四川省南充高级中学高二数学下学期期末考试试习题理.doc

2020-2021学年四川省南充市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数52+i的共轭复数是()A. 2−iB. −2−iC. −2+iD. 2+i2.双曲线9y2−16x2=144的渐近线方程是()A. y=±169x B. y=±916x C. y=±43x D. y=±34x3.函数f(x)={x 2+1,x≤1lnx,x>1，则f(f(e))(其中e为自然对数的底数)的值为()A. 0B. 1C. 2D. ln(e x+1)4.3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是()A. 53B. 35C. A53D. C535.(x−1x)9的展开式中x3的系数是()A. −84B. −56C. 56D. 846.函数f(x)=sinx−2cosx的最大值为()A. 1B. √3C. √5D. 37.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是()A. 70B. 64C. 60D. 588.设偶函数f(x)满足f(x)=x3−8(x≥0)，则{x|f(x−2)>0}=()A. {x|x<−2或x>4}B. {x|x<0或x>4}C. {x|x<0或x>6}D. {x|x<−2或x>2}9.若a=30.5，b=log32，c=cos2，则()A. c<a<bB. c<b<aC. b<c<aD. a<c<b10.直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. 110B. 25C. √3010D. √2211.以抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|=4√2，|DE|=2√5，则p=()A. 2B. 4C. 6D. 812.已知函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A. (−∞,0)B. (0,12) C. (0,1) D. (0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,1)，b⃗ =(m,−2)，若a⃗//(a⃗+2b⃗ )，则m=______．14.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a1=−3，2a4+3a7=9，则S7=______．15.若曲线y=e ax−ln(x+1)在x=0处的切线方程为2x−y+1=0，则a=______．16.抛物线x2=2my(m>0)的焦点为F，其准线与双曲线x2m2−y2n2=1(n>0)有两个交点A，B，若∠AFB=120°，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为X．(1)求X的分布列；(2)求E(X)和D(X)．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=7，b=8，cosB=−17．(1)求A；(2)求AC边上的高．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，∠BAP=∠BCP=90°．(1)证明：PD⊥平面ABCD；(2)若PD =2，求二面角D −PB −C 的正弦值．20. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的准线与x 轴的交点为A(−1,0)．(1)求C 的方程；(2)若过点M(2,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．求证：1|PM|2+1|QM|2为定值．21. 已知函数f(x)=ae x −x −1的最小值为0．(1)求a 的值；(2)若m 为整数，且对于任意的正整数n ，(1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<m ，求m 的最小值．22.已知a，b，c>0，a+b+c=1.求证：(Ⅰ)√a+√b+√c≤√3；(Ⅱ)13a+1+13b+1+13c+1≥32．23.已知函数f(x)=a x+sinb−3x+1(a∈R,b∈R,且a>1)的图象过点(0,−1)．(1)求b；(2)用反证法证明：f(x)没有负零点．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=2−i ． ∴复数52+i 的共轭复数是2+i ． 故选：D ．无求出复数52+i ，由此能求出复数52+i 的共轭复数．本题考查复数的运算，考查复数的模、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：把双曲线9y 2−16x 2=144化成标准方程为y 216−x 29=1，∴a =4且b =3，∴双曲线的渐近线方程为y =±ab x ，即y =±43x. 故选：C ．将双曲线化成标准方程，得到a =4且b =3，利用双曲线渐近线方程的公式加以计算，可得答案．本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={x 2+1,x ≤1lnx,x >1，∴f(e)=lne =1，f(f(e))=f(1)=12+1=2． 故选：C ．先求出f(e)=lne =1，从而f(f(e))=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．【解析】解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：(x−1x)9的展开式中的通项T r+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，令9−2r=3，得r=3，所以(x−1x)9的展开式中x3的系数为：C93⋅(−1)3=−84，故选：A．求得：(x−1x)9的展开式中的通项T r+1=C9r⋅(−1)r⋅x9−2r，令x的幂指数为3，求得r，从而可得答案．本题考查二项式定理，着重考查其通项公式的应用，考查数学运算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由于函数f(x)=sinx−2cosx=√5sin(x−θ)，当x−θ=2kπ+π2时，即x=2kπ+π2+θ(k∈Z)时，函数的最大值为√5．故选：C．直接利用三角函数的关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论． 【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有C 84种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，∴满足条件的结果有C 84−6−6=C 84−12=58．故选：D ．8.【答案】B【解析】解：当x <0时，则−x >0，由偶函数f(x)满足f(x)=x 3−8(x ≥0) 可得，f(x)=f(−x)=−x 3−8， 则f(x)={x 3−8,x ≥0−x 3−8,x <0，∴f(x −2)={(x −2)3−8,x ≥2−(x −2)3−8,x <2令f(x −2)>0，当x −2≥0，即x ≥2时，有(x −2)3−8>0可解得x >4， 当x −2<0，即x <2时，有−(x −2)3−8>0，可解得x <0． 即x >4或x <0． 故选B ．先利用偶函数的性质解出函数的解析式，然后再解分段不等式，分段不等式特点是分段求解，再求并集．本题以函数为载体，主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，考查分段函数．9.【答案】B【解析】解：a=30.5>30=1，1=log33>b=log32>log3√3=1，2=0，c=cos2<cosπ2∴c<b<a．故选：B．利用指数、对数函数的单调性直接求解．本题考查了指数和对数、三角函数值的大小比较，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：取BC的中点为O，连结ON，B1C1=OB，则MNOB是平行四边形，BM与AN所成角为∠ANO或其补角，MN=//12∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=√5，2=√(√2)2+22=√6，AN=√5，MB=√B1M2+BB1在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=AN2+NO2−AO2 2AN⋅NO=62×√5×√6=√3010．故选：C．11.【答案】B【解析】解：设抛物线为y2=2px，如图|AB|= 4√2，|AM|=2√2，|DE|=2√5，|DN|=√5，|ON|=p2，x A=(2√2)2 2p =4p，∵|OD|=|OA|，∴丨ON丨 2+丨DN丨 2=丨OM丨 2+丨AM丨 2，∴p24+5=16p2+8，解得p=4，故选：B．画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数的极值点，属于中档题．先求导函数，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f(x)=x(lnx−ax)，则f′(x)=lnx−ax+x(1x−a)=lnx−2ax+1，令f′(x)=lnx−2ax+1=0得lnx=2ax−1，函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，等价于f′(x)=lnx−2ax+1有两个零点，等价于函数y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)，当直线y =2ax −1与y =lnx 的图象相切时，设切点为(x 0,y 0)， 对于y =lnx ，y′=1x ，则{y 0=2ax 0−1y 0=lnx 02a =1x 0，解得a =12，由图可知，当0<a <12时，y =lnx 与y =2ax −1的图象有两个交点． 则实数a 的取值范围是(0,12). 故选B ．13.【答案】−2【解析】解：a ⃗ +2b ⃗ =(2m +1,−3)，a ⃗ =(1,1)，且a ⃗ //(a ⃗ +2b ⃗ )， ∴2m +1+3=0，解得m =−2． 故答案为：−2．可求出：a ⃗ +2b ⃗ =(2m +1,−3)，然后根据a ⃗ //(a ⃗ +2b ⃗ )可得出2m +1+3=0，从而解出m 的值即可．本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】0【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1=−32(a 1+3d)+3(a 1+6d)=9，解得d =1；所以S 7=7a 1+21d =0． 故答案为：0．设公差为d ，利用通项公式将条件转化为d 的方程，求出公差d ，再代入求和公式求S 7． 本题考查等差数列的通项公式，求和公式，属于基础题．15.【答案】3【解析】解：因为y =e ax −ln(x +1)， 所以y′=ae ax −1x+1，由导数的几何意义可得k 切=f′(0)=a −1， 由于切线的方程为2x −y +1=0， 所以a −1=2， 解得a =3， 故答案为：3．求出f(x)的导数，可得切线的斜率，再由切线方程，解得a ，即可得出答案． 本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】3【解析】解：由题意，F(0,m2)，准线方程为y =−m2， 代入双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)，可得x =±√m 2+m 44n 2，∵准线与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)有两个交点A ，B ，∠AFB =120°，∴√m 2+m 44n 2=√3m ，∴m =2√2n ， ∴双曲线的离心率为√8n 2+n 2m=3．故答案为3．求出，F(0,m2)，准线方程为y =−m2，代入双曲线x 2m2−y2n2=1(n >0)，可得x =±√m 2+m 44n 2，利用准线与双曲线x 2m 2−y 2n 2=1(n >0)有两个交点A ，B ，∠AFB =120°，得出√m 2+m 44n 2=√3m ，求出m ，n 的关系，即可得出结论．本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定m ，n 的关系是关键．17.【答案】解：(1)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，P(X =1)=P(X =2)=P(X =3)=P(X =4)=P(X =5)=P(X =6)=16， ∴X 的分布列为：(2)E(X)=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，D(X)=(1−3.5)2×16+(2−3.5)2×16+(3−3.5)2×16+(4−3.5)2×16+(5−3.5)2×16+(6−3.5)2×16=3512．【解析】(1)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．(2)由X 的分布列能求出E(X)和D(X)．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法与应用，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)在△ABC 中，因为cosB =−17，所以sinB =√1−cos 2B =4√37， 由正弦定理得，sinA =asinB b =√32， 因为cosB =−17<0，所以π2<B <π，所以0<A <π2， 所以A =π3．(2)在△ABC 中，sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×(−17)+12×4√37=3√314， 所以AC 边上的高为asinC =7×3√314=3√32．【解析】(1)结合同角三角函数的平方关系与正弦定理，可得sin A 的值，再判断A 的范围，即可得解；(2)先结合三角形的内角和定理与两角和的正弦公式，求出sin C 的值，再由a sin C ，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)证明：因为ABCD 为正方形，所以BC ⊥CD ，因为∠BCP =90°，所以BC ⊥CP ，又CD ∩CP =C ， 所以BC ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥PD ，同理BA ⊥PD ，又BA ∩BC =B ， 所以PD ⊥平面ABCD ．(2)以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)， ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) 设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 由{n⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x =0n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令z =1，得n⃗ =(0,1,1)， 由题意易得，AC ⊥平面PDB ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PDB 的一个法向量，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0) 所以cos <n ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√8=12， 故二面角D −PB −C 的正弦值为√32．【解析】(1)证明BC ⊥CD ，BC ⊥CP ，推出BC ⊥平面PCD ，即可证明BC ⊥PD ，同理可证BA ⊥PD ，然后证明PD ⊥平面ABCD 即可．(2)以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ，求出平面PBC 的一个法向量，说明AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PDB 的一个法向量，利用空间向量求解二面角D −PB −C 的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理，二面角的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得−p2=−1，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)证明：由题意设直线l 的方程为x =my +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{x =my +2y 2=4x ，得y 2−4my −8=0．Δ=16(m 2+2)>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−8， 所以|PM|=√1+m 2|y 1|，|QM|=√1+m 2|y 2|． 所以1|PM|2+1|QM|2=1(1+m 2)y 12+1(1+m 2)y 22=y 12+y 22(1+m 2)y 12y 22=16m 2+1664(1+m 2)=1+m 24(1+m 2)=14．所以1|PM|2+1|QM|2为定值．【解析】(1)(1)由已知条件得−p2=−1，可得p ，进而得到抛物线的方程；(2)设M(t,0)，设点M ，P(x 1,y 2)，Q(x 2,y 2)，显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x =my +t.联立抛物线方程，消去x ，可得y 的方程，运用韦达定理和弦长公式，即可证明．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=ae x −1．①若a ≤0，则f′(x)<0，f(x)单调递减，无最小值； ②若a >0，则当x >−lna 时，f′(x)>0， 当x <−lna 时，f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,−lna)单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， f(x)的最小值为f(−lna)=0， 所以a =1．(2)由(1)得，当x ∈(0,+∞)时，e x −x −1>0，即e x >x +1，即x >ln(x +1)． 令x =12n 得ln(1+12n )<12n所以ln(1+12)+ln(1+122)+⋅⋅⋅+ln(1+12n )<12+122+⋅⋅⋅+12n =1−12n <1． 故(1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<e 又(1+12)(1+122)(1+123)>2，且m 为整数 所以m 的最小值为3．【解析】(1)求导得f′(x)=ae x −1，分两种情况：①若a ≤0，②若a >0，分析f(x)单调性，最小值，即可得出答案．(2)由(1)得，当x ∈(0,+∞)时，e x −x −1>0，进而可得x >ln(x +1)，令x =12n 得ln(1+12n)<12n ，则ln(1+12)+ln(1+122)+⋅⋅⋅+ln(1+12n )<12+122+⋅⋅⋅+12n =1−12n <1.即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】证明：(Ⅰ)由柯西不等式得：(√a +√b +√c)2≤(12+12+12)[(√a)2+(√b)2+(√c)2]=3， ∴√a +√b +√c ≤√3．(Ⅱ)由柯西不等式得：[(3a +1)+(3b +1)+(3c +1)](13a+1+13b+1+13c+1) ≥(√3a +1√3a+1+√3b +1⋅√3b+1+√3c +1⋅√3c+1)2=9 ∴13a+1+13b+1+13c+1≥32．【解析】(Ⅰ)由柯西不等式得：(√a +√b +√c)2≤(12+12+12)[(√a)2+(√b)2+(√c)2]=3，即可证明结论；(Ⅱ)由柯西不等式得：[(3a +1)+(3b +1)+(3c +1)](13a+1+13b+1+13c+1)≥(√3a +1⋅√3a+1√3b +1√3b+1+√3c +1⋅√3c+1)2，即可证明结论．本题考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用柯西不等式是关键．(a∈R,b∈R,且a>1)的图象过点23.【答案】(1)解：∵函数f(x)=a x+sinb−3x+1(0,−1)．=−1，∴f(0)=−1，即a0+sinb−30+1∴sinb=1，+2kπ(k∈z)．∴b=π2(2)证明：假设函数f(x)有负零点x0，则f(x0)=0，故a x0+1=3x①，0+1∵函数y=a x+1(a>1)在R上是增函数，且a0+1=2，∴a0x+1<2，∴1<a x0+1<2，∵函数y=3在(−1,+∞)上是减函数，x+1>3，∴当x0∈(−1,0)时，3x0+1∴等式①不可能成立，∵函数y=3在(−∞,−1)上是减函数，x+1<0，∴当x0∈(−∞,−1)时，3x0+1∴等式①也不可能成立，综上所述，等式①不可能成立，假设错误，故f(x)=0没有负零点，即得证．【解析】(1)将点(0,−1)代入函数f(x)中，可得sinb=1，即可求解b．(2)假设函数f(x)有负零点x0，则f(x0)=0，故a x0+1=3①，可推得1<a x0+1<2，x0+1当x0∈(−1,0)和x0∈(−∞,−1)时，等式①均不成立，故假设错误，即得证．本题主要考查了运用反证法求证函数无零点，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．。

