高中数学人教B版必修五教案：3.2《均值不等式》习题课8

数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

《3.2均值不等式》均值不等式也称基本不等式。

本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用。

本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解。

教材用作差配方法证明均值不等式。

作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法。

在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能。

一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”。

探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。

不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。

几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影。

书中练习A 、B 和习题都是基本题，要求全做。

鉴于均值不等式的特殊作用，在教学中将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的联系。

【知识与能力目标】学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。

【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式。

【情感态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。

【教学重点】用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题。

【教学难点】用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题。

3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a(a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝12D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式． (2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b 2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2－1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2－1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y→1x ＋1y→1x ＋1y＋→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式． 反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x 的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值． 错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．b a ＋a b≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．15 4若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________． 5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】2 2 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x)2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2(2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254 (1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·yx＝3＋22， 当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log5x )≥2(－log5x)·(－5log5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log5x ≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5. 当且仅当log 5x ＝5log5x ，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t ＝x2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5.5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

均值不等式教学设计均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书(必修五) 课题 3.2 均值不等式课型新授课课时 2课时学情分析,一, 从学生知识层面看:学生对不等式的概念和性质有了感性的认识～在探究学习和应用实习的过程中～会解决最简单的关于不等式的问题. ,二, 从学生素质层面看:所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力～因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题～增强数学应用意识～提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与创造发现的课堂.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五,人教B版,》第三章第二节的内容～主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想～构造数学模型～得到均值不等式,并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上～理解均值不等式的几何解释,与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心～对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。

有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究～起到承前启后的作用.教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平～确定本节课的教学目标位: ,一,知识与技能:通过“从生活中发现问题～实验中分析问题～设计中解决问题、总结问题～论证后延拓问题”五个环节使学生深刻理解均值不等式～明确均值不等式的使用条件～能用均值不等式解决简单的最值问题. ,二,过程与方法:通过情境设置提出问题、揭示课题～培养学生主动探究新知的习惯,引导学生通过问题设计～模型转化～类比猜想实现定理的发现～体验知识与规律的形成过程,通过模型对比～多个角度、多种方法求解～拓宽学生的思路～优化学生的思维方式～提高学生综合创新与创造能力. ,三,情感态度与价值观:通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化～并注重运用数学解决生活中的实际问题～有利于数学生活化、大众化,同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点～确定均值不等式的推导与证明～均值不等式的使用条件为教学重点.教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般～因此应用均值定理求最值作为本节的教学难点.教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题～通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法～增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想～大胆探索～以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段学案、教科书.以学案提纲代替多媒体课件～创设问题情境～激发学习兴趣～提高课堂效率.小组讨论～培养团队合作精神.教学过程设计教学环节教学过程师生活动设计意图今有一台坏天平～两臂长不等～其余均教师提出问题让1、通过问题情境的精确.有人说要用它称物体的重量～只需学生思考:a,b设计～激发学生学习将物体放在左、右托盘各称一次～则两的平均值为的积极性～并为给出a，b 情景引入 2次称量结果的一半就是物体的真实重,物体真实均值不等式做铺垫ab量.他说得对吗,,设物体放在左右托盘重量是～两2、培养学生的探究称得的重量分别为a,b, 者什么关系, 能力，,,如果ab,R教师引导学生对1、通过引导～让学均值定理: a，b那么,ab实际问题中引出生主动地去证明猜2当且仅当a,b时等号成立的问题进行探想的结果～进一步巩语言叙述:两个正实数的算术平均值不索、证明。

题目：均值不等式一、教材分析均值不等式”是必修五第三章第二节的内容，它是在学完“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最大（小）值过程中有着广泛的应用。

求最大（小）又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

二、学情分析从学生知识层面看，学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题从学生的能力层面看，高二学生已经具备了应用固有知识探求新知的能力，从较长时间的训练中具备合作交流探究学习的学习模式。

三、教学目标1、知识与技能目标:探索均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决最大（小）值问题。

2、过程与方法目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

3、情感、态度、价值观目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

四、教学重点与难点1、重点:理解均值不等式2、难点:均值不等式的应用五、教学策略与教学方法先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。

