2018届二轮(理科数学)专题八选修系列(1)专题卷(全国通用)

A 级1．(2017·兰州市诊断考试)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R .(1)求m 的取值范围；(2)若m 的最大值为n ，解关于x 的不等式：|x －3|－2x ≤2n －4.解析： (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以|x ＋1|＋|x －3|－m ≥0恒成立，设函数g (x )＝|x ＋1|＋|x －3|，则m 不大于函数g (x )的最小值，又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4，即g (x )的最小值为4.所以m ≤4.故m 的取值范围为(－∞，4]．(2)当m 取最大值4时，原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <3，3－x －2x ≤4， 解得x ≥3或－13≤x <3. 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－13. 2．(2017·广东省五校协作体第一次诊断考试)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)若函数h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )的图象与x 轴，y 轴围成的三角形面积大于a ＋4，求a 的取值范围．解析： (1)当a ＝3时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋7，x ≤3，1，3<x <4，2x －7，x ≥4.当x ≤3时，由f (x )≥4－|x －4|得，－2x ＋7≥4，解得x ≤32； 当3<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得，2x －7≥4，解得x ≥112. ∴f (x )≥4－|x －4|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)因为h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，所以h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，所以S ＝12×2a ×a 2>a ＋4，解得a >4. 故a 的取值范围为(4，＋∞)．3．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|，x ∈R ，不等式f (x )≤6的解集为M .(1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：3|a ＋b |≤|ab ＋3|.解析： (1)f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|≤6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－2x ≤6或⎩⎨⎧ －2<x <2，4≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ≤6，解得－3≤x ≤3， ∴M ＝[－3,3]．(2)证明：当a ，b ∈M ，即－3≤a ≤3，－3≤b ≤3时， 要证3|a ＋b |≤|ab ＋3|，即证3(a ＋b )2≤(ab ＋3)2.∵3(a ＋b )2－(ab ＋3)2＝3(a 2＋2ab ＋b 2)－(a 2b 2＋6ab ＋9)＝3a 2＋3b 2－a 2b 2－9＝(a 2－3)(3－b 2)≤0， ∴3|a ＋b |≤|ab ＋3|.4．已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a .(1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围．解析： (1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x |，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13， 故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )得a ≥|2x ＋1|－|x |，令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12<x <0，x ＋1，x ≥0.故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－12， 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解析： (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ＜－1，2x －1， －1≤x ≤2，3， x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，24故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 6．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解析： (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4，当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a ，由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.B 级1．(2017·沈阳市教学质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |－12x (a >0)． (1)若a ＝3，解关于x 的不等式f (x )<0；(2)若对于任意的实数x ，不等式f (x )－f (x ＋a )<a 2＋a 2恒成立，求实数a 的取值范围．2即|x －3|－12x <0， 原不等式等价于－x 2<x －3<12x ， 解得2<x <6，故不等式的解集为{x |2<x <6}．(2)f (x )－f (x ＋a )＝|x －a |－|x |＋a 2， 原不等式等价于|x －a |－|x |<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得|x －a |－|x |≤|(x －a )－x |＝|a |， 原不等式等价于|a |<a 2，又a >0，∴a <a 2，解得a >1.故a 的取值范围为(1，＋∞)．2．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知函数f (x )＝4－|x |－|x －3|.(1)求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集； (2)若p ，q ，r 为正实数，且13p ＋12q ＋1r＝4，求3p ＋2q ＋r 的最小值． 解析： (1)由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝4－⎪⎪⎪⎪x ＋32－⎪⎪⎪⎪x －32≥0，得⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4. 当x <－32时，－x －32－x ＋32≤4，解得x ≥－2， ∴－2≤x <－32， 当－32≤x ≤32时，x ＋32－x ＋32≤4恒成立， ∴－32≤x ≤32； 当x >32时，x ＋32＋x －32≤4， 解得x ≤2，∴32<x ≤2. 综上，⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －32≤4， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32≥0的解集为[－2,2]．(2)令a 1＝3p ，a 2＝2q ，a 3＝r . 由柯西不等式，得⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 12＋⎝⎛⎭⎫1a 22＋⎝⎛⎭⎫1a 32·(a 21＋a 22＋a 23)≥⎝⎛⎭⎫1a 1·a 1＋1a 2·a 2＋1a 3·a 32＝9， 即⎝⎛⎭⎫13p ＋12q ＋1r (3p ＋2q ＋r )≥9. ∵13p ＋12q ＋1r ＝4，∴3p ＋2q ＋r ≥94， 当且仅当13p ＝12q ＝1r ＝43， 即p ＝14，q ＝38，r ＝34时，取等号． ∴3p ＋2q ＋r 的最小值为94.。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

