解三角形知识点汇总和典型例题学生版

. .. . .解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝ca ，cos A ＝sin B ＝cb ，tan A ＝ba 。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc Bb Aa 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

解三角形技巧总结（学生通用）一、 边角互化1. 基于正弦定理的边角互化，等号俩测同时存在边或正弦角/分式分号上下同时存在等次的边或正弦角，可以讲正弦角转化为边，反之也可以。

例1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5例2设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos A cos B ＝b a ＝2那么△ABC 的形状为________．2. 基于余弦定理的边化角，三边的平方同时出现时，优先选择余弦定理。

例1. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；例2. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin Asin B ＋sin C，则角B ＝________.二、 三角之间的关系（工具性知识点）(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；三、 三角同时存在时处理技巧1. 合角例1.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定2. 拆角例1. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3四、 切化弦例1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n Cc ，若sin(A－B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.五、 根据角选公式，根据角选定理例1. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B . (1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．例2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝433，求△ABC 的周长．跟踪训练1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝ac(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b ＝( )A ．14B ．6 C.14D. 65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( )A. 5 B ．3 C.10D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ； (2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．(2019·绵阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

5.解三角形1.解三角形6大常考题型【知识必备】1、正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A=bsin B=csin C=2Ra2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C变形(1)a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C；(2)sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C；(4)a sin B=b sin A，b sin C=c sin B，a sin C=c sin Acos A=b2+c2-a22bc；cos B=c2+a2-b22ac；cos C=a2+b2-c22ab2、三角形面积公式：S△ABC=12ah(h表示边a上的高)；S△ABC=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；3、解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形a =b sin A b sin A <a <b a ≥关系式b a >b a ≤b解的个数一解两解一解一解无解4、实际应用(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．(4)坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，5、相关应用(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C②大边对大角大角对大边a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos i 为坡度)．坡度又称为坡比．Ba +b +c③合分比：sin A +sin B +sin Ca +b =sin A +sin B b +c =sin B +sin C a +c =sin A +sin C a =sin A b =sin B c =sin C=2R (2)△ABC 内角和定理：A +B +C =π①sin C =sin (A +B )=sin A cos B +cos A sin B ⇔c =a cos B +b cos A 同理有：a =b cos C +c cos B ，b =c cos A +a cos C .②-cos C =cos (A +B )=cos A cos B -sin A sin B ；A +tan ③斜三角形中，-tan C =tan (A +B )=1Btan -tan ⋅A tan B⇔tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C④sin A +2B =cos C 2；cos A +2B=sin C 2⑤在ΔABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列⇔B =π3,A +C =2π3.Z 【题型精讲】题型一:【已知边角元素解三角形】必备技巧已知边角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．1.1(多选)(山东济南一模)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.a2=b2+c2-2bc cos AB.a sin B=b sin AC.a=b cos C+c cos BD.a cos B+b cos A=sin C1.2(多选)(重庆市高三二模)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=60°，b=2，c=3+1，则下列说法正确的是A.C=75°或C=105°B.B=45°C.a=6D.该三角形的面积为3+1 21.3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin A=35,A=2B，角C为钝角，b=5.(1)求sin(A-B)的值；(2)求边c的长.Z【跟踪精练】1.3.1在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若(a+b)2-c2=ab，则C=（）A.π6 B.π3或2π3 C.2π3 D.π6或5π61.3.2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A=π3，a=23，b=22，则B=（）A.π4 B.π3 C.π4或3π4 D.π3或2π31.3.3△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（）A.5B.10C.52 D.102题型二:【已知边角关系解三角形】必备技巧已知边角关系解三角形正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．1.1在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知2cos C a cos B+b cos A=c．(1)若cos A=64，求sin2A+C的值；(2)若c=7，△ABC的面积为332，求边a，b的值．21a △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 1.2的面积为2-b 2sin C .(1)证明：sin A =2sin B ；(2)若a cos C =32b ，求cos A .Z 【跟踪精练】ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设(sin B -sin C )2=sin 2A 1.2.1-sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a +b =2c ，求sin C ．在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，b tan A +b tan B 1.2.2=3ccos A．(1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若CD =1，AD =BD =3，求sin A 的值．题型三:【判断三角形形状】必备技巧判断三角形形状的方法(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A +B +C =π这个结论．在△ABC 中，已知a 2+b 2-c 2=ab ，且2cos A sin B =sin C 1.1，则该三角形的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形在△ABC 中，已知(b +c -a )(b +c +a )=3bc ，且2cos B sin C =sin A ，则△ABC 1.2的形状为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形Z 【跟踪精练】对于△ABC ，有如下四个命题1.2.1:①若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形，②若sin B =cos A ，则△ABC 是直角三角形③若sin 2A +sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形④若acos 2A =b cos 2B =cC cos 2，则△ABC 是等边三角形.其中正确的命题序号是1.2.2a在△ABC 中，已知a +b =tan Ab +tan B ，则△ABC 的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形题型四:【三角形解的个数问题】1.1已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A.a =3，b =4，A =π6 B.a =4，b =3，A =π3C.a =1，b =2，A =π4D.a =2，b =3，A =2π31.2△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A =30°，a =3，若这个三角形有两解，则b 的取值范围是（）A.3<b ≤6B.3<b <6C.b <6D.b ≤6Z 【跟踪精练】1.2.1在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A.b =10,A =45°,C =70°B.a =60,c =48,B =60°C.a =5,b =7,c =8D.a =14,b =16,A =45°1.2.2在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若，满足条件a =3，A =60°的三角形有两个，则b 的取值范围是（）A.2,3B.3,33C.3,23D.22,23题型五:【解三角形中的最值范围问题】方法技巧解三角形中最值范围问题基本处理方法1、用余弦定理结合基本不等式求解，2、要求的量转化为某角的三角函数，求函数的最值或值域。

