14幂级数
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第十章 幂级数目的与要求：1. 掌握幂级数收敛半径，收敛区间和收敛域的概念．幂级数收敛半径和收敛区间的定义与求法；2. 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开.重点与难点：本章重点是幂级数收敛的有关概念和函数的幂级数展开；难点则是利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数及求幂级数的和函数.第一节 幂级数前面介绍了一般的函数项级数，重点是函数项级数收敛、一致收敛的判定方法以及一致收敛函数项级数的性质.从今天开始，我们将陆续向大家介绍两类特殊的常用的函数项级数，一类是“幂级数”（代数多项式的推广）；另一类是“Fourier 级数”（三角多项式的推广，三角级数的特例，在物理中有广泛的应用）.定义（幂级数）：形如+-+-+=-∑∞=20201000)()()(x x a x x a a x x a n n n （1） 的函数项级数称为幂级数.特例：当00=x ，即在点零处的幂级数为+++=∑∞=22100x a x a a x a n n n （2）若在（1）中令t x x =-0，则（1）化为（2）的形式，故研究幂级数，只需研究在点零处的幂级数即可.幂级数形式上的特点：一般项为n n x x a )(0-，从而所求的和是多项式（最简单函数），是一种比较简单的函数项级数，因而具有一些特殊的性质.如收敛域一定是区间（退化区间——点）.又在收敛域内可任意次逐项求导和求积等，这些优点使其成为一类最常用的级数.一 幂级数的收敛性1 幂级数的收敛区间定理1（阿贝尔定理） 若幂级数∑∞=0n n n x a 在0≠=x x 收敛，则对满足不等式x x <的任何x ，幂级数∑∞=0n nn x a 收敛而且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x x = 时发散，则对满足不等式x x >的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 发散.注 由此定理知道：幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛域是以原点为中心的区间.若以R 2表示区间的长度,则称R 为幂级数的收敛半径.实际上,它就是使得幂级数∑∞=0n n n x a 收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.所以当0=R 时, 幂级数∑∞=0n n n x a 仅在0=x 处收敛；当+∞=R 时, 幂级数∑∞=0n n n x a 在),(+∞-∞上收敛；当+∞<<R0时, 幂级数∑∞=0nnnxa在),(RR-上收敛；对满足不等式Rx>的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa都发散；至于Rx±=,幂级数∑∞=0nnnxa可能收敛也可能发散.我们称),(RR-为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.2 幂级数的收敛半径的求法定理2 对于幂级数∑∞=0nnnxa,若ρ=∞→nnn alim则当 (1)+∞<<ρ0时, 幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径ρ1=R；(2)0=ρ时, 幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径+∞=R；(3)+∞=ρ时, 幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径0=R.3 求收敛半径和收敛域的例子例1 （1）∑∞=1nnnx；（2）∑∞=1nnn xn；（3）∑∞=0!nnnx.例2 求级数∑∞=-12)1 (nnnnx的收敛半径和收敛域4 幂级数的一致收敛性定理4 若∑∞=0nnnxa的收敛半径为)0(>R，则此级数在收敛区间),(RR-内任一闭区间],[ba上级数∑∞=0nnnxa都一致收敛.定理 5 若∑∞=0nnnxa的收敛半径为)0(>R，且在Rx=(或Rx-=)时收敛,则级数∑∞=0 nnnxa在],0[R(或]0,[R-)上一致收敛.二幂级数的性质1 连续性定理6 （1）设幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径为)0(>R，和函数为)(xs.则和函数为)(xs是),(RR-内连续函数；(2)若幂级数∑∞=0nnnxa在收敛区间的左(右)端点上收敛, 则和函数也在这一端点上左(右)连续.2 可微性与可积性定理7 幂级数∑∞=0nnnxa与逐项求导所得的幂级数∑∞=-11nnnxna及逐项积分所得的幂级数∑∞=+ +1 1nnn xna具有相同的收敛区间.定理8 设幂级数∑∞=0nnnxa在收敛区间),(RR-上的和函数为)(xs,若x为),(RR-内任一点,则(1) )(x s 在x 可导, 且∑∞=-='11)(n n n x na x s ；(2) )(x s 在0与x 这个区间上可积,且∑⎰∞=++=0101)(n n n x x n a dx x s . 该定理指出幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间),(R R -内可逐项求导与逐项求积.推论 1 设)(x s 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间),(R R -上的和函数,则在),(R R -内)(x s 具有任何阶导数,且∑∞=-='11)(n n n x na x s ；∑∞=--=''22)1()(n n n x a n n x s ；…………() +-++=+x a n n n a n x s n n n 12)1()1(!)(…………推论 2 设)(x s 为幂级数∑∞=0n nn x a 在0=x 的某邻域内的和函数,则幂级数∑∞=0n n n x a 的系数与)(x s 在0=x 处的各阶导数有如下关系：)0(0s a =,!)0()(n s a n n = () ,2,1=n 这个推论还表明,若幂级数∑∞=0n nn x a 在),(R R -上有和函数)(x s ,则幂级数∑∞=0n n n x a 由)(x s在0=x 处的各阶导数所唯一确定.3 幂级数性质的应用例3 求幂级数∑∞=--11)1(n n n nx 的和函数)(x s . 例4 求∑∞=12n n nx 的和函数)(x s .例5 求∑∞=++-01212)1(n n nn x 的和函数)(x s . 例6 求∑∞=1n nn x 的和函数)(x s .三 幂级数的运算1 幂级数的相等若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在0=x 的某邻域内有相同的和函数,则称这两个幂级数在这邻域内相等.定理9 若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在0=x 的某邻域内相等,则它们同次幂项的系数相等,即n n b a = () ,2,1=n .