天津市红桥区高三二模数学(文)试卷.docx

高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利！参考公式：柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的体积公式343V R =π球，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2B =-，则A B =（ ）A. {}1,0,1-B. {}0,1C. {}0,1-D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到集合A ，再求交集得到答案.【详解】{}{}|2=22A x x x x =<-<<，{}1,0,1,2B =-，则{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查了交集运算，解不等式，属于简单题.2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，333S a =，则公比q =（ ）A. 12-B.12C. 1或12-D. -1或12【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q，由333S a =，即123312332a a a a a a a ++=⇒+=，所以221112210a a q a q q q +=⇒--=，解得1q =或12q =-，故选C ．考点：等比数列的通项公式的应用． 3.已知131log 2a =，121log 3b =，32log 3c =，则（ ） A. b a c >> B. a b c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性得到01a <<，l b >，0c <，得到答案. 【详解】111333110log 1log log 123a =<=<=，112211log log 132b =>=，332log log 310c =<=， 故b a c >>. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.4.设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.5.若直线2x y -=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为则实数a 的值为（ ）A. 0或4B. 1或3C. 2-或6D. 1-【答案】A 【解析】试题分析：：∵圆22()4x a y -+= ∴圆心为：（a ，0），半径为：2圆心到直线的距离为：d =∵2222d r ⎛+=⎝⎭解得a=4，或a=0考点：直线与圆相交的性质6.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（ ）A. B.C.3D.【答案】B 【解析】 【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得到答案.【详解】正方体的体积为38a =，则正方体棱长2a =，正方体的外接球半径为体对角线的一半，即2R ===34433V R ππ==⋅=.故选：B.【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径转化为求体对角线是解题的关键.7.将函数sin y x x =-的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A. 12π-B.12πC. 6π-D.6π 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化为2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用三角函数的平移变换原则即可求解.【详解】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 将函数的图像沿x 轴向右平移(0)m m >个单位长度，可得2sin 3y x m π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，此函数图像关于y 轴对称，则()32m k k Z πππ--=+∈，解得()56m k k Z ππ=--∈， 因为0m >，则当1k =-时， m 取得最小值6π. 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础题.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为（ ）A. B. C. 4D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的性质可得22p-=-，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(2,1)--在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出b ，再利用双曲线的性质即可得解.【详解】抛物线22(0)y px p =>，∴该抛物线的准线为2p x =-， 又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，∴点(2,1)--在直线2px =-上，∴22p -=-即4p =， ∴抛物线的焦点为(2,0)，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，∴双曲线的左顶点为(2,0)-，2a =，∴双曲线的渐近线方程为2by x =±， 由点(2,1)--在双曲线其中一条渐近线上可得()122b-=⨯-即1b =， ∴双曲线的焦距2c ==故选：D.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.9.已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A. (,0)-∞ B. (1,)+∞C. (0,1)D. [0,1]【答案】C 【解析】 分析】由题意画出函数()f x 的图象，转化条件为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，数形结合即可得解.【详解】当0x ≤时，2()2f x x x =--，其图象为开口向下，对称轴为1x =-的抛物线的一部分，且(1)121f -=-+=；当0x >时，()21xf x =-，其图像为函数2xy =在y 轴右侧图象向下平移1个单位形成；画出函数()f x 的图象，如图：因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()f x m =有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可知，01m <<， 所以实数m 的取值范围为(0,1). 故选：C.【点睛】本题考查了函数的零点、方程的根以及两函数的图象的交点个数之间的关系，考查了数形结合与转化化归思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.若i 为虚数单位，则复数23(1)i =-_________.【答案】32i 【解析】 【分析】由题意结合复数的乘法、除法运算法则直接计算即可得解.详解】由题意22233333(1)12222i i i i i i i ====--+--. 故答案为：32i . 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 11.某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有_________.【答案】150 【解析】 【分析】设三个社团共有x 人，由题意结合分层抽样的定义和方法列方程即可得解. 【详解】设三个社团共有x 人， 由分层抽样的定义和方法可得30124515x =+，解得150x =， 所以这三个社团共有150人. 故答案为：150.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，利用分层抽样每个个体被抽到的概率相等是解决本题的关键，属于基础题.12.已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是_________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据二项式系数和为232n =得到5n =，再利用二项式定理得到答案. 【详解】二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为232n =，故5n =.251()x x+展开式的通项为：()521031551rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 取3r =得到x 项的系数是3510C =. 故答案为：10.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13.已知实数,a b 满足条件：0ab <，且1是2a 与2b 的等比中项，又是1a 与1b的等差中项，则22a ba b +=+_________.【答案】13-【解析】 【分析】根据等差中项和等比中项计算得到1ab =-，2a b +=-，代入式子化简得到答案. 