2020版高考数学(文)刷题小卷练：16 Word版含解析

刷题小卷练21等比数列小题基础练○21一、选择题1．[2019·四川成都南充高中模拟]已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为()A．－24 B．－24或0C．12或0 D．24答案：A解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以a n＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.2．[2019·河北保定一中模拟]若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是()A．p m B．p2mC．q m D．q2m答案：C解析：由题意得a m a m＋1＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(a m a m＋1)m＝q m.3．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152 B.314C.334 D.172答案：B解析：显然公比q≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314. 4．[2019·福建闽侯模拟]已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13＋2a 27＝5π，则cos(a 2a 12)的值为( )A ．－12 B.22C.32D.12 答案：D解析：∵a 1a 13＋2a 27＝5π，∴a 2a 12＋2a 2a 12＝5π，∴a 2a 12＝5π3，∴cos(a 2a 12)＝cos 5π3＝12.故选D.5．[2019·合肥模拟]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2 D.12 答案：C解析：由题意，得⎩⎨⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C. 6．[2019·新余调研]已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( )A ．±64B ．64C ．32D ．16 答案：B解析：由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，故a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.7．[2019·辽宁五校联考]各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.8．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝6，S 3n ＝14，则S 4n －S n 的值为( )A ．18B ．20C ．24D ．28 答案：D解析：由等比数列的性质知，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n构成等比数列，设S n ＝x ，则x,6－x,14－6构成等比数列，得到(6－x )2＝8x ，即x 2－20x ＋36＝0，解得x ＝2或x ＝18(舍去)．从而S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 是以2为首项，S 2n －S n S n＝6－22＝2为公比的等比数列，则S 4n －S 3n ＝24＝16，故S 4n ＝30，S 4n －S n ＝30－2＝28，选D.二、非选择题9．[2019·石家庄模拟]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.答案：－53解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. 10．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.答案：2或3解析：由数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c 4－pc 3)，即(35－13p )2＝(13－5p )·(97－35p )，解得p ＝2或p ＝3.11．在等比数列{a n }中，公比q >1，a 1＋a m ＝17，a 2a m －1＝16，且前m 项和S m ＝31，则项数m ＝________.答案：5解析：由等比数列的性质知a 1a m ＝a 2a m －1＝16，又a 1＋a m ＝17，q >1，所以a 1＝1，a m ＝16，S m ＝a 1(1－q m )1－q ＝a 1－a m q 1－q ＝1－16q1－q ＝31，解得q ＝2，a m ＝a 1q m －1＝2m －1＝16，所以m ＝5. 12．[2019·内蒙古包钢一中调研]在83和272之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．答案：216解析：在83和272之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设插入的三个正数为a ，b ，c ，则b 2＝ac ＝83×272＝36，b ＝6，从而abc ＝b 3＝63＝216.课时增分练○21一、选择题1．[2019·广州综合测试]已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )A ．10B ．20C ．100D ．200 答案：C解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．4 答案：A解析：显然数列{a n }的公比不等于1， 所以S n ＝a 1·(q n －1)q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝4n ＋b ，∴b ＝－1.3．[2019·湖北重点中学联考]《九章算术》中：今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等．意思是蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则( )天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，结果精确到0.1( )A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.8 答案：C 解析：设蒲每天的长度构成等比数列{a n }，其首项a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n .设莞每天的长度构成等比数列{b n }，其首项b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝1－2n1－2.设经过x 天后，蒲、莞长度相等，则3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1－12＝1－2x 1－2，化简得2x ＋62x ＝7，计算得出2x ＝6,2x＝1(舍去)．所以x ＝lg6lg2＝1＋lg3lg2≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.4．[2019·重庆月考]在等比数列{a n }中，a 1和a 2 018是方程2x 2＋x －2 018＝0的两个根，则a 4·a 2 015＝( )A ．－2 018B ．2 018C ．1 009D ．－1 009 答案：D解析：由题意得a 1和a 2 018是方程2x 2＋x －2 018＝0的两个根，根据根与系数的关系得a 1·a 2 018＝－1 009.在等比数列{a n }中，a 4·a 2 015＝a 1·a 2 018＝－1 009.故选D.5．[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟]已知S n 是公比为4的等比数列{a n }的前n 项和，若ma n －3S n ＝8，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B解析：∵ma n －3S n ＝8，∴ma n ＋1－3S n ＋1＝8，两式相减得ma n＋1－ma n －3a n ＋1＝0，(m －3)a n ＋1＝ma n .由条件知m ≠3，则a n ＋1＝m m －3a n .由已知可得mm －3＝4，∴m ＝4.故选B. 6．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.7．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q 为( )A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：C 解析：由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1·a 3·a 5·a 7·a 9＝2，a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝64，则q 5＝a 2·a 4·a 6·a 8·a 10a 1·a 3·a 5·a 7·a 9＝32，则q ＝2，故选C.8．[2019·贵阳模拟]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则满足S n ≥12181的n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．8D ．7 答案：B解析：由a n －1＝3a n (n ≥2)可得a n a n －1＝13(n ≥2)，可得数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝13的等比数列，所以S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由S n ≥12181可得32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥12181，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥242243，得n ≥5(n ∈N *)，故选B.二、非选择题9．[2019·衡水模拟]已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)，且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝________.答案：4n －1解析：由题意知，q ＝a 2－a 1＝－4，b 1＝a 2＝－3，所以|b n |＝|－3×(－4)n －1|＝3·4n －1，所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n －1＝3×1－4n1－4＝4n －1.10．[2019·郑州一测]已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案：100解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 11．[2019·广东深圳模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.∵S n ＋1＝4a n ＋2，n ∈N *，① ∴S n ＝4a n －1＋2，n ≥2，n ∈N *，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，n ≥2.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得b n ＝3·2n －1，∴a n＋1－2a n＝3·2n－1，∴a n＋12n＋1－a n2n＝34，设c n＝a n2n，则c n＋1－c n＝34，∴c1＝a12＝12.∴数列{c n}是以12为首项，34为公差的等差数列．∴c n＝34n－14，∴a n＝2n·c n＝(3n－1)·2n－2.。

2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅲ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共57分）1.已知集合 A ={1，2，3，5，7，11} ， B ={x|3<x <15} ，则A∩B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 52.若 z̅(1+i)=1−i ，则z=（ ）A. 1–iB. 1+iC. –iD. i3.设一组样本数据x 1 ， x 2 ， …，x n 的方差为0.01，则数据10x 1 ， 10x 2 ， …，10x n 的方差为（ ） A. 0.01 B. 0.1 C. 1 D. 104.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型： I(t)=K 1+e−0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I( t ∗ )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 t ∗ 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 5.已知 sinθ+sin(θ+π3)=1 ，则 sin(θ+π6)= （ ）A. 12 B. √33C. 23 D. √226.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1 ，则点C 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线7.设O 为坐标原点，直线x=2与抛物线C ：y 2=2px(p>0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A. （ 14 ，0） B. （ 12 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 8.点(0，﹣1)到直线 y =k(x +1) 距离的最大值为（ ） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）A. 6+4 √2B. 4+4 √2C. 6+2 √3D. 4+2 √3 10.设a=log 32，b=log 53，c= 23 ，则（ ）A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b11.在△ABC中，cosC= 23，AC=4，BC=3，则tanB=（）A. √5B. 2 √5C. 4 √5D. 8 √512.