浙江省嘉善县新世纪学校高中数学 2.2 等差数列(1)学案 新人教A版必修5(1)

2．2 等差数列（一）教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

（二）教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

教学用具：投影仪（四）教学设想[创设情景]上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

[探索研究]由学生观察分析并得出答案：（放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,……2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。

该项目共设置了7个级别。

其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。

如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。

2.2等差数列性质预习案【学习目标】1.准确理解等差数列的性质，掌握由等差数列的通项公式研究其图象的方法，提高运算求解能力.2.通过对等差数列通项公式的推导和等差数列性质的探究，进一步渗透数形结合思想、函数思想及方程思想.3.激情参与、惜时高效，激励学生自主探究，发现规律，感受等差数列的内在奥妙. 【重点】：等差数列的性质. 【难点】：等差数列的性质的应用. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1. 等差数列的通项公式是什么？与一次函数有什么关系？2. 利用等差数列的通项公式可以解决那些问题？3. 若a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 、b 的________，即A=_______________4. 判断一个数列是否为等差数列的方法有哪些？ Ⅱ.教材助读1.依据等差数列的概念，你能写出等差数列的通项公式吗？公差对数列的增减性有何影响？2.已知等差数列的公差为d ，第m 项为m a ，第n 项为n a （n>m ）则n a =m a +_________3.已知一个等差数列的首项是1a ，公差为d ，（1）将数列的前m 项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（2）取出数列的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（3）取出数列中所有项数是7的倍数的项，组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？（4）数列,,,543432321a a a a a a a a a ++++++......是等差数列吗？如果是，它的首项和公差各是什么？【预习自测】1.在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则B 等于（ ） A ．30 B.60 C.90 D.不能确定2.若{a n }是等差数列，则,,,543432321a a a a a a a a a ++++++987a a a ++,……,n n n a a a 31323++--,……( )A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D ．一定是递减数列 3.已知等差数列{a n }中，741a a a ++=39，33852=++a a a ，则963a a a ++等于（ ） A ．30 B.27 C.24D.21【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究 探究一：等差数列的性质问题1：如果数列{a n}是等差数列，首项为a1,公差为d，则通项公式a n=____________=___________.其中变化的量为n，a n，则点(n,a n)在直线____________上；点(n,a n)的横坐标每增加1，函数值增加_____.问题2：等差数列的性质：已知一个等差数列{a n}，其中首项是a1，公差为d，（1）下标成等差数列且公差为m的项a k，a k+m，a k+2m，…（k,m∈N*）组成公差为_____的等差数列.（2）a1+a2，a3+a4,a5+a6，…组成公差为_____的等差数列. a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m，a2m+1+a2m+2+…+a3m,…组成公差为_____的等差数列.（3）若{b n}是公差为d0的等差数列，则数列{pa n+qb n}（p，q为常数）是公差为________的等差数列.（4）若{a n}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都_______，且等于_______________.（5）若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则a m+a n与a p+a q相等吗？说明理由.（6）若m+n=2p，则a m+a n_____2a p，a m+a n_____a2p（填“=”或“≠”）.【归纳总结】等差数列的性质有哪些？数列{a n}为等差数列，首项是a1，公差为d.（1）d＞0,{a n}是递增数列；d＜0，{a n}是递减数列；d=0,｛a n｝是常数列.（2）a n=a m+(n-m)d(m,n∈N*).（3）a1+a2+…+a m,a m+1+a m+2+…+a2m,…组成公差为m2d的等差数列.（4）a m,a2m,a3m,…,a km,…组成公差为md的等差数列.（5）若数列{b n}是公差为b的等差数列，p，q为常数，则{pa n±qb n}是公差为pd±qb的等差数列.（6）若m,n,p,q∈N*，且满足m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q.探究二：等差数列性质的应用（重难点）【例1】若{a n}是等差数列，a15=8,a60=20，求a75的值. 【规律方法总结】等差数列{an}的性质：（1）a1+a n=a2+a n-1=….（2）m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q a m+a n=a p+a q.（3）若m,n,p∈N*,且m,n,p 成等差数列，则a m,a n,a p成等差数列.（4）a n=a m+(n-m)d.（5）若数列{a n}是等差数列，则a n=an+b（a,b为常数,n∈N*）.（6）若{a n}与{b n}均为等差数列，则{a n±b n}也是等差数列.【拓展提升】已知等差数列{a n}中,a3a7=-16，a4+a6=0，求{a n}的通项公式.探究三：综合应用（重难点）【例2】数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2，b10=12，则a8等于( )A.0B.3C.8D.11【规律方法总结】（1）求通项公式常用的方法：①不完全归纳法；②公式法；③叠加法；④累积法.（2）判断一个数列是等差数列常用的方法有：①定义法；②等差中项法；③函数法：若a n=an+b（a,b为常数）,则数列{a n}是等差数列.（3）求数列的最大（小）项常用的方法：①不等式组法；②函数单调性判断法.Ⅱ.我的知识网络图训练案一、基础巩固------把简单的事做好就叫不简单！1．已知等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )A．15 B．30 C．31 D．642.已知{a n}是等差数列，a3＋a11＝40，则a6－a7＋a8等于( )A．20 B．48 C．60 D．723. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )．A.a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 Ca3＋a100≤0 D．a51＝04.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m等于( ) A．4 B．6 C．8 D．125. 在等差数列{a n}中，a18＝95，a32＝123，a n＝199，则n=________.6. 已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20=_________7. 设数列{a n},{b n}都是等差数列, 若711=+ba,2133=+ba, 则=+55ba___。

