2.3函数的奇偶性与周期性E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. (2017 •重庆测试)下列函数为奇函数的是(答案D解析 函数y=/+3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数尸三一是偶函数,3 — x排除B ；函数y=xsinx 是偶函数，排除C ；函数y=log 专肓;的定义域是(一3, 3)，且/(— x) 3+v= log2書二=—f(x),是奇函数，D 正确.故选D.2. 下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(一8, 0)上单调递增的函数是()A. f{^=xB. A^)=2lxl答案C解析 函数f(x) =x 在(一8, 0)上单调递减，排除A ；当xW ( —8, °)时，函数/'(x) =2 ' =(*)在(一8, 0)上单调递减，排除B ；当 圧(一8, °)时，函数=i og2—^-= — log 2(-^)在(一co, 0)上单调递增，且函数代劝在其定义域内是偶函数，C 正确；函数fd) = sin 才是奇函数，排除D.故选C.3. (2017 •唐山统考)f(x)是R 上的奇函数，当时，f(x)=/+ln (l + x).则当 *0 时，f\x)=( ) A. — ^―In 仃一方 C. In (1 —x)答案C解析 当 *0 时，一x>0, f(~x) = ( —y)34-ln (1—x), V Ax)是只上的奇函数，.••当 水0 时,f(x)= — f{—x) = — [(—jr)3+ln (1 — 0], .\f(x) =x — In (1—A ).故选 C.4. 已知/tr)是定义在R 上的偶函数，并且/(%+2)=-—^―,当2W/W3时，/(%)JL /AT则 f(105.5) = ()A. —0. 5B. 0・ 5C. —2. 5D. 2. 5 答案D解析 V/U+2)=-—x+ln (1一方 ~x+] n (1 —x)•I f(x+4) =f\_ d+2) +2]=———占R ----------- 七—=f{x).~ f x・・・函数f(x)的周期为4.・•・/(105. 5)=A4X27-2. 5) =f( — 2. 5) =f(2. 5).T2W2. 5W3, ・・・f(2. 5)=2. 5.A A105. 5)=2. 5.故选D.5.(2017 •金版创新)已知函数/'3在V^eR都有fd—2)= — f3,且当圧[一1,0]时，f(x) =2r,则A2017)等于( )1 1A.-B. --C. 1D. -1答案B解析由f\x—2) = — f\x),得f(x—4) = —2) =f(x),所以函数f(x)的周期为4. 所以r(2017)=A4X504+l)=AD =-A-D =-|.故选B.6.(2018 •青岛模拟)奇函数fd)的定义域为R,若fCi+1)为偶函数，且代1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A. 2 B・ 1 C. 一1 D. 一2答案A解析V/a+1)为偶函数，fd)是R上的奇函数，・・・f(-x+i)=/V+i), f(0 = — f(—0, Ao) =o,・・・ f(x+ 1) = f(_x+ 1) = —f(x-l),・•・f(x+ 2) = —f\x), f{x+ 4) = /U+ 2+2) = — /U+2) = f(x),故4 为函数/*(劝的周期，则f(4)=f(0)=0, f(5)=f(l)=2,・・・ f(4) + f(5) =0+2=2.故选A.7.(2018 •襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当*0时，rW=/-l;当一1W/W1 时，/(—x) = — f{x)；当x>0 时,f{x+1) = f{x),则A2018)=( )A. -2B. -1C. 0D. 2答案D解析因为当Q0时，fa+l)=f(0,所以当QO时，函数/tv)是周期为1的周期函数，所以/(2018)=/(1),又因为当一lWxWl 时，/(-%)=-/(%),所以Al)=-A-1) =—[(—I)5—1]=2.故选D.8.已知函数f(x)是R上的偶函数，g&)是R上的奇函数，且—1),若代2) =2,则A2018)的值为()A. 2B. 0C. 一2D. ±2答案A解析V /U)是R上的偶函数，gd)是R上的奇函数，且gd)=fa—l),/. — X)=f{ — X —Y) =f(x+l) = —g (A )= — f(x —l)・即 f(x+ 1) = — fix — 1)・f(x+ 2) = — f{x)・・・・fCv+4) =/[(/+2) +2] = —fd+2) =f(0 .・・・函数f(x)是周期函数,且周期为4.・•・ A2018)=r(2)=2.故选 A.9. (2017・石家庄模拟)已知代方是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若A1X1, A5) O a ——Q =:百，则实数日的取值范围为() A. (-1,4) B. (-2,0) C. (-1,0) D. (-1,2)答案A解析・・・代方是定义在R 上的周期为3的偶函数， 得—l<a<4,故选A.10. 