充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.六、教学过程五、定理巩固例 1 ,,R y x +∈证明2≥+xy y x 并推导等号成立的条件变式1：求函数的最小值.变式2： 求函数的最大值.变式3： 函数 1(1)1y x x x =+>- 的最小值.变式4求函数 1(2)y x x x=+≥的最小值.指出错误，最后让学生总结三条，一正、二定、三相等，并板书六、变形应用问题二：求函数的最大值.变式4：求函数的最大值.变式5：求函数的最大值.问题三：已知，求函数的最小值. 逐式，变式是一种探索问题的方法在问题三中引导学生一题多解思路归纳总结如下：12345七、教学反思1. 逐层铺垫，降低难度由具体到一般，建立实际生活中的图形与不等式的联系，然后归纳出重要不等式和均值不等式以及其取等号的条件．2. 恰当使用信息技术恰当地使用多媒体，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程.3. 采用“启发—探究—讨论”教学模式精心设置一个个问题链，给每个学生提供思考、创造、表现和成功的机会.八、板书设计。

教学设计内容要求
实
2 引出第一种均制定理的证明方法。

讲授新课一、均值定理的内容
记笔记第一遍记忆
PPT
逐步显示
3
二、均值定理的变形
推出并逐步
了解
增强理解 2 三、几何法证明
动手实践另一种证明折纸11
爱国主义教
育四、介绍数学家赵爽（三国时期东吴的数学
家）和北京第24届国际数学家大会会标
朗读
进行爱国主
义教育
PPT PPT
展示
2 五、应用举例
学生思考解
答
初步应用PPT展示15
六、小结
再对定理记
学生归纳
PPT展示 2
忆和认知
学习效果评价
评价方式：教学目标制定符合学生实际，教学重点、难点处理得当，内容布局合理，衔接自然，教学方法灵活多样；注重启发引导，电化教学手段运用恰当，PPT手段提高了教学效率，激发了学生学习兴趣，调动学生学习积极性，教学环节安排紧凑合理，与学生思维比较合拍；教态自然，讲练结合，教学效果良好。

本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点300-500字数本教学设计与以往对比，未使用现代信息技术，讲课时比较枯燥无味，抄题浪费时间，学生积极性不太高，吸引不了学生注意力，课容量不太大；本教学设计使用了PPT，对于新课引入，调动学生积极性，培养学生自主学习能力，激发学生学习兴趣起到了很大的促进作用。

通过例题板演，学生互相交流，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，自主探究知识发生发展的过程并发现结论，让学生真正体会到学习的快乐、成就感，达到预期的教学效果。