《等差数列》说课稿各位领导、各位专家，你们好！我说课的课题是《等差数列》。

我将从以下五个方面来分析本课题：一、教材分析1.教材的地位和作用：《等差数列》是人教版新课标教材《数学》必修5第二章第二节的内容，是学生在学习了数列的有关概念和学习了给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

另一方面,等差数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，有着广泛的实际应用。

2.教学目标：a.在知识上，要求学生理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列通项公式的推导及思想，初步引入“数学建模”的思想方法并能简单运用。

b.在能力上，注重培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会了函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移到研究数列上来，培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析和解决问题的能力。

c.在情感上，通过对等差数列的研究，让学生体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。

3.教学重、难点：重点：①等差数列的概念。

②等差数列通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导。

②用数学思想解决实际问题。

二、学情分析对于高二的学生，知识经验已经比较丰富，他们的智力发展已经到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。

三、教法、学法分析教法：本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过提问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析并解决问题。

学法：在引导学生分析问题时，留出学生思考的余地，让学生去联想、探索，鼓励学生大胆质疑，围绕等差数列这个中心各抒己见，把需要解决的问题弄清楚。

四、教学过程我把本节课的教学过程分为六个环节：（一）创设情境，提出问题问题情境（通过多媒体给出现实生活中的四个特殊的数列）1.我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0， 5 ， 10 ， 15 ， 20 ，……①2.2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：Kg）：48 ，53 ，58 ， 63 ②3.水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。

