6.2.1 向量的加法运算 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册 (32)

2.2.1向量的加法运算
知识要点六：向量和与向量的模的关系：当向量 a b 、不共线时，和向量的长|a b +与向量a b 、的长度和 ||||a b +之
间的大小关系如何？
解析：向量和的模与向量模的和的大小关系为：
|||||a b a b +≤+
知识要点七：平面向量加法的运算律
学生思考6：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法能否也满足交换律和结合律？
通过例题，巩固向量的加法运算，掌握运
解析：向量的加法交换律
a b a +=+b
()a b c
a b c =+++)+
知识运用：平面向量的加法运算
在江水急两岸之间没有大桥的地方，常常通如图所示，一艘船从江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为16千米每小时，同时江水的速度为向东12千米每小时。

）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数（用与。

A
B
D
C
()表示江水速度
表示船速，如右图所示，解：AB AD 1ABCD
AB AD 为邻边作平行四边形以,2OA
64A A
14A A 16A A
）错误!未找到引用源。

16A A
++++)16543221A A A A A A A A
熟练运用
师生共同探究完成设置的练
习题。

第六章 平面向量及其应用6.2.1向量的加法一、教学目标1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2．熟练掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作已知两向量的和向量；3．理解向量加法运算律，并能熟练地运用它们进行向量计算。

4.通过对向量加法的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。

二、教学重难点1．两个向量的和的概念及其几何意义；2．向量加法的运算律。

三、教学过程：1、情景引入在大型生产车间里，一重物被天车从A 处搬运到B 处，如图所示．它的实际位移AB ，可以看作水平运动的分位移AC 与竖直运动的分位移AD 的合位移．问题1：根据物理中位移的合成与分解，你认为AB ，AD ，AC 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋AD .问题2：向量AB ，AC ，CB 之间有什么关系？【答案】AB ＝AC ＋CB .2、探索新知（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：AB BC AC +=． 规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．说明：①共线向量的加法： a b a b +②不共线向量的加法：如图（1），已知向量a ，b ，求作向量a b +. 作法：在平面内任取一点O （如图（2）），作OA a =，AB b =，则OB a b =+ .（1） （2） b aO BA AB C（2）．向量加法的法则：三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：OB AB OA =+．【口诀】尾首相接首尾相连。

平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作ABCD ，则 则以A 为起点的对角线AC 就是a与b 的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 四边形法则。

【口诀】共起点，和为对角线。

小组合作探究： 问题1：若向量a 和b 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能否做出向量b a +吗？【答案】（1）当a 和b 同向时，AC BC AB b a =+=+；（2）当a 和b 反向时，AC BC AB b a =+=+。