已知函数f(x)=sinx+ 1sinx，则（）A. f(x)的最小值为2B. f(x)的图像关于y轴对称C. f(x)的图像关于直线x=π对称D. f(x)的图像关于直线x=π2对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题目时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题目时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1235711A ，，，，，， 315|B x x ，则A ∩B 中元素的个数为（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】采用列举法列举出A B ∩中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ，故A B ∩中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.若 11 z i i ，则z =（）A.1–iB.1+iC.–iD.i【答案】D 【解析】【分析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可.【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ，所以z i =.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3.设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为（）A.0.01B.0.1C.1D.10【答案】C 【解析】【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n L ，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1 故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t ，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A.60 B.63C.66D.69【答案】C 【解析】【分析】将t t 代入函数0.23531t KI t e结合 0.95I tK求得t即可得解.【详解】0.23531t KI t e∵，所以0.23530.951t KI t K e，则 0.235319t e ，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5.已知πsin sin =31，则πsin =6（）A.12B.3C.23D.22【答案】B 【解析】【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin cos 122，则：33sin cos 122 ，313sin cos 223，从而有：sin coscos sin 663，即3sin 63.故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.6.在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC，则点C 的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A 【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设 20AB a a ，以AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ,0,,0A a B a ，设 ,C x y ，可得： ,,,AC x a y BC x a y，从而： 2AC BC x a x a y，结合题意可得： 21x a x a y ，整理可得：2221x y a ，即点C 的轨迹是以AB 中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（）A.（14，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）【答案】B 【解析】【分析】根据题中所给的条件OD OE ，结合抛物线的对称性，可知4COx COx，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线2x 与抛物线22(0)y px p 交于,C D 两点，且OD OE ，根据抛物线的对称性可以确定4DOx COx，所以(2,2)C ，代入抛物线方程44p ，求得1p ，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.8.点(0，﹣1)到直线 1y k x 距离的最大值为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x 可知直线过定点(1,0)P ，设(0,1)A ，当直线(1)y k x 与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x 距离最大，即为||AP .故选：B.【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.B. C.6+2 D.【答案】C 【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S △△△根据勾股定理可得：AB AD DB ADB △是边长为的等边三角形根据三角形面积公式可得：2113sin 60222ADB S AB AD△该几何体的表面积是：632 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.10.设a =log 32，b =log 53，c =23，则（）A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b【答案】A 【解析】【分析】分别将a ,b 改写为331log 23a ，351log 33b ，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log 2log 9333a c ，355112log 3log 25333b c ，所以a c b .故选：A【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与回归的思想，是一道中档题.11.在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求cos B ，最后根据同角三角函数关系求tan .B 【详解】设,,AB c BC a CA b22222cos 916234933c a b ab C c2221cos sin tan 299a cb B B B ac 故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.12.已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（）A.f (x )的最小值为2B.f (x )的图像关于y 轴对称C.f (x )的图像关于直线x 对称D.f (x )的图像关于直线2x对称【答案】D 【解析】【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【详解】sin x ∵可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xQ Q ()f x 关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x Q 故B 错；()f x 关于直线2x对称，故C 错，D 对故选：D【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x，，则z =3x +2y 的最大值为_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y ，所以322x zy ，易知截距2z 越大，则z 越大，平移直线32x y ，当322x zy 经过A 点时截距最大，此时z 最大，由21y x x，得12x y ，(1,2)A ，所以max 31227z .故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14.设双曲线C ：22221x y a b(a >0，b >0)的一条渐近线为yx ，则C 的离心率为_________．【解析】【分析】根据已知可得ba，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程22221x y a b可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为y，所以b a ，c e a【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.15.设函数e ()xf x x a．若(1)4e f ，则a =_________．【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a 的方程，解方程即可确定实数a 的值【详解】由函数的解析式可得：221x xx e x a e e x a f x x a x a，则：12211111e a aef a a，据此可得：241aeea，整理可得：2210a a ，解得：1a .故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.16.已知圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】3【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于AM，故122S△A BC 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S △△△△111222AB r BC r AC r13322r 解得：22r =，其体积：34233V r .故答案为：3.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设等比数列{a n }满足124a a ，318a a ．（1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S ，求m ．【答案】（1）13 n n a ；（2）6m .【解析】【分析】（1）设等比数列 n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列 n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a ，解得113a q ，所以13 n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n ，所以(01)(1)22n n n n n S，根据13m m m S S S ，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m，整理得2560m m ，因为0m ，所以6m ，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1（优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09；（2）350；（3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率；（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果；（3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出2K的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为1的概率为216250.43 100，等级为2的概率为510120.27100 ，等级为3的概率为6780.21100，等级为4的概率为7200.09100；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100（3）22 列联表如下：人次400人次400空气质量不好3337空气质量好228221003383722 5.820 3.84155457030K ，因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点E ，F 分别在棱1DD ，1BB 上，且12DE ED ，12BF FB ．证明：（1）当AB BC 时，EF AC ；（2）点1C 在平面AEF 内．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得AC BD ，根据长方体性质得1AC BB ,进而可证AC 平面11BB D D ,即得结果；（2）只需证明1//EC AF 即可，在1CC 上取点M 使得12CM MC ,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体1111ABCD A B C D ,所以1BB 平面ABCD 1AC BB ,因为长方体1111,ABCD A B C D AB BC ,所以四边形ABCD 为正方形AC BD 因为11,BB BD B BB BD I 、平面11BB D D ,因此AC 平面11BB D D ,因为EF 平面11BB D D ,所以AC EF ；（2）在1CC 上取点M 使得12CM MC ,连,DM MF ,因为111112,//,=D E ED DD CC DD CC ,所以11,//,ED MC ED MC 所以四边形1DMC E 为平行四边形，1//DM EC 因为//,=,MF DA MF DA 所以四边形MFAD 为平行四边形，1//,//DM AF EC AF 因此1C 在平面AEF 内【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.20.已知函数32()f x x kx k ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27.【解析】【分析】（1）'2()3f x x k ，对k 分0k 和0k 两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k，且(00f f，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可.