最新9讲习题二(哈工大线性代数课件王宝玲版)课件PPT

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线性代数及应用PPT课件

上列各式出现的运算皆可行的前提是：矩阵的维数满足运算要求。
证明矩阵乘法结合律：(AB)C=A(BC)=ABC 证：设
记
证明DC=AG。因为元为：
A的 i 行乘以B的 l 列
，
，则DC的第i,j
得到DC的第i,j元等于AG的第i,j元。
证明 (AB)T =BTAT
证：
即
。
剩下的要证明它们的第i, j元都对应相等。设
通大学出版社
第一章矩阵
§1.1 矩阵概念 1.1.1 矩阵概念定义1 m × n元，排成m行n列的矩形阵列：
称作为：维是m × n的矩阵。一般用黑体大写字母 A，B，C等表示。
简记为：
确定一个矩阵的两要素：
1．元：a ij 的值； 2．维：m，n的值。
矩阵的例：问题：A的元和维是什么？
广矩阵进行一系列行初等变换，使得
R1R2 ••• R s [A |b]= [R1R2 ••• R s A | R1R2 ••• R s b ]=[ I n | Rb ]
(R= R1R2 ••• R s)。事实上R=A-1
可见只要将增广矩阵中A对应的那一块通过行初等变换化成单位阵，对应b的那一块变成Rb= A-1 b，即
1.1.2 一些特殊矩阵对于矩阵
本课程仅限于实矩阵。
n阶方阵：m=n时的矩阵，
a11 a12 a1n
A
a21 a22 a2n
或 An n
an1 an2 ann
列矩阵（列向量）：n=1，
行矩阵（行向量）：m=1，
数或标量：m=n=1。向量的元称为分量，分量的个数称为向量的维。
例：
分别是3维列向量和4维行向量。
学习参考书目

理论力学哈工大件PPT学习教案

1
牛顿第一定律任何物体都要保持匀速直线运动或静止状态，直到外力迫使它改变运动状态为止
牛顿第二定律物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，且与物体质量的倒数成正比；加速度的方向跟作用力的方向相同
牛顿第三定律相互作用的两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
约束特点：轴在轴承孔内，轴为非自由体、轴承孔为约束．
约束力：当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光滑接触约束— — 法向约束力．约束力作用在接触处，沿径向指向轴心．
第19页/共41页
当外界载荷不同时，接触点会变，则约束力的大小与方向均有改变．
可用二个通过轴心的正交分力 Fx , F表y 示．
第40页/共41页
解：绳子受力图如图（b）所示
第38页/共41页
梯子左边部分受力图如图（c）所示
梯子右边部分受力图如图（d）所示
第39页/共41页
整体受力图如图（e）所示
提问：左右两部分梯子在处，绳子对左右两部分梯子均有力作用，为什么在整体受力图没有画出？
A
理论力学
第1页/共41页
2
引言
静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学。
力系：是指作用在物体上的一群力。
平衡：是指物体相对于惯性参考系（地面）保持静止或作匀速直线运动的状态。
静力学主要研究：1、物体的受力分析； 2、力系的等效替换（简化）； 3、力系的平衡条件及其应用。
理论平力学衡力系：使物体处于第2平页/共衡41的页力系。
CD

线性代数完整版ppt课件

a11x1 a12x2 b1 a21x1 a22x2 b2
求解公式为
x1
x
2
b1a 22 a11a 22 a11b2 a11a 22
a12b2 a12a 21 b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ Ø分母相同，由方程组的四个系数确定. Ø分子、分母都是四个数分成两对相乘再
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则
并不适用！
.
12
三阶行列式的计算 ——对角线法则
( a a a a ) x a b b a 12 12 12 21 2 12 11 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
x b1a22a12b2
1 a a a a
11 22
12 21
x2
a11b2 b1a21 a11a22a12a21
.
6
二元线性方程组
为列标，表明元素位于第j
列. 8
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
.
9
二元线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
显然 P n n ( n 1 ) ( n 2 )3 2 1 n !

线性代数第9讲精品PPT课件

r3 3r1 0 2 6 3 0 1 r3 r2
r1 r2 r3 r2
1 0 2 1 1 0 r1 2r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5r3
aj2
a jn
第
i
行
ai1
ai 2
ain
第
j
行
am1 am2 amn
相当于对矩阵 A 施行第一种初等行变换：
把 A 的第 i 行与第 j 行对调 (ri rj ).
类似地，
以 n 阶初等矩阵 En(i, j) 右乘矩阵 A，
a11
AEn
(i,
j)
a21
a1 j
a2 j
a12
a1
ai1
ka
j1
ai 2 ka j2
ain
a
jn
a j1
aj2
a jn
am1
am 2
amn
把 A的第 j 行乘 k 加到第 i 行上 (ri krj ).
类似地，以 En(ij(k)) 右乘矩阵 A，其结果相当于把 A 的第i列乘 k 加到第 j 列上 (c j kci ).
就称这两个线性方程组等价
二、初等矩阵的概念
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 定义由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵.
1. 对调两行或两列； 2.以数 k 0 乘某行或某列； 3.以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．

