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2010—2011学年度第一学期 中学期中考试高三年级化学试卷（2010.11）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O16 Na 23 Mg 24 Al 27Si28 S 32 Cl 35.5 Ca 40 Cu 64 Ag 108第Ⅰ卷 （选择题，共42分）单项选择题：本题包括7小题，每小题2分，共计14分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意。
1、在丹麦首都哥本哈根召开的联合国气候变化大会，焦点议题之一是发展“低碳经济”，减少温室气体排放。
你认为下列做法中．不能有效减少空气中CO 2含量的是 A ．开发利用太阳能、风能、生物能、海洋能等清洁能源 B ．使用节能产品，推广节能环保汽车 C ．植树造林，增加森林植被面积 D ．用脱硫处理的煤代替原煤作燃料2、氯化钠是一种重要的生活、生产必需品。
下列表述中正确的是A ．NaCl 的电子式为注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共8页，包含选择题（第1题～第14题，共14题）、非选择题（第15题～第21题，共7题。
）两部分。
本卷满分为120分，考试时间为100分钟。
考试结束后，考生只要将答题纸交回。
2.答题前，请您务必将自己的班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写B．NaCl的水溶液是强电解质C．23Na37Cl中质子数和中子数之比是8:7D．电解熔融氯化钠可得到氯气和金属钠3、下列实验装置、试剂选用或操作正确的是A．除去NO中的NO2B．铁制品表面镀锌C．稀释浓硫酸D．制备少量O24、下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是①无色溶液中：K+、Na+、MnO4－、SO42－②pH=11的溶液中：CO32－、Na+、AlO2－、NO3－③加入Al能放出H2的溶液中：Cl－、HCO3－、SO42－、NH4+④由水电离出的c(OH－)=10－13mol·L－1的溶液中：Na+、Ba2+、Cl－、Br－⑤有较多Fe3+的溶液中：Na+、NH4+、SCN－、HCO3－⑥酸性溶液中：Fe2+、Al3+、NO3－、I－、Cl－A．①②B．③⑥C．②④D．⑤⑥5、用N A表示阿伏加德罗常数的值。
2010—2011学年度第一学期 中学高三年级 数学试题(2010.11理科）考生注意：1．本试卷共2页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题)两部分.本试卷满分160分，考试时间120分钟.2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0。
5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。
3．作答各题时,必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答,并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上。
1、若集合{|228}xA x =≤≤，集合2{|log 1}B x x =>，则集合A B =___▲___．2、tan 2010︒的值为___▲___．3、存在实数x ，使得0342<+-b bx x成立，则b 的取值范围是___▲___．4、已知向量(1,)a n =,(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则||a =___▲___．5、△ABC 中,三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知60B =︒，不等式2680xx -+->的解集为{|}x a x c <<,则b =___▲___．6、已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心 完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是___▲___ ．7、若函数()4ln f x x =，点(,)P x y 在曲线'()y f x =上运动,作PM x ⊥轴，垂足为M ，则△POM (O 为坐标原点)的周长的最小值为___▲___ ． 8、已知32()'(1)3'(1)f x xx f xf =++-，则'(1)'(1)f f +-的值为___▲___．9、△ABC 中， a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c成等差数列,30B ∠=︒，△ABC 的面积为23，那么b =___▲___．10、如果函数)(x f 在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的n x x x ,,,21 ，有)()()()(2121nx x x f n x f xf x f nn +++≤+++ 成立。
（第9题图）2010-2011第一学期江苏省常州2011届高三模拟数学试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4}，M ={1, 2}，N ={2, 3}，则)(N M C U ⋃＝____▲____. 2．复数21i(1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a ，b 满足：3||1,2=⋅=a a b ，+=a b ||=b ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是m = ▲ ．5．函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ ．6．在数列{a n }中，若对于n ∈N *，总有1nk k a =∑＝2n－1，则21nk k a =∑= ▲ ．7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x ，y ，则x y为整数的概率是 ▲ ．8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．10．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥；③若,//m m n αβ= ，则//n α且//n β；④若,m n m αβ⊥= ，则n α⊥或n β⊥.其中假命题的序号是 ▲ ．11．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P 为该椭圆上的动点，C 、D 的坐标分别是（第8题）数/分BE())0,0，则PC ·PD 的最大值为 ▲ ．13．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为a i （i =1，2，3，4），P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若31241234a a a a k ====, 则412()i i S ih k ==∑.类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i （i =1，2，3，4），Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若31241234S S S S k ====,则 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2m y =+和圆222x y n +=相切，其中m ，*0||1n m n ∈<-≤N ，，若函数1()x f x m n +=- 的零点0(,1),x k k k ∈+∈Z ，则k = ▲ ．【填空题答案】1．{4}； 2．12-; 3．2； 4．23-； 5．π；6．()1413n -； 7．1； 8．90； 9．10； 10．①③④ ； 11．(21)-，； 12．4； 13．413()i i V iH k ==∑； 14．0． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且b 2=ac ，向量()cos()1A C =-，m 和(1cos )B =，n 满足32⋅=m n .