2015年广东省高考理科试题和答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科综合本试卷共14页，36小题，满分300分，考试用时150分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H —1 C —12 N —14 O —16 Na —23 Al —27 Cl —35.5一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1. 下列各组细胞均具有单层膜的是（ ）A. 溶酶体和高尔基体B. 中心体和叶绿体C. 液泡和核糖体D. 内质网和线粒体 2. 关于人胰岛素的叙述正确的是（ ）①促进肝糖原分解 ②由胰岛B 细胞合成、分泌 ③以碳链为基本骨架 ④与双缩脲试剂反应呈蓝色 A. ①③ B. ①④ C. ②③D. ③④ 3. 关于DNA 的实验，叙述正确的是（ ）A. 用兔的成熟红细胞可提取DNAB. DNA 溶液与二苯胺试剂混合，沸水浴后生成蓝色产物C. PCR 的每个循环一般依次经过变性-延伸-复性三步D. 用甲基绿对人的口腔上皮细胞染色，细胞核呈绿色，细胞质呈红色4. 如图表示在一个10 mL 密闭培养体系中酵母细胞数量的动态变化，关于酵母细胞数量的叙述，正确的是（ ）A. 种内竞争导致初始阶段增长缓慢B. 可用数学模型0t t N N λ=表示C. 可用取样器取样法计数D. K 值约为120 000个5. 用秋水仙素处理某二倍体植物的愈伤组织，从获得的再生植株中筛选四倍体植株。