【详解】根据题意：221a b =，0ab <，故1ab =-，112a b a b ab++==，故2a b +=-. ()222221423a b a b a ab b a b ++-===-++-+.故答案为：13-.【点睛】本题考查了等差中项，等比中项，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.15.已知,a b 是单位向量，·0a b =．若向量c 满足1c a b c --=，则的最大值是________.2+1 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，设(,)c x y =，根据条件求得,x y 满足的关系式，再根据c 的几何意义求解．【详解】由0a b =，得a b ⊥．建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,0,0,1a b ==．设(,)c OC x y ==，由1c a b --=，可得22(1)(1)1x y -+-=，所以点C 在以（1,1）为圆心，半径为1的圆上． 所以max 21c =+．【点睛】由于向量具有数形二重性，因此研究向量的问题时可借助于几何图形进行，利用数形结合可以增强解题的直观性，同时也使得对向量的研究简单化，进而可提高解题的效率．三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知1a =，2b =，1cos 4C =. （1）求c 的值； （2）求sin(2)3C π+的值.【答案】（1）2c =（21573-【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理计算得到答案. （2）根据三角恒等变换计算15sin 28C =，7cos28C =-，代入计算得到答案.【详解】（1）根据余弦定理：2222cos 1414c a b ab C =+-=+-=，故2c =. （2）()0,C π∈，故2115sin 1cos 116C C =-=-=15sin 22sin cos C C C ==，27cos22cos 18C C =-=-，故17sin 2sin 2cos cos 2sin 33328C C C πππ⎛⎫+=+=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了计算恒等变换，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立. （1）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（2）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）1112（2）分布列见详解；()2E ξ= 【解析】 【分析】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解；方法二：设“两人都没命中目标”为事件B ，利用概率乘法公式求出都不命中的概率，然后再利用间接法即可求解.（2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，利用独立重复试验的概率求法公式求出分布列，进而求出期望.【详解】（1）方法一：设“至少有一人命中目标”为事件A ，231321()343434P A =⨯+⨯+⨯1112=.方法二：（或设“两人都没命中目标”为事件B ，111()3412P B =⨯=. “至少有一人命中目标”为事件A ，111()11212P A =-=. （2）ξ的取值情况可能为0，1，2，3，1111(0)33327P ξ==⨯⨯=132116(1)33327P C ξ==⨯⨯=⋅ ()2322112233327P C ξ==⨯⨯=⋅()2228333327P ξ==⨯⨯=.ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P 127 627 1227 827以()61281232272727E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式、独立重复试验的分布列、期望，属于基础题.18.四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2PA AB ==，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（1）求证：PB ⊥平面ADF ；（2）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， ①求线段CE 的长；②求二面角P ED A --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）①2317【解析】 【分析】（1）以点A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系，利用数量积证出PB AD ⊥，PB AF ⊥，再利用线面垂直的判定定理即可证出. （2）①求出平面ADF 的一个法向量，利用cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，即可求线段CE 的长；②求出平面PED 的一个法向量，再根据(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】（1）依题意，以点A 原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴 ，建立空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，(2,,0)(03)E m m ≤≤，(1,,1)2mF ，(0,0,2)P . (2,0,2)PB =-，(0,3,0)AD =，(1,,1)2mAF =，0PB AD ⋅=，0PB AF ⋅=，.即PB AD ⊥，PB AF ⊥，AF A AD =，.所以PB ⊥平面ADF .（2）①设(,,)n x y z =为平面ADF 的法向量，则00AD n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即002y mx y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩， 不妨令1x =，可得(1,0,1)n =-为平面ADF 的一个法向量，(2,3,0)DE m =-于是有cos n DE n DE n DE⋅⋅=⋅12=，. 22121012(3)0m =++⋅+-+，得1m =或5m =（舍）. (2,1,0)E ，(2,3,0)C ，线段CE 的长为2；.②设(,,)m x y z =为平面PED 的法向量，(2,1,2)PE =-，(0,3,2)PD =-则00PE m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即220320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，不妨令2y =，可得(2,2,3)m =为平面PED 的一个法向量，. 又(0,0,2)AP =为平面ADE 的一个法向量，. 所以317cos 217m AP m AP m AP⋅⋅===⋅.【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、线面垂直的判定定理、根据线面角求长度，考查了运算求解能力，属于中档题.19.如图，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：经过点P （1.），离心率e=，直线l 的方程为x=4.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在【解析】2231911124P a b+=（）由（，）在椭圆上得：①222,3a c b c =∴=② ②代入①得222221,4,3, 1.43x y c a b C ===∴+=椭圆：考点：本题主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，直线与圆锥曲线的交点等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理能力，推理论证能力和计算能力. 20.设，函数()ln f x x ax =-．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知（是自然对数的底数）和2x 是函数()f x 的两个不同的零点，求a 的值并证明：322x e >．【答案】（Ⅰ）①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值，②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）分别令0a ≤及0a >分情况讨论；（Ⅱ）由已知得()1ln 2f x x x e=-，由（Ⅰ）函数()f x 在递减及323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，可知函数()f x 在区间有唯一零点，由此得证.试题解析：（Ⅰ）由已知得()0,+∞，()11ax f x a xx'-=-=，①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值； ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=， 在区间上，()0f x '>，函数()f x 是增函数，在区间上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln1ln 1f a a a=-=--． 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值；②当0a >时，函数()f x 的递增区间为，递减区间是，函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--．（Ⅱ）因为，所以102a e -=，解得2a e =，所以()ln 2f x x x e =-， 又323()022e f e =->，5225()022ef e =-<，所以3522()()0f e f e ⋅<，由（Ⅰ）函数()f x 在递减，故函数()f x 在区间有唯一零点，因此322x e >．考点：导数的应用．【方法点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．。