教学反思。

教学设计3．2 均值不等式整体设计教学分析均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做．鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系．三维目标1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．重点难点教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题．教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．推进新课新知探究提出问题(1)均值定理的内容是什么？怎样进行证明？(2)你能证明a 2＋b 2≥2ab 吗？(3)你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？(4)均值不等式有哪些变形式？活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正实数a 、b 的a ＋b 2叫做数a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2，当a≠b时，有(a－b)2＞0.当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab.这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件．下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？图1(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：a＋b2≥ab.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等．讨论结果：(1)(2)略．(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立；若a 、b ∈R ＋，则a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；若a 、b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 应用示例例1(教材本节例1)活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的b a 和a b 相当于均值不等式中的a 、b.因此必须有b a ，a b∈R ＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.例2已知(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，求证：x －y a －b ＋a －b x －y≥2. 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x －y a －b 与a －b x －y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x －y a －b 与a －b x －y为正数开始证题． 证明：∵(a ＋b)(x ＋y)＞2(ay ＋bx)，∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.∴ax －ay ＋by －bx ＞0.∴(ax －bx)－(ay －by)＞0.∴(a －b)(x －y)＞0，即a －b 与x －y 同号．∴x －y a －b 与a －b x －y 均为正数． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2x －y a －b ·a －b x －y ＝2(当且仅当x －y a －b ＝a －b x －y时取“＝”)． ∴x －y a －b ＋a －b x －y ≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x －y a －b与a －bx －y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(lga ＋lgb)，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R ＜P ＜Q B ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．答案：B解析：∵a ＞b ＞1，∴lga ＞lgb ＞0.∴12(lga ＋lgb)＞12·2lga·lgb ，即Q ＞P. 又∵a ＋b 2＞ab ， ∴lg a ＋b 2＞lg ab ＝12(lga ＋lgb)． ∴R ＞Q.故P ＜Q ＜R.点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式．例4(教材本节例2)活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．知能训练1．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x≥1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________．答案：1．A 解析：一方面，当a ＝18时，对任意的正数x ，有2x ＋a x ＝2x ＋18x≥1；另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋a x ≥1，只要2x ＋a x ≥22a ≥1，即得a ≥18. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab ＝t(t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t ＋3，解得t ≥3，即ab ≥3，故ab ≥9.解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a －1)＝a ＋3，∴b ＝a ＋3a －1(a ＞1)． ∴ab ＝a·a ＋3a －1＝[(a －1)＋1]a ＋3a －1＝a ＋3＋a ＋3a －1＝a －1＋4＋a －1＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5≥2(a －1)·4a －1＋5＝9. 当且仅当a －1＝4a －1时取等号，即a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9. ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)．点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．课堂小结1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b 2)，几何平均数(ab)及它们的关系(a ＋b 2≥ab)．两关系式成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．作业习题3—2A 组，4,5,6.习题3—2B 组，1,2.设计感想1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x ，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y)为定值；③x 与y 必须能够相等．2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，b 是正数，那么a ＋b 2≥ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．在这个不等式中，a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的，前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．思路2.(直接导入)通过上节课a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R )与a ＋b 2≥ab(a ＞0，b ＞0)的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆上节课探究的均值不等式，怎样理解均值不等式的意义？都有哪些变形？(2)均值不等式都有哪些方面的应用？(3)在应用均值不等式求最值时，应注意什么问题？活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab 都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b 2≥ab 成立． 两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件． 在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．讨论结果：(1)(2)略．(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”． 应用示例例1(教材本节例3)活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.例2(1)已知x ＜54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值； (2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x －a)2＋(x －b)2的最小值．活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x －2)·14x －5不是常数，所以应对4x －2进行拆(添)项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x －a)＋(b －x)为定值，则用变形不等式m 2＋n 22≥(m ＋n 2)2更简捷． 解：(1)∵x ＜54，∴5－4x ＞0. ∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立．∴当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵y ＝(x －a)2＋(x －b)2＝(x －a)2＋(b －x)2 ≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22，当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2时，y min ＝(a －b )22.点评：若x 、y ∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p.若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添)项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1的值域．活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5.这样就可以应用均值不等式了． 解：∵x ＞－1， ∴x ＋1＞0.∴f(x)＝x 2－3x ＋1x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋5x ＋1＝x ＋1＋5x ＋1－5≥2(x ＋1)(5x ＋1)－5＝25－5，当且仅当(x ＋1)2＝5时，即x ＝5－1时取“＝”．另一解x ＝－5－1＜－1(舍去)，故函数值域为[25－5，＋∞)．点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.例4设0＜x ＜2，求函数f(x)＝3x (8－3x )的最大值，并求相应的x 值．试问0＜x ＜43时，原函数f(x)有没有最大值？0＜x ≤1时，f(x)有没有最大值？若有，请你求出来；若没有，请你说明理由．活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. ∴f(x)＝3x (8－3x )≤(3x ＋8－3x 2)2＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时取“＝”．∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝43.又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－(3x －4)2＋16， ∴当0＜x ＜43时，f(x)递增；当x ＞43时，f(x)递减．∴当0＜x ＜43时，原函数f(x)没有最大值．当0＜x ≤1时，有最大值f(1)，即f(1)＝15.点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添)项或配凑因式．知能训练1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为( )A.25B.12C.22 D ．1 2．求函数y ＝x ＋1x (x ＞0)的最小值，以及此时x 的值．3．已知x 、y ∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝x x ＋1＝1x ＋1x ≤12，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号． 2．解：∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2·x·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．∴当x ＝1时，x ＋1x 的值最小，最小值是2.3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x －8)＝2x. ∵x ＞0，y ＞0，∴x －8＞0.∴x ＋y ＝2x x －8＋x ＝x －8＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，x ＋y 取最小值18.课堂小结1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．作业习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.设计感想1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．备课资料一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)(1)设a 1，a 2，a 3，…，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平均值记为G ，即A ＝a 1＋a 2＋…＋ a n n ，G ＝n a 1a 2…a n ，即A ≥G ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，A ＝G.特别地，当n ＝2时，a ＋b 2≥ab ；当n ＝3时，a ＋b ＋c 3≥3abc.(2)用局部调整法证明均值不等式A ≥G .设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n .在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，…，a n －1，a 1＋a n －A.这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a 1＋a n －An ＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数的几何平均值为G 1，则G 1＝nAa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A )，∵A(a 1＋a n －A)－a 1a n ＝(A －a 1)(a n －A)，由a 1＜A ＜a n ，得(A －a 1)(a n －A)＞0，则A(a 1＋a n －A)＞a 1a n .∴Aa 2a 3…a n －1(a 1＋a n －A)＞a 1a 2…a n －1·a n ，即G 1＞G.二、备用习题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤32．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy，则( )A ．P ＝QB ．P ＜QC ．P ≤QD ．P ≥Q 3．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x )的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB 面积最小时l 的方程．6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 参考答案：1．C 解析：对于选项C ：a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 22≥a 2＋b 2＋2ab 2＝(a ＋b )22＝2.故C 正确．2．C 解析：∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ∴Q ＝ax ＋cy·b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P.3．B 解析：令t ＝f(x)，则t ∈[12，3]．∴F(x)＝G(t)＝t ＋1t .该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大值103.故选B.4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·400x ＋4x ＝1 600x ＋4x ≥21 600x·4x ＝160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时，等号成立．5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k(k ＜0)． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 令y ＝0，得x ＝2k －1k ＝2－1k.∴S △AOB ＝12(1－2k)(2－1k )＝2＋1－2k ＋(－2k)．∵k ＜0，∴－2k ＞0.∴S △AOB ≥2＋2＝4，当且仅当－12k ＝－2k ，即k ＝－12时取等号．此时l 的方程为y ＝－12x ＋2.6．解：(1)依题意，得y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083， 当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时)． (2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理，得v 2－89v ＋1 600＜0， 即(v －25)(v －64)＜0， 解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．(设计者：郑吉星)。

