高中数学必修一导学案 方程的根与函数的零点 1课时

3.1.1 《方程的根与函数的零点》导学案【学习目标】1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．掌握零点存在的判定条件．【重点难点】重点: 零点的概念及存在性的判定． [来源:学|科|]．零点的确定: 难点【知识链接】（预习教材P~ P，找出疑惑之处）88862+bx+c=0 (a0)复习1：一元二次方程的解法．ax?一二次方程的根的判别式= ．?当0，方程有两根，为；?x?1,2当0，方程有一根，为；?x?0当0，方程无实数．?22+bx+c (=axa0)的图象之间有什么关系？2：方程+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y复习ax??判别式一元二次方程二次函数图象0??0??0?【学习过程】※学习探究探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：22的图象与x轴有，函数个交点，坐标①方程的解为3?2y?xx?0?x?2?3x为．22的图象与x轴有，函数个交点，坐标②方程的解为1?2xy?x?0xx?2?1?为．:ZXXK]来源[22个交点，坐标轴有，函数的图象与x的解为③方程3x?y?x?20x??2x?3．为根据以上结论，可以得到：220)(a??bx?c?00)axbx??c?0(a?y?ax的图象与的根就是相应二次函数一元二次方程．x轴交点的吗？你能将结论进一步推广到)x?f(y．零点叫做函数的实数：对于函数新知，我们把使x的（zero point）0f(x)?)((?yfx)y?fx：反思轴交点的横坐标，三者有的实数根、函数的图象与的零点、方程函数x0?xf())yx)(f?yx(?f 什么关系？试试：22的零函数点；（2）（1）函数点的零为3xy?x?y?x??4x?44为．小结：方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点．??0f(?x))(xy?f(x)y?f探究任务二：零点存在性定理问题：2的图象，求的值，观察和的符①作出3?4y?xx?(0)(2),f(1),ff(0)ff(2)观察下面函数的图象，②)?f(xy_Z_X_X_K]科_学来源[0；在区间上零点；))f(bf(a][a,b0；在区间上零点；)b[,c])f(bf(c．零点；0 在区间上)(d(fc)[c,d]f，那么，在区间新知：如果函数上的图象是连续不断的一条曲线，并且有<0)(a)fbf(][a,b(y?fx)的c也就是方程，，内有零点，在区间函数即存在使得这个0(b)fx)?,c?(a0)?)f(cbxfy?()(a, 根．讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析．典型例题※的零点的个数．例1求函数6?f(x)lnx??2x：求函数变式的零点所在区间．2(fx?xln)?x?：函数零点的求法．小结的实数根；①代数法：求方程0)?xf(起来，并利用函数的的图象联系②几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xy?f性质找出零点．动手试试※．求下列函数的零点：练12 1）；（4xy?x??52 2）．（1)x?1)(x??3y?(xx．求函数的零点大致所在区间．练23y?2?【学习反思】※学习小结①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理※知识拓展图像连续的函数的零点的性质：（1）函数的图像是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变．推论：函数在区间上的图像是连续的，且，那么函数在区间上至少]ba(x),((a)fb)?0[[a,b]ff有一个零点．）相邻两个零点之间的函数值保持同．2（【基础达标】※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．A．很好B．较好C．一般D．较差※当堂检测计分：分）分钟满分：10（时量：522?3xx?2)x)?(x?2)(f(的零点个数为（1．函数）．A．1；B．2；C．3；D．4．????b,aa,b上（．则函数上连续，且有在）．在2．若函数)xf(0(fa)ff(x)(b)?A．一定没有零点；B．至少有一个零点；C．只有一个零点；D．零点情况不确定．x?1的零点所在区间为（3．函数）．4??f(x)?e4xA．B．C．D．(2,3)(0,1)?(1,0)(1,2)2?x??x20?y的零点为4．函数．5．若函数为定义域是R的奇函数，且在上有一个零点．则的零点个数为．)(0,??)x)xf(f(f)(x【拓展提升】32的零点所在区间，并画出它的大致图象．1．求函数2x?2x??y?x*Z*X*X*K]科来源[学*2 2．已知函数．12(?m?1)?4??x2mmx)(fx轴有两个零点；为何值时，函数的图象与1（）xm ）若函数至少有一个零点在原点右侧，求值．2（m。

