高中应用题专题复习例1．建筑一个容积为48米3,深为3米的长方体蓄水池,池壁每平方米的造价为a 元,池底每平方米的造价为2a 元.把总造价y 表示为底的一边长x 米的函数,并指出函数的定义域.解：容积=底面积×高= 48 ⇒底面积×3 = 48 ⇒底面另一边长：m =x16 池壁造价=池壁面积×a = 2<3x + 3m >×a = 6< x +x 16>a = 6<x +x16>a 池底造价=底面积×2a =16×2a = 32a∴ y = 6<x +x16>a + 32a < x > 0 > 例2. 有根木料长为6米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为1∶2,问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大〔中间木档的面积可忽略不计.解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 -7x∴窗框的高为3x,宽为376x - 即窗框的面积 y = 3x ·376x -=-7x 2 + 6x < 0 < x <76> 配方：y =79)73(72+--x < 0 < x < 2 > ∴当x =73米时,即上框架高为73米、下框架为76米、宽为1米时,光线通过窗框面积最大. 3．利润问题：〔1〕利润=收入-成本〔2〕利润=单位利润×销售量例3. 将进货单价为8元的商品按单价10元销售,每天可卖出100个.若该商品的单价每涨1元,则每天销售量就减少10个.如何确定该商品的销售单价,使利润最大？分析：〔1〕每出售一个商品的利润=销售单价-进货单价= 10- 8 = 2〔2〕以单价10元为基础：单价每次涨1元,当涨了x 元〔即可看成涨了x 次〕时,则每出售一个商品的利润= 2+ x 元, 销售量为100 -10x 个∴每个商品的利润y = <2 + x >< 100 -10x > = -10x 2 + 80x + 200 = -10< x - 4>2 + 360即当x = 4时,y 有最大值360∴当每个商品的单价为14元时,利润最大.4．与增长率相关的问题：〖要点〗增长率为正：原产量×<1 +增长的百分率>经过x 年增长率为负：原产量×<1 -增长的百分率>经过x 年例5. 一种产品的年产量原来是a 件,在今后m 年内,计划使年产量每年比上一年增加p %. 写出年产量随经过年数变化的函数关系式.解：设经过x 年后,年产量为y, 则y = a < 1 + p %>x例9. 画一个边长2厘米的正方形,为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,求：（1） 第10个正方形的面积（2） 这10个正方形的面积的和解：〔1〕设{a n }表示各正方形的面积∵a 1 = 22 = 4, a 2 = <22>2, a 3 = 42 = 8∴ {a n }是公比为2的等比数列第10个正方形的面积a 10 = a 1q 9 = 4×29 = 2048 <厘米2>〔2〕这10个正方形的面积和409221)21(41)1(1010110=--=--=q q a S 〔厘米2〕 例10．一个球从100米高处自由落下,每次着地后又回到原高度的一半再落下. 当它第10次着地时,共经过了多少米？解：设球落下的高度依次为a 1, a 2, …, a 10 .x 2xMPA B ∵a 1 = 100, a 2 = 50, a 3 = 25∴ {a n }是公比为21的等比数列 则球第10次落下时落下的路程为20012825575211])21(1[1001010≈=--=S ∴本球共经过的路程为S = 2S 10- 100 ≈300 〔米〕一．解析几何中的应用题例16．抛物线拱桥顶部距水面2米时,水面宽4米. 当水面下降1米时,水面的宽是多少？解：如图建立直角坐标系,则抛物线方程为x 2 = -2py 依题意知：x = 2时,y = -2代入方程得p = 1即抛物线方程为 x 2 = -y, 当水面下降1米时,y = -3 ⇒ x =3∴ 水面宽为2x =32≈3.5 <米>例17．我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面439千米,远地点距地面2384千米,地球半径大约为6371千米,求卫星的轨道方程.解：如图建立坐标系∵a -c = |OA| - | OF 2| = |F 2A| = 6371 + 439 = 6810a + c = |OB| + |OF 2| = |F 2B| = 6371 + 2384 = 8755∴a = 7782.5, c = 972.5 ⇒b 2 = 7721.52 即卫星的轨道方程是：步1772277832222=+y x 例18．在相距1400米的A 、B 两哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差3秒,已知声速是340米/秒,炮弹爆炸点在怎样的曲线上？并求出轨迹方程.解：设爆炸t 秒后A 哨所先听到爆炸声,则B 哨所t + 3 则 |MA| = 340t, |MB| = 340< t + 3 > = 340t + 1020两式相减：|MA| - |MB| = 1020 <|AB| = 1400> 1020>∴炮弹爆炸点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线以AB 为x 轴、AB 中点为原点建立直角坐标系〔如图〕∴ A<-700, 0 >, B< 700, 0 > ⇒ c = 700且 2a = 1020 ⇒a = 510 ⇒b 2 =229900炮弹爆炸的轨迹方程是：122990026010022=-y x < x > 0 > 例19．