2.2等差数列(第2课时)学习目标在理解等差数列定义、怎样判断等差数列及学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并运用其进行一些等差数列的有关计算.合作学习一、设计问题 , 创建情境在上一节我们已经学习了等差数列, 掌握了等差数列的定义、通项公式与公差, 作为一类特别的数列 , 能否拥有某些特别的性质?又怎样去证明或判断一个数列是等差数列呢?二、信息沟通 , 揭露规律1.关于三个数成等差数列 , 我们定义等差中项在以下的两个数之间, 插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.(1)2,(),4;(2)-12,(),0;(3)a,(),b.2.等差中项定义由三个数a,A,b 构成的等差数列能够当作最简单的等差数列. 这时 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .符号表示 :2A=a+b ? A=.【思虑】 (1) 在等差数列 {a n} 中 , 能否有 2a n+1=a n+a n+2建立 ?等差数列又能够怎么表达?从第 2 项起 , 每一项为哪一项它的前一项和后一项的等差中项.(2) 等差中项可应用于判断一个数列能否为等差数列.3.等差数列的性质问题 1: 列举几个数列, 察看数列的特色, 研究公差与数列单一性的关系.性质 1: 若数列 {a n} 是等差数列 , 公差为 d. 若 d>0, 则 {a n} 是递加数列 ; 若 d<0, 则 {a n} 是递减数列 ; 若 d=0, 则 {a n} 是常数列 .问题 2: 研究等差数列{a n} 中随意两项a n,a m之间的关系 . 它们之间的关系可表示为.由此也可获得等差数列通项公式的另一种表示:a n=a m+(n-m)d公差的另一种表示:d=,性质 2:a n=a m+(n-m)d,d=.问题3: 在等差数列{a n} 中 , 若 m+n=p+q,则 a m+a n=a p+a q必定建立吗? 特别地 ,m+n=2k, 则a m+a n=2a k建立吗 ?性质 3: 在等差数列 {a n} 中, 若 m+n=p+q,则 a m+a n=a p+a q.三、运用规律 , 解决问题4. 已知数列 {a n} 的通项公式为a n =pn+q, 此中 p,q 为常数 , 那么这个数列必定是等差数列吗?证明你的结论.5. 已知等差数列 {a n} 中 ,a 1+a4+a7 =15,a 2·a4·a6=45, 求数列 {a n} 的通项公式 .四、变式训练 , 深入提升6. 三个数成等差数列, 其和为 15, 其平方和为83, 求此三个数 .7. 已知 a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.五、反省小结 , 看法提炼参照答案二、信息沟通 , 揭露规律1.(1)3(2)-6(3)2.问题 1:略问题 2:a n=a m+(n-m)d剖析 : 证明等式 , 能够考虑从等号的双侧证明, 能够利用的是前方掌握的等差数列的通项公式 .解: 由等差数列的通项公式 a n=a1+(n-1)d, 得a m=a1+(m-1)d.a n-a m=-=(n-m)d,∴a n=a m+(n-m)d.即等式建立 .问题 3:a m+a n=a p+a q必定建立 ; 当 m+n=2k 时,a m+a n=2a k建立 .三、运用规律 , 解决问题4. 证明 : 取数列 {a n} 中的随意相邻两项a n与 a n-1 (n>1),求差得 a n-a n-1 =(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一个与n 没关的常数 , 因此 {a n} 是等差数列 .5. 解 : ∵ a1+a7=2a4, ∴a1+a4+a7=3a4=15, 由此获得a4=5.又∵ a2·a4·a6=45, ∴ a2a6=9, 即 (a 4-2d)(a 4+2d)=9, ∴ (5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.当 d=2 时 ,a n=a4 +(n-4)d=2n-3;当 d=-2 时 ,a n =a4+(n-4)d=13-2n.四、变式训练 , 深入提升6. 解 : 设这三个数分别为x-d,x,x+d.则解得∴相应地 , 所求三个数为3,5,7或7,5,3.7. 证明 : ∵ a,b,c成等差数列,∴ 2b=a+c.∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),∴b+c,c+a,a+b 成等差数列 .说明 : 假如 a,b,c成等差数列,常化成2b=a+c的形式去运用;反之,假如求证a,b,c成等差数列 , 常改证 2b=a+c 建立 .五、反省小结 , 看法提炼略。