四川省南充市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）A ．1-B ．iC ．0D ．1 【答案】C【解析】试题分析：234110i i i i i i +++=--+=,选C 【考点】复数的运算 2．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】依据双曲线性质，即可求出。

【详解】 由双曲线得，，即， 所以双曲线的渐近线方程是，故选D 。

【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线的渐近线方程是； 双曲线的渐近线方程是。

3．若离散型随机变量X 的分布列为X1P2a 22a则X 的数学期望()E X =（ ） A ．2 B ．2或12C ．12D ．1【答案】C【解析】由离散型随机变量X 的分布列，列出方程组，能求出实数a ，由此能求出X 的数学期望. 【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列，知：22012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得1a =， ∴X 的数学期望111()01222E X =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X 的分布列等基础知识，是基础题.4．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应 A ．从东边上山 B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山【答案】D【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D. 5．二项式102x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项 【答案】B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102rrrC x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是（ ）A ．BC ．-D ．【答案】A【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a 的值. 【详解】解：若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则 3tan 390tan 303a︒︒===，∴a =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种C ．2343C A 种D ．113433C C A 种【答案】C【解析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案. 【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查； 则必有2名水暖工去同一居民家检查，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24C 种方法，再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有33A 种情况，由分步计数原理，可得共2343C A 种不同分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.8．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3【答案】D 【解析】【详解】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=2x +2x+b （b 为常数）， ∴f （0）=1+b=0， 解得b=-1∴f （1）=2+2-1=3． ∴f （-1）=-f （1）=-3． 故选D ．9．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若||6AB =，则p 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．1D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p ，则由题意，得2pm = ①．又由202x y m y px--=⎧⎨=⎩，得222()0x p m x m -++=，所以||6AB == ②，由①②得32p =，故选B ． 【考点】1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．10．已知P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P 到这个四面体各面的距离之和为（ ）A B ．2C D 【答案】A【解析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和， 设它到四个面的距离分别为,,,a b c d ，由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是111sin 6024︒⨯⨯⨯=又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为1sin 602︒⨯=，3=；此正四面体的体积是13=.所以：1()1234a b c d =⨯+++，解得3a b c d +++=. 故选：A. 【点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.11．已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ，其中0x >，0y >．若a b ⊥r r ，则xy 的最大值为（ ） A ．1 B ．2C ．14D ．12【答案】D【解析】已知向量()1,1a x =-r ，(),2b y =r ， 根据a b ⊥r r ，得到()210+-=y x ，即22x y +=，再利用基本不等式21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy 求解.【详解】已知向量()1,1a x =-r，(),2b y =r ，因为a b ⊥r r ，所以()210+-=y x ， 即22x y +=， 又因为0x >，0y >，所以2112122222+⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭x y xy xy ，当且仅当22x y +=，2x y =，即1,12x y ==时，取等号， 所以xy 的最大值为12. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-??C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()xg x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2xf xg x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13．已知()3,2,5a =-r ，()1,5,1b =-r ，则a b ⋅=r r______.【答案】2【解析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可． 【详解】解：()3,2,5a =-r Q ，()1,5,1b =-r()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=r r g故答案为：2 【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．14．在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =________. 【答案】21n -【解析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式. 【详解】因为12n n a a +=+，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列且公差2d =，又11a =， 所以()121n a n =+-，所以21n a n =-， 故答案为：21n -. 【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.15．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.【答案】21e e- 【解析】由x y ae x =+，求导1'=+x y ae ，再根据点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，有1|12='=+=x y ae e 求解.【详解】因为x y ae x =+， 所以1'=+x y ae ，因为点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行， 所以1|12='=+=x y ae e ， 解得21-=e a e. 故答案为：21e e- 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ=u u u v u u u v，则λ=________________． 【答案】4【解析】试题分析：双曲线的右焦点F （，0），渐近线方程为，点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以由于FP PQ λ=u u u r u u u r，所以．【考点】向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质． 【方法点晴】要求的值，就得求出P 、Q 两点的坐标，可直接设出P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P 的轨迹，解方程组即得P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．三、解答题17．甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下： 甲 66 99乙 7977（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率； （2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）13；（2）分布列见解析，103()8E X = 【解析】（1）求出基本事件总数24n C =，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数2222m C C =+.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率P ；（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数246n C ==，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数22222m C C =+=. ∴这2局的得分恰好相等的概率2163m p n ===； （2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ， 则X 的可能取值为13，15，16，18，2363(13)44168P X ==⨯==，2121(15)44168P X ==⨯==，2363(16)44168P X ==⨯==，211(18)448P X ==⨯=，∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为3131103()1315161888888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222sin 3cos ,2c B b C a c b =-=．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为213b 的值． 【答案】（1）3C π=;（2）7b =【解析】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，3 sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求3，即可得解C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a 2+b 2﹣c 2=ab ，又a 2﹣c 2=2b 2，可得a=3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值． 详解：(1)Q 由已知及正弦定理可得，sinCsinB 3sinBcosC =，sinB 0≠Q ，tanC 3∴=，πC .3∴= (2) 由(1)可得，222a b c 1cosC 2ab 2+-==， 222a b c ab ∴+-=，又222a c 2b -=Q ，a 3b ∴=，∴由题意可知，2ABC 133S absinC b 21324===V ， 2b 28∴=，可得：b 27.=点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正形，PD AB =，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PCB ；（2）求二面角E BD P --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）推导出DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，从而BC ⊥平面PCD ，进而DE ⊥BC ，由此能证明DE ⊥平面PCB .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −DB −P 的余弦值.【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB ；（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设PD ＝AB ＝2，则E （0，1，1），B （2，2，0），D （0，0，0），P （0，0，2），(2,2,0),(0,1,1),(0,0,2)DB DE DP ===u u u r u u u r u u u r ，设平面BDE 的法向量(,,)n x y z =r， 则2200n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩u u u v r u u u v r ，取1x =，得(1,1,1)n =-r ，设平面BDP 的法向量(,,)m x y z =r， 则22020m DB x y m DP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v r u u u v r ，取1x =，得(1,1,0)m =-r ，设二面角E −BD −P 的平面角为θ. 则||6cos ||||32m n m n θ⋅===⋅⋅r r r r . ∴二面角E −BD −P 的余弦值为6.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20．已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF=．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上， 所以22m =±(2,22A ． 由(2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)221y x =-． 由)2221{4y x y x =-=，得22520x x -+=， 解得2x =或12x =，从而1,22⎛B - ⎝． 又()G 1,0-， 所以()G 22022213k A ==--，()G 2021312k B ==---，所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝．又()G 1,0-，故直线G A 的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B 的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．【考点】1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．21．设函数f （x ）＝x 2+bln （x +1），其中b ≠0．（1）若b ＝﹣12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）如果f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围．【答案】（1）4﹣12ln 3（2）102b ＜＜ 【解析】（1）当b ＝﹣12时令由()2221201x x f x x ='+-=+得x ＝2则可判断出当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增故f （x ）在[1，3]的最小值在x ＝2时取得；（2）要使f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值即f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即使()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得()48010b g =-⎧⎨-⎩V ＞＞解之求b 的范围． 【详解】解：（1）由题意知，f （x ）的定义域为（1，+∞）b ＝﹣12时，由()2221201x x f x x ='+-=+，得x ＝2（x ＝﹣3舍去）， 当x ∈[1，2）时f ′（x ）＜0，当x ∈（2，3]时，f ′（x ）＞0，所以当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增， 所以f （x ）min ＝f （2）＝4﹣12ln 3．（2）由题意()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根， 即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g （x ）＝2x 2+2x +b ，则()48010b g =-⎧⎨-⎩V ＞＞，解之得102b ＜＜ 【点睛】本题第一问较基础只需判断f （x ）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．22．已知121211151034.z i z i z z z z =+=-=+，，，求 【答案】552i - 【解析】把z 1、z 2代入关系式，化简即可【详解】121212111z z z z z z z +=+=，()()()()()()122212510345510865510555103486862i i i i z z i z i z z i i i +-+-+∴=====-+++-++ 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+， 则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+. 23．用数学归纳法证明：1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L 【答案】证明见解析【解析】利用数学归纳法的证明标准，验证1n =时成立，假设n k =时成立，证明1n k =+时等式也成立即可.【详解】证明：（1）当1n =时，左边13=，右边13=，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立， 即1111133557(21)(21)21k k k k ++++=⨯⨯⨯-++L ， 那么，当1n k =+时， 左边＝11111+133557(21)(21)(2+1)(2+3)k k k k ++++⨯⨯⨯-+L 11=21(21)(23)23k k k k k k ++=++++， 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++L 对任何*n N ∈都成立.【点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设。

