x ≤+-+的解集为R ，求实数m 的取值范围；（2）设(){}2min ,65f x x x -+表示()f x ，265x x -+二者中较小的一个，若函数()(){}2min ,65g x f x x x =-+（06x ≤<），求函数()g x 的值域.2019年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案.1.A 本题考查复数的概念和运算.15i32i 1iz a a +=-=-++，由题意得1a =-. 2.B 本题考查集合的运算.{}03A x x =≤≤Q ，{}1,1,3,5,B =-L ，{}1,3A B ∴=I .3.D 本题考查向量的坐标运算.设点()2,C m m -，则()21,1AC m m =---u u u r ，()2,1AB =-u u u r Q ，AC AB ⊥u u u r u u u r，142105m m m ∴++-=⇒=-，∴C 的坐标是21,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.4.B 本题考查余弦的倍角公式.由已知得22cos3θ=，21cos 22cos 13θθ∴=-=.5.B 本题考查等差数列.由10111102S S +=得11611110a a +=，即66511110a d a ++=，解得610a =.6.C 本题考查统计知识.2012年劳动年龄人口数比2011年减少了460万人，故A 项正确；通过计算可判断B 项正确；C 项不正确，计算后即可判断，应该是大于；D 项正确，由图得15~59周岁人口数减幅比较小，而劳动人口数的减幅比较大.7.B 本题考查双曲线的性质.设直线l 与渐近线0bx y -=平行，∵l过点)，43=，解得28b =，29c ∴=，双曲线C 的焦距为6.8.A 本题考查导数的几何意义的应用.()11f x x '=-Q ，()1111f x x '∴=-，()2211f x x '=-，则1211111x x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()1212210x x x x +-+=，1212x x =Q ，122x x ∴+=. 9.D 本题考查数学史和三视图.由三视图可得，该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为13丈和12丈，高为1丈设球心到下底面的距离为x 丈，则()222211123x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3172x =.10.C本题考查三角函数的性质.()()2sin 2f x x ϕ=-，则当,424x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,212x ππϕϕϕ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，02πϕ<<Q ，又()f x 在,424ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个零点，2,23,123ππϕππϕ⎧--≤-⎪⎪∴⎨⎪-≥-⎪⎩解得5612ππϕ≤≤. 11.C 本题考查函数的奇偶性的应用.当0x >时，()2log 10x +>，()()[]()222211log 1log (1)1log 1224f x x x x ⎡⎤∴=-++-=-+-+<⎢⎥⎣⎦，00x ∴<.当0x >时，由()2f x =-，得()2log 12x +=或1-，得3x =或12x =-（舍去），∵函数()f x 是奇函数，03x ∴=-.12.A 本题考查立体几何的综合应用.在底面ABCD 上取一点H ，使得三棱锥H BEF -的体积等于1，即三棱锥E BFH -的体积等于1，由已知条件得132BHF S S ∆==下底面，∴H 与C 重合，过C 作CM FE ∥，且交11B C 于M ，则11113B M B C =，过M 作MN BF ∥，且交11A D 于N ，则11113D N A D =.连接CN ，则平面CMN ∥平面BEF ，∴当点P 在MN 上运动时，满足三棱锥P BEF -的体积等于1，∴当点P 与N 重合时，1C P13.49本题考查几何概型.当10m -≤≤时，由310m +>得103m -<≤； 当02m <≤时，由101x x ->+得12m <≤.故所求概率为()1143219+=--. 14.10本题考查线性规划的应用.根据约束条件画出可行域（图略），当取直线220x y -+=和40x y +-=的交点()2,2时，4x y +取最大值10.15.21n +本题考查等比数列.数列{}n a 的公比为q ，则由已知得22150q q +-=，解得5q =-（舍去）或3q =，13n n a -∴=，11223n n n a b a b a b n +++=⋅Q L ①，()111221113n n n a b a b a b n ---∴+++=-⋅L ②，①-②得()1313n n n n a b n n -=⋅--⋅，即()11321321n n n n b n b n --=+⋅⇒=+.16.2本题考查椭圆的离心率.设()00,A y ，0AF BF ⋅=u u u r u u u r Q ，即AF BF ⊥u u u r u u u r ，OF OA ∴=u u u r u u u r ，则222008y y c +=，即229y c =①，又22002281y y a b +=，2220228a b y b a∴=+②，由①②得422481890c a c a -+=，即4281890e e -+=，234e =或232e =（舍去），解得e =17.解：本题考查解三角形.根据余弦定理及()3cos b a C c -=，得222332a b c b c a ab+--=⋅，2223332b c a bc ∴+-=，即22223b c a bc +-=，2221cos 23b c a A bc +-∴==.（1）sin 3A =Q ，sin 2a A b =，b a ∴=，即sin sin B A =，4sin 39B A ∴==.（2）a =Q 1cos 3A =， 222cos 11b c bc A ∴+-=2b c =Q ，211113b ∴=，即23b =，sin 3A =Q ，ABC ∴∆的面积21sin sin 2S bc A b A === 18.解：本题考查概率与统计.（1）∵样本评估得分的平均数是73.8，450.04550.086575850.16950.1273.8a b ∴⨯+⨯+++⨯+⨯=，即657542.6a b +=①，又0.6a b +=②，由①②解得0.24a =，0.36b =，则企业评估得分不少于70分的频率为0.64， ∴该家企业的奖励不少于40万元的概率0.64P =.（2）由（1）得，样本中评估得分“不合格”“合格”“良好”的企业分别有6家，12家，18家， 若按分层抽样的方法抽取6家企业， 则“不合格”企业抽取66136⨯=家.“合格”企业抽取126236⨯=家， “良好”企业抽取186336⨯=家. 设6家“不合格”“合格”“良好”的企业分别1A 、1B 、2B 、1C 、2C 、3C ，从中任取两家，有11A B ，12A B ，11A C ，12A C ，13A C ，12B B ，11B C ，12B C ，13B C ，21B C ，22B C ，23B C ，12C C ，13C C ，23C C 共15个基本事件，其中满足事件“这两家企业所获奖励之和不少于0万元”的基本事件有10个，. ∴所求概率102153P ==. 19.解：本题考查面面垂直和线面平行. （1）证明：90ADC ∠=︒Q ，CD AD ∴⊥.CD PA ⊥Q ，PA AD A =I ，CD ∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥，PD AD ⊥Q ，CD AD D =I ，PD ∴⊥底面ABCD ，PD BC ∴⊥.过E 作EG CD ⊥，垂足为G ，2CD AB ==Q 2AD =，3BC BE =，2433EG AD ∴==，3DG =，3CG =，22222228DE CE EG DG CG CD ∴+=++==，即CE DE ⊥， PD DE D =Q I ，BC ∴⊥平面PDE ，BC ⊂Q 平面PBC ，∴平面PDE ⊥平面PBC .（2）当1PFAF=，即F 是PA 的中点时，PC ∥平面DEF .证明如下： 连接AC ，交DE 于O ，连接FO .延长线段DE ，交AB 的延长线于H ，3BC BE =Q ，12BE BH EC CD ∴==，即2CD BH =， 又2CD AB =Q ，AH CD ∴=，即四边形AHCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点.∵F 是PA 的中点，PC FO ∴∥，FO ⊂Q 平面DEF ，PC ∴∥平面DEF .20.解：本题考查抛物线概念及其与直线的位置关系. （1）设抛物线C 的准线与x 轴的交点为B ，根据抛物线的定义得MA MF =，则MAF MFA ∠=∠.MAF AFB ∠=∠Q ，1tan 2MFA ∠=，2BF =， tan 1AB BF AFB ∴=∠=，4tan 3MFB ∠=， ∴点M 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，直线MN 的斜率为43-.∵直线1l 与直线l 关于直线AM 对称， ∴直线1l 的方程为41134y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4320x y -+=. （2）设直线l 的方程为()1y k x =-（0k ≠）， 与24y x =联立得()2222240k x k x k -++=，令()11,M x y ，()22,N x y ，则12242x x k +=+，121x x ⋅=，2244k MN k +==. PQ MN ⊥Q ，∴直线PQ 的方程为()11y x k=--，即10x ky +-=， ∴圆心()3,0D 到直线PQ=，∵圆DPQ ∴==， MPQ ∴∆与NPQ ∆面积之和22114422k S MN PQ k +==⋅=， ∵直线PQ 与圆D有两个交点，(1k ∴-∈，且10k -≠， 令21t k =，则()0,3t ∈，由S ==2t =或0t =（舍去），212k∴=，得2k =± 21.解：本题考查导数的综合应用.（1）由()2e 2x f x kx =--，得()2e x f x k '=-，()0,x ∈+∞Q ，2e 2x ∴>，当2k >时，由()2e 0x f x k '=->，得ln 2k x >，即函数()f x 在ln ,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 由()0f x '<，得0ln 2k x <<，即函数()f x 在0,ln 2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当2k ≤时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，即函数()f x 在()0,+∞上单调递增.（2）()00f =，当2k >时，由（1）结合函数()f x 图象知，00x ∃>，使得对任意()00,x x ∈，都有()0f x <，则由()2f x x >得()222e 0x k x -+->.设()()222e x t x k x =-+-，则()22e x t x k '=--，由()0t x '>得2ln 2k x -<，由()0t x '<得2ln 2k x ->. （Ⅰ）若24k <≤，则2ln02k -≤，故()020,ln ,2k x -⎛⎫⊆+∞ ⎪⎝⎭，即()t x 在()00,x 上单调递减， ()00t =Q ，∴对任意()00,x x ∈，都有()0t x <，不合题意；（Ⅱ）若4k >，则2ln 02k ->，故220,ln ,ln 22k k --⎛⎫⎛⎫⊆-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()t x ∴在20,ln 2k -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ()00t =Q ，∴对任意20,ln 2k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题意， 此时取020min ,ln 2k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可使得对()0,x m ∀∈，都有()2f x x >. 综上可得k 的取值范围是()4,+∞.22.解：本题考查直线和圆的极坐标与参数方程.（1）由2sin 0a ρθ+=（304πθ≤≤），得曲线C 是圆2240x y y +-=的34部分，如图所示，将直线l 的直角坐标方程化为4380x y ++=，由图得，当M 与()1,1A -重合时，d 取最小值75； 又曲线C 的圆心()0,2到直线l 的距离为145，半径1r =， max 1419155d ∴=+=.（2）∵曲线C ：()222x y a a ++=，直线l ：4340x y a ++=， ∴圆心C 到直线的距离3455a a a d -+== ∵由圆C 的半径为a ，直线l 截圆C的弦长等于，∴==52a =±. 经检验52a =±均合题意，52a ∴=±. 23.解：本题考查绝对值不等式.（1）由()11f x m x ≤+-+，得22241x x m +--≤+， ∵关于x 的不等式()11f x m x ≤+-+的解集为R22241x x m ∴+--≤+对任意x ∈R 恒成立.()()222422246x x x x +--≤+--=Q ，16m ∴+≥，解得7m ≤-或5m ≥，∴实数m 的取值范围是(][),75,-∞-+∞U .（2）()5,133,125,2x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪-+>⎩，设2165y x x =-+，在同一平面直角坐标系作出函数()y f x =和2165y x x =-+的图象，∵函数()(){}2min ,65g x f x x x =-+（06x ≤<）， ∴函数()y g x =的图象是右图中的实线部分，则当3x =时，()g x 取最小值4-；当1x =或5时，()g x 取最大值0. ∴函数()g x 的值域为[]4,0-.。