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ?{1 ，4} B { ﹣1，﹣4} C {0} D ．．．．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合M={x| （x+4）（x+1）=0}={ ﹣1，﹣4} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0}={1 ，4} ，则M ∩N= ?．故选：D．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A2﹣3i B 2+3i C 3+2i D 3﹣2i ．．．．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．解答：解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i ，则=2﹣3i，故选：A．点评：本题开采方式的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）x Ax+ DB C y=x+ey=2y= y=x+．．．．考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．解答：解：对于A，y= 是偶函数，所以 A 不正确；对于B，y=x+ 函数是奇函数，所以 B 不正确；x对于C，y=2+ 是偶函数，所以 C 不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以 D 正确．故选：D．1点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）AB C D 1．．．．考古典概型及其概率计算公式．点：专概率与统计．题：分首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白析：球，1 个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15 个球任取2 球的取法，而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．解解：这是一个古典概型，从15 个球中任取 2 个球的取法有；答：∴基本事件总数为105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A ；则A 包含的基本事件个数为=50；∴P（A）= ．故选：B．点考查古典概型的概念，以及古典概型的求法，熟练掌握组合数公式和分步计数原理．评：2 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=0考圆的切线方程．点：专计算题；直线与圆．题：分设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，析：即可求出直线方程．解解：设所求直线方程为2x+y+b=0 ，则，答：所以= ，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0故选：A ．点本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．评：26．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A4 B C 6 D．．．．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．解答：解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y 得y=﹣x+ ，平移直线y= ﹣x+ ，则由图象可知当直线y=﹣x+ ，经过点 A 时直线y=﹣x+ 的截距最小，此时z 最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×= ，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）3AB C D．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1 ．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b= =3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A 至多等于 3B 至多等于 4C 等于 5D 大于 5．．．．考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上， 3 个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4 个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中， 4 个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5 时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）的展开式中，x 的系数为 6 ．49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．4分析：根据题意二项式（﹣1）4 r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，分析可得，r=1 时，有x 的项，将r=1 代入可得答案．解答：4 解：二项式（﹣1）r的展开式的通项公式为T r+1= ?（﹣1）? ，令2﹣=1，求得r=2，4∴二项式（﹣1）的展开式中x 的系数为=6，故答案为：6．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n} 中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= 10 ．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5 的值代入即可求出值．解答：解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．点评：本题主要考查了等差数列性质的简单应用，属于基础试题11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= 1 ．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；解三角形．分析：由sinB= ，可得B= 或B= ，结合a= ，C= 及正弦定理可求 b解答：解：∵sinB= ，∴B= 或B=当B= 时，a= ，C= ，A= ，由正弦定理可得，则b=15当B= 时，C= ，与三角形的内角和为π矛盾故答案为： 1点评：本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）考点：排列、组合的实际应用．专题：排列组合．分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可．解答：解：某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560 条．故答案为：1560．点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键．13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解答：解：随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q= ，则p= ，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标为A （2 ，），则点 A 到直线l 的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．解答：解：直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A 的极坐标为 A （2 ，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A 到直线l 的距离为：= ．6故答案为：．点评：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB=4 ，EC 是圆O 的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= 8 ．考相似三角形的判定．点：专选作题；创新题型；推理和证明．题：分析：2连接OC，确定OP⊥AC，OP= BC= ，Rt△OCD 中，由射影定理可得OC=OP?OD，即可得出结论．解解：连接OC，则OC⊥CD，答：∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP= BC= ，2Rt△OCD 中，由射影定理可得OC =OP?OD，∴4= OD，∴OD=8 ．故答案为：8．点本题考查圆的直径与切线的性质，考查射影定理，考查学生的计算能力，比较基础．评：三、解答题716．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．考平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．点：专平面向量及应用．题：分析：（1）若⊥，则?=0，结合三角函数的关系式即可求tanx 的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值．解答：解：（1）若⊥，则? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx=0，即sinx= cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵| |=1，| |=1，? =（，﹣）?（sinx，cosx）= sinx﹣c osx，∴若与的夹角为，则? =| |?| |cos = ，即sinx﹣c osx= ，则s in（x﹣）= ，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x= + = ．点本题主要考查向量数量积的定义和坐标公式的应用，考查学生的计算能力，比较基评：础．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄81 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 39 （1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；（3）36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？考点：极差、方差与标准差；系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；2 （2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s；（3）求出样本和方差即可得到结论．解答：解：（1）由系统抽样知，36 人分成9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，⋯，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得= （44+40+36+43+36+37+44+43+37 ）=40．2 2由方差公式得s= [（44﹣40）+（40﹣40）2 2+⋯+（37﹣40）] = ．2（3）∵s= ．∴s= ∈（3，4），∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，⋯，39，共23 人．∴36 名工人中年龄在﹣s和+s 之间所占百分比为≈63.89%．点评：本题主要考查统计和分层抽样的应用，比较基础．18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣A D﹣C的正切值；（3）求直线P A 与直线F G 所成角的余弦值．9考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）通过△POC 为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD ，则∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC ，在△PAC 中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC的余弦值．解答：（1）证明：在△POC 中PO=PC 且E 为CD 中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD ，平面PDC∩平面ABCD=CD ，PE? 平面PCD，∴PE⊥平面ABCD ，又∵FG? 平面ABCD ，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD ，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD 且PE∩CD=E ，∴AD ⊥平面PDC，又∵PD? 平面PDC，∴AD ⊥PD，又∵AD ⊥CD，∴∠PDC 为二面角P﹣AD ﹣C 的平面角，在Rt△PDE 中，由勾股定理可得：PE= = = ，∴tan∠PDC= = ；（3）解：连结AC，则AC= =3 ，在Rt△ADP 中，AP= = =5，∵AF=2FB ，CG=2GB ，∴FG∥AC，∴直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角∠PAC，在△PAC 中，由余弦定理得cos∠PAC=== ．10定理、勾股点评：本题考查线线垂直的判定、二面角及线线角的三角函数值，涉及到余弦定理等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．2 x）e ﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x；（1）求f（x）的单调区间（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；直线OP （3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．用．合应题：常规题型；导数的综专．分析：（1）利用f'（x）≥0，求出函数单调增区间（2）证明只有 1 个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．杂．为复（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较x 2 x 2解答：解：（1）f'（x）=e （x （x+1）+2x+1 ）=e ⋯2 分∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x 2 x）e ﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．⋯3 分（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f（0）=1﹣a，∵a＞1．∴1﹣a＜0⋯5 分∴f（0）＜0．当x→+∞时，f（x）＞0 成立．∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点⋯7 分x 2（3）证明：f'（x）=e （x+1），x0 2设点P（x0，y0）则）f'（x）=e （x0+1），x0 2 ∵y=f （x）在点P 处的切线与x轴平行，∴f'（x0）=0，即：e （x0+1）=0，∴x0=﹣1⋯9 分将x0=﹣1 代入y=f （x）得y0= ．∴，∴⋯10 分m令g（m）=e ﹣（m+1），m则g'（m）=e ﹣1，由g'（m）=0 得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m）＞0当m∈（﹣∞，0）时，g'（m）＜0∴g（m）的最小值为g（0）=0⋯12 分m∴g（m）=e ﹣（m+1）≥0m∴e≥m+111m∴e （m+1）2 3 ≥（m+1）即：∴m≤⋯14 分点评：本题考查了导数在函数单调性和最值上的应用，属于综合应用，在高考中属于压轴题目，有较大难度．2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x+y﹣6x+5=0 相交于不同的两点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；（2）求线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．考轨迹方程；直线与圆的位置关系．点：专创新题型；开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分（1）通过将圆C1 的一般式方程化为标准方程即得结论；析：（2）设当直线l 的方程为y=kx ，通过联立直线l 与圆C1 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L 与圆C1 的方程，利用根的判别式△=0 及轨迹 C 的端点与点解答：（4，0）决定的直线斜率，即得结论．2 2解：（1）∵圆C1：x﹣6x+5=0 ，+y2 2整理，得其标准方程为：（x﹣3）+y =4，∴圆C1 的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=kx 、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，2 2消去y 可得：（1+k ）x﹣6x+5=0 ，2 2由△=36﹣4（1+k ）×5＞0，可得k ＜由韦达定理，可得x1+x2= ，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段A B 的中点M 的轨迹 C 的方程为：（x﹣）2+y 2 = ，其中＜x≤3；12（3）结论：当k∈（﹣，）∪{ ﹣，} 时，直线L：y=k （x﹣4）与曲线C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k 2 2）x ﹣（3+8k）x+16k 2=0，2 2令△=（3+8k）﹣4（1+k ）?16k 2=0，解得k=±，又∵轨迹 C 的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k （x﹣4）与曲线 C 只有一个交点时，k 的取值范围为（﹣，）∪{ ﹣，} ．点本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于评：中档题．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用数列的递推关系即可求a3 的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{a n} 的前n 项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．解答：+解：（1）∵a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N ．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2= ，∵a1+2a2+⋯+na n=4﹣，n∈N + ．+∴a1+2a2+⋯+（n﹣1）a n ．﹣1=4﹣，n∈N两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）= ，n≥2，13则a n= ，n≥2，当n=1 时，a1=1 也满足，∴a n= ，n≥1，则a3= ；（2）∵a n= ，n≥1，∴数列{a n} 是公比q= ，1﹣n2．则数列{a n} 的前n 项和T n= =2﹣（3）b n= +（1+ + +⋯+ ）a n，∴b1=a1，b2= +（1+ ）a2，b3= （1+ + ）a3，∴S n=b1+b2+⋯+b n=（1+ + +⋯+ ）（a1+a2+⋯+a n）=（1+ + +⋯+ ）T n1﹣n）＜2×（1+ + +⋯+ ），=（1+ + +⋯+ ）（2﹣21，x＞1，设f（x）=lnx+﹣．则f′（x）=﹣即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N?时，，∴f（）=ln +﹣1＞0，即ln ＞，∴ln ，，⋯，即=lnn，∴2×（1+ + +⋯+ ）＜2+lnn，即S n＜2（1+lnn ）=2+2lnn ．本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利点评：性力，综合用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能14WORD文档较强，难度较大．152015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5 分）（2015 ?广东）若集合M={x| （x+4）（x+1）=0} ，N={x| （x﹣4）（x﹣1）=0} ，则M ∩N=（）A ．{ 1，4} B．{ ﹣1，﹣4} C．{0} D．?2．（5 分）（2015 ?广东）若复数z=i（3﹣2i）（i 是虚数单位），则=（）A ．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5 分）（2015 ?广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）xA ．C．y=2x+ D．y =x+e B．y= y=x+4．（5 分）（2015 ?广东）袋中共有15 个除了颜色外完全相同的球，其中有10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（）A ．B．C．D．12 25．（5 分）（2015?广东）平行于直线2x+y+1=0 且与圆x +y =5 相切的直线的方程是（）A ．2x+y+5=0 或2x+y﹣5=0 B．2x+y+ =0 或2x+y ﹣=0C．2x﹣y+5=0 或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+ =0 或2x﹣y﹣=06．（5 分）（2015 ?广东）若变量x，y 满足约束条件，则z=3x+2y 的最小值为（）A ．4 B．C．6 D．7．（5 分）（2015?广东）已知双曲线C：﹣=1 的离心率e= ，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线 C 的方程为（）A ．B．C．D．﹣=1 ﹣=1 ﹣=1 ﹣=18．（5 分）（2015?广东）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）A ．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于5 D．大于516二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）49．（5 分）（2015 ?广东）在（﹣1）的展开式中，x 的系数为．10．（5 分）（2015?广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5 分）（2015 ?广东）设△ABC 的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c．若a= ，sinB= ，C= ，则b= ．12．（5 分）（2015?广东）某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5 分）（2015?广东）已知随机变量X 服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5 分）（2015?广东）已知直线l 的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）= ，点A 的极坐标．为A（2 ，），则点 A 到直线l 的距离为15．（2015?广东）如图，已知AB 是圆O的直径，AB=4 ，EC 是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于D 和点P，则OD= ．三、解答题16．（12 分）（2015?广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx 的值；（2）若与的夹角为，求x 的值．17．（12 分）（2015 ?广东）某工厂36 名工人年龄数据如图：年龄工人编号年龄工人编号年龄年龄工人编号工人编号171 40 10 36 19 27 28 342 44 11 31 20 43 29 393 40 12 38 21 41 30 434 41 13 39 22 37 31 385 33 14 43 23 34 32 426 40 15 45 24 42 33 537 45 16 39 25 37 34 378 42 17 38 26 44 35 499 43 18 36 27 42 36 399的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到（1）用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为；的年龄数据为44，列出样本的年龄数据2（2）计算（1）中样本的均值和方差s；0.01%）？s和+s 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到（3）36 名工人中年龄在﹣18．（14 分）（2015 ?广东）如图，三角形△PDC 所在的平面与长方形A BCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6 ，BC=3 ，点 E 是CD 的中点，点F、G 分别在线段AB 、BC 上，且AF=2FB ，CG=2GB ．（1）证明：PE⊥FG；C的正切值；（2）求二面角P﹣A D﹣（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．2 x）e﹣a． 19．（14 分）（2015 ?广东）设a＞1，函数 f （x）=（1+x间；（1）求f（x）的单调区（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP1．平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣2 220．（14 分）（2015 ?广东）已知过原点的动直线l 与圆C1：x﹣6x+5=0 相交于不同的两+y点A ，B．（1）求圆C1 的圆心坐标；C的方程；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k （x﹣k 的取值范围；若不存在，说明理由．+21．（14 分）（2015 ?广东）数列{a n}满足：a1+2a2+⋯na n=4﹣，n∈N．（1）求a3 的值；（2）求数列{a n} 的前n 项和T n；18（3）令b1=a1，b n= +（1+ + +⋯+ ）a n（n≥2），证明：数列{b n} 的前n 项和S n 满足S n＜2+2lnn ．19。

2015广东省高考理科综合卷参考答案一、选择题：26．（1）类囊体薄膜黄绿色A TP和[H] C3的还原（2）加剧酸雨对三种植物叶绿素含量的影响严重程度由大到小依次是腊梅、桃树、木樨，其中pH4.0酸雨对木樨没有影响在正常情况下三种植物叶绿素含量不同，由大到小依次是腊梅、桃树、木樨（3）抵抗力长期酸雨导致植物叶绿素减少，光合作用减弱，生产者固定的能量减少，物种多样性降低，因此整个生态系统的抵抗力稳定性减弱27.（1）下丘脑电信号突触（2）促肾上腺皮质激素释放激素促肾上腺皮质激素反馈调节（3）浆细胞记忆T细胞增殖分化成效应Ｔ细胞凋亡28．（1）多对易于区分的相对性状假说演绎（2）减数分裂细胞分裂和分化（3）进化不定向性（4）2 长翅可育：长翅不育：短翅可育：短翅不育=2:1:2:129.（1）避免氧气进入，为乳酸菌的无氧发酵创造无氧环境丙酮酸，[H],ATP（2）亚硝酸盐含量较低，酸度适宜，口感也较好乳酸含量增加（3）实验结论： 适中盐浓度条件下，用优选乳酸菌制作的泡菜亚硝酸盐含量比普通乳酸菌低，且在第8天后，亚硝酸盐含量下降到较低水平，适宜食用。