2020年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≤3}，则A∩B=．（）A. {0，2}B. {-1，0，1}C. {-3，-2，-1，0，1，2}D. [0，2]2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值为（）A. B. C. D. 23.设x∈R，则“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，，，则（）A. a＞b＞cB. c＞a＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -3B. -C.D. 26.已知函数f（x）=cos（2x+）（x∈R），则f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. - C. -1 D. 07.点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率为（）A. B. C. D.8.已知点M是△ABC所在平面内一点，满足=+，则△ABM与△BCM的面积之比为（）A. B. C. 3 D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若i为虚数单位，复数的虚部是______．10.设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为______．11.一个正方体的表面积为24，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是______．12.过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是______ ．13.已知，则的最小值是__________．14.若关于x的不等式2-x2≥|x-a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区中抽出6个社区进行调查．已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区．（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．17.如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：PD∥平面AFC；（2）若PA=1，求证：AF⊥PC；（3）若二面角P-BC-A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为．18.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，记T n=，证明：T n≥1．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△FAB的面积是1+．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，则求出点H坐标；否则，请说明理由．20.已知函数f（x）=x3-（a+1）x2+4x+1，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）是否存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由B中不等式解得：-＜x＜，即B=（-，），∵A={-3，-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}，故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：变量x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，由，可得A（3，）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值6-=．故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3.答案：A解析：解：“|2x-1|≤3”⇔-3≤2x-1≤3⇔-1≤x≤2，x+1≥0⇔x≥-1．显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的充分不必要条件，故选：A．分别解出不等式，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：，，；∴c＞a＞b．故选：B．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．5.答案：D解析：解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=-满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=-3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D．i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵≤2x+≤，令2x+=t，则y=cos t在[，]的最小值为-1，故选：C．求出2x+的范围，令2x+=t，求y=cos t的最小值．本题考查三角函数的整体代换求值，是基础题．7.答案：B解析：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e====．故选B．先根据条件求出点A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p，得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题主要考查双曲线的性质及其方程依据抛物线的方程和性质．注意运用双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间的关系是解题的关键．8.答案：C解析：解答解：如图所示，过点M作EF∥AC．∵=+，∴=，=．∴=3．∴△ABM与△BCM的面积之比==3．故选：C．分析如图所示，过点M作EF∥AC．由=+，可得=，=．进而得出结论．本题考查了平面向量平行四边形法则及其应用、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：-1解析：解：∵=，∴复数的虚部是-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：x-y-1=0解析：解：由y=，得，∴，即曲线C：y=在点（1，0）处的切线的斜率为1，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．11.答案：解析：解：设正方体的棱长为a，则6a2=24，即a=2．∵球内切于正方体，∴球的半径为1．则此球的体积是．故答案为：．由正方体的表面积求得正方体的棱长，可得正方体内切球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查正方体的表面积与其内切球的体积，是基础的计算题．12.答案：（x-1）2+（y-1）2=4解析：【分析】本题解答灵活，求出圆心与半径是解题的关键，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，所以，圆心（1，1）；圆心到A的距离就是半径：=2，所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4．故答案为：（x-1）2+（y-1）2=4．13.答案：解析：【分析】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．14.答案：解析：解：不等式为：2-x2≥|x-a|，且0≤2-x2．在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个函数图象，将绝对值函数y =|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=-2；将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x2（y≥0，x＞0）相切时，由可得x2-x+a-2=0，再由△=0解得a=．数形结合可得，实数a的取值范围是．故答案为：．原不等式为：2-x2≥|x-a|，我们在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．