（1）求sin sin A C 的值；（2）求证：三角形ABC 为等边三角形． 【解】（1）由32⋅=m n 得，3cos()cos 2A CB -+=， ……………………2分 又B =π-(A +C )，得cos(A -C )-cos(A +C )=32， ……………………4分 即cos A cos C +sin A sin C -(cos A cos C -sin A sin C )=32，所以sin A sin C =34． …………6分 【证明】（2）由b 2=ac 及正弦定理得2sin sin sin B A C =，故23sin 4B =.……………8分 于是231cos 144B =-=，所以 1cos 2B =或12-. 因为cos B =32-cos(A -C )>0， 所以 1cos 2B =，故π3B =． ………………… 11分由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222b a c a c =+-，又b 2=ac ，所以22ac a c ac =+-，得a =c .因为π3B =，所以三角形ABC 为等边三角形. ………………… 14分 16．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD ，DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．OB C AP (18题图） （1） 求证：AF ∥平面BCE ；（2） 求证：平面BCE ⊥平面CDE ． 【证明】（1）因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE .取CE 的中点G ，连结BG 、GF ，因为F 为CD 的中点，所以GF ∥ED ∥BA ， GF ＝12ED ＝BA ，从而ABGF 是平行四边形，于是AF ∥BG . ……………………4分 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，所以AF ∥平面BCE ． ……………………7分 （2）因为AB ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，所以AB ⊥AF ，即ABGF 是矩形，所以AF ⊥GF . ……………………9分 又AC =AD ，所以AF ⊥CD . ………………… 11分而CD ∩GF ＝F ，所以AF ⊥平面GCD ，即AF ⊥平面CDE . 因为AF ∥BG ，所以BG ⊥平面CDE .因为BG ⊂平面BCE ，所以平面BCE ⊥平面CDE ． ………………… 14分 17．（本小题满分15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5133349a a S +==，．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式； （2）设数列{}n b 的通项公式为nn n a b a t=+，问: 是否存在正整数t ，使得12m b b b ，， (3)m m ≥∈N ，成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由.【解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d . 由已知得51323439a a a +=⎧⎨=⎩，， ……………………2分即118173a d a d +=⎧⎨+=⎩，，解得112.a d =⎧⎨=⎩，……………………4分.故221n n a n S n =-=，. ………6分（2）由（1）知2121n n b n t-=-+.要使12m b b b ，，成等差数列，必须212m b b b =+，即312123121m t t m t -⨯=+++-+，……8分.整理得431m t =+-， …………… 11分 因为m ，t 为正整数，所以t 只能取2，3，5.当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =.故存在正整数t ，使得12m b b b ，，成等差数列. ………………… 15分18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y . （1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【解】（1）在Rt AOB ∆中，6AB =，所以OB =OA =.所以π4ABC ∠=由题意知π04α≤≤. ……………………2分所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为2sin 22)cos y PB PA ααα-=+=+=. ……………………6分故所求函数关系式为()2sin π0cos 4y ααα-=≤≤. ……………………7分（2）由（1）得22sin 1cos y αα-'=，令0y '=即1sin 2α=， 又π04α≤≤，从而π6α=. ……………………9分.当π06α≤<时，0y '<；当ππ64α<≤时, 0y '>.所以当π6α=时，2sin 4cos y αα-=+取得最小值， ………………… 13分此时π6OP =km ），即点P 在OA 上距O km 处.【答】变电站建于距O 处时，它到三个小区的距离之和最小. ………… 15分19．（本小题满分16分）已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m -+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．【解】（1）由离心率e ==，即223a b =. ① ………………2分又点(13)B --，在椭圆2222:1y x C a b =+上，即2222(3)(1)1a b--=+. ② ………………4分解 ①②得22124a b ==，，故所求椭圆方程为221124y x +=. …………………6分由(20)(13)A B --，，，得直线l 的方程为2y x =-. ………8分 （2）曲线2222440x mx y y m -+++-=，即圆22()(2)8x m y -++=，其圆心坐标为(2)G m -，，半径r =，表示圆心在直线2y =-上，半径为. ………………… 10分 由于要求实数m 的最小值，由图可知，只须考虑0m <的情形.设G 与直线l 相切于点T=4m =±，………………… 12分当4m =-时，过点(42)G --，与直线l 垂直的直线l '的方程为60x y ++=，解方程组6020x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得(24)T --，. ………………… 14分因为区域D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为12-，，所以切点T D ∉，由图可知当G 过点B 时，m 取得最小值，即22(1)(32)8m --+-+=，解得min 1m =. ………………… 16分 （说明：若不说理由，直接由圆过点B 时，求得m 的最小值，扣4分）20．（本小题满分16分）已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令()19()ln (,0)28f xg x m x m x =+++∈>R ．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<【解】 （1）设()2g x ax bx c =++，于是()()()()2211212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以11.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 又()11g =-，则12b =-．所以()211122g x x x =--. ……………………4分（2）()2191()ln ln (0).282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ， 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；当m =0时，2()02x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； ……………………6分当m <0时，由()0mf x x x x'=+=⇒[]min ()2mf x f m ==-+这时，[]min0()0e<0.20mm f x m m ⎧-+⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩， ……………………8分 所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，.