6.2.1 向量的加法运算教学设计（人教A版）教材分析：本节通过数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算规律掌握向量加法运算的交换律和结合律.教学目标与核心素养：课程目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.数学学科素养1.数学抽象：向量加法概念；2.逻辑推理：利用向量加法证明几何问题；3.直观想象：向量加法运算；4.数学建模：从实际问题抽象出数学模型，数形结合，运用向量加法解决实际问题.教学重难点：重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；难点：理解向量加法的定义.课前准备：教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程：一、情景导入数有加减乘除运算，那么向量有没有加减乘除运算，如果有，该怎么运算呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本7-10页，思考并完成以下问题1.向量加法是如何定义的？2.运用什么法则进行向量加法运算？3.向量加法满足哪些运算律？4.和向量和已知向量有什么关系？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则和平行四边形法则 (1)三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=， 规定： a + 0= 0 + a(2)平行四边形法则ABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa如图所示：AC →＝AB →＋BC →(三角形法则) ，又因为BC →＝AD →， 所以AC →＝AB →＋AD →(平行四边形法则)，注意：在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”，这个方法可推广到多个向量相加的情形；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．3.向量a +b 与非零向量a ，b 的模及方向的关系(1)当a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 都不相同，且|a ＋b |＜|a |＋|b |. (2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |≥|b |，则a ＋b 与a 的方向相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |.若|a |＜|b |，则a ＋b 与b 的方向相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |.4．向量加法的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；(2)结合律：a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．四、典例分析、举一反三题型一 向量的三角形法则和平行四边形法则例1 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a 与b 的和．【答案】见解析【解析】如下图中(1)、(2)所示，首先作OA →＝a ，然后作AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ．解题技巧（应用三角形和平行四边形法则的步骤）(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．跟踪训练一1、如图，已知a，b，求作a＋b；【答案】见解析．【解析】如图所示．．题型二向量的加法运算例2如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：(1)BC →＋CE →＋EA →； (2)OE →＋AB →＋EA →； (3)AB →＋FE →＋DC →.【答案】 (1) BA →. (2) OB →. (3) AC →.. 【解析】 (1)BC →＋CE →＋EA →＝BE →＋EA →＝BA →.(2)OE →＋AB →＋EA →＝(OE →＋EA →)＋AB →＝OA →＋AB →＝OB →. (3)AB →＋FE →＋DC →＝AB →＋BD →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →.解题技巧： (向量加法运算注意事项)(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.跟踪训练二 1、化简或计算：(1)CD →＋BC →＋AB →； (2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.【答案】(1)AD →. (2) 0.【解析】(1)CD →＋BC →＋AB →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝(AB →＋BC →)＋(CD →＋DF →)＋F A →＝AC →＋CF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.题型三 利用向量加法证明几何问题例3已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AO →＝OC →，DO →＝OB →.求证：四边形ABCD 是平行四边形． 【答案】见解析.【解析】证明 AB →＝AO →＋OB →，DC →＝DO →＋OC →，又∵AO →＝OC →，OB →＝DO →，∴AB →＝DC →， ∴AB ＝DC 且AB ∥DC ， ∴四边形ABCD 为平行四边形．解题技巧（用向量加法证明集合问题的基本思路）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．跟踪训练三1．如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的反向延长线及延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．【答案】见解析．【解析】证明 ∵AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又AB →＝DC →，FD →＝BE →， ∴AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等． ∴四边形AECF 是平行四边形．题型四 向量加法的实际应用例4 在水流速度为向东10 km/h 的河中，如果要使船实际航行的速度的大小为10 3 km/h ，方向垂直于对岸渡河，求船行驶速度的大小与方向．【答案】 船行驶速度为20 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.【解析】 如图所示，OA →表示水速，OB →表示船实际航行的速度，OC →表示船速，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，所以|OC →|＝20， 所以∠BOC ＝30°，所以∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20 km/h ， 方向与水流方向的夹角为120°.解题技巧： (向量加法解决实际问题的步骤)跟踪训练四1、在某地抗震救灾中，一救护车从A 地按北偏东35°的方向行驶800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km 送往C 地医院，求这辆救护车行驶的路程及两次位移的和．【答案】救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°.【解析】如图所示，设AB →，BC →分别表示救护车从A 地按北偏东35°方向行驶800 km ，从B 地按南偏东55°的方向行驶800 km.则救护车行驶的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次行驶的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意，有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1600(km)．又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°.所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝8002＋8002＝8002(km)．其中∠BAC ＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而救护车行驶的路程是1600 km ，两次行驶的位移和的大小为800 2 km ，方向为北偏东80°. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本10页练习，22页习题6.2的1，2题.6.2.1 向量的加法运算1.向量加法概念 例1 例2 例3 例42.三角形和平行四边形法则3. 向量a +b 与非零向量 a ，b 的模及方向的关系教学反思：本节课重点是向量加法的定义，三角形法则和平行四边形法则，同时还涉猎到向量加法交换律和结合律。

课堂教学设计学科：高一数学姓名：课题：6.2.1向量的加法运算课型：新授课教学背景分析（一）课题及教学内容分析本节课是新课标人教A版（2019）必修第二册中第六章平面向量及其应用之平面向量的加法运算，平面向量的加法，是借助物理中的位移和力的合成引入，通过教学平面向量的加法法则以及加法的运算律两个知识点，初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其它知识奠定了基础；同时，加法法则又是解决物理学、工程技术中有关问题的重要方法之一，体现了数学来源于实践，又应用于实践．（二）学生情况分析学生在上节课中学习了向量的定义及表示方法、相等向量、平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础．学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过位移的合成和力的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点．学习目标1.理解向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；2.掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算；教学重点和难点1.教学重点：向量的加法运算、运算规则及其几何意义．2.教学难点：向量加法概念的形成过程，对向量加法法则的理解．教学资源和教学方法采用多媒体和黑板结合，创设情景，从具实例引入新课。