2019-2020学年南充市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在空间直角坐标系中，若向量，则它们之间的关系是()A. B. C. D.2.已知f(x)=a2−32x+1是R上的奇函数，则f(a)的值为()A. 76B. 13C. 25D. 233.已知f(x)=sin2(x+π4)+2若a=f(lg5)，b=f(lg15)，则a+b=()A. 3B. 4C. 5D. 64.某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为12，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是()A. 316B. 332C. 532D. 1165.将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为()A. A43B. C43C. 34D. 436.已知圆C的圆心在双曲线E：x2−y23=1的右支上，圆C过双曲线E的右焦点F，且与直线x=−2相切，则圆C截x轴所得的线段长为()A. 1B. 2C. 4D. 87.已知(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，其中a0+a1+⋯+a n=243，则a01+a12+a23+⋯+a nn+1=()A. 182B. 1823C. 913D. 18298.3名男生和4名女生排在一起做操，要求男生不相邻，则不同的排法有()A. A 53B. A 53A 44C. A 33A 44D. A 43A 449.已知双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点与抛物线x2=4y的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为()A. 5y2−54x2=1 B. x 25 − y24=1 C. y25−x24=1 D. 5x2−54y2=110.函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的图象大致为()A. B.C. D.11.已知直线l经过点A(1,3)，B(−2,−5)，则直线l的斜率为()A. 83B. −83C. 2D. −212.定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)满足f′(x1)=f(b)−f(a)b−a，f′(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”，已知函数f(x)=2x3−x2+m是[0,a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是()A. (18,14) B. (116,18) C. (14,12) D. (16,14)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数Z1=1+i，Z2=3−i，则Z2Z1=______ ．14.等差数列{a n}的前n项和为S n，若S21=63，则a3+a11+a19=______15.直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，则k的值为______ ．16.A−BCD是各条棱长都相等的三棱锥，那么AB和CD所成的角等于_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2−c2=ab．(1)求角C的大小；(2)已知a=4，c=2√3，求△ABC的面积．18.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20∼80岁(含20岁和80岁)之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”，[60,80]为“老年人”．(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；(Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在20−80年龄段的人口分布的概率．从该城市20−80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．19. 如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．20. 某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E：y2=2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标(x S,y S)，如图．(Ⅰ)拖动点S，发现当x S=4时，y S=4，试求抛物线E的方程；(Ⅱ)设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS.经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT//NS.请你证明这一结论．(Ⅲ)为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在(Ⅱ)中，把“焦点F”改变为其它“定点G(g,0)(g≠0)”，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”.是否可以适当更改(Ⅱ)中的其它条件，使得仍有“MT//NS”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．21. 已知函数f(x)=ax+blnx+c(a,b，c为常数且a，b，c∈Q)在x=e处的切线方程为(e−1)x+ey−e=0．(I)求常数a，b，c的值；(Ⅱ)若函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，求实数m的取值范围；(Ⅲ)求函数ℎ(x)=f(x)−1的单调递减区间，并证明：ln22×ln33×ln44×…lnnn<1n．x+ln(x−1)，设数列{a n}同时满足下列两个条件：①a n>0(n∈N∗)；22. 已知函数f(x)=32②a n+1=f′(a n+1)．(Ⅰ)试用a n表示a n+1；(Ⅱ)记b n=a2n(n∈N∗)，若数列{b n}是递减数列，求a1的取值范围．23. 已知向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)．(1)若a⃗⊥b⃗ ，求k的值；(2)若a⃗//b⃗ ，求|2a⃗−b⃗ |．【答案与解析】1.答案：A解析：试题分析：又因为．考点：本小题主要考查向量关系的判断．点评：两个向量的数量积为零，则两个向量垂直；两个向量满足，则两个向量平行．2.答案：A解析：解：∵函数f(x)是R 上的奇函数， ∴f(0)=0，得f(0)=a2−32=0， 得a =3，则f(x)=32−32x +1，则f(a)=f(3)=32−323+1=32−39=96−26=76， 故选：A ．根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0求出a 的值，然后代入即可求解．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质利用f(0)=0是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：由已知f(x)=sin 2(x +π4)+2=52−12cos(2x +π2)=52+12sin2x ，又a =f(lg5)，b =f(lg 15)， 所以a +b =5+12sin(2lg5)+12sin(2lg 15)=5+12sin(2lg5)+12sin(−2lg5)=5； 故选：C ．首先对f(x)利用倍角公式化简为52+12sin2x ，又因为lg 15=−lg5，代入解析式得到所求． 本题考查了三角函数的倍角公式、诱导公式、互为倒数的两个正数的同底数的对数互为相反数；注意符号．4.答案：A解析：解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元， 概率为12×12×12×12=116．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，概率为C 41⋅(12)3⋅12(1−12)=18．综上，他116+18=316， 故选：A ．若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．5.答案：C解析：解：每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有3×3×3×3=34． 故选：C ．每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法．本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m 个物品放到n 个不同的位置的方法有n m ，属于基础试题．6.答案：B解析：解：由题意，设圆心坐标为(a,b)，则{a 2−b 23=1a +2=√(a −2)2+b 2，∴a =3，b =±2√6，r =5，∴圆C 的方程为(x −3)2+(y ±2√6)2=25， 令y =0，可得x =2或4，∴圆C 截x 轴所得的线段长为4−2=2， 故选：B ．求出圆心坐标与半径，可得圆的方程，即可求出圆C 截x 轴所得的线段长．本题考查圆C 截x 轴所得的线段长，考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的性质，属于中档题．7.答案：B解析：解：(1+2x)n =a 0+a 1x +⋯+a n x n ，令x =1，则3n =a 0+a 1+⋯+a n =243，解得n =5．∴(1+2x)5的通项公式T k+1=∁5k (2x)k =2k ∁5k x k ，∴a k =2k ∁5k ，∴a k k+1=2k ∁5k k+1．则a 01+a 12+a 23+⋯+ann+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B．(1+2x)n=a0+a1x+⋯+a n x n，令x=1，可得3n=a0+a1+⋯+a n=243，解得n=5.利用(1+2x)5的通项公式可得a kk+1=2k∁5kk+1.代入即可得出．本题考查了二项式定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据题意，分2步进行分析：①、先将4名女生排好，有A44种情况，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，有A53种情况，则共有A44A53种排法，故选：B．根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将4名女生排好，排好后有5个空位，②、在5个空位中，任选3个，安排3名男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查分步乘法计数原理，排列数公式，需要牢记常见问题的处理方法，如不相邻问题用插空法．9.答案：A解析：解：由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)双曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12bb2=45,a2=15双曲线的方程为：5y2 −54x2=1由于抛物线x2=4y的焦点F(0,1)可得曲线y2a2−x2b2=1的一个焦点F(0,1)，从而可得a2+b2=c2=1，由双曲线的实轴长是虚轴长的一半即a=12b，从而可求a，b，进而可求双曲线的方程．本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线的方程，要注意抛物线及双曲线的焦点位置，属于知识的简单运用．10.答案：A解析：解：由1−x1+x>0，解得−1<x<1．∴函数f(x)=cosx⋅log21−x1+x的定义域为(−1,1)．又f(−x)=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数．排除CD．又f(12)=cos 12⋅log 213<0，排除B ． 故选：A ．利用函数的奇偶性、单调性即可得出．本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：因为直线l 经过点A(1,3)，B(−2,−5)， 所以直线l 的斜率为−5−3−2−1=83． 故选：A ．由两点式直接代入求斜率即可． 本题考查两点式求斜率，属于基础题．12.答案：C解析：解：f(x)=2x 3−x 2+m 是[0,a]上的“双中值函数”， ∴f(a)−f(0)a=2a 2−a ，∵f′(x)=6x 2−2x ，∴6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根， 令g(x)=6x 2−2x −2a 2+a ， ∴△=4+24(2a 2−a)>0， g(0)>0，即−2a 2+a >0，g(a)>0，即6a 2−2a −2a 2+a >0， a >16， 解得14<a <12． 故选：C ． 根据定义得出f(a)−f(0)a=2a 2−a ，由f′(x)=6x 2−2x ，得6x 2−2x =2a 2−a 在[0,a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a 的范围即可本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根与对应函数零点之间的关系是解答的关键．13.答案：1−2i解析：解：∵Z 1=1+i ，Z 2=3−i ，则Z2Z1=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−4i2=1−2i，故答案为：1−2i．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.答案：9解析：解：∵S21=63，∴21(a1+a21)2=21a11=63，∴3a11=9，∴a3+a11+a19=3a11=9，故答案为：9．先根据求和公式可得3a11=9，再根据等差数列的性质即可求出．本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题．15.答案：1e解析：解：∵y=lnx，∴y′=f′(x)=1x，设切点为(m,lnm)，得切线的斜率为k=f′(m)=1m，即曲线在点(m,lnm)处的切线方程为：y−lnm=1m (x−m).即y=1mx+lnm−1，∵直线y=kx+1与曲线y=lnx相切，∴1m=k，且lnm−1=1，即lnm=2，则m=e2，则k=1e2．故答案为：1e2．欲k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．16.答案：．解析：试题分析：设A在底面BCD内的射影为O，则O为底面BCD的中心，所以，所以根据三垂线定理可知.所以AB和CD所成的角等于．考点：异面直线所成的角，三垂线定理．点评：因为此三棱锥是正四面体，它的相对棱是垂直的，所以AB与CD所成的角为直角．17.答案：(本小题满分12分)解：(1)∵a2+b2−c2=ab，∵cosC=a2+b2−c22ab =12，………………………………………………………(3分)∵C∈(0,π)，∵C=π3..……………………………………………………………(5分)(2)由正弦定理得sinAa =sinCc，即sinA=a⋅sinCc=4√3223=1，∵A∈(0,π)，∴可得A=π2.………………………………………………………(8分)∴b=√42−(2√3)2=2，………………………………………………………(10分)∴S△ABC=12bc=12×2×2√3=2√3.……………………………………………(12分)解析：(1)由已知利用余弦定理可求cosC=12，结合范围C∈(0,π)，可求C；(2)由正弦定理得sinA=1，结合范围A∈(0,π)，可得A=π2，利用勾股定理可求b，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，勾股定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解析：19.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC ，BC ⊂平面BGC ，AD ⊄平面BGC ， ∴AD//平面BGC ，又∵AF ∩AD =A ，AF 、AD ⊂平面ADEF ， ∴平面BGC//平面ADEF ， 又GC ⊂平面BGC ， ∴GC//平面ADEF ．(2)解：∵FA ⊥平面ABCD ，AB 、AD ⊂平面ABCD ， ∴FA ⊥AB ，FA ⊥AD ， 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD ，故以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)， 设平面CGE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ·CG⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0,令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ， ∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)． 设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC|=√13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313． 解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．20.答案：解：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p =2，…(3分)因此，抛物线E 的方程y 2=4x.…(4分)(Ⅱ)因为抛物线E 的焦点为F(1,0)，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)， 依题意可设直线l ：my =x −1， 代入抛物线方程得y 2−4my −4=0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4 ①…(6分) 又因为l AS ：y =y 1x 1⋅x ，l AT ：y =y 2x 2⋅x ，所以M(−1,−y 1x 1)，N(−1,−y2x 2)，所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2+y 1x 1)，NS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1+y 2x2)，…(7分) 又因为(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y2x 2)(x 2+1)，…(8分)=(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)，②把①代入②，得(y 1−y 2)(y 12y 22−164y 1y 2)=0，…(10分)即(y 2+y 1x 1)(x 1+1)−(y 1+y 2x 2)(x 2+1)=0， 所以MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT//NS.…(11分)(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS.…(14分) 解析：(Ⅰ)把x S =4，y S =4代入y 2=2px ，得p ，即可求出抛物线E 的方程；(Ⅱ)设直线l ：my =x −1，代入抛物线方程，求出M ，N 的坐标，可得MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、NS ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，证明MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //NS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出结论；(Ⅲ)设抛物线E ：y 2=4x 的顶点为A ，定点G(g,0)(g ≠0)，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x =−g 于M 、N 两点，则MT//NS ．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．21.答案：解：(I)由f(x)=ax +blnx +c 知，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a +bx ，又f(x)在x =e 处的切线方程为(e −1)x +ey −e =0，而切线(e −1)x +ey −e =0的斜率为−e−1e，所以有f′(e)=a +be =−e−1e，即(b −1)+(a +1)e =0，由a ，b ，c ∈Q ，得a =−1，b =1，(否则e =1−b a+1∈Q 矛盾)，又有切线方程知，f(e)=2−e ，得出c =1，∴a =−1，b =1，c =1(Ⅱ)由(1)知f(x)=−x +lnx +1(x >0)，因此，g(x)=x 2+mf(x)=x 2−mx +mlnx +m (x >0)， 所以g′(x)=2x −m +m x=1x(2x 2−mx +m) (x >0)．要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数，则函数g(x)在(1,3)内一定有极值， 而gg′(x)=1x (2x 2−mx +m)，所以函数g(x)最多有两个极值． 令d(x)=2x 2−mx +m (x >0)．(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有且仅有一个根， 即d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根，又因为d(1)=2>0，当d(3)=0时，即m =9时，d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有且仅有一个根x =32，当d(3)≠0时，应有d(3)<0，即2×32−3m +m <0，解得m >9.所以有m ≥9． (ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，(ⅰ)当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g′(x)=0在(1,3)内有两个根， 即二次函数d(x)=2x 2−mx +m 在(1,3)内有两个不等根，所以{△=(−m)2−4×2×m >0d(1)=2−m +m >0d(3)=2×32−3m +m >01<m 4<3，解得：8<m <9．综上，实数m的取值范围是m≥8．(Ⅲ)由ℎ(x)=f(x)−1得：ℎ(x)=−x+lnx(x>0)，所以ℎ′(x)=1−xx，令ℎ′(x)≤0，即1−xx≤0，得：x≥1，即ℎ(x)的单调递减区间为[1,+∞)．事实上，由函数ℎ(x)=−x+lnx(x>0)在[1,+∞)上单调递减可知，当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)，即−x+lnx<−1，亦即lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，不等式两边同时除以x，亦即0<lnxx <x−1x对一切x∈(1,+∞)都成立，所以ln22×ln33×ln44×…lnnn<12×23×34×⋅⋅×n−1n=1n解析：(I)题目给出了函数在x=e处的切线方程，则知道了f′(e)，再由切线过切点三个式子联立可求常数a，b，c的值；(Ⅱ)根据函数g(x)=x2+mf(x)(m∈R)在区间(1,3)内不是单调函数，说明该函数在区间(1,3)内一定有极值，求出函数的导函数为g′(x)=1x(2x2−mx+m)，此导函数等于0可转化为二次方程2x2−mx+m=0，然后分该方程有一个实数根和两个实数根分类讨论，对每一种情况结合二次函数的图象列式可求m的范围；(Ⅲ)把f(x)代入后求出函数ℎ(x)的导函数，由导函数小于等于0求得函数ℎ(x)的减区间为[1,+∞)，根据函数在[1,+∞)上是减函数，则lnx<x−1对一切x∈(1,+∞)都成立，两边同时除以x后得0<lnx x <1−xx对一切x∈(1,+∞)都成立，再利用放缩法证明不等式．本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数在某区间(a,b)内存在极值，则函数在该区间内不是单调函数，考查了函数在某点处取得极值的条件，函数在某点处取得极值，则函数在该点处的导数等于0，反之，函数在某点处的导数等于0，该点不一定是极值点，训练了利用放缩法证明不等式．此题具有一定难度22.答案：解：(Ⅰ)求导函数f′(x)=32+1x−1，∵a n+1=f′(a n+1)，∴a n+1=32+1a n．(Ⅱ)a3=32+1a2，a4=32+1a3=32+132+1a2=32+2a23a2+2，令a4<a2，得2a22−3a2−2>0，∴(2a2+1)(a2−2)>0，∵a2>0，∴a2>2，则32+1a1>2，得0<a1<2．以下证明：当0<a1<2时，a2n+2<a2n，且a2n>2．①当n=1时，0<a1<2，则a2=32+1a1>32+12=2，a4−a2=32+1a3−a2=32+132+1a2−a2=13a2+6 2(3a2+2)−a2=−6a22+9a2+62(3a2+2)=−3(2a2+1)(a2−2)2(3a2+2)<0，∴a4<a2．②假设n=k(k∈N∗)时命题成立，即a2k+2<a2k，且a2k>2，当n=k+1时，a2k+2=32+1a2k >32+12=2，a2k+2=32+1a2k+1=32+132+1a2k>2a2k+4−a2k+2=13a2k+2+6 2(3a2k+2+2)−a2k+2=−3(a2k+2+1)(a2k+2−2)2(3a2k+2+2)<0∴a2k+4<a2k+2，即n=k+1时命题成立，综合①②，对于任意n∈N∗，a2n+2<a2n，且a2n>2，从而数列{b n}是递减数列．∴a1的取值范围为(0,2)．说明：数学归纳法第②步也可用下面方法证明：a2k+4−a2k+2=13a2k+2+62(3a2k+2+2)−13a2k+62(3a2k+2)=4(a2k+2−a2k)(3a2k+2+2)(3a2k+2)<0解析：(Ⅰ)求导函数，利用a n+1=f′(a n+1)，可用a n表示a n+1；(Ⅱ)先通过特殊性，猜想0<a1<2，再用数学归纳法进行证明．本题考查数列递推式，考查求参数的范围，解题的关键是先猜后证，属于中档题．23.答案：解：(1)因为向量a⃗=(k,1)，b⃗ =(−6,k−7)，a⃗⊥b⃗ ，所以a⃗⋅b⃗ =−6k+k−7=0，解得：k=−75；(2)若a⃗//b⃗ ，则k(k−7)+6=0，解得k=1或k=6；因此k=1时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(8,8)，因此|2a⃗−b⃗ |=√64+64=8√2；k=6时，2a⃗−b⃗ =(2k+6,9−k)=(18,3)，所以|2a⃗−b⃗ |=√324+9=3√37．解析：(1)根据两向量垂直时，数量积为0，列方程求得k的值；(2)由平面向量的共线定理，列方程求出k的值，再求向量的模长．本题考查了平面向量的坐标运算与共线和垂直的应用问题，是基础题．。