如图,某灾区的灾民分布在一个矩形地区,现要将救灾物资从P 处紧急运往灾区. P 往灾区有两条道路PA 、PB,且PA=110公里,PB=150公里,AB= 50公里. 为了使救灾物资尽快送到灾民手里,需要在灾区划分一条界线,使从PA 和PB 两条路线到灾民所在地都比较近. 求出该界线的方程.解：要使沿PA 、PB 两条线路到救灾地点都比较近,有三种情况：〔1〕沿PA 线路 〔2〕沿PB 线路 〔3〕沿PA 、PB 线路都相同 故分界线以第〔3〕种情况划分：即|PA| + |MA| = |PB| + |MB|⇒ 110 + |MA| = 150 + |MB| ∴ |MA|-|MB| = 40, 即知分界线是以A 、B 为焦点的双曲线AB = 50 ⇒ 2c = 50 ⇒c = 25, 2a = 40 ⇒a = 20 ⇒b 2 = 225若以AB 为x 轴、AB 的中点为原点建立直角坐标系则分界线方程是：122540022=-y x 〔在矩形内的一段〕 注意：确定分界线的原则是：从P 沿PA 、PB 到分界线上点的距离. 练习：1某森林出现火灾,火势正以每分钟2m 100的速度顺风蔓延,消防站接到警报立即派消防队员前去,在火灾发生后五分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火2m 50,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元,另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而烧毁一平方米森林损失费为60元．〔1〕设派x 名消防队员前去救火,用t 分钟将火扑灭,试建立t 与x 的函数关系式；〔2〕问应该派多少消防队员前去救火,才能使总损失最少？2有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定.大桥上的车距d<m>与车速v<km/h>和车长l<m>的关系满足：l l kv d 212+=〔k 为正的常数〕,假定车身长为4m,当车速为60〔km/h>时,车距为2.66个车身长.（1）写出车距d 关于车速v 的函数关系式;（2）应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多？3 电信局根据市场客户的不同需求,对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案,则两种方案付 费〔元〕与通话时间〔分钟〕之间的关系如图所示〔实线部分〕〔MN 平行CD 〕（1） 若通话时间为两小时,按方案A,B 各付话费多少元？（2） 方案B 从500分钟以后,每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么X 围内,方案B 比方案A 优惠？5某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图,运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元,草皮每平方米造价为30元(1) 设半圆的半径OA=r <米>,试建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S<r >(2) 由于条件限制[]30,40r ∈,问当r 取何值时,运动场造价最低?〔精确到元〕10某厂家拟在20##举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量〔即该厂的年产量〕x 万件与年促销费用m 万元〔13)0+-=≥m k x m 满足〔k 为常数〕,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件.已知20##生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍〔产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用〕． 〔1〕将20##该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；〔2〕该厂家20##的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？13某民营企业生产A 、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙<注：利润与投资单位：万元>．甲 乙<1>分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资x <万元>的函数关系式；<2>该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A 、B 两种产品的生产,问：怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元?16某厂家拟在20##举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量〔即该厂的年产量〕x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31k x m =-+〔k 为常数〕,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件. 已知20##生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍〔产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用〕． 