故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞ ，．……………… 10分 （3）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()()0x x m H x x--'=≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减.于是21211|()()|(1)()ln .22H x H x H H m m m m -≤-=--2121113|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m -<⇐--<⇔--< ………………… 12分记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤，则()221133111()022332h'm m m m =-+=-+>，所以函数13()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， ………………… 14分所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2eh m h -+≤=--=<，故命题成立. ………………… 16分。
武进区2014届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =I ▲ ．2．若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则6tanπa 的值为 ▲ ． 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为 ▲ ．4．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线， 则实数k = ▲ ． 5、将函数)63cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 ▲ ．6．已知ABC ∆中，AB =1BC =，30A =︒，则AC = ▲ ． 7．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则x y +的最大值是 ▲ ．8．已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则与的夹角是 ▲ ．9. 定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'fx 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．10．若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为 ▲ ．11．定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时，2013.11()()2log 3f x x =-+，则()2013f = ▲ ．12．已知正项等比数列{}n a 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ，n a12a =，则14m n+的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()2,0A ，()0,1B ，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的平面区域的面积是 ▲ ．14．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++=L ，则1a = ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且MBC ∆的面积为π．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵若()(0,)42f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．⑴ 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；⑵若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．17.（本小题满分14分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.上的最小值；⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．AB M N某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量P 万件满足123+-=x P (其中0x a ≤≤，a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本()102P +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204P ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件. ⑴ 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； ⑵ 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.19．（本题满分16分）各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈． ⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*nn nb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．20．(本小题满分16分)已知函数()3xf x e a =+（ 2.71828e =…是自然对数的底数）的最小值为3． ⑴ 求实数a 的值；⑵ 已知b R ∈且0x <，试解关于x 的不等式()22ln ln3(21)3f x x b x b -<+--；⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3f x t ex +≤，试求m 的最大值．2014届第一学期期中考试高三理科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、{}0,12、33、204、1-5、1)43cos(2)(-+=πx x g6、1或27、48、3π9、(),2-∞ 10、 5 11、12 12、9413、4 14、2e二、解答题：（本大题共6道题，计90分．） 15．（本题满分14分）解：（1）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π==．……………………………………3分由(0)2sin f ϕ==，得sin ϕ=， ∵02ϕπ<<，∴4ϕπ=，……………………………………6分 ∴()2sin()4f x x π=+．……………………………………7分 （2）由()2sin 4f ααπ-==sin α=9分∵(0,)2απ∈，∴cos α==，.∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===…………………………12分∴cos(2)cos 2cos sin 244αααππ+=-3455=-=．………14分 16．