2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知复数z＝，则z的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．i D．﹣i2．（4分）设集合A＝{﹣2，0，2，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4} 3．（4分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）＝﹣|x|B．f（x）＝2x+2﹣xC．f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）D．f（x）＝x3﹣14．（4分）函数f（x）＝ln（x2+2）的图象大致是（）A．B．C．D．5．（4分）设a＞0，将表示成分数指数幂，其结果是（）A．B．C．D．6．（4分）函数f（x）＝2x+x3的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（﹣1，0）C．（1，2）D．（﹣2，﹣l）7．（4分）dx＝（）A．ln2+B．ln2﹣C．ln2﹣D．ln2﹣8．（4分）已知f（n）＝+++…+，则（）A．f（n）中共有n项，当n＝2时，f（2）＝+B．f（n）中共有n+1项，当n＝2时，f（2）＝++C．f（n）中共有n2﹣n项，当n＝2时，f（2）＝++D．f（n）中共有n2﹣n+1项，当n＝2时，f（2）＝++9．（4分）一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有（）种不同的坐法．A．7200B．3600C．2400D．120010．（4分）若函数f（x）＝x2lnx（x＞0）的极值点为α，函数g（x）＝xlnx2（x＞0）的极值点为β，则有（）A．α＞βB．α＜βC．α＝βD．α与β的大小不确定11．（4分）已知函数f（x）＝x4﹣2x3+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥B．m＞C．m≤D．m＜12．（4分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．13．（4分）用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（）A．增加了一项B．增加了两项C．增加了两项，又减少了一项D．增加了一项，又减少了一项14．（4分）对于函数f（x）＝x3﹣3x2，给出下列四个命题：①f（x）是增函数，无极值；②f（x）是减函数，有极值；③f（x）在区间（﹣∞，0]及[2，+∞）上是增函数；④f（x）有极大值为0，极小值﹣4；其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．415．（4分）如图所示的是函数f（x）＝x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于（）A．B．C．D．16．（4分）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣5，﹣3]B．[﹣6，﹣]C．[﹣6，﹣2]D．[﹣4，﹣3]二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．（4分）计算（4A84+2A85）÷（A86﹣A95）×0！＝．18．（4分）若复数z＝（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于．19．（4分）函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值为；最小值为．20．（4分）若函数f（x）＝在区中（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（10分）求值：2log2﹣lg2﹣lg5+．22．（12分）设f（x）＝2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象关于直线x＝﹣对称，且f′（1）＝0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．23．（12分）对于函数f（x）＝a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．24．（12分）设t≠0，点P（t，0）是函数f（x）＝x3+ax与g（x）＝bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．（Ⅰ）用t表示a，b，c；（Ⅱ）若函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，求t的取值范围．25．（12分）如图，设铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小？26．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+a+3，g（x）＝mx+5﹣2m．（Ⅰ）若y＝f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＝0时，若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年四川省南充高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共16个小题，每小题4分，共64分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：复数z＝＝所以它的共轭复数为：1﹣i故选：A．2．【解答】解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B＝（﹣1，3），∵A＝{﹣2，0，2，4}，∴A∩B＝{0，2}．故选：C．3．【解答】解：f（﹣x）＝﹣|﹣x|＝﹣|x|＝f（x），故A是偶函数．f（﹣x）＝2x+2﹣x＝f（x），故B是偶函数．f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣[lg（1+x）﹣lg（1﹣x）]＝﹣f（x），故C是奇函数．f（﹣x）＝﹣x3﹣1≠﹣f（x），故D不是奇函数．故选：C．4．【解答】解：因为定义域为R，且f（﹣x）＝f（x），所以函数为偶函数，排除C项；又f（0）＝ln2＞0，排除A、B两项；只有D项与之相符．故选：D．5．【解答】解：由题意＝故选：C．6．【解答】解：∵连续函数f（x）＝2x+x3，f（﹣1）＝﹣1＝﹣，f（0）＝1+0＝1，∴f（﹣1）•f（0）＝﹣×1＜0，根据函数零点的判定定理，f（x）＝2x+x3的零点所在区间为（﹣1，0），故选：B．7．【解答】解：∵dx＝（lnx﹣﹣）|12＝ln2﹣﹣﹣ln1+1+＝ln2+．故选：A．8．【解答】解：分母n，n+1，n+2…n2构成以n为首项，以1为公差的等差数列项数为n2﹣n+1故选：D．9．【解答】解：由题意，6个人之间形成5个空，插入3个座位，可得不同的坐法有A66C53＝7200种，故选：A．10．【解答】解：∵f′（x）＝2xlnx+x，g′（x）＝lnx2+2又f（x）＝x2lnx（x＞0）的极值点为α，g（x）＝xlnx2（x＞0）的极值点为β，∴2αlnα+α＝0，lnβ2+2＝0∴∴α＞β故选：A．11．【解答】解：因为函数f（x）＝x4﹣2x3+3m，所以f′（x）＝2x3﹣6x2．令f′（x）＝0得x＝0或x＝3，可知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（3）＝3m﹣．不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥﹣9恒成立，所以3m﹣≥﹣9，解得m≥．故选：A．12．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是＝（3x﹣）＝；故选：C．13．【解答】解：，＝故选：C．14．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣3x2，∴f′（x）＝3x2﹣6x，由f′（x）＝0，得x＝0或x＝2，当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）的增区间是（﹣∞，0），（2，+∞）；减区间是（0，2）．∴f（x）极大值＝f（0）＝0，f（x）极小值＝f（2）＝﹣4．故①②错误，③④正确．故选：B．15．【解答】解：由图象知f（x）＝0的根为0，1，2，∴d＝0．∴f（x）＝x3+bx2+cx＝x（x2+bx+c）＝0．∴x2+bx+c＝0的两个根为1和2．∴b＝﹣3，c＝2．∴f（x）＝x3﹣3x2+2x．∴f′（x）＝3x2﹣6x+2．∵x1，x2为3x2﹣6x+2＝0的两根，∴．∴．故选：C．16．【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）＝，则f′（x）＝＝﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故选：C．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）17．【解答】解：（4+2）÷（﹣）×0!＝（4×8×7×6×5+2×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×4×3﹣9×8×7×6×5）×1＝（3×8×7×6×5×4）÷（8×7×6×5×3）＝4．故答案为：4．18．【解答】解：由纯虚数的定义可知，由方程可解得a＝0，或a＝2，但a＝2时a2﹣a﹣2＝0，矛盾，故答案为：019．【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣3x+1，所以函数f′（x）＝3x2﹣3，令3x2﹣3＝0，解得x＝﹣1，或x＝1∉[﹣3，0]，因为f（﹣3）＝（﹣3）3﹣3×（﹣3）+1＝﹣17，f（﹣1）＝（﹣1）3﹣3×（﹣1）+1＝3，f（0）＝1；所以函数的最大值为：3；最小值为：﹣17．故答案为：3；﹣17．20．【解答】解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：＝2×﹣lg10+＝1﹣1+＝．22．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）＝2x3+ax2+bx+1，故f′（x）＝6x2+2ax+b 从而f′（x）＝6y＝f′（x）关于直线x＝﹣对称，从而由条件可知﹣＝﹣，解得a＝3又由于f′（x）＝0，即6+2a+b＝0，解得b＝﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝2x3+3x2﹣12x+1f′（x）＝6x2+6x﹣12＝6（x﹣1）（x+2）令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x＝﹣2处取到极大值f（﹣2）＝21，在x＝1处取到极小值f（1）＝﹣6．23．【解答】解：∵f（x）＝a﹣（a∈R）．∴f′（x）＝＞0恒成立，∴函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）＝a﹣＝0，得a＝1，∴f（x）＝1﹣＝，∵f（﹣x）＝＝＝﹣＝﹣f（x）所以当a＝1时，f（x）为奇函数．24．【解答】解：（I）因为函数f（x），g（x）的图象都过点（t，0），所以f（t）＝0，即t3+at＝0．因为t≠0，所以a＝﹣t2．g（t）＝0，即bt2+c＝0，所以c＝ab．又因为f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，所以f'（t）＝g'（t）．而f'（x）＝3x2+a，g'（x）＝2bx，所以3t2+a＝2bt．将a＝﹣t2代入上式得b＝t．因此c＝ab＝﹣t3．故a＝﹣t2，b＝t，c＝﹣t3．（II）y＝f（x）﹣g（x）＝x3﹣tx2﹣t2x+t3，y'＝3x2﹣2tx﹣t2＝（3x+t）（x﹣t）．当y'＝（3x+t）（x﹣t）＜0时，函数y＝f（x）﹣g（x）单调递减．由y'＜0，若t＞0，则﹣＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜﹣．由题意，函数y＝f（x）﹣g（x）在（﹣1，3）上单调递减，则（﹣1，3）⊂（﹣，t）或（﹣1，3）⊂（t，﹣）．所以t≥3或﹣≥3．即t≤﹣9或t≥3．∴t的取值范围为（﹣∞，﹣9]∪[3，+∞）．25．【解答】解：（1）依题中，铁路AB长为80，BC⊥AB，且BC＝10，将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，且单位距离的铁路运费为2，公路运费为4∴铁路AM上的运费为2（80﹣x），公路MC上的运费为4，则由A到C的总运费为y＝2（80﹣x）+4（0≤x≤80）…（6分）（2）y′＝﹣2+（0≤x≤80），令y′＝0，解得x ＝，或x ＝﹣（舍）…（9分）当0≤x ≤时，y′≤0；当≤x≤80时，y′≥0故当x ＝时，y取得最小值．…（12分）即当在距离点B 为时的点M处修筑公路至C时总运费最省．…（13分）26．【解答】解：（Ⅰ）：因为函数f（x）＝x2﹣4x+a+3的对称轴是x＝2，所以f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，因为函数在区间[﹣1，1]上存在零点，则必有：即，解得﹣8≤a≤0，故所求实数a的取值范围为[﹣8，0]．（Ⅱ）若对任意的x1∈[1，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＝g（x2）成立，只需函数y＝f（x）的值域为函数y＝g（x）的值域的子集．f（x）＝x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域为[﹣1，3]，下求g（x）＝mx+5﹣2m的值域．①当m＝0时，g（x）＝5﹣2m为常数，不符合题意舍去；②当m＞0时，g（x）的值域为[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3]⊆[5﹣m，5+2m]，需，解得m≥6；③当m＜0时，g（x）的值域为[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3]⊆[5+2m，5﹣m]，需，解得m≤﹣3；综上，m的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．第11页（共11页）。