〔1〕将20##该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；〔2〕该厂家20##的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？17某商场在促销期间规定：商场内所在商品按标价的80%出售；同时,当顾客在该商场内消费一定金额后,按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额〔元〕的X 围)400,200[ )500,400[ )700,500[ )900,700[ …… 获得奖券的金额〔元〕 30 60 100 130 ……根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为：400×0.2+30=110〔元〕.设购买商品得到的优惠率=商品的标价购买商品得到的优惠额,试问 〔1〕购买一件标价为1000元的商品,顾客得到的优惠率是多少？ 〔2〕对于标价在[500,800]〔元〕内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于31的优惠率？ 18如图所示,将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ,要求B 在AM 上,D 在AN 上,且对角线MN 过C 点,已知AB=3米,AD=2米,〔1〕要使矩形AMPN 的面积大于32平方米,则AN 的长应在什么X 围内?<2>当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；<3>若AN 的长度不少于6米,则当AN 的长度是多少时,矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积. 19已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为8.1元/千克,每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下: 7天以内〔含7天〕,无论重量多少,均按．．10．．元．/．天支付．．．；超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天．．．0.03．．．．元．/．千克．．支付．．.〔1〕当9天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？〔2〕设该厂x 天购买一次配料,求该厂在这x 天中用于配料的总费用．．．y 〔元〕关于x 的函数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?20假设A 型进口车关税税率在20##是100%,在20##是25%,在20##A 型进口车每辆价格为64万元〔其中含32万元关税税款〕〔1〕已知与A 型车性能相近的B 型国产车,20##每辆价格为46万元,若A 型车的价格只受关税降低的影响,为了保证20##B 型车的价格不高于A 型车价格的90%,B 型车价格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元？〔2〕某人在20##将33万元存入银行,假设银行扣利息税后的年利率为1.8%〔5年内不变〕,且每年按复利计算〔上一年的利息计入第二年的本金〕,那么5年到期时这笔钱连本带利息是否一定够买按〔1〕中所述降价后的B 型车一辆？〔参考数据：1.0185≈1.093〕参考答案1解：〔1〕,210100501005-=-⨯=x x t …………………………………………5分 〔2〕总损失为y ,则y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费y ＝125tx ＋100x ＋60〔500＋100t 〕………………………………………………9分＝26000030000100210125-+++-⋅⋅x x x x ＝2600030000)22(1002221250-+++-+-+-⋅x x x x ＝262500)2(10031450-+-+x x ……………………………………………………11分 3645062500100231450=⨯+≥………………………………………………13分当且仅当262500)2(100-=-x x ,即x ＝27时,y 有最小值36450．……………14分 2．⑴因为当60v =时,l d 66.2=,所以0006.06016.2602166.222==-=l l l k , ……4分 ∴20.00242d v ………………………………………………………6分⑵设每小时通过的车辆为Q ,则10004=+v Q d ．即Q 21000100060.002460.0024v v v v==++……12分∵60.00240.24v v +=≥ ∴1000125000.243Q =≤,当且仅当60.0024v v =,即50v =时,Q 取最大值12500． 答：当()50v =km /h 时,大桥每小时通过的车辆最多．………16分 3设通话x 分钟时,方案A,B 的通话费分别为(),()A B f x f x〔1〕当x=120时()A f x =116元 ()B f x =168元若通话时间为两小时,方案A 付话费116元,方案B 付话费168元〔2〕980601680500(),()338060185001010A B x x f x f x x x x x ≤≤≤≤⎧⎧⎪⎪==⎨⎨+<+<⎪⎪⎩⎩ 当500x >时(1)B f x +-()B f x =0.3方案B 从500分钟以后,每分钟收费0.3元<3> 当500x >时()()A B f x f x > 60500x <≤由()()A B f x f x >得8803x >综合：通话时间在880(,)3∞内方案B 较优惠. 5解: <1>塑胶 跑道面积（2） 设运动场造价为y6〔1〕依题意,)5081(100)101(100x x y +⋅-=； 又售价不能低于成本价,所以080)101(100≥--x ． 