成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学文科参考答案一、选择题题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D C D A D D A B B C B C二、填空题13．90 14．552 15．()),3(0,3+∞-Y16．33 三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………4分 所以()12121-=-+=n n a n()212n a a n S n n =+=………6分 (Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ……8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11141n )1(4+=n n …………12分18．（Ⅰ ）频率分布直方图如下图所示： …4分（Ⅱ）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…7分 （Ⅲ）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…11分 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m-⨯=． …12分19．（Ⅰ ）证明：AD BC ABD AD ABDBC B BD BA BD BC BA BC CBD CBA ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒=∠=∠面又面I 2π ………4分 （Ⅱ ）ACD BCE ABD AD BCE AD B BE BC AD BE ED AE BD AB AD BC 面面面又面）知由（Ⅰ⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⇒⎭⎬⎫==⊥⇒I ………8分 （Ⅲ ）解：CB S V DEF DEF C ⋅=∆-31…10分CB S EFD ⋅⋅=∆31 CB FD EF ⋅⋅⋅⋅=︒)120sin 21(312)231121(31⨯⨯⨯⨯⋅=63=……………12分 20．（Ⅰ）解：依题有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a a c b ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒1422b a ， 所以椭圆方程为1422=+y x ．…4分由⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=101411122y x y x x y ，或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==535822y x ． 所以25815305822=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=MN ．…6分 （Ⅱ）设()11,y x A ，()11,y x B ，()11,y x C ，由O 为ABC ∆的重心123123,;x x x y y y ⇒+=-+=- …8分又因为()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ，10分()312121212123121;.44-++⇒==-==⇒=--++AB OC AB OC y y y x x y y k k k k x x y y x x x ……12分21．（Ⅰ）0=a 时，1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf 令0)(='x f 得0=x …2分当()0,∞-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在()0,∞-单调递减；当()+∞∈,0x ，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；…………4分所以0)0()(min ==f x f …5分（Ⅱ）12)(--='ax e x f x，注意到0)0(=f ，故0)(≥x f 的充分条件是012)(≥--='ax e x f x恒成立． 令12)()(--='=ax e x f x h x，则a e x h x2)(-='即0)(≥x h 在[)+∞,0恒成立，又注意到0)0(=h ， 则0)(≥x h 其必要条件是021)0(≥-='a h ，解得21≤a ．……10分 事实上，21≤a 时，1)(2---=x ax e x f x 0112)(≥--≥--='x e ax e x f xx（由（Ⅰ）易知） 即)(x f 在[)+∞,0单调递增，则0)0()(=≥f x f 恒成立． 综上， a 的取值范围是]21,(-∞．……………12分22解 :(Ⅰ )直线l的参数方程为322t x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)， 消去参数t 可得l0y -+=； 曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．……………5分（Ⅱ）C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ，半径为1，所以,圆心C 到l的距离为2d ==所以,点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．……………10分 23、解： (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x 2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞Y ；………………5分 （Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[])1()141(141m m m m m m -+-+=-+m mm m -+-+=1145911425=-⋅-+≥m m m m （当31=m 时等号成立）……8分 依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则91<+a解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(- ……10分。

2020年四川省成都市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=(i+1)(i−2)，则复数z的虚部是()A. 1B. −1C. 3D. −32.已知全集U={−2,−1,0，1，2}，集合M={0,1}，N={0,1，2}，则(∁U M)∩N=()A. {0,2}B. {1,2}C. {2}D. {0}3.某高级中学高一年级、高二年级、高三年级分别有学生1400名、1200名、1000名，为了解学生的健康状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从高三年级抽取25名学生，则n为()A. 75B. 85C. 90D. 1004.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=05.已知α为锐角，sinα=13，则sin2α等于()A. 89B. 4√29C. −79D. −896.函数f(x)=sinx⋅ln x−1x+1的大致图象为()A. B.C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数y =3sin(2x +π3)的对称轴方程是( )A. x =kπ+π3，k ∈Z B. x =kπ2+π12，k ∈ZC. x =2kπ−π12，k ∈ZD. x =2kπ−π3，k ∈Z9. 如图，已知四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，BC ⊥平面PAB ，PA ⊥AB ，M 为PB 的中点，PA =AD =2，AB =1.则点A 到平面MBC 的距离为( )．A. √52 B. 2√55 C. 2√33 D. √5310. 已知倾斜角为135°的直线交双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)于A ，B 两点，若线段AB 的中点为P(2,−1)，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √2C. √62D. √5211. 已知⊙O ：x 2+y 2=4及点A(1,3)，BC 为⊙O 的任意一条直径，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 6B. 5C. 4D. 不确定12. 函数f(x)满足，若存在a ∈[−2,1]，使得f(2−1m )≤a 3−3a −2−e 成立，则m 的取值范围是( )A. [23,1]B. [23,+∞)C. [1,+∞)D. [12,23]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)，已知f[f(x)]=2，则x =______．14. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c.若∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3，则a+b sinA+sinB=___________15.已知直线y=x−1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA⊥OB，则p的值为__________．16.已知底面是直角三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，若球0的表面积为3π，则这个直三棱柱的体积是___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a3=9，a2是a1，a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}满足b n=1，求{b n}的前n项和S n．n(a n+7)18.如图，正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，(Ⅰ)求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PBD的体积．19. 某企业为了提高企业利润，从2015年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：(1)记ω=年利润增长量−投资金额，现从2015年至2019年这5年中抽出两年进行调查分析，求所抽两年都是ω>2万元的概率；(2)请用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程；如果2020年该企业对生产环节改进的投资金额为10万元，试估计该企业在2020年的年利润增长量为多少？参考公式：b ̂=i −x )(i −y )ni=1∑(x −x )2n =∑x i y i −nxyni=1∑x i2−nx2n i=1，a ˆ=y −b ˆx ； 参考数据：∑x i y i 5i=1=286，∑x i 2n i=1=190．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−1,0)、F 2(1,0)，上、下顶点分别为B 1、B 2，且△B 1F 1F 2为等边三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)设点M(4,0)，直线B 1M 与椭圆E 相交于另一点A ，证明：A ，F 2，B 2三点共线．21. 函数(1)当−2<a <0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m ≥1时，不等式f(2m −1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+tcosα,y =tsinα.(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ=4cosθ． (1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点A (1,0)，且C 1和C 2的交点分别为点M ，N ，求1|AM |+1|AN |的取值范围．