以学生为主体，通过问题衔接，引导学生思考探究学习。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图教师个人二次备课环节一创设情境引出课题问题 1 位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．我们先来看一个与位移有关的问题．如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？学生回忆位移的合成的有关知识，通过观察、操作、思考，回答：温故知新.回归课本启发学生由位移的合成引入向量的加法．环节二归纳探索概念形成问题2 由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？问题3 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：如图2，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？问题 4 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算学生独立思考，动手操作后，小组交流学生画图探索，学生代表展示并发表见解由位移的合成引入向量加法的定义及其三角形法则．继续挖掘学生头脑中的旧有认知——物理中力的合成的实例，不仅帮助学生加深理解向量加法的定义，而且可以借助力的合成的平行四边形法则，引入向量加法的平行四边形法则．通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上是一致的．例1 如图3，已知向量a，b，求作向量a+b．学生先尝试，通过独立思考和动与数的加法相比，向量的加法复杂了许多，为此，设置环节三概念的巩固应用追问1 在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形法则作图呢？问题5 如图4，（1）已知向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？（2）结合例1探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系．问题6 请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和．问题7 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．例2 如图6，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为手操作，经过同学交流学生思考回答学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看成是三角形法则的特例学生思考、动手操作学生自主探究，猜想并互相交流．学生作出几何图形，将问题转化为向量加法问本例题明确如何作出两个向量的和，进一步帮助学生理解向量加法定义、几何意义，强化学生的作图意识，帮助学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则．（1）借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，帮助学生认识共线向量的加法也适合向量加法的三角形法则，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养．（2）让学生借助数形结合发现向量的和的长度与原向量长度和的关系：|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．促进学生多角度理解向量加法定义，教会学生理解一个数学概念的一般方法．明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养．体现向量加法在实际生活中的应用，要求学生能够把它转化为向量的加法运算，体会其15 km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6 km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1o）．题，并依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果.中应解决的问题是确定向量的大小及方向，发展学生解决实际问题的能力．环节四目标检测5.教科书第10页的练习．独立思考完成练习.通过练习及时巩固、反馈．考查学生对平面向量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的掌握情况．环节五归纳总结1. 你是如何理解向量加法的定义？；（几何表达）2. 向量加法的运算律有什么？；3. 本节课的学习过程中用到了哪些数学思想？回答本节课学到了什么。

6.1 向量的加法运算
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是本章第2课时，《向量的加法》是第六章平面向量的线性运算的第一节课。

本节内容有向量加法的平行四边形法则、三角形法则及应用,向量加法的运算律及应用,大约需要1课时。

向量的加法是向量的线性运算中最基本的一种运算，向量的加法为后面学习减法运算、向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和,在空间向量与立体几何中有很普遍的应用。

所以本课在平面向量及空间向量中有很重要的地位。

1.教学重点：两个向量的和的概念及其几何意义；
2.教学难点：向量加法的运算律。

多媒体
A.理解向量加法的意义；
B.掌握向量加法的几何表示法，理解向量
加法的另两个运算法则；
C.理解向量的运算律；
D.理解和体验实际问题抽象为数学概念的
过程和思想，增强学生的应用意识。