等差数列〔一〕教课目标：1．明确等差数列的定，掌握等差数列的通公式；2．会解决知道a n,a1,d,n中的三个，求此外一个的教课要点：等差数列的观点，等差数列的通公式教课点：等差数列的性安排：2内容剖析：本是等差数列一局部，在等差数列的观点，突出了它与一次函数的系，就便于利用所学的一次函数的知来等差数列的性：从象上看，什么表示等差数列的各点都平均地散布在一条直上，什么两能够决定一个等差数列(从几何上看两点能够决定一条直)教课程：一、复引入：上两我学了数列的定及出数列和表示的数列的几种方法——列法、通公式、推公式、象法和前n和公式..些方法从不一样的角度反应数列的特色下边我看一些例子1．王尊得自己英成很差，当前他的量只yes,no,you,me,he5个他决定从今日起每日背10个，那么从今日开始，他的量每日增添，挨次：5，15，25，35，⋯〔：多少天后他的量抵达3000？〕2．于欣宜得自己英成很棒，她当前的量多达3000她打算从今日起不再背了，果不知不地每日忘记5个，那么从今日开始，她的量每日减，挨次：3000，2995，2990，2985，⋯〔：多少天后她那3000个所有忘光？〕从上边两例中，我分获得两个数列①5，15，25，35，⋯和②3000，2995，2990，2980，⋯同学仔察一下，看看以上两个数列有什么共同特色？答：从第二起，每一与它前面一的差等于同一个常数〔即等差〕；〔：每相两的差相等——指明作差的序是后减前〕，我拥有种特色的数列一个名字——等差数列二、解新：1．等差数列：一般地，假如一个数列从第二起，每一与它前一的差等于同一个常数，个数列就叫做等差数列，个常数就叫做等差数列的公差〔常用字母“d〞表示〕⑴．公差d必定是由后减前所得，而不可以用前减以后求；⑵．于数列{a n},假定a n －a n1=d(与n没关的数或字母)，n≥2，n∈N，此数列是等差数列，d公差，也是判断是不是等差数列的一种方法。

高中数学 2.2等差数列（1）学案新人教A 版必修5学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项.学习重难点1.重点： 等差数列的通项公式2.难点： 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项一、课前准备 （预习教材P 36 ~ P 39 ，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？ 复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？二、试一试问题一：等差数列的概念1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？① 0，5，10，15，20，25，… ② 48，53，58，63③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④ 10072，10144，10216，10288，10366 新知：1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.2.等差中项：由三个数a ，A ， b 组成的等差数列，这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A =问题二：等差数列的通项公式2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：21a a -= ，即：21a a =+ 32a a -= ， 即：321a a d a =+=+ 43a a -= ，即：431a a d a =+=+ ……由此归纳等差数列的通项公式可得：n a =∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a .※ 学习探究探究1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数. 探究 2 已知数列{n a }的通项公式n a pn q =+，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？变式：已知数列的通项公式为61n a n =-，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？小结：要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1n n a a --（n ≥2）是不是一个与n 无关的常数. ※ 模仿练习练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式和第20项.练2.在等差数列{}n a 的首项是51210,31a a ==， 求数列的首项与公差.三、总结提升 ※ 学习小结1. 等差数列定义： 1n n a a d --= (n ≥2)；2. 等差数列通项公式：n a =1(1)a n d +- (n ≥1).※ 知识拓展1. 等差数列通项公式为1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-. 分析等差数列的通项公式，可知其为一次函数，图象上表现为直线1(1)y a x d =+-上的一些间隔均匀的孤立点.2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为,,a d a a d -+. 若四个数成等差数列，可设这四个数为3,,,3a d a d a d a d --++.当堂检测1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）. A. 92 B. 47 C. 46 D. 452. 数列{}n a 的通项公式25n a n =+，则此数列是（ ）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n 的等差数列3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的第5项是（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 64. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则∠B ＝ .5. 等差数列的相邻4项是a +1，a +3，b ，a +b ，那么a ＝ ，b ＝ .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，⑴已知12a =，d ＝3，n ＝10，求n a ； ⑵已知13a =，21n a =，d ＝2，求n ；⑶已知112a=，627a=，求d；⑷已知d＝－13，78a=，求1a.2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度.课后反思。