【详解】（1）由题，'2()3f x x k ，当0k 时，'()0f x 恒成立，所以()f x 在(,) 上单调递增；当0k 时，令'()0f x，得x '()0f x，得x ，令'()0f x，得x或x ，所以()f x在(上单调递减，在(,，) 上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k，且(00f f即22203203k k，解得4027k，当4027k20f k ，所以()f x 在上有唯一一个零点，同理1k ，32(1)(1)0f k k k ，所以()f x 在(1,k 上有唯一一个零点，又()f x 在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.21.已知椭圆222:1(05)25x y C m m 的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y ；（2）52.【解析】【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m ，可得5a ，b m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ △△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积.【详解】（1）∵222:1(05)25x y C m m 5a ，b m ，根据离心率4c e a ，解得54m或54m (舍)， C 的方程为：22214255x y ，即221612525x y ；（2）∵点P 在C 上，点Q 在直线6x 上，且||||BP BQ ，BP BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x 与x 轴交点为N根据题意画出图形，如图∵||||BP BQ ，BP BQ ，90PMB QNB ，又∵90PBM QBN ，90BQN QBN ，PBM BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ △△，∵221612525x y ， (5,0)B ，651PM BN ，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y ，将其代入221612525x y，可得：21612525P x ，解得：3P x 或3P x ，P 点为(3,1)或(3,1) ，①当P 点为(3,1)时，故532MB ，∵PMB BNQ △△，||||2MB NQ ，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵(5,0)A ,(6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ的距离为：5d，根据两点间距离公式可得：AQ，APQ 面积为：155252；②当P 点为(3,1) 时，故5+38MB ，∵PMB BNQ △△，||||8MB NQ ，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵(5,0)A (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y ，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d，根据两点间距离公式可得：AQAPQ面积为：1522，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2222x t t y t t，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点.（1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.【答案】（1）（2）3cos sin 120 【解析】【分析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值；（2）由,A B坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令0x ，则220t t ，解得2t 或1t （舍），则26412y ，即(0,12)A .令0y ，则2320t t ，解得2t 或1t （舍），则2244x ，即(4,0)B .AB ；（2）由（1）可知12030(4)AB k，则直线AB 的方程为3(4)y x ，即3120x y .由cos ,sin x y 可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设a ，b ，c R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由题意得出0,,0a b c ，由222322b c b c bc a a a bc bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ∵，22212ab bc ca a b c .,,a b c ∵均不为0，则2220a b c ， 222120ab bc ca a b c；（2）不妨设max{,,}a b c a ，由0,1a b c abc 可知，0,0,0a b c ，1,a b c a bc ∵， 222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc.当且仅当b c 时，取等号，a，即max{,,}a b c .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（辽宁卷，解析版）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合A={x 1x ＞}，B={x 2x 1-＜＜}}，则A I B=（ ）（A ） {x 2x 1-＜＜}} （B ）{x 1-x ＞} （C ）{x 1x 1-＜＜}} （D ）{x 2x 1＜＜} 答案： D解析：利用数轴可以得到A I B={x 1x 2＜＜}。

（2）i 为虚数单位，3571111i i i i+++=（ ） （A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i（5）若等比数列{a n }满足a n a n+1=16n，则公比为（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16 答案： B解析：设公比是q ，根据题意a 1a 2=16 ①，a 2a 3=162 ②，②÷①，得q 2=16 .因为a 12q=16>0, a 12>0，则q>0，q=4.（6）若函数f （x ）=））（（a -x 1x 2x+为奇函数，则a =（ ）（A ）21 （B ）32 （C ）43（D ）1解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a ，则由23234a a ⋅=，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是32223⋅⋅=。

（9）执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是（ ） (A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2答案：C解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2;第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4.SDACB∈，f’（x）＞2，则f(x)＞2x+4(11)函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x R的解集为（）（A）(-1,1) (B)(-1，+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析：函数f(x)的周期是32882πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，由tan1,3tan20,8AAϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⋅+=⎪⎪⎝⎭⎩得,14Aπϕ==.所以()tan24f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故tan2324244fπππ⎛⎫⎛⎫=⋅+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,5},{3,4,5}U A B ===，则()U A B U ð= （A ）{2,6} （B ）{3,6}（C ）{1,3,4,5}（D ）{1,2,4,6}（2）若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1+i（B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）123（D ）2（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，b 内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面b 相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离（8）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b c a b A ==-,则A =（A ）3π4（B ）π3（C ）π4（D ）π6(9)已知函数f(x )的定义域为R.当x ＜0时，f(x )=x 3-1；当-1≤x ≤1时，f(-x )= —f(x )；当x ＞12时，f(x +12)=f(x —12).则f(6)= （A ）-2 （B ）-1 （C ）0 （D ）2（10）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 （A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝A.{－4，1}B.{1，5}C.{3，5}D.{1，3}2.若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝A.0B.12 D.23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。

以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.514 B.512 C.514 D.5124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为A.15 B.25 C.12 D.455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，电邮实验数(x i，y i)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.y＝a＋bxB.y＝a＋bx2C.y＝a＋be xD.y＝a＋blnx6.已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A.1B.2C.3D.47.设函数f(x)＝cos(ωx ＋6π)在[－π，π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为A.109π B.76π C.43π D.32π8.设alog 34＝2，则4－a ＝A.116 B.19 C.18 D.169.执行右图的程序框图，则输出的n＝A.17B.19C.21D.2310.设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝A.12B.24C.30D.3211.设F 1，F 2是双曲线C ：2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为A.72 B.3 C.52 D.212.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为A.64πB.48πC.36πD.32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试卷（文科16）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0<x<2}，B={−3,−1,1，3}，则集合(∁U A)∩B=()A. {−3,−1}B. {−3,−1,3}C. {1,3}D. {−1,1}2.已知i是虚数单位，复数11−i −11+i的共轭复数是()A. iB. −iC. 1D. −13.某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是()A. 12B. 15C. 20D. 214.向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗|=√2，(a+b⃗)⊥(2a−b⃗)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°5.将函数f(x)的图象上的所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A. f(x)=sin(x+5π12) B. f(x)=−cos(2x+2π3)C. f(x)=cos(2x+π3) D. f(x)=sin(2x+7π12)6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为()A. k≥16B. k<8C. k<16D. k≥87.已知函数f(x)=(m−1)x2−2mx+3是偶函数，则在(−∞,0)上此函数()A. 是增函数B. 不是单调函数C. 是减函数D. 不能确定8.函数y=lg(x2+10x+6)的零点是x1=tanα，x2=tanβ，则tan(α+β)=()A. 53B. 52C. −52D. −539.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是()①2013不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2013是奇数．A. ①②③B. ②①③C. ②③①D. ③②①10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是()A. D1O//平面A1BC1B. D1O⊥平面MACC. 异面直线BC1与AC所成的角为60°D. MO与底面所成角为90°11.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x−2)2+y2=1相离，则其离心率e的取值范围是()A. e>1B. e>1+√52C. e>2√33D. e>√5212.