线性代数与空间解析几何哈工大版课件幻灯和习题2

逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A1 存在 A 0.
逆矩阵的计算方法
1待定系数法;
2利用公式A1
A ;
A
3初等变换法下一章介绍.
思考题
若A可逆,那么矩阵方程AX B是否有唯一解 X A1B? 矩阵方程YA B 是否有唯一解 Y BA1 ?
答：是的。这是由于A-1的唯一性决定的。
可得 B EB CAB CAB CE C.
所以A的逆矩阵是唯一的,即 B C A1.
定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且 A1 1 A , A
其中A为矩阵A的伴随矩阵.
证明若A可逆，即有A1使AA1 E .
故 A A1 E 1, 所以 A 0.
反之，当|A|≠0时，因
例1 下列矩阵A、B是否可逆？若可逆，求出其逆阵
2 1
A
5
3 ,
2 3 1
B
1
3
5 .
1 5 3
解因|A|＝１≠０，故A可逆。
又因为A11=3，A12=-5，A21=-1，A22=2
A1
1 A
A
3 5
1
2
2 3 1 由于 B 1 3 5
0,
153
故B不可逆.
二阶可逆阵的逆阵公式为
3 0 1
3 5
1 2
1 0
0
12 2
3 5
1 2
2 10 10
1 4. 4
例4 设方阵A满足方程A2 A 2E 0,证明: A, A 2E都可逆,并求它们的逆矩阵.
证明由A2 A 2E 0,
A1
得AA E 2E A A E E
2 A A E 1 A 0, 故A可逆.

《线性代数与空间解析几何》(哈工大版)课件幻灯和习题1-习题课

00 00
x 1
0 0 x 1
00
x 1 0 0
0 0 (1)nn( x a1) 0 x
00
0 1
00 0x
证法二：按第一列展开，得
Dn=xDn-1+an 再根据上面的递推公式可得结果。
c1 xc2 xn1cn
证法三：Dn
0
1 0
0
x 1
00 00
0
00
0
0
an
例2 计算
1111
abcd D
a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解：构造
1111 1 abcd x
f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3
a4 b4 c4 d 4 x4
（这是一个范德蒙行列式）
=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a) 另外f(x)按最后一列展开，可得
1
11
1
an
an1 an Dn1
an1 an (a1a2 an2 an1Dn2 )
方法三：升级法。看例1
11
1 11
1
解：原式= 0 1 a1
1
1
a1
0
01
1 an 1 0
an
1 aa c1

i
n 2
1 ai 1
ci
n 1
i1 i
1
1

0
a1
0
5. 行列式按行（列）展开
1 ) 余子式与代数余子式２）关于代数余子式的重要性质
a A n ki k 1

(完整版)《大学线性代数》PPT课件

下特页点
结束
a11 a12 … a1n
a21
…
a22 … a2n … ……
=
(-1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 a2 j2 anjn 。
an1 an2 … ann
n阶行列式共有n!项，且冠以正号的项和冠以负号的项各占一半。
在行列式中，a1 j1 a2 j2 anjn 是取自不同行不同列
结束
例2．计算 n 阶下三角形行列式D的值： a11 0 0 … 0 a21 a22 0 … 0
D = a31 a32 a33 … 0 … … … …… an1 an2 an3 … ann
其中aii0(i=1, 2, , n)。
解：为使取自不同行不同列的元素的乘积不为零，
第一行只能取a11，第二行只能取a22，第三行只能取a33，，第 n 行只能取ann。这样不为零的乘积项只有
结束
对换：
在一个排列i1isitin中，将两个数码 is与it对调，就得到另一个排列 i1 it is in ，这样的变换称为一个对换，记为对换(is , it)。
例如，排列 21354 经对换(1, 4)，得到排列24351。提问：
排列 21354 经对换 (1, 4)，得到的排列是 24351，排列的奇偶性有无变化？提示：
的 n 个元素的乘积。
a1 j1 a2 j2 anjn 之前的符号是 (-1) N(j1 j2 jn) 。
行列式有时简记为| a ij |。一阶行列式|a|就是a。
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四阶行列式
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44