3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：a>b ⇔b<a2：a>b,b>c ⇒a>c(或c<b,b<a ⇒c<a)(传递性)3：a>b ⇒a+c>b+c(或a<b ⇒a+c<b+c)(1)：a+b>c ⇒a>c-b(移项法则)(2)：a>b,c>d ⇒a+c>b+d4、若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.(1)、若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd(2)、若a>b>0,则a n >b n (n ∈+N ,且n>1)(3)、若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)2、定理变式： 如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab （当且仅当a=b 时，等号成立）3、均值定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是等价3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a +b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a,CB=b 过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2b a +，显然，它不小于CD ，即ab b a ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立应用例题：例1、已知a 、b 、c ∈R ，求证：不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。

其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。

问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。

问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。

（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。

2021新人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案3．2均值不等式学案[预览符合标准]⒈正数a、b的算术平均数为；几何平均数为．2.平均不平等是。

前者是，后者是。

如何给出几何解释？⒊在均值不等式中a、b既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证；另外等号成立的条件是．4.试着根据平均不等式写出以下变形形式，并指出所需条件）a?b（）2ba1（3）＋（）（4）x＋(x>0)abx1（5）x＋（x<0）（6）ab≤（）x（1）a+b()（2）二25.当使用平均不等式计算最大值和最小值时，我们必须注意a+B或AB是否为值，以及等号是否为真6．⑴函数f(x)=x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；．⑵函数f(x)=2x(2－x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑶函数f(x)=x(2－2x)的最大值是；此时x的值为___________________；⑷函数f(x)=x(2＋x)的最小值是；此时x的值为___________________。

【典例解析】例1：如果a、B、C∈ (0, + ∞), a+B+C=1，验证例⒉（1）已知x<111 + + ≥ 9.abc51，求函数y=4x-2+的最大值。

44x？519?＝ 1.求X+y的最小值。

xy22（2） X>0，Y>0，和（3）已知a、b为常数，求函数y=(x-a)+(x-b)的最小值。

[标准实践]一、多项选择题：⒈下列命题正确的是（）ａ．a+1>2aｂ．│x+2A.B14│≥ 2C。

≤ 2D。

SiNx+最小值为4。

xsinxab1x2?2⒉以下各命题(1)x+2的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=12倍？1x？十二则（a+11）（B+）的最小值是4，正确的数字是（ABA.0b.1C.2D.3）⒊设a>0,b>0则不成立的不等式为（ａ．ba22＋≥2.ｂ．a+b≥2abab2a2112ｃ．＋≥a＋bｄ．?? 2+baaba?b⒋设a、b?r，若a+b=2，则＋11? 的最小值等于（）abａ．1ｂ．2ｃ．3ｄ．4⒌已知a?b>0，下列不等式错误的是（）a2？b22ab2ａ．a+b≥2abｂ．A.ｃ．ab？ｄ．ab？？一a?b2a?b?12二二．填空题：⒍ 如果a和B是正数，且a+B=4，则AB的最大值为____;⒎ 如果已知x>1.5，则函数y=2x+4的最小值是_________．2倍？3a2b2？8.已知a和B是常数，0xx2x？3x4？9⒐ （1）设a=，B=62，C=和X≠ 0，尝试判断a、B和C的大小。