某同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1−x)2，(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x).函数g(x)=3f(x)−8的零点的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是______ ．14.y(单位：元)的对应数据如表：假设得到的关于和之间的回归直线方程是ŷ=b̂x+â，那么该直线必过的定点是______．15.在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．16.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同立．甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何⋅”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步⋅”请问乙走的步数是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.公差不为0的等差数列{a n}，a2为a1，a4的等比中项，且S3=6．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=a n+2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：K2=−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.已知三棱锥P−ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于√2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅱ)求三棱锥P−ABC的表面积和体积．20.若椭圆C：x2a2+y2a2=1(a>b>0)的顶点到直线l1：y=x的距离分别为√2和√22．(1)求椭圆C的标准方程(2)设平行于l1的直线l交C于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=e x−lnx+1．(1)求函数y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)证明：f(x)>3．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=3+2cosθy=−4+2sinθ(θ为参数)．(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(2,0)，B(0,2)，圆C上任意一点M(x,y)，求△ABM面积的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|−|x−2|．(1)求不等式f(x)>2的解集；t恒成立，求实数t的取值范围．(2)x∈R，f(x)≥t2−72答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0<x<2}，则∁U A={x|x≤0或x≥2}又由B={−3,−1,1，3}，则集合(∁U A)∩B={−3,−1,3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合∁U A，进而由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵11−i−11+i=1+i(1−i)(1+i)−1−i(1+i)(1−i)=12+12i−12+12i=i，∴复数11−i −11+i的共轭复数是−i．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查扇形图和分层抽样，考查运算求解能力，是基础题．利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数．【解答】解：由扇形图得：高中生3000人，其中男生3000×30%=900，女生3000×70%=2100，初中生2000人，其中男生2000×60%=1200，女生2000×40%=800，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则n5000=212100，解得n=50，∴从初中生中抽取的男生人数是：50×12005000=12．故选A．4.【答案】C【解析】解：设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ．∵(a+b⃗)⊥(2a−b⃗)，∴(a+b⃗)⋅(2a−b⃗)=2a2−b⃗2+a⋅b⃗=2×12−(√2)2+1×√2×cosθ=0，化为cosθ=0，∵θ∈[0,π]，∴θ=90°．故选：C．设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ.利用(a+b⃗)⊥(2a−b⃗)，可得(a+b⃗)⋅(2a−b⃗)=2a2−b⃗2+a⋅b⃗=0，即可解出．本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，ω和φ的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键．根据图象求出A，ω和φ的值，得到g(x)的解析式，然后将g(x)图象上的所有点向左平移个单位长度得到f(x)的图象．【解答】解：由图象知A=1，T2=π3−(−π6)=π2，即函数的周期T=π，则2πω=π，得ω=2，即g(x)=sin(2x+φ)，由五点对应法得2×π3+φ=π，得φ=π3，则g(x)=sin(2x+π3)，将g(x)图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到f(x)的图象，即f(x)=sin[2(x+π4)+π3]=sin(2x+5π6)=sin(2x+π2+π3)=cos(2x+π3)，故选：C．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查算法框图，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加k值到S并输出S．【解答】解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：S k是否继续循环循环前0 1第一圈 1 2 否第二圈 3 4 否第三圈 7 8 否第四圈 15 16 是故退出循环的条件应为k≥16，故选A．7.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=(m−1)x2−2mx+3是偶函数，所以−2m=0，即m=0，所以f(x)=−x2+3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)=−x2+3在(−∞,0)上，函数单调递增，为增函数．故选A．利用函数的奇偶性确定m的值，然后利用二次函数的性质判断．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的图象和性质．8.【答案】B【解析】解：由y=lg(x2+10x+6)=0可得x2+10x+6=1，即x2+10x+5=0，由题意可得，tanα+tanβ=−10，tanα⋅tanβ=5，故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−101−5=52．故选：B．由已知结合方程的根与系数关系及两角和的正切公式即可求解．本题主要考查了方程的根与系数关系及两角和的正切公式的应用．9.【答案】C【解析】解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2013是奇数，结论：2013不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．按照演绎推理的三段论，“大前提，小前提和结论”，即可得出正确的排列顺序．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查线面平行及线面垂直的判定，同时考查异面直线所成的角及线面角的求解，属于中档题．由线面平行的判定证明A正确；由线面垂直的判定说明B正确；由异面直线所成角的概念结合正方体的面对角线相等说明C正确；求出∠MOB为MO与底面所成角，从而得到D错误．【解答】解：如下图，连接B1D1，交A1C1于N，连接BN，则由正方体的性质可得OD1//BN，由OD1⊄面A1BC1，BN⊂面A1BC1，可得D1O//面A1BC1，所以A正确；在正方体中，可得AC⊥BD，AC⊥DD1，又BD∩BD1=B，BD,BD1⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，又OD1⊂平面BDD1B1，所以OD1⊥AC，设正方体棱长为2，可求得OM2=3，OD12=6，MD12=9，则OD12+OM2=D1M2，有D1O⊥OM，因为AC∩OM=O，AC，OM⊂平面AMC，由线面垂直的判定可得D1O⊥平面AMC，所以B正确；因为AC//A1C1，所以∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角(或其补角)，由正方体的面对角线相等得到△A1BC1为正三角形，即∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角等于60°，所以C正确；由正方体知∠MOB为MO与底面所成角，因为∠MBO=90°，所以MO与底面所成的角不是90°，故D不正确；故选D．11.【答案】C【解析】【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a 和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．属于中档题．【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆(x−2)2+y2=1相离，∴圆心(2,0)到渐近线的距离大于半径r=1，即√a2+b2>1∴3b2>a2，∴c2=a2+b2>43a2，∴离心率e=ca >2√33．故选：C．12.【答案】A【解析】解：从运动的观点看，在点P从点B运动到点C的过程中，在点P到达BC的中点前，PA+PF的值逐渐变小，过了中点之后，又逐渐变大．要求函数g(x)=3f(x)−8的零点，需求方程f(x)=83的解的个数．当P为BC的中点时，A、P、F三点共线，f(x)取得最小值为√5<83，当P与B或C重合时，f(x)取得最大值为√2+1<83，所以方程f(x)=83无解，即函数g(x)=3f(x)−8没有零点．故选：A．从运动的观点看，在点P从点B运动到点C的过程中，在点P到达BC的中点前，PA+PF 的值逐渐变小，过了中点之后，又逐渐变大．而函数g(x)=3f(x)−8的零点个数，就是方程f(x)=83的解的个数．本题考查函数与方程，考查学生运动的思想和分析能力，属于中档题． 13.【答案】6【解析】解：∵抛物线的方程为y 2=8x ，设其焦点为F ， ∴其准线l 的方程为：x =−2，设点P(x 0,y 0)到其准线的距离为d ，则d =|PF|， 即|PF|=d =x 0−(−2)=x 0+2 ∵点P 到y 轴的距离是4， ∴x 0=4∴|PF|=4+2=6． 故答案为：6．利用抛物线的定义将P 到该抛物线焦点转化为它到准线的距离即可求得答案． 本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，属于中档题．14.【答案】(132,8)【解析】解：x −=3+5+2+8+9+126=132，y −=4+6+3+9+12+146=8，∵回归方程必过点(x −,y −)， ∴该直线必过的定点是(132,8)． 故答案为：(132,8)．根据回归方程必过点(x −,y −)，计算出x −,y −即可求得答案．本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点(x −,y −)，这是线性回归中最常考的知识点，希望大家熟练掌握．属于基础题． 15.【答案】48π【解析】【分析】本题主要考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【解答】解：如图，在等边三角形ABC 中，设其中心为O ，取AB 中点F ，由AB =6，得CO =23CF =2√3．∵△PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴F 为△PAB 的外心，则O 为棱锥P −ABC 的外接球球心， 则外接球半径R =OC =2√3．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×(2√3)2=48π． 故答案为48π．16.【答案】212【解析】解：设甲、乙相遇经过的时间为x ，如图： 则AC =3x ，AB =10，BC =7x −10， ∵A =90°，∴BC 2=AB 2+AC 2， 即(7x −10)2=102+(3x)2， 解得x =72或x =0(舍去)， ∴AC =3x =212，故答案为：212．设甲、乙相遇经过的时间为x ，由题意画出图形，由勾股定理列出方程求出x ，即可求出答案．本题考查勾股定理的实际应用，画出图象是解题的关键，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)差不为0的等差数列{a n }，a 2为a 1，a 4的等比中项，且S 3=6． 则：{a 22=a 1⋅a 4S 3=3a 1+3×22d =6，解得{a 1=1d =1，整理得a n =n ．(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n =n +2n ， 所以T n =(1+2+⋯+n)+2(2n −1)2，整理得T n =n(n+1)2+2n −1．【解析】(Ⅰ)首先利用已知条件建立方程组求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．(Ⅱ)直接利用分组法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．有兴趣 没有兴趣 合计男 45 10 55 女 30 15 45 合计 7525100根据列联表中的数据，得到：K 2=100×(45×15−10×30)255×45×75×25=10033≈3.030∵3.030>2.706，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”． (2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ， 则从这5人中随机抽取3人，共有(A,m ，n)，(B,m ，n)，(C,m ，n)，(A 、B 、m)(A 、B 、n)，(B 、C 、m)，(B 、C 、n)，(A 、C 、m)，(A 、C 、n)，(A 、B 、C)共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有(A、B、C)1种，2人对冰球有兴趣的情况有(A、B、m)，(A、B、n)，(B、C、m)，(B、C、n)，(A、C、m)，(A、C、n)共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率p=710．