15.答案：解：（Ⅰ）社区总数为12+18+6=36，样本容量与总体中的个体数比为．所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1．（Ⅱ）设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，C 为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）．共有15种．设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），共有9种，所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为．解析：（I）先计算A，B，C区中社区数的总数，进而求出抽样比，再根据抽样比计算各区应抽取的社区数．（II）本题为古典概型，先将各区所抽取的社区用字母表达，分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．16.答案：解：（1）由，可得，即a2+c2-b2=ac，可得cos B===，由B∈（0，π），可得B=；（2）∵cos A=，∴sin A=，∵，∴a=2，又∵sin C=sin（A+B）=sin（A+）=sin A cos+cos A sin=，∴S△ABC=ab sin C=．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．（1）由正弦定理化简已知等式得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用正弦定理可求a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，根据三角形的面积公式即可求解．17.答案：（1）证明：连接AC交BD于点Q，连接FQ，∵四边形ABCD是矩形，∴Q为BD的中点，又∵点F是PB的中点，∴PD∥FQ，又，，∴PD∥平面AFC；（2）证明：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），∵PA=1，∴P（0，0，1），∴F（0，，），∴=（0，，），=（，1，-1），∵·=（0，，）·（，1，-1）==0，∴⊥，即AF⊥PC；（3）解：设P（0，0，t），则F（0，，），则=（0，0，t），=（0，，），=（0，1，-t），=（，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，得=（0，t，1），∵二面角P-BC-A的大小为60°，且是平面ABC的一个法向量，∴cos60°===，∴t=，即=（0，，），由三棱锥F-ACE的体积为，可得==解得CE=，∴CE为时，三棱锥F-ACE的体积为．解析：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．（1）连接AC交BD于点Q，连接FQ，利用中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过向量垂直即可说明线段垂直；（3）通过二面角P-BC-A的大小为60°求出P点坐标，从而得到F点坐标，根据体积公式计算即可．18.答案：解：（Ⅰ）数列{a n}是公比q为大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．所以,解得q=2或q=（舍去）．故．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=log2a n=n，所以数列{b n}为等差数列，故．所以===．由于n≥1，所以,故1≤T n．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．（Ⅰ）首先利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．19.答案：解：（I）由题意点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，可得F（-c，0），B（0，b），A（a，0），因为离心率为，即=，①△FAB的面积是1+．即b（a+c）=1+；②又因为a2=b2+c2；③由①②③解得a =2，b=1所以椭圆C：+y2=1；（Ⅱ）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），由得（m2+4）y2+2my-3=0，（m≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y1+y2=-．y1•y2=-．直线P1Q的方程为：y+y1=（x-x1），因为直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，令y=0，则x=y1+x1=；又x1=my1+1，x2=my2+1；x===4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．解析：（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），即P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），联立方程组由化简由韦达定理表达直线P1Q的方程，根据题意可得直线P1Q与x轴交点H（4，0）．本题考查圆锥曲线中椭圆的综合运用，考查直线与椭圆的关系，韦达定理知识，属于中档题．20.答案：解：（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2）．①当a=0时，单调递增区间为（-∞，2]．②当a＜0时，单调递增区间为[，2]．③当0＜a＜1时，单调递增区间为（-∞，2]，（，+∞）．④当a=1时，单调递增区间为（-∞，+∞）．⑤当a＞1时，单调递增区间为（-∞，），（2，+∞）．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减区间为（-∞，），（2，+∞）．①当≤-1时，f（x）min=f（-1）=-3，即--（a+1）-3=-3，解得a=-．②当>-1时，f（x）min=f（）=-3，即3a2+3a-1=0，解得a=．（舍去）．综上①②可得：a=-．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分类讨论即可得出单调递增区间．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减为（-∞，），（2，+∞），利用单调性即可得出．。

2013年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•红桥区二模）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）解：由=本题考查了复数的基本概念，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的运算题．2．（5分）（2013•红桥区二模）“x＞l”是“x＞0”的（）＞＞”＞0.224．（5分）（2013•红桥区二模）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的单调递增区间是（）[+k[+k，[，令≤，）图象上所有点向右平移个单位，可得函数+）再将所得图象的横坐标变为原来的≤，≤+[，5．（5分）（2013•红桥区二模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值是．由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数得2绝对值不等式的解法；交集及其运算；函数的值域．7．（5分）（2013•红桥区二模）己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近线分别交于A，．x﹣（﹣（﹣xx交于，（﹣，⇒为8．（5分）（2013•红桥区二模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序（其中“r=a MOD 4”表示“r等于a除以4的余数”），输出S值等于（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•红桥区二模）一学校从一个年级的两个班中抽出部分同学进行一项问卷调查，已知理科班有56名同学，文科班有42名同学，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为28的样本．那么这个样本中的文科学生、理科学生的比是3：4．10．（5分）（2013•红桥区二模）若直线（m﹣l）x﹣y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值等于．，．11．（5分）（2013•红桥区二模）如图，边长为1的菱形OABC中，AC交OB于点D，∠AOC=60°，M，N分别为对角线AC，OB上的点，满足，则•=．，，∴=+=+=﹣+∴•=故答案为：12．（5分）（2013•红桥区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．V=（3=故答案为：13．（5分）（2013•红桥区二模）如图，C，B，D，E四点共圆，ED与CB的延长线交于点A．若AB=4，BC=2，AD=3，则DE=5．14．