6.2.1向量的加法运算一、内容和内容解析内容：平面向量的加法运算．内容解析：向量的加法是向量的第一运算，是向量其他运算的基础.通过本节课让学生知道向量也是一种量，同其他量一样也有自己的运算，学好本节课为后面的学习奠定基础，为用“数”的运算解决“形”的问题提供工具和方法.通过理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义，掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能从物理中位移的合成、力的合成的具体实例中，抽象出向量的加法法则，能画图表示两个向量加法的结果．能依据向量加法的定义，并借助其几何意义探讨向量加法的运算规则.（2）研究平面向量的加法运算时，借助物理中的有关模型，如借助位移的合成引出向量加法的三角形法则；其中蕴含了数形结合、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量加法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1．教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质、类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．解决方案：通过数和形两个角度进行刻画，类比物理中位移、力的合成等辅助理解．基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量加法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路.因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境提出问题[问题1]位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？[问题2]有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，能否产生跟原来相同的效果．[问题3]从物理学的角度，上面教师1：提出问题1．学生1：学生思考．回答：质点M的两次位移,AB BC的结果与它从点A直接到点C的位移AC结果相同．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．回答：可以.教师3：提出问题3．学生3：学生思考．回答：位移的合成，力的合成，是把两个向量（矢量）“合”在一起了．这容易让我问题引入:提出问题，启发学生由位移的合成引入向量的加法.实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？[问题4]上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？们想到向量可以这样作加法运算.教师4：提出问题4．学生4：三角形法则和平行四边形法则从具体实例出发结合图形思考问题，从中发现向量加法的运算法则.探寻规律形成概念[问题5]两个向量的和还是向量吗？[问题7]若向量a和b共线，它们的和向量a b+能否用三角形法则作出？[问题8]如果AB→＋BC→＋CA→＝0，那么A，B，C三点一定能构成三角形吗？教师5：（1）1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任一向量a，规定：00a a a+=+=.（2）提出问题5．学生5：两个向量的和仍然是一个向量．教师6：2.向量的加法运算法则.（1）三角形法则已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.你能否尝试总结一下如何记忆？学生6：作平移，首尾连，从头到尾．教师7：提出问题7学生7：可以用三角形法则作出和向量.教师8：提出问题8.学生8：不一定.AB→＋BC→＋CA→＝0，则A，B，C三点有可能在同一条直线上(如图所示)，不能构成三角形.教师9：（2）平行四边形法则.已知两个不共线向量,a b，作OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC→就是向量a与b的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.请同学们尝试总结一下如何记忆？明确概念．明确运算法则．教师通[问题9]根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,你能发现|a＋b|与|a|，|b|之间的关系吗?【练习】如果AB=8，BC=5，那么AC的取值范围为 . 学生9：作平移，共起点，四边形，对角线教师10：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？学生10：画图探索，归纳结论：向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用.教师11：提出问题9学生11：对于任意向量a,b,都有||a|-|b|≤|a＋b|≤|a|+|b|;(2)当a,b共线,且同向时,有|a+b|=|a|+|b|;(3)当a,b共线,且反向时,有|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).教师12：完成练习学生12：[3,13]教师13：数的加法有哪些运算律？学生13：交换律、结合律.教师14：向量的加法是否也有这些运算律？下面我们从数与形两个方面来探究向量加法的运算律.（3）加法的运算律如图(1)在平行四边形ABCD中，,baBCABAC+=+=abDCADAC+=+=，所以a b b a+=+.在图(2)中，cbaCDACCDBCABAD++=+=++=)()(cbaBDABCDBCABAD++=+=++=所以）（cbacba++=++)(过引导学生对展开式各项构成的观察，得到项的构成．通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上是一致的.借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区[问题10]你能否总结一下向量加法的运算律？教师15：提出问题10. 学生14：向量的加法满足： (1)交换律：a b b a +=+.(2)结合律：()()a b c a b c ++=++.别，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养． 明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.典型 1.向量加法法则的应用学生15：三角形法则求解（图①）例题例1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .2.平面向量的表示 例2.化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →.3.向量加法在实际问题中的应用 例3. 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.[课堂练习]1．下列结论一定正确的是（ ）． A.在△ABC 中，0AB BC AC ++=．B .向量a 的大小为2，向量b 的大学生16：平行四边形法则求解（图②） ．教师17：完成例2.学生17：(1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB →＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AC →＋CD →＋DF →＋FA →＝AD →＋DF →＋FA →＝AF →＋FA →＝0.教师18：完成例3学生18：在Rt△ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，|AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角. 故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向.教师19：布置课堂练习．学生19：完成课堂练习课堂练习考查学生对平面向小为3，则向量a b +的大小为5． C .0AB BC CA ++=． D .a b a b +=+． 2．某人在静水中游泳，速度为33/km h ，水流的速度为9km/h ．他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为______度．．量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的掌握情况 及将实际问题抽象为向量加法的情况．课堂小结 升华认知[问题11] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →2.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( )A.1B.2C.3D.22 3.化简AE →＋EB →＋BC →等于( )教师20：提出问题11． 学生20：思考.教师21：布置课后练习学生21：完成课后练习.答案：1.C 2.B 3.D 4.20师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养． 课后练习是对定理巩固，是对本节A.AB →B.BA →C.0D.AC → 4.小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________ km/h.知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

【新教材】8.5.2 直线与平面平行教学设计（人教A版）第1课时直线与平面平行的判定在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线平行关系延续和提高，也是后续研究平面与平面平行的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。