【解析】本题考查独立检验以及古典概型的概率的求法，是基本知识的考查，属基础题．(1)利用已知条件求出2×2列联表的数据，完成表格，计算K2，即可回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，列出所有选派的情况，求出至少2人对冰球有兴趣的情况数目，然后求解概率．19.【答案】证明：(Ⅰ)取BC中点O，连结OP，OB，由题意得PA⊥PA，BA⊥BC，PC=PA=PB=BC=AC=√2，OA=OC=OP=OB=1，PO⊥AC，BO⊥AC，∴∠POB是二面角P−AC−B的平面角，PO2+BO2=PB2，∴PO⊥BO，∴∠POB=90°，∴平面PAC⊥平面ABC；解：(Ⅱ)三棱锥P−ABC的表面积为：S=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC=12×AB×BC+12×PA×PB×sin60°+12×PA×PC+12×PB×PC×sin60°=12×√2×√2+12×√2×√2×√32+12×√2×√2+12×√2×√2×√32=2+√3．三棱锥P−ABC的体积为：V=13×S△ABC×PO=13×12×√2×√2×1=13．【解析】(Ⅰ)取BC中点O，连结OP，OB，推导出∠POB是二面角P−AC−B的平面角，求出∠POB=90°，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．(Ⅱ)三棱锥P−ABC的表面积为S=S△ABC+S△PAB+S△PAC+S△PBC，三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×PO．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：(1)由直线l1：y=x可知其与两坐标轴的夹角均为45°，故长轴端点到直线l1的距离为√22a，短轴端点到直线l1的距离为√22b，所以√22a=√2，√22b=√22，解得a=2，b=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +t x 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，则△=64t 2−16×5(t 2−1)>0，解得−√5<t <√5， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8t5，x 1x 2=4t 2−45， 故y 1y 2=(x 1+t)(x 2+t)=(x 1+x 2)t +x 1x 2+t 2=t 2−45，因为OA ⊥OB ，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t2−45+t 2−45=0．解得t =±2√105，满足−√5<t <√5且t ≠0，所以直线l 的方程为y =x +2√105或y =x −2√105．【解析】(1)由长轴端点到直线l 1的距离为√22a ，短轴端点到直线l 1的距离为√22b ，解得a =2，b =1，即可得椭圆C 的标准方程． (2)设直线l ：y =x +t(t ≠0)，联立{y =x +tx 24+y 2=1，整理得5x 2+8tx +4t 2−4=0，由即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=4t 2−45+t 2−45=0.解得t =±2√105，即可． 本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为f′(x)=e x −1x ，且f(1)=e +1，f′(1)=e −1，所以y −(e +1)=(e −1)(x −1)， 即所求切线方程为y =(e −1)x +2；(2)证明：由(1)，知f′(x)=e x −1x ，易知f′(x)在区间(0,+∞)上单调递增，且f′(1)>0， 所以，存在x 0∈(0,1)，使得f′(x 0)=0，即f′(x)=0有唯一的根，记为x 0，则f′(x 0)=e x0−1x0=0，对e x0=1x0两边取对数， 得ln e x0=ln 1x0，整理，得x 0=−ln x 0，因为x ∈(0,x 0)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， x ∈(x 0,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以f(x)min =f(x 0)=e x0−ln x 0+1=1x0+x 0+1≥3，当且仅当1x0=x 0，即x 0=1时，等号成立，所以f(x)min >3，即f(x)>3．【解析】(1)利用导数求出f′(1)的值，结合f(1)的值即可表示出切线方程；(2)利用导数可判断出函数的单调性，进而得到f′(x)=0有唯一的根，记为x 0，且函数在x 0处取最小值，代入得证．本题考查利用导数与函数之间的综合运用，涉及求曲线的切线等，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数).利用平方关系可得：(x −3)2+(y +4)2=4．展开可得：x 2+y 2−6x +8y +21=0．把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入可得圆C 的极坐标方程：ρ2−6ρcosθ+8ρsinθ+21=0． (2)直线AB 的方程为：x2+y2=1，即x +y −2=0． 圆心C(3,−4)到直线AB 的距离d =√2=3√22>2，可得直线AB 与AB 相离．∴圆C 上任意一点M(x,y)直线AB 的距离的最大值=d +r =3√22+2，∴△ABM 面积的最大值=12|AB|(d +r)=12×2√2×(3√22+2)=3+2√2．【解析】(1)圆C 的参数方程为{x =3+2cosθy =−4+2sinθ(θ为参数).利用平方关系可得：(x −3)2+(y +4)2=4.展开可得：x 2+y 2−6x +8y +21=0.把x =ρcosθ，y =ρsinθ代入可得圆C 的极坐标方程．(2)直线AB 的方程为：x2+y2=1，即x +y −2=0.圆心C(3,−4)到直线AB 的距离d =3√22>2，可得直线AB 与AB 相离．可得圆C 上任意一点M(x,y)直线AB 的距离的最大值，可得△ABM 面积的最大值=12|AB|(d +r)．本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=|2x +2|−|x −2|={−x −4,x <−13x,−1≤x <2x +4,x ≥2,当x <−1时，不等式f(x)>2，即−x −4>2，求得x <−6，∴x <−6; 当−1≤x <2时，不等式f(x)>2， 即3x >2，求得x >23，∴23<x <2; 当x ≥2时，不等式f(x)>2，即x +4>2，求得x >−2，∴x ≥2．综上所述，不等式的解集为{x|x >23或x <−6}； (2)由f(x)的单调性可得f(x)的最小值为f(−1)=−3， 若∀x ∈R ，f(x)≥t 2−72t 恒成立， 只要−3≥t 2−72t ，即2t 2−7t +6≤0， ∴求得32≤t ≤2．【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)求出函数f(x)的分段函数，分类讨论，求得f(x)>2的解集．t，求得实(2)由f(x)的单调性求得f(x)的最小值为f(−1)=−3，再根据f(−1)≥t2−72数t的取值范围．。

刷题小卷练25空间几何体小题基础练○25一、选择题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案：A解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()答案：C解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F 是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．3 B.113C ．7 D.233 答案：B 解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为13×12×1×2×1＝13，所以该几何体的体积为4－13＝113.6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18 答案：A 解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形，P A ＝AB ＝AD ＝2，BC ＝1，所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC .又BC ⊥AB ，AB ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .在△PCD 中，PD ＝22，PC ＝3，CD ＝5，所以△PCD 为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△P AB ，△P AD ，△PBC ，共3个．故选C. 8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )A ．9π B.9π2 C ．36π D ．18π 答案：B解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A －BCD .该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球的半径R＝12×22＋22＋12＝32，则外接球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.二、非选择题9．已知在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．答案：(5＋2)π解析：由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：4＋6π解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为12π×22×3＋13×12×4×2×3＝4＋6π.11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8 cm 2，俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．答案：4 3 cm 2解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a ，高为h ，则其正视图的长为a ，宽为h ，故其面积为S 1＝ah ＝8；①而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形，其面积为S 2＝34a 2＝4 3.②由②得a ＝4，代入①得h ＝2.侧视图是一个长为32a ，宽为h 的矩形，其面积为S 3＝32ah ＝4 3 (cm 2)．12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．答案：16π3解析：如图，设OO ′⊥平面ABC ，垂足是点O ′.设球的半径为r .∵边长为3的正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，∴AO ′＝23×3×32＝1，OA ＝r ，OO ′＝12r .∵OA 2＝O ′A ＋OO ′2，即r 2＝1＋r 24，解得r 2＝43，∴球O的表面积S＝4πr2＝16π3.课时增分练○25一、选择题1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是()①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案：D解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A ．①②B ．①③C ．③④D ．②④ 答案：D 解析：蚂蚁由点A 经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 1的位置，若把平面BCC 1B 1展开到与平面ABB 1A 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会经过BB 1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD 展开到与平面CDD 1C 1在同一个平面内，在矩形中连接AC 1，会经过CD 的中点，此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2 C.43 D.23 答案：D解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为13×12×2×2×1＝23.故选D.5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 是( )A ．2B ．4.5C ．1.5D ．3 答案：C 解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S ＝12×(1＋2)×2＝3.由该几何体的体积V ＝13×3x ＝32，解得x ＝1.5.故选C.6．[2018·全国卷Ⅲ]设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A ．12 3 B ．18 3 C ．24 3 D ．54 3 答案：B解析：由等边△ABC 的面积为93可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A．25π B．26πC．32π D．36π答案：C解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝23，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.易知AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径．设球的半径为R，则由勾股定理得4R2＝AB2＋4r2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR2＝32π.故选C.8．[2019·长春质量监测(一)]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()A．4 B．5C．6 D．