（5分）（2013•红桥区二模）某人要在自家的院内建造一间背面靠墙的小房，地面面积为10m2，房屋正面造价每平米约为1000元，房屋两个侧面造价均为每平米约800元，屋顶总造价约为5000元，如果计划把小屋墙高建到2m，且不计房屋背面和地面的费用，则房屋主人至少要准备资金21000元．式，利用基本不等式即可求出函数的最小值，进而得到答案．y=+3200x+50002=3200x三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•红桥区二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面积（1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值；（2）求边BC，AB的长度．）由求得DAC=DAB=）∵=DAC=DAC==DAB=16．（13分）（2013•红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动，准备了5张标有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，规定通过游戏来决定抽奖机会，每个获得抽奖机会的同学，一次从中任意抽取2张卡片，两个卡片中的数字之和为5时获一等奖，两个卡片中的数字之和能被3整除时获二等奖，其余情况均没有奖．（1）共有几个一等奖？几个二等奖？（2）求从中任意抽取2张，获得一等奖的概率；（3）一名同学获得两次抽奖机会，求①获得一个一等奖和一个二等奖的概率：②两次中至少一次获奖的概率．张卡片中任取两张的所有可能情况，直接查出获一等奖和张卡片中任取两张，共有10P=获得一个一等奖和一个二等奖的概率17．（13分）（2013•红桥区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC，AC=．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线CF与平面BDEF所成的角；（3）求异面直线AF与BD所成的角．OC=，AC=1BD=18．（13分）（2013•红桥区二模）已知等比数列{a n}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=21og3a n，求证：数列{b n}成等差数列；（3）是否存在非零整数λ，使不等式…．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．）令．∵；）∵，∴．，则不等式等价于（﹣λ=．，即综上，，由19．（14分）（2013•红桥区二模）已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．（1）求椭圆的方程．（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积；（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．，得=x+1，因为离心率等于所以所以椭圆方程为：；（﹣y=，代入中，，，又所以x+1，得（，解得①，得（，解得②，得：，代入得：，，k=20．（14分）（2013•红桥区二模）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．，，此时时，＞e的最大值为。

高三数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合2{|1},{|0}A x x B x x x =<=-≤，则AB =A ．{|11}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤<2、盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所有取出的2个球颜色不同的概率等于 A ．310 B ．25 C ．35 D ．123、根据如下图所示的框图，对大于2的正数N ，输出的数列的通项公式是A ．2n a n =B ．2(1)n a n =-C ．2n n a =D ．12n n a -=4、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值 A ．2 B ．3 C ．32 D ．925、设:{|lg(1)},:{|21}xp x x y x q x x -∈=-∈<，则p 是q 的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6、在ABC ∆中，0120,2,3,,ABC BA BC D E ∠===是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为 A ．659 B ．119 C ．419 D ．139-7、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再讲图象上没一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为A ．18πB ．14πC ．38πD ．12π 8、已知函数()2log ,02sin(),2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x --的取值范围是A ．(9,21)B ．(20,32)C ．(8,24)D ．(15,25)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、设i 为虚数单位，复数z 满足3(2)z i i -=，则复数z 的虚部为 10、()21ln 2f x x x =-+在1[,]e e上的最大值是 11、已知函数()12cos (0),()2,()0f x wx wx w f x f x +>=-=，且12x x -的最小值 等于π，则w = 12、已知直线:l y =，点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为13、如图，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于点,A B ，若2ABF ∆为 等边三角形，则双曲线的离心率为 14、已知下列命题： ①函数()f x =有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R x x ∀∈-+>，则命题“()p q ∧⌝”是假命题； ④函数()3231f x x x =-+在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===. （1）求c 的值； （2）求sin(2)4A π-的值.18、（本小题满分13分）某人准备投资1200万元办一所中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据，列表如下（以班级为单位）： 市场调查表：根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费外，初中每人每年可以取600元，高中每人每年可收取1500元，因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜（含20个与30个），教师实行聘任制，初、高中的教育周期均为三年，设初中编制为x 个班，高中编制为y 个班，请你合理安排招生计划，使年利润最大.17、（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且,,2PA PD AD E F ==分别为,PC BD 的中点. （1）求证：平面//EF 平面PAD ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；18、（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足1221,3,32(,2)n n a a a a n N n ++===-∈≥.（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足242log (1)n n b a =+，证明：对一切正整数n ，有2221211111112n b b b +++<--- .19、（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>. （1）求椭圆C 的方程； （2）设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值， 及取得最大值时直线l 的方程.20、（本小题满分14分 已知函数()3212()32a f x x x x a R =-+-∈. （1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若对于任意[1,)x ∈+∞都有()2(1)f x a '<-成立，求实数a 的取值范围； （3）过过点1(0,)3-可作函数()y f x =图象的三条不同切线，求实数a 的取值范围.高三数学（文）（1705）一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．52-10．21- 11．12121 13．7 14．③④ 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分） （Ⅰ） 根据正弦定理，， (2)因为，所以． (5)（Ⅱ）根据余弦定理，得 ， (8)于是 ，从而，， (11)． (13)（16）（本小题满分13分）设初中编制为 个班，高中编制为 个班，则依题意有 (4)又设年利润为 万元，那么，即 (7)在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域，如图所示． (10)问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线在轴上的截距的最大值．