23.已知函数f(x)=|x|+|2x−1|．(1)求不等式f(x)<3的解集；(2)若存在α∈(0,π)，使得关于x的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：z=(i+1)(i−2)=−3−i．则复数z的虚部是−1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．根据集合补集和交集的定义进行求解即可．解：由条件可得∁U M={−2,−1,2}，则(∁U M)∩N={2}．故选：C．3.答案：C解析：解：由分层抽样的定义得10001400+1200+1000=25n，即10003600=25n，得n=90，故选：C．根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：A解析：解：∵y=x3+x+1，∴y′=3x2+1令x=1得切线斜率4，∴切线方程为y−3=4(x−1)，即4x−y−1=0故选A．求出导函数，将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程．本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了二倍角公式和同角三角函数基本关系式，属于基础题．通过已知条件求出，再通过二倍角公式求出．解：∵sinα=13，α为锐角，∴cosα=2√23，∴sin2α=2sinα·cosα=2×13×2√23=4√29．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及函数值的符号是否对应，属于一般题．判断函数的奇偶性和图象的对称关系，结合f(3)的符号是否对应，进行排除即可．解：由题可得，f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，f(−x)=−sinx⋅ln −x−1−x+1=−sinx⋅lnx+1x−1=sinx⋅ln x−1x+1=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，f(3)=sin3ln12<0，排除B，故选：D．7.答案：A解析：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，是基础题目．解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=20，i=2，否；S=10，i=3，否；S=103，i=4，否；S=103×4=56<1，i=5，是，输出i=5.故选A．8.答案：B解析：本题考查正弦函数的图象与性质，是基础题．令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，解得x即可．解：令2x+π3=kπ+π2,k∈Z，得x=12kπ+π12(k∈Z)，即函数f(x)图象的对称轴为x=12kπ+π12(k∈Z)，故选B．9.答案：B解析：解：∵BC⊥平面PAB，AD//BC，∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，∵PA⊥AB，且AB∩AD=A，∴PA⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结MF，则MF//PA，∴MF⊥平面ABCD，且MF=12PA=1，设点A 到平面MBC 的距离为h ， 由V A‐MBC =V M‐ABC ，得13S △MBC ·ℎ=13S △ABC ·MF ，∴ℎ=S △ABC ·MF S △MBC=12·BC·AB·MF 12·BC·MB =2√55．通过线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，取AB 的中点F ，连结MF ，设点A 到平面MBC 的距离为h ，利用V A−MBC =V M−ABC ，计算即可．本题考查直线与平面平行的判定，点到面的距离，棱锥体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题目．设出AB 的坐标，利用中点坐标公式，化简，通过平方差法求出直线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为AB 的中点为P(2,−1)，所以{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2，又{x 12a −y 12b =1x 22a 2−y 22b 2=1两式相减并整理可得k AB =y 1−y 2x1−x 2=−2b 2a 2=−1=tan135°．解得2c 2−2a 2=a 2，可得：e =√62．故选：C ．11.答案：A解析：解：由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =10+√10×2cosθ+√10×2cos(π−θ)+2×2cosπ=6， 故选A ．由题意可得|OB|=|OC|=2，|AO|=√10.设∠AOB =θ，则∠AOC =π−θ.再根据AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，利用两个向量的数量积的定义求得结果．本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．12.答案：A解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是中档题．由已知可设函数f(x)=e x lnx−e x，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．解：∵f′(x)=f(x)+e xx ，x∈[12,+∞)，∴令f(x)=e x lnx−e x，则f′(x)=e x lnx+e xx −e x=f(x)+e xx，由f′(x)=e x lnx+e xx −e x=e x(lnx+1x−1)，令t(x)=lnx+1x −1，则t′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x=1时，t(x)取得最小值为0，∴f′(x)≥0，则f(x)在(0,+∞)上是增函数．若存在a∈[−2,1]，使得f(2−1m)≤a3−3a−2−e成立，只需求出a∈[−2,1]时，a3−3a−2−e的最大值且使f(2−1m)小于等于这个最大值．设g(a)=a3−3a−2−e，a∈[−2,1]，g′(a)=3a2−3=3(a+1)(a−1)，当a∈(−2,−1)时，g′(a)>0，g(a)为增函数，当a∈(−1,1)时，g′(a)<0，g(a)为减函数，∴当a=−1时，g(a)max=−e，即当a=−1时，g(a)=−e．又∵f(x)=e x lnx−e x是增函数且f(1)=−e．∴12≤2−1m≤1，∴m∈[23,1]．故选A．13.答案：−1解析：解：函数{2x +1(x ≥0)2x (x <0)， f[f(x)]=2，可得2f(x)+1=2，解得f(x)=12，所以2x =12，解得x =−1．故答案为：−1．利用f[f(x)]=2，求出f(x)的值，然后利用方程求解x 即可．本题考查分段函数的应用，函数的最值以及方程思想的应用，考查计算能力．14.答案：2√393解析：【试题解析】本题考查三角形面积公式及正余弦定理，属基础题目．由三角形面积公式得c =3，利用余弦定理得a ， 再由正弦定理即可得出答案．解：因为∠A =π3，AC =4，S △ABC =3√3=12AC ⋅AB ⋅sinA =12×4×AB ×√32，解得c =AB =3， 所以由余弦定理可得a =BC =√42+32−2×3×4×12=√13， 则a+b sinA+sinB =a sinA =√13√32=2√393．故答案为2√393． 15.答案：x =−1; 12解析：解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，y =x −1，令y =0，x =1，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)，所以抛物线的方程为y 2=4x ，所以准线方程为：x =−1；若OA ⊥OB ，设A(x,y)，B(x′,y′)，直线与抛物线联立：x 2−(2+2p)x +1=0，∴x +x′=2+2p ，xx′=1，∴yy′=xx′−(x +x′)+1=−2p若OA ⊥OB ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴xx′+yy′=0，即1−2p =0，解得p =12；故答案分别为：x =−1，12．由直线过抛物线的焦点，求出焦点坐标及p 的值，进而求出准线方程；由若OA ⊥OB ，可得数量积为令求出p 的值．考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题． 16.答案：12解析：本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的侧棱长为h ，然后由棱柱的体积公式得答案．解：因为球O 的表面积为3π，所以球的半径为4πR 2=3π，所以4R 2=3，因为底面是直角三角形的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有顶点都在球O 的球面上，且AB =AC =1，设三棱柱的侧棱长为h ，所以AB 2+AC 2+ℎ2=4R 2，解得ℎ=1，所以这个直三棱柱的体积是1×12×1×1=12，故答案为12．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则{a 1+2d =9(a 1+d)2=a 1⋅(a 1+6d)解得 d =4或d =0(舍去)，a 1=1， ∴a n =1+4(n −1)=4n −3．(2)∵b n =1n(a n +7)=14(1n −1n+1)， ∴S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[(11−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)] =14(1−1n+1)=n4n+4．解析：(1)根据条件列方程组，求出首项和公差即可得出通项公式；(2)利用裂项相消法求和．本题考查了等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消进行数列求和的方法，属于基础题． 18.答案：证明：(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO.则O 为正方形ABCD 的中心，∴PO ⊥平面ABCD.∵BD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥BD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC.又AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，AC ∩PO =O ，∴BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面PAC ．(Ⅱ)因为BO =12BD =12×4√2=2√2，由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，∴PO =√PD 2−DO 2=2√2，因为E 为PA 的中点， 故V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO =12×13×12×4×4×2√2=8√23．解析：本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用与线面角的计算，(I)设AC ，BD 交点为O ，连结PO ，则PO ⊥平面ABCD ，于是PO ⊥BD ，又BD ⊥AC ，故而BD ⊥平面PAC ，于是平面EBD ⊥平面PAC ；(Ⅱ)由(I)可得PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ，求得PO 的长，故由V E−PBD =12V P−ABD =12×13×S △ABD ×PO 可得答案． 19.答案：解：(1)2015年至2019年的ω分别记为：ω1=2，ω2=2，ω3=3，ω4=4，ω5=4，抽取两年的基本事件有：(ω1,ω2)，(ω1,ω3)，(ω1,ω4)，(ω1,ω5)，(ω2,ω3)，(ω2,ω4)，(ω2,ω5)，(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共10种，其中两年都是ω>2的基本事件有：(ω3,ω4)，(ω3,ω5)，(ω4,ω5)，共3种，故所求概率为P =310．(2)∵x =6，y =9，5xy =270，则b ∧=x i 5i=1y i −5xy∑x 2−5x 25=286−270190−180=1.6，a ̂=y −b̂x =9−1.6×6=−0.6， 所以回归直线方程为ŷ=1.6x −0.6，将x =10代入上述方程得y ̂=15.4， 即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元．解析：本题考查古典概型概率公式及利用最小二乘法求回归直线方程及回归分析，属于基础题目．(1)列出基本事件利用古典概型概率计算公式求出即可；(2)利用最小二乘法求出回归直线方程即可得出．20.