根据这个定理还可推得：若幂级数∑∞=0n nn x a 的和函数为奇(偶)函数,则幂级数∑∞=0n n n x a 中不出现偶(奇) 次幂的项.2 幂级数的运算定理10 若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R ，则有 =∑∞=0n nn x a λ∑∞=0n n n x a λ，a R x <∑∞=0n n n x a =±∑∞=0n nn x b ∑∞=±0)(n n n n x b a ， R x <⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n n x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=0n n n x b ∑∞==0n n n x c ， R x < 其中λ为常数，{}b a R R R ,min =，∑=-=nk k n k n b a c 0.例7 几何级数在收敛域)1,1(-内有 +++++=-=n x x x xx f 2111)( 对级数在)1,1(-内逐项求导得() +++++=-='-12232111)(n nx x x x x f()+-++⋅+⋅+=-=''-223)1(342321!2)(n x n n x x x x f 对级数在],0[x ()1<x 内逐项求积得 ∑⎰⎰∞==-00011n xn x dt t dt t ,所以 ++++++=-+13211ln 132n x x x x x n()1<x . 上式对1-=x 也成立.作业 P50 1，2，3，4.第二节 函数的幂级数展开一 问题的提出幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等）.这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数来研究？二 泰勒级数1 泰勒级数在第六章第三节的泰勒定理中曾给出，若函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数，则)()(!)())(()()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+= ， 其中10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 与0x 之间.并称 )()(!)())(()()(00)(000x R x x n x f x x x f x f x f n n n +-++-'+= 为)(x f 在点0x 的泰勒公式. 如果在泰勒公式中抹去余项)(x R n ,那么在点0x 的附近)(x f 可用泰勒公式右边的多项式来近似代替,如果函数)(x f 在点0x 处存在任意阶导数,这时称形式为+-++-'+n n x x n x f x x x f x f )(!)())(()(00)(000的级数为函数)(x f 在 点0x 的泰勒级数.对于)(x f 在点0x 的泰勒级数是否能在点0x 的附近确切地表达)(x f ，或说)(x f 在点0x 的泰勒级数在点0x 的附近的和函数是否就是)(x f ，这就是本节所要讨论的问题. 先看一个例子.例1 由于函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,)(21x x e x f x在0=x 处任何阶导数都等于零(第六章第四节第二段末尾),即0)0()(=n f , ,2,1=n ,所以)(x f 在0=x 的泰勒级数为 ++++⋅+n x n x x !0!20002 显然它在),(+∞-∞上收敛,且其和函数0)(=x s .由此看到,对一切0≠x 都有 )(x f )(x s ≠.这个例子说明,具有任意阶导数的函数,其泰勒级数并不是都能收敛于函数本身. 2 函数的泰勒级数收敛于函数本身的条件定理11 设)(x f 在点0x 具有任意阶导数,那么)(x f 在区间),(00r x r x +-内等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式r x x <-0的x ,有 0)(lim =∞→x R n n 这里)(x R n 是)(x f 在点0x 的泰勒公式中的余项.如果)(x f 能在0x 的某邻域上等于它的泰勒级数的和函数,则称函数)(x f 在0x 的这一邻域内可以展开成泰勒级数,并称等式+-++-'+=n n x x n x f x x x f x f x f )(!)())(()()(00)(000 的右边为)(x f 在0x x =处的泰勒展开式,或称幂级数展开式.3 幂级数展开的唯一性由级数的逐项求导性质可推得： 若)(x f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间),(R R -上的和函数,则幂级数∑∞=0n n n x a 就是)(x f 在),(R R -上的泰勒展开式,这就是幂级数展开的唯一性.4 麦克劳林级数在实际应用中,往往取00=x ，此时的泰勒级数 +++'+n n x n f x f f !)0()0()0()( 称为麦克劳林级数.注 从定理11知道,余项对确定函数能否展开为幂级数是极为重要的, 而泰勒公式中的余项)(x R n 有多种形式,即积分型余项、拉格朗日型余项和柯西型余项,它们分别是 dt t x t f n x R x n n n ⎰-=+0)1())((!1)(, 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ，ξ在x 与0x 之间,1)1()1)((!1)(++-=n n n n x x f n x R θθ，10≤≤θ . 三 初等函数的幂级数展开式1 基本初等函数的幂级数展开式 (1) +++++=!!212n x x x e nx, ∞+<∞-x (2) ++-+-+-=+)!12()1(!5!3sin 1253n x x x x x n n , ∞+<∞-x (3) +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n , ∞+<∞-x (4) +-+-+-=+-nx x x x x n n 132)1(32)1ln(, 11≤<-x (5) ++-+-+-=+)12()1(53arctan 1253n x x x x x n n , 11≤≤-x (6) n n n x C x ∑∞==+0)1(αα, 11<<-x 此处, ,2,1,0≠α, !)1()2)(1(n n C n +---=ααααα . (7) ++⋅-++⋅+⋅+=+12!2!)!12(583321arcsin 1253n x n n x x x x n n , 11≤≤-x . 2 基本展开式的应用例1 求下列函数的幂级数展开式.(1)x 2sin ； (2))2)(1(6+-x x ； (3))1ln(2x x ++ .例2 将xx f 1)(=按1x -的幂展开成幂级数； 例3 将x x f ln )(=按11x x -+的幂展开成幂级数. 作业 P58 1，2，3.。