所以)850)(10(20)(x x x f y +-==,定义域为]2,0[．〔2〕10260)850)(10(20≥+-x x ,化简得：0133082≤+-x x解得4132≤≤x ．所以x 的取值X 围是221≤≤x ． 10解〔1〕由题意可知当0=m 时,1=x 〔万件〕k -=∴31即2=k ……………2分123+-=∴m x 每件产品的销售价格为)(1685.1元x x +⨯……………………5分∴20##的利润)168(]1685.1[m x x x x y ++-+⨯=m m m x -+-+=-+=)123(8484 )0(29)]1(116[≥++++-=m m m …………………………………8分〔2〕8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 21,)(31116,21298max ==⇒+=+=+-≤∴y m m m y 时万元当且仅当〔万元〕……12分答：该厂家20##的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元……14分 11<Ⅰ>因为tan BD a θ=,所以ABD ∆的面积为21tan 2a θ<(0,)2πθ∈>………………………<2分> 设正方形BEFG 的边长为t ,则由FG DG AB DB =,得tan tan t a t a a θθ-=,解得tan 1tan a t θθ=+,则2222tan (1tan )a S θθ=+…………………………………………………………………<6分> 所以222212211tan tan tan 22(1tan )a S a S a θθθθ=-=-+,则212(1tan )12tan S y S θθ+==-………………<9分> <Ⅱ>因为tan (0,)θ∈+∞,所以1111(tan 2)1(tan )2tan 2tan y θθθθ=++-=+1≥……………<13分> 当且仅当tan 1θ=时取等号,此时2a BE =.所以当BE 长为2a 时,y 有最小值1…………………<15分> 13<1> 设投资为x 万元,A 产品的利润为f<x>万元,B 产品的利润为g<x>万元 由题设x k x g x k x f 21)(,)(== 由图知f<1>=41,故k 1=41 又45,25)4(2=∴=k g 从而)0(45)(),0(41)(≥=≥=x x x g x x x f ———————————————7分 <2> 设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业利润为y 万元 令x t -=10则)100(1665)25(414541022≤≤+--=+-=t t t t y 当75.3,1665,25m ax ===x y t 此时时 答: 当A 产品投入3.75万元,则B 产品投入6.25万元,企业最大利润为1665万元—15分 16〔1〕由题意可知,当0=m 时,1=x ,∴13k =-即2=k , ∴231x m =-+,每件产品的销售价格为8161.5x x+⨯元. ∴20##的利润)168(]1685.1[m x xx x y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m ……8分 〔2〕∵0m ≥时,16(1)81m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=,当且仅当1611m m =++,即3m =时,max 21y =.………………15分 答：该厂家20##的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.17〔1〕购买一件标价为1000元的商品,顾客的消费金额为：8008.01000=⨯〔元〕获得奖券的金额为130元,得到的优惠率是〔2〕设商品的标价为x 元,则,800500≤≤x 顾客消费金额〔元〕满足.6408.0400≤≤x 当.5008.0400<≤x 时,获得奖券的金额为60元；当6408.0500≤≤x 时,获得奖券的金额为100元,由已知得〔1〕⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+;5008.0400,31602.0x x x 或〔2〕⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+.6408.0500311002.0x x x 不等式〔1〕无解；不等式〔2〕的解为750625≤≤x ,因此,当顾客购买标价在[625,750]元内的商品,可得到不小于31的优惠率.. 18〔1〕设x AN =米,()2>x ,则2-=x ND ∵AM AN DC ND = ∴AMx x =-32 ∴23-=x x AM ……2分 ∴3223>>-x x x ∴0643232>+-x x ……4分∴0)8)(83(>--x x∴或8>x ……5分〔2〕212)2(12)2(32322-+-+-=-=x x x x x S AMPN ……7分 此时4=x ……10分〔3〕∵12212)2(3+-+-=x x S AMPN )6(≥x 令t x =-2)4(≥t ,12123)(++=tt