（本题满分14分）解：（1）Q a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………2分2013.11又Q 23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-，………………4分∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c = (6)分又Q 4c >，∴7c =. ………………………………………7分 （2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sin sin 33ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭. (9)分∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin 2⎛⎫=θ+θ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭11分 又Q 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<， …………………………………12分∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2．……………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分 此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.3f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分 （2）).32(3)(a x x x f --='Θ ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分 综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）由题意知，该产品售价为)210(2PP+⨯万元，……………2分x P P PPy ---⨯+⨯=210)210(2，……………………………………4分代入化简得 416()1y x x =-++，（0x a ≤≤）……………………………………6分 （2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. …………………………………9分当1a ≥时， 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； (11)分当1a <时，()()()'21301x x y x --⋅+=>+，故)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增，所以在x =a 时，函数有最大值.促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .……………………15分综上述，当1a ≥时， 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； 当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q =2， ∴12-=n n a ……………………………………2分 ∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n ≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+12b =Q ，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分 由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分 （2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =＝1312n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分 下面证明当n ≥5时，1n c <． 事实上，当n ≥5时，11323122n n nn n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分 故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即2g 2q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p．…………………………13分 因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ………………3分 （2）由（1）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 7分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <．……… 9分（3）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x tf x t x eex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-.∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 11分令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011)('≤-=xx h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 13分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 14分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e=-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e=-=⋅<=-且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 16分。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·白山期末) 设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2}B . {1，2，7}C . {1，2，4}D . {1，2，3}2. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A . 2xdxB . （2x﹣1）dxC . （2x+1）dxD . （1﹣2x）dx3. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知两异面直线的方向向量分别为，，且，，则两直线的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）从1，2，3，4，5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·邵东期末) 已知向量=(-1,2),=(3,m),,,则“m=-6”是“(+)”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知，则在下列区间中，有实数解的是（）．A . （－3，－2）B . （－1，0）C . （2，3）D . （4，5）7. （2分）在某次数学测验中，学号i（i=1，2，3，4）的四位同学的考试成绩f（i）∈{90，92，93，96，98}，且满足f（1）＜f（2）≤f（3）＜f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（）A . 9种B . 5种C . 23种D . 15种8. （2分） (2016高三下·习水期中) 若a=ln2，b= ，c= sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a9. （2分） (2017高二下·高青开学考) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8=15﹣a5 ，则S9的值为（）A . 60B . 45C . 36D . 1810. （2分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）A . 三棱台B . 三棱柱C . 四棱柱D . 四棱锥11. （2分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 记不等式组表示的区域为，点的坐标为 .有下面四个命题：，；，；，；， .其中的真命题是（）A . ，B . ，C . ，D . ，12. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 设点M（x1 ， f（x1））和点N（x2 ， g（x2））分别是函数f（x）=ex﹣ x2和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2＞0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点处的线方程为________．14. （1分） (2016高一上·杭州期中) 已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=________15. （1分）由曲线y= 和直线x+y=2，y=﹣ x围成的图形的面积为________．16. （1分）若a＞0＞b＞﹣a，c＜d＜0，则下列命题：（1）①ad＞bc；② + ＜0；③a﹣c＞b﹣d；④a（d﹣c）＞b（d﹣c）其中正确的命题是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高一上·芒市期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k有4个解，求k的范围．18. （10分）(2018·临川模拟) 在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19. （10分） (2018高二上·泰安月考) 已知数列的前项和为 .其中，，且时，有成立.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项与公比均为2的等比数列，求数列的前项和为 .20. （10分）做抛掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．（1）写出试验的基本事件；（2）求事件“出现点数之和大于8”的概率．21. （10分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．22. （10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2 sinθ．（1）求圆C圆心的极坐标；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2019高一上·湖北期中) 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏省常州市武进高中20XX-20XX学年高三期中考试数学（理）试题考生注意：1.本试卷共2页，乞括埃空题（第1题一第14薄）、解答题（第15题一第20题）两局部• 本试卷总分值160分，考试时间120分钟.2.移翅疏，诺您务必将自己的姓名、府考证号用0.5圣米,女邑字迹的冬字宅城写在试卷的拍定位置。
3.作答各避时，必须用书写黑色字迹的0.5肥米签字笔写在试卷的指定位里，在其它位王作答一律无效。
4.如有作图霜安.可用2B钮笔作咨.并请加黑加粗.描写滑斐。
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.清把答案填写在答题卡相应位置上.】、假设集合4 = {^|2<2¥<8）,集合S = {.v|log2x>l},那么集合AC|8 = 4・2、tan 20XX°的值为▲.3、存在实数，使得/-4庭+祐<0成立，那么力的取值范围是4.4、己知向量“ = （],〃），五=（一1,〃），假设2a-b与B垂直，那么I 〃 1= ▲.5、△ABC中，三内角，、C所对边的长分别为、b、,己知8 = 60。
，不等式一，+6x-8>0的解堪为{x\a<x<c}•那么b = ▲ .6、己知函数/Cv） = 3sin（s*-£）（池>0）和g（x） = 3cos（2x +。
）的图象的对称中心6完全相同，假设xe[0^].那么，⑴的取值范围是A・7、假设函数/（x）=41nx,点Pg）在曲线y = f\x）上运动，作PM lx轴,垂足为材，那么4PCM（O为坐标原点）的周长的最小值为・8、己知/（局=孑+ 丁/'（1） + 3.寸'（一1）,那么广（1） +广（一1）的值为▲ .9、△人BC中，〃、b、c分别为匕A、NB、匕C的对边.如果。
、欢c成等差数列，ZB = 30° ,△ABC的面积为2,那么b= A .210、如果函数/（X）在区间上是“凸函数"，那么对于区间内任意的if*/有朋）+小2）+...〃此）"『••• +勺成立,己知函数尸血.,在区间［0,勿］上是“凸函数)那么在△A8C中，sinA + sinB + sinC的最大值是A11、己知|a|=2|^|*0. 11关于的函数/(犬)=；«?+!济*+小位在上宥极值. 那么％与B的夹角范围为12、设函数/•⑴=一《二(。
一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的地址上）1.已知会集，，则等于________．【答案】【解析】综上所述，答案为2.函数的最小正周期为________.【答案】【解析】函数的周期故答案为3.若，共线，则实数的值为________．【答案】 -6【解析】共线，解得故答案为4.设，则“”是“”的________条件.（用“充要”、“充分不用要”、“必要不充分”或“既不充分也不用要条件”填空）【答案】充分不用要【解析】，解得当时，当时，是的充分不用要条件。
5.在等差数列中，若，，则________．【答案】【解析】在等差数列中，由等差数列的性质可得：即又故答案为6.已知在中，内角、、的对边分别为、、，若，，，则角为________．【答案】【解析】由正弦定理可得：，得解得故答案为7．7.设实数，满足拘束条件，则的最小值为________.【答案】 1【解析】，当，时，故的最小值为8.已知一个正方体的全部极点在一个球面上，若这个正方体的表面积为，则这个球的表面积为 ________.【答案】【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积为，正方体的表面积为，解得一个正方体的全部极点在一个球面上正方体的体对角线等于球的直径，即，则球的表面积为9.若函数的定义域是，则函数的定义域为________．【答案】【解析】的定义域是的定义域是则的定义域为故答案为10.在中，，，.若，（），且，则实数的值为________.【答案】 3【解析】，则，AC原式故实数的值为11.若会集中恰有唯一的元素，则实数的值为________.【答案】 2【解析】会集中恰有唯一的元素当时，则故答案为12.已知，，，则的最小值为________.【答案】【解析】原式故答案为13.中，若、、依次成等比数列，则的取值范围为________.【答案】【解析】由已知得，则即的取值范围是故答案为点睛：由两角和的正切值可以建立与、的关系，题目中、、依次成等比数列也会有数量关系，再运用基本不等式即可求出的取值范围。
常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sin xcos x的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为 1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得 f（）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴cosB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 15 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g （x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B 是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcsinA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．。