答案：解：(1)由题设知c =1，因为△B 1F 1F 2为等边三角形，则a =2c =2，又a 2=b 2+c 2，所以b =√3，则E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知B1(0,√3)，B2(0,−√3)，又M(4,0)，所以直线B1M：x4+√3=1，B1M与椭圆E的另一个交点A(85,3√35)，直线B2F2：x3=1，因为853√353=1，故点A在直线B2F2上．所以A，F2，B2三点共线．解析：本题考查直线方程与椭圆方程的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用题设条件得a=2c，再结合a2=b2+c2，求得a，b即可；(2)由(1)得直线B1M的方程及直线B2F2的方程，即可得证．21.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x +alnx ，根据m 2≥2m −1≥1，问题转化为g(x)=−x +alnx 在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a 的范围即可．22.答案：解：(1)曲线C 2：ρ=4cosθ.根据{x =ρcosθy =ρsinθ，可得ρ2=4ρcosθ，可得x 2+y 2−4x =0．(2)将{x =1+tcosαy =tsinα代入C 2的直角坐标方程， 得(1+tcosα)2+(tsinα)2−4(1+tcosα)=0，即有t 2−2tcosα−3=0，所以t 1+t 2=2cosα，t 1⋅t 2=−3．则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1|+|t 2|3=|t 1−t 2|3=√(t 1+t 2)2−4t 1⋅t 23=√4cos 2α+123=2√cos 2α+33∈[2√33,43]．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.答案：解：(1)①当x ≤0时，得−x +(1−2x )<3解得x >−23，所以−23<x ≤0;②当0<x <12时，得x +(1−2x )<3解得，x >−2，所以0<x <12；③当x ≥12时，得x −(1−2x )<3，解得x <43，所以12≤x <43．综上，不等式的解集为(−23,43)．(2)f (x )={ −3x +1,x ≤0−x +1,0<x <123x −1,x ≥12, 若关于x 的方程f(x)=msinα恰有一个实数根，则msinα=12有解，又，m =12sinα，所以m ∈[12,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式和函数的零点与方程的根．(1)对x 分类讨论，去绝对值解出不等式的解集即可；(2)根据函数f (x )与y =msinα恰有一根，可得msinα=12有解，即m =12sinα，，求出m 的范围．。

成都七中高2020届高三二诊模拟考试 数学文科参考答案一、选择题二、填空题13．90 14．55215．()),3(0,3+∞- 16．33三、解答题17．解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ,依题意有⎩⎨⎧⋅==512211a a a a ()0)4(111211≠⎩⎨⎧+⋅=+=⇒d d a a d a a 且⎩⎨⎧==⇒211d a ………4分 所以()12121-=-+=n n a n ()212n a a n S n n =+=………6分 (Ⅱ)因为()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-=+111411411121n n n n a b n n ……8分所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111...312121141n n T n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=11141n)1(4+=n n…………12分18．（Ⅰ ）频率分布直方图如下图所示： …4分（Ⅱ）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；…7分（Ⅲ）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…9分该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…11分估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． …12分 仅供四川省崇州市崇庆中学使用四川省崇州市崇庆中学使用仅供21．（Ⅰ）0=a 时，1)(--=x e x f x ，则1)(-='xe xf 令0)(='x f 得0=x …2分 当()0,∞-∈x 时，0)(<'x f ，)(x f 在()0,∞-单调递减；当()+∞∈,0x ，0)(>'x f ，)(x f 在()+∞,0单调递增；…………4分所以0)0()(min ==f x f …5分（Ⅱ）12)(--='ax e x f x，注意到0)0(=f ，故0)(≥x f 的充分条件是012)(≥--='ax e x f x恒成立． 令12)()(--='=ax e x f x h x，则a e x h x2)(-='即0)(≥x h 在[)+∞,0恒成立，又注意到0)0(=h ， 则0)(≥x h 其必要条件是021)0(≥-='a h ，解得21≤a ．……10分 事实上，21≤a 时，1)(2---=x ax e x f x 0112)(≥--≥--='x e ax e x f xx（由（Ⅰ）易知） 即)(x f 在[)+∞,0单调递增，则0)0()(=≥f x f 恒成立． 综上， a 的取值范围是]21,(-∞．……………12分22解 :(Ⅰ )直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数)，消去参数t 可得l0y -+=； 曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，可得C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．……………5分仅供四川省崇州市崇庆中学使用（Ⅱ）C 的标准方程为()2221x y -+=,圆心为()2,0C ，半径为1，所以,圆心C 到l的距离为d ==所以,点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦．……………10分 23、解： (Ⅰ)当1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≥=++-=.1,2,11,2,1,211)(x x x x x x x x f …………2分⎩⎨⎧>≥⇔>4214)(x x x f ，或⎩⎨⎧><<-4211x ，或⎩⎨⎧>--≤421x x2>⇔x ，或2-<x故不等式4)(>x f 的解集为),2()2,(+∞--∞ ；………………5分 （Ⅱ）因为1)1()(1)(+=--+≥++-=a x a x a x x x f)1,0(∈∀m ，[])1()141(141m m m m m m -+-+=-+m mm m -+-+=1145911425=-⋅-+≥mm m m （当31=m 时等号成立）……8分依题意，)1,0(∈∀m ，R x ∈∃0，有)(1410x f m m >-+则91<+a解之得810<<-a故实数a 的取值范围是)8,10(- ……10分仅供四川省崇州市崇庆中学使用。

2020年四川省成都七中高考数学二诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“∃x0∈R，”的否定形式是（）A. ∀x∈R，B. ∃x∈R，C. ∃x∈R，D. ∀x∈R，2.已知复数z满足z（1+i）2=2-i（i为虚数单位），则|z|为（）A. 2B.C.D. 13.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A. {x|-2≤x＜1}B. {x|0＜x≤1}C. {x|-1≤x≤1}D. {x|x＜1}4.函数在x=2处的切线方程为（）A. B. C. D.5.在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（）A. B. C. 2 D. 26.已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）单调递减，若f（2a）＞f（1-a），则a的取值范围是（）A. B. C. D.7.在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a、b，则使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点的概率为（）A. B. C. D.8.如果执行如图所示的程序框图，输出的S=110，则判断框内应填入的条件是（）A. k＜10？B. k≥11？C. k≤10？D. k＞11？9.已知函数f（x）=x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y=g （x）的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则|x1-x2|的值可能为（）A. B. C. D.10.△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2++=，||=||，则•等于（）A. B. C. 3 D.11.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A.B.C.D.12.设双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线y2=8x的通径长为______．14.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______．15.已知实数x，y满足，若x-y的最大值为6，则实数m=______．16.已知A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，AB⊥BC，AB＝2，BC＝4，若球O的体积为，则异面直线PB与AC所成角的正切值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1=A1C=AC，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）求二面角A1-BC-B1的余弦值．18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=，设b n=，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n=b n•2n-1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n-1≤λc n恒成立的λ的取值范围．19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量1518212427频数108732（）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）若该店这款新面包每日出炉数设定为24个（i）求日需求量为15个时的当日利润；（ii）求这30天的日均利润．相关公式：，20.已知函数f（x）=2x lnx+2x，g（x）=a（x-1）（a为常数，且a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若当x∈（1，+∞）时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，试确定自然数n的值，使得a∈（n，n+1）（参考数值，ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln7≈1.95）21.如图，已知椭圆C：的左焦点为F，点P为椭圆C上任意一点，且的最小值为，离心率为，直线l与椭圆C交于不同两点A、、B都在x轴上方，且．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l的方程；Ⅲ对于动直线l，是否存在一个定点，无论如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是，（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线OP：θ1=α（其中0＜α＜）与曲线C交于O，P两点，射线OQ：θ2=与直线l交于Q点，若△OPQ的面积为1，求α的值和弦长|OP|．23.已知a＞0，b＞0，c＞0，设函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a，x∈R（Ⅰ）若a=b=c=1，求不等式f（x）＜5的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为1，证明：++≥18（a+b+c）-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：命题是特称命题，则否定是：∀x∈R，，故选：D．