A 级1．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3D ．－1解析： ∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案： C2．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B ．⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析： 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x .由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 答案： C3．(2017·湖南省湘中名校高三联考)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛2－1f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43 D ．π4＋3解析： ⎠⎛2－1f (x )d x ＝⎠⎛1－11－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43，故选A.答案： A4．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x 3＋1的图象在切点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( )A.83 B ．2 C.73D ．33解析： 由题意得f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝x 12＋x －12.设P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，g (x 2))，又f ′(x 1)＝g ′(x 2)，即2cos x 1＝x 122＋x －122，故4cos 2x 1＝x 2＋x －12＋2，所以－4＋4cos 2x 1＝x 2＋x －12－2，即－4sin 2x 1＝⎝⎛⎭⎫x 122－x －1222，所以sin x 1＝0，x 1＝0，x 12＝x －122，x 2＝1，故P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，故k PQ ＝83.答案： A5．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析： 根据题意，设函数g (x )＝f (x )x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )·x －2·f (x )x 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．答案： D6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 解析： y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得x ＝π6，则x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′>0；x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，y ′<0，故函数在⎣⎡⎭⎫0，π6上递增，在⎝⎛⎦⎤π6，π2上递减，所以当x ＝π6时，函数取最大值π6＋ 3.答案： π6＋ 37．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析： 如图，阴影部分的面积即为所求，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)． 故所求面积为 S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3| 10＝16. 答案： 168．设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为____________．解析： ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax －b ，由f ′(1)＝0，得b ＝1－a .∴f ′(x )＝1x －ax ＋a －1＝－ax 2＋1＋ax －x x＝－(ax ＋1)(x －1)x.①若a ≥0，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 所以x ＝1是f (x )的极大值点．②若a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1a .因为x ＝1是f (x )的极大值点， 所以－1a>1，解得－1<a <0.综合①②得a 的取值范围是(－1，＋∞)． 答案： (－1，＋∞)9．(2017·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知函数f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )的图象在x ＝0处的切线方程；(2)当a <0时，求f (x )的极值．解析： (1)当a ＝1时，f (x )＝ln(x ＋1)＋xx ＋1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋1(x ＋1)2＝x ＋2(x ＋1)2.∵f (0)＝0，f ′(0)＝2， ∴所求切线方程为y ＝2x . (2)f (x )＝ln(x ＋1)＋axx ＋1(x >－1)，f ′(x )＝x ＋a ＋1(x ＋1)2， ∵a <0，∴当x ∈(－1，－a －1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－a －1，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )的极小值为f (－a －1)＝a ＋1＋ln(－a )，无极大值．10．(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解析： (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知， f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以， 当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．B 级1．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m .则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12 B ．⎝⎛⎭⎫32，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．⎝⎛⎭⎫13，1解析： 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根．令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1.答案： C2．(2017·江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析： 易知函数f (x )的定义域关于原点对称． ∵f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，∴f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2＝3x 2≥0(当且仅当x ＝0时，取“＝”)，从而f (x )在R 上单调递增，所以f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)⇔－2a 2≥a －1， 解得－1≤a ≤12.答案： ⎣⎡⎦⎤－1，12 3．已知函数f (x )＝(ax ＋b )ln x －bx ＋3在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2. (1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)若g (x )＝f (x )＋kx 在(1,3)上是单调函数，求k 的取值范围． 解析： (1)因为f (1)＝－b ＋3＝2，所以b ＝1. 