30.（1）129C H Br （2）AD（3）25C H OH HBr2222225CH =CH COOH CH Br CH COOH CH Br CH COOC H −−−→−−−−→----- （4）4，4 （5）31.（1）()()()()22212HCl g +O g =H O g +Cl g 212H H ∆+∆（2）<① ()K A②增大压强，平衡向气体分子数减少的方向移动，即平衡正向移动，()HCl α增大． ③B D（3）()33415.410mol -1.810molHCl 9.010mol min 4minv ----⨯⨯==⨯⋅ （4）()()222222Ca OH +2Cl =CaCl +Ca ClO +2H O 32.（1）CaO 11 Ca 2+与SO 42-在溶液中不能大量共存，使用(NH 4)2SO 4会产生CaSO 4沉淀，不利于CaO 溶解．（2）3NO -、OH -()32Ca HCO（3）--2322Al O +2OH =2AlO +H O（4）()2232Al +6H O2Al OH +3H ↑电解（5）427Al 3e +7AlCl =4Al Cl ----33.（1）A C G（2）①产生白烟 A 瓶中HCl 进入B 瓶，然后和NH 3发生反应，HCl+NH 3=NH 4Cl ，生成的NH 4Cl 为白色固体小颗粒②烧杯中石蕊溶液进入B 中，溶液变红（3）（浓度、温度只要选择一种进行探究）③15.3510Ym α-=× 34.（1）①靠近；先接通电源，待打点计时器打点稳定后释放纸带。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅2、若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i -3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A．y = B ．1y x x =+ C ．122x x y =+ D ．x y x e =+ 4、袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）A ．521B ．1021C ．1121D ．1 5、平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -+=或20x y -=6、若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为（ ）A ．4B ．235C ．6D ．3157、已知双曲线C:22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为()2F 5,0，则双曲线C 的方程为（ ） A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8、若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11~13题）9、在)41的展开式中，x 的系数为 ． 10、在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ．11、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若3a =，1sin 2B =，C 6π=，则b = ．12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C E 是圆O 的切线，切点为C ，C 1B =．过圆心O 作C B 的平行线，分别交C E 和C A 于点D 和点P ，则D O = ．三、解答题16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1) 若m n ⊥，求tan x 的值；(2) 若m 与n 的夹角为3π，求x 的值. 17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表（1） 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2） 计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3） 36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图2，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6,3PD PC AB BC ====，点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 证明：PE FG ⊥； (2) 求二面角P AD C --的正切值；(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19. （本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-(1) 求()f x 的单调区间； (2) 证明()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m,n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：1m ≤-.20. （本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A 、B.(1) 求圆1C 的圆心坐标；(2) 求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3) 是否存在实数k,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分） 数列{a }n 满足：*12122......3,2n n n a a na n N -+++=-∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{a }n 的前 n 项和n T ；(3) 令111111,(1......)(2),23n n n T b a b a n n n-==+++++≥证明：数列{}n b 的前n 项和S n 满足22ln n S n <+2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合()(){}410x x x M =++=,()(){}410x x x N =--=,则=N M ( ). A. φ B. }4,1{-- C. }0{ D. }4,1{ 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z -=,则=z ( ).A. i 23-B. i 23+C. i 32+D. i 32- 3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ). A. x e x y += B. x x y 1+= C. x x y 212+= D. 21x y +=4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有1个白球,1个红球的概率为( ). A. 1 B.2111 C. 2110 D. 215 5. 平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052=--=+-y x y x 或B. 052052=-+=++y x y x 或C. 052052=--=+-y x y x 或D. 052052=-+=++y x y x 或6. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ,则y x z 23+=的最小值为( ).A.531 B. 6 C. 523D. 4 7. 已知双曲线1:2222=-by a x C 的离心率45=e ,且其右焦点为)0,5(2F ,则双曲线C 的方程为( ).A. 13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值( ).A. 大于5B. 等于5C. 至多等于4D. 至多等于3二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9 ~ 13题)9. 在4)1(-x 的展开式中,x 的系数为_____________.10. 在等差数列}{n a 中,若2576543=++++a a a a a ,则=+82a a _____________.11. 设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若6,21sin ,3π===C B a ,则=b ___________.12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了_______条毕业留言.(用数字作答)13. 已知随机变量X 服从二项分布),(p n B .若20)(,30)(==X D X E ,则=p __________. (二)选做题(14 ~ 15题,考生只能从中选做一题)14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2)4sin(2=-πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点 A 到直线l 的距离为____________.15. (几何证明选讲选做题)如图1,已知AB 是圆O 的直径,4=AB , EC 是圆O 的切线,切点为C ,1=BC .过圆心O 作BC 的平行线, 分别交EC 和AC 于点D 和点P ,则=OD ___________.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值.某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====,点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.设0>a ,函数a e x x f x -+=)1()(2. (1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点), 证明:123--≤ea m .20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a nn T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案1. 答案: A 提示: {1,4},{1,4},.M N M N φ=--=∴=2. 答案: D 提示: 23,23z i z i =+∴=-.3. 答案: A 提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e -=+-=-+该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D =--∴-而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4.答案: C 提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C ⨯==⨯ 5. 答案:D 提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a ++==∴==±+依题意即6. 答案: C 提示: 可行域为一五边形及其内部(含边界),该五边形的五个顶点分别为A(1,2), B(3,2), C(3,0),D(2,0),E 4(1,)5,易知当目标函数过点E 4(1,)5时取到最小值,此时z=423312.55⨯+⨯= 7. 答案: B 提示: 222555,,4,9.4c c e a b c a a a ====∴==-=显然又从而 8. 答案: C. 提示: 显然当以A,B,C,D 四点为顶点构成正四面体时,这四点两两的距离都相等,以下用反证法证明5个或5个以上的点两两距离不可能都相等：假设A,B,C,D,E 五个点两两距离都相等,,26,.3(:2),.A BCD E BCD AE AB AB AE A BCD --=>-则三棱锥和三棱锥是两个全等的正四面体从而这与这五点的距离两两都相等矛盾注的长度为正四面体高的倍故最多四个点两两距离相等9. 答案: 6. 提示: 12422144()(1)(1),212,2r r rr rr r r T C x C xr --+=-=--==令得224(1) 6.x C ∴-=展开式中的系数为 10.