课程目标1．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.2．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳直线和平面平行的判定定理，找平行关系；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：直线与平面平行的判定定理及其应用.难点：直线与平面平行的判定定理，找平行关系.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入问题1.观察开门与关门，门的两边是什么位置关系．当门绕着一边转动时，此时门转动的一边与门框所在的平面是什么位置关系？【答案】平行.问题2.请同学门将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？桌面内有与l 平行的直线吗？【答案】平行，有.问题3.根据以上实例总结在什么条件下一条直线和一个平面平行？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本135-137页，思考并完成以下问题1、直线与平面平行的判定定理是什么？2、怎样用符号语言表示直线与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1四、典例分析、举一反三题型一直线与平面平行的判断定理的理解例1下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内,则a∥α②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行④若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点⑤平行于同一平面的两直线可以相交A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①a⊄α,则a∥α或a与α相交,故①不正确;②当l与α相交时,满足条件,但得不出l∥α,故②不正确;③若l∥α,则l与α内的无数条直线异面,并非都平行,故③错误;若l∥α,则l与α内的任何直线都没有公共点,故④正确;若a∥α,b∥α,则a与b可以相交,也可以平行或异面,故⑤正确.解题技巧（判定定理理解的注意事项）(1)明确判定定理的关键条件.(2)充分考虑各种可能的情况.(3)特殊的情况注意举反例来说明.跟踪训练一1.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是()A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β【答案】D.【解析】A,B,C错;在D中,α∥β,a⊂α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.题型二直线与平面平行的判断定理的应用例2 在空间四边形ABCD中,E，F分别是AB，AD的中点,求证:EF∥平面BCD.【答案】证明见解析【解析】∵AE=EB,AF=FB,∴EF∥BD.EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD.∴EF∥平面BCD解题技巧：(判定定理应用的注意事项)(1)欲证线面平行可转化为线线平行解决.(2)判断定理中有三个条件,缺一不可,注意平行关系的寻求.常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形.跟踪训练二OB,E,F分别为BC,OC的中点.求证:DE∥平面AOC.1.如图,已知OA,OB,OC交于点O,AD12【答案】证明见解析【解析】证明在△OBC中,因为E,F分别为BC,OC的中点,OB,所以FE12OB,所以FE AD.又因为AD12所以四边形ADEF是平行四边形.所以DE∥AF.又因为AF⊂平面AOC,DE⊄平面AOC.所以DE∥平面AOC.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本139页练习1、2、3题，143页习题8.5的4、5、6题.本节课，从内容上来说，学生基本掌握判定定理，但是在应用中，书写证明过程不太规范，需提高学生的逻辑思维能力.从方法上来说，通过本节课判定定理的学习，学生理解证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了，让学生初步感知空间问题可以转化为平面问题解决.。