-江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A= {1，3，6，7} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，5，7}．点评：本题考查集合的基本运算，补集的定义的应用，考查计算能力．2．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表示两个向量的夹角的知识，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a10= 32 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列{a n}的首项，结合等比数列的通项公式和a4a10=16列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求a10．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1（a1≠0），又公比为2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4．（5分）不等式的解集是{x|x≥3或x=﹣1} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x﹣2≥0求得x的范围或x﹣2＜0且=0，最后分别取交集．解答：解：不等式等价于或解得x≥3或x=﹣1故答案为：{x|x≥3或x=﹣1}点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系．5．（5分）函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可得出．解答：解：∵函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx，由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化为sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π．故函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．故答案为（π，2π）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）若实数x满足log2x+cosθ=2，则|x﹣8|+|x+2|= 10 ．考点：对数的运算性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的等式，求出x的值，由余弦函数的值域得到x的范围，取绝对值后可得结果．解答：解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ，所以，x=22﹣cosθ，因为﹣1≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3，则2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8．则|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10．故答案为10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了余弦函数的值域，训练了取绝对值的方法，是基础题．7．（5分）已知向量满足，．若与垂直，则k= 19 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得向量的数量积为0，代入已知数值可得关于k的方程，解之即可．解答：解：∵与垂直，∴=0化简可得，代入可得5k+（1﹣3k）••﹣3×13=0化简可得解得k=19故答案为：19点评：本题考查向量的垂直，转化为数量积为0是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是[﹣，0] ．考点：函数的零点；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点分段法化简函数的解析式，并画出函数的图象，根据直线y=kx+2过定点A（0，2），数形结合可得满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数==，直线y=kx+2过定点A（0，2），取B（1，2），k AB=0，取C（1，﹣2），k AB=﹣，根据图象可知要使函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则直线斜率满足：[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中画出函数的图象，并利用图象分析出满足条件时参数的范围是解答的关键．9．（5分）等差数列{a n}中，已知a2≤7，a6≥9，则a10的取值范围是[11，+∞）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式a n=a m+（n﹣m）d，结合题意可求得其公差d≥，从而可求得a10的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2≤7，a6≥9，∴﹣a2≥﹣7，设该等差数列的公差为d，则a6=a2+4d≥9，∴4d≥9﹣a2≥2，∴d≥，∴4d≥2，又a6≥9，∴a10=a6+4d≥11．故a10的取值范围是[11，+∞）．故答案为：[11，+∞）．点评：本题考查等差数列的性质，求得其公差d≥是关键，着重考查等差数列的通项公式与不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x ）的表达式为．考点：函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：由三点共线可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f′（1）的值，进而可得解析式．解答：解：∵A、B、C三点共线，且，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0，把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=，故f（x）+x﹣lnx=1，即故答案为：点评：本题考查函数解析式的求解，涉及向量的知识和导数内容，属基础题．11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得出m、n关系式和取值范围，再利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得．∴m+n==4++4=，当且仅当，m＞3，n＞1，，解得，，即当，时，取等号．∴m+n的最小值为．故答案为．点评：正确已知得出m、n关系式和取值范围和熟练掌握利用基本不等式的性质是解题的关键．12．（5分）已知函数若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．考点：特称命题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．解答：解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．①当a=0时，f（x）=满足题意其其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或∴0＜a＜1或a＞2，综合得：a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x ）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（2）（3）（把所有正确的命题序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．分析：从条件A，结论B，看A能否得到B，再看B能否得到A，来判断充要条件；从否定结论入手能否得出与条件矛盾来判断命题的真假；看两个函数是否为同一函数，要先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同；函数图象变化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）．解答：解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函数，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A ＞B＞0，∴sinA＞sinB．反过来若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，∴①×．对②可用反证法证明：假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC为锐角△，∴②√．