2.2 等差数列-----学案一、学习目标1．理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的通项公式及应用．(重点、难点)3．掌握等差数列的判定方法．(重点)4．掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点)二、自主学习教材整理1等差数列的含义阅读教材P36～P37思考上面倒数第二自然段，完成下列问题．1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)．2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.教材整理2等差数列的通项公式阅读教材P37思考上面倒数第2行～P38，完成下列问题．1．等差数列的通项公式：以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝a1＋(n －1)d.2．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d个单位．教材整理3 等差数列的性质阅读教材P39探究及练习第4,5题，完成下列问题．1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是一固定常数；当d≠0时，a n相应的函数是一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．2．等差数列的性质(1){a n}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，a m＋a n＝2a k.②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝…＝a k＋a n－k＋1＝….(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．(3)若{a n}是公差为d的等差数列，则①{c＋a n}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；②{ca n}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{a n＋a n＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．(4)若{a n}，{b n}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pa n＋qb n}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．(5){n d，则d>0⇔{a n}为递增数列；d<0⇔{a n}为递减数列；d＝0⇔{a n}为常数列．三、合作探究探究1.等差数列的判定与证明例1.已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．【精彩点拨】 利用等差数列定义判断或证明a n ＋1－a n 为一个常数即可．【自主解答】 (1)欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数， 所以只有2p ＝0，即p ＝0时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：因为a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，所以a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q .而(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，所以{a n ＋1－a n }是等差数列．归纳总结：等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }为等差数列；(3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数，n ∈N *)⇔{a n }为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．探究2：等差中项的应用例2.已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求p ，q 的值．【精彩点拨】 将x 1，x 4，x 5用p ，q 表示出来，由x 1，x 4，x 5成等差数列，即2x 4＝x 1＋x 5列出关于p ，q 的方程组求解．【自主解答】 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，②由①②得q ＝1，p ＝1.归纳总结：三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)．探究3.等差数列的通项公式及其应用例3.(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值． 【精彩点拨】 设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．【自主解答】 (1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)法一：由⎩⎨⎧ a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34， ∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34， ∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 归纳总结：1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋m －d ＝a ，a 1＋n －d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．探究4. 灵活设元解等差数列例4.已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？(2)等差数列相邻四项和为26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？【自主解答】 法一：设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝26，a 1＋d a 1＋2d ＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －d a ＋d ＝40， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧ a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.归纳总结：1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a 1，公差为d ，利用已知条件建立方程组求出a 1和d ，即可确定数列．2．当已知数列有2n 项时，可设为a －(2n －1)d ，…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，a＋(2n －1)d ，此时公差为2d .3．当已知数列有2n ＋1项时，可设为a －nd ，a －(n －1)d ，…，a －d ，a ，a ＋d ，…，a＋(n －1)d ，a ＋nd ，此时公差为d .四、学以致用1．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12，∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列． (2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2，∴a n ＝1b n ＋2＝2n ＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2， 2．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________.【解析】 由m 和2n 的等差中项为4，则m ＋2n ＝8，又由2m 和n 的等差中项为5，则2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6，∴m 与n 的等差中项为m ＋n 2＝62＝3. 【答案】 33．－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？【解】 由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5－4(n －1)＝－4n －1.由题意知，－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项.4．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.【解】 (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d a ＝a ＋d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2. 五、自主小测1．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列2．等差数列的前3项依次是x －1，x ＋1,2x ＋3，则其通项公式为( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝2n －3C ．a n ＝2n －1D ．a n ＝2n ＋13．等差数列的第3项是7，第11项是－1，则它的第7项是________．4．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________.5．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝9，a 8＝6，则a 2＝______________________.6．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.参考答案1.【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．【答案】 A2.【解析】 ∵x －1，x ＋1,2x ＋3是等差数列的前3项，∴2(x ＋1)＝x －1＋2x ＋3，解得x ＝0，∴a 1＝x －1＝－1，a 2＝1，a 3＝3，∴d ＝2，∴a n ＝－1＋2(n －1)＝2n－3，故选B.【答案】 B3.【解析】 设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1，得a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，则a 7＝3.【答案】 34.【解析】 由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y ，①y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10，②由①②解得x ＝4，y ＝7.【答案】 4,75.【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝9，a 8＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3d ＝9，a 2＋6d ＝6，解之得a 2＝4. 【答案】 46.【解析】 由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72. 【答案】 72。