解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。

俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

解三角形的知识总结和题型归纳一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

呈贡进阶教育学科指导教课设计讲义讲课对象 婷婷 讲课教师 明江讲课时间9月 27日 讲课题目 解三角形复习总结课 型复习课使用教具人教版教材教课目的 娴熟掌握三角形六元素之间的关系，会解三角形教课要点和难点灵巧解斜三角形参照教材人教版必修 5 第一章教课流程及讲课详案解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， C ＝ 90°， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a 。

（ 1）三边之间的关系： a 2＋ b 2＝c 2。

（勾股定理）（ 2）锐角之间的关系： A ＋ B ＝90°；（ 3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinA ＝ cosB ＝ a， cos A ＝ sinB ＝ b， tanA ＝a 。

c cb2．斜三角形中各元素间的关系：在△ ABC 中， A 、 B 、 C 为其角， a 、 b 、 c 分别表示 A 、B 、 C 的对边。

（ 1）三角形角和： A ＋ B ＋ C ＝ π 。

（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等ab c2R（ R 为外接圆半径）sin A sin Bsin C（ 3）余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍2＝ 2＋c 2－2 cos ；b 2＝c 2＋a 2－ 2ca cos ；c 2＝2＋2 － 2 cos 。

a b bc A B a b ab C3 ．三角形的面积公式：（ 1） S ＝ 1 ah a ＝ 1 bh b ＝ 1ch c （ h a 、 h b 、 h c 分别表示 a 、 b 、c 上的高）； 2 22（ 2） S ＝ 1ab sin C ＝ 1bc sin A ＝ 1ac sin B ；22 24．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个角）中的三个元素（此中起码有一个是边）求其余未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还能够包含三角形的高、中线、角均分线以及切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要种类：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和随意一边，求其余的两边及一角.第 2、已知两角和此中一边的对角，求其余边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其余两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自己的特色。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）∆S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。

（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。

3．三角形的面积公式：（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。

；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。