第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段. 教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.图3-1-1-2 图3-1-1-3 图3-1-1-4应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.图3-1-1-5(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4. (3)函数有四个零点,则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，图3-1-1-6函数y=|x-1|-2的图象与x 轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点. 证法二:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根x 1=2,x 2=21 . 所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x 2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围. 活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-,0)3(,0)1(,0)0(,0)2(ffff即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+.012,02,0,022aaaa故所求a的取值范围是-12<a<0.变式训练关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9).因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1<a<3.图3-1-1-9思路2例1若方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.解：令f(x)=2ax2-x-1，(1)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a≠0且Δ=0,由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=81-∴方程为41-x2-x-1=0,即x=-2∉(0,1)(舍去).综上可得a>1.(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0af a f f a 容易解得实数a 不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a 的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax 2+3x+4a.方法一:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a aa 解得0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x ∈(0,x 1)时，求证：x<f(x)<x 1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f(x)-x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f(x)-x=0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x ∈(0,x 1)时,有f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x)(x 2-x)>0,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x 1-x)(x 2-x)<a·a 1(x 1-x)=x 1-x,即f(x)-x<x 1-x,故0<f(x)-x<x 1-x,即x<f(x)<x 1.(2)∵f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,∴二次函数f(x)-x 的对称轴为x=221x x +=a b 21--.∴21x =22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1,∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0,即x 0<21x . 变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x 1、x 2,求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x 1、x 2为二次函数f(x)的两个零点，∴x 1+x 2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x 1、x 2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x 1)(x-x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y=e x +4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=e x 和y=4-4x 的图象，把函数y=e x +4x-4的零点的个数转化为方程e x =4-4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=e x 和y=4-4x 的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m ∈R ,设P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立；Q ：函数f(x)=3x 2+2mx+m+34有两个不同的零点,求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a,x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+.当a ∈［1,2］时,8a 2+的最小值为3.要使|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a ∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3,即2≤m≤8.由已知得Q 中:f(x)=3x 2+2mx+m+34的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16>0，得m<-1或m>4. 综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4,8］. 2.如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).图3-1-1-11 图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).图3-1-1-13 图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.(设计者：赵冠明)。

教学设计3.1.1方程的根与函数零点一、教材分析：函数与方程思想是中学数学的重要思想。

本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础． 因此本节内容具有承前启后的作用，非常重要．二、学情分析：在此之前，学生对一元二次函数和一元二次方程已经比较熟悉，会判断具体的一元二次方程有没有根，有几个根，会用求根公式求根。

但是对一元二次函数与方程的联系认识不全面，也没有上升到一般的函数与方程的层次。

因此，在讲解本节内容时，让学生对函数与方程的关系及零点存在定理有较为全面的认识。

三、教学目标（一）认知目标：1．理解函数的零点与方程的根的联系.2. 掌握简单函数零点的求解方法3．理解并会用零点存在定理判断函数的零点．4. 初步学会利用函数的性质求解方程的根的个数问题.（二）过程与方法目标：由一元二次方程与对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系为突破口，探究方程的根与函数的零点的关系。

在课堂探究中体会数形结合的数学思想，培养学生的观察能力。

（三）情感目标：通过本节课的学习，体会由特殊到一般的研究问题的方法，体验事物之间等价转化的意义与价值，以及分析问题解决问题的能力，培养思维的严谨性和执着的探究精神。

教学重点:掌握求函数零点的方法，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在定理，用函数的性质求解方程的根的个数。

四、教学过程（一） 问题导入问题1：请问下列方程有实根吗？有几个实根?04)1(2=-x 0221)2(=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x学生活动：思考并回答教师活动：第二个方程的根，目前所学的知识无法判断。

前面我们学习过基本函数，这节课我们通过研究函数来解决方程的根的问题。

课题：第三章第一节§方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能①理解函数握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2．过程与方法①通过观察二次函数图象，续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3．情感、态度与价值观二、教学重难点、教学重点:零点的概念及存在性的判定．、教学难点:零点的确定．三、教学准备1．学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、从而完成本节课的教学目标。

2．教学用具：投影仪。

四、教学设想(一)创设情景，揭示课题、提出问题：一元二次方程 (≠)的根与二次函数(≠)的图象有什么关系？．①方程与函数②方程与函数③方程与函数零点的概念．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数．（１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程无零点．．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数的图象：①在区间上有零点；。