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘法、除法运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）2=2-i，得，∴，故选：C．3.答案：B解析：解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选：B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4.答案：C解析：解：函数，可得f′（x）=，f′（2）=-，f（2）=，函数在x=2处的切线方程为：y-=-（x-2），即．故选：C．求出函数的导数，得到切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．5.答案：B解析：解：∵在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，∴AB•AC•sin A=，即×2×AC×=，解得：AC=1，由余弦定理得：BC2=AC2+AB2-2AC•AB•cos A=1+4-2=3，则BC=．故选：B．利用三角形面积公式列出关系式，把AB，sin A，已知面积代入求出AC的长，再利用余弦定理即可求出BC的长．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6.答案：C解析：解：根据题意，函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）单调递减，则f（2a）＞f（1-a）⇒f（|2a|）＞f（|1-a|）⇒|2a|＜|1-a|，解可得：-1＜a＜，即a的取值范围为（-1，）；故选：C．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（2a）＞f（1-a）⇒f（|2a|）＞f（|1-a|）⇒|2a|＜|1-a|，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与周期性的综合应用，关键是得到关于a的不等式，属于基础题．7.答案：B解析：解：由题意知本题是一个几何概型，∵a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，∴△≥0∴a2+b2≥π试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|0≤a≤π，0≤b≤π}表示边长为π的正方形及内部，面积为S=π2，而满足条件的事件是{（a，b）|a2+b2≥π}，表示正方形内去除以原点为圆心的个圆后的部分，其面积为s=π2-π2=π2，由几何概型公式得到P=，故选：B．先判断概率的类型，由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x2+2ax-b2+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．8.答案：C解析：解：由程序可知，该程序是计算，由S=k（k+1）=110，得k=10，则当k=10时，k=k+1=10+1=11不满足条件，所以条件为k≤10．故选：C．阅读程序框图，可知程序执行的是求从2开始的前k个偶数的和，利用等差数列求和公式求出前k个偶数的和，由和等于110算出k的值，则判断框中的条件可求．本题考查了程序框图，是循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．9.答案：B解析：解：函数f（x）=x+1=sin2x-cos2x=2sin（2x-），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y=2sin（4x-）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y=g（x）=2sin（4x-）+1的图象，若g（x1）•g（x2）=9，则4x-=+2kπ，k∈Z；解得x=+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1-x2|的值为T的整数倍，且T==．故选：B．化函数f（x）为正弦型函数，根据三角函数图象变换写出函数y=g（x）的解析式，利用g（x1）•g（x2）=9求得x1、x2满足的条件，再求|x1-x2|的可能取值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移与变换问题，是基础题．10.答案：C解析：解：∵，∴，∴．∴O，B，C共线，BC为圆的直径，如图∴AB⊥AC．∵，∴=1，|BC|=2，|AC|=，故∠ACB=．则，故选：C．利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到BC为直径，故△ABC为直角三角形，求出三边长可得∠ACB的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量垂直的充要条件等基本知识．求出△ABC为直角三角形及三边长，是解题的关键．11.答案：A解析：【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．【解答】解：由三视图知该几何体是三棱锥A-BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD=S△BCD•h=××2×4×2=，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=；所以外接球的体积为V球=πR3=•=8π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为=．故选A.12.答案：D解析：解：设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，又△MF2N∽△PF1F2，∴e======，故选：D．设F1N=ON=MN=r，则OF2=2r，根据勾股定理MF2=2r，再利用相似三角形和双曲线的离心率公式即可求得此题要求学生掌握定义：到两个定点的距离之差等于|2a|的点所组成的图形即为双曲线．考查了数形结合思想、本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径．13.答案：8解析：解：由抛物线y2=8x焦点坐标为（2，0），当x=2时，y=±4，则抛物线的通径为2|y|=8，故答案为：8．求得焦点坐标，代入抛物线方程，求得y的值，则抛物线的通径为2|y|=4．本题考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的通径，属于基础题．14.答案：4解析：解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．15.答案：8解析：解：由约束条件作出可行域如图，图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．故答案为：8．依题意，在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线x-y=6，结合图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：3解析：解：设球O的半径为R，则，解得．如下图所示，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，易知，且PA⊥平面ABC，∵AB⊥BC，∴，∴，，∵M、N分别为PA、AB的中点，所以，MN∥PB，且，同可得NE∥AC，且，，∴，∵MN∥PB，NE∥AC，则异面直线PB与AC所成的角为∠MNE或其补角，在△MNE中，，ME=3，，由余弦定理得，∴，∴．因此，异面直线PB与AC所成角的正切值为3．故答案为：3．作出图形，分别取PA、AB、BC的中点M、N、E，连接MN、ME、NE、AE，利用中位线得出异面直线PB与AC所成角为∠MNE或其补角，计算出△MNE各边边长，利用余弦定理求出∠MNE的余弦值，并得出其正弦值，从而得出该角的正切值，从而得出答案．本题考查球体的相关计算，同时也考查了异面直线所成的角的定义，考查余弦定理的盈盈，考查计算能力，属于中等题．17.答案：（1）证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1；又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1；又AE∥A1G且AE=A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形，则EG∥AA1；又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1；又EG FG=G，EG、FG平面EFG,所以平面EFG∥平面ABB1A1；又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1．（2）解：令AA1=A1C=AC=2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直；以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），A（0，-1，0），．所以，，，令平面A1BC的法向量为=（x1，y1，z1），由则，令，则=（，，1）；令平面B1BC的法向量为=（x2，y2，z2），由则，令，则=（，，-1）；由cos==，故二面角A1-BC-B1的余弦值为．解析：本题考查线面平行的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．（1）取A1C1的中点G，连接EG，FG，推出FG∥A1B1．证明FG∥平面ABB1A1．推出EG∥AA1．得到EG∥平面ABB1A1．证明平面EFG∥平面ABB1A1．然后证明直线EF∥平面ABB1A1．（2）连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1BC的法向量，平面B1BC的法向量,利用空间向量的数量积求解二面角A1-BC-B1的余弦值即可．18.答案：（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1-b n=1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．证法二：由条件，得=，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n=n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①-②得，==-1+（1-n）•2n∴∵c n＞0，∴S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．解析：（I）证法一：由条件两边取倒数可得：，可得b n+1-b n=1，即可证明．证法二：由条件代入递推关系得=，即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得出S n．S n-1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．代入即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式求和公式、错位相减法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：（1）=（15+18+21+24+27）=21个，=（10+8+7+3+2）=6，则==-0.7，=6+21×0.7=20.7．故g关于x的线性回归方程为=-0.7x+20.7．（2）①若日需求量为15个，则当日利润为15×（10-4）+（24-15）×（2-4）=72 （元），②若日需求量为18个，则当日利润为18×（10-4）+（24-18）×（2-4）=96 （元），若日需求量为21个，则当日利润为21×（10-4）+（24-21）×（2-4）=120 （元），若日需求量为24或27个，则当日利润为24×（10-4）=144 （元），则这30天的日均利润为72×+96×+120×+144×=101.6，综上所述，日需求量为15个时的当日利润为72元，这30天的日均利润为101.6元．解析：（1）根据表格数据求出，的值，结合公式求出，的值即可；（2）根据条件分别计算当日需求量为15时的利润，以及18，21.24，27时对应的日利润进行计算即可．本题考查概率、日利润、平均日利润的求法，考查古典概型、平均数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.答案：解：（1）函数f（x）=2x lnx+2x，x＞0；所以f′（x）=2ln x+4，显然f′（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，且f′（e-2）=0，当x∈（0，e-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（e-2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；所以x=e-2时，f（x）取得极小值为f（e-2）=2•e-2•ln e-2+2e-2=-2e-2；（2）记F（x）=f（x）-g（x）=2x lnx+（2-a）x+a，则F′（x）=2ln x+4-a，当a≤4时，因为x＞1，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增，F（x）＞F（1）=2，函数y=F（x）无零点，即函数f（x）与g（x）的图象无交点；当a＞4时，令F′（x）=0，得出x=＞1，且x∈（1，）时，F′（x）＜0，x＞时，F′（x）＞0，所以，F（x）min=F（），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，得F（x）min=F（）=0，化简得：a-2=0，记h（a）=a-2，h′（a）=1-＜0，所以h（a）在（4，+∞）上单调递减，又h（6）=6-2e＞0，h（7）=7-2e＜0，所以a∈（6，7），即n=6．