又f ′(x )＝b x ＋a ln x ＋a －b ＝1x＋a ln x ＋a －1，而函数f (x )＝(ax ＋b )ln x －bx ＋3在(1，f (1))处的切线方程为y ＝2，所以f ′(1)＝1＋a －1＝0，所以a ＝0.(2)由(1)得f (x )＝ln x －x ＋3，f ′(x )＝1x －1，x >0.令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )>0； 当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值为f (1)＝2，无极小值．(3)由g (x )＝f (x )＋kx ，则g (x )＝ln x ＋(k －1)x ＋3(x >0)，g ′(x )＝1x ＋k －1，又g (x )在x ∈(1,3)上是单调函数， 若g (x )为增函数，有g ′(x )≥0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≥0，即k ≥1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立．又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≥23. 若g (x )为减函数，有g ′(x )≤0，即g ′(x )＝1x ＋k －1≤0，即k ≤1－1x 在x ∈(1,3)上恒成立，又1－1x ∈⎝⎛⎭⎫0，23，所以k ≤0. 综上，k 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫23，＋∞. 4．(2017·成都市第二次诊断性检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ln x －x ＋1x ，其中a >0. (1)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围；(2)设a ∈(1，e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)时，记f (x 2)－f (x 1)的最大值为M (a )．那么M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．解析： (1)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 1x －1－1x2＝－(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a x 2，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝1时，f ′(x )＝－(x －1)2x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点；②当a >0且a ≠1时，f ′(a )＝f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝0. 经检验a ，1a 均为f (x )的极值点．∴a ∈(0,1)∪(1，＋∞)．(2)当a ∈(1，e]时，0<1a<1<a .由(1)知，当f ′(x )>0时，1a <x <a ；当f ′(x )<0时，x >a 或x <1a .∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上单调递增， 在(a ，＋∞)上单调递减． ∴对∀x 1∈(0,1)，有f (x 1)≥f ⎝⎛⎭⎫1a ； 对∀x 2∈(1，＋∞)，有f (x 2)≤f (a )． ∴[f (x 2)－f (x 1)]max ＝f (a )－f ⎝⎛⎭⎫1a . ∴M (a )＝f (a )－f ⎝⎛⎭⎫1a＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ln a －a ＋1a－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ln 1a －1a ＋a＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1a ln a －a ＋1a，a ∈(1，e]． M ′(a )＝2⎝⎛⎭⎫1－1a 2ln a ＋2⎝⎛⎭⎫a ＋1a 1a ＋2⎝⎛⎭⎫－1－1a 2 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1a 2ln a ，a ∈(1，e]． ∴M ′(a )>0，即M (a )在(1，e]上单调递增． ∴M (a )max ＝M (e)＝2⎝⎛⎭⎫e ＋1e ＋2⎝⎛⎭⎫1e －e ＝4e . ∴M (a )存在最大值4e .。

绝密★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（八）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·天门联考]设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解 【答案】C【解析】当3a =时，复数3i a --是纯虚数；()i 2i 2i 1-=+，对应的点位于第一象限；若复数12i z =--，则存在复数112i z =-+，使得1z z ⋅∈R ；0x =，方程2i 0x x +=班级姓名准考证号 考场号 座位号此卷只装订不密封成立．因此C 正确．2．[2018·闽侯八中]在下列函数中，最小值为2的是（ ）A ．1y x x=+ B C ．2y =D ．122x x y =+【答案】D【解析】A 选项x 可以是负数；B 选项2y ≥=，等号成立时sin 1x =，在定义域内无法满足；C 在实数范围内无法满足；由基本不等式知D 选项正确．3．[2018·吉林调研]从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ． 30B ．25C ．22D ．20【答案】D【解析】()50 1.000.750.250.220⨯++⨯=，故选D ．4．[2018·武邑中学]已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4C ．－7D ．4【答案】B【解析】342y x ax '=+ ，428a ∴--=，6a ∴=-，()1114f a ∴-=++=-，故选B ．5．[2018·漳州调研]已知1=a ，=b ()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．12D ．2【答案】D【解析】设a 与b 的夹角为θ，()⊥-a a b ，()20∴⊥-=-⋅=a a b a a b ，2cos 0θ-⋅=a a b ，cos 2θ∴=，∴向量a 在b 方向上的投影为cos 2θ⋅=a ，故选D ．6．[2018·孝义模拟]某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．56【答案】C【解析】根据题意得到原图是半个圆锥和半个圆柱构成的图形，圆锥的地面半径为2，圆柱底面半径为223．故答案为：C ． 7．[2018·南平质检]已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A B ．1C D ．2【答案】A【解析】1k ∈Z ，2k ∈Z ，12,k k ∈Z ，即()122423k k ω=--或()1210423k k --，1k ，2k ∈Z ，又因为0ω>，所以ω的最小值为102433-=．故选A ．解法2546ωϕππ+=23ω=．故选A ．8．[2018·豫南中学]《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】0i =，0S =，1x =，1y =，开始执行程序框图，1i =，11S =+，2x =，12y =，1i =，11212S =+++，4x =，14y =，......，5i =，()111112481613324816S ⎛⎫=+++++++++< ⎪⎝⎭，32x =，132y =，再执行一行，s d>退出循环，输出6i =，故选C ． 9．[2018·马鞍山一模]在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ） A．(2,B．(4⎤⎦C．(4,2+D．(26⎤+⎦【答案】C【解析】由题意可得：cos2tan tan 2sin cos 22222sin 2CA B C C C +π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，cos 0C ∴=，2C π=．据此可得△ABC 是以点C 为直角顶点的直角三角形，则：据此有：a b +≤ABC △三角形满足两边之和大于第三边，则：2a b +>，4a b c ∴++>， 综上可得：ABC △C 选项． 10．