答案: 10. 提示:374655555285()()2225,5,210.a a a a a a a a a a a a ++++=++=∴=+==从而11. 答案:1 . 提示:155sin ,(0,),,,,,266666B B BC B B ππππππ=∈∴==∴≠=且或又从而2cos,33, 1.6a b b b π∴==∴=即12. 答案: 1560. 提示:24040,40391560.A =⨯=相当于从人中选取两人的排列数故方法总数为13.答案: 13. 提示:201(,),()30,()(1)20,1,.303X B n p E X np D X np p p p ∴===-=∴-==故14. 答案:522.22:2sin()2,2(sin cos cos sin )2,sin cos 1,44410,7722cos22cos 2,22sin 22sin()2,(2,2),4444|2(2)1|552.221(1)l x y A A l πππρθρθθρθρθππππ-=-=∴-=-+====-=-∴---+==+-提示即即的直角坐标方程为点的直角坐标为从而点到直线的距离为15. 答8.:,//,,,,,,,90,1, 1.2,2,2248.2o OC OD BC BC AC OP AC P AC OD F CF AF COD AOD CBA OCD CODCBA CB CO AB CO CB OD BA ⊥∴⊥=∠∠∠∠∴∆∆====∴==⨯=提示连结又从而为线段的中点设线段与圆交于点则弧弧从而＝＝又＝即三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量)22,22(-=m ,)2,0(),cos ,(sin π∈=x x x n .(1)若n m ⊥,求x tan 的值; (2)若m 与n 的夹角为3π,求x 的值. 解:(1))4sin(cos 22sin 22)cos ,(sin )22,22(π-=-=⋅-=⋅x x x x x n m ,,0,sin()0,(0,)42m n m n x x ππ⊥∴⋅=-=∈即又,04,444=-∴<-<-∴ππππx x .即4π=x ,14tan tan ==∴πx .(2)依题意)4sin(cos sin )22()22()4sin(||||3cos 2222πππ-=+⋅-+-=⋅⋅=x x x x n m n m , 即)4,4(4,21)4sin(ππππ-∈-=-x x 又,12546,64πππππ=+==-∴x x 即.17. (本小题满分12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表.(1) 用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44, 列出样本的年龄数据;(2) 计算(1)中样本的均值x 和方差2s ;(3) 36名工人中年龄在s x -与s x +之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)？ 解:(1)各分段工人的编号依次为1~4,5~8,…,33~36,依题意,第一分段里抽到的年龄为44,即抽到的是编号为2的工人, 从而所得样本的编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34, 即样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.222222222222444036433637444337404343433(2)4040040,9911100[40(4)3(4)(3)43(3)](4443).999x s +++++++++-+--++-==+=+=∴=++-++-+-+++-=⨯+⨯=10102101(3),4036,4043,33333212336,364323,0.638963.89%,3336s x s x s =∴-=-=+=+=≈=易得人中年龄位于与之间的有人即36名工人中年龄在s x -与s x +之间有23人,所占的百分比是63.89%.18. (本小题满分14分)如图2,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,4,6,3PD PC AB BC ====, 点E 是CD 的中点，点、F G 分别在线段、AB BC 上，且2,2AF FB CG GB ==. (1)证明：PE FG ⊥；(2)求二面角P AD C --的正切值； (3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.解:(1)证明:,,,PD PC E DC PE DC =∴⊥为中点,,,,,.P D C A B C D P D C A B C D D C P E P D CP E A B C D F G A B C D P E F G⊥⊂∴⊥⊂∴⊥又面面而面面＝面面面22(2),,,,,,114,3,7,2277tan ,.33PDC ABCD AD DC AD PDC AD PD AD DC PDC P AD C PD DE DC AB PE PD DE PE PDC P AD C DE ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∠--====∴=-=∴∠==--面面面从而为二面角的平面角即二面角的正切值为22222222222(3,2,//,634535,345,2545165495c o s ,225253530595.25AF CGAC ACFG PAC PA FG FB GB AC AB BC AP AD DP AP AC PC PAC AP AC PA FG ==∴∠=+=+===+=+=+-+-∴∠====⋅⨯⨯连结从而为直线与直线所成角或其补角,即直线与直线所成角的余弦值为19. (本小题满分14分)设0>a ,函数a e x x f x-+=)1()(2.(1)求)(x f 的单调区间;(2)证明)(x f 在(,)-∞+∞上仅有一个零点;(3)若曲线)(x f y =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点),(n m M 处的切线与直线OP 平行,(O 是坐标原点),证明:123--≤ea m . 解:(1)0)1()21()(22≥+=++=xxe x e x x xf ,上为增函数在),()(+∞-∞∴x f . (2)22221,(0)10,()(1)(1)1(1)0a a f a f a a e a a e a a a a a a a >=-<∴=+->+->+->-=->,.),()(,),()(,),0()(仅有一个零点在上为增函数在又有零点在区间+∞-∞∴+∞-∞∴x f x f a x f(3)由0)('=x f 得1-=x ,又a e a e f -=-=--22)1(1,e a a e k a e P op 20102),2,1(-=----=∴--∴.依题意'()OP f m k =,22(1)m m e a e∴+=-,设1)(--=x e x g x,则1)('-=xe x g ,当0>x 时,01>-x e ; 当0<x 时,01<-xe ,为增函数在为减函数在),0(,)0,()(+∞-∞∴x g , 从而0min ()(0)010g x g e ==--=,即0)(,≥∈∀x g R x .0)(,≥∈∀∴m g R m ,即01≥--m e m,ea e m m m e m mm 2)1()1(,0)1(,1232-=+≤+∴≥+≤+∴又, 33221, 1.m a m a e e∴+≤-≤--即20. (本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆056:221=+-+x y x C 相交于不同的两点B A 、. (1)求圆1C 的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;(3)是否存在实数k ,使得直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点？若存在,求出k 的取值范围; 若不存在,说明理由.解:(1),495)3(,0562222=+-=+-=+-+y x x y x 即)0,3(1的圆心坐标为圆C ∴.(2)法一: 设),(),,(),,(2211y x M y x B y x A ,05612121=+-+∴x y x ,05622222=+-+x y x ,即0)(6))(())((2121212121=---++-+x x y y y y x x x x ,,12x x ≠06)()(21212121=---+++∴x x y y y y x x ,0622=-⋅+x y y x 即.22221223930,().245,3,3395()(3).243x y x x y C M x AB M C x y x ∴+-=-+=<≤-+=<≤即考虑到弦的中点只能在圆的内部可解得点的横坐标的范围为故线段的中点的轨迹的方程为. 法二:111,,1,1,C M AB C M MO M AB C M AB k k k k ∴⊥∴⋅=-⋅=-点为弦中点即)335(03,1322≤<=-+-=⋅-∴x x y x x y x y 即. (3)将)4(-=x k y 代入0322=-+x y x 5(3)3x <≤中得:03)168(222=-+-+x x x k x ,2222(1)(83)160k x k x k ∴+-++=,222222216964948)1(64)38(k k k k k k -=-+=+-+=∆,由0=∆得222238()33831254,(,3],342(1)532(()1)4k k k ±++=±==∈+±+此时切点的横坐标值为, 3,4k =±故时直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点;525525(,),(,),,3333252525253,,577743C L L C k k L C ±±±==±≤≤-由于点不在轨迹上故当过点时与轨迹只有一个交点此时依据图形特征知当-时直线与轨迹只有一个交点. 综上所述,2525,]7733[{,}44k ∈--时,直线)4(:-=x k y L 与曲线C 只有一个交点.21. (本小题满分14分) 数列}{n a 满足:121224,2n n n a a na n N *-+++=-∈. (1)求3a 的值;(2)求数列}{n a 的前n 项和n T ; (3)令)2()131211(,111≥+++++==-n a n n T b a b n n n 证明:数列}{n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<. 解:(1)122331121311222132141,124422,,1134,.22224a a a a a ---+++=-=+=-=-=∴=++=-∴=1212121*111111121(2)2,2(1)4,(4)(4),2222111(2),1,(),22211112{}1,,2.12212n n n n n n n n n n nn n n n n n nn a a n a na a n a a n N a T ---------+++≥+++-=-=---=∴=≥==∴=∈-∴==--时从而又数列是为首项为公比的等比数列从而第 11 页 共 11 页 12111211223312121211111(3),(1),(1),(1),2232321111(1)()(1)2211111(1)(2)2(1).222111()ln 1(1),'()n n n n n n n n a a a a a a b a b a b a b a n nS b b b a a a T n nn nf x x x f x x x x --++++==++=+++=++++∴=+++=++++++=+++=+++-<+++=+->=-记函数则2*10,1,(),11,()(1)ln110,111,2,1,()0,ln 10,ln ,111111213111123ln ,ln ,,ln ,ln ln ln ln ,22133112321311112(1)2x x f x x x f x f k k k k k N k f k k k k k kk n n n n n n n n -=>∴>>>=+-=∈≥>∴>+->>-----<<<+++<+++=------∴+++=当时为增函数从而当时当且时即亦即故11122()22ln ,2311,2(1)22ln .2111(:ln ,23n n nS n nn n ++++<+<+++<++++<综上注证明时也可以使用数学归纳法)。