解析：（1）对函数f（x）求导数，利用导数判断f（x）的单调性，求出f′（x）=0对应的函数值，并判断是极大值还是极小值；（2）记F（x）=f（x）-g（x），利用导数判断F（x）的单调性和是否存在零点，从而确定函数f（x）与g（x）的图象是否有交点；求出函数F（x）的零点，再判断a的取值范围，从而求得n的值．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数零点应用问题，是难题．21.答案：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），∵离心率为，∴，∴a=，∵点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，∴c=1，∴a2=b2+c2=b2+1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），∴k AF==1，∵∠OFA+∠OFB=180°．∴k BF=-1，∴直线BF为：y=-（x+1）=-x-1，代入，得3x2+4x=0，解得x=0或x=-，代入y=-x-1，得，舍，或，∴B（-，）．∴=，∴直线AB的方程为：y=．（Ⅲ）存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．证明：∵∠OFA+∠OFB=180°，∴B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），代入，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由韦达定理得，，由直线AB的斜率，得AB的方程为：y-y1=（x-x1）令y=0，得：x=x1-y1•，y1=k（x1+1），-y2=k（x2+1），===≥=-2，∴对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．解析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），由离心率为，点P为椭圆C上任意一点，且|PF|的最小值为-1，求出a2=2，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由题意A（0，1），F（-1，0），得k AF==1，从而k BF=-1，进而直线BF为：y=-x-1，代入，得3x2+4x=0，由此能求出直线AB的方程．（Ⅲ）由∠OFA+∠OFB=180°，知B在于x轴的对称点B1在直线AF上，设直线AF的方程为：y=k（x+1），由，得（）x2+2k2x+k2-1=0，由此利用韦达定理、直线的斜率、直线方程，结合已知条件能求出对于动直线l，存在一个定点M（-2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，属于难题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．22.答案：解：（Ⅰ）直线l的参数方程是（t为参数），转换为直角坐标方程为：x-y+1=0．转换为极坐标方程为：ρcosθ-ρsinθ+1=0．曲线C的参数方程是，（φ为参数），转换为直角坐标方程为：（x-2）2+y2=4，转换为极坐标方程为：ρ=4cosθ．（Ⅱ）由于0＜α＜，所以：|OP|=4cosα，|OQ|==．所以：==1，所以：tanα=1，由于：0＜α＜，故：，所以：|OP|=4cos．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，而|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1、-1对应点的距离之和，而-2、2对应点到1、-1对应点的距离之和正好等于4，故它的解集为（-2，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x-b|+|x+c|+a的最小值为|b+c|+a=b+c+a=1，∴（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c）=（+4+9）（a+b+b+c+a+c）≥•=18=18（a+b+c）．解析：（Ⅰ）若a=b=c=1，不等式f（x）＜5，即|x-1|+|x+1|＜4，利用绝对值的意义求得它的解集．（Ⅱ）（++）（b+c+a）=（++）•（a+b+b+c+a+c），再利用柯西不等式求得要证的结论．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，属于中档题．。

成都七中2020届高三二诊模拟考试数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A. {}32x x -<< B. {}22x x -<< C. {}62x x -<<D. {}12x x -<<2.设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A.2 B. 2 C. 1D.33.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A.1225B. 1225-C.2425D. 2425-4.设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C. 8月是空气质量最好的一个月D. 6月份的空气质量最差.6.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163πD.323π 7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“1322a a a +<”是“10a <”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是( )A. 5-B. 2C. 3D. 没有最小值9.设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A. B.C. D.10.对任意x ∈R ，不等式0x e kx -≥恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A. [)0,eB. (]0,eC. []0,eD. (],e -∞ 11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A.3B.217C.2112D.5712.如图所示，三棱椎P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ︒∠=，且2PA PB AB ===，3PC=，则点C到面PAB的距离等于( )A.13B.63C.33D.23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________.14.已知(1,2)a=r，(1,1)b=-r，则ar与a b+r r夹角的余弦值为________.15.已知()f x是定义在R上的奇函数，当0x>时，2()2f x x x=-，则不等式()f x x>的解集用区间表示为__________．16.已知椭圆Г：22221(0)x ya ba b+=>>，F1、F2是椭圆Г的左、右焦点，A为椭圆Г的上顶点，延长AF2交椭圆Г于点B，若1ABFV为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.设数列{}n a是公差不为零的等差数列，其前n项和为n S，11a=，若1a，2a，5a成等比数列. （Ⅰ）求n a及n S；（Ⅱ）设211(N*)1nnb na+=∈-，求数列{}nb的前n项和nT.18.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6[)0.6,0.7频数 1 3 2 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数 151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）19.如图所示，在四棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD的中点.（Ⅰ） 求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ； （Ⅲ）若F 为BD的中点，求四面体CDEF 的体积.20.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)，离心率为32，A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线1y x =-与椭圆交于M ,N 两点，求MN ；（Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值. 21.设函数()21xf x e ax x =--+，a R ∈.（Ⅰ）0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为323t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=. （1）求l普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上点P 到l 距离的取值范围. 23.已知()1f x x x a =-++()a R ∈. （Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集； （Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围.成都七中高2020届高三二诊数学模拟考试 （文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A. {}32x x -<< B. {}22x x -<< C. {}62x x -<< D. {}12x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 2.设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )A.B. 2C. 1D.【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可. 【详解】因为(1)1i z i +⋅=-,所以()()()211111i iz i i i i --===-++⋅-,由复数模的定义知,1z ==.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题. 3.已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A.1225B. 1225-C.2425D. 2425-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可. 【详解】因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=, 所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-,所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.4.设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A【解析】 【分析】选取中间值0和1，利用对数函数3log y x =，0.2log y x =和指数函数2x y =的单调性即可求解. 【详解】因为对数函数3log y x =在()0,∞+上单调递增, 所以33log 0.5log 10<=,因为对数函数0.2log y x =在()0,∞+上单调递减, 所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21=<<=， 因为指数函数2xy =在R 上单调递增, 所以0.30221>=, 综上可知,a b c <<. 故选:A【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A. 1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B. 第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C. 8月是空气质量最好的一个月D. 6月份的空气质量最差. 【答案】D 【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差．故本题答案选D ．6.阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163π D.323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则“1322a a a +<”是“10a <”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断;【详解】因为22131,a a q a a q ==,所以若1322a a a +<成立，即21112a q q a a +<成立,整理可得,()2110a q -<成立, 因为1q =时,1322a a a +=, 所以1q ≠,即()210q ->, 所以可得10a <,即“1322a a a +<”是“10a <”的充分条件； 若10a <成立,因为()210q -≥,所以可得()2110a q -≤,即1322a a a +≤成立, 即由10a <不能推出1322a a a +<,故“1322a a a +<”不是“10a <”的必要条件；综上可知,“1322a a a +<”是“10a <”的充分不必要条件. 故选: A【点睛】本题考查等比数列通项公式和充分条件与必要条件的判断;考查逻辑推理能力和运算求解能力;根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的通项公式是求解本题的关键;属于中档题.8.设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是( )A. 5-B. 2C. 3D. 没有最小值【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域,作出直线0:0l x y +=,根据目标函数z 的几何意义平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值,联立方程求出点A 坐标，代入目标函数求解即可.【详解】根据题意,作出不等式组表示的平面区域如图所示：作出直线0:0l x y +=,因为目标函数z 的几何意义为直线y x z =-+的纵截距， 所以平移直线0l ,当直线:l z x y =+经过平面区域内的点A 时目标函数z 有最小值, 联立方程24220x y x y +=⎧⎨--=⎩,解得20x y =⎧⎨=⎩,所以点A 坐标为()2,0,把点A 的坐标代入目标函数z x y =+可得目标函数z 的最小值为2. 故选:B【点睛】本题考查简单的线性规划问题;考查数形结合思想和运算求解能力;理解目标函数的几何意义是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.9.设函数22sin ()1x xf x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D和选项C 即可求解.【详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除；对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 10.对任意x ∈R ，不等式0x e kx -≥恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A. [)0,e B. (]0,eC. []0,eD. (],e -∞ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知,x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立,设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线,求出直线()g x kx =与曲线x y e =相切时的k 值,利用数形结合即可求出实数k 的取值范围.【详解】由题意可知, x e kx ≥对任意x ∈R 恒成立, 设()g x kx =，则函数()g x 为过原点,斜率为k 的直线, 根据题意作图如下：易知0k ≥,由图可知,当直线()g x kx =与曲线xy e =相切时k 有最大值,因为xy e '=,设切点坐标为()00,x y ,由导数的几何意义知,000x x e k kx e⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得01x k e =⎧⎨=⎩, 所以实数k 的取值范围为[]0,e . 故选:C【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率及不等式恒成立问题的求解;考查数形结合思想和转化与化归能力;把不等式恒成立问题转化为两函数图象所对函数值的大小问题是求解本题的关键;属于中档题. 11.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，23c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（ ） A.37B.217C.2112D.5719【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得3tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】31sin sin cos sin 32b A a B B a B π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭Q ，即31sin sin sin cos sin sin22A B A B A B=-，即3sin sin3sin cosA B A A=，sin0A>Q，3sin3cosB B∴=，得3tan3B=，0BQπ<<，6Bπ∴=.由余弦定理得2232cos112212372b ac ac B=+-=+-⨯⨯⨯=，由正弦定理sin sinc bC B=，因此，123sin212sin77c BCb⨯===.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.12.如图所示，三棱椎P ABC-的底面ABC是等腰直角三角形，90ACB︒∠=，且2PA PB AB===，3PC=，则点C到面PAB的距离等于( )A.13B.6C.3D.23【答案】C【解析】【分析】取AB的中点G,连接,PG CG,作CH PG⊥,垂足为H,利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PCG,由线面垂直的性质可得AB CH⊥,进而证得CH⊥平面PAB,在PCG∆中,利用余弦定理和同角三角函数的基本关系求出sin PGC∠,在Rt CHG∆中求出CH即可.【详解】取AB的中点G,连接,PG CG,作CH PG⊥,垂足为H,如图所示：因为2PA PB AB ===,所以PAB ∆为等边三角形, 因为G 为AB 中点,所以PG AB ⊥, 又ABC ∆为等腰直角三角形,90ACB ︒∠=, 所以CG AB ⊥,又PG CG G =I , 所以AB ⊥平面PCG ,又CH ⊂平面PCG , 所以AB CH ⊥,因为CH PG ⊥，PG AB G ⋂=, 所以CH ⊥平面PAB ,即CH 即为点C 到面PAB 的距离, 因为在等边PAB ∆中,362PG ==, 在ABC ∆为等腰直角三角形中,22CG ==, 在PCG ∆中,由余弦定理可得,2222226233cos 23622PG CG PCPGC PG CG +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⨯⨯,所以2236sin 1cos 133PGC PGC ⎛⎫∠=-∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭, 在Rt CHG ∆中,263sin 233CH CG CGP =⋅∠==, 所以点C 到面PAB 3故选:C【点睛】本题考查利用线面垂直的判定定理和性质定理求点到面的距离;考查数形结合思想和逻辑推理能力;灵活运用线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知某校高一、高二、高三的人数分别为400、450、500，为调查该校学生的学业压力情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为270的样本，则从高二年级抽取的人数为__________. 【答案】90 【解析】 【分析】利用分层抽样方法：利用频率、频数与样本容量的关系按比例抽取即可. 【详解】由题意知,全校共有学生人数为1350人,其中高二年级有450人, 设高二年级抽取的人数为x 人，根据分层抽样按比例抽取可得,270450901350x =⨯=.故答案为: 90【点睛】本题考查利用分层抽样按比例抽取样本;考查运算求解能力;属于基础题.14.已知(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则a r 与a b +r r夹角的余弦值为________.【解析】 【分析】根据题意,利用向量坐标的线性运算求出a b +r r 的坐标,分别求出,a a b +v v v ,()a b a +⋅r r r,代入夹角公式求解即可.【详解】由题意知,()0,3a b +=vv ,因为(1,2)a =r ，所以()01326a b a +⋅=⨯+⨯=v v v,由向量模的定义知,3a a b ==+==vv v ,由平面向量数量积的夹角公式可得,()cos a b a a a b θ+⋅===⋅+v v v v v v .故答案为【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算及平面向量数量积的坐标表示和夹角公式;考查运算求解能力;熟练掌握平面向量数量积的坐标表示和夹角公式是求解本题的关键;属于中档题.15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞ 【解析】设0x ＜ ，则0x -＞ ，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜ 时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞ ，可得20 2x x x x ⎧⎨-⎩＞＞ ，或202x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞ 求得3x ＞ ，或30x -＜＜， 故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 16.已知椭圆Г：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1、F 2是椭圆Г的左、右焦点，A 为椭圆Г的上顶点，延长AF 2交椭圆Г于点B ，若1ABF V 为等腰三角形，则椭圆Г的离心率为___________.【答案】3【解析】 【分析】由题意可得等腰三角形的两条相等的边，设2BF t =，由题可得1BF 的长，在三角形1ABF 中，三角形12BF F 中由余弦定理可得1ABF ∠的值相等，可得,a c 的关系，从而求出椭圆的离心率【详解】如图，若1ABF ∆为等腰三角形，则|BF 1|=|AB |.设|BF 2|=t ，则|BF 1|=2a −t ，所以|AB |=a +t =|BF 1|=2a −t ，解得a =2t ，即|AB |=|BF 1|=3t ，|AF 1|=2t ，设∠BAO =θ，则∠BAF 1=2θ，所以Г的离心率e =22||||OF c a AF ==sin θ，结合余弦定理，易得在1ABF ∆中，21cos 212sin 3θθ==-，所以21sin 3θ=，即e =sin θ故答案为：3.【点睛】此题考查椭圆的定义及余弦定理的简单应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）设211(N*)1n n b n a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-，2n S n =；（Ⅱ）4(1)n nT n =+.【解析】 【分析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，利用等比中项和等差数列通项公式得到关于1,a d 的方程,求出1,a d 代入公式即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出数列{}n b 的通项公式,利用裂项相消法求和即可. 【详解】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ,依题意有122151a a a a =⎧⎨=⋅⎩，即()()1211114a a d a a d =⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩或11a d =⎧⎨=⎩（舍去），所以()12121n a n n =+-=-()122n n n a a S n +== ；（Ⅱ）因为()211111114141n n b a n n n n +⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭所以1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭4(1)nn =+.【点睛】本题考查等比中项、等差数列的通项公式和前n 项和公式及裂项相消法求和;考查运算求解能力;利用等比中项和等差数列通项公式正确求出1,a d 是求解本题的关键;属于中档题.18.