高一数学必修一第三章导学案课题：§3.1.1方程的根与函数的零点编写: 审核： 时间：一、教学目的：1、 理解函数（结合二次函数）零点的概念；2、 领会函数零点与相应方程要的关系；掌握零点存在的判定条件．教学重点： 零点的概念及存在性的判定．教学难点： 零点的确定．二、问题导学1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ○2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ○3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y三、问题探究1、 函数零点的概念： 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：○1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ．１）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．5、零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．○2在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．6、应用：例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．例2．求函数2223+--=x x x y ，并画出它的大致图象．四、课堂练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ；（2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ；（4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ；（2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ；（4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．1．已知24581772)(234-+--=x x x x x f ，请探究方程0)(=x f 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．2．设函数12)(+-=ax x f x ．（1）利用计算机探求2=a 和3=a 时函数)(x f 的零点个数；（2）当R a ∈时，函数)(x f 的零点是怎样分布的？五、自主小结课堂检查1． 教材P 108习题3．1（A 组）第1、2题；2． 求下列函数的零点：（1）452--=x x y ；（2）202++-=x x y ；（3）)13)(1(2+--=x x x y ；（4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．3． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：（1）12312+-=x x y ； （2）1422+--=x x y ．4． 已知124)1(2)(2-+++=m mx x m x f ：（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．5． 求下列函数的定义域：（1）92-=x y ； （2）432-+=x x y ； （3）1242-+-=x x y课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解编写: 审核： 时间：一、教学目的：1、 理解二分法的概念及其适用条件；了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点： 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．二、问题探究1、 材料一：二分查找(binary-search )（第六届全国青少年信息学（计算机）奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题）某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search )，在最坏的情况下，需检索（ ）个单元。

四川省古蔺县中学高中数学必修一 3.1.1方程的根与函数的零点(第一课时)导学案一、教学目标：1．借助二次函数的图象与x轴的交点和相应一元二次方程根的关系，理解函数零点的概念。

体会函数的零点与方程的根及函数图象之间的联系。

2．理解并会用函数的零点存在定理判断函数零点所在区间。

3.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值.二、教学重难点：1.教学重点：发现和认识函数零点与方程根之间的关系。

2.教学难点：探究和掌握连续函数在某区间上存在零点的判定方法。

三、课时学法指导1.学生自学和教师引导相结合，通过实际例子概括出函数零点的概念，通过观察探讨，学生认识与领会二次函数图象与二次方程根的关系，最终认识函数零点的概念。

2.在认识函数零点概念的基础上，通过观察总结，学生总结概括函数图像与X轴的交点、方程有无实数根这三者之间关系，从而渗透函数与方程思想。

四、预习案: 完成任务情况自评：学科组长评价： .1.任务布置：阅读与思考：小组长组织本小组仔细阅读书上86—88页；找出疑惑之处，完成预习案，思考探究案。

1.函数y=f(x)的零点的概念：2.函数y=f(x)的零点就是，也就是3. 函数122+-=x x y 的零点是（1,0）吗？函数y=f(x)的零点与几何意义上的点有区别吗？2.存在问题：五、探究案探究一：若将特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20axbx c ++=(0)a > 及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，课本上86页最下边结论是否仍然成立？探究二： 函数零点的定义是 探究三：1.零点存在定理：如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是 的一条曲线,并且有 , 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 即存在 ,使 , 这个c 也就是方程f(x) = 0的根．2.概念辨析：（1）若函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象不连续此定理还成立吗？（2）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0吗？3．思考：判定函数y=f(x) 在区间(a, b)内是否有零点的方法是：六：训练案课本88页、练习1 92页习题2七：反思与小结:。

2.4.1方程的根与函数的零点通过本节学习应达到如下目标:1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．2、通过对零点定义的探究掌握零点存在性的判定方法．3、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．学习重点：零点的概念及存在性的判定．学习难点：零点的确定．学习过程（一） 自主探究1、 观察下面几个一元二次方程及其相应的二次函数如：方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y (在下面坐标系中分别做出上述二次函数的图象，并解出的方程根)试说明方程的根与图象与x 轴交点的关系。

(1) (2) (3)2、利用上述关系，试说明一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根及其对应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象有怎样的关系？3、利用以上两个问题的的发现，试总结函数)(x f y =零点的定义，并说明函数)(x f y =的零点，方程0)(=x f 实数根，函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标的关系？（二）合作探讨1、（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象 (见图1) ，完成下面各小题。

1) 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． 2) 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象(如图)，完成下面各小题。

1)在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． 2) 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． 3) 区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞）． 4) 区间],[d a 上______(有/无)零点；有 个零点；)(a f ·)(d f _____0（＜或＞）． 由以上几步探索，可以得出什么样的结论？2、(根的存在性定理)：在根的存在性定理中只须加入什么条件，零点的个数就是唯一的？3、求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．(可以借助计算机或计算器来画函数的图象)（三）巩固练习1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ；（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：（1）53)(3+--=x x x f ； （2）3)2ln(2)(--=x x x f ；（3）44)(1-+=-x e x f x ； （4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．（四） 能力拓展：设函数12)(+-=ax x f x 。