己知fd)是定义在R 上的奇函数，当*20时，fd)=# — 3x,则函数g{x)=f\x) —无+3的零点所构成的集合为()A. {1,3}B. {-3, -1, 1,3}C. {2—⑴，1,3}D. {一2—⑴，1,3}答案D解析 当 K0 时，f(x) = — f( —x) = — [( —x)" + 3x] = — "―3x,易求得 g(x)=—4/+3,心0,[—x —4x+3, X0,当x~4x+3 = 0吋，可求得x 】=l,疋=3；当一/—4x+3 = 0 时，可求得疋=一2-£, %1=-2+^7(舍去). 故呂3的零点为1,3, —2—5•故选D. 二、填空题i —9'11. (2018 •武昌联考)若函数 心)=]+打2」在定义域上为奇函数，则实数 匸答案土 1k-2~x _k-2x-l 1 +斤・2二尸2”+& /( — X)+f (A )H 公+k + k ・公一\・1 + W ・2” = 1 + 12” 2”+&护一1 対+1= 2r +& •・・・f(5)=f(5—6)=f(—l)=f(l), VA1X1, /(5)=<1,即 臼一4 日+1<0,解解析由f(~x) +f{x) =0,可得斥=1, /. A=±l.12.设代0是定义在R上且周期为2的函数，在区间[— 1,1)上，f(x)=9答案一匸39则 f(5<3)=f(3) =f(4 —1) =f( — l)= — l+-=—~o 513. (2017 •郑州联考)对于函数 心，若存在常数$工0,使得取定义域内的每一个x值，都有f(x)=-f^a -x),则称/V)为准奇函数.给出下列函数：①/V) = (x —1尸，② 代劝=占，③£(劝=玄，④/U)=cos^,其中所有准奇函数的序号是 ________________________________ •答案②④解析 对于函数f\x),若存在常数日H0,使得取定义域内的每一个/值，都有f3 = —f(2白一方，则函数的图彖关于(马0)对称.对于①，= 1尸，函数图彖无对称 中心；对于②，代劝=计亍 函数f(x)的图象关于(―1,0)对称；对于③，t\x) = x ,函数 f(x)的图象关于(0, 0)对称；对于④，f(x)=cosx,函数f(x)的图象关于严11+~^~，0(£丘 Z)对称.所以所有准奇函数的序号是②④.14. (2018・太原模拟)已知定义在R 上的奇函数代方满足彳|一』=才3,代一2)= — 3,数列｛/｝的前刀项和为S”且创=—1, $=2禺+/?(刀丘2),则f (念)+f (戲)= _______________ .答案3解析 T 奇函数f(x)满足彳|—j=f(x)…••彳|一 j= —f(—劝，•"(方=—彳卄|j= f(x+3), ・・・f(x)是以3为周期的周期函数，・・・$=2禺+/?©, ・・・$+】 = 2%H + /?+1②，②一 ①可得自卄1 = 2自”一1,结合 0 = —1,可得 岔= — 31,日6=—63, .'.f (岔)=f( —31) =f(2)= —f(—2)=3,f (越)=f( — 63)=f(0)=0, A Aa,)+/U)=3.三、解答题15. 设函数代才)在(一8, +oo)上满足 f(2 — /)=f(2 + x), A7-^) = A7 + ^), Il 在闭 区间［0,7］上，只有AD = A3) =0.(1)证明：函数fd)为周期函数；x+a^ 2— ISO,,OW*1,其中 圧R.若(一则f (5爲)的值是解析V A%)是周期为2的函数,(2)试求方程f3 =0在闭区间［-2018, 2018］上的根的个数，并证明你的结论.f x =f 4—x , n=>f(4— 方=f(14一力今/tv) =/tv+10) •f x =f 14 — /・・・广(方为周期函数，7-10.(2)・.・f(3)=f(l)=0, All) = A13) = A-7) = A-9) =0,故 f(x)在［0, 10］和［一10, 0］ 上均有两个解.从而可知函数y= f{x)在［0, 2018］上有404个解， 在［一2018,0］上有403个解，所以函数y= M 在［-2018, 2018］上有807个解.16. 定义在R 上的函数f(x)对任意曰，都有伙为常数). (1) 判断&为何值时，代劝为奇函数，并证明；(2) 设k= — \, 是R 上的增函数，且f(4)=5,若不等式f(〃z/—2〃圧+3)>3对任意 /WR 恒成立，求实数刃的取值范围.解(1)若fd)在R 上为奇函数，则f(0)=0,令 a= 6=0,则 f(0 + 0) =f(0)+f(0) + 斤，所以 k=Q. 证明：由 £(曰+力)=f($)+£(力)，令 a=x, b=_x, 则 f{x —x) =f{x) +f( —A ),又 AO) =0,则有 0 = f{x) +f(—x),即 t\ — x) = — f\x)对任意 xGR 成立,所以 /V) 是奇函数.(2)因为 f ⑷=f(2) +f(2) — 1 = 5,所以 f(2) =3.所以f(/〃,一2/^+3)>3 = f(2)对任意丸WR 恒成立.又f(x)是R 上的增函数，所以刃x'—2〃AY +3>2对任意xUR 恒成立，即刃,一2//7%+1>0对 任意A^eR 恒成立，当/〃=0时,显然成立；/77>0,当刃H0时，由9得(KzzKl.f 2 — x ⑴证明：由=f 2 + x=f 7 + x4 =4加一4/风0, 所以实数刃的取值范围是［0,1).。