显然图中的点是符合题意的最优解．解方程组得即． (11)所以．故学校规模以初中个班、高中个班年利润最大 (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接，为正方形，为中点，为中点．所以在中，，且，所以． (4)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (6)所以， (7)又，所以是等腰直角三角形，且即 (9)，且所以又，所以． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）因为， 所以，因为，，所以， (3)所以数列是以为首项， 为公比的等比数列，则所以 (7)（Ⅱ）nn 2)112(log 224=+-= (9)则 (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得：2212133a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当k不存在时，x y =∴=，1324OAB S ∆∴== (5)②当k 存在时，设直线为y kx m =+，()()1122,,,,A x y B x y222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................8 212122263313,13km m x x x x k k --+==++ (9)2243(1)d r m k =⇒=+ (10)||AB ===2=≤ (12)当且仅当2219,k k =即k =时等号成立..........................13 11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=∴OAB ∆面积的最大值为，此时直线方程1y x =±. (14)（20）（本小题满分14分） （Ⅰ）当时，，得． (1)因为232-+-=x x x f ）（’=)1(2---x x ）（ ， 所以当时，，函数单调递增； 当或时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．...........4 （Ⅱ）方法1：由x x a x x f 2231)(23-+-=，得．因为对于任意都有成立，即对于任意都有成立， 即对于任意都有成立，令 ，要使对任意 都有成立，必须满足 或即 或所以实数 的取值范围为 ． (9)方法2：由x x a x x f 2231)(23-+-=，得 ，因为对于任意都有成立，所以问题转化为，对于任意 都有．因为 ，其图象开口向下，对称轴为．①当 时，即时，在上单调递减，所以 ，由 ，得，此时 ．②当 时，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以 ，由，得，此时．综上①②可得，实数 的取值范围为 ． (9)（Ⅲ）设点是函数图象上的切点，则过点 的切线的斜率为 ，所以过点 的切线方程为 ．因为点 在切线上，所以即．若过点可作函数图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解．令，则函数与轴有三个不同的交点．令，解得或．因为，，所以必须，即．所以实数的取值范围为． (14)。

高三数学(文)第I 卷参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么P(AB)=P(A)+P(B)．·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)． ·棱柱的体积公式V=Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高． ·锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．·球的体积公式V=334R π．其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 气， (1)复数512ii-=（ ） A ．2-i B ．1-2i C ．-l+2i D ．-2+i(2)设全集U=R ，集合A={2|0x x x +≥}，则集合U A ð=（ ） A ．[-l ，0] B ．(-l ，0) C ．(-∞，-1)[0，+∞) D ．[0，l](3)把函数sin()(0,||)y x ωφωφπ=+><的图象向左平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为sin y x =，则（ ）A ．2,3πωφ==-B ．1,26πωφ==C ．2,6πωφ== D ．1,212πωφ== (4) 函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内（ ） A ．(0，1) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)(5)己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．92cm 3C ．84cm 3D ．100 cm 3(6)若直线22ax by -+=0(a>0，b>0)经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11a b+最小值是（ ） A ．12 B ．4 C ．14D ．2 (7)已知函数2221,0,()21,0.x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩则对任意x 1，x 2∈R ，若| x 2|>| x 1|>0，下列不等式成立的（ ）A ．12()()f x f x -<0B ．12()()f x f x ->0C ．12()()f x f x +>0D ．12()()f x f x +<0 (8)以下命题中，真命题有（ ）①已知平面α、β和直线m ，若m //α且αβ⊥，则m β⊥． ②“若x 2<1，则-1<x <1”的逆否命题是“若x <-1或x >1，则x 2>1”． ③已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+，则23λ=． ④着实数x ，y 满足约束条件0,10,220,x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩则z =2x -y 的最大值为2．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分．共30分． (9)执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是 ．(10)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若22265b c a b c +-=，则sin()B C +的值为 ． (11)已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的范围是 ．(12)已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，定点A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为 .(13)如图，圆O 的直径AB=8，C 为圆周上一点，BC=4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．(14)某公司推出了下表所示的QQ 在线等级制度(如下图所示)，设等级为n 级需要的天数为a n (n ∈N*)，则等级为50级需要的天数a 50= .三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (15)(本小题满分l3分)某小组共有么、B 、C 、D 、E 五位同学，他们高三一模的数学成绩以及语文成绩如下表所示：(I)从该小组数学成绩低于l20分的同学中任选2人，求选到的2人数学成绩都在110分以下的概率；(II)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的数学成绩都在90以上且语文成绩都在[86，110)中的概率．(16)(本小题满分13分)已知函数2()sin cos2222x x xf x=+．(I)求函数()f x的最小正周期：(II)求函数()f x的单调增区间．(17)(本小题满分l3分)AE⊥如图，在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为正方形，平面CDE，∠ADE的余弦值为45，AE=3．(I)若F为DE的中点，求证：BE//平面ACF；(II)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．(18)(本小题满分13分)已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{b n}的第2项、第3项、第4项．(I)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n}对任意n∈N+均有3121123...nnnc cc cab b b b+++++=成立，求c l+c2+c3+……+c2014的值．