绝密★启用前 试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一试题(广东卷)数学（理科）一、选择题：本大题功8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 若集合{}|(4)(1)0M x x x =++=，{}|(4)(1)0N x x x =--=，则M N =I （ ） A. {}1,4 B. {}1,4-- C. {}0 D. Φ2. 若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z = （ ）A. 23i -B. 23i +C. 32i +D. 32i -3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （ ）A. y =B. 1y x x =+C. 122x x y =+ D. x y x e =+ 4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取两个球，所取的两个球中恰有1个白球，一个红球的概率为 （ ）A. 521B. 1021C. 1121D. 15.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线方程是（ ）A. 250x y ++= 或250x y +-=B. 20x y +=或20x y += C. 250x y -+= 或250x y --=D. 20x y -=或20x y -6. 若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y =+的最小值为 （ ）A. 4B.235C. 6D. 3157. 已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 方程（ ）A.22143x y -= B. 221916x y -= C. 221169x y -= D. 22134x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 （ ）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。

1.下列各组细胞器均具单层膜的是A. 液泡和核糖体B. 中心体和叶绿体C. 溶酶体和高尔基体D. 内质网和线粒体【答案】C【解析】本题主要考察细胞结构中细胞器的内容，难度容易。

核糖体无膜，线粒体和叶绿体有双层膜，选C。

2.关于人胰岛素的叙述，正确的是①以碳链为基本骨架②与双缩脲试剂反应呈蓝色③促进肝糖原分解④由胰岛B细胞合成、分泌A. ①②B、①④C、②③D、③④【答案】B【解析】本题主要考察胰岛素的化学本质和功能等内容，难度中等。

①正确。

胰岛素的化学本质是蛋白质，蛋白质等生物大分子都是以碳链为基本骨架②错误。

蛋白质与双缩脲试剂反应为紫色③错误。

胰岛素的作用是降血糖，促进肝糖原合成④正确。

胰岛素由胰岛B细胞合成、分泌。

所以正确答案为B3. 关于DNA的实验，叙述正确的是A. 用兔的成熟红细胞可提取DNAB. PCR的每个循环一般依次经过变性-延伸-复性三步C. DNA溶液与二苯胺试剂混合，沸水溶后生成蓝色产物D. 用甲基绿对人的口腔上皮细胞染色，细胞核呈绿色，细胞质呈红色【答案】C【解析】本题主要考察DNA的提取和鉴定、PCR技术的内容，难度中等，B、D为易错选项，错选的主要原因是多数学生审题不清。