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课标解读课标要求核心素养1.借助实例理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行加法运算.(重点)3.理解向量加法运算的几何意义.(难点)1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法则,培养直观想象核心素养.2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数学运算核心素养.俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精疲力尽,车子却纹丝不动.问题1:车子为什么纹丝不动?答案天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.问题2:这则故事给我们的启示是什么?答案要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.1.向量的加法(1)定义:求①两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a,规定0+a=a+0=a.(2)向量求和的法则:三角形法则已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a与b的和,记作②a+b,即a+b=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗平行四边以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作③▱OACB,则以O为起点的形法则向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和,即OC⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b特别提醒三角形法则与平行四边形法则的区别与联系三角形法则平行四边形法则区别满足条件两向量“首尾相接”两向量“共起点”适用范围所有向量不共线的两向量联系平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能相互转化,解决具体问题时视情况而定2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=④b+a.(2)结合律:(a+b)+c=⑤a+(b+c).思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗?提示相同.3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量a,b方向相同时取“=”.探究一向量加法运算法则的应用例1如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.解析解法一:如图1所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ =a,接着作向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则得向量OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,然后作向量BC⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则向量OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b)+c=a+b+c.解法二:如图2所示,首先在平面内任取一点O,作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,以OA 、OB 为邻边作▱OADB,连接OD,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,再以OD 、OC 为邻边作▱ODEC,连接OE,则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c. 思维突破向量求和法则的应用技巧(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用. (2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和. 1-1如图(1)、图(2)所示,试作出向量a 与b 的和. 解析如图①、图②所示.OB⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求. 探究二向量加法运算律的应用例2化简下列各式:(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 2-1化简:(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 探究三向量加法的实际应用例3在某地抗震救灾时,一架飞机先从A 地按北偏东35°方向飞行800km 到达B 地接到受伤人员,然后从B 地按南偏东55°方向飞行800km 将受伤人员送往C 地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.解析如图所示,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示飞机从A 地按北偏东35°方向飞行800km 到达B 地,从B 地按南偏东55°方向飞行800km 到达C 地.则飞机飞行的路程是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,两次飞行的位移的和是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 依题意,有|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=800+800=1600(km),∠ABC=35°+55°=90°, 所以|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=√8002+8002=800√2(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°.故飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800√2km,方向为北偏东80°. 思维突破向量加法解决实际问题的应用技巧(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.3-1如图,用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平木杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求A 处和B 处所受力的大小(绳子的质量忽略不计). 解析如图,设CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示A,B 所受的力, 10N 的重力用CG ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示,则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG⃗⃗⃗⃗⃗ . 易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°, ∴|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos30° =10×√32=5√3(N).|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CG ⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos60°=10×12=5(N).故A 处所受的力的大小为5√3N,B 处所受的力的大小为5N. 1.在四边形ABCD 中,若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则() A.四边形ABCD 一定是矩形 B.四边形ABCD 一定是菱形 C.四边形ABCD 一定是正方形 D.四边形ABCD 一定是平行四边形答案D 由向量加法的平行四边形法则可知,四边形ABCD 必为平行四边形. 2.化简OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PS ⃗⃗⃗⃗ +SP ⃗⃗⃗⃗ 的结果为() A.QP⃗⃗⃗⃗⃗ B.OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.SP ⃗⃗⃗⃗ D.SQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案B OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +PS ⃗⃗⃗⃗ +SP ⃗⃗⃗⃗ =OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +0=OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 3.(多选题)在如图所示的▱ABCD 中,下列结论正确的是() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0 答案ABD 由▱ABCD 知A,B,D 正确,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以C 错误. 4.若a 表示“向东走8km ”,b 表示“向北走8km ”,则|a+b|=,a+b 的方向是. 答案8√2km;东北方向 解析如图所示,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 则a+b=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|a+b|=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√82+82=8√2(km), 因为∠AOB=45°,所以a+b 的方向是东北方向.5.如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b+c.解析在平面内任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,如图所示: 则由向量加法的三角形法则,得OB⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b+c,故OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求向量a+b+c. 逻辑推理——向量加法的应用如图,在正六边形OABCDE 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用向量a,b 将OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来. 解析如图,连接BE,AD,设正六边形的中心为P,则四边形ABPO,AOEP,ABCP,OPDE 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b. ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b.在△AOB 中,根据向量加法的三角形法则, 得OB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+a+b. 同理,在△OBC 中, OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+a+b+b, 在△OED 中,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =OE⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =b+a+b. 素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的核心素养. P,Q 是△ABC 的边BC 上的两点,且BP=QC.求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明如图,取BC 的中点O,连接AO 并延长至点D,使OD=AO,连接BD,CD,则四边形ABDC 是平行四边形,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BP=QC,BO=CO,所以PO=QO,连接PD,QD,则四边形APDQ 是平行四边形,所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 1.(多选题)下列等式正确的有() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AC⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0答案ABD 由向量加法的三角形法则和零向量的定义可知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 不正确. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 正确. 2.在▱ABCD 中,若|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是() A.菱形B.矩形 C.正方形D.不确定 答案B3.在▱ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是() A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案C4.在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=1,则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度为() A.2B.2√3C.3D.4答案D 在矩形ABCD 中,AB=√3,BC=1, 所以AC=2,因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故其长度为4. 5.根据图示填空,其中a=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,d=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)a+b+c=; (2)b+d+c=. 答案(1)DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)CA⃗⃗⃗⃗⃗解析(1)a+b+c=DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)b+d+c=CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 6.若P 为△ABC 的外心,且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则∠ACB=. 答案120°解析由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知四边形ACBP 为平行四边形, 又P 为外心,所以四边形ACBP 为菱形, 且PA=PC=AC,∠ACP=60°, 易得∠ACB=120°.7.如图所示,已知在矩形ABCD 中,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c,求|a+b+c|的大小. 解析如图所示,过点D 作AC 的平行线,交BC 的延长线于点E. ∵DE ∥AC,AD ∥BE,∴四边形ADEC 为平行四边形, ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是a+b+c=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|a+b+c|=2|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8√3.8.(多选题)向量a 、b 均为非零向量,下列说法中正确的是() A.若向量a 与b 反向,且|a|>|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 B.若向量a 与b 反向,且|a|<|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 C.若向量a 与b 同向,则向量a+b 与a 的方向相同 D.若向量a 与b 同向,则向量a+b 与b 的方向相同答案ACD 当向量a 与b 反向,且|a|<|b|时,向量a+b 与b 的方向相同,只有B 错误,A 、C 、D 都正确.9.(多选题)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则下列等式中正确的是()A.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案ABC FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故A 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故B 正确;FD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 正确;AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.10.已知▱ABCD,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,且b 是非零向量,则下列结论:①a ∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|,其中正确的有.(填序号) 答案①③解析因为在平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以a 为零向量,因为零向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,②④错误.11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在有风,风使雨滴以4√33m/s 的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.解析如图,用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示雨滴下落的速度,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示风使雨滴水平向东移动的速度. 以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边作四边形OACB,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 就是雨滴下落的实际速度. 在Rt △OAC 中,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√33, ∴|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =√42+(4√33)2=8√33, ∴tan ∠AOC=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√334=√33,∴∠AOC=30°.故雨滴着地时的速度大小是8√33m/s,方向为南偏东30°.12.过△ABC 内一点M 任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C 作l 的垂线,垂足分别为D,E,F,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0恒成立,则点M 是△ABC 的() A.垂心B.重心C.外心D.内心答案B 设直线l 过点A,则|AD|=0,有BE⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 则直线AM 经过BC 的中点,同理,直线BM 经过AC 的中点.直线CM 经过AB 的中点,所以点M 是△ABC 的重心.13.设|a|=2,e 为单位向量,求|a+e|的最大值. 解析在平面内任取一点O,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e,则a+e=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为e 为单位向量,所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示),由图可知,当点B 在点B 1处时,O,A,B 1三点共线,此时|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |(即|a+e|)最大,最大值是3.。