(19)(本小题满分14分)已知函数322()'()3f x x f x x c=+-+(其中2'()3f为()f x在点23x=处的导数，c为常数)．(I)求2'()3f的值。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(A){}1,0,1- (B){}1,0 (C){}1,0-(D){}2,1,0,1-（2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q(A)21-(B)21(A)b a c >> (B)a b c >>(C)c b a >>(D)a c b >>（4）设0log :2<x p ，12:1<-x q ，则p 是q 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是(A)π32(B)π34（7）将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移)0(>m m 个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是(A)12π-(B)12π(C)6π-(D)6π （8）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为(A)22 (B)32(C)4(D)52（9）已知函数⎩⎨⎧≤-->-=0,20,12)(2x x x x x f x ，若函数m x f x g -=)()(有三个零点，则实数m 的取值范围是 (A)()0,∞- (B)()+∞,1(C)()0,1(D)[]1,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 为虚单位，则复数=-2)1(3i ______.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.（12）已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是______.（13）已知实数b a ,满足条件：0<ab ，且1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b1的等差中项，则=++22ba ba ______. （14）曲线)1ln 3(+=x x y 在点），（11处的切线方程为______.（15）已知b a ,是单位向量，且0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的最大值是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. （18）（本小题满分15分）四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2==AB PA ，3=AD ，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（Ⅰ）求证：⊥PB 平面ADF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， （1）求线段CE 的长；（2）求二面角A ED P --的余弦值. （19）（本小题满分51分）（20）（本小题满分51分）函数ax x x f -=ln )(，R ∈a . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知e x =1和2x 是函数)(x f 的两个不同的零点，求a 的值并证明：232e x >.（其中e 为自然对数的底数）高三数学参考答案一、选择题每题5分二、填空题每题5分 10.i 2311.15012.1013.31-14.34-=x y 15.12+ 三、解答题。

2013年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•红桥区二模）i是虚数单位，复数的共轭复数是（）=2．（5分）（2013•红桥区二模）“x＞l”是“x＞0”的（）因为“x解：∵“x可得“x“x∴“x＞1”是“x0.224．（5分）（2013•红桥区二模）把函数y=sin（x+）图象上所有点向右平移个单位，再将所得图象的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得图象的单调递增区间是（）+k+k，+k≤2x≤2k+）图象上所有点向右平移+倍（纵坐标不变）﹣﹣++k，5．（5分）（2013•红桥区二模）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y6．（5分）（2013•红桥区二模）集合A={x||x﹣2|≤2}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B=7．（5分）（2013•红桥区二模）己知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1两条渐近=4﹣x（﹣，﹣=4，x交于∴A（﹣（﹣，．8．（5分）（2013•红桥区二模）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序（其中“r=a MOD 4”表示“r等于a除以4的余数”），输出S值等于（）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2013•红桥区二模）一学校从一个年级的两个班中抽出部分同学进行一项问卷调查，已知理科班有56名同学，文科班有42名同学，采用分层抽样的方法，抽出一个容量为28的样本．那么这个样本中的文科学生、理科学生的比是3：4 ．10．（5分）（2013•红桥区二模）若直线（m﹣l）x﹣y+2=0与直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值等于．，11．（5分）（2013•红桥区二模）如图，边长为1的菱形OABC中，AC交OB于点D，∠AOC=60°，M，N分别为对角线AC，OB上的点，满足，则•= ．，AC⊥OB，再利|OB|==+=+﹣•=故答案为：12．（5分）（2013•红桥区二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．V=（）•1•3=故答案为：13．（5分）（2013•红桥区二模）如图，C，B，D，E四点共圆，ED与CB的延长线交于点A．若AB=4，BC=2，AD=3，则DE= 5 ．14．（5分）（2013•红桥区二模）某人要在自家的院内建造一间背面靠墙的小房，地面面积为10m2，房屋正面造价每平米约为1000元，房屋两个侧面造价均为每平米约800元，屋顶总造价约为5000元，如果计划把小屋墙高建到2m，且不计房屋背面和地面的费用，则房屋主人至少要准备资金21000 元．+3200x+5000≥2=3200x三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2013•红桥区二模）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，已知∠B=60°，AC=7．AD=6，面积（1）求sin∠DAC和cos∠DAB的值；（2）求边BC，AB的长度．由sin∠DAC=中，sin∠BAC=sin∠DAB=）∵=•AD•AC•sin∠DAC=×6×7×sin∠DAC，解得sin∠DAC==中，sin∠BAC=sin∠DAB=﹣14AB•16．（13分）（2013•红桥区二模）某学校高三（1）班学生举行新年联欢活动，准备了5张标有1，2，3，4，5的外表完全相同的卡片，规定通过游戏来决定抽奖机会，每个获得抽奖机会的同学，一次从中任意抽取2张卡片，两个卡片中的数字之和为5时获一等奖，两个卡片中的数字之和能被3整除时获二等奖，其余情况均没有奖．（1）共有几个一等奖？几个二等奖？（2）求从中任意抽取2张，获得一等奖的概率；（3）一名同学获得两次抽奖机会，求①获得一个一等奖和一个二等奖的概率：②两次中至少一次获奖的概率．P=①获得一个一等奖和一个二等奖的概率两次中至少一次获奖的概率为．（2013•红桥区二模）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，已知∠DAB=∠DBF=60°，17．（13分）且FA=FC，AC=．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求直线CF与平面BDEF所成的角；（3）求异面直线AF与BD所成的角．AC=，BD=OF=BD=18．（13分）（2013•红桥区二模）已知等比数列{a n}的公比q≠1，a1=3，且3a2、2a3、a4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=21og3a n，求证：数列{b n}成等差数列；（3）是否存在非零整数λ，使不等式…．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．，则不等式等价于（﹣．∵a；，∴，=．，即综上，，由19．（14分）（2013•红桥区二模）已知椭圆：=l（a＞b＞0）的一个顶点坐标为B（0，1），若该椭圆的离心率等于．（1）求椭圆的方程．（2）Q是椭圆上位于x轴下方的一点，F1F2分别是椭圆的左、右焦点，直线QF1的倾斜角为，求△QF1F2的面积；（3）以B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，判断这样的三角形存在吗？若存在，有几个？若不存在，请说明理由．，得x+1，因为离心率等于，，解得所以椭圆方程为：；（﹣，代入中，，，=x+1①，②，，得：，，，k=20．（14分）（2013•红桥区二模）已知函数f（x）=ax2﹣e x（a∈R），f′（x）是f（x）的导函数（e为自然对数的底数）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（3）若当x≥0时，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求实数a的最大值．即，此时a≤时的情况：．。