A错误。

哺乳动物成熟红细胞没有细胞核及细胞器，无法提取DNAB错误，考察PCR反应的三个步骤，应为变性——复性——延伸C 正确D观察DNA与RNA分布的实验中，要用甲基绿与吡罗红同时染色4. 图1表示在一个10ml，封闭培养体系中酵母细胞数量的动态变化，关于酵母细胞数量的叙述，正确的是A. 种内竞争到时初始阶段增长缓慢B. 可用数学模型N t=N0λt 表示C. 可用取样器取样法计数D. K值约为120 000个【答案】D【解析】本题主要考察种群密度特征和调查方法的内容，难度中等，A初始阶段导致增产缓慢的原因不是种内斗争，是种群初始数量较少导致的B错误，这是J型曲线的数学模型。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -=B .221169x y-= C .221916x y -=D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-，点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m (22=，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析一、选择题 1.【答案】D【解析】由题意可得{1,4}{1,4}M N M N =--==∅I ，，. 【提示】求出两个集合，然后求解交集即可. 【考点】交集及其运算 2.【答案】B【解析】由题意可得i(32i)23i z =-=-，因此23i z =+. 【提示】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可. 【考点】复数的基本计算以及共轭复数的基本概念 3.【答案】D【解析】A 选项，()()f x f x -===，偶函数；B 选项，()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，奇函数； C 选项，11()22()22x x x x f x f x ---=+=+=，偶函数；D 选项，1()e ()()ex x f x x x f x f x --=-+=-+=≠≠-，因此选D ．【提示】直接利用函数的奇偶性判断选项即可. 【考点】函数的奇偶性的判定 4.【答案】B【解析】任取两球一共有215151415712C ⨯==⨯⨯种情况，其中一个红球一个白球一共有11105105C C =⨯g ，因此概率为1051015721⨯=⨯. 【提示】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式 5.【答案】A【解析】与直线210x y ++=平行的直线可以设为20x y m ++=，= ∴||5m =，解得5m =±，因此我们可以得到直线方程为：250x y ++=或250x y +-=.【提示】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程.【考点】解析几何中的平行，圆的切线方程 6.【答案】B【解析】依据题意，可行域如右图所示，初始函数为032l y x =- ：，当0l 逐渐向右上方平移的过程中，32z x y =+不断增大，因此我们可以得到当l 过点41,5E ⎛⎫⎪⎝⎭的时候，min 235z =.【提示】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到最小值.【考点】线性规划问题 7.【答案】C数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【解析】已知双曲线22221x y C a b-=：，54c e a ==，又由焦点为()25,0F，因此45435c a c b =⇒==⇒=，因此双曲线方程为221169x y -=.【提示】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程. 【考点】圆锥曲线的离心率求解问题 8.【答案】B【解析】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立； 4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n 大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若4n >，由于任三点不共线，当5n =时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立； 同理5n >，不成立. 故选：B ．【提示】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断. 【考点】棱锥的结构特征 二、填空题 9.【答案】6【解析】展开通式为144(1)m m m C ---，令2m =可得14124244(1)(1)4m m m C C x ----=-=，因此系数为6.【提示】根据题意二项式41)的展开的通式为144(1)m m m C ---，分析可得，2m =时，有x 的项，将2m =代入可得答案. 【考点】二项式定理的运用 10.【答案】10【解析】根据等差中项可得：345675525a a a a a a ++++==，55a =，因此285210a a a +==.【提示】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出5a 的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将5a 的值代入即可求出值. 【考点】等差中项的计算 11.【答案】1【解析】由1sin 2B =，得π6B =或者5π6B =，又因为π6C =，因此π6B =，2π3A =，根据正弦定理可得sin sin a bA B =1sin 1sin 2a b B A ===g g . 【提示】由1sin 2B =，可得π6B =或者5π6B =，结合a ，π6C =及正弦定理可求b .【考点】正弦定理，两角和与差的正弦函数 12.【答案】1560【解析】某高三毕业班有40人，每人给彼此写一条留言，因此每人的条数为39，故而一共有40391560⨯=条留言.【提示】通过题意，列出排列关系式，求解即可. 【考点】排列与组合的实际应用 13.【答案】13【解析】根据随机变量X服从二项分布(,)B n p ，根据()30()(1E X n p D X n p p===-=，，可得()21()3D X p E X -==，化简后可得13p =. 【提示】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可. 【考点】离散型随机变量的期望与方差 14.【答案】2【解析】考察基本的极坐标和直角坐标的化简以及点到直线距离问题.由数学试卷 第9页（共16页） 数学试卷 第10页（共16页）2sin 4πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭l 的直角坐标系方程为10x y --=，由7π4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得它的直角坐标为()2,2A -， 因此，点A 到直线l的距离为d ==. 【提示】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可. 【考点】简单曲线的极坐标方程 15.【答案】8 【解析】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，又因为AB 为直径， 因此可得90CAO B ∠+∠=︒，90ACO B ∠+∠=︒， ∵OP BC ∥∴90AC OP ACO COP ⊥∠+∠=︒，， 因此可得COP B ∠=∠，因此Rt Rt DOC ABC △∽△， 故而可得21OD OC AB BC ==，∴8OD =. 【提示】连接OC ，根据AOC △为等腰三角形可得CAO ACO ∠=∠，AB 为直径以及OP BC ∥得出Rt Rt DOC ABC △∽△即可求出OD 的值.【考点】相似三角形的判定 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）tan 1x =（Ⅱ）5π12x =【解析】∵m n ⊥u r r，π(sin ,cos )sin 22224m n x x x x x ⎛⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭u r r g g ， ∴||1||1m n ==u r r， ，因此：（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，可得πsin 04m n x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u r r g ，∴ππππ44x k x k -=⇒=+，又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π04k x ==，，因此可得πtan tan 14x ==.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，可得ππ1sin ||||cos 432m n x m n ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭u r r u r r g g， ∴ππ2π46x k -=+或π5π2π46x k -=+， 又∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππ,444x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ππ46x -=，解得5π12x =.【提示】（Ⅰ）若m n ⊥u r r ，则0m n =u r rg ，结合三角函数的关系式即可求tan x 的值.（Ⅱ）若m u r 和n r 的夹角为π3，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x 的值.【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 17.【答案】（Ⅰ）444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）40x =21009s =（Ⅲ）23人63.89%.【解析】（Ⅰ）根据系统抽样的方法，抽取9个样本，因此分成9组，每组4人.又因为第一组中随机抽样可抽到44，因此按照现有的排序分组.故而每组中抽取的都是第二个数，因此我们可得样本数据为第2个，第6个，第10个，第14个，第18个，第22个，第26个，第30个，第34个， 分别为：444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， （Ⅱ）由平均值公式得444036433637444337409x ++++++++==，由方差公式得数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）22222212291100()()()(994440)(4040)(3740)s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-=⎣⎦-+-=+-+.（Ⅲ）103s ===，因此可得21364333x s x s -=+=，，因此在x s -和x s +之间的数据可以是444036433637444337， ， ， ， ， ， ， ， ，因此数据一共有23人，占比为23100%63.89%36⨯≈.【提示】（Ⅰ）利用系统抽样的定义进行求解即可.（Ⅱ）根据均值和方差公式即可计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s . （Ⅲ）求出样本和方差即可得到结论. 【考点】极差，方差与标准差，分层抽样方法 18.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：由PD PC =可得三角形PDC 是等腰三角形， 又因为点E 是CD 边的中点，因此可得PE CD ⊥，又因为三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，而且相交于CD ，因此PE ⊥平面ABCD ，又因为FG 在平面ABCD 内，因此可得PE FG ⊥，问题得证.（Ⅱ）因为四边形ABCD 是矩形，因此可得AD CD ⊥， 又因为PE ⊥平面ABCD ，故而PE AD ⊥， 又PECD E =，因此可得AD ⊥平面PDC ，因此,AD PD AD CD ⊥⊥，所以P AD C PDE ∠--=∠.在等腰三角形PDC 中，46PD CD AB ===，，132DE CD==.因此可得PE ==tan 3PE PDE DE ∠==. （Ⅲ）如图所示，连接AC AE ，.∵22AF FB CG GB ==，， ∴BF BGAB BC=，BFG BAC △∽△，GF AC ∥， 因此，直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线AC 所成角PAC ∠， 在矩形ABCD 中，点E 为CD中点，因此AE ==，而且AC =.又PE ⊥面ABCD ，三角形PAE 为直角三角形，故5PA ==，因此在PAC △中，54PA PC AC ===，，，因此可得222cos 2PA AC PC PAC PA AC +-∠==g .【提示】（Ⅰ）通过等腰三角形PDC 可得PE CD ⊥，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论.（Ⅱ）通过（Ⅰ）及面面垂直定理可得PE AD ⊥，则PDE ∠为二面角P AD C ∠--的平面角，利用勾股定理即得结论.（Ⅲ）连结连接AC AE ，，利用勾股定理及已知条件可得GF AC ∥，在PAC △中，利用余弦定理即得直线PA 与直线FG 所成角即为直线PA 与直线FG 所成角PAC ∠的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质 19.【答案】（Ⅰ）单调增区间为R （Ⅱ）见解析 （Ⅲ）见解析【解析】()()()()2222e 1e 12e 1e x x x xf x x x x x x '=++=++=+Qg ，因此：（Ⅰ）求导后可得函数的导函数()()21e 0x f x x '=+≥恒成立，因此函数在(,)-∞+∞上是增函数.数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）故而单调增区间为R .（Ⅱ）证明：令2()(1)e 0x f x x a =+-=可得2(1)e xx a +=，设212(1)e x y x y a =+=，，对函数21(1)e xy x =+， 求导后可得21(1)e 0x y x '=+≥恒成立，因此函数21(1)e xy x =+单调递增，因此可以得到函数图像. 函数2()(1)e x f x x a =+-有零点，即方程2(1)e xx a +=有解， 亦即函数212(1)e xy x y a =+=，，图像有交点.当0x =时，11y =，因此根据函数的图像可得：212(1)e xy x y a =+=，有且只有一个交点，即2()(1)e xf x x a =+-有且只有一个零点.（Ⅲ）证明：设点P 的坐标为00(,)x y ，故而在点P 处切线的斜率为：0200()(1)e 0xf x x '=+=，01x =-，因此21,1e P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.在点M 处切线的斜率为：22()(1)e em OP f m m k a '=+==-， 因为1a >，因此20ea ->.欲证1m ≤-，即证322(1)(1)e e m m a m +≤-=+，1e m m +≤，设()e 1x g x x =--，求导后可得()e 1xg x '=-，0x =，令()e 10xg x '=-=，因此函数在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.因此可得()(0)0g x g ≥=，所以()e 10xg x x =--≥，e 1x x ≥+，e 1m m ≥+问题得证.【提示】（Ⅰ）利用()0f x '≥，求出函数单调增区间.（Ⅱ）证明只有1个零点，需要说明两个方面：函数单调以及函数有零点. （Ⅲ）利用导数的最值求解方法证明.【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线上某点切线方程 20.【答案】（Ⅰ）1(3,0)C（Ⅱ）2230x y x +-=，其中5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦（Ⅲ）存在34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：22(3)4x y -+=，因此：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为1(3,0)C . （Ⅱ）数形结合法：①当动线l 的斜率不存在是，直线与圆不相交. ②设动线l 的斜率为m ，因此l y mx =：， 联立22650y mxx y x =⎧⎨+-+=⎩，则22(1)650m x x +-+=根据有两个交点可得：()22224362010056151A B A B m m x x m x x m ⎧∆=-+>⇒≤<⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎩，故而点M 的坐标为2233,11m m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，令223131x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因此由此可得2230x y x +-=，其中235,313x m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦. （Ⅲ）证明：联立2230(4)x y x y k x ⎧+-=⎨=-⎩，所以，2222(1)(83)160k x k x k +-++=因此，当直线L 与曲线相切时，可得29160k ∆=-=，解得34k =±. 设2230x y x +-=，5,33x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的两个端点是C D 、，设直线L 恒过点(4,0)E数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）因此可得53C ⎛ ⎝⎭，5,3D ⎛ ⎝⎭，故而可得77CE DE k k ==-， 由图像可得当直线L 与曲线有且只有一个交点的时候，34k ⎛⎧⎫∈± ⎨⎬ ⎩⎭⎝⎭.【提示】（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论（Ⅱ）设当直线l 的方程为y mx =，通过联立直线l 与圆1C 的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论. （Ⅲ）通过联立直线L 与圆1C 的方程，利用根的判别式0∆=及轨迹C 的端点与点(4,0)E 决定的直线斜率，即得结论.【考点】轨迹方程，直线与圆的位置关系 21.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）1122n n T -=- （Ⅲ）见解析【解析】由给出的递推公式可得： ①当1n =时，1431a =-=②当2n ≥时，121122(1)42n n n n a a n a na --+++⋅⋅⋅+-+=-， 121212(1)42n n n a a n a --+++⋅⋅⋅+-=-， 所以12n n n na -=，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中1n =也成立，因此可得11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N（Ⅰ）因此231124a ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（Ⅱ）∵11()2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭*N ，所以数列{}n a 的公比12q =，利用等比数列的求和公式可得： 111121*********n nn n T -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-. （Ⅲ）因为()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 123111123n n n a a a a b a n n +++⋅⋅⋅+⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，因此，欲证22ln n S n <+，即证1111112122ln ln 2323n n n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+⇐++⋅⋅⋅+< ⎪⎝⎭，将ln n 化简为132l n l n l n l n l n1221n n n n n -=++⋅⋅⋅++--，即证1111l n l n l n 11n n n n n n n-⎛⎫>⇐-=--> ⎪-⎝⎭， 令()ln 1g x x x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=，因此函数在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，因此()(1)0g x g ≤=， 又因为111n-<，因此11111()0l l n1g g x nnn n⎛⎫⎛⎫⎛-<=⇒⇒-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 问题得证.【提示】（Ⅰ）利用数列的递推关系即可求3a 的值.（Ⅱ）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T .（Ⅲ）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式.【考点】数列与不等式的综合，数列的求和。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一.选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =IA ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y += 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所 取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 A ．1 B.2111 C. 2110 D. 215 5．平行于直线012=++y x 且与圆522=+y x 相切的直线的方程是A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x C. 052=+-y x 或052=--y x D. 052=++y x 或052=-+y x6．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为A ．531 B. 6 C. 523 D. 4 7．已知双曲线C ：12222=-b y a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C 的方程为A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3第Ⅱ卷(共110分)二.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(9～13题)9．在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为10．在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 11．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a =1sin 2B =，6C =π，则b = 12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ．(二)选做题(14～15题，考生从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 15.（几何证明选讲选作题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ， 1BC =，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =图1E三.解答题：本大题共6小题，满分80分.16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，已知向量m =⎝⎭u r ，()sin ,cos n x x =r ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