四川省南充市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·长治月考) 已知复数满是且，则的值为（）A . 2B . -2或2C . 3.D . -3或32. （2分）袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（）A .B .C .D .3. （2分）口袋中放有大小相等的2个红球和1个白球，有放回地每次摸取1个球，定义数列{an}：若第n 次摸到红球，an=﹣1；若第n次摸到白球，an=1．如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7=3的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）两个量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A . 模型1的相关指数R2为0.99B . 模型2的相关指数R2为0.88C . 模型3的相关指数R2为0.50D . 模型4的相关指数R2为0.205. （2分） (2016高二下·汕头期末) 为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，某高中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如表所示联表及附表：做不到“光盘”行动做到“光盘”行动男4510女3015P（K2≥k0）0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.024经计算：K2= ≈3.03，参考附表，得到的正确结论是（）A . 有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”B . 有95%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”C . 有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”D . 有90%的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”6. （2分）(2017·运城模拟) 某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（）A . 6B . 12C . 18D . 247. （2分） (1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2.(2)已知a ，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是（）A . (1)与(2)的假设都错误B . (1)与(2)的假设都正确C . (1)的假设正确；(2)的假设错误D . (1)的假设错误；(2)的假设正确8. （2分） (2017高二下·宁波期末) 已知曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A .B . ﹣2C . 2D .9. （2分） (2017高二下·武汉期中) 从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内摸出一个球，那么是（）A . 2个球不都是白球的概率B . 2个球都不是白球的概率C . 2个球都是白球的概率D . 2个球恰好有一个球是白球的概率10. （2分）(2014·辽宁理) 6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A . 144B . 120C . 72D . 2411. （2分）两个正态分布和对应的曲线如图所示，则有（）A .B .C .D .12. （2分）设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A . 1B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·高淳期末) 在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是________．14. （1分） (2017高二下·桃江期末) 我们熟悉定理：平行于同一直线的两直线平行，数学符号语言为：∵a∥b，b∥c，∴a∥c．这个推理称为________．（填“归纳推理”、“类比推理”、“演绎推理”之一）．15. （1分） (2015高二下·思南期中) 计算 =________．16. （1分）已知a，b∈R，在（ax+ ）8的展开式中，第二项系数为正，各项系数和为256，则该展开式中的常数项的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？18. （5分）若logd2＜logc2＜0＜logb2＜loga2，指出a，b，c，d的大小关系．19. （10分） (2017高二下·赣州期中) 解答题（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字任取3个，问能组成多少个没有重复数字的三位数？（2）若（x6+3）（x2+ ）5的展开式中含x10项的系数为43，求实数a的值．20. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°（1）若PA=AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；（2）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．21. （10分） (2018高二下·惠东月考) 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过个直道与弯道的交接口 .已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为，摔倒的概率均为 .假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过个交接口的概率；（2）求的分布列及数学期望 .22. （10分）记max{m，n}表示m，n中的最大值，如max ．已知函数f（x）=max{x2﹣1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，ax2+x}．（1）求函数f（x）在上的值域；（2）试探讨是否存在实数a，使得g（x）＜ x+4a对x∈（1，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

四川省南充市高二数学下学期期末考试试题理高二数学(理科)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内复数131izi对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示：根据表格，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x ，则m ( ) A ．85.5 B ．80 C ．85 D ．90 3.数学归纳法证明不等式*1111,22321n n n N n …时，由2n k k 不等式成立，推证1n k 时，左边应增加的项数为( )A ．12kB ．21kC ．2kD ．21k 4.设1213sin m x x dx ，则多项式61xm x的常数项是( )A ．54 B ．54 C.203 D ．15165.将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有( )A ．24种B ．28种 C.32种 D ．16种6.2017年5月30日是我们的传统节日“端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A “取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是豆沙馅”，则P B A( )A ．14 B ．34 C.110 D ．3107.函数sin f xx x 在2x处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A．12B．24C.22D．2148.某一中不生心理咨询中心服务电话接通率为34，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是( )A．164B．364C.2764D．9649.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A．310B．320C.3110D．312010.设函数2,,f x ax bx c a b c R，若函数xy f x e(e为自然对数的底数)在1x处取得极值，则下列图象不可能为y f x的图象是( )A． B． C.D．11.不等式2313x x a a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )A．,14, B．,25, C.1,2D．,12,12.设函数f x是定义在,0上的可导函数，其导函数为'f x，且有22'f x xf x x，则不等式220172017930x f x f的解集为( )A．,2020 B．,2014 C.2014,0 D．2020,0第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为223623，所以36的所有正约数之和为22222222133223232232312213391，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 ．14.四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 ．15.若1b a 且3log 6log 11a b b a ，则321a b 的最小值为 ． 16.已知函数1ln xf xx x，则f x 在1,22上的最大值等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数320f xax bx a .(1)在1x 时有极值0，试求函数f x 解析式； (2)求f x 在2x处的切线方程.18.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比试验，甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在60,100区间内(满分100分)，并绘制频率分布直方图如图所示，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良.(1)根据以上信息填好22联表，并判断出有多大的把握认为学生成绩优良与班级有关？ (2)以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率. (以下临界值及公式仅供参考)0k 0.15 2.07222n ad bc Ka b c dac bd ，n a b c d .19.已知函数212f x x x，不等式2f x 的解集为M .(1)求M ；(2)记集合M 的最大元素为m ，若正数,,a b c 满足2232a b c m ，求2ab bc 的最大值.20.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程是13cos 3sinx y(为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2c 的极坐标方程为1.(1)分别写出1c 的极坐标方程和2c 的直角坐标方程； (2)若射线l 的极坐标方程03，且l 分别交曲线1c 、2c 于A 、B 两点，求AB .21.为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分，根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率为23；现记“该选手在回答完n 个问题后的总得分为n S ”.(1)求620S 且01,2,3iS i 的概率；(2)记5XS ，求X 的分布列，并计算数学期望E X .22.已知函数2ln 2f x a x a x x .(1)求函数f x 的单调区间；(2)若对于任意4,10a，12,1,2x x ，恒有121212f x f x x x x x 成立，试求的取值范围.南充高中2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题参考答案一、选择题1-5:ABCDD 6-10:BACDC 11、12：AA 二、填空题13.465 14.12600 15.1 16.1ln2 三、解答题 17.解：(1)2'3f xax b ，因为在1x 时有极值0， 所以2030a b a b ，解得13a b .所以332f x x x . (2)2'33f x x ，在2x处切线的斜率：'29kf ，3223224f .切线的方程：492y x 即914y x . 18.(1)2212030403020243.43 2.706606050707K≈， 则有90%的把握认为学生成绩优良与班级有关.(2)32133235710C C C PC . 19.解：(1)由2122f x x x ，当12x 时，得152x ， 当122x 时得112x ，当2x 时不等式无解， 故51x ，所以集合51M x x .(2)集合M 中最大元素为1m ，所以222321a b c . 222ab bc abbc ，而222222222321222222a b b c a b c ab b c. 所以2ab bc 的最大值为12. 20.解：(1)将1c 的参数方程化为普通方程为2213x y ，即22220x y x ，所以1c 的极坐标方程为22cos 20，将2c 的极坐标方程化为直角坐标方程为221x y .(2)将3代入21:2cos20c 整理得220，解得12，即12OA .因为曲线2c 是圆心在原点，半径为1的圆， 所以射线03与2c 相交，即21，即21OB.故12211AB.21.解：(1)当620S 时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个，又01,2,3iS i 前三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确1个. 故所求概率为：21322221163333381PC .(2)由5XS 可知X 的取值为10，30，50， 2332235521214010333381P X C C ， 4114415521213030333381P X CC， 5550552111503381P X CC. 故X 的分布列为：403011185010305080808081E X. 22.解：(1)函数的定义域为0,， 22221'22x a x a x ax a f xa xxxx ，当0a 时，函数在0,1上单调递减，在1,上单调递增，当02a 时，函数在0,2a，1,上单调递增，在,12a上单调递减， 当2a时，函数在0,上单调递增， 当2a 时，函数在0,1，,2a 上单调递增，在1,2a上单调递减. (2)121212f x f x x x x x 恒成立，即121211f x f x x x 恒成立， 不妨设21x x ，因为当4,10a时，f x 在1,2上单调递减， 则121211f x f x x x ，可得1212f x f x x x ，设2ln 2g xf xa x a x x xx，所以对于任意的4,10a ，12,1,2x x ，21x x ，12g x g x 恒成立，所以g xf xx在1,2上单调递增，32222122'0x ax x a x axg xxx x 在1,2x 上恒成立，所以32220x a x ax 在1,2x 上恒成立， 即232220ax x x x 在1,2x上恒成立，因为当1,2x 时，20x x，所以只需23210220x x x x 在1,2x 上恒成立，即32212100x x x 在1,2x上恒成立，设3221210h x x x x ，则2120h ，所以12，故实数的取值范围为12,.。