参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．10．11．12．13．14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）根据正弦定理，， (2)因为，所以． (5)（Ⅱ）根据余弦定理，得， (8)于是，从而，， (11)． (13)（16）（本小题满分13分）设初中编制为个班，高中编制为个班，则依题意有 (4)又设年利润为万元，那么，即 (7)在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域，如图所示． (10)问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线在轴上的截距的最大值．显然图中的点是符合题意的最优解．解方程组得即． (11)所以 ．故学校规模以初中 个班、高中 个班年利润最大.....................................13 （17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接， 为正方形， 为 中点， 为 中点． 所以在 中，，且，所以． (4)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． ....................................6 所以，.................................7 又， 所以 是等腰直角三角形， 且 即. (9)，且 所以又，所以．..............................13 （18）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为，所以 ，因为，，所以，...............................3 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 所以 (7)（Ⅱ）n n2)112(log 224=+-= (9)则 (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当不存在时，，13224OAB S ∆∴== (5)②当存在时，设直线为，222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................8 212122263313,13km m x x x x k k--+==++..........................9 2243(1)d r m k =⇒=+ .. (10)||AB ===2=≤ (12)当且仅当即时等号成立 (13)11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=，∴面积的最大值为，此时直线方程. ..........................14 （20）（本小题满分14分） （Ⅰ）当 时，，得．. (1)因为= ，所以当 时，，函数 单调递增； 当 或 时， ，函数 单调递减．所以函数 的单调递增区间为，单调递减区间为． (4)（Ⅱ）方法1：由x x a x x f 2231)(23-+-=，得． 因为对于任意 都有 成立，即对于任意 都有成立，即对于任意 都有 成立， 令，要使对任意 都有 成立，必须满足 或即 或所以实数 的取值范围为． (9)方法2：由x x a x x f 2231)(23-+-=，得， 因为对于任意 都有 成立，所以问题转化为，对于任意 都有．因为，其图象开口向下，对称轴为．①当 时，即 时， 在 上单调递减， 所以，由，得，此时．②当 时，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，所以， 由，得，此时．综上①②可得，实数 的取值范围为．.........................................9 （Ⅲ）设点 是函数 图象上的切点，则过点 的切线的斜率为，所以过点的切线方程为．因为点在切线上，所以即．若过点可作函数图象的三条不同切线，则方程有三个不同的实数解．令，则函数与轴有三个不同的交点．令，解得或．因为，，所以必须，即．所以实数的取值范围为． (14)。

天津市红桥区2023届高三二模数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为( )A. B.C.D.4.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.5.若，则( )A. 8B. 25C. 16D. 46.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则( )A. 上单调递减B. 上单调递减C.上单调递增D.上单调递增7.已知双曲线的右焦点F 与抛物线的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线的准线于点B ，若三角形为原点的面积，则双曲线的方程为( )A. B.C.D.8.已知是定义在R 上的偶函数且在上为减函数，若，，，则( )A. B. C. D.9.已知菱形ABCD 的边长为2，，点E 在边BC 上，，若G 为线段DC 上的动点，则的最大值为( )A. 2B.C.D. 4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.若i 是虚数单位，则复数__________.11.若二项式的展开式共7项，则展开式的常数项为__________.12.已知直线和圆相交于A ，B 两点．若，则r 的值为__________.13.已知x ，，，则的最小值__________.14.若函数，函数有两个零点，则实数k 的取值是__________.15.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A 为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则__________，__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

绝密★启用前2020届天津市红桥区高三第二次模拟考试数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上参考公式：柱体的体积公式ShV =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式ShV 31=锥体，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的体积公式334R V π=球，其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(A){}1,0,1- (B){}1,0 (C){}1,0-(D){}2,1,0,1-（2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q(A)21-(B)21(A)b a c >> (B)a b c >>(C)c b a >>(D)a c b >>（4）设0log :2<x p ，12:1<-x q ，则p 是q 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是(A)π32(B)π34（7）将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移)0(>m m 个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是(A)12π-(B)12π(C)6π-(D)6π（8）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为(A)22 (B)32(A)()0,∞- (B)()+∞,1(C)()0,1(D)[]1,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 为虚单位，则复数=-2)1(3i ______.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.（12）已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是______.（15）已知b a ,是单位向量，且0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的最大值是______.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望.（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知e x =1和2x 是函数)(x f 的两个不同的零点，求a 的值并证明：232e x >.（其中e 为自然对数的底数）高三数学参考答案二、填空题每题5分 10.i 2311.15012.1013.31-14.34-=x y 15.12+ 三、解答题。