[2018·集宁一中]一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，O 到平面ABC 的距离是（ ） ABCD【答案】D【解析】由题意可得三棱锥A BCD -的三对对棱分别相等， 所以可将三棱锥补成一个长方体AEDF GCHB -，如图所示，该长方体的外接球就是三棱锥A BCD -的外接球O ，长方体AEDF GCHB -共顶点的三条面对角线的长分别为3，4设球O 的半径为R ，则有()2222223419419R R =++=⇒=，在ABC △中，由余弦定理得r 为ABC △外接圆的半径）因此球心O 到平面ABC的距离d ==D ．11．[2018·深圳一调]设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．100π B ．54πC ．77πD ．300π【答案】C【解析】由71335a a =，得()()1136512a d a d +=+，解得121a d =-，222222447474cos cos sin sin cos sin a a a a a a -+-=()222247474747cos cos sin sin cos cos sin sin a a a a a a a a -=-()4747cos cos sin sin a a a a +()()()474756cos cos cos a a a a a a =+-=-+，又4756a a a a +=+，()47cos 1a a ∴-=-，故4732a a d k -=-=π+π又公差()2,0d ∈-，3d π∴=-，17a =π，由()7103n a n π⎛⎫=π+--≥ ⎪⎝⎭，得22n ≤，故22S 或21S 最大，最大值为2222212277723S ⨯π⎛⎫=⨯π+⨯-=π ⎪⎝⎭，故选C ． 12．[2018·渭南质检]若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===取值范围是（ ） A ．()0,12 B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25【答案】A【解析】函数的图象如图所示，∵()()12f x f x =，∴2122log log x x -=，∴212log 0x x =，∴121x x =， ∵()()34f x f x =，∴3412x x +=，34210x x <<<，∵324x <<，4810x <<，∴()()341222x x x x --的取值范围是()012，．故答案选：A ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

限时规范训练二十一 坐标系与参数方程限时30分钟，实际用时分值40分，实际得分解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1．(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程．(2)若射线θ＝π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝7. 因为曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，所以把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1， 得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1， 化简得ρ＝2cos θ.(2)依题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0， 将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，同理，将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 2的极坐标方程．得ρ2＝3，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3.2．(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程． (2)求点M 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝4cos θ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 所以y 2＝4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， 因为点M 的直角坐标为(0,1)，直线l 的倾斜角为3π4，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)代入曲线C 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t ， 即t 2＋62t ＋2＝0， Δ＝(62)2－4×2＝64，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积|MA |·|MB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝2.4．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程．(2)求C 1与C 2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t y ＝5＋5sin t，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋y 2－2y ＝0.(2)因为C 1的普通方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.。

3 23029绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．1 + 2i =1 - 2iA ．- 4 - 3 i 5 5B ．- 4 + 3 i 5 5C ．- 3 - 4 i 5 5 D ．- 3 + 4 i 5 52. 已知集合 A ={( x ，y ) x 2+ y 2≤3，x ∈ Z ，y ∈ Z } ，则 A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．4e x - e - x3. 函数 f ( x ) = x 2的图像大致为4．已知向量a ， b 满足| a | = 1 ， a ⋅ b = -1 ，则a ⋅ (2a - b ) =A ．4B ．3C ．2D ．0x 2-y2= > >5. 双曲线 a2b 21 (a 0, b 0) 的离心率为 ，则其渐近线方程为A. y = ± 2xB. y = ± 3xC. y = ± 2x2D. y = ± 3x26. 在△ABC 中， cosC= 5， BC = 1 ， AC = 5 ，则 AB = 2 5A. 4 B ． C ． D ． 2 5是i < 100否输出S结束S = N - T i = 1 x y ⎨ ⎩7．为计算 S = 1 - 1 + 1 - 1 +… + 1 - 1，设计了右侧的程序框图，2 3 4 99 100则在空白框中应填入 A. i = i + 1 B. i = i + 2 C. i = i + 3D. i = i + 48. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 A.112 B.1 14C.115 D.118 9. 在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AB = BC = 1 ， AA 1 =，则异面直线 AD 1 与 DB 1 所成角的余弦值为A.15B.6C.5D.210. 若 f (x ) = cos x - sin x 在[-a , a ] 是减函数，则 a 的最大值是A.π4B. π2C. 3π4D. π11．已知 f (x ) 是定义域为(-∞, +∞) 的奇函数，满足 f (1 - x ) = f (1 + x ) ．若 f (1) = 2 ，则f (1) + f (2) + f (3) +… A ．-50 + f (50) =B ．0C ．2D ．502212. 已知 F 1 ， F 2 是椭圆C ： 2 + 2 =1 (a > b > 0) 的左，右焦点， A 是C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率 ab为 3的直线上， △PF F 为等腰三角形， ∠F F P = 120︒ ，则C 的离心率为6 1 2 1 22 A.3B.1 2C.1 3D.1 4二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。