四川省南充市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若i 为虚数单位，则234i i i i +++的值为（ ）A ．1-B ．iC ．0D ．12．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） A ．23y x =± B ．49y x =± C ．94y x =± D ．32y x =± 3．若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ）A ．2B ．2或12C ．12D ．14．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A ．从东边上山B ．从西边上山C ．从南边上山D ．从北边上山 5．二项式102x⎛ ⎝的展开式中的常数项是 A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项 6．若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则a 的值是（ ）A ．BC ．-D ．7．分配4名工人去3个不同的居民家里检查管道，要求4名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ） A ．34A 种 B ．3134A A 种 C ．2343C A 种 D ．113433C C A 种 8．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－39．已知直线:0l x y m --=经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，若6AB =，则p 的值为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．210．已知P 是四面体内任一点，若四面体的每条棱长均为1，则P 到这个四面体各面的距离之和为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．311．已知向量()1,1a x =-，(),2b y =，其中0x >，0y >．若a b ⊥，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．12 12．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题13．已知()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则a b ⋅=______.14．在数列{}n a 中，若11a =，12n n a a +=+，则该数列的通项n a =________. 15．已知e 为自然对数的底数，曲线x y ae x =+在点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，则实数a =______.16．已知F 是双曲线22:14y C x -=的右焦点，C 的右支上一点P 到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点Q 满足FP PQ λ=，则λ=________________．三、解答题17．甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望．18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222sin cos ,2c B C a c b =-=．（Ⅰ）求C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为b 的值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正形，PD AB =，E 为PC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PCB ；（2）求二面角E BD P --的余弦值．20．已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．21．设函数f （x ）＝x 2+bln （x +1），其中b ≠0．（1）若b ＝﹣12，求f （x ）在[1，3]的最小值；（2）如果f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围．22．已知121211151034.z i z i z z z z =+=-=+，，，求 23．用数学归纳法证明：1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++参考答案1．C【解析】试题分析：234110i i i i i i +++=--+=,选C考点：复数的运算2．D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】 由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±，故选D ． 【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地 双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±； 双曲线22221y x a b-=的渐近线方程是a y x b =±． 3．C【分析】由离散型随机变量X 的分布列，列出方程组，能求出实数a ，由此能求出X 的数学期望.【详解】解：由离散型随机变量X 的分布列，知：22012012122a a a a ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得1a =，∴X 的数学期望111()01222E X =⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量X 的分布列等基础知识，是基础题.4．D【解析】从东边上山共21020⨯=种;从西边上山共3927⨯=种;从南边上山共3927⨯=种;从北边上山共4832⨯=种;所以应从北边上山.故选D.5．B【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102r rr C x -，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.6．A【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求出a 的值.【详解】解：若390︒角的终边上有一点(),3P a ，则 3tan 390tan 30a︒︒===，∴a =故选：A.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.7．C【分析】根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；则必有2名水暖工去同一居民家检查，C种方法，即要先从4名水暖工中抽取2人，有24再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有3A种情况，3C A种不同分配方案，由分步计数原理，可得共2343故选：C.【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题. 8．D【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=-1∴f（1）=2+2-1=3．∴f（-1）=-f（1）=-3．故选D．9．B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为(,0)2p ，则由题意，得2p m =①．又由20{2x y m y px --==，得222()0x p m x m -++=，所以6AB ==②，由①②得32p =，故选B ．考点：1、直线与抛物线的位置关系；2、弦长公式．10．A【分析】先求出正四面体的体积，利用正四面体的体积相等，求出它到四个面的距离.【详解】解：因为正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为,,,a b c d ，由于棱长为1的正四面体，四个面的面积都是111sin 6024︒⨯⨯⨯=； 又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为1sin 602︒⨯=，3=；此正四面体的体积是13=.所以：1()1234a b c d =⨯+++，解得3a b c d +++=. 故选：A.【点睛】本题考查了正四面体的体积计算问题，也考查了转化思想和空间想象能力与计算能力.11．D【分析】已知向量()1,1a x =-，(),2b y =， 根据a b ⊥，得到()210+-=y x ，即22x y +=，再利用基本不等式21122222+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭x y xy xy 求解. 【详解】已知向量()1,1a x =-，(),2b y =，因为a b ⊥，所以()210+-=y x ，即22x y +=，又因为0x >，0y >， 所以2112122222+⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭x y xy xy ， 当且仅当22x y +=，2x y =，即1,12x y ==时，取等号， 所以xy 的最大值为12 . 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．A【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A .点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.13．2【分析】根据空间向量的数量积坐标运算，计算即可．【详解】解：()3,2,5a =-，()1,5,1b =-()3125512a b ∴=-⨯+⨯+⨯-=故答案为：2【点睛】本题考查了空间向量的数量积运算问题，属于基础题．14．21n -【分析】根据条件先判断数列类型，然后利用定义求解数列通项公式.【详解】因为12n n a a +=+，所以12n n a a +-=，所以{}n a 是等差数列且公差2d =，又11a =， 所以()121n a n =+-，所以21n a n =-，故答案为：21n -.【点睛】本题考查等差数列的判断及通项求解，难度较易.常见的等差数列的判断方法有两种：定义法、等差中项法.15．21e e- 【分析】由x y ae x =+，求导1'=+xy ae ，再根据点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，有1|12='=+=x y ae e 求解.【详解】因为x y ae x =+，所以1'=+x y ae ，因为点()1,1ae +处的切线与直线210ex y --=平行，所以1|12='=+=x y ae e ， 解得21-=e a e. 故答案为：21e e- 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16．4【详解】试题分析：双曲线的右焦点F （，0），渐近线方程为，点P 到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等，所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上，不妨设P 在直线上，由方程组得，所以，由方程组得，所以，所以25455,,55105FP PQ ⎛⎫⎛=--=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 由于FP PQ λ=，所以．考点：向量共线的应用，双曲线的方程与简单几何性质．【方法点晴】要求的值，就得求出P 、Q 两点的坐标，可直接设出P 点坐标用点到直线的距离公式，也可结合双曲线的几何性质发现P 的轨迹，解方程组即得P 、Q 两点坐标，从而求出两个向量的坐标，问题就解决了．17．（1）13；（2）分布列见解析，103()8E X = 【分析】（1）求出基本事件总数24n C =，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数2222m C C =+.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率P ；（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望.【详解】 解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数246n C ==，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数22222m C C =+=. ∴这2局的得分恰好相等的概率2163m p n ===； （2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ， 则X 的可能取值为13，15，16，18，2363(13)44168P X ==⨯==， 2121(15)44168P X ==⨯==，2363(16)44168P X ==⨯==， 211(18)448P X ==⨯=， ∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为3131103()1315161888888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.18．（1）3C π=;（2）b =【解析】分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，sinBcosC ，进而利用同角三角函数基本关系式可求即可得解C 的值；（Ⅱ） 由（Ⅰ）利用余弦定理可求a 2+b 2﹣c 2=ab ，又a 2﹣c 2=2b 2，可得a=3b ，利用三角形面积公式即可解得b 的值．详解：(1)由已知及正弦定理可得，sinCsinB =，sinB 0≠，tanC ∴=，πC .3∴= (2) 由(1)可得，222a b c 1cosC 2ab 2+-==， 222a b c ab ∴+-=，又222a c 2b -=，a 3b ∴=，∴由题意可知，2ABC 1S absinC 2===2b 28∴=，可得：b =点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.19．（1）证明见解析；（2）3【分析】（1）推导出DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，从而BC ⊥平面PCD ，进而DE ⊥BC ，由此能证明DE ⊥平面PCB .（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E −DB −P 的余弦值.【详解】解：（1）证明：∵在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，PD ＝AB ，E 为PC 的中点，∴DE ⊥PC ，BC ⊥CD ，BC ⊥PD ，∵PD ∩CD ＝D ，∴BC ⊥平面PCD ，∵DE ⊂平面PCD ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC ＝C ，∴DE ⊥平面PCB ；（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设PD ＝AB ＝2，则E （0，1，1），B （2，2，0），D （0，0，0），P （0，0，2）， (2,2,0),(0,1,1),(0,0,2)DB DE DP ===，设平面BDE 的法向量(,,)n x y z =，则2200n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得(1,1,1)n =-，设平面BDP 的法向量(,,)m x y z =，则22020m DB x y m DP z ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩，取1x =，得(1,1,0)m =-，设二面角E −BD −P 的平面角为θ.则||cos ||||33m n m n θ⋅===⋅⋅.∴二面角E −BD −P 的余弦值为3.【点睛】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20．（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析．【解析】 解法一：（Ⅰ）由抛物线的定义得F 22p A =+． 因为F 3A =，即232p +=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （Ⅱ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，所以()G 0213k A ==--，()G 12k B ==-- 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ．因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以m =±(A ．由(A ，()F 1,0可得直线F A的方程为)1y x =-．由)21{4y x y x =-=，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,2⎛B ⎝． 又()G 1,0-，故直线G A的方程为30y -+=，从而r ==．又直线G B的方程为30y ++=，所以点F 到直线G B的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切．考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．21．（1）4﹣12ln 3（2）102b ＜＜【分析】 （1）当b ＝﹣12时令由()2221201x x f x x ='+-=+得x ＝2则可判断出当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增故f （x ）在[1，3]的最小值在x ＝2时取得； （2）要使f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值即f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即使()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得()48010b g =-⎧⎨-⎩＞＞解之求b 的范围．【详解】解：（1）由题意知，f （x ）的定义域为（1，+∞）b ＝﹣12时，由()2221201x x f x x ='+-=+，得x ＝2（x ＝﹣3舍去）， 当x ∈[1，2）时f ′（x ）＜0，当x ∈（2，3]时，f ′（x ）＞0，所以当x ∈[1，2）时，f （x ）单调递减；当x ∈（2，3]时，f （x ）单调递增，所以f （x ）min ＝f （2）＝4﹣12ln 3．（2）由题意()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根， 即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g （x ）＝2x 2+2x +b ，则()48010b g =-⎧⎨-⎩＞＞，解之得102b ＜＜ 【点睛】本题第一问较基础只需判断f （x ）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f （x ）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f （x ）在定义域内与X 轴有三个不同的交点即()22201x x b f x x ++==+'在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x 2+2x +b ＝0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．22．552i - 【分析】把z 1、z 2代入关系式，化简即可【详解】121212111z z z z z z z +=+=， ()()()()()()122212510345510865510555103486862i i i i z z i z i z z i i i +-+-+∴=====-+++-++ 【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设()12,,,,z a bi z c di a b c dR =+=+，则()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +-++-+===++-+. 23．证明见解析【分析】利用数学归纳法的证明标准，验证1n =时成立，假设n k =时成立，证明1n k =+时等式也成立即可.【详解】证明：（1）当1n =时，左边13=，右边13=，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立， 即1111133557(21)(21)21k k k k ++++=⨯⨯⨯-++， 那么，当1n k =+时，左边＝11111+133557(21)(21)(2+1)(2+3)k k k k ++++⨯⨯⨯-+ 11=21(21)(23)23k k k k k k ++=++++， 这就是说，当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式1111133557(21)(21)21nn n n++++=⨯⨯⨯-++对任何*n N∈都成立.【点睛】本题是中档题，考查数学归纳法的应用，注意数学归纳法证明时，必须用上假设。

四川省南充市高级中学高二化学期末试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 有A、B、C、D四种金属，已知：D投入水中可与水剧烈反应；用A和C作电极，稀硫酸作电解质溶液构成原电池时，C为正极；B和C的离子共存于电解液中，以石墨为电极电解时阴极析出B。

则这四种金属的活动性由强到弱的顺序是( )A．C>D>B>A B．B>D>C>A C．D>A>C>BD．D>C>A>B参考答案：略2. 下列有机化合物中，分子内所有原子不可能均在同一平面的是：A．甲苯 B．氯乙烯 C．苯酚 D．苯甲醛参考答案：A略3. 同体积同物质的量浓度的稀H2SO4与NaOH溶液混合后，滴入紫色石蕊试剂后溶液呈A．红色B．紫色C．蓝色D．无色参考答案：A4. 下列说法不正确的是()A.高分子材料的不稳定性对人们没有任何好处B.高分子材料的老化主要包括高分子链之间发生交联而变硬、变脆、丧失弹性,高分子链发生断裂、相对分子质量降低而变软、发黏等C.高分子材料在使用过程中应避免接触能与其发生反应或催化这种反应的物质D.可降解材料是指各项性能在保存和使用期内满足要求,使用后在自然环境中可降解为无害物质的材料参考答案：A解析：有时高分子材料的不稳定性也可被人们利用。

如聚乳酸纤维用于外科手术的缝合线,它与人体具有很好的相容性,当伤口愈合后不需拆线。

5. 已知①氢硫酸是二元弱酸；②CuSO4＋H2S===CuS↓＋H2SO4在氢硫酸溶液中，通入或加入少量的下列物质：①O2②Cl2③SO2④CuSO4 。

能使溶液中的c(H＋)增大的是()A．①② B．②④ C．②③④ D．①参考答案：B略6. 表示一个原子在第三电子层上有10个电子可以写成（）A．310 B．3d10 C．3s23p63d2 D． 3s23p64s2参考答案：C略7. 要检验某溴乙烷中的溴元素，正确的实验方法是（）A．加入氯水振荡，观察水层是否有红棕色出现B．滴入AgNO3溶液，再加入稀HNO3，观察有无浅黄色沉淀生成C．加入NaOH溶液共热，然后加入稀HNO3使溶液呈酸性，再滴入AgNO3溶液，观察有无浅黄色沉淀生成D．加入NaOH溶液共热，冷却后加入AgNO3溶液，观察有无浅黄色沉淀生成。