12答案：B解析：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E －ADHG ＋V 三棱柱EHG －FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B.二、非选择题9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为23，在底面△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．答案：16π解析：由题意可知，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC的外接圆的半径R ＝3sin60°×12＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为(3)2＋12＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案：402π解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158，∴S△SAB＝12SA·SB·sin∠ASB＝12(2r)2·158＝515，解得r＝210，∴SA＝2r＝45，即母线长l＝45，∴S圆锥侧＝πr·l＝π×210×45＝402π.11.如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．解析：根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试全国卷三文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1235711，，，，，A =，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．5答案：B解析：由交集的定义可知A ∩B ={5711}，，，故选B 2．若)(1i 1i z +=-，则z =A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i答案：C解析：因为)(1i 1i z +=-，所以21i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2z ---====-++-，故选C 3．设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为A ．0.01B ．0.1C ．1D ．10答案：C解析：数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差等于数据x 1，x 2，…，x n 的方差210，即0.011001⨯=，故选C4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t KI t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C解析：由0.23(53)()=1e t KI t --+可得ln 1()530.23K I t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-，所以若*()0.95I t K =时，*ln 1ln190.955353660.230.23K K t ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=+≈-，故选C. 5．已知πsin sin=3θθ++（）1，则πsin =6θ+（） A ．12 BC ．23 D答案：B解析：因为πsin sin =3θθ++（）1，所以13sin sin sin 1226πθθθθθθ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，所以πsin 6（+θ，故选B 6．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线答案：A解析：取线段AB 的中点O ，则AC OC OA =-，BC OC OB OC OA =-=+，因为=1AC BC ⋅，所以221OC OA -=，所以22||||1OC OA =+，即|||OC OA =C的轨迹为以线段AB 中点为A。

刷题小卷练19 数列的概念及表示小题基础练⑲一、选择题1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．－1，－2，－3，－4，…B ．－1，－12，－13，－14，… C ．－1，－2，－4，－8，… D ．1，2，3，4，…，10 答案：B解析：A ，B ，C 中的数列都是无穷数列，但是A ，C 中的数列是递减数列，故选B.2．[2019·湖南衡阳二十六中模拟]在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x ＝5＋8＝13，故选C.3．[2019·河南郑州模拟]已知数列1，3，5，7，…，2n －1，则35是这个数列的( )A ．第20项B ．第21项C ．第22项D ．第23项 答案：D解析：由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23.故选D.4．[2019·湖南三市联考]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1的值为( ) A.12 B.14C.18D.116 答案：A解析：∵S n ＝a 1(4n －1)3，a 4＝32，∴S 4－S 3＝255a 13－63a 13＝32，∴a 1＝12，选A.5．[必修5P 31例3改编]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n ≥2)，则a 4＝( )A.32B.53C.74D.85 答案：B解析：由题意知，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝32，a 4＝53. 6．[2019·内蒙古阿拉善左旗月考]已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 018等于( )A ．1B ．－1C ．－12 D ．－2 答案：C解析：∵a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，∴a 2＝－1a 1＋1＝－12，a 3＝－1a 2＋1＝－2，a 4＝－1a 3＋1＝1.由上述可知该数列为周期数列，其周期为3.又∵2 018＝3×672＋2，∴a 2 018＝a 2＝－12.故选C.7．[2019·石家庄模拟]数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *)B ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 3＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 答案：D解析：(1)观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6…所以通项公式可表示为(－1)n ＋1·2n ＋1n (n ＋2)(n ∈N *)． 8．[2019·宝鸡模拟]设数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N *)，若数列{a n }是常数列，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．(－1)n 答案：A解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2－2a ＋1，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2，故选A.二、非选择题9．已知数列{a n }中，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，a n ＋1＝38＋12a 2n ，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案：递增解析：∵a n ＋1－a n ＝12a 2n －a n ＋38＝12(a n －1)2－18，又0<a n <12，∴－1<a n －1<－12，∴12(a n －1)2>18，即12(a n －1)2－18>0，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n 对一切正整数n 都成立，故数列{a n }是递增数列．10．已知数列32，54，76，9m －n，m ＋n 10，…，根据前3项给出的规律，实数对(m ，n )为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫192，32解析：由数列的前3项的规律可知⎩⎨⎧m －n ＝8，m ＋n ＝11，解得⎩⎨⎧m ＝192，n ＝32，故实数对(m ，n )为⎝ ⎛⎭⎪⎫192，32.11．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10＝________.答案：90解析：由a n ＋1＝a n ＋2n 可得a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝6，……，a n －a n －1＝2(n －1)．将上述式子左右两边分别相加得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，又a 1＝0，所以a n ＝n (n －1)．故a 10＝90.12．[2019·山东枣庄第三中学质检]已知数列{a n }的前n 项和S n ＝5n 2＋2n ＋1，则数列的通项公式为a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧8，n ＝1，10n －3，n ≥2解析：当n ＝1时，a 1＝8；当n ≥2时，S n －1＝5(n －1)2＋2(n －1)＋1.所以a n ＝S n －S n －1＝10n －3，此式对n ＝1不成立，故a n＝⎩⎨⎧8，n ＝1，10n －3，n ≥2.课时增分练⑲一、选择题1．[2019·福建闽侯模拟]若数列的前4项分别是12，－13，14，－15，则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1 B.(－1)n n ＋1C.(－1)n nD.(－1)n －1n 答案：A解析：由数列的前4项分别是12，－13，14，－15，知奇数项为正数，偶数项为负数，从而第n 项的绝对值等于1n ＋1，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n ＋1.故选A.2．[2019·山东济宁模拟]已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －2，n <4，(6－a )n －a ，n ≥4，若对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．(2,5)C ．(1,6)D ．(4,6) 答案：A解析：因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立，所以数列是递增数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧1<a ，6－a >0，a <(6－a )×4－a ，解得1<a <4.故选A.3．[2019·黑龙江牡丹月考]数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，恒有a m ＋n ＝a m ＋a n ，若a 1＝18，则a 7等于( )A.127B.147C.74D.78 答案：D解析：因为a m ＋n ＝a m ＋a n ，a 1＝18，所以a 2＝2a 1＝14，a 4＝2a 2＝12，a 3＝a 1＋a 2＝38，a 7＝a 3＋a 4＝78.故选D.4．[2019·全国名校大联考]若数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1＋a 2n ＝2a n ＋1·a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前32项和为( )A ．64B ．32C ．16D ．128 答案：A解析：由a 2n ＋1＋a 2n ＝2a n ＋1·a n (n ∈N *)，得(a n ＋1－a n )2＝0，a n ＋1＝a n .∵a 1＝2，∴a n ＝2，∴数列{a n }的前32项和S 32＝2×32＝64.故选A.5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝( )A.2 0152 B ．－2 0152 C.2 0172 D ．－2 0172 答案：B解析：∵a 1＝1，a 2＝－11＋1＝－12，a 3＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1－2＋1＝1，…，∴数列{a n }的周期为3，∴S 2 018＝S 2 016＋a 2017＋a 2 018＝672×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2＋1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2 0152. 6．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝( )A ．n B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．2n －1 答案：A解析：由a n ＝n (a n ＋1－a n )，得a n ＋1n ＋1＝a nn ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，所以a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，所以a n ＝n ，故选A.7．[2019·咸阳模拟]我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n ； ①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( )A.n 24 B.(n －1)24 C.n (n －1)4 D.n (n ＋1)4 答案：C解析：依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝n 2411×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝n 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24×n －1n ＝n (n －1)4.