某家庭记录了未使用节水龙头50天日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）47.45m.【答案】（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）3【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水m，从而求得结果.多少3【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于30.35m 的频率为0.20.110.1 2.60.120.050.48⨯+⨯+⨯+⨯=；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为0.48；（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 ()110.0510.1530.2520.3540.4590.55260.6550.4850x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为()210.0510.1550.25130.35100.45160.5550.3550x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水()()30.480.3536547.45m -⨯=． 【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有频率分布直方图的绘制、利用频率分布直方图计算变量落在相应区间上的概率、利用频率分布直方图求平均数，在解题的过程中，需要认真审题，细心运算，仔细求解，就可以得出正确结果.19.如图所示，在四棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD的中点.（Ⅰ） 求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（Ⅲ）若F 为BD 的中点，求四面体CDEF 的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）6. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明CB ⊥平面ABD ,再由线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥BC ，由题可知,BE AD ⊥,利用线面垂直的判定定理证得AD ⊥平面BCE ,再由面面垂直的判定定理即可得证;（Ⅲ）由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD ,由此可得CB 即为点C 到平面ABD 的距离,利用三角形的面积公式求出DEF ∆的面积,代入三棱锥的体积公式求解即可.【详解】（Ⅰ）证明：因为2CBA CBD π∠=∠=，所以,BC BA BC BD ⊥⊥,又BA BD B =I ,由线面垂直的判定定理知,CB ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ,所以AD ⊥BC .（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知AD ⊥BC ,又AB BD =,点E 为AD 的中点，所以BE AD ⊥,因为BE BC B =I ,由线面垂直的判定知,AD ⊥平面BCE ，又AD ⊂平面ACD ，由面面垂直的判定定理知，平面ACD ⊥平面BCE .（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知BC ⊥平面ABD ,因为2,AB BD AD ===所以在ABD ∆中由余弦定理可得, (222222221cos 22222AB BD AD ABD AB BD +-+-∠===-⋅⨯⨯,所以120ABD ∠=o ,又EF 为ABD ∆的中位线，所以120EFD ∠=o , 所以13C DEF DEF V S CB -∆=⋅ 11(sin120)32EF FD CB ︒=⋅⋅⋅⋅11(11232=⋅⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用线面垂直的判定与性质证明线线垂直、面面垂直及三棱锥体积的求解;考查逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握线面垂直的判定与性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20.已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点(0,1)A 、B 、C 为椭圆上不同的三点，且满足0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线1y x =-与椭圆交于M ,N 两点，求MN ；（Ⅱ）若直线AB 、OC 的斜率都存在，求证：AB OC k k ⋅为定值.【答案】；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意知1b =,结合离心率和,,a b c 之间的关系求出椭圆方程,然后与直线1y x =-联立求出交点M ,N 两点的坐标,代入两点间的距离公式求解即可；（Ⅱ）设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ，由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，利用平面向量坐标的线性运算求出123,,x x x 之间的关系和123,,y y y 之间的关系,把,A B 两点坐标代入椭圆方程利用点差法求解即可得证.【详解】（Ⅰ）解：依题有2221b c aa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩2241a b ⎧=⇒⎨=⎩ ， 所以椭圆方程为2214x y +=，由122110114y x x x y y =-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，或228535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以MN ==（Ⅱ）证明：设()11,A x y ，()11,B x y ，()33,C x y ， 则()123123,OA OB OC x x x y y y ++=++++u u u v u u u v u u u v ，由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r知,123123,x x x y y y +=-+=-，由()()()()222211221212121244,4440+=+=⇒+-++-=x y x y x x x x y y y y ， 所以()121212124AB y y x x k x x y y -+==--+， 因为321321OC y y y k x x x +==+, 所以AB OC k k ⋅14=-为定值. 【点睛】本题考查椭圆的方程及其性质、直线与椭圆的位置关系、点差法的运用、平面向量坐标的线性运算；考查运算求解能力和逻辑推理能力和知识的综合运用能力;属于中档题、常考题型.21.设函数()21x f x e ax x =--+，a R ∈. （Ⅰ）0a =时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）214e a -≤. 【解析】【分析】（Ⅰ）对函数()f x 进行求导，利用导数判断函数()f x 的单调性求最值即可；（Ⅱ）由题知，()020f =>对任意a R ∈恒成立，当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210x e ax x --+≥对任意0x >恒成立，即21x e x a x -+≤对任意0x >恒成立，令()21x e x h x x -+=，0x >，对函数()h x 进行求导判断其单调性求()0,∞+上的最小值即可.【详解】（Ⅰ）0a =时，()1xf x e x =-+， 则()1x f x e =-' ， 令()0f x '=，得0x =，当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞单调递减；当()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 在()0,∞+单调递增；所以()()min 02f x f ==；（Ⅱ）由题意知，()020f =>对任意a R ∈恒成立，当0x >时，()0f x ≥恒成立等价于210x e ax x --+≥对任意0x >恒成立， 即21x e x a x-+≤对任意0x >恒成立， 令()21x e x h x x -+=，0x >，则()()()'321x x e h x x-+=， 所以当02x <<时，()'0h x <，函数()h x 单调递减； 当2x >时，()'0h x >，函数()h x 单调递增， 所以当2x =时函数()h x 有最小值为()2124e h -=， 所以此时a 的取值范围为214e a -≤， 综上可知所求a 的取值范围为214e a -≤. 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性求最值、利用构造函数法求解不等式的恒成立问题;考查运算求解能力、转化与化归的能力、逻辑推理能力；灵活运用函数的单调性与导数之间的关系是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=.（1）求l 的普通方程及C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点P 到l 距离的取值范围.【答案】（10y -+=，22430x y x +-+=.（2）1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）根据直线l的参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，即可求得的l 的普通方程，曲线C 的极坐标方程为24cos 30p ρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ，即可求得答案； （2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】（1）直线l参数方程为3,2t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t∴l 0y -+=.曲线C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，利用极坐标化直角坐标的公式:cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ∴C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.（2）C 的标准方程为22(2)1x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为1∴圆心C 到l 距离为d ==，∴点P 到l的距离的取值范围是1,122⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.23.已知()1f x x x a =-++()a R ∈.（Ⅰ） 若1a =，求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，014()1f x m m+>-，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）(,2)(2,)-∞-+∞U ；（Ⅱ）(10,8)-.【解析】【分析】（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数()f x 改写成分段函数的形式,分1,11,1x x x ≥-<<≤-三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值,利用均值不等式求出141m m +-的最小值,结合题意,只需()min min141f x m m ⎛⎫<+ ⎪-⎝⎭即可,解不等式即可求解. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，2,1()112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，1()424x f x x ≥⎧>⇔⎨>⎩，或1124x -<<⎧⎨>⎩，或124x x ≤-⎧⎨->⎩ 2x ⇔>，或2x <-所以不等式()4f x >的解集为(,2)(2,)-∞-+∞U ； （Ⅱ）因为()1()(1)1f x x x a x a x a =-++≥+--=+(0,1)m ∀∈，又[]1414()(1)11m m m m m m+=++--- 4151m m m m-=++-59≥+=（当13m =时等号成立），依题意，(0,1)m ∀∈，0x R ∃∈，有014()1f x m m+>-， 则19a +<，解之得108a -<<，故实数a 的取值范围是(10,8)-.【点睛】本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.。