t f ……11分 ∵2123)(tt f -=' 当4≥t 时,0)(>'t f∴12123)(++=tt t f 在[)+∞,4上递增 ……13分 ∴27)4()(min ==f t f此时6=x ……14分答：〔1〕382<<AN 或8>AN 〔2〕当AN 的长度是4米时,矩形AMPN 的面积最小,最小面积为24平方米；〔3〕当AN 的长度是6米时,矩形AMPN 的面积最小,最小面积为27平方米. ……15分19〔Ⅰ〕当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88<元> ……………4分〔Ⅱ〕〔1〕当x ≤7时y=360x+10x+236=370x+236 ………5分〔2〕当 x>7时y=360x+236+70+6[<7-x >+<6-x >+……+2+1]=43232132++x x ………7分∴⎩⎨⎧>++≤+=7,43232137,2363702x x x x x y ………8分∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f<x>元.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+=7,43232137236370)(2x x x x x x x x f ，…………11分 当x ≤7时xx f 236370)(+= 当且仅当x=7时 f<x>有最小值40472826≈〔元〕 当x ＞7时x x x x f 4323213)(2++==321)144(3++xx ≥393 当且仅当x=12时取等号∵393<404∴当x=12时 f<x>有最小值393元 ………16分20〔1〕20##A 型车价格为32+32×25%=40〔万元〕设B 型车每年下降d 万元,2003,2003,…,20##B 型车价格分别为321,,a a a …,6216,,,(a a a a 为公差是－d 的等差数列〕即36546≤-d故每年至少下降2万元.〔2〕20##到期时共有钱335%)8.11(+⨯ 36069.36093.133>=⨯≈〔万元〕故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B 型车.10、甲乙两车从A 地沿同一路线到达B 地,甲车一半时间的速度是a ,另一半时间的速度为b ；乙车用速度a 行走了一半路程,用速度b 行走了另一半路程.若b a ≠,则两车到达B 地的情况是A 、甲车先到达B 地 B 、乙车先到达B 地C 、同时到达B 地D 、不能判断函数应用题的几种常见模型函数应用题主要有以下几种常见模型：1、一次函数模型例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.5元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月〔30天〕里,有20天每天可以卖出400份,其余每天只能卖出250份.设每天从报社买进的报纸的数量相同,则每天应从报社买进多少份,才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示,例如：匀速直线运动的时间和位移的关系,弹簧的伸长和拉力的关系等,对一次函数来说,当一次项系数为正时,表现为匀速增长,即为增函数,一次项系数为负时为减函数.2、二次函数模型例2某工厂生产的商品A,若每件定价为80元,则每年可销售80万件,政府税务部门对市场销售的商品A 要征收附加税,为增加国家收入又要有利于生产发展,必须合理确定税率,根据市场调查,若政府对商品A 征收附加税率为%p 时,每年销售额将减少p 10万件.据此,试问：〔1〕若税务部门对商品A 征收的税金不少于96万元,求p 的X 围；.〔2〕若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高,求此时p 的值.注：在第二问即二次函数求最值问题,一定要注意隐含条件.所以应用题中变量的取值X 围是一个非常值得重视的问题.3、指数函数模型例3某城市现有人口总数100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：〔1〕写出该城市人口总数y 〔万人〕与年份x 〔年〕的函数关系；〔2〕计算10年以后该城市人口总数〔精确到0.1万人〕；〔3〕计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人〔精确到1年〕；〔4〕如果20年后该城市人口总数不超过120万人,年增长率应该控制在多少？注：在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为为为增长率，为基础数，其中x p N p N y x ()1(+=)时间的形式.4、分段函数模型例4通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴趣激增；中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设)(t f 表示学生注意力随时间t 〔分钟〕的变化规律〔)(t f 越大,表明学生注意力越大〕,经过实验分析得知： ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f ,〔1〕讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？〔2〕讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时学生的注意力更集中？