故选C. 8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，则数列{a n }中的最大项为( )A.89B.23C.6481D.125243答案：A 解析：解法一a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－n 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， 当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.解法二a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ， 令a n ＋1a n >1，解得n <2；令a n ＋1a n ＝1，解得n ＝2；令a n ＋1a n<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ， 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.二、非选择题9．[2019·广西南宁联考]已知数列{a n }是递减数列，且对任意的正整数n ，a n ＝－n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围为________．答案：(－∞，3)解析：∵数列{a n }是递减数列，∴a n ＋1<a n (n ∈N *)．∵a n ＝－n 2＋λn 对任意的正整数n 恒成立，即－(n ＋1)2＋λ(n ＋1)<－n 2＋λn ，∴λ<2n ＋1对于n ∈N *恒成立．而2n ＋1在n ＝1时取得最小值3，∴λ<3，故答案为(－∞，3)．10．[2019·河南四校联考]已知数列{a n }满足a 1＝12，a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2·a n ，则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)解析：由题意知S n ＝n 2·a n ，则当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2·a n－1，两式相减得S n －S n －1＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1，即a n＝n 2·a n －(n －1)2·a n －1，整理得(n 2－1)·a n ＝(n －1)2·a n －1.∵n ≥2，∴a n a n －1＝(n －1)2n 2－1＝n －1n ＋1，∴a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 4a 3×a 3a 2×a 2a 1＝n －1n ＋1×n －2n ×…×35×24×13，即a n a 1＝2n (n ＋1)(n ≥2)，∴a n ＝1n (n ＋1)(n ≥2)．∵a 1＝12满足上式，故a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N *)．11．已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式． (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . 解析：(1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)] ＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.。

2020年高考文数真题试卷（新课标Ⅰ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（共12题；共51分）1.已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}2.若z=1+2i+i3，则|z|=（）A. 0B. 1C. √2D. 23.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. √5−14B. √5−12C. √5+14D. √5+124.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）A. 15B. 25C. 12D. 455.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A. y=a+bxB. y=a+bx2C. y=a+b e xD. y=a+blnx6.已知圆x2+y2−6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.设函数 f(x)=cos (ωx +π6) 在 [−π,π] 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）A.10π9B.7π6C.4π3D.3π28.设 alog 34=2 ，则 4−a = （ ）A. 116 B. 19 C. 18 D. 16 9.执行下面的程序框图，则输出的n=（ ）A. 17B. 19C. 21D. 2310.设 {a n } 是等比数列，且 a 1+a 2+a 3=1 ， a 2+a 3+a 4=2 ，则 a 6+a 7+a 8= （ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 11.设 F 1,F 2 是双曲线 C:x 2−y 23=1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且 |OP|=2 ，则 △PF 1F 2的面积为（ ）A. 72 B.3 C. 52 D. 212.已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点，⊙ O 1 为 △ABC 的外接圆，若⊙ O 1 的面积为 4π ， AB =BC =AC =OO 1 ，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

刷题小卷练33直线与圆锥曲线的综合小题基础练○33一、选择题1．直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．不确定答案：A解析：通解将直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1联立，整理得(4＋9k2)x2＋18k(1－k)x＋9(1－k)2－36＝0，则Δ＝[18k(1－k)]2－4(4＋9k2)[9(1－k)2－36]＝144(8k2＋2k＋3)>0，所以直线与椭圆相交．优解因为直线y＝kx－k＋1过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．2．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－y24＝1交于A，B两点，且|AB|＝82，则实数k的值为()A．±7 B．±3或±41 3C．±3 D．±41 3答案：B解析：由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx ＋1代入x2－y24＝1得，(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5>0，解得k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k4－k2，x1x2＝－54－k2，所以|AB|＝1＋k2·⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k4－k22＋204－k2＝82，解得k＝±3或±413.3．[2019·兰州模拟]已知直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(3，＋∞)D ．(－∞，3) 答案：A解析：直线y ＝kx －k －1恒过定点(1，－1)．因为直线y ＝kx －k －1与曲线C ：x 2＋2y 2＝m (m >0)恒有公共点，则曲线C 表示椭圆，点(1，－1)在椭圆内或椭圆上，所以12＋2×(－1)2≤m ，所以m ≥3，故选A.4．[2019·宁波九校联考(二)]过双曲线x 2－y2b 2＝1(b >0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线的两条渐近线分别交于B ，C ，且2AB→＝BC →，则该双曲线的离心率为( ) A.10 B.103C. 5D.52 答案：C解析：由题意可知，左顶点A (－1,0)．又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，若直线l 与双曲线的渐近线有交点，则b ≠1.又双曲线的两条渐近线的方程分别为y ＝－bx ，y ＝bx ，所以可得x B ＝－1b ＋1，x C ＝1b －1.由2AB →＝BC →，可得2(x B －x A )＝x C －x B ，故2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1b ＋1＋1＝1b －1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1b ＋1，得b ＝2，故e ＝12＋221＝ 5. 5．[2019·浙江八校联考(二)]抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且这两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 答案：B解析：由⎩⎨⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，消去y 得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－b a ，令kx ＋b ＝0得x 3＝－bk ，所以x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3.故选B.6．[2019·长春检测]椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94 答案：A解析：设以P 为中点的弦所在直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.故选A.7．[2019·福建福州外国语学校适应性考试]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，抛物线y ＝14x 2＋14与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A.x 28－y 22＝1B.x 22－y 28＝1C ．x 2－y 24＝1 D.x24－y 2＝1 答案：D 解析：由题意可得c ＝5，得a 2＋b 2＝5，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .将渐近线方程和抛物线方程y ＝14x 2＋14联立，可得14x 2±b a x ＋14＝0，由渐近线和抛物线相切可得Δ＝b 2a 2－4×14×14＝0，即有a 2＝4b 2，又a 2＋b 2＝5，解得a ＝2，b ＝1，可得双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选D.8．[2019·唐山市五校联考]直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3 D. 2 答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，代入双曲线的方程，得⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，又⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22，所以x 0a 2＝y 0(y 1－y 2)b 2(x 1－x 2)，所以b 2a 2＝y 0(y 1－y 2)x 0(x 1－x 2)＝k OM k l ＝1，所以e 2＝1＋b 2a 2＝2，所以e ＝2，故选D.二、非选择题9．若直线y ＝52x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个不同的交点，则b 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫92，＋∞ 解析：联立直线方程和曲线方程，消去y 得，－94x 2－5bx －b 2－36＝0，由直线和曲线有两个不同的交点，所以Δ＝25b 2－9(b 2＋36)>0，解得b <－92或b >92.10．直线x －y －1＝0与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点作直线x ＝－1的垂线，垂足为M ，则MA →·MB →＝________.答案：0解析：设A (x 1，x 1－1)，B (x 2，x 2－1)，由⎩⎨⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，故AB 的中点C (3,2)，M (－1,2)，又MA →＝(x 1＋1，x 1－3)，MB →＝(x 2＋1，x 2－3)，所以MA →·MB →＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 1－3)·(x 2－3)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋10＝0. 11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当|AF |＋4|BF |取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________．答案：223解析：当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1，x 2>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2 ①，x 1x 2＝1 ②，1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝2k 2＋4k 2＋21＋2k 2＋4k 2＋1＝1.当直线的斜率不存在时，易知|AF |＝|BF |＝2，故1|AF |＋1|BF |＝1.设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则1a ＋1b ＝1，所以|AF |＋4|BF |＝a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋4b )＝5＋4b a ＋a b ≥9，当且仅当a ＝2b 时取等号，故a ＋4b 的最小值为9，此时直线的斜率存在，且x 1＋1＝2(x 2＋1) ③，联立①②③得， x 1＝2，x 2＝12，k ＝±22，故直线AB 的倾斜角的正弦值为223.12．[2019·广东揭阳一中、汕头金山中学联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y2a ＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.答案：14解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，所以p ＝8，所以m ＝±4.由对称性不妨取M (1,4)，A (－1,0)，则直线AM 的斜率为2，由题意得－a ×2＝－1，故a ＝14.课时增分练○33一、选择题1．已知抛物线y 2＝16x ，直线l 过点M (2,1)，且与抛物线交于A ，B 两点，|AM |＝|BM |，则直线l 的方程是( )A ．y ＝8x ＋15B ．y ＝8x －15C ．y ＝6x －11D ．y ＝5x －9 答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，又y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝8，故直线l 的方程为y ＝8x －15.2．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原。