③中y=+定义域是x∈{1}，两函数定义域、对应法则、值域相同．∴为同一函数，③√．对④中函数y=f（2x﹣1）的图象可由y=f（2x）的图象向左平移个单位得到，∴④×．故答案是②③点评：要正确理解充要条件的含义，掌握判断方法．判断命题的真假可用反证法，14．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前40项和为420 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{a n}是从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列，由此可得结论．解答：解：∵，∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49．∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为10×1+10×5+=420故答案为：420．点评：本题考查数列递推式，考查数列求和，属于中档题．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，试求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得，再根据ϕ的范围求出ϕ的值，即可求得函数的解析式．（2）由，求得sin（α﹣）和cos（α﹣）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得的值．解答：解：（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，…（2分）∵﹣π＜ϕ＜0，∴，…（4分）故…（6分）（2）因为，所以，．…（8分）故=．…（11分）故有=．…（14分）点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．16．（14分）如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP的长；（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC，得到关于AP的方程，整理后可用α表示AP的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC及三角形APC的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP的面积的最大值，以及此时α的值．解答：解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），解得：AP=3﹣4cosα；（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC =×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α）=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），则当α=时，S max=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（14分）（•宁波模拟）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；（2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，令，x∈（0，e]，则，令g′（x）=0，则，当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴，∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．18．（16分）各项均为正数的数列{a n}中，前n 项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由，知，由此得到，由此能能求出a n．（2）由，，结合题设条件能求出k的取值范围．（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，由，能求出数列{b m}的前m项和S m．解答：解：（1）∵，∴，两式相减得，…（2分）整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）又得a1=1，∴a n=2n﹣1．…（5分）（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴…（10分）（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，则，而n∈N*，由题意可知，…（12分）于是=，即．…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前m项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．（16分）定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a2﹣2a﹣9）≤8．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；（2）设0≤x1＜x2，根据当x＞0时，恒有及f（x）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）令x=y=3，则f（6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a2﹣2a﹣9|≤6，解绝对值不等式可得答案．解答：解：（1）解：令x=0，y=1，则f（1）=2f（0）•f（1），∵，∴．…（4分）（2）∵当x＞0时，恒有，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，，又，f（x）＞0恒成立．…（6分）设0≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，，∴f（x2）=2f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），…（9分）∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）（3）令x=y=3，则f（6）=2f2（3）=8，…（12分）∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6），由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分）即，解得，∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．20．（16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 是奇函数，且当时，f（x ）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）．（2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n．（3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3﹣3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x ）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．…（5分）（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分）又，故x﹣4为16的正约数，…（9分）所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分）②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i ．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分）ii ．当即0＜t＜1时，h（x ）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．…（16分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。