〔3〕一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生的注意力至少达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？注：对于一些较复杂的问题,有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题,需先后或年同时构造、利用几个函数模型,即分段函数模型方可.5、幂函数模型例5在固定电压差〔电压差为常数〕下,当电流通过圆柱体电线时,其强度I 与电线半径r 的三次方成正比.〔1〕写出函数解析式；〔2〕若电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,求电流通过半径为r 毫米的电线时,其电流强度的表达式；〔3〕已知〔2〕中的电流通过的电线半径为5毫米,计算该电流的强度.解：〔1〕3kr I =〔k 为常数〕.〔2〕由〔1〕知：34320⨯=k ,解得：5=k .所以,电流通过半径为r 毫米的电线时,其电流强度的表达式为35r I =.〔3〕由〔2〕中电流强度的表达式,将5=r 代入得：625553=⨯=I 安.注：本题是以物理概念为背景建立函数关系的问题,关键是分清各个量的物理意义与相关关系.6、对数函数模型.例6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的专家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数10log 52O v ,单位是s m /,其中O 表示燕子的耗氧量. 〔1〕计算,当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？〔2〕当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少？一、选择题.1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t 〔年〕的函数关系如下图所示,下列四种说法,其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后,这种产品停止生产 ④第五年后,这种产品的产量保持不变A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④2．如下图△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f 〔x 〕的图象大致为3．用长度为24的材料围一个矩形场地,中间且有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为A ．3B ．4C ．6D ．124．已知镭经过100年,剩留原来质量的95．76%,设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ,则y 与x 的函数关系是A ．y ={0．9576}100xB ．y ={0．9576}100xC ．y =〔1009576.0〕x D ．y =1－〔0．0424〕100x 5．某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回b 千米〔b <a 〕,再前进c 千米,则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是二、填空题.6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ,若该产品的年平均增长率为x ,20##底该厂这种产品的年产量为y ,那么y 与x 的函数关系式是______________________________．7．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架〔半径为r 〕,若矩形底边长为2x ,此框架围成的面积为y ,则y 与x 的函数解析式是_________________________________．8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比,且比例系数为a ,其余费用与船的航行速度无关,约为每小时b 元,若该船以速度v 千米/时航行,航行每千米耗去的总费用为 y 〔元〕,则y 与v 的函数解析式为________．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·〔0．5〕x +b ,现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税,超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税,超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书,共纳税420元,这个人的稿费为__________元．三、解答题.11.一个体户有一种货,如果月初售出可获利100元,再将本利都存入银行,已知银行月息为2．4%,如果月末售出可获利120元,但要付保管费5元,问这种货是月初售出好,还是月末售出好？12.某种商品现在定价每年p 元,每月卖出n 件,因而现在每月售货总金额np 元,设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍．〔1〕用x 和y 表示z. 〔2〕若y =32x ,求使售货总金额有所增加的x 值的X 围．13.