6.2.1 向量的加法运算一、教学分析向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,是向量的第二节内容.其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明,同时运用他们进行相关计算,这可让同学们进一步加强对向量几何意义的理解,同时也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想,而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比.则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算. 向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.二、教学目标：1、知识与技能：掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力。

§6.2 平面向量的运算6.2.1 向量的加法运算学习目标 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．知识点一向量加法的定义及其运算法则1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法．2．向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作AB→＝a，BC→＝b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量OC→(OC 是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？『答 案』 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．0＋a ＝a ＋0＝a .( √ ) 2.AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3.AB →＋BA →＝0.( √ ) 4．|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )一、向量加法法则例1 (1)如图①所示，求作向量a ＋b ； (2)如图②所示，求作向量a ＋b ＋c .解 (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →＝a ＋b .如图③所示．(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求．方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b .再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ， 则OE →＝OD →＋OC →＝a ＋b ＋c 即为所求．反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何两个非零向量求和当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半平行四边形法则(1)共起点(2)仅适用于不共线的两个向量求和跟踪训练1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量．(1)OA →＋OC →＝____________； (2)BC →＋FE →＝____________； (3)OA →＋FE →＝____________. 『答 案』 (1)OB → (2)AD →(3)0『解 析』 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同， 长度为BC →的长度的2倍， 故BC →＋FE →＝AD →.(3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →＝0.反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________.『答 案』 2 2『解 析』 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2. 三、向量加法的实际应用例3 河水自西向东流动的速度为10km/h ，小船在静水中的速度为103km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，求小船的实际航行速度．解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内任意一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作矩形OACB ，连接OC ，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度．∴|OC →|＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝20(km/h)，∵tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20km/h ，沿北偏东30°的方向航行． 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos60°＝10×12＝5(N)．∴A 处所受的力为53N ，B 处所受的力为5N.1．化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA → C.CD →D.DC →『答 案』 C『解 析』 根据平面向量的加法运算，得CB →＋AD →＋BA →＝(CB →＋BA →)＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →. 2．正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|为( ) A ．1 B. 2 C ．3D ．2 2『答 案』 B『解 析』 在正方形ABCD 中，AB ＝1，易知AC ＝2，所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2. 3．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③『答 案』 B『解 析』 ②错误，AB →＋BA →＝0，①③正确．4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →『答 案』 B『解 析』 OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 5．若a 表示“向东走8km ”，b 表示“向北走8km ”，则|a ＋b |＝________km ；向量a ＋b 的方向为________．『答 案』 82 东北『解 析』 如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ， 则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →， 所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝82(km)．因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是东北．1．知识清单：(1)向量加法的三角形法则． (2)向量加法的平行四边形法则． (3)向量加法的运算律．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点．。