线性代数课件

a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
偶排列
奇排列
1
N ( j1 j2 j3 )
a1 j1 a2 j2 a3 j3
线性代数第一章行列式
11
定义设有 n 2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 n 称为n 阶行列式. 简记为 a ij
it 这种变换称为对换，记作（ i s ，）
定理1.1 任一排列经过一次对换后奇偶性发生改变。
定理1.2
n! n级排列共有 n! 个，其中奇、偶排列相等，各为 2
线性代数第一章行列式
10
2
a11 a21 a31
n 阶行列式的定义
a12 a22 a32 a13 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a33
主讲
田立芳
统计与数学学院
目录线性代数第一章行列式退出
1
目
录
行列式矩阵线性空间线性方程组矩阵的特征值二次型
线性代数第一章主页行列式线性代数
退出
2
第一章行列式
§1 n 阶行列式的定义
§2 行列式的性质 §3 行列式的计算 §4 克莱姆法则
线性代数第一章行列式
3
§1.1
线性代数第一章行列式
18
性质1 对任何行列式D，有D=DT（行列式与其转置行列式相等）证
D
T
将DT记为
于是有 bij a ji ( i , j 1,2, , n) 按行列式的定义

j1 j2 jn

哈工大线性代数课件

1 5 D1 1 2 5 2 8, 2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
D1 8 x1 D 11 ; 则方程组的解可以写成 D2 7 x2 . D 11
为了得出关于三元线性方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3
线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次型、线性空间与线性变换等．解析几何的内容包括：几何向量、空间中的平面与直线、二次曲面. 第一章 n阶行列式在工程技术和科学研究中，有很多问题需要用到“行列式”这个数学工具。本章主要讨论如下几个问题： 1、行列式的定义；2、行列式的性质； 3、行列式的计算；4、Cramer 法则．
1 2 n

p1 p2 pn
(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a npn
为n阶行列式，其中 p 是对所有 n 阶排列 p p p1 p2 p3 pn 取和．此行列式可简记 (aij ) 或 D aij n ．记一阶行列式 a11 a11 ；
性质5 把行列式的某一行（列）的各元素同乘以数c加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变，即
a11 ai1 a j1 a n1 a12 ai 2 a j2 an2 a1n a11 a12 ai 2 ca j 2 a j2 an2 a1n ai1 ca j1 ain a jn a j1 a nn a n1 ain ca jn a jn a nn

《工学线性代数》PPT课件_OK

经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变;
2021/8/21
13
当a b时，经对换后 a 的逆序数不变，b的逆序数减少1.
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为
a1 alab1 bmbc1 cn 现来对换 a 与b.
2021/8/21
14
a1al a b1bm b c1cn
0001 0020 0300 4000
解分析展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 从而这个项为零，
所以 p1只能等于 4 , 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
2021/8/21
28
即行列式中不为零的项为a14a23a32a41 .
0001
0 0 2 0 1t 1 4321 2 3 4 24.
0300 4000
例2 计算上三角行列式
↓
主对角线下方
元素全部为零
a11 a12 a1n 0 a22 a2n
0 0 ann
2021/8/21
29
解分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22ann .
2021/8/21
31
↗ 主对角线上方元素全部为零
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22ann .
2021/8/21
32
→ 例4 证明对角行列式
对角线以外的元素全部为零