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（5分）若（1+i）＝1﹣i，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i3．（5分）设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．104．（5分）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t ）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．（5分）已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）在平面内，A，B是两个定点，C 是动点．若•＝1，则点C的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线7．（5分）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0）8．（5分）点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（）A．1B ．C ．D．29．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+210．（5分）设a＝log32，b＝log53，c ＝，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b11．（5分）在△ABC中，cos C ＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（）A ．B．2C．4D．812．（5分）已知函数f（x）＝sin x +，则（）A．f（x）的最小值为2B．f（x）的图象关于y轴对称C．f（x）的图象关于直线x＝π对称D．f（x）的图象关于直线x ＝对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

刷题小卷练集合的概念与运算小题基础练①一、选择题．[·全国卷Ⅱ]已知集合＝{}，＝{}，则∩＝( )．{} ．{}．{} ．{}答案：解析：∩＝{}∩{}＝{}．故选.．[·全国卷Ⅰ]已知集合＝{－－>}，则∁＝( )．{－<<}．{－≤≤}．{<－}∪{>}．{≤－}∪{≥}答案：解析：∵－－>，∴ (－)(＋)>，∴>或<－，即＝{>或<－}．在数轴上表示出集合，如图所示．由图可得∁＝{－≤≤}．故选.．[·河南中原名校质检]已知全集＝{}，集合＝{}，＝{}，则∩(∁)＝( )．{} ．{}．{} ．{}答案：解析：因为∁＝{}，所以∩(∁)＝{}．故选.．[·河北衡水武邑中学调研]已知全集＝，集合＝{<<，∈}和＝{－<<，∈}关系的图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( )．个．个．个．无穷多个答案：解析：因为＝{<<，∈}，所以∁＝{≤或≥}．题图中阴影部分表示的集合为(∁)∩＝{－<≤，∈}＝{－，－，－，}，故该集合中共有个元素．故选.．[·惠州一调]已知集合＝{－}，＝{＝，∈}，则∁＝( )．{} ．{－}．∅．{－}答案：解析：∵＝{＝，∈}＝{}，∴∁＝{－}，故选.．[·河北省五校联考(二)]已知集合＝{<}，＝{－－<}，则( )．∩＝{<} ．∪＝．∪＝{<} ．∩＝{－<<}答案：解析：∵－－<，∴－<<，∴＝{－<<}，∴∪＝{<}，∩＝{－<<}，故选.．[·江西赣州模拟]已知集合＝{－≤≤}，＝{<}，则∩＝( )．{<<}．{<≤} ．{<≤}答案：解析：∵－≤≤，∴≤≤，∴＝.由<知<，∴＝{<}，∴∩＝.故选.．[·广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟]已知全集＝，集合＝{(－)(＋)≥}，＝{－≤≤}，则(∁)∩＝()．[－，－] ．[－]．[－) ．[]答案：解析：因为全集＝，集合＝{(－)(＋)≥}＝{≤－或≥}，所以∁＝{－<<}．又＝{－≤≤}，所以(∁)∩＝[－)．故选.二、非选择题．[·江苏卷]已知集合＝{}，＝{－}，那么∩＝.答案：{}解析：∩＝{}∩{－}＝{}．．[·南昌模。

刷题小卷练30 椭圆的定义、标准方程及性质小题基础练○30一、选择题1．椭圆x 24＋y 2＝1的离心率为( ) A.12 B.32C.52 D ．2 答案：B解析：由题意得a ＝2，b ＝1，则c ＝3，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32，故选B.2．[2019·佛山模拟]若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34B.43C.32或233D.34或43 答案：D解析：若焦点在x 轴上，则方程化为x 21m ＋y 21n ＝1，依题意得1m －1n 1m＝14，所以m n ＝34；若焦点在y 轴上，则方程化为y 21n ＋x 21m＝1，同理可得m n ＝43.所以所求值为34或43.故选D.3．过椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )A ．2B ．4C ．8D ．2 2答案：B解析：因为椭圆方程为4x 2＋y 2＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.故选B.4．[2018·全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32 B ．2－ 3C.3－12 D.3－1 答案：D解析：在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.故选D.5．[2019·河南豫北重点中学联考]已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，22是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)上的点，A ，B 是椭圆的左、右顶点，则△P AB 的面积为( )A ．2 B.24 C.12 D ．1 答案：D解析：由题可得1a 2＋12＝1，∴a 2＝2，解得a ＝2(负值舍去)，则S △P AB ＝12×2a ×22＝1，故选D.6．[2019·河南安阳模拟]已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·(OF1→＋OP →)＝0(O 为坐标原点)．若|PF1→|＝2|PF 2→|，则椭圆的离心率为( ) A.6－ 3 B.6－32C.6－ 5D.6－52 答案：A解析：以OF 1，OP 为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由PF 1→·(OF 1→＋OP →)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP |＝|OF 1|，∴△F 1PF 2是直角三角形，即PF 1⊥PF 2.设|PF 2|＝x ，则⎩⎨⎧2x ＋x ＝2a ，(2x )2＋x 2＝(2c )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋12x ，c ＝32x ，∴e ＝c a ＝32＋1＝6－3，故选A.7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3C ．6D ．8 答案：C解析：由椭圆x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)，点O (0,0)，设P (x ，y )(－2≤x ≤2)，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x＋3＝14(x ＋2)2＋2，－2≤x ≤2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.故选C.8．[2019·黑龙江大庆模拟]已知直线l：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c,0)，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝⎛⎦⎥⎤0，22C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22答案：C解析：由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA |＝|OF |＝c ，由|OA |>b ，即c >b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e <1.故选C.二、非选择题9．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .则动点Q 的轨迹Γ的方程为________．答案：x 24＋y 2＝1解析：连接QF ，因为Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以|QP |＝|QF |，得|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝4.又|EF |＝23<4，得Q 的轨迹是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆即x 24＋y 2＝1.10．[2019·金华模拟]如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上，且焦距为3的椭圆，则椭圆的短轴长为________． 答案： 5解析：方程x 2＋ky 2＝2可化为x 22＋y 22k＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋2k ＝2⇒2k ＝54，∴短轴长为2×52＝ 5.11．[2019·陕西检测]已知P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是其左、右焦点，∠F 1PF 2取最大值时cos ∠F 1PF 2＝13，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：易知∠F 1PF 2取最大值时，点P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a 2－2a23＝4c 2，即a ＝3c ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝33.12．[2019·“超级全能生”联考]已知椭圆C ：x 28＋y 22＝1与圆M ：x 2＋y 2＋22x ＋2－r 2＝0(0<r <2)，过椭圆C 的上顶点P 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于A ，B 两点(不同于P 点)，则直线P A 与直线PB 的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M (－2，0)，P (0，2)．设切线方程为y ＝kx ＋ 2.由点到直线的距离公式得，d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝r ，化简得(2－r 2)k 2－4k ＋(2－r 2)＝0，则k 1k 2＝1.课时增分练○30一、选择题1．[2019·河北省五校联考]以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：D解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb ＝1⇒bc ＝1,2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.2．[2019·深圳模拟]过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1 C.x 215＋y 210＝1 D.x 210＋y 25＝1 答案：C 解析：椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b 2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y210＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 答案：A解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1.故选。

刷题小卷练3 函数的概念及表示小题基础练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一 对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二 因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时增分练③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二 因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。