2015年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M ∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅2．（5分）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x4．（5分）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=06．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．7．（5分）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）在（﹣1）4的展开式中，x 的系数为．10．（5分）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．12．（5分）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．14．（5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsi n（θ﹣）=，点A的极坐标为A （2，），则点A到直线l的距离为．15．如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD=．三、解答题16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．17．（12分）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4 5 6 7 8 9404440413340454243101112131415161718363138394345393836192021222324252627274341373442374442282930313233343536343943384253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？18．（14分）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m ≤﹣1．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•广东）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=（）A．{1，4}B．{﹣1，﹣4}C．{0}D．∅【分析】求出两个集合，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|（x+4）（x+1）=0}={﹣1，﹣4}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}={1，4}，则M∩N=∅．故选：D．2．（5分）（2015•广东）若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则=（）A．2﹣3i B．2+3i C．3+2i D．3﹣2i【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z=i（3﹣2i）=2+3i，则=2﹣3i，故选：A．3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=B．y=x+C．y=2x+ D．y=x+e x【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可．【解答】解：对于A，y=是偶函数，所以A不正确；对于B，y=x+函数是奇函数，所以B不正确；对于C，y=2x+是偶函数，所以C不正确；对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以D正确．故选：D．4．（5分）（2015•广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件包含的基本事件个数，容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法，而在求“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”事件的基本事件个数时，可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．5．（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选：A．6．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）A．4 B．C．6 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，），此时z=3×1+2×=，故选：B．7．（5分）（2015•广东）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．8．（5分）（2015•广东）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5【分析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．【解答】解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•广东）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为6．【分析】根据题意二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）+1r•，分析可得，r=2时，有x的项，将r=2代入可得答案．=•（﹣1）r•，【解答】解：二项式（﹣1）4的展开式的通项公式为T r+1令2﹣=1，求得r=2，∴二项式（﹣1）4的展开式中x的系数为=6，故答案为：6．10．（5分）（2015•广东）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=10．【分析】根据等差数列的性质，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=25，得到a5=5，则a2+a8=2a5=10．故答案为：10．11．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b 【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：112．（5分）（2015•广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560条毕业留言．（用数字作答）【分析】通过题意，列出排列关系式，求解即可．【解答】解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560条．故答案为：1560．13．（5分）（2015•广东）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=．【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．14．（5分）（2015•广东）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A 的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．点A到直线l的距离为：=．故答案为：．15．（2015•广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8．【分析】连接OC，确定OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥CD，∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵OP∥BC，∴OP⊥AC，OP=BC=，Rt△OCD中，由射影定理可得OC2=OP•OD，∴4=OD，∴OD=8．故答案为：8．三、解答题16．（12分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【分析】（1）若⊥，则•=0，结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为，利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵||=，||==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx ﹣cosx，∴若与的夹角为，则•=||•||cos =，即sinx ﹣cosx=，则sin（x ﹣）=，∵x∈（0，）．∴x ﹣∈（﹣，）．则x ﹣=即x=+=．17．（12分）（2015•广东）某工厂36名工人年龄数据如图：工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄1 2 3 4404440411011121336313839192021222743413728293031343943385 6 7 8 93340454243141516171843453938362324252627344237444232333435364253374939（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s 和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？【分析】（1）利用系统抽样的定义进行求解即可；（2）根据均值和方差公式即可计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）求出样本和方差即可得到结论．【解答】解：（1）由系统抽样知，36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以其编号为2，∴所有样本数据的编号为：4n﹣2，（n=1，2，…，9），其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37．（2）由平均值公式得=（44+40+36+43+36+37+44+43+37）=40．由方差公式得s2=[（44﹣40）2+（40﹣40）2+…+（37﹣40）2]=．（3）∵s2=．∴s=∈（3，4），∴36名工人中年龄在﹣s 和+s之间的人数等于区间[37，43]的人数，即40，40，41，…，39，共23人．∴36名工人中年龄在﹣s 和+s 之间所占百分比为≈63.89%．18．（14分）（2015•广东）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．【分析】（1）通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD，利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论；（2）通过（1）及面面垂直定理可得PG⊥AD，则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，利用勾股定理即得结论；（3）连结AC，利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC，在△PAC中，利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC的余弦值．【解答】（1）证明：在△PDC中PO=PC且E为CD中点，∴PE⊥CD，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PCD，∴PE⊥平面ABCD，又∵FG⊂平面ABCD，∴PE⊥FG；（2）解：由（1）知PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AD，又∵CD⊥AD且PE∩CD=E，∴AD⊥平面PDC，又∵PD⊂平面PDC，∴AD⊥PD，又∵AD⊥CD，∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角，在Rt△PDE中，由勾股定理可得：PE===，∴tan∠PDC==；（3）解：连结AC，则AC==3，在Rt△ADP中，AP===5，∵AF=2FB，CG=2GB，∴FG∥AC，∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC，在△PAC中，由余弦定理得cos∠PAC===．19．（14分）（2015•广东）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【分析】（1）利用f′（x）＞0，求出函数单调增区间．（2）证明只有1个零点，需要说明两个方面：①函数单调；②函数有零点．（3）利用导数的最值求解方法证明，思路较为复杂．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）＞0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．（14分）（2015•广东）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n 项和S n满足S n＜2+2lnn．【分析】（1）利用数列的递推关系即可求a3的值；（2）利用作差法求出数列{a n}的通项公式，利用等比数列的前n项和公式即可求数列{a n}的前n项和T n；（3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）∵a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．∴a1=4﹣3=1，1+2a2=4﹣=2，解得a2=，∵a1+2a2+…+na n=4﹣，n∈N+．∴a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1=4﹣，n∈N+．两式相减得na n=4﹣﹣（4﹣）=，n≥2，则a n=，n≥2，当n=1时，a1=1也满足，∴a n=，n≥1，则a3=；（2）∵a n=，n≥1，∴数列{a n}是公比q=，则数列{a n}的前n项和T n==2﹣21﹣n．（3）b n=+（1+++…+）a n，∴b1=a1，b2=+（1+）a2，b3=（1++）a3，∴b n=+（1+++…+）a n，∴S n=b1+b2+…+b n=（1+++…+）a1+（1+++…+）a2+…+（1+++…+）a n=（1+++…+）（a1+a2+…+a n）=（1+++…+）T n=（1+++…+）（2﹣21﹣n）＜2×（1+++…+），设f（x）=lnx+﹣1，x＞1，则f′（x）=﹣．即f（x）在（1，+∞）上为增函数，∵f（1）=0，即f（x）＞0，∵k≥2，且k∈N•时，，∴f（）=ln+﹣1＞0，即ln＞，∴ln，，…，即=lnn，∴2×（1+++…+）=2+2×（++…+）＜2+2lnn，即S n＜2（1+lnn）=2+2lnn．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）.A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅ 2．若复数()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（ ）.A ．23i -B ．23i +C ．32i +D ．32i - 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）.A．y =．1y x x =+ C ．122xx y =+ D ．e x y x =+ 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）.A ．521 B ．1021 C ．1121D ．1 5．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ）. A ．250x y ++=或250x y +-= B．20x y +=或20x y += C ．250x y -+=或250x y --= D．20x y -=或20x y -=6．若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟，则32z x y =+的最小值为（ ）.A ．4B ．235C ．6D ．3157．已知双曲线:C 22221x y a b-=的离心率54e =，且其右焦点为()25,0F ，则双曲线C 的方程为（ ）.A ．22143x y -= B ．221916x y -= C ．221169x y -= D ．22134x y -= 8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）. A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在)41的展开式中，x 的系数为 ．10．在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 11．设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c．若a =1sin 2B =，6C π=，则b = ．12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）13．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则p = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l的极坐标方程为2sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A 的极坐标为74A π⎛⎫⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =．过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = ．三、解答题:本大题共6小题，满分30分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=⎝⎭m ， ()sin ,cos x x =n ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）若⊥m n ，求tan x 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值.P AOBCD E17. （本小题满分12分）某工厂36名工人年龄数据如下表:据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2s ；（3）36名工人中年龄在x s -和x s +之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图所示，PDC △所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =，点E 是CD 的中点，点F G ，分别在线段AB ，BC 上，且2,2AF FB CG GB ==.(1) 求证：PE FG ⊥；(2) 求二面角P AD C --的正切值； (3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.D PFBG CE19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)e x f x x a =+-. (1) 求()f x 的单调区间；(2) 求证：()f x 在(),-∞+∞上仅有一个零点；(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(),M m n 处的切线与直线OP 平行 （O是坐标原点），求证：1m ….20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ,使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：*12122+4,2n n n a a na n -+++⋅⋅⋅=-∈N . （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭…，求证：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差2222121()()()n s x x x x x x n⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N = ( )A .∅B .{1,4}--C .{0}D .{1,4} 2.若复数i(32i)z =-（i 是虚数单位），则z =( )A .32i -B .32i +C .2+3iD .23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A .x y x e =+B .1y x x=+C .122x xy =+D.y 4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A .1B .1121C .1021 D .5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是( )A.20x y -=或20x y -= B.20x y +或20x y += C .250x y -+=或250x y --=D .250x y ++=或250x y +-=6.若变量x ，y 满足约束条件458,13,02,x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤≤≤则32z x y =+的最小值为( )A .315B .6C .235D .47.已知双曲线C ：22221x y a b -=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为( )A .22143x y -= B .221169x y -= C .221916x y -= D .22134x y -= 8.若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( )A .大于5B .等于5C .至多等于4D .至多等于3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.在41)的展开式中，x 的系数为 .10.在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 11.设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a =，1sin 2B =，π6C =，则b = .12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）.13.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p .若()30E X =，()20D X =，则p = . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程）已知直线l的极坐标方程为π2sin()4ρθ-点A的极坐标为7π)4A ，则点A 到直线l 的距离为 .姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）15.（几何证明选讲）如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =，n (sin ,cos )x x =，π(0,)2x ∈. （Ⅰ）若m ⊥n ，求tan x 的值； （Ⅱ）若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值x 和方差2s ；（Ⅲ）36名工人中年龄在x s -与x s +之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且2AF FB =，2CG GB =.（Ⅰ）证明：PE FG ⊥；（Ⅱ）求二面角P AD C --的正切值； （Ⅲ）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.19.（本小题满分14分）设1a >，函数2()(1)x f x x e a =+-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：()f x 在(,)-∞+∞上仅有一个零点；（Ⅲ）若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点），证明：1m .20.（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B . （Ⅰ）求圆1C 的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （Ⅲ）是否存在实数k ，使得直线L ：(4)y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分14分）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋅⋅⋅+=-，*n ∈Ν. （Ⅰ）求3a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n T ； （Ⅲ）令11b a =，1111(1)(2)23n n n T b a n n n-=++++⋅⋅⋅+≥，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足22ln n S n <+.2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理科)答案解析【解析】依据题意，可行域如右图所示，数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）数学试卷第7页（共16页）数学试卷第8页（共16页）【解析】连接OC，数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）数学试卷 第11页（共16页） 数学试卷 第12页（共16页）(3740)+-+PECD E =，因此可得,AD PD AD ⊥在等腰三角形PDC数学试卷 第13页（共16页） 数学试卷 第14页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭【解析】依题意得化成标准方程后的圆为：（Ⅰ）根据标准方程，圆心坐标为25A B x m =+23,1m m ⎫⎪+⎭，数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）34⎫⎧⎫±⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎭.（Ⅰ）通过将圆1C 的一般式方程化为标准方程即得结论的方程为y。