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j1
ji
11
例8 设A是n阶方阵，则r(A)1
两个n1的矩阵U,V 使 AUVT.
证
AUVT
r(A)r(UVT)m in(r(U ),r(V ))1.
(1)r(A)0A 0
令 U = V = (0 ,0 , ,0 )T ,
AUVT.
(2)r(A)1,
则
初 1 A
0 ,
0 0
12
可逆阵P,Q 使 1 PAQ 0
15
预习第三章3.1-3.2
若A为mn矩阵r(A)= m<n, B是 n阶矩阵，以下哪些结论成立？ (A) A的任意一个m阶子式 0； (B) A的任意m列线性无关; (C) ATA0; (D) A的m行线性无关; (E) 若AB=0，则B=0; (F) 若r(B)=n，则r(AB)= m.
BA1Bb.
5
例5 设A为mn 矩阵,若对任意n1矩阵B
都有AB = 0, 试证A= 0.
a11 a12
证1
设
A
a21
a22
a1n
a2n
,
Bn1,AB0
am1
am 2
amn
1
取
B
1
0
,
a 11
AB1
a 21
0 m 1
0 0
0
a
m
1
0
有 a 1 1 a 2 1 a m 1 0
• 2、囚徒困境
疑犯 2
不坦白
坦白
•
画线法求解
疑不坦白 1年犯
1年
15年
0年
1 坦白 0年 15年 5年 5年
1、静态博弈与动态博弈
2、完全信息博弈与不完全信息博弈
博弈的主要类型
A= 0. a11 a12
证
设
A
a21
a22
a1n
a
2
n
,
ATA
a
n1
an2
a
nn
A2 AAT
a11 a12 a21 a22
an1 an2
a1na11 a21 a2na12 a22 anna1n a2n
an1 an2 ann
8
n
a
2 1
j
*
*
*
j1
*
*
*
n
n
a
2 2
j
*
j1
*
0 0
1 0
0
1
0
0
1
A
P -1
0
1
0
0
0 Q-1
1
令
U
P
-1
0
,
V T10
0Q -1
0
AUVT. 13
例9 设A为mn矩阵,B为n P 阶矩阵, r(A) n, 则 r(AB)r(B).
证1 r(B)r(A )r(B)nr(AB) r ( B )
r(AB)r(B)
证2 A为mn矩阵,且 r(A) n, 则
可逆阵P 使PA=B, 即
P A P (1 ,2 , ,n )(P1,P2, ,Pn)
(1 ,2, ,n)B ,P jj,j 1 ,2 , ,n .
10
n
n
n
Pi i k j j k j P j P k j j
j1
j1
j1
ji
ji
j i
两边左乘 P 1 ,
n
得
i k j j .
博弈论应用范围除经济学外
，还包括政治学、军事学、外交学、国际关系学、犯罪学等。尤其在寡头市场理论中得到直接的应用。当寡头竞争者改变其产品或
定价时, 企业必须要做出反应或调整；企业决策时能够预见到对方的反应为最佳。
一、博弈论的基本概念
• 1、田忌赛马
• 参与者 • 博弈规则（游戏规则、收益函数） • 策略 • 策略空间 • 博弈结果（各方收益）
博弈理论的发展与代表人物
1944年，J·冯·诺依曼、O·摩根斯坦恩在《博弈理论与经济行为》中首先提出一些博弈论的概念
。
• 50年代，J·纳什和图克等人奠定了非合作博弈论的基础。
• 60年代，R·泽尔腾在纳什均衡中引进动态分析，海萨尼引
进不完全信息的研究。
• 1994年，纳什、泽尔腾和海萨尼获得诺贝尔经济学奖
1 0
1 4
,
0112
2n
11 04
n
2
例4
Q
AB B b
, 其中A是n阶非奇异矩阵，
B是n1矩阵,b是常数,试证Q可逆的
BA1Bb.
证
Q
A B
B b
A 0
B b BA1B
Q
A B
B b
A 0
B b BA1B
A bBA1B
A非奇异矩阵, A 0 ,
Q 0bBA1B0BA1Bb
故Q可逆的
9讲习题二(哈工大线性代数课件王宝玲版)
3 4 0 0 2n
例2
求
4
0 0
3 0 0
0 1 0
0
1 2
.
解
3 4 2n
原式
4 3
1 1 02
2n
434324343 4343 5 2 5 2 ,43432n52n52n
011220112
0112
可逆阵P,Q
使
A
P
En 0
Q
,
AB
P
En 0
QB
P
QB 0
r(AB)rPQ0Br
QB 0
r(QB)
r
(
B)
14
例10 设A为n阶方阵,n是奇数,且
AATEn, A1.证明 En A 0.
证 En A AAT A A AT E
AT E A E (1)n EA
EA AE 0.
[(A),(B),(C), (E),不正确; (D) (F)正确.]
17
中国培训师大联盟
博弈论与企业管理
博弈：是指个人或组织在一定的环
境条件下，以一定的规则进行决策并从中取得相应结果（收益）的过程。
博弈论（Game Theory）：研究博
弈参与者在利益冲突条件下进行决策的理论（又称对策论）。
* *
*
*
n
a
2 nj
0
期中 a
i为j 实数
j1
有
a
2 1
j
0 , a 1 2 j 0 ,a 1 j 0 ,j 1 ,2 , ,n
j1
n
a
2 ij
0 , a i2 j 0 ,a ij 0 ,j 1 ,2 , ,n
j1
得 a ij 0 ,i 1 ,2 , ,n .j 1 ,2 , ,n .
6
0
a1j
0
取
B
j
1 ,
0
AB j
a
ij
a m j
0 m 1
0
0
有 a 1ja 2j a m j0 ,j1,2,
A 0
,n
0
证2
反证,若 A 0 ,
a1j
ai j 0,
取B0
1 ,
0
A
B
0
aij
0,
与题设矛盾,所以
A=
0.
a m j
7
例6 设A为n阶实对称矩阵,且A2= 0,试证
A 0
9
例7 设A,B 都是mn矩阵,A经过初等行变换
可以化成B, 若记 j 为A的第j 列, j 为B的第
j 列, 即 A (1,2, ,n),B (1,2, ,n),
n
n
则当 i k j j 时, 有 i k j j .
j1
j1
ji
ji
证因为A经过初等行变换可以化成B, 所以