§3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数.知识点一函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.思考(1)函数的“零点”是一个点吗？(2)函数y＝x2有零点吗？答案(1)不是；(2)有零点，零点为0.知识点二函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，即方程f(x)＝0的实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标⇔函数y＝f(x)的零点. 思考函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？答案f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，∴这个函数还有一个零点为－2.知识点三零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.1.函数f (x )＝3x －2的零点为23.( √ )2.若f (a )·f (b )>0，则f (x )在[a ，b ]内无零点.( × )3.若f (x )在[a ，b ]上为单调函数，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点.( √ )4.若f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点，则f (a )·f (b )<0.( × )题型一 求函数的零点例1 (1)函数y ＝1＋1x 的零点是( )A.(－1,0)B.－1C.1D.0 答案 B解析 由1＋1x＝0，得x ＝－1.(2)函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为________. 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 x ＝1或x ＝10解析 由(lg x )2－lg x ＝0，得lg x (lg x －1)＝0， ∴lg x ＝0或lg x ＝1，∴x ＝1或x ＝10.反思感悟 函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.跟踪训练1 (1)函数f (x )＝2x －1－3的零点是______.(2)若函数f (x )＝ax －b (b ≠0)有一个零点3，则函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________. 答案 (1)log 26 (2)－1和0解析 (1)解方程2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26. (2)因为f (x )＝ax －b 的零点是3，所以f (3)＝0，即3a －b ＝0，即b ＝3a .所以g (x )＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx (x ＋1)，所以方程g (x )＝0的两个根为－1和0， 即函数g (x )的零点为－1和0.题型二 探求零点所在区间例2 (1)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，0 B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫14，12 D.⎝⎛⎭⎫12，34答案 C解析 因为f ⎝⎛⎭⎫14＝4e －2<0，f ⎝⎛⎭⎫12＝e －1>0，所以f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12<0，又函数f (x )在定义域上单调递增，所以零点在区间⎝⎛⎭⎫14，12上.(2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的部分对应值如下表：不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是( ) A.(－3，－1)，(2,4) B.(－3，－1)，(－1,1) C.(－1,1)，(1,2) D.(－∞，－3)，(4，＋∞)答案 A解析 因为f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.反思感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断.跟踪训练2 根据表格中的数据，可以断定方程e x －(x ＋2)＝0(e ≈2.72)的一个根所在的区间是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) 考点 函数零点存在性定理 题点 判断函数零点所在的区间 答案 C解析 令f (x )＝e x －(x ＋2)，则f (－1)≈0.37－1<0，f (0)＝1－2<0，f (1)≈2.72－3<0，f (2)≈7.40－4＝3.40>0.由于f (1)·f (2)<0，∴方程e x －(x ＋2)＝0的一个根在(1,2)内. 题型三 函数零点的个数例3 已知0<a <1，则函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 函数y ＝a |x |－|log a x |(0<a <1)的零点的个数即方程a |x |＝|log a x |(0<a <1)的根的个数，也就是函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数.画出函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象，如图所示，观察可得函数f (x )＝a |x |(0<a <1)与g (x )＝|log a x |(0<a <1)的图象的交点的个数为2，从而函数y ＝a |x |－|log a x |的零点的个数为2.延伸探究1.把本例函数“y ＝a |x |－|log a x |”改为“y ＝2x |log a x |－1”，再判断其零点个数.解 由2x |log a x |－1＝0得|log a x |＝⎝⎛⎭⎫12x，作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝|log a x |(0<a <1)的图象如图所示.由图可知，两函数的图象有两个交点， 所以函数y ＝2x |log a x |－1有两个零点.2.若把本例条件换成“函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点”，求实数b 的取值范围. 解 由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示.则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，即函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点.反思感悟 判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数.(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数.跟踪训练3 求函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的个数. 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数解 方法一 由于f (2)＝ln 2＋4－6<0，f (3)＝ln 3＋6－6>0，即f (2)·f (3)<0，又f (x )的图象在(2,3)上是不间断的，所以函数f (x )在区间(2,3)内有零点.又因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.方法二 通过作出函数y ＝ln x ，y ＝－2x ＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数转化为函数y ＝ln x 与y ＝－2x ＋6的图象交点的个数. 由图象可知两函数有一个交点，即函数f (x )有一个零点.根据零点情况求参数范围典例 若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m 的取值范围.考点 函数的零点与方程根的关系 题点 两根分别属于两区间解 函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，即函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象(图略)列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，解得⎩⎨⎧m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. [素养评析] 函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养.1.函数y ＝ln x 的零点是( ) A.(0,0) B.x ＝0 C.x ＝1 D.不存在 考点 函数零点的概念 题点 求函数的零点 答案 C2.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )考点 函数零点的概念 题点 判断函数有无零点 答案 D3.函数f (x )＝4x －2x －2的零点是( ) A.(1,0) B.1 C.12 D.－1答案 B4.函数f (x )＝2x －1x的零点所在的区间是( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎝⎛⎭⎫13，12 D.⎝⎛⎭⎫14，13答案 B5.函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x的零点有______个. 考点 函数的零点与方程根的关系 题点 判断函数零点的个数 答案 11.方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.。