2.2.1等差数列（一）一.学习目标 1.通过对日常生活中实际问题的分析,建立等差数列模型.加强对等差数列概念的理解.体验数学发现和创造的过程;2.探索并掌握等差数列的通项公式；3.会用公式解决一些简单问题.二.课前知多少1.数列的定义:2.通项公式的定义：三 合作探究 问题解决问题1 阅读教材P36,思考下面的数列①②③④有什么共同的特点?0，5， ， ， ， ，……①48，53，58，63． ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③10072，10144，10216，10288，10360 ④在数列①中0,5,10,15,20……各项依次记为,,,,,54321a a a a a ……,填空)(12=-a a ,)(23=-a a )(34=-a a )(45=-a a …)(1=--n n a a …共同特点:问题2 你能总结一下等差数列的定义吗?请写在下面：等差数列的定义:等差中项的概念:例1判断下列数列是否为等差数列,并说明理由（1）1，2，3，5，7……. (2) 2，4，6，8，……2n(3) 0，0，0，0； （4）1，2，3，4，5，6；（5）11n a n ⎧=⎨-⎩ 12n n =≥问题3数列①②③④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？写出来。

问题4 等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，如何求数列{}n a 的通项公式?请试着推导：结论: 等差数列通项公式 +=1a a n （ ）d例2（1）求等差数列8，5，2，……的第20项；（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项？如果是，是第几项？练习：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数 1a3a 5a 7a d －78 2 －6.5例3. 某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4千米）计费10元。

如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？四.作业：1. 在等差数列{}n a 中，（1）已知,10,3,21===n d a 求n a ；（2）已知,21,2,31===n a d a 求n ；（3）已知d a a 求,27,1261==；（4）已知17,8,31a a d 求=-=；2.体育场一角的看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位.你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少人？3.等差数列{}n a 中，已知1251,4,33,3n a a a a =+==则n 为 （ ） A 48 B 49 C 50 D 514. 若a b ≠,两个等差数列a ，1x ，2x ，b 与a ，1y ，2y ，3y ，b 的公差分别是12,d d ，则12d d 等于 （ ） A 32 B 23 C 43 D 345. 等差数列的相邻4项是1,3,,a a b a b +++，那么,a b 的值分别是 （ ）A 2，7B 1，6C 0，5D 无法确定6.三位自然数中，是6的倍数的数共有___________个。

课题: §●教学目标知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。

●教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式。

●教学难点等差数列的性质●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。

下面我们看这样一些例子。

课本P41页的4个例子：①0，5，10，15，20，25，…②48，53，58，63③④10072，10144，10216，10288，10366观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列Ⅱ.讲授新课1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 。

数学必修五《2.2.1 等差数列（一）》教案教学要求：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式.教学难点：等差数列的性质.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知数列{}n a 满足1a ＝1, 1+n a ＝22+n n a a (n ∈N)，写出它的前5项并归纳出它的通项公式.2. 观察数列，找出它们的共同特征：①1,2,3,4,5、、、；②1.2,0.5,0.2,0.9,--、、、；③10072，10144，10216，10288，10366，、、、；④188,168,148,128,、、、.二、讲授新课：1. 教学等差数列的概念： ① 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）. 如：0,0,0,0,、、、是恒为0的常数数列，也是公差为0的等差数列；而1,1,1,1,--、、、和1,3，4,5，6,7，、、、就不是等差数列.2. 教学等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+（变式：m n a a d m n-=-）】 3. 例题讲解：例1、求等差数列0，－321，－7，……的通项公式，并判断－20是不是这个等差数列的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（教师引导→学生练→教师点评）练：100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 例2、已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？注：数列{n a }为等差数列的充要条件是它的通项公式为q pn a n +=，此式又称为等差数列的第3通项公式.例3、在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+4. 小结：等差数列的概念、通项公式，等差数列的性质及其应用.三、巩固练习：1. 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 、公差d 及15a .2. 作业：教材P46页A组第1题③④。