第1页共 1 页2015年高考理科数学真题及答案（广东卷）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合410x x x ,410x x x ,则N M ( ).A. B. }4,1{ C. }0{ D. }4,1{答案: A提示: {1,4},{1,4},.M N M N 2. 若复数))(23(是虚数单位i i i z ,则z ( ).A. i 23B. i 23C. i 32D. i32答案: D提示: 23,23z i z i .3. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ).A. x e x yB. x x y 1C. x x y 212D. 21xy 答案: A提示: 设(),,(),x x f x x e R f x x e 该函数的定义域为(),()(),(),().,,,,.x f x x e f x f x f x f x B C D 而-不恒等于也不恒等于-故既不是奇函数也不是偶函数三个选项中的函数依次为奇函数偶函数偶函数4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰好有 1 个白球,1个红球的概率为( ).A. 1B. 2111C. 2110D. 215答案: C提示: 所求概率为1110521550210.151421C C C 5. 平行于直线012y x 且与圆522y x 相切的直线的方程是( ).A. 052052y x y x 或B. 052052y x y x 或C. 052052y x y x 或 D. 052052y x y x 或答案: D提示: 设所求直线的方程为2||20,5,||5, 5.21a x y a a a 依题意即6. 若变量y x,满足约束条件2031854y x y x ,则y x z 23的最小值为( ).A. 531B. 6C. 523D. 4。

绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、 座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置 上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏 涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 表示样本均值.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则MN =A ．∅B ．{}1,4--C ．{}0D ．{}1,4 2．若复数z=i ( 3 – 2 i ) ( i 是虚数单位 )，则z =A ．3-2iB ．3+2iC ．2+3iD ．2-3i 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

2015年全国普通高等学校招生统一考试（广东卷)理科数学一、选择题1.若集合()(){}()(){}|410,|410M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂= A.∅ B.{}1,4-- C.{}0 D.{}1,42.若复数()32z i i =-（i 是虚数单位），则z =A.32i -B.32i +C.23i +D.23i - 3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.x y x e =+B.1y x x =+C.122x x y =+D.y =4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有一个1白球，1个红球的概率为A.1B.1121C.1021D.5215.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A.20x y -+=或20x y -=B. 20x y ++=或20x y += C.250x y -+=或250x y --= D. 250x y ++=或250x y +-=6.若变量,x y 满足约束条件45813,02x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则32z x y =+的最小值为A.315 B.6 C.235D.4 7、已知双曲线C ：2222-1(00)x y a b a b =>>，的离心率为5e 4=，且其右焦点为F 2（5，0），则双曲线的方程为A 、22-143x y =B 、22-1169x y =C 、22-1916x y =D 、22-134x y = 8、若空间中n 个不同的点，两两距离都相等，则正整数n 的取值A 、大于5B 、等于5C 、至多等于4D 、至多等于3 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（9~13题）9、在41)的展开式中，x 的系数为 ．10、在等差数列{n a }中，若34567a a a a a ++++＝25，则28a a +＝＿＿＿11、设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1,26a B C π===，则b ＝＿＿＿12、某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了＿＿＿＿条毕业留言（用数字作答）13、已知随机变量X 服从二项分布B （n ，p ），若E （X ）＝30，D （X ）＝20，则p ＝＿＿＿ （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的极坐标方程为2sin()4πρθ-=A 的极坐标为A （74π），则点A 到直线l 的距离为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，已知AB 是圆O 的直径，4,=AB EC 是圆O 的切线，切点为C ，1=BC ，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =_______.三、解答题)2,0(),cos ,(sin 22-22x oy 1216π∈==x x x n m ），，（中，已知向量分）在平面直角坐标系、（（1）若m ⊥n ，求tanx 的值；（2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值；17、（本小题满分12分） 某工厂36名工人的年龄数据如下表：（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据； （2）计算（1）中样本的均值x 的方差s 2；（3）36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少？（精确到0.01%）18、(本小题满分14分)如图2，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．点E 是CD 边的中点，点F<G 分别在线段AB ，BC 上，且AF=2F ，CG=2GB 。