2019-2020学年四川省南充市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知＝（2，4，5），＝（3，x，y），若∥，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝2．下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．3．若cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．若随机变量X的分布列为X123P a b a 则X的数学期望E（X）＝（）A．2a+b B．a+2b C．2D．35．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个6．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣37．已知（+）n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（）A．4B．5C．6D．78．甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有（）A．720种B．127种C．60种D．24种9．设F1，F2分别为双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．5B．2C．4D．310．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．直线l过抛物线y2＝x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为θ，，则|FA|的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．（，]D．（，1+] 12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，且f （0）＝2020，则不等式f（x）﹣2019e x＜1的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，）D．（，+∞）二、填空题（共4小题）.13．若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则复数z＝．14．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a1＝．15．如果曲线y＝x4﹣x在点P处的切线垂直于直线y＝﹣x，那么点P的坐标为．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积取得最小值时其棱AA1＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5．（1）求tan C；（2）求△ABC中的最长边．18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥PD；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上存在一点E（2，t）到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝﹣1上的点，且FP⊥FQ．求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．21．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x＞0，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．23．如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知＝（2，4，5），＝（3，x，y），若∥，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝【分析】利用向量共线的充要条件：⇔存在λ使，列出方程组，求出x，y 的值解：∵∴存在λ使∴解得故选：D．2．下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝e x D．【分析】结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）＝f（x），即可判断解：A：y＝sin x，则有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x为奇函数B：y＝x3，则有f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x）为奇函数，C：y＝e x，则有f（﹣x）＝，为非奇非偶函数．D：y＝ln，则有F（﹣x）＝ln＝f（x）为偶函数故选：D．3．若cosα＝，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．4．若随机变量X的分布列为X123P a b a 则X的数学期望E（X）＝（）A．2a+b B．a+2b C．2D．3【分析】利用分布列以及期望公式求解即可．解：由题意可得：2a+b＝1，E（X）＝a+2b+3a＝4a+2b＝2．故选：C．5．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（）A．60个B．48个C．36个D．24个【分析】偶数即个位数字只能是2或4解：偶数即个位数字只能是2或4，其它位置任意排放共有C21•A44＝2×4×3×2×1＝48个故选：B．6．若直线3x+y+a＝0过圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心，则a的值为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【分析】把圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2）代入直线3x+y+a＝0，解方程求得a 的值．解：圆x2+y2+2x﹣4y＝0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a＝0得：﹣3+2+a＝0，∴a＝1，故选：B．7．已知（+）n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（）A．4B．5C．6D．7【分析】本题对于二项式系数的和可以通过赋值令x＝1来求解，而各项二项式系数之和由二项式系数公式可知为2n，最后通过比值关系为64即可求出n的值是6．解：展开式中，令x＝1可得各项系数的和为（1+3）n＝4n又由二项式系数公式得各项二项式系数的和为2n，所以＝64，从而得2n＝64，所以n＝6故选：C．8．甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项．不同的承包方案有（）A．720种B．127种C．60种D．24种【分析】由题意，甲承包3项，有种方法，乙承包2项，有种方法，丙承包1项，有1种方法，利用乘法原理可得结论．解：∵甲、乙、丙三家公司承包6项工程，甲承包3项，乙承包2项，丙承包1项，∴甲承包3项，有种方法，乙承包2项，有种方法，丙承包1项，有1种方法∴不同的承包方案有＝60种故选：C．9．设F1，F2分别为双曲线x2﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积为（）A．5B．2C．4D．3【分析】由题意可得P在右支上，运用双曲线的定义和余弦定理、三角形的面积公式，计算可得所求值．解：P是该双曲线上的点，且3|PF1|＝4|PF2|，可得P为右支上一点，即有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，可得|PF1|＝8，|PF2|＝6，|F1F2|＝2c＝4，cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝＝，则△PF1F2的面积为×8×6×＝3．故选：D．10．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数奇偶性的概念可判断出函数f（x）为奇函数，于是排除选项C；当x∈（0，π）时，f（x）＞0，排除选项D；最后根据f（x）的零点个数，即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项C；当x∈（0，π）时，sin x＞0，ln（x2+1）＞ln1＝0，所以f（x）＞0，排除选项D；令f（x）＝0，则sin x＝0，所以f（x）的零点不止4个，排除选项A，故选：B．11．直线l过抛物线y2＝x的焦点F，交抛物线于A，B两点，且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为θ，，则|FA|的取值范围是（）A．[，）B．（，]C．（，]D．（，1+]【分析】本题考查的是抛物线的性质，由抛物线的性质我们可知，|FA|等于A点到抛物线准线的距离，由抛物线方程y2＝x，知准线方程为x＝﹣则当时，|FA|有最大值，当θ趋近π时，|FA|有一个下界．解：由抛物线方程y2＝x，知准线方程为x＝﹣设A点到准线x＝﹣的距离为d则d＝|FA|当时，d有最大值，此时d＝1+当θ→π时，不妨令A与O重合，此时d＝故d∈（，1+]即|FA|∈（，1+]故选：D．12．已知函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意的x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，且f （0）＝2020，则不等式f（x）﹣2019e x＜1的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，）D．（，+∞）【分析】构造函数g（x）＝，然后对g（x）求导，结合导数可判断单调性，进而可求．解：构造函数g（x）＝，则g′（x）＝∵f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）＝＜0，所以函数g（x）＝在R上单调递减．因为f（0）＝2020，所以g（0）＝2019．由f（x）﹣2019e x＜1，得＜2019，即g（x）＜g（0），所以x＞0．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简求值．解：由z（1+i）＝1﹣i，得．故答案为﹣i．14．若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a1＝1．【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．解：因为等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，所以，则a1＝1，故答案为：1．15．如果曲线y＝x4﹣x在点P处的切线垂直于直线y＝﹣x，那么点P的坐标为（1，0）．【分析】先根据题意求出切线的斜率k，再求出函数y＝x4﹣x的导数，设P（x0，y0），利用导数和斜率k求出x0，将求出的x0代入y＝x4﹣x，求出y0．即可求出P的坐标．解：∵曲线y＝x4﹣x在点P处的切线垂直于直线y＝﹣x，直线y＝﹣x的斜率为﹣，∴曲线y＝x4﹣x在点P处的切线的斜率k＝3，∵函数y＝x4﹣x的导数为y′＝4x3﹣1，设P（x0，y0），∴4x03﹣1＝3，解得x0＝1，∴y0＝x04﹣x0＝0，∴P（1，0）．故答案为：（1，0）．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积取得最小值时其棱AA1＝．【分析】建立空间直角坐标系，用坐标表示点的坐标，根据MD1⊥MA，得出•＝0，由此代入△AMD1，利用基本不等式的性质，求出棱AA1的值．解：建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），设M（0，1，t），D1（0，0，z），A（，0，0）（z≥t≥0，z≠0）．则＝（0，﹣1，z﹣t），＝（﹣，1，t），∵MD1⊥MA，∴•＝﹣1+t（z﹣t）＝0，即z﹣t＝．＝|AM|•|MD1|＝××＝××＝×＝×≥×＝，当且仅当t＝，z＝时取等号．所以棱AA1＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tan A＝，tan B＝，a＝5．（1）求tan C；（2）求△ABC中的最长边．【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理，两角和的正切函数公式即可求解．（2）由tan C＝﹣3＜0，可得C为钝角，c为△ABC中的最长边，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，sin C的值，由正弦定理可解得c的值，即可得解．解：（1）∵，，∴tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣3．（2）∵tan C＝﹣3＜0，∴C为钝角，A，B均为锐角，c为△ABC中的最长边，∵，，a＝5，∴＝，＝﹣3，解得sin A＝，sin C＝，∴由正弦定理，可得＝，解得c＝．18．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为．（Ⅰ）求乙投球的命中率p；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可．（II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为ξ，得到变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望．解：（Ⅰ）根据乙投球2次均未命中的概率为，两次是否投中相互之间没有影响，设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B由题意得解得或（舍去），∴乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知ξ可能的取值为0，1，2，3，P（ξ＝1）＝P（A）P（）+•P（B）P（）P（）＝∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：BE⊥PD；（Ⅱ）求二面角P﹣CD﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）要证BE⊥PD，可以通过证明PD⊥面ABE得出．利用BA⊥面PAD得出BA⊥PD，结合△PAD为等腰直角三角形．得出AE⊥PD，能证明PD⊥面ABE．（Ⅱ）连接AC，在四边形ABCD中，先得出∠ACD＝90°，结合PA⊥CD，得出∠PCA 为二面角P﹣CD﹣A的平面角，在RT△PAC中求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：连接AE．∵PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，∴∠PDA＝45°，△PAD为等腰直角三角形．∵点E是PD的中点∴AE⊥PD，PA⊥底面ABCD，PA⊂面PAD，∴面PAD⊥底面ABCD，而面PAD∩底面ABCD＝AD，∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∴BA⊥面PAD，PD⊂面PAD，∴BA⊥PD，AE∩BA＝A，∴PD⊥面ABE，BE⊂面ABE，∴BE⊥PD．（Ⅱ）解：连接AC，∠PCA为二面角P﹣CD﹣A的平面角．取AD中点F，连接CF，∠BAD＝90°，AB＝BC＝1，四边形ABCF是正方形，∠ACF ＝45°，又AD＝2，∴FD＝CF＝1，∠FCD＝45°，∴∠ACD＝90°，即AC⊥CD．又PA⊥CD，∴CD⊥面PAC，∴PC⊥CD，即∠PCA为二面角P﹣CD﹣A的平面角．在RT△PAC中，AC＝，PA＝AD＝2，PC＝＝．cos∠PCA＝＝＝．所以二面角P﹣CD﹣A的余弦值为．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上存在一点E（2，t）到焦点F 的距离等于3．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝﹣1上的点，且FP⊥FQ．求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．【分析】（1）求出抛物线的准线方程为，由点E（2，t）到焦点的距离为解得p，则抛物线C的方程可求；（2）设点P为，点Q为（﹣1，m），焦点F为（1，0）．由题意可得，得，得到m，进一步得到直线PQ的斜率，写出直线PQ的方程，与抛物线方程联立，得到y＝y0，且．得到直线PQ与抛物线C只有一个交点．解：（1）抛物线的准线方程为，……………………………………（1分）点E（2，t）到焦点的距离为．…………………………………解得p＝2．…………………………………………………………则抛物线C的方程为y2＝4x．………………………………………………（2）直线PQ与抛物线C只有一个交点，理由如下：……………………………设点P为，点Q为（﹣1，m），焦点F为（1，0）．……………………则，．由题意可得，…………故．从而．………………………………故直线PQ的斜率．…………………………………………故直线PQ的方程为，即，①………又抛物线C的方程y2＝4x，②联立消去x得，故y＝y0，且．……………………故直线PQ与抛物线C只有一个交点．………………………………………21．已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若对任意x＞0，都有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）解法一：对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．解法2：f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx≥0，推出，通过构造函数，利用函数的导数求解函数的最值即可．【解答】（本小题满分12分）（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，由f′（x）＝0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）解法一：对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，又f（1）＝2a﹣2＜0，不合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，所以：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令（a＞0）所以：在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又u（1）＝0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，故：a的取值范围为（1，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法2：f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx≥0，∴………………………对于任意x＞0，都有f（x）≥0成立，即a≥g（x）max……………………………………………………令g'（x）＝0，得1﹣lnx﹣x＝0，设h（x）＝1﹣lnx﹣x，（x＞0），则，∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，………………………又h（1）＝0，……………………………………∴h（x）＝0的解为x＝1，即g'（x）＝0的解为x＝1，∴g（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，…………………∴g（x）max＝g（1）＝1，∴a≥1，a的取值范围为（1，+∞）……………………………………选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．【分析】首先证明当n＝1时等式成立，再假设n＝k时等式成立，得到等式1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，下面证明当n＝k+1时等式左边＝1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1），根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴左边＝右边（2）假设n＝k时等式成立，即1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2当n＝k+1时，等式左边＝1+3+5+…+（2k﹣1）+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2．综上（1）（2）可知1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2对于任意的正整数成立．23．如图，空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC．求证：OC⊥AB．【分析】推导出，从而，进而，同理：由OB⊥AC得，由此得到，从而能证明OC⊥AB．【解答】证明：∵OA⊥BC，∴．∵，∴．∴（1）同理：由OB⊥AC得（2）由（1）﹣（2）得∴，∴，∴，∴OC⊥AB．。