茜种商品定价为每件60元,不加收附加税时每年大约销售80万件,若政府征收附加税,每销售100元要征税P 元,因此每年销售量将减少203P 万件. <1> 将政府每年对该商品征收的总税金y 万元表示为P 的函数,并指出这个函数的定义域. <2> 要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元,问税率P%应怎样确定？ <3> 在可收税金不少于128万元的前提下,要让厂家获取最大销售金额,则如何确定P 值？ 14.某工厂有一段旧墙长14m,现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形,面积为126m 2的厂房,工程条件是：<1> 建1m 新墙的费用为a 元；<2> 修1m 旧墙的费用为4a元；<3> 拆去1m 的旧墙,用可得的建材建1m 的新墙的费用为2a元,经讨论有两种方案： ①利用旧墙一段x m 〔0＜x ＜14〕为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14,问如何利用旧墙建墙费用最省？ 试比较①②两种方案哪个更好.函数应用题归类分析我们已经学过一次函数、二次函数与分段函数,应用这些函数能解决我们遇到的许多实际数学问题,现归类如下.一 能解决利润最大或效益最高问题 例1、某售货点,从批发部批发某一种商品的进价是每份0.35元,卖不掉的商品还要以每份0.08元的价格退回批发部,卖出的商品的价格是每份0.5元,在一个月〔30天〕中,有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,假设每天从批发部买进的商品的数量相同,则每天从批发部进货多少才能使每月所获得利润最大？最大利润是多少？分析：每月的利润=月总收入—月总成本,而月总收入有三部分：可每天卖出400份共20天的收入；可每天卖出250份的共10天的收入；没有卖出而退回批发部的商品的收入. 解、设每天从批发部买进的数量为x 份,易知250400x ≤≤设每月的纯收入为y 元,则由题意,得因为一次0.31050y x =+函数0.31050y x =+在区间[]250,400x ∈上为增函数,所以当400x =时,函数0.31050y x =+取得最大值：0.340010501170y =⨯+= 〔元〕答；当每天从批发部进货400分时,每月所获得利润最大,最大利润是1170元.点评：本题是一次函数模型的应用,对于利用一次函数来求最值,主要是利用其单调性来解决. 例2、旅行社为某旅游团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下,飞机票每X 收费900元；若旅游团的人数多于30人,则给与优惠,每多1人,机票费每X 减少10元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为多少时,旅行社可获得的利润最大？解、设旅游团的人数为x 人,飞机票为y 元,依题意,得当130x ≤≤时,900y =；当3075x <≤时,90010(30)101200y x x =--=-+；所以所求函数为900(130)101200(3075)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ 设利润为Q ,则290015000(130)1500010120015000(3075)x x Q y x x x x -≤≤⎧=⨯-=⎨-+-<≤⎩ 当130x ≤≤时,max 900301500012000Q =⨯-=,当3075x <≤时,221012001500010(60)21000Q x x x =-+-=--+, 所以当60x =时,max 21000Q =12000>,答：当旅游团人数为60人时,旅行社可获得最大利润21000元.点评：本题是由一段一次函数、一段二次函数构成的分段函数的最值问题,对于分段函数的最值,应先在各自的定义域上求出各段的最值,然后加以比较,最后确定出最值. 二 能帮助选择最佳方案 例3、某企业买劳保工作服和手套,市场价每套工作服53元,手套3元一副,该企业联系了两家商店,由于用货量大,这两家商店都给出了优惠条件：商店一：买一赠一,买一套工作服赠一副手套. 商店二：打折,按总价的95℅收款.该企业需要工作服75套,手套若干〔不少于75副〕.若你是企业的老板,你选择哪一家商店省钱.分析：解决此问题的方法是先建立优惠条件的函数关系式,然后比较,当取相同值时,哪种函数值小,则哪种优惠条件最省钱,就选哪一家商店. 解、设需要手套x 副,付款数为y 元,商店一的优惠条件：()75533(75)33750f x x x x =⨯+⨯-=+≥ （７５） 商店二的优惠条件：()75533)5g x x =⨯+⨯（９℅=2.853776.25x x +≥ （７５） 令()()x g x =ｆ,即33750 2.853776.25x x ++ = ,解得x =175 即购买了175副手套时,两商店的优惠相同,令()()0.1526.25x g x x -=-y=ｆ当75175x ≤<时 ,y<0即()()x g x <ｆ,应选择商店一省钱. 当175x >时,y>0即()()x g x >ｆ,应选择商店二省钱.综上可知：当麦175套手套适量商店的优惠相同,当买的手套数多于75而少于175时,选商店一省钱,当买的手套数多175时,选商店二省钱.点评：给出几种方案,通过计算比较,确定出最佳方案是这类问题的特点. 三 涉与几何问题中的最值例4、某单位计划用围墙围出一块矩形场地.现有材料可筑墙的总长度为l .如果要使围墙围出一块矩形场地的面积最大,问矩形的长、宽各等于多少？ 分析：若设矩形的长为x ,则宽为(2)2l l x -,从而矩形的面积为2(2)22l lS x l x x x =⨯-=-+,是关于x 的二次函数.解、设矩形的长为x ,则宽为(2)2ll x -,从而矩形的面积为。