四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数5i+2的共轭复数是（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i 2.双曲线 9x 2−16y 2=144 的渐近线方程是（ ） A.y =±916x B.y =±43x C.y =±169x D.y =±34x3.设函数 f(x)={x 2+1,x ≤1,lnx,x >1, 则 f(f(e ))= （ ）A.1B.2C.3D.ln(e 2+1)4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（ ）A.C 53B.A 53C.35 D.53 5.(x −1x )9 的展开式中 x 3 的系数是（ ） A.-84 B.-56 C.56 D.846.函数 f(x)=sinx −2cosx 的最大值为（ ） A.1 B.√3 C.√5 D.37.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（ ） A.70 B.64 C.60 D.588.设偶函数 f(x) 满足 f(x)=x 3−8(x ≥0) ，则 {x|f(x −2)>0}= （ ） A.{x|x <−2或x >4} B.{x|x <0或x >4} C.{x|x <0或x >6} D.{x|x <−2或x >2}9.若 a =30.5 ， b =log 32 ， c =cos2 ，则（ ） A.c <a <b B.c <b <a C.b <c <a D.a <c <b10.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ， N 分别是A 1B 1 ， A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1 ， 则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A. 110 B. 25 C. √3010D. √2211.以抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的顶点为圆心的圆交 C 于 A ， B 两点，交 C 的准线于 D ， E 两点，已知 |AB|=4√2 ， |DE|=2√5 ，则 p = （ ） A.2 B.4 C.6 D.812.若函数 f(x)=x(lnx −ax) 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(−∞,0) B.(0,+∞) C.(0,1) D.(0,12)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量 a ⃗=(1,1) ， b ⃗⃗=(m,−2) ，若 a ⃗//(a ⃗+2b⃗⃗) ，则 m = ________. 14.设 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和， a 1=−3 ， 2a 4+3a 7=9 ，则 S 7= ________. 15.若曲线 y =e ax −ln(x +1) 在 x =0 处的切线方程为 2x −y +1=0 ，则 a = ________. 16.抛物线 x 2=2my(m >0) 的焦点为 F ，其准线与双曲线 x 2m 2−y 2n 2=1(n >0) 有两个交点 A ， B ，若 ∠AFB =120° ，则双曲线的离心率为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为 X . （1）求 X 的分布列； （2）求 E(X) 和 D(X) .18.在 ΔABC 中，角 A ，B,C 所对的边分别为 a,b,c ,其中 a =7,b =8,cosB =−17 （1）求 ∠A ;（2）求 AC 边上的高，19.如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是边长为2的正方形， ∠BAP =∠BCP =90∘ .（1）证明： PD ⊥ 平面 ABCD ；（2）若 PD =2 ，求二面角 D −PB −C 的正弦值.20.已知抛物线 C:y 2=2px(p >0) 的准线与 x 轴的交点为 A(−1,0) . （1）求 C 的方程；（2）若过点 M(2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 P ， Q 两点.求证： 1|PM|2+1|QM|2 为定值. 21.已知函数 f(x)=a e x −x −1 的最小值为0. （1）求 a 的值；（2）若 m 为整数，且对于任意的正整数 n ， (1+12)(1+122)×⋅⋅⋅×(1+12n )<m ，求 m 的最小值. 22.已知 a,b,c ∈R ∗ ， a +b +c =1 ，求证： （1）√a +√b +√c ≤√3 ； （2）13a+1+13b+1+13c+1≥32 .(a∈R,b∈R,a>1)的图象过点(0,−1).23.已知函数f(x)=a x+sinb−3x+1（1）求b；（2）用反证法证明：f(x)没有负零点.答案解析部分四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷一、单选题1.复数 5i+2 的共轭复数是（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i 【答案】 A【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】因为 5i+2=5(i−2)(i+2)(i−2)=5(i−2)−5=2−i ，所以其共轭复数是 2+i故答案为：A【分析】由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案. 2.双曲线 9x 2−16y 2=144 的渐近线方程是（ ） A.y =±916x B.y =±43x C.y =±169xD.y =±34x 【答案】 D【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由 9x 2−16y 2=144 得： x 216−y 29=1 ， a 2=16,b 2=9所以其渐近线方程为 y =±34x . 故答案为：D【分析】由双曲线的简单性质即可得出答案。

四川省南充市重点中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有A、24种B、18种C、48种D、36种（）参考答案：A略2. 设随机变量X～B（2，P），随机变量Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y≥1）等于（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】根据随机变量服从X～B（2，P）和P（X≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于P的方程，解出P的值，再根据Y符合二项分布，利用概率公式得到结果．【解答】解：∵随机变量服从X～B（2，P），∴P（X≥1）=1﹣P（X=0）=1﹣（1﹣P）2=，解得P=．∴P（Y≥1）=1﹣P（Y=0）=1﹣（1﹣P）3=，故选：A．【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是根据所给的X对应的概率值，列出方程，求出概率P的值．3. 设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题参考答案：A【考点】四种命题的真假关系．【专题】阅读型．【分析】根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．【解答】解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b＜2是真命题所以原命题是真命题逆命题为：若a，b 中至少有一个不小于1则a+b≥2，例如a=3，b=﹣3满足条件a，b 中至少有一个不小于1，但此时a+b=0，故逆命题是假命题故选A【点评】判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假4. 设在内单调递增，，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略5. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，其数量之比依次是3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．80参考答案：C【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义和方法，可得=，由此求得n的值．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，可得=，解得n=70，故选：C．6. 以下对于几何体的描述，错误的是（）[来源:学科网ZXXK]A、以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B、一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180o形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C、用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱参考答案：C略7. 圆在点处的切线方程为（▲）A．B．C．D．参考答案：B略8. 关于的不等式的解集为，则的值是A、6B、4C、1D、-1参考答案：A 9. 已知离心率的双曲线（）右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于O，A两点，若的面积为，则a的值为( ）（A）（B）3 （C）4 （D）5参考答案：C10. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆．【分析】把a=1代入可得直线的方程，易判平行；而由平行的条件可得a的值，进而由充要条件的判断可得答案．【解答】解：当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，显然平行；而由两直线平行可得： a（a+1）﹣2=0，解得a=1，或a=﹣2，故不能推出“a=1”，由充要条件的定义可得：“a=1”是“直线l1：ax+2x﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故选B【点评】本题为充要条件的判断，涉及直线的平行的判定，属基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为．参考答案：略12. 直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为．参考答案：8【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可．【解答】解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案为：8【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力．13. （5分）已知扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP 的值最大．现有半径为R的半圆O，在圆弧MN上依次取点（异于M，N），则的最大值为．参考答案：=，设∠MOP 1=θ1，∠P 1OP2=θ2，…，．则．∵0＜θi＜π，∴sinθi＞0，猜想的最大值为．即?sinθ1+sinθ2+…+≤（）．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由扇形OAB，点P为弧AB上异于A，B的任意一点，当P为弧AB的中点时，S△OAP+S△OBP的值最大，可知成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即sinθ1+sinθ2+…+≤．成立．（θ1+θ2+…+，θi＞0）则当n=k+1时，左边=即sinθ1+sinθ2+…+++…+∵，当且仅当θi=θi+1时取等号．∴左边++…+==右边，当且仅当θi=θi+1（i∈N*，且1≤i≤2k+1﹣1）时取等号．即不等式对于?n∈N*都成立．故答案为．利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出．14. 设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【解答】解：如图，由双曲线x 2﹣=1，得a 2=1，b 2=3， ∴．不妨以P 在双曲线右支为例，当PF 2⊥x 轴时，把x=2代入x 2﹣=1，得y=±3，即|PF 2|=3，此时|PF 1|=|PF 2|+2=5，则|PF 1|+|PF 2|=8； 由PF 1⊥PF 2，得，又|PF 1|﹣|PF 2|=2，① 两边平方得：， ∴|PF 1||PF 2|=6，② 联立①②解得：， 此时|PF 1|+|PF 2|=．∴使△F 1PF 2为锐角三角形的|PF 1|+|PF 2|的取值范围是（）．故答案为：（）．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．15. 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________． 参考答案： a >2或a <－1 略16. 已知,则的最小值是.参考答案：略17. 函数y=|x+2|+|x-1|的递增区间是________参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省南充市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题一、单选题1．从A 村去B 村的道路有2条，从B 村去C 村的道路有3条，则从A 村经B 村再去C 村，不同路线的条数是（ ） A ．5B ．6C ．8D ．92．在等差数列{}n a 中，1351,8a a a =+=，则7a =（ ） A ．4B ．5C ．6D ．73．已知随机变量ξ服从正态分布()2,N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(24)P ξ<<=（ ） A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.64．对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A ．2431r r r r <<<B ．2413r r r r <<<C ．4213r r r r <<<D ．4231r r r r <<<5．二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．306．袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ） A ．13B ．49C ．59D ．237．为了研究某校学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其经验回归方程为ˆˆˆybx a =+．已知202011450,3200ˆ,4i i i i x y b =====∑∑，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（ ） A ．162B ．164C ．168D ．1708．定义在0,∞+［）的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当0,2x ∈［）时，()221f x x x =-++．设()f x 在22,2n n -［）上的最大值为()N n a n *∈，其数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项积为n T ，则n T 的最大值为（ ） A ．12B ．916C ．2532 D ．98二、多选题9．把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为X ，则下列结论中正确的是（ ）A ．X 服从超几何分布B ．X 服从二项分布C ．()1216P X ==D ．若21Y X =+，则()5E Y =10．已知()5123450123451x a a x a x a x a x a x -=+++++，则下列结论中正确的是（ ）A ．01a =B ．12345111111a a a a a ++++=- C ．13516a a a ++=D ．1234523450a a a a a ++++=11．已知函数()()2ln R f x x ax a =-∈，则下列结论中正确的是（ ）A ．当12a =时，()12f x ≤-恒成立 B ．若()0,x ∃∈+∞，使得()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围为10,2e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．若10,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f x 必有两个不同的零点D ．若()f x 有两个不同的零点12,x x ，则12e x x >三、填空题12．已知33a c =+=-,,a b c 三个数成等比数列，则b =．13．已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，定义方程()()12f x f x ='的实数根0x 叫做函数()y f x =的“新不动点”．设()02πt a n ,,f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上的“新不动点”为．14．某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有种．四、解答题15．已知数列{}n a 是等差数列，且13211,2,n a a a a S ==+是数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设)*N n b n ∈，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证：1n T <.16．已知函数()31443f x x x =-+．(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程； (2)求函数()f x 在区间[]3,3-上的最值．17．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足()*232N n n S a n n =-∈．(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设()()31log 1n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：(1)依据0.1α=的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？(2)用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．①用X 表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求X 的分布列和数学期望及方差； ②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．其中n a b c d =+++．2χ独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：19．函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设()f x 在区间D 上连续，如果对D 上任意两点12,x x 恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称()f x 在区间D 上的图形是凹的【图1】，区间D 为()f x 凹的区间；设()f x 在区间D 上连续，如果对D 上任意两点12,x x 恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则称()f x 在区间D 上的图形是凸的【图2】．区间D 为()f x 凸的区间；关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设()f x 在区间D 上连续，在区间D 上具有一阶和二阶导数，那么①如果()f x 在D 上恒有()0f x ''>，则()f x 在区间D 上的图象是凹的；如果()f x 在区间D 上的图象是凹的，则()f x 在D 上恒有()0f x ''≥；②如果()f x 在D 上恒有()0f x ''<，则()f x 在区间D 上的图象是凸的；如果()f x 在区间D 上的图象是凸的，则()f x 在D 上恒有()0f x ''≤其中()f x '是()f x 的导函数，为()f x 的一阶导数：()f x ''是()f x '的导函数，为()f x 的二阶导数．根据以上内容，完成如下问题：(1)求函数()43341f x x x =-+的凹的区间和凸的区间；(2)若()()()222e4x g x x a x -=-+-在区间0,∞+［）上图象是凹的